Ускорение точек твердого тела при плоскопараллельном движении

Лекция: ускорение точек твердого тела при его плоскопараллельном движении Для изучения материала лекции сначала используйте параграф 49, стр. 119 (особенно, ту его часть, где рассматривается угловое ускорение твердого тела), затем – параграф 58, стр. 140 и параграф 59, стр. 145, Краткого курса теор. мех. С. М. Тарга. (Обратите внимание на опечатку в формуле (59) в электронной копии). Этот материал необходим для решения задач 16, 17. 19. Кроме того, (для решения задачи 18 задачника под редакцией В. И. Доронина) необходимо изучить материал 2-ого примера раздела 10 параграфа 9, (стр. 119) Основного курса теор. мех. Н. Н. Бухгольца. В качестве методической помощи усвоения материала параграфа 59 предлагаю вывод формул, для мгновенного центра ускорений более последовательно и естественно, с моей точки зрения, чем в учебниках. Определение мгновенного центра ускорений твердого тела при его плоском движении Пусть твёрдое тело совершает плоское непоступательное движение относительно неподвижной системы отсчета K . Выберем в качестве полюса некоторую точку M тела, ускорение которой относительно K известно и равно aM. Кроме того, известными считаются угловая скорость , которая направлена нормально к плоскости движения тела, и угловое ускорение , которое либо параллельно, либо антипараллельно . Рассмотрим произвольную точку P (лежащую в плоскости движения), положение которой относительно точки M определяется радиус-вектором , модуль которого, очевидно, постоянен: . Тогда, в соответствии с полученными нами ранее формулой сложения скоростей и формулой Эйлера, скорость точки P относительно системы отсчета K будет определяться известным выражением: . (1) Дифференцируя (1) по времени, найдем: , (2) но, так как , Подставляя последние выражения в (2) получим . (3) Теперь определим место положения точки, вмороженной в пространство твердого тела, ускорение которой в данный момент времени (при определенных aM, ε, ω) равно нулю относительно системы отсчета К, тем самым докажем её существование. Такая точка называется мгновенным центром ускорений. Положим в (3) aP = 0, тогда . (4) Нетрудно понять, что оба слагаемых в этой формуле ортогональны друг другу. Второе определяет вектор, который направлен от точки М к точке P, ускорение которой равно нулю, а первое соответствует вектору (ортогональному rMP), лежащему в плоскости движения тела. Так как вектор считается заданным, то чтобы определить точку P достаточно найти угол между и и длину этого вектора. Для этого умножим обе части (4) скалярно на rMP: (5) С другой стороны , или . (6) Формула (6) определяет величину rMP , а её подстановка в (5) позволяет вычислить: . (7) Формулы (6) и (7) не только определяют положение мгновенного центра ускорения, но и доказывают его существование, так как имеют смысл при любых значениях . Следует, однако, отметить, что для однозначного определения положения точки P, кроме выражений (6) и (7) необходимо привлечь еще и формулу (4). Действительно, пусть точка M имеет ускорение , как показано на рис.1. Формула (7) позволяет определить угол между и лучом, лежащим в плоскости движения твердого тела, вдоль которого должен быть направлен вектор rMP. Но таких лучей, как видно из рисунка 1, можно построить два – MA и MB. На каком из них будет лежать точка P определяется выражением (4). Если вектор направлен в плоскость движения тела (т. е. в плоскости рисунка, от нас), то вектор будет направлен, либо по лучу MK, если точка P лежит на луче MA, либо по лучу ML, если точка P лежит на луче MB. Нетрудно понять, что вектор aM, определяемый формулой (4), можно получить только в первом случае, когда точка P лежит на луче MA. Пусть теперь вектор направлен из плоскости движения тела (т. е. из плоскости рисунка, к нам). Тогда точка P будет лежать на луче MB, так как в этом случае вектор будет направлен по прямой, часть которой является луч ML, т. е. параллельно вектору . Только в этом случае вектор aM, показанный на рисунке 1, будет определяться формулой (4). Рассмотрим обратную задачу. Пусть в данный момент времени известны ε, ω и положение мгновенного центра ускорений – точка P твердого тела, совершающего плоское непоступательное движение (см., рис. 2). Необходимо определить абсолютное ускорение произвольной точки M, лежащей в той же плоскости движения твердого тела, что и точка P. Используя формулу (7) определим угол между вектором rMP , направленным по лучу MP, и вектором aM. Если угловое ускорение ε, направлено в плоскость движения твердого тела, то вектор будет направлен по лучу , поэтому вектор aM будет, очевидно, параллелен лучу . Если же ускорение ε, направлено из плоскости движения твердого тела, то вектор будет направлен по лучу , поэтому вектор aM будет, очевидно, параллелен лучу . В заключении отметим, что направление углового ускорения ε зависит от направления и характера изменения угловой скорости ω. Если величина угловой скорости растет:, то ω и ε параллельны. Если же , то ω и ε антипараллельны. Следовательно, зная положение мгновенного центра ускорений можно чрезвычайно просто определить и величину, и направление абсолютного ускорения произвольной точки твердого тела. Пример Определить ускорение точки C, и положение мгновенного центра P прямоугольника, если длина стороны каждого квадрата равна одному метру. Сначала определим ω и ε прямоугольника по ускорениям точек А и B, выбирая в качестве полюса точку А и используя формулу (П1) где ускорение точки В в системе отсчета К1, которая поступательно движется вместе с точкой А. В этой системе отсчета точка В, принадлежащая прямоугольнику, либо покоится, либо движется по окружности с радиусом . Направим ось x от А к В, а ось y вдоль .В этом случае ось z будет направлена в плоскость рисунка. . (П2) Теперь, спроектировав (П1) на координатные оси и воспользовавшись формулами (П2), получим в соответствии с условиями задачи: . (П3) Разрешая уравнения (П3) относительно , и подставляя численные значения, найдем: , . Используя формулу (7), сразу получаем: . (П4) Обратим внимание, что не зависит от точки, от которой будет откладываться радиус-вектор мгновенного центра ускорений. От такой точки будет зависеть модуль этого радиус-вектора. Сначала определим : (П5) Если радиус-вектор откладывать от точки А, то, в соответствии с (П4), он может быть направлен либо вдоль оси x, либо вдоль оси y. Однако, результат (П5) показывает, что точка P может лежать только на оси y проведенной из точки А, т. е. ее координаты (0, 2). В качестве проверки, определим : Так как в соответствии с (П3) вектор направлен в плоскость прямоугольника (проекция на ось z положительна), то для того, чтобы равенство выполнялось, вектор должен иметь отрицательную проекцию на ось x, т. е. определять ту же точку P, что и вектор . Для определения ускорения точки С снова воспользуемся формулой (П1) для точки С: , (П6) но теперь ось x выберем вдоль вектора , а ось y ортогонально к ней и так чтобы ось z по-прежнему была направлена в плоскость прямоугольника. Тогда вместо уравнений (П2) получим следующие выражения . (П7) Теперь, спроектировав (П6) на координатные оси и воспользовавшись формулами (П7), получим: . В качестве самостоятельной работы, вывести формулу , используя записанные в аналитическом виде компоненты (проекции на координатные оси) векторного произведения. Используя материал лекции, вы должны решить задачи 16, 17. 18, 19, и отчитаться своими решениями на практических занятиях.