Тонкостенные оболочки. Основные допущения. Уравнение Лапласа.

Лекция № 8 Тонкостенны е оболочки. Основны е допущения. Уравнение Лапласа. Под оболочкой понимают тело, одно из измерений которого (толщина) значительно меньше двух других. Геомет рическое место точек, равноотстоящих от обеих поверхностей оболочки, назы вают срединной поверх ност ью . Если срединная поверхност ь представляет собой поверхност ь вращения, т акие оболочки назы вают осесиммет ричны м и. Толщину оболочки принимают постоянной. Полагают, что нагрузка т акж е обладает свойст вами осевой симметрии. (Для т аких оболочек задача расчета сущест венно упрощается, так как все внут ренние силы и напряж ения зависят от текущего радиуса.) В осесиммет ричны х оболочках при осесиммет ричной нагрузке касательны е напряж ения отсутст вуют. Оболочку счит ают тонкостенной , если толщина стенки оболочки s диамет ром D (кроме конической) удовлетворяет условию: s C 0,1 при D » 200 мм D , s C 0,3 при D < 200 мм D , где С – поправка на коррозию. В прот ивном случае оболочку считают толстостенной . Для тонкостенны х оболочек мож но принят ь, что нормальны е напряж ения равномерно распределены по толщине, то ест ь отсутст вует изгиб оболочки. Теория оболочек, пост роенная в этом предполож ении, назы вается безмомент ной теорией оболочек . При отсутст вии резких изменений ф ормы оболочки, ж ест ких защемлений, внешних сосредоточенны х сил и моментов, мож но с успехом применять к расчет у оболочек на прочност ь безмомент ную теорию. Если ж е имеются перечисленны е особенност и, то в мест ах крепления оболочки и резких изменений ф ормы возникают дополнительны е напряж ения, связанны е с изгибом оболочки. Решение подобны х задач точны ми методами показы вает, что зона изгибны х напряж ений весьма ограничена, и, поэтому на некотором удалении от перечисленны х особы х областей определение напряж ений мож но производить по безмомент ной теории. Рассмот рим осесиммет ричную тонкостенную оболочку толщиной s. Обозначим: m - меридиональны й радиус t (радиус кривизны дуги меридиана срединной поверхност и), - окруж ной радиус (этот радиус равен отрезку нормали меж ду срединной m поверхност ью и осью симмет рии). Дейст вие отброшенной част и оболочки заменим: t - меридиональны м напряж ением, - окруж ны м (или т ангенциальны м) напряж ением. Нагрузка на элемент – внут реннее избы точное давление р. Осесиммет ричная тонкостеннаяю оболочка. Вы деленны й элемент. Пояснение к чертеж у: р - внут реннее избы точное давление, pdl1dl2 - сила давления ,  m sdl2 , t sdl1 - силы , перпендикулярны е к соот ветствующим граням вы деленного элемента, n - нормаль. Уравнение Лапласа: t m p   t  m s . ( Уравнение получено путем проект ирования всех сил на направление нормали). Второе уравнение для определения напряж ений и мож но получить, спроект ировав все силы на направление оси оболочки. Однако это удобнее делат ь не для вы деленного элемент а, а для отсеченной част и конкрет ной оболочки. Если оболочка подверж ена воздействию наруж ного избы точного давления, то ф ормально уравнение Лапласа остается справедливы м, если изменит ь знак давления. Однако в стенках оболочки при этом возникнут сж имающие напряж ения, что мож ет привести к потере устойчивост и (ф ормы ) оболочки. m иt Напряж ения являются главны ми напряж ениями. Трет ье главное напряж ение  r – радиальное  pи оболочки напряж ение . На внут ренней поверхност радиальное напряж ение равно , а на наруж ной – m t нулю. p В тонкостенны х оболочках и всегда значительно  больше (примерно в 50 ÷ 100 раз). Поэтому r 0 величиной радиального напряж ения пренебрегают ( ) и напряж енное состояние тонкостенной оболочки считается двухосны м. Сф ерический сосуд под действием внут реннего газового давления Pг . В этом случае вследствие цент ральной симмет рии m t R Поэтому  pг 2  R s m t  , . . 3 0 , рг R      ЭКВ По III и IV гипотезам прочности: 2s 1 2  Главны е напряж ения: . где R – радиус срединной поверхност и R ≈ D/2 (D – внутренний диамет р сосуда). , Цилиндрическая оболочка под действием внутреннего газового давления Pг .  p pD t R  Из уравнения Лапласа: . г t  s г 2s получаем: Мы сленно разреж ем сосуд плоскост ью, перпендикулярной его оси. Рассмотрим верхнюю отсеченную част ь сосуда 2  D pг D ( част ь сосуда без опор ).   Ds  p   m все силы , m г Спроецируем на ось4симмет рии сосуда 4s дейст вующие на отсеченную часть: 1 t 2 ,от 3 0 m куда рг D ЭКВ     2s Главны е напряж ения: , . , . При проект ировании, изготовлении и эксплуатации сосудов и аппаратов различают : • рабочее ( рр), • расчет ное ( рR), • условное ( ру ), • пробное ( рпр) давления. Рабочее давление в сосуде или аппарате — максимальное избы точное внутреннее или наруж ное давление при нормальном протекании технологического процесса, без учет а гидрост ат ического давления среды и без учета крат ковременного повы шения давления во время дейст вия предохранительны х устройст в. Расчет ное давление для элементов сосудов и аппаратов — давление, на которое производится их расчет на прочност ь. Условное давление — рабочее давление среды в сосуде при температ уре 20 °С (без учет а гидрост ат ического давления). Пробное давление - давление, при котором производится Под рабочей температ урой понимают температ уру среды , соприкасающейся со стенками аппарат а, при нормальном протекании технологического процесса. Расчет ная температ ура — наибольшая температ ура стенки аппарата. Чаще всего ее принимают равной максимально возмож ной температ уре среды при эксплуат ации аппарата. При защите аппарат а внут ренней футеровкой расчет ную температ уру стенки принимают равной температ уре поверхност и футеровки, соприкасающейся со стенкой. Для серийно изготовляющихся сосудов, аппаратов, трубопроводов и армат уры эксплуатационны е рабочие парамет ры заранее не извест ны , поэтому их проект ируют на определенны е температ урны е интервалы и условное давление. В химической технологии взаимодейст вие стенки оболочки с агрессивны ми средами приводит к коррозии и (или) эрозии, которая со временем уменьшает ее толщину s . Поэтому к расчет ной толщине стенки добавляют прибавку Ск на коррозию или эрозию, а т акж е прибавку на округление С0 до стандарт ной толщины лист а. Ск часто C П Ta предст авляют в видеK произведения , где П — скорост ь коррозии или эрозии, мм/год; Т а — срок служ бы аппарат а (лет). С0 заранее не известна, это значение определяется после сопост авления полученной толщины стенки со ст андарт ны ми значениями толщины . Ст андарт ны е значения толщин листов равны : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, -34, 36, 38, 40, 45 мм ;и т. д. до 70 через 5 мм, а затем через 10 мм. В химической технологии при производст ве синтет ического аммиака, мочевины , мет анола, полиэт илена, вы сших спиртов, в некоторы х процессах гидрирования применяют цилиндрические аппарат ы , работающие под вы соким давлением (от 10 до 100 МПа). В т аких аппаратах толщина стенки соизмерима с внут ренним диаметром D. Впервы е задачу определения напряж ений в толстостенном цилиндре решил ф ранцузский учены й Ламе в 30-х годах XIX века, а дальнейшее продолж ение эт а задача получила в ра­ботах русского ученого А . В. Гадолина в 60-х годах XIX века.