Теория механизмов и машин

http://www.isopromat.ru/tmm/kratkij-kurs/silovoe-zamykanie-vysshej-kinematicheskoj-pary Лекции по ТММ Краткий курс лекций по теории механизмов и машин составлен в соответствии с рабочей программой и в нем с помощью иллюстраций, необходимых выводов математических зависимостей и формул достаточно подробно разъясняются общие положения. Содержание 1. Основные понятия теории механизмов и машин 1. Введение в курс ТММ 2. Машина 3. Основные понятия элементов машин 4. Основные виды механизмов 2. Структурный анализ и синтез механизмов 1. Определение числа степеней свободы кинематической цепи 2. Замена высших кинематических пар цепями с низшими парами 3. Структурная классификация плоских механизмов 1. Структурная группа (группа Ассура) 2. Класс механизма 3. Кинематический анализ механизмов с низшими парами 1. Задачи кинематики 2. Графический метод кинематического исследования 3. Графическое дифференцирование. Графическое интегрирование 4. Графический метод как алгоритм решения задачи с помощью ЭВМ 5. Метод планов скоростей и ускорений 6. Аналитический метод кинематического исследования 4. Динамика машин и механизмов 1. Задачи динамики 2. Силовой расчет механизмов 3. Кинетостатика групп Ассура второго класса 4. Кинетостатика начального звена 5. Определение уравновешивающей силы (момента) по методу Жуковского Н.Е. 6. Учет трения в механизмах 7. Трение скольжения. Трение в поступательных кинематических парах 8. Трение на наклонной плоскости 9. Учет формы направляющих, приведенный коэффициент трения 10. Трение во вращательных парах 11. Трение в цапфах 12. Трение в пятах 13. Трение гибких тел 14. Трение качения 15. Энергетический баланс машины 16. Коэффициент полезного действия системы механизмов 17. Приведение сил и масс в механизмах. Уравнение движения механизма в дифференциальной форме 18. Уравновешивание сил инерции вращающихся звеньев 19. Электро-, гидро-, пневмопривод механизмов 20. Выбор типа привода 5. Синтез механизмов 1. Общие методы синтеза механизмов 2. Синтез механизмов с низшими кинематическими парами 3. Методы оптимизации в синтезе механизмов с применением компьютерной техники 4. Синтез зубчатых механизмов 5. Основной закон зацепления 6. Кинематика зубчатых механизмов 7. Эвольвентное зацепление 8. Методы изготовления зубчатых колес 9. Размеры зубчатых колес, формируемые при нарезании стандартным инструментом реечного типа 10. Геометрические показатели качества зацепления 11. Кулачковые механизмы. Типы механизмов. Принципы кинематического анализа и синтеза кулачковых механизмов 12. Динамический синтез кулачковых механизмов 13. Построение профиля кулачка 14. Силовое замыкание высшей кинематической пары 1 Основные понятия теории механизмов и машин  1.1 Введение    Курс теории механизмов и машин является переходной ступенью в цепи механической  подготовки инженера – он опирается на фундаментальные знания, полученные студентом при изучении математики, физики, теоретической механики и является базой для изучения последующих практических (специальных) дисциплин механического цикла (прежде всего для курса «Детали машин и основы конструирования»).    Целью изучения дисциплины "теория механизмов и машин" является формирование необходимой начальной базы знаний по общим методам анализа и синтеза механических систем, положенных в основу технологического оборудования, применяемого в сфере будущей профессиональной деятельности выпускников высших технических учебных заведений  1.2 Машина Понятие «машина» может быть в обобщенном виде выражено следующим образом: машина – есть устройство, выполняющее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации в целях замены или облегчения физического и умственного труда человека. С точки зрения выполняемых функций машины можно разделить на следующие классы: - энергетические машины - рабочие машины - информационные машины - кибернетические машины. Энергетической машиной называется машина, предназначенная для преобразования любого вида энергии в механическую, и наоборот. В первом случае она носит название машины-двигателя, во втором случае – машины-генератора. Рабочей машиной называется машина, предназначенная для преобразования материалов. Рабочие машины подразделяются на транспортные и технологические. Транспортной машиной называется рабочая машина, в которой преобразование материала состоит только в изменении положения основного перемещаемого объекта. Технологической машиной называется рабочая машина, в которой преобразование материала состоит в изменении формы, свойства и состояния материала или обрабатываемого объекта. Информационной машиной называется машина для получения и преобразования информации. Информационные машины подразделяются на контрольно-управляющие и математические машины. Контрольно-управляющая машина преобразует получаемую контрольно-измерительную информацию с целью управления энергетической или рабочей машинами. Математическая машина преобразует информацию, получаемую в виде различных математических образов, заданных в форме отдельных чисел или алгоритмов. Кибернетической машиной называется машина, заменяющая или имитирующая различные механические, физиологические или биологические процессы, присущие человеку и живой природе, и обладающая элементами искусственного интеллекта. Техническое устройство, предназначенное для воспроизведения рабочих функций руки человека, называется манипулятором. Манипуляторы с автоматическим управлением могут использоваться для работы во вредных условиях, для механизации однообразных и утомительных работ на быстродействующих конвейерах, операциях по перестановке и упаковке деталей и т.д. В этих случаях манипуляторы с автоматическим управлением называют обычно  промышленными роботами. Процессы преобразования энергии, материалов и информации, выполняемые машиной, в некоторых случаях происходят без непосредственного участия человека. Такие машины получили название машин-автоматов.  Машины-автоматы исключают участие человека в выполнении самого технологического процесса, но обычно требуют присутствия операторов, т.е. людей, следящих за работой машин-автоматов, определяющих программу их работы и корректирующих в необходимых случаях работу механизмов и специальных устройств автоматики. Совокупность машин-автоматов, соединенных между собой и предназначенных для выполнения определенного технологического процесса, называется автоматической линией. Развитое машинное устройство, состоящее из двигателя, передаточных механизмов и рабочей машины (а в некоторых случаях контрольно-управляющих и счетно-решающих устройств) называется машинным агрегатом. 1.3 Основные понятия элементов машин Деталь Деталь – составная часть механического устройства, выполненная без применения сборочных операций (например: болт, гайка, вал, станина станка, полученная литьем и т.д.).  Деталь является элементарной составной частью машины. Типы деталей, их расчет, выбор формы, создание рабочего чертежа подробно рассматриваются в курсе «Детали машин и основы конструирования». В теории механизмов и машин в качестве элементарной составной части рассматривается более сложная конструкция – звено. Звено Звено – это деталь или группа деталей, представляющих с кинематической точки зрения единое целое (т.е. группа деталей, жестко соединенных между собой и движущихся как единое твердое тело).  На рисунке 1 изображен шатун поршневого двигателя (или поршневого компрессора). Он состоит из  относительно большого количества деталей (непосредственно сам  шатун, шатунная крышка для присоединения его к коленчатому валу, запрессованные в отверстия бронзовые втулки для уменьшения трения, болты и  гайки для соединения шатунной крышки с шатуном – рисунок 1а), но в собранном виде представляет собой жесткую конструкцию, неизменяемую в процессе работы машины (рисунок 1б). Таким образом, шатун является отдельным звеном механизма.   В реальном механизме звенья часто имеют довольно сложную конфигурацию (конструкцию), поэтому при анализе и синтезе механизмов используют кинематические схемы. Кинематическая схема – это условное изображение звеньев и всего механизма, выполненное строго в масштабе.  При составлении кинематической схемы выделяются основные элементы звена, которыми оно присоединяется к другим звеньям механизма (отверстия, направляющие и т.д.). Эти элементы изображаются условно (например, отверстии – в виде окружностей произвольного радиуса) и соединяются жесткими стержнями. На рисунке 1в представлена кинематическая схема шатуна, изображенного на рисунке 1б. Под масштабом в теории механизмов и машин понимают количество истинных единиц измеряемой величины, заключенное в одном миллиметре чертежа. Другими словами – это «цена» одного миллиметра. Такое понимание масштаба (иногда его называют масштабным коэффициентом) очень удобно при анализе работы механизма, т.к. является универсальным и позволяет представлять в виде отрезка любую физическую величину, что очень важно при использовании графических и графоаналитических методов исследования.  Масштаб в такой интерпретации является размерной величиной. Обычно истинная величина представляется без черты над ее обозначением, а обозначение с чертой (аналогично обозначению вектора) представляет собой отрезок на чертеже в миллиметрах, изображающий данную величину. Пусть AB – истинный размер звена в метрах; __ AB – отрезок, изображающий звено АВ на кинематической схеме в миллиметрах, Тогда масштаб длин (масштаб данной кинематической схемы механизма) Примечание: масштаб обычно обозначают латинской буквой K или греческой буквой  μ.  Аналогично можно представлять в виде отрезков любые величины (перемещения звеньев, скорости, ускорения, время, силы и т.д.) на планах, диаграммах, различных графиках и др. В зависимости от характера движения звенья могут иметь собственные названия. Ниже приведены некоторые из них: кривошип – звено, совершающее вращательное движение вокруг неподвижной оси и делающее при этом полный оборот; коромысло – звено, совершающее возвратно-вращательное движение; ползун – звено, движущееся поступательно; шатун – звено, совершающее сложное плоско-параллельное движение; кулиса – коромысло (или, иногда, кривошип), по которому движется ползун; стойка – звено, принятое за неподвижное (по определению звена стойка в механизме может быть только одна – все неподвижные детали обязательно крепятся на некоторой станине, корпусе, картере, основании и представляют одну жесткую конструкцию, т.е. одно звено).  На кинематической схеме стойка обычно изображается в виде отдельных фрагментов в тех местах, где к ней присоединяются другие звенья механизма, что резко упрощает эту схему. Примечание: в процессе изложения курса могут встретиться другие названия звеньев, которые будут введены по мере необходимости.   Кинематическая пара Кинематической парой называется подвижное соединение двух звеньев. Кинематические пары классифицируются по различным признакам: 1) по числу связей, накладываемых на относительное движение звеньев, соединенных в кинематическую пару. По этому признаку кинематические пары подразделяются на классы. Приняты следующие обозначения: W – число степеней свободы S – число связей, накладываемых на относительное движение звеньев. Свободное звено в пространстве имеет шесть степеней свободы. При соединении звеньев некоторые из этих степеней свободы отнимаются ("накладываются связи"). Зависимость между числом накладываемых связей и оставшимся числом степеней свободы в относительном движении звеньев очевидна: W=6–S или S=6–W, таким образом, существует пять классов кинематических пар (если отнять все шесть степеней свободы, то получится неподвижное соединение).  На рисунке 2 приведены примеры некоторых кинематических пар. Шар относительно плоскости (рисунок 2б), не отрываясь от нее, может совершать вращательные движения вокруг всех трех осей координат, а также двигаться вдоль осей "X" и "Y". При движении вдоль оси "Z" шар оторвется от плоскости, т.е. будет два свободных звена – кинематическая пара перестанет существовать. Таким образом, на относительное движение звеньев накладывается одна связь – это кинематическая пара I класса. Аналогично без нарушения характера контакта нельзя цилиндр переместить вдоль оси "Z" и повернуть вокруг оси "Y" (рисунок 2в), т.е. число связей равно двум – пара II класса. Плоскость относительно другой плоскости без нарушения характера контакта может двигаться поступательно вдоль осей "X" и "Y", а также вращаться вокруг оси "Z". Невозможно поступательное движение вдоль оси "Z" и вращательные движения вокруг осей "X" и "Y" (рисунок 2г). Таким образом, число связей равно трем – кинематическая пара III класса.                                                   W = 5                        W = 4                         W = 3                                                S = 1 => I кл.             S = 2 => II кл.              S = 3 => III кл.                                      а)                               б)                              в)                               г) Рисунок 2  Примечание: если в кинематической паре имеются два функционально связанных движения (одно без другого существовать не может), то они дают одну степень свободы.  Например, болт с гайкой составляют кинематическую пару пятого класса. В данном случае имеется два движения гайки при неподвижном болте – вращательное движение вокруг оси болта и поступательное движение вдоль этой оси, но нельзя переместить гайку вдоль оси, не повернув ее, или повернуть гайку так, чтобы она не переместилась вдоль оси. Более того, зная параметры резьбы, легко определить зависимость между углом поворота и поступательным перемещением гайки.  Эти два движения образуют одно сложное (в данном случае – винтовое) движение. Оно определяет одну степень свободы в относительном движении этих звеньев, т.е. число связей равно пяти; 2) по характеру контакта звеньев, соединенных в кинематическую пару. По этому признаку кинематические пары подразделяются на высшие и низшие. Высшие пары имеют точечный или линейный контакт звеньев, составляющих данную кинематическую пару.  В низшей паре звенья контактируют друг с другом по какой-либо поверхности (в частном случае по плоскости).  Низшие кинематические пары обладают большей несущей способностью, т.к. имеют большую площадь контакта (в высшей паре площадь контакта теоретически равна нулю, а реально получается за счет деформации элементов кинематической пары – «пятно контакта"). Но в низших парах при работе происходит скольжение одной поверхности относительно другой, в то время как в высших парах может происходить и скольжение и качение.  Как правило, сопротивление скольжению больше, чем сопротивление перекатыванию одной поверхности относительно другой, т.е. потери на трение в высшей паре (если использовать только качение) меньше по сравнению с низшей парой (поэтому для увеличения коэффициента полезного действия вместо подшипников скольжения обычно ставят подшипники качения). Кинематические пары, изображенные на рисунке 2б и 2в, являются высшими, а пара на рисунке 2г – низшая кинематическая пара; 3) по траектории движения точек, принадлежащих звеньям, составляющим кинематическую пару. По этому признаку выделяют пространственные и плоские кинематические пары.  В плоской кинематической паре все точки движутся в одной или в параллельных плоскостях, а траектории их движения представляют собой плоские кривые. В пространственных парах точки движутся в различных плоскостях и имеют траектории в виде пространственных кривых.  Значительное число механизмов, применяемых на практике, являются плоскими механизмами (по классификации И.И. Артоболевского – механизмами третьего семейства), поэтому необходимо более подробно рассмотреть плоские кинематические пары.  Свободное звено, помещенное в плоскость, имеет три степени свободы (поступательные движения вдоль осей координат и вращательное вокруг оси, перпендикулярной данной плоскости). Таким образом, размещение звена в плоскости отнимает у него три степени свободы (накладывает три связи). Но соединение данного звена с другим в кинематическую пару накладывает на относительное движение еще связи (минимальное число – 1). В результате на плоскости могут существовать только кинематические пары, имеющие две или одну степень свободы в относительном движении.  По общей классификации это пары четвертого и пятого классов. Простейшие пары пятого класса обеспечивают  только одно движение – вращательное или поступательное (вращательная кинематическая пара в технике называется шарниром, поступательную пару по аналогии с поступательно движущимся звеном иногда также называют ползуном).  Две степени свободы в относительном движении на плоскости обычно обеспечивают два соприкасающихся профиля (на кинематической схеме контакт в точке, в реальном механизме это возможно линия, которая проецируется в точку). Таким образом, плоские кинематические пары пятого класса (шарниры и ползуны) одновременно являются низшими парами, а кинематические пары четвертого класса – высшими парами. На рисунке 3 показано схематическое изображение плоских кинематических пар.   4) по характеру замыкания звеньев, соединенных в кинематическую пару. Существует два вида кинематических пар, отличающихся друг от друга по этому признаку. Кинематические пары с геометрическим замыканием и кинематические пары с силовым замыканием.  В парах с геометрическим замыканием конфигурация звеньев препятствует их разъединению в процессе работы. Например, присоединение шатуна к коленчатому валу при помощи шатунной крышки, или любые другие шарниры (дверь с косяком, окно с оконной рамой и т.д.).  В парах с силовым замыканием контакт звеньев в процессе работы обеспечивается постоянно действующей силой. На рисунке 2 все кинематические пары являются парами с силовым замыканием, причем в качестве замыкающей силы выступает вес. Если веса недостаточно, то обычно для создания прижимающего усилия применяют различные  упругие элементы (чаще всего пружины). Кинематическая цепь Кинематическая цепь – это сочетание звеньев, соединенных в кинематические пары. Имеется определенная классификация кинематических цепей – цепи могут быть простыми и сложными, замкнутыми (закрытыми) и разомкнутыми (открытыми), пространственными и плоскими.  Ранее считалось, что механизм может быть сформирован только на основе замкнутой цепи. Однако с развитием робототехники в качестве механизмов стали широко применяться разомкнутые (открытые) цепи. Поэтому данная классификация в некоторой степени утратила свое первоначальное значение. Механизм Механизмом называется кинематическая цепь, имеющая стойку (т.е. звено, принятое за неподвижное), в которой движение одного или нескольких звеньев полностью определяет характер движения остальных звеньев этой цепи. Другими словами, - это кинематическая цепь, обладающая определенностью движения всех звеньев. Только одним звеньям дается принудительное движение (определенным образом задаются их законы  движения, например, подсоединением к двигателю), а другие получают движение от этих звеньев. В итоге механизм можно трактовать как механическую систему тел, предназначенную для преобразования, движения одного или нескольких тел в требуемое движение других тел.  Звенья, законы движения которых заданы, называются входными.  Звенья, законы которых надо определить, называются выходными. Количество входных звеньев определяется числом степеней свободы кинематической цепи, положенной в основу данного механизма. Понятия входное и выходное (вход и выход) – это кинематическая характеристика. Не надо путать с понятиями – ведущее звено и ведомое звено. Ведущим звеном называется звено, к которому подводится мощность; ведомое звено – звено, с которого снимается мощность (для выполнения полезной работы).  Таким образом, понятия ведущее и ведомое звено – это силовая (энергетическая) характеристика. Однако в подавляющем большинстве случаев входное звено одновременно является и ведущим, выходное звено – ведомым. 1.4  Основные виды механизмов Механизмы, входящие в состав машины, весьма разнообразны. Одни из них представляют собой сочетание только твердых тел, другие имеют в своем составе гидравлические, пневматические тела или электрические, магнитные и другие устройства. Соответственно такие механизмы называются гидравлическими, пневматическими, электрическими и т.д. С точки зрения их функционального назначения механизмы обычно делятся на следующие виды: - механизмы двигателей и преобразователей - передаточные механизмы - исполнительные механизмы - механизмы управления, контроля и регулирования - механизмы подачи, транспортировки, питания и сортировки обрабатываемых сред и объектов - механизмы автоматического счета, взвешивания и упаковки готовой продукции.  Механизмы двигателей осуществляют преобразование различных видов энергии в механическую работу (например, механизмы двигателей внутреннего сгорания, паровых машин, электродвигателей, турбин и др.).  Механизмы преобразователей (генераторов) осуществляют преобразование механической работы в другие виды энергии (например, механизмы насосов, компрессоров, гидроприводов и др.). Передаточный механизм (привод) имеет своей задачей передачу движения от двигателя к технологической машине или исполнительному механизму, преобразуя это движение в необходимое для работы данной технологической машины или исполнительного механизма. Исполнительный механизм – это механизм, который непосредственно воздействует на обрабатываемую среду или объект. В его задачу входит  изменение формы, состояния, положения и свойств обрабатываемой среды или объекта (например, механизмы металлообрабатывающих станков, прессов, конвейеров, прокатных станов, экскаваторов, грузоподъемных машин и др.). Механизмами управления, контроля и регулирования называются различные механизмы и устройства для обеспечения и контроля размеров обрабатываемых объектов (например измерительные механизмы по контролю размеров, давления, уровней жидкости; регуляторы, реагирующие на отклонение угловой скорости главного вала машины и устанавливающие заданную скорость этого вала; механизм, регулирующий постоянство расстояния между валками прокатного стана, и т.д.). К механизмам подачи транспортировки, питания и сортировки обрабатываемых сред и объектов относятся механизмы винтовых шнеков, скребковых и ковшевых элеваторов для транспортировки и подачи сыпучих материалов, механизмы загрузочных бункеров для штучных заготовок, механизмы сортировки готовой продукции по размерам, весу, конфигурации и т.д. Механизмы автоматического счета, взвешивания и упаковки готовой продукции применяются во многих машинах, в основном выпускающих массовую штучную продукцию. Надо иметь в виду, что эти механизмы могут быть и исполнительными механизмами, если они входят в специальные машины, предназначенные для этих целей. Данная классификация показывает лишь многообразие функционального применения механизмов, которая может быть еще значительно расширена. Однако для выполнения различных функций часто применяются механизмы, имеющие одинаковое строение, кинематику и динамику. Поэтому для изучения в теории механизмов и машин выделяются механизмы, имеющие общие методы их синтеза и анализа работы, независимо от их функционального предназначения. С этой точки зрения выделяются следующие виды механизмов: - механизмы с низшими парами (рычажные механизмы) - кулачковые механизмы - зубчатые механизмы - фрикционные механизмы  - механизмы с гибкими связями - механизмы с деформируемыми звеньями (волновые передачи) - гидравлические и пневматические механизмы. В пределах данного небольшого курса в основном рассматриваются общие вопросы анализа и синтеза рычажных, зубчатых и кулачковых механизмов. Частично рассматриваются вопросы, связанные с выбором пневмо- и гидропривода.  Механизмы с гибкими связями (ременные и цепные передачи), а также частично фрикционные механизмы и волновые передачи рассматриваются в курсе «Детали машин и основы конструирования» 2  Структурный анализ и синтез механизмов 2.1 Определение числа степеней свободы кинематической цепи Как отмечалось выше, число входных звеньев для превращения кинематической цепи в механизм должно равняться числу степеней свободы этой кинематической цепи.  Под числом степеней свободы кинематической цепи в данном случае подразумевается число степеней свободы подвижных звеньев относительно стойки (звена, принятого за неподвижное). Однако сама стойка в реальном пространстве может перемещаться.  Например, любое неподвижное тело на Земле имеет нулевую степень свободы, но в Мировом пространстве вместе с Землей оно перемещается, используя все шесть степеней свободы.  Другой пример: кинематическая цепь, положенная в основу поршневого двигателя, имеет одну степень свободы относительно стойки (звена, принятого при исследовании за неподвижное, которое состоит из цилиндра, присоединенного к картеру и раме или корпусу автомобиля, мотоцикла или другой машины), хотя при движении машины сама стойка также перемещается.  Однако, независимо от того движется машина или нет, характер движения звеньев поршневого двигателя относительно стойки остается неизменным.  Введем следующие обозначения: k – число звеньев кинематической цепи p1 – число кинематических пар первого класса в данной цепи p2 – число пар второго класса p3 – число пар третьего класса  p4 – число пар четвертого класса p5 – число пар пятого класса. Общее число степеней свободы k свободных звеньев, размещенных в пространстве, равно 6k. В кинематической цепи они соединяются в кинематические пары (т.е. на их относительное движение накладываются связи). Кроме того, в качестве механизма используется кинематическая цепь, имеющая стойку (звено, принятое за неподвижное). Поэтому число степеней свободы кинематической цепи будет равно общему числу степеней свободы всех звеньев за вычетом связей, накладываемых на их относительное движение: W=6k– ∑Si Число связей, накладываемых всеми парами I класса, равно их числу, т.к. каждая пара первого класса накладывает одну связь на относительное движение звеньев, соединенных в такую пару; число связей, накладываемых всеми парами II класса, равно их удвоенному количеству (каждая пара второго класса накладывает две связи) и т.д.  У звена, принятого за неподвижное, отнимаются все шесть степеней свободы (на стойку накладывается шесть связей). Таким образом: S1=p1, S2=2p2, S3=3p3, S4=4p4, S5=5p5, Sстойки=6, а сумма всех связей ∑Si=p1+2p2+3p3+4p4+5p5+6. В результате получается следующая формула для определения числа степеней свободы пространственной кинематической цепи: W=6k–p1–2p2–3p3–4p4–5p5–6. Сгруппировав первый и последний члены уравнения, получаем: W=6(k–1)–p1–2p2–3p3–4p4–5p5, или окончательно:  W=6n–p1–2p2–3p3–4p4–5p5, где  n – число подвижных звеньев кинематической цепи.  Данное уравнение носит название структурной формулы кинематической цепи общего вида.  Формула была получена впервые ( в несколько ином виде) П.И. Сомовым в 1887 г., и развита А.П. Малышевым в 1923 г. Поэтому ее часто называют формулой Сомова-Малышева. В некоторых учебниках ее называют  формулой Малышева – по авторству окончательного варианта. Примечание: авторы некоторых учебников придают иной смысл индексу при обозначении числа кинематических пар pi , а именно:  p1 – число одноподвижных пар (т.е. кинематических пар, обеспечивающих одну степень свободы в относительном движении),  p2 – число двухподвижных пар и т.д.  То есть индекс в данном случае показывает не число связей, а число степеней свободы и в формуле обозначения p1 и p5 , а также p2 и p4 меняются местами. Поэтому при использовании различных учебников необходимо внимательно следить за интерпретацией автора, т.к., к сожалению, часто разные авторы в одно и то же обозначение вкладывают разный смысл. В результате при одних и тех же обозначениях  одни и те же формулы имеют различный вид. В манипуляторах и промышленных роботах используются разомкнутые (открытые) кинематические цепи. В таких цепях число подвижных звеньев равно общему числу кинематических пар: n=p1+2p2+3p3+4p4+5p5, т.е. W=6(p1+2p2+3p3+4p4+5p5)–p1–2p2–3p3–4p4–5p5, или окончательно: W=5p1+4p2+3p3+2p4 +p5. Таким образом, число степеней свободы разомкнутой кинематической цепи равно сумме подвижностей (степеней свободы) кинематических пар, входящих в эту цепь. Кроме степеней свободы на качество работы манипуляторов и промышленных роботов большое влияние оказывает их маневренность.  Маневренность – это число степеней свободы манипулятора при неподвижном захвате. Она определяет способность манипулятора (промышленного робота) обходить препятствия и вычисляется по следующей формуле: M=W–6, где M – маневренность манипулятора. Как было отмечено выше, значительное число применяемых на практике механизмов являются плоскими механизмами (т.е. в их основе лежат плоские кинематические цепи). Помещение кинематической цепи в плоскость накладывает три общие связи на движение всех звеньев этой цепи, поэтому k свободных звеньев, помещенных в плоскость, имеют в общей сложности 3k степеней свободы.  На плоскости существуют только пары четвертого и пятого классов. На кинематическую пару четвертого класса приходится одна связь (в дополнение к трем общим связям, приходящимся на плоскость); на пару пятого класса приходится две связи; у стойки отнимаются все три степени свободы. Таким образом: ∑Si=p4+2p5+3, W=3k–p4–2p5–3, или W=3(k–1)–p4–2p5, окончательно W=3n–2p5–p4. Это есть структурная формула для плоской кинематической цепи.  Эта формула впервые была предложена П.Л. Чебышевым в 1869 г. и ее часто называют формулой Чебышева. Формула Чебышева (как в прочем и формула Сомова-Малышева) дает абсолютно правильный результат для общего случая кинематической цепи, состоящей из соответствующего числа звеньев и кинематических пар.  Однако конструктор из множества размеров и форм звеньев может подобрать такие, которые обеспечат подвижность цепи при нулевой степени свободы, или обеспечить работоспособность механизма с помощью одного двигателя при числе степеней свободы больше единицы. То есть,  как и в большинстве случаев жизни, здесь имеются исключения из правил. Если кинематическая цепь, имеющая в соответствии с формулой Чебышева нулевую степень свободы, оказывается подвижной, это означает, что в данной цепи имеются пассивные (избыточные) связи. При исследовании механизма в этом случае звенья, создающие пассивные связи, просто удаляются из рассмотрения.   На рисунке 4а показана кинематическая схема механизма эллипсографа (W=3 ⋅ 3 – 2 ⋅ 4 = 1). Он обладает следующими свойствами: точки A и B движутся поступательно вдоль осей X и Y как принадлежащие ползунам 1 и 3.  При этом точка M описывает эллипс с малой полуосью, равной отрезку AM и расположенной вдоль оси Y, и с большой полуосью BM, расположенной вдоль оси X (т.е. эллипс, вытянутый вдоль оси X); точка N описывает эллипс с малой полуосью BN и с большой полуосью AN, вытянутый вдоль оси Y.  Точка C (середина отрезка AB) описывает «эллипс» с равными полуосями, т.е. окружность. Если некоторое звено 5 присоединить шарнирами к неподвижной точке O (начало координат) и к какой-либо точке на звене AB (например, к точке N – рисунок 4б), то получится неподвижная система (ферма): W = 3 ⋅ 4 – 2 ⋅ 6 = 0. Однако, если звено 5 присоединить вторым шарниром к звену AB в точке C (рисунок 4в), то движение точки C, принадлежащей звену 5, и движение точки C, принадлежащей звену AB, становятся согласованными – обе точки движутся по одной и той же траектории (по окружности радиуса OC). В этом единственном частном случае кинематическая цепь становится подвижной (формула не может «предусмотреть» такой частный случай – она дает результат для общего случая соответствующего сочетания звеньев и кинематических пар). В данном случае звено 5 накладывает пассивную (избыточную) связь и при исследовании механизма это звено можно не учитывать.  Наличие пассивных связей можно установить построением нового положения заданной кинематической цепи с нулевой (или отрицательной) степенью свободы по тем же размерам звеньев. Если цепь строится в других положениях, она имеет пассивные связи. Если же размеры не стыкуются в новом положении, то это действительно неподвижная система – ферма (при отрицательном числе степеней свободы – ферма статически неопределимая). Лишние степени свободы – если в механизме имеется движение какого-либо звена, не влияющее на движение остальных звеньев этого механизма, то оно дает лишнюю степень свободы.   Обычно лишняя степень свободы образуется при наличии круглого ролика. Вращаясь вокруг собственной оси, он не изменяет характера дв ижения остальных звеньев.  На рисунке 5а изображен механизм с некруглым роликом – здесь положение толкателя 2 будет зависеть не только от положения кулачка, но и от положения ролика. То есть механизм действительно имеет две степени свободы. В механизме на рисунке 5б ролик круглый и его угол поворота не влияет на положение толкателя – положение толкателя полностью определяется положением кулачка.  Таким образом, фактически механизм имеет одну действующую степень свободы (вращение ролика вокруг собственной оси дает формально вторую степень свободы, но это движение не оказывает влияния на движение остальных звеньев механизма).  При исследовании механизма удобно избавиться от лишней степени свободы. Для этого надо практический профиль заменить теоретическим – эквидистантным профилем, проходящим через центр ролика, и удалить ролик из рассмотрения (рисунок 5в). 2.2 Замена высших кинематических пар цепями с низшими парами Высшая кинематическая пара четвертого класса обеспечивает две степени свободы в относительном движении звеньев, поэтому данное относительное движение имеет сложный характер (оно включает в себя несколько взаимосвязанных простых движений).  В то же время низшая пара пятого класса обеспечивает простейшее относительное движение – вращательное или поступательное (эти два вида движения хорошо изучены и для их анализа разработаны относительно простые методы). Таким образом, с точки зрения методов исследования работы механизма, удобнее иметь дело с низшими кинематическими парами пятого класса.  Оказывается, что высшие пары четвертого класса можно заменить эквивалентными с точки зрения работы механизма цепями с низшими парами пятого класса. При этом необходимо выполнить следующие условия: - число степеней свободы механизма при замене не должно изменяться; - характер мгновенного относительного движения звеньев также должен оставаться прежним. Для выполнения этих условий замена производится в следующем порядке (рисунок 6а): - проводится общая нормаль к соприкасающимся профилям, составляющим высшую пару, в точке их контакта; - определяется положение центров кривизны этих профилей в данной точке контакта и в каждом центре кривизны ставится шарнир;  - указанные шарниры соединяются жестким стержнем, в результате формируется фиктивное звено, которое в заданном механизме отсутствует; - фиктивное звено указанными выше шарнирами присоединяется к тем звеньям механизма, которые входят в заменяемую высшую пару. На рисунке 6 приведены примеры замены высшей кинематической пары для различных типов механизмов.   Примечания: 1) имеются строгие доказательства того, что представленная последовательность действий обеспечивает выполнение условий, предъявляемых при замене высших пар. Однако в данном коротком курсе эти доказательства упущены; 2) если профиль представляет собой одну единственную точку (профиль постоянно работает одной точкой), то его радиус кривизны равен нулю и центр кривизны находится в этой же точке (рисунок 6б); 3) если профиль представляет собой прямую линию (работ ют разные точки этой прямой), то вместо шарнира ставится ползун, который движется вдоль этого прямолинейного профиля (действительно, центр кривизны прямолинейного профиля находится в бесконечности и шарнир, расположенный в бесконечности, обеспечивает вращательное движение с бесконечно большим радиусом вращения, т.е. поступательное движение. Таким образом, фиктивное звено с прямолинейным профилем соединяется поступательной кинематической парой) – рисунок 6в; 4) на рисунке 6г приведен пример замены высшей пары, в котором, представлены обе особенности, отраженные в п.п. 2 и 3 данного примечания (в данном случае шарнир располагает непосредственно на ползуне); 5) при замене высших кинематических пар лишние степени свободы автоматически исчезают. Поэтому, если при замене число степеней свободы уменьшилось, значит в механизме имеются лишние степени свободы. Таким образом, число степеней свободы заменяющего механизма совпадает с числом действующих (без лишних степеней свободы) степеней свободы заданного механизма (рисунок 7).    Каждая замена справедлива для данного мгновенного положения механизма. В другом положении замена будет аналогичной, но размеры звеньев заменяющей цепи изменятся, т.к. изменятся радиусы кривизны профилей в новой точке контакта. (Поэтому данный искусственный прием может использоваться только как метод исследования механизмов, но не как метод их проектирования). 2.3  Структурная классификация плоских механизмов Среди различных видов классификации механизмов особое место занимает структурная классификация плоских механизмов, основанная на принципе их образования, впервые сформулированном в 1914 году русским ученым Л.В. Ассуром.  В дальнейшем эта теория была развита И.И. Артоболевским и именно в его интерпретации обычно рассматривается данная классификация. Согласно основному принципу, предложенному Л.В. Ассуром, любой плоский механизм может быть образован путем присоединения к начальному или начальным механизмам так называемых структурных групп (в последствии их стали называть группами Ассура).  Начальный механизм Начальный механизм составляют начальное звено со стойкой (начальное звено – это звено, которому приписывается одна или несколько обобщенных координат. Обобщенными координатами механизма называют независимые между собой координаты, определяющие положения всех звеньев механизма относительно стойки. Чаще всего в качестве начального принимается входное звено механизма, но, в принципе, в качестве начального можно принять любое другое звено, если при этом упрощается анализ механизма). Количество начальных механизмов определяется числом степеней свободы рассматриваемого механизма. По И.И. Артоболевскому начальные механизмы относятся к механизмам I класса. 2.3.1  Структурная группа (группа Ассура) Структурная группа (группа Ассура) – это такая кинематическая цепь, присоединение которой к любому механизму не изменяет его числа степеней свободы. При этом такая цепь не должна распадаться на более простые цепи с тем же свойством. Так как группа Ассура не изменяет числа степеней свободы механизма после присоединения к нему или отсоединения от него, то она обладает собственной нулевой степенью свободы. Таким образом: Wгр=3nгр–2p5гр=0, откуда p5гр=3nгр/2 или nгр=2p5гр/3, где: nгр – число звеньев в группе Ассура, включая фиктивные звенья, полученные при замене высших пар, p5гр – число кинематических пар пятого класса в группе Ассура, включая пары, полученные при замене высших пар. Примечание: рассматриваются структурные группы, включающие только низшие пары 5 класса, т.к. при наличии высших кинематических пар в механизме их можно заменить цепями с низшими парами. Так как количество звеньев и кинематических пар заведомо целые числа, то число звеньев в группе Ассура всегда четное, а число кинематических пар кратно трем. Таким образом группы Ассура имеют следующие сочетания чисел звеньев и кинематических пар (таблица 2.1):                                                          Таблица 2.1 nгр 2 4 6 8 10 12 … p5гр 3 6 9 12 15 18 … Группы Ассура подразделяются на классы, порядки. Класс группы Ассура Класс группы Ассура определяется числом сторон замкнутого контура (многоугольника), входящего в состав этой группы. При этом все группы, имеющие два звена, относятся к группам II класса, а контур с числом сторон больше трех должен быть подвижным (т.е. иметь изменяемую форму при работе механизма). Порядок группы Ассура Порядок группы Ассура определяется числом элементов кинематических пар, которыми группа присоединяется к механизму. Группы Ассура второго класса одновременно являются группами второго порядка (иногда их называют двухповодковыми группами), но они еще подразделяются на виды. Вид группы Ассура Вид группы Ассура зависит от сочетания вращательных (шарниров) и поступательных (ползунов) кинематических пар в данной группе. Всего существует пять видов групп Ассура второго класса. 2.3.2  Класс механизма  Класс механизма определяется наивысшим классом групп Ассура, входящих в его состав. На рисунках 8…9 приведены примеры схематического изображения групп Ассура различных классов. Пунктирными линиями изображены звенья механизма, к которым присоединяется данная группа (они не входят в состав группы). Как было отмечено выше, простейшие группы, включающие в свой состав два звена и три кинематические пары пятого класса, относятся к группам Ассура II класса (по И.И. Артоболевскому). Все они имеют два свободных элемента кинематических, которыми присоединяются к другим звеньям механизма (на рисунке 8 – это элементы А и С), поэтому одновременно являются группами второго порядка (в связи с этим обычно о порядке групп Ассура второго класса не говорят). Группа Ассура второго класса, имеющая в своем составе все три вращательные пары (шарниры), условно отнесена к группе первого вида. Последующие виды образуются последовательным замещением вращательных пар поступательными («ползунами»).  Заменой одной крайней вращательной пары поступательной парой образуется группа второго вида.  Замена среднего шарнира на поступательную пару образует группу третьего вида.  Группа четвертого вида получается при замене двух крайних вращательных пар на поступательные и, наконец, заменой одной крайней вращательной пары и средней пары на поступательные формируется группа пятого вида.  Для лучшего запоминания и определения вида группы при структурном анализе механизмов можно воспользоваться аббревиатурой пар, входящих в ее состав: ВВВ (вращательная-вращательная-вращательная) – группа 1 вида; ВВП (вращательная-вращательная-поступательная) – группа 2 вида; ВПВ – группа 3 вида; ПВП – группа 4 вида; ВПП – группа 5 вида.   На рисунке 8 представлены группы второго класса всех пяти видов. В верхнем ряду группы изображены в самом общем случае. Однако на практике многие размеры задаются таким образом, что конфигурация групп значительно трансформируется. Поэтому для лучшей ориентации в таблице приведены некоторые частные случаи, которые могут встретиться при анализе механизмов. На рисунке 9 представлены примеры структурных групп более высоких классов. На рисунке представлены группы только с вращательными парами, что облегчает понимание класса и порядка групп Ассура. На самом деле в любом месте группы вместо вращательной пары может быть поставлена поступательная, что принципиально не меняет сути классификации.   Ценность структурной классификации механизмов заключается в том, что группы Ассура обладают постоянными свойствами, независимо от того в каком механизме они находятся, в какой сфере жизнедеятельности применяется данный механизм. Это дает возможность иметь универсальные методы исследования любых механизмов через разработку методов исследования отдельных групп Ассура. Таким образом, установив класс механизма, фактически определяют порядок анализа и методы решения задач, связанных с его работой. 3 Кинематический анализ механизмов с низшими парами 3.1 Задачи кинематики Кинематический анализ – это исследование движения звеньев механизма без учета сил, вызывающих данное движение. При кинематическом анализе решаются следующие задачи: - определение положений звеньев, которые они занимают при работе механизма, а также построение траекторий движения отдельных точек механизма;  - определение скоростей характерных точек механизма и определение угловых скоростей его звеньев; - определение ускорений отдельных точек механизма и угловых ускорений его звеньев. При решении задач кинематического анализа используются все существующие методы – графический, графоаналитический (метод планов скоростей и ускорений) и аналитический. При кинематическом анализе в качестве начального звена принимается входное звено (звено, закон движения которого задан), т.е. входное звено со стойкой составляют начальный механизм – с него начинается решение задачи.  Далее решение ведется по группам Ассура в порядке их присоединения к механизму. 3.2 Графический метод кинематического исследования При этом методе решение задачи сводится к построению диаграмм (графиков) движения исследуемого звена или точки. Строятся диаграммы перемещений, скоростей и ускорений – поэтому данный метод часто называют методом кинематических диаграмм. Исследование начинается с построения различных положений механизма. Строится “N” последовательных положений механизма, которые он занимает в процессе работы в пределах одного цикла (обычно один полный оборот входного звена). Построение ведется строго в масштабе KL.  Количество положений механизма “N” выбирается в зависимости от необходимой точности исследования. При чисто графическом решении задачи обычно принимают N=12. Это обеспечивает в большинстве случаев достаточную практическую точность при относительно небольшом количестве построений. Большее количество положений делает метод весьма громоздким, приводит к значительному затемнению чертежа и трудности его чтения.  При использовании графического метода в качестве алгоритма решения задачи с помощью ЭВМ количество положений механизма, выбираемых для исследования, не имеет ограничений. Построение отдельных положений механизма ведется по группам Ассура и обычно сводится к графическому  решению элементарных геометрических задач. После построения “N” положений механизма строится диаграмма перемещений исследуемого звена. Одно из положений механизма принимается за нулевое (в качестве нулевого положения можно назначать любое положение механизма, но при чисто графическом решении задачи обычно в качестве нулевого принимают положение механизма, в котором исследуемое звено занимает одно из своих крайних положений).  От нулевого положения производится нумерация остальных положений механизма, последовательно занимаемых им в процессе работы (на входном звене нумерация должна совпадать с направлением его движения).    Рисунок 10 Отметив последовательные положения исследуемого звена, измеряют расстояние до каждого из них от нулевого (см. рисунок 10) и определяют истинные значения перемещений через масштаб чертежа: где _ Si – отрезок, измеренный на чертеже в миллиметрах, Si – истинное перемещение звена в метрах. В общем случае для построения диаграммы назначают масштаб перемещений KS и определяют значения ординат, соответствующие перемещениям звена в каждом положении механизма: где __ S*i  – значение ординаты на диаграмме перемещений в миллиметрах для каждого положения исследуемого звена (для каждого положения механизма – см. рисунок 11). Примечание: если величины отрезков, изображающих перемещение звена на чертеже, подходят для построения диаграммы, то можно без дополнительных расчетов откладывать их по оси ординат на диаграмме перемещений для соответствующих положений. При этом                                                            __   __ Si*=Si   а   KS=KL    Ось абсцисс на диаграммах движения является осью времени t. Однако при построении диаграмм обычно отмечаются положения механизма, для которых производится исследование, а затем (в зависимости от выбранного отрезка на оси абсцисс, соответствующего полному циклу работы механизма, и скорости входного звена) рассчитывается масштаб времени Kt: где n1 – частота вращения входного звена в об/мин  L – отрезок на оси абсцисс диаграммы перемещений, соответствующий полному обороту входного звена. Двойным дифференцированием диаграммы перемещений получают диаграмму скоростей и диаграмму ускорений исследуемого звена или точки.  Так как диаграмма перемещений строится по точкам и уравнение полученной кривой неизвестно, то дифференцирование проводится графическими методами. Если исследуемое звено является коромыслом (т.е. совершает возвратно-вращательное движение), то строится диаграмма угловых перемещений (углов поворота) данного звена, а при дифференцировании соответственно получают диаграмму угловых скоростей и диаграмму угловых ускорений данного звена. Примечание: при измерении углов поворота исследуемого звена надо иметь ввиду, что, независимо от масштаба построения механизма, углы на чертеже имеют истинную величину. Углы измеряют в радианах и переводят в отрезки на диаграмме через масштаб углов поворота: где __ Ψ - отрезок на диаграмме угловых перемещений в мм, соответствующий углу поворота  Ψ  исследуемого звена; KΨ  - масштаб углов поворота в рад/мм.  Для построения траектории движения какой-либо точки надо отметить положение данной точки во всех N положениях механизма и последовательно соединить полученные точки плавной кривой. 3.3 Графическое дифференцирование. Графическое интегрирование Существует три метода графического дифференцирования: метод касательных, метод хорд и метод приращений. Метод касательных  Метод касательных основан на геометрической интерпретации производной. При использовании метода кинематических диаграмм вначале дифференцируется диаграмма перемещений для получения графика (диаграммы) скоростей. Рассмотрим графическое дифференцирование на этом примере. V = ds/dt, но т.к. аналитическое выражение для перемещений в данном случае отсутствует, то представляем значения перемещений и времени через отрезки на диаграмме перемещений: тогда Но отношение бесконечно малого приращения функции к бесконечно малому приращению аргумента на графике представляет собой тангенс угла наклона касательной к данной кривой в рассматриваемой точке, т.е. Используя данное обстоятельство, диаграмму скоростей строят в следующем порядке (рисунок 11): - проводят касательные к диаграмме перемещений в намеченных положениях;  - слева от начала координат на оси абсцисс будущей диаграммы скоростей отмечают полюс P на некотором расстоянии H (которое называется полюсным расстоянием); - из полюса проводят лучи, параллельные проведенным касательным на диаграмме перемещений. Эти лучи отсекают на оси ординат будущей диаграммы скоростей отрезки oi*=H.tg α Таким образом, и скорость в i-том положении и отрезки oi* пропорциональны tg α , а значит отрезки oi* пропорциональны Vi ( скорости исследуемого звена в соответствующем положении механизма), т.е. они представляют собой                                                                                            __ изображение скорости в виде отрезка в некотором масштабе –  Vi . или т.е. где Kv – масштаб диаграммы скоростей по оси ординат в (м/с)/мм. Далее отрезки oi* переносят в соответствующие положения, отмеченные на оси абсцисс, и, соединив концы отрезков плавной кривой, получают диаграмму скоростей исследуемого звена. Аналогично строится диаграмма ускорений. При этом масштаб ускорений   Рисунок 11 Теоретически метод касательных самый точный из графических методов дифференцирования, т.к. дает значение мгновенной скорости (ускорения) именно в том положении, в котором проведена касательная.  Однако из-за трудности точного проведения касательных (и сама дифференцируемая кривая, построенная по точкам, имеет отклонения от ее теоретической функции), практическая точность этого метода весьма низкая, поэтому он используется редко (обычно когда надо проанализировать характер движения звена без получения конкретных численных результатов). Метод хорд При графическом дифференцировании методом хорд последовательность действий точно такая же, что и при методе касательных, но вместо касательных к дифференцируемому графику в конкретных положениях проводят хорды на выделенных участках. В этом случае но т.е. тангенс угла наклона хорды пропорционален средней скорости на выделенном участке, поэтому отрезки 0i* с оси ординат надо переносить на середины соответствующих участков (считая, что средняя скорость примерно совпадает с мгновенной скоростью посередине выделенного участка). По полученным точкам строят диаграмму скоростей (см. рисунок 12).  Аналогично, дифференцируя диаграмму скоростей,  получают диаграмму ускорений. Масштабы всех диаграмм определяют точно так же, как и при использовании метода касательных. Рисунок 12 – Графическое дифференцирование методом хорд Изначально в методе хорд имеется неточность, связанная с тем, что на самом деле средняя скорость на участке не обязательно совпадает с мгновенной скоростью на его середине. Однако практическая точность его значительно выше, чем при использовании метода касательных, т.к. хорду по двум точкам провести легко с достаточно высокой степенью точности. Метод тем точнее, чем ближе хорда к дифференцируемой кривой, поэтому делением кривой на более мелкие участки, можно добиться достаточной для практики точности. Поэтому метод хорд применяется значительно чаще, чем метод касательных.  Метод приращений Метод приращений является частным случаем метода хорд, когда полюсное расстояние принимается равным выделенным участкам на оси абсцисс (при этом все участки должны иметь одинаковую величину H= Δt). В этом случае приращение перемещений на выделенном участке представляет собой среднюю скорость на данном участке в некотором масштабе Аналогично дифференцируется диаграмма скоростей для получения диаграммы ускорений. Метод удобен тем, что не надо проводить никаких вспомогательных линий, дифференцирование осуществляется очень быстро. Однако при повторном дифференцировании (дифференцировании диаграммы скоростей для получения диаграммы ускорений) приращения уменьшаются и точность результатов резко снижается (получается большая относительная погрешность). При анализе и, особенно, при синтезе механизмов может быть графически задана функция изменения скорости звена, а необходимо иметь функцию перемещения (или необходимо определить функцию изменения скорости при заданной графически функции ускорения). В этом случае можно воспользоваться методами графического интегрирования. Применяется два метода графического интегрирования – метод площадей и метод хорд. Графическое интегрирование методом площадей Этот метод основан на геометрической интерпретации (физическом смысле) интеграла. Рассмотрим данный метод на примере интегрирования диаграммы скоростей. В результате интегрирования необходимо построить диаграмму перемещений. где А – площадь под кривой скорости на выделенном участке (что соответствует физическому смыслу интеграла). Для интегрирования методом площадей выделяют на оси абсцисс N положений (в пределах одного цикла). Определяют площадь А1  (в мм2) под графиком скорости на участке 0-1, площадь А2 – на участке 1-2, площадь А3 – на участке 2-3 и т.д.  Умножив эти площади на масштаб скоростей и масштаб времени диаграммы скоростей, получают истинные перемещения на выделенных участках, по которым определяют общие перемещения в каждом положении исследуемого звена в расчете от нулевого положения: S0-1 = Kv * Kt * A1;   S1-2 = Kv * Kt * A2;   S2-3 = Kv * Kt * A3; и т.д. S1= S0-1;    S2= S1 + S1-2;    S3= S2 + S2-3;  и т.д. После определения всех перемещений задают масштаб Ks, в котором строят диаграмму перемещений. Графическое интегрирование методом хорд Данный метод основан на том, что интегрирование есть процесс обратный дифференцированию. Поэтому при этом методе производятся все те же действия, что и при дифференцировании методом хорд, только в обратном порядке: - делят интегрируемую кривую на ряд участков; - находят среднее значение функции на каждом участке (приближенно можно принимать за среднее значение функции посередине данного участка); - сносят эти средние значения на ось ординат интегрируемой диаграммы; - слева от начала координат на оси абсцисс отмечают полюс Р на некотором полюсном расстоянии H; - соединяют полюс Р с отмеченными на оси ординат точками, характеризующими средние значения интегрируемой функции на выделенных участках. Полученные лучи характеризуют направления хорд на соответствующих участках искомой функции; - из начала координат проводят хорду на первом участке, параллельную первому лучу; из конца первой хорды на втором участке проводят хорду, параллельную второму лучу и т.д. В результате, после построения всех хорд, формируется ломаная кривая, по вершинам которой надо провести плавную кривую. При интегрировании диаграммы скоростей полученная кривая будет представлять собой диаграмму перемещений (соответственно, при интегрировании диаграммы ускорений, получается диаграмма скоростей). Масштабы полученных диаграмм определяются из  зависимостей, выведенных для графического дифференцирования: Ks = Kv * Kt * H Kv = Ka * Kt * H1 3.4 Графический метод как алгоритм решения задачи с помощью ЭВМ Графический метод кинематического исследования механизмов дает наглядное представление о движении исследуемого звена в пределах всего цикла работы механизма. Вместе с тем, при необходимости исследования характера движения нескольких звеньев, а также многих характерных точек механизма, метод становится весьма трудоемким (громоздким). Кроме того значительным недостатком метода является его сравнительно низкая точность. С развитием электронно-вычислительной техники сложилось впечатление, что методы графического исследования «ушли в прошлое» и на первый план должны выйти чисто аналитические (принципиально точные) методы. Однако на самом деле графические методы решения задач приобретают новое значение, если их использовать в качестве алгоритмов машинного решения задач.  Такое применение графических методов кинематического исследования механизмов позволяет значительно упростить решение, упростить программы машинного счета и, что самое ценное, сделать эти программы универсальными (т.е. решение ведется по единой программе для любого механизма, для любого звена или точки, для чего достаточно ввести в данную программу только уравнение перемещений исследуемого звена или точки, полученное аналитически для исследуемого механизма).  При этом устраняется и основной недостаток метода – низкая точность, т.к. с помощью ЭВМ можно добиться практически любой разумной наперед заданной степени точности. Кроме того при машинном решении задачи можно обеспечить вывод информации для любого числа положений механизма и в любой форме (в численной форме в виде таблиц, в графическом представлении на дисплее, в виде распечатки диаграмм на принтере  или их изображении, полученном с помощью плоттера). 3.5 Метод планов скоростей и ускорений Метод планов скоростей и ускорений относится к графо-аналитическим методам исследования кинематики механизмов.  Планом скоростей (ускорений) механизма называют чертеж, на котором скорости (ускорения) различных точек изображены в виде векторов, показывающих направления и величины (в масштабе) этих скоростей (ускорений) в данный момент времени. Абсолютное движение любой точки звена может быть составлено из переносного и относительного. За переносное принимается известное движение какой-либо точки. Относительное - движение данной точки относительно той, движение которой принято за переносное: Этот принцип в равной степени относится к перемещениям, скоростям и ускорениям:       Планы скоростей и ускорений обладают следующими свойствами: - на плане абсолютные скорости (ускорения) изображаются векторами, выходящими из полюса плана. На конце вектора абсолютной скорости (ускорения) ставится строчная (маленькая) буква, соответствующая той точке механизма, скорость (ускорение) которой данный вектор изображает; - отрезок, соединяющий концы векторов абсолютных скоростей, представляет собой вектор относительной скорости соответствующих точек. Вектор относительной скорости направлен на плане к той точке, которая в индексе скорости стоит на первом месте; - фигуры, образованные точками одного и того же жесткого звена на плане и на механизме, подобны. Поэтому, если на звене известны скорости и ускорения двух точек, то скорость и ускорение любой третьей точки этого же звена можно найти по подобию; - имея план скоростей, можно найти угловую скорость любого звена механизма. Для определения угловой скорости исследуемого звена надо взять относительную скорость двух любых точек данного звена и разделить на расстояние между этими точками на механизме; - имея план ускорений, можно найти угловое ускорение любого звена механизма. Для определения углового ускорения исследуемого звена надо взять тангенциальную составляющую относительного ускорения двух любых точек данного звена и разделить на расстояние между этими точками на механизме; - звенья, соединенные в поступательную кинематическую пару, имеют одинаковые угловые скорости и одинаковые угловые ускорения. При кинематическом исследовании плоских механизмов методом планов скоростей и ускорений встречается два случая: 1) две точки (одна исследуемая, вторая с известным законом движения, которое принимается в качестве  переносного) принадлежат одному и тому же жесткому звену (рисунок 13). В данном случае относительное движение этих точек получается за счет вращательного движения звена, на котором они находятся. При определении ускорений относительное ускорение раскладывается на нормальное (известное из физики как центростремительное – стремящееся к центру вращения) и тангенциальное.    Рисунок 13 Для примера, приведенного на рисунке 13, нормальное ускорение точки В относительно точки А будет направлено вдоль радиуса ВА к точке А. Тангенциальное – перпендикулярно этому радиусу; 2) звенья соединяются поступательной парой. В этом случае рассматриваются две точки, совпадающие в данный момент времени по своему положению, но принадлежащие разным звеньям – одна ползуну, другая направляющей (рисунок 14).                                                  Рисунок 14 Если известен закон движения направляющей 1, то известны характеристики движения любой точки на этом звене, в том числе и точки С1, принадлежащей этой направляющей.  Движение точки С1 принимается в качестве переносного. Движение точки С2, принадлежащей ползуну, относительно точки С1 получается за счет поступательного движения ползуна вдоль направляющей (влияние вращательного движения исключается, т.к. радиус вращения равен нулю – положение точек С1 и С2 совпадает). При определении ускорений кроме относительного ускорения, направленного вдоль направляющей, возникает кориолисово ускорение (см. рисунок 14). Исследование кинематики механизма методом планов начинается с начального механизма (с входного звена) и далее ведется по группам Ассура в порядке их присоединения к механизму. Для каждой группы Ассура разработаны методы решения (уравнения и порядок построения планов), которые являются неизменными, независимо от того, в каком механизме данная группа Ассура находится. Уравнения планов для групп Ассура второго класса приведены в таблице 3.1. Таблица 3.1 – Кинематический анализ групп Ассура II класса методом планов  вид группы  конфигурация группы  уравнения для построения планов скоростей и для определения угловых скоростей  уравнения для построения планов ускорений и для определения угловых ускорений  1      2        3        4        5     3.6 Аналитический метод кинематического исследования При этом методе звенья механизма, его характерные размеры и перемещения звеньев представляются в виде векторов. В результате формируются векторные многоугольники, на основании которых составляются векторные уравнения. Рассматривая эти векторные уравнения в проекциях на оси произвольно выбранной системы координат, получают системы алгебраических уравнений, решая которые выводят уравнения для определения перемещений (линейных или угловых) исследуемых звеньев.  В качестве параметра выступает обобщенная координата начального звена (обычно угол поворота входного кривошипа). Задавая различные значения обобщенной координаты, по полученным уравнениям определяют положения исследуемых звеньев в различных положениях механизма. Двойным дифференцированием уравнений перемещений получают уравнения для определения скоростей (линейных или угловых) и ускорений (линейных или угловых) исследуемых звеньев. Однако, как показывает практика, уравнения скоростей и ускорений даже для простых механизмов получаются весьма громоздкими, с большой вероятностью получения ошибок при многоступенчатом дифференцировании. Кроме того такой подход требует отдельного программирования для каждого механизма при использовании ЭВМ. Поэтому (как было показано выше) удобно использовать аналитический метод в комбинации с графическим методом в качестве алгоритма машинного решения задачи. Такой подход делает решение задачи весьма рациональным. Особенностью групп Ассура II класса 1-го и 2-го видов является то, что с геометрической точки зрения они имеют два решения. Поэтому применение общего принципа составления аналитических уравнений, изложенного выше, приводит к решению сложных квадратных уравнений, имеющих два корня.  Возникает новая задача по выявлению того корня, который соответствует заданному механизму. Для упрощения решения задачи надо воспользоваться следующими рекомендациями: - в группе 1-го вида при составлении векторного многоугольника необходимо «двигаться» от одного крайнего шарнира к другому, а не по звеньям группы; - в группе 2-го вида при составлении суммы проекций необходимо провести вспомогательную ось перпендикулярно направляющей, по которой движется ползун, и рассмотреть построенный векторный многоугольник в проекции на эту ось. Изображенный на рисунке 11 механизм содержит оба эти случая. При формировании векторного многоугольника для первой части этого механизма, включающей группу Ассура  второго класса первого вида, проведен вектор AC, соединяющий крайние шарниры A и C данной группы (рисунок 11б).  В результате определяются угол  γ  и размер AC, после чего в треугольнике ABC становятся известными все три стороны. По теореме косинусов можно определить любой из углов этого треугольника. В данном случае определяется угол  α  (рисунок 11в), т.к. для дальнейшего решения задачи необходимо знать угол  φ2.            Векторный многоугольник, включающий группу второго класса второго вида, рассматривается в проекции на ось Y1, проведенной перпендикулярно направляющей ABD (рисунок 11в). Полученное алгебраическое уравнение позволяет определить угол  β и далее искомый угол  φ5. Конкретно аналитическое определение углового перемещения выходного звена 5, представленного на рисунке 11 механизма (с учетом изложенных выше рекомендаций), будет иметь следующий вид: По этим уравнениям с помощью ЭВМ определяется угловое перемещение выходного звена  φ5  в рад, угловая скорость  ω5  в рад/с, угловое ускорение  ε5 в рад/с2 для “n” положений механизма. 4 Динамика механизмов и машин 4.1 Задачи динамики В данном разделе изучается движение звеньев механизма с учетом действующих на них сил. При этом рассматриваются следующие основные задачи динамики: 1) изучение сил, действующих на звенья механизма, и определение неизвестных сил при заданном законе движения на входе; 2) задача об энергетическом балансе машины; 3) установление истинного закона движения под действием заданных сил; 4) регулирование хода машины; 5) уравновешивание сил инерции; 6) динамика приводов. 4.2 Силовой расчет механизмов Силовой расчет механизмов относится к решению первой задачи динамики. Как видно из содержания задач динамики, приведенного выше, первая задача включает в себя две части: изучение сил, действующих на звенья механизма; определение неизвестных сил при заданном законе движения на входе (эта вторая часть и есть задача силового расчета). В целях дальнейшего понимания терминологии и систематизации материала целесообразно повторить известные из физики и теоретической механики сведения о силах, а также ввести некоторые новые (применяемые в теории механизмов и машин) понятия. С точки зрения решения задач динамики силы (в данном случае под силой понимается обобщенное понятие силового фактора – собственно сила или момент) можно классифицировать следующим образом: а) по взаимодействию звена механизма с другими объектами. По этому признаку силы подразделяются на внешние и внутренние:  - внешние силы – это силы взаимодействия звена механизма с какими-то телами или полями, не входящими в состав механизма; - внутренние силы – это силы взаимодействия между звеньями механизма (реакции в кинематических парах); - движущая сила – это сила, которая помогает движению звена и развивает положительную мощность;б) по мощности, развиваемой силой. По этому признаку силы делятся на силы движущие и силы сопротивления (рисунок 16): - сила сопротивления препятствует движению звена и развивает отрицательную мощность.  Рисунок 16 В свою очередь силы сопротивления можно разделить на силы полезного сопротивления и силы вредного сопротивления: - силы полезного сопротивления – это силы, для преодоления которых и создан механизм. Преодолевая силы полезного сопротивления, механизм создает полезную работу (например, преодолевая сопротивления резанию на станке, добиваются необходимого изменения формы детали; или, преодолевая сопротивление воздуха в компрессоре, сжимают его до требуемого давления и т.д.); - силы вредного сопротивления – это силы, на преодоление которых затрачивается мощность и эта мощность теряется безвозвратно. Обычно в качестве вредных сил сопротивления выступают силы трения, гидравлического и аэродинамического сопротивлений. Работа по преодолению этих сил переводится в тепло и рассеивается в пространство, поэтому коэффициент полезного действия любого механизма всегда меньше единицы; в) силы веса – это силы взаимодействия звеньев механизма с гравитационным полем земли; г) силы трения – силы, сопротивляющиеся относительному перемещению соприкасающихся поверхностей; д) силы инерции – силы, возникающие при неравномерном движении звена и сопротивляющиеся его ускорению (замедлению). Сила инерции действует на то тело, которое заставляет ускоряться (замедляться) данное звено. В общем случае при неравномерном движении возникает сила инерции и момент сил инерции: Fин=-m . as ,   Mин=-Is .  где Fин – главный вектор сил инерции, приложенный в центре масс звена; Mин – главный момент сил инерции; m – масса звена;  Is – момент инерции звена относительно центра масс; as – ускорение центра масс звена;  – угловое ускорение звена. Знак минус в формулах показывает, что сила инерции направлена противоположно ускорению центра масс звена, а момент сил инерции направлен противоположно угловому ускорению звена. Знак силы или момента учитывается только при установлении истинного направления силы или момента на расчетной схеме, а в аналитических вычислениях используется абсолютные их значения.   Рисунок 17 При силовом анализе механизмов могут встретиться различные случаи, когда один или оба силовых инерционных фактора могут иметь нулевое значение. На рисунке 17, приведенном выше, показаны некоторые случаи возникновения сил и моментов сил инерции при движении звеньев механизма.   Непосредственно силовой расчет сводится к определению неизвестных сил, действующих на звенья механизма. Как известно из теоретической механики для определения неизвестных сил используются уравнения статики.  Механизм же является неравновесной системой, т.к. большинство его звеньев имеет неравномерное движение, а точки, принадлежащие этим звеньям, движутся по сложным криволинейным траекториям (напомним: состояние равновесия – это состояние покоя или прямолинейного равномерного движения).  Поэтому для решения поставленной задачи применяется метод кинетостатики. Метод кинетостатики основан на принципе Даламбера: если ко всем внешним силам, действующим на звенья механизма, добавить силы инерции и моменты сил инерции, то данный механизм будет находиться в состоянии статического равновесия. То есть это искусственный прием, приводящий неравновесную систему в состояние равновесия.  Искусственность приема заключается в том, что силы инерции прикладываются не к тем телам, которые заставляют двигаться звенья ускоренно (замедленно), а к самим звеньям. Применив этот прием, в дальнейшем можно производить силовой расчет с использованием уравнений статики. Однако, чтобы решить задачу с помощью только уравнений равновесия, система должна быть статически определимой. Условие статической определимости плоской  кинематической цепи: Для каждого звена, расположенного в плоскости, можно составить три независимых уравнения статики. Если в кинематической цепи имеется "n" подвижных звеньев, то в совокупности для этой цепи можно записать 3n независимых уравнений статики (равновесия). Эти уравнения используются для определения реакций в кинематических парах и неизвестных внешних сил.  На плоскости существуют кинематические пары только пятого и четвертого классов. Пары пятого класса представлены вращательной кинематической парой (шарниром) и поступательной парой (соединение ползуна с направляющей). В шарнире усилие между звеньями может передаваться в любом направлении, поэтому у реакции в шарнире неизвестными являются величина и направление (два компонента), т.е. для определения полной реакции во вращательной паре надо затратить два уравнения статики.  В первом приближении расчет ведется без учета сил трения. В этом случае перемещению ползуна вдоль направляющей ничто не препятствует. Перемещаться же поперек направляющей и поворачиваться ползун не может, поэтому в поступательной паре реакция направлена перпендикулярно направляющей и возникает реактивный момент, препятствующий повороту ползуна. При силовом расчете обычно реактивный момент не определяют, а находят условную точку приложения реакции (произведение реакции на  расстояние до ее условной точки приложения и есть реактивный момент). На определение реакции в поступательной паре также надо затратить два уравнения статики (определить два компонента – величину и точку приложения). Таким образом, на определение полной реакции в кинематической паре пятого класса необходимо затратить два уравнения статики. Пары четвертого класса (высшие пары) на плоскости представляют соприкасающиеся между собой профили. В высшей паре усилие между звеньями передается по общей нормали к касающимся профилям (без учета сил трения). Поэтому в высшей паре четвертого класса реакция неизвестна только по величине (точка приложения реакции в точке контакта профилей, направление вдоль общей нормали к этим профилям).  Таким образом, для определения реакции в паре четвертого класса надо затратить одно уравнение статики (определить один компонент – величину реакции). Если в кинематической цепи количество пар пятого класса равно Р5 , то на определение реакций во всех этих парах надо затратить 2Р5  уравнений статики. На определение реакций во всех парах четвертого класса используется число уравнений, равное количеству этих пар Р4 .  Таким образом, из 3n независимых уравнений статики 2Р5  уравнений используются для определения реакций в парах пятого класса и Р4 – для определения реакций в парах четвертого класса. Оставшиеся уравнения используются для определения неизвестных внешних сил, действующих на звенья механизма. Пусть X – число уравнений, оставшихся для определения неизвестных внешних сил, тогда X=3n–2Р5–Р4, но эта формула совпадает с формулой Чебышева для определения числа степеней свободы плоской кинематической цепи. В результате можно сформулировать условие статической определимости кинематической цепи следующим образом: кинематическая цепь статически определима в том случае, когда число неизвестных внешних сил, действующих на ее звенья, не превышает числа степеней свободы этой цепи. Так как методы решения разработаны для групп Ассура, то необходимо сформулировать условие статической определимости группы Ассура. Группа Ассура – это кинематическая цепь, имеющая собственную степень свободы, равную нулю. Поэтому группа Ассура статически определима, если на ее звенья не действуют неизвестные внешние силы. Уравнений в группе Ассура достаточно лишь для определения реакций в кинематических парах. Это обстоятельство предопределяет порядок силового расчета механизма: - разбивают механизм на группы Ассура, взяв в качестве начального то звено, на которое действует неизвестная внешняя сила; - решение начинают с последней присоединенной группы и заканчивают начальным звеном. При таком подходе на группы Ассура всегда будут действовать только известные внешние силы и из рассмотрения их равновесия будут определены реакции в кинематических парах, а из рассмотрения условий равновесия начальных звеньев будут определены оставшиеся реакции и неизвестные внешние силы. Поскольку решение ведется по группам Ассура, то ниже рассматривается принцип силового расчета групп на примере групп второго класса. 4.3 Кинетостатика групп Ассура второго класса Как было отмечено выше, силовой расчет ведется по группам Асура, начиная с последней присоединенной группы. Для силового расчета группы вычерчиваются строго в масштабе и в том положении, которое они занимают на механизме в рассматриваемый момент времени. К каждой группе прикладывают все известные силы (включая силы инерции и моменты сил инерции, а также реакции в кинематических парах – действие отсоединенных звеньев на звенья рассматриваемой группы Асура).  Неизвестные реакции в шарнирах направляются произвольно; реакции в поступательных парах прикладываются в произвольной точке на направляющей и перпендикулярно этой направляющей.  Все силы на этом этапе можно прикладывать без определенного масштаба, но должны быть строго выдержаны их точки приложения и направления, т.к. при составлении уравнений моментов плечи измеряются непосредственно на чертеже и переводятся через масштаб в истинную величину.  Уравнение плана сил фактически представляет собой векторное уравнение равновесия (группы или отдельного звена).  В уравнении равновесия силы могут располагаться в любом порядке. Однако в данном случае уравнение плана сил представляет собой алгоритм  (определяет последовательность действий) по определению неизвестных реакций, поэтому при формировании векторного уравнения плана сил надо иметь ввиду, что неизвестные составляющие не должны располагаться в середине уравнения (при этом план сил не строится).  Кроме того, не следует разделять составляющие одной и той же реакции, чтобы не делать дополнительных построений для определения полной реакции. Последовательность силового расчета групп Ассура второго класса приведена в таблице 3.2.  Таблица 3.2 – Силовой анализ групп Ассура II класса Заменить реакцию R12 составляющими R12n II AB и R12⊥ AB       Заменить реакцию R43 составляющими R43n II ВС и R43⊥ ВС         группа 1 вида    составить ∑ mB(2)=0 ∑ mB(3)=0 ∑ F(2,3)=0 ∑ F(2)=0 определить  R12  R43  R12n;  R43n  R32  Заменить реакцию R12 составляющими R12n II AB и R12⊥ AB       группа 2 вида  составить ∑ mB(2)=0 ∑ F(2,3)=0 ∑ mB(3)=0 ∑ F(2)=0 определить  R12  R12n;  R43  R43  R32  Заменить реакцию R12 составляющими R12n II AC и R12⊥ AC  группа 3 вида  составить ∑ mC(2,3)=0 ∑ F(2)=0 ∑ mC(3)=0 ∑ F(3)=0 определить  R12  R12n; R32n  h23  R43   группа 4 вида  составить ∑ F(2,3)=0 ∑ mB(2)=0 ∑ mB(3)=0 ∑ F(2)=0 определить  R12; R43  h12  h43  R32   группа 5 вида  составить ∑ F(3)=0 ∑ mA(2)=0 ∑ mA(2,3)=0 ∑ F(2)=0 определить  R23; R43 h32 h43  R12  В таблице приняты следующие обозначения и упрощения: - звенья исследуемой группы обозначены номерами 2 и 3; - от звена 2 отсоединено звено 1, поэтому приложена реакция R12 (действие отсоединенного звена 1 на рассматриваемое звено 2); - от звена 3 отсоединено звено 4, поэтому к звену 3 приложена реакция R43; - черта над обозначением реакции означает, что в данном пункте реакция определена как по величине, так и по направлению (т.е. имеется изображение этого вектора на плане сил);  - с целью уменьшения загромождения чертежа и улучшения наглядности внешние силы, приложенные к звеньям рассматриваемой группы, на рисунке не приведены (надо только иметь ввиду, что все внешние силы, действующие на звенья группы Ассура, известны – это определяется порядком силового расчета механизма). 4.4 Кинетостатика начального звена Как было отмечено выше решение задачи заканчивется рассмотрением начальных звеньев. Обычно в качестве начального звена выступает кривошип, поэтому на рисунке 18 показана расчетная схема и порядок силового расчета кривошипа.                     Рисунок 18 Здесь реакция R21 является известной силой (она равна и противоположно направлена реакции R12, найденной из решения группы Асура, присоединенной к начальному звену). Реакция R01 – действие со стороны отсоединенной стойки на начальное звено. Определяется из плана сил, построенного по первому уравнению рисунка 18. Неизвестный уравновешивающий момент направляется по движению (по направлению угловой скорости) начального звена. Определяется из второго уравнения. Если Мур получился со знаком «минус», то это означает, что механизм движется за счет сил веса и сил инерции, а для сохранения заданного закона движения на входе необходимо в данный момент времени к начальному звену приложить тормозной момент. 4.5 Определение уравновешивающей силы (момента) по методу Жуковского Н. Е. В тех случаях, когда требуется найти только неизвестную внешнюю силу без определения реакций в кинематических парах (например, уравновешивающую силу или момент), удобно воспользоваться методом Жуковского Н.Е., не прибегая к последовательному силовому расчету всего механизма. Метод основан на принципе возможных перемещений – если система находится в равновесии, то сумма работ внешних сил и моментов на малых возможных перемещениях равна нулю ( ∑ Ai = 0). Так как с помощью сил инерции (по принципу Даламбера) механизм приведен в состояние равновесия, то в данном случае принцип возможных перемещений применим. Перейдем к конкретному мгновенному положению механизма, разделив все члены на бесконечно малый промежуток времени (dt), за который происходят указанные малые перемещения: Таким образом, уравнение работ трансформируется в уравнение мгновенных мощностей и принцип возможных перемещений в применении к механизму можно сформулировать следующим образом – если механизм находится в равновесии, то сумма мгновенных мощностей всех внешних сил и моментов, приложенных к звеньям механизма, равна нулю. Жуковским Н.Е. был предложен метод составления этого уравнения с использованием плана скоростей (рисунок 19).  Рисунок 19 На рисунке 19 изображено некоторое звено, в точке А которого приложена сила F. Скорость VA  этой точки изображается на плане скоростей вектором va  в масштабе KV. Перенесем силу F в точку "а" плана скоростей, повернув на 900 (в любую сторону). Возьмем формально момент этой повернутой силы относительно полюса плана скоростей: В результате таким приемом фактически получаем мгновенную мощность, развиваемую силой F. Таким образом для составления уравнения Жуковского прикладывают все силы, действующие на звенья механизма (включая силы инерции), в соответствующие точки плана скоростей, предварительно повернув их на 900. Взяв формально сумму моментов этих повернутых сил относительно полюса плана скоростей, фактически получают уравнение развиваемых ими мощностей.  К полученному уравнению добавляют мощности, развиваемые моментами (включая моменты сил инерции). В уравнение Жуковского мощности должны входить с соответствующими знаками (см. рисунок 16 ). В результате таким приемом фактически получаем мгновенную мощность, развиваемую силой F. Примечание: для составления уравнения Жуковского можно на повернутый (на 900) план скоростей прикладывать силы в своем истинном направлении.  4.6 Учет трения в механизмах По физическим особенностям различают трение внутреннее и внешнее. Внутреннее трение – это процессы, происходящие в твердых, жидких и газообразных телах при их деформации и приводящие к необратимому рассеянию механической энергии. Внутренне трение проявляется в затухании свободных колебаний. Внешнее трение – это сопротивление относительному перемещению, возникающему между двумя телами в зонах соприкосновения поверхностей, то есть в кинематических парах. По кинематическому признаку различают: трение скольжения, возникающее при скольжении одного тела по поверхности другого, и трение качения, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. 4.7 Трение скольжения. Трение в поступательных кинематических парах При определении сил трения используется известная из физики зависимость, показывающая, что сила трения пропорциональна нормальной реакции (закон Амонтона-Кулона). При этом коэффициент пропорциональности зависит от материалов, физического состояния соприкасающихся поверхностей и называется коэффициентом трения скольжения (коэффициент трения обозначается f и является справочным материалом). Геометрическая сумма нормальной реакции и силы трения представляет собой полную реакцию между соприкасающимися поверхностями. Угол между полной реакцией R и нормальной составляющей называется углом трения (обычно обозначается греческой буквой  ρ - рисунок 20а, в некоторых случаях –  φ).  Из рисунка 20а: Таким образом, между коэффициентом трения и углом трения очень простая однозначная зависимость,  которая позволяет в равной степени пользоваться обоими параметрами для характеристики сил трения и получать наиболее удобные зависимости при расчетах. При движении тела по поверхности в разных направлениях полная реакция меняет свое положение, а ее геометрическое место представляет собой конус, который называется конусом трения (см. рисунок 20б).    Заменим силы Q и F (рисунок 20а) результирующей силой FΣ ( рисунок 20в). На расчетной схеме обычно все силы прикладывают в центр ползуна, рассматривая сходящуюся систему сил для упрощения задачи и пренебрегая незначительным расстоянием от поверхности до центра ползуна.  Тело будет двигаться вдоль поверхности, если движущая сила Fдв будет больше силы сопротивления (в данном случае силы трения)  или, в крайнем случае, равна ей. Из рисунка 20в: Таким образом, тело будет двигаться вдоль поверхности в том случае, когда линия действия внешней результирующей силы, приложенной к этому телу, будет проходить вне конуса трения (ускоренное движение) или совпадать с его образующей (равномерное движение). Если линия действия результирующей внешней силы проходит внутри конуса трения, то происходит самоторможение. 4.8 Трение на наклонной плоскости В технике для выигрыша в силе часто используется наклонная плоскость. При этом снижается коэффициент полезного действия из-за наличия трения между поверхностями. Рассмотрим общий случай движения тела, нагруженного вертикальной силой Q, вверх по наклонной плоскости под действием силы F, направленной под углом δ к направлению движения. Угол наклона плоскости α (рисунок 21).   Рисунок 21 Заменим силу трения и нормальную реакцию результирующей реакцией R. Тогда рассматриваемое тело находится под действием трех сходящихся сил : R, Q и F. Равномерное движение – это равновесное состояние, поэтому при равномерном движении векторная сумма этих сил равна нулю: На рисунке 21 приведен векторный треугольник, построенный на основании этой векторной суммы. Из приведенного треугольника по теореме синусов легко определяется зависимость между силами Q и F: Отсюда общее условие движения (не только равномерного) тела вверх по наклонной плоскости имеет следующий вид: Интерес представляет частный случай, когда движущая сила направлена горизонтально (рисунок 22). Рисунок 22 Этот случай описывает работу винтовой пары. Он получается подстановкой в общую формулу значения угла  δ = - α  . В результате условие движения тела вверх по наклонной плоскости под действием горизонтальной силы описывается следующим выражением: 4.9 Учет формы направляющих, приведенный коэффициент трения На силу трения в поступательной паре влияет также форма направляющих. В технике для обеспечения точности поступательного движения часто используются клинчатые направляющие (они удобны, т.к. автоматически устраняются боковые зазоры в поступательной паре). Рассмотрим ползун, изображенный на рисунке 23, который движется в направляющих, имеющих форму клина.   Рисунок 23 Из баланса сил, действующих на ползун, определяется результирующая нормальная реакция RN. Однако силы трения возникают на боковых поверхностях клина и зависят от нормальных реакций RN1 и RN2, перпендикулярных к этим боковым поверхностям. Результирующая нормальная реакция является геометрической суммой реакций  RN1 и RN2 : Наиболее часто в технике используется симметричное расположение боковых поверхностей клинчатых направляющих. В этом случае: Как видно, в этом случае в значительной мере можно влиять на величину силы трения изменением угла между плоскостями направляющих (здесь  β – половина угла клина). Для дальнейших расчетов вводится понятие приведенного коэффициента трения (обозначается f ' ): При уменьшении угла  β  возрастает сила трения на боковых поверхностях клина при одной и той же результирующей нормальной реакции. При применении малых (близких к нулю) углов сила трения увеличивается до очень больших величин (при стремлении угла клина к нулю сила трения стремится к бесконечности). Именно это явление привело к появлению термина «заклинивание».  Этот эффект широко используется в бытовой практике и в технике (например: соединение деревянных строительных конструкций с помощью клиньев; применение для рубки дров специального  топора – «колуна» с увеличенным углом заточки для предотвращения застревания при колке дров; применение клиньев для удержания бурильной колонны; применение клиноременных передач для увеличения тяговой способности; в крепежных резьбах для предотвращения самоотвинчивания и др). 4.10 Трение во вращательных парах В конструкции вращательной пары (шарнира) можно выделить два вида соприкасающихся поверхностей (рисунок 24): - цилиндрические поверхности вала и отверстия, - торцовые поверхности соединенных звеньев. Цилиндрическая опорная поверхность вала (воспринимающая радиальную нагрузку) называется цапфой. (Концевая цапфа называется шипом, цапфа, расположенная в середине вала называется шейкой).  Цилиндрическая часть опоры, работающая с цапфой и воспринимающая радиальные нагрузки, называется подшипником (от слова шип – подшипник).   Торцовая (плоская) часть вала, воспринимающая осевые нагрузки называется пятой. Часть опоры, работающая с пятой и воспринимающая осевые нагрузки, называется упорным подшипником («подпятником»).   Рисунок 24 При решении задачи об определении силы трения во вращательной паре рассматривается две гипотезы: - по первой гипотезе удельное давление считается распределенным равномерно по опорной поверхности (q=const). Эта гипотеза справедлива для тихоходных валов и плохо прирабатывающихся поверхностей; - по второй гипотезе расчет ведется с учетом износа поверхностей при работе пары. Она справедлива для быстроходных валов и хорошо прирабатывающихся поверхностей. 4.11 Трение в цапфах   Первая гипотеза. Удельное давление по опорной поверхности распределяется равномерно, т.е. q=const (рисунок 25а). Выделим бесконечно малый элемент поверхности, определяемый центральным углом dα , на расстоянии   α от вертикальной оси. На этот элемент действует нормальная реакция dRN, которая определяется через удельное давление и площадь выделенного элемента:  Сумма элементарных нормальных реакций в проекции на вертикальную ось уравновешивает радиальную силу, действующую на цапфу: Получается промежуточный результат, определяющий величину удельного давления: Однако этот результат имеет большое самостоятельное значение. Он показывает, что удельное давление (а в расчетах на прочность это напряжение смятия на поверхности контактирующих деталей) определяется делением радиальной силы на проекцию площади контакта на диаметральную плоскость вала (а не на полную величину контактной площади). Это положение широко применяется при расчетах деталей машин. Определим величину элементарной силы трения, действующей на выделенный элемент, и элементарный момент трения от этой силы: Просуммировав элементарные моменты от силы трения по всей площади контакта, получаем значение момента трения на поверхности цапфы по этой гипотезе:  Здесь fI' – приведенный коэффициент трения, вычисляемый по первой гипотезе. Вторая гипотеза. Расчет ведется с учетом износа поверхности контакта. При этом принимается следующее допущение – изнашивается подшипник, а вал остается неизменным. Это допущение вполне отвечает реальной ситуации, т.к. вал воспринимает все нагрузки от передач, работает в тяжелом режиме, обычно выполняется из качественных сталей, опорные поверхности часто подвергаются термическому упрочнению.  С целью уменьшения потерь на трение (для формирования антифрикционной пары) подшипники скольжения выполняются из более мягких материалов,  имеющих в паре со стальным валом пониженные коэффициенты трения (бронзы, баббиты и др.). Понятно, что именно более мягкий материал будет изнашиваться в первую очередь. В результате износа подшипника вал «просядет» на некоторую величину (рисунок 25б). Из теории износа известно, что величина износа пропорциональна удельному давлению и относительной скорости трущихся поверхностей. Но в данном случае относительная скорость – это окружная скорость на поверхности цапфы, которая во всех точках одна и та же. Поэтому величина износа будет больше в тех местах, где больше удельное давление, т.е. величина износа пропорциональна удельному давлению.  На рисунке 25б показаны два положения вала – в начале работы и после того, как произошел износ поверхности. Изношенный слой представляет собой серповидную фигуру. Но так как износ пропорционален удельному давлению, то эту серповидную фигуру можно принять за эпюру удельного давления, выполненную в некотором масштабе.  Как видно, в результате износа происходит перераспределение удельного давления на поверхности трения. Максимальное давление qmax располагается на линии действия радиальной нагрузки, действующей на вал.  Так как вал в результате износа подшипника опустился на некоторую величину, то расстояние по вертикали для любой точки вала между ее первоначальным и новым положениями одно и то же (и равно qmax). Поэтому текущее значение удельного давления на выделенном элементе, можно выразить приближенно из криволинейного прямоугольного треугольника (рисунок 25 б): Дальнейший ход решения задачи ничем не отличается от решения по первой гипотезе. В результате получают следующие зависимости для определения момента сил трения по второй гипотезе: Таким образом, происходит уменьшение приведенного коэффициента трения (примерно на 20%) и, соответственно, снижение потерь на трение и увеличение коэффициента полезного действия. Вот почему все новые машины обязательно проходят обкатку при неполной мощности.  В результате обкатки происходит первичный износ поверхности (сглаживание микронеровностей), происходит приработка поверхностей («притирка» поверхностей одна к другой). Только после этого машина может использоваться на полную мощность. 4.12 Трение в пятах   Первая гипотеза. Так как в данном случае опорная поверхность является плоскостью, то постоянное удельное давление (рисунок 26а) определяется простым делением осевого усилия на площадь опорного кольца: Выделим кольцевой элемент поверхности толщиной dρ  на расстоянии  ρ  от центра пяты (рисунок 26в). Элементарная нормальная реакция, действующая на этот элемент, определяется умножением удельного давления на его площадь: Определим элементарную силу трения и момент от этой силы трения: Проинтегрировав по всей опорной поверхности, получим общий момент трения:   Подставив значение q, окончательно получаем: Вторая гипотеза. Как показывает практика, по истечении времени происходит равномерный износ опорной поверхности пяты, т.е. произведение удельного давления на относительную скорость величина постоянная: В данном случае скорость в разных точках контактной поверхности различна: Но так как для вала угловая скорость едина, то износ будет пропорционален произведению q⋅ρ другими словами это произведение является некоторой константой k: Таким образом, эпюра удельного давления представляет собой гиперболическую зависимость (рисунок 26б). В результате износа поверхности удельное давление перераспределяется таким образом, что при приближении к оси вращения вала оно резко увеличивается (теоретически увеличиваясь до бесконечности в центре опорной поверхности). Именно поэтому сплошные пяты в технике практически не применяются.  Дальнейшее решение ведется аналогично решению по первой гипотезе. В результате получается следующая зависимость для определения момента от сил трения на опорной поверхности пяты:   В полученном виде сложно сравнивать гипотезы между собой. Поэтому для оценки результатов рассматривают сплошные пяты (d=0): Сравнение показывает, что приработкой поверхностей пяты достигается эффект, аналогичный тому, который имеет место в цапфах – величина сил трения уменьшается на 20…25% 4.13 Трение гибких тел Гибкие ленты, ремни, канаты и другие подобные материалы, оказывающие малое сопротивление при изгибе получили широкое применение в машинах в виде ременных и канатных приводов, а также в механизмах грузоподъемных машин, в ленточных тормозах.  При определении силы трения между барабаном и гибкой нитью (лентой) принимается следующее допущение – нить абсолютно гибкая и нерастяжимая. При таком допущении пренебрегают усилиями, затрачиваемыми на деформацию нити – ее изгиб и растяжение. В этом случае, для того, чтобы нить перемещалась по барабану, к сбегающей ветви надо приложить усилие S2, преодолевающее усилие набегающей ветви S1 и силу трения между нитью и барабаном (рисунок 27):   Рисунок 27 Центральный угол  α, в пределах которого нить касается барабана, называется углом обхвата. Выделим элемент нити, стягиваемый центральным углом dφ , и рассмотрим его равновесие в проекциях на оси X и Y . Заменив синус бесконечно малого угла самим углом (dφ/2), косинус бесконечно малого угла приравняв единице и, отбросив член второго порядка малости (произведение двух бесконечно малых величин dS.cos(dφ/2)), после несложных преобразований получаем следующие зависимости: Разделив переменные, проинтегрируем полученное уравнение в пределах угла обхвата: В результате сила трения между гибкой нитью (лентой) и барабаном определяется следующим образом: Эта формула получена Л. Эйлером и носит его имя. В данном случае появляется дополнительный фактор – угол обхвата, с помощью которого можно существенно влиять на величину силы трения, что широко используется в технике. 4.14 Трение качения Сопротивление, возникающее при качении одного тела по другому, называется трением качения. Оно обусловлено деформациями этих тел (рисунок 28).   Рисунок 28 На рисунке 28 показано два разных состояния одного и того же катка. Слева изображен каток в состоянии покоя. Удельное давление на контактной площадке (которая образуется в результате деформации контактирующих звеньев) распределяется симметрично (по теории Герца – по эллиптическому закону) относительно линии действия приложенной нагрузки. В результате нормальная реакция совпадает с линией действия внешней силы и уравновешивает ее. Справа каток движется под действием силы F, приложенной к катку на некотором плече h. Происходит перераспределение деформации таким образом, что впереди катка (по ходу движения) образуется волна деформации. Эпюра удельного давления трансформируется и нормальная реакция смещается вперед по ходу движения катка на величину k, создавая момент сопротивления. Этот момент сопротивления называется моментом трения качения, плечо k – коэффициентом трения качения. Формула для определения момента трения качения аналогична формуле для определения силы трения в поступательной паре (коэффициент трения качения, как и коэффициент трения скольжения, является справочным материалом – определяется экспериментально). Однако надо помнить, что коэффициент трения качения величина размерная – имеет линейную размерность (м, см, мм). В высшей кинематической паре возможно не только качение одного звена по поверхности другого, но и относительное скольжение соприкасающихся поверхностей. Поэтому представляет интерес условие, при котором будет происходить тот или иной процесс. Для того чтобы звено катилось, движущий момент должен быть больше момента сопротивления (или равен ему). В данном случае в качестве момента сопротивления выступает момент трения качения: Для того чтобы звено скользило вдоль поверхности второго, движущая сила должна быть больше силы трения скольжения (или равна ей): Звено будет двигаться по пути наименьшего сопротивления. Поэтому будет происходить чистое качение, если: Соответственно условие чистого скольжения: При  k/h = f  происходит неопределенное движение (одновременное качение со скольжением). Если движущая сила приложена в центре катка, то вместо плеча h надо подставить радиус катка r.  Видно, что с уменьшением радиуса резко возрастает сопротивление качению и, с большей вероятностью, под действием движущей силы каток будет скользить (поэтому колеса транспортных машин, требующих значительной проходимости в любую погоду, – колесные трактора, вездеходы, «внедорожники» – имеют большой диаметр). 4.15 Энергетический баланс машины При изучении движения машинного агрегата используют теорему об изменении кинетической энергии системы – алгебраическая сумма работ всех сил и моментов, действующих на систему, равна приращению кинетической энергии этой системы. Уравнение, получаемое при этом, носит название уравнения энергетического баланса машины. В зависимости от приращения кинетической энергии ΔТ выделяют три этапа работы машины:  1) ΔТ>0 – разбег или разгон машины 2) ΔТ=0 – этап установившегося движения 3) ΔТ<0 – остановка или выбег машины.  Рисунок 29 Производительным этапом работы машины является установившееся движение. На этом режиме машина может работать сколь угодно длительное время в пределах рассчитанной долговечности. При установившемся режиме работы движение может быть равномерным, но обычно это периодическое движение.  Промежуток времени, по истечении которого звенья механизма принимают первоначальное положение, а их скорости и ускорения приобретают первоначальные значения, называется циклом установившегося движения. Рассмотрим уравнение энергетического баланса более подробно. Среди сил, действующих на звенья механизма, обязательно присутствуют силы веса. Они могут играть двоякую роль – они являются движущими, если центр тяжести звена опускается (движется вниз), и являются силами сопротивления в те моменты времени, когда центр тяжести звена движется вверх.  Силы сопротивления также моно разделить на две категории – силы полезного сопротивления (преодоление  этих  сил создает полезную работу), и силы вредного сопротивления (на их преодоление затрачивается мощность, которая теряется безвозвратно – силы трения, силы гидравлического сопротивления, силы аэродинамического сопротивления и т.д.). В результате уравнение энергетического баланса можно записать в следующем виде: Из теоретической механики известно, что приращение кинетической энергии системы равно работе сил инерции, взятой с обратным знаком. Тогда уравнение энергетического баланса приобретает следующий вид:       Уравнение энергетического баланса служит для оценки экономичности работы машины, ее коэффициента полезного действия (КПД).  Обычно определяют коэффициент полезного действия за один цикл установившегося движения, т.к. именно он определяет экономичность работы машины на производительном этапе работы. За один цикл установившегося движения центр тяжести звена приходит в первоначальное положение, т.е. описывает замкнутую траекторию, а работа сил веса на замкнутой траектории равна нулю.  Приращение кинетической энергии (и работа сил инерции) за один цикл установившегося движения также равно нулю. Таким образом, уравнение энергетического баланса приобретает вид:                      Отсюда коэффициент полезного действия (отношение полезной работы к затраченной)    Обычная известная формула, но надо понимать, что она справедлива, когда рассматривается установившееся движение и промежуток времени, кратный циклу. Если же надо оценить работу машины за отрезок времени, не соответствующий циклу, то надо применить полное уравнение энергетического баланса. 4.16 Коэффициент полезного действия системы механизмов Часто для выполнения необходимой работы в машине применяется несколько разных механизмов, соединенных между собой. Последовательное соединение (рисунок 30). Рисунок 30 В этом случае движение (и мощность) передается последовательно от одного механизма к другому. Полезной работой для предыдущего механизма является приведение в движение следующего. То есть полезная работа на выходе предыдущего механизма является одновременно движущей для последующего. Полезной работой всей системы является работа на выходе из последнего механизма системы:                     Таким образом, общий коэффициент полезного действия системы последовательно соединенных механизмов равен произведению коэффициентов полезного действия этих механизмов: Так как КПД любого механизма меньше единицы, то КПД системы последовательно соединенных механизмов оказывается всегда ниже худшего из механизмов этой системы. Поэтому, если применяется система последовательных механизмов (или отдельных элементов), то не следует включать в эту систему механизмы с низкими КПД. Если последовательно соединяется "n" одинаковых механизмов:   то          где  ηP – КПД любого промежуточного механизма. Параллельное соединение ( рисунок 31). Рисунок 31 Несколько механизмов приводятся в движение одним двигателем. Полезная работа системы складывается из полезных работ на выходе из каждого механизма. На приведение в движение каждого из механизмов двигатель затрачивает часть своей энергии (АДВ i ). Тогда коэффициент полезного действия такой системы можно представить следующим образом:   В данном случае величина общего кпд зависит от доли энергии, отдаваемой двигателем механизмам с более высокими  или более низкими кпд. Но во всех случаях общий КПД занимает некоторое промежуточное значение по отношению к частным КПД механизмов, соединенных в систему (КПД системы будет тем выше, чем большая часть энергии двигателя будет отдаваться механизмам с высокими КПД). Если параллельно соединяется "n" одинаковых механизмов: При параллельном соединении одинаковых механизмов КПД системы не изменяется и равен КПД одного механизма. 4.17 Приведение сил и масс в механизмах. Уравнение движения механизма в дифференциальной форме О движении всех звеньев машины можно судить по движению одного звена, так как движение всех звеньев взаимосвязаны. Звено, по движению которого судят о характере работы машины, называется главным.  За главное звено обычно принимают ведущее звено, так как оно непосредственно связано с двигателем. Чтобы иметь право судить по движению главного звена о движении остальных звеньев, необходимо учесть силы и моменты, действующие на все звенья механизма, а также массы и моменты инерции всех звеньев. Для этого все силы и массы приводят к главному звену. Приведенной силой (моментом) называется такая сила (момент) приложения к главному звену, которая развивает мощность равную сумме мощностей приводимых сил и моментов: Если главное звено совершает поступательное движение, то удобно все силы и заменять эквивалентной по своему действию на механизм приведенной силой. Если главное звено вращается (что встречается гораздо чаще), то определяют приведенный момент. Приведенной массой (моментом инерции) называется такая условная масса (момент инерции), обладая которой главное звено имеет кинетическую энергию, равную сумме кинетических энергий приводимых масс и моментов инерции: Здесь также удобно определять приведенную массу, если главное звено движется поступательно, и определять приведенный момент инерции, если главное звено совершает вращательное движение. После приведения сил и масс к главному звену определяется его истинный закон движения.  Для установления истинного закона движения уравнение энергетического баланса записывается в дифференциальной форме, которое в данном случае носит название уравнения движения машины. Дальнейшее решение задачи осуществляется интегрированием уравнения движения машины: Из-за несоответствия характеристики двигателя и приведенного момента происходит отклонение истинного закона движения главного звена от первоначально заданного, происходят колебания угловой скорости.   Рисунок 32 Эти колебания оцениваются коэффициентом неравномерности хода. Коэффициент неравномерности хода определяется для цикла установившегося движения, обычно обозначается  δ  и определяется следующей формулой: Опыт эксплуатации машин показывает, что на качество работы машины в большей степени влияет величина колебаний скорости главного звена, а не закон, по которому эти колебания происходят.  Поэтому решение задачи обычно сводится к определению коэффициента неравномерности хода δ, после чего он сравнивается с допустимой величиной [δ] для данного типа машин. Решение уравнения движения машины (интегрирование) и определение коэффициента неравномерности хода обычно производят графическими методами. Если коэффициент неравномерности хода окажется больше допустимого для данного типа машин, то необходимо отрегулировать ход машины, т.к. колебания скорости вызывают дополнительные динамические нагрузки на детали машин, а также ухудшают рабочий процесс машины. Простейшим способом регулирования хода машины является постановка маховика. Маховик – это обычно колесо, имеющее массивный обод. Обладая значительной массой, маховик играет роль аккумулятора кинетической энергии. При избытке энергии у двигателя (когда момент двигателя больше приведенного момента) маховик накапливает эту энергию, при недостатке – отдает ранее накопленную энергию механизму. За счет этого происходит уменьшение колебаний скорости главного звена.  Чем больше масса и скорость маховика, тем меньше коэффициент неравномерности хода. С целью уменьшения массы маховика целесообразно ставить его на наиболее быстро вращающееся звено. 4.18 Уравновешивание сил инерции вращающихся звеньев При движении звеньев механизма в кинематических парах возникают дополнительные нагрузки от сил инерции звеньев. Эти нагрузки могут являться причиной вибраций, преждевременного износа, снижают кпд и производительность машины.  Особенно нежелательна неуравновешенность в быстроходных звеньях. Поэтому любой вал, ротор в процессе изготовления должен быть уравновешен, чтобы силы инерции, возникающие при его вращении, взаимно компенсировались и не передавались на валы и опоры. Уравновешивание обеспечивается постановкой противовесов – дополнительных масс, создающих силы инерции, противоположные силам инерции, возникающим в звеньях при работе механизма. Для уравновешивания сил инерции от масс, расположенных в одной плоскости, достаточна постановка одного противовеса. Такое уравновешивание называется статическим уравновешиванием или статической балансировкой.  Если массы расположены в разных плоскостях, то возникающие силы инерции создают моменты, изгибающие вал и соответственно увеличивающие нагрузки на опоры. В этом случае необходимо поставить два противовеса, расположенных в двух плоскостях, находящихся на некотором расстоянии друг от друга.  Такое уравновешивание называется динамическим уравновешиванием или динамической балансировкой. 4.19 Электро-, гидро-, пневмопривод механизмов Механизм – это система, предназначенная для преобразования движения одних твердых тел в требуемые движения других твердых тел. Если в преобразовании движения, кроме твердых тел, участвуют жидкие или газообразные тела, то механизм называется соответственно гидравлическим или пневматическим.  Среди гидравлических механизмов наибольшее распространение имеет гидравлический привод (гидропривод). Приводом машин и механизмов называется система взаимосвязанных устройств для приведения в движение одного или нескольких твердых тел, входящих в состав машины или механизма. Основными типами приводов являются: электропривод, гидропривод и пневмопривод. В состав гидропривода входят гидронасос и гидродвигатель. Гидронасосом называется устройство для преобразования механической энергии твердого тела в механическую энергию жидкости. Гидродвигатель – это устройство, предназначенное для преобразования механической энергии жидкости в механическую энергию твердого тела. Часто одно и то же устройство может выполнять как функцию насоса, так и функцию двигателя.   Рисунок 33 На рисунке 33 показана схема типового гидропривода (часто применяемого в машинах-автоматах). Гидродвигатель 1 (обычно называемый гидроцилиндром) выполнен в виде поршня, перемещающегося в цилиндре под действием сжатой жидкости.  Насос 2 может быть любого вида. Для изменения движения поршня гидроцилиндра служит распределитель 3. В положении распределителя, указанном на схеме, жидкость поступает в левую полость гидроцилиндра и поршень идет вправо (рабочий ход). При перемещении подвижной части распределителя влево жидкость от насоса идет в правую полость гидроцилиндра и поршень идет влево. Перемещение подвижной части распределителя достигается путем переменного включения двух злектромагнитов 6.  Тормозное устройство 4 при рабочем ходе включено в сливную линию. Оно выполнено в виде регулируемого дросселя – устройства, в котором перемещение подвижной части вызывает уменьшение площади сечения для прохода жидкости (проходного сечения). При уменьшении площади проходного сечения увеличивается давление в сливной полости гидроцилиндраи происходит торможение. Переливной клапан 5 служит для слива в бак части жидкости, подаваемой насосом, при уменьшении скорости поршня. Пружина клапана подобрана так, что он открывается по достижении определенного давления.  Гидродвигатель 1 в рассматриваемой схеме называется объемным, т.к. преобразование энергии жидкости в механическую энергию поршня происходит при периодическом изменении объема его рабочих полостей. Соответственно и весь гидропривод называется объемным. Этот гидропривод можно назвать также гидравлическим механизмом, предназначенным для преобразования вращательного движения вала насоса в прямолинейное движение поршня. Как и в механизме, состоящем только из твердых тел, уравнение движения гидравлического механизма есть дифференциальное уравнение второго порядка, из которого находится зависимость обобщенной координаты механизма от времени. Отличие состоит лишь в том, что в него входят параметры, зависящие от давления жидкости в разных частях механизма. Для объемного гидропривода, показанного на рисунке 33, уравнение движения (при постоянной приведенной массе) имеет вид: где mпр – приведенная масса движущихся частей насоса, РД  – приведенная движущая сила, РС – приведенная сила сопротивления. Давление p1 зависит от давления на выходе из насоса и потерь давления в напорной линии. Давление р2 зависит от потерь давления в сливной линии и потерь давления в тормозном устройстве. В приведенных формулах А1 – площадь поршня; АШ – площадь штока. Пневмопривод обычно по своему устройству аналогичен гидроприводу, только насос заменяется источником сжатого воздуха, а вместо сливной линии и сливного бака вводится линия, соединяющая нерабочую полость цилиндра с атмосферой. Для решения задач динамики механизмов с пневмоприводом необходимо знать уравнения массового расхода газа при истечении газа из емкости, где поддерживается постоянное давление, и при движении газа по трубопроводу с учетом местных сопротивлений. Здесь определяется массовый расход газа в отличие от задач динамики гидропривода, где принято определять объемный расход жидкости. Это различие связано с тем, что объем газа существенно зависит от давления и температуры. Электропривод представляет собой электромеханическую систему, состоящую из электродвигателя и механической части в виде одного или нескольких типов механизмов для преобразования вращения ротора в требуемое движение исполнительного механизма. Электропривод может использоваться, в том числе, и для приведения в действие насоса гидропривода или компрессора в пневмоприводе. Для исследования динамики электромеханической системы применяют уравнения Лагранжа-Максвелла, которые имеют форму уравнений Лагранжа второго рода и позволяют автоматически получать не только уравнения движения механической части системы, но и связанные с ними уравнения электрической части. Эти вопросы обычно подробно изучаются в университетских курсах теории механизмов и машин и в данном коротком курсе не рассматриваются. 4.20 Выбор типа привода Выбор типа привода зависит от условий работы исполнительного механизма, для которого он предназначен.  Электропривод широко применяется в условиях относительно длительной непрерывной работы механизма: различные станки, транспортеры, вентиляторы, насосы, компрессоры, конвейеры и т.д. Гидропривод используется  в механизмах, требующих больших усилий при относительно небольших (ограниченных) перемещениях: современные экскаваторы, дорожно-строительные и грузоподъемные машины (бульдозеры, грейдеры, скреперы, подъемники, домкраты и т.д), роботы, манипуляторы, гидроусилители (в частности в управлении тяжелыми машинами) и др. Пневмопривод аналогичен работе гидропривода, но более «мягок» в усилии на выходе, поэтому его целесообразно применять в механизмах, в которых необходимо подстраиваться к усилию на выходе. Например, двери пассажирского транспорта.  Пневмопривод обладает большим быстродействием по сравнению с гидроприводом, поэтому его применяют в механизмах типа отбойного молотка, различного рода вибраторах, в пневмоинструменте. 5 Синтез механизмов 5.1 Общие методы синтеза механизмов Проектирование механизмов представляет собой сложную комплексную проблему, решение которой можно разбить на несколько самостоятельных этапов.  Первым этапом проектирования является установление кинематической схемы механизма, обеспечивающей требуемый вид и закон движения. Именно этот этап проектирования в основном  рассматривается в теории механизмов и машин. Раздел теории механизмов, посвященный методам проектирования по заданным кинематическим условиям схем механизмов, получил название синтеза механизмов.  Синтез кинематической схемы механизма состоит в определении некоторых постоянных его параметров, удовлетворяющих заданным структурным, кинематическим и динамическим условиям. При этом одна часть параметров может быть задана, а другая должна быть определена.  В общем случае задачи синтеза механизмов являются многопараметрическими, так как число параметров механизма никогда не бывает однозначным. В настоящее время существует ряд способов решения таких задач с использованием метода параметрической оптимизации. При использовании этого метода обычно одно условие принимается за основное. Тогда все остальные условия будут дополнительными.  Основное условие обычно выражается в виде некоторой функции, экстремум которой должен определить требуемые параметры синтезируемого механизма. Эту функцию обычно называют целевой функцией (или критерием оптимизации).  Так, например, для зубчатого механизма это может его передаточное отношение, для кулачкового механизма – заданный закон движения толкателя, для рычажного механизма – оценка отклонения траектории движения заданной точки от требуемой траектории или заданный закон движения выходного звена и т.д. 5.2 Синтез механизмов с низшими кинематическими парами В плоских механизмах с низшими парами (часто их называют рычажными механизмами) параметрами кинематической схемы являются расстояния между центрами шарниров, размеры, определяющие положения поступательных пар, расстояния до точек, описывающих траектории, и т.п. Определение параметров кинематической схемы механизма по заданным геометрическим и кинематическим условиям движения выходного звена составляют основную задачу проектирования механизмов.  Условия проектирования рычажных механизмов весьма разнообразны, однако из обширного круга задач проектирования можно выделить задачу воспроизведения заданного закона движения или, что то же, заданной целевой функции. Задача о воспроизведении заданного закона движения состоит в определении таких параметров кинематической схемы, которые обеспечивают точное или приближенное движение по заданному закону при определенном законе движения входного звена.  При синтезе механизмов, в которых выходные звенья совершаю сложное движение, в некоторых случаях ограничиваются воспроизведением траектории одной точки этого звена. Соответствующая задача синтеза механизмов носит название задачи о воспроизведении заданной траектории.  В качестве примеров в теории механизмов и машин подробно рассматриваются  следующие задачи проектирования рычажных механизмов: - проектирование шарнирного четырехзвенника по заданным положениям его звеньев; - проектирование кривошипно-ползунного механизма по заданным положениям его звеньев; - проектирование шарнирного четырехзвенника, кривошипно-ползунного и кулисного механизмов по заданному коэффициенту изменения средней скорости выходного звена; - условия существования кривошипа в четырехзвенных механизмах. Примечание: в рамках данного короткого курса подробное изучение этих методов не предусмотрено. 5.3 Методы оптимизации в синтезе механизмов с применением компьютерной техники Под оптимизацией в синтезе механизмов понимают определение выходных параметров синтеза из условия минимума целевой функции при выполнении принятых ограничений. При большом числе параметров оптимизация производится с помощью  компьютерной техники, и сводится к методам поиска комбинации параметров синтеза. Многочисленные методы оптимизации можно свести в три группы: случайный поиск, направленный поиск и комбинированный поиск. Случайный поиск. Метод случайного поиска (его называют также методом Монте-Карло) основан на том, что при одном и том же числе испытаний, вероятность получения решения, близкого к оптимальному, при случайном поиске больше, чем при последовательном переборе через равные интервалы изменения отдельных параметров. Решение задачи с применением случайного поиска выполняется в следующем порядке: - произвольно выбираются выходные параметры синтеза из набора случайных чисел; - по значениям параметров синтеза, удовлетворяющих заданным ограничениям, вычисляется величина целевой функции, которая идет в память машины вместе с соответствующими ей параметрами синтеза; - выбираются другие случайные значения параметров синтеза, проверяются ограничения и вычисляется величина целевой функции. Если новая величина меньше полученной на предыдущем этапе, то она вносится в память машины вместе с соответствующими параметрами синтеза, а прежние значения сбрасываются. Указанные этапы повторяются до тех пор, пока величина целевой функции не станет равной допустимой величине или же практически перестанет уменьшаться. Этот метод достаточно прост, позволяет рассмотреть всю область возможных значений параметров синтеза, но требует большого объема вычислений.  Направленный поиск. При направленном поиске переход от одной комбинации параметров к другой происходит не случайно, а в направлении, соответствующем уменьшению величины целевой функции. Многочисленные методы направленного поиска отличаются между собой способами выбора направления, по которому следует переходить от одних значений параметров к другим. При решении задач синтеза механизмов достаточно применить простейший способ, который дает следующую последовательность вычислений: - как и при случайном поиске, произвольно выбирается первая комбинация искомых параметров, проверяются ограничения и вычисляется целевая функция; - изменяется один из параметров синтеза на малую величину, оставляя все другие параметры неизменными. Если величина целевой функции уменьшилась, то выбранное направление изменения данного параметра правильное. Если значение целевой функции увеличилось, то надо изменить знак приращения параметра на обратный; - последовательно изменяются все другие параметры аналогичным способом; - после того как были изменены все параметры, вновь дается приращение какому-либо из них и эти изменения повторяются до тех пор, пока не будет достигнут минимум целевой функции. Быстрее можно достичь искомого минимума, если есть возможность определять частные производные целевой функции по параметрам синтеза. по значениям этих производных находят направления, по которым функция убывает наиболее быстро. Метод направленного поиска дает возможность уменьшить трудоемкость вычислений. Комбинированный поиск. В общем случае целевая функция может иметь несколько минимумов, отличающихся по абсолютной величине. Наименьший минимум в теории оптимизации называют глобальным минимумом, а все остальные локальными.  Направленный поиск обычно приводит лишь к локальному минимуму. Случайный поиск более подходит к отысканию глобального минимума, т.к. при  нем просматривается вся область изменения параметров, однако он дает слишком большой объем вычислений. Поэтому применяют комбинированные методы, при которых случайным поиском просматривают и сравнивают значения целевой функции в отдельных частях области изменения параметров и затем направленным поиском находят локальные минимумы для тех частей области, где ожидается получение глобального минимума. 5.4 Синтез зубчатых механизмов Зубчатые механизмы применяются для передачи и преобразования вращательного движения. В зубчатых механизмах движение между колесами передается с помощью последовательно зацепляющихся зубьев. Процесс передачи движения с помощью зубьев принято называть зубчатым зацеплением. Вращательное движение между валами можно передавать с помощью фрикционной передачи, в которой вращающий момент обеспечивается силами трения. Основным недостатком фрикционной передачи является возможность пробуксовывания, который отсутствует у зубчатых передач. 5.5 Основной закон зацепления. Зубья зубчатых колес составляют высшую пару IV класса, т.е. представляют собой некоторые поверхности, находящиеся в контакте. Таким образом, профили зубьев – это кривые (а в некоторых случаях прямые) линии. Рисунок 34 На рисунке 34 показаны два профиля, находящиеся в контакте в точке А. Скорость точки А, принадлежащей первому профилю (V1), перпендикулярна радиусу О1А, соответственно, скорость точки А, принадлежащей второму профилю (V2), перпендикулярна радиусу О2А.  Рассмотрим проекции этих скоростей на общую нормаль (N-N), проведенную к профилям в точке их контакта (С1 – проекция скорости V1 , С2 – проекция скорости V2). Могут получиться различные соотношения между значениями этих проекций: 1) С2 > С1 – точка А, принадлежащая второму профилю (А2), в направлении нормали движется быстрее точки А, принадлежащей первому профилю (А1). Второй профиль «убегает» от первого, в следующий момент произойдет разрыв кинематической пары (нарушится контакт между звеньями); 2) С1 > С2 – точка А1 в направлении нормали движется быстрее точки А2 (положение на рисунке 34 соответствует этому случаю), то есть точка А1 стремится к внедрению  во второй профиль. Если вычертить следующее положение механизма, то первый профиль в области точки А будет накладываться на второй.  В теории зацепления это явление носит название «интерференция профилей». В реальном механизме это приведет к заклиниванию или поломке передачи. Очевидно, что оба этих положения недопустимы – и разрыв кинематической пары, и, тем более, заклинивание и поломка делают передачу неработоспособной; 3) С1 = С2 – условие нормальной безотрывной работы профилей. Из рисунка 34 видно, что  ΔAV1C1  подобен   ΔO1AB1, и, соответственно,   ΔAV2C2 подобен   ΔO2AB2. Из подобия треугольников можно записать отношение сходственных сторон: Здесь i12 – передаточное отношение от первого профиля ко второму (это отношение угловой скорости на входе к угловой скорости на выходе). Из подобия треугольников O1B1W и O2B2W (W – точка пересечения общей нормали N-N с линией центров O1O2) получаем: VW1 – скорость точки W, связанной с первым профилем, VW2 – скорость точки W, связанной со вторым профилем. Эти скорости совпадают не только по величине, но и по направлению (VW1⊥O1W, VW2⊥O2W , т.е. оба вектора перпендикулярны межосевому расстоянию O1O2).  Две точки совпадают по своему положению и имеют одинаковые скорости, то есть их относительная скорость равна нулю (VW1W2=0). Таким образом, точка W является мгновенным центром относительного вращения рассматриваемых профилей. Исходя из вышеизложенного, можно следующим образом сформулировать условие работоспособности передачи, составленной из двух профилей, входящих высшую кинематическую пару: - для нормальной безотрывной работы профилей необходимо, чтобы нормаль к этим профилям в точке контакта в любой момент времени проходила через мгновенный центр их относительного вращения.  Это условие носит название основного закона зацепления. Профили, удовлетворяющие основному закону зацепления, называются сопряженными, а кривые которыми они описаны являются взаимоогибаемыми кривыми. При работе передачи взаимоогибаемые кривые перекатываются друг по другу со скольжением. Геометрическое место мгновенных центров скоростей, связанных с первым и вторым колесами, являются центроидами.  При работе передачи центроиды касаются в мгновенном центре относительного вращения и перекатываются друг по другу без скольжения. При постоянном передаточном отношении центроиды представляют собой окружности, которые в теории зацепления называются начальными окружностями.  Таким образом, передачи с постоянным передаточным отношением – это передачи с круглыми колесами, которые используются в большинстве случаев практики. В этом случае мгновенный центр при работе передачи не меняет своего положения и называется полюсом зацепления. Элементы зубчатого зацепления. Стандартами на зубчатое зацепление вводятся определенные обозначения параметров: Z – число зубьев колеса; d – диаметр; h – высота; p – шаг (расстояние между одноименными профилями зубьев, измеренное по дуге какой-либо окружности); S – толщина зуба (также измеряется по дуге окружности); e – ширина впадины между зубьями; a – межосевое расстояние. Вводятся также буквенные индексы, показывающие, к какой окружности относится параметр: w – начальная окружность; b (или B) – основная окружность; a – окружность вершин; f – окружность впадин; Y – окружность произвольного радиуса; Без буквенного индекса – делительная окружность. Делительная окружность – это окружность, на которой шаг (и угол профиля) является стандартным: Как видно из формул, вносить в стандарт непосредственно значения шага неудобно, т.к. при этом диаметр делительной окружности всегда будет величиной иррациональной (при изготовлении круглых деталей измеряют диаметры, поэтому надо, чтобы именно диаметры имели удобную величину). Поэтому в стандарт вводится величина, характеризующая отношение шага к числу  π, которая называется модулем зацепления ( обозначается "m" и представлена в стандарте в миллиметрах).  Таким образом, основные параметры делительной окружности определяются следующими формулами: Модуль зацепления, с одной стороны обеспечивает условие взаимозаменяемости колес (работать в паре могут любые колеса одного модуля), с другой стороны определяет область применения зубчатых передач (передачи с m<1мм – мелкомодульные передачи – применяются в основном в небольших приборах; в общем машиностроении обычно применяют модули в пределах от 2мм до 5мм; модули более 10мм применяются в передачах тяжелого машиностроения). Кроме буквенных индексов используются также индексы числовые. При расчете одной пары колес принято обозначать индексом "1" меньшее колесо пары (которое часто называют шестерней), индексом "2" – большее колесо. Ниже приведены примеры обозначений параметров колес: dw1, dw2  – диаметры начальных окружностей колес пары; df1, df2 – диаметры окружностей впадин; d1, d2 – диаметры делительных окружностей; S1 – толщина зуба на делительной окружности первого колеса; Sa2 – толщина зуба на окружности вершин второго колеса; SY1 – толщина зуба на произвольно выбранной окружности; ew1 – ширина впадины между зубьями на начальной окружности первого колеса; haw1 – высота головки зуба первого колеса (часть зуба, расположенная вне начальной окружности); hwf2 – высота ножки зуба второго колеса (часть зуба, расположенная внутри начальной окружности); a – делительное межосевое расстояние (сумма радиусов делительных окружностей); aw – межосевое расстояние (сумма радиусов начальных окружностей). Следует обратить внимание на то, что шаги на начальных, делительных и основных окружностях для обоих колес пары одинаковы, поэтому в обозначениях этих параметров численный индекс отсутствует: pw1=pw2=pw – шаг на начальной окружности; p1=p2=p – шаг на делительной окружности; pb1= pb2=pb – шаг на основной окружности (основной шаг).  Принятая система удобна, т.к. дает возможность по обозначению легко определить, что это за параметр и к чему он относится. 5.6 Кинематика зубчатых механизмов. 1) Одна пара зубчатых колес (рисунок 35)                                  а)                                                                            б) Рисунок 35 По основному закону зацепления При пересопряжении зубьев следующий зуб второго колеса должен попасть в следующую впадину первого, т.е. шаги на начальных окружностях находящихся в зацеплении колес должны быть одинаковыми:  Таким образом, для одной пары колес передаточное отношение прямо пропорционально отношению угловых скоростей и обратно пропорционально отношению чисел зубьев колес, составляющих пару: Знак передаточного отношения показывает направление вращения колеса на выходе по отношению к направлению вращения на входе:  (+) – направления вращения на входе и на выходе совпадают. Для пары колес направление вращения совпадает при внутреннем зацеплении (рисунок 35б);  (–) – колеса вращаются в противоположные стороны. Это происходит при внешнем зацеплении (рисунок 35а). На рисунке 35 дана фронтальная проекция передач, а также их условное изображение на кинематических схемах при виде сбоку (или в разрезе). 2) Многоступенчатая передача Для увеличения кинематического эффекта несколько зубчатых пар могут последовательно соединяться в единый механизм. Такой механизм называется многоступенчатым зубчатым механизмом или многоступенчатой передачей. Схема одного из таких механизмов приведена на рисунке 36.   Рисунок 36 Запишем передаточные отношения для каждой пары колес данного механизма: Из схемы видно, что колеса 2 и 3 находятся на одном валу и вращаются с одной угловой скоростью (ω2 = ω 3), аналогично  ω4 = ω5. Поэтому в приведенном выше уравнении эти члены сократились. Таким образом, общее передаточное отношение многоступенчатого механизма равно произведению частных передаточных отношений ступеней, из которых состоит данный механизм:   В этой формуле “m” – число передач внешнего зацепления (если число передач внешнего зацепления четное, то знак "+", т.е. колеса на входе и на выходе вращаются в одну сторону; если нечетное, то знак "–". Количество передач внутреннего зацепления не учитывается, т.к. внутреннее зацепление не изменяет направление вращения).  В приведенном примере m=2 (пары Z1* Z2 и Z3* Z4 ; пара Z5* Z6 – пара внутреннего зацепления) и, таким образом, колеса "1" и "6" вращаются в одну сторону.  3) Планетарные и дифференциальные механизмы В практике применяются зубчатые механизмы, имеющие колеса с подвижными геометрическими осями (сателлиты). Такие механизмы называются планетарными (если имеют одну степень свободы) или дифференциальными (если степень свободы равна двум).  Планетарные и дифференциальные механизмы позволяют получить более высокий кинематический эффект, более высокий кпд, более удобную компоновку. Дифференциальные механизмы позволяют также раскладывать одно движение на два или складывать два движения в одно. а)                                           б) Рисунок 37 На рисунке 37 приведен пример дифференциального (рисунок 37 а) и планетарного механизмов (рисунок 37 б). В этих механизмах колесо "2" имеет подвижную геометрическую ось – это и есть сателлит.  Неподвижная геометрическая ось, вокруг которой движется ось сателлита, называется центральной осью. Колеса, геометрические оси которых совпадают с центральной, также называются центральными (на рисунке 37 колеса "1" и "3" – иногда такие колеса называют солнечными). Звено, соединяющее ось сателлитов с центральной осью, называется водилом ( водило обычно обозначается "H"). При кинематическом исследовании дифференциальных и планетарных механизмов применяется метод обращения движения (по-другому его называют методом остановки водила). Смысл этого метода заключается в том, что если всем звеньям системы добавить (с любым знаком) одну и ту же скорость, то характер относительного движения этих звеньев не изменится. Рассмотрим решение с помощью этого метода на примере механизмов, изображенных на рисунке 37. Пусть звенья этого механизма имеют соответственно угловые скорости:  ω1 ,   ω2 ,  ω3 ,   ωH .  Добавим всем этим звеньям угловую скорость (– H). Тогда они будут иметь следующие скорости: (ω1– ωH ), (ω2 –  ωH ), (ω3 – ωH ), (ωH – ωH) = 0. Водило стало неподвижным, значит и ось сателлита 2 также стала неподвижной, т.е. механизм превратился в обычный многоступенчатый механизм с неподвижными осями всех зубчатых колес.  Записываем уравнение передаточного отношения между центральными колесами этого многоступенчатого механизма (для того, чтобы отличить передаточное отношение механизма с остановленным водилом от первоначально заданного, в верхнем индексе ставят обозначение водила H. Для данного примера читается – передаточное отношение от первого к третьему при остановленном водиле): Формулу такого типа, полученную на основе метода обращения движения, называют формулой Виллиса. В данном конкретном механизме (рисунок 38) имеется еще одна особенность – колесо 2 входит последовательно в два зацепления(с первым и третьим колесами), являясь ведомым для первого колеса и ведущим – для второго.  В результате в уравнении его число зубьев сократилось, т.е. его число зубьев не влияет на общее передаточное отношения механизма. Такие колеса часто называют «паразитными», хотя правильно их называть ведомо-ведущими. Полученная формула является универсальной для обоих механизмов, изображенных на рисунке 37. Дифференциальный механизм, изображенный на рисунке 37а, имеет две степени свободы, а поэтому для определенности движения надо задать законы движения двум звеньям. При этом возможны следующие варианты: 1) заданы   ω1 и  ω3 ; из записанной формулы определяется   ωH (вариант, изображенный на рисунке 37 а); 2) заданы   ω1  и  ωH ; из записанной формулы определяется   ω3; 3) заданы   ωH  и  ω3 ; из записанной формулы определяется   ω1. Так как звеньям можно задавать любые законы движения, то, как частный случай, одному из центральных колес зададим угловую скорость, равную нулю. Например, в рассматриваемом механизме зададим   ω3=0, другим словами, затормозим третье колесо. Таким приемом отнимается одна из двух степеней свободы, и механизм из дифференциального превращается в планетарный (рисунок 37 б).  Таким образом, планетарный механизм это частный случай дифференциального, когда одно из центральных колес неподвижно (заторможено).  Поэтому решаются эти механизмы совершенно одинаково, по одним и тем же уравнениям, только в планетарном механизме для неподвижного колеса в уравнение подставляется значение угловой скорости, равное нулю. Для изображенного на рисунке 37б планетарного механизма: Здесь приведен конкретный пример решения, но на самом деле на этом примере надо усвоить метод решения, подход к решению такого рода задач, т.к. метод один, но для каждой схемы механизма будут получаться свои уравнения. 4) Сложные механизмы Существуют механизмы, включающие в свой состав различные части (обычные, планетарные, дифференциальные). В этом случае необходимо разделить механизм на части, записать уравнения передаточных отношений для каждой из них, используя соответствующий метод решения.  Совместным решением полученных алгебраических уравнений находят общее передаточное отношение механизма. (Пример см. в рекомендациях по выполнению расчетно-графического задания). 5.7 Эвольвентное зацепление Подавляющее большинство зубчатых передач, применяемых в технике, имеет зубчатые колеса с эвольвентным профилем.  Эвольвента как кривая для формирования профиля зуба была предложена Л. Эйлером. Она обладает значительными преимуществами перед другими кривыми, применяемыми для этой цели, – удовлетворяет основному закону зацепления, обеспечивает постоянство передаточного отношения, нечувствительна к неточностям межосевого расстояния (что облегчает сборку), наиболее проста и технологична в изготовлении, легко стандартизируется (что особенно важно для такого распространенного вида механизмов как зубчатые передачи). Эвольвента – это траектория движения точки, принадлежащей прямой, перекатывающейся без скольжения по окружности. Данная прямая называется производящей прямой, а окружность, по которой она перекатывается – основной окружностью (рисунок 38 а).                а)                                                         б)            Рисунок 38 Эвольвента обладает следующими свойствами, которые используются в теории зацепления: 1) форма эвольвенты определяется радиусом основной окружности; 2) нормаль к эвольвенте в любой ее точке является касательной к основной окружности. Точка касания нормали с основной окружностью является центром кривизны эвольвенты в рассматриваемой точке; 3) эвольвенты одной и той же основной окружности являются эквидистантными (равноотстоящими друг от друга) кривыми. Положение любой точки на эвольвенте может быть однозначно охарактеризовано диаметром окружности, на которой она расположена, а также характерными для эвольвенты углами: углом развернутости (обозначается  ν), углом профиля (α), эвольвентным углом – invα  (рисунок 38 б). На рисунке 38 б показаны эти углы для произвольно выбранной на эвольвенте точки Y, поэтому они имеют соответствующий индекс: -  νY – угол развернутости эвольвенты до точки у; -  αY – угол профиля в точке Y; -  invαY – эвольвентный угол в точке Y (на окружности диаметра dY ). То есть индекс показывает, на какой окружности находится рассматриваемая точка эвольвенты, поэтому для характерных окружностей используются  индексы, приведенные выше.  Например: αa1 – угол профиля эвольвенты в точке, лежащей на окружности вершин первого колеса;  invα   – эвольвентный угол в точке эвольвенты, находящейся на делительной окружности колеса и т.д.  Рассмотрим свойства эвольвенты. Первое свойство имеет строгое математическое доказательство, однако в рамках данного короткого курса оно не приводится.  Так как при формировании эвольвенты производящая прямая перекатывается по основной окружности без скольжения, то в данный момент времени она вращается вокруг точки N (N – мгновенный центр скоростей), описывая бесконечно малую дугу окружности, которая и определяет кривизну эвольвенты в данной точке. Т.е. отрезок NY – это радиус кривизны эвольвенты в точке Y (NY= ρY). Но отрезок NY в точности равен дуге NY0 (это та же дуга только вытянутая в прямую линию). Таким образом, имеем: Чем больше радиус основной окружности, тем больше радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке (то есть форма эвольвенты действительно определяется величиной радиуса основной окружности). Второе свойство также легко просматривается. Так как N – мгновенный центр скоростей, то скорость точки Y перпендикулярна радиусу NY. Но скорость точки, движущейся по криволинейной траектории, направлена по касательной к этой траектории – в данном случае по касательной к эвольвенте в точке Y.  Перпендикуляр к касательной – есть нормаль, поэтому  прямая YN с одной стороны является нормалью к эвольвенте в точке Y , с другой стороны является касательной к основной окружности (как производящая прямая, перекатывающаяся по основной окружности). То, что точка N является центром кривизны эвольвенты в точке Y, показано при рассмотрении первого свойства. Запишем некоторые зависимости, которые используются в дальнейшем при изучении геометрии эвольвентного зацепления (получаются из рассмотрения рисунка 38 б): Третье свойство эвольвенты очевидно из рисунка 38а. Действительно, если на производящей прямой взять две точки (А и В), то они будут описывать две совершенно одинаковых эвольвенты, причем, как бы не перемещалась производящая прямая, расстояние между этими точками не изменяется (AiBi = Const). Т.е. действительно это эквидистантные (равноотстоящие друг от друга) кривые. Но, самое важное, что это расстояние   AiBi  равно расстоянию между этими эвольвентами, измеренному по дуге основной окружности: Признаком того, что два криволинейных профиля касаются (а не пересекаются), является наличие у них в точке контакта общей нормали. В связи с этим контакт двух эвольвентных профилей происходит на общей касательной к основным окружностям  N1N2  (рисунок 39), которая одновременно будет являться общей нормалью к этим профилям в точке их касания в любой момент времени (на основании второго свойства эвольвенты).   а)                                                                  б) Рисунок 39 Геометрическое место точек контакта профилей, которое они занимают в процессе работы пары зубьев, называется линией зацепления. Таким образом, в эвольвентной передаче линией зацепления является прямая N1N2  (общая касательная к основным окружностям).  На рисунке 39 а показано зацепление двух эвольвентных профилей в разные моменты времени. В обоих положениях прямая  N1N2  является общей нормалью к этим касающимся профилям и проходит через полюс зацепления W (мгновенный центр относительного вращения).  Это, с одной стороны показывает, что эвольвентные профили удовлетворяют основному закону зацепления, с другой стороны обеспечивают постоянство передаточного отношения, т.к. полюс зацепления не меняет своего положения в процессе работы пары (отношение O2W/O1W остается постянным).  С изменением межосевого расстояния будет меняться только положение линии зацепления, но вся картина зацепления останется такой же, т.е. по-прежнему будет сохраняться основной закон зацепления, величина и постоянство передаточного отношения. Это очень важное свойство эвольвентного зацепления, т.к. позволяет вписывать передачу в разные межосевые расстояния, что особенно важно при проектировании коробок скоростей, планетарных и дифференциальных механизмов.  Передача оказывается малочувствительной к неточностям межосевого расстояния, что  позволяет снизить требования к точности сборки. Угол между линией зацепления и общей касательной к начальным окружностям в полюсе называется углом зацепления. Угол зацепления, угол профиля на начальной окружности первого колеса и угол профиля на начальной окружности второго колеса равны между собой ( αw1= αw2= αw), поэтому все они обозначаются одинаково –   αw (без числового индекса – см. рисунок 39 а). Отрезок N1N2 называется теоретической линией зацепления. На этом участке происходит нормальная работа двух неограниченных эвольвент. В реальной передаче эвольвенты ограничены («обрезаны») окружностями вершин, поэтому вся работа пары происходит на участке линии зацепления  P1P2 , заключенном между окружностями вершин (рисунок 39б).  Отрезок P1P2 называется рабочей (активной) частью линии зацепления (иногда называют просто «рабочая линия зацепления», или «активная линия зацепления»). На рисунке 39б показано два положения одной и той же пары: в начале зацепления (зуб ведомого  колеса работает своей вершиной, зуб ведущего колеса –  нижней рабочей точкой профиля Р1), и в конце зацепления (зуб ведущего колеса работает своей вершиной и в следующий момент выйдет из зацепления, зуб ведомого колеса работает своей нижней рабочей точкой профиля Р2). Примечание: здесь термин «нижняя» или «верхняя» точка относится к положению точек относительно основной окружности, независимо от того, как эти точки располагаются одна относительно другой в пространстве. Из двух рассматриваемых точек профиля «нижней» будет та, которая располагается ближе к основной окружности. При увеличении радиуса основной окружности до бесконечности радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке также становится бесконечно большим, т.е. основная окружность и эвольвента превращаются в прямые линии. Эвольвентное зубчатое колесо превращается в зубчатую рейку с прямолинейным профилем зуба.  Таким образом, рейка с прямолинейным профилем зуба представляет собой частный случай эвольвентного зубчатого колеса и обладает всеми его свойствами, т.е. может работать с любым эвольвентным колесом (при одном и том же модуле) без нарушения основного закона зацепления. При этом вращательное движение колеса преобразуется в поступательное движение рейки или поступательное движение рейки преобразуется во вращательное движение колеса с соблюдением постоянства передаточного отношения. Т.к. зубчатая рейка с прямолинейным профилем зуба с одной стороны имеет простые формы и легко задать размеры ее элементов, с другой стороны представляет собой эвольвентное зубчатое колесо, то ее параметры положены в основу стандартизации эвольвентных зубчатых колес. Стандартная зубчатая рейка называется исходным контуром (рисунок 40а). а)                                                              б) Рисунок 40 Имеется несколько стандартов на исходные контуры, учитывающие специфику некоторых видов передач (мелкомодульных, конических и т.д.). В основном используются параметры, определенные ГОСТ 13 755 – 81.  В соответствии с этим стандартом исходный контур имеет следующие параметры: α = 200 – угол профиля исходного контура (основной параметр, определяющий ряд эвольвент, используемых для зубчатых передач в соответствии с этим стандартом, поэтому часто в конструкторской практике говорят, что у нас в стране используется «двадцатиградусная» эвольвента); ha*= 1 – коэффициент высоты головки зуба; c*= 0,25 – коэффициент радиального зазора (по другим стандартам в зависимости от модуля и типа инструмента с*  может быть равен 0,2; 0,3; 0,35);  Приведенные коэффициенты являются безразмерными величинами. Абсолютное значение какого-либо размера получается  умножением соответствующего коэффициента на модуль (Например: высота головки зуба ha=ha*  ⋅ m; величина радиального зазора c = c* ⋅ m и т. д.). Таким образом, форма зуба остается постоянной, а абсолютные размеры определяются модулем (т.е. модуль является как бы коэффициентом пропорциональности).  По высоте зуб исходного контура делится на головку и ножку. Это деление осуществляется делительной прямой. Делительная прямая рейки – это прямая, на которой толщина зуба равна ширине впадины (рисунок 40б).  Высота ножки зуба несколько больше головки для обеспечения радиального зазора между вершинами зубьев одного колеса и окружностью впадин другого после сборки передачи. Стандартные параметры исходного контура на эвольвентное колесо «переносятся» через делительную окружность (на делительной окружности шаг равен стандартному шагу исходного контура p= π ⋅ m, угол профиля равен углу профиля исходного контура   α = 200 ). 5.8 Методы изготовления зубчатых колес Существует два принципиально отличных друг от друга метода изготовления зубчатых колес: - метод копирования. При этом методе профиль инструмента (дисковая или пальцевая фреза) повторяет профиль впадины нарезаемого колеса.  Как метод нарезания колес он обладает существенными недостатками – относительно низкой производительностью и точностью; необходимостью иметь большое количество типо-размеров инструмента для нарезания различных колес (при этом сам инструмент имеет сложную форму); необходимостью иметь на станке дополнительное делительное устройство, и др. Поэтому данный метод при нарезании зубчатых колес используется редко (в основном в ремонтном производстве) и в данном курсе не рассматривается; - метод обката (иногда его называют методом огибания). При этом методе инструмент (долбяк) представляет собой как бы эвольвентное зубчатое колесо, обладающее режущей кромкой (и выполненное из соответствующей инструментальной стали).  При нарезании колеса, помимо движения резания, инструменту и заготовке дают движение обката, т.е. движение, имитирующее работу двух зубчатых находящихся в зацеплении колес. В этом случае на нарезаемом колесе автоматически формируется нужное число зубьев с эвольвентным профилем.  При этом профиль зуба формируется не как копия профиля инструмента, а как огибающая ко многим положениям профиля зуба инструмента в его движении относительно нарезаемого колеса. Значительно повышается производительность (т.к. процесс идет непрерывно) и точность (т.к. нет дополнительного делительного устройства). Резко снижается необходимая номенклатура инструмента, т.к. одним и тем же инструментом можно нарезать колесо данного модуля с любым числом зубьев.  Зубчатая рейка с прямолинейным профилем зуба является частным случаем эвольвентного колеса, поэтому при методе обката наиболее часто используется инструмент реечного типа (инструмент, который в осевом сечении имеет форму зубчатой рейки). Это может быть зубчатая гребенка или червячная фреза, которая применяется наиболее часто. При этом резко упрощается форма инструмента и его изготовление. Стандартная зубчатая рейка, положенная в основу инструмента, называется производящим исходным контуром (рисунок 40б).  Так как головка зуба инструмента формирует ножку зуба нарезаемого колеса, то высота головки производящего исходного контура делается в соответствии с высотой ножки зуба обычного исходного контура, т. е.  производящий исходный контур имеет симметричный по высоте зуб относительно делительной прямой.  Для увеличения стойкости инструмента режущая кромка зуба у вершины имеет скругление. Величина скругления определяется коэффициентом высоты скругленного участка hk*= 0.25. Еще одним значительным преимуществом метода обката является то, что одним и тем же инструментом, на одном и том же станке (без дополнительных затрат) можно у колес с одинаковым числом зубьев для формирования профиля использовать различные участки эвольвенты, значительно изменяя форму зубьев и свойства колес и передач. Это достигается изменением положения инструмента относительно заготовки при нарезании колеса (рис 41).    Рисунок 41 На рисунке 41 изображено станочное зацепление производящего исходного контура с нарезаемым колесом (реечное зацепление).  В данном случае линия зацепления является касательной к основной окружности нарезаемого колеса и перпендикуляром к профилю зуба рейки. Точка ее пересечения с линией центров (в данном случае линия центров – это прямая, проходящая через центр колеса и перпендикулярная к делительной прямой рейки) является полюсом зацепления W, через который проходит начальная окружность нарезаемого колеса в станочном зацеплении.  Прямая рейки, касательная к начальной окружности колеса в полюсе зацепления, является начальной прямой. Так как начальная прямая в процессе нарезания перекатывается без скольжения по начальной окружности колеса (начальные линии – это центроиды в относительном движении), то все размеры с начальной прямой в истинную величину переносятся на начальную окружность нарезаемого колеса, в том числе и шаг.  Но шаг на начальной прямой рейки величина стандартная, которая должна быть на делительной окружности колеса. Поэтому при зацеплении со стандартной рейкой в качестве начальной окружности всегда выступает делительная окружность колеса, а угол зацепления равен стандартному углу профиля исходного контура (αw= α 200). Положение инструмента характеризуется коэффициентом смещения "x". Смещение считается нулевым (x=0), если при нарезании делительная прямая рейки касается делительной окружности колеса (совпадает с начальной прямой рейки); смещение положительное (x=0), если делительная прямая проходит вне делительной окружности нарезаемого колеса (инструмент отодвигается от центра заготовки – именно этот случай изображен на рисунке 41); при отрицательном смещении инструмент приближается к центру заготовки и делительная прямая рейки пересекает делительную окружность колеса.  На рисунке 42 показано, как изменяется форма зуба с изменением коэффициента смещения. Рисунок 42 Из рисунка видно, что во всех случаях формируется одна и та же эвольвента. При изменении положения инструмента изменяется используемый для профиля зуба участок этой эвольвенты. С увеличением коэффициента смещения зуб становится более толстым, более жестким, более прочным на изгиб.  Увеличение радиусов кривизны эвольвенты на более высоких участках приводит также к увеличению контактной прочности зубьев. Применение отрицательного смещения позволяет уменьшить габариты нарезаемых колес. 5.9 Размеры зубчатых колес, формируемые при нарезании стандартным инструментом реечного типа Зависимости для определения основных геометрических размеров можно разделить на две категории: - размеры колес, формируемые при нарезании (в данном коротком курсе рассматривается только нарезание эвольвентных колес методом обката инструментом реечного типа). Вывод соответствующих формул для определения этих размеров производится из рассмотрения зацепления нарезаемого колеса с производящим исходным контуром (рисунок 41). К ним относятся: - диаметр основной окружности (которая определяет форму эвольвенты),  - диаметр окружности впадин,  - толщина зуба на делительной окружности и на окружности произвольного радиуса,  - шаг на основной окружности, положение граничной точки l на профиле зуба (точка, в которой начинается переходная кривая, плавно сопрягающая эвольвенту с окружностью впадин – рисунок 44). - диаметр делительной окружностиВ связи с ограниченным объемом времени на изучение курса ниже приводятся формулы для определения указанных размеров без изложения соответствующих выводов:  - диаметр основной окружности - диаметр окружности впадин - толщина зуба на делительной окружности колеса - толщина зуба на окружности произвольного радиуса здесь эвольвентный угол inv αY  определяется через функцию косинуса - шаг на делительной окружности - шаг на основной окружности - угол профиля в граничной точке l 2) размеры, характеризующие зацепление пары колес. Эти размеры определяются из рассмотрения картины зацепления рассматриваемой пары (рисунок 39). К ним относятся – межосевое расстояние, угол зацепления, диаметры начальных окружностей, положение нижних точек рабочих участков профилей зубьев. Особое место занимает расчет диаметров вершин.  Диаметр вершин – это диаметр заготовки, на которой нарезаются зубья. В принципе он может быть назначен конструктором произвольно. Однако существуют различные системы расчета диаметров вершин. Наиболее часто применяется система расчета, при которой обеспечивается сохранение стандартного радиального зазора в зацеплении колес.  В этом случае диаметр вершин одного колеса зависит от межосевого расстояния и диаметра впадин сопряженного колеса. Поэтому данный параметр также относят к геометрии пары колес. Ниже, также без выводов, приводятся соответствующие формулы геометрического расчета: - угол зацепления (определяется через эвольвентный угол inv αw) - межосевое расстояние Формулы для определения угла зацепления  αw  и межосевого расстояния aw выводятся из условия плотного беззазорного зацепления (боковой зазор в зацеплении колес отсутствует).  Как видно из полученных формул их величины зависят от суммарного коэффициента смещения (xΣ=x1+x2). Таким образом, изменяя суммарный коэффициент смещения, можно целенаправленно менять межосевое расстояние.  В зависимости от величины суммарного коэффициента смещения различают следующие виды передач: 1)  xΣ=x1+x2 = 0  – равносмещенная передача ( x1 = - x2 ), в частном случае нулевая передача ( x1 = x2 = 0 ). У равносмещенных и нулевых передач угол зацепления равен углу профиля исходного контура ( αw= α =; межосевое расстояние равно делительному межосевому расстоянию диаметры начальных окружностей совпадают с диаметрами делительных окружностей (dW1=d1, dW2=d2); 2)  xΣ=x1+x2>0 – положительная передача (αw>α  α w>α); 3)   xΣ=x1+x2<0  – отрицательная передача (αw< α αw< α). - диаметры начальных окружностей где u=Z2/Z1 – передаточное число (не надо путать с передаточным отношением: передаточное отношение – это кинематическая характеристика, оно может быть больше или меньше единицы, может быть положительным и отрицательным числом; передаточное число – это геометрическая характеристика – отношение числа зубьев большего колеса пары к числу зубьев меньшего колеса, оно всегда положительное и всегда больше единицы); - диаметры окружностей вершин 5.10 Геометрические показатели качества зацепления При проектировании зубчатой передачи необходимо проверить геометрические показатели, которые могут привести к неудовлетворительной ее работе.  К ним относятся: - коэффициент перекрытия. Коэффициентом перекрытия называется отношение дуги зацепления к шагу зацепления на той же окружности (дуга зацепления – это путь, проходимый точкой зуба по дуге окружности за время работы данной пары – на рисунке 39б показана дуга зацепления по основной окружности – b1b2).  Если дуга зацепления окажется меньше шага, то при выходе из зацепления одной пары зубьев следующая не вступит в зацепление. Нарушается преемственность в работе пар, передача работает с ударами и быстро выходит из строя. Поэтому коэффициент перекрытия должен быть больше или, в крайнем случае, равен единице. Чем больше коэффициент перекрытия, тем более плавной будет работа передачи. На основании третьего свойства эвольвенты рабочая часть линии зацепления Р1Р2 равна дуге зацепления на основной окружности (рисунок 39б), а расстояние между работающими профилями двух соседних зубьев, измеренное по линии зацепления равно основному шагу. Поэтому коэффициент перекрытия можно вычислить как отношение отрезка Р1Р2 к основному шагу рВ (рисунок 43): . Рисунок 43  После преобразований получаем:   В этой формуле  αa1 и  αa2 – углы профиля на окружности вершин первого и второго колеса соответственно. Определяются через функцию косинуса: Рекомендуется принимать следующие значения допускаемого коэффициента перекрытия:  [ε]=1,05…1,1 – для неответственных передач, [ε]=1,2 – для ответственных передач. При нарезании колес стандартным  инструментом реечного типа коэффициент перекрытия в цилиндрической передаче не может превышать значения 1,88. То есть в реальных передачах значения коэффициента перекрытия располагаются в интервале 1,05…1.8. Это означает, что какую-то часть времени работают две пары зубьев одновременно, какую-то – одна пара зубьев. В тот момент времени, когда пара зубьев входит в зацепление в точке Р1, предыдущая пара находится от нее на расстоянии основного шага в точке “v” линии зацепления (рисунок 43). С этого момента в зацеплении находятся две пары (и делят передаваемую нагрузку между собой). Когда предыдущая пара подойдет к точке Р2, то следующая пара будет располагаться в точке" u” (на расстоянии основного шага от точки Р2).  В следующий момент предыдущая пара выйдет из зацепления, а следующая войдет в зону ”uv” и будет воспринимать всю нагрузку целиком. Пока пара находится в зоне “uv” никакая другая пара находиться в зацеплении не будет. Поэтому эта часть линии зацепления называется зоной однопарного зацепления. Часть профиля, которая работает в зоне однопарного зацепления, является наиболее напряженной частью этого профиля.  Чем больше коэффициент перекрытия, тем меньше зона однопарного зацепления, тем большую часть времени в зацеплении находятся две пары зубьев. - интерференция зубьев зубчатых колес. Профиль зуба состоит из двух характерных частей – из эвольвентной части, и переходной кривой, плавно сопрягающей эвольвентную часть с окружностью впадин (рисунок 44 а). а)                                       б)                                      в) Рисунок 44 Если рабочая часть профиля располагается целиком на его эвольвентной части, то происходит нормальная работа зубьев без нарушения основного закона зацепления (рисунок 44 б). Если же нижняя точка Р рабочего участка окажется ближе к основной окружности, чем граничная точка l сопряжения эвольвенты с переходной кривой, то вершина зуба одного колеса будет стремиться к внедрению в переходную кривую второго (рисунок 44 в).  Вершина зуба одного колеса накладывается (на чертеже) на переходную кривую второго (как отмечалось выше, это явление называется интерференцией профилей). Нарушается основной закон зацепления, происходит заклинивание или поломка передачи. Интерференция отсутствует, если нижняя точка рабочего участка профиля зуба Р располагается на профиле выше граничной точки l.  Положение точки на эвольвенте можно задать через различные параметры (через диаметр, через угол профиля, через угол развернутости, через эвольвентный угол). Наиболее удобные формулы получаются через углы профиля в рассматриваемых точках (формула для определения угла профиля в граничной точке l приведена выше, формулы для определения угла профиля в точках Р1 и Р2 получаются из рассмотрения рисунка 39б): Условие отсутствия интерференции: - на ножке зуба первого колеса - на ножке зуба второго колеса - заострение зубьев. Если расчетный диаметр вершин окажется больше диаметра окружности, на которой происходит пересечение встречных эвольвент, формирующих зуб, то фактический диметр вершин окажется меньше расчетного (значит уменьшится коэффициент перекрытия), а зуб будет иметь острую вершину (рисунок 45а).  а)                                         б)                                    в) Рисунок 45 При приложении нагрузки к вершине будут возникать большие напряжения (теоретически площадь равна нулю), что приведет к смятию пластичного материала или к разрушению хрупкого материала у этой вершины. Поэтому при проектировании передачи необходимо обеспечить у зуба некоторую толщину на окружности вершин Sa>0 (рисунок 45 б).  При проверке на отсутствие заострения толщина зуба на окружности вершин сравнивается с допускаемой величиной: Рекомендуется принимать следующие значения допускаемой толщины зуба на окружности вершин: [Sa]=0,25m – для пластичных материалов; [Sa]=0,40m – для хрупких материалов; - подрезание (подрез) зубьев. При определенных условиях инструмент начинает пересекать им же сформированную эвольвенту у основания зуба. Формируемая им переходная кривая в этом случае пересекает эвольвенту изнутри (а не плавно с ней сопрягается), а зуб становится более тонким (ослабленным) у основания. Это явление носит название подрезания или подреза зубьев (рисунок 45в).  Зубья с подрезом можно применять для несиловых передач, если оставшийся участок эвольвенты обеспечивает необходимый коэффициент перекрытия. Для силовых передач применять зубья с подрезом не рекомендуется. При применении стандартного инструмента реечного типа подрез зубьев происходит в том случае, когда верхняя точка прямолинейного участка профиля зуба рейки заходит за точку N линии зацепления (рисунок 41). Поэтому проверка на отсутствие очень простая: Вероятность подреза повышается с уменьшением числа зубьев колеса. Если изготавливать колеса стандартным инструментом реечного типа без применения смещения, то подрез будет наблюдаться у колес с числом зубьев меньше 17 (Zmin=17), и чем меньше число зубьев, тем более значительным будет подрез. Однако, если правильно подобрать коэффициент смещения, то колесо с любым число зубьев можно нарезать без подреза. Подрез у колеса с заданным числом зубьев будет отсутствовать, если коэффициент смещения будет не меньше минимального: Влиять на все указанные геометрические показатели качества зацепления можно правильным выбором коэффициентов смещения. Для рационального выбора коэффициентов смещения при проектировании передачи разработаны так называемые блокирующие контуры.  Так как показатели описываются соответствующими математическими зависимостями, то их можно представить в виде линий в определенной системе координат. Совокупность этих линий в системе координат (x1 –  x2 ) для определенной пары колес (z1 – z2) представляет собой замкнутый контур, отделяющий разрешенную зону для выбора коэффициентов смещения (x1 и x2) от запрещенной.  Этот замкнутый контур и называется блокирующим контуром. Он позволяет конструктору спроектировать бесчисленное количество работоспособных передач с одинаковыми числами зубьев колес, но с различными свойствами. 5.11 Кулачковые механизмы. Типы механизмов. Принципы кинематического анализа и синтеза кулачковых механизмов Кулачковые механизмы служат для преобразования движения кулачка в движения толкателя по вполне определенному закону. Характеризуется наличием высшей пары 4 класса. Основным преимуществом кулачковых механизмов является то , что при небольшом количестве звеньев (фактически механизм имеет три основных звена – кулачок, толкатель, стойку) можно получить практически любой закон движения на выходе. Для этого надо только правильно спрофилировать кулачок. Можно выделить следующие типы кулачковых механизмов: а) по движению кулачка: - с вращающимся кулачком; - с поступательно движущимся кулачком; б) по движению толкателя: - с поступательно движущимся толкателем; - с вращающимся (коромысловым) толкателем; в) по форме толкателя: - с точечным толкателем; - с роликовым толкателем; - с плоским (тарельчатым) толкателем; - с грибовидным толкателем. Эта простая классификация позволяет уже по названию механизма представить его конструкцию. Кроме того (как и любая кинематическая цепь) кулачковый механизм может быть пространственным и плоским. При анализе и синтезе кулачковых механизмов различают практический и теоретический профили кулачка. Практический профиль – это профиль, по которому действительно выполнен кулачок. В механизмах с роликовым толкателем круглый ролик ставится для уменьшения трения между кулачком и толкателем (трение скольжения заменяется трением качения). Но наличие ролика дает лишнюю степень свободы, поэтому для ее устранения при анализе и синтезе механизма практический профиль заменяется теоретическим.  Теоретический профиль проходит через центр ролика и является эквидистантным практическому (рисунок 46). Именно он определяет закон движения толкателя. Круглый ролик не изменяет закона движения толкателя, поэтому его радиус может выбираться произвольно (но не больше минимального радиуса кривизны теоретического профиля). Выбирая  различные радиусы ролика, можно получить бесчисленное количество эквидистантных профилей, обеспечивающих тот же самый закон движения толкателя, что и теоретический профиль кулачка. При анализе и синтезе кулачковых механизмов придерживаются следующих положений: - решение задачи ведется для теоретического профиля кулачка; - решение начинается с окружности минимального радиуса (это такая окружность, центр которой совпадает с осью вращения кулачка, а сама она касается теоретического профиля в наиболее близких к оси вращения точках; в дальнейшем обозначим этот радиус rmin – рисунок 46); - для определения перемещений толкателя (при анализе) и для построения теоретического профиля кулачка (при синтезе) применяется метод обращения движения. 5.12 Динамический синтез кулачковых механизмов Сила, действующая на толкатель со стороны кулачка и вызывающая его движение, направлена по нормали к кулачку в точке контакта его с толкателем.  Поэтому в общем случае она направлена под углом к направлению движения толкателя (рисунок 46).  а)                                                             б) Рисунок 46 Угол между действующей на толкатель силой и направлением его движения называется углом давления (обозначается  α), а угол между действующей силой и направлением, перпендикулярным направлению движения толкателя называется углом передачи движения (обозначается  γ). В сумме эти углы составляют угол, равный 900, поэтому при рассмотрении работоспособности механизма с учетом направления передачи сил можно оперировать любым из них. С уменьшением угла передачи движения уменьшается движущая составляющая действующей силы (составляющая совпадающая с направлением движения толкателя). В то же время увеличивается составляющая, прижимающая толкатель к направляющим, увеличивая силу трения между толкателем и опорой, которая препятствует движению толкателя. Если эта сила трения окажется больше движущей составляющей, то произойдет заклинивание механизма. Поэтому при проектировании кулачковых механизмов задается минимально-допустимый угол передачи движения из условия отсутствия заклинивания. Синтез механизмов с учетом действующих на звенья сил называется динамическим синтезом.  Из рисунка 46 а где e – эксцентриситет (расстояние от оси толкателя до центра вращения кулачка); Si – перемещение толкателя в данном положении механизма (в начальный момент толкатель находился на окружности минимального радиуса; в рассматриваемый момент – находится на теоретическом профиле кулачка в точке А). Так как кулачок с толкателем составляют высшую пару, то в данном случае также выполняется основной закон зацепления, т.е. точка пересечения нормали N-N с линией центров (здесь в качестве линии центров выступает прямая, перпендикулярная оси толкателя) является мгновенным центром относительного вращения (точка W). Поэтому скорость точки W, принадлежащей кулачку, равна скорости поступательного движения толкателя: S’ – аналог скорости толкателя (производная перемещения толкателя по углу поворота кулачка – это линейная величина, пропорциональная скорости толкателя). Для перехода от аналога скорости к истинной скорости толкателя надо аналог скорости умножить на угловую скорость кулачка VT  = S'⋅ωкул При синтезе кулачковых механизмов используется также понятие аналога ускорения толкателя (аналог ускорения – вторая производная перемещения толкателя по углу поворота кулачка). При синтезе механизма с коромысловым толкателем аналогично используются понятия аналога угловой скорости и аналога углового ускорения толкателя (коромысла). Окончательно формула для определения угла передачи движения выглядит следующим образом: В этой формуле значения Si и Si' при синтезе механизма предопределены заданным законом движения толкателя, который необходимо обеспечить. Здесь есть два конструктивных параметра, которые можно назначать произвольно – эксцентриситет (е) и величина rmin.  Значение эксцентриситета может изменяться в относительно небольших пределах и обычно предопределяется общей компоновкой механизма. Кроме того, изменение эксцентриситета незначительно влияет на величину угла передачи движения (его величина в числителе и в знаменателе стоит с одним знаком). Поэтому параметром, изменением которого можно существенно повлиять на величину угла передачи движения, является радиус rmin. Чем больше величина этого радиуса, тем больше угол передачи движения во всех положениях механизма, тем меньше вероятность заклинивания, тем выше коэффициент полезного действия механизма.  Однако увеличение окружности минимального радиуса приводит к увеличению габаритов, веса, материалоемкости всей конструкции. Поэтому задачей динамического синтеза является определение такого значения  rmin, при котором бы угол передачи движения был не меньше допускаемого во всех положениях механизма, а габариты при этом были бы минимальными. Решение задачи динамического синтеза осуществляется графическим путем. Используется следующий прием (см. рисунок 46б): если отрезок OW перенести параллельно самому себе, совместив точку W с точкой А, и провести прямую под углом  γ   к нему через вторую точку О, то она пройдет через центр вращения кулачка (т.е. образуется линия О-О, параллельная нормали N-N и проходящая через центр вращения кулачка). Для определения rmin строят диаграмму, откладывая по оси ординат значения перемещений толкателя (Si) для “п” положений механизма в соответствии с заданным законом движения. Из каждой отмеченной точки откладывают параллельно оси абсцисс соответствующее данному положению значение аналога скоростей (Si'). Перемещения и аналоги скоростей должны откладываться в одном масштабе (рисунок 47). Рисунок 47 Концы отрезков аналогов скоростей соединяют плавной кривой и проводят касательные к ней справа и слева под углом  γmin к оси абсцисс ( γmin  – минимально допустимый угол передачи движения из условия отсутствия заклинивания). Эти две прямые отделяют разрешенную зону для выбора центра вращения кулачка (ниже этих прямых) от запрещенной.  Выбором центра вращения кулачка в любой точке разрешенной зоны обеспечивается отсутствие заклинивания во всех положениях механизма. Для обеспечения минимальных габаритов надо выбирать центр вращения кулачка на границах разрешенной зоны (или с небольшим отступлением от границ, обеспечивая некоторый запас по углу передачи). Этот метод позволяет также наиболее рационально выбирать эксцентриситет. При проектировании механизма с коромысловым толкателем подходы к решению задачи динамического синтеза аналогичны. Однако в этом случае угол передачи движения измеряется от соответствующего положения коромысла. Поэтому при определении разрешенной зоны для выбора центра вращения кулачка проводят лучи под углом   γmin  в каждом положении коромысла. В результате разрешенная зона определяется пересечением нескольких лучей (рисунок 48). Рисунок 48 При проектировании механизма с коромысловым толкателем задается закон вращательного движения коромысла. Поэтому будут известны параметры углового движения (угол поворота коромысла, аналог угловой скорости, аналог углового ускорения). Для определения аналога скоростей, который откладывается от конца коромысла в каждом его положении, надо аналог угловой скорости умножить на длину коромысла: В механизмах с плоским толкателем угол передачи движения определяется углом между тарелкой толкателя и самим толкателем (осью его поступательного движения). Поэтому с точки зрения передачи движения наиболее выгодным является значение этого угла 900.  С точки зрения технологии изготовления толкателя и сборки механизма угол между толкателем и его тарелкой, равный 900, также является самым выгодным. Поэтому на практике обычно используется именно этот случай. При этом вся сила, действующая со стороны кулачка на толкатель, во всех положениях механизма является движущей силой (составляющая,  прижимающая толкатель к направляющим отсутствует).  Таким образом, явление заклинивания для данного типа механизма не является актуальным. Однако кулачок должен иметь выпуклый профиль во всех точках (т.к. плоская тарелка не может работать с вогнутыми участками). Оказывается, что чем больше величина окружности минимального радиуса, тем меньше вероятность образования на профиле вогнутых участков. Поэтому в данном случае решается задача, аналогичная задаче динамического синтеза – выбрать rmin так, чтобы вогнутые участки на профиле отсутствовали, а габариты при этом были бы минимальными (другими словами rmin выбирается из условия выпуклости кулачка).  Условие выпуклости записывается следующим образом: Эта формулу называют формулой Геронимуса Я.Л. Для определения rmin из условия выпуклости складывают ординаты двух графиков – перемещений (S) и аналогов ускорений (S"), т.е. строят суммарный график зависимости (S+S") от угла поворота кулачка (рисунок 49). Рисунок 49 В качестве  rmin принимается максимальная отрицательная ордината этого суммарного графика с некоторым запасом  Δ, для избежания заострения профиля кулачка. 5.13 Построение профиля кулачка Как было отмечено выше при построении профиля кулачка применяется метод обращения движения. Вычерчивают окружность минимального радиуса и нулевое положение толкателя (толкатель опирается на окружность минимального радиуса). Придается  всем звеньям угловая скорость (-  ωкул).  Кулачок становится неподвижным, а толкатель со стойкой получают обращенное движение. Строят "n" положений толкателя в его обращенном движении и на каждом из них откладывают перемещения толкателя вдоль его оси в соответствии с заданным законом движения. Соединив отмеченные точки плавной кривой, получают теоретический профиль кулачка (рисунок 50). Рисунок 50 Приняв некоторое значение радиуса ролика (rрол), проводят ряд окружностей (засечек) этим радиусом с центром на теоретическом профиле. Внутри теоретического профиля проводят огибающую к этим окружностям (засечкам).  Полученная кривая представляет собой практический профиль кулачка. Радиус ролика выбирается из конструктивных соображений. Он может быть любым, но не больше минимального радиуса кривизны теоретического профиля (иначе произойдет самопересечение практического профиля и его заострение). Часто в качестве ролика принимают один из стандартных подшипников качения подходящих размеров. Особенностью построения профиля кулачка с плоским толкателем является то, что положение толкателя определяется положением его тарелки. После того, как будут отмечены точки, показывающие положение толкателя в обращенном движении, необходимо через эти точки провести тарелку под углом 900 (или в общем случае под углом  γ) к соответствующему положению оси толкателя. Огибающая к этим положениям тарелки в обращенном движении представляет собой профиль кулачка (рисунок 51). Рисунок 51 В данном случае теоретический и практический профили совпадают. Если выбрано небольшое количество положений для построения, то тарелка в обращенном движении образует некоторый многоугольник, в который и надо вписывать профиль. При этом кривая, формирующая профиль, должна касаться всех положений тарелки в обращенном движении. 5.14 Силовое замыкание высшей кинематической пары Наличие в кулачковых механизмах высшей кинематической пары, требует решения задачи обеспечения постоянного  контакта толкателя с кулачком в процессе работы. Существуют механизмы с геометрическим замыканием этой пары, когда конфигурация звеньев препятствует их разъединению в процессе работы.  Этот способ реализуется при применении пазовых, двухдисковых, диаметральных кулачков. Однако это в значительной степени усложняет механизм, ухудшает его работу, ограничивает возможности кулачковых механизмов. Поэтому в большинстве случаев применяются механизмы с силовым замыканием этой высшей пары, когда постоянный контакт между кулачком и толкателем при работе механизма обеспечивается постоянно действующей силой, прижимающей толкатель к кулачку. Иногда это сила веса.  Но обычно дополнительно ставится пружина, т.к. силы веса недостаточно, чтобы компенсировать возникающие при работе отрывающие толкатель от кулачка силы инерции (кроме того, при работе большинства машин, в которых применяются кулачковые механизмы, толкатель не всегда занимает вертикальное положение и имеет верхнее расположение). Усилие, которое должна обеспечивать пружина, рассчитывается с учетом сил инерции, возникающих при работе механизма.  Максимальная сила инерции толкателя, отрывающая его от кулачка, соответствует максимальному отрицательному значению ускорения на диаграмме движения толкателя. Решение представляет собой элементарную задачу статики и показано на рисунках 52 и 53:     Рисунок 52 – Кулачковый механизм с поступательно движущимся толкателем               Рисунок 53 - Кулачковый механизм с коромысловым толкателем   Для определения усилия пружины составим уравнения моментов относительно точки О2: