Уравнения показательного роста. Процессы колебаний

Лекция 8. Моделирование дифференциальными уравнениями. В огромном числе случаев при попытке построить модель какого-либо объекта либо невозможно прямо указать фундаментальные законы или вариационные принципы, которым он подчиняется, либо с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. Одним из плодотворных подходов к такого рода объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями. Внешне различающиеся процессы и явления могут обладать глубоким внутренним сходством, выражающимся в том, что их математические модели принадлежат одному классу моделей. Это позволяет переносить свойства модели, построенной для одного из этих процессов на все процессы, описываемые этим классом моделей. 8.1. Уравнения показательного роста. Что, казалось бы, общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности народонаселения нашей планеты? Однако на простейшем уровне такая аналогия вполне просматривается – их модели принадлежат классу уравнений показательного роста y 0 (x) = ky(x), (1) где k – постоянная, y(x) – искомая функция, т.е. для каждого значения аргумента скорость изменения функции пропорциональна значению этой функции. Рассмотрим некоторые из процессов, приводящих к данной модели. 1. Процесс радиоактивного распада. Из физики известно, что масса радиоактивного вещества, распадающегося в единицу времени, пропорциональна количеству нераспавшегося вещества. Для каждого вещества коэффициент пропорциональности постоянен и называется постоянной распада. 1 Обозначим через m(t) массу нераспавшихся радиоактивных атомов вещества в момент времени t. Тогда m0 (t) – скорость распада. Так как с течением времени количество нераспавшихся атомов вещества уменьшается, то m0 (t) < 0. Получаем уравнение вида (1) m0 (t) = −km(t). (2) 2. Поглощение света. При прохождении света через среду (например, воду или стекло) некоторая его часть поглощается. Пусть на поверхность воды вертикально падает свет с интенсивностью I0 . Обозначим через I(h) интенсивность света на глубине h. Тогда I 0 (h) – скорость поглощения света на глубине h. Из оптики известно, что для таких сред, как вода или стекло, скорость поглощения света на глубине h пропорциональна интенсивности света на этой глубине. Так как интенсивность света с увеличением глубины h уменьшается, то I 0 (h) < 0. Поэтому снова получаем уравнение вида (1) I 0 (h) = −kI(h). (3) 3. Изменение численности популяции (модель Мальтуса). В основу модели положено простое утверждение – скорость изменения населения со временем t пропорциональна его текущей численности N (t) с коэффициентом пропорциональности равным разности коэффициентов рождаемости α > 0 и смертности β > 0: N 0 (t) = (α − β)N (t). (4) С помощью уравнения показательного роста (спада) (1) можно описать и многие другие явления, например, концентрацию лекарственных веществ в крови, изменение атмосферного давления, охлаждение тела. Решим уравнение (1). Разделяя переменные и почленно интегрируя, получим dy = ky, dx ln |y| = kx + C, dy = k dx, y |y| = ekx+C , 2 Z dy =k y Z y = C1 ekx , dx, C1 ∈ R. Пусть y(0) = y0 . Тогда C1 = y0 . Таким образом, решением уравнения (1) является экспоненциальная функция y(x) = y0 ekx . На рисунке 1 приведены ее графики при разных значениях коэффициента k. y6 y0 k>0 k=0 k<0 - O x Рис. 1. Так в модели Мальтуса при α = β численность населения остается постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения (4) является равновесная величина N (t) = N (0). Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства α = β приводит с течением времени ко все большему отклонению функции N (t) от равновесного значения N (0). При α < β численность населения убывает и стремится к нулю при t → ∞, а при α > β растет по некоторому экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при t → ∞. Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасений Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими от сюда последствиями. Замечание. Можно указать немало ограничений построенных моделей. Так сложнейший процесс изменения численности населения, зависящий к тому же от сознательного вмешательства самих людей, не может описываться какими-либо простыми закономерностями. Даже в идеальном случае изолированной биологической популяции предложенная модель не отвечает реальности в полной мере хотя бы из-за ограниченности ресурсов, необходимых для ее существования. Но это не умаляет роли аналогий в построении математических моделей очень сложных явлений. 3 Вывод. Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств моделей – их универсальности, т.е. их приложимости к объектам принципиально различной природы. Так предположения типа "скорость изменения величины пропорциональна значению самой величины" широко используется в далеких друг от друга областях знаний. 8.2. Процессы колебаний. Рассмотрим процессы колебаний в объектах различной природы и покажем, что им соответствуют одни и те же математические модели. m '$ B B  B B  B  B B  BB B B  B  BB B  r=0B  r BB BB &% Рис. 2. 1. Движение шарика, присоединенного к пружине с жестко закрепленным концом. Пусть r – координата шарика вдоль оси пружины, лежащей на горизонтальной плоскости, и направление движения шарика совпадает с ее осью (рис. 2). Тогда по второму закону динамики d2 r F = ma = m 2 , dt где m – масса шарика, a – его ускорение. Будем считать плоскость идеально гладкой (т.е. движение происходит без трения), пренебрежем также сопротивлением воздуха и примем во внимание то, что вес шарика уравновешивается реакцией плоскости. Единственная сила, действующая на шарик в направлении оси r, – сила упругости пружины. По закону Гука для растяжения (сжатия) пружины необходимо приложить силу F = −kr, где коэффициент k > 0 характеризует упругие свойства пружины, а r – величина ее растяжения или сжатия относительно нейтрального положения r = 0. 4 Уравнение движения шарика принимает вид (уравнение элементарного осциллятора): d2 r m 2 = −kr. (5) dt Оно описывает его гармонические колебания. Построим общее решение уравнения (5). Это линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Для нахождения его общего решения составляем характеристическое уравнение: mλ2 + k = 0, которое получается из уравнения (5) заменой в нем производных искомой функции r соответствующими степенями λ, сама функция r заменяется едиp ницей. Корни характеристического уравнения λ1,2 = ±i k/m, и общее решение уравнения (5) имеет вид r = B sin wt + C cos wt, или r = A sin(wt + ϕ), (6) p √ где w = k/m – частота колебаний, A = B 2 + C 2 – амплитуда, ϕ = arccos B A – начальная фаза. Значения B и C легко определяются из начального состояния объекта, т.е. через величины r(0) = r0 и v(0) = v0 (v(t) – скорость шарика): v0 , w При этом r(t) ≡ 0 при r0 = v0 = 0. C = r0 . B= 2. Малые колебания при взаимодействии двух биологических популяций. Пусть на одной и той же территории проживают две биологические популяции с численностями N (t) и M (t), причем первая растительноядная, а вторая употребляет в пищу представителей первой популяции. Скорость изменения N (t) складывается из скорости прироста благодаря рождаемости и из скорости убывания благодаря соседству со второй популяцией: dN = (α1 − β1 M )N, (7) dt где α1 > 0 – коэффициент рождаемости, член β1 M N (β1 > 0) описывает вынужденное убывание (естественной смертностью популяции пренебрегаем). 5 Численность второй популяции растет тем быстрее, чем больше численность первой популяции, а при ее отсутствии уменьшается со скоростью, пропорциональной численности M (t) (ее рождаемость не учитывается): dM = (−α2 + β2 N )M, dt (8) где α2 > 0 – коэффициент смертности, β2 > 0. Очевидно, что система находится в равновесии, т.е. имеет решение N (t) = N0 = const, M (t) = M0 = const, если dN dM = = 0, dt dt откуда, учитывая (7) и (8), находим (тривиальное решение M0 = N0 = 0 не рассматриваем) α2 α1 и N0 = . β1 β2 Рассмотрим малые отклонения системы от равновесных значений, т.е. предM0 = ставим решение в виде N = N0 + n, M = M0 + m, n  N0 , m  M0 . Подставляя N и M в уравнения (7) и (8), получим, отбрасывая члены более высокого порядка малости, dn = −β1 N0 m, dt dm = β2 M0 n. dt (9) Дифференцируя первое уравнение по t и подставляя в полученное уравнение функцию dm dt , определяемую из второго уравнения, приходим к урав- нению d2 n = −α1 α2 n, dt2 аналогичному по форме уравнению (5). Величина m(t) подчиняется аналогичному уравнению: d2 m = −α1 α2 m. dt2 6 Следовательно, в системе происходят малые колебания численности с часто√ той w = α1 α2 , зависящей только от коэффициентов рождаемости α1 и смертности α2 : n(t) = An sin(wt + ϕn ), m(t) = Am sin(wt + ϕm ). (10) Упростим эти формулы. Пусть начальная фаза ϕn равна 0. Тогда n(0) = 0 (отклонение n(t) равно нулю в начальный момент времени t = 0) и, используя второе уравнение (9), получим 0= dm (0) = wAm cos(wt + ϕm ) dt t=0 = wAm cos ϕm , откуда ϕm = ± π2 . Формулы (10) принимают вид  π n(t) = An sin wt, m(t) = Am sin wt ± = ∓Am cos wt. 2 (11) Таким образом, если n(0) = 0, то m(0) имеет максимальную амплитуду, и наоборот. Эта ситуация, когда численности n(t) и m(t) находятся в противофазе, повторяется при tk = kT 4 , 2π w k ∈ N, где T = – период колебаний, и отражает запаздывание реакции численности одной популяции на изменение численности другой (рис. 3). Am An 6 m(t) O t0 t1 t2 t3 - T t n(t) Рис. 3. 3. Простейшая модель изменения зарплаты и занятости. Рынок труда, на котором взаимодействуют работодатели и наемные рабочие, характеризуется зарплатой p(t) и числом занятых N (t). Пусть на нем существует равновесие, т.е. ситуация, когда за плату p0 > 0 согласны работать N0 > 0 человек. Если по каким-то причинам это равновесие нарушается (например, 7 по возрасту часть работников уходит на пенсию или у предпринимателей возникают финансовые трудности), то функции p(t) и N (t) отклоняются от значений p0 и N0 . Будем считать, что работодатели изменяют зарплату пропорционально отклонению численности занятых от равновесного значения. Тогда dp = −α1 (N − N0 ), dt α1 > 0. Предположим, что число работников увеличивается или уменьшается пропорционально росту или уменьшению зарплаты относительно значения p0 , т.е. dN = α2 (p − p0 ), α2 > 0. dt Дифференцируя первое уравнение по t и исключая из него с помощью второго уравнения величину N , приходим к стандартной модели колебаний d2 (p − p0 ) = −α1 α2 (p − p0 ) dt2 заработной платы относительно положения равновесия (аналогично и для величины N (t)). Построенные модели оказались идентичными друг другу, хотя и сущность рассматриваемых явлений, и подходы к получению этих моделей совершенно различны (известные законы, наблюдаемые факты, аналогии, правдоподобные представления о характере объекта). Это свидетельствует о важнейшем свойстве математических моделей – их универсальности, – широко используемом при изучении объектов самой разнообразной природы. 8