Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

БСБО-01-18−БСБО-04-18 Дифференциальные уравнения. Лекция 3 Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель. §1. Уравнения в полных дифференциалах Def. 1.1. Дифференциальное уравнение вида (1) (1) Px, y dx  Qx, y dy  0 называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция u  ux, y  , для которой её полный дифференциал совпадает с левой частью уравнения (1): (2) du  Px, y dx  Qx, y dy Нетрудно видеть, что при выполнении условия (2) дифференциальное уравнение (1) равносильно следующему: du  0 . В результате интегрирования получаем (3) ux, y   c , Равенство (3) задает общий интеграл исходного уравнения (1). Таким образом доказано следующее утверждение. Теорема 1. Пусть ДУ Px, y dx  Qx, y dy  0 является уравнением в полных дифференциалах. Функция ux, y  удовлетворяет условию du  Px, y dx  Qx, y dy . Тогда общий интеграл исходного ДУ задается формулой ux, y   c . Пример № 1. Решить уравнение y  dx  x  dy  0 . Решение. x  y  x  y  d x  y    dx   dy  Предположим u  x  y , тогда x y  y  dx  x  dy, т.е. для u  x  y выполнено условие (2). Следовательно, решаемое уравнение – ДУ в полных дифференциалах. Согласно теореме 1 общий интеграл этого уравнения задается функцией x  y  c , где c – const, cR. Ответ: x  y  c . Замечание. Не всегда так просто можно «угадать» функцию ux, y  . Поэтому нужно выяснить, когда такая функция существует и как её найти. Ответы на поставленные вопросы даёт следующая теорема. 1 БСБО-01-18−БСБО-04-18 Теорема 2. Пусть в прямоугольнике G :{a  x  b, c  y  d} функции P x,y  , Q x,y  непрерывны. Тогда для того, чтобы P(x,y), Q(x,y) , x y дифференциальное уравнение Px, y dx  Qx, y dy  0 (1) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно выполнения тождества: P Q для x, y  G  dy x (4) Заметим, что если уравнение (1) является уравнением в полных дифференциалах, то функций u(x,y), обладающих свойством (2), бесконечное множество. Но все они отличаются одна от другой на константу. Рассмотрим способы нахождения решения ДУ вида: Px, y dx  Qx, y dy  0 (1). Способ I 1. Составляем следующую систему (5):  u x '  x, y   P  x, y   u y '  x, y   Q x, y  (5) 2. Интегрируем по x первое уравнение этой системы. Получаем ux, y    Px, y dx    y  3. Подставляем полученную функцию ux, y  во второе уравнение системы (5). Получаем дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными для функции   y  . Решая это уравнение, находим   y  . 4. Подставив найденную функцию в уравнение y ux, y    Px, y dx    y  , находим общий интеграл u(x,y)=с исходного дифференциального уравнения P(x,y)dx+ Q(x,y)dy = 0. Покажем применение этого способа на следующем примере. Пример № 2. Решить уравнение: cos y  3 y  5e x dx  x sin y  3x  cos y dy Решение: Используем первый способ решения. Сначала убедимся, что решаемое уравнение – ДУ в полных дифференциалах. Проверим выполнение необходимого и достаточного условия, сформулированного в теореме 2. Имеем: Q P   sin y  3;   sin y  3; x y 2 БСБО-01-18−БСБО-04-18 Следовательно, необходимое и достаточное условие теоремы 2 выполняется. Для нахождения функции ux, y  применим ранее описанный способ I. 1. Составим систему (5)  u x  x  cos y  3 y  5e  u    x sin y  3x  cos y  y 2. Интегрируем первое уравнение составленной системы. Получим ux, y    cos y  3 y  5e x dy  x  cos y  3xy  5e x    y  . 3. С учетом 2-го уравнения системы и выражения ux, y  , полученного на предыдущем шаге, имеем: u x  cos y  3xy  5e x    y     x sin y  3x  cos y ; y y  x sin y  3x   '  y    x sin y  3x  cos y ; Следовательно,  '  y   cos y. Интегрируя, получаем   y    cos ydy   sin y  c~ . 4. Подставляя это выражение   y  в ux, y  , полученную на 2-м шаге, имеем: ux, y   x  cos y  3xy  5e x  sin y  c~  c' или x  cos y  3xy  5e x  sin y  c, где c  c'c~ . Ответ: x  cos y  3xy  5e x  sin y  c. Способ II. Из курса математического анализа известно, что функцию ux, y  по её дифференциалу можно определить, взяв криволинейный интеграл от Px, y dx  Qx, y dy между фиксированной точкой Ax0 , y0   G и точкой с переменными координатами Bx, y   G . Причем при выполнении условия P Q  теоремы 2 , этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Чаще y x всего путь интегрирование выбирают по ломаной, состоящей из двух звеньев, параллельных осям координат, как показано на рис. 1 и рис. 2. 3 БСБО-01-18−БСБО-04-18 Воспользовавшись путем, изображенным на рис. 1, получим: x y x0 y0 u x, y    Px, y0 dx   Qx, y dy (6) Для пути, показанного на рис. 2, имеем: x y x0 y0 u x, y    Px, y dx   Qx0 , y dy (7) Покажем применение этого способа на ранее рассмотренном примере № 2: cos y  3 y  5e x dx  x sin y  3x  cos y dy . Решение. Выберем в качестве точки Ax0 , y0  начало координат O0,0 и путь интегрирования по ломаной из рис. 1. x y x0 y0 Тогда по формуле u x, y    Px, y0 dx   Qx, y dy имеем ux, y    cos 0  3  0  5e x dx   x sin y  3x  cos y dy x y В результате интегрирования получаем ux, y   x  5e x  x cos y  3xy  sin y  x  3x  0  sin 0; ux, y   x cos y  3xy  sin y  5e x . Следовательно, по теореме 1 общий интеграл решаемого ДУ имеет вид x cos y  3xy  sin y  5e x  c . Ответ: x cos y  3xy  sin y  5e x  c . Заметим, что ответ совпадает с ответом, полученным при решении этого примера первым способом. § 2. Интегрирующий множитель. В некоторых случаях, когда уравнение Px, y dx  Qx, y dy  0 не является уравнением в полных дифференциалах (т.е. для него не выполняется 4 БСБО-01-18−БСБО-04-18 P Q для (x, y)  G ), для этого уравнения удаётся подобрать  y x функцию  x, y  . В результате умножения на  x, y  получается новое уравнение условие  x, y ·Px, y dx   x, y ·Qx, y du  0 , (8) которое является уравнением в полных дифференциалах. Def 2.1. Функция  x, y  называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения Px, y dx  Qx, y dy  0 , если после умножения исходного уравнения на эту функцию получается уравнение (8), которое является уравнением в полных дифференциалах. Заметем, что не любое дифференциальное уравнение вида Px, y dx  Qx, y dy  0 имеет интегрирующий множитель. Хотя некоторые дифференциальные уравнения указанного вида могут иметь несколько интегрирующих множителей. Также следует отметить, что решение вместо уравнения Px, y dx  Qx, y dy  0 уравнения  x, y   Px, y dx   x, y   Qx, y du  0 может привести к потере или к появлению лишних решений, обращающих интегрирующий множитель в нуль. Поиск интегрирующего множителя  x, y  – достаточно сложная задача. Она требует выполнения необходимого и достаточного условия, сформулированного в теореме 2, для следующего ДУ в частных производных   P    Q   , y y в котором    x, y , P  Px, y , Q  Qx, y . Это уравнение имеет следующий развёрнутый вид  P  Q P  Q    y y x x Выполнив деление на  и получим, ln   P ln   Q ·P   ·Q  y y x x или ln   ln   Q P P Q   (9) y x x y Получили ДУ в частных производных. Нахождение решения этого уравнения для  x, y  в общем случае представляет сложную задачу. Однако для некоторых частных случаев это можно сделать без труда. Рассмотрим эти случаи. 5 БСБО-01-18−БСБО-04-18 1. Использование интегрирующего множителя вида    x  . ln   ln   Q P Подставим  x  в уравнение . P Q   y x x y Получится d ln  x  Px, y  Qx, y  Q   x y x В результате разделения переменных имеем Px, y  Qx, y   y x d ln  x   ·dx Q  x, y  P x, y  Qx, y   y x Обозначим k x   Q  x, y  Тогда d ln  x   k x ·dx (10) Интегрируем: ln  x    k x ·dx и окончательно получаем  x  e  k x ·dx   (11) Доказана следующая теорема. Теорема 3. Пусть на некоторой области D уравнение Px, y dx  Qx, y dy  0 имеет функции Px, y  и Qx, y  , которые удовлетворяют следующим условиям: P x, y  Q x, y  1) Px, y  , Qx, y  , , – непрерывны; y x 2) Qx, y   0; P x, y  Qx, y   y x 3) Выражение k x   (10) является функцией только Q  x, y  переменной x. Тогда ДУ Px, y dx  Qx, y dy  0 имеет интегрирующий множитель, который зависит только от x и вычисляется по формуле    x  e  k x ·dx Пример № 3. Дано ДУ x·cos y  y·sin y dy  x·sin y  y·cos y dx  0 . Определить, существует ли у заданного уравнения интегрирующий множитель вида  x  . Решение: В данном примере Px, y   x·sin y  y·cos y, Qx, y   x·cos y  y·sin y. 6 БСБО-01-18−БСБО-04-18 P Q P Q .  x  cos y  cos y  y  sin y;   cos y. y x y x Следовательно, уравнение не является уравнением в дифференциалах. P Q  y x x cos y  y sin y   1. Найдем k  Q x cos y  y sin y Откуда Следовательно,  x  e  Ответ:  x   e x . k ·dx полных e   e x . dx 2. Использование интегрирующего множителя вида     y  . Для нахождения такого множителя используется теорема 4, которая доказывается аналогично доказательству, приведенному для теоремы 3. Теорема 4. Пусть на некоторой области D уравнение Px, y dx  Qx, y dy  0 имеет функции Px, y  и Qx, y  , которые удовлетворяют следующим условиям: P x, y  Q x, y  1) Px, y  , Qx, y  , , – непрерывны; y x 2) Px, y   0; 3) Выражение Q x, y  Px, y   x y m y   (12) P  x, y  является функцией только переменной y. Тогда ДУ Px, y dx  Qx, y dy  0 имеет интегрирующий множитель, зависящий только от y и вычисляемый по следующей формуле: m  y ·dy   y  e  (13) Литература. 1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. Для втузов, том II. 1. Глава XII ”Дифференциальные уравнения”: §9 ”Уравнение в полных дифференциалах”; §10 “ Интегрирующий множитель”. 2. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. 7 БСБО-01-18−БСБО-04-18 Под редакцией Б.П. Демидовича Глава IX ”Дифференциальные уравнения”, §6 ”Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель”. 3. Лекция 3 Антиповой Т.Н. для групп БСБО-01-18− БСБО-04-18. 8