Устойчивость нелинейных систем оптимальной стабилизации программных движений на основе локально допустимых управлений

«ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» ЛЕКЦИЯ-7: 06.05.2020 3 КУРС на тему РАЗДЕЛ: МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ ПО КООРДИНАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ (продолжение) тЕМА: УСТОЙЧИВОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ОПТИМАЛЬНОЙ СТАБИЛИЗАЦИИ ПРОГРАММНЫХ ДВИЖЕНИЙ НА ОСНОВЕ ЛОКАЛЬНО ДОПУСТИМЫХ УПРАВЛЕНИЙ Синтез нелинейных систем стабилизации программных движений выполнен на основе моделей с проекционными операторами локально допустимых (ЛДУ) и локально оптимальных (ЛОУ) управлений. Сходимость и условия сжатия операторов систем данного класса исследованы в евклидовом пространстве. Счетные последовательности образов нелинейных разностных операторов систем определяются нелинейными моделями, а также линейными моделями, введенными на прошлой лекции. Операторы систем учитывают нелинейности объекта и нелинейные особенности проекционных управлений. Устойчивость операторов исследуются на основе принципа сжимающих отображений, адекватных системам управления с адекватными проекционными проекторами для управлений. Полученные на первом этапе условия устойчивости операторов линейных систем ЛОУ (п. 3.2) определяют «запасы устойчивости», используемые при синтезе корректных нелинейных систем. На втором этапе исследуется устойчивость нелинейных систем ЛДУ и ЛОУ с вычислительной регуляризацией операторов управления. Регуляризация обеспечивает корректность операторов управления при различных состояниях объекта. В управлении также используются уравнения стационарных состояний объекта. Евклидова метрика для оценки норм возмущенного движения систем вычислена на основе разностных и стационарных уравнений. Условия устойчивости как условия сжатия разностных операторов систем ЛДУ и ЛОУ в областях притяжения учитывают смешанные ограничения-неравенства на координаты и управления. Для исследования устойчивости применяются элементы методов анализа операторных уравнений в банаховых пространствах [1, 2], представленные ранее. Как было отмечено, условия сжатия используют «запасы устойчивости» уравнений объекта или линейных частей операторов управления [1, 2]. При этом «обобщенные запасы устойчивости» включают «запасы объекта» или «запасы объекта и линейной части оператора управления». Устойчивость систем анализируется для операторов, которые реализуют статические законы управления. Единственные стационарные управления систем ЛДУ и ЛОУ принадлежат окрестности вектора определенного с учетом «фильтрующей матрицей» управлений. Состояния достижимы при наличии ресурсов управлений, определяющих общие для ЛДУ и ЛОУ «счетные условия совместности ограничений». Условия сжатия доказывают существование стабилизирующих управлений. Определение 1. Решение задачи Коши для операторов (3.1.19) и (3.1.20) является устойчивым (сходящимся) в некотором шаре D – области притяжения, если выполнены условия Определение 2. Решение задачи Коши для разностных операторов (3.1.19), (3.1.20) является асимптотически устойчивым (асимптотически сходящимся) в некотором шаре D, если выполнено условие Выпуклая комбинация классических «граничных экстремальных векторов» и с «параметром допустимости» в (1) и в силу (18) – (20) из п. 3.1 [1, 2], при одношаговом прогнозе и фильтрующей матрице задает счетное семейство векторов локально-допустимых управлений (ЛДУ) где граничные векторы как решения задач классической оптимизации Тогда модель системы с локально допустимыми управлениями (ЛДУ) типа (1.а) представлена задачей Коши с нелинейным объектом, где «параметр допустимости» ограничен «функция ограничений» для координат Оператор задает ограничения на управления, вносимые нелинейностями объекта, которые учтены при синтезе. Граничные (лагранжевы) векторы минимума и векторы максимума для функционала принадлежат пересечению линейного многообразия и сферы (п. 2.3). Вектор локально допустимых управлений в (1) формирует управления при нежестком учете ограничений на управления целевым вектором или а «функция ограничений» для координат равна 2. Модель системы локально оптимального управления (ЛОУ) с «функцией оптимальности» реализует минимальные отклонения выходов и управлений от вектора с «функцией ограничений» которая для координат состояний учтена в задаче Коши где а область область притяжения системы (2). В силу п. 2.2 для разностного оператора дискретной системы ЛОУ «функция оптимальности» определена проекцией на интервал [0, 1] прямой, принадлежащей счетному семейству пар граничных элементов для задач оптимизации, решаемых в реальном времени. Как отмечалось, «функция оптимальности» для оператора системы ЛОУ учитывает смешанные ограничения координат и управлений на основе одношагового прогноза. Для корректности управлений в (1) – (2) требуется отделимость от нуля вектора функционала, т. е. С может не быть нулевым вектором, а весьма малым по норме (длине) для задачи стабилизации программных движений, что очевидно следует из разностного оператора. Свойства «функции ограничения» параметров операторов (1) – (2) исследованы в лемме. Лемма 1. Пусть «функция ограничения» для систем ЛДУ и ЛОУ: заданная в (1), (2) и (4) суперпозициями квадратного корня, преобразо- вания сдвига, квадратичной формой и оператором проекции на интервал корректно определена. При этом структура векторов определяются моделью объекта и законом управления в функции векторов состояния или выходных координат так, что Тогда образ кусочно-линейного проектора ограничивает квадратичную форму интервалом в (5.а), где проектор реализует неотрицательность аргумента для квадратного корня. Лемма 1 доказана. Эта лемма, используемая при анализе условий сжатия разностных операторов (8.а) и (8.б), определяет условия устойчивости систем при смешанных ограничениях на координаты и управления. Условия устойчивости разностных операторов дискретных систем локально допустимого управления. Оператор ЛДУ синтезируется с учетом ограничений на переменные на основе модели [48] где параметры модели и объекта совпадают, и могут быть заданы в произвольной форме или в форме Фробениуса так, что Как отмечено в п. 3.1, модель объекта (6) учитывается линейным многообразием, а ограничения – шарами, аппроксимирующими гиперкуб в проекционных операторах ЛДУ и ЛОУ. Определение 3. Оператор ЛДУ с регуляризацией (7.а) вида с числовым «параметром допустимости» или оператор ЛОУ с регуляризацией (7.б) вида с функциональным «параметром допустимости» и общей «функцией ограничения» определяют оператор управления ЛДУ с обратной связью и оператор управления ЛОУ с обратной связью Параметры и проекционные операторы имеют вид «Функция ограничения» для операторов (7.а) и (7.б) равны Лемма 2. Оператор (7), (8) обладает свойствами: 1). «Параметр допустимости» регуляризованный кусочно-линейным проектором реализует «включение»: как образ проектора для задает допустимый вектор управлений на основе выпуклости линейной комбинации граничных векторов. Параметр определяет интенсивность обратной связи. 2). Кусочно-линейный проектор типа (5.б) в силу п. 2 леммы 1 обеспечивает регулярность «функции ограничения» реализует ограниченное «включение» где в (5.а) и (5.б) Тогда функция квадратного корня с регуляризацией для операторов ЛДУ и ЛОУ имеет вид где функция квадратного корня, корректно определенная равенством и удовлетворяет условию Липшица. Доказательство п. 1 леммы 2 следует из определения выпуклой комбинации векторов в силу кусочно-линейного проектора для учета ограничения Доказательство п. 2 леммы 2 следует из комментариев, данных выше, поясняющих последовательные вычисления постоянных Липшица по аргументу для функции а затем – для проектора При этом отделено от нуля значений поэтому существует Лемма 2 доказана. Лемма 3. Пусть управления для состояний и систем ЛДУ и ЛОУ определены в (7), (8), где «функции ограничения» имеют вид Тогда для «функций ограничения», общей для операторов систем ЛДУ и ЛОУ, имеют место оценки где постоянные Липшица для функции «квадратного корня» и кусочно-линейного проектора, соответственно. Доказательство. Оценки Липшица в левой части (9) имеют вид где аргументы функции соответственно, и постоянные Липшица для функции и проектора, используемого в этой функции для регуляризации квадратного корня (см. ранее). В силу известного неравенства в силу оценок оценок неравенства Коши-Буняковского следует неравенство При этом выполнены следующие неравенства Лемма 3 доказана. Следующая лемма справедлива для гильбертова пространства [1, т. 1, с. 8], однако далее в книге она используется в евклидовом пространстве. Лемма 4. Норма суммы двух векторов в евклидовом пространстве удовлетворяет неравенству треугольника для норм Доказательство. Квадрат евклидовой нормы можно представить равенством а из неравенства Коши-Буняковского: следует очевидная оценка из которой следует утверждение леммы. Лемма 4 доказана. Следствие. Из леммы 4 методом математической индукции по числу слагаемых в левой сумме можно доказать неравенство Далее доказаны условия сжатия и вычислены параметры ограниченных управлений систем ЛДУ в евклидовом пространстве. Утверждение 1. Пусть выполнены условия: 1). Динамика и стационарные состояния системы ЛДУ описываются разностным (8.а) и стационарным операторами типа (8.б): 2). Разностный оператор с регуляризацией (10.а) удовлетворяет определению (7.а) и леммам 2 и 4. 3).Линейный объект управления устойчивый, т.е. 4). Выполнены условия: Тогда имеют место следующие утверждения: 1). Для устойчивости нелинейной системы ЛОУ достаточно, чтобы оценка параметра сжатия разностного оператора (10.а) удовлетворял неравенству где параметры (11) даны в леммах 1-3. и выполнены условия Доказательство следует из оценки евклидовой нормы разности числовых векторов состояний где задан в (10.а), а вектор в – (10.б). Тогда в силу леммы 4 и (10) оценки метрики принимают вид где параметры операторов удовлетворяют условиям Нормы разности нелинейных операторов по условию Липшица определяют оценки метрики неравенством Тогда норма разности операторов в (12) оценивается неравенством В силу леммы 3, соотношения (9.б), условия Липшица для данного выше, оценка модуля разности примет вид С учетом неравенства треугольника норма разности операторов в (11) оценивается неравенствами Тогда из оценки метрик (14) следует ограничение (11) на «оценку параметра сжатия» для разностного оператора системы ЛДУ. Из условий (13) и (14) следуют ограничения (11) на величину параметра обратной связи. Утверждение 1 доказано. Далее рассмотрено условие устойчивости для линейного разностного оператора и нелинейного оператора системы ЛДУ. Утверждение 2. Пусть выполнены условия: Линейный разностный оператор системы ЛДУ (10.а), имеющий вид учитывает линейный объект и линейную часть оператора ЛДУ. 2. Нелинейный оператор системы ЛДУ задан равенством где функции и параметры в (13.а) и (13.б), следующие из п. 3.1, равны: Для анализа устойчивости линейной части оператора (13.а) можно использовать спектральный критерий, доказанный в п. 3.2. Тогда достаточные условия устойчивости как ограничения оценок параметров сжатия операторов (13.а) и (13.б) имеют вид Тогда из (14.б) следует ограничение на параметр обратной связи Доказательство утверждения 2 содержит две части. 1). Анализ устойчивости разностного оператора (13.а) использует линейность оператора и условие его сжатия в виде где в силу устойчивости объекта норма его матрицы ограничена: Тогда из (15) следует достаточное условие устойчивости оператора линейной системы ЛОУ (13.а) в виде условия (14.а). 2). Условие (14.б) для нелинейного оператора системы использует «запас устойчивости» который вычислен в соответствии с [12] для линейной части нелинейного разностного оператора. Доказательство устойчивости этого оператора основано на непустом пересечении шара (9.в) и линейного многообразия Для оператора (13.б) исследуется устойчивость решения, заданного вектором стационарного состояния для которого при ограничениях на «составной вектор» справедливо соответствующее уравнение стационарного состояния Вычитание (16) из уравнения (13.б) определяет для отклонений вектора координат от стационарного состояния соответствующее разностное уравнение где «параметр допустимости» и вектор заданы с учетом (13.б), и постоянной Липшица Оценки нормы разности векторов переходных и стационарных состояний системы имеют вид где оценка модуля разности в (17) дана леммой 3, а параметры определены равенствами Таким образом, полученные оценки метрики определяют для оператора системы ЛДУ (13.б) ограничение (14.б) на параметр сжатия. При этом величина определяет «запас устойчивости по норме», заданный этим оператором. Утверждение 2 доказано. ПРИЛОЖЕНИЕ. АЛГОРИТМ СИНТЕЗА ПРОСТЕЙШИХ ДВИЖЕНИЙ АВТОМОБИЛЯ: ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ По дисциплине «ИССЛЕДОВАНИЕ ОПЕРАЦИЙ» ТЕМА: программирование маршрутов движения беспилотных автомобилей на прямой и плоскости ПРОГРАММИРОВАНИЕ МАРШРУТОВ ВОЗМОЖНО РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ. На занятии рассматривается один из вариантов решения задачи без учета ограничений на координаты и управления. В этом случае для синтеза управлений далее используется наиболее простой проектор, изученный на лекциях. Ограничения могут быть заданы дополнительными «условиями различия положений», например, дополнив исходную модель (1) «дополнительными условиями, например, заданным расстоянием между автомобилями, причем это требование должно быть записана в ограничениях задачи оптимизации управлений. Эти условия могут быть реализованы математическим программированием «сдвигов по положению», предусмотрев их путем корректировки программного движения по продольным и боковым положениям АМ. Для этого можно математически программировать «СДВИГИ ПОЛОЖЕНИЙ АМ». Метод решения задачи синтеза систем программной стабилизации для отдельного АМ. Этот метод рассмотрен далее по шагам. Шаг 0: для описания движения группы АМ можно сформировать расширенную матрицу операции, в которой будут на диагоналях матриц представлены модели (уравнения) всех автомобилей, которые не связаны между собой с учетом того, что матрицы H и F будут расположены на диагонали. Итак, матрицы H и F – для различных АМ будут расположены на диагонали общей матрицы моделей, т.е. В уравнения (1) введены управляющие воздействия, обеспечивающие движение, т.е. возможность изменения координат всех автомобилей за счет воздействия управлений на АМ. Функционал задачи может иметь стандартный вид квадрата нормы евклидова пространства Будем решать задачу на основе поэтапного усложнения. Для этого начнем с простых задач, усложняющихся постепенно по шагам. Шаг 1: разделение модели группы АМ на модели отдельных АМ. Тогда группа автомобилей будет описана, например, по продольной оси X отдельными уравнениями состояния. Другими словами, модель (1) на первом этапе можно разделить на несколько частей. После разделения моделей динамика « i-го» автомобиля будет описана, например, по продольной оси X одномерными уравнениями «вход-состояния» где подвекторы состояний имеют единичный размер для простоты. В случае необходимости можно использовать модель «вход-состояние-выход» . Шаг 2. Тогда в одномерном пространстве можно привести простой пример модели (без матриц, вместо которых имеются числа) вида Шаг 3. Рассмотрим пример модели АМ в двумерном пространстве Поэтому можно рассматривать эту модель как содержащую две координаты состояния, описывающие движение АМ по продольной оси, т.е. «ВПЕРЕД ИЛИ НАЗАД», а также динамику бокового движения АМ, т.е. «НАЛЕВО ИЛИ НАПРАВО». Шаг 4: в общем случае модель состояний АМ как объекта системы управления может быть описано разностным уравнением где подвекторы состояний имеют конечный размер. Шаг 5: поскольку в модели, данной выше, определены все компоненты вектора оптимальных управлений, а также квадратичный функционал типа «евклидовой нормы», то можно вычислить вектор управления с помощью известного из лекций проекционного оператора оптимизации общего вида Параметры оптимального оператора заданы равенствами Шаг 6: на первом этапе для простоты синтеза с учетом отсутствия ограничений-неравенств на координаты и управления можно использовать более простой проектор (также см. лекции), который имеет вид В результате «вектор или скаляр управления» требуется выделить из «составного вектора», что показано соотношениями Шаг 7: ЗАДАВАЯ РАЗЛИЧНЫЕ ВЕКТОРЫ УПРАВЛЕНИЯ МОЖНО ФОРМИРОВАТЬ РАЗЛИЧНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ И ВЕЛИЧИНЫ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ ПО ОДНОЙ КООРДИНАТЕ, УВЕЛИЧИВАЯ ИЛИ УМЕНЬШАЯ ЧТОБЫ НАПРИМЕР, ЗАДАНИЯ ВЕКТОРОМ могут соответствовать движению «Вперед» или «назад» (по знаку приращения) ПО ПРОДОЛЬНОЙ ИЛИ БОКОВОЙ КООРДИНАТАМ. Для организации движения НА ПЛОСКОСТИ требуется ввести две координаты, движение по которым организуется аналогично. Можно далее увеличивать количество координат до трех, вводить ограничения и формировать требуемые траектории движения с помощью синтезированных управлений с учетом или без учета ограничений-неравенств. Таким образом, модель (1) на первом этапе разделена на несколько моделей. Тогда группа автомобилей будет описана, НАПРИМЕР, по продольной оси X уравнениями состояния с учетом начального положения и задания по программных управлений для движений, которые могут иметь вид В этой модели мы ввели программное движение поэтому управление имеет вид в силу которого автомобиль будет иметь изменяющуюся координату по оси Х, что соответствует движению по этой оси. Вариант 1 организации движения АМ по единому координирующему сигналу. Программное движение ведущего автомобиля (АМ) можно задать вектором С для случая плоского перемещения автомобилей. Далее можно координировать движение ведомых АМ путем передачи этого вектора всем или части ведомых АМ. Тогда задача управления будет состоять в обеспечении движения всех АМ по заданному маршруту с сохранением дистанций между ними. На первом этапе можно решить задачу движения одиночного автомобиля по прямой вдоль оси X. Тогда модель движения примет вид Вариант 2 организации движения группы БПАМ по траектории предыдущего автомобиля. Другими словами, этот вариант стабилизации АМ на основе применения в качестве программного вектора С в алгоритме траекторий предыдущих автомобилей. Эти две простые задачи могут иметь решение на основе проекционного оператора. При этом возникает вопрос: каким образом выполнить программирование движений и обеспечить движения всех участников свойством устойчивости. Последнее свойство требует применения такого метода и алгоритма, которые гарантируют устойчивость программных движений. Анализ проекционного метода и алгоритма показывает, что для описания программного и относительного движений можно использовать линейное многообразие, в которое можно «погружать» математические модели участников – АМ. Замечание. Сформулировав принцип программирования динамики с помощью матрицы А, размеры которой по строкам и столбцам могут быть выбраны достаточно большими в соответствии с требованиями задач управления. Тогда в эту матрицу можно «погрузить» модели динамики различных объектов, в том числе и модели всех АМ. Индивидуальные задания для студентов : синтезировать управления ДЛЯ ДВИЖЕНИЯ АМ «ВПЕРЕД» И «НАЗАД» ОТНОСИТЕЛЬНО НАЧАЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ДИНАМИКИ В СООТВЕТСТИИ С ПРИВЕДЕННЫМ АЛГОРИТМОМ И построить ГРАФИК ДВИЖЕНИЯ ПО ОДНОЙ КООРДИНАТЕ. ВСЕ ПАРАМЕТРЫ АМ связаны с номером 5. Объект должен быть устойчивым. Задавая модель объекта в линейном многообразии, мы можем задать в этом многообразии требования к движению двух автомобилей для обеспечения «нестолкновений». Однако в этом же многообразии мы можем задать «требования нестолкновения». Другими словами – мы должны математически (а не на языках программирования) запрограммировать такое движение, чтобы центры автомобилей отличались на постоянный сдвиг-различие в положении двух АМ. Как это сделать? – Ответ: если наш АМ имеет координату а чужой АМ – координату то условие «нестолкновения» (отстояния) будет иметь вид Для выполнения условия «нестолкновения» требуется в этой формуле иметь вектор Тогда для «нестолкновения» надо объединить эти уравнения. Тогда новое мноообразие будет иметь вид Вывод: для обеспечения «нестолкновения» можно использовать математическое программирование для положений автомобилей. Домашнее задание: сформулировать ограничения задачи математического программирования «о безопасности движения»и соответствующую задачу для ее решения проекционным квазианалитическим методом. Объекты-АМ должны быть устойчивыми, т.е.