Уравнения движения. Методы подобия и размерности.

ЛЕКЦИЯ ПО ГИДРОГАЗОДИНАМИКЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ. МЕТОДЫ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТИ. 1.Уравнение движения невязкой жидкости. Уравнение Эйлера . В основе уравнения лежит второй закон Ньютона, записанный для массы dm=ρdx dy dz: Если разделить обе части уравнения на объём dx dy dz, то справа окажется объёмная плотность сил, действующих в жидкости. Одна из них – это сила, обусловленная давлением, направленная в сторону уменьшения давления: Получаем уравнение в виде: Это векторное уравнение можно записать для трёх проекций вектора ускорения, например, для ускорения по оси Ox: Слева стоит полная производная от скорости по времени, она связана с жидкой частицей, которая перемещается со скоростью v =v(x,y,z,t). Такую производную называют субстанциональной производной. Координаты также зависят от времени, поэтому дифференцировать скорость надо как сложную функцию. Производные от координат по времени являются компонентами скорости, поэтому последнее выражение принимает вид: или с помощью оператора , получаем: Выражение в скобках – это скалярное произведение вектора скорости на векторный операторПервое слагаемое в правой части (3)называется локальным ускорением , второе – конвективным ускорением, обусловленным перемещением частицы в потоке жидкости. Если теперь подставить (3) в (1) и разделить обе части на плотность ρ, то получим уравнение Эйлера: Это уравнение описывает движение идеальной (невязкой) жидкости. Другие объёмные силы, помимо сил давления, также не учитываются. 2. Уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости. Уравнение Навье- Стокса. Надо в правую часть (4) добавить объёмную плотность силы вязкого трения. Для нахождения этой силы рассмотрим чисто сдвиговое течение жидкости или газа между бесконечными параллельными пластинами, которые лежат в плоскостях z=0 и z = d (d ˃0). Нижняя пластина неподвижна, верхняя движется со скоростью V в направлении оси x, т.е. v=vx(y,t) i . Здесь i единичный вектор оси x. Вязкая жидкость прилипает к твёрдой поверхности пластин , поэтому скорость жидкости на границах равна скорости пластин.( Переменную t в дальнейшем не указываем.) При установившемся течении, если V=const, скорость растет линейно от координаты z, и ускорение любой частицы жидкости равно нулю: на выделенный слой со стороны более быстрых слоёв действует попутная, увлекающая сила, со стороны более медленных – тормозящая сила, направленная против движения. Поэтому сила трения, действующая на жидкую частицу в стационарном режиме , равна нулю. При этом на верхнюю пластину, конечно, действует сила трения, равная внешней силе, приводящей её в движение. Предположим, что скорость верхней пластины растёт со временем. Возьмём в жидкости точку(x,y.z) и выделим жидкую частицу в виде параллелограмма dx dy dz. На верхнюю грань действует сила трения в соответствии с законом Ньютона для вязкости: Сила трения, действующая на нижнюю грань, направлена в противоположную сторону и равна Сумма этих сил равна На единицу объёма действует вязкая сила В случае произвольного течения (4) усложняется. Вектор вязкой силы в общем случае имеет вид: Δ – оператор Лапласа, или лапласиан. В курсе общей физики вы встречали его при изучении уравнения Шрёдингера. Это линейный дифференциальный оператор второго порядка. В применении к векторной функции лапласиан даёт также вектор. Подставляем силу (5) в правую часть уравнения (1), и получаем уравнение Навье – Стокса: Вместо коэффициента динамической вязкости в уравнении Навье- Стокса используется коэффициент кинематической вязкости ν = η/ρ. Измеряется в м2/с , как и коэффициент диффузии. 3. Безразмерные критерии в гидродинамике. Характер движения жидкости зависит от того, какой вклад дают разные члены уравнения (6). Чтобы оценить его, надо записать уравнение в безразмерной форме. Например, безразмерная координата x' связана с x: x' = L x . Здесь L - характерный масштаб задачи, на котором скорость изменяется на величину, порядка самой скорости V. Безразмерная скорость v' равна v' = v /V. Характерное время тогда находится как τ =L/V, поэтому безразмерное время t'= t/τ =t L/v. Безразмерные операторы набла ' и лапласиан Δ' равны ' = L, Δ'= L2Δ. Размерность давления совпадает с размерностью ρV2 , значит, безразмерное давление может быть выражено как p' =p/(ρV2) Заменим в (6) все переменные на безразмерные и для простоты течение будем считать установившимся (скорость не зависит от времени). В итоге получаем уравнение в безразмерных переменных в виде: Числом Рейнольдса называется комбинация параметров Re = VL/ν = ρVL/η (7) Уравнение движения в безразмерных переменных, таким образом, принимает вид Возможная интерпретация уравнения (8) следующая: градиент давления заставляет жидкость двигаться, и работа сил давления тратится на кинетическую энергию и работу против силы трения. Каким будет движение жидкости – ламинарным или турбулентным,- определяет число Рейнольдса Re. При малых числах Re последний член в (8) является определяющим, и движение будет ламинарным. В частности, при обтекании жидкостью неподвижного шара радиуса R, критическое число Re порядка 1. При течении жидкости в трубе ламинарное движение сохраняется до числа Рейнольдса, определяемого через диаметр, Re = ρV d/η, (9) вплоть до значения 2300. При специальной обработке поверхностей и сглаживании краёв, ламинарное течение может сохраниться до Re больше 10000, но такое течение уже является неустойчивым. 4.Понятие о теории подобия. На примере уравнения (8) в безразмерных переменных мы видим, что разные задачи о течении жидкости сводятся к одному и тому же уравнению. Чтобы и решения разных задач были сходными, должны быть подобными начальные ( для нестационарной задачи) и граничные условия. Для этого геометрические размеры потоков должны быть подобны. На этом основано испытание моделей реальных машин в потоке газа или жидкости. Если для движения жидкости существенна сила тяжести, то в уравнение (2) справа добавляется сила ρg. В безразмерном уравнении (8) появляется слагаемое gL/V2. Безразмерный критерий V2/gL называется числом Фруда (Fr). При учёте каких-либо дополнительных факторов возникают и дополнительные безразмерные параметры. При нестационарном течении появляется критерий Струхала , Sh = L/Vt, где t – характерное время , определяющее локальное ускорение V/t. При малых Sh течение можно считать установившимся. Если потоки жидкости связаны с переносом тепла, то возникает ещё несколько критериев ( числа Прандтля, Нуссельта, Грасгофа и др.), необходимых для решения задачи о конвекции. 5.Что такое метод размерностей? Этот метод позволяет получить ответ задачи, не создавая математическую модель, не решая уравнения. Надо только проанализировать, опираясь на опыт, какие физические величины влияют на процесс и каковы их размерности. Пример 1. Рассмотрим колебания капли жидкости, пусть это будет маленькая капелька ртути. Её форма - идеальный шар радиуса R. Причина - поверхностное натяжение. Если к капельке приложить силу, пытаясь ее деформировать, то возникнут колебания, частота которых должна зависеть от коэффициента поверхностного натяжения σ (Н/м). Н/м = (кг м/с2)/м = кг/с2. Частота колебаний измеряется в с-1, значит, надо разделить на массу: m = ρ4/3πR3 Частота колебаний капли Численный коэффициент А не может быть найден по теории размерностей. Пример 2. Задача о сильном взрыве. Предположим, что в однородной среде с плотностью ρ взрывается (или мгновенно испаряется) сферическое тело малого размера. Энергия взрыва Е. Надо найти закон распространения ударной волны, зависимость радиуса волны R от времени. Ударная волна выметает вещество, и после её прохождения плотность падает. Энергия взрыва переходит в кинетическую энергию расширяющейся оболочки – фронта ударной волны. Физические величины, которые связаны с процессом разлёта – Е,R, ρ. Избавиться от единицы массы можно, если разделить Е на ρ, [Е/ρ] =(м2/с2) м3 =м5/с2. В метрах измеряется радиус ударной волны , в секундах время, поэтому закон разлёта сферической оболочки есть : R (t) = A (Е/ρ)1/5 t2/5 (11) Радиус оболочки растёт пропорционально времени в степени 2/5. По такому закону распространяется ударная волна от ядерного взрыва в атмосфере в течение первой миллисекунды, пока давление во много раз превышает атмосферное. По такому же закону разлетается в космическом пространстве оболочка сверхновой звезды. И другой масштаб процесса: пузырьки влажного воздуха схлопываются в жидкости, время надо отсчитывать в обратном направлении от момента , когда R=0. Пример 3. Логарифмический профиль скорости при турбулентном течении. При ламинарном течении профиль скорости в трубе круглого течения параболический ( течение Пуазейля). При стационарном течении между плоскостями профиль скоростей линейный. Жидкость прилипает к стенкам трубы, поэтому скорость у стенки обращается в ноль. При турбулентном течении возле стенки скорость также равна нулю, из-за существования «вязкого подслоя». За пределами его вязкость роли не играет, поэтому и на скорость течения не влияет. Пусть жидкость течёт в положительном направлении оси x, в любой точке усреднённая по времени скорость равна u =. Надо определить, как изменяется скорость u =u(y) при удалении от стенок. Жидкость действует на стенку слой трения, направленной по течению. Эта сила на единицу площади σ ( касательное напряжение, Па) равна плотности потока импульса, который передаётся из глубины жидкости к поверхности стенки, и зависит от градиента средней скорости du/dy. В этой задаче два размерных параметра: σ и ρ. Их комбинация, позволяющая исключить кг есть σ/ρ, по размерности совпадает с квадратом скорости, σ/ρ. Из величин , du/dy и координаты у и соображения размерности составляем уравнение ( A – число) , из которого получаем дифференциальное уравнение для u =u(y) : Решение этого уравнения даёт логарифмический профиль скорости при турбулентном течении: (12) Постоянные А и С находятся из условия сшивки с решением в вязком подслое, когда у стремится к нулю.