Теория, методы и организация принятия управленческих решений

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна» А. В. Архипов ТЕОРИЯ, МЕТОДЫ И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Конспект лекций Утверждено Редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия Санкт-Петербург 2016 УДК 65.01(075.8) ББК 65.291.212я73 А87 Рецензенты: доктор экономических наук, профессор Санкт-Петербургского государственного экономического университета А. Б. Титов; доктор технических наук, профессор Санкт-Петербургского государственного университета промышленных технологий и дизайна А. И. Богданов Архипов, А. В. Теория, методы и организация принятия управленческих решений. А87 Конспект лекций: учеб. пособие / А. В. Архипов. – СПб.: ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2016. – 83 с. ISBN 978-5-7937-1319-1 Учебное пособие написано в форме конспекта лекций. В соответствии с программой дисциплины «Теория, методы и организация принятия управленческих решений» рассмотрены общие характеристики задач принятия решений; задачи и методы принятия решений в условиях определенности и неопределенности; задачи принятия коллективных решений. Теоретические положения иллюстрируются примерами. В конце каждого раздела приведены контрольные вопросы. Предназначено для студентов, обучающихся по программе магистратуры по направлению 38.04.01 – Экономика. ISBN 978-5-7937-1319-1 4 УДК 65.01(075.8) ББК 65.291.212я73 © ФГБОУВО «СПбГУПТД», 2016 © А. В. Архипов, 2016 ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………..5 УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ………………………………………………………..7 ЛЕКЦИЯ 1……………………………………………………………………7 Тема 1. Модели выбора решений…………………………………………...7 Тема 2. Общая схема процесса выбора…………………………………….13 ЛЕКЦИЯ 2……………………………………………………………………18 Тема 3. Измерение и оценка свойств альтернатив………………………...18 Тема 4. Требования к искомому решению. Описание предпочтений ЛПР………………………………………………22 Контрольные вопросы……………………………………………………………..28 УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 2. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ …………………………………….29 ЛЕКЦИЯ 3…………………………………………………………………...29 Тема 5. Модель многокритериального выбора……………………………29 Тема 6. Области доминирования и Парето-оптимальные варианты решений…………………………………………………………..33 ЛЕКЦИЯ 4…………………………………………………………………...45 Тема 7. Выбор предпочтительного варианта. Задание относительной важности критериев……………………………..45 ЛЕКЦИЯ 5…………………………………………………………………..47 Тема 8. Задачи с двумя критериями. Кривые безразличия……………....47 ЛЕКЦИЯ 6…………………………………………………………………...58 Тема 9. Методы свертывания векторного критерия………………………58 ЛЕКЦИЯ 7……………………………………………………………………66 Тема 10. Функции полезности и их использование в задачах выбора…...66 Контрольные вопросы……………………………………………………………..77 УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 3. ЗАДАЧИ ВЫБОРА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ……………………………………………………79 ЛЕКЦИЯ 8……………………………………………………………………79 Тема 11. Факторы неопределенности и риска в задачах принятия решений………………………………………………..79 Тема 12. Модель выбора в виде лотереи…………………………………..84 ЛЕКЦИЯ 9…………………………………………………………………...91 Тема 13. Интервальное задание критериев и устойчивость решений…...91 Контрольные вопросы……………………………………………………………..98 УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 4. КОЛЛЕГИАЛЬНЫЙ ВЫБОР И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ……98 ЛЕКЦИЯ 10…………………………………………………………………..98 3 Тема 13. Модели коллегиального выбора………………………………….98 Тема 14. Организация принятия управленческих решений………………108 Контрольные вопросы……………………………………………………………..117 ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………...118 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА……………………………………...119 4 ВВЕДЕНИЕ Человек как существо, наделенное развитым сознанием, существующее в социуме и связанное с другими людьми разнообразными связями и отношениями, имеющее широкий спектр разнообразных потребностей, стремящееся к их удовлетворению и реализующее для этого различные формы активности, неизбежно и постоянно сталкивается с необходимостью принимать разного рода решения. В профессиональной деятельности, в личной и повседневной жизни человек по собственному желанию или под влиянием обстоятельств делает тот или иной выбор – выбор линии поведения в сложившийся ситуации, выбор материального или нематериального объекта, отвечающего его потребностям. Право выбора, широта аспектов существования человека (политические, социальные, экономические, личные аспекты), где он имеет такое право, ассоциируются с его свободой. Стремление к свободе – это борьба за право делать выбор. Во многих случаях выбор не только право, но и обязанность, сопряженная с ответственностью за последствия выбора, от которой нельзя уклониться. Примеры таких ситуаций можно в большом количестве найти в сфере профессиональной деятельности любого руководителя. Любой выбор, если он нетривиален, предполагает поиск наилучшего в данной ситуации или, по крайней мере, хорошего, рационального варианта. Это требует проведения предварительной умственной работы по анализу ситуации, выявлению возможных вариантов, их оценке, сравнению, формированию своих предпочтений. Конечно, содержание этих действий зависит от существа и природы рассматриваемой задачи: выбор производственной программы предприятия это одно, а выбор кандидата на вакантную должность это другое. Но, к счастью, состав и последовательность указанных действий одинаковы для различных по содержанию задач, что и послужило толчком к созданию теории принятия решений или теории выбора с широкой областью применения. В настоящее время эта теория достаточно развита, в ней предложены модели и методы выбора для большого множества задач, различающихся широким набором признаков. Границы этой теории указать затруднительно: в ней развиваются неформальное и формальное направления, которые опираются на свои фундаментальные и прикладные дисциплины. Так, неформальное направление в теории принятия решений использует данные личной и социальной психологии, политологии, гуманитарных дисциплин. Формальное направление базируется на наборе математических дисциплин, таких как математическое программирование, исследование операций, комбинаторика, теория вероятностей и математическая статистика. Приведенные списки нельзя ограничивать. Правильнее сказать, что теория принятия решений как прикладная дисциплина интегрирована в систему научного знания, развивается вместе с ним и предоставляет практике разнообразный и эффективный инструментарий для решения задач выбора. 5 Нельзя не сказать и о таком мощном инструменте современного управления, как компьютерное моделирование. В сложных, крупномасштабных задачах выбора с трудно предсказуемыми последствиями принимаемых решений и высокой «ценой вопроса» компьютерное имитационное моделирование является основным инструментом обоснования решений. В компьютерных моделях есть средства отразить все виды связей и отношений между переменными задачи, привлекая для этого весь арсенал возможностей формальных и неформальных теорий. Теория принятия решений изложена в большом количестве научных и учебных изданий, имеющих, как правило, значительный объем и адресованных различным категориям заинтересованных читателей. При этом большая часть изданий предполагает достаточно высокий уровень математической подготовки читателей. Как показывает опыт чтения лекций по теории принятия решений студентам, специализирующимся в прикладных областях экономики, уровня подготовки, допускающего формализованное изложение материала, обнаружить не удается. Поэтому в данном курсе акцент сделан на содержательном разъяснении положений теории с минимально необходимым привлечением формального аппарата. При этом формальные вопросы, за исключением самых простых, поясняются в примечаниях. 6 УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 1 ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ ВЫБОРА РЕШЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 1 Тема 1. Модели выбора решений Термин «модель» широко распространен в науке, технике, а также и в далеких от этих областей сферах. Но независимо от смысловых оттенков, обусловленных областью применения, под моделью подразумевают некий образ того или иного объекта, представленный его описанием на подходящем для рассматриваемой ситуации языке. Это может быть естественный язык (например, русский, английский), язык графиков или художественных образов, математический язык. Любая задача может быть решена только при наличии ее постановки или, что то же самое, описания, адекватного выдвинутым целям. Задача выбора не является исключением: результат, состоящий в обоснованном выборе некоторого решения, возможен только при надлежащем описании всех элементов, причастных к реализации этого выбора. Такое описание и будет моделью данной задачи выбора. Как было отмечено во введении, задачи выбора, несмотря на различия в содержании, имеют общий «внутренний каркас», общую структуру, что позволяет построить для них типовую или обобщенную модель. Укажем основные элементы такой модели. Субъект выбора – человек или группа лиц (организационная структура – орган коллективного или коллегиального принятия решений), осуществляющие процедуру выбора. Для обозначения субъекта как индивидуального, так и коллегиального принято сокращение ЛПР – лицо, принимающее решение. Им мы будем пользоваться в дальнейшем. Объект выбора – способ достижения цели субъекта (ЛПР), представленный некоторым количеством вариантов, среди которых надлежит выбрать единственный (так называемый альтернативный выбор). Примеры объектов выбора: банк для размещения средств, инвестиционный проект для вложения капитала, специалист для замещения вакантной должности, план производства, очередность выполнения работ на технологической линии. Таким образом, объект может быть представлен множеством предъявленных для выбора вариантов (множеством альтернатив). Это множество может быть различным по своим характеристикам, в частности: – конечным и заданным прямым перечислением вариантов или указанием правила их образования; – бесконечным и заданным набором тех или иных ограничений4 – заданным к началу решения задачи; – формироваться в процессе поиска подходящего варианта; 7 – имеющим при конечном общем числе вариантов относительно малую размерность, позволяющую анализировать каждый вариант, либо большую размерность, когда такая возможность технически не реализуема. В каждом из указанных случаев требуется, вообще говоря, применять свои специфические методы поиска удовлетворительного с точки зрения ЛПР варианта. Искомые результаты решения задачи выбора также могут формулироваться по-разному. В частности, возможны такие формулировки: – найти наилучший (наиболее предпочтительный) вариант; – найти не обязательно наилучший, но достаточно близкий к такому рациональный, вариант; – упорядочить варианты по предпочтительности. Возможны и иные формулировки, приводящие к различным видам задач выбора (например, к задаче классификации, в которой требуется отнести исследуемый вариант к одному из заданных классов, т. е. выбрать для него наиболее подходящий класс). Множество показателей – набор измеримых в той или иной шкале (качественной или количественной) параметров, характеризующих каждый из вариантов. Перечень показателей устанавливается субъектом (ЛПР) исходя из его целей. Показатели являются известными функциями альтернатив. Это означает, что указано правило, позволяющее для каждой альтернативы установить значение соответствующего показателя. Такое правило может быть вполне определенным (детерминированным), имеющим вид формулы или алгоритма, но может иметь вероятностную природу. В последнем случае значения показателей достигаются с той или иной степенью вероятности. Подчеркнем, что значения показателей связаны с альтернативами и устанавливаются в результате измерений в широком понимании этой функции. Это означает, что значения показателей могут быть установлены не только в результате физических измерений с помощью приборов, но также в результате бухгалтерского, производственного, управленческого учета или опроса экспертов. Все эти процедуры можно трактовать как своеобразные способы измерения соответствующих величин. Если предъявленные варианты характеризуются единственным показателем, то задачу выбора называют скалярной. Если показателей не менее двух, и все они измерены в общей для них количественной шкале, то их упорядоченный набор образует вектор или векторную (многомерную) характеристику. Соответственно и задачу выбора называют векторной или многомерной. Отметим, что часто характеристики вариантов разнородны и измеряются в различных шкалах (подробнее об этом см. далее), что приводит к трудностям или даже невозможности их формального сопоставления и, следовательно, сравнения вариантов между собой в целях упорядочения по предпочтительности. Примерами наборов разнородных показателей, характеризующих объект, могут служить анкета или резюме, которые 8 заполняет человек с той или иной целью. Такие наборы лишь условно можно назвать векторами, понимая, что они, в общем случае, не могут быть элементами векторных пространств из-за трудностей с определением «расстояния» между векторами (метрики), состоящими из разнородных компонент. Такие наборы иногда называют кортежами, и работают с ними по особым правилам. Часто с помощью различных допустимых преобразований стараются согласовать между собой шкалы, используемые для измерения различных свойств вариантов, и привести результаты измерений к сопоставимому виду. Такая процедура называется нормированием показателей. Простейшие способы нормирования будут указаны в дальнейшем. Признаки, характеризующие показатели (тип – детерминированный или вероятностный, количество – один или несколько, тип шкал измерения, диапазон значений), предопределяют подходы к решению задачи и применяемые методы. В некоторых случаях на основании анализа принятых показателей могут даже возникнуть сомнения в целесообразности ее решения из-за невозможности обеспечить требуемую надежность выбора. Множество оценок, характеризующих отношение ЛПР к значениям показателей, – набор установленных ЛПР требований к значениям показателей, отражающих его отношение к отражаемым ими свойствам альтернативы. Термин «оценка» здесь используется в несколько ином смысле, чем, например, в математической статистике, где он обозначает полученное тем или иным способом приближение к истинному, как правило, неизвестному значению измеряемой величины. Здесь оценивается отношение ЛПР к каждому принятому во внимание свойству объекта выбора. Оценки могут носить ограничительный либо целевой характер. В первом случае ЛПР указывает в теоретически возможном диапазоне значений показателя (в общем случае, не связанном с множеством реально предъявленных для выбора вариантов) особую граничную точку, отделяющую приемлемые значения от неприемлемых, доступные от недоступных. Во втором случае ЛПР указывает для показателя желаемое (целевое) значение, к которому он хотел бы приблизиться, сделав свой выбор. Целевым значением может быть и бесконечно удаленная точка, что означает стремление при выборе максимизировать или минимизировать значение показателя. Примером первого случая может служить следующая ситуация. Человек, приобретая нужную вещь, делает выбор между несколькими образцами, различающимися ценой. При этом им может быть определена предельная сумма, которую он готов заплатить за покупку. В этом примере показатель (или один из показателей), характеризующих варианты, – цена, оценка значений цены, точнее, оценка приемлемости цены для ЛПР – предельная сумма. Очевидно, что значения цен связаны с образцами рассматриваемой вещи, являются их атрибутами. Предельная сумма, выделяемая на покупку, – атрибут, связанный с субъектом. 9 Примером второго случая может служить стремление человека, совершающего покупку, при выполнении всех ограничительных требований (в частности, по цене) максимизировать показатель качества приобретаемой вещи. Система предпочтений – совокупность правил сравнения альтернатив, позволяющих ранжировать их по предпочтительности (в том числе, установить для них одинаковые ранги, т. е. считать равноценными) либо установить факт их несравнимости. Последнее означает, что ЛПР не может отдать предпочтение ни одному из сравниваемых двух вариантов. В результате анализа системы предпочтений в множестве альтернатив устанавливается определенный порядок, позволяющий судить, какие альтернативы лучше или хуже других, либо являются равноценными по предпочтительности. В теории формулируются требования, которым должны удовлетворять вводимые субъектом предпочтения, и рассматриваются различные виды порядков, описывающих тот или иной вариант системы предпочтений. Ограничимся приведенным списком элементов модели и представим обобщенную модель задачи выбора в следующем виде: M = , где C – субъект выбора (ЛПР – одно лицо, группа лиц); A – множество альтернатив; F – множество показателей (функций), характеризующих альтернативы; Q – множество требований к искомому решению (к значениям показателей); P – система предпочтений. Если по результатам анализа ситуации принятия решений конкретизировать описание каждого из указанных элементов, то на основе обобщенной модели могут быть сформированы модели как классов, так и конкретных (как говорят, индивидуальных) задач выбора. Так, указав субъект выбора, получим модели индивидуального или коллегиального (группового) выбора; вид множества альтернатив определит класс моделей выбора на конечном или бесконечном множестве; задание вида функций, характеризующих альтернативы, позволит отнести задачу к классу принятия решений в условиях определенности или неопределенности; указание количества целевых требований к показателям позволит отнести задачу к одному из классов – со скалярным или с векторным критерием. Сочетание указанных признаков дает возможность формировать разнообразные модели конкретных задач выбора, встречающихся в практической деятельности. В данном курсе лекций мы рассмотрим задачи многокритериального выбора на конечном множестве альтернатив в условиях определенности и неопределенности. 10 Тема 2. Общая схема процесса выбора Основные действия, которые следует выполнить в процессе принятия решений в задачах выбора любого содержания, уже были упомянуты во введении. Это такие действия, как анализ ситуации, в которой принимается решение, выявление возможных вариантов, их оценка, сравнение, формирование предпочтений ЛПР. Совокупность этих действий составляет содержание подготовительного этапа. За действиями подготовительного этапа следует собственно выбор наиболее предпочтительного варианта. Остановимся на содержании этих действий подробнее. Прежде всего, отметим, что указанные действия логически упорядочены и разворачиваются во времени, так что их последовательность можно назвать процессом. Указанные выше действия составляют общую схему или функциональную структуру этого процесса. Длительность процесса определяется содержанием задачи и обстоятельствами, в которых принимается решение: это могут быть доли секунды в экстремальных ситуациях, но могут быть недели или месяцы, если речь идет о решениях, допускающих такую протяженную по времени подготовку. Такие условия характерны для стратегических решений в различных сферах деятельности. В любом случае ограничение по длительности процесса присутствует всегда. Нужно также отметить, что указанная логическая упорядоченность действий отражает общее направление процесса поиска решения. В реальности по разным причинам приходится иногда пересматривать результаты некоторых действий, относящихся к предварительному этапу. Назовем для примера несколько причин такого рода: – сформированная модель не позволила выбрать единственный наиболее предпочтительный для ЛПР вариант решения; – найденный по принятой модели наиболее предпочтительный вариант оказался неприемлемым с учетом каких-либо дополнительных требований; – найденное решение оказалось неустойчивым (это понятие будет разъяснено в дальнейшем). При возникновении таких нежелательных ситуаций ЛПР может вернуться на предварительный этап и выполнить все или некоторые из следующих действий: пересмотреть свои предпочтения (это найдет отражение в способе формализации модели, о чем будет сказано в дальнейшем); изменить требования к искомому решению (изменить состав и оценки ограничительных и целевых функций); изменить состав множества вариантов; приложить усилия к уменьшению уровня неопределенности в описании задачи. Рассмотрим этапы процесса принятия решений более подробно. Анализ ситуации. Напомним, что задача принятия решения или задача выбора формулируется в том случае, когда перед субъектом имеется некоторая проблема. Именно сделав выбор, он стремится если не полностью 11 решить, то, по крайней мере, продвинуться в решении этой проблемы. Поэтому важно установить такие характеристики проблемы, как важность, актуальность, степень сложности, сроки решения. Эти характеристики предопределяют объемы ресурсов (в том числе, ресурса времени), выделяемых на ее решение, а эти объемы, в свою очередь, будут определять постановку задачи выбора, возможные подходы, требования к результату и методы решения. При анализе ситуации, в которой принимается решение, выявляются две группы характеристик: содержательные (качественные, трудноизмеримые, и значит, трудно формализуемые) и потенциально формализуемые (допускающие получение количественных оценок). Примером характеристик первой группы могут служить такие факторы, как влияние на решение задачи внешних сил (стимулирующих или, наоборот, дестимулирующих поиск наилучшего решения), степень заинтересованности ЛПР в поиске наилучшего варианта («конфликт интересов») и другие подобные факторы. Их важно знать, но учесть их в формулировке задачи выбора крайне затруднительно или даже невозможно. Вторая группа факторов может быть подвергнута научному анализу и их описание войдет в итоговую модель задачи. К числу факторов этой группы можно отнести следующие: – вид субъекта, принимающего решение (отдельный человек, относительно небольшая по численности группа лиц, большое по количеству множество лиц, участвующих в процессе принятия решений (например, региональный референдум или всенародное голосование)); – объем и характеристики (достаточность, достоверность, точность) доступной информации об элементах формируемой модели, и значит, уровень неопределенности, при котором принимается решение; – объемы ресурсов, выделенных на решение (финансовых, трудовых, информационных, ресурса времени). Подчеркнем еще раз, что указание значений этих факторов определяет вид модели конкретной задачи и подход к ее решению. Формирование множества альтернативных вариантов (альтернатив). Напомним, что альтернативный выбор имеет место, когда ЛПР должен выбрать один из предъявленных ему вариантов. Выбор может быть и неальтернативным: в этом случае выбираются несколько вариантов из множества. Но такой выбор может быть сведен к альтернативному. Например, если человек решает задачу выбора банка для размещения своих средств, то альтернативный выбор имеет место, если он намерен разместить все средства в одном из банков. Если он предполагает разделить средства на части и разместить их в различных банках, то выбор будет неальтернативным. Если, к примеру, банков три (n=3) (обозначим их a,b,c), то при альтернативном выборе число вариантов будет также равно трем. Если выбор неальтернативный, то его можно свести к альтернативному, рассматривая в качестве вариантов различные сочетания банков: a,b,c, ab, ac, 12 bc, abc. Заметим, что число вариантов стало равным (n! –1), что существенно больше, чем n (напомним, что n!=1∙2∙…∙n), но задача выбора стала более простой: требуется выбрать одно из семи указанных сочетаний. Поэтому в теории в качестве основной модели рассматривают альтернативный выбор. Очевидно, что для существования задачи выбора число вариантов должно быть не менее двух. Число вариантов, как уже было отмечено, может быть конечным и бесконечным. В последнем случае варианты могут быть заданы неким правилом их формирования, либо с помощью набора ограничивающих условий (вспомните классическую модель линейного программирования, используемую в планировании производства, перевозок, распределении ресурсов, некоторых задачах раскроя материалов). В теории принятия решений традиционно рассматриваются задачи выбора из конечного множества альтернатив. Причем нужно отметить влияние на подход к решению задачи такого фактора, как количество элементов (альтернативных вариантов) в множестве (такую характеристику в математике называют мощностью множества). Если это количество относительно невелико и допускает возможность просмотреть отдельные варианты, используются одни подходы и методы. Если же это число конечно, но настолько велико, что просмотреть и сравнить между собой все варианты нет технической возможности, приходится применять иные, в частности, приближенные методы и часто отказываться от претензий на поиск гарантированно лучшего варианта. Примеры таких задач можно найти в календарном планировании и составлении расписаний, раскрое материалов и других сферах деятельности. В большинстве случаев полагают, что множество предъявляемых ЛПР для выбора вариантов сформировано к началу процесса решения задачи, и механизм его формирования лежит за ее пределами. Суть этого механизма, вообще говоря, не имеет значения для процедуры выбора, но для лучшего понимания ситуации укажем два источника появления вариантов. Первый источник находится вне ЛПР: варианты формируют внешние по отношению к нему факторы – природные или обусловленные действиями других субъектов. Второй источник связан с собственным творчеством ЛПР: он сам генерирует (придумывает, изобретает) варианты, исходя из своего опыта, интуиции, теоретических соображений. Нельзя исключать случай, когда ЛПР проявляет известную креативность и задействует оба источника. Повторим: для формального анализа задачи выбора происхождение вариантов значения не имеет. 13 ЛЕКЦИЯ 2 Тема 3. Измерение и оценка свойств альтернатив Представляется вполне очевидным, что для осуществления выбора придется сравнить альтернативы между собой. Столь же очевидно, что для этого предварительно нужно: 1) определиться с набором их свойств, которые ЛПР считает нужным принять во внимание при выборе, и 2) установить способы измерения выделенных свойств. Если эти два пункта выполнены, следует далее обеспечить сопоставимость результатов измерений различных свойств, а возможно, и проранжировать свойства, например, по степени важности для ЛПР. Здесь остановимся только на вопросах измерения. При рассмотрении этих вопросов начинают с описания возможных шкал измерений. Такие шкалы разнообразны, как разнообразны свойства предметов и явлений, а также цели измерений. К сожалению, в учебной экономической литературе мало внимания уделяется измерениям, хотя специфика экономических измерений и исключительная важность корректного измерения экономических факторов требуют внимательного к себе отношения. Здесь ограничимся только кратким описанием основных шкал, вид которых должен учитываться при разработке процедуры выбора. Прежде всего, поясним понятие шкалы. Это понятие неразрывно связано с функцией измерения. Измерение – это установление меры для характеристики интенсивности наблюдаемого свойства или идентификации (определения, выделения среди прочих) состояния изучаемого объекта или явления. Операция измерения состоит в соотнесении различимых градаций свойства или состояний с упорядоченными определенным образом элементами некоторого множества. В качестве таких элементов могут выступать символы, комбинации символов (коды или имена), числа. Упорядоченное множество таких элементов и называют шкалой. Каждый тип элементов допускает свой набор манипуляций, которые могут быть выполнены при сравнении между собой отдельных градаций рассматриваемого свойства. Тип элементов и набор допустимых операций с ними определяет тип измерительной шкалы. Он в свою очередь открывает возможности для описания предпочтений между вариантами (т. е. соотношений лучше, хуже, равноценны, несравнимы). В зависимости от широты этих возможностей говорят о слабых или сильных шкалах. Наиболее слабой является номинальная шкала или шкала наименований. Измерение в этой шкале сводится к наделению различимых градаций измеряемого свойства собственными именами в виде символов или их комбинаций. Единственной операцией, которая может быть произведена в данной шкале – установление факта идентичности объектов при совпадении их имен. Как правило, этого недостаточно для реализации процедуры выбора. Более сильной является так называемая порядковая шкала, позволяющая описать предпочтения более детально. С помощью этой шкалы объекты (в 14 задачах выбора это альтернативные варианты решений) могут быть упорядочены по предпочтительности, поэтому эту шкалу называют также ранговой. Значения рангов принимаются равными натуральным числам. Измерение предполагает выполнение следующих действий: 1) выделение в интенсивности измеряемого свойства конечного числа градаций; 2) упорядочение этих градаций по предпочтительности (с соблюдением определенных правил, в частности, отношения транзитивности предпочтений: если a предпочтительнее b и b предпочтительнее c, то a предпочтительнее c); 3) присвоение градациям значений рангов в соответствии с местом, которое эта градация занимает в полученном упорядочении. Такой подход к измерению уже позволяет по разности между рангами оценивать, на сколько единиц одна градация предпочтительнее другой. При этом важно, что можно, приняв общую шкалу ранжирования значений некоторого свойства, сопоставлять ранги, полученные в результате измерения данного свойства у всех вариантов, предъявленных к выбору. Наглядным примером ранговой шкалы является принятая пятибалльная система оценки знаний школьника или студента. В этой системе преподаватель, принимая экзамен, выступает в роли «измерительного прибора». Имея предварительно построенную «градуировку» уровня знаний по данной дисциплине, он выявляет фактический уровень знаний конкретного студента и присваивает ему соответствующий ранг. Сопоставляя ранги, присвоенные по результатам экзамена, можно сравнивать уровень знаний по данной дисциплине различных студентов. На этом примере можно понять и недостатки порядковой (ранговой) шкалы. Как видно, она базируется на субъективной основе: человек как измерительный прибор неизбежно будет иметь погрешность, обусловленную его личным представлением о линиях, разграничивающих градации измеряемого свойства, об их соответствии назначаемым рангам. Отсюда возможное несовпадение «измерений», выполненных разными «приборами (экзаменаторами). Именно для снижения влияния фактора субъективности назначаются в особых случаях экзаменационные комиссии, вырабатывающие по определенным правилам некую интегральную (часто просто усредненную) оценку. Отметим, что использование средних величин часто не бесспорно. Еще более сомнительно использовать усреднение результатов измерения свойств объектов, выполненных в своих отличающихся друг от друга ранговых шкалах. Примером может служить «средний балл аттестата», полученный усреднением оценок в пятибалльной шкале по множеству дисциплин, отличающихся объективной сложностью материала, объемом учебных часов, формами организации учебного процесса, уровнем методического обеспечения. Но, тем не менее, порядковые шкалы находят практическое применение в различных задачах выбора. Следующей по величине возможностей более точного отражения предпочтений ЛПР является интервальная шкала. При использовании этой 15 шкалы предполагается возможность разделения диапазона изменения измеряемого свойства на равные по величине интервалы (градации), которые сопоставляются с также одинаковыми по величине отрезками (интервалами) шкалы. В результате между измеряемой величиной и результатом измерения устанавливается линейная зависимость, что очень удобно для выполнения процедур сравнения. Ранговые шкалы таким свойством не обладают, что порождает затруднения в их использовании. В отличие от порядковых шкал при использовании интервальной шкалы для обеспечения сравнимости вариантов требуется указать начало отсчета. Если для измерения сопоставимых характеристик вариантов использованы разные интервальные шкалы, то требуется, кроме того, указать и «коэффициенты пересчета» например, если геометрические размеры для одних вариантов заданы в сантиметрах, а для других в дюймах, при сравнении их нужно привести к одинаковой размерности. Пример из сферы экономики: роль коэффициентов пересчета играют текущие кросс-курсы различных валют. Переход к долларовой шкале унифицирует расчеты в мировой экономике. Следующий тип шкал, который следует рассмотреть, – это шкала отношений. По существу, она отличается от интервальной шкалы только тем, что в качестве начала отсчета всегда принимается нулевое значение. Это позволяет при одинаковых значениях отношений значений измеряемого свойства обеспечить также одинаковые значения отношений и результатов их измерений. Шкала отношений является наиболее популярной в теории выбора при построении количественных характеристик сравниваемых вариантов. Конечно, существуют свойства, которые имеют качественный характер, и для их измерения приходится применять относительно слабые шкалы, например, ранговые. Для ЛПР важно понимать проблему измерения учитываемых им свойств, разумно подойти к выбору шкал, учесть допустимые правила преобразования и сопоставления результатов измерений. Это позволит правильно оценить статус полученных конечных результатов выбора: оценить приемлемость, надежность, устойчивость принятого решения к изменению тех или иных исходных характеристик. В дальнейшем мы сделаем ссылки на примеры задач выбора, иллюстрирующие различные способы измерения характеристик сравниваемых вариантов. Тема 4. Требования к искомому решению. Описание предпочтений ЛПР Требования к искомому решению. Приступая к решению задачи и имея перед собой некоторое множество вариантов с результатами измерений их свойств, ЛПР не знает, какой из этих вариантов он выберет. Но некоторый набор требований к искомому варианту он должен сформулировать. Действительно, выбор – это разновидность процедуры поиска. Но, очевидно, нужно знать, что ты ищешь. Выполнить приказ царя-самодура «найди то, не 16 знаю, что» можно только в сказке. В действительности, набор требований к искомому решению должен быть предварительно сформулирован. К примеру, в процессе проектирования любых изделий, по существу, состоящем из последовательности задач выбора различных технических или иных решений, предварительно формулируется документ первостепенной важности – техническое задание. Другой пример: отправляясь за покупкой нужной нам вещи, мы часто не знаем, какие варианты нам будут предложены и на каком из них остановим свой выбор. Но некоторый набор свойств, которыми этот вариант должен обладать, мы представляем. Например, мы определили предельную сумму, которую готовы за эту вещь заплатить. Все требования, которые ЛПР формулирует на предварительном этапе, удобно разделить на две группы: группу ограничительных требований (ограничений) и группу экстремальных (или целевых) требований. Смысл требований первой группы достаточно ясен: это ограничения разного рода (физические, логические, ресурсные, правовые, нравственные,…). При формальной записи ограничений используются алгебраические, логические и, возможно, иные выражения, имеющие вид равенств, неравенств, соотношений «больше», «меньше» и т. п. Подобные ограничения используются как при формировании множества альтернатив, так и при исключении из исходного множества тех вариантов, которые не удовлетворяют заданным ограничительным требованиям. Если рассматривать процедуру выбора как последовательное отсеивание из исходного множества ряда вариантов до получения одного единственного, который признается наиболее предпочтительным, то удовлетворение ограничений – первый уровень такого отсеивания. Если ограничения наложены на значения некоторых характеристик вариантов, то обеспечить их выполнение, очевидно, не составляет труда: достаточно исключить варианты, для которых значения хотя бы одной из таких характеристик выходит за установленные границы. Например, при покупке мы не рассматриваем образцы нужной нам вещи, если их стоимость превышает установленный нами предварительно предел. Во вторую группу относятся требования, которые формулируются относительно тех показателей, значения которых ЛПР хотел бы иметь, по возможности, наибольшими или наименьшими. Направление улучшения зависит от содержания соответствующего свойства: прибыль, производительность труда, долю рынка, загрузку оборудования хочется, очевидно, увеличить в максимально возможной степени; затраты всех видов, процент брака, простои оборудования, длительность производственного цикла, наоборот, хочется уменьшить. Формальная запись экстремального требования к значению показателя fi , как известно из ранее изученных курсов по математическим методам в экономике и планировании, имеет вид fi → max (min) и называется целевой функцией. Отметим нужный для последующего применения прием: чтобы изменить направление улучшения показателя на противоположное, достаточно у данного показателя изменить 17 знак: если fi → max, то( – fi) →min (вспомним, что убытки можно трактовать как прибыль с минусом). Укажем также, что для целевых функций в некоторых случаях могут быть указаны желаемые значения fi0 (их тоже можно назвать целевыми). Если отклонения от этого значения как в одну, так и в другую сторону для ЛПР одинаково нежелательны, то экстремальное требование в этом случае можно записать так: │ fi – fi0 │→ min. Принципиальным фактором для идеологии решения задачи выбора является количество экстремальных требований: является ли оно единственным, либо таких требований несколько. В первом случае при конечном и обозримом количестве альтернатив задача логически становится очень простой: наилучшим будет, очевидно, вариант с экстремальным значением целевой функции, и такой вариант можно найти с помощью последовательного просмотра и сравнения альтернатив между собой. Отметим, что в общем случае технически задача поиска оптимального варианта может быть весьма непростой и потребовать применения специальных методов линейного, нелинейного, дискретного программирования, объединенных в особый раздел математики – математическое программирование, знакомству с которым были посвящены специальные учебные курсы. Во втором случае, когда целевых требований несколько, характерным является ситуация, при которой наилучшие значения разных целевых показателей достигаются при выборе разных альтернатив. Но должна быть выбрана одна из них! Конечно, возможны случаи, когда среди предъявленных альтернатив имеется вариант, лучший сразу по всем показателям. Проблемы выбора в таких случаях нет, однако, они не часто встречаются в практической деятельности. Трудности возникают в более характерных для практики ситуациях, когда единственное решение, явно доминирующее над всеми остальными, среди предъявленных альтернатив отсутствует. Интуитивно ясно, что в таких случаях лицу, принимающему решение, придется определиться в своих суждениях относительно важности для него различных требований и, возможно, поступиться какими-либо из них. Другими словами, ЛПР должен смириться с выбором не самого лучшего, но компромиссного варианта решения. Также нетрудно понять, что при этом возрастает субъективная составляющая методики выбора: личные (субъективные) суждения ЛПР становятся фактором, определяющим окончательный выбор. Может возникнуть вопрос: какова же в таком случае роль теории? Можно сказать, что теория помогает в двух формах: 1) она позволяет по формальным признакам исключить из предъявленного множества неконкурентоспособные варианты (они далеко не всегда очевидны!) и 2) она говорит, что делать с субъективными оценками важности требований, и дает способы формального т. е. объективного) представления предпочтений ЛПР. При этом теория 18 позволяет исследовать чувствительность результата выбора к изменению субъективных оценок. Отметим, что это не мало. Описание предпочтений ЛПР. Исходным действием на этом этапе является сравнение предъявленных вариантов между собой. Всегда можно считать, что сравнение вариантов производится попарно: последовательно просматриваются все пары вариантов и в каждой паре устанавливается отношение предпочтительности. Это отношение может принять одно из следующих значений: вариант a лучше (более предпочтителен) варианта b (пишут a > b); вариант a хуже (менее предпочтителен) варианта b(ab) и (b>c), то (a>c). Это условие представляется вполне естественным, однако выполняется не всегда. Например, выберите команду-победителя в турнире, в котором участвуют три команды a, b и c, если результаты встреч таковы: (a побеждает b), (b побеждает с), (с побеждает a). В таких случаях приходится вводить дополнительные критерии, например, учитывать соотношение забитых и пропущенных мячей (или шайб), выигранных и проигранных сетов и т. д. Все эти приемы оценки фиксируются в правилах выбора, устанавливающих последовательность применяемых критериев. Такое упорядочение критериев называют лексикографическим из-за внешнего сходства с упорядочением слов в словарях. В этом случае возникают специфические задачи выбора, где критерии вводятся в процедуру выбора по мере необходимости. Но в данном пункте мы не будем касаться методов выбора, оставив их для последующих лекций. Здесь укажем только аспекты описания предпочтений, допуская, что не всегда полученное описание подводит к однозначному выбору, соответствующему субъективным представлениям ЛПР о предпочтительности вариантов. Приведем эти аспекты и попытаемся их пояснить, используя минимум формальных средств. Исходным пунктом в описании предпочтений логично считать указание перечня и направлений улучшения критериев, характеризующих альтернативы. Ранее мы уже указали, как эти критерии возникают: ЛПР вводит их в описание задачи для характеристики принимаемых во внимание свойств альтернатив и требований к искомому решению. Смысл критериев оценки предопределяет выбор шкал для их измерения. Представляется 19 понятным, что для последующего сравнения вариантов по нескольким критериям на определенном этапе может потребоваться согласование различных шкал с целью обеспечить соизмеримость различных критериев (приведение их значений к одинаковой размерности и масштабу величин или, другими словами, нормирование критериев). Также на некотором этапе для применения формализованных процедур может быть важным обеспечить одинаковую направленность улучшения всех критериев, выражающих экстремальные требования: либо все критерии устремляются к максимуму, либо все они устремляются к минимуму. Как это сделать с помощью простого приема перемены знаков, было сказано выше. Все указанные действия можно назвать подготовительными: они дают минимум информации для выполнения операций сравнения сначала критериев, а затем и альтернатив. На этом завершим предварительное описание предпочтений ЛПР. Отметим только, что мы здесь затронули лишь основные моменты, которые должны помочь усвоить материал последующих лекций. Некоторые вопросы, касающиеся описания предпочтений, а также и других элементов модели выбора, будут рассмотрены отдельно при изучении конкретных методов принятия решений. Контрольные вопросы 1. Поясните содержание задачи принятия решения (задачи выбора) и понятий субъект и объект выбора. Какие возможны свойства и способы задания множества вариантов и требования к искомому результату? 2. В чем различие скалярной и векторной задач выбора? 3. Поясните смысл элементов, составляющих обобщенную модель задачи выбора. 4. Назовите и поясните основные этапы процесса принятия решения. 5. Какие факторы формируют ситуацию, в которой принимается решение? 6. Назовите возможные способы формирования множества вариантов решений. В чем различие альтернативного и неальтернативного выбора? 7. Поясните понятие шкала измерения. Приведите примеры различных типов шкал. 8. Поясните свойства номинальной и порядковой шкал и возможности их использования в задачах выбора. 9. Поясните свойства интервальной шкалы и шкалы отношений. Каковы возможности их использования в задачах выбора? 10. Как формируются и как могут быть классифицированы требования к искомому решению? 11. Какие отношения возможны между вариантами решения с точки зрения предпочтительности для лица, принимающего решение (ЛПР)? 20 УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 2 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЙ ВЫБОР В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЛЕКЦИЯ 3 Тема 5. Модель многокритериального выбора После того, как мы усвоили основные понятия, знаем вид обобщенной модели и содержание этапов процесса выбора, можем перейти к рассмотрению более конкретных постановок задач. В этой и последующей лекциях мы рассмотрим задачи, в которых субъектом является рационально мыслящий человек, самостоятельно (или с помощью аналитика-консультанта) делающий свой выбор (принимающий решение), опираясь исключительно на собственные суждения о свойствах альтернатив, способах измерения этих свойств, оценках предпочтительности. Напомним, что субъекта мы обозначаем аббревиатурой ЛПР – лицо, принимающее решение. Множество альтернатив будем считать конечным с обозримым количеством элементов. Будем также полагать это множество сформированным к началу процесса решения задачи и неизменным по составу. ЛПР выделил набор свойств, в совокупности характеризующих каждую из альтернатив (полезно вспомнить о формах зависимости между отдельными свойствами, о которых шла речь в предыдущей лекции), и таких свойств не менее двух. Это значит, что мы рассматриваем задачу многомерного или с учетом того, что каждое свойство оценивается своим показателем (критерием), многокритериального выбора. Для краткости будем говорить о задаче МКВ. ЛПР использует для измерения свойств альтернатив шкалы, позволяющие упорядочить значения каждого критерия по предпочтительности (напомним, этим свойством не обладают номинальные шкалы, приписывающие объектам только названия, не позволяющие судить о них, что лучше, что хуже). Наконец, будем считать, что выбор производится в условиях полной определенности. Это означает, что все параметры задачи (состав множества альтернатив, значения критериев, суждения ЛПР) считаются полностью определенными (полными, достаточными, достоверными, точными). Задача сводится к некоторому набору действий с этими параметрами, приводящему к выбору единственной, наиболее предпочтительной для ЛПР альтернативы (или множества равноценных по качеству альтернатив). Теория выработала ряд полезных приемов формирования и выполнения указанного набора действий. Эти приемы мы и рассмотрим на ближайших лекциях. Сразу скажем, что условия полной определенности выполняются крайне редко. На практике чаще возникают ситуации, когда оценки свойств альтернатив относятся к будущему времени, которое нам неизвестно, или эти оценки получены в результате измерений, значит, всегда с погрешностью. Иногда эти оценки по разным причинам нельзя считать достоверными, также нельзя считать надежными субъективные суждения ЛПР. Кроме того, действуют различные случайные факторы, как правило, негативно влияющие 21 на последствия принимаемых решений. Все эти факторы делают ситуацию выбора неопределенной, и мы такую ситуацию рассмотрим в нашем курсе в дальнейшем. Здесь будем полагать, что таких факторов нет. Несмотря на идеализированный характер ситуации, усвоить порядок работы в ней совершенно необходимо для понимания подходов к решению задач и в более сложных условиях неопределенности. Итак, приняв все указанные предположения, мы сформулировали модель рассматриваемой задачи и можем приступить к ее формализации. Мы будем это делать, постепенно увеличивая объем используемой для решения задачи информации. Отметим, что процесс выбора можно рассматривать как последовательность «просеивания» исходного множества альтернатив через ряд «фильтров». На каждом очередном шаге фильтрации используется новая, дополнительная информация. Пусть задано множество альтернатив A = {a1, a2,…, an}. Каждая альтернатива характеризуется набором (вектором или кортежем) показателей f = (f1, f2,…, fm, fm+1, …, fM). Пусть на значения показателей fm+1, …, fM наложены ограничения: каждый из них должен находиться в своем заданном заранее диапазоне значений, т. е. fi(-) ≤ fi ≤ fi(+), где fi(-) и fi(+) – заданные числа, i = m+1, m=2,…,M. Если хотя бы один из показателей выходит за пределы заданного диапазона, альтернатива исключается из дальнейшего рассмотрения. Таким образом, проверка выполнения ограничительных требований исполняет роль первого фильтра, отсеивающего недопустимые варианты решений на основе информации I0 = {A, fi , fi(-), fi(+)}. Будем полагать, что этот этап фильтрации выполнен, и множество A включает только альтернативы, удовлетворяющие заданным ограничениям. Соответственно, можем исключить из вектора f те компоненты (они имеют индексы от m+1 до M), на которые наложены ограничения. К оставшимся компонентам предъявляются экстремальные требования: каждая из них, в зависимости от смысла показателя, должна быть максимизирована либо минимизирована. Вектор f = (f1, f2,…, fm) будем называть векторным критерием, а его отдельные компоненты – локальными критериями. Формальная запись экстремальных требований имеет вид fk → max либо fq → min. Напомним, что для выполнения некоторых действий (об этом будет сказано далее) все локальные критерии нужно направить в одну сторону, например, в сторону максимума. Это, напомним, легко делается с помощью перемены знака (см. материал предыдущей лекции). Обратим еще раз внимание, что за редкими исключениями, когда имеется единственная альтернатива, с очевидностью лучшая по всем локальным критериям, все экстремальные требования выполнить одновременно, выбрав некоторую альтернативу, не удается! Так что приведенная формальная запись этих требований, строго говоря, не корректна и применяется из соображений наглядности. 22 Следует также сказать, что на значения локальных критериев также могут быть наложены ограничения (их называют критериальными). Понятно, что в этих случаях для максимизируемых критериев устанавливаются нижние граничные значения, для минимизируемых – верхние. Эту процедуру можно рассматривать, как следующий фильтр, отсеивающий недопустимые варианты решений. Впрочем, эта процедура может быть выполнена и при первой фильтрации исходного множества альтернатив. Итак, будем полагать, что информацию, заключенную в ограничениях (это данные о фактических значениях показателей fm+1, …, fM и заданных для них граничных значениях), мы уже использовали. На следующем шаге мы располагаем информацией о составе множества альтернатив А и значениях критериев для каждой альтернативы ai f(ai)=(f1(ai), f2(ai),…,fm(ai)), i =1,…,n. Для удобства обозначим эту информацию символом I1 и используем символическую запись I1 = {A, f(ai)}. Эта информация позволяет сделать следующий важный шаг в направлении поиска наиболее предпочтительного варианта решения. Подчеркнем, что этот шаг основан на объективных (в той мере, в какой являются объективными измерения свойств альтернатив) соотношениях между значениями критериев. Отметим также, что на этом шаге не требуется согласование шкал, в которых измерены отдельные критерии. Достаточно, чтобы каждая из них позволяла указать направление улучшения значений соответствующего критерия. Тема 6. Области доминирования и Парето-оптимальные варианты решений Для более наглядного пояснения методов, применяемых для анализа многокритериальной задачи, рассмотрим случай двух критериев, т. е. будем полагать, что f(ai)= =(f1(ai),f2(ai)). Это позволит пользоваться графиками, а выводы понятным образом обобщаются на задачи с произвольным числом критериев. В теории многокритериального выбора принято представлять каждую альтернативу точкой в «пространстве критериев», размерность которого равна числу критериев. В нашем случае это число равно двум, так что названное пространство представляет собой плоскость с двумя перпендикулярными осями координат, соотнесенными с каждым из критериев, для которых, в свою очередь, определены шкалы для измерения значений критериев. Для каждой альтернативы значения критериев известны и представляют собой некоторые числа, что позволяет изобразить каждую альтернативу точкой на координатной плоскости. Приведем пример. Пусть 23 задано множество альтернатив A = {a1, a2, a3, a4, a5, a6 }. Значения критериев приведены в таблице. Критерий f1 2 4 6 4 8 10 Альтернатива a1 a2 a3 a4 a5 a6 Критерий f2 200 400 200 800 600 200 Диапазоны изменения критериев взяты существенно различными, несоизмеримыми, чтобы подчеркнуть, что на данном этапе это не имеет значения. Расположение точек показано на рис. 1 (конкретный вариант расположения точек в пространстве критериев будем называть конфигурацией). Для ЛПР желательно, сделав выбор одной из предъявленных шести альтернатив, получить как можно большие значения каждого из критериев. Формально мы записываем это пожелание в виде условий (экстремальных требований) f1 → max и f2 → max. Покажем, как анализ взаимного расположения на плоскости (в пространстве критериев) точек, изображающих альтернативы, позволяют во многих случаях исключить из дальнейшего рассмотрения некоторые из них, как с очевидностью не подходящих на роль наилучших, наиболее предпочтительных вариантов. f2(ai) a4 800 a5 600 a2 400 a1 a3 200 2 4 6 a6 8 10 f1(ai) Рис.1. Конфигурация множества альтернатив в двумерном пространстве критериев Обратимся к рисунку. Рассмотрим все пары вариантов и установим для каждой из них имеющий место характер отношения между ее элементами (напомним, что отношение может быть охарактеризовано значениями 24 «лучше», «хуже», «равноценно», «неопределенно»). Выявить, какое значение имеет данное отношение для конкретной пары вариантов, можно, сравнив их значения критериев. Ниже приведены все пары вариантов и выводы, которые можно сделать из анализа соотношений между критериями. (a1, a2) → f1(a2)>f1(a1) и f2(a2)>f2(a1) → a2  a1 (a2 лучше (предпочтительнее) a1). В этом случае также говорят: a2 доминирует a1. представляется очевидным, что вариант a1 можно исключить из дальнейшего рассмотрения, так как оно явно не является лучшим среди всех предъявленных вариантов. Соответственно, можно исключить из рассмотрения все пары, включающие этот вариант. (a2, a4) → f1(a2)=f1(a4) и f2(a4)>f2(a2) → a4  a2 (a4 лучше (предпочтительнее) a2). В этом случае, очевидно, исключить следует вариант a2 и все включающие его пары. (a3, a5) → f1(a5)>f1(a3) и f2(a5)>f2(a3) → a5  a3 (a5 лучше (предпочтительнее) a3). В этом случае, очевидно, исключить следует вариант a3 и все включающие его пары. (a4, a5) → f1(a5)>f1(a4) но f2(a5)< f2(a4) → a5 ?a4 (значение отношения неопределенно в том смысле, что ЛПР не может по имеющейся информации указать, какой из этих двух вариантов предпочтительнее (иногда в таких случаях говорят, что варианты несравнимы, что по смыслу не совсем точно: сравнить можно (что мы и сделали, используя значения критериев), но выработать суждение о предпочтительности нельзя). В этом случае, понятно, исключать какой-либо из этих двух вариантов не следует. (a4, a6) → f1(a6)>f1(a4) но f2(a6)< f2(a4) → a6 ?a4 . По этой паре вывод аналогичен предыдущему. (a5, a6) → f1(a6)>f1(a5) но f2(a6)< f2(a5) → a6 ?a5 . И в этом случае отдать предпочтение какому-либо из этих двух вариантов невозможно. Таким образом, список вариантов, которые следовало рассмотреть, исчерпан. В результате попарного сравнения из шести вариантов, входящих в исходное множество A, три удалось исключить. Это варианты a1, a2 и a3. При анализе пар, составленных из трех других вариантов a4, a5 и a6, мы обнаружили, один из них лучше по одному из критериев, но хуже по другому. В то же время для каждого из них в исходном множестве A нет более предпочтительных (доминирующих) вариантов. Варианты (альтернативы), обладающие указанным свойством, составляют особый класс, исключительно важный в теории многокритериального выбора. Такие варианты называют Паретооптимальными (по имени В. Парето (1848 – 1923), итальянского ученого, изучавшего в числе многих вопросов проблемы определения равновесных цен в актах купли-продажи). Приведем перечень характерных свойств Парето-оптимальных решений: – такие решения нельзя улучшить одновременно по всем критериям: переход от любого Парето-оптимального варианта к иным, в том числе и 25 Парето-оптимальным вариантам, при улучшении некоторых из критериев всегда будет сопровождаться ухудшением некоторых других; – для таких решений в предъявленном множестве вариантов не существует более предпочтительных, доминирующих над ними вариантов. Заметим, что при формулировании указанных свойств мы не ограничивали число критериев. Из приведенных формулировок могут быть сделаны важные для практики выводы: 1) выбор окончательного решения следует производить среди Парето-оптимальных вариантов и 2) в случае использования двух критериев выявление Парето-оптимальных решений может быть выполнено графически с помощью построения зон доминирования для каждого из вариантов исходного множества: для Парето-оптимальных решений зоны доминирования не будут содержать каких-либо вариантов, т. е. будут «пустыми». Поясним построение зон доминирования с помощью рис. 2. Предположим, что в некоторой задаче выбора среди предъявленных вариантов решения имеется вариант, обозначенный символом k , и ЛПР желает в результате выбора увеличить значения каждого из двух критериев, т. е. f1 → max и f2 → max. Эта ситуация изображена на рис. 2, а. Очевидно, что все варианты, расположенные в заштрихованной зоне и на ее границе, являются более предпочтительными, чем вариант k. Действительно, варианты, расположенные внутри зоны, лучше, чем k, сразу по двум критериям, а варианты, расположенные на горизонтальной и вертикальной границах зоны, лучше k по одному критерию и не хуже по другому. Если изменить направление улучшения критериев, то положение зоны доминирования изменится. На рис. 2, б, в, г изображены ее положения при различных направлениях улучшения критериев, показанных с помощью стрелок вдоль осей координат. Покажем порядок выявления Парето-оптимальных решений в предъявленном множестве альтернатив. Вернемся к примеру (см. рис. 1). Построим для каждого из вариантов его зону доминирования. Результат построения показан на рис. 3. Из графиков нетрудно установить составы множеств (или областей) доминирования D (ai) для каждого решения ai: a1  D (a1) = { a1, a2, a3, a4, a5, a6}; a2  D (a2) = {a4, a5}; a3  D (a3) = {a5, a6}; a4  D (a4) = {  }; a5  D (a5) = {  }; a6  D (a6) = {  }. Для вариантов a4, a5, a6 области доминирования оказались пустыми (напомним, что символ  означает пустое множество, т. е. не содержащее элементов). Эти три варианта и являются Парето-оптимальными. Именно из 26 этих вариантов следует сделать выбор, исключив из рассмотрения остальные варианты (в нашем примере это варианты a1, a2, a3 ). а б в г Рис. 2. Зоны доминирования при различных направлениях улучшения критериев Таким образом, выявление Парето-оптимальных решений сыграло роль следующего фильтра на пути поиска наилучшего варианта. Множество Парето-оптимальных решений для исходного множества альтернатив A будем обозначать P(A). В нашем примере P(A) = { a4, a5, a6}. f2(ai) a4 800 a5 600 a2 400 200 a3 a1 2 4 6 a6 8 10 f1(ai) Рис. 3. Зоны доминирования для вариантов решений 27 В качестве упражнения рекомендуется построить области доминирования для указанных в примере альтернатив при иных вариантах направлений улучшения критериев, а именно, при 1) f1 → min и f2 → max, 2) f1 → max и f2 → min, 3) f1 → min и f2 → min. В каждом из двух последних случаев, как нетрудно убедиться, Парето-оптимальным будет единственное решение, соответственно, a6 и a1, и именно эти решения по формальному признаку следует выбрать. Задача выбора будет решена. В других случаях, включая рассмотренный нами пример, Парето-оптимальных решений будет несколько, и для поиска единственного решения следует продолжить «просеивание» оставшихся вариантов. Мы рассмотрели ситуацию, когда множество альтернатив было конечным. Если же это множество представляет собой некоторую непрерывную область в пространстве параметров, характеризующих допустимые решения, то и множество значений критериев также образует, как правило, непрерывную ограниченную область в пространстве критериев (за исключением некоторых "экзотических" случаев с особо сложными критериями). В этой ситуации схема построения областей доминирования принципиально не меняется, но сами эти области уже нельзя описать путем перечисления входящих в них элементов, и следует указать границы областей. В этом случае все Парето-оптимальные точки будут расположены на определенных участках (или на одном участке) границы множества возможных значений критериев. Выявить эти участки можно, перемещая вдоль границы "угловой шаблон", ориентированный в зависимости от направлений улучшения каждого из критериев одним из четырех способов, а именно: I : f 1 → max, f 2 → max; ориентация шаблона -- вправо, вверх ( ); II : f 1 → max, f 2 → min; ориентация шаблона -- вправо, вниз ( ); III : f 1 → min, f 2 → min; ориентация шаблона -- влево, вниз (  ); IV : f 1 → min, f 2 → max; ориентация шаблона -- влево, вверх (  ). Рассмотрим пример. Пусть множество возможных оценок критериев представляет собой замкнутую область Y (рис. 4), и каждый из принятых двух критериев желательно минимизировать (это имеет место, в частности, в случае, если локальные критерии интерпретируются как затраты различных видов ресурсов). Шаблон для поиска областей доминирования точек в этом случае следует ориентировать влево, вниз. Выполнив построения, установим, что область доминирования, например, для точки i ограничена лучами ip и iq, исходящими из этой точки, и участком pq границы области Y (на рисунке область доминирования заштрихована, в нее входят и точки, лежащие на лучах ip и iq). Парето-оптимальные точки расположены на участке rs границы области Y. Только для этих точек области доминирования, выделенные с помощью углового шаблона, ориентированного в нашем 28 случае влево, вниз, оказываются пустыми (четыре такие области построены на рисунке). Графическим построением нетрудно убедиться, что любые точки вне указанного участка границы этим свойством не обладают: в область доминирования обязательно попадет больший или меньший внутренний фрагмент области Y (например, внутренняя точка i и точка h, лежащая на границе). Рис. 4. Пример выявления множества Парето-оптимальных решений в ситуации, когда множество альтернатив бесконечно, а значения критериев принадлежат ограниченной замкнутой области Как уже было сказано, выявление множества Парето-оптимальных решений представляет собой ключевой этап решения задачи многокритериального выбора. Действительно, решая задачу выбора, ЛПР легко продвигается к наилучшему решению, если в его поле зрения на последовательных шагах процедуры поиска попадают варианты, лучшие (т. е. с лучшими значениями каждого из принятых критериев оценки!) тех, которые он рассматривал на предыдущих шагах. Ситуация становится проблемной, когда обнаруживаются варианты, которые оказываются лучше любых других, но при этом несравнимыми между собой. Напомним, что термин «несравнимы» понимается в том смысле, что какому-либо из сравниваемых вариантов нельзя отдать предпочтение. Последнюю фразу следует дополнить: с использованием только информации о составе множества альтернатив и о значениях критериев их оценки (ранее мы эту информацию условно обозначили I = {A, f}). Для выполнения следующего этапа просеивания множества альтернатив, включающего к этому шагу только Парето-оптимальные варианты, т. е. множества P(A), требуется дополнительная информация. О содержании и формах задания этой информации речь пойдет в следующей лекции. Для закрепления понимания смысла и значимости Парето-оптимальных решений здесь поясним, почему их называют также эффективными решениями, а множество P(A) – переговорным множеством. 29 Использование термина «эффективные решения» связано с фундаментальной моделью, рассматриваемой в теоретической экономике. Одно из определений экономики как научной дисциплины устанавливает в качестве ее главной задачи изучение методов и механизмов распределения ограниченных ресурсов. Реальный объем любых ресурсов, необходимых для получения материальных благ, всегда ограничен. Распорядиться этим объемом в процессе хозяйственной (экономической) деятельности можно поразному. Соответственно, будет различным и экономический результат. Независимо от способов оценки этого результата можно сказать, что хозяйственные решения нерациональны или неэффективны, если часть ресурсов осталась неиспользованной. (Напомним, что мы говорим о модели некоторой гипотетической экономики, изучаемой в теории). Рассмотрим, например, экономику, в которой имеется единственный ограниченный ресурс – металл, и с использованием оптимальных технологических способов производится два вида продукции – военная техника (обозначим ВТ) и оборудование для текстильных предприятий (текстильная техника – ТТ). (Подумайте, почему сделано предположение об использовании оптимальных, т. е. наилучших при достигнутом уровне научно-технического прогресса способах производства указанных изделий). Для общества считается желательным увеличивать объемы выпуска этих продуктов. Хозяйствующий субъект принимает решение, в каких объемах производить каждый из указанных продуктов. Если, приняв некоторое решение, он обнаруживает неиспользованный остаток металла, то значит данное решение неэффективно, и можно увеличить выпуск продуктов (т. е. улучшить решение), причем увеличив одновременно выпуск и ВТ, и ТТ. В этом случае вновь возникает вопрос, как распределить этот остаток ресурса между ВТ и ТТ. После ряда неэффективных решений субъект найдет вариант, при котором наличный ресурс используется полностью. Дальнейшее увеличение выпуска одновременно и ВТ, и ТТ невозможно. Увеличить выпуск, например, ВТ можно только за счет сокращения выпуска ТТ, и наоборот. Это последнее решение следует признать эффективным. Мы можем назвать его и Парето-оптимальным, так как оно удовлетворяет необходимым требованиям, указанным ранее (для такого решения при заданном объеме ресурса не найдется доминирующих). Такие решения часто называют эффективными по Парето. Таково происхождение названия данной категории решений. Рассмотрим другой пример. Представим себе ситуацию, когда решение принимается группой лиц или «сторон», причем каждая из них преследует собственные интересы, не совпадающие с интересами других. Такая ситуация характерна, в частности, для задач распределения ограниченного ресурса. Примером может служить распределение доходной части бюджета между различными его статьями. Образно говоря, каждая из статей «заинтересована» в увеличении своей доли в общем бюджете. Ситуация, заметим, аналогична рассмотренной выше в примере с двухпродуктовой 30 экономикой. Если интересы отдельных статей представляют некоторые разумные активные агенты, способные отстаивать свою позицию с помощью тех или иных факторов «силы» – убедительных аргументов, авторитета, иных преимуществ (величина экономического, физического, военного, интеллектуального, информационного и других видов потенциала), то искомое решение может быть установлено с помощью переговоров между агентами. Ясно, что переговоры имеет смысл вести только относительно тех вариантов решений, для которых любое смещение в пользу одной из сторон сопровождается ущемлением интересов других сторон. Другими словами, обсуждать имеет смысл только Парето-оптимальные варианты решений. Поэтому множество таких вариантов в задачах, где сталкиваются интересы конфликтующих сторон, называют переговорным множеством. В таких задачах, точнее, в любых задачах многокритериального выбора целью является поиск компромиссного варианта решения. Поэтому в этих задачах не принято использовать термин «оптимальное» решение. Парето-оптимальный вариант, если он принимается всеми сторонами, всегда будет компромиссным. Обратное утверждение в общем случае не верно, так как возможны ситуации, когда стороны достигают соглашения и принимают компромиссное решение (т. е. решение, устраивающее все стороны), которое могло бы быть улучшено в интересах всех сторон, а значит, не являющееся Парето-оптимальным, а значит, и рациональным. Такие ситуации теория не рассматривает. Представляется понятным, что в компромиссном решении степень учета интересов каждой из сторон соотносится с оценкой «силы» этой стороны как «переговорщика». Если стороны не находят компромиссного решения в переговорном процессе, включаются механизмы перераспределения силы между участниками переговоров, например, военные действия. Опираясь на понятия Парето-оптимальных решений, компромисса, переговорного множества, силы переговорщиков, полезно проанализировать конфликтные ситуации, связанные с выбором решений, которые мы можем наблюдать в политической, экономической и других сферах жизни, в том числе и в жизни каждого человека. ЛЕКЦИЯ 4 Тема 7. Выбор предпочтительного варианта. Задание относительной важности критериев Вернемся к представлению процесса выбора как последовательной «фильтрации» исходного множества альтернатив. К началу процесса мы сформулировали ряд требований к искомому решению и разделили их на две группы: ограничения и экстремальные (целевые) требования. На первом этапе мы исключили альтернативы, не удовлетворяющие заданным ограничениям. При этом мы использовали информацию о фактических и заданных граничных значениях показателей, отражающих свойства, на 31 которые наложены ограничения. В результате мы получили множество A допустимых вариантов решений. На следующем этапе мы, используя информацию о составе множества и значениях критериев, с помощью построения зон доминирования выявили множество Парето-оптимальных вариантов P(A). Заметим, что зоны доминирования были построены по формальным признакам, отражающим объективную составляющую в отношениях предпочтения между альтернативами. Именно среди этих вариантов надлежит выбрать единственное решение, которое ЛПР считает наиболее предпочтительным. Для выполнения этого этапа нужна дополнительная информация, отражающая личные предпочтения ЛПР, т. е., другими словами, отражающая субъективную составляющую отношений предпочтительности. В качестве такой дополнительной информации выступают данные об относительной важности или значимости для ЛПР каждого из критериев. Вопросам задания и использования этой информации для выбора окончательного решения и посвящена эта лекция. Первым действием, требующим от ЛПР прямого сопоставления критериев, является назначение для них коэффициентов относительной важности (значимости, «весовых» коэффициентов, или просто «весов»). Мы будем иметь в виду ситуацию, когда веса назначает ЛПР, исходя из своих собственных, «эвристических» (т. е. не имеющих формального обоснования) соображений. Эта внешне несложная операция в некоторых случаях вызывает при выполнении определенные затруднения. Пусть каждая альтернатива c номером i характеризуется набором (вектором) критериев f(i) = =(f(i)1,f(i)2,…,f(i)m). Рассмотрим такую схему. Примем, что набор критериев обладает для ЛПР некоторой величиной общей, или суммарной, важности (или значимости, или веса). Обозначим эту величину λ и для удобства примем ее равной единице. Задача ЛПР состоит в том, чтобы эту суммарную важность набора распределить между отдельными критериями. Ясно, что в этом случае веса λj отдельных критериев должны удовлетворять условиям: λj ≥ 0 и сумма ∑ λj =1 (условия нормировки). Например, если критериев всего два (m = 2), то возможны, в частности, такие значения весовых коэффициентов: λ1 = 0,7; λ2 = 0,3. Если критериев, к примеру, пять, то в некоторой конкретной задаче веса могут быть назначены такими: λ1 = 0,5; λ2 = 0,2; λ3 = 0,15; λ4 = 0,10; λ4 = 0,05. Приведенный пример иллюстрирует одну из трудностей, возникающих при назначении весов: с увеличением числа критериев из-за того, что среднее значение веса уменьшается, для ЛПР все более затруднительно выразить свои представления о важности критериев с помощью коэффициентов. Поэтому рекомендуется не вводить в модель задачи слишком большое число критериев. Рекомендуется принимать это число в пределах от одного до пяти. Другая трудность в назначении весов связана со следующим обстоятельством. Представим себе ситуацию, когда человек выбирает место 32 работы, руководствуясь двумя критериями – размером заработной платы и величиной творческой составляющей в деятельности. И тот, и другой критерий наш субъект желает увеличить. Если заработная плата является для субъекта единственным источником средств, то при малых значениях этого критерия субъект придаст ему относительно больший вес и, следовательно, предпочтет вариант места работы с большей зарплатой. Если же для предъявленных вариантов величины заработной платы оказались, по мнению субъекта, достаточно большими, то вес этого критерия может быть снижен в пользу второго критерия – величины творческой составляющей. Другими словами, коэффициенты важности критериев могут зависеть от их значений: λj(f1,…,fm), j = 1,…,m (при соблюдении условий нормировки). ЛЕКЦИЯ 5 Тема 8. Задачи с двумя критериями. Кривые безразличия Рассмотрим такой прием сравнения вариантов, как построение кривых безразличия. Представим себе задачу выбора из конечного множества вариантов с использованием двух критериев, которые ЛПР желает максимизировать. Часто бывает полезным до рассмотрения конкретных вариантов, предъявленных к выбору, выяснить отношение ЛПР к взаимному соотношению между собой значений различных критериев. Выявить указанное отношение помогает специалист по теории и методам принятия решений, которого часто включают в механизм поиска результата и называют Консультантом или Аналитиком. Аналитик в диалоговом режиме задает ЛПР серию вопросов: 1. Аналитик: представим, что имеется (гипотетический) вариант х1, который характеризуется двумя критериями f1(x1) и f2(x1) (напомним, что оба критерия желательно максимизировать, т. е. f1(x1) → max и f2(x1) → max). При этом критерий f1(x1) имеет малое значение, которое следует признать «плохим», а критерий f2(x1), наоборот, имеет достаточно большое («очень хорошее») значение. Имеется также вариант х2, для которого критерий f1(x2) = f1(x1)+Δ1, т. е. увеличен (улучшен) на положительную величину Δ1. Вопрос: какое значение критерия f2(x2) (меньшее, чем f2(x1)) должен, по Вашему мнению, иметь вариант х2, чтобы выбор между вариантами х1 и х2 стал для Вас безразличен? (см. рис. 1). Ответ ЛПР: я согласен сделать уступку по критерию f2(x2) в размере Δ2(f1(x2)). Это значит, что если будут выполняться соотношения f1(x2) = f1(x1)+Δ1 и f2(x2)= f2(x1) – Δ2(f1(x2)), варианты х1 и х2 я буду считать равноценными. Аналитик фиксирует указанную величину f2(x2) на графике (см. рис. 5). 2. Аналитик: представим, что имеется третий вариант х3, для которого критерий f1(x3) = f1(x2) + Δ1 (т. е. улучшен по сравнению с первым шагом также на величину Δ1). 33 Вопрос: какое значение критерия f2(x3) (меньшее, чем f2(x2)) должен, по Вашему мнению, иметь вариант х3, чтобы выбор между вариантами х2 и х3 стал для Вас безразличен? (см. рис. 5). Ответ ЛПР: я согласен сделать уступку по критерию f2(x3) в размере Δ2(f1(x3)). Это значит, что если будут выполняться соотношения f1(x3) = f1(x2)+Δ1 и f2(x3)= f2(x2) – Δ2(f1(x3)), варианты х2 и х3 я буду считать равноценными. Аналитик фиксирует указанную величину f2(x2) на графике (см. рис. 5). 2 1 1 1 а б в f1 Рис. 5. Порядок построения кривой безразличия Продолжая серию аналогичных вопросов и получая ответы от ЛПР, Аналитик сможет указать в плоскости двух критериев ряд точек, соединив которые он получит некую кривую, которую принято называть кривой безразличия. Название связано с предположением о транзитивности отношения равноценности (безразличия при выборе, равной предпочтительности вариантов): если х1 равноценно х2 и х2 равноценно х3, то х1 равноценно х3. Такое отношение считается справедливым для любых троек вариантов, изображаемых точками на кривой безразличия. Кривая безразличия косвенно выражает меру относительной важности каждого из двух критериев. Действительно, если график кривой будет строго горизонтальным (ЛПР не желает уступать по величине второго критерия f2(x1) при увеличении f1), то это означает, что критерий f1 имеет для ЛПР нулевое значение важности (он его не учитывает при выборе). Если ЛПР готов на 34 максимально возможную уступку по критерию f2 ради увеличения критерия f1, то нулевой важностью для него обладает критерий f2. Если график кривой безразличия имеет вид наклонной прямой, то можно заключить, что коэффициенты относительной важности критериев постоянны во всем диапазоне их изменения, т. е. не зависят от значений критериев. Если же графики имеют вид монотонно убывающих (выпуклых или вогнутых) кривых, то это говорит о наличии зависимости значений коэффициентов важности от значений критериев. В качестве упражнения рекомендуется качественно охарактеризовать соотношение между оценками важности критериев для различных форм кривых безразличия, представленных на рис. 6. а б Рис. 6. Возможные виды кривых безразличия Эти рассуждения подводят нас к очень важному понятию зависимости критериев по предпочтению. Здесь кратко остановимся на видах возможной зависимости между различными показателями. Как правило, когда говорят, что некоторые величины связаны определенной зависимостью, имеют в виду наличие возможности по одной из них однозначно (в наиболее простых случаях) установить значение другой. Такой вариант зависимости называют, как известно, функциональной. Если наблюдения показывают, что изменение одной величины закономерно связано с изменением другой, но подвержено влиянию неконтролируемых случайных факторов, то говорят о статистической зависимости. В этом случае по значению одной величины можно установить значение другой величины лишь с некоторой вероятностью. Точнее, можно лишь указать вероятность попадания зависимой величины в некоторый установленный диапазон. Вообще говоря, обе указанные формы зависимостей отражают наличие явной или скрытой причинно-следственной связи между величинами и различаются, по существу, мерой воздействия случайных факторов. Если этими факторами 35 можно пренебречь, получаем функциональную зависимость, если их приходится учитывать, говорим о статистической зависимости. Сделанное замечание о формах зависимостей существенно для постановки задач выбора. Если мы обнаруживаем тесную связь (функциональную или статистическую) между, например, некоторой парой показателей, характеризующих альтернативу, то возникает резонный вопрос: следует ли учитывать оба этих показателя? Может быть, достаточно принять во внимание один из них, сократив число критериев и упростив тем самым задачу выбора? Разумеется, именно так и следует поступать. Однако следует иметь в виду, что далеко не всегда связи между показателями, точнее, свойствами альтернатив, которые отражаются показателями, очевидны и понятны. Иногда функциональные связи опосредованы большим числом промежуточных звеньев и носят нелинейный характер, так что внешне не отличаются от статистических связей, и критерии даже могут восприниматься как независящие друг от друга. Возьмем, например, такие известные свойства продуктов, как цена и качество, используемые нами при выборе любых нужных вещей. В подавляющем большинстве случаев мы изначально принимаем прямую зависимость цены от качества: с повышением качества продукта растет и его цена. Но обратим внимание на обстоятельство, важное для понимания и правильной постановки задачи выбора. Продолжим пример с показателями цены и качества. Нужно различать две группы зависимостей между этой парой показателей. Первая группа характеризует связь цены и качества на множестве альтернатив! С помощью этих показателей мы позиционируем относительно друг друга альтернативы, предъявленные нам для выбора. При необходимости мы без труда можем описать зависимость цены от качества статистически (например, выбрав подходящую форму модели и определив ее коэффициенты по методу наименьших квадратов). Если эта зависимость оказалась близкой к строго функциональной, то один из показателей, например показатель качества, можно не учитывать, и выбор произвести только по значению цены. Задача из векторной (в нашем случае двухкритериальной) превратилась в легко решаемую скалярную задачу. Вторая группа характеризует зависимость цены от качества, принятую конкретным производителем (точнее, поставщиком) интересующих нас продуктов. Эту зависимость мы не знаем и даже статистически оценить ее не можем из-за отсутствия необходимой информации о маркетинговой политике поставщика. Мы можем только, опираясь на доступные данные, опыт, анализ рынка и свои предположения, включать или не включать продукты тех или иных поставщиков в множество альтернатив для последующего анализа и выбора. Итак, подчеркнем еще раз, следует внимательно анализировать функциональные или статистические связи между значениями различных показателей, характеризующих альтернативы, и обоснованно исключать некоторые из них при обнаружении таких связей. 36 Зависимость показателей (критериев оценки альтернатив) по предпочтению имеет совершенно иную природу. Эта зависимость характеризует исключительно субъективную позицию лица, принимающего решение. Если отношение ЛПР к значениям одного критерия (оценка субъективной ценности, важности этого критерия) изменяется при изменении значений другого критерия, то такие критерии называют зависимыми по предпочтению. Это важное в теории выбора понятие, влияющее на методы формализации и решения задач. В дальнейшем об этом понятии будет еще дополнительно сказано. Итак, мы рассмотрели два способа задания информации об относительной важности критериев: 1) непосредственное (явное) указание со стороны ЛПР коэффициентов важности для каждого из критериев и 2) неявное указание относительной важности каждого из двух критериев с помощью кривой безразличия. Каждый из способов имеет свой «аналитический потенциал» с точки зрения реализации последнего шага фильтрации – выбора единственного решения среди Парето-оптимальных вариантов. Но в то же время каждый из способов сопряжен и с некоторыми трудностями и ограничениями. Трудности явного назначения коэффициентов важности были отмечены выше. Построение кривых безразличия имеет тот недостаток, что фактически возможно только в случае применения двух критериев. К тому же построение кривых безразличия может оказаться для ЛПР трудной задачей. Однако если серия таких кривых построена, то процедура выявления единственного наиболее предпочтительного решения является относительно несложной. Она основана на предположении, что все точки (варианты, решения), лежащие на кривой безразличия, формально эквивалентны между собой по предпочтительности согласно субъективному мнению ЛПР. Правильнее трактовать линию кривой безразличия как нижнюю границу области желательных для него значений критериев: если ЛПР считает одинаково приемлемыми все точки, расположенные на кривой, это не значит, что они являются объективно более предпочтительными, чем другие. В частности, более предпочтительными будут все точки, расположенные выше кривой безразличия (напомним, что оба критерия максимизируются). Это соображение может быть положено в основу процедуры выявления среди Парето-оптимальных вариантов единственного, наиболее предпочтительного. Смысл процедуры состоит в том, чтобы в двумерной области изменения значений критериев построить серию кривых безразличия, в которой каждая последующая кривая расположена выше предыдущей (на ней расположены более предпочтительные варианты). Затем на «сетку» этих кривых следует наложить конфигурацию множества Паретооптимальных решений. Построение серии кривых следует продолжать до тех пор, пока очередная кривая не «отсечет» единственную точку от всех остальных, либо одна или несколько Парето-оптимальных точек окажутся на кривой безразличия и при этом более предпочтительных точек не будет. 37 Процедуру иллюстрирует рис. 7. На этом рисунке из трех Паретооптимальных вариантов a,b,c с помощью кривых безразличия делается выбор в пользу варианта с. Обратим внимание на то, что построение новых кривых в общем случае нельзя осуществить простым сдвигом уже построенной кривой вправо и вверх. Следует вновь выяснить суждение ЛПР о положении и форме этой кривой в другой области плоскости критериев. Заметим также, что кривые безразличия, при внимательном отношении ЛПР к их построению, не должны пересекаться. Рис. 7. Выделение наиболее предпочтительного решения с помощью семейства кривых безразличия Отметим еще раз, что использование кривых безразличия возможно не всегда и как большинство графических методов ограничено размерностью рассматриваемой задачи (число критериев равно двум, число альтернатив должно допускать их наглядное представление на плоскости критериев). Большей универсальностью обладают аналитические методы, позволяющие построить множество Парето-оптимальных вариантов и выявить среди них наиболее предпочтительный с точки зрения ЛПР. Аналитическими методы называют потому, что они предполагают выполнение некоторых действий над численными значениями критериев и не требуют введения ограничений на их количество. Ясно, что если число критериев более двух, графические иллюстрации применить не удается. Основную группу аналитических методов составляют методы «свертывания» векторного критерия. Смысл этих методов состоит в конструировании по определенным правилам из локальных критериев обобщенного критерия, интегральным образом характеризующего каждую альтернативу. Иными словами, локальные критерии с помощью принятой формулы оказываются свернутыми в один обобщенный критерий, и задача из векторной преобразуется в скалярную, что, как ранее отмечалось, логически упрощает выбор решения. Вклад каждого локального критерия в интегральный показатель качества 38 альтернативы можно регулировать, задавая различные значения коэффициентов важности. Перейдем к рассмотрению явного способа указания относительной важности критериев с помощью «весовых» коэффициентов. Напомним требования к значениям этих коэффициентов: 1) они должны выбираться из интервала [0;1] и 2) сумма коэффициентов должна быть равной единице. Вводя численные коэффициенты важности критериев, мы предполагаем, что с целью сравнения альтернатив между собой будем производить какиелибо арифметические действия с этими коэффициентами и значениями критериев. Это значит, что для обеспечения корректности этих действий мы должны согласовать между собой шкалы, в которых производились измерения отдельных критериев. В частности, все критерии должны быть измерены с помощью шкал одного вида, например, ранговой, интервальной или шкалы отношений. Далее, диапазоны значений различных критериев также должны быть сопоставимы, иначе результаты действий с ними по определению обобщенных оценок качества альтернатив дадут искаженную картину их влияния на эти оценки. Ранее мы уже говорили, что процедура согласования шкал называется нормированием значений критериев. Приведем простейшие приемы, позволяющие привести значения всех критериев к одинаковому диапазону, в качестве которого, как правило, используется интервал [0;1]. Рассмотрим в качестве примера следующую задачу выбора. Заданы множество альтернатив A={a1,…,an} и значения оценивающих эти альтернативы критериев f1(ai),f2(ai),…,fm(ai), i =1,…,n. Критерии полагаем измеренными в одинаковых шкалах, но единицы измерения (размерности величин) и диапазоны их численных значений могут быть существенно различными, так как они отражают различные свойства альтернатив. Например, если решается задача приобретения оборудования и определены альтернативные варианты, то в качестве критериев могут быть использованы показатели производительности, габаритов, надежности, межремонтного периода, цены. Ясно, что если использовать непосредственно исходные данные, создать из этих показателей некую «конструкцию» в виде одного показателя, интегрально характеризующего каждую альтернативу, нельзя (так как нельзя складывать величины, выраженные, например, в единицах мощности, величинами, выраженными в рублях). Предположим, что критерии независимы по предпочтению и приведены к одинаковому направлению улучшения, а именно, что все критерии желательно максимизировать. Выполним такую операцию: для каждого критерия найдем его максимальное значение на множестве альтернатив. Обозначим найденные значения через fjmax, j =1,…,m. Разделив значение j-го критерия для каждой альтернативы ai на fjmax, получим для этого критерия его новое, нормированное значение: fj(норм)(ai) = fj(ai) / fjmax. Нормированные 39 значения каждого критерия будут, очевидно, безразмерными величинами, заключенными в свой интервал [min( fj(ai) / fjmax); 1]. С нормированными значениями можно производить различные операции и, соответственно, формировать различные способы свертывания локальных критериев. Рассмотрим самые распространенные их них. Предварительно отметим важное обстоятельство. Каждая форма интегрального критерия выражает некоторую идею относительно соотношения качества альтернатив, выбираемых с ее использованием. Эту идею принято называть принципом оптимальности. Таким образом, каждая форма интегрального критерия выражает тот или иной принцип оптимальности. Поэтому ЛПР должен с пониманием применять ту или иную форму критерия, учитывая, в какой мере она соответствует смыслу задачи и его субъективным представлениям. Рассматривая далее различные формы интегральных критериев, мы будем пояснять выражаемые ими принципы оптимальности. ЛЕКЦИЯ 6 Тема 9. Методы свертывания векторного критерия Линейная форма интегрального критерия. Это самая популярная в практических приложениях форма. Интегральный критерий FЛ в этом случае имеет следующий вид: m FЛ = ∑ λj fj(норм). j=1 Если все локальные критерии направлены к максимуму, то и интегральный критерий направляется к максимуму, т. е. экстремальное требование записывается так: FЛ → max. Если же все локальные критерии направлены к минимуму, то и интегральный критерий направляется к минимуму, FЛ → min. Отметим, что если все локальные критерии для ЛПР равноценны, то коэффициенты важности будут одинаковыми для всех критериев (все они будут иметь значение 1/m), и их можно не учитывать при расчетах. Приведем пример расчета нормированных значений критериев и выбора наиболее предпочтительного решения с использованием линейного интегрального критерия, полагая, что каждый из критериев желательно максимизировать. Пусть исходные данные заданы следующей таблицей. Альтернатива а b c d 40 Критерий f1 500 200 650 800 Критерий f2 2 12 4 2 Максимальные значения каждого из критериев в соответствующих столбцах выделены жирным шрифтом. Нормирование состоит в делении значений критериев в столбце на выявленное в нем максимальное значение: в первом столбце f1max = 800, во втором столбце f2max = 12. Нормированные значений критериев, округленные до сотых долей, приведены в следующей таблице. Альтернатива а b c d Критерий f1(норм) 0,63 0,25 0,81 1,00 Критерий f2(норм) 0,17 1,00 0,33 0,17 Расчет проведем для трех случаев. 1) примем, что критерии равноценны. Тогда значения интегрального критерия для каждой из альтернатив будут иметь значения: FЛ (a) = f1(норм)(а) + f2(норм)(а) = 0,63+0,17 = 0,90; FЛ (b) = f1(норм)(b) + f2(норм)(b) = 0,25+1,00 = 1,25; FЛ (c) = f1(норм)(c) + f2(норм)(c) = 0,81+0,33 = 1,14; FЛ (d) = f1(норм)(d) + f2(норм)(d) = 1,00+0,17 = 1,17. Как видим, наибольшее значение интегральный критерий получает при выборе решения b. 2) примем, что коэффициенты важности критериев имеют следующие значения: λ1 = 0,2; λ2 = 0,8 (сумма этих значений, как и требуется, равна единице). В этом случае получим следующие значения интегрального критерия: FЛ (a) = λ1f1(норм)(а) + λ2f2(норм)(а) = 0,2 ∙ 0,63+0,8 ∙0,17 = 0,262; FЛ (b) = λ1 f1(норм)(b) + λ2 f2(норм)(b) = 0,2 ∙ 0,25+0,8 ∙1,00 =1,300; FЛ (c) = λ1f1(норм)(c) + λ2 f2(норм)(c) = 0,2 ∙ 0,81+0,8 ∙ 0,33 =0,426; FЛ (d) = λ1f1(норм)(d) + λ2f2(норм)(d) = 0,2 ∙ 1,00+ 0,8 ∙ 0,17 = 0,336. И в этом случае, очевидно, следует выбрать вариант b. 3) примем, что коэффициенты важности критериев имеют следующие значения: λ1 = 0,8; λ2 = 0,2 (сумма этих значений равна единице). В этом случае получим следующие значения интегрального критерия: FЛ (a) = λ1f1(норм)(а) + λ2f2(норм)(а) = 0,8 ∙ 0,63+0,2 ∙0,17 = 0,538; FЛ (b) = λ1 f1(норм)(b) + λ2 f2(норм)(b) = 0,8 ∙ 0,25+0,2 ∙1,00 =0,400; FЛ (c) = λ1f1(норм)(c) + λ2 f2(норм)(c) = 0,8 ∙ 0,81+0,2 ∙ 0,33 = 0,714; FЛ (d) = λ1f1(норм)(d) + λ2f2(норм)(d) = 0,8 ∙ 1,00+ 0,2 ∙ 0,17 = 0,834. В этом случае следует выбрать вариант d. Линейная свертка векторного критерия реализует принцип оптимальности, который можно назвать принципом компенсации. Действительно, складывая значения локальных критериев, мы «обезличиваем» их, и в итоговой сумме не слишком хорошие значения одних 41 критериев могут быть компенсированы хорошими значениями других, и в итоге альтернатива получит хорошую интегральную оценку. Так, в рассмотренном примере (случай (1)), мы выбрали вариант b, несмотря на то, что значение критерия f1(норм)(b) нельзя признать достаточно хорошим. Оказалось, что в интегральной оценке хорошее значение второго критерия компенсировало низкое значение первого критерия. Суждение о том, можно ли в конкретной задаче считать, что значения критериев компенсируют друг друга, должен выработать субъект, принимающий решение, на основе анализа содержательной (неформальной) стороны задачи. К примеру, ЛПР при выборе товара должен решить для себя, компенсирует ли снижение цены ухудшение качества? При выборе банка для хранения своих средств ЛПР должен решить, компенсирует ли повышенная ставка по депозиту (вкладу) уровень риска потери вложенных средств и т. д. Отметим, что линейная форма критерия, по существу, представляет собой среднее или средневзвешенное значение локальных критериев. Мы знаем, что не всегда уместно пользоваться средними значениями (вспомним известную шутку о температуре, средней по больнице). Мультипликативная форма интегрального критерия. В этом случае интегральный критерий представляет собой произведение локальных критериев с учетом коэффициентов их относительной важности: FM (ai) = (f1(норм)(ai))λ1 ∙(f2(норм)(ai)) λ2 ∙……∙ (fm(норм)(ai)) λm →max (или min) Заметим, что коэффициент важности локального критерия помещен в показателе степени. Мультипликативная свертка в силу своей нелинейности менее удобна и наглядна, чем линейная, и поэтому сравнительно реже применяется. По существу, она реализует ту же идею компенсации, что и линейная свертка (обратим внимание, что путем логарифмирования выражение для интегрального критерия приобретает вид линейной формы только относительно не исходных значений критериев, а их логарифмов). Но эта компенсация нелинейная: ее эффект уменьшается с приближением значения любого из локальных критериев к нулевому («очень плохому») уровню. Эта особенность может быть весьма полезной: если для некоторой альтернативы любой из локальных критериев имеет низкий уровень, то и интегральный критерий будет иметь относительно низкий уровень, и для данной альтернативы снижаются шансы быть выбранной. В этом заключается принцип оптимальности, реализуемый мультипликативной формой интегрального критерия. Вернемся к ранее рассмотренному примеру. Приняв критерии равноценными и используя в качестве интегрального критерия произведение локальных критериев, получим: 42 FМ (a) = f1(норм)(а) ∙ f2(норм)(а) = 0,63∙0,17 = 0,107; FМ(b) = f1(норм)(b) ∙ f2(норм)(b) = 0,25∙1,00 = 0,250; FМ (c) = f1(норм)(c) ∙ f2(норм)(c) = 0,81∙0,33 = 0,267; FМ(d) = f1(норм)(d) ∙ f2(норм)(d) = 1,00∙0,17 = 0,17. Наилучшим в этом случае оказался вариант c. Минимаксная (максиминная) форма интегрального критерия. Для расчета интегрального критерия в этом случае не требуется выполнять какиелибо арифметические действия. Следует только выполнить ряд логических операций сравнения. Алгоритм метода весьма прост: 1) для каждой альтернативы просматриваются значения всех критериев, из них выбирается и запоминается наименьшее (т. е. при максимизации локальных критериев – худшее); 2) среди выявленных значений выбирается наибольшее (лучшее из худших). Решение, которому соответствует это значение, и будет наилучшим по данному критерию. Если локальные критерии минимизируются, то для каждой альтернативы в векторе его локальных критериев выбирается наибольшее (худшее!) значение и среди них выбирается наименьшее (т. е. лучшее). Формально интегральный критерий записывается так: – при максимизации локальных критериев FMM ={min [λ1 f1(ai),…, λm fm(ai)], i = 1,…,n}, FMM → max; – при минимизации локальных критериев FMM ={max [λ1 f1(ai),…, λm fm(ai)], i = 1,…,n}, FMM → min. Опять вернемся к рассмотренному примеру и выберем решение с использованием минимаксной формы интегрального критерия. Приведем повторно таблицу значений критериев и пометим в ней жирным шрифтом значения, наименьшие в каждой строке: Альтернатива а b c d Критерий f1(норм) 0,63 0,25 0,81 1,00 Критерий f2(норм) 0,17 1,00 0,33 0,17 Выбрать следует альтернативу, которой соответствует наибольшее из этих выделенных значений. Это альтернатива c. Заметим, что если в этой задаче потребовать минимизации обоих критериев, то алгоритм изменится: в каждой строке (т. е. для каждой альтернативы) выберем максимальные значения и затем из них выберем наименьшее. Выполните эти действия и убедитесь, что лучшим будет вариант a. 43 Учет коэффициентов важности критериев логическую схему решения задачи не меняет, хотя, безусловно, повлияет на результат выбора. Данная форма интегрального критерия реализует принцип равномерного улучшения всех критериев. Это следует понимать так, что по этому методу будет выбран вариант, для которого значения всех локальных критериев, предварительно нормированных к интервалу [0;1], будут находиться в более узком по сравнению с другими вариантами диапазоне [FMM; 1], т. е. будут более близкими к друг другу. Отметим, что применение данного метода на практике чаще является более адекватным реальной ситуации, чем линейная свертка, несмотря на полное отсутствие эффекта компенсации плохих значений одних критериев хорошими значениями других. Смысловое содержание критериев при этом не имеет значения, требуется только обеспечить измерение локальных критериев в одинаковых шкалах. Отметим важный факт: наилучшие решения, выбираемые любым из рассмотренных аналитических методов, являются Парето-оптимальными. Это означает, что применяя эти методы, мы можем не выделять предварительно множество Парето-оптимальных решений, а рассчитывать значения интегральных критериев для всех предъявленных для выбора вариантов. Если число критериев более двух, так и делают на практике. В качестве дополнения к рассмотренным методам укажем еще один аналитический метод выбора наилучшего решения. Метод идеальной точки. Идея метода основана на том, что векторы нормированных критериев, соответствующие предъявленным решениям (альтернативам), представляют собой определенные точки в пространстве критериев. Укажем для каждого из локальных критериев наилучшее или желаемое значение. Это «идеальное» значение может быть и не достижимым. Если ввести в рассмотрение "идеальную" точку, соответствующую идеальным значениям критериев, и определить тем или иным образом расстояние между точками в пространстве критериев (т. е. ввести в этом пространстве некоторую метрику), то та реальная точка, которая в смысле принятой меры расстояния будет ближе всех других к идеальной точке, и может быть принята в качестве решения данной многокритериальной задачи. Основная проблема состоит в обосновании выбора способа измерения расстояния между точками. Как правило, используют простейшую и всем понятную эвклидову метрику (вспомните теорему Пифогора), т. е. определяют расстояние по формуле n Rk  f  k   f  0    f  k   f  0 1 i 2 , i 1 где Rk – расстояние между k-м реальным и идеальным решениями; f(k) = ( f 1 (k), ..., f i (k),..., f n (k)) – векторный критерий для k-го решения; 44 f(0) = ( f 1 (0),..., f i (0),..., f n (0)) – векторный критерий для идеального решения. Процедура решения по данному методу состоит из следующих действий: 1) определяем вид векторного критерия для "идеальной" точки (например, если все критерии нормированы к интервалу [0,1] и их значения желательно максимизировать, то точка, в которой f(0) = ( 1,1,1,...,1)), будет идеальной; 2) для каждой реальной точки (для каждого варианта) рассчитываем ее расстояние до идеальной точки; 3) ту точку, для которой это расстояние оказалось наименьшим, принимаем в качестве результата решения задачи МКО. Вернемся к примеру, использованному при предшествующем рассмотрении других форм интегрального критерия. Выберем в множестве A= {a,b,c,d} наилучшую альтернативу, применив метод идеальной точки. Все критерии нормированы и по условию максимизируются, следовательно, идеальная точка имеет вид f(0) = (1,1). Расстояния до идеальной точки для реальных альтернатив равны: R(a) = √(0,63 –1)2+(0,17 – 1)2 = 0,91, R(b) = √(0,25 –1)2+(1 – 1)2 = 0,75, R(c) = √(0,81 –1)2+(0,33 – 1)2 = 0,70, R(d) = √(1 –1)2+(0,17 – 1)2 = 0,83. Как видим, минимальное расстояние до идеальной точки соответствует реальной альтернативе c. Эту альтернативу и принимаем в качестве наилучшей. Расчет в этом примере выполнен в предположении, что критерии имеют одинаковую значимость для ЛПР. ЛЕКЦИЯ 7 Тема 10. Функции полезности и их использование в задачах выбора Понятие полезности некоторой вещи, процесса, свойства или любого другого объекта действительности для взаимодействующего с ним субъекта является ключевым в экономической теории и в теории принятия решений. Действительно, вступая в отношения обмена, люди обмениваются нужными, а значит, в широком смысле, полезными для себя вещами. Конечно, полезность при этом понимается как субъективное свойство, выражающее желание и готовность субъекта получить некое благо, удовлетворяющее ту или иную его потребность, материальную или духовную. Объем иных благ, которые субъект готов предоставить в обмен, может служить мерой полезности приобретаемого блага. В общем случае полезность блага для субъекта зависит от его объема: с его ростом полезность блага снижается (закон убывающей полезности). Действительно, любой рационально мыслящий потребитель постепенно, по мере удовлетворения потребности 45 теряет интерес к приобретению дополнительных порций блага. Этот закон является исходным пунктом для важных теоретико-экономических конструкций. В теории принятия решений понятие полезности также является одним из ключевых, так как проблема выбора неизбежно сопрягается с оценкой полезности для субъекта свойств рассматриваемых им альтернатив. В этой теории для указания меры полезности вводится специальный инструмент – функция полезности, соотносимая с мерой набора свойств, присущих каждому предъявленному для выбора варианту. Поскольку теория принятия решений (или теория выбора) рассматривает задачи выбора с произвольным содержанием, не обязательно связанным с потребительским поведением, на функцию полезности в общем случае накладывается меньшее число ограничений. Так, она может возрастать (при позитивной оценке рассматриваемого свойства), причем как с возрастающей, так и с убывающей скоростью, или убывать (при негативной оценке рассматриваемого свойства) также с различной по знаку производной. Функция полезности может иметь максимум или минимум в зависимости от степени желательности для субъекта значений, характеризующих свойство или набор свойств рассматриваемого варианта решения. Функция полезности может изменяться непрерывно или дискретно, отражая представления субъекта. Таким образом, выбирая для описания функции полезности тот или иной класс функций, можно описать представления субъекта о полезности свойств альтернатив в широком диапазоне оценок предпочтений и с достаточно высокой точностью. В то же время такие описания стремятся получить наиболее простыми и удобными в расчетах. Чаще всего используют гладкие функции, такие как парабола, экспонента, отрезки синусоиды. Также популярны кусочнолинейные функции. Функции полезности могут быть представлены и в алгоритмическом виде, без предварительного аналитического описания. Рассмотрим, в каких случаях целесообразно использовать функции полезности, какие при этом имеет место удобства и трудности. Прежде всего, отметим, что рассматривая в предыдущих главах вопросы принятия решений в условиях определенности, мы не использовали понятия полезности и не строили функций полезности. Точнее, мы не использовали этих инструментов в явной форме. Формулируя задачи выбора, мы ограничились указанием критериев, оценивающих интересующие нас свойства альтернатив, и указанием направлений их улучшения (максимизация или минимизация значений критериев). При этом мы фактически принимали допущение, что полезность конкретного значения отдельного критерия пропорциональна этому значению, т. е. зависит от него линейно. Причем эта пропорциональность мыслилась нами как прямая при максимизации или как обратная при минимизации критерия. При одинаковой важности критериев для ЛПР коэффициенты пропорциональности одинаковы для всех критериев, и переход от исходных критериев к функциям полезности с помощью 46 линейного преобразования смысла не имеет: размещение точек, изображающих альтернативы, в пространстве критериев не изменится. Соответственно, не изменится состав множества Парето-оптимальных вариантов. Если же критерии имеют для ЛПР различную важность, и он указал для них коэффициенты относительной важности, то пространство критериев деформируется (представьте себе, что оси координат сжимаются, но в различной степени), но состав множества Парето и в этом случае не изменится. Следовательно, и в этом случае вводить преобразования критериев в виде функций полезности не целесообразно. Вводить эти функции имеет смысл, если мера полезности критерия для ЛПР изменяется в зависимости от его значений нелинейно. Напомним, это означает, что при равномерном улучшении (увеличении или уменьшении) значений критериев изменение значений функции полезности будет неравномерным (при равных приращениях значений критерия приращения полезности будут одинаковыми по знаку, но различными по величине). Для пояснения удобно использовать понятие производной: если функции достаточно гладкие и для них существуют производные, то для монотонно возрастающей функции полезности будем иметь положительную производную, а для убывающей – отрицательную. При анализе задач выбора могут понадобиться одномерные и многомерные функции полезности. Одномерные функции полезности характеризуют изменение полезности для ЛПР при изменении отдельного локального критерия независимо от значений всех остальных. Такие функции полезности будем называть локальными или частными. Многомерные функции характеризуют изменение полезности в зависимости от изменения нескольких или всех локальных критериев. Подчеркнем, что функции полезности могут быть соотнесены как с локальными критериями, так и с альтернативами. Логическая связь между ними достаточно очевидна: каждая альтернатива, как мы знаем, характеризуется набором критериев. Если мы заданному в исходных данных значению каждого из критериев поставим в соответствие определенное значение полезности, то нетрудно изобрести то или иное правило, по которому из значений оценок полезности критериев можно построить оценку полезности альтернативы. Процедура подобна той, что мы ранее пользовались, применяя различные способы свертывания локальных критериев для построения интегральных оценок альтернатив. Простейшим правилом является суммирование значений полезностей локальных критериев. Об условиях его применимости и других возможных правилах будет сказано в дальнейшем. Воспользуемся формальными записями. Будем обозначать функции полезности через φj (для локальных критериев) и Фi (для альтернатив). Одномерные локальные функции полезности в общем виде изображаются как функции одного аргумента φj = φ (fj ); многомерные – как функции 47 нескольких аргументов φj = φ (f1, f2, …., fm). Для функций полезности альтернатив аргументами являются значения функций полезности локальных критериев, т. е. локальные функции полезности: Фi = Ф(φ1, φ2,…., φn). В построении функций полезности в общем случае участвуют ЛПР и Аналитик. Построение одномерных функций полезности технически существенно проще, чем многомерных, хотя логическая схема построения одинакова. Схема включает два этапа. На первом этапе Аналитик с помощью серии вопросов к ЛПР выясняет его оценки полезности для последовательно предъявляемых ему значений поочередно каждого из локальных критериев (при построении одномерных функций) либо различных сочетаний значений локальных критериев (при построении многомерных функций полезности). На втором этапе Аналитик, получив ответы ЛПР, представляет значения полезности в виде точек на плоскости (в одномерном случае) либо в (m+1)мерном пространстве (m – число критериев, от которых зависит значение многомерной функции полезности). После этого Аналитик с помощью специального программного обеспечения подбирает функцию или гиперповерхность, оптимальным образом аппроксимирующую данные, полученные от ЛПР. Чаще всего при этом используется метод наименьших квадратов, знакомый по курсу математической статистики. Напомним, что термин «аппроксимация» означает приближение, приближенное описание объекта с помощью средств, отражающих его важные свойства, но при этом более удобных для практического использования. Трудности в построении по этой схеме многомерных функций полезности связаны с необходимостью просмотреть большое число сочетаний значении локальных критериев и затем аппроксимировать это набор значений некоторой подходящей функцией многих переменных. Например, если в задаче пять критериев и каждый из них, изменяясь дискретно, может принять одно из десяти значений, то общее число возможных комбинаций будет равным 105 , т. е. 100 000 комбинаций. Необходимость просмотра всех комбинаций (при дискретном изменении значений локальных критериев) возникает в том случае, если критерии являются зависимыми по предпочтению. Свойство зависимости критериев по предпочтению было рассмотрено ранее. Используя понятие полезности, это свойство можно выразить следующим образом: два критерия независимы по предпочтению, если оценка полезности значений одного из них не изменяется при изменении значений другого. Совокупность критериев независима по предпочтению, если это свойство имеет место для каждой пары критериев. Если критерии являются независимыми по предпочтению, то можно ограничиться построением одномерных функций полезности для каждого из локальных критериев. Строго говоря, только в этом случае полезность альтернативы можно определить суммированием значений функций полезности локальных критериев, вычисленных в соответствующей 48 рассматриваемой альтернативе точке. Итак, если локальные критерии независимы по предпочтению, то оценка полезности k-й альтернативы определяется выражением Фk(φ1,…, φm) = φ1 +….+ φm . (1) Функцию Фk в этом случае называют аддитивной функцией полезности. Для того чтобы результат суммирования действительно отражал значения полезности альтернативы, локальные функции должны быть нормированы. Как и в случае нормирования локальных критериев, требуется обеспечить одинаковую размерность функций, в частности, сделать их безразмерными, и установить для их значений равные диапазоны изменения. Часто это диапазон принимают конечным, совпадающим с интервалом [0; K], где K – любое фиксированное положительное число например, равное единице. В этом случае говорят, что функции полезности построены в согласованных шкалах. Исходные критерии могут иметь для ЛПР, как мы ранее говорили, неодинаковую важность. Поэтому коэффициенты важности могут быть приписаны и функциям полезности. Тогда полезность альтернативы можно трактовать как средневзвешенную величину Фk(φ1,…, φm) = λ1 φ1 +….+λm φm . (2) Коэффициенты важности критериев, конечно, должны удовлетворять условиям нормировки 0 ≤ λi ≤ 1 и ∑ λi =1. Обратим внимание на то, что если мы заменяем исходные локальные критерии соответствующими функциями полезности, то предварительно выполнять процедуру нормирования критериев не требуется. Это одно из удобных свойств функций полезности. Другое методически удобное свойство состоит в том, что с введением функций полезности постановка задачи выбора становится единообразной для разных ситуаций. Действительно, приняв вид функций таким, чтобы он отражал представления ЛПР о характере повышения качества альтернатив в зависимости от значений критериев, мы сводим задачу к выбору альтернативы, максимизирующей суммарную полезность. Укажем также еще на одно важное свойство функций полезности. Эти функции характеризуют отношение ЛПР к различным критериям оценки альтернатив и/или их совокупностей и, значит, могут быть выявлены до начала процедуры выбора в конкретной задаче. Субъективные функции полезности наряду с другими величинами (например, склонностью к риску, о которой будет сказано в дальнейшем) характеризуют личностные качества конкретного лица, принимающего решение. На рис. 8 приведены примеры возможных функций полезности для различных ситуаций выбора. 49 а б в г Рис. 8. Примеры возможных функций полезности Рассмотрим порядок решения задачи выбора с использованием функций полезности. Пусть субъекту предстоит сделать выбор альтернативы из некоторого множества. Состав множества и характеристики отдельных альтернатив до начала процедуры неизвестны. Для осуществления выбора ЛПР должен определиться относительно следующих вопросов: – какие свойства альтернатив принять во внимание; – какие показатели следует принять в качестве измерителей этих свойств; – на какие показатели следует наложить ограничения и, соответственно, каким показателям желательно обеспечить экстремальные значения, включив их в модель выбора в виде целевых функций (критериев); – выявить группы критериев, связанных функциональной зависимостью и отобрать в модель по одному представителю каждой группы; – установить относительную важность каждого из включенных в модель критериев и ввести соответствующие коэффициенты; – установить факт зависимости или независимости критериев по предпочтению; – принять для каждого из критериев вид и параметры локальной функции полезности φj (fj) , j =1,…,m; – обосновать вид функции полезности альтернатив Фk(φ1,…, φm). Все эти действия выполняются до предъявления множества альтернатив для выбора. Предположим, что эти действия выполнены и ЛПР считает критерии независимыми по предпочтению. 50 После предъявления для выбора множества альтернатив А={a1,…,an} с указанием конкретных значений критериев f10, f20 , …., fm0 ЛПР осуществляет преобразование задачи, заменяя заданные значения критериев с помощью принятых им на предварительном этапе функций полезности. Решение состоит в расчете сначала значений локальных функций полезности по формулам φj0 = φj (fj0), j =1,…,m. После этого по формуле (2) рассчитываются средневзвешенные полезности альтернатив Ф1, Ф2, …,Фn . В качестве наиболее предпочтительной выбирается альтернатива, для которой значение средневзвешенной полезности максимально. Приведем пример численного расчета. Пример. Пусть все необходимые действия на предварительном этапе выполнены. Предъявленное для выбора множество альтернатив включает пять вариантов: А ={a1, a2, a3, a4, a5}. Альтернативы оцениваются тремя критериями f1, f2, f3 , причем экстремальные требования имеют вид: f1 → max, f2 → max, f3 → min. Значения критериев для каждой из альтернатив представлены в таблице. Обратим внимание на то, что критерии не нормированы, и проводить эту операцию не требуется. Альтернативы a1 a2 a3 a4 a5 f1 30 70 20 80 10 f2 5 10 4 7 8 f3 600 400 1000 300 500 Допустим, что графики принятых ЛПР функций полезности имеют вид, представленный на рис. 9. Шкалы оценки полезности согласованы: диапазоны оценок приняты одинаковыми от 0 до 5. Преобразование значений критериев выполним графическим методом, процедура для которого очевидна: для каждого критерия его значения поочередно для каждой альтернативы по графику соответствующей функции полезности устанавливаем ее величину. 51 а б в Рис. 9. Виды функций полезности, принятые в рассматриваемом примере В результате такого преобразования мы заменяем исходные значения критериев оценками их полезности (см. следующую таблицу). Альтернативы a1 a2 a3 a4 a5 φ1 3,50 4,70 2,80 5,00 2,00 φ2 1,25 5,00 1,00 2,20 2,80 φ3 0,90 1,60 0,00 2,10 1,25 Коэффициенты важности критериев примем равными: λ1 = 0,6; λ2 = 0,3; λ2 = 0,1 Порядок расчета по формуле (2) и значения оценок полезности альтернатив Ф1,…, Ф5 представлены в следующей таблице. Альтернативы a1 a2 a3 a4 a5 52 Оценки полезности Фk 0,6∙3,50+0,3∙1,25+0,1∙0,90 = 2,57 0,6∙4,70+0,3∙5,00+0,1∙1,60 = 4,48 0,6∙2,80+0,3∙1,00+0,1∙0,00 = 1,98 0,6∙5,00+0,3∙2,20+0,1∙2,10 = 3,88 0,6∙2,00+0,3∙2,80+0,1∙1,25 = 2,17 Окончательный выбор делаем в пользу альтернативы a2 , имеющей в предъявленном множестве альтернатив максимальное средневзвешенное значение полезности. Решение закончено. Заметим, что функции полезности представляют собой гибкий и удобный инструмент, расширяющий возможности формализации при описании субъективных требований ЛПР к искомому решению. Мы рассмотрели в несколько облегченном варианте основные свойства функций полезности и порядок их применения в задачах выбора. Этот материал относится к начальным разделам теории принятия решений. На самом деле приемы обоснования правил оценки полезности в различных ситуациях многообразны и достаточно сложны. Проблемы развития теории полезности даже выделились в самостоятельное направление в теории принятия решений. Изучение этих проблем требует более основательной математической подготовки и уровня мотивации, чем тот, на который ориентирован наш курс. Контрольные вопросы 1. Дайте общую характеристику задачи многокритериального выбора в условиях определенности. 2. Каким образом в модели задачи выбора учитываются ограничительные и экстремальные требования? 3. Поясните смысл отношения доминирования между вариантами решения. Как могут быть представлены области доминирования в случае двух критериев? 4. Какие решения называют Парето-оптимальными? Какими свойствами они обладают и какова их роль в процессе выбора? 5. Приведите порядок выделения из предъявленного конечного множества Парето-оптимальных вариантов при различных направлениях улучшения критериев (случай двух критериев). 6. Поясните, почему и в каком смысле Парето-оптимальные решения называют также эффективными (по Парето), множество таких решений – переговорным множеством. 7. Назовите условие, при котором возможен выбор наиболее предпочтительного варианта среди Парето-оптимальных. Какая дополнительная информация для этого требуется? 8. Какие формы задания важности критериев используются в задачах выбора? Поясните правила назначения коэффициентов относительной важности критериев. 9. Поясните порядок построения кривых безразличия. 10. Поясните понятие зависимости критериев по предпочтению. 53 11. Поясните порядок выделения наиболее предпочтительного решения с использованием кривых безразличии. Приведите пример графического построения. 12. В чем состоит основная идея аналитических методов обоснования выбора решения? Какие предварительные операции должны быть выполнены при использовании аналитических методов? 13. Поясните правила построения и свойства линейной формы интегрального критерия. 14. Поясните правила построения и свойства мультипликативной формы интегрального критерия. 15. Поясните правила построения и свойства минимаксной (максиминной) формы интегрального критерия. 16. Поясните порядок обоснования выбора решения с использованием метода «идеальной точки». 17. Поясните понятие функции полезности, их свойства, порядок построения и применения в задачах выбора. 54 УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 3 ЗАДАЧИ ВЫБОРА В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ ЛЕКЦИЯ 8 Тема 11. Факторы неопределенности и риска в задачах принятия решений Мы уже говорили, что ситуация, когда ЛПР располагает полной, точной и достоверной информацией обо всех обстоятельствах и параметрах объекта выбора, является крайне редкой. Как правило, действуют различные факторы, которые делают ситуацию в той или иной степени неопределенной. Мы уже называли некоторые из этих факторов. Напомним, это факторы, связанные – с отсутствием в текущий момент объективных (научных) знаний о тех или иных аспектах бытия (к примеру, внеземные цивилизации, нераскрытые тайны мозга, глубин океанов и множество других непознанных объектов и явлений); – с будущим временем; – с непредсказуемостью процессов, которые могут влиять на наш выбор и его результаты; – с всегда имеющей место ограниченной точностью измерений и оценки величин, фигурирующих в задачах выбора. Первую из названных группу факторов мы рассматривать не будем. Остановимся на двух других. Непредсказуемость процессов, которые могут повлиять на выбор и исказить ожидаемые результаты, на самом деле охватывает все формы проявления неопределенности. В эту группу включаются вероятностные или случайные процессы, протекание которых определяется множеством причин, неподконтрольных субъекту. В первую очередь, это природные процессы, такие, к примеру, как стихийные бедствия (землетрясения, наводнения и прочие катаклизмы), процессы в атмосфере, определяющие погоду, все зависящие от природных явлений технологические процессы (например, в сельском хозяйстве). К этой группе могут быть отнесены и многие процессы в экономике: для субъекта, достаточно удаленного от источников соответствующей информации, некоторые события могут восприниматься как случайные. Для примера можно назвать «неожиданное» введение санкций, изменение цен, тарифов, ставок по кредитам и других важных для текущей деятельности предприятия параметров. Так же как случайное может восприниматься поведение военного противника или конкурента. Действием случайных причин, в конечном счете, объясняется и наличие погрешностей при измерениях любого рода. Так что, повторим, неопределенность факторов, формирующих ситуацию, в которой принимается решение, делает непредсказуемыми результаты и, тем самым, усложняет процедуру выбора. Как мы говорили в начале курса (см. лекцию 1), осознанный выбор предполагает формирование модели решаемой задачи. Поэтому, если действуют те или иные факторы, делающие ситуацию выбора 55 неопределенной, желательно отразить их в используемой модели. К вопросу о том, как это сделать, возможны различные подходы. Остановимся на этих подходах подробнее. Когда мы говорим о действии случайных факторов и, соответственно, о непредсказуемости результатов выбора, мы должны понимать, что мера случайности или непредсказуемости может быть различной. Задается эта мера с помощью вероятности тех или иных событий. Способов оценки вероятностей мы коснемся чуть позже. Здесь отметим, что в литературе по прикладным аспектам принятия решений сформировался подход, по которому условия принятий решений разделяются на условия неопределенности и условия риска. Различия сторонники такого подхода видят в возможности или невозможности оценить вероятности тех или иных событий: если эти вероятности можно оценить количественно, говорят о риске, если оснований для оценки вероятностей событий нет, говорят об условиях неопределенности. В таком подходе, как представляется, есть некий методологический изъян, который затрудняет понимание классификации и постановок задач выбора, по крайней мере, на стадии их изучения. Действительно, можно, видимо, указать факторы, для которых не удается найти оснований для оценки вероятности их проявления. Если субъект убежден, что данный фактор следует, тем не менее, принять во внимание, то, строго говоря, для него возможны три линии поведения: 1) отказаться от постановки и решения задачи выбора, 2) отказаться от учета данного фактора и 3) принять для неопределенности некоторую меру, в роли которой, в конечном счете, может быть только вероятность его проявления. Как можно видеть, ни одна из указанных линий поведения не соответствует условиям принятия решений в условиях неопределенности: либо задача вообще не решается, либо фактор неопределенности не учитывается, либо задача с помощью предположений об оценках вероятностей событий переводится в условия риска. Кроме того, представляется очевидным, что введение вероятностей событий не снимает полностью неопределенности условий решения задачи: по-прежнему ЛПР не может предсказать результаты своего выбора точно и должен оперировать вероятностными характеристиками, например, указывая вероятности попадания значений критериев в некоторый интервал. Таким образом, есть основания принять следующие положения. Некоторые факторы внешней среды, прямо или опосредованно влияющие на технологию и/или результаты выбора, создают условия неопределенности, в которых принимается решение. Эти условия всегда, независимо от возможности или невозможности обоснованно оценить вероятности проявления этих факторов, порождают риск неполучения результатов, прогнозируемых без учета факторов неопределенности. Назначение по тем или иным правилам вероятностей событий не снимает полностью неопределенности условий, в которых принимается решение. 56 Таким образом, неопределенность и риск неразрывно связаны: неопределенность среды всегда порождает риск при принятии решения. При этом неопределенность воспринимается как общее, абстрактное понятие, которое для отображения в модели выбора должно быть конкретизировано, что возможно только с использованием понятия вероятности. Возникает вопрос об оценке вероятностей событий, имеющих отношение к рассматриваемой задаче выбора. Можно назвать несколько способов назначения таких вероятностей. Первый способ, наиболее предпочтительный, заключается в объективной оценке вероятностей неких первичных событий с последующим расчетом сложных, связанных между собой событий с использованием методов теории вероятностей. Проблема состоит в установлении первичных событий и объективной оценке их вероятностей. Дальнейшие расчеты теория вероятностей позволит провести с требуемой полнотой и точностью. Примеры применения такого подхода на практике привести затруднительно. Второй способ, статистический, основан на трактовке вероятности как предела частоты наступления событий в серии экспериментов при неограниченном увеличении количества экспериментов. Этот способ весьма распространен, хотя в некоторых важных классах задач статистики, необходимой для получения корректных выводов, нет или она недостаточна. Примером могут служить задачи в сфере управления инновациями. Для оценки вероятностей достижения желаемых характеристик инновационных проектов (затрат и результатов) часто нет статистической базы. Третий способ состоит в использовании для оценки вероятностей событий мнений экспертов. Вообще, этот метод можно трактовать как специфическую технологию измерения величин и, следовательно, всегда связывать с ним неизбежную погрешность. Но часто экспертный метод является единственным подходящим инструментом, особенно в задачах в социальной и экономической сферах. Существует теория экспертных оценок, разрабатывающая методы повышения объективности расчетов на основе специальных приемов усреднения, использования статистики малых выборок, применения различных схем организации работы экспертов. Экспертные методы применяются в задачах выбора не только для оценки факторов неопределенности. Они используются и на других стадиях процесса выбора (формирование множества альтернатив, выбор критериев, ранжирование их по важности, определение вида функций полезности). Для решения указанных вопросов других способов, кроме экспертных, не существует. Итак, в дальнейшем изложении будем исходить из предположения, что факторы неопределенности получают в том или ином виде оценку в виде назначения различным способом вероятности событий, относящихся к выбору решения. Мы рассмотрим две формы учета фактора неопределенности. 57 Первая форма относится к случаю, когда принимаемый вариант решения приводит не к единственному заранее известному исходу, как в ранее рассмотренных задачах, а к одному из нескольких возможных исходов. При этом и характеристики этих исходов, и их вероятности будем полагать известными. В качестве исходов могут рассматриваться, например, наборы конкретных значений критериев. Вторая форма учета факторов неопределенности относится к ситуации, когда значения критериев заданы не в виде конкретных чисел, как мы предполагали раньше, а в виде интервалов, в которые значения критериев попадают с заданной вероятностью. На примере этой постановки задачи мы затем поясним важное понятие устойчивости решений к изменению параметров альтернатив. Тема 12. Модель выбора в виде лотереи В начале нашего курса мы говорили о структуре процесса принятия решения (см. лекцию 1). Мы, напомним, начинали с выявления и анализа проблемы и заканчивали процедурой выбора решения. Такую структуру можно назвать функциональной: по пути от постановки проблемы к выбору решения мы выполняли некоторые функции. Но к этому процессу можно подойти и с иной точки зрения, если допустить, что на него, как это всегда бывает на практике, воздействуют различные неблагоприятные факторы, порождающие неопределенность, а с нею и риск неполучения ожидаемых результатов. В этом случае в ходе структурного анализа процесса можно и полезно выделить два типа пунктов, в которых происходит его ветвление. Первый из этих типов пунктов представлен точками, в которых ЛПР имеет возможность принять решение и выбрать ту или иную альтернативу. Второй тип – это пункты, в которых дальнейший ход процесса определяет случай. Вероятности исходов в этих пунктах предполагаются известными. Реальный процесс в общем случае представляет собой последовательность пунктов указанных типов, продвигаясь через которые, ЛПР, принимая решения или испытывая действие случайных факторов, достигает (или не достигает) желаемого результата. Схема такого процесса представлена на рис. 10. На нем светлые кружки обозначают точки принятия решений, темные – точки ветвления по воле случая. Обратим внимание на оценки вероятностей. Предполагается, что в каждой точке случайного выбора учтены все возможные на данном шаге направления. Это означает, что сумма вероятностей выбора каждого из них должна быть равна единице. Далее, предполагается, что вероятности выбора направления дальнейшего движения в каждом пункте этого типа не зависят от ранее сделанного выбора. Это позволяет путем перемножения вероятностей вдоль некоторого пути установить вероятность получения определенного результата в конце всей 58 цепочки. Этот вывод позволяет ограничиться рассмотрением простейшей структуры, в которой есть один пункт выбора альтернативы ЛПР и ряд пунктов случайного появления исходов, соответствующих выбранной альтернативе. Исходы Выбор ЛПР Действие случайных факторов Рис. 10. Схема процесса принятия решения при наличии случайных факторов Задача состоит в обосновании выбора в этих условиях наиболее предпочтительной в заданном смысле альтернативы. Для полного описания проблемы в этом случае недостаточно только перечня вариантов решений, исходов и их вероятностей. Требуется указать также ценность или полезность для ЛПР каждого из возможных исходов. Подчеркнем: проблема выбора в условиях неопределенности и порожденного ею риска имеет существенную психологическую составляющую. ЛПР должен сопоставить оценку возможного позитивного результата (говорят, величину выигрыша) с вероятностью этого события, а также размер возможных потерь, если желаемое событие не наступит и результат не будет достигнут. Сформулируем задачу выбора в условиях неопределенности (или, что то же самое, в условиях риска) с учетом сделанных замечаний. Задано множество альтернатив A = {a1, a2, …., an}; с каждой альтернативой связано множество возможных исходов С(ai ) = Ci , i = 1,…,n; каждому исходу сi (k) , k = 1,…ni приписаны значение вероятности его осуществления p(сi (k)) и значение полезности для ЛПР u(сi (k)). Требуется выбрать альтернативу, которая характеризуется максимальным уровнем средневзвешенной ожидаемой полезности. 59 Такая модель задачи выбора называется лотереей. Она описывает ситуацию выбора, более общую, чем мы рассматривали ранее. Действительно, если принять, что для каждой альтернативы возможен только один исход, тогда его вероятность, очевидно, равна единице, и тогда выбор надлежит делать по максимуму полезности. Лотерея приобрела вполне детерминированную форму, и постановка задачи свелась к уже изученному нами виду (см. лекции 3 и 4). Возможен и обратный ход рассуждений. Если в детерминированной задаче допустить возможность для каждой альтернативы получить при ее выборе один из нескольких исходов, придется формулировать правило выбора одного из них. При отсутствии каких-либо контролируемых внешних сил это правило не может быть детерминированным (иначе мы могли бы заменить альтернативу набором других альтернатив по числу указанных исходов), т. е. должно быть по своему смыслу вероятностным. Следовательно, необходимо вводить в рассмотрение вероятности появления исходов и задать на множестве исходов соответствующее распределение вероятностей. Но с исходами однозначно связаны оценки их полезности. Поэтому распределение вероятностей можно считать заданным на интервале изменения оценок полезности. Отсюда вывод: альтернативу можно оценить какой-либо характеристикой указанного распределения вероятностей. Теория рекомендует использовать простейшую из них – математическое ожидание, по существу представляющее собой средневзвешенную полезность, вычисленную по множеству исходов, указанных для данной альтернативы: ni U(ak) = Uk = ∑ p(сi (k))∙ u(сi (k)). (3) i=1 Решением этой задачи логично считать альтернативу, для которой это значение максимально. Рассмотрим численный пример. Пример. Исходные данные задачи выбора в виде лотереи представлены в виде следующей таблицы. Альтернативы ai Исходы сi (k) Оценки вероятности p(сi (k)) Оценки полезности исходов u(сi (k)) Произведение рхu a1 α1(1) α1(2) α1(3) α2(1) α2(2) 0,2 0,5 0,3 0,6 0,4 10 3 6 4 10 2,0 1,5 1,8 2,4 4,0 a2 60 Средневзв. ожидаемая полезность альтернатив ы 5,3 6,4 В этом примере ЛПР должен сделать выбор между двумя альтернативами a1 и a2. Если он выберет вариант a1 , то получит один из трех заранее известных вариантов последствий (исходов), условно обозначенных как α1(1), α1(2), α1(3). Вероятности исходов известны и в сумме составляют единицу. Это следует из предположения, что один из исходов обязательно наступит и иных исходов быть не может. При выборе альтернативы a2 возможны два варианта последствий: α2(1) или α2(2). Их вероятности также заданы и также в сумме составляют единицу. Примем, что оценку полезности исходов ЛПР произвел по десятибалльной шкале. Расчет полезности альтернатив проведен по формуле (3). В результате расчетов получаем, что значение средневзвешенной ожидаемой полезности для альтернативы a2 превышает этот показатель для a1. Поэтому выбор делаем в пользу альтернативы a2. Решение задачи закончено. В этом примере мы не указывали конкретного содержания возможных исходов. Это содержание определяется условиями и смыслом рассматриваемой задачи. Например, технолог, выбирая параметры протекания технологического процесса, может ожидать различных последствий, таких как повышение производительности оборудования или повышение расхода электроэнергии. Значения этих и подобных показателей и следует трактовать как исходы. Аналогичным образом при выборе варианта ценовой политики маркетолог может (или должен) предвидеть различные варианты их возможных последствий. Эти последствия могут быть оценены, например, с помощью показателей величины спроса, доли рынка, объема продаж, уровня конкурентоспособности. В общем случае, формируя модель задачи выбора как вероятные исходы, можно рассматривать возможные значения принятых для оценки альтернатив критериев. По заданным значениям критериев, предварительно построив для каждого из них локальные функции полезности, можно перейти к оценкам полезности заданных значений критериев. Далее, приняв гипотезу о независимости критериев по предпочтению, можем установить полезности исходов, суммируя для каждого из них оценки полезности значений критериев. Рассмотрим пример. Пример. Пусть объект выбора оценивается двумя критериями, причем f1→max и f2 →min. Критерии имеют для ЛПР одинаковую значимость (важность). Функции полезности для этих критериев имеют вид, представленный на рис. 11. 61 φ(f1) φ(f1) 1 1 0,6 0,6 0,2 0,2 0,2 0,6 1 f1 0,2 0,6 а 1 б Рис. 11. Вид локальных функций полезности, используемых в рассматриваемом примере Выбор должен быть сделан из трех альтернатив, т. е. A = {a,b,c}. Параметры альтернатив и результаты расчетов представлены в таблице. Альтернативы Исходы (f1;f2) Вероятности исходов pi (k) Оценки полезности критериев (u(f1);u(f2)) Оценки полезности исходов u(i,k)= =(u(f1)+u(f2)) Произведение pi (k) х u(i,k) а 0,6; 0,2 0,7; 0,1 0,9; 0,5 0,2; 0,7 0,8; 0,2 0,3; 0,5 0,6; 0,2 0,1; 0,1 0,4 0,5 0,1 0,3 0,7 0,5 0,2 0.3 0,80;0,40 0,88;0,50 0,95;0,15 0,35;0,10 0,92;0,40 0,50;0,15 0,80;0,40 0,20; 0,50 1,20 1,38 1,1 0,45 1,32 0,65 1,20 0,70 0,48 0,69 0,11 0,14 0,92 0,33 0,24 0,21 b c Средневзв. ожидаемая полезность альтернативы ui= ∑ pi (k)∙ u(i,k) k 1,28 1,06 0,78 Напомним, что значения критериев и вероятности исходов заданы, оценки полезности значений критериев устанавливаются по графикам локальных функций полезности, установленных предварительно. Формулы расчета полезностей исходов и альтернатив приведены в шапке таблицы. Как видим, наибольшее значение средневзвешенной полезности имеет альтернатива а. Ее и выбираем в качестве окончательного варианта решения. Рассмотрение примера закончено. 62 f1 Подчеркнем, что в рассмотренной процедуре, простой в вычислительном отношении, на результат существенное влияние оказывает субъективный фактор, проявляющийся в обосновании состава исходов, определении их вероятностей, выборе вида локальных функций полезности, принятии предположения о независимости критериев по предпочтению. Изменение мнения ЛПР в любом из названных вопросов может изменить и окончательный результат. Поэтому при рассмотрении задач, связанных с неопределенностью, требуется проводить анализ устойчивости принимаемых к возможной вариации значений исходных параметров задачи. Понятие и методы оценки устойчивости решений мы рассмотрим на примере другой формы проявления и учета неопределенности, а именно, при интервальном задании значений критериев. ЛЕКЦИЯ 9 Тема 13. Интервальное задание критериев и устойчивость решений Рассматривая задачи выбора в условиях определенности, мы задавали значения критериев в виде конкретных чисел. Там же было сказано, что значения любых показателей, в том числе критериев характеризующих альтернативы, устанавливаются в результате измерений в широком понимании этого понятия. Но любое измерение неизбежно имеет ту или иную погрешность, которая обусловлена характеристиками измерительного прибора и условиями измерений. «Прибором» может быть и техническое устройство, и методика расчета показателя, и эксперт, высказывающий свое суждение. В любом случае «измеренное» значение показателя мы должны дополнить указанием нижнего и верхнего пределов, ограничивающих интервал его возможных значений. В благоприятных случаях можно указать и распределение вероятностей попадания значения показателя в зоны этого интервала. Если основания выбора конкретного вида распределения нет, принимают гипотезу о том, что оно является равномерным. Напомним, что этому распределению соответствует наибольший уровень неопределенности. Указание таких интервалов и распределения вероятностей – это способ включить фактор неопределенности в модель выбора, которая при этом приближается к реальным условиям принятия решений. Одновременно возникают и дополнительные проблемы обоснования выбора. В частности, если каждый из критериев примет некоторое значение лишь с некоторой вероятностью, то можно ожидать, что расчетный состав множества Паретооптимальных вариантов также реализуется лишь с той или иной вероятностью. Возникает вопрос о том, как ее оценить. Какое значение вероятности считать приемлемым? Оценки указанной вероятности, по существу, характеризуют риск выбора решения, которое не является Паретооптимальным и, следовательно, не может иметь статус наиболее 63 предпочтительного. Последствия неточного задания критериев можно иллюстрировать графически. Когда мы принимали предположение о точном задании критериев, мы представляли альтернативы в виде точек в пространстве критериев. Случай двух критериев легко представляли графически (см. рис. 1). Состав множества Парето-оптимальных решений устанавливался легко и однозначно. Если же принять, что критерии заданы интервалами своих возможных значений, т. е. fi принадлежит интервалу [fimin ;fimax], i = 1,2,…,m, то при двух критериях каждая альтернатива будет в пространстве критериев (в данном случае – в координатной плоскости) в виде замкнутого прямоугольника. Если ЛПР выберет определенную альтернативу, то последствия в известной степени неопределенны: каждый из критериев примет значение из своего интервала, и изображающая альтернативу точка разместится в своей прямоугольной зоне. Таким образом, конфигурация точек, соответствующая определенной альтернативе, является случайной. Случайным будет также и состав решений, эффективных по Парето. Если при одних и тех же исходных данных формирование множества Парето производить многократно в виде серии расчетов (вычислительных экспериментов), то различные его составы будут появляться с различной частотой и мы, выполнив достаточно большое количество расчетов, получим некоторое распределение частот. При увеличении количества расчетов это распределение будет приближаться к распределению вероятностей на множестве возможных составов множества Парето. Если какой-либо из вариантов состава имеет вероятность появления, превосходящую вероятности других вариантов, говорят, что такой вариант является устойчивым, точнее, статистически устойчивым к вариации значений критериев в заданных пределах. В этом случае есть основание дальнейшие действия по выбору окончательного решения производить именно из такого устойчивого состава множества Парето. Наиболее неблагоприятной является ситуация, когда распределение частот (или вероятностей) оказывается близким к равномерному. Это означает, что частоты появления любого состава множества Парето различаются незначительно и значит нет оснований для выделения какоголибо из них для дальнейшего анализа и выбора решения. В этом случае состав множества эффективных по Парето вариантов считается неустойчивым. В этих случаях лицу, принимающему решение, целесообразно отказаться от выбора и принять меры к обеспечению устойчивости состава указанного множества. Основным средством достижения этого результата является повышение точности оценок критериев, что приведет к уменьшению объемов (при двух критериях – площадей) пересекающихся зон их возможных значений. На рис. 12 представлена ситуация, когда расположение зон возможных значений и точность задания критериев таковы, что при любом конкретном значении каждого из них состав множества Парето будет 64 одним и тем же – P(A)= {a,c}, т. е. является устойчивым к изменению значений критериев в указанных пределах. Рис. 12. Пример представления альтернатив в пространстве критериев при интервальном задании их значений. Состав множества Паретооптимальных вариантов является устойчивым к вариациям значений критериев Приведем пример, иллюстрирующий порядок статистического исследования устойчивости состава множества Парето. Предположим, что к альтернативному выбору предъявлены три проекта: А={a1,a2,a3}. Альтернативы характеризуются двумя критериями, которые требуется максимизировать. Оценки критериев заданы в виде интервалов возможных значений. Будем полагать, что для значений каждого критерия любой альтернативы плотности вероятности распределены по равномерному закону, т. е. получение критерием любого конкретного значения из заданного для него интервала равновероятно. Очевидно, что области возможных сочетаний значений критериев для каждой альтернативы имеют вид прямоугольников (рис. 13). Номинальные значения критериев примем в их центрах. Полагаем, что для каждой альтернативы критерии функционально либо статистически не связаны, т. е. получают свои значения независимо друг от друга. Это позволяет считать, что совместное распределение плотности вероятностей пары значений критериев для каждой альтернативы остается равномерным. Для иллюстративных расчетов рассмотрим конечное число возможных сочетаний значений критериев, приняв, что каждый из них может принять с равной вероятностью одно из пяти значений: номинальное и в четырех угловых точках соответствующей этой альтернативе прямоугольной допустимой области. Эти точки обозначим: для альтернативы a1: а10 (номинальная),а11,а12,а13,а14 ; для альтернативы a2: а20 (номинальная),а21,а22,а23,а24 ; 65 для альтернативы a3: а30 (номинальная),а31,а32,а33,а34 . При таком предположении число равновероятных сочетаний значений всех критериев равно 53=125. Для каждого сочетания было построено множество Парето-оптимальных решений. При номинальных значениях критериев множество Парето имеет состав PA0={a10,a20}. Всего в эксперименте было получено шесть вариантов состава множества Паретооптимальных решений. Частоты появления этих вариантов приведены в в следующей таблице и представлены на рис. 14, а. Рис.13. Пример выбора из трех альтернатив при интервальном задании исходных данных Номер варианта 1 2 3 4 5 6 Состав множества PA* a1,a2 (PA0) a1 a1,a2,a3 a1,a3 a2,a3 a3 Число случаев 82 20 11 7 3 2 125 Относительная частота 0,656 0,160 0,088 0,056 0,024 0,016 1,000 При увеличении количества пробных точек, случайным образом выбираемых в областях допустимых значений критериев, относительные частоты будут приближаться к истинным вероятностям соответствующих вариантов состава множества Парето, и надежность выводов по результатам эксперимента будет возрастать. Граничное значение частоты задается ЛПР до начала расчетов, т. е. является субъективной величиной. Она выражает минимальное значение вероятности появления некоторого состава множества Парето, которое ЛПР считает приемлемым. В рассмотренном примере если принять в качестве граничного значения частоты получения номинального варианта величину ξгр , равную, например, 0,7 (ξгр =0,7), то множество Парето следует признать статистически 66 неустойчивым (рис. 14, а). Если же допустить, что варианты множеств могут различаться, но не более, чем одним элементом, то суммарная частота появления допустимых вариантов (это варианты 1, 2, 3 в табл. 1) будет равной 0,904, и номинальное множество следует признать устойчивым (рис. 14, б). а б Рис. 14. Гистограмма распределения частот различных составов множества Парето Подчеркнем еще раз, что если на этапе выделения множества Паретооптимальных решений с использованием принятого подхода установлена неустойчивость его состава, то в общем случае на следующем этапе решения задачи выбора проекта и его последующей реализации возрастает риск отклонения конечных результатов от запланированных (номинальных) значений. В этом случае к риску, обусловленному действием неучтенных в модели задачи факторов, добавляется вполне предсказуемый риск, связанный с неточностью исходных характеристик проектов и взаимным расположением интервалов (n-мерных областей) их возможных значений в пространстве критериев. В этой ситуации представляется логичным рекомендовать провести дополнительные мероприятия по повышению точности исходных данных и добиться устойчивости множества Паретооптимальных альтернатив, из которого на следующем этапе решения задачи будет произведен выбор окончательного варианта. 67 Контрольные вопросы 1. Назовите основные источники неопределенности в задачах принятия решений. Как соотносятся между собой понятия неопределенности и риска? 2. Назовите возможные способы определения вероятностей событий, влияющих на процесс и результаты выбора решения. 3. Поясните вид модели задачи выбора в форме лотереи. Поясните порядок выбора решения по критерию максимума ожидаемой полезности. 4. В каких ситуациях и с какой целью используется интервальная форма задания критериев? Какие проблемы возникают при этом? 5. Поясните понятие устойчивости решения. Приведите схему вычислительного эксперимента для определения статистической устойчивости или неустойчивости состава множества Парето. 68 УЧЕБНЫЙ МОДУЛЬ 4 КОЛЛЕГИАЛЬНЫЙ ВЫБОР И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЛЕКЦИЯ 10 Тема 13. Модели коллегиального выбора Рассматривая вопрос о субъекте выбора, мы ввели термин «лицо, принимающее решение» (ЛПР), и подчеркивали, что под этим термином подразумевают как конкретного человека («физическое лицо»), так и какойлибо орган, организационную структуру. В первом случае речь может идти об индивидуальном решении. Во втором случае выбор может осуществляться как отдельным должностным лицом, имеющим на это соответствующие полномочия, так и группой лиц. В последнем случае говорят о коллективном или коллегиальном решении. Выбор решения группой лиц имеет свои особенности и требует разработки соответствующих моделей. Математические основы таких моделей далеко не просты, и мы не будем разбирать их подробно. Ограничимся рассмотрением их сущности на содержательном уровне. Рассматривая задачи индивидуального выбора, мы отмечали, что субъективная информация, необходимая для выделения в предъявленном множестве альтернатив наиболее предпочтительного с точки зрения ЛПР варианта, предоставлялась единственным лицом. После завершения этапов анализа ситуации выбора, формирования множества альтернатив и их оценок ЛПР должен был выразить свои суждения относительно важности критериев и правил, задающих отношение предпочтительности. Задача теории состояла в конструировании формальных процедур, отражающих индивидуальное представление ЛПР о качестве альтернатив. Мы рассмотрели такие процедуры, как выделение Парето-оптимальных вариантов, оценка коэффициентов важности критериев, построение кривых безразличия и функций полезности, применение различных способов свертывания векторного критерия. Можно сказать, что теория предоставила формально обоснованные приемы работы с информацией, полученной от лица, заинтересованного в выборе наиболее подходящего для него решения. Представим себе теперь иную ситуацию. Пусть при неизменных параметрах задачи (множество альтернатив и критериев их оценки) решение должно быть принято не одним человеком, а группой лиц. Членов этой группы назовем для краткости участниками. Каждый из них, вообще говоря, имеет собственный уровень заинтересованности в качестве решения, собственное суждение о важности отдельных критериев и структуре отношения предпочтительности между вариантами. Соответственно, каждый из участников сделает свой индивидуальный выбор. С очевидностью возникает проблема согласования суждений отдельных участников. Другими 69 словами, коллективное решение должно в определенном смысле наилучшим образом отражать индивидуальные предпочтения участников. Можно сказать, что в модели коллективного выбора должны быть интегрированы описания процедур индивидуального выбора и правил согласования мнений участников или, другими словами, должна быть построена коллективная функция предпочтений. Все правила коллективного выбора сводятся в итоге к различным схемам голосования. Некоторые из возможных схем широко известны и распространены на практике. Например, при выборе из двух альтернатив применяют такие правила, как выбор решения по принципам общего согласия (консенсуса, т. е. единогласно), простого (более половины голосующих) или квалифицированного (более 2/3, ¾ голосующих или иной их доли, превышающей 0,5) большинства голосов. Если альтернатив более двух, возможно применение правила относительного большинства, когда выбранной считается альтернатива, получившая большее по сравнению с другими голосов. Применяются и более сложные и оригинальные процедуры (многоступенчатые выборы президента в США, выборы Папы Римского, выборы в несколько этапов («туров»), выявление победителей в спорте). Разнообразие схем согласования следует из различий возможных требований к результату выбора и структур отношений между участниками. Рассмотрим для примера несколько возможных задач согласования индивидуальных решений. Мы уже ранее говорили, что результат может состоять, например, в выборе одного из предъявленных вариантов или в упорядочении их по убыванию предпочтительности. Пусть решение принимается группой из N участников. В первом случае каждый из них, применив собственную индивидуальную модель выбора, выбрал из предъявленного конечного множества в качестве предпочтительного один из вариантов или, образно говоря, отдал за этот вариант свой голос. В другом случае каждый из участников выдвинул собственный вариант упорядочения альтернатив по убыванию предпочтительности. Совокупность таких вариантов упорядочения принято называть профилем предпочтений в задаче коллективного выбора. При рассмотрении таких задач профили предпочтений участников считаются заданными, и требуется сформулировать некое правило согласования отраженных в них индивидуальных предпочтений. Некоторые из распространенных на практике правил мы уже упоминали (правила простого или квалифицированного большинства, правило относительного большинства). Как мы говорили, существуют и другие правила коллективного выбора. Отметим, что правила согласования должны быть установлены до начала процедуры голосования. Такие правила составляют регламент работы коллективного органа принятия решений. Продуманные регламенты должны исключать неопределенные ситуации в голосовании. Так, например, часто 70 при формировании коллективных органов требуется обязательное включение в их состав нечетного числа участников, чтобы при выборе решения избежать возможного равенства голосов. При согласовании вариантов упорядочения конечного множества альтернатив поиск результата группового выбора также может быть сведен к процедуре голосования. Действительно, если число альтернатив конечно и равно n, то максимальное число вариантов их упорядочения равно n!. Число реально указанных вариантов упорядочения nреал, очевидно, не превышает этого количества: nреал ≤ n!. Каждый из реально указанных вариантов расположения альтернатив получит какое-то количество голосов участников. Если пользоваться правилом относительного большинства, то результатом группового выбора в этом случае будет вариант упорядочения, получивший наибольшее количество голосов. Напомним, что функция факториала n! чрезвычайно быстро растет с увеличением n (5!=120; 10! > 3,6∙106). Поэтому при конечном, но достаточно большом значении n, более удобным может быть правило согласования, использующее для итогового упорядочения такой показатель, как «сумма мест», которые занимают исходные альтернативы в индивидуальных упорядочениях. Приведем пример. Пусть группа из трех участников (N=3) должна упорядочить по предпочтительности четыре альтернативы, обозначенные через a, b, c, d. Участники предложили свои (индивидуальные) варианты упорядочения этих альтернатив по убыванию предпочтительности (см. таблицу, в которой представлены профили предпочтений участников выбора). Заметим, что применить правило большинства не выявит лучшую альтернативу: каждая из них получила по одному голосу. Участник 1 2 3 Вариант упорядочения альтернатив c, a, b, d c, d, a, b a, c, b, d Места, занятые альтернативами в каждом из вариантов упорядочения, и суммы этих мест приведены в следующей таблице. Вариант упорядочения c, a, b, d c, d, a, b a, c, b, d Сумма мест Место в итоговом упорядочении Место, занятое Место, занятое Место, занятое Место, занятое a b c d 2 3 1 6 2 3 4 3 10 3–4 1 1 2 4 1 4 2 4 10 3–4 71 Итоговое упорядочение имеет вид: c, a, b, d или c, a, d, b. Выбор варианта из этих двух должен определяться установленным предварительно регламентом. Например, альтернативы, имеющие одинаковые суммы мест, упорядочиваются по алфавиту. В этом случае групповым результатом будет упорядочение c, a, b, d. Использованное в данном примере правило формирования коллективного предпочтения можно обобщить, например, начисляя альтернативам за занятые в индивидуальных упорядочениях места, определенные количества баллов или очков. При этом, очевидно, если альтернативы упорядочиваются по убыванию предпочтительности, то с увеличением номера места количества начисляемых за него очков не должно возрастать. Если в данном примере очки назначать по правилу: за 4-е место – 0 очков, за 3-е место – 1 очко, за 2-е место – 1 очко и за 1-е место – 2 очка, то результат будет однозначным: c, a, b, d. Так поступают, например, при выявлении победителей в некоторых видах спорта. Приведем еще ряд примеров, поясняющих суть проблемы, которая может возникнуть при коллективном выборе. При этом рассмотрим два подхода, с анализа и «соперничества» которых началось теоретическое исследование различных схем голосования. Пример 1. Пусть группа состоит из 21 участника (их иногда называют выборщиками или избирателями), которым надлежит выбрать одну из четырех альтернатив (в задачах коллективного выбора их часто называют кандидатами, так как эти задачи по своему содержанию часто относятся к формированию различных представительных и руководящих органов). Предположим, что индивидуальные предпочтения выявлены и представлены в виде следующего профиля, в котором одинаковые индивидуальные предпочтения объединены в группы с указанием соответствующего числа участников. В верхней строке указано число участников, отдавших свой голос за соответствующий вариант упорядочения альтернатив. Место, занятое альтернативой 3 5 7 6 1 2 3 4 a b c d a c b d b d c a c b d a Данные этой таблицы следует понимать так: из 21 участника группы 3 указали порядок предпочтительности альтернатив a > b >c >d (знак > здесь означает «предпочтительнее»); 5 участников указали порядок a >c >b>d; 7 участников – b > d >c >a и 6 участников – c > b>d >a. 72 Воспользуемся правилом относительного большинства, по которому выбирается альтернатива, которую считают лучшей большее число участников. В нашем примере альтернативу a считают лучшей 8 участников (3+5), альтернативу b – 7 участников и альтернативу c – 6 участников. Следуя данному правилу, выбираем альтернативу a. Такой выбор внешне представляется вполне логичным и «демократическим». Однако заметим, что выбранный вариант является наихудшим для явного большинства участников! Действительно, 13 (из 21) из них поставили альтернативу a на последнее место. Заметим также, что 14 участников считает c лучше, чем d, 11 (5+6) участников полагает, что c лучше, чем b, и 13 (7+6) участников считает, что c лучше, чем a. Таким образом, для большинства участников альтернатива c предпочтительнее каждой из остальных! Может быть, следовало выбрать именно эту альтернативу, как в большей степени соответствующую идее демократического выбора? На самом деле определений понятий демократичности или справедливости, как мы уже говорили, нет и, видимо, не появится. Поэтому принимают относительные определения, задаваемые с помощью некоторой системы аксиом. Мы их рассматривать не будем и ограничимся только указанием того факта, что если такая система аксиом принята, то можно выяснить, удовлетворяет ей то или иное правило, или нет. Полученные нами в данном примере два варианта решений явились результатами применения двух принципов, каждый из которых порождает свои наборы правил. Первый принцип использует информацию о местах, которые занимают альтернативы в индивидуальных упорядочениях, представленных участниками. Каждому месту могут быть присвоены некоторые численные оценки si («очки», баллы) так, что эти оценки с увеличением номера места не возрастают. Например, если рассматривается m альтернатив, то оценки мест могут быть такими: s1 = (m – 1), s2 = (m – 2),…, sm =0. В нашем примере для указанного профиля будем иметь: a за занятые в индивидуальных упорядочениях места получает 3∙3 + 5∙3 + 7∙0 + 6∙0 = 24 очка; альтернатива b получает 3∙2 + 5∙1 + 7∙3 + 6∙2 = 44 очка; альтернатива c получает 3∙1 + 5∙2 + 7∙1 + 6∙3 = 38 очков; альтернатива d получает 3∙0 + 5∙0 + 7∙2 + 6∙1 = 20 очков. Как видим, в этом случае следует признать лучшей альтернативу b. Заметим, что если за первое место присваивать s1 очков (s1>0), а за любое место, кроме первого, присваивать 0 очков (s2 = s3 =…=sm-1 = 0), то получим правило относительного большинства, по которому мы в этом примере ранее выбрали альтернативу a. Правило, состоящее в назначении альтернативам очков за занятые ими места в индивидуальных предпочтениях, называют правилом Борда (по имени французского ученого Жана-Шарля де Борда, 1733–1799). 73 Второй принцип использует информацию о результатах парных сравнений альтернатив, представленных в профиле индивидуальных предпочтений. Наиболее предпочтительной считается альтернатива, которая оказалась лучшей каждой из остальных альтернатив при их попарном сравнении по правилу большинства. Мы этим правилом ранее уже воспользовались в нашем примере для иллюстрации относительности представлений о степени демократичности выбора. Но приведем еще один пример. Пример 2. Пусть группа принятия решения включает 21 участника. Требуется выбрать решение из трех (m = 3 ) предъявленных вариантов. Профиль предпочтений имеет вид: Место, занятое альтернативой 8 7 6 1 2 3 a b c b c a c a b Выполним попарное сравнение альтернатив. Мы обнаружим, что a лучше, чем b по мнению 14 (8+6) участников; b лучше, чем с по мнению 15 (8+7) участников; c лучше, чем a по мнению 13 (7+6) участников. Т. е. предпочтения большинства оказались не транзитивными (вспомните, в чем состоит смысл отношения транзитивности): a лучше b, b лучше c, но c лучше a. Как принято говорить в таких случаях, цепочка предпочтений оказывается замкнутой, имеет место цикл. Какое же решение должно быть принято в этом случае? Использованное нами правило в этом случае ответа не дает. Действительно, существуют такие профили, для которых правила, основанные на парном сравнении альтернатив по результатам их индивидуальных упорядочений, не позволяют сформировать коллективное предпочтение. Правда, при малых количествах альтернатив и участников группы вероятность появления цикла весьма невелика, но растет с заметной скоростью с увеличением этих параметров, особенно при увеличении числа альтернатив. Правило, основанное на парном сравнении альтернатив, называют правилом Кондорсе (по имени французского математика и общественного деятеля времен Французской революции Мари Жана Антуана Никола де Корита, маркиза де Кондорсе, 1743–1794). Ситуацию, при которой возникает цикл, и решение по этому правилу не существует, называют парадоксом Кондорсе. Отметим, что правило Борда (дополненное правилом упорядочения альтернатив при равенстве очков) всегда приведет к искомому результату. В теории доказана теорема, утверждающая, что существуют такие профили, при 74 которых лучшая по Кондорсе альтернатива не может быть выбрана ни при каком методе подсчета очков. Это означает, что правила Борда и Кондорсе, вообще говоря, выражают разные идеи выбора, и их нельзя свести одно к другому. Приведенные примеры представлены не только как инструменты коллективного выбора, но и как иллюстрация специфических проблем, возникающих в таких задачах. В рассмотренной схеме участники предлагали свои варианты решения. Возможны схемы, в которых участники высказывают свои суждения относительно параметров процедуры выбора. Например, они могут высказать свои индивидуальные суждения об относительной важности критериев, о форме функций полезности, о составе и вероятностях возможных исходов при выборе различных альтернатив. В подобных случаях функция согласования мнений участников, реализуемая, например, в виде процедуры усреднения индивидуальных оценок, помещается «внутрь» процесса обоснования выбора. После этого окончательный групповой выбор осуществляется по правилам, выработанным для индивидуального принятия решения. В моделях коллективного выбора могут быть учтены и другие факторы. Так, группа участников процесса выбора может иметь различную структуру. Например, такая группа может состоять из независимых экспертов или же из участников, связанных отношением административного подчинения. В последнем случае «включаются» дополнительные факторы, способные исказить действительные индивидуальные оценки, сделать их зависимыми. Задача может приобрести вид псевдоколлективного выбора. Такая ситуация, связанная с деформацией индивидуального мнения участников, может возникнуть и по другим причинам, например, под влиянием признанного авторитета отдельных участников. В итоге на выбор начинают существенно влиять не только и даже не столько формальные свойства альтернатив, сколько социальные и психологические аспекты взаимодействия участников группы. Эти аспекты изучаются в соответствующих научных дисциплинах, и их знание и понимание имеет большое значение для правильной организации и обеспечения результативной и эффективной работы групп, принимающих решения. Мы коснемся этих вопросов в следующем разделе. Тема 14. Роль теории коллективного выбора и практические задачи организация принятия управленческих решений Остановимся кратко на организационных вопросах принятия коллективных решений. Спектр этих вопросов весьма широк и разнообразен. Несложно представить, с какими трудностями связана, например, организация такой формой коллективного выбора, как всенародное голосование по выборам Президента страны, депутатов Государственной 75 Думы, других представительных органов. На более низких уровнях управления (на ведомственном, корпоративном, внутрифирменном) действуют свои факторы, усложняющие процедуры выбора. Рассмотрим основные вопросы, которые должны быть решены при организационном обеспечении коллективного выбора управленческих решений. Главным документом, определяющим порядок работы группы принятия решений, является, как мы уже сказали, регламент. Регламент устанавливает следующие позиции: – порядок объявления и прекращения полномочий группы принятия решений; – количественный состав группы; – требования к участникам (например, по уровню квалификации или по возрасту); – срок полномочий органа, периодичность работы и, при необходимости, правила ротации (замены) участников; – перечень проблем и вопросов, по которым орган уполномочен принимать решения, а также статус таких решений (например, их обязательный или рекомендательный характер); – порядок выработки коллективного решения (оценка правомочности заседаний группы, порядок обсуждения, голосования); – порядок протоколирования процесса принятия решения и документирования результатов; – основания и порядок отмены или корректировки принятых решений. Некоторые из этих вопросов решаются неформальными методами на основе опыта государственного и административного управления и в теории принятия решений не рассматриваются. В этой теории состав группы, принимающей решение, считается известным и фиксированным. Но такие свойства групп, как независимость или подчиненность участников, их различный статус (например, признанное лидерство некоторых из них), характер обмена информацией между членами группы и с внешней средой, возможность объединения членов группы в коалиции, могут быть формализованы тем или иным способом, что приводит к различным вариантам моделей коллективного выбора. Формирование и исследование таких моделей составляет содержание теории коллективного выбора. Движущей силой для развития этой теории, безусловно, являются потребности практики. Необходимость выбора рациональных форм согласованного поведения отдельных людей, т. е. реализации решений, с которыми согласны все участники, проявлялась и проявляется, как можно полагать, с древнейших времен. Более того, некоторые формы согласованного поведения можно наблюдать и в животном мире (например, в приемах организации охоты). Так что основы группового поведения для многих видов, в том числе человека, эволюция закрепила на генетическом уровне. Но в человеческих сообществах 76 различного масштаба действует множество факторов, обусловленных особой природой этих сообществ. Человек, как существо социальное и разумное, склонен к анализу своего положения в обществе, своих интересов и путей их удовлетворения. Он отличается набором личностных качеств, которые нельзя не учитывать при взаимодействии с другими людьми. Эти качества и формы их проявления, а также оценки их со стороны общества изучаются этикой, социологией, социальной и личной психологией, политологией и другими общественными и гуманитарными науками. Наиболее выпукло свойства отдельного человека и сообщества в целом проявляются в процессах принятия коллективных решений. При выборе индивидуальных решений, как мы говорили, субъективные суждения ЛПР (относительно состава альтернатив, набора их свойств и способов их измерения, оценки важности критериев, описания предпочтений) играют большую роль. Но эти суждения чаще всего опираются на профессиональные знания и учет внешних обстоятельств (например, наличие ресурсов). Из собственно личностных характеристик при индивидуальном выборе решения «работает» только такой показатель, как склонность ЛПР к риску. В коллективных решениях, особенно в ситуациях, предполагающих при формировании индивидуальных и групповых предпочтений обмен информацией, ключевое значение приобретают именно личностные характеристики участников и отношения между ними. При рассмотрении и анализе принятого группой коллективного решения возникает вопрос: в какой мере в этом решении учтены индивидуальные мнения отдельных участников? Другими словами, является ли коллективное решение справедливым или, по крайней мере, демократичным? И, вообще, возможно ли установить правило, обеспечивающее выполнение заданных требований справедливости и демократичности? Отметим еще раз, что понятие справедливости относится к области этики и, видимо, не поддается формализации. Можно только договориться о том, что в конкретном случае считать справедливым, т. е. ввести на условиях договоренности некую аксиому или набор аксиом или принципов справедливости. Например, при выборе из двух альтернатив вполне справедливым кажется правило большинства: группа выбирает ту альтернативу, за которую проголосовало большее число участников. Всегда ли решение, принятое по этому правилу, будет восприниматься как правильное, справедливое? Аналогичные рассуждения можно привести и относительно демократичности коллективного выбора. Приведем исторический пример. Во времена Французской революции 11 декабря 1792 года Конвент принял решение о казни короля Людовика XVI большинством в 1 (один) голос! Через несколько дней решение было исполнено. Как могло пойти развитие исторического процесса, если бы регламент Конвента предусматривал иное правило голосования, хотя бы правило квалифицированного большинства? 77 Именно с периода Французской революции с активизацией идей демократии начинается развитие теории коллективного выбора или, по существу, теории голосования. Начались исследования, нацеленные на анализ и конструирование различных «справедливых» схем голосования, с помощью которых индивидуальные предпочтения преобразовывались в групповое решение. У истоков этих исследований, как мы уже говорили, стояли французские математики Ж.-Ш. де Борда и маркиз де Кондорсе. Последний был активным участником французской революции и даже был главным редактором текста Конституции, включавшим и регламент выборов. Отметим, что эти ученые были, безусловно, выдающимися людьми и, как при этом часто бывает, между собой были в натянутых отношениях. Но взаимная критика и конкуренция привели каждого из них к формированию правил голосования, которые создали основу для всех дальнейших исследований. И сегодня теория предлагает обобщенные правила Борда и Кондорсе в качестве приемлемых вариантов формирования коллективных предпочтений. Разработаны и другие правила, составляющие весьма обширный арсенал инструментов группового выбора. Но значение теории не только в этом. Она выявила свойства различных правил, позволяющие осознанно подходить к разработке регламентов работы коллегиальных органов принятия решений, а также, что часто недооценивается на практике, установила «пределы возможного» при попытках сконструировать правила, удовлетворяющие определенным представлениям о справедливости. Так, к примеру, теория выявила, и мы убедились в этом на рассмотренных выше примерах, что внешне логичное правило большинства в случае трех и более альтернатив может привести к выбору варианта, противоречащего мнению большей части группы относительно предпочтительности вариантов; что правило парных сравнений в некоторых случаях вообще не дает результата; что набор «естественных» требований к работе группы, может быть одновременно удовлетворен, только если в группе есть участник, способный навязать свое мнение остальным (его называют «диктатором»), а это противоречит принципам демократии в принятии решений (аксиомы К. Эрроу и его теорема «о невозможности»). Список результатов теории можно продолжать. Многие из них неочевидны и неожиданны (их часто называют «парадоксами»). Теория коллективных решений (теория голосования) – это одна из теорий, в которых тесно переплетены математические модели и методы и данные общественных и гуманитарных наук. Формально теория голосования иногда рассматривается как раздел более общей математической теории игр, в частности кооперативных игр. С другой стороны, и модели игр, и процедуры принятия коллективных решений часто интерпретируются в терминах распределения затрат и благ, формирования представительских органов управления обществом, сопоставления общественных и индивидуальных ценностей. Поэтому эти теории относят к теории социального выбора. Подробное изложение этих теорий не входит в задачи данного курса, хотя 78 знакомство с их основными положениями было бы весьма полезным для будущих экономистов. Коснемся общих характеристик лишь двух организационных схем. Первая схема предполагает, что число участников группы относительно невелико, каждый из них независим от других и имеет возможность высказывать свое собственное мнение без какого-либо давления. По такой схеме, как правило, организуют работу экспертов (признанных квалифицированных специалистов в соответствующей области) по выбору решений в какой-либо конкретной сфере деятельности, например, при выборе вариантов построения технических систем. Мнение экспертов выражается в виде ответов на некоторый набор вопросов, указании коэффициентов важности, упорядочении альтернатив по предпочтительности, выборе наилучшего, по мнению эксперта, варианта решений. Мнение каждого эксперта мы и назвали выше индивидуальным предпочтением. Отметим, что мнения могут быть выражены анонимно («закрытое» голосование) либо с указанием имени эксперта. Этот момент может быть исключительно важным с точки зрения мотивации эксперта. Работа группы может быть организована различным образом. Так, эксперты могут работать изолированно, не обмениваясь информацией и своими мнениями и даже, возможно, не зная о составе группы. В этом случае создается административно-аналитическое подразделение, выполняющее работу по получению данных от экспертов и их обработке. Обработка результатов базируется на применении специальных методов математической статистики, составляющих теорию экспертных оценок. Особенности методов обусловлены, прежде всего, характерными для экспертиз относительно малыми объемами выборок (напомним, что число экспертов в группе, как правило, невелико), что заставляет применять особые критерии для оценки значимости получаемых статистических характеристик. В частности, широко применяется такой показатель, как коэффициент конкордации, характеризующий степень согласованности мнений экспертов в группе. Часто применяются приемы, позволяющие сократить выявленный диапазон мнений экспертов. Для примера можно привести применяемый в спорте при определении баллов, набранных спортсменом, прием отбрасывания из набора выставленных судьями оценок лучшего и худшего значений. Процесс выбора в этом случае оказывается в значительной степени или полностью формализованным, а значит, поддающимся контролю и объяснению. В других случаях эксперты работают вместе, обмениваясь мнениями, получая необходимую дополнительную информацию для снятия выявленной в процессе обсуждения неопределенности. При таком подходе «механизм» выработки коллегиального решения остается скрытым, неформализованным и даже, возможно, неформализуемым. По такой схеме работает, например, суд присяжных. Для этого подхода характерно сильное влияние личностных качеств участников группы: их персональная квалификация и 79 информированность, лидерские способности, уровень «конформизма» (свойство поддаваться внешнему давлению), умение логически обосновать свое мнение, убедительность в подаче и защите своей позиции. Открытому высказыванию мнений может препятствовать и такой фактор, как опасение утечки информации с нежелательными для эксперта последствиями. Все это нередко делает процедуры открытого обсуждения внешне результативными, но неэффективными по существу. Тем не менее, описанный подход распространен на практике в виде всевозможных организационных структур – коллегий, советов, совещаний, консилиумов. За редкими исключениями участники таких структур связаны некоторыми отношениями, и сами структуры следует отнести к другому классу, а именно, к классу иерархически организованных групп. В таких группах заведомо предполагается, что отдельные участники не являются полностью независимыми в своих суждениях. В группе формируются подгруппы, из которых далее при принятии решений могут формироваться коалиции. Состав коалиций и, соответственно, их «сила» (число голосов) могут быть подвижными, зависящими от содержания принимаемых решений. Свойства групп со сложной внутренней структурой отношений и возможностью образования коалиций присущи любым по численности группам, начиная с трех участников. Однако проявление этих свойств усиливается с ростом численного состава. При организации таких групп важно учитывать предельные случаи: если сила одной из подгрупп превосходит сумму сил всех остальных, т. е. если коалиция, включающая все подгруппы кроме одной, доминирующей, не имеет достаточного числа голосов для проведения своего решения, то наличие в группе таких подгрупп смысла не имеет. Другой предельный случай возникает, когда все члены группы независимы и число их, в отличие от характерной группы экспертов, рассмотренной выше, достаточно велико. В этой гипотетической ситуации образование коалиции, способной провести свое решение в качестве коллективного, затруднительно (требуется добиться согласованности мнений очень большого количества участников). Результат голосования будет непредсказуемым, случайным и, если пользоваться простейшей схемой относительного большинства голосов (напомним: по этой схеме выбирается вариант, набравший большее число голосов по сравнению с другими) скорее всего не удовлетворит большую часть участников группы. Для «смягчения» такого рода последствий применяются различные приемы: повышение порога относительного большинства, проведение нескольких туров голосования. В последнем случае в каждом туре исключается ряд альтернатив, что заставляет участников при следующем голосовании пересматривать свои индивидуальные предпочтения. Как видим, механизмы коллективного выбора достаточно разнообразны и могут быть весьма сложными. Теория говорит, что при надлежащих условиях можно указать параметры процедуры выбора, приводящие к 80 определенному («правильному», по мнению некоторых участников) решению. Такое положение открывает возможности для манипулирования выбором в интересах отдельных коалиций при сохранении внешних признаков демократичности процедур принятия решений. Понимание этого обстоятельства представляется важным и для участников, и для организаторов групповых процедур принятия решений. Мы рассмотрели ряд аспектов принятия коллективных решений, которые можно отнести к разряду организационных, хотя они тесно связаны с идеологией группового выбора. Во всяком случае, выбор той или иной схемы голосования – это, безусловно, организационный вопрос, но отражающий принимаемую идеологию и в некоторых случаях недекларируемые цели организаторов. Это организационные аспекты, скажем, принципиального характера. Существуют организационные аспекты работы коллективных органов принятия решений, имеющие иной, в известной степени, более низкий статус. К этим аспектам могут быть отнесены, например, вопросы формирования состава постоянно действующих советов и оперативных совещаний, подготовки заседаний (выбор времени, продолжительности порядка ведения заседания, подготовка ведущего, докладчиков, рецензентов, групп поддержки, проекта решения и т. д.). Все эти аспекты выходят за пределы традиционной теории принятия решений, относятся к области менеджмента и излагаются в соответствующем курсе и многочисленных руководствах по организации управления. По этим причинам в данном курсе эти аспекты не рассматриваются. Контрольные вопросы 1. Каковы особенности коллективного принятия решений? Какие составляющие включает общая модель коллективного выбора? 2. Что такое регламент работы органа, принимающего решение? Какие требования предъявляются к регламенту? 3. Поясните правило группового выбора по показателю «сумма мест». Приведите пример. 4. Как вы понимаете возникновение ситуации псевдоколлективного выбора? Приведите примеры. 5. Какие вопросы устанавливает регламент работы группы принятия решений? 6. Какую роль в процедурах коллективного выбора играют неформальные аспекты взаимодействия участников? 7. В чем различия в механизмах работы групп, состоящих независимых участников процесса коллективного выбора, и иерархически организованных групп? 81 ЗАКЛЮЧЕНИЕ Материал, изложенный в данном конспекте лекций, соответствует действующей программе курса «Теория, методы и организация принятия управленческих решений», предусмотренного учебным планом подготовки магистров по направлению «Экономика» в Санкт-Петербургском государственном университете промышленных технологий и дизайна. Но, конечно, студенты должны понимать, что была затронута лишь небольшая часть содержания этой теории. К настоящему времени теория принятия решений весьма развита по различным направлениям, среди которых основными, «магистральными» являются два: формальная теория, развивающая математические аспекты проблемы выбора в различных ситуациях, и неформальная теория, изучающая социальные, экономические, психологические факторы, влияющие на процедуры выбора. Реальная польза теории обнаруживается, когда результаты и достижения обоих направлений объединяются для поиска рациональных решений в сложных практических задачах выбора в сфере политики, экономики, организационного и технического проектирования. Многие вопросы теории остались за пределами курса, однако автор надеется, что изложенные здесь базовые понятия при их прочном усвоении будут достаточными для следующего шага в изучении проблем выбора по более основательным руководствам. Надо сказать, что для многих практических задач этих базовых понятий достаточно, чтобы обосновать выбор решения или выстроить логическую схему такого обоснования, что позволит целенаправленно организовать поиск необходимой информации и приближаться к искомому решению. Для закрепления полученных знаний и приобретения навыков решения практических задач выбора рекомендуется ответить на контрольные вопросы, приведенные после каждого учебного модуля, а также выполнить задания, предусмотренные планом практических занятий. 82 РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА 1. Пужаев, А. В. Управленческие решения: учеб. пособие / А. В. Пужаев. – М.: КНОРУС, 2010. – 192 с. 2. Менеджмент: учеб. пособие / кол. авторов; под ред. Н. Ю. Чаусова, О. А. Калугина. – М.: КНОРУС, 2010. – 496 с. 3. Микони, С. В. Многокритериальный выбор на конечном множестве альтернатив: учеб. пособие / С. В. Микони. – СПб.: Лань, 2009. – 272 с. 4. Васин, С. М. Управление рисками на предприятии: учеб. пособие / С. М. Васин, В. С. Шутов. – М.: КНОРУС, 2010. – 304 с. 5. Балдин, К. В. Управленческие решения. – 8-е изд. [Электронный ресурс]: учебник для бакалавров / К. В. Балдин, С. Н. Воробьев, В. Б. Уткин. – М.: Дашков и К, 2015. – 495 с. (http://www/iprbookshop.ru/248838). 83 Учебное издание Архипов Александр Валентинович ТЕОРИЯ, МЕТОДЫ И ОРГАНИЗАЦИЯ ПРИНЯТИЯ УПРАВЛЕНЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ Конспект лекций Издательский редактор Н. А. Ерина Подписано в печать 29.06.2016 г. Формат 60х84 1/16. Усл. печ. л. 4,8. Тираж 100 экз. Заказ 642/16. http://publish.sutd.ru Отпечатано в типографии ФГБОУВО «СПбГУПТД» 191028, С.-Петербург, ул. Моховая, 26 3