Устойчивость механических систем

Предисловие. Данный конспект содержит изложение курса лекций по устойчивости стержневых систем, пластин и оболочек, прочитанного студентам 5-го курса специальности «Динамика и прочность машин». Объем курса 68 час. Предусмотрены практические занятия 17 час на группу, выполнение 3-х РГР. Заканчивается курс зачетом и экзаменом. Рекомендованная литература: 1. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем. М.: Машиностроение, 1978, 2. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем.-М.:Наука, 1967. 3. Кузьменко А.Г. Устойчивость элементов конструкций. Часть1, 2, Методические указания к выполнению РГР. Повышение качеств строительных материалов и усовершенствование конструкций в современных инженерных сооружениях приводят к тому, что значение теоретического расчета при проектировании все возрастает. Чем выше качество материала и чем совершеннее конструкция, тем лучше могут быть выполнены условия, которые обычно кладутся в основу выводов строительной механики и теории упругости, тем с большим основанием можно переходить от грубых, приближенных формул к более точным теоретическим исследованиям. До недавнего времени исключительное внимание при расчетах обращали на вычисление напряжений; мерой прочности являлось отношение допускаемых напряжений к расчетным. Ряд крупных катастроф показал, что такого расчета для современных инженерных сооружений далеко не достаточно, принятые нормы допускаемых напряжений не всегда обеспечивают надлежащую прочность, необходимы дополнительные исследования относительно устойчивости, как отдельных частей, так и всего проектируемого сооружения в целом. Историю теории устойчивости, по-видимому, следует начать с гениального математика Леонарда Эйлера, определившего в приложении к своей основной работе по вариационному исчислению, опубликованной в 1744 г., формы равновесия сжатого упругого стержня. Эйлер основывался на линеаризованном уравнении устойчивости, проводя линеаризацию выражения для кривизны плоской изогнутой оси стержня, поэтому вопрос о прогибе оставался неопределенным. Это обстоятельство долгое время вызывало сомнение в корректности такого подхода, а в более позднее время приводило к заключению, что правильный результат, сопутствующий решению приближенного дифференциального уравнения задачи случаен. Такое отношение к результату Эйлера несправедливо. Во-первых, в то время не был создан математический аппарат для решения точного дифференциального уравнения изгиба; теория эллиптических функций была создана позднее. Во-вторых, не был оценён именно сам линейный подход и статический критерий Эйлера, плодотворность которого в настоящее время бесспорна. Согласно этому критерию критическая нагрузка вычисляется как наименьшая нагрузка, при которой одновременно с исходной формой равновесия ( в случае стержня – прямолинейной ) статически возможна смежная, бесконечно близкая к ней форма равновесия ( в случае стержня – изогнутая ). Современная трактовка этого критерия сформулирована Ф.С. Ясинским . Через сто лет указанной точки зрения придерживался даже известный специалист в области теории упругости А. Клебш (1862), в распоряжении которого уже были таблицы эллиптических функций. Жозеф Лагранж (1770) решил точное уравнение задачи в рядах для случая опертого по концам стержня, получив зависимость между силой, амплитудой прогиба и длиной стержня. Ж. Альфан (1884) показал, что при критической силе прогиб равен нулю и нашел выражение для критической силы консоли. Позднее с помощью таблиц эллиптических функций было установлено, что незначительное увеличение сжимающей силы сверх критической сопровождается существенным ростом напряжений. Это, в частности, следует из решения А. Шнейдера (1901) для продольно сжатого стержня, опертого по концам. В 1894 году Ф.С. Ясинский путём перехода к пределу для точного дифференциального уравнения продольного изгиба консоли показал, что оно при прогибе равном нулю, имеет вид линеаризованного уравнения Эйлера; отсюда ясно, почему приближенное уравнение продольного изгиба даёт точное решение критической нагрузки. Что касается опытов на устойчивость, то первый эксперимент принадлежит П. Мушенбреку (1729). Опыты А. Дюкло (1820) и особенно И. Ходкинсона (1840 - 1857) нанесли ущерб теории Эйлера; последние послужили обильным материалом для отрицательного отношения к формуле Эйлера. Много позднее, после опытов И.Баушингера (1887), М.Консидера (1891), Л. Тетмайера (1890, 1896), стало ясно, что в обширных опытах И. Ходкинсона не соблюдались граничные условия, не соблюдались предосторожности для избежания эксцентриситета приложения нагрузки, что испытываемые образцы имели начальную кривизну, и часть образцов претерпевала выпучивание за пределом упругости. По-видимому, бельгиец М. Ламарль (1846) первый объяснил расхождение теории Эйлера с экспериментом несоблюдением граничных условий и не упругостью материала. В опытах И.Баушингера, Л. Тетмайера, М.Консидера осуществлялось тщательное центрирование нагрузки. После этих опытов закончились 150 лет сомнений в теории Эйлера. Вопросам устойчивости стержневых систем посвящено большое количество работ. Начало в этой области положил Ф.С. Ясинский, который впервые рассмотрел устойчивость двух взаимно перекрещивающихся стержней, один из которых сжат, а другой растянут, а также устойчивость целой перекрёстной решетки, когда стержни одного направления сжаты, а другого растянуты. В 1901 году академик Галеркин разрешил задачу об устойчивости простейших рам при различных соотношениях жёсткостей элементов и при разных способах нагружения стоек рам. В 1916 г. Тимошенко, рассматривая деформации сжатых стержней с моментами на концах получил расчетные формулы для углов поворота и перемещений отдельных точек стержня, которые в дальнейшем рядом авторов были успешно использованы для расчета простейших рам на устойчивость (Динник, Мейер, Блейх, Мизес, а также Мизес и Ратцерсдорфер). В дальнейшем появились работы, посвященные вопросам устойчивости статически неопределимых систем (Рабинович, Волков, Мурашов, Прагер и др.), в которых рассматриваются отдельные вопросы и даются некоторые упрощения расчетов на устойчивость. Что касается проблемы устойчивости пластин, то первым кто стал заниматься этим вопросом, был Эйлер. Он рассмотрел изгиб тонкой упругой пластины применительно к её колебаниям, представляя поверхность пластины системой упругих ортогональных нитей, обладающих поперечной инерцией. Е, Хладни (1787, 1802, 1817) своими исследованиями в области акустики дал толчок к развитию теории колебаний пластин. Яков Бернулли (1789) исследовал малый поперечный изгиб пластины, рассматривая её уже не как систему нитей, а как систему балок; он вычислил узловые линии колеблющихся пластин. Неудачи (1811, 1813) и успехи (1816) Софи Жермен в этой области хорошо известны. Ж. Лагранж (1811) добавил недостающий член и получил уравнение малых поперечных колебаний пластины. Уравнения изгиба упругих тонких пластин, нагруженных поперечной нагрузкой, с учетом растягивающих усилий в срединной поверхности вывел в 1814 году С. Пуассон. А в 1820 году Луи Навье вывел уравнение, которое соответствует сжатию пластины удельными силами, равномерно распределенными по всему контуру. Предпринятая им попытка решения задачи устойчивости прямоугольной пластины, опёртой в углах, оказалась безуспешной. И С. Пуассон и Л. Навье основывались на представлении о молекулярном строении пластины, предполагая, что молекулярные силы пропорциональны изменению расстояний между молекулами. В 1829 году С. Пуассон дал полную теорию колебаний осесимметричных круговых пластин на основе уравнений Л. Навье теории упругости. Густав Кирхгоф в статье «О равновесии и движении упругой пластины» (1850) оспорил поставленные С. Пуассоном граничные условия и с помощью принципа возможных перемещений получил дифференциальное уравнение изгиба пластины в форме Лагранжа и Пуассона, но с другими граничными условиями. В. Томсон и П. Тет (1876) дали геометрическую интерпретацию результата Г. Кирхгофа, указывая, что три условия (для поперечной силы, изгибающего и крутящего моментов) С. Пуассона выполняются только для толстой пластины, а для тонкой пластины должны выполняться два условия Г. Кирхгофа (для обобщенной поперечной силы и изгибающего момента). В упомянутой статье Г.Кирхгоф дал полную теорию колебаний круговых пластин. Удельные усилия и удельные моменты в теорию пластин введены Ф. Герингом (1860), А, Клебш дал впервые условия равновесия пластины в усилиях.(1862) Теория пластин конечного «квадратичного» прогиба изложена в тринадцатой лекции Г.Кирхгофа «Лекций по математической физике»(1876), её видоизменение для мембран дано А.Фепплем (1907), для пластин -Т.Карманом (1910), для пологих оболочек - К.Маргерром (1938). Пренебрегая массовыми силами , Дж.Брайн выписал энергетический критерий устойчивости для пластин, предполагая равенство потенциальной энергии, обусловленной изгибом вследствие неустойчивости, работе контурных сил(1891). Он нашел выражение для критического напряжения в случае прямоугольной пластины со свободно опертыми четырьмя краями, равномерно сжатой неодинаковыми силами в двух направлениях. Устойчивость сжатой в одном направлении, подкрепленной ребрами прямоугольной пластины изучалась И.Г. Бубновым (1912) , который заменил задачу устойчивости пластины задачей об устойчивости перекрестного набора, сжатого в одном направлении, - система опертых равноудаленных продольно сжатых стержней покоится на таком же поперечном наборе опертых стержней. Принимая за лишние неизвестные реакции поперечных балок, он в результате не смог получить точного решения задачи рассмотрел в конечном итоге стержень, опертый на абсолютно жесткие опоры, но и эта расчетная схема оказалась непреодолимой. С.П. Тимошенко показал, что нет смысла заменять подкрепленную пластину системой изолированных балок полосок, как это делал И.Г. Бубнов, и что задача об устойчивости подкрепленной пластины решается энергетическим методом при любом числе ребер. Проблема устойчивости тонких упругих оболочек – важная и трудная проблема строительной механики. В прошлом веке она ставилась в связи с расчетом трубчатых мостов, жаровых труб; в нашем веке - применительно к расчету корпуса корабля, подводной лодки, двигателя, летательного аппарата и т. п. В середине 19 века уже обсуждалась задача об устойчивости от равномерного внешнего давления тонкой круговой цилиндрической оболочки. Теоретическим исследованиям предшествовал ряд опытов; особенно известны опыты В. Фёйрбёйрна (1859), поставленные в связи с проектированием трубчатых мостов Британии и Конуей. Быстрое развитие строительного искусства ставит перед инженерами ряд новых и более сложных задач, решение которых во многих случаях содержит значительные трудности математического характера, связанные, во-первых, с решением систем дифференциальных уравнений и, во- вторых , с чисто алгебраической задачей – решением характеристического уравнения устойчивости (раскрытие детерминанта). Решение многих задач становится практически неосуществимым не потому, что они вызывают принципиальные трудности, а потому, что решение характеристического уравнения составляет непосильный труд. Метод последовательных приближений, который обычно применяется для решения характеристического уравнения в случаях, когда порядок детерминанта больше пяти, практически непригоден. Дальнейшие усилия в развитии теории устойчивости сооружений должны быть направлены на разработку методов, в которых отыскание критических сил будет производиться прямым путём, не требующим раскрытия детерминанта. Введение. Строительная механика – наука, разрабатывающая методы расчета конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. В 7-9-х семестрах изучались разделы курса, связанные с расчетами напряженно-деформированного состояния различных элементов конструкций – стержней, пластин и оболочек. Эти курсы являются основой для расчетов на устойчивость, поскольку без знания напряженного состояния оценка устойчивости невозможна. Исследования устойчивости исторически появились позже, чем методы расчета НДС. Пока в строительстве использовались только дерево и камень, а гибкими элементами служили канаты, проблемы устойчивости не возникали. Появились они с развитием строительства высоких деревянных ферм для мостов, металлических конструкций со сравнительно гибкими балками, позднее проблемы устойчивости неоднократно возникали с различными тонкостенными конструкциями, оболочками. Работы Эйлера, выполненные в 18 веке (первая работа была опубликована в 1759 г.), длительное время оставались единственной теоретической основой, и не были востребованы практикой. Однако с появлением практической потребности в расчетах на устойчивость появилось много работ как Российских, так и зарубежных исследователей, которые, однако, всех проблем устойчивости не решают. Недостаточное внимание к проблеме устойчивости приводят к разрушениям или повреждениям конструкций и в наши дни. Так в конце 60-х годов на железных дорогах наблюдались массовые повреждения крыш рефрижераторных вагонов постройки БМЗ. Потребовались серьезные теоретические и экспериментальные исследования, которые привели к рациональному усилению конструкции крыш, которое сняло проблему. В ряде конструкций крытых вагонов типа хоппер наблюдались поломки крыш при разгрузке сыпучих грузов из-за падения давления в кузове. Периодически ломаются цистерны после пропаривания их для слива тяжелых нефтепродуктов. Строительство пассажирских вагонов с гладкой двухслойной обшивкой на Тверском вагоностроительном заводе привело к большим деформациям, выпучиванию обшивки. Прочность при этом обеспечивается, но внешний вид становится неприглядным и конструкция доверия не внушает. В ряде случаев устойчивость проявляется после более или менее длительного колебательного процесса, обусловленного малой жесткостью. Именно так упала башня Токийского телецентра, именно так падает небоскреб в романе, опубликованном на страницах журнала «Наука и жизнь». В тоже время следует сознавать, что потеря устойчивости частью конструкции может и не быть опасной. Так у многих самолетов обшивка крыла на его верхней плоскости сжата в продольном направлении и теряет устойчивость, однако поскольку соседние элементы работают в устойчивой зоне работоспособность конструкции сохраняется. В других случаях потеря устойчивости одним элементом может вызвать разрушение всей системы по принципу «домино». Основные понятия и определения. Устойчивость – способность системы возвращаться в исходное состояние после отклонения из него. Иногда используют и другую формулировку: форму равновесия статически нагруженной конструкции считают устойчивой, если малым возмущающим воздействиям соответствуют малые отклонения от этой формы. На рис.1 приведены силовые характеристики линейной (а) и нелинейной (б) систем. Нагрузки, при которых происходит потеря устойчивости, называются критическими нагрузками, а соответствующее состояние системы – критическим состоянием. Общие методы решения задач. Существует 3 метода решения задач устойчивости: • динамический • энергетический • статический Процесс потери устойчивости обязательно происходит во времени, потому наиболее естественно рассматривать его как некоторый динамический процесс. Исследуя поведение системы при воздействии на нее малого возмущения, мы можем определить закон ее движения и конечное состояние системы. Это позволяет оценить ее устойчивость, однако, во многих случаях приводит к очень громоздким выкладкам, поэтому динамический метод используют довольно редко. При решении задачи устойчивости, как правило, принимают следующие основные допущения: • Упругие системы – консервативны, т.е. системы состоят из упругих тел, которые закреплены в пространстве с помощью идеальных связей и нагружены консервативными силами. • Консервативные силы – это те, работа которых зависит только от начального и конечного положения точки приложения силы, а для упругого тела соответственно от начальной и конечной формы тела, но не зависит от траектории движения или истории нагружения. • Идеальные связи – это такие, которые не совершают работы ни на одном из возможных перемещений. При использовании этих допущений оценку равновесия можно выполнить на основе теоремы Лагранжа, которая иногда называется как принцип минимума потенциальной энергии: В положении равновесия полная потенциальная энергия консервативной системы имеет стационарное значение, причем равновесие устойчиво тогда и только тогда, когда это стационарное значение есть минимум. При оценке вида равновесия очень важна точность, с которой определяется полная энергия и вычисляются ее производные. Обычный прием, когда отбрасываются бесконечно малые высокого порядка, во многих случаях не позволяет оценить устойчивость. Иногда это практически важно, иногда это скорее вопрос теории. Наконец, из определения устойчивости следует, что если нагруженная система не устойчива, то после малого возмущения она не вернется в исходное состояние, а, следовательно, при этой нагрузке существует другая форма равновесия, в которой система осталась после возмущения. Следовательно, можно оценить устойчивость системы, исследуя возможность существования смежной формы равновесия и определяя при каких нагрузках такая форма равновесия появляется. Это статический метод. Проиллюстрировать характер равновесия можно на известных примерах равновесия шарика на поверхностях разной формы (рис.2). Классы задач устойчивости. Задачи потери устойчивости очень разнообразны. Обычно их сводят к одному из пяти классов: 1. Появление смежной, качественно новой формы равновесия (рис.3). После достижения нагрузкой предельной величины, прямолинейный стержень изгибается, т.е. переходит к новой форме равновесия. При малом превышении критической нагрузки, изгибные деформации и перемещения стержня могут быть весьма малы. Это позволяет говорить о новой, но близкой к первоначальной форме равновесия – смежной форме. 2. Появление несмежной формы равновесия (рис. 4). При нагружении сферической мембраны внешним давлением при некоторой нагрузке появляется вмятина с обратной кривизной. Это новая форма равновесия, но она не может существовать при бесконечно малых перемещениях, и поэтому не является смежной формой равновесия. 3. Исчезновение устойчивой формы равновесия Если направление силы меняется вслед за поворотом конца стержня (так называемая следящая сила) то после достижения предельной нагрузки после малого отклонения от положения равновесия начинается колебательный или апериодический динамический процесс. 4. Полная потеря любых форм равновесия (в том числе и равновесных) рис.6 Если рассматривать стержень из реального пластичного материала, то после превышения критической нагрузки стержень изгибается, причем изгиб сопровождается значительными перемещениями и напряжениями. После достижения напряжениями предела текучести начинается необратимая деформация стержня, причем равновесия больше не существует. 5. Появление в системе недопустимо больших скоростей деформации, если материал обладает свойством ползучести Кроме того в практических расчетах о потере устойчивости говорят и при понижении жесткости системы ниже какого-то предельного уровня. При потере устойчивости иногда говорят о достижении системой точки бифуркации (раздвоения формы). Точка бифуркации I-го рода соответствует появлению новой формы равновесия. Точка бифуркации II-го рода – точка, в которой устойчивое положение сменяется неустойчивым. В качестве примера рассмотрим поведение систем с конечным числом степеней свободы. Пример 1 Абсолютно жесткий стержень длиной l шарнирно закреплен в нижней точке и связан с пружиной, с угловой жесткостью C. На верхнем конце стержня приложена сила, направленная вертикально вниз. Исследовать устойчивость системы (см. рис. 7). Статический метод: Начальная форма равновесия – вертикальное положение стержня. Выберем смежную форму равновесия – стержень отклонен на угол φ. Уравнение равновесия – сумма моментов вокруг точки А. Решая уравнение относительно P, получим . Это выражение определяет величину силы, при которой обеспечивается равновесие системы. Проанализируем его при разных значениях угла φ и величины силы P. Если угол φ равен 0, то значение силы может быть любым. Если угол мал, но не равен 0, то значение силы P определяется выражением . Минимальное значение силы равно , при этом угол φ стремится к 0. Построим график зависимости силы от угла (рис. 8). При силе меньшей критической равновесие устойчиво, дальше форм равновесия две, какая из них устойчива сказать нельзя. Точка А – точка бифуркации I рода. Энергетический метод: Запишем выражение для полной энергии системы. В него войдет выражение для потенциальной энергии пружины и выражение для потенциала силы P. Найдем производную , и приравняем ее 0. . Отсюда найдем P. Найденное значение соответствует экстремуму полной энергии системы, т.е. положению равновесия. Для оценки устойчивости нужно определить какой из экстремумов мы имеем. Для этого исследуем вторую производную и исследуем ее знак. Если φ = 0 и , первая производная растет и равновесие устойчивое. - равновесие неустойчивое Если φ ≠ 0 но мало, то: - устойчивое Динамический метод: Заранее предположим, что система находится в движении, следовательно, есть скорость и ускорение . Запишем уравнение движения: Решение этого дифференциального уравнения зависит от знака выражения при φ. Если то уравнение можно записать в виде , а его решение имеет вид , что соответствует гармоническим колебаниям и говорит об устойчивости начальной формы равновесия. Если , то уравнение примет вид, а его решение , И, наконец, если , то уравнение принимает вид , а его решение . Последние случаи приводят к апериодическому движению, что говорит о неустойчивости формы равновесия. Пример 2: Используем статический метод Сумма моментов относительно точки А: Это условие равновесия. Исследуем его. 1. Если при этом величина силы может быть любой. 2. φ ≠ 0, тогда Диаграмма состояния (рис.10) имеет вид набора вертикальных прямых линий и косинусоиды. Для исследования устойчивости воспользуемся энергетическим методом, для чего найдем и исследуем величину полной потенциальной энергии системы. Полная потенциальная энергия системы и ее производные равны: Равновесие устойчиво, если вторая производная >0. При Pcl (график справа), то устойчивое равновесие только при . Рис. 12. При достижении критической нагрузки стержень не имеет смежных форм устойчивого равновесия и скачком переходит в несмежное с исходным равновесное состояние. При этом на диаграмме состояния можно отметить две критических нагрузки. - верхняя критическая нагрузка. - нижняя критическая нагрузка При увеличении нагрузки до уровня верхней критической силы система скачком переходит в новое несмежное положение равновесия. При уменьшении нагрузки ниже уровня нижней критической силы система скачком возвращается в исходное положение.