Теория систем

Ознакомительная лекция по курсу «Теория систем» Система - совокупность упорядоченных объектов, для которой определены задачи или цели. Другие объекты образуют среду. Модель - изображение существенных сторон реальной (или проектируемой) системы, в удобной форме отражающее представления (информацию) о системе. Замечания 1. Модель не должна быть описанием физического устройства системы. 2. Модели подразделяются на концептуальные, физические или математические: модель Птолемея - концептуальная; модель Коперника - физическая; модель Кеплера – математическая. 3. Информация должна быть представлена в удобной форме. Цели использования моделей 1. Исследование - для интерпретации получен-ной информации. 2. Проектирование - данные отдельных элементов или подсистем используются для синтеза модели системы, удовлетворяющей критерию проектирования. 3. Управление - способы управления зависят от имеющейся информации. Обычно различают: - условия нормального функционирования; - критические ситуации; - стартовые и финишные режимы. Задача идентификации. По результатам наблюдений над входными и выходными переменными объекта должна быть построена оптимальная в определенном смысле математическая модель, т.е. формализованное представление этого объекта. В зависимости от априорной информации различают задачу идентификации в узком и широком смыслах. Задача идентификации в узком смысле – оценивание параметров и состояния объекта по результатам наблюдений над входными и выходными переменными, полученными в условиях функционирования объекта. При этом известны структура объекта и класс моделей, к которому объект относится. Задача идентификации в широком смысле - при отсутствии или малом количестве априорной информации. Решается большое число дополнительных задач: - выбор структуры системы и задание класса моделей; - оценивание степени стационарности и линейности; - оценивание степени и формы влияния входных переменных на выходные; - выбор информативных переменных. Напомним, что динамика системы описывается ее математической моделью. Такая модель отражает математические зависимости между следующими множествами переменных: переменные входа, выхода и состояния (последнее необязательно). Вход системы, выражаемый либо множеством временных функций, либо множеством временных последовательностей входных значений, представляет внешние переменные, действующие на систему. Выход системы, выражаемый аналогично входу, представляет описание непосредственно наблюдаемого поведения системы. Основное свойство любой динамической системы заключается в том, что её поведение в любой момент времени зависит не только от переменных, действующих на неё в данный момент времени, но и от переменных, действовавших на неё в прошлом. Можно считать, что такая система обладает "памятью", которая позволяет учитывать вклад переменной, действовавшей на нее с прошлого момента времени до момента наблюдения её поведения. Состояние системы, определяемое как множество значений т.н. переменных состояния, представляет собой мгновенное значение "ячейки" этой памяти. Если в произвольный момент времени t0 известны состояние и входное воздействие времени t  t0 u( ), t0 , t  , то в любой момент могут быть определены выход и состояние системы. Обычный смысл выражения «динамический» почти тот же самый, что и у выражения «причинный»: прошлые события влияют на будущие события, но не наоборот. Математическое описание динамической системы (ДС) приводит к подчеркиванию и формализации направления причинности от прошлого к будущему. Элементы математической теории систем. Понятие системы с точки зрения макроподхода Чтобы пояснить смысл вводимого определения абстрактной системы (кратко – системы), рассмотрим физически существующий объект О, над которым производится эксперимент Э для описания поведения объекта в заданных условиях. Примерами экспериментов могут служить наблюдения за поведением живого организма, изучение движения летательного аппарата, анализ деятельности предприятия и т. д. Совокупность физических объектов, взаимодействующих в процессе эксперимента Э с объектом О, назовем окружающей средой. Взаимодействие между объектом и средой протекает в двух направлениях: во-первых, среда действует на объект и, во-вторых, объект сам оказывает некоторое воздействие на среду. Эксперимент Э заключается в наблюдении и регистрации при помощи некоторых приборов и устройств физических процессов и величин, характеризующих взаимодействие среды и объекта. Будем предполагать, что эксперимент Э является многократным, т.е. имеется любое число тождественных копий объекта О, над каждой из которых можно провести эксперимент Э в тех же самых условиях. (Нашему рассмотрению подлежат только такие эксперименты, в которых: 1) приборы и устройства наблюдения и регистрации данных не вносят существенных искажений в результаты наблюдений и 2) все наблюдаемые физические величины и процессы могут быть количественно описаны при помощи функций, определенных на действительной прямой E1 и со значениями в Е1, т.е. при помощи действительных (скалярных) функций. Предположим, что в условиях данного эксперимента воздействия среды на объект определены во всех точках одного и того же непустого множества T  E1 , а ответные действия объекта – во всех точках одного и того же непустого множества T*  E1 . Множества Т и Т* назовем множествами моментов времени. В большинстве рассматриваемых ниже задач будет предполагаться, что Т и Т* совпадают. Выбор того или иного типа множества моментов времени определяется природой объекта и среды, характером эксперимента Э, а также устройствами наблюдения, регистрации и обработки экспериментальных данных. Функции u(t), определенные на T и со значениями в Е1, описывающие действие среды на объект, назовем входными сигналами или воздействиями, а функции у(t), определенные на Т* и со значениями в Е1, описывающие действие объекта, – выходными сигналами или реакциями. Предположим, что все входные сигналы u(t) являются элементами нормированного пространства А(Т), а все выходные сигналы y(t) – элементами нормированного пространства В(Т*). Пространства А(Т) и В(Т*) назовем пространствами входных и выходных сигналов. Образуем декартово произведение пространств сигналов A(T )  B(T*) . Теперь можно дать такое определение понятия системы. Системой называется бинарное отношение (u(t ), y(t )) . R  A(T )  B(T *) . (упорядоченная пара Для ряда задач пространства А(Т) и В(Т*) совпадают, и система рассматривается как отношение R  A(T )  A(T ) . Если каждому входному сигналу u(t)  A(T) соответствует один и только один выходной сигнал отношению y(t )  B(T*), R  A(T )  B(T *) то система называется функциональной. Функциональному можно сопоставить оператор y(t) = fu(t), действующий из A(T) в B(Т*). Определим теперь понятие стационарной системы. Пусть для простоты Т=Е1. Введем на декартовом произведении A(T)×A(T) отношение сопоставляющее каждой функции u(t)  A(T) функцию назовем стационарной, если для всех сдвига u(t   )  A(T ).  ,  E1 Систему ( [0, ]) ), R  A(T )  A(T )   E1 ( [0, )),   R  R   . В упрощенном понимании это означает, что реакция системы зависит не от момента приложения воздействия, а от его длительности. Система называется непрерывной (по времени), если ее пространства входных и выходных сигналов являются пространствами функций. Система называется дискретной (одному и тому же объекту можно обычно сопоставить как непрерывную, так и дискретную модель/систему), если хотя бы одно из ее пространств сигналов есть пространство последовательностей, т. е. дискретное по времени пространство. Смысл введенного определения системы был пояснен на примере многократного эксперимента с физически существующим объектом. Однако самоопределение имеет более широкий характер и позволяет считать системами математические модели любых ясно представимых объектов нашего сознания, не обязательно существующих физически, если только поведение этих объектов может быть описано математически и для них можно определить абстрактные пространства сигналов. Назовем объект физически возможным, если он существует, или может быть физически осуществлен. Выясним теперь, какие из всех возможных систем могут являться моделями физически возможных объектов. Отличительным свойством физически возможных объектов является свойство причинности; причинность понимается здесь в смысле классической механики. Оно заключается в том, что реакция объекта на воздействие, начинающее поступать в произвольный момент времени, может быть определена однозначно, если известны законы, определяющие поведение объекта и все его прошлое до этого момента времени. Чтобы являться моделью физически возможного объекта, система тоже должна быть причинной, т. е. удовлетворять этому условию. Это условие может быть расчленено на два, в первом из которых требуется, чтобы реакция системы в любой текущий момент времени не зависела от будущих значений сигнала, а во втором – чтобы прошлое однозначно определяло будущее. Первое из этих условий – это условие неантисипативной связи (связи без упреждения) между воздействиями и реакциями системы. Назовем системы, удовлетворяющие этому условию, неантисипативными (без упреждения). Системы, выходной сигнал которых хотя бы в один из моментов времени зависит от воздействий, которые будут приложены к системе в будущем, назовем антисипативными (с упреждением). Если выходной сигнал не зависит от прошлых значений входного сигнала, то такую систему назовем чисто антисипативной. Если система R  A(T )  A(T ) функциональна, то второе условие причинности заведомо выполняется. Сопоставим этому отношению оператор y(t) = fu(t), действующий из пространства А(Т) в себя. Функциональную систему y(t)=fu(t) назовем антипричинной, если она чисто антисипативна, т. е. если для всех x(t )  A(T ) и t T Рассмотрим числовую функцию от двух аргументов y=f[t,u], определяется оператором безынерционной. y=f[t,u(t)], Безынерционная то t T , u  A(T ), система безынерционной системы в момент времени t T такая функциональна. t T , u  E1. система Если система называется Выходной сигнал не зависит от прошлых и будущих значений входного сигнала, и значит, безынерционные системы причинны и антипричинны одновременно Функциональную систему y = fu(t); u(t ), y(t)  A(T ) назовем линейной, если оператор f линеен, и нелинейной, в противном случае. Понятие системы с точки зрения макроподхода. Операторы. Принцип суперпозиции Микроподход предполагает рассмотрение объекта «изнутри» на основе изучения протекающих в нем процессов. Динамической системой  называется сложный математический объект, определяемый следующими аксиомами: аксиома а: заданы множества: моментов времени Т; состояний Х; входных воздействий U; допустимых входных воздействий ; выходных значений Y; выходных функций Г. аксиома б: задано направление времени, т.е. Т - упорядоченное подмножество множества действительных чисел. аксиома в: множество допустимых входных воздействий  удовлетворяет следующим условиям: 1.  - непустое; 2. Для воздействий ,  , в моменты времени    на t1;t3 , что    , при t t1;t2  и    при t1  t2  t3 , существует такое t t2 ;t3  аксиома г: Задана переходная функция состояния , которая определяет состояние x(t )   (t , t0 , x, )  X , достигнутое в момент времени t T , при    , если в момент времени t0 T имелось состояние: x  x(t0 )  X . Свойства функции  : Направление времени:  определена при t  t0 , и необязательно определена при t  t0 . Согласованность: (t, t, x, )  x , t T , x  X ,   Свойство композиции: Для t1, t2 , t3 T , x  X ,   : (t3 , t1, x, )  (t3 , t2 , (t2 , t1, x, ), ) Свойство причинности: Если есть ,  такие, что    при t t0 , t  , то (t, t0 , x, )  (t, t0 , x, ) . аксиома д: Существует отображение выхода , которое таково: y(t )  (t, x(t )) . Тогда система может быть формально задана следующим образом:   T , X ,U , , Y , , ,  Говорят, что пара ,  задает оператор функционирования системы. На рисунке показано формирование реакции системы с помощью переменных состояния в соответствии с микроподходом. U T U   (t)  x(t) состояния x(t) Г Оператор А задан, если установлено правило по которому любому элементу из множества U ставится в соответствие элемент из множества Y и при этом Y не является множеством чисел. Способы записи оператора: 1. A u(t )   y(t ) ; 2. К u(t ) применен оператор А; реакция - 3. y(t )  Au(t ) ; 4. y(t )  Au(t ) . y(t ) ; Примеры операторов 1. Оператор дифференцирования: y(t )  u(t ) . 2. Оператор интегрирования: t y(t )   u( )d . Любой динамической системе может быть поставлен в соответствие оператор. Операторы разделяются на два класса: нелинейные операторы и линейные операторы. Оператор называется линейным если для него выполнен принцип суперпозиции, и – нелинейным, если принцип суперпозиции для него не выполнен. Мы рассмотрим 2 формы записи этого принципа – дискретную и непрерывную. Дискретная форма. n n i 1 i 1 A ciui (t )   ci Aui (t ) Непрерывная форма. t1 t1 t0 t0 At  c( )u(t, )d   c( ) Au t (t , )d Запись At . означает, что оператор А действует в момент времени t. Если системе соответствует линейный оператор, то система называется линейной. Иначе система называется нелинейной. Физический смысл принципа заключается в следующем: реакция линейной системы на линейную комбинацию воздействий может быть определена, как линейная комбинация реакций системы на каждое из воздействий в отдельности. Операторы интегрирования и дифференцирования - линейные операторы. Оператор возведения в квадрат: Au(t )  u2 (t ) является нелинейным оператором. Обобщенная  -функция Дирака Для конструирования моделей ДС рассмотрим обобщенную  -функцию Дирака и ее свойства. Определим ее так:  (t )  , t  0 , причем  0, t  0 Возможные модели  -функции:    (t)dt  1.  h h 2  t 2 e  h-? 1/  Мы будем использовать т.н. фильтрующее свойство  -функции: t   u( ) (t  )d  t  t   u( ) (  t)d  u(t) t  Приведем доказательство этого свойства: t   u( ) (t  )d  t  t   u(t ) (t  )d  t  t   t    u(t )   (t  )d  u(t )   ( )d  u(t )  -функция связана с единичной функцией 1(t ) , которая задается так: частности 1, t  0 . В 1(t )   0, t  0    ( )d  1(t ) и 1(t )   (t ) . t  Применим теперь фильтрующее свойство  -функции для входного процесса u(t ) :   u( ) (t  )d  u(t ) .  Этот результат можно интерпретировать как разложение процесса u(t ) по бесконечному числу импульсов  (t  ) . Считая  -функцию одним из возможных элементарных воздействий, запишем реакцию системы с оператором At , используя полученное разложение:     . y t   Au t  t   At  u     t    d   u   At  t    d Если gt,   At t   , то yt   gt, u d   Основной результат этого в следующем: введена функция g (t, ) , которая определяется как реакция системы на импульсное воздействие (т.н. импульсная переходная (весовая) функция). С ее помощью получена общая форма модели линейной непрерывной системы, представляющая собой интеграл свертки весовой функции с входным воздействием Весовая функция g (t, ) показывает удельный вес возмущения, которое действовало на систему в момент времени  на формирование реакции системы в момент времени t. Примеры определения весовой функции 1.Идеальная следящая система (ИСС). y(t )  u(t ) . Система не изменяет входное воздействие. В соответствии с принципом суперпозиции  ut    u  t   d  весовая функция g t,    t   .  2.Идеальный экстраполятор. y(t )  u(t  a) , a  0 . Система сдвигает входное воздействие на a временных единиц (эта система является примером физически неосуществимой системы, т. к. предсказывает те значения входного воздействия, которые на нее еще не поступали). Т.к. весовая функция gt,   At t   и yt   At t     t  a   , то весовая функция g t,    t  a   . 3.Идеальная запаздывающая система. y(t )  u(t  a) , a  0 Аналогично примеру 2, g t,    t  a   , но a  0 . 4.Идеальная дифференцирующая система (идеальный дифференциатор). y(t )  u(t ) Весовая Система рассчитывает производную входного воздействия: функция рассчитывается в соответствии с определением gt,   At t    AtU t    t   5.Идеальный интегратор. Система рассчитывает интеграл от входного воздействия: y t   t  u   d .  Воспользуемся «близостью» форм записи реакции системы и реакции общей модели линейной системы: t y t    u   d   t  g t,  u   d . Поэтому gt,  1t   (см. лекцию 3).  Многомерные системы. Описание в макроподходе Система имеет m входов и n выходов: U(t) Y(t) В силу принципа суперпозиции, реакция системы по каждому выходу может быть определена как суперпозиция реакций на воздействие по каждому из входов. u1(t) y1(t) u2(t) u3(t) y2(t) y3(t) ui(t) yk(t) um(t) yn(t) Принцип суперпозиции позволяет рассмотреть одномерную систему, у которой входное воздействие ui(t), а реакцию - yk(t). Тогда составляющая реакции, определяемая входом i, равна: yki t     g t,  u   d , ki i  а реакция по k выходу при приложении воздействия на вход i имеет вид: m yk  t    yki t   i 1 m     gki t ,   ui   d . i 1  С учетом линейности операторов суммирования и дифференцирования:  m   yk t     gki t, ui  d , k  1, n   i 1 - реакция по выходу yk Введем в рассмотрение матрицу G:  g11 g Gt,    21     gn1 g12 g22  gn 2 g13 g23  g n3     g1m  g2m  - матрицу импульсных переходных (весовых) функций;    gnm  вектор U: U T t   u1 t ,, um t  - вектор входных воздействий; вектор Y: Y T t    y1t ,, yn t  - вектор реакций системы. Тогда имеем:  Y t    Gt, U  d .  Таким образом, вновь получена структура математической модели, соответствующая результатам применения линейного оператора, но теперь для векторных входных воздействий и реакций. Замечание 1. Очевидно, что процедура определения матрицы импульсных переходных функций может быть произведена с использованием импульсного воздействия, подаваемого на один из входов системы. Легко заметить, что при подаче импульсного воздействия в виде  -функции на i-й вход многомерной системы на каждом из выходов с номером k ( k  1, n ) зафиксируется реакция в виде импульсной переходной функции gki (t, ) , т.е. будет определен i-й столбец матрицы G. Замечание поэтому Y  t   2. Для физически осуществимых систем G(t, )  0 , при  t , t  G t, U  d .  Характеристика реакции линейной системы на показательное воздействие В качестве элементарных воздействий могут быть использованы не только импульсные или ступенчатые воздействия, но и другие, более сложные сигналы , такие, как гармонические. Мы рассмотрим в этом качестве показательное воздействие. Оно объединяет в себе воздействия затухающие и гармонические. Пусть u(t )  est , где s - некий комплексный параметр. Такое воздействие обобщает все остальные воздействия (почему?). Назовем характеристикой реакции линейной системы на показательное воздействие величину: Z (t, s)  st Ae st t , где Ae - реакция линейной системы на показательное воздействие, а est t st e само показательное воздействие. Z (t, s) показывает, как меняются модуль и фаза входного воздействия при его прохождении через линейную систему. Если s - чисто мнимая величина, то Z (t, s) задает частотную характеристику: Z (t, i)  it Ae t eit Необходимо показать, как меняется амплитуда и фаза входного воздействия (гармонического) при прохождении через систему с заданной частотной характеристикой. Z (t, i) - задает амплитудно-частотную характеристику (АЧХ); arg  Z (t, i)  - задает фазовую частотную характеристику (ФЧХ). Рассмотрим функцию u(t), ее интеграл Фурье имеет вид:  1  u t    c i   e d , где c i     u t   eit dt . 2    it Найдем реакцию линейной системы на воздействие u(t). y  t   At  u t     c i   A  e it t d      c i   Z t, i   e it d.  Из этого результата следует, что реакция линейной системы может быть определена через реакцию на показательное воздействие, но это, к сожалению, требует дополнительных преобразований связанных с расчетом коэффициентов c  i  . Только для импульсного воздействия эту работу делать не нужно. Связь частотной характеристики и весовой функции Для установления этой связи определим реакцию линейной системы на показательное воздействие при помощи весовой функции: Ae  t st   g t,   e s d .  Тогда st Ae 1  t Z  t , s   st  st   g t ,   es d  e e     g t,   e  st   d .  При s  i : Z t, i     g t,   e it   d  Известный факт:   t    1  it   e d 2  Это соотношение показывает, что импульсное воздействие содержит в себе гармонические колебания всех частот с одинаковыми коэффициентами. Тогда g t,   1    Z t, i   eit  d 2  Стационарные системы. Передаточная функция. Для стационарных систем весовая функция g  t ,  зависит только от разности моментов времени: g t,   h t   . y t   t  g t,   u   d   Тогда t    h t    u   d   h     u t    d  .  Поэтому характеристика реакции линейной стационарной системы на показательное воздействие имеет вид: Z t, s     g t    e  st   d      h e  s d  Т.е. Z  t , s  не зависит от времени. С учетом физической осуществимости системы, имеем:  Z t, s    h    es d    s . Функцию   s  называют передаточной функцией. Важно, что y t     s   est . (***) К сожалению, y t  определяется таким образом только для воздействия est . Пример определения передаточной функции. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка a2 y(t )  a1 y(t )  a0 y(t )  bu 1 (t )  b0u(t ) . Пусть u(t )  est . Тогда u t   s  est . y t     s   est ; y t     s   s  est ; y t     s   s2  est . Получаем: a2  s  s2est  a1  s  sest  a0  s  est   b1sest  b0est . a s 2 2  s    i    a1s  a0    s  est  b1s  b0  est . b1s  b0 - передаточная функция; при s  i a2 s  a1s  a0 2 b1i  b0  2 a2 i   a1i  a0 b1i  b0  a2 2  a1i  a0 Z t, s   - частотная характеристика.   g t,   e  st   d    t      st   h t    e d        d  d          h    e s d   h e  s d Модели линейных непрерывных систем, построенные с помощью макроподхода во временной области Напомним: непрерывными системами (НС) называются системы, вход и выход которых являются функциями непрерывного времени. Реакция таких систем определяется как: t  g(t, )u( )d y(t )   Основной моделью ЛНС в макроподходе является обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка.  a1 y(t )  a0 y(t )  . (t )   bu 1 (t )  b0u(t ) an y(n) (t )  an1 y(n1) (t )   bmu (t )  bm1u ( m) Краткая запись: n m i 0 j 0 ( m1) ai y(i) (t) bju( j) (t) (для физически осуществимых систем m  n ). Это же уравнение в операторной форме: D1 y(t)  D2u(t) , (1) где D1  n ai i 0 m dj di D  b и . . - линейные операторы.    2 j dt j dt i j 0 Решение такого операторного уравнения может быть получено применением слева к обеим частям операторного уравнения обратного к D1 линейного оператора D11 , который   обладает следующим свойством: D11 D1  D1 D11  I , где If (t )  f (t ) : D11 D1 y(t )  D11 D2u(t ) , перестановочны, то y(t )  D11 D2u(t ) . y(t )  D2 D11u(t ) . Пусть Т.к. линейные z(t )  D11u(t ) , т.е. z(t ) операторы удовлетворяет D1z(t)  u(t) ) уравнению: (2),  D1 z(t )  u(t ) . y ( t )  D z ( t )   2  будем иметь следующую систему операторных уравнений:  Определим для первого уравнения весовую функцию, приложив входное воздействие u(t )   (t  ) , тогда реакция z(t)  gz (t, ) . Т.к. одновременно реакция y(t )  g y (t, ) - весовая функция системы (1), то будем иметь: g y (t, )  D2 gz (t, ) . Перечислим основные этапы определения весовой функции g y (t, ) системы (1): 1. Для системы (2) (она не выполняет дополнительного преобразования входного воздействия) определить весовую функцию gz (t, ) , положив u(t )   (t  ) . 2. Применить оператор правой части (1) к gz (t, ) : g y (t, )  D2 gz (t, ) Таким образом, вместо изучения системы (1) достаточно изучить систему (2). Рассмотрим систему, описываемую операторным уравнением D1 y(t )  u(t ) , или в обычной форме: an y(n)  an1 y(n1)   a1 y  a0 y  u(t) с заданными начальными условиями y(t0 )  y0 , y(t0 )  y0, (3) , y(n1) (t0 )  y0(n1) . Т.к. рассматриваемая система является линейной, то, в соответствии с теорией обыкновенных дифференциальных уравнений, полное решение y(t ) может быть получено как наложение двух решений y(t )  yo (t )  yч (t ) , где yo (t ) – общее решение однородного уравнения ( u(t )  0 ) с заданными начальными условиями; yч (t ) – частное решение неоднородного уравнения (с нулевыми начальными условиями). Определение y0 (t ) .Функция y0 (t ) есть линейная комбинация n линейно независимых решений, определяемых левой частью дифференциального уравнения D1 y(t)  0 (4) В предположении, что функции est являются решениями уравнения (4), получаем для s алгебраическое уравнение: n Pn (s)   ai si  0 (5), i 0 которое называют характеристическим уравнением, а многочлен в левой части – характеристическим многочленом, т.е. параметр s должен быть корнем характеристического уравнения. Из основной теоремы алгебры известно, что уравнение (5) имеет n корней, которым соответствуют n линейно независимых решений, которые приведены в таблице: Табл.1. Свойства Соответствующ корня ие решения – s est действительный корень кратности 1 – s est , test , , t k 1est действительный корень кратности k s – комплексно et Cost, et Sint сопряженный корень кратности 1: s    i s – комплексно со-пряженный et Cost, tetCost , , t k 1et Cost, корень кратности et Sint, tet Sint, , k (2k  n) t k 1et Sint Решение уравнения (4) имеет вид: n y0 (t )   ci yi (t ) , где yi (t ) – решения, соответствующие корням уравнения (5). i 1 Произвольные постоянные c1 , c2 , , cn определяются с помощью начальных условий, приложенных к системе, как решение следующей системы линейных алгебраических уравнений: c1 y1 (t0 )  c2 y2 (t0 )    c1 y1(t0 )  c2 y2 (t0 )     ( n 1) ( n 1)  c1 y1 (t0 )  c2 y 2 (t0 )  cn yn (t0 )  y0 ; cn yn (t0 )  y0 ; cn yn( n1) (t0 )  y 0( n1) ;