Трёхфазные цепи, общие положения

1.1. ТРЁХФАЗНЫЕ ЦЕПИ, ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ. Трёхфазная симметричная система ЭДС – совокупность трёх синусоидальных ЭДС имеющих одинаковую амплитуду и частоту, и сдвинутых по фазе друг относительно друга на угол равный 120º. Закон изменения ЭДС в трёхфазной симметричной системе имеет вид: , (3.12.1) а) б) Рис. 3.12.1. Законы изменения ЭДС в симметричной трёхфазной системе и векторная диаграмма. Графики изменения ЭДС с течением времени и векторная диаграмма представлены на рис. 3.12.1. Трёхфазная цепь – совокупность трёхфазной системы ЭДС трёхфазной нагрузки и соединительных проводов. Рассмоторим пример трёхфазной цепи, изображённой на рис. 3.12.2, ЭДС и нагрузка в которой соеденены по схеме «звезда». В данной цепи провода, соединяющие выводы нагрузки и ЭДС называются линейными проводами. Токи, протекающие в линейных проводах называются линейными токами (, и ). Токи, протекающие в фазах нагрузки называются фазными токами (, и ). Если имеет место схема соединения «звезда», в этом случае токи линейные равны токам фазным. Провод соединяющий две нулевые точки в схеме (О и О/) называется нулевым проводом. Нулевой провод в схеме может отсутствовать. В случае если нулевой провод присутствует в схеме, тогда рассматриваемое соединение называется «звезда с нулевым проводом», в противном случае – «звезда без нулевого провода». Рис. 3.12.2. Трёхфазная схема «звезда-звезда». Напряжение между линейными проводами называется линейным напряжением. На рисунке 3.12.2 показано линейное напряжение – напряжение между линейными проводами фаз A и B. По аналогии могут быть показаны напряжения и . Кроме линейных напряжений в схеме выделяют фазные напряжения – напряжение между фазным проводом и нулевой точкой, например фазное напряжение . Линейные и фазные значения линейных напряжений в схеме соединения «звезда» не равны друг другу. На рис. 3.12.3. показана схема «звезда-треугольник». Особенностью данной схемы является то, что линейные токи и токи, протекающие в фазах нагрузки не равны друг другу, в то время как равны друг другу линейные и фазные напряжения на нагрузке. Кроме рассмотренных трёхфазных схем применяются также схемы «треугольник-звезда», и «треугольник -треугольник». Рис. 3.12.3. Трёхфазная схема «звезда-треугольник». Трёхфазная система ЭДС широко применяется для генерирования и передачи электрической энергии на большие расстояния. На сегодняшний день подавляющая часть вырабатваемой электрической энергии вырабатывается трёхфазными генераторами. Применяемые электрические сети различного класса напряжения также являются трёхфазными. Потребление электрической энергии производится с помощью трёхфазной нагрузкой. Применение трёхфазной системы для производства, передачи и потребления электрической энергии связано с тем, что с различных точек зрения данный подход является более экономически эффективным по сравнению с другими подходами. Он предполагает, например, применение электрических генераторов более компактой и надёжной конструкции, требуется меньшее количество материала для сооружения линий передачи электрической энергии, требуетя меньшее количество материала для сооружения преобразовательных подстанций и т.п. Кроме этого, как будет показано ниже, трёхфазная система ЭДС необходима для создания вращающегося магнитного поля, на применении которого основан принцип действия асинхронного двигателя, основного потребителя электрической энергии. 1.2. Соотношения между фазными и линейными значениями в симметричных трёхфазных цепях. В данном параграфе рассматриваются соотношения между фазными и линейными значениями напряжений и токов в симметричных трёхфазных цепях. Трёхфазная цепь называется симметричной в случае если параметры её фаз (активные, индуктивные и ёмкостные сопротивления) равны друг другу. Кроме этого значения источников электрической энергии в ней изменяются с течением времени по синусоидальному закону, имеют одинаковую амплитуду и частоту, при этом сдвиг начальных фаз в них друг относительно друга составляет 120º. Рассмотрим соотношения между фазными и линейными значениями напряжений и токов в схеме соединения «звезда» (рис. 3.13.1 а). Векторная диаграмма напряжений для данной схемы представлена на рис. 3.13.1. б). Вектора фазных напряжений , и принято на векторных диаграммах изображать исходящими из одной точки и сдвинутыми друг относительно друга на угол равный 120º. Вектора линейных напряжений , и изображают в виде сторон равностороннего треугольника. Линейным напряжением в трёхфазных схемах является напряжение между соответствующими линиями, поэтому они могут быть определены как: (3.13.1) а) б) Рис. 3.13.1. Соотношения между фазными и линейными значениями напряжений и токов в схеме соединения «звезда»: а) соединение нагрузки по схеме «звезда»; б) векторная диаграмма напряжений; в) векторная диаграмма токов. в) Если схема рассматриваемая схема соединения «звезда» рассматриваеся как симметричная, тогда значения модулей векторов , и будут равны друг другу, также как будут равны друг другу модули векторов фазных напряжений , и . Вводим обозначения: , , и определим связь между значениями и . Для этих целей рассмотрим прямоугольные треугольники ОАА/ и ОBА/ на рис. 3.13.1.б), из которых выражаем: . (3.13.2) Используя известные тригонометрические соотношения и учитывая что ОА=OB=U: , (3.13.3) . (3.13.4) Последнее уравнение устанавливает связь между значениями линейных и фазных напряжений в симметричной трёхфазной цепи, подключённой к симметричному трёхфазному источнику питания. Из последнего уравнения следует, что в таких цепях линейное значение напряжения больше фазного в раз. Соотношения между фазными и линейными токами в симметричной схеме «звезда» более простое. Как следует из анализа схемы, токи фазные в данной схеме равны токам линейным. Если ввести обозначения: , , тогда: . (3.13.5) В случае, если рассматриваемая схема «звезда» симметричная и фазные токи по модулю равны друг другу, при этом их вектора на комплексной плоскости имеют друг относительно друга сдвиг на 120º в этом случае, как следует из векторной диаграммы (рис. 3.13.1. в) выполняется условие: , (3.13.5а) т. е. ток в нулевом проводе отсутствует. Рассмотрим симметричную трёхфазную цепь, имеющую соединение «треугольник» (рис. 3.13.2). Для данной схемы будут справедливы следующие соотношения, записанные согласно первого закона Кирхгофа: , (3.13.6) т. е. линейние токи , и определяются через разность фазных токов , и . Учитывая, что рассматриваемая схема является симметричной, при этом: , и проводя рассуждения, аналогичные рассуждениям для векторных диаграмм тоов и напряжений характерных для схемы соединения «звезда», можно получить следующие соотношения устанавливающие связь между фазными и линейными значениями токов и напряжений характерных для схемы соединения «треугольник»: , (3.13.7) . (3.13.8) а) б) Рис. 3.13.2. Соотношения между фазными и линейными значениями напряжений и токов в схеме соединения «треугольник»: а) соединение нагрузки по схеме «треугольник»; б) векторная диаграмма напряжений; в) векторная диаграмма токов. в) 1.3. Мощность в симметричных трёхфазных цепях Рассмотрим симметричную трухфазную электрическую цепь, соединённую по схеме «звезда» (рис. 3.13.1. а). Поскольку в общем случае в каждую из фаз включаются как активные, так и реактивные элементы полная мощность электической цепи будет определяться соотношением (3.8.11): , при этом: , (3.14.1) . (3.14.2) В последних двух выражениях: U и I – соответственно фазные значения напряжения и тока; – угол сдвига фаз между векторами тока и напряжения в соответствующих фазах. Активную и реактивную мощности в трёхфазной цепи определим через линейные значения тока и напряжения. Тогда с учётом соотношений (3.13.4) – (3.13.5) характерных для симметричной трёхфазной схемы соединённой по схеме «звезда», выражения (3.14.1) – (3.14.2) могут быть записаны в виде: , (3.14.3) . (3.14.4) В последних выражениях – угол сдвига фаз между векторами линейных напряжений и токов в рассматриваемой трёхфазной схеме. Рассмотрим симметричную трухфазную электрическую цепь, соединённую по схеме «треугольник» (рис. 3.13.1. б), каждая фаза которых также содержит как активные, так и реактивные элементы. Полная мощность такой схемы в комплексной форме может быть записана в виде (3.8.11), активная и реактивная составляющие данной мощности – в виде (3.14.1) – (3.14.2). Учитывая соотношения для симметричной трёхфазной схемы, имеющей соединение «треугольник» (3.13.7) – (3.13.8), выполняя несложные математические преобразования, выражения (3.14.1) – (3.14.2) также могут быть преобразованы к виду (3.14.3) – (3.14.4). Таким образом, вне зависимости от соединения («звезда» или «треугольник») симметричной трёхфазной схемы, активная и реактивная составляющие полной мощности будут определяться зависимостями (3.14.3) – (3.14.4). Модуль полной мощности, в свою очередь, определится как: . (3.14.5) 1.4. Расчёт несимметричных трехфазных цепей синусоидального тока. Рассмотрим трёхфазную схему, соединённую по схеме «звезда с нулём» (рис. 3.14.1). Предполагаем, что известны параметры фаз и параметры источников электрической энергии, к которой схема подключена. Источники электрической энергии образуют симметричную трёхфазную систему, в то время как значения параметров пассивных элементов соседних фаз не равны друг другу. Необходимо определить токи, протекающие в фазах рассматриваемой схемы и ток в нулевом проводе. Значения токов в схеме будем определять с помощью метода двух узлов (см. п. 2.6). Определим значение : , (3.14.1) после чего, используя закон Ома, определяем токи в фазах схемы и ток в нулевом проводе: , (3.14.2) , (3.14.3) , (3.14.4) . (3.14.5) В формулах (3.14.1) – (3.14.5): , (3.14.6) , (3.14.7) , (3.14.8) , (3.14.9) , (3.14.10) , (3.14.11) , (3.14.12) , (3.14.13) Значения токов, определяемые согласно (3.14.2) – (3.14.5) необходимо проверить, используя баланс мощностей (3.9.1) – (3.9.2): (3.14.14) (3.14.15) Расхождение в числовых значениях правой и левой частей уравнений (3.14.14) – (3.14.15) допускается не более 3%, что может быть объяснено ошибками округления, допускаемыми при расчётах. В случае, если в рассматривыемой трёхфазной схеме (рис. 3.14.1) отсутствует нулевой провод, тогда значение напряжения определится как: , (3.14.16) и будут соответствующие изменения при составлении баланса мощностей (3.14.14) – (3.14.15). Значения токов в фазах схемы вычисляются также по закону Ома (3.14.2) – (3.14.4). В случае, если значения параметров пассивных элементов в соседних фазах равны друг другу, в этом случае: , (3.14.17) . (3.14.18) Тогда: . (3.14.19) Как следует из векторной диаграммы (рис. 3.12.1. б) , следовательно . Согласно соотношениям (3.14.2) – (3.14.5) ток в нулевом проводе будет отсутствовать, а токи протекающие в соседних фазах будут равны по модулю и сдвинуты друг относительно друга на угол, равный 120º. Баланс мощностей для симметричной трёхфазной системы (3.14.14) – (3.14.15), исходя из условия что и , а также , , будет выглядеть следующим образом: , (3.14.20) . (3.14.21) Учитывая, что в схеме соединения «звезда» и : , (3.14.22) . (3.14.23) В данном параграфе был рассмотрен расчёт трехфазной несимметричной схемы «звезда с нулём» с помощью метода двух узлов. В случае, если трёхфазная схема будет иметь схему соединения «треугольник» или более сложную конфигурацию, для анализа процессов в данной схеме могут быть применены любые из методов расчёта, рассмотренные ранее (метод законов Кирхгофа, метод контурных токов, метод узловых потенциалов …). 1.5. Разложение несимметричных трёхфазных систем на симметричные составляющие. Ряд практических случаев позволяет рассматривать используемые трёхфазные системы как симметричные, имеющие векторную диаграмму, представленную на рис. 3.16.1 а). Однако на практике также приходися иметь дело с несимметричными трёхфазными системами, которые характеризуются векторной диаграммой представленной на рис. 3.16.1 б). Причина образования несимметрии в трёхфазных системах: обрывы фаз, короткие замыкания между фазами или нулевым проводом, неравенство полных сопротивений в соседних фазах и т.п. Для анализа несимметричных трёхфазных систем широко используется метод симметричных составляющих. Согласно данному методу любую несимметричную систему (токов, напряжений, ЭДС, магнитных потоков …) можно представить в виде составляющих трёх систем нулевой, прямой и обратной последовательностей (рис. 3.16.2). а) б) в) Рис.3.16.2. Симметричные трёхфазные системы: а) прямой последовательности; б) обратной последовательности; в) нулевой последовательности. Прежде чем рассматривать метод симметричных составляющих, введём следующие обозначения: , (3.16.1) , (3.16.2) Учитывая два последних соотношения, выразим вектора и симметричной системы прямой последовательности (рис. 3.16.2 а) через вектор : (3.16.3) Также выразим вектора и симметричной системы обратной последовательности (рис. 3.16.2 б) через вектор : (3.16.4) Вектора и симметричной системы нулевой последовательности (рис. 3.16.2 в) через вектор будут определяться как: . (3.16.5) Рассмотрим произвольную несимметричную систему векторов , и (рис. 3.16.1. б) и выполним её разложение на симметричные составляющие: (3.16.6) Перепишем данную систему с учётом соотношений (3.16.3) – (3.16.5): (3.16.7) Из последней системы выразим вектор симметричной составляющей . Для этого выполняем сложение правых и левых частей системы уравнений (3.16.7): , (3.16.8) или: . (3.16.9) Учитывая что: (3.16.10) из выражения (3.16.9) находим вектор: (3.16.11) Также с помощью системы уравнений (3.16.7) определим вектор симметричной составляющей , предварительно умножив правую и левую часть второго уравнения системы на a, а правую и левую часть третьего уравнения на a2: (3.16.12) Выполняем сложение правых и левых частей системы уравнений (3.16.12): , (3.16.13) или: . (3.16.14) В последнем выражении: , (3.16.15) . (3.16.16) Учитывая выражения (3.16.15) – (3.16.16), а также (3.16.10), уравнение (3.16.14) перепишем в виде: , (3.16.17) или: . (3.16.18) Выполняем аналогичные рассуждения для выражения из системы уравнений (3.16.7) вектора симметричной составляющей . В данном случае необходимо умножить правые и левые части второго уравнения системы на a2, а правую и левую часть третьего уравнения на a: (3.16.19) Складываем правые и левые части уравнений, входящих в последнюю систему и учитывая соотношения (3.16.10), (3.16.15) – (3.16.16) получаем следующее: . (3.16.20) Таким образом, если имеется некоторая несимметричная трёхфазная система, описываемая векторами , и (рис. 3.16.1 б), она может быть представлена в виде симметричных составляющих прямой, нулевой и обратной последовательности, значения которых могут быть определены согласно (3.16.11), (3.16.18) и (3.16.20): (3.16.21) 1.6. Создание вращающегося магнитного поля. Как было сказано ранее, на сегодняшний день трёхфазные системы напряжений широко применяются для вырабатывания и передачи электрической энергии. Потребление электрической энергии, в общем случае, также производится трёхфазными потребителями. Одним из основных потребителей электрической энергии является трёхфазный асинхронный двигатель, принцип действия которого основан на эффекте вращающегося магнитного поля. Как следует из истории развития электротехники, создание двух- и трёхфазных систем было необходимо в первую очередь именно для питания двух- и трёхфазных асинхронных двигателей. Но прежде чем рассматривать системы, создающие вращающееся магнитное поле рассмотрим магнитное поле, создаваемое катушкой, по которой протекает переменный синусоидальный ток (рис. 3.17.1): Рис. 3.17.1. Катушка индуктивности с переменным током. Рис. 3.17.2. Разложение вектора пульсирующего магнитного поля катушки. . (3.17.1) Рассматриваемая катушка с переменным током создает переменное магнитное поле B(t) направление линий вектора магнитной индукции которого связаны с протекающим по обмотке током i(t) с помощью правила буравчика. Закон изменения магнитного поля катушки будет так же синусоидальным: . (3.17.2) Поскольку направление тока в катушке изменяется, направление линий вектора магнитной индукции B(t) будет так же меняться, при этом катушка индуктивности будет создавать в пространстве пульсирующее магнитное поле. Преобразуем функцию синуса в (3.17.2) следующим образом – , тогда закон изменения магнитного поля катушки может быть записан в виде: . (3.17.3) а) Рис. 3.17.3. Двухфазная система создания вращающегося магнитного поля: а) расположение обмоток двухфазной системы в пространстве; б) законы изменения токов в обмотках; в) вращение результирующего вектора магнитного поля на комплексной плоскости. б) в) Таким образом, изменение вектора магнитной индукции катушки может быть представлено в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 3.17.2) пульсирующего вдоль оси ординат. Наличие в последней формуле операторов вращения говорит о том, что вектор пульсирующего магнитного поля катушки может быть получен как результат сложения двух векторов вращающихся на комплексной плоскости с угловой скоростью  в противоположных направлениях и имеющих амплитуды равные . Для получения вращающегося магнитного поля необходимо каким-то образом компенсировать одну из составляющих пульсирующего вектора магнитной индукции, создаваемого катушкой. Для этих целей используем ещё одну катушку, ось которой расположена под углом 90º по отношению к катушке исходной (рис.3.17.3). Таким образом получена двухфазная система создания вращающегося магнитного поля, состоящая из обмоток, оси которых сдвинуты в пространстве по отношению друг к другу на 90º (рис.3.17.3 а)). Если обмотки подключить к источнику синусоидального напряжения начальные фазы которых сдвинуты по отношению друг к другу на 90º, в этом случае по обмоткам будут протекать переменные токи, изменяющиеся по законам: . (3.17.4) Каждая из обмоток будет создавать в пространстве пульсирующее магнитное поле, законы изменения которых имеют следующий вид: . (3.17.5) В последней системе уравнений преобразуем: , (3.17.6) . (3.17.7) Тогда систему (3.17.5) можно будет представить в виде: (3.17.8) Складываем между собой уравнения в рассматриваемой системе, учитывая что ось обмотки B повёрнута в пространстве относительно оси обмотки А на 90º: . (3.17.9) Выполняя несложные математические преобразования, получаем: . (3.17.10) Наличие оператора вращения в выражении (3.17.10) говорит о том, что результирующий вектор магнитного поля рассматриваемой системы обмоток (рис. 3.17.3 а)) представляет собой вектор, имеющий постоянный по величине модуль и вращающийся на комплексной плоскости с частотой . При этом конец этого вектора будет вычерчивать на комплексной плоскости окружность. Создание вращающегося магнитного поля с помощью двухфазной системы токов впервые была получена независимо друг от друга итальянским учёным Г. Феррарисом и югославским ученым и изобретателем Н.Тесла. На сегодняшний день данная система создания вращающегося магнитного поля находит ограниченное применение, а в современных асинхронных машинах для создания вращающегося магнитного поля применяется трёхфазная система токов, предложенная русским инженером М. О. Доливо-Добровольским. Трёхфазная система состоит из обмоток, оси которых сдвинуты в пространстве по отношению друг к другу на угол равный 120º (рис. 3.17.4. а)). Питание обмоток осуществляем от трёхфазной сети переменного тока, при этом закон изменения токов в фазах обмоток будет следующим (рис. 3.17.4. б)): (3.17.11) Каждая из фаз обмоток будет создавать в пространстве пульсирующее магнитное поле: . (3.17.12) а) Рис. 3.17.4: Трёхфазная система создания вращающегося магнитного поля: а) расположение обмоток трёхфазной системы в пространстве; б) закон изменение тока в обмотках трёхфазной системы; в) вращение результирующего вектора магнитного поля на комплексной плоскости. б) в) Выполнив преобразование функции sin(t) по формуле (3.17.6) систему (3.17.12) преобразуем к виду: . (3.17.13) Складываем между собой уравнения входящие в систему (3.17.13), учитывая при этом что оси обмоток каждой из фаз сдвинуты в пространстве друг относительно друга на угол равный 120º: (3.17.14) После выполнения несложных математических преобразований получаем: (3.17.15) По аналогии с выражением (3.17.10), наличие оператора вращения в последней формуле говорит о том, что результирующий вектор магнитного поля рассматриваемой системы обмоток (рис. 3.17.4 а)) представляет собой вектор, имеющий постоянный по величине модуль и вращающийся на комплексной плоскости с частотой . Как было сказано выше, для создания вращающегося магнитного поля в большинстве случаев применяется трёхфазная система токов. Данное обстоятельство объясняется следующими преимуществами трёхфазной системы: 1) при двухфазной системе значение амплитуды результирующего вектора магнитной индукции составляет , при трёхфазной – , где значение амплитуды вектора магнитной индукции, создаваемого одной катушкой; 2) при создании вращающегося магнитного поля с помощью трёхфазной системы наблюдается меньше вибраций при работе машины; 3) для питания обмоток двухфазной системы необходима четырёхпроводная система питающих линий, для питания трёхфазной системы достаточно трёхпроводной. В общем случае вращающееся магнитное поле может быть создано системой, состоящей из m фаз. При этом величина амплитуды результирующего вектора магнитной индукции связана с числом фаз m соотношением: . (3.17.16) Тогда условия создания вращающегося магнитного поля могут быть сформулированы следующим образом: 1) Необходимо не менее двух фаз переменного тока; 2) Начальные фазы этих токов должны быть сдвинуты на определённый угол (в двухфазной системе токов – на угол равный 90º, в трёхфазной системе токов – на угол равный 120º); 3) Оси обмоток в пространстве должны быть сдвинуты друг относительно друга также на определённый угол(в двухфазной системе токов – на угол равный 90º, в трёхфазной системе токов – на угол равный 120º). Выше рассматривались системы создания вращающегося магнитного поля имеющие одну пару полюсов. В общем случае число пар полюсов p может быть любым, при этом от числа пар полюсов будет зависеть скорость вращения результирующего вектора вращающегося магнитного поля. Так же скорость вращения результирующего вектора будет зависеть и от частоты тока в обмотках fс. В дальнейшем скорость вращения вращающегося магнитного поля будем обозначать 1, а её зависимость от p и fс будет иметь вид: (3.17.17) На практике скорость вращения магнитного поля часто принято выражать в оборотах в минуту, в этом случае формула (3.17.17) преобразуется к виду: . (3.17.18)