Уравнения колебаний

1 Лекция 3. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ 1. Вывод уравнения колебаний струны. Пусть конечные точки струны закреплены, а сама струна туго натянута. Если вывесги струну из положения равновесия (например, оттянугь ее или ударить по ней), то струна начнет колебаться. Будем предполагать, что все точки струны движутся перпендикулярно ее положению равновесия (поперечные колебания), причем в каждый момент времени струна лежит в одной и той же плоскости. Возьмем в этой плоскости систему прямоугольных координат хОи. Тогда, если в начальный момент времени струна располагалась вдоль оси Ох, то u будет означать отклонение струны от положения равновесия. В процессе колебания величина отклонения и будет зависеть от абсциссы точки струны х и от времени t. Таким образом, чтобы знать положение любой точки струны в произвольный момент времени, нам надо найти зависимость и от х и t, т. е. найти функцию u( x, t ) . При каждом фиксированном значении t график функции и(х, t) представляет форму колеблющейся струны в момент 2 времени t (рис. 1), частная производная u  u x ( x, t ) дает при этом угловой x коэффициент касательной в точке с абсциссой х. При изменении t форма струны, очевидно, изменяется, и, чтобы представить себе процесс колебаний, мы должны построить несколько графиков функции u(х, t) при различных значениях t, т. е. сделать несколько мгновенных снимков колеблющейся струны. При постоянном значении х функция и{х, t) дает закон движения точки с абсциссой х вдоль прямой, параллельной оси Ои, производная u  ut ( x, t ) — скорость этого движения, а вторая производная t  2u - ускорение. t 2 Наша задача состоит в том, чтобы составить уравнение, которому должна удовлетворять функция u( x, t ) . Для этого сделаем предварительно неосколько упрощающих предположений: 1. Будем считать струну абсолютно гибкой, т. е. не сопротивляющейся изгибу; это означает, что если удалить часть струны, лежащую по одну сторону or какой-либо ее точки, то сила натяжения T , заменяющая действие удаленной части, всегда будет направлена по касательной к струне (рис. 1). 2. Струна предполагается упругой и подчиняющейся закону Гука; изменение величины силы натяжения при этом пропорционально изменению длины струны. 3. Струна однородная, линейную плотность ее обозначим буквой ρ (ρ—масса единицы длины струны). 4. На струну в плоскости колебания действуют силы, параллельные оси Ои, которые могут меняться вдоль струны и со временем. Силы эти будем считать непрерывно распределенными вдоль струны; величину силы, направленной вверх, условимся считать 3 положительной, а вниз — отрицательной. распределения этих сил вдоль струны Плотность является функцией абсциссы х и времени t; обозначим ее через g(x, t). Если, в частности, единственной внешней силой является вес струны, то g(x, t)= - ρg, где ρ—плотность струны, a g — ускорение силы тяжести. 5. Силами сопротивления среды, в которой колеблется струна, мы пока пренебрегаем. Мы будем изучать только малые колебания струны. Если обозначить через  ( x, t ) острый угол между осью абсцисс и касательной к струне в точке с абсциссой х в момент времени t, то условие малости колебаний заключается в том, что величиной  2 ( x, t ) можно пренебрегать:  2 ( x, t )  0 (3.1) 4 Поскольку разложение функции sin x sin     3 3! в ряд Маклорена имеет вид  ...,то в силу условия (3.1) можно считать, что sin       Далее 1  cos  2 sin и, следовательно,  2   2 2 2 2  (3.2) 2 2 cos  1 (3.3) И наконец, tg  sin   tg (1  cos )  0 и tg  sin  Так как (3.4) u  tg , то в силу малости пренебрегаем квадратом производной и x заключаем, что ( u 2 ) 0 x (3.5) Отсюда сразу следует, что в процессе колебания мы можем пренебречь изменением длины любого участка струны. Действительно, длина участка M 1 M 2 в момент времени t (рис. 2) равна  M 1M 2  M2  M1  u  1    dx .  x  2 ( 3.6) Согласно (3.5) заключаем, что  M 1 M 2  x2  x1 (3.7) Покажем теперь, что при наших предположениях величину силы натяжения T можно считать постоянной, не зависящей ни от точки ее приложения, ни от времени t. Возьмем для этого какой-либо участок струны M 1 M 2 (рис. 3) в момент времени t и заменим действие отброшенных участков силами натяжений T1 и T2 Так как по условию все точки струны движутся параллельно оси Ои и внешние силы также параллельны этой оси, то сумма 5 проекций сил натяжения на ось Ох должна равняться 0  T1 cos 1  T2 cos  2  0 (3.8) Отсюда в силу (3.3) заключаем, что T1  T2 . Так как точки M 1 и M 2 выбраны произвольно, то это и доказывает, что в данный момент времени силы Рис. 3. Рис. 4. натяжения во всех точках равны между собой. Поскольку мы пренебрегаем изменением длины любого участка струны, то в силу закона Гука неизменным остается и натяжение струны. Итак, мы показали, что в пределах выбранной точности Т есть величина постоянная: T  T0 (3.9) Перейдем теперь к выводу уравнения колебаний струны. Выделим бесконечно малый участок струны M 1 M 2 , проектирующийся в интервал x, x  dx оси абсцисс (рис. 4). На него действуют силы натяжения T1 и T2 заменяющие влияние отброшенных частей струны. Как уже отмечалось выше, силы T1 и T2 направлены по касательным к струне в точках M 1 и M 2 и величина этиx сил постоянно равна T0 . Согласно равенству (4.8) сумма проекций сил T1 и T2 на ось Ох равна нулю. Вычислим сумму проекций этих же сил на ось Ou :  T0 sin 1  T0 sin  2  T0 (sin  2  sin 1 ) В силу (3.4) можно записать, что sin  2  tg 2  u x ( x  dx, t ) , sin 1  tg1  u x ( x, t ) Следовательно, 6 T0 (sin  2  sin  1 )  T0 (u x ( x  dx, t )  u x ( x, t ))  T0  2u dx x 2 (3.10) Здесь мы заменили частное приращение производной u при переходе x от аргументов (х, t) к аргументам (x+dx, t) ее частным дифференциалом, т. е.  2u dx . x 2 П р и м е ч а н и е . Если бы участок струны M 1 M 2 располагался, как на рис. 2, то сумма проекций сил T1 и T2 равнялась бы T0 ( sin  2  stn 2 ) ; но теперь sin  2  u x ( x  dx, t ) , и в результате мы снова получили бы формулу (3.10). Равнодействующую внешних сил, приложенных к участку M 1M 2 в момент времени t, обозначим через F.Согласно определению функции g(x,t) и приближенномуравенству (3.7) можно считать, что  F  g ( x, t ) M 1 M 2  g ( x, t )dx (3.10а) Направление равнодействующей F определится знаком функции g(x, t) (направление F на рис. 4 соответствует случаю g ( x, t )  0 ). После того как найдены все силы, действующие на участок M 1 M 2 применим к нему второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равно сумме всех действующих сил (в силу малости участка M 1 M 2 мы рассматриваем его просто как материальную точку).  Так как масса участка струны равна  M 1 M 2  dx , то, используя формулы (3.10) и (3.11), получим dx  2u  2u  T dx  g ( x, t )dx . t 2 x 2 (3.11) Сократив на dx и разделив все члены равенства на р, приведем полученное уравнение к виду 2  2u 1 2  u  a  g ( x, t ) 2 2  t x (3.12) 7 ( a2  T0  - положительная постоянная величина). В результате, мы получили линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами. Уравнение (3.12) называется уравнением колебаний струны или одномерным волновым уравнением. Это одно из простейших и в то же время важнейших дифференциальных уравнений математической физики. Как мы позже увидим, к нему сводится не только рассматриваемая задача, но и многие другие. Если g ( x, t )  0 , то уравнение (3.12) называется однородным; оно описывает с в о б о д н ы е колебания струны без воздействия внешних усилий. Если g(x, t) не тождественно равно нулю, то уравнение называется неоднородным, в этом случае рассматриваются вынужденные колебания струны. Когда на струну действуют т о л ь к о силы тяжести, а натяжение струны T0 велико, мы вправе пренебречь вторым слагаемым в правой части уравнения струны по сравнению с первым и рассматривать, таким образом, колебания струны как свободные. Вы, конечно, обратили внимание на то, что вывод уравнения колебаний струны (3.12) сопровождался целым рядом допущений как механического, так и геометрического порядков. Гакое же положение, разумеется, имеет место и при выводе дифференциальных уравнений (как в частных производных, так и обыкновенных) других задач математической физики. Вопрос о том, насколько точно уравнение описывает физический процесс, может быть решен только сравнением результатов, полученных при решении уравнения и экспериментальным путем. В настоящей курсе этим вопросом мы занимался не будем, чтобы сосредоточить основное внимание на методах решения уравнений. 8 Хорошо известна роль моделей при проектировании техники. Разумеется данные, полученные при исследований моделей нельзя просто переносить на реальные объекты. Ведь в лаборатории нельзя создать псе условия, которые могут встретиться в действительности. Однако наиболее существенные черты процесса все-таки часто удается уловить, и дальнейшая задача проектировщика в том и состоит, чтобы увязать наблюденные на модели факты с теми, которые встретятся в натуре. Подобную же роль в физике играет и изучение дифференциальных уравнений математической физики. Учитывая основные закономерности физического процесса, мы создаем его мат е м а т и ч е с к у ю м о д е л ь . Изучение этой модели и позволяет делать определенные суждения о характере процесса. Образно говоря, мы знакомимся только с основными методами изучения математических моделей, оставаясь, так сказать, в «лабораторных условиях математики». В связи со сказанным уместно сделать следующее замечание. Хорошо известна роль м о д е л е й при изучении различных вопросов техники Например, гидротехники при проектировании плотины часто строят в значительно уменьшенном размере ее модель, чтобы, производя опыты над ней в лабораторных условиях, сделать некоторые заключения о характере усилий, действующих на реальную плотину Такую же роль играют модели проектируемых мостов, крыльев и фюзеляжа самолетов и др. Разумеется, данные, полученные при исследовании моделей, нельзя просто переносить на реальные. 2. Постановка начальных и краевых условий. Как уже отмечалось в предыдущих лекциях, дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка имеют бесчисленное множество решений, зависящих от двух произвольных функций. Чтобы 9 определить эти произвольные функции, или, иначе говоря, выделить необходимое нам ч а с т н о е решение, нужно на искомую функцию u( x, t ) наложить дополнительные условия. С аналогичным явлением вы встречались уже при решении обыкновенных дифференциальных уравнений, когда выделение частного решения из общего заключалось в процессе отыскания произвольных постоянных по заданным начальным условиям. При рассмотрении задачи о колебаниях струны дополнительные условия могут быть двух видов: начальные и краевые (или граничные). Начальные условия показывают, в каком состоянии находилась струна в момент начала колебания. Удобнее всего считать, что струна начала колебаться в момент времени t  0 . Начальное положение точек струны задается условием, u t  0  f ( x) (3 .13) а начальная скорость u t  F ( x) , (3.14) t 0 где f (х) и F(x)— заданные функции. Запись u t 0  f ( x) означает, что функция u(x,t) взята при произвольном значении x ; и при t = 0, т. е. u t 0  u( x,0) . Аналогично u t  u x ( x,0) . Такая t 0 форма записи постоянно применяется в дальнейшем. Условия (3.13) и (3.14) аналогичны начальным условиям в простейшей задаче динамики материальной точки. Там для определения закона движения точки, помимо дифференциального уравнения, нужно знать начальное положение точки и ее начальную скорость. Иной характер имеют краевые условия. Они показывают, что происходит на концах струны во все время колебаний. В простейшем случае, когда концы струны закреплены (начало струны — в начале координат, а конец — 10 в точке (/, 0)), функция u( x, t ) будет подчиняться условиям u x0  0 , u xl  0 (3.15) С такими же точно условиями вы встречались в курсе сопротивления материалов при изучении изгиба балки, лежащей на двух опорах, под действием статической нагрузки. Физический смысл того факта, что задание начальных и краевых условий полностью определяет процесс, проще всего проследить для случая свободных колебаний струны. Пусть, например, струну, закрепленную на концах, как-то оттянули. То есть задали функцию f (x) — уравнение начальной формы струны, и отпустили без начальной скорости (это значит, что F(x) = 0). Ясно, что этим самым дальнейший характер колебаний будет полностью определен и мы найдем единственную функцию и(х, t), решая однородное уравнение при соответствующих условиях. Можно заставить струну колебаться и иначе, а именно придав точкам струны некоторую начальную скорость. Физически ясно, что и в этом случае дальнейший процесс колебаний будет вполне определен. Придание точкам струны начальной скорости может быть осуществлено при помощи удара по струне (как это имеет место при игре на рояле); первый способ возбуждения струны применяется при игре на щипковых инструментах (например, гитаре). Сформулируем теперь окончательно математическую задачу, к которой приводит изучение свободных колебаний струны, закрепленной на обоих концах. Требуется решить однородное линейное дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка с постоянными коэффициентами 2  2u 2  u  a t 2 x 2 (3.16) 11 при начальных условиях u t  0  f ( x) , u t  F ( x) (3.17) t 0 и краевых условиях u x0  0 , u xl  0 . (3.18) Функции f (x) и F(x) определены на интервале [0, l] и, как эго следует из первого условия (3.17) и условий (3.18), f (0)  f (l )  0 . Можно доказать, не опираясь на физические представления, что при некоторых ограничениях, наложенных на функции f (x) и F(x), эта задача имеет единственное решение.