Теория вероятностей

Тема 5. Теория вероятностей Задание: 1. изучить материал данной лекции; 2. сделать краткий конспект, который необходимо представить к зачету; 3. подготовиться к письменному опросу по данной теме; 4. подготовиться к контрольной работе по данной теме. События и вероятности Теорию вероятностей определяют как раздел математики, изучающий закономерности, которые свойственны случайным явлениям. Методы теории вероятностей обширно используются при математической обработке информации. Задачей теории вероятностей является построение вероятностных моделей случайных экспериментов. Основными понятиями теории вероятностей являются испытание (опыт), событие, вероятность. Классификация событий Испытанием (опытом) принято называть всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит данное событие, т.е. это любой процесс, который происходит вокруг нас. Результатом испытания называют событие. Оно обозначается заглавными латинскими буквами A, B, C...Z пример: подбрасывание монеты является опытом, а его событием является выпадение герба, решки (когда монета упадет). События можно разделить на три вида: 1. Достоверное - это событие, которое обязательно произойдет в данном испытании (пример: в ящике находятся только красные шары, значит событие "из ящика вынули красный шар" будет достоверным, т.к. других шаров в ящике не было), достоверное событие обычно обозначается буквой U; 2. Невозможное - это событие, которое не может произойти в данном испытании (пример: в ящике находятся только красные шары, значит событие "из ящика вынули зеленый шар" будет невозможным, т.к. таких шаров в ящике не было), невозможное событие обычно обозначается буквой V; 3. Случайное - это событие, которое либо произойдет, либо не произойдет в данном испытании (пример: в ящике находятся голубые и зеленые шары, одинакового размера и веса, значит событие "из ящика вынули зеленый шар" будет случайным, т.к. оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в ящике находятся не только зеленые шары, но и голубые), случайные события принято обозначать заглавными буквами A, B, C... . Совместные события - это два события в данном опыте, появление одного из которых не исключает появление другого в данном опыте. пример: испытание - подбрасывание игральной кости, событие А - появление четырех очков, событие В - появление четного числа очков, соответственно А и В совместные события. Несовместимые события - это несколько попарно-несовместных событий, т.е. появление одно исключает появление другого в данном опыте. пример: один раз подбросили монету, событие А - выпал орел, событие В - выпала решка, события А и В несовместные, т.к. при однократном подкидывании монеты появление решки исключает появление орла и наоборот. Противоположные события - это два события в данном опыте, появление одного из которых равносильно непоявлению другого в данном опыте, противоположные события обозначаются через не А, ¬А, , А'. пример: испытание - однократное подбрасывание игральной кости, событие А - появление нечетного числа очков, событие В - появление четного числа очков, соответственно А и В противоположные события, т.к. исходами бросания могут быть лишь они, и появление одного из них исключает появление другого, т.е. А=не В или не А=В. Полной группой событий называют множество событий , если они попарно-несовместных; появление одного и только одного из которых является достоверным событием. пример: попадание и промах при выстреле; появление зеленого шара и красного шара при вынимании одного шара из урны, в которой 4 зеленых и 3 красных шара и др. События называют равновозможными событиями, если нет оснований полагать, что одно событие является более возможным, чем другие. пример: появление карты бубновой, червонной, трефовой масти при вынимании карты из колоды; выпадение любого количества очков от 1 до 6 при подбрасывании игральной кости и др. Элементарным исходом (элементарным событием, шансом) называют любое событие, которое может наступить в результате опыта. пример: при подбрасывании игрального кубика элементарными исходами будут события ,,. Элементарные исходы, при которых данное событие происходит, принято называть благоприятствующими данному событию, или благоприятными шансами. пример: при подбрасывании кубика элементарные исходы являются благоприятствующими событию "выпало нечетное число очков". Классическое определение вероятности Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равновозможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события A обозначается P(A), где P - первая буква от фр. probabilité - вероятность. Формула классической вероятности: P(A) = , где число элементарных исходов, которые благоприятствуют событию А, число всех равновозможных элементарных исходов опыта, которые образуют полную группу. Свойства вероятности события: 1. P(U)=1, где m=n, т.е. вероятность достоверного события равна 1; 2. P(V)=0, где m=0,т.е. вероятность невозможного события равна 0; 3. 0< P(A)<1, т.к. для случайного события выполняются следующие неравенства: 0