Теория механизмов и машин

Теория механизмов и машин – наука, изучающая структуру, кинематику и динамику механизмов и машин, в связи с их анализом и синтезом. 1. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 1.1. Основные понятия и определения Любая механическая система: механизм, машина, машинный агрегат состоят лишь из звеньев и кинематических пар. Каждая подвижная деталь или группа деталей, образующая одну жесткую систему, называется подвижным звеном механизма. Все неподвижные детали, образующие одну жесткую систему, называются неподвижным звеном или стойкой. Соединение двух звеньев, допускающее их относительное движение, называется кинематической парой. Система звеньев, связанных кинематическими парами, называется кинематической цепью. Кинематическая цепь, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких звеньев в требуемые движения других звеньев, называется механизмом. Устройство, выполняющее механическое движение, предназначенное для преобразования энергии, материалов или информации, называется машиной. 3 На рисунке 1 показана схема кривошипно-ползунного механизма. Этот механизм содержит подвижные звенья: кривошип 1, шатун 2 и ползун 3, а также стойку 0. На рисунке обозначены кинематические пары: три вращательные: А (соединение кривошипа и стойки), В (соединение кривошипа и шатуна) и С (соединение шатуна и ползуна) и одна поступательная – (соединение ползуна со стойкой). В 2 1 С А 3 Рисунок 1 – Кривошипно-ползунный механизм Из определения звена как твердого тела, входящего в состав механизма, следует, что это тело является несвободным, оно взаимодействует с другими звеньями, которые ограничивают его движения. Взаимодействия звеньев могут быть различными – в виде соприкосновений, соединений, зацеплений и т.п. Эти взаимодействия называются связями. 1.2. Степени свободы и условия связей Числом степеней свободы называется число независимых перемещений, которыми обладает звено механизма (рисунок 2). z П O В x П В П y В Рисунок 2 – Число степеней свободы твердого тела 4 Свободное тело обладает шестью степенями свободы, это три вращательных движения вокруг всех трех осей декартовой системы координат (ВВВ) и три поступательных движения вдоль тех же осей (ППП). Для свободного твердого тела можно записать число движений как ВПВПВП, т.е. вращательное и поступательное движения относительно трех осей, последовательно. Несвободное тело имеет число степеней свободы H = 6 – S, где S – условия связей (ограничения, наложенные на относительные движения звеньев, образующих кинематическую пару). При Н = 6 – твердое тело движется свободно. Движение таких жестких, не деформируемых тел изучается в теоретической механике. При Н = 0 – рассматривается неподвижное твердое тело, в том числе деформируемое. Такие тела изучаются в курсе теоретической механики и в курсе сопротивления материалов. В теории механизмов и машин изучаются подвижные тела, имеющие число степеней свободы 1 ≤ H ≤ 5. 1.3. Кинематические пары и их классификация 1.3.1. Геометрические элементы звеньев Геометрические связи звеньев могут осуществляться в точках, по линиям, по поверхностям, что определяется геометрией тех частей звеньев, которыми они контактируют друг с другом. Участки поверхностей звеньев, которые входят в непосредственный контакт с другими звеньями, называются геометрическими элементами звеньев. То, что взаимодействие звеньев может происходить в точке, по линии или по поверхности не является основанием утверждать, что геометрическими элементами могут быть точки или линии. Геометрическими элементами звеньев всегда являются поверхности. В процессе относительного движения звеньев в контакт могут входить другие точки, другие линии или другие участки поверхностей. 5 1.3.2. Критерии классификации кинематических пар Целью классификации кинематических пар является выявление всех возможных различий между соединениями звеньев и установление места каждой из них в классификационной таблице с выделением лишь ей присущих особенностей. Основными критериями классификации кинематических пар являются следующие четыре: Число независимых относительных движений звеньев Первым (основным) критерием классификации кинематических пар принимается число независимых относительных движений звеньев. На относительное движение каждого из звеньев, образующих кинематическую пару, накладываются ограничения, зависящие от контактирующих поверхностей звеньев – их геометрических элементов. Эти ограничения, называются “условиями связи”. Любая кинематическая пара есть геометрическая связь двух звеньев. Рассматривая кинематическую пару, будем называть число ограничений, накладываемых этой парой на относительное движение звеньев “числом условий связи”. Число условий связи является целым числом и должно быть меньше шести, так как, если число условий связи равно шести, звенья теряют относительную подвижность и кинематическая пара переходит в жесткое соединение звеньев. Число условий связи не может быть меньшим единицы, ибо в том случае, когда число условий связи равно нулю, звенья не соприкасаются, следовательно, кинематическая пара перестает существовать. Итак, число условий связи S, наложенных на относительное движение каждого из звеньев, входящих в кинематическую пару, может быть в пределах от 1 до 5. Очевидно, что сумма чисел независимых относительных движений в кинематической паре (подвижности – W) и условий связи (S) равна шести W + S = 6. Число независимых относительных движений звеньев, допускаемых одной кинематической парой, соответствует числу 6 степеней свободы. По этому параметру все пары делятся на классы. Так, кинематическая пара шар-плоскость допускает пять независимых относительных движений звеньев, она относится к парам I класса. Пара цилиндр-плоскость является парой II класса, так как позволяет осуществить четыре относительных независимых движения любого из звеньев - цилиндра либо плоскости, трехподвижные пары являются парами III класса, двухподвижные пары являются парами IV класса, а одноподвижные пары относятся к парам V класса, допускающим лишь одно относительное движение, – вращательное либо поступательное. 1.4. Условное изображение кинематических пар При схематическом изображении механизмов на чертежах удобно вместо конструктивного исполнения кинематических пар и звеньев вводить условные их обозначения. На рисунке 14 представлены два варианта обозначения в плоскости вращательной кинематической пары V класса, образующейся при соединении двух подвижных звеньев 1 и 2 (рисунок 14,а) и при соединении подвижного звена 1 со стойкой 2 (рисунок 14,b). b) a) 1 2 1 2 Рисунок 14 – Вращательная кинематическая пара а) оба звена подвижные, b) одно звено подвижное Поступательная кинематическая пара V класса в плоскости представлена в двух вариантах: при соединении подвижных звеньев 1 и 2 (рисунок 15) и при соединении подвижного звена 1 со стойкой 2. (рисунок 16) Причем, в зависимости от функционального назначения механизма на рисунках 15,а и 16,а показано соединение стержня с втулкой, на рисунках 15,b и 16,b – плунжера с направляющей и на рисунках 15,с и 16,с – поршня с цилиндром. 7 а) 1 b) 2 1 2 с) 1 2 Рисунок 15 – Поступательная пара. Оба звена подвижные b) а) c) 2 1 1 2 1 2 Рисунок 16 – Поступательная пара. Подвижное звено и стойка Кинематические пары IV класса в плоскости – это соединения звеньев в кулачковых механизмах, зубчатых или фрикционных передачах. В кулачковых механизмах (рисунок 17) пары IV класса – это соединения ролика и кулачка (рисунок 17,а) или кулачка с коромыслом (рисунок 17,b). а) b) 1 2 1 2 Рисунок 17 – Кулачковые механизмы Зубчатые и фрикционные передачи на схемах механизмов изображаются практически одинаково, а кинематические пары – по разному (рисунок 18). Во фрикционной передаче пара IV класса обозначается дугами окружностей (рисунок 18,b), а в зубчатой передаче эвольвентными участками сопряженных зубьев (рисунок 18,d). а) b) d) c) 2 2 1 1 2 1 1 2 Рисунок 18 – Обозначение пар IV класса в передачах: а) фрикционная, c) зубчатая 1.5. Кинематические цепи 8 Кинематической цепью называют последовательное соединение звеньев в кинематические пары. Кинематические цепи бывают открытыми (рисунок 19,а) и закрытыми (рисунок 19,b), плоскими (рисунок 19,с) и пространственными (рисунок 19,d), простыми (рисунок 19,е) и сложными (рисунок 19,f) открытыми-сложными (рисунок 19,а,f), открытыми-простыми (рисунок 19,e), закрытыми-сложными (рисунок 19,b),. a) c) е) b) d) f) Рисунок 19 – Кинематические цепи: а) открытая, b) закрытая, с) плоская, d) пространственная, e) простая, f) сложная Открытой кинематической цепью называется цепь, в которой есть звенья, входящие только в одну кинематическую пару. Закрытой называется цепь, каждое звено которой входит по крайней мере в две кинематические пары. Плоской называется кинематическая цепь, звенья которой соединяются только парами V или IV классов, пространственной – цепь, в состав которой входят пары I, II или III классов. Простой кинематической цепью называется такая цепь, у которой каждое звено входит не более чем в две кинематические пары, сложной – кинематическая цепь, в которой имеется хотя бы одно звено, входящее более чем в две кинематические пары. В сложных цепях выделяют наиболее сложное звено (рисунок 40, одно из звеньев 2, 3, 5, 7 или 12), которое называют базисным. Вообще говоря, под кинематической цепью понимают связанную в кинематические пары систему тел – звеньев, не имеющую соединений с неподвижным звеном – 9 стойкой. Хотя это условие не является обязательным. И соединенная со стойкой система также есть кинематическая цепь. Известно, что первым обратился к изучению кинематических цепей с точки зрения их подвижности П.Л. Чебышев. В 1869 г. им была опубликована формула, по которой можно было определить внутреннюю подвижность плоской кинематической цепи. Эта формула имеет вид (25) 1 = 3n − 2( p + ν ) , где n – число подвижных звеньев цепи; p – число подвижных шарниров цепи; ν – число неподвижных шарниров. Так, в цепи, показанной на рисунке 20, три подвижных звена 1, 2, 3. Они рассматриваются относительно неподвижного звена 4. В цепи две кинематические пары (В и С) подвижные, так как они соединяют по два С подвижных звена, и две В 2 кинематические пары (А и D) 3 1 неподвижные в том смысле, что А 4 D одним из звеньев, образующих пару, Рисунок 20 – Закрытая является звено 4 – неподвижное. Т.е. кинематическая цепь имеем р = 2, ν = 2. Тогда по (25) получим 3n − 2( p + ν ) = 3 ⋅ 3 − 2( 2 + 2) = 1 . Но ту же цепь можно отделить от стойки и показать в виде открытой кинематической цепи (рисунок 21). В ней число звеньев п = 3, р = 4, ν = 0 и по формуле (25) получим ту же ситуацию 3⋅ 3 − 2⋅ 2 = 1 . 2 Это замечание важно в том 3 отношении, что в формуле П.Л. 1 Чебышева (25) заложен особый смысл при разделении пар на Рисунок 21 – Открытая подвижные и неподвижные. Позднее кинематическая цепь эта формула была упрощена и стала использоваться в виде W = 3n − 2 p , (26) 10 где W – подвижность цепи; p – общее число пар, без разделения на подвижные и неподвижные, т.е. в ней было снято условие деления пар на подвижные и неподвижные. Кстати, только благодаря введению как пар р, так и пар ν Чебышев П.Л. впервые начал решать задачи структурного синтеза плоских механизмов. Для анализа пространственных механизмов структурная формула была записана впервые (1923 г.) профессором А.П. Малышевым и поэтому ее принято называть “формулой Малышева”. (27) W = 6n − 5 р5 − 4 р4 − 3 р3 − 2 р2 − р1 , где р1, р2, р3, р4 и р5 – число пар, соответственно, I, II, III, IV и V классов. 1.6. Универсальная структурная формула кинематической цепи (формула В.В. Добровольского) Любая кинематическая цепь может быть исследована с точки зрения ее подвижности по универсальной структурной формуле профессора В.В. Добровольского, которая была предложена им в 1936 г. В свернутом виде формулу Добровольского записывают так m +1 W т = ( 6 − т )n − ∑ (k − m ) p k , (28) 5 где Wm – подвижность цепи при заданном значении т; n – число подвижных звеньев цепи; k – класс кинематических пар; pk – число кинематических пар k-того класса. Наиболее важным параметром формулы (28) является параметр т. Под т понимают число общих связей, накладываемых на всю исследуемую цепь. Например, на плоскую кинематическую цепь (рисунок 22) накладывают три общих условия связи, т.е. т = 3. 11 Это означает, что ни одно из звеньев цепи не может выйти из плоскости yOz, т.е. невозможными являются для всей цепи движения вдоль оси х и вокруг осей z и у. В развернутом виде формула Добровольского В.В. записывается так z y O х Рисунок 22 – Плоская кинематическая цепь Wт = (6 − т )n − (5 − т ) р5 − (4 − т ) р4 − ( 3 − т ) р3 − (29) − ( 2 − т ) р2 − (1 − т ) р1 . В зависимости от значения параметра т из (29) можно получить несколько структурных формул, а именно, при т = 0, W0 = 6n − 5 р5 − 4 р4 − 3 р3 − 2 р2 − р1 . Эта формула полностью соответствует формуле (27) профессора Малышева А.П. По предложению академика Артоболевского И.И. кинематические цепи с т = 0 принято называть цепями нулевого семейства. Примером такой цепи является семизвенный пространственный механизм (рисунок 23). При т = 1 формула (29) приобретает вид (30) W1 = 5n − 4 р5 − 3 р4 − 2 р3 − р2 . Удовлетворяющие формулу (30) цепи называются цепями первого семейства. Механизм первого семейства в виде двойного универсального шарнира представлен на рисунке 24. E 2 C B 3 G 7 4 E B 5 2 3 D 1 А D 4 6 F А 1 C 5 6 F W = 6⋅6 – 5⋅7 = 1 W = 5⋅5 – 4⋅6 = 1 Рисунок 23 – Механизм Рисунок 24 – Механизм нулевого семейства первого семейства При т = 2 формула (29) получит вид (31) W2 = 4n − 3 р5 − 2 р4 − р3 12 и будет описывать кинематические цепи второго семейства. Пример цепи второго семейства показан на рисунке 25 в виде пространственного рычажно-винтового механизма. При т = 3 формула (29) получит вид (32) W3 = 3n − 2 р5 − р4 . Эту формулу принято называть развернутой формулой Чебышева П.Л. Обычный вид формулы Чебышева (26) появляется при условии, когда р4 = 0. Цепи, удовлетворяющие условию (32), называются цепями третьего семейства. Это – все плоские кинематические цепи, как, например, шарнирный механизм (рисунок 22), а также пространственные сферические механизмы – рисунок 26. B B 2 1 C 5 А 3 4 C 2 1 3 E А D W = 4⋅4 – 3⋅5 = 1 Рисунок 25 – Механизм второго семейства D О W = 3⋅3 – 2⋅4 = 1 Рисунок 26 – Механизм третьего семейства При т = 4 структурная формула (28) упрощается до вида (33) W4 = 2n − р5 . Она описывает кинематические цепи четвертого семейства, в которых могут использоваться лишь поступательные одноподвижные кинематические пары. Кинематическая цепь этого семейства представлена на рисунке 27 в виде трехзвенного клинового механизма. А 2 1 C W = 2⋅2 – 3 = 1 B Рисунок 27 – Механизм четвертого семейства Формула (33) впервые была записана Добровольским В.В. и поэтому она носит его имя. 1.7. Плоские механизмы или механизмы третьего семейства 13 Механизмом называется кинематическая цепь, подвижность которой равняется единице, т.е. W = 1. При W > 1 кинематические цепи становятся механизмами или механическими системами заданной подвижности W. Под подвижностью понимают число, определяющее число независимых движений, заданных механизму, или число звеньев, которым движение задается. В самом широком смысле – это число обобщенных координат системы. Звенья, законы движений которых считаются заданными, называются входными. Звенья, совершающие движения, для выполнения которых и предназначен данный механизм, называются выходными. Определим степень подвижности двух механизмов (рисунок 28). W = 3∙3 – 2∙4 – 0 = 1 W = 3∙4 – 2∙5 – 0 = 2 Рисунок 28 – Определение степени подвижности Дуговыми стрелками на рисунке показано, каким звеньям следует задать движение, чтобы все остальные звенья двигались вполне определенно. Степень подвижности механизма показывает, какому числу звеньев необходимо задать законы движения, чтобы данная кинематическая цепь являлась механизмом. Ведущим называется звено механизма, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к нему, положительна (больше нуля). Ведомым называется звено механизма, для которого сумма элементарных работ всех внешних сил, приложенных к нему, отрицательна или равна нулю. 1.8. Принцип образования механизмов по Ассуру Л.В. 14 Любой механизм может быть образован путем присоединения к ведущему звену (ведущим звеньям) кинематических цепей с нулевой степенью подвижности. Кинематические цепи с нулевой степенью подвижности относительно тех звеньев, с которыми образуют кинематические пары свободные геометрические элементы их звеньев, и которые не распадаются на более простые цепи, также обладающие нулевой степенью подвижности, называются элементарными группами Ассура. Wгр = 3n – 2p5 – p4 = 0. (37) Для цепей, собранных через пары V класса 3 Wгр = 3n – 2p5 = 0, откуда p 5 = n . 2 Отсюда следует, что условию не распадающихся на простые групп Ассура могут удовлетворять следующие пары чисел звеньев и кинематических пар (таблица 4). Таблица 4 – Сочетания чисел звеньев и кинематических пар Число звеньев Число пар 2 3 4 6 6 9 8 12 10 15 12 18 и т.д. Простейшей группой Ассура с парой четвертого класса р4 по (37) будет однозвенная: п = 1, р5 = 1, р4 = 1. 1.9. Структурная классификация плоских механизмов Ведущее звено, образующее со стойкой кинематическую пару V класса, называется механизмом I класса. Рисунок 34 – Механизмы I класса Класс всех остальных механизмов определяется классом включенных в них структурных групп Ассура. В свою очередь класс структурной группы определяется числом кинематических пар, которые образуют наиболее сложный замкнутый подвижный контур. 15 Класс механизма определяется наивысшей по классу структурной группой, входящей в состав механизма. Простейшими структурными группами Ассура могут быть кинематические цепи, состоящие из двух звеньев и трех кинематических пар. Их называют диадами, а точнее диадами Д. Сильвестра, по имени английского ученого, впервые показавшего диады. Всего двухзвенных групп Ассура (диад) пять видов (рисунок 35). Группы первого, третьего и четвертого видов (рисунок 35,а,c,d) являются симметричными и от того, какой свободной парой любая из этих групп присоединяется к ведущему звену, а какой к стойке, схемы механизмов окажутся одноподвижными. Что же касается групп второго и пятого видов (рисунок 35,b,е), то эти группы несимметричны и, присоединяя эти группы к механизму первого класса, можно создавать по два разных механизма. а) b) ВВВ d) c) ВВП ВПВ e) ПВП ППВ Рисунок 35 – Виды двухзвенных групп Ассура (диад) Соединение двух звеньев в три поступательные пары дает образование механизмов четвертого семейства. Таким образом, принципиально возможно присоединение к двум механизмам I класса семи вариантов диад и получение 14 схем четырехзвенных механизмов. При создании таких механизмов необходимо учитывать следующие условия: а) условие трех поступательных пар – два звена, имеющие только поступательные пары, не должны соединяться между собой; b) условие вырождения – ни один замкнутый контур не должен содержать менее двух вращательных пар; с) условие симметричности – не повторять друг друга (например, П-ВВВ и В-ВВП – кривошипноползунные механизмы). 16 Исходя из этих условий можно получить всего лишь 7 отличающихся четырехзвенников. Они приведены на рисунке 36. 1 2 4 3 7 6 5 Рисунок 36 – Четырехзвенные диадные механизмы Эти механизмы принято называть: 1 – шарнирный четырехзвенник, 2 – кривошипно-ползунный механизм (иногда его называют кривошипно-шатунным), 3 – кулисный механизм, 4 Согласно таблице 4, следующие по сложности группы Ассура являются четырехзвенными с шестью кинематическими парами. Таких групп всего две (рисунок 37). а) b) Рисунок 37 – Четырехзвенные группы Ассура Шестизвенных групп Ассура с девятью шарнирами всего десять. Они представлены на рисунке 38. а) с) b) d) 17 e) f) g) h) i) k) Рисунок 38 – Шестизвенные группы Ассура Из анализа групп Ассура, приведенных на рисунках 35, 37 и 38 можно сделать вывод, что в состав групп могут входить замкнутые изменяемые контуры. Академик Артоболевский И.И. предложил классифицировать механизмы следующим образом: если наиболее сложное звено имеет лишь две кинематические пары (двухугольное), то механизм, собранный из таких звеньев будет второго класса; если одно из звеньев механизма имеет три кинематические пары, то такой механизм является механизмом третьего класса. Если же наиболее сложное звено содержит четыре пары, или несколько звеньев структурной группы образуют замкнутый контур, то механизм, содержащий такую группу, называть механизмом четвертого класса. На рисунке 39 показаны различные контуры в зависимости от числа кинематических пар, образующих соответствующий контур. II III Класс контура IV V Рисунок 39 – Контуры групп различных классов 18 VI Механизмы, созданные на основе замкнутых изменяемых контуров начиная с четырехугольного, Артоболевский И.И. назвал “механизмами высоких классов”. Примеры структурных групп V и VI классов приведены на рисунке 38,i,b. Это шестизвенные группы, имеющие по девять кинематических пар. Можно синтезировать также группы седьмого, восьмого и т.д. классов. Их создают для разделения силовых потоков в механизмах второго, третьего и четвертого классов. 1.11. Порядок структурного анализа механизма При решении задач структурного анализа механизмов необходимо последовательно произвести ряд операций, а именно: 1. Определить степень подвижности механизма (кинематической цепи); 2. Выделить структурные группы и определить их класс; 3. Записать структурную формулу и определить класс механизма. Рассмотрим порядок структурного анализа на примере газораспределительного механизма паровоза (рисунок 40). 19 P 13 J O 8 I 12 В GВ N А H 11 1 M 10 L 6 GП 7 9 K Q F 2 СВ 3 5 СП 4 D E Рисунок 40 – Газораспределительный механизм паровоза 1. Прежде всего, определим степень подвижности механизма. Для этого сосчитаем числа звеньев и числа кинематических пар. Присваиваем каждому звену номер, начиная с ведущего звена (показано дуговой стрелкой). В рассматриваемой схеме n = 13. Подсчитываем число кинематических пар, имея в виду, что кинематическая пара – это подвижное соединение двух звеньев. Кинематических пар четвертого класса в этом механизме нет. Пар пятого класса 19, семнадцать – вращательных и две – поступательных. W = 3n − 2 p5 − p4 = 3 ⋅ 13 − 2 ⋅ 19 − 0 = 1 . Степень подвижности механизма равна единице. Это означает, что достаточно задать лишь одному звену движение, чтобы все остальные звенья двигались определенным образом. 2. Выделяем структурные группы, таким образом, чтобы оставшаяся кинематическая цепь являлась механизмом (чтобы все звенья совершали определенные движения). Поэтому выделения нельзя начинать с первого звена. 20 Первую структурную группу, которую можно выделить, это звенья 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Это структурная группа третьего класса, степень подвижности которой 6 8 W = 3n − 2 p5 = 3 ⋅ 6 − 2 ⋅ 9 = 0 . 7 9 5 4 В оставшейся кинематической цепи звенья совершают вполне определенные движения, она является механизмом. Далее последовательно выделяют структурные группы только второго класса: звенья 10 и 11, звенья 12 и 13 – это группы первого вида; звенья 2 и 3 – это группа второго вида. В каждой группе определяют степень подвижности. 13 11 2 12 3 10 W = 3⋅ 2 − 2⋅ 3 = 0 W = 3⋅ 2 − 2⋅ 3 = 0 W = 3⋅ 2 − 2⋅ 3 = 0 Остается механизм первого класса – ведущее звено и стойка, соединенные вращательной парой V класса. Для него степень подвижности 1 W = 3n − 2 p5 = 3 ⋅ 1 − 2 ⋅ 1 = 1 . 3. Записывают структурную формулу образования механизма в порядке обратном выделению структурных групп I(1) → II(2,3) → II(12,13) → II(10,11) → III(4,5,6,7,8,9), которая читается так: к механизму I класса присоединили группу Ассура II класса (звенья 2,3), затем группу Ассура II 21 класса (звенья 12,13), потом группу Ассура II класса (звенья 10,11) и группу III класса (звенья 4,5,6,7,8,9). Определяют класс механизма. Так как кроме групп II класса, присутствует группа III класса, то данная кинематическая цепь является механизмом III класса. 2. КИНЕМАТИКА 2.1. Задачи и методы кинематического анализа Задачами кинематического анализа механизмов являются: определение положений, скоростей и ускорений всех точек механизма, а также определение угловых скоростей и угловых ускорений всех звеньев механизма. Методы: аналитический, графо-аналитический (метод планов) и графический (метод кинематических диаграмм). План механизма. Масштабы ТММ 22 Схематическое изображение звеньев механизма в определенном масштабе без учета конструктивных форм звеньев и кинематических пар, называется планом механизма. Масштабом ТММ (масштабным коэффициентом) называется отношение численного значения какой-либо физической величины к отрезку, ее изображающему. µl = где l AB  м  . AB  мм  µ = (1; 2; 2,5; 4; 5)10n , n – любое целое число от – ∞ до + ∞. 2.2. Определение скоростей и ускорений при шарнирном соединении звеньев а) звено совершает вращательное движение VB = VBA = ω ⋅ l AB . τ В a BA n VB a ε 1-ый частный случай: в начале и при колебательном движении звена в момент изменения направления угловой скорости, n при ω = 0, аВА = ε∙lAB, a BA = 0. 2-ой частный случай, ω = n BA ω А τ a B = a BA = a BA + a BA . n a BA = ω 2 l AB , aτBA = ε ⋅ l AB . const, ε = 0, aBA = ω2lAB. b) звено совершает поступательное движение В S А VB aB VS aS VA aA V A = V B = ... = V S , a A = a B = ... = a S . При поступательном движении звена скорости всех его точек одинаковы, также как и равны 23 ускорения всех точек звена. с) звено совершает сложное движение Сложное движение y' звена раскладываем на a τBA В два движения – поступательное вместе с новой n ε a BA системой координат x’Ay’ VBА x’ и вращательное вокруг ω А точки А. y VA aA абс пер отн пер V B =V А, V B V B = V А + V BА . Точка А, скорость называется полюсом. абс пер отн аB = аB + аB , τ n которой пер аB = а А , отн V B =V B +V B . x считается отн аB = V ВА , известной, n τ = а ВА = а ВА + а ВА , а B = а А + а ВА + а ВА . Нормальное ускорение на плане механизма всегда направлено к точке, принятой за полюс. В данном примере n нормальное ускорение точки В относительно А ( а ВА ) направлено от точки В к точке А. Полное относительное ускорение а ВА = l AB ω 4 + ε 2 . 2.3. Определение скоростей и ускорений при соединении звеньев поступательной парой a BC2 B1 2 В1(В2) V B2 B1 ε 24А 1 ω Сложное движение кулисного камня 2 раскладываем на два движения: переносное вращательное движение вместе с кулисой и относительное поступательное вдоль кулисы. абс пер отн пер отн V B2 = V B2 + V B2 . V B2 = V В1 , V B2 = V В2 В1 , V B2 = V В1 + V B2 В1 . абс пер пер отн а B2 = а B2 + а B2 , отн c а B 2 = а В1 , r а B2 = а В2 В1 = а В2 В1 + а В2 В1 , a Bc 2 B1 = 2ω ⋅ VВ2 В1 . c r а B 2 = а B1 + а В 2 В1 + а В 2 В1 . Для определения направления ускорения c Кориолиса a B2 B1 необходимо вектор относительной скорости V В2 В1 повернуть на 900 в сторону вращения кулисы ω (в настоящем примере – по ходу часовой стрелки). 2.4. Планы скоростей и ускорений звена, группы Планом скоростей (ускорений) звена называется графическое построение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости (ускорения) точек звена, а отрезки, соединяющие концы лучей, – относительные скорости (ускорения) соответствующих точек звена в определенном масштабе при данном положении звена. Концы векторов абсолютных скоростей и ускорений точек принято обозначать на планах скоростей (ускорений) строчными буквами, соответствующими прописным буквам точек на плане механизма, скорости (ускорения) которых изображают векторы. Точка р, из которой выходят векторы абсолютных скоростей, называется полюсом плана скоростей; в этой точке находятся все точки механизма, абсолютные скорости которых равны нулю (полюс плана ускорений принято обозначать буквой π, здесь находятся все точки, ускорения которых равны нулю). Как известно, любой механизм состоит из стойки, одного или нескольких ведущих звеньев (движение которых задается) и одной или нескольких структурных групп. Кинематическое исследование начинается с начального звена, а затем исследуются структурные группы в той последовательности, в какой они образовывали механизм. 25 Методику построения плана скоростей для структурных групп рассмотрим на примере наиболее часто применяющихся групп второго класса. На рисунке 41 представлена в общем виде такая группа, состоящая, например, из звеньев 2 и 3, присоединяемых к механизму с помощью звеньев 1 и 4 (показаны пунктиром), которые для данной группы назовем базовыми. Звенья 2 и 3 соединяются между собой и с базовыми звеньями вращательными парами, это группа второго класса первого вида (ВВВ). Законы движения базовых звеньев известны, так как они рассматриваются до исследования данной группы. Следовательно, известны скорости и ускорения точек А1 и С4. В2,3 2 А1,2 3 С3,4 4 1 Рисунок 41 – Группа ВВВ Целью кинематического исследования группы является определение скоростей и ускорений ее звеньев, для чего достаточно определить скорости и ускорения двух точек каждого звена. Планы скоростей и ускорений строятся по векторным уравнениям. При составлении этих уравнений необходимо, вопервых, для каждой пары звеньев найти общие точки, принадлежащие одновременно обоим звеньям, например, такие как точка А (А1 звена 1 и А2 звена 2), В (В2 и В3) и С (С3 и С4), и, во-вторых, установить кинематические зависимости между двумя точками одного звена, например, между точками А2 и В2, В3 и С3. Если два звена образуют вращательную пару, то за общую точку принимают ось этой пары. Скорость этой точки одинакова для обоих звеньев, как и ускорение. Например, для звеньев 1 и 2 V A1 = V A2 и ее обозначают V A . Если два звена образуют 26 поступательную пару, то за общую точку обоих звеньев принимается ось ближайшей вращательной пары. В этом случае в общей точке в действительности имеются две точки, подвижные друг относительно друга и при буквенных обозначениях этих точек необходимо ставить числовые индексы. При составлении векторных уравнений следует помнить, что любой вектор характеризуется тремя параметрами: величиной, направлением и точкой приложения. Так как точки приложения векторов скоростей и ускорений известны, то если известны величина и направление вектора, его следует подчеркивать двумя чертами, при известном векторе только по направлению – одной чертой. Под чертой указывается направление вектора. Построение планов скоростей и ускорений группы ВВВ На рисунке 42 представлена структурная группа второго класса первого вида, состоящая из двух звеньев 2 (ВС) и 3 (CD), связанных вращательной парой С. Пусть скорости и ускорения точек В и D известны и направлены как показано на рисунке. Требуется определить скорость и ускорение точки С, а также угловые скорости и ускорения звеньев 2 и 3. Для определения скорости точки С составляется система векторных уравнений V C = V В + V CB ,  ⊥ CB  + = V V V C D CD ,  ⊥ CD  которая при двух неизвестных (величины VCB и VCD) решается графически (рисунок 42,b). 27 С a) ε2 В 2 3 ω2 ω3 b) n аCB aC VD aD p aD VB b d VC VCB aCD d VD b aB π D aB VB c) ε3 n а CD aCB t аCB c t аCD VCD c Рисунок 42 – Кинематика группы ВВВ: а) структурная группа, b) план скоростей, с) план ускорений Из плана скоростей определяется скорость точки С (VC) и относительные скорости (VCB и VCD), затем находятся угловые скорости звеньев по величине и направлению ω2 = VCB , l BC ω3 = VCD . Направления угловых скоростей lCD звеньев показаны на рисунке 42, а. Для определения ускорения точки С составляется система векторных уравнений  а = a + an + at , В CB CB  с IIBC ⊥ BC  n t а с = a D + a CD + a CD .  IICD ⊥ CD Нормальные составляющие ускорений определяются по величине и направлению n n aCB = ω 22 l BC , aCD = ω 32 lCD . Строится план ускорений (рисунок 42,с), из которого определяются тангенциальные составляющие относительных ускорений и абсолютное ускорение точки С. Находятся угловые ускорения звеньев по величине и направлению 28 ε2 = t at aCB , ε 3 = CD . l BC l CD Направления угловых ускорений звеньев показаны на рисунке 42,а. Построение планов скоростей и ускорений группы ВВП На рисунке 43 представлена структурная группа второго класса второго вида, состоящая из двух звеньев 2 (ВС) и 3 (CDЕ), а также звено 4 (показанное пунктиром), которое связано со звеном 3 поступательной парой D. За базовую точку, как уже говорилось выше, принимается точка С, принадлежащая трем звеньям – С2,3,4. Пусть скорости и ускорения точек В и С4 известны и направлены как показано на рисунке, известны угловые скорость и ускорение звена 4. Требуется определить скорость и ускорение точки С (С2 и С3), а также угловые скорость и ускорение звена 2. Так как звенья 2 и 3 связаны вращательной парой, то скорости точек С2 и С3 одинаковы. Обозначим V C2 = V C3 = V C . Для определения скорости точки С составляется система векторных уравнений  V C = V B + V CB ,  ⊥ CB  V V V = + C C CC 4 . 4  IIx - x  Решение этой системы показано на рисунке 43,b. Из полюса р откладываются векторы pb и pc4 скоростей точек В и С4. Из точки b проводится прямая перпендикулярная ВС, а из точки с4 – параллельная х-х. На пересечении этих прямых находится точка с, вектор рс изображает абсолютную скорость точки С звеньев 2 и 3. Так как скорость точки С4 известна, то известна и скорость точки Е4. Скорость точки E3 определяется из одного уравнения V E 3 = V E 4 + V E 3 E 4 , где V E 3 E 4 = V CC 4 . Определяем угловые скорости звеньев 29 ω2 = VCB , ω 3 = ω 4 . Направление угловых скоростей ω2 и l BC ω4 показано на рисунке 43,а. a) 2 В VB ε2 aB х ω2 a С4 VCС4 VЕ4 ω Е3,4 С2,3,4 ω4 c) VС4 3 D ε4 a E4 х с аCС 4 d) c4 aCC4 с b) е3 VCС4 c4 VС VЕЕ4 е4 VС4 VЕ4 V Е3 VCВ b VB p c с аCС 4 r аCC 4 aC t аCB a C4 π aCB n аCB e4 a E3 aB b a E4 e3 Рисунок 43 – Кинематика группы ВВП: а) структурная группа, c b) план скоростей, с) определение aCC , d) план ускорений 4 Для определения ускорения точки С составляется система векторных уравнений  а = a + an + at , B CB CB  с IIBC ⊥ BC  с r а с = a C 4 + a CС 4 + a CC 4 .  IICD ⊥ х− х Нормальная составляющая полного ускорения точки С относительно точки В, а также ускорение Кориолиса определяются по величине и направлению (рисунок 43,с) с n = 2ω 3VCC4 . aCB = ω 22 l BC , aCС 4 Строится план ускорений (рисунок 43,d), из которого определяются тангенциальная и релятивная составляющие относительных ускорений и абсолютное ускорение точки С. Так как ускорение точки С4 известно, то известно и ускорение точки Е4. Ускорение точки E3 определяется из уравнения 30 a E 3 = a E 4 + a E 3 E 4 , где a E 3 E 4 = a C 3 C 4 . Находятся угловые ускорения звеньев по величине и направлению t aCB , ε3 = ε4. l BC ε2 = Направления угловых ускорений звеньев показаны на рисунке 43,а. Построение планов скоростей и ускорений группы ВПВ На рисунке 44 представлена структурная группа второго класса третьего вида, состоящая из двух звеньев 2 (ВС) и 3 (CDЕ), причем звено 2 связано со звеном 3 поступательной парой С. Скорости и ускорения точек В и D3 известны и направлены как показано на рисунке. Требуется определить скорость и ускорение точки D2, скорость и ускорение произвольных точек Е2 и Е3, а также угловые скорость и ускорение звена 2. Так как звенья 2 и 3 связаны поступательной парой, то угловые скорости звеньев одинаковы. a) c) С 2 ε2 ω2 3 D2,3 VB VD3 b) p VB VЕ2 VE3 е3 VЕ3Е2 VD3 d3 b е2 V 2 D B VD2 π d) aD3 VD2D3 а Dс 2 D3 Е2,3 В aB ω2 а Dn 2 B aD2B a E3 aB b aD2 а Е a E2 а Dt 2 B aD3 3 Е2 аD 2 D3 e3 d3 а Dс 2 D3 а Dr 2 D3 d2 e2 VD2D3 d2 Рисунок 44 – Кинематика группы ВВП: а) структурная группа, b) план скоростей, с) определение a c , d) план ускорений Для определения скорости точки D2 составляется система векторных уравнений 31  V D2 = V B + V D2 B ,  ⊥ DB  = + V V V D D D2 D3 . 3  2 II ВС  Решение этой системы показано на рисунке 44,b. Из полюса р откладываются векторы pb и pd3 скоростей точек В и D3. Из точки b проводится прямая, перпендикулярная ВD, а из точки d3 – параллельная BC. На пересечении этих прямых находится точка d2, вектор рd2 изображает абсолютную скорость точки D звена 2. Скорость точки Е2 находится из подобия треугольников BDE и bd2e2, а скорость точки Е3 из уравнения V E 3 = V E 2 + V E 3 E 2 , где V E 3 E 2 = −V D2 D3 . Угловая скорость звеньев 2 и 3 определяется по величине ω2 = ω3 = VD2 B l BD , направление показано на рисунке 44,а. Для определения ускорения точки D2 составляется система векторных уравнений  а = a + an + at , B D2 B D2 B  D2  ⊥ BD II BD  с r а D2 = a D3 + a D2 D3 + a D2 D3 .  II BC ⊥ BC Нормальная составляющая полного ускорения точки D2 относительно точки В, а также ускорение Кориолиса определяются по величине и направлению (рисунок 44,с) с = 2ω 2V D2 D3 . a Dn 2 B = ω 22 l BD , a D 2 D3 Строится план ускорений (рисунок 44,d), из которого определяются тангенциальная и релятивная составляющие относительных ускорений и абсолютное ускорение точки D2. Так как ускорение точки D2 определено, то можно найти (по теореме подобия) и ускорение точки Е2. Ускорение точки E3 определяется из уравнения a E 3 = a E 2 + a E 3 E 2 , где a E 3 E 2 = − a D3 D2 . Угловые ускорения звеньев определяются по величине и направлению 32 ε2 = ε3 = a Dt 2 B l BD . Направление углового ускорения звена 2 показано на рисунке 44,а. Построение планов скоростей и ускорений группы ПВП На рисунке 45 представлена структурная группа второго класса четвертого вида, состоящая из двух звеньев 2 и 3, связанных вращательной парой С. Известны угловые скорости и ускорения звеньев 1 (направляющей х-х) и 4 (направляющей у-у), связанных поступательными парами со звеньями 2 и 3, соответственно. Заданы также скорости и ускорения точки С1, и точек С4 и Е4, принадлежащих звену 4. За базовую точку принимается точка С, принадлежащая четырем звеньям – С1,2,3,4. Требуется определить скорость и ускорение точки С (С2 и С3), а также произвольной точки Е3. Обозначим V C2 = V C3 = V C . Для определения скорости точки С составляется система векторных уравнений V C = V C1 + V CС1 ,  II x - x  V V V = + C C CC4 . 4  II у- у  Решение этой системы показано на рисунке 45,b. Из полюса р откладываются векторы pс1 и pc4 скоростей точек С1 и С4. Из точки с1 проводится прямая параллельная х-х, а из точки с4 – параллельная у-у. На пересечении этих прямых находится точка с, вектор рс изображает абсолютную скорость точки С звеньев 2 и 3. Так как известна скорость точки Е4, то скорость точки E3 определяется из уравнения V E 3 = V E 4 + V E 3 E 4 , где V E 3 E 4 = V CC 4 . Определяются угловые скорости звеньев ω 2 = ω1 , ω 3 = ω 4 . Для определения ускорения точки С составляется система векторных уравнений 33  а = a + aс + ar , C1 CС 1 CС 1  с  IIx - x ⊥ х-х  r с а с = a C 4 + a CС 4 + a CC 4 .  II y - y ⊥ y− y ω4 у a) ω2 a С1 х ε2 VЕ4 a С4 2 b) VCС4 е3 с VС1 VЕ4 VС VСС1 p VЕ3 VС1 с1 ω2 ω4 VCС4 d) π с1 с аCС 1 VС4 VЕ3Е4 4 с аCС 4 с аCС 1 Е3,4 a E4 х у 1 е4 c4 ε4 3 С1,2,3,4 VС4 c) VCС1 a С1 a E4 a E3 a С4 aCC1 c 4 e4 с аCС 4 r аCC 1 r аCC 4 aCC4 аЕ Е 3 aC 4 e3 c Рисунок 45 – Кинематика группы ПВП: а) структурная группа, b) план скоростей, с) определение a c , d) план ускорений Определяются по величине и направлению ускорения Кориолиса (рисунок 45,с) c с = 2ω 2VCC 1 , aCС = 2ω 3VCC4 . aCС 1 4 Строится план ускорений (рисунок 45,d), из которого определяются релятивные составляющие относительных ускорений и абсолютное ускорение точки С. Так как ускорение точки С4 известно, то известно и ускорение точки Е4. Ускорение точки E3 определяется из уравнения a E 3 = a E 4 + a E 3 E 4 , где a E 3 E 4 = a C 3 C 4 . Находятся угловые ускорения звеньев по величине и направлению ε 2 = ε1, ε 3 = ε 4 . 34 Построение планов скоростей и ускорений группы ВПП На рисунке 46 представлена структурная группа второго класса пятого вида, состоящая из двух звеньев 2 и 3, связанных поступательной парой С. Известны: скорость и ускорение точки В звена 2 угловая скорость и ускорение звена 4 (направляющей у-у), связанного поступательной парой со звеном 3, которое связано поступательной парой со звеном 2. За базовую точку принимается точка В, принадлежащая трем звеньям – В2,3,4. Требуется определить скорость и ускорение точек В3, Е3 и Е2. Для определения скорости точки В3 составляется система векторных уравнений V В3 = V B2 + V В3 В2 ,  II x - x  = + V V V В B В3 В4 . 3 4   II у- у Решение этой системы показано на рисунке 46,b. Из полюса р откладываются векторы pb2 и pb4 скоростей точек B2 и B4. Из точки b2 проводится прямая, параллельная х-х, а из точки b4 – параллельная у-у. На пересечении этих прямых находится точка b3, вектор рb3 изображает абсолютную скорость точки B звена 3. Так как известна скорость точки Е4, то скорость точки E3 определяется из уравнения V E 3 = V E 4 + V E 3 E 4 , где V E 3 E 4 = V B 3 B4 . Угловые скорости звеньев ω2 = ω3 = ω4 . Для определения ускорения точки B3 составляется система векторных уравнений а = a + a с + a r , B2 В3 В2 В3 В2  В3 IIx - x  ⊥ х -х  с r а В3 = a B4 + a В3 В4 + a В3 В4 .  II y - y ⊥ y− y  Определяются по величине и направлению ускорения Кориолиса (рисунок 46,с) a Bc 3 B 2 = 2ω 2VB 3 B 2 , a Bс 3 B4 = 2ω 4VB 3 B4 . 35 х a) 2 х aВ2 В2,3,4 Е2,3,4 VВ4 1 VВ2 а Вс 3 В 2 VЕ4 е2 VE2E3 е3 b3 ω4 VB3B2 VB3B4 d) e2 е4 V b 4 В4 VB3B4 аЕ a В2 b2 p VB3B2 а Вс 3 В 2 4 у VВ2 b2 ε4 а Вс 3 В4 3 VЕ4 a E4 a В4 b) ω4 c) ω2 у аВ В 3 4 а Вr 3 В2 а Вr 3 В4 а Вс 3 В4 2 Е3 π e3 аЕ a B3 b3 аВ b4 3 Е4 a E4 3 В4 e4 a В4 Рисунок 46 – Кинематика группы ВПП: а) структурная группа, b) план скоростей, с) определение a c , d) план ускорений Строится план ускорений (рисунок 46,d), из которого определяются релятивные составляющие относительных ускорений и абсолютное ускорение точки B3. Так как ускорение точки E4 известно, то ускорение точки E3 определяется из уравнения a E 3 = a E 4 + a E 3 E 4 , где a E 3 E 4 = a В 3 В4 . Ускорение точки Е2 определяется из уравнения a E 2 = a E 3 + a E 2 E 3 , где a E 2 E 3 = a В 2 В 3 . Угловые ускорения звеньев ε 2 = ε1, ε 3 = ε 4 . 2.7. Кинематика четырехшарнирного механизма 2.7.1. Построение плана положений механизма В некоторых механизмах построить план положений механизма достаточно просто. К таким механизмам относится механизм шарнирного четырехзвенника. 36 Пусть заданы схема механизма и длины звеньев: lAB, lBC, lCD, а также расстояния между стойками (точками А и D) – x и y. (рисунок 51,а). Выбирается масштабный коэффициент длины µl = l AB  м  AB  мм  и вычисляются все длины в отрезках чертежа. a) х D b) у D В А С ω1 В С0 ϕ px А В0 ω1 В’ С’ С ϕ xx Рисунок 51 – Построение плана положений механизма: а) схема, b) план Строится произвольное положение механизма. Берется произвольная точка А, относительно которой определяется положение точки D. Радиусами АВ и CD проводятся окружности (траектории точек В и C). Из произвольной точки В окружности АВ радиусом ВС делается засечка на окружности CD. При этом могут получиться две точки С и С’ (на рисунке не показана). Выбирается та, которая соответствует заданной схеме, в данном случае, точка С. Точки А, В, С и D соединяются прямыми линиями, получается произвольное положение механизма (на рисунке 51 оно показано тонкими линиями). Определяется крайние положения коромысла: правое получится, когда кривошип АВ и шатун ВС вытянутся вдоль одной линии, при условии АС = АВ + ВС. Крайнее левое 37 положение коромысла будет, когда кривошип АВ и шатун ВС также вытянутся вдоль одной линии, но при АС = ВС – АВ. Получается две точки В (В0 и В’) и две точки С (С0 и С’). При заданном направлении угловой скорости кривошипа за начало рабочего хода следует принять точку В, так как при правильном проектировании механизма угол поворота кривошипа при рабочем ходе ϕрх должен быть больше чем угол холостого хода ϕхх. Начиная от точки В окружность радиуса АВ делится по направлению вращения кривошипа на необходимое число отрезков (6, 8 или 12) и получается соответствующее число положений кривошипа. От точек В1, В2 и т.д. радиусом ВС на траектории точки С коромысла делаются засечки, получают точки С1, С2 и т.д., которые соединяют с соответствующими точками В и с точкой D и получают необходимое число положений механизма. 2.7.2. Построение плана скоростей Задана схема механизма, длины звеньев и угловая скорость ведущего звена ω1 = const. Выбирается масштабный l м  коэффициент длины µ l = AB  и строится план механизма AB  мм  (рисунок 52,а). Определяется скорость точки В механизма VB = ω1l AB , так как звено АВ совершает вращательное движение. Выбирается произвольная точку, которая принимается за полюс плана скоростей – р. В полюсе находятся все точки, абсолютные скорости которых равны нулю, это точки а и d. Из полюса проводится линия, перпендикулярная звену АВ на плане механизма, направленная в сторону угловой скорости звена. Как только ставится стрелка и буква b, получается отрезок рb, изображающей в масштабе вектор скорости точки В – V B . Откуда масштабный коэффициент плана скоростей µV = 38 VB  м/c  . рb  мм  a) b) D В ω2 р,a,d ⊥BC VC =VCD ω3 VF ω1 VFC ⊥BF ⊥CD f С VB А c F VCB b ⊥CF VFB ⊥AB Рисунок 52 – Шарнирный четырехзвенник а) план механизма, b) план скоростей Скорость точки С для звена 2, совершающего сложное движение находится по векторному уравнению (37) V C = V B + V CB . Скорость точки В уже известна по величине и направлению, вектор подчеркивается двумя линиями, Скорость точки С относительно точки В известна только по направлению, она перпендикулярна отрезку ВС на плане механизма (между точками одного звена возможно лишь вращательное движение), поэтому вектор подчеркивается одной линией V CB ⊥ BC , так как величина этого вектора неизвестна. Вектор скорости точки С неизвестен ни по величине, ни по направлению. Таким образом, в векторном уравнении три неизвестных и решить его графически невозможно. Составляется векторное уравнение скорости точки С звена 3, совершающего вращательное движение (38) V C = V D + V CD . Скорость точки D известна, она равна нулю, точка d находится в полюсе плана скоростей, вектор V D подчеркивается двумя линиями. Скорость точки С относительно точки D известна только по направлению, она перпендикулярна отрезку СD на плане механизма, поэтому вектор подчеркивается одной линией V CD ⊥ CD , так как величина этого вектора неизвестна. И в этом уравнении три неизвестных. 39 Так как звенья 2 и 3 соединены вращательной парой, то скорости точки С для обоих звеньев одинаковы. Уравнения (37) и (38) объединяются в систему V C = V B + V CB ,  ⊥ BC  V V V = + C D CD ,  ⊥ DC  (39) в которой левые части одинаковы, следовательно, равны и правые части, а в правых частях всего два неизвестных. Тогда проводится из точки b плана скоростей прямая линия, перпендикулярно отрезку ВС на плане механизма, а из полюса (точнее, точки d) прямая, перпендикулярно звену СD. Точка пересечения этих прямых и будет точкой с, а отрезки bc и dc изобразят, соответственно, векторы скорости V CB и V CD в принятом ранее масштабе (рисунок 52, b). По плану скоростей определяются направления указанных векторов и их модули VCB = bc ⋅ µV , м/с и VCD = рc ⋅ µV м/с. Аналогично, по системе векторных уравнений находится скорость точки F (VF) относительно ранее найденных скоростей точек В и С. V F = V B + V FB ,  ⊥ BF  = + V V V F C FC .  ⊥ FC  (40) В этой системе уравнений вектор VFВ перпендикулярен отрезку FB на плане механизма, а вектор VFС перпендикулярен отрезку FС. Проведя перпендикуляры из точек b и с, на их пересечении получают точку f. Соединив полюс плана с точкой f, получают отрезок рf, который изображает абсолютную скорость точки F (VF). Направление вектора – от полюса к точке f. Отрезки bf и cf изобразят, соответственно, векторы скорости V FB и V FC в принятом ранее масштабе. По плану скоростей определяются направления указанных векторов (к точке f) и их модули VFB = bf ⋅ µV , VFC = cf ⋅ µV , и VF = рf ⋅ µV . 40 Графическое построение, в котором лучи, выходящие из полюса, изображают абсолютные скорости точек, а отрезки, соединяющие концы этих лучей, относительные скорости точек звеньев в определенном масштабе, называется планом скоростей для заданного положения механизма. Свойства планов скоростей: 1. Фигура на плане скоростей, образованная векторами относительных скоростей точек, принадлежащих одному звену, подобна фигуре звена на плане механизма и сходственно расположена. Треугольники bcf и BCF подобны, так как их стороны взаимно перпендикулярны: bc ⊥ BC, cf ⊥ CF, bf ⊥ BF. Сходственность их доказывается тем, что вершины обоих треугольников обходятся одинаково – по ходу часовой стрелки. 2. С помощью плана скоростей можно определить угловую скорость звена по величине и направлению: Для определения величины угловой скорости звена необходимо модуль относительной скорости вращательного движения между двумя точками, принадлежащими этому звену, разделить на расстояние между этими точками ω2 = V VCB V V , 1/с, или ω 2 = FB , или ω 2 = FC . ω 3 = CD . l BF lCB lCF lCD Для определения направления угловой скорости звена необходимо вектор относительной скорости перенести с плана скоростей на план механизма в соответствующую точку и посмотреть – куда этот вектор стремится повернуть звено. В рассматриваемом примере следует, например, вектор V CB (по индексу вектора можно понять, что точка С движется относительно точки В) перенести в точку С, тогда становится понятно, что вектор V CB стремится повернуть звено 2 против хода часовой стрелки. Вектор V CD , перенесенный в ту же точку С, стремится повернуть звено 3 также против хода часовой стрелки. 2.7.3. Определение относительной угловой скорости в шарнирах 41 B i ωi k ωk ω А = ω 01 Воспользуемся методом инверсии, т.е. сообщим звеньям угловую скорость (- ωk) тогда звено k станет неподвижным и ω B = ω ik = ω i − ω k . В рассматриваемом (рисунок 52) = ω 0 − ω1 = ω1 , механизме ω B = ω12 = ω1 − ω 2 = ω1 + ω 2 , ωС = ω 23 = ω 2 − ω 3 = ω 2 − ω 3 , ω D = ω 30 = ω 3 − ω 0 = ω 0 . 2.7.4. Построение плана ускорений Определяется ускорение точки В. Так как ω = const и n a BA = 0 , то a B = a BA = ω12 l AB . Выбирается произвольная точка π, она принимается за полюс плана ускорений, из которого проводится вектор πb, изображающий ускорение точки В (аВ). τ аВ πb Масштабный коэффициент плана ускорений µа =  м/с 2   мм  .   Ускорение точки С определяется по системе уравнений a = a + an + at , B CB CB  C II BC ⊥ BC  n t a C = a D + a CD + a CD .  II DC ⊥ DC 42 (41) a) b) D c f c” aF ε3 ε2 В А ω1 π,a,d aC С aB F c’ b Рисунок 53 – Кинематика шарнирного четырехзвенника а) план механизма, b) план ускорений Ускорение точки В известно по величине и направлению, известно также и ускорение точки D (оно равно нулю), векторы подчеркиваются двумя чертами. Нормальные ускорения можно определить по величине n n аCB = ω 22 l BC , аCD = ω 22 lCD , векторы нормальных ускорений также подчеркиваются двумя чертами. Тангенциальные ускорения известны по направлению τ τ aCB ⊥ CD , поэтому их векторы подчеркивают ⊥ BC , а aCD одной чертой. Таким образом, в правых частях системы (41) всего два неизвестных, ее можно решить графически (рисунок 53,b). n Вектор bc’ представляет собой нормальное ускорение аCB , bc’ = n aCB µa мм, вектор πс” = n aCD µa мм. Величины тангенциальных ускорений (c’c и c”c) определяются из построения τ τ аCB = c' c ⋅ µa , м/с2, аCD = c” c ⋅ µa , м/с2. Ускорение точки С также определяется из построения аС = πс ⋅ µа , м/с2. Графическое построение, в котором лучи, выходящие из полюса, изображают абсолютные ускорения, а отрезки, соединяющие концы этих лучей – относительные ускорения соответствующих точек в определенном масштабе называется планом ускорений в данном положении механизма. 43 Свойства планов ускорений 1. Теорема подобия. Фигура на плане ускорений, образованная векторами относительных ускорений точек, принадлежащих одному звену, подобна фигуре звена на плане механизма и сходственно расположена. Теорема доказывается аналитически. Согласно 2.2,с 4 2 a = l CB ω 2 + ε 2 ,  CB  4 2  a FB = l FB ω 2 + ε 2 ,  4 2 a FC = lCF ω 2 + ε 2 , выразим относительные ускорения и длины звеньев через отрезки на плане ускорений и плане механизма, соответственно, тогда  µl ω 24 + ε 22 ,  bc = BC µ a  µl  ω 24 + ε 22 ,  fb = FB µ a  µl  4 2  fc = FC µ ω 2 + ε 2 , a  откуда видно, что все стороны звена умножаются на одну и ту же величину. Треугольник bcf на плане ускорений подобен треугольнику BCF – звену 2. 2. С помощью плана ускорений можно определить угловое ускорение звена по величине и направлению. - Для определения величины углового ускорения следует тангенциальное ускорение между двумя точками звена разделить на расстояние между этими точками. τ τ аСВ аСD , ε3 = . ε2 = lCB lCD - Для определения направления углового ускорения нужно вектор тангенциального ускорения мысленно перенести с плана ускорений на план механизма в соответствующую точку и посмотреть, куда он стремится повернуть звено. 44 2.8. Кинематика кулисного механизма 2.8.1. Построение плана скоростей Дана схема кулисного механизма. Заданы длины звеньев и угловая скорость ведущего звена ω1 = const. Выбирается масштабный коэффициент длины и строится план механизма (рисунок 54, а). a) b) В f 2 S2 D 1 ω1 K x S4 Е e4 3 4 А ω4 ω2 DF С b s4 x s2 d ⊥DF 5 F P,a,c0,e0 ⊥BC c xx Рисунок 54 – Кулисный механизм: а) план механизма, b) план скоростей Скорость точки В. VB = ω1l AB . Из точки р, принятой за полюс плана скоростей (рисунок 54,b), проводится вектор рb, перпендикулярно звену АВ, который изображает скорость точки В с принятым масштабным коэффициентом µV. Определяется скорость точки С. Точка С принадлежит трем звеньям: шатуну 2 (С 2), ползуну 3 (С 3) и стойке (С 0). Так как звенья 2 и 3 соединяются вращательной парой, то скорость VC 2 = VC 3 , обозначим скорость этих точек VC, V C 2 = V C 3 = V C . Скорость точки С0 известна, она равна нулю. Скорость точки С определяется по системе уравнений, относительно точки В и относительно С0.  V C = V B + V CB ,  ⊥ BC ,  V V V = + C C CC 0 .  IIx - x  (42) 45 Скорость точки С относительно точки В перпендикулярна линии ВС звена 2 (VCB ⊥ BC), так как эти точки принадлежат одному звену и между ними может быть лишь вращательное движение, а скорость точки С относительно С0 направлена параллельно оси х-х, так как ползун 3 движется относительно стойки вдоль линии х-х (VCco x-x). Из точки В проводится прямая, перпендикулярно ВС, а из полюса, где находится точка с0 – прямая, параллельная х-х. На пересечении этих прямых находится точка с. Вектор bc выражает в принятом масштабе V CB , а вектор pc – V CC 0 . VC = VCC 0 = pc ⋅ µV , VCB = bc ⋅ µV . Скорость точки D определяется по теореме подобия. BD BD bd , откуда bd = bc , мм. = BC bc BC На отрезке bc плана скоростей находится точка d. Из полюса до точки d проводится вектор pd , который изображает в принятом масштабе скорость точки D ( VD = pd ⋅ µV ). Точка Е принадлежит одновременно трем звеньям: звену 4 ), звену 5 – кулисному камню (Е5) и стойке (Е0). Так как (Е4 звено 5 и стойка соединены вращательной парой, то VE 5 = VE 0 = 0 , обозначим VE . Следовательно определяется скорость точки Е4 ( VE 4 ) по системе уравнений относительно точки D и относительно точки Е. V E 4 = V D + V E 4 D ,  ⊥ DE  V V V = + E E E4 E .  4 II DE  (43) Скорость точки E4 относительно D ( VE 4 D ) направлена перпендикулярно звену ED (обе принадлежат звену 4), скорость точки E4 относительно Е ( V E 4 E ) направлена параллельно ED. Из точки d плана скоростей проводится линия, ⊥DE, а из полюса (точки е) – прямая, DE. На их пересечении находится 46 точка е4 (рисунок 54,b). Векторы de 4 и pe 4 изображают в масштабе скорости VE 4 D и VE 4 , соответственно. VE 4 D = de4 µV , VE 4 = pe4 µV . Скорость точки F определяется по теореме подобия. df DF , откуда = de4 DE df = de4 DF DE находят точку f на продолжении прямой de4 . Вектор pf изображает в масштабе скорость VF = pf ⋅ µV . Также по свойству подобия находят скорости центров тяжести звеньев 2 и 4. bs2 BS 2 BS = , откуда bs2 = bc 2 , и VS 2 = ps2 ⋅ µV и BC bc BC ds4 DS4 DS4 = , откуда ds4 = de4 , и VS 4 = ps4 ⋅ µV . de4 DE DE По второму свойству определяют угловые скорости звеньев по величине и направлению VCB ; ω 3 = 0 , так как звено 3 движется поступательно; l BC V ω 4 = E 4 D ; ω 5 = ω 4 , так как звенья 4 и 5 соединяются l ED ω2 = поступательной парой. Направления угловых скоростей звеньев показаны на рисунке 54,b. 2.8.2. Построение плана ускорений a B = ω12 l AB , так как ω1 = const , µa = a B  м/с 2   . πb  мм   a = a + an + at , CB B CB  C II BC ⊥ BC  c r a C = a C 0 + a CC 0 + a CC 0 ,  II x - x =0 47 где n aCB = ω 22 l BC – направлено параллельно ВС от точки С к τ – перпендикулярно ВС, точке В на плане механизма, aCB с r – направлено = 2ω 3VCCo = 0 , так как ω3 = 0, aCCo aCо = 0 , aCCo параллельно х-х. a) b) В e4 2 S2 D 1 ω1 ε2 K x 5 с) c s4 e' x С S4 Е π,a,c0,e 3 4 А ε4 f e" d VE4E F ω4 aE4E s2 с' b Рисунок 55 – Кулисный механизм: а) план механизма, с b) план ускорений, с) определение направления ускорения a E 4 Е Из точки b на плане ускорений проводится вектор bc' , n , из конца изображающий в соответствующем масштабе aCB которого проводится прямая, перпендикулярная ВС, а из полюса – прямая, параллельная х-х. На пересечении этих прямых находится точка с. Тогда определятся векторы c' с и πc , τ и которые изображают в принятом масштабе ускорения aCB r , соответственно (рисунок 55,b). aCCo τ r aCB = c' c ⋅ µa , aC = aCCo = πc ⋅ µa . Ускорение точки D – по теореме подобия BD bd BD , откуда bd = bc , мм. = BC bc BC На отрезке bc плана ускорений находится точка d. Из полюса до точки d проводится вектор πd , который изображает в принятом масштабе ускорение точки D ( а D = πd ⋅ µа ). 48 Ускорение точки Е звена 4 определяется относительно точки D того же звена и точки Е звена 5, а Е 5 = а Е 0 = а Е = 0 a = a + a n + a t , D E4 D E4 D  E4  ⊥ ED II ED  c r a E 4 = a E + a E 4 E + a E 4 E , II ED ⊥ ED  где a En 4 D = ω 42 l DE – вектор нормального ускорения направлен на плане механизма от точки E к точке D, aτE 4 D – вектор тангенциального ускорения направлен перпендикулярно DE. Определяется ускорение Кориолиса по величине с и по направлению, для чего вектор a E 4 Е = 2ω 4VE 4 Е относительной скорости поступательного движения V E4 Е поворачивается на 90° в сторону угловой скорости звена 4 – ω 4 , в данном случае по ходу часовой стрелки (рисунок 55,с). Релятивное ускорение направлено вдоль звена 4, т.е. параллельно ЕD. Строится план ускорений, находится точка е4 и определяются ускорения aτE 4 D = е' e4 ⋅ µa , a Er 4 E = е" e4 ⋅ µa , a E 4 = πe4 ⋅ µa . По свойству подобия определяются ускорения центров тяжести звеньев (те же формулы, что и для скоростей). Определяются угловые ускорения звеньев по величине и направлению (рисунок 55,а) τ aτE 4 D aCB , ε3 = 0 , ε4 = , ε5 = ε4 . ε2 = l ED l BC 49 3. СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ 3.1. Силы, действующие на звенья механизма 1. Движущие силы, Fд (моменты движущих сил, Мд) – силы, стремящиеся ускорить движение ведущего звена. Элементарная работа, совершаемая движущей силой, на элементарном перемещении всегда положительна dA = Fд dS ⋅ cos( Fд ,∧ V ) > 0 . Fд Направление скорости движения и α силы, вызывающей это движение, V совпадают или образуют острый угол. ω Мд При вращательном движении звена момент движущей силы (Мд) направлен в сторону угловой скорости звена – ω. 2. Силы сопротивления, Fс (моменты сил сопротивления, Мс) – силы, стремящиеся замедлить движение ведущего звена. Элементарная работа, совершаемая движущей силой, на элементарном перемещении всегда отрицательна dA = Fc dS ⋅ cos( Fc ,∧ V ) < 0 . Fс α Направление скорости движения и силы сопротивления противоположны или V образуют тупой угол. При вращательном движении звена момент силы сопротивления (Мс) направлен в ω сторону, противоположную угловой скорости звена – ω. Силы сопротивления делятся на силы полезных сопротивлений и силы вредных сопротивлений. Силы полезных сопротивлений Fпс – силы, приложенные к выходным звеньям механизма и совершающие работу, необходимую для выполнения требуемого технологического процесса. Мс 50 Силы вредных сопротивлений Fвс – силы, на преодоление которых затрачивается дополнительная работа, сверх той, которая необходима для преодоления сил полезных сопротивлений. Это силы трения и силы сопротивления среды. Силы трения, Ff (моменты сил трения, Мf) возникают в кинематических парах (поступательных – силы и вращательных – моменты) при относительном движении соприкасающихся поверхностей. 3. Силы тяжести звеньев, G – силы, работа которых на некотором, отсчитываемом по вертикали отрезке h, будет определяться по формуле AG = ± G ⋅ h α G h h V V α G Рисунок 33 – Работа силы тяжести и является положительной, когда центр тяжести звена опускается (сила тяжести является движущей – угол между направлениями силы и скорости острый); отрицательной, когда центр тяжести поднимается (сила тяжести оказывается силой сопротивления – угол между направления силы и перемещения тупой); равна нулю, если центр тяжести звена остается на одном и том же горизонтальном уровне. 4. Силы инерции Fи (моменты С ε сил инерции Ми) возникают при движении звеньев с ускорением F и = −m ⋅ a S , Ми = ε ⋅ J S , J S – момент инерции звена, где относительно оси, проходящей через центр его тяжести. aS S В Fи Ми 51 5. Реакции связей F24 – это силы, приложенные к геометрическим элементам звеньев, и представляющим давление звеньев друг на друга. Реакции связей являются внутренними силами для всего механизма и внешними для каждого звена в отдельности. F24 – это сила, действующая со стороны звена 2 на звено 4. По третьему закону Ньютона F 24 = − F 42 . 3.2. Условие статической определимости кинематической цепи Вращательная кинематическая пара V класса. F12 – сила, действующая со стороны звена 2 на звено 1. F21 F21 – сила, действующая со 1 стороны звена 1 на звено 2. 2 F12 F 21 = − F 12 . Модуль неизвестен, направление неизвестно, известна только точка приложения реакции. Поступательная кинематическая пара V класса. В поступательной кинематической F12 паре V класса неизвестны величина и точка приложения реакции, зато известно 1 2 направление – перпендикулярно направляющей (по нормали к поверхности). n Кинематическая пара IV класса. В двухподвижной кинематической паре неизвестна величина реакции, F12 F21 n известны направление (по нормали к соприкасающимся поверхностям) и 1 2 точка приложения (точка касания). Число уравнений статики, которое можно составить для плоского механизма – 3n (n – число подвижных звеньев); 52 2рV – число неизвестных параметров у пар V класса; рIV – число неизвестных параметров у пар IV класса. Для того, чтобы задача была решена, необходимо, чтобы 3n = 2 pV + pIV . Если пар четвертого класса нет, то 3n − 2 pV = 0 , откуда pV = 3 n , т.е. статически определимыми являются 2 структурные группы Ассура. Силовой анализ проводится в порядке, обратном образованию механизма. Чтобы для механизма можно было применить уравнения статики, следует воспользоваться принципом D’Alembert: если ко всем силам, приложенным к звену или нескольким звеньям, добавить силы инерции, развиваемые этими звеньями, то данная система будет находиться в равновесии. 3.3. Кинетостатика четырехшарнирного механизма При определении реакций в кинематических парах проводят силовой расчет механизма. Если при расчете не учитываются силы инерции звеньев, расчет называется статическим. Если силы инерции учитываются при расчете механизма, то такой расчет называется кинетостатическим. Рассмотрим пример кинетостатического расчета четырехшарнирного механизма. Задано: G1, G2, G3, M3, JS1, JS2, JS3 (рисунок 34). По плану ускорений определяются ускорения центров тяжести звеньев и угловые ускорения звеньев. a) D В ω1 А S1 Fи1 G1 b) Mи3 S3 F G3 M3 и3 С Mи2 S2 G2 Fи2 f c c” s2 s3 aF π,a,d s1 F b Рисунок 34 – Кинетостатика шарнирного четырехзвенника 53 а) план механизма, b) план ускорений Ускорения центров тяжести определяются по теореме подобия. Определяются силы инерции и моменты сил инерции. Fи1 = m1a S1 , M и1 = J S1 ε 1 = 0 , так как ε1 = 0, ω1 = сonst. Fи 2 = m 2a S 2 , M и2 = J S 2 ε 2 , Fи 3 = m 3a S 3 , M и3 = J S 3 ε 3 . Силы инерции направлены противоположно направлениям ускорений центров тяжести звеньев, а моменты сил инерции – противоположно угловым ускорениям звеньев. М3 – момент сил полезных сопротивлений, приложен к третьему звену – коромыслу, противоположно направлению угловой скорости звена. 3.3.1. Кинетостатика структурной группы Выделяют структурную группу (звенья 2 и 3) заменяя связи их реакциями. n F03 F 03 D τ F 03 S3 τ G3 F12 F 12 Mи2 В F n 12 M3 S2 С Fи3 Mи3 Fи2 G2 Рисунок 35 – Структурная группа (звенья 2, 3) Необходимо определить величину и направление реакций, F03 (внешние реакции для группы) и F23 (внутренняя реакция). Условие равновесия для структурной группы (32) F = 0 , F 12 + G 2 + F и 2 + G 3 + F и 3 + F 03 = 0 . ∑ В этом уравнении четыре неизвестных – величины и направления реакций F12 и F03. 54 Раскладывают внешние реакции на составляющие n τ τ n F 12 = F 12 + F 12 и F 03 = F 03 + F 03 , причем нормальные составляющие направляют вдоль соответствующих звеньев таким образом, чтобы линии их действия проходили через точку С, а тангенциальные – перпендикулярно звеньям. n t t n (33) F + F +G + F +G + F + F + F = 0. 12 12 2 и2 3 и3 03 03 hи2 В уравнении (33) также 4 неизвестных, решить его невозможно. Рассматривают равновесие одного из звеньев, например, звена 2. τ F32 F12 F 12 Mи2 С В n S2 F 12 G2 Fи2 h2 Рисунок 36 – Равновесие звена 2 ∑М С откуда F12τ = τ = 0 , − F12 l BC − M и 2 + G2 h2 µ l + Fи 2 hи 2 µ l = 0 , G2 h2 µ l + Fи 2 hи 2 µ l − M и 2 . l BC Затем рассматривают равновесие звена 3 и определяют τ тангенциальную составляющую реакции F 03 . τ М С = 0 , F03 lCD − M 3 + M и 3 − Fи 3 hи 3 µ l = 0 , ∑ τ F03 = М 3 + Fи 3 hи 3 µ l − M и 3 . l BC Так как определились тангенциальные составляющие реакций, то можно решить уравнение (34) графически. n t t n (34) F 12 + F 12 + G 2 + F и 2 + G 3 + F и 3 + F 03 + F 03 = 0 . 55 Для этого на направлении нормальной составляющей реакции F12 берут произвольную точку и от нее в выбранном масштабе сил откладывают известную касательную составляющую, затем, согласно уравнению (34) все известные n F03 F 03 τ D F 03 Mи3 M3 S3 G3 Fи3 hи3 С F23 Рисунок 37 – Равновесие звена 3 τ силы последовательно складывают. Из конца вектора F 03 проводят направление нормальной составляющей до пересечения с направлением нормальной составляющей реакции F12. Так как сумма сил равна нулю, то силовой многоугольник должен быть замкнутым. F12 F n 12 τ Fи2 F 12 F23 = F32 G2 F n 03 Fи3 τ F 03 F03 G3 Рисунок 38 – Графическое решение уравнения (34) Так графически определяются направления и величины неизвестных реакций. На этом же силовом многоугольнике можно найти и внутреннюю реакцию, например, для звена 2 из условия равновесия F = 0 , F 12 + G 2 + F и 2 + F 32 = 0 определяется F 32 . ∑ Можно было рассмотреть условие равновесия звена 3 56 ∑F = 0, G 3 + F и 3 + F 03 + F 23 = 0 и также найти реакцию во вращательной паре С ( F 32 = − F 23 ). 3.3.2. Кинетостатика ведущего звена (определение уравновешивающей силы, уравновешивающего момента) а) В Му S1 А b) F21 F21 Fи1 F01 G1 G1 F01 Fи1 Рисунок 39 – Кинетостатика ведущего звена Необходимо определить реакцию в кинематической паре А ( F01 ) – величину и направление, а также величину и направление уравновешивающего момента – Му. Так как степень подвижности ведущего звена (механизма I класса) не равна нулю (W ≠ 0), то ведущее звено после приложения к нему сил инерции не будет находиться в равновесии. Для равновесия необходимо приложить к нему уравновешивающую силу либо уравновешивающий момент. В этом примере прикладываем к звену АВ уравновешивающий момент. Если рассматриваемая кинематическая цепь является двигателем, то уравновешивающий момент – это момент, приложенный со стороны рабочей машины к ведомому валу двигателя (рисунок 40,а). Если рассматриваемая кинематическая цепь является рабочей машиной, то уравновешивающий момент – это момент, приложенный со стороны двигателя к ведущему валу рабочей машины (рисунок 40,b). а) b) Му (Мс) Fд Му (Мд) Fс 57 Рисунок 40 – Уравновешивающий момент а) двигатель, b) рабочая машина (насос) Под действием всех сил и уравновешивающего момента ведущее звено находится теперь в равновесии и для него можно применять условия статики М А = 0 , − М у − G1h1 µ l + F21h21 µ l = 0 , ∑ откуда находят уравновешивающий момент М у = F21h21 µ l − G1h1 µ l . ∑F = 0, G +F 1 и3 +F 21 + F 01 = 0 , откуда находят реакцию в паре А (рисунок 39,b). 3.4. Кинетостатика структурных групп Кинетостатика структурной группы II класса первого вида (ВВВ) была подробно исследована в параграфе 3.3.1. Рассмотрим в общем виде алгоритм определения реакций в кинематических парах остальных структурных групп этого класса. Кинетостатика группы ВВП Кинематическая схема группы II класса второго вида представлена на рисунке 41,а. На группу действуют силы F2 и F3 и пары сил с моментами М2 и М3 (это могут быть моменты сил инерции). a) F12 n F12 В h2 t F12 b) F2 2 M2 С n а F12 b Е t F12 F3 M3 х F43 K 3 F2 F23=F32 F43 F12 D х 4 Рисунок 41 – Кинетостатика группы ВВП: а) кинематическая схема, b) план сил. 58 с F3 d Реакции в кинематических парах определяются методом планов сил. Векторное уравнение всех сил, действующих на группу, имеет вид F 12 + F 2 + F 3 + F 43 = 0 . Реакция F43 известна по направлению, она перпендикулярна к направляющей х-х. Точка приложения этой реакции и ее величина неизвестны. Известна точка приложения реакции F12, но неизвестны ни ее величина, ни направление. Эту реакцию раскладывают на две составляющие: одну F12n , направленную вдоль звена ВС, и вторую F12t , перпендикулярную линии ВС. n t F 12 = F 12 + F 12 = 0 . (35) Величина F12t определяется из условия равновесия звена 2 (суммы моментов относительно тоски С) М С = 0, F12t l BC + M 2 − F2 h2 µ l = 0 . ∑ В этом уравнении h2 – плечо силы F2 подставляется в мм чертежа, для получения одинаковых единиц измерения оно умножается на масштабный коэффициент длины µl. Знак силы F12t определяется знаком суммы моментов F h µ − M2 . F12t = 2 2 l l BC Подставляя полученное значение силы F12t в уравнение (35), получают n t F 12 + F 12 + F 2 + F 3 + F 43 = 0 . В этом уравнении неизвестны только величины F12n и F03 . Они определяются построением плана сил. Проводится направление реакции F12n . Из произвольно выбранной точки а на этом направлении откладывается в выбранном масштабе µF сила F12t , затем в этом же масштабе прибавляются силы F2 и F3. Из конца вектора силы F3 (точки с) проводится прямая, перпендикулярная к оси х-х. На пересечении этой прямой с 59 направлением реакции получается точка d, которая F12n определяет величины реакций F12n и F43 . F12n = ad ⋅ µ F , F43 = cd ⋅ µ F . Направление реакций определяется условием замкнутости многоугольника сил. Реакция F23 или равная ей по величине и противоположная ей по направлению F32 представлена отрезком de. Остается определить точку К приложения реакции F43 на направлении х-х (рисунок 41,b). Для этого составляется уравнение моментов сил, действующих на звено 3, относительно точки C М С = 0, F3 h3 µ l − F43 h43 µ l − M 3 = 0 . ∑ В этом уравнении неизвестным является только плечо h силы F43, которое из уравнения может быть определено F h µ − M3 . h43 = 3 3 l F43 µ l Положение плеча h относительно точки С определяется знаком правой части уравнения. Кинетостатика группы ВПВ Кинематическая схема группы II класса третьего вида показана на рисунке 42,а. Звенья поступательной пары имеют движение вдоль оси х-х. На группу действуют силы F2 и F3 и пары сил с моментами М2 и М3. M3 х γ a) 3 2 t F12 F12 n F12 х В t F43 β M2 F2 F3 b) а F43 е F43 F12 F43 с Рисунок 42 – Кинетостатика группы ВПВ: а) кинематическая схема, b) план сил. 60 t F12 F2 n D n F12 b F23=-F32 f F3 d n F43 t F43 Уравнение равновесия всех сил, действующих на группу, имеет вид (36) F 12 + F 2 + F 3 + F 43 = 0 . Реакции F12 и F43 раскладываются по направлениям, параллельным оси х-х и перпендикулярным к ней n n t t F 12 = F 12 + F 12 , F 43 = F 43 + F 43 . Для определения величин нормальных составляющих составляются уравнения равновесия для каждого из звеньев 2 и 3 в отдельности в виде проекций на ось х-х всех сил, действующих на каждое из звеньев. Для звена 2 − F12n + F2 cos β = 0 , для звена 3 − F43n + F3 cos γ = 0 , откуда F12n = F2 cos β = 0 , и F43n = F3 cos γ . Значения нормальных составляющих подставляют в уравнение (36) t n n t F 12 + F 12 + F 2 + F 3 + F 43 + F 43 = 0 . В этом уравнении неизвестны только величины касательных составляющих реакций, они определяются из плана сил. Из произвольной точки а откладывается в выбранном масштабе µF сила F2 и прибавляется сила F3. Из конца вектора силы F3 (точки с) откладывается сила F43n , а из точки а – сила F12n , параллельные оси х-х. Соединив точки е и d, получают отрезок еd, который представляет сумму сил F12t и F43t так как эти силы параллельны. Для определения одной из этих сил составляют уравнение равновесия относительно одной из вращательных пар группы, например, составив уравнение суммы моментов сил относительно точки D, определяют F12t ΣМ D = 0, F12n h12 µ l − F12t h12 µ l + F2 h2 µ l + M 2 + F3 h3 µ l − M 3 = 0, откуда F12t = F12n h12 µ l + F2 h2 µ l + M 2 + F3 h3 µ l − M 3 h12 µ l . h12 µ l Отложив величину этой силы в виде отрезка be на прямой de, получают, что величина силы F43t изображается на плане сил 61 в виде отрезка db. Полная реакция F12 в принятом масштабе изображается отрезком ab, Полная реакция F43 – отрезком df и, наконец, две равные и противоположно направленные реакции F23 = F32 – отрезком fb. Из условия равновесия любого из звеньев определяется точка приложения реакций. Кинетостатика группы ПВП Кинематическая схема группы II класса четвертого вида показана на рисунке 43,а. Два звена 2 и 3, связанные между собой вращательной парой С, соединяются поступательными парами со звеньями 1 и 4, соответственно. Звено 2 движется вдоль оси х-х, звено 3 – вдоль оси у-у. На группу действуют силы F2 и F3 и две пары сил с моментами М2 и М3. b) a) х F12 M2 С M3 D F2 х а h43 h12 F3 у F43 Е у F12 d F2 F32 F23 F43 b F3 с Рисунок 43 – Кинетостатика группы ПВП: а) кинематическая схема, b) план сил. Уравнение равновесия всех сил, действующих на звенья, имеет вид F 12 + F 2 + F 3 + F 43 = 0. В этом уравнении реакции F12 и F43 известны по направлению: реакция F12 направлена перпендикулярно оси х-х, реакция F43 направлена перпендикулярно оси у-у, их величины являются неизвестными. Так как в уравнении всего два неизвестных, его можно решить графически, построением плана сил. Из произвольной точки в выбранном масштабе откладывается сила F2. К ней прибавляется сила F3. Из конца этого вектора проводится прямая, перпендикулярная у-у, а из точки b – прямая, перпендикулярная х-х, точка d пересечения 62 этих прямых и определяет величину искомых реакций. Реакция F12 представлена отрезком da, а реакция F43 отрезком cd. Реакция F32 в паре С представлена отрезком bd и определяется из условия равновесия звена 2 F 32 + F 2 + F 12 = 0. Для определения точек приложения D и Е реакций F12 и F43 следует составить уравнения моментов всех сил, действующих на каждое из звеньев относительно точки С. Кинетостатика группы ВПП Кинематическая схема группы II класса пятого вида показана на рисунке 44,а. Звено 2, связанное со звеном 3 поступательной парой С, соединяется вращательной парой со звеном 1, а звено 3 соединяется со звеном 4 поступательной парой. Звено 2 движется по звену 3 вдоль оси х-х, звено 3 – вдоль оси у-у. На группу действуют силы F2 и F3 и две пары сил с моментами М2 и М3. а a) b) х 2 С M2 В F2 у F43 F3 M3 х F3 3 у F12 F32 b F43 F23 с F2 d Рисунок 44 – Кинетостатика группы ВПП: а) кинематическая схема, b) план сил. Уравнение равновесия всех сил, действующих на звенья, имеет вид F 12 + F 2 + F 3 + F 43 = 0. В этом уравнении реакция F43 известна по направлению, она направлена перпендикулярно оси у-у. Реакция F12 неизвестна ни по величине, ни по направлению. Так как в уравнении три неизвестных, его нельзя решить графически. 63 Для определения реакций F12 и F43 составляются уравнения равновесия звеньев 2 и 3 в отдельности. Для звена 2 F 12 + F 2 + F 32 = 0 и для звена 3 F 43 + F 3 + F 23 = 0 . В последнем уравнении известно направление реакции F23 (на рисунке не показана), построением плана сил определяется ее величина. Из произвольной точки а (рисунок 44,b) в выбранном масштабе откладывается сила F23, и через точки а и b проводятся прямые, перпендикулярные осям х-х и у-у, соответственно. На их пересечении получается точка с, которая определяет величину реакций F23 и F43 F23 = bc ⋅ µ F , F43 = ac ⋅ µ F . Так как F32 = F23, и противоположно направлена, то в уравнении равновесия для звена 2 остается два неизвестных: величина и направление реакции F12, их можно найти из плана сил. От точки b откладывается заданная сила F2, в виде отрезка bd, а точка d соединяется с точкой с. Отрезок dc изображает в выбранном масштабе реакцию F12. Для определения точки приложения реакции F43 составляется уравнение моментов всех сил, действующих на группу, относительно точки В. Для определения точки приложения реакции F23 составляется уравнение моментов всех сил, действующих на звено 2, относительно той же точки В. 3.5. Кинетостатика кулисного механизма Определяются силы инерции и моменты сил инерции (рисунок 45) 64 a) b) В f Fи2 e4 S2 D ω1 G2 А Fи4 S4 ε4 Е Ми4 ε2 Ми2 K F3 С,S3 π,a,c0,e с,s3 s4 Fи3 G4 G3 d F s2 b Рисунок 45 – Определение сил инерции и моментов сил инерции кулисного механизма: а) план механизма, b) план ускорений Fи1 = m1a S1 = 0 , так как m1 = 0 , М и1 = ε 1 J S1 = 0 , так как ε1 = 0 ; Fи 2 = m 2a S 2 , М и2 = ε 2 J S 2 ; Fи 3 = m 3a S 3 , М и 3 = ε 3 J S 3 = 0 , так как ε 3 = 0 ; Fи4 = m4a S 4 , М и4 = ε 4 J S 4 ; Fи5 = m5a S 5 = 0 , так как m5 = 0 , М и5 = ε 5 J S 5 = 0 , так как J S5 = 0 . Сила полезного сопротивления F3 направлена в сторону, противоположную скорости точки К. 3.5.1. Кинетостатика структурных групп механизма Выделяем последнюю присоединенную группу Ассура (звенья 4, 5), заменяя связи их реакциями, про которых известно лишь то, что они проходят F24 – через точку D, a F05 – через точку Е. В уравнении (37) F = 0 , F 24 + G 4 + F и4 + F 05 = 0 ∑ 65 F24 h4 D hи4 Fи4 S4 Е F G4 F05 Ми4 Рисунок 46 – Кинетостатика группы (звенья 4, 5) четыре неизвестных, решить его графически невозможно. Это структурная группа Асура третьего вида (рисунок 46). Для ее решения можно применить следующий прием. Рассматривают равновесие звена 5 (кулисного камня), на который действуют две реакции F05 и F45 (рисунок 47), про которые известно, что F05 проходит через центр шарнира, а F45 направлена перпендикулярно DE. F45 Е F05 Рисунок 47 – Равновесие звена 5 Так как под действием этих сил звено 5 находится в равновесии, то для него можно использовать уравнения М Е = 0 , тогда F45 h45 = 0 . Так как F45 ≠ 0 , то h45 = 0 . ∑ Следовательно, сила F45 проходит через точку Е и остается перпендикулярной DE. Из другого условия равновесия F = 0 , F 45 + F 05 = 0 получается, что F 45 = − F 05 , т.е. что ∑ реакция F05 перпендикулярна звену DE (неверные силы перечеркнуты). Зная точку приложения и направление реакции можно определить ее по величине, взяв для структурной группы М D = 0 , − F05 l DE + G4 h4 µ l − Gи 4 hи4 µ l + М и4 = 0 , ∑ 66 G4 h4 µ l − Gи 4 hи4 µ l + М и4 = 0 откуда F05 = l DE . Теперь в уравнении (37) F 24 + G 4 + F и4 + F 05 = 0 всего два неизвестных и оно решается графически (рисунок 48). F24 G4 Fи4 F05 Рисунок 48 – Решение уравнения 37 Выделяется следующая структурная группа (звенья 2, 3), заменяются связи их реакциями (рисунок 49). Требуется определить реакции F12, F03 и F23 по величине и направлению. По условию равновесия ΣF = 0 , F 12 + G 2 + F и 2 + F 42 + F и 3 + G 3 + F 3 + F 03 = 0 определить F12 и F23 не удается, хотя всего три неизвестных. Это группа Ассура второго вида, для нее приходится раскладывать F12 на нормальную и тангенциальную составляющие n В F12 Fи2 S2 τ F12 F12 h42 D G2 F42 Ми2 Fи3 hи2 F3 K F03 С,S3 G3 h2 Рисунок 49 – Кинетостатика группы (звенья 2, 3) n t F 12 + F 12 + G 2 + F и 2 + F 42 + F и 3 + G 3 + F 3 + F 03 = 0 , но и в этом уравнении три неизвестных. рассматривают равновесие звена 2, для которого (38) Поэтому 67 ΣМ С = 0 , откуда τ = F12 τ l ВС + G2 h2 µ l − Fи 2 hи 2 µ l + F4 2 h42 µ l − М и 2 = 0 , − F12 G2 h2 µ l − Fи 2 hи 2 µ l + F4 2 h42 µ l − М и 2 l ВС . Теперь в уравнении (36) два неизвестных и его решают графически (рисунок 50) F12 τ F12 n F12 F23 F03 G2 F42 Fи2 G3 F3 Fи3 Рисунок 50 – Силовой многоугольник для структурной группы n t F 12 + F 12 + G 2 + F и 2 + F 42 + F и 3 + G 3 + F 3 + F 03 = 0 . Рассмотрев условия равновесия звена 3 ΣF = 0 , F 23 + F и 3 + G 3 + F 3 + F 03 = 0 , находят реакцию F23 по величине и направлению ΣМ С = 0 , F3 h3 + F03 h03 = 0 и точку приложения реакции F03 (рисунок 51). h03 = − F3 h3 , знак “минус” показывает, что реакция F03 F03 приложена не справа, а слева от точки С. 68 F23 С,S3 h3 K F3 F03 Fи3 G3 h03 Рисунок 51 – Равновесие звена 3 3.5.2. Кинетостатика ведущего звена Для ведущего звена АВ определяем реакцию F01, а также (в этом примере) уравновешивающую силу Fу, которую прикладываем к ведущему звену в точке В перпендикулярно звену (рисунок 52). а) b) Fу F21 ω1 F21 h21 А F01 Fу F01 Рисунок 52 – Кинетостатика ведущего звена а) ведущее звено, b) план сил Из условий равновесия определяется сначала Fу, ∑М а затем F01 А =0, F21h21 − F y АВ = 0 , откуда F y = ∑F = 0, F21h21 , АВ F 21 + F y + F 01 = 0 . 3.6. Приведенные силы и моменты сил При исследовании механизма удобно все силы и моменты сил, приложенные к звеньям механизма (рисунок 53), заменять одной приведенной силой (Fпр) или моментом сил (Мпр). 69 Обычно за звено приведения принимается ведущее звено рабочей машины (механизма) или ведомое (выходное) звено двигателя. V1 1 Fnp A 1 ω1 Mnp Рисунок 53 – Приведенные силы и моменты сил Приведенной называется сила, мгновенная мощность которой должна быть равна сумме мгновенных мощностей, развиваемых приложенными силами и моментами в данном положении механизма P = FnpV1 или P = M npω1 , P= Fnp ∑ P = ∑ ( F V cosα + M ω ) , откуда V ω = ∑ (F cos α + M ) или V V i i i i i i i i i i i 1 1 ω M np = ( Fi cos α i + M i i ) . ω1 ω1 Приведенным называется момент, мгновенная мощность которого должна быть равна сумме мгновенных мощностей, развиваемых приложенными силами и моментами в данном положении механизма. ∑ Vi 3.7. Рычаг Н.Е. Жуковского Согласно принципу возможных перемещений (если на какую-либо механическую систему действуют внешние силы, то, прибавляя к данным силам силы инерции и давая возможные для данного ее положения перемещения, получаем ряд элементарных работ, сумма которых должна равняться нулю) FiδS i cos α i = 0 , где 70 ∑ Fi – приложенные силы, δSi – возможные перемещения точек, в которых приложены силы α – угол между направлением приложенной силы и возможного перемещения. Так как рассматриваемая цепь является механизмом, а связи считаем независимыми от времени (нет износа, ржавчины), то действительные перемещения будут в числе возможных. Fi dS i cos α i = 0 , ∑ где dSi – действительные перемещения ∑ F dt cos α = 0 или ∑ F V cosα = 0 – мощность, развиваемая всеми силами. dS i i i i i i Пусть на звено ВС действует сила Fi, приложенная в точке D. Известна скорость точки В и направление скорости точки С. Построим план скоростей для звена и найдем скорость точки D (рисунок 54,b). Вектор скорости точки D переносим на план звена (рисунок 54,а) и найдем угол между скоростью этой точки и силой Fi. Поворачиваем план скоростей на 90° в любую сторону (в примере – по ходу часовой стрелки), на него переносим силу Fi, не изменяя ее по направлению. На линию действия силы Fi из полюса опускаем перпендикуляр. Определяем мощность, развиваемую силой Fi (39) Pi = FiVD cos α i . a) VC b) С c Fi αi p VD D VD Fi d В VB c c) d αi b b hi p Рисунок 54 – Рычаг Жуковского а) план звена, b) план скоростей, с) повернутый план скоростей 71 На повернутом плане скоростей найдем угол αi. Это угол между линией pd и перпендикуляром к силе – hi (стороны, образующие угол, взаимно перпендикулярны: pd ⊥ VD, a hi ⊥ Fi). Определим cosαi и подставим в формулу (39) hi , откуда Pi = Fi hi µV . pd Pi = Fi pdµV Для всех сил, действующих на звенья механизма ΣFi hi µV = 0 , но т.к. µV ≠ 0 , то ΣFi hi = 0 . Правило. Все внешние силы, включая силы инерции, переносят на, повернутый на 90о, план скоростей в соответствующие точки, не изменяя ни их величины, ни направления. Повернутый план скоростей считают жестким рычагом, который под действием внешних сил может вращаться вокруг полюса плана сил р как вокруг неподвижной опоры. Рассмотрим, как определяются моменты сил на рычаге Жуковского. Пусть на звено ВС действует момент инерции – Ми (рисунок 55). Заменим его парой сил, приложенных в точках В и С, перпендикулярно звену. Fи1 = Fи 2 = Ми . l BC Переносим силы на повернутый по ходу часовой стрелки план скоростей в соответствующие точки и определяем момент сил инерции на рычаге Жуковского М иж = Fи1hи1 + Fи 2 hи 2 . a) С b) c Fи1 ж Ми Ми В c) p Fи2 ж Ми b p hи2 c Fи1 Рисунок 55 – Моменты сил на рычаге Жуковского а) звено, b) сходственность отрезков ВС и bc, с) несходственность отрезков ВС и bc 72 b hи1 Fи2 Fи2 Fи1 Так как V C = V + V CB и VCB ⊥ ВС, то, повернув отрезок bc B на 900, получим bc ВС, следовательно hи1 + hи 2 = bc . Тогда М иж = Fи1hи1 + Fи 2 hи 2 = M и bc , Н∙мм. l BC При повороте плана скоростей против хода часовой стрелки (рисунок 55,с) момент инерции на рычаге Жуковского изменяет направление и тогда, в общем виде М иж = ± M и bc . l BC Правило: При переносе на рычаг Жуковского момент своего направления не изменяет, если отрезки на плане механизма и на повернутом плане скоростей сходственно расположены. 3.7. Определение приведенных и уравновешивающих сил методом Жуковского Рассмотрим определение уравновешивающей силы методом Жуковского на примере кулисного механизма (параграф 3.5). Вычерчиваем план механизма с нанесенными на него силами и моментами сил инерции, а также план скоростей этого механизма (рисунок 56). a) b) В f Fи2 S2 D ω1 G2 А Fи4 S4 Е F G4 Ми4 Ми2 K F3 e4 b s4 С,S3 s2 d Fи3 G3 р,a,c0,e0 c Рисунок 56 – Определение уравновешивающей силы: а) план механизма, b) план скоростей 73 Поворачиваем план скоростей на 90° и переносим на него в соответствующие точки все силы, включая силы инерции (рисунок 57). Моменты сил инерции пересчитываем М иж2 = − М и 2 bc , l BC М иж4 = − М и4 df . l DF Оба момента сил инерции изменились не только по величине, но и по направлению. Повернутый план скоростей считаем жестким рычагом, который под действием всех сил и моментов сил инерции может вращаться вокруг полюса, как вокруг неподвижной опоры. Чтобы он не вращался, а находился в состоянии равновесия, прикладываем в точку b силу Fy перпендикулярно pb, (следовательно, звену АВ), которую и определяем из условия ΣМ р = 0 . F y pb + M иж2 − Fи 2 hи 2 − G2 h2 − ( Fи 3 + F3 ) pc − Fи4 hи4 − G2 h2 − M иж4 = 0 Fy = Fи 2 hи 2 + G2 h2 + ( Fи 3 + F3 ) pc + Fи4 hи4 _ G2 h2 + M иж4 − M иж2 . pb F np = − F y . Приведенная сила равна по величине уравновешивающей, приложена в той же точке и противоположно направлена. 74 р,a,c0,e0 hи2 ж Ми4 ж Ми2 f e4 hи4 F3 s4 Fи4 Fи3 G4 c Fу d F и2 s2 G3 G2 h2 b h4 Рисунок 57 – Определение Fy методом Жуковского 75 4. ДИНАМИКА МАШИН 4.7. Режимы движения механизмов ω tц 1 2 t tp tу.д. tв Рисунок 58 – Режимы движения tp – время разгона, tу.д. – время установившегося движения, tв – время выбега, tц – время цикла tу.д. = tцNц. Согласно теореме об изменении кинетической энергии Ад − Ас = где ∑ mV 2 − 2 ∑ mV02 , 2 Ад – работа приведенных движущих сил, Ас – работа приведенных сил сопротивления. tp: ∑ tу.д.: t в: mV 2 − 2 mV 2 − 2 mV 2 − 2 ∑ mV02 > 0 , Ад > Ас ; 2 mV02 = 0 , Ад = Ас ; 2 mV02 < 0 , Ад < Ас . 2 ∑ ∑ ∑ ∑ Неустановившимся называют движение, происходящее под действием сил, сумма работ которых за любой промежуток времени не равна нулю (tp, tв). Периодом движения машины называют промежуток времени, по истечении которого положения, скорости и 76 ускорения всех точек механизма принимают первоначальные значения и вновь повторяются с прежней закономерностью. Неравновесным установившимся называют движение, происходящее под действием сил, сумма работ которых за период равна нулю (кривая 1). Равновесным установившимся называют движение, происходящее под действием сил, сумма работ которых за любой промежуток времени равна нулю (прямая 2). 4.8. Кинетическая энергия механизма а) звено совершает сложное движение mV S2 J S ω 2 Т= + , 2 где 2 m – масса звена; VS – скорость центра тяжести звена; ω – угловая скорость звена; JS – момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр его тяжести. b) звено движется поступательно Т= mV S2 ; 2 с) звено совершает вращательное движение 1. Центр тяжести звена совпадает с центром его вращения J ω 2 J Sω 2 Т= А = / 2 А ω А S 2 2. Центр тяжести звена не совпадает с центром его вращения S 2 J ω 2 ( J S + m ⋅ l AS )ω 2 mV S2 J S ω 2 = = + Т= А . ω 2 2 2 2 Для кривошипно-ползунного механизма (рисунок 59), в котором кривошип совершает вращательное движение, шатун – сложное, а ползун – поступательное, кинетическая энергия определяется 77 В S1 S2 ω1 С,S3 А Рисунок 59 – Кинетическая энергия механизма Т= J S1 ω12 2 + m1VS21 2 + J S 2 ω 22 2 + m 2VS22 2 + m 3VS23 2 . 4.9. Приведенная масса и приведенный момент инерции масс механизма Т= ∑ 2 2   J Si ω i + m i VSi  2 2  Т= VB2 2 ∑ [m i (  = 1  2  ∑ (J 2 Si ω i + m iVSi2 ) , m npVB2 VSi 2 ω ) + J Si ( i ) 2 ] , Т = . VB VB 2 Приведенной массой (mnp) называется условная масса, сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия которой равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма в данном положении. mпр А ω J npω12 ωi 2 ) ], Т = . ω1 ω1 2 2 Приведенным моментом инерции (Jnp) называется инерции условного тела, вращающегося вместе со приведения, кинетическая энергия которого равна кинетических энергий всех звеньев механизма в положении. Т= ω12 ∑ [m i ( VSi ) 2 + J Si ( 4.10. Коэффициент механизмов 78 В полезного момент звеном сумме данном действия Ад − Ас = ∑ mV 2 − 2 ∑ mV02 = ± Аи , 2 где ± Аи – работа сил инерции, “плюс” или “минус” так как кинетическая энергия может уменьшаться или увеличиваться. Ад − Ас ± Аи = 0 , Ад − Ас ± Аи ± АG = 0 , Ад − Апс − Атр ± Аи ± АG = 0 , Апс – работа сил полезных сопротивлений, Атр – работа сил трения, АG – работа сил тяжести. За цикл установившегося движения ± Аи = 0 , тогда Ад − Апс − Атр = 0 . где ± АG = 0 , Коэффициентом полезного действия машины является отношение полезной работы к затраченной работе η= Ад − Атр Ад = 1− Атр Ад < 1 для любой машины. При Атр = Ад η = 0 – холостой ход, при Атр > Ад η < 0 – режим самоторможения. 4.4.1. Определение КПД при последовательном соединении механизмов Определим КПД агрегата, состоящего из нескольких машин, соединенных последовательно (рисунок 60). Ад 1 А1 2 А2 Аn-1 n Аn Рисунок 60 – Последовательное соединение механизмов η1 = А А А1 , η 2 = 2 , ………. η п = п , Ад А1 Ап − 1 η1 ⋅ η 2 ...η п = А А А1 А2 ⋅ ... п = п – общий КПД. Ад А1 Ап −1 Ад 79 – при последовательном соединении механизмов общий КПД будет меньше наименьшего из частных. η общ = η1 ⋅ η 2 ...η п 4.4.2. Определение КПД при параллельном соединении механизмов Определим КПД агрегата, состоящего из нескольких машин, соединенных параллельно (рисунок 61).    Ад    Ад1 Ад2 Адn 1 2 n А1 А2 Аn    Апс    Рисунок 61 – Параллельное соединение механизмов ηобщ = Апс А1 + А2 + ... + Ап . = Ад Ад1 + Ад 2 + ... + Адп ηобщ = А1η1 + А2η 2 + ... + Апη п . Ад1 + Ад 2 + ... + Адп При параллельном соединении механизма общий КПД больше наименьшего и меньше наибольшего из частных. 4.11. Определение хода выходного звена При проведении расчетно-графической работы и курсового проекта по кинематике механизмов следует начинать с определения крайних положений выходного звена, т.е. с определения хода ведомого звена и начала рабочего хода. Студент получает задание, в котором приводятся схема механизма и исходные данные для расчета. Сначала следует принять масштабный коэффициент длин звеньев и построить план механизма в произвольном положении (рисунок 62, показано основными линиями), затем определить начало рабочего хода. Покажем методику определения на примере дезаксиального кривошипно-ползунного механизма. 80 В’0 ϕхх А ϕрх В ω1 Н В0 С’0 С С0 Рисунок 62 – Определение хода выходного звена Крайнее правое положение определяют следующим образом: складывают длины кривошипа АВ и шатуна ВС и от точки А на траектории точки С делают засечку – точка С0. Крайнее левое получают, вычитая из длины шатуна длину кривошипа и разностью длин находят точку С’0. Так как угловая скорость кривошипа направлена по ходу часовой стрелки, то начало рабочего хода соответствует правому положению ползуна (точке В0 кривошипа), так как при правильном проектировании ϕрх должен больше ϕхх. Ход выходного звена, Н это расстояние от точки С0 до С’0. 4.12. Определение сопротивления приведенной силы Строим план кривошипно-ползунного механизма в одном из положений рабочего хода. Прикладываем в центрах тяжести звеньев силы тяжести их, а также к выходному звену механизма силу сопротивления – F3px (рисунок 63,a). К ведущему звену в точке В перпендикулярно АВ прикладываем приведенную силу сопротивления Fc, направленную противоположно скорости точки В. Эту силу следует определить. Согласно параграфу 3.5 Pnp = ΣPi , Для определения мгновенной мощности необходимо построить план скоростей (рисунок 63,b). FcVB cos 1800 = G2VS 2 cos α 2 + G3VC cos 900 + F3 pxVD cos cos 1800 . Так как сos1800 = – 1, cos900 = 0, cos α 2 = ks2 , то ps2 81 a) b) Fc c,d F3px k p,a В А G3 s2 S2 ω1 α2 D F3px α2 С,S3 G2 G2 b G3 Fc Рисунок 63 – Определение приведенной силы сопротивления при рабочем ходе ks2 − F3 px pc ⋅ µV , откуда ps2 − Fc pb ⋅ µV = G2 ps2 µV Fc = F3 px pc − G2 ks2 pb . (40) Определяем приведенную холостом ходе (рисунок 64). a) F3хx ω1 В силу S2 при b) Fc D С,S3 А сопротивления b G3 α2 s2 F3хx G2 k G2 Fc α’2 c,d p,a G3 Рисунок 64 – Определение приведенной силы сопротивления при холостом ходе FcVB cos 1800 = G2VS 2 cos α 2 + G3VC cos 900 + F3 pxVD cos cos 1800 . Так как сos1800 = – 1, cos900 = 0, cos α 2 = cos(1800 − α '2 ) = − cos α '2 = − − Fc pb ⋅ µV = −G2 ps2 µV 82 ks2 , то ps2 ks2 − F3 хx pc ⋅ µV , откуда ps2 Fc = F3 хx pc + G2 ks2 . pb (41) На основе анализа формул (40) и (41) можно записать Fc = ±G2 ks2 + F3 рx ( F3 хx ) pc pb . Перед силой тяжести звена необходимо ставить знак “плюс”, если центр тяжести на плане скоростей находится выше горизонтали, проходящей через полюс плана – сила тяжести является силой сопротивления (угол между направлениями скорости центра тяжести и силой – тупой); знак “минус”, если центр тяжести на плане скоростей находится ниже горизонтали, проходящей через полюс плана – сила тяжести является движущей силой (угол между направлениями скорости центра тяжести и силой – острый). Перед силой сопротивления рабочего или холостого хода всегда ставится знак “плюс”. 4.13. Основные формы уравнения движения Существуют две формы уравнения движения машинного агрегата: 1. Уравнение движения в форме кинетической энергии ω2 ω2 Ад − Ас = ∆Т = J np − J np 0 , где 2 2 Ад – работа приведенной движущей силы, Ас – работа приведенной силы сопротивления, ω – угловая скорость звена приведения в произвольном положении, ω0 – угловая скорость звена приведения в начальном положении. 2. Уравнение движения в форме дифференциального уравнения ∆М = М д − М с , где Мд – приведенный момент движущих сил, Мс – приведенный момент сил сопротивления, ∆М – избыточный момент, он совершает элементарную работу 83 dA = ∆M ⋅ dϕ = dT , где Т – кинетическая энергия механизма. ω2 ω2 ) d ( J np d( ) 2 dT 2 =J 2 + ω ⋅ dJ np . ∆М = = np 2 dϕ dϕ dϕ dϕ Преобразуем первое слагаемое уравнения ω2 d ( ) 1 2ω ⋅ dω dt dω 2 = ⋅ , тогда ⋅ = dϕ dt dt dϕ 2 ∆М = J np dω ω 2 dJ np . + ⋅ 2 dϕ dϕ Рассмотрим два частных случая dω ω 2 dJ np = 0 , ∆М = ; 1. ω = const, ⋅ dt dϕ 2 2. В начале движения, ω = const, но движение будет dω ≠ 0, невозможным, если не будет ускорения ∆М = J np dt dω = J npε . dϕ Определение угловой скорости звена приведения по уравнению в форме кинетической энергии 4.14. Построим график Мс = f(ϕ), Mc = Fc·lAB для каждого из 12 положений механизма. Рассматриваем совокупность рабочей машины и двигателя. Пусть Мдв = const и известен. Кинетическая энергия в момент разгона Тр неизвестна. Разбиваем диаграмму Мс = f(ϕ) на участки ab, bc и са. Определим приращение кинетической энергии на этих участках. На участке ab. b ∆Т ( ab ) = Aд( ab ) − Ac ( ab ) = b ∫ M dϕ − ∫ M dϕ = д a c a = S oabb' µ M µϕ − S oa 'bb' µ M µϕ = S a 'ab µ M µϕ , Нм. 84 Кинетическая энергия будет увеличиваться на площадь Sa’ab так как Ад > Ac. На участке bc. ∆Т ( bс ) = S b'bcc' µ M µϕ − S b'bdcc' µ M µϕ = S bdc µ M µϕ . Кинетическая энергия будет уменьшаться на площадь Sbdc, так как Ад < Ac. На участке са. ∆Т ( сa ) = S с'caa ' µ M µϕ − S с'cao µ M µϕ = S cаa ' µ M µϕ . Кинетическая энергия будет увеличиваться на площадь Sсаa’ так как Ад > Ac. Выбираем новые оси координат и построим приращение кинетической энергии на этих участках. М d Mc = f(ϕ) Mд = f(ϕ) а a c b а' а' ϕ O о b' о c' Т Тр ∆Т = f(ϕ) а b c a ϕ O Рисунок 65 – Приведенные моменты и кинетическая энергия механизма Как определяется кинетическая энергия? 85 В общем случае Т = J npω 2 2 , откуда 2T J np ω= и она не может быть постоянной, так изменяются и кинетическая энергия и приведенный момент инерции механизма. Построим три графика (рисунок 66) приняв соответствующие масштабные коэффициенты: а) зависимость кинетической энергии от угла поворота кривошипа, b) зависимость приведенного момента инерции от угла поворота кривошипа и с) зависимость кинетической энергии от приведенного момента инерции. Определим угловую скорость для положения k. 2Tk , где Tk = kc ⋅ µT , J k = oc ⋅ µ J , откуда Jk ωk = Jnp 2 Jnp = f(ϕ) 4 6 8 10 ϕ T T = f(Jnp) T T = f(ϕ) 2 K Tk ψmax ψk 8 10 4 6 ψmin c Jk ϕ Jnp 2 4 6 8 10 Рисунок 66 – Построение диаграммы T = f(Jnp) ωk = 2Tk µ kc µ = 2 T ⋅ = 2 T tgψ k Jk µ J oc µJ угловая скорость будет изменяться. Максимальное значение соответствует ψмах, 86 ω max = 2 µT µJ tgψ max , а минимальное ω min = 2 µT µJ tgψ min . 4.9. Средняя скорость и коэффициент неравномерности Построим диаграмму угловой скорости звена приведения (рисунок 67). ωмin ω’мin ω’мах ωср ωмах ω ϕ Рисунок 67 – Средняя угловая скорость звена ω + ω min , но средняя скорость не учитывает ω ср = max 2 неравномерность работы машины (пример – пунктир). Вводится понятие коэффициента неравномерности – δ δ= ω max − ω min . ω ср Для разных машин он различен. Значения некоторых коэффициентов неравномерности приведено в таблице 1. Найдем числители обоих выражений и сложим их, а затем вычтем второй из первого и определим максимальную и минимальную угловые скорости. ω max + ω min = 2ω cp + ω max − ω min = δω cp ω max = ω cp (1 + δ 2 ), ω max + ω min = 2ω cp − ω max − ω min = δω cp ωmin = ω cp (1 − Найдем коэффициент неравномерности δ= δ 2 ). 2 2 ω max − ω min ω max + ω min ω max − ω min . ⋅ = 2 ω cp ω max + ω min 2ω cp Таблица 1 – Коэффициенты неравномерности 87 Вид машины Значения δ Насосы и дробилки Сельскохозяйственные машины Металлообрабатывающие станки Ткацкие, мукомольные машины Прессы Компрессоры Двигатели внутреннего сгорания Электрические генераторы, авиадвигатели 0,03…0,20 0,02…0,20 0,02…0,05 0,02…0,10 0,01…0,15 0,01…0,02 0,007…0,012 0,005 и менее 4.10. Определение коэффициента неравномерности по диаграмме T = f ( J np ) ωi = 2 δ= µ µ µT 2 2 = 2 T tgψ min . = 2 T tgψ max , ω min tgψ i , ω max µJ µJ µJ 2 2 ω max − ω min µ tgψ max − tgψ min . = T ⋅ 2 2 µJ 2ω cp ω cp Строим диаграмму T = f ( J np ) – рисунок 68. T’ T T = f(Jnp) ψmax ψ’mах 0’ ψmin Jnp ψ’min J’np Рисунок 68 – Диаграмма T = f ( J np ) Зная среднюю угловую скорость ωср, масштабные коэффициенты µТ и µJ определяем углы ψmax и ψmin. По построенной диаграмме определяем коэффициент неравномерности δ. Пусть задан δ’ = δдоп и он меньше полученного δ’ < δ. Известно 88 δ δ2 2 2 2 ωmax = ω cp (1 + )2 = ω cp (1 + δ + ). 2 Величиной 2 ωmax δ 2 4 пренебрегаем ввиду малости, тогда 4 2 2 2 = ω cp (1 + δ ) . Аналогично ω min = ω cp (1 − δ ) . Известно также 2µ 2 ω max = Т tgψ max , приравняем и отсюда найдем, что µJ 2µ 2µ 2 2 (1 + δ ) и tgψ min = T ω cp (1 − δ ) , tgψ max = T ω cp µJ µJ при δ’ < δ 2µ 2µ 2 2 tgψ 'max = T ω cp (1 + δ ' ) и tgψ 'min = T ω cp (1 − δ ' ) µJ µJ получается, что ψ 'max < ψ max , а ψ 'min > ψ min . Проводим касательные к диаграмме T = f ( J np ) под новыми углами и получаем новые оси координат T’ и J’np. Для обеспечения меньшего коэффициента неравномерности δ необходимо увеличить приведенный момент инерции либо за счет увеличения масс звеньев (путь не всегда рационален), либо за счет постановки дополнительной массы, называемой маховиком. 4.11. Задача постановки маховика При больших коэффициентах неравномерности 1) возникают дополнительные силы инерции, 2) возникают дополнительные динамические нагрузки, 3) увеличиваются реакции в кинематических парах, увеличиваются силы трения и износ, уменьшается КПД и долговечность механизма, 4) возникают упругие колебания звеньев, на создание которых требуется определенная работа, 5) так как процессы циклические, то упругие колебания могут вызвать резонанс, 6) ухудшается технологический процесс. 89 Задачей постановки маховика является накопление кинетической энергии при увеличении угловой скорости ведущего звена, когда Ад > Ас и отдача ее механизму при уменьшении угловой скорости ведущего звена, когда Ад < Ас . 4.12. Определение момента инерции маховика методом Виттенбауэра ∆Т – приращение кинетической энергии за счет разности работ движущих сил и сил сопротивления за период установившегося движения (рисунок 69,а) Ti = T p + ∆Ti , J ni = J m + Tci , Тр – кинетическая энергия разгона, Jm – момент инерции маховика, Jсi – собственный приведенный момент инерции звеньев механизма. а) b) Т O Jm Тp ∆Тi Jci J ϕ O ϕ Рисунок 69 – Диаграммы движения а) кинетическая энергия, b) приведенный момент инерции Здесь Jm – не известен, Тр – не известна, но Jс = f(ϕ) можно построить, построив планы скоростей во всех положениях механизма и определив кинетическую энергию всех звеньев механизма для каждого из 12 положений. Можно построить также диаграмму ∆T = f(ϕ), построив диаграмму моментов сил сопротивления и движущих сил. Разность этих работ и даст значения ∆T для каждого положения ∆T (рисунок 70). 90 М Т Мс O Ад Ас ϕ ϕ O ∆Т ∆Т = f(ϕ) ϕ Рисунок 70 – Определение приращения кинетической энергии Из графика моментов графическим интегрированием получаем Ас = f(ϕ). Если Мд = const, то зависимость Ад = Мдϕ – изображается прямой линией. Соединяем начало и конец кривой Ас = f(ϕ) прямой линией и получаем диаграмму Ад = f(ϕ). Простым вычитанием значений Ад и Ас строим диаграмму ∆Т = f(ϕ). Строим также диаграмму приведенного момента инерции звеньев механизма Jс = f(ϕ). Методом избавления от угла поворота ϕ строим диаграмму Т = f(J). Эта диаграмма носит название диаграммы Ф. Виттенбауэра (рисунок 71). 91 Диаграмма энергомасс T Диаграмма приращения кинетической энергии механизма µТ = 2 [ ∆T 1 Дж рад ] , µϕ = 0,04 [ ] мм мм 2 Jc 0' 3 0 1 11 5 4 3 5 6 7 8 ϕ 9 10 11 10 9 6 7 4 2 8 Диаграмма приведенного момента инерции механизма Jc µJ = 0,01 [ Нмс 2 ] мм 45° ϕ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 Рисунок 71 – Построение диаграммы Виттенбауэра Определим момент инерции маховика по диаграмме Виттенбауэра. Задано: ωср = ω1, коэффициент неравномерности δ и построена диаграмма Т = f(J) (рисунок 72). Требуется определить момент инерции маховика. Определяем углы наклона касательной к диаграмме µ µ 2 2 tgψ max = J ω cp (1 + δ ) , tgψ min = J ω cp (1 − δ ) . 2 µT 2 µT Проводим касательные к диаграмме под углами ψmах и ψmin. Точка пересечения касательных даст начало системы координат TOJ. 92 ∆T T 1 Jm F 2 Jc 0' 5 6 ψmax H 11 3 4 10 9 8 ψmin 7 J O C Рисунок 72 – Определение момента инерции маховика Известно δ = µT tgψ max − tgψ min ⋅ . 2 µJ ω cp Подставим в это выражение tgψ max − tgψ min = tgψ max = получим FC OC δ = и tgψ max = FH ⋅ µT 2 J mω cp FH , так как OC FC , а также выразим J m = OC ⋅ µ J , OC , отсюда J m = FH ⋅ µT 2 δ ⋅ ω cp . 4.13. Определение угловой скорости ведущего звена после постановки маховика где Согласно уравнению движения Ад − Ас = ∆Т = Т − Т 0 , Т0 – значение кинетической энергии в нулевом положении; ∆Т (max) = T(max) − T0 – приращение кинетической энергии в том положении, где угловая скорость максимальна; 93 ∆Т i = Ti − T0 – в любом положении. Вычтем из первого выражения второе ∆Т (max) − ∆Ti = T(max) − Ti . T(max) = 2 J n(max)ω max = 2 [ J m + J c (max) ]ω max 2 2 [ J + J ci ]ω i2 J ω Ti = ni i = m , 2 2 ∆Т (max) − ∆Ti = [J m + ωi = 2 2 [ J m + J c (max) ]ω max 2 2 J c (max) ]ω max − , [ J m + J ci ]ω i2 , откуда 2 − 2( ∆Т (max) − ∆T ) J m + J ci , здесь Jm – момент инерции маховика; Jc(max) – приведенный момент инерции звеньев механизма в положении, где угловая скорость звена максимальна; Jci – приведенный момент инерции в произвольном (определяемом) положении; ∆T(max) – приращение кинетической энергии звеньев механизма в положении, где угловая скорость максимальна; ∆Ti – приращение кинетической энергии в произвольном (определяемом) положении. Получив значения угловой скорости во всех положениях механизма можно построить диаграмму ω = f(ϕ) (рисунок 73). δ δ ω max = ω cp (1 + ) , ωmin = ω cp (1 − ) . 2 2 µω = yi = 94 ωmax − ωmin ∆ymax ω i − ω cp µω . , ω ωmax b' α ϕ c' a dω ωcp a' α’ c b ωmin dϕ Рисунок 73 – Диаграмма угловой скорости звена приведения 4.14. Определение углового ускорения ведущего звена Зависимость угловой скорости ведущего звена построена в функции угла поворота. Умножим числитель и знаменатель на dϕ, отношение dϕ/dt есть угловая скорость – ω. dω d ω d ϕ dω ε= = ⋅ =ω . dt dt dϕ dϕ В произвольной точке с проводим касательную к кривой ω = f(ϕ), находим бесконечно малые отрезки dϕ и dω. ε =ω µ µω ab µ = ω ω tgα , в общем виде ε = ±ω ω tgα . µϕ µϕ µϕ ac Если угол α – тупой как, например, в точке с’, то tgα = tg (1800 − α ' ) = − tgα ' = ± a' b' a ' c' и угловое ускорение отрицательное, угловая скорость уменьшается. 5. ЗУБЧАТЫЕ МЕХАНИЗМЫ 95 5.7. Классификация зубчатых передач Зубчатая передача – это механизм, который помощью зубчатого зацепления передает или преобразует движение с изменением угловых скоростей и моментов. При уменьшении угловой скорости механизм, состоящий из пары зубчатых колес, называют редуктором, причем меньшее колесо принято называть шестерней, а большее – колесом. Термин зубчатое колесо относится как к шестерне, так и к колесу. Параметрам шестерни приписывают индекс 1, а параметрам колеса – 2. При увеличении скорости, механизм называют мультипликатором. Зубчатые передачи – самый распространенный вид механических передач, так как они могут надежно передавать мощности от долей до десятков тысяч кВт при окружных скоростях до 150 м/с. Зубчатые передачи применяются во всех отраслях машино- и приборостроения. Достоинства и недостатки зубчатых передач Достоинства: • Высокая надежность работы в широком диапазоне нагрузок и скорости; • Малые габариты; • Большая долговечность; • Высокий коэффициент полезного действия; • Сравнительно малые нагрузки на валы и подшипники; • Постоянство передаточного числа; • Простота в изготовлении и эксплуатации. Недостатки: • Высокие требования к точности изготовления и монтажа; • Шум при больших скоростях. Существуют несколько параметров классификации зубчатых передач и зубчатых колес: • По расположению геометрических осей зубчатых колес – если оси колес являются параллельными, то передачи и колеса называются цилиндрическими (рисунок 74,a,b,c,d); если оси колес пересекаются – коническими (рисунок 74,e,f,g); а если 96 скрещиваются – винтовыми (рисунок 74,h,j). Частным случаем цилиндрической передачи является реечная (рисунок 74,k), диаметр одного из колес которой приближается к бесконечности. Рисунок 74 – Виды зубчатых передач • По расположению образующей зуба относительно оси колеса они делятся на: прямозубые – зуб расположен наклонно к оси вала (рисунок 74,а,b,e,k); косозубые – зуб расположен параллельно оси вала (рисунок 74,с,g); шевронные – два косозубых колеса насажены на одной ступице (рисунок 74,d) и для конических колес с круговым или спиральным зубом (рисунок 74,f). • По профилю зуба. Профиль – это его поперечное сечение, то, что очерчивает зуб. В зависимости от кривой, его очерчивающей различают: эвольвентные (самое широкое распространение; круго-винтовые (зацепление М.Л. Новикова – 1959 г. для очень больших мощностей); циклоидальные и гипоциклоидальные. • По числу зацеплений передачи делятся на одно-, двух-, трех-, и многоступенчатые. • По относительному расположению зубьев на ободе колеса или по способу зацепления применяют передачи с внешним и с внутренним зацеплением (последние часто используются в планетарных и дифференциальных механизмах). 97 5.8. Основы теории зацепления 5.2.1. Основной закон зацепления Основное условие зацепления – постоянство соприкосновения профилей зубьев. Это можно выполнить. Возьмем два зубчатых колеса, ведущее – шестерня и ведомое – колесо в зацеплении с неподвижными центрами вращения О1О2. Выбросим все зубья кроме двух (по одному на каждое колесо). Переходим к профильным рычагам (рисунок 75). n ω1 τ VKτ 1 A τ K VKn1 = VKn2 VK 2 О1 ω2 О2 p VK1 C τ VK2 B n Рисунок 75 – Профильные рычаги K – точка контакта. Проводим общую касательную τ-τ к профилям зубьев в точке их контакта и общую нормаль n-n. Точку пересечения нормали с линией центров обозначим р. Определяем скорости точки контакта. Проводим радиусы О1К и О2К и векторы скоростей VK1 и VK2, величины их выбираем так, чтобы проекции скоростей на нормаль n-n совпадали. VK 1 = ω1 ⋅ O1 K , VK 2 = ω 2 ⋅ O2 K . Раскладываем скорость точки К на составляющие – на направления касательной и нормали. 98 Предположим, что VKn1 < VKn 2 , тогда зуб колеса будет удаляться от зуба шестерни – будет разрыв – нарушается основное условие зацепления. Пусть VKn1 > VKn 2 , тогда зуб шестерни будет врезаться в зуб колеса – это недопустимо. Следовательно, VKn1 = VKn 2 . Касательные составляющие не одинаковы. Разница их приводит к скольжению зубьев в точке их контакта. Эта разница и будет скоростью скольжения Vск = VKτ 2 − VKτ 1 , но может быть и VKτ 1 > VKτ 2 . Через точку контакта К проводим вспомогательную прямую, перпендикулярную линии центров до проекции скоростей на нормаль, получаем точку С. ∆O1 KP подобен ∆KVK 1C , так как все стороны взаимно перпендикулярны. Составим отношение сторон O1 K VK 1 V OP , откуда KC = K 1 1 . = O1 P KC O1 K ∆O2 KP подобен ∆KVK 2C , так как все стороны взаимно перпендикулярны. Составим отношение сторон O2 K V K 2 V O P = , откуда KC = K 2 2 . O2 P KC O2 K Приравняем КС и подставим вместо скоростей ω1 ⋅ O1 K ⋅ O1 P ω 2 ⋅ O2 K ⋅ O2 P ; = ω1 ⋅ O1 P = ω 2 ⋅ O2 P O1 K O2 K или ω 1 O2 P , здесь Р – полюс зацепления. = ω 2 O1 P Сделаем еще одно построение. Из центров вращения колес опускаем на нормаль перпендикуляры О1К и О2К. Эти отрезки являются радиусами для нормальных составляющих скоростей VKn1 = VKn 2 , VKn1 = ω1 ⋅ O1 A , VKn 2 = ω 2 ⋅ O2 B приравняем их и отсюда ω O P O B u= 1 = 2 = 2 . ω 2 O1 P O1 A Передаточное отношение должно быть постоянным. 99 Основной закон зацепления. При постоянном передаточном отношении общая нормаль к двум профилям зубьев в точке их соприкосновения делит линию центров в постоянной точке Р (полюсе зацепления) на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям. • С точки зрения максимального КПД необходимо, чтобы сопряженные колеса имели меньшую скорость скольжения; • С точки зрения прочности необходимо, чтобы радиусы кривизны были максимально большими; • С точки зрения технологичности изготовления и контроля необходимо иметь режущий инструмент прямолинейного профиля. Наиболее полно всем требованиям удовлетворяют зубья эвольвентного профиля. Такие зубья позволяют производить улучшение (коррекцию) зацепления. Они больше всего используются в силовых передачах, так как не являются слишком чувствительными к изменению межосевого расстояния. 5.2.2. Эвольвента и ее свойства Если катить какую-либо прямую по окружности без скольжения, то любая точка этой прямой опишет кривую линию, называемую эвольвентой. Чертим окружность, делим ее на несколько равных частей, например, на 8 (рисунок 76), и к каждой из точек проводим радиусы и касательные. Окружность, около которой построена эвольвента, называется основной – db. Выпрямляем дугу основной окружности между двумя соседними точками и из каждой точки на касательной к окружности отложим отрезки, соответственно номеру точки, получаем точки 1’, 2’ … 7’. Эти точки соединяем плавной кривой, получаем эвольвенту. Можно начать построение и с точки 1, получим другую эвольвенту с меньшим радиусом. Основным параметром эвольвенты является диаметр (радиус) ее основной окружности. При db = max, эвольвента будет прямой R = ∞. 100 5’ 4’ 4 5 3 6 2 db 1 7 3’ 1’ 2’ Рисунок 76 – Эвольвента окружности Свойства 1. Нормаль к эвольвенте в любой ее точке является касательной к основной окружности. 2. Радиусом кривизны эвольвенты в любой ее точке является отрезок нормали между этой точкой (в которой определяется ее кривизна) и основанием перпендикуляра, опущенного из центра основной окружности на нормаль (точкой касания). 3. Две эвольвенты одной и той же основной окружности эквидистантны (равноотстоящие) и расстояние между ними равно спрямленной дуге основной (эвольвентной) окружности между началами эвольвент. 5.2.3. Уравнение эвольвенты в полярных координатах По третьему свойству эвольвенты (рисунок 77) ∪ В0 А = АВ . B rb (θ + α ) = rb tgα , ρ r θ B0 α A rb отсюда уравнение эвольвенты в полярных координатах θ = tgα − α = invα  r  r= b  cos α Рисунок 77 – Уравнение эвольвенты 101 5.2.4. Эвольвентное зацепление и его свойства. Основные определения Используем основной закон зацепления. Линию центров делим на части, обратно пропорциональные угловым скоростям ω 1 О2 р . = ω 2 О1 р Проведем через точку р окружности. Скорости точки р равны для каждой окружности. Окружности перекатываются друг по другу без скольжения. Эти окружности называются начальными. Обозначаются dω 1 и dω 2 . Через точку р проводим касательные к начальным окружностям и под углом 200 – нормаль N-N. Из центров вращения колес опускаем на нормаль перпендикуляры, получаем точки А и В. Угол между общей касательной и общей нормалью к профилям зубьев называется углом зацепления α = 200. Проводим окружности радиусами О1А и О2В. Эти окружности называются эвольвентными или основными ( d b1 и d b 2 ). Прямая, касательная к основным окружностям и есть нормаль к профилям зубьев N-N. Если перекатывать нормаль N-N по эвольвентной окружности шестерни, получим эвольвенту зуба шестерни, по эвольвентной окружности колеса – эвольвенту зуба колеса. Для того, чтобы вычертить зубья, необходимо знать диаметры выступов и впадин зубьев (рисунок 78). Берем отрезок произвольной длины и отложим его от полюса по направлению к осям колес. Радиусами О1А плюс этот отрезок и О2В плюс этот отрезок проводим дуги окружностей. Это будут диаметры выступов (головок) зубьев шестерни и колеса, обозначаемые d а 1 и d а 2 . Делим принятый ранее отрезок на 4 части и ¼ часть его добавим к окружностям выступов. Затем радиусами О1О2 – (ra1 + ¼ отрезка) и О1О2 – (ra2 + ¼ отрезка) проводим дуги окружностей. Это будут диаметры впадин зубьев шестерни и колеса, обозначаемые d f 1 и d f 2 . 102 О1 rw1 rf1 rb1 rа1 N a τ A αW P τ b N B rb2 rf2 ra2 rW2 О2 Рисунок 78 – Эвольвентное зацепление Головка Ножка Окружность, которая делит зуб на головку и ножку, называется делительной, она обозначается без буквенного индекса d 1 и d 2 . В стандартном зацеплении 103 делительные и начальные окружности совпадают. Теперь строим эвольвенты и ограничиваем их окружностями выступов и впадин. Свойства 1. Общая нормаль к профилям зубьев в точке их касания всегда проходит через полюс зацепления Р. Угол образованный общей нормалью N-N к профилям зубьев и общей касательной к начальным окружностям называется углом зацепления. Геометрическое место точек касания профилей зубьев на неподвижной плоскости называется линией зацепления. В эвольвентном зацеплении линией зацепления называется нормаль N-N касательная к основным окружностям. АВ – теоретический участок линии зацепления. 2. При изменении межосевого расстояния передаточное отношение зацепления не изменяется. Начертим зацепление двух колес. Проведем дуги начальных окружностей rω 1 и rω 2 , общую касательную к начальным окружностям и под углом зацепления к ней проведем линию зацепления (рисунок 79). Из центров вращения колес опустим на линию зацепления перпендикуляры О1А и О2В, этими радиусами опишем дуги основных окружностей rb1 и rb 2 . О1 r’w1 rb1 rb1 αw A αw О1 rw1 α’w A B Р α’w aw Р rw2 О2 rb2 a’w αw rb2 B α’w r’w2 О2 Рисунок 79 – Свойства эвольвентного зацепления 104 Теперь раздвинем эти колеса. Изменится (увеличится) межосевое расстояние. Радиусы основных окружностей колес не изменятся. Изменятся (увеличатся) радиусы начальных окружностей и увеличится угол зацепления. Определим передаточное отношение для нормального зацепления r r r ω и rw 2 = b 2 , то u12 = 1 = w 2 , но так как rw1 = b1 cos α w cos α w ω 2 rw1 u12 = rb 2 . rb1 Определим теперь передаточное отношение для раздвинутого зацепления r, ω r r , u12 = 1 = w, 2 , но так как rw, 1 = b1 , и rw, 2 = b 2 , , то ω 2 rw1 cos α w cos α w , u12 = rb 2 . Таким образом rb1 , u12 = u12 . 3. При изменении межосевого расстояния при неизменных радиусах основных окружностей произведение межосевого расстояния на косинус соответствующего угла зацепления есть величина постоянная. аw = d w 1 + d w 2 d b1 + d b 2 d, + d, d +d , а w, = w1 w 2 = b1 b, 2 . = 2 2 cos α w 2 2 cos α w Определим числители из каждого уравнения d b1 + d b 2 = а w 2 cos α w , d b1 + d b 2 = а w, 2 cos α w, или а w cos α w = а w, cos α w, , что и требовалось доказать. 5.9. Геометрические размеры зацепления Рассматриваем стандартные прямозубые цилиндрические колеса. Окружной шаг р – это расстояние между одноименными точками соседних профилей зубьев, измеренное по дуге окружности. р – шаг по делительной окружности; 105 рw – шаг по начальной окружности; рa – шаг по окружности выступов; рf – шаг по окружности впадин. Длина делительной окружности π ⋅d = p⋅ z , где z – число зубьев колеса. Отсюда d = p z , здесь p – дробное число, обозначим m, π π тогда d = m ⋅ z , где m – целое число, это модуль зацепления. По ГОСТ 9563-60 m = (0,05…100) мм. Модуль – это величина, которая определяет все размеры зацепления. Для пары сопряженных колес эта величина одинакова р = π·m. Гостируется только модуль по делительной окружности d = m ⋅ z . Делительной называется окружность, диаметр которой равен произведению числа зубьев на заданную стандартную величину модуля. d b = d cos α – диаметр основной окружности; d a = d + 2ha – диаметр окружности выступов зубьев. Делительная окружность делит зуб на головку и ножку (рисунок 80). Высота головки зуба ha = ha* m , здесь ha* = 1,0 – коэффициент высоты головки зуба. d a = m ⋅ z + 2ha*m = m ( z + 2ha* ) . Диаметр окружностей ножек d а = d − 2hа , h f = m( ha* + c * ) , hf ha Здесь с* = 0,25 – коэффициент радиального зазора. d f = m ( z − 2ha* − 2c* ) . Рисунок 80 – Зуб колеса 106 5.10. Методы нарезания зубчатых колес Метод копирования. Режущий инструмент при этом методе изготавливается по форме впадин между двумя зубьями (рисунок 81). Рисунок 81 – Метод копирования а) дисковой фрезой, b) пальцевой фрезой Недостатки: 1) Малая производительность; 2) Невысокая точность зубьев нарезаемого колеса; 3) Для нарезания зубчатых колес одного и того же модуля, но с различным числом зубьев, требуются отдельные фрезы. Достоинство: Можно изготовить колеса на любом фрезерном станке, т.е. применяются для ремонта механизмов. Метод обкатки. При этом методе режущему инструменту и заготовке придаются такие же движения, как если бы они находились в зацеплении (рисунок 82). Рисунок 82 – Метод обкатки: а) червячной фрезой, b) долбяком, с) инструментальной рейкой Достоинства: 1) Высокая производительность; 2) Невысокая стоимость режущего инструмента; 3) Одним режущим инструментом можно нарезать любое число зубьев одного модуля; 4) Высокая точность профиля зубьев 107 нарезаемого колеса; 5) Долбяком можно нарезать зубчатые колеса с внутренними зубьями. Недостаток: Для нарезания колес требуются специальные зубофрезерные или зубодолбежные станки. При нарезании стандартных колес инструментальной рейкой средняя прямая рейки перекатывается без скольжения по начальной окружности нарезаемого колеса, которая делится шагом рейки на целое число шагов, поэтому начальная окружность станочного зацепления называется делительной. 5.5. Исходный производящий реечный контур. Системы зацепления Проводим тонкую горизонтальную линию, она называется средней прямой рейки (рисунок 83). Берем отрезок произвольной длины (h) и откладываем вверх и вниз от средней прямой и проводим две тонкие линии, которые носят название граничных прямых. Взятый отрезок делим на 4 части и ¼ часть откладываем вверх от верхней граничной прямой и проводим тонкую прямую линию, которая носит название прямой впадин (ножек); а от нижней граничной прямой – вниз и проводим тонкую линию, которая называется прямой выступов (головок). π⋅m/2 α Прямая ножек Граничная прямая x⋅ m ha*⋅m c*⋅m p = π⋅m π⋅m/2 ha*⋅m Средняя прямая ρ ∆l/2 ∆l/2 Делительная прямая c*⋅m Граничная прямая Прямая головок Рисунок 83 – Инструментальная рейка 108 На средней прямой выбираем произвольную точку, от которой откладываем расстояние, равное π·h, делим его пополам и еще половину откладываем вправо от π·h. Получаем на этой прямой четыре точки, через которые проводим прямые, наклоненные под углом 200 к вертикали, причем, к нечетным точкам влево, а к четным – вправо. Эти прямые обводим основными линиями от граничной до граничной прямой. Эти прямые замыкаем дугами окружности радиусами ρf = 0,38m. Получено два зуба инструментальной рейки. р – шаг рейки, s = p / 2 = π ⋅ m / 2 – для средней линии; α = 200 – профильный угол рейки; ρf – радиус закругления зубьев рейки, ρf = 0,38т. Если средняя прямая рейки перекатывается без скольжения по делительной окружности нарезаемого колеса, то это стандартное зацепление. Если по делительной окружности нарезаемого колеса перекатывается любая прямая рейки, параллельная средней, то нарезается нестандартное колесо. Если смещение рейки производится от оси нарезаемого колеса, то сдвиг рейки называется положительным и нарезаемое колесо – также положительным. Если смещение рейки производится к оси нарезаемого колеса, то сдвиг рейки называется отрицательным и нарезаемое колесо – также отрицательным. х∙m – смещение рейки, х – коэффициент смещения. хΣ = х1 + х2 > 0 – передача положительная; хΣ = х1 + х2 < 0 – передача отрицательная; хΣ = х1 + х 2 = 0 – передача нулевая: 1) x1 = − x2 – равносмещенная; 2) x1 = x2 = 0 – стандартная. 5.11. Определение толщины зуба а) По делительной окружности S – толщина зуба инструментальной рейки по делительной прямой. 109 е – ширина впадины этой рейки по делительной прямой. Толщина зуба S нарезаемого колеса по делительной окружности будет равна (рисунок 83) ∆l π ⋅ m π ⋅m +2 = + 2 x ⋅ m ⋅ tgα или S= 2 S = m( π 2 2 2 + 2 x ⋅ tgα ) . b) По любой окружности (рисунок 84) ∠AOB = θ = tgα − α = invα , ∠AOC = θ i = tgα i − α i = invα i , γ = β − ( invα i − invα ) , β= S⋅2 S = , 2⋅d d γ = Si ⋅ 2 Si = . 2 ⋅ di di d S  S i = d i  − ( invα i − invα ) , cos α i = b → α i → invα i . di d   Sa Si С γ S β В di da d А db O Рисунок 84 – Определение толщины зуба Аналогично d S  Sа = d а  − ( invα а − invα ) , cos α а = b → α а → invα а . dа d  110 5.7. Геометрический расчет зацепления Шаг по начальной и делительной окружностям и радиус основной окружности π ⋅ d w = pw z , π ⋅ d = p ⋅ z , rb = r cos α , rb = rw cos α w . Радиус начальной окружности r p cos α m ⋅ z cos α = ⋅ rw = r , w = w , cos α w 2 cos α w r p pw = p a= передачи, cos α rw cos α = p , mw = m , cos α w r cos α w m ( z1 + z2 ) 2 – межосевое расстояние стандартной m w ⋅ ( z1 + z 2 ) m ⋅ ( z1 + z 2 ) cos α = ⋅ – 2 2 cos α w межосевое расстояние нестандартной передачи. cos α m m a w − a = y ⋅ m = ( z1 + z 2 ) − ( z1 + z 2 ) = 2 cos α w 2 a w = rw1 + rw 2 =   cos α m ( z1 + z2 ) − 1 , 2   cos α w y·m – воспринимаемое смещение, у – коэффициент воспринимаемого смещения хΣ = у + ∆у , ∆у ⋅ m – уравнительное смещение (обратный сдвиг), = где ∆у – коэффициент уравнительного смещения (обратного сдвига), ∆у ≥ 0 всегда. Толщина зуба шестерни по начальной окружности S  S w1 = d w1  1 − ( invα w − invα ) =  d1  = m ⋅ z1  cos α  m (π / 2 + 2 x1tgα ) − ( invα w − invα ) =  m ⋅ z1 cos α w   111 =m cos α  π  + 2 x1tgα − z1 ( invα w − invα ) . cos α w  2  Толщина зуба колеса по начальной окружности cos α  π  Sw2 = m + 2 x2tgα − z2 ( invα w − invα ) . cos α w  2  Ширина впадины между зубьями колеса по начальной окружности ew 2 = pw − sw 2 , cos α  π cos α  + 2 x2 tgα − z2 ( invα w − invα ) = −m  cos α w  2 cos α w  cos α  π  =m − 2 x2 tgα + z2 ( invα w − invα );  cos α w  2  Толщина зуба шестерни по начальной окружности равна ширине впадины колеса по этой же окружности sw 1 = ew 2 , ew 2 = π ⋅ m S w1 = m cos α  π  + 2 x1tgα − z1 ( invα w − invα ) =  cos α w  2  cos α  π  − 2 x2 tgα − z2 ( invα w − invα ) ,  cos α w  2  откуда после группировки 2( x1 + x2 )tgα = ( z1 + z2 )( invα w − invα ) получаем =m invα w = 2( x1 + x2 )tgα + invα и по таблице инволют z1 + z2 определяем угол зацепления α w . 5.8. Определение геометрических размеров зубчатых колес, нарезанных со смещением исходного контура Вычерчиваем станочное зацепление. Оставляем один зуб рейки и определяем высоту ножки зуба колеса с положительным смещением инструментальной рейки (рисунок 85). 112 x⋅ m Средняя прямая ha*⋅m Делительная прямая Граничная прямая c*⋅m Прямая ножек r hf rf Рисунок 85 – Определение высоты ножки зуба Здесь r (d ) – радиус (диаметр) делительной окружности; rf (df) – радиус (диаметр) окружности впадин; h – высота зуба; hf – высота ножки зуба. h f = ha* ⋅ m + c * ⋅ m − x ⋅ m = m ( ha* + c * − x ) . Начертим два колеса в зацеплении, оба изготовлены при положительном смещении инструмента. Оставим по одному зубу и определим высоту ножек зубьев (рисунок 86). Высота ножек шестерни и колеса h f 1 = m ( ha* + c * − x1 ) , h f 2 = m ( ha* + c * − x2 ) ; Высота зуба шестерни равна высоте зуба колеса h1 = h2 = h f 1 + y ⋅ m + h f 2 − c * m , здесь y ⋅ m – расстояние между делительными окружностями. Определяем высоту головок зубьев шестерни и колеса ha 1 = h1 − h f 1 = y ⋅ m + h f 2 − c * m = m ( ha* + y − x2 ) , * аналогично ha 2 = h2 − h f 2 = m ( ha + y − x1 ) . 113 h1 ra1 ra2 ha1 ha2 hf1 hf2 r1 rf1 h2 r2 rf2 c *m c *m О1 О2 ym Рисунок 86 – Определение высоты зубьев Радиусы окружностей выступов колес m ⋅ z1 z + m ( ha* + y − x2 ) = m ( 1 + ha* + y − x2 ) , ra1 = r1 + ha1 = 2 2 z2 ra 2 = r2 + ha 2 = m ( + ha* + y − x1 ) . 2 Радиусы окружностей впадин z m ⋅ z1 r f 1 = r1 − h f 1 = − m ( ha* + c* − x1 ) = m ( 1 − ha* − c* + x1 ) , 2 2 z r f 2 = r2 − h f 2 = m ( 2 − ha* − c * + x 2 ) . 2 5.9. Дуга зацепления. Коэффициент перекрытия N-N – линия зацепления, АВ – теоретический участок, аb – активный участок линии зацепления (рисунок 87). Путь, пройденный точкой за время зацепления, измеренный по дуге начальной окружности, называется дугой зацепления ∪ а1b1 = ∪a2b2 . 114 Так как центральные углы, стягивающие дуги mn и a1b1, равны (угловой шаг одинаков), то отношение дуг равно отношению их радиусов N а1 А b1 m a rb1 αw О1 ω2 О2 р ω1 αw rw1 n а2 b2 b В N Рисунок 87 – Дуга зацепления rb1 ∪а1b1 rw1 1 = = = , откуда ∪ mn rb1 rb1 cos α w cos α w ∪ a1b1 = ∪ mn . cos α w По третьему свойству эвольвенты ∪ тп = ab , откуда ∪ a1b1 = аb . cos α w Отношение дуги зацепления к шагу по начальной окружности, называется коэффициентом перекрытия – ε. ∪ a1b1 ab cos α w ab , = = pw cos α w π ⋅ m cos α π ⋅ m cos α ab ε= . π ⋅ m cos α ε= 115 При графическом определении коэффициент перекрытия должен быть больше или равен ε ≥ 1,1 . 5.9.1. Аналитическое определение коэффициента перекрытия Определим рабочий участок линии зацепления (рисунок 87). ab = ap + pb = (aB − pB ) + ( Ab − Ap ) , аВ = (О2a )2 − (О2 В )2 = ra22 − rb22 , pB = pO2 sin α w = rw 2 sin α w , Ab = (О1b)2 − (О1 A)2 = ra21 − rb21 , Ap = pO1 sin α w = rw 1 sin α w . Подставим значения отрезков в формулу коэффициента перекрытия и получим, что r 2 − r 2 + ra21 − rb21 − ( rw 2 + rw 1 ) sin α w . ε = a 2 b2 π ⋅ m cos α 5.10. Подрезание зубьев эвольвентного профиля Для увеличения коэффициента перекрытия ε необходимо увеличить необходимо активный участок линии зацепления ab, который определяется пересечением линии зацепления NN окружностями выступов колес. Увеличиваем диаметр da1 до тех пор, пока точка b не выйдет за пределы теоретического участка, за точку В (рисунок 88). Если колесо z1 является долбяком, а колесо z1 – нарезаемым, и окружность головок зубьев пересекает линию зацепления за пределами теоретического участка АВ, например, в точке B’, то в этом случае эвольвенты зубьев не касаются, а пересекаются. Нормаль к эвольвенте не проходит через полюс зацепления р, т.е. нарушается основной закон зацепления и зубчатое колесо окажется подрезанным. 116 N N’ B1 В b О1 p О2 a А N’ N Рисунок 88 – Подрезание зубьев Если звено z1 является обычным колесом, то произойдет заклинивание передачи вследствие того, что нормаль N’-N’ не проходит через полюс зацепления, т.е. нарушается основной закон зацепления. 5.11. Определение минимального числа зубьев а) При нарезании долбяком Рассматриваем стандартные прямозубые колеса. Пусть z1 > z2 , z1 – долбяк. Предельное положение колес при отсутствии подрезания будет тогда, когда точка b не выходит за пределы точки В, т.е. активный участок линии зацепления находится в пределах теоретического. Максимальный радиус окружности выступов долбяка по теореме косинусов O1 B 2 = O1O22 + O2 B 2 − 2O1O2 ⋅ O2 B cos α . Определим отрезки z m O1 B = ra 1 = r1 + ha = m 1 + m ⋅ ha* = ( z1 + 2ha* ) , 2 2 m О1О2 = а = r1 + r2 = ( z1 + z2 ) , 2 117 m z2 cos α , тогда 2 O2 B = rb 2 = r2 cos α = 2 2 2 m m m 2 * 2 2 2   ( z1 + 2ha ) =   ( z1 + z2 ) +   z2 cos α − 2 2 2 2 m − 2  ( z1 + z2 ) z2 cos 2 α , 2 2 z1 + 4 z1ha* + ( ha* )2 = z12 + 2 z1 z2 + z22 + z22 cos 2 α − − 2 z1 z2 cos 2 α − 2 z22 cos 2 α , группируем 2 z1 z2 (1 − cos 2 α ) = 2 z1 z2 sin 2 α и z22 + z22 cos 2 α − 2 z22 cos 2 α = z22 sin 2 α , откуда получаем 4 z1ha* + 4( ha* )2 = z22 sin 2 α + 2 z1 z2 sin 2 α и определяем число зубьев долбяка z 2 sin 2 α − 4( ha* )2 . z1 = 2 * 4( ha ) − 2 z2 sin 2 α 2 При α = 200, ha* = 1,0 z1 = z2 − 34 . 34 − 2 z2 Чтобы нарезать колеса с числом зубьев z2, необходимо иметь долбяк с числом зубьев z1 13 14 15 16 17 z2 < 17 < 27 < 48 < 112 любое z1 а) При нарезании инструментальной рейкой Число зубьев инструментальной рейки z1 = ∞, чтобы это выполнить, нужно, чтобы в формуле z22 sin 2 α − 4( ha* )2 знаменатель дроби был равен нулю: z1 = 4( ha* ) − 2 z2 sin 2 α 2ha* , а при α = 200 и 4( h ) − 2 z2 sin α = 0 , откуда z2 = 2 sin α * ha = 1,0 получаем, что z2 = z2 min = 17 . * a 118 2 5.12. Определение минимального коэффициента смещения Пусть требуется с помощью инструментальной рейки изготовить колесо с числом зубьев меньше 17, при этом без подрезания ножек зубьев. Известно, что эвольвентная часть профиля зуба нарезается частью прямой зуба рейки между граничными прямыми (рисунок 89). Следовательно, при нарезании колеса с минимальным числом зубьев без подрезания ( z2 = z2 min = 17 ) основная окружность нарезаемого колеса будет пересекать граничную прямую в точке В2. В точке В1 будет касание основной окружности нарезаемого колеса с числом зубьев больше 17. Так как число зубьев меньше z < z2 min , то и радиус основной окружности меньше, поэтому она коснется линии зацепления в какой-то точке В3. Следовательно, смещение рейки должно быть положительным и равным х·т. N В1 N В3 C3 C2 Граничная прямая ha*⋅m В2 x⋅ m P О3 О2 О1 Рисунок 89 – Определение коэффициента смещения 119 Из подобия треугольников РВ2С2, РВ3С3, О2В2С2 и О3В3С3 составим соотношение РС 2 В2О2 , РС 2 = ha* m , РС 3 = ha* m − х ⋅ т , = РС 3 В3О3 m⋅z m ⋅ z2 min cos α , В3О3 = rb = cos α , В2О2 = rb (min) = 2 2 ha* m m ⋅ z2 min cos α ⋅ 2 m ⋅ z2 min , = = * 2m ⋅ z cos α m ( ha − x ) m⋅z ha* z = z2 min ( ha* − x ) , z2 min x = ha* z2 min − ha* z . Отсюда определим коэффициент смещения х x = xmin = ha* 17 − z z2 min − z , при ha* = 1 , xmin = ha* . 17 z2 min 5.13. Скорость скольжения В параграфе 5.2.1. (Основной закон зацепления) была определена скорость скольжения Vск = VKτ 2 − VKτ 1 . Определим тангенциальные составляющие (рисунок 90) N ω1 τ ϕ1 О1 A VKτ 1 VK 2 τ K ϕ1 О2 p ϕ2 ϕ2 VK1 C τ VK2 B N Рисунок 90 – Скорость скольжения 120 ω2 VKn1 = VKn2 AK = ω1 ⋅ AK , O1 K BK = ω 2 ⋅ BK . = VK 2 sin ϕ 2 = ω 2 ⋅ O2 K O2 K VKτ 1 = VK 1 sin ϕ1 = ω1 ⋅ O1 K VKτ 2 VCK = BK ⋅ ω 2 − AK ⋅ ω1 = ( Bp + pK )ω 2 − ( Ap − pK )ω1 = = Bp ⋅ ω 2 + pK ⋅ ω 2 − Ap ⋅ ω1 + pK ⋅ ω1 . Из определения основного закона зацепления ω1 O2 p Bp , откуда Ap ⋅ ω1 = Bp ⋅ ω 2 , тогда = = ω 2 O1 p Ap VCK = pK (ω1 + ω 2 ) Скорость скольжения равна произu= ведению суммы угловых скоростей на расстояние от полюса зацепления до точки касания профилей зубьев, и чем дальше от полюса точка касания, тем больше скорость скольжения. 5.14. Удельное скольжение В процессе эксплуатации зубчатых колес зубья испытывают деформацию, связанную с трением. Это трение качения и трение скольжения. Трение качения мало и им пренебрегают. Трение же качения велико и, кроме того, что на его преодоление расходуется дополнительная энергия, оно вызывает износ зубьев. Коэффициент, являющийся параметром трения скольжения, называется удельным скольжением ν, это отношение скорости скольжения к тангенциальной составляющей скорости. VKτ 2 − VKτ 1 , ν1 = VKτ 1 VKτ 2 − VKτ 1 . ν2 = VKτ 2 После некоторых преобразований, получим 121 z1 AB z1 − ⋅ , x z2 z2 z AB z ν2 = 1+ 2 − ⋅ 2, z1 AB − x z1 ν1 = 1 + здесь z1 и z2 – числа зубьев шестерни и колеса; АВ – длина (в мм) теоретического участка линии зацепления; х – расстояние (в мм), измеренное от точки А линии зацепления, в направлении к точке В. Составим таблицу Таблица значений удельных скольжений … Ар х ν1 ν2 -∞ 1 … и построим диаграмму удельного скольжения (рисунок 91) 122 АВ 1 -∞ О1 ν A р a ν2 b B ν1 О х О2 Рисунок 91 – Диаграмма удельного скольжения 5.15. Блокирующий контур Рассмотрим, в каких случаях производят смещение исходного производящего реечного контура. 1. При расчете зубчатого зацепления на контактную прочность используют формулу Герца σ H = 0,418 где Fn E np b ⋅ ρ np , Fn – сила полного нормального давления; Епр – приведенный модуль упругости Юнга; Е пр = 2 Е1 ⋅ Е 2 Е1 + Е 2 b – длина зуба или ширина колеса; ρпр – приведенный радиус кривизны колес 123 ρ пр = ρ1 ⋅ ρ 2 . ρ1 + ρ 2 Для увеличения прочности зубьев (уменьшения поверхностного напряжения сжатия) невозможно уменьшить ни силу нормального давления, ни приведенный модуль упругости, ни увеличить длину зуба. Можно увеличить приведенный радиус кривизны, т.е. использовать наиболее удаленные участки эвольвенты – вводить положительное смещение. 2. При расчете зубчатого зацепления на изгиб используют формулу σF = Fn , b⋅m⋅ y где у – коэффициент формы зуба, который зависит от кривизны профиля. Чтобы уменьшить напряжения изгиба, необходимо вводить положительное смещение инструментальной рейки. 3. Для устранения подрезания ножек зубьев требуется также вводить положительное смещение инструмента. 4. Для устранения заострения вершин зубьев нужно вводить отрицательное смещение инструментальной рейки. 5. Для предотвращения интерференции зубьев необходимо также вводить отрицательное смещение. 6. Для увеличения коэффициента перекрытия применяется положительное смещение. 7. Для уменьшения удельного скольжения производится положительное смещение для одного колеса и отрицательное – для другого. 8. Для вписывания передачи в заданное межосевое расстояние может производиться как положительное, так и отрицательное смещение инструмента. При проектировании зубчатых передач в связи с соблюдением всех перечисленных требований и многих других, конструктор может придти к противоречивым выводам. Нет какой-либо универсальной системы выбора коэффициентов смещения инструментальной рейки при нарезании колес, которые были бы пригодны для всех случаев практики. Поэтому 124 выбор коэффициентов для каждой конкретной зубчатой передачи должен производиться с учетом заданных условий работы и предъявляемых к ней требований. Для правильного выбора коэффициентов смещения используются блокирующие контуры. Блокирующие контуры разработаны для пары зубчатых колес z1 и z2. Линии, ограничивающие область допустимых значений коэффициентов смещения от недопустимых, принято называть блокирующим контуром (рисунок 72). Блокирующим контуром также называют графики, построенные в координатах коэффициентов смещения х1 = f(х2). Здесь х1 и х2 – безразмерные коэффициенты смещения, равные отношению абсолютного смещения к модулю. Блокирующие контуры позволяют представить всю совокупность теоретически возможных вариантов передачи, каждому из которых соответствует одна из точек поля. Использование блокирующих контуров позволяет резко сократить объем вычислительной работы при проектировании. Граничные линии блокирующего контура (рисунок 92): 1 – граница интерференции на ножке зуба большего колеса; 2 – линия, ограничивающая подрезание эвольвентного профиля меньшего колеса; 3 – линия предельного (минимального) коэффициента перекрытия; 4 – граница интерференции на ножке зуба меньшего колеса; 5 – граница заострения зуба меньшего колеса. Внутри контура изображены линии, соответствующие определенным значениям качественных показателей зацепления: а и b – линии, определяющие равную прочность зубьев на изгиб (а – при ведущем меньшем колесе, b – при ведущем большем колесе); ε = 1,2 – значения коэффициентов смещения, при которых коэффициент перекрытия равен 1,2; ν1 = ν2 – кривая, характеризующая выравнивание удельного скольжения на ножках зубьев обоих колес. 125 При выборе коэффициентов смещения можно руководствоваться следующими рекомендациями. Если зубчатое зацепление работает в масляной ванне, то для него опасны высокие контактные напряжения. Можно добиться уменьшения напряжений увеличением угла зацепления αw, т.е. увеличением хΣ = х1 + х2. Для нахождения максимально возможного значения хΣ к кривой ε = 1,2 в зоне положительных значений следует провести касательную линию d под углом 45° к осям координат. Координаты точки касания определяют конкретные коэффициенты смещения. Если проектируется открытое зубчатое зацепление, для которого возможно его загрязнение, опасным становится абразивный износ зубьев. В этом случае следует обеспечить минимум износа, в частности, уравнять износ на ножках зубьев шестерни и колеса, т.е. выбрать коэффициенты смещения х1 и х2 на линии ν1 = ν2. При расчете колес, обеспечивающих максимальную изгибную прочность следует при ведущем колесе с меньшим числом зубьев точку для выбора коэффициентов смещения искать на кривой а, а при ведущем большем колесе – на кривой b контура. Если требования к передаче таковы, что возможно применение равносмещенного зацепления, то значения коэффициентов смещения следует искать на прямой, проведенной под углом 45° к осям координат через начало системы координат. 126 x2 3 1 х1min b ν1 = ν2 45° 2 a d 45° ε =1,2 x1 O х2min 4 5 xΣ = 0 Рисунок 92 – Блокирующий контур Для расчета зацепления с максимальным коэффициентом перекрытия коэффициенты смещения следует искать в левом нижнем углу блокирующего контура, так как коэффициент перекрытия при прочих равных условиях растет с уменьшением угла зацепления. Угол зацепления определяется согласно выбранным коэффициентам смещения 127 invα w = 2( x1 + x2 )tgα + invα . z1 + z2 Если межосевое расстояние зубчатой передачи требуется округлить, то предварительно выбирают коэффициенты смещения по заданным условиям. Затем рассчитывается межосевое расстояние и округляется до ближайшего меньшего из ряда предпочтительных значений. По принятому межосевому расстоянию аw вычисляется угол зацепления αw и уточняется значение суммарного коэффициента смещения m ( z1 + z 2 ) cos α ; 2aW ( invα w − invα )( z1 + z2 ) . xΣ = x1 + x2 = 2tgα cos α w = Окончательно коэффициенты смещения выбираются на прямой, отсекающей на осях координат отрезки, равные хΣ. 5.16. Определение передаточного отношения последовательного ряда зубчатых колес с неподвижными осями Рассмотрим последовательный ряд зубчатых колес с неподвижными осями (зубчатый ряд, трехступенчатый редуктор). На схемах механизмов зубчатые колеса вычерчиваются диаметрами начальных окружностей. На рисунке 93 вращательное движение колесо z1 получает от двигателя через вал I, далее от колеса z1 через зубья движение передается колесу z2, а от него колесу z2' , жестко закрепленном на валу II, от колеса z2' через зубья – колесу z3, затем через вал III – колесу z3' , а от него посредством зубьев получает вращение колесо z4 и вал IV. Трехступенчатым зубчатый механизм называется потому, что в нем три зубчатые передачи z1 − z2 , z2' − z3 , и z3' − z4 . Редуктором называется потому, что в каждой 128 ступени происходит уменьшение скорости вращения колес, так как диаметр ведущих колес больше, чем диаметр ведомых. Передаточное отношение каждой ступени известно. u12 = ω1 O2 p rw 2 2m w z 2 z 2 = = = = , здесь необходимо ω 2 O1 p rw 1 2m w z1 z1 учесть знак. При определении передаточного отношения через угловые скорости, знак не учитывается, так как на рисунке 73,а показаны направления угловых скоростей, а при определении передаточного отношения через числа зубьев (рисунок 73,b) направление вращения колес не показываются (в основном, схемы зубчатых механизмов вычерчиваются именно так), перед отношением ставится знак “минус” при внешнем зацеплении, а знак “плюс”опускается – при внутреннем зацеплении. Поэтому ω1 z и u12 = − 2 . ω2 z1 Для остальных зацеплений z z ω ω u23 = 2 = − 3' , u23 = 2 = − 3' . z2 z2 ω3 ω3 u12 = Определим передаточное отношение всего зубчатого ряда через угловые скорости, для этого перемножим передаточные отношения всех трех зацеплений u12 u23 u34 = ω1 ω 2 ω 3 ω1 = u14 . = ω2 ω3 ω4 ω4 Передаточным отношением всего зубчатого механизма называется отношение угловых скоростей ведущего и ведомого звеньев. Таким образом, передаточное отношение зубчатого ряда есть произведение передаточных отношений всех ступеней. В общем виде u1n = u12 u23 ...un − 1, n = ω1 ω 2 ω n − 1 ω1 . ... = ω2 ω3 ωn ωn Найдем передаточное отношения этого зубчатого ряда через числа зубьев 129  z  z  z  zzz u14 = u12 u23 u34 =  − 2  − 3'  − 4'  = − 2 '3 4' , тогда в z1 z2 z3  z1  z2  z3  общем виде u14 = ( −1)k z2 z3 z ... ' n , ' z1 z 2 z n−1 где k – число внешних зацеплений. a) b) z4 z4 ω4 О4 О4 IV z3 z'3 О3 III О3 z'3 ω3 z3 ω2 О2 II О2 z'2 z'2 z2 z2 О1 ω1 z1 I O1 z1 Рисунок 93 – Зубчатый ряд Рассмотрим зубчатый ряд, состоящий из трех колес (рисунок 94). 130 Для этого зубчатого ряда передаточное отношение через числа зубьев u13 = u12 ⋅ u23 = ( − В общем виде z z z2 ) ⋅ (− 3 ) = 3 . z1 z2 z1 z3 ω3 О3 ω2 О2 z2 ω1 О1 z1 Рисунок 94 – Паразитный зубчатый ряд u1п = ( −1)k zn . z1 Передаточное отношение этого ряда зубчатых колес (рисунок 94) не зависит от числа зубьев z2 второго колеса. Такой ряд называется паразитным, а это колесо также называется паразитным. Паразитный зубчатый ряд применяется когда: 1) необходимо изменить направление вращения ведомого вала; 2) межосевое расстояние аw велико, а постановка двух больших колес нецелесообразна (показана пунктиром). 5.17. Графическое исследование зубчатых передач 131 Начертим зубчатый ряд, состоящий из двух колес – шестерни z1 и колеса z2. Колеса на схеме вычерчиваются радиусами начальных окружностей, которые, как известно, перекатываются друг по другу без скольжения. Следовательно, скорость точки А (полюса зацепления) для обоих колес одинакова. у C c v z3 v D d ω2 II О2 О2 о2 2 ϕ2 z'2 z2 a A v z2 ϕ1 I О1 O1 1 о1 ω 1 z1 z1 b B у v Рисунок 95 – Зубчатый ряд V A = ω1r1 = ω 2 r2 . Проведем прямую линию у-у, параллельную линии центров О1О2 (рисунок 95). Отложим от нее вправо в масштабе вектор скорости точки А. Так как закон изменения скорости выражается прямой вида у = ах, то зная скорость двух точек (точки А и точки О1, VO1 = 0), найдем скорость точки В колеса z1, соединяя прямой линией точки а и о1 и продолжая до проекции точки В на прямую у-у. Линия 1 называется картиной скоростей для колеса z1. Построим таким же образом картину скоростей колеса z2. Найдем скорость точки D этого колеса. По направлению она перпендикулярна радиусу DO2 и в сторону вращения колеса. Для того чтобы найти ее по величине, необходимо радиусом DO2 перенести ее на линию центров, а затем проецировать на линию у-у и по картине скоростей 2 132 определить отрезок vd и умножить его на масштабный коэффициент скоростей. Определим угловые скорости колес V A va ⋅ µV µV tgϕ 1 , = = µl vo1 ⋅ µ l r1 V va ⋅ µV µ ω2 = A = = V tgϕ 2 . r2 vo2 ⋅ µ l µl ω1 = Передаточное отношение u12 = ω1 tgϕ1 . = ω 2 tgϕ 2 На свободном поле чертежа проведем прямую линию, перпендикулярную у-у (рисунок 96). На этой прямой выберем произвольную точку S и из нее проведем прямую, параллельную у-у длиной h, получим точку р. Из точки р проведем прямую, параллельную картине скоростей колеса z1, засечем на прямой, перпендикулярной у-у, точку 1, затем прямую, параллельную картине скоростей колеса z2, получим точку 2. Угол между прямой р1 и отрезком Sp есть угол ϕ1, так как эти линии параллельны, соответственно, отрезкам o1a и vo1. Тогда ω1 = µV µ S1 , tgϕ 1 = V ⋅ µl µl h ω2 = µV µ S2 . tgϕ 2 = V ⋅ µl µl h S 1 h 2 p Рисунок 96 – План угловых скоростей Обозначим µV = µω , тогда ω1 = µω ⋅ S 1 и ω 2 = µω ⋅ S 2 , µl h отсюда передаточное отношение 133 u12 = ω1 S 1 . = ω2 S 2 Это построение называется планом угловых скоростей. Отрезки, изображающие угловые скорости, откладываются от одной точки S. Если точки находятся по одну сторону от S, то передаточное положение будет положительным, а если по разные – отрицательным. 6. ЭПИЦИКЛИЧЕСКИЕ МЕХАНИЗМЫ Эпициклическими называются такие зубчато-рычажные механизмы, у которых ось какого-нибудь из зубчатых колес является подвижной (рисунок 97,a,b). а) b) z2 z3 c) z2 Н z2 z3 Н z4 z1 z3 z4 z1 z4 z1 Рисунок 97 – Зубчатые механизмы а) дифференциальный, b) планетарный, с) соосный редуктор; z1 и z4 – солнечные колеса, z2 и z3 – сателлиты, Н – водило Эпициклические механизмы с двумя и более степенями подвижностями называются дифференциальными (рисунок 97,а) W = 3n − 2 pV − pIV = 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 4 − 2 = 2 . Они применяются: 1. Для передачи вращения одному валу от двух других, вращающихся независимо (грузоподъемные, предохранительные, реверсивные и другие механизмы); 134 2. Для разложения движения ведущего вала на два независимых движения ведомых валов (автомобили); 3. Для алгебраического суммирования движения на ведомом валу (в вычислительных машинах). Эпициклические механизмы с одной степенью подвижности называются планетарными (рисунок 97,b) W = 3n − 2 pV − pIV = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 3 − 2 = 1 . Они образуются путем соединения со стойкой одного из центральных колес дифференциального механизма и применяются: 1. Для получения бóльших передаточных отношений в силовых передачах при малом числе зубчатых колес по сравнению со ступенчатым редуктором (зубчатым рядом); 2. Для получения очень больших передаточных отношений в не силовых передачах (u ≤ 200 000). Если в дифференциальной передаче соединить со стойкой водило, то получаем простую зубчатую передачу (зубчатый ряд) с неподвижными осями (рисунок 97,с). Достоинства эпициклических механизмов: 1. Соосность ведущего и ведомого валов; 2. Меньшие габариты передачи за счет применения нескольких сателлитов (усилия на зуб меньше). Недостатки этих механизмов: 1. Сложность конструкции, требующей повышенной точности изготовления и сборки деталей (сателлиты входят в зацепление одновременно с двумя колесами и имеют подвижную ось). 2. Низкий КПД при больших передаточных отношениях: при u = 10000, η < 1 %. 6.1. Дифференциальные механизмы. Аналитическое и графическое исследование Рассмотрим дифференциальный механизм, приведенный на рисунке 98. Здесь имеются: z1 – центральное солнечное колесо, z2 – сателлиты, z3 – эпициклическое колесо и Н – водило. Ось сателлитов подвижная, угловая скорость водила ωН. 135 Сообщаем всему механизму угловую скорость –ωН, тогда все оси механизма будут неподвижными. Составим таблицу угловых скоростей звеньев в абсолютном и относительном движении. Схема механизма Картина скоростей y v b v о2 В –ωН z3 О2 z2 ωН А z1 3 Н О1 Н О1 ОН О3 1 о1 о3 оН y План угловых скоростей 3 S H 1 2 z3 а H z1 z2 2 v P Рисунок 98 – Исследование дифференциального механизма Таблица угловых скоростей относительном движении Звено ωабс z1 ω1 звеньев в абсолютном и ωН z2 ω2 z3 ω3 ω1Н = ω1 − ω Н ω 2Н = ω 2 − ω Н ω 3Н = ω 3 − ω Н Н ωН В этой таблице ωН показывает угловую скорость звена относительно остановленного водила. Степень подвижности дифференциального механизма (число подвижных звеньев n = 4, число кинематических пар пятого класса pV = 4, число пар четвертого класса pIV = 2) 136 W = 3n − 2 pV − pIV = 3 ⋅ 4 − 2 ⋅ 4 − 2 = 2 , следовательно, нужно задать движение двум звеньям. Пусть заданы ω1 и ω3. Передаточное отношение (так как водило остановлено, то передаточное отношение определяем как для зубчатого ряда) определяем по формуле Виллиса H 13 u z ω 1H ω 1 − ω H = H = = − 3 , знак “минус”, так как z1 ω3 − ωH ω3 внешнее зацепление одно. При заданных ω1 и ω3, z1, z2 и z3, определяем ωН. u12H = ω1H ω1 − ω H z = = − 2 – внешнее зацепление. Из H ω2 ω2 − ω H z1 этого уравнения можно определить ω2, или можно найти из уравнения H u23 = ω 2H ω 2 − ω H z3 – внутреннее зацепление. = = ω 3H ω 3 − ω H z2 6.2. Планетарные механизмы Схема механизма Картина скоростей y b В –ωН z3 О2 z2 о2 ωН А z1 2 Н О1 Н О1 ОН z1 z2 z3 H оН а 1 о1 y План угловых скоростей 1 2 S H P Рисунок 99 – Исследование планетарного механизма 137 W = 3n − 2 pV − pIV = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 3 − 2 = 1 – планетарный редуктор (число подвижных звеньев n = 3, число кинематических пар пятого класса pV = 3, число пар четвертого класса pIV = 2). По формуле Виллиса z3 ω 1H ω 1 − ω H , но ω 3 = 0, тогда = = − z1 ω 3H ω 3 − ω H ω − ωH = − u1 H + 1 , или u1 H = 1 − u13H . u13H = 1 − ωH u13H = В планетарном механизме передаточное отношение от любого колеса i(z1) к водилу Н при неподвижном опорном колесе j(z3) равно единице минус передаточное отношение от этого же колеса i к опорному в обращенном движении колесу – j. Составляем уравнения передаточного отношения u1 H = z z ω1 = 1 − u13H = 1 − ( − 3 ) = 1 + 3 , из этого уравнеz1 z1 ωH ния при заданной ω 1 находим ωН. u2 H = z ω2 H = 1 − u23 = 1 − 3 , отсюда определяем ω 2. z2 ωH 6.3. Подбор чисел зубьев планетарного редуктора r1, r2, r3 – радиусы начальных (делительных) окружностей, k – число сателлитов. Для того, чтобы собрать планетарный механизм (рисунок 100), необходимо соблюсти несколько условий: 1. Условие соосности r1 + 2r2 = r3 , откуда z2 = 138 z3 − z1 . 2 m z1 z z + 2m 2 = m 3 2 2 2 или z1 + 2 z2 = z3 , 2. Обеспечение заданного передаточного отношения u1 H = 1 − u13H = 1 + z3 , u1 H z1 = z1 + z3 , откуда z1 z3 = z1 ( u1 H − 1) . С z3 А r1 r3 z1 О1 z2 В О2 r2 E О‘2 D π/k Рисунок 100 – Подбор чисел зубьев планетарного механизма 3. Условие сборки Длина дуги АВ ∪ где z1 = p ⋅ b1 + c1 , k р – шаг по делительной окружности, мм; b1 – целое число шагов; с1 – дуга по делительной окружности (меньше шага). Длина дуги CD ∪ где АВ = р СD = р z3 = p ⋅ b3 + c 3 , k b3 – также целое число шагов; с3 – дуга по делительной окружности. Из этих формул определим z1 и z3 139 c1 c ) и z3 = k (b3 + 3 ) , сложим их p p c + c3 z1 + z3 = k (b1 + b3 + 1 ). p z1 = k (b1 + В левой части уравнения целое число, чтобы в правой части было целое число, необходимо, чтобы с1 + с 3 = р . Отсюда, обозначив скобку за целое число с, получим с= z1 + z3 . k Составляем отношение чисел зубьев колес и числа с z3 − z1 z +z : [ z1 ( u1 H − 1)] : 3 1 = k 2 z ( u − 1) − z1 z ( u − 1) + z1 = z1 : 1 1 H = : [ z1 ( u1 H − 1)] : 1 1 H k 2 u ( u − 2) = 1 : 1H : ( u1 H − 1) : 1 H . k 2 z1 : z2 : z3 : c = z1 : Таким образом, генеральное уравнение для подбора чисел зубьев планетарного механизма . 4. Условие “соседства” Это условие заключается в том, что зуб одного сателлита не должен касаться зуба другого сателлита. На схеме механизма (рисунок 1000 колеса изображаются начальными окружностями, а окружности выступов, которыми колеса могут касаться друг друга, на схемах не показываются, но их следует иметь в виду. Следовательно, межосевое расстояние между сателлитами должно быть больше, чем два радиуса окружностей выступов . Выразим эти размеры через модуль и числа зубьев, имея в виду, что модули сопряженных колес одинаковы , 140 , отсюда число сателлитов . Условие “соседства” всегда соблюдается, если k = 2. 6.4. Замкнутые дифференциальные механизмы Дифференциальные механизмы, в которых звенья, имеющие неподвижные оси вращения, связаны дополнительными зубчатыми передачами, называются замкнутыми дифференциальными механизмами (рисунок 101). y z3 В О2 z2 Н z6 О5 А z5 z4 b 2 D о2 а С c d 5 о5 6 3 1,4 о1,4 о3,о6 О1,4 y z1 S 1,4 3 6 2 5 P Рисунок 101 – Замкнутый дифференциальный механизм Дифференциальная часть – колеса z4, z5, z6 и водило Н, замыкающая часть – колеса z1, z2 и z3. Дано: z1 = 40, z2 = 20, z4 = 30, z5 = 20. Определить: z3, z6, u16. Решение: Числа зубьев колес z3 и z6 определяем из условия соосности 141 , откуда или , или , . , откуда . Для дифференциального механизма , известно, что и , тогда (42) Выразим угловую скорость водила (для замыкающего паразитного зубчатого ряда) , откуда , подставим в (42). , делим на ω1. , отсюда после подстановки чисел зубьев находим Итак 142 . , тогда . 7. СТРУКТУРНЫЙ СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ Формулы Чебышева и Сомова-Малышева можно использовать только при анализе механизмов. Для задач синтеза структур механизмов они не годятся. В 1939 г. профессор Добровольский В.В. ввел новое понятие – число общих наложенных на механизм связей (m). Формула подвижности механизмов получила дальнейшее развитие , где k – класс кинематических пар (k = 1, 2, 3, 4, 5). В 1946 г. И.И. Артоболевский задает различные значения т и делит механизмы на семейства: т = 0 – нулевое семейство (формула Сомова-Малышева); т = 1 – первое семейство ; т = 2 – второе семейство ; т = 3 – третье семейство (формула Чебышева); т = 4 – четвертое семейство . Последняя формула используется для анализа механизмов, в которых присутствуют только поступательные пары – клиновые (рисунок 82). В этом механизме два подвижных звена и три поступательные кинематические пары. Для него . Р5 1 Р5 2 2 Р5 Р5 Р5 Р5 1 Рисунок 102 – Степень подвижности клинового механизма 143 7.1. Синтез структур кинематических цепей (метод Дворникова Л.Т.) Многие ученые в России и за рубежом, начиная от профессора Гохмана Х.И., занимались поиском методов синтеза механизмов, но решил эту проблему профессор СибГИУ Дворников Л.Т. Он ввел понятие “базисного звена – τ-угольника (для плоских цепей) или τ-вершинника” (для пространственных цепей). Базисное звено – это звено с наибольшим в рассматриваемой цепи числом кинематических пар. Рассмотрим плоскую кинематическую цепь (рисунок 103). τ п1 п1 п1 п0 τ-1 τ-2 п1 τ=5 п1 п1 τ-3 п1 п1 п0 п1 τ-3 п1 п1 п1 Рисунок 103 – Плоская кинематическая цепь В этой кинематической цепи два звена имеют наибольшее число кинематических пар (по пяти), но одно из них выбрано за τ-угольник, второе тогда добавляет в цепь только четыре пары, следовательно, это звено обозначено как τ-1 угольное. Звено, имеющее четыре пары, добавляет в цепь только три, поэтому обозначено как τ-2 угольное. И т.д. Звенья, которые присоединяясь к цепи, добавляют по одной паре обозначены п1 и звенья, не добавляющие в цепь пар – п0. Для анализа и синтеза структурных схем механизмов Л.Т. Дворников вывел “универсальную структурную систему”, в которой в первом уравнении определяется число 144 кинематических пар в цепи: к числу пар τ-угольника добавляется число пар звеньев (пτ-1), содержащих на одну пару (τ - 1) меньше, затем на две и т.д. до звеньев, добавляющих в цепь по две (п2) и по одной (п1) паре. Для рассматриваемой кинематической цепи первое уравнение . Во втором уравнении подсчитывается число звеньев цепи: звено τ-угольное – одно, к нему добавляются звенья пτ-1, пτ-2 и т.д. до п2, п1 и п0. . В третьем уравнении определяется степень подвижности кинематической цепи. Рассматриваемая кинематическая цепь плоская и незамкнутая с одними парами пятого класса, ее решение . В универсальной структурной системе есть четыре независимых задаваемых параметра: m, W, k и τ. Использование универсальной структурной системы покажем на трех примерах. Пример 1. Синтезировать плоский (т = 3) механизм (W = 1) с одноподвижными парами (k = 5) и линейными (τ = 2) звеньями. Подставляем значения в систему Из второго уравнения системы уравнения , из первого . Подставим значе- 145 ния п1 и р5 в третье уравнение , откуда п = 3, р5 = 4, п1 = 2. Это кривошипно-ползунный или четырехзвенный шарнирный механизмы. τ п1 τ п1 п1 п1 Пример 2. Синтезировать плоский (т = 3) механизм (W = 1) с одноподвижными парами (k = 5) с треугольным (τ = 3) и линейными звеньями. Число звеньев (п = 7). Подставляем значения в систему Из третьего уравнения системы имеем р5 = 10, из второго уравнения п1 = 6 – п2. Подставим значения в первое уравнение и получим п2 = 1, тогда п1 = 5. Решением этой задачи будет следующий механизм. п1 п1 п1 τ=3 п2 п1 п1 Сборка этого механизма осуществляется следующим образом: берется базисное треугольное звено, к нему присоединяются два линейных звена и одно двухугольное (добавляющее две кинематические пары), к которому присоединяются два линейных звена, а к одному из них – механизм первого класса (также добавляющий одну пару). 146 Задача 3. Синтезировать плоский (т = 3) механизм (W = 1) с одноподвижными парами (k = 5) с четырехугольным (τ = 4) базисным звеном. Число звеньев (п = 7). Подставляем значения в систему Из третьего уравнения системы имеем р5 = 10, из второго уравнения п1 = 6 – п3 – п2. Подставим значения в первое уравнение и получим или . Так как число звеньев не может быть отрицательным, то п2 = 0, и п3 = 0, тогда п1 = 6. Решением этой задачи будет такой механизм. τ=4 п1 п1 п1 п1 п1 п1 Сборка этого механизма осуществляется следующим образом: к базисному четырехугольному звену добавляют четыре линейных, два из них замыкаются треугольником (добавляющих в цепь только одну кинематическую пару), а к нему присоединяется линейное звено и замыкается на стойку. Следует отметить, что при анализе этого механизма при ведущем правом звене это будет механизм четвертого класса, а при ведущем левом (верхнем либо нижнем) – механизм третьего класса. 147 8. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВ Задачей кинематического синтеза механизмов является проектирование кинематических схем по заданным кинематическим условиям. Если траектория ведомого (выходного) звена сложна, то определение размеров звеньев механизма, воспроизводящего такую траекторию, делается очень сложным, обычно в этом случае размеры звеньев определяются приближенно, подбором. Рассмотрим синтез наиболее простых механизмов, ведомое звено которых совершает возвратно-поступательное или колебательное движения. 8.1. Условие существования кривошипа Шарнирный четырехзвенник ABCD (рисунок 104) является прототипом большинства применяемых в машиностроении механизмов. Рассмотрим условие существования кривошипа в четырехзвеннике, т.е. каким условиям должны удовлетворять размеры звеньев, чтобы кривошип мог совершать полный оборот. Пусть l1 – длина кривошипа АВ, l2 – длина шатуна ВС, l3 – длина коромысла CD, l0 – длина стойки (расстояние АD). Чтобы кривошип l1 мог совершить полный оборот, он должен занимать мертвые (крайние) положения, при которых кривошип l1 и стойка l0 составляют одну прямую. С l2 В С2 С1 l1 B1 l3 A B2 D l0 Рисунок 104 – Условие существования кривошипа 148 Из треугольника В1С1D видно, что механизм может иметь левое “мертвое” положение, если B1D < B1C1 + C1D, т.е. l0 + l1 < l2 + l3. Это и является первым условием существования кривошипа: сумма длин кривошипа и стойки должна быть меньше, чем сумма длин двух других звеньев. Из треугольника В2С2D видно, что механизм сможет занимать правое “мертвое” положение, если B2D > B2C2 – C2D, т.е. l0 – l1 > ± (l2 – l3), здесь знак ± учитывает, что из большего следует отнимать меньшее. Второе условие: разность длин стойки и кривошипа должна быть больше, чем разность длин шатуна и коромысла Если оба условия выполняются, звено l1 является кривошипом. 8.2. Коэффициент изменения средней скорости Начертим кривошипно-коромысловый механизм в крайних положениях коромысла, когда кривошип и шатун вытянуты в одну линию (рисунок 105). ϕpx A B0 С’0 С0 θ B’0 β D ϕxx Рисунок 105 – Определение коэффициента изменения средней скорости ведомого звена при правильном проектировании. 149 Коэффициентом изменения средней скорости ведомого звена называется отношение средней скорости ведомого звена при холостом ходе к средней скорости этого звена при рабочем ходе. , , откуда . 8.3. Синтез рычажного механизма по коэффициенту изменения средней скорости ведомого звена Дано: kω, l3, β. Определить: l1, l2, l0. Изображаем коромысло (рисунок 106) в крайних положениях (сначала одно, затем по углу β определим второе), получаем точки С0 и С’0. Соединяем эти точки прямой линией. Вычисляем угол θ. При точках откладываем углы 900 – θ и проводим лучи до их пересечения в точке F. Окружность радиуса r является геометрическим местом центров вращения точки А кривошипа, так как вписанный угол С0АС0’ равен половине центрального С0FС0’, опирающегося на одну и ту же дугу С0С0’. Точка А может быть в любой точке окружности радиуса r. С’0 С0 900-θ 900-θ β N A θ B’0 D θ θ B0 r F Рисунок 106 – Синтез четырехшарнирного механизма 150 Помещаем центр вращения кривошипа в произвольную точку А. Соединяем точку А с точками С0 и С’0. Радиусом АС0 на прямой АС’0 делаем засечку, получаем точку N. Отрезок NС’0 делим пополам, получаем длину кривошипа АВ. Радиусом АВ проводим окружность с центром в точке А, получаем траекторию точки В. Тогда l2 = B0С0, l0 = AD и l1 = NС’0/2. Докажем это . 8.4. Угол давления в рычажных механизмах Рассмотрим четырехшарнирный механизм (рисунок 107). Здесь Му – уравновешивающий момент, М3 – момент сил сопротивления, приложенный к коромыслу CD. Углом давления α называется угол между направлением силы, действующий со стороны одного звена на другое (F23), и направлением скорости перемещения точки второго звена (VC), в которой приложена сила. п F23 F23 С τ F23 B Му VC М3 ω A D Рисунок 107 – К определению угла давления Без учета сил трения, сил тяжести и сил инерции сила, действующая со стороны второго звена на третье F23, будет направлена вдоль звена ВС. , . 151 С увеличением угла давления сила увеличивается. – коэффициент возрастания усилий. Если угол давления α = 900, то произойдет заклинивание рычажного механизма, однако, заклинивание произойдет раньше, если учесть силы трения в кинематических парах, поэтому в рычажных механизмах с вращательными кинематическими парами допустимый угол давления α = 450, а с вращательными и поступательными парами α = 300. 8.5. Угол передачи движения в рычажных механизмах Построим коромысловый механизм в крайних и мертвых положениях. Угол между шатуном и коромыслом (дополнительный угла давления до 900) называется углом передачи движения γ. С’0 С0 Bi A B0 θ β B’0 B’i D Рисунок 108 – Угол передачи движения Из рисунка 108 видно, что ,а , но при проектировании механизма можно определить только крайние положения. Поэтому при проектировании при рабочем ходе при принимают , при 152 принимают . 8.6. Синтез рычажного механизма по kω и γ Дано: kω, l3, β, γ. Определить: l1, l2, l0. По заданному коэффициенту изменения средней скорости ведомого звена определяем угол θ . Пусть . Изображаем коромысло (рисунок 109) в крайних положениях (сначала одно, затем по углу β определим второе), получаем точки С0 и С’0. Соединяем эти точки прямой линией. Вычисляем угол θ. При точках откладываем углы 900 – θ и проводим лучи до их пересечения в точке F. Окружность радиуса r является геометрическим местом центров вращения точки А кривошипа, так как вписанный угол С0АС0’ равен половине центрального С0FС0’, опирающегося на одну и ту же дугу С0С0’. Точка А может быть в любой точке окружности радиуса r. Под углом γmin = γ’0 к прямой CD проводим прямую до пересечения с окружностью, получаем точку А. 900-θ С’0 С0 γ N θ θ θ A B0 B’0 F β D Рисунок 109 – Синтез механизма по kω и γ Соединяем точку А с точками С0 и С’0. Радиусом АС0 на прямой АС’0 делаем засечку, получаем точку N. Отрезок NС’0 делим пополам, получаем длину кривошипа АВ. Радиусом АВ 153 проводим окружность с центром в точке А, получаем траекторию точки В. Тогда l2 = B0С0, l0 = AD и l1 = NС’0/2. 8.7. Кривошипно-ползунный механизм Построим механизм в произвольном положении (рисунок 110). r – длина кривошипа, l – длина шатуна, e – дезаксиал. B’0 ϕхх B r A l e B0 ϕрх C’0 C C0 F Рисунок 110 – Кривошипно-ползунный механизм Чтобы кривошип мог поворачиваться на полный оборот, механизм должен иметь возможность занимать мертвые положения. В первом мертвом положении треугольника AFC0 гипотенуза больше катета r + l > e, во втором (треугольник AFC0’) l – r > e, или l > e – r и l > r + e. Здесь необходимо и достаточно только второе условие – длина шатуна должна быть больше, чем сумма длин кривошипа и дезаксиала. В центральном механизме (е = 0) l > r. 8.8. Коэффициент изменения средней скорости ведомого звена кривошипно-ползунного механизма Построим механизм, когда ползун находится в крайних положениях (рисунок 111). при правильном проектировании. 154 ϕрх C’0 B0 A ϕхх C0 h θ B’0 Рисунок 111 – К определению коэффициента изменения kV , отсюда . Эта формула используется при анализе, графическом синтезе кривошипно-ползунных механизмов. 8.9. Синтез кривошипно-ползунного механизма по коэффициенту изменения средней скорости ползуна kV Дано: h, kV. Определить: l1, l2, e. Начертим ползун в крайнем (правом) положении – точка С’0 (рисунок 112). Зная ход выходного звена h, отложим его в принятом масштабе на траектории движения ползуна (прямая х-х) и определим второе крайнее (левое) положение ползуна – точку С0. Определяем угол θ . К прямой х-х под углами 900 – θ в точках С0 и С’0 проводим линии до пересечении их в точке F. Радиусом FC0 проводим окружность, которая будет геометрическим местом центров вращения кривошипа – А. Помещаем центр вращения кривошипа в произвольную точку А. Соединяем точку А с точками С0 и С’0. Радиусом АС0 на прямой АС’0 делаем засечку, получаем точку N. Отрезок NС’0 155 делим пополам, получаем длину кривошипа АВ. Радиусом АВ проводим окружность с центром в точке А, получаем траекторию точки В. Тогда l1 = NС’0/2, l2 = B0С0, е = AD = (l2 – l1)cosγ. h С0 х D С’0 900-θ х 900-θ N θ r θ θ B’0 A F B0 Рисунок 112 – Синтез кривошипно-ползунного механизма 8.10. Угол передачи движения кривошипно-ползунного механизма С0 γ0 B1 С2 γ2 С1 γ1 С’0 F γ’0 B’0 A За цикл движения γmin = γ2, γmax = γ1. При рабочем ходе принимают γmin = γ0, γmax = γ’0. B0 B2 Рисунок 113 – Определение угла передачи движения 156 α V Построим кривошипно-ползунный механизм в крайних положениях и в положениях, когда кривошип перпендикулярен траектории движения ползуна (рисунок 113). Угол давления должен быть не больше 300. 8.11. Синтез механизма по коэффициенту изменения средней скорости выходного звена и углу передачи движения Дано: h, kV, γ. Определить: l1, l2, e. Начертим ползун в крайнем (правом) положении – точка С’0 (рисунок 114). Зная ход выходного звена h, отложим его в принятом масштабе на траектории движения ползуна (прямая х-х) и определим второе крайнее (левое) положение ползуна – точку С0. h С0 х D С’0 х 900-θ 90 -θ γ θ B’0 N r θ θ A F B0 Рисунок 114 – Синтез механизма по kω и γ Определяем угол θ . К прямой х-х под углами 900 – θ в точках С0 и С’0 проводим линии до пересечении их в точке F. Радиусом FC0 157 проводим окружность, которая будет геометрическим местом центров вращения кривошипа. К вертикальной прямой, проведенной через точку С0, под углом γ проводим прямую до пересечения с окружностью r, получаем точку А. Соединяем точку А с точкой С’0. Радиусом АС0 на прямой АС’0 делаем засечку, получаем точку N. Отрезок NС’0 делим пополам, получаем длину кривошипа АВ. Радиусом АВ проводим окружность с центром в точке А, получаем траекторию точки В. Тогда l1 = NС’0/2, l2 = B0С0, е = AD = (l2 – l1)cosγ. 7.12. Синтез кулисного механизма по коэффициенту изменения средней скорости выходного звена У кулисного механизма (рисунок 115) α23 = 0, γ = 900. Дано: l0 = lAC, kω. Определить: l1, l3 = lCD. D D0 h D’0 В ϕpx A β/2 B0 β/2 ϕxx B’0 β/2 β C Рисунок 115 – Синтез кулисного механизма по kω 158 Выбираем в произвольном месте чертежа (рисунок 115) точку А, которая будет центром вращения кривошипа АВ. Откладываем в выбранном масштабе расстояние АС, представляющее собой длину стойки. По коэффициенту изменения средней скорости вращения кулисы kω определяем максимальный угол поворота коромысла β , отсюда . Определяем длину кривошипа и дину коромысла где , h выбирается конструктивно. 159