Условие статической прочности; рациональные формы сечения балок

ЛЕКЦИЯ №14 Условие статической прочности. Рациональные формы сечения балок. Потенциальная энергия. Наиболее экономичными являются такие формы поперечных сечений, для которых с наименьшей затратой материала получается наибольший момент сопротивления Wx. Чтобы форма сечения была рациональной, необходимо, очевидно, по возможности, распределять площадь сечения подальше от нейтральной оси. Так возникли стандартные двутавровые и корытные тонкостенные профили. Момент сопротивления Wx стандартных профилей вычислен для каждого размера заранее и задан в специальных таблицах. Энергия упругих деформаций стержня при изгибе определяется работой момента М на взаимном угловом перемещении dθ двух сечений (рис. 14.1): 1 Mdθ , но: 2 dz M dz , = dθ = ρ EI x dU = поэтому потенциальная энергия может быть определена как: M 2 dz U =∫ 2 EI x . l (14.1) Рис. 14.1 Расчет на прочность при поперечном изгибе выражается зависимостью: σ max = M max ≤ [σ ] , Wx (14.2) [ ] где σ – допускаемые нормальные напряжения для материала. Данное выражение справедливо для материала, одинаково работающего при растяжении и сжатии. Однако если материал неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, т.е. [σ сж ] ≠ [σ раст ] , то в этом случае условие прочности составляется отдельно для растянутой и сжатой зон: σ pacт = M max M ≤ σ paс ; σ сж = − max ≤ [σ сж ] . W раст Wсж [ ] (14.3) Рассматривая качественную сторону явления, следует иметь в виду, что касательные напряжения в поперечных сечениях и парные им напряжения в продольных сечениях, несмотря на свою малость, могут в некоторых случаях существенно повлиять на оценку прочности стержня. Например, при поперечном изгибе короткого деревянного бруса возможно разрушение не по поперечному сечению в заделке, а скалывание по продольной плоскости, близкой к нейтральному слою, т.е. там, где касательные напряжения максимальны. Условие прочности для касательных напряжений можно записать так: τ max = Qmax S x *max ≤ [τ ] . I xb (14.4) При наличии в балке как изгибающих моментов, так и поперечных сил задача проверки прочности усложняется. Для точек, принадлежащих крайним (фибровым) волокнам, проверку можно вести только по нормальным напряжениям, так как в этих точках касательные напряжения равны нулю. Для точек принадлежащих нейтральному волокну, проверку можно вести только по касательным напряжениям, так как в этих точках нормальные напряжения равны нулю. В первом случае следует выбрать сечение с наибольшим изгибающим моментом, во втором – сечение с наибольшей поперечной силой (рис. 14.2,а). В промежуточных по высоте поперечного сечения точках проверку следует вести с одновременным учетом нормальных и касательных напряжений. Исследуем напряженное состояние в этих точках. Рис. 14.2 Вырежем из балки по ее толщине брусок с размерами dx, dz, b (рис. 14.2,б), где b – толщина балки. Считая, что вдоль толщины напряжения не изменяются, вырежем из этого бруска пластинку толщиной, равной единице (рис. 14.2,в). На гранях этой пластинки действуют нормальные и касательные напряжения, формулы для которых получены выше; при этом σ z = 0 , так как отдельные слои балки не оказывают давления друг на друга. Найдем напряжения в наклонных сечениях вырезанной пластинки, при этом для общности выводов предположим, что σ z ≠ 0 . Разрежем пластинку на две части наклонным сечением (рис. 14.2,г). Составим уравнения равновесия в виде суммы проекций всех сил, приложенных к левой отсеченной части, на оси n и t. ∑ n = 0; − τ xz dz sin α − σ x dz cos α − τ zx dx cos α − σ z dx sin α + σdt = 0 ; σ = σ x cos 2 α + σ z sin 2 α + 2τ xz sin α cos α . ∑ t = 0; τdt + σ x dz sin α − τ xz dz cos α − σ z dx cos α + τ zx dx sin α = 0 ; τ = (σ z − σ x )sin α cos α + τ xy (cos 2 α − sin 2 α ). Угол α можно выбрать таким образом, чтобы касательное напряжение было равно нулю, т.е. τ = (σ z − σ x )sin α cosα + τ xz (cos 2 α − sin 2 α ) = 0. Найдем этот угол: − sin α cos α 1 τ xz = = tg 2α , откуда: σ z − σ x cos 2 α − sin 2 α 2 tg 2α = 2τ xz . σx −σz (14.5) Площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными, а соответствующие им нормальные напряжения – главными напряжениями. Таких площадок – две, они взаимно перпендикулярны. Если оси x и z – главные, то τ xz = 0 . Обозначив главные оси цифрами 1 и 2 , формулы для напряжений на наклонных площадках в зависимости от главных напряжений получим в виде: 1 σ = σ max cos 2 α + σ min sin 2 α ; τ = − (σ max − σ min ) sin 2α . 2 Данные зависимости можно представить графически в координатах σ , τ (рис. 14.3). Рис. 14.3 Точки А и В соответствует главным площадкам. Легко доказать, что для любой площадки, определяемой углом α , компоненты напряжений будут определяться координатами точки на окружности, диаметром которой является отрезок АВ. Получаем: OF = OC + CF = σ max + σ min 2 + σ max − σ min 2 cos 2α = σ max cos 2 α +σ minsin 2 α ; 1 (σ max + σ min )sin 2α . 2 Если известны напряжения σ x , σ z , τ xz на произвольной площадке, то DF = CD sin 2α = − аналогично можно найти главные напряжения. Из рис. 6.20 находим: σ max = OC + CD = σ min = OC − CD = σx +σ y 2 σx +σz 2 2 σ −σz  2 +  x  + τ xz ;  2  2 σ −σz  2 −  x  + τ xz .  2  (14.6) При изгибе σ x = σ ; σ z = 0; τ xz = τ . Получаем σ max 2 σ 2 σ σ  σ  = +   + τ 2 ; σ min = −   + τ 2 ; 2 2 2 2 или σ max,min = [ ] 1 σ ± σ 2 + 4τ 2 . 2 (14.7) (14.8) Рис. 14.4 В теории упругости доказано, что главные напряжения достигают наибольшего и наименьшего значения из всех возможных. Поэтому проверку прочности рекомендуется вести по главным напряжениям.