Уравнения в полных дифференциалах

1.3. Уравнения в полных дифференциалах Может случиться, что левая часть дифференциального уравнения M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 является полным дифференциалом некоторой функции u(x,y): du( x, y)  M ( x, y)dx  N ( x, y)dy и, следовательно, исходное уравнение принимает вид: du( x, y)  0 . Если функция y(x) является решением исходного уравнения, то du( x, y( x))  0 и, следовательно, u( x, y( x))  c где c – постоянная, и наоборот, если некоторая функция y(x) обращает в тождество конечное уравнение, то, дифференцируя полученное тождество, получим du( x, y( x))  0 , и следовательно, u( x, y)  c , где c произвольная постоянная, является общим интегралом исходного уравнения. Если даны начальные значение y(x0) = y0, то постоянная c определяется из c = u(x0, y0) и u(x, y) = u(x0, y0) u  N ( x, y )  0 в точке (x0, y0), то являлась искомым частным интегралом. Если y уравнение u(x, y) = u(x0, y0) определяет y как неявную функцию x. Для того чтобы левая часть уравнения M ( x, y)dx  N ( x, y)dy являлась полным дифференциалом некоторой функции u(x, y), как известно, необходимо и достаточно, чтобы M ( x, y ) N ( x, y )  y x Если это условие, впервые указанное Эйлером, выполнено, то уравнение легко интегрируется. Действительно, du = Mdx + Ndy С другой стороны, u u du  dx  dy x y Следовательно, u u  N ( x, y )  M ( x, y) ; y x откуда u( x, y)   M ( x, y)dx  c( y) При вычислении интеграла  M ( x, y)dx величина y рассматривается как постоянная, поэтому c(y) является произвольной функцией y. Для определения функции c(y) дифференцируем найденную функцию u(x,y) по y и, u  N ( x, y ) , получим так как y  M ( x, y)dx  c '( y)  N ( x, y) y  Из этого уравнения выделяем c’(y) и, интегрируя, находим c(y). Как известно из курса математического анализа, еще проще можно определить функцию u(x,y) по ее полному дифференциалу du  M ( x, y)dx  N ( x, y)dy , взяв криволинейный интеграл M ( x, y)dx  N ( x, y)dy между некоторой фиксированной точкой (x0, y0) и точкой с переменными координатами (x,y) по любому пути: ( x, y ) u ( x, y )  M ( x, y )dx  N ( x, y )dy ( x0 , y0 ) Чаще всего в качестве пути интегрирования удобно брать ломанную, составленную из двух звеньев, параллельных сям координат (см. рисунок) в этом случае ( x, y )  Mdx  Ndy  ( x , y0 )  ( x, y ) Mdx   ( x0 , y0 ) ( x0 , y0 ) ( x , y0 ) ( x, y ) ( x0 , y ) ( x, y ) Ndy или  ( x0 , y0 ) Mdx  Ndy   Ndy  ( x0 , y0 )  Mdx ( x0 , y ) Пример 1. ( x  y  1)dx  ( x  y 2  3)dy  0 Левая часть уравнения являются полным дифференциалом некоторой функции u(x,y), так как ( x  y  1) ( x  y 2  3)  y x u x2  x  y  1, u   xy  x  c( y ) x 2 u  x  c '( y ), x  c '( y )  x  y 2  3 y c '( y )   y 2  3, c( y )   y3  3 y  c1 3 x2 y3  xy  x   3 y  c1 2 3 Следовательно, общий интеграл имеет вид u 3x2  6 xy  6 x  2 y3  18 y  c2 Можно применить и другой метод определения функции u(x,y): ( x, y ) u ( x, y )   ( x  y  1)dx  ( x  y 2  3)dy ( x0 , y0 ) За начальную точку (x0,y0) выбираем, например, начало координат, в качестве пути интегрирования – изображенную на рисунке ломанную. Тогда ( x ,0) u ( x, y )   ( x, y ) ( x  1)dx  (0,0)  ( x ,0) ( x  y 2  3)dy  x2 y3  x  xy   3 y 2 3 и общий интеграл имеет вид x2 y3  x  xy   3 y  c 2 3 В некоторых случаях, когда левая часть уравнения M ( x, y)dx  N ( x, y)dy  0 не является полным дифференциалом, легко удается подобрать функцию μ(x,y), после умножения на которую левая часть этого уравнения превращается в полный дифференциал du = μMdx + μNdy Такая функция μ называется интегрирующим множителем. Заметим, что умножение на интегрирующий множитель μ(x,y) может привести к появлению лишних частных решений, обращающих этот множитель в нуль