Теория механизмов и машин

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН Рудненский индустриальный институт Кафедра «Машины и аппараты пищевых производств» МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ по курсу лекций по дисциплине «Теория механизмов и машин» Для специальностей: 050724 - Технологические машины и оборудование 050713 – Транспорт, транспортная техника и технологии Очной и заочной формы обучения Рудный 2007 ББК 34.41 Автор: Симонян Г.С. методическое пособие по курсу лекций для дисциплины «Теория механизмов и машин», - Рудный, РИИ, 2007 - 81 с. Рецензент: зав. кафедрой ПТМиО, профессор, к.т.н. Б.А.Борохович Ст.преподаватель кафедры МАПП О.Л.Семёнова Рекомендовано к изданию УМС РИИ Конспект лекций предназначен для студентов специальностей: 050724 – Технологические машины и оборудование, 050713 – Транспорт, транспортная техника и технологии. Очной и заочной формы обучения. Табл. 1, Ил. 58, Список лит.- 5 назв. Для внутривузовского использования Ó Рудненский индустриальный институт 2007 СОДЕРЖАНИЕ Введение…………………………………………………………………………5 1 Основы строения механизмов и машин. Структурный синтез и анализ механизмов…………………………………………………………………….6 1.1 Основные понятия и определения теории механизмов и машин………. 6 1.2 Кинематические пары и их классификация. Высшие и низшие кинематические пары. Условное изображение кинематических пар…… 7 1.3 Структурная формула плоских и пространственных механизмов ..…….10 1.4 Основной принцип образования механизмов……………………………..12 2 Кинематический анализ механизмов……………………………………… ..14 2.1 Задачи и методы кинематического анализа………………………….……14 2.2 Метод построения планов ………………………………………………….14 2.3 Метод кинематических диаграмм………………………………………….17 2.4 Аналитический метод кинематического исследования…………………..18 3 Кинематика зубчатых механизмов…………………………………………...24 3.1 Общие положения…………………………………………………………...24 3.2 Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями……………...24 3.3 Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями………………...27 4 Силовой анализ механизмов…………………………………………………..30 4.1 Основные задачи динамического анализа механизмов. Обзор сил. Механические характеристики машин ……………………………….…....30 4.2 Определение сил инерций звеньев механизмов .…………………………32 4.3 Условие статической определимости кинематических цепей ………….. 33 4.4 Кинетостатический расчёт плоских механизмов…………………………35 5 Анализ движения механизмов………………………………………………..42 5.1 Приведение сил и масс в механизмах…………………………………… ..42 5.2 Исследование движения машинного агрегата…………………………….47 6 Синтез рычажных механизмов……………………………………………….57 6.1 Условия существования кривошипа в четырёхзвенных механизмах……57 6.2 Проектирование кривошипно-ползунных механизмов…………………..58 6.3 Проектирование шарнирного четырёхзвенника по заданным крайним положениям коромысла…………………………………………..59 6.4 Проектирование кулисных механизмов по заданному коэффициенту изменения средней угловой скорости кулисы……………60 7 Синтез плоских зубчатых механизмов с круглыми цилиндрическими колёсами……………………………………………………………………….62 7.1 Общие сведения……………………………………………………………..62 7.2 Основная теорема зацепления……………………………………………...62 7.3 Геометрия эвольвентных профилей их проектирования ………………...64 7.4 Способы изготовления зубчатых колёс…………………………………...66 7.5 Станочное зацепление……………………………………………………....68 7.6 Синтез планетарных зубчатых механизмов……………………………….74 8 Кулачковые механизмы………………………………………………….……77 8.1 Виды кулачковых механизмов…………………………………………….. 77 8.2 Этапы проектирование кулачкового механизма ……………………….....79 Список литературы……………………………………………………….…..… 81 ВВЕДЕНИЕ Теория механизмов и машин – наука, которая изучает общие методы исследования и проектирования механизмов, не зависящих от их технического назначения и физической природы рабочего процесса машин. Учебная дисциплина базируется на механико-математической подготовке студентов, обеспечиваемой предшествующими курсами: «Высшая математика», «Физика», «Теоретическая механика», «Алгоритмические языки и программирование» и «Машиностроительное черчение». Курс теории механизмов и машин разделён на четыре части: - структурный и кинематический анализ механизмов и машин; - динамический анализ механизмов и машин; - синтез механизмов; - основы теории машин-автоматов. Структурный и кинематический анализы механизмов имеют своей целью изучение теории строения механизмов, исследование движения тел, их образующих, с геометрической точки зрения, независимо от сил, вызывающих движение этих тел. В задачу силового расчёта механизма входят определения: сил, действующих на звенья механизма; динамических давлений на кинематические пары механизма или их реакций; приведённого момента (или приведённой силы), создающегося на входном звене, как результат действия всех сил в механизме. Механизм машинного агрегата обычно является многозвенной системой, нагруженной силами и моментами, приложенными к различным её звеньям. Изучение закона движения механизма под действием заданных сил является одной из основных задач динамики машин. При определении закона движения механизма задача может быть упрощена, если масса всех подвижных звеньев, перемещающихся каждое по своему закону, заменить динамически эквивалентной массой звена приведения, к которому привести все внешние силы и моменты сил. Для механизма, имеющего одну степень свободы (W=1), в качестве звена приведения или динамической модели в большинстве случаев удобно принять входное звено механизма. После определения истинного закона движения звена приведения движение остальных звеньев механизма находят методами кинематического анализа. Итак, построение динамической модели состоит в приведении сил (определение Рпр или Мпр ) и в приведении масс ( определение Jпр или mпр ). Так же в данном методическом пособии рассмотрен синтез рычажных механизмов. Синтез плоских зубчатых механизмов с круглыми цилиндрическими колёсами. Основная теорема зацепления. Геометрия эвольвентных профилей их проектирования. Методы нарезания зубчатых колёс. Понятие о станочном зацеплении. Размеры изготовляемого зубчатого колеса с внешними зубьями. Подрезание профилей зубьев. Качественные показатели зубчатой передачи. 1 Основы строения механизмов и машин. Структурный синтез и анализ механизмов 1.1 Основные понятия и определения теории механизмов и машин Теория механизмов и машин – дисциплина, которая изучает строение, кинематику и динамику механизмов в связи с их анализом и синтезом. Машина - механическое устройство, служащие для преобразования энергии, для перемещения материалов, в изменении формы, свойства и состояние объекта с использованием информации. Существуют следующие виды машин: • энергетические – преобразующие энергию одного вида в энергию другого вида (двигатели, генераторы); • рабочие машины – машины, использующие механическую энергию для совершения работы по перемещению и преобразованию материалов (транспортные; технологические машины – предназначены для преобразования обрабатываемого предмета, состоящего в изменении его размеров, формы, свойств или состояния); • информационные – машины, предназначенные для обработки и преобразования информации (математические и контрольно-управляющие машины) • кибернетические – машины, заменяющие или имитирующие различные механические, физиологические или биологические процессы, присущие человеку и живой природе, и обладающие элементами искусственного интеллекта. Система тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких тел в требуемое движение других тел, называется механизмом. С точки зрения их функционального назначения механизмы машины делятся на следующие виды: • механизмы двигателей и преобразователей, • передаточные механизмы, • исполнительные механизмы, • механизмы управления, контроля и регулирования, • механизмы подачи, транспортировки, питания и сортировки обрабатываемых сред и объектов, • механизмы автоматического счёта, взвешивания и упаковки готовой продукции. Тела, входящие в состав механизма называются звеньями. Все неподвижные детали образуют одну жёсткую неподвижную систему тел, называемую неподвижным звеном или стойкой (примером может служить корпус двигателя). Любой механизм имеет одно неподвижное звено и одно или несколько подвижных звеньев. Подвижное соединение двух звеньев механизма называется кинематической парой. Совокупность звеньев, соединённых между собой кинематическими парами, называется кинематической цепью. Кинематические цепи бывают: замкнутые и открытые; простые и сложные; плоские и пространственные. Замкнутой кинематической цепью называется кинематическая цепь, звенья которой образуют один или несколько замкнутых контуров (рисунок 1.1). Незамкнутой (открытой) кинематической цепью называется кинематическая цепь, звенья которой не образуют замкнутых контуров (рисунок 1.2). Рисунок 1.1- Простая замкну- Рисунок 1.2- Простая откры- тая кинематическая цепь из тая кинематическая цепь шести звеньев. из четырёх звеньев. Простой кинематической цепью называется такая цепь, у которой каждое звено входит не более чем в две кинематические пары (рисунок 1.2). Сложной кинематической цепью называется цепь, в которой имеется хотя бы одно звено, входящее более чем в две кинематические пары (рисунок 1.3). Плоским называется механизм, звенья которого движутся в плоскостях, параллельных одной неподвижной плоскости. Механизм является пространственным, если подвижные точки его звеньев описывают неплоские траектории или траектории, лежащие в пересекающихся плоскостях. Рисунок 1.3- Сложная отк- рытая кинематическая цепь 1.2 Кинематические пары и их классификация. Высшие и низшие кинематические пары. Условное изображение кинематических пар Кинематические пары классифицируются по следующим признакам: а) По виду места контакта (места связи) поверхностей звеньев: • низшие, в которых контакт звеньев осуществляется по плоскости или поверхности (кулачковые, зубчатые, фрикционные механизмы и т.д.); • высшие, в которых контакт звеньев осуществляется по линиям или точкам (рычажные, клиновые и винтовые механизмы). б) По способу замыкания (обеспечения контакта звеньев пары) • силовое, за счёт действия сил веса или силы упругости пружины; чтобы пара на рисунке 1.4 была замкнутой, необходимо прижимать к плоскости какой-нибудь силой; • геометрическое, за счёт конструкции рабочих поверхностей пары (рисунок 1.5). в) По числу условий связи S (ограничений), накладываемых на относительное движение звеньев и по числу степеней свободы Н (подвижностей) в относительном движении звеньев. Всякое тело свободно движущееся в пространстве, обладает шестью степенями свободы, т.е. движение может быть представлено как вращение вокруг трёх осей и поступательное движение вдоль этих же осей (рисунок 1.6). Если звено не входит в кинематическую пару, т.е. не связано с другим звеном, то у него нет никаких ограничений движению, (существуют два тела, движущихся независимо друг от друга): S=0. Если наложить 6 связей, то звенья теряют относительную подвижность и кинематической пара становится жёстким соединением, т.е. одним звеном: S=6. Рисунок 1.4- Пятипод- Рисунок 1.5- Шаровая Рисунок 1.6- Число вижная кинематичес- трёхподвижная кине- степеней свободы кая пара матическая пара любого тела в про- странстве Следовательно, число условий связи, наложенных на относительное движение звеньев, находится в пределах S=1…5. Существует пять классов кинематических пар, которые определяются по числу условий связи и числу степеней свободы (таблица 1.1): 1) одноподвижные -  класс, Н=1, S=5; 2) двухподвижные - I класс, Н=2, S=4; 3) трёхподвижные – III класс, Н=3, S=3; 4) четырёхподвижные – II класс, Н=4, S=2; 5) пятиподвижные – I класс, Н=5, S=1. Таблица 1.1- Классификация кинематических пар (КП) по числу связей и по подвижности Класс пары Число условий связи Число степеней свободы Название пары Рисунок Условное обозначение I II III III I 1 2 3 3 4 5 4 3 3 2 Шар- -плоскость, высшая КП, контакт точечный Шар- -цилиндр, высшая КП Сферическая, низшая КП с геометрическим замыканием Плоскостная, низшая КП, соприкосновение по плоскости Цилиндрическая, низшая КП с геометрическим замыканием сферический шарнир Продолжение таблицы 1.1 Класс пары Число условий связи Число степеней свободы Название пары Рисунок Условное обозначение I    4 5 5 5 2 1 1 1 Сферическая с пальцем, низшая КП с геометрическим замыканием Поступательная, низшая КП с геометрическим замыканием Вращательная, низшая КП с геометрическим замыканием Винтовая, поворот звена на некоторый угол, соответствует перемещению вдоль ось Х 1.3 Структурная формула плоских и пространственных механизмов Структурная формула кинематической цепи связывает число степеней свободы (т.е. число независимых движений) с числом и видом кинематических пар в данной кинематической цепи. Пусть в механизме имеется k звеньев (включая стойку). Каждое звено до соединения его с другим звеном имеет в пространстве шесть степеней свободы. Тогда общее число степеней свободы кинематической цепи равно 6k. Соединение звеньев в кинематические пары накладывает определённое число связей, которые надо исключить из общего числа степеней свободы. Учитывая, что каждая пара 5-го класса накладывает 5 связей, пара 4-го класса – 4 связи и т.д., число степеней свободы кинематической цепи Н в общем случае определяется соотношением: Н=6k -5Р5 -4Р4 -3Р3 -2Р2 -Р1 (1.1) где Р5, Р4, Р3, Р2, Р1 – число кинематических пар 5-го, 4-го…1-го класса; k – число всех звеньев кинематической цепи. Если рассматривать движение механизма относительно стойки (звено, относительно которого рассматривается движение и которое условно считается неподвижным), то из общего количества звеньев надо вычесть это звено: n=k-1 (1.2) где n – число подвижных звеньев в кинематической цепи. Число степеней свободы W кинематической цепи относительно звена, принятого за неподвижное, называется числом степеней свободы кинематической цепи или, кратко, степенью свободы и определяется по формуле: W=6n- 5Р5 -4Р4 -3Р3 -2Р2 -Р1 (1.3) Формула (1.3) впервые, в несколько ином виде, была дана П.И.Сомовым в 1887 году и развита А.П.Малышевым в 1923 году и носит название формулы Сомова-Малышева, которая применяется для определения числа степеней свободы кинематической цепи пространственных механизмов. Независимые между собой координаты, определяющие движение системы, называются обобщёнными. У плоских механизмов из шести независимых движений возможны только три: поступательное вдоль осей X, Y, а также вращательное относительно оси Z. Структурная формула кинематической цепи в этом случае принимает вид: W=3n -2Р5 -Р4 (1.4) и называется формулой П.Л.Чебышева для плоских механизмов. В плоских механизмах все пары 4-го класса являются высшими, а пары 5-го класса – низшими. Поэтому формулу (1.4) можно представить в виде: W=3n -2РН -РВ (1.5) где n – число подвижных звеньев; РН – число низших пар; РВ – число высших пар. Структурной группой плоского механизма называется подвижная группа звеньев, имеющая нулевую подвижность. Механизм наиболее полно определяется определённостью движения всех подвижных звеньев. 1.4 Основной принцип образования механизмов Структурным анализом называется разложение механизма на первичный механизм и структурные группы Ассура. При структурном анализе необходимо решить следующие задачи: • определить степень подвижности механизма; • выделить структурные группы (группы Ассура); • выделить механизм I класса. Входное звено, соединённое в кинематическую пару со стойкой, называется механизмом I класса или первичным механизмом (рисунок 1.7). Механизм I класса имеет одну степень свободы (W=1). а б а – при вращательном движении; б – при поступательном движении Рисунок 1.7- Механизм первого класса Если присоединить к входному звену кинематическую цепь, то получится структурная схема механизма. При этом степень подвижности не должна измениться. Принцип образования механизмов, впервые сформулированный Л.В.Ассуром в 1916 году, заключается в следующем. Схема любого механизма может быть составлена последовательным присоединением к начальному звену групп звеньев с нулевой степенью подвижности. Для плоского механизма, состоящего только из кинематических пар 5-го класса (пары 4-го можно заменить на высшие), степень подвижности присоединённых групп определяется по формуле Чебышева: W=3n- 2Р5=0 (1.6) Группой Ассура называется незамкнутая кинематическая цепь с нулевой степенью подвижности. Поскольку n и Р5 могут быть только целыми числами, из равенства (1.6) получаются следующие сочетания: а) n=2, Р5=3; б) n=4, Р5=6; в) n=6, Р5=9 и т.д. Класс механизма определяется классом групп Ассура. Класс группы Ассура определяется наивысшим числом кинематических пар, входящих в замкнутый контур. Порядок структурной группы определяется числом элементов звеньев, которыми она присоединяется к механизму; при этом нельзя присоединять группу к одному звену. Пунктирной линией показаны звенья, к которым группа присоединяется. Рисунок 1.8- Примеры структурных Рисунок 1.9- Виды структурных групп: а-II класса; б-III класса групп II класса Поводок – это звено, входящее в две кинематические пары, одна из которых является внешней. Группа, имеющая два звена и три кинематические пары 5-го класса, называется группой II класса 2-го порядка, или двухповодковой группой (рисунок 1.8а). Второе возможное сочетание числа подвижных звеньев и кинематических пар образует группу III класса 3-го порядка, или трёхповодковую (рисунок 1.8б). Класс механизма определяется наивысшим классом структурной группы, входящей в состав данного механизма. Самая простая структурная группа (n=2, Р5=3), состоящая из двух звеньев и трёх кинематических пар, имеет пять видов в зависимости от сочетания вращательных и поступательных пар (рисунок 1.9): 1) группа 1-го вида – все пары вращательные; 2) группа 2-го вида – на конце одного из звеньев поступательная пара; 3) группа 3-го вида – в середине поступательная пара; 4) группа 4-го вида – на конце обоих звеньев поступательные пары; 5) группа 5-го вида – в середине и на конце одного из звеньев поступательная пара. Образование механизма, путём присоединения структурных групп Ассура к первичному механизму называется структурным синтезом. 2 Кинематический анализ механизмов 2.1 Задачи и методы кинематического анализа Кинематический анализ механизмов ставит своей задачей определение траекторий, скоростей и ускорений точки или угловых скоростей и ускорений звеньев механизма без учёта сил, обуславливающих это движение. Движение звеньев зависит от закона движения ведущего звена, поэтому при решении задач кинематического анализа должны быть заданы: 1) кинематическая схема – это структурная схема механизма с указанием размеров звеньев; 2) закон движения начального звена. Основные методы кинематического анализа: • метод построения планов; • метод кинематических диаграмм; • аналитический метод. 2.2 Метод построения планов 2.2.1 Планы положений механизма Изображение кинематической схемы механизма, соответствующее определённому положению начального звена, называется планом механизма (рисунок 2.1). Планы строятся в заданном масштабе. При этом различают понятия «масштаб» и «масштабный коэффициент». Масштабом физической величины называют длину отрезка в миллиметрах, изображающую единицу измерения этой величины. Масштабным коэффициентом физической величины называют отношение численного значения физической величины к длине отрезка в миллиметрах, изображающего эту величину. 2.2.2 Планы скоростей и ускорений механизмов Планом скоростей (ускорений) называют чертёж, на котором изображены в виде отрезков векторы, равные по модулю и по направлению скоростям (ускорениям) различных точек механизма в данном положении (рисунок 2.1). При построении планов скоростей (ускорений) применяют теорему подобия: отрезки прямых линий, соединяющих точки одного и того же звена на плане механизма и отрезки прямых линий, соединяющих концы векторов скоростей этих точек на плане скоростей, образуют подобные и сходственно расположенные фигуры. Из теоретической механики известно, что любое движение плоского тела может рассматриваться как сумма двух движений: вращения относительно некоторой точки (полюса) и поступательное (переносное) движение полюса. При построении планов используют этот принцип. Рисунок 2.1 – Построение плана механизма, скоростей и ускорений Пример: Для кривошипно-ползунного механизма (рисунок 2.1), имея угловую скорость кривошипа ω1 и длины звеньев ℓОА, ℓАВ выполнить кинематический анализ методом планов скоростей и ускорений для положения, определяемого углом φ=300˚(10-ое положение). Определим скорость точки А: VА=ω1ּℓОА Скорость точки А направлена в сторону угловой скорости и перпендикулярна кривошипу ОА. Выбираем масштабный коэффициент для построения плана скоростей: Проводим отрезок Рvа перпендикулярно ОА. Вектор изображает скорость точки А. Для получения скорости точки В используем формулу для плоского движения шатуна АВ: Направление скорости , а скорости точки В - параллельно горизонтальной направляющей. Строим векторный треугольник Раb. Положение точки S2 – центр тяжести второго звена, получаем из теоремы подобия плана скоростей плану механизма: Абсолютная скорость точки S2, точки В и звена ВА будет равна: Угловая скорость шатуна АВ: Построим план ускорений. Для этого сначала определим ускорение точки А: где - нормальное ускорение: - касательное ускорение: Выбираем масштабный коэффициент для построения плана ускорения: Для построения точки В используем векторное уравнение: где - нормальное ускорение звена АВ: тогда отрезок - касательное ускорение звена АВ: Вектор нормального ускорения направлен параллельно , вектор касательного ускорения направлен перпендикулярно , направление параллельно горизонтальной направляющей, на пересечении прямых получаем точку b. Положение точки S2 определим из теоремы подобия: Из построенного плана ускорений определим величины ускорений: Угловое ускорение звена АВ равно: 2.3 Метод кинематических диаграмм Графическое изображение изменения основных кинематических параметров механизма за полный цикл движения называется кинематической диаграммой. Основное достоинство данного метода – наглядность и простата, недостаток – невысокая точность. Метод основан на геометрическом смысле производной, которая представляет собой тангенс угла наклона касательной в данной точке кривой к оси абсцисс. Рассмотрим последовательность графического дифференцирования диаграмм. Задана диаграмма перемещений точки S=f(t) на рисунке 2.2а. Требуется построить диаграмму скоростей. 1) Делим участок оси абсцисс на несколько равных частей, например на 6. Кривую заменяем ломаной линией abcdefg. 2) В основной системе координат (рисунок 2.2б) выбираем точку Р на расстоянии Н и проводим из неё прямые, параллельные соответствующим хордам (Ра/ab и т.д.), до пересечения с осью ординат. 3) Сносим значения средних скоростей на соответствующие участки оси абсцис (0-1, 1-2,…5-6). Получим ступенчатый график скорости. 4) Через середины отрезков проводим плавную кривую. Полученная кривая позволяет определить скорость точки в любом положении механизма. Рисунок 2.2- Графическое дифференцирование кинематических диаграмм. Для этого измеряем ординату в соответствующей точке и умножаем её на масштабный коэффициент: Vi=yiV (2.1) Значения масштабного коэффициента зависят от расстояния Н, на котором выбирается полюс Р. Графическое интегрирование осуществляется в обратном порядке. 2.4 Аналитический метод кинематического исследования Аналитическое исследование плоских механизмов удобнее всего вести методом векторных контуров, подробно разработанным В.А.Зиновьевым. Составляя уравнения проекций звеньев на соответствующие оси координат, устанавливают функциональную связь между кинематическими параметрами, характеризующими движение входных и выходных звеньев механизмов. Применение аналитического метода затрудняется сложностью получаемых расчётных уравнений. 2.4.1 Кривошипно-ползунный механизм Рассмотрим движение кривошипно-ползунного механизма (рисунок 2.3). Исходные данные: Найти: Рисунок 2.3 - Кривошипно-ползунный механизм Для определения скоростей и ускорений звеньев представим замкнутый контур ОАВСО как сумму векторов: (2.2) Выбор углов, которые составляют звенья с горизонтальной осью, совершают в одном направлении, например против часовой стрелки. Проектируя это векторное уравнение на оси OX и OУ, получаем: (2.3) и (2.4) Выразим угол через обобщённую координату : (2.5) Тогда координата перемещения звена С будет иметь вид: (2.6) Уравнения для определения скоростей и ускорений звеньев получим двукратным дифференцированием уравнений (2.3) и (2.4) по обобщённой координате 1: (2.7) (2.8) Передаточное отношение – это отношение угловых скоростей двух звеньев механизма: (2.9) (2.10) где - аналог скорости –первая производная радиуса-вектора точки по обобщённой координате: (2.11) Для скорости точки С: (2.12) Для определения ускорения звеньев дифференцируем по 1 уравнение (2.7) и (2.8): (2.13) (2.14) где - аналог углового ускорения – вторая производная от угла поворота звена по обобщённой координате механизма; аналог ускорения точки С определяется по формуле: (2.15) Тогда передаточное отношение примет вид: (2.16) (2.17) Действительные скорости VC; и ускорения и равны: (2.18) (2.19) 2.4.2 Шарнирный четырёхзвенник Для определения скоростей и ускорений звеньев шарнирного четырёхзвенника составим векторное уравнение замкнутости контура АВСД (рисунок 2.4). Уравнение имеет следующий вид: (2.20) Проектируем уравнение (2.20) на координатные оси Аx и Ау : (2.21), (2.22) Рисунок 2.4 - Шарнирный четырёхзвенник Для определения угловых скоростей ω2 и ω3 звеньев ВС и СД дифференцируем уравнения (2.21) и (2.22) по обобщённой координате φ1: (2.23), (2.24) Передаточные отношения определяем по формулам: (2.25) (2.26) Для получения значений углов φ2 и φ3 рассмотрим векторное уравнение контура АВСД: (2.27) Проектируем это векторное уравнение (2.27) на координатные оси: (2.28), (2.29) Откуда определяем: или (2.30), (2.31) (2.32) ; (2.33), (2.34) Тогда углы: (2.35) (2.36) Решая совместно уравнения (2.25) и (2.26), получим: ; (2.37), (2.38) (2.39) (2.40) 3 Кинематика зубчатых механизмов 3.1 Общие положения В различных машинах и приборах широко применяются механизмы для воспроизведения вращательного движения с постоянным передаточным отношением между двумя различно заданными в пространстве осями. Такие механизмы носят название механизмов передачи вращательного движения или сокращённо механизмов передачи. Зубчатый механизм, понижающий скорость вращения выходного вала по сравнению с входным называется редуктор, наоборот – мультипликатор. В тех случаях, когда заданное передаточное отношение превышает целесообразное для одной пары колёс или когда требуется обеспечить большое межосевое расстояние используют сложные зубчатые механизмы, состоящие из нескольких параллельно или последовательно соединённых друг с другом зубчатых передач. Различают два вида таких механизмов: - зубчатые механизмы с неподвижными осями (многократные зубчатые механизмы, которые в свою очередь делятся на рядовые и ступенчатые); - зубчатые механизмы с подвижными осями (планетарные или планетарно-дифференциальные зубчатые механизмы). 3.2 Кинематика зубчатых механизмов с неподвижными осями Рассмотрим простейший механизм зубчатой передачи. Может быть с внешним и с внутренним зацеплением колёс (рисунок 3.1). внешнее зацепление внутреннее зацепление Рисунок 3.1 - Зубчатые передачи Во внешнем зацеплении угловые скорости колёс имеют разные знаки, во внешне - одинаковые. Передаточное отношение определяется по формуле: (3.1) Рядовые зубчатые механизмы представляют собой последовательное соединение нескольких пар зубчатых колёс, на каждой из неподвижных осей которых помещено по одному колесу (рисунок3.2). Рисунок 3.2 - Рядовой зубчатый механизм Передаточное отношение определяется по формуле: (3.2) В общем случае формула выглядит следующим образом: (3.3) где k – число внешних зацеплений; если k чётное число, то ведомое и ведущее звенья вращаются в одном направлении; если k нечётное число, то в разных направлениях. Многоступенчатый зубчатый механизм – один из основных видов сложного зубчатого механизма – можно образовать последовательным (кратным) соединением колёс (рисунок 3.3), при котором вращение от ведущего вала I передаётся ведомому валу III через промежуточный вал II несколько колёс. Колёса 5 и 4; 2/ и 2 жёстко соединены с валами; колёса 1 и 1/, 3 и 3/ при помощи шлицевого соединения могут перемещаться вдоль неподвижной оси, но при передаче вращения закрепляются неподвижно и имеют с валами общую угловую скорость, т.е.: ; ; ; Рисунок 3.3 - Многоступенчатый зубчатый механизм Передаточное отношение одной пары зацепляющихся цилиндрических колёс равно: (3.4) Для внешнего зацепления знак берётся отрицательным (рисунок 3.3 – вращение в разные стороны). При последовательном и кратном соединении передаточное отношение между любой парой колёс равно произведению передаточных отношений промежуточных пар сопряжённых колёс. Так для коробки скоростей (рисунок 3.3) передаточное отношение угловых скоростей равно: (3.5) Так же можно определить через зацепления колёс 1 и 2, 3 и 4: - первая передача: - вторая передача: - третья передача: - четвёртая передача: 3.3 Кинематика зубчатых механизмов с подвижными осями Планетарно-дифференциальные механизмы отличаются от простого зубчатого с неподвижными осями тем, что в состав его входит зубчатое колесо (одно или несколько), вращающиеся вокруг подвижной оси водила О2 и это колесо называется планетарным или сателлитом (рисунок 3.4). Подвижное звено в котором помещены оси сателлитов, называется водилом. Вращающееся вокруг неподвижных осей колесо (с внешними или внутренними зубьями) по которым обкатываются сателлиты, называются центральным или солнечным, а неподвижное центральное колесо называется опорным. Рисунок 3.4 - Планетарно-дифференциальный механизм Колесо 2 (сателлит) совершает сложное движение: переносное вращение вместе с водилом Н, несущим ось О2 сателлита, и вращение на этой оси О2 относительно водила. При проектировании планетарного редуктора учитывается условие соосности (параллельность осей): R1+2R2=R3 или Z1+Z2 = Z3-Z2  Z3=Z1+2Z2 (3.6) Число степеней свободы дифференциального механизма (рисунок 3.4) W=2, два входных звена (1 и 3; или 1 и Н; или 3 и Н) и одно выходное (соответственно Н; или 3; или 1). Для определения передаточного отношения используется метод обращённого движения: останавливают подвижную ось О2 водила, задавая всему механизму вращение с угловой скоростью равной н, но в противоположную сторону вращения водила, тогда для обращённого механизма с неподвижными осями рассчитаем передаточное отношение: (3.7) При закреплённом колесе 3, степень подвижности W=1, получаем планетарный механизм с одним входным звеном – колесо 1 и одним выходным звеном – водило Н. Передаточное отношение такого механизма определяют по формуле Виллиса: (3.8) (3.9) Для схемы замкнутого дифференциального механизма (рисунок 3.5) передаточное отношение угловых скоростей от входного колеса 1 к выходному колесу – барабану 5 определяется по формуле для дифференциальной части механизма: (3.10) (3.11) Рисунок 3.5 - Замкнутый дифференциальный механизм Водило Н1 и колесо-барабан 5 имеют одну угловую скорость н1=5, также и для колёс 3 и 3/ на одной оси 3=31, тогда в отношении (3.11) выполним замену: (3.12) Для замкнутой части механизма (при неподвижном водиле Н2) имеем простую передачу с неподвижными осями: (3.13) 4 Силовой анализ механизмов 4.1 Основные задачи динамического анализа механизмов. Обзор сил. Механические характеристики машин Целью силового расчёта механизма является определение сил, приложенных к каждому звену. Динамический анализ механизмов имеет своими задачами: а) изучение влияния внешних сил, сил веса звеньев, сил трения и массовых сил (сил инерции) на звенья механизма, на элементы звеньев, на кинематические пары и неподвижные опоры, и установление способов уменьшения динамических нагрузок, возникающих при движении механизмов; б) изучение режима движения механизма под действием заданных сил и установление способов, обеспечивающих заданные режимы движения механизма. Первая задача носит название силового анализа механизмов, а вторая задача – название динамики механизмов. В результате силового анализа можно определить пути уменьшения динамических нагрузок и спроектировать машину так, чтобы она имела достаточную прочность при меньших габаритах и массе. Силы и моменты пар сил, приложенные к механизму, можно разделить на следующие группы: • расчётные силы инерции, совершающие положительную работу; • движущие силы и моменты сил, совершающие положительную работу, они приложены к ведущим звеньям; • силы и моменты сил сопротивления, совершающие отрицательную работу; эти силы делятся на силы полезного сопротивления, которые приложены к ведомым звеньям, и силы вредного сопротивления (со стороны среды, в которой движутся звенья), которыми в силовом анализе пренебрегают; • силы тяжести, которые на отдельных участках движения могут совершать как положительную, так и отрицательную работу; однако за цикл движения (полный оборот ведущего звена) работа этих сил равна нулю, т.к. центры масс движутся по замкнутым траекториям; • силы и моменты, приложенные к корпусу машины (т.е. к стойке) извне, работы не совершают, поскольку приложены к неподвижной стойке; • силы взаимодействия между звеньями, т.е. силы, действующие в кинематических парах; эти силы согласно третьему закону Ньютона всегда взаимнообратны; их нормальные составляющие работы не совершают, а касательные составляющие, т.е. силы трения, совершают отрицательную работу. Последняя группа сил является внутренними, а все остальные силы относятся к категории внешних. В большинстве случаев движущие силы и моменты, а также силы и моменты сопротивления не остаются постоянными, а изменяют свою величину при изменении положения звеньев механизма или их скорости. Эти функциональные зависимости, представленные графически, или массивом чисел, или аналитически, носят название механических характеристик и при решении задач считаются известными. При изображении механических характеристик будем придерживаться следующего правила знаков: силу и момент будем считать положительными, если на рассматриваемом участке пути (линейном или угловом) они производят положительную работу. На рисунке 4.1 показана механическая характеристика асинхронного электродвигателя – зависимость движущего момента от угловой скорости ротора машины. Рабочей частью характеристики является участок ab, на котором движущий момент резко уменьшается даже при незначительном увеличении скорости вращения. От скорости зависят силы и моменты, действующие также в таких роторных машинах, как электрогенераторы, вентиляторы, центробежные насосы (рисунок 4.2) и многие другие. На рисунке 4.3 показана кинематическая схема механизма двухтактного двигателя внутреннего сгорания (ДВС) и его механическая характеристика. Сила FД, приложенная к поршню 3, действует всегда влево. Поэтому при движении поршня влево она совершает положительную работу и показана со знаком плюс (ветвь czd). Поэтому при движении поршня вправо сила FД получает знак минус (ветвь dас). Если подача топлива в ДВС не изменится, то при следующем обороте начального звена механическая характеристика FД= FД(Sc) повторит свою форму. Сила FД изменяется периодически. Рисунок 4.1 - Механическая Рисунок 4.2- Механическая характеристика характеристика Рисунок 4.3 – ДВС 4.2 Определение сил инерций звеньев механизмов Из курса теоретической механики известны формулы для определения сил инерций для движущихся механических систем. При поступательном движении звена механизма все точки имеют одинаковое ускорение (рисунок 4.4), поэтому: (4.1) где -ускорение центра масс, м/с2; m - масса всей системы материальных точек, кг. При вращательном движении звена вокруг оси, проходящей через центр масс (рисунок 4.5), силы инерции составят пару с моментом Ми, равным: (4.2) где  - угловое ускорение звена, с-2; JS – осевой момент инерции, кгм2. Такой случай имеет место для неравномерно вращающихся шкивов, барабанов, роторов и т.д Для вращающихся стержней вокруг оси, проходящей через конец стержня, силы инерции приводятся к главному вектору и главному моменту сил инерций относительно оси, проходящей через центр масс S (рисунок 4.6). Рисунок 4.4-Поступательное Рисунок 4.5-Вращатель- Рисунок 4.6-Силы движение ное движение инерции Для плоского движения звена, например шатуна АВ (рисунок 4.7), силы инерции приводятся к главному вектору , который направляется в противоположную сторону ускорения центра масс и к главному инерционному моменту сил , который направлен в противоположную сторону углового ускорения ε, на это указывает знак минус. Рисунок 4.7 - Направление сил инерции 4.3 Условие статической определимости кинематических цепей Рассмотрим, как будут направлены реакции в различных кинематических парах. В поступательной паре (рисунок 4.8а) реакции направлены перпендикулярно направляющей. Неизвестных здесь две: величина силы R01 и точка её приложения (расстояние h). а б в Рисунок 4.8 – К определению условия статической неопределимости кинематической цепи. Во вращательной паре равнодействующая сил реакции направлена по нормали к цилиндрической поверхности, т.е. проходит через центр шарнира (рисунок 4.8б). Неизвестными являются: направление реакции (угол ) и величина силы. В высших парах сила взаимодействия между звеньями направлена по общей нормали и приложена в точке касания, т.е. известны и направление, и точка приложения силы (рисунок 4.8в), неизвестна лишь её величина. Таким образом, для определения реакции в каждой из низших пар  класса необходимо найти по две неизвестных, а для определения реакции в высшей паре I класса – только одну неизвестную. Обозначим число подвижных звеньев плоской кинематической цепи через n, число пар  класса – Р5, а число пар I - Р4. Составим теперь условие статической определимости плоских кинематических цепей. Для каждого звена можно написать три уравнения равновесия, следовательно, при n звеньях число уравнений равновесия равно 3n. Учитывая, что реакция каждой низшей пары содержит две неизвестных, а высшей – одну, т.е. 2Р5 и Р4, то уравнение статической определимости принимает вид: 3n-2Р5 - Р4=0 (4.3) Кинематические пары I могут быть заменены парами  класса, тогда формула запишется: 3n=2Р5  Р5 = (4.4) Оба приведённых уравнения статической определимости кинематической цепи совпадают с условиями, которым удовлетворяют группы Ассура. Следовательно, структурные группы представляют собой статически определимые кинематические цепи. На основании вышеизложенного формулируется общая методика силового анализа: расчёт следует проводить по структурным группам, начиная с наиболее удалённой от начального звена и заканчивая начальным звеном. Таким образом, силовой расчёт проводится в порядке, обратном кинематическому. 4.4 Кинетостатический расчёт плоских механизмов Методы расчёта реакций без учёта сил инерции входят в раздел статики, а с учётом сил инерции – в раздел кинетостатики. Метод кинетостатики применяется в тех случаях, когда имеются большие ускорения и силами инерции нельзя пренебречь. Сущность метода кинетостатики заключается в следующем: если к внешним силам, действующим на звено, условно приложить силы инерции, то данное звено будет находиться в равновесии (принцип Даламбера, известный из теоретической механики). В результате метод кинетостатики позволяет задачу динамики свести к задаче статики. Уравнение по Даламберу для плоского механизма имеет следующий вид: ; ; При силовом расчёте механизмов степень подвижности структурной группы должна быть равна нулю. 4.4.1 Силовой расчёт структурной группы Ассура II класса, 1-го вида. Заданы внешние силы, моменты, массы звеньев, размеры звеньев , ; S2 и S3 – координаты центра масс звеньев 2 и 3. Вес звеньев G2=m2g; G3=m3g. Инерционные нагрузки определены предварительно из плана ускорений – Fu2, Fu3; Мu2, Мu3 (рисунок 4.9а). Определить реакции в шарнирах В, С, Д (R12, R23, R43). Структурную группу вычерчиваем в масштабе . Система сил находится в равновесии, составим векторное уравнение равновесия данной группы: (4.5) а б а – расчётная схема; б – план сил Рисунок 4.9 – Силовой анализ структурной группы 1-го вида Касательные составляющие реакций можно определить из уравнений моментов сил относительно точки С для каждого звена в отдельности. Для второго звена (рисунок 4.10): : (4.6) (4.7) Рисунок 4.10-Звено ВС Если плечи берутся из чертежа, то значение Мu2 приводится к масштабу . Аналогично для третьего звена: : (4.8) (4.9) В уравнении (4.5) остаётся две неизвестных . Дальнейший расчёт группы сводится к решению уравнений сил (4.5). Решим данное уравнение графически. План сил строим строго по уравнению в масштабе (рисунок 4.9б). Проводим произвольно линию действия силы и на ней выбираем произвольно точку, из которой проводим ,в масштабе Р. Прибавляем к силе остальные известные силы. Из конца известной последней силы проводим линию параллельную . Точка пересечений двух направлений нормальных составляющих и определит их искомые величины. Для определения силы в шарнире С решим графически векторное уравнение сил, приложенных к одному из звеньев, например к звену 2: ; (4.10) Решение этого уравнения сводится к определению отрезка (ав), изображающего вектор на плане сил. 4.4.2 Силовой расчёт структурной группы Ассура II класса, 2-го вида Задано рабочее звено 3, к которому приложена сила полезного сопротивления Рп.с. Так же известна длина звена СВ ; положения центров масс S2 и S3 звеньев 3 и 2; Fu2, Fu3; G2, G3; Мu2 (рисунок 4.11а). Определить реакции R12, R23, R43. Составим векторное уравнение равновесия данной группы: (4.11) а б а – расчётная схема; б – план сил Рисунок 4.11 – Силовой анализ структурной группы 2-го вида Из уравнения моментов сил, приложенных к звену 2 относительно точки С, определяем : (4.12) (4.13) Решая графическим способом уравнение (4.11), находим неизвестные величины векторов и (рисунок 4.11б). Плечо h3 найденной силы получим из уравнения моментов сил, приложенных к звену 3 относительно точки С: (4.14) (4.15) Силу находим графически из векторного уравнения сил, приложенных к звену 3: (4.16) 4.4.3 Силовой расчёт структурной группы Ассура II класса, 3-го вида Силовой расчёт структурной группы, когда вес камня G2 не задан. Заданы G3, Fu3, Мu3, R43 (можно определить из силового расчёта отсоединённой группы), G2=0 (рисунок 4.12). Определить реакции R12, R23, R63. Крайними свободными кинематическими парами являются С и Д – вращательные. Отсоединённое звено 1 даёт вращательную пару в точке В. Рисунок 4.12 – Силовой анализ структурной группы 3-го вида Составим векторное уравнение равновесия данной группы: (4.17) можно определить из уравнения моментов: (4.18) (4.19) Сразу не найти для второго звена, поэтому сначала нужно рассмотреть равновесие 3-го звена отдельно: (4.20) Рисунок 4.13-Кулисный камень Решая графически уравнение (4.20) находим неизвестные величины и (рисунок 4.12). Можно было определить из уравнения. После определения реакции, приложенной к кулисе, определим реакцию, приложенную к кулисному камню . Отдельно рассматривая 2-ое звено (рисунок 4.13), определим . 4.4.4 Силовой расчёт ведущего звена В результате кинетостатического расчёта группы, присоединённой к входному звену, определяется сила взаимодействия в кинематической паре R12 . На входное звено действует сила . Под действием приложенных сил входное звено не находится в равновесии. Чтобы имело место равновесие, необходимо ввести силу или пару сил, уравновешивающую все силы, приложенные к входному звену. Эта сила и момент носят название уравновешивающей силы или уравновешивающего момента (рисунок 4.14). Рисунок 4.14 – Силовой расчёт ведущего звена Уравновешивающий момент Мур определяем из уравнения: : Мур-Мu1+G1h1-R21h2=0 (4.21) Мур=Мu1-G1h1+ R21h2 (4.22) где Мu1 – инерционный момент, нм, определяем по формуле (4.2). 5 Анализ движения механизмов 5.1 Приведение сил и масс в механизмах 5.1.1 Кинетическая энергия механизма. Применение теоремы об изменении кинетической энергии механической системы к движению механизма. Для определения закона движения механизма нужно решить уравнение его движения. Основой для составления уравнения движения механизмов с одной степенью свободы служит теорема об изменении кинетической энергии: А=Т-Т0 (5.1) где А – суммарная работа; Т0, Т – соответственно кинетическая энергия в начале и в конце рассматриваемого промежутка времени. Кинетическая энергия Т механизма равна сумме кинетических энергий отдельных его звеньев: (5.2) • для поступательного движения звена: (5.3) • для звена во вращательном движении вокруг оси А: (5.4) где JА – момент инерции звена относительно оси вращения. • для плоскопараллельного движения звена: (5.5) Кинетическая энергия всего механизма в общем, виде определяется: (5.6) Суммарная работа всех сил и моментов в общем, виде запишется: (5.7) Все кинематические параметры находятся в определённых соотношениях, которые могут быть выражены через уравнения. Эти уравнения с уравнением (5.7) составят систему, из которой должны быть определены искомые кинематические параметры. Этот путь весьма сложен. Переход от многих неизвестных к одной, благодаря которому коренным образом упрощается уравнение движения и его решение, осуществляют при помощи приведения сил и приведения масс. 5.1.2 Приведённые силы и моменты Механизм представляет собой сложную систему звеньев, нагруженных различными силами и моментами. Чтобы упростить определение закона движения такой сложной системы, применяют метод приведения сил и масс, который позволяет заменить реальный механизм некоторой эквивалентной (расчётной) схемой – одномассовой динамической моделью механизма. Удобно все силы, действующие на звенья, заменять силами, приложенными к одному из звеньев механизма. При этом необходимо, чтобы работа на рассматриваемом возможном перемещении или мощность, развиваемая заменяющими силами, были соответственно равны сумме работ или мощностей, развиваемых силами, приложенными к звеньям исследуемых механизмов. Заменяющие силы, удовлетворяющие этим условиям, получили название приведённых сил. Звено механизма, к которому приложены приведённые силы, носит название звена приведения, а точка приложения приведённых сил – точка приведения. В основе определения приведённой силы или приведённого момента лежит равенство работ (или мощностей) динамической модели и работ (или мощностей) всех сил, действующих на звенья механизма: (5.8) где Nn – мощность, развиваемая приведённой силой или приведённым моментом: (5.9) Ni – мощности, развиваемые силами или моментами, приложенными к звену i: (5.10) и - сила и момент, приложенные к звену j ; - скорость точки приложения силы ; - угол, образованный силой и вектором скорости. Подставив формулы (5.9) и (5.10) в формулу (5.8), при мод=1, получим: • расчётную формулу для приведённой силы (рисунок 5.1б): (5.11) • расчётную формулу для приведённого момента (рисунок 5.1а): (5.12) а б Рисунок 5.1 – К определению приведённой силы или приведённой массы Приведённый момент (или сила) показывает влияние на звено приведения нагруженности отброшенных групп (звеньев) механизма. 5.1.3 Приведённая масса и приведённый момент инерции механизма В основе определения приведённой массы и приведённого момента инерции механизма положено условие равенства кинетической энергии звена приведения и кинетической энергии всего механизма: Тм = Тi (5.13) (5.14) Для вращающейся динамической модели (рисунок 5.1а): (5.15) Приравняем формулу (5.14), (5.15) и выразим приведённый момент инерции : = (5.16) Приведённым моментом инерции называется условный момент инерции звена приведения, кинетическая энергия которого равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма. Кинетическая энергия материальной точки, имеющей массу mпр и двигающейся со скоростью точки приведения, выражается следующей формулой (рисунок 5.1б): (5.17) Подберём массу mпр материальной точки так, чтобы её кинетическая энергия была равна кинетической энергии всего механизма (формула 5.13). = (5.18) (5.19) Приведённой массой механизма называется условная масса, сосредоточенная в точке приведения, кинетическая энергия которой равна сумме кинетических энергий всех звеньев механизма. 5.1.4 Определение уравновешивающей силы методом Жуковского Теорема Жуковского основана на известном из теоретической механики принципе возможных перемещений: сумма элементарных работ внешних сил и сил инерции на их возможных перемещениях равна нулю. Пусть F1, F2, …, Fn – внешние силы и силы инерции, приложенные к звеньям механизма; dS1, dS2, …, dSn – проекции элементарных перемещений на направления соответствующих сил. Тогда на основании принципа возможных перемещений запишем: (5.20) Для определения элементарной работы силы на её элементарном перемещении рассмотрим звено АВ, в точке S которого приложена сила Fi под углом  к скорости точки S (рисунок 5.2а). а- расчётная схема; б- план скоростей Рисунок 5.2 – К выводу теоремы Жуковского Строим план скоростей в масштабе V, считая, что скорости точек VA, VB известны. Скорость точки S определяем по принципу подобия (рисунок 5.2б). Силу Fi повернём на 90 в любую сторону и перенесём на план скоростей в точку S. Плечо этой силы относительно полюса обозначим через hi. Работа сил на элементарном перемещении: (5.21) Но , поэтому: (5.22) Момент силы Fi относительно полюса плана скоростей: (5.23) Тогда: С учётом принципа возможных перемещений суммируем элементарные работы и приравниваем их к нулю: (5.24) (5.25) Выражение (5.25) и представляет собой теорему Жуковского, которая формулируется следующим образом: сумма моментов всех внешних сил, приложенных в соответствующих точках плана скоростей и повёрнутых на 90, относительно полюса плана скоростей равна нулю. Пользуясь теоремой можно сразу находить уравновешивающую силу, минуя силовой расчёт структурных групп. Предположим, что заданы силы, действующие на звенья механизма - F1, F2, …, Fn. Требуется найти уравновешивающую силу – Fу. Плечи сил, перенесённых в соответствующие точки повёрнутого на 90 плана скоростей, относительно полюса (h1, h2, …, hn, hу) находят непосредственным измерением. Тогда согласно теореме Жуковского: (5.26) Если к звеньям механизма приложены ещё и моменты, то их раскладывают на пары сил, приложенные в точках, скорости которых известны. 5.2 Исследование движения машинного агрегата К механизму машины или прибора во время движения приложены различные силы. Это – движущие силы, способствующие движению механизма, силы сопротивления, препятствующие его движению, силы тяжести и другие. Своим действием они сообщают механизму тот или иной закон движения. Для определения закона движения механизма с одной степенью свободы, находящегося под действием приложенных сил, нужно прежде всего найти закон движения одной его точки или одного его звена. В этом заключается динамическая часть задачи. Определение закона движения остальных точек и звеньев механизма производится методами кинематического анализа. 5.2.1 Основные формы уравнений движения механизма Основными силами при составлении уравнения движения механизма считаются: движущие силы и силы производственного сопротивления. Основой для составления уравнения движения механизма с одной степенью свободы служит теорема об изменении кинетической энергии: А=Т-Т0 (5.27) В дифференциальной форме имеет следующий вид: (5.28) 5.2.2 Уравнение движения в энергетической (естественной форме) Выполнив приведение масс к точке, можно заменить кинетическую энергию механизма кинетической энергией сосредоточенной массы (рисунок 5.3). Рисунок 5.3- Приведение масс Рисунок 5.4- Приведение масс к точке к динамической модели Кинетическая энергия в начале и в конце рассматриваемого промежутка времени, соответственно будет равна: и (5.29), (5.30) Сумма работ равна: (5.31) Подставляя выражения (5.29), (5.30), (5.31) в (5.27) получим уравнение движения механизма в энергетической форме: (5.32) Откуда: (5.33) Если все силы и массы приводятся не к точке, а к звену динамической модели (рисунок 5.4), то уравнение имеет вид: (5.34) Откуда: (5.35) 5.2.3 Уравнение движения в дифференциальной форме Рассмотрим, когда силы и массы приводим к звену динамической модели (рисунок 5.4). Продифференцируем зависимость (5.28) по : (5.36) Так как в начальный момент времени . Сумма работ равна: (5.37) Приведённый момент инерции является переменной величиной и уравнение движения будет иметь вид: (5.38) Окончательно уравнение движения в дифференциальной форме будет следующее: (5.39) В эту формулу Мпр и производную подставляют со своим знаком. Величину и знак производной можно определить из графика (рисунок 5.5): (5.40) где  - угол между касательной и кривой в исследуемом положении и положительным направлением оси абсцисс; так для i tg0, а в положении к tg0. Рисунок 5.5 – График зависимости Определив tg, можем из уравнения (5.39), определить угловое ускорение, заменив : (5.41) Рассмотрим случай, когда силы и массы приводятся к точке (рисунок 3). Продифференцируем зависимость (5.28) по S: (5.42) Подставим выражения (5.29), (5.30), (5.31) в (5.42) и dV/dt=a, преобразуем и получим дифференциальное уравнение точки приведения: (5.43) 5.2.4 Основные режимы движения механизма. Средняя скорость ведущего звена и его коэффициент неравномерности движения Полное время движения механизма состоит из трех ча­стей: времени разбега, установившегося движения и вы­бега. Графическое изображение скорости машины в функ­ции времени называется тахограммой движения (рисунок 5.6). Рисунок 5.6 - Тахограмма движения механизма Под скоростью машины понимается угловая скорость начального звена. Первый период на тахограмме соответ­ствует времени разбега (пуска) машины, при этом скорость возрастает от нуля до установившегося значения. Второй период — установившийся режим, при котором скорость колеблется относительно среднего значения, т. е. являет­ся периодической функцией времени. Третий период — выбег — соответствует времени торможения, скорость па­дает от установившегося значения до нуля. Период изменения скорости называется циклом движе­ния. По истечении цикла угловая скорость начального зве­на принимает первоначальное значение (звено возвраща­ется в первоначальное положение). Изменение скорости ведущего звена связано с действи­ем внешних сил, приложенных к звеньям. Эти силы мож­но разделить на две категории: • движущие силы, под действием которых скорость движения возрастает; • силы сопротивления, под действием которых ско­рость уменьшается. Работа движущих сил положительна, работа сил сопро­тивления отрицательна. Иногда бывает, что силу нельзя раз и навсегда отнести к какой-то из двух указанных групп. Например, силы тя­жести при движении звеньев вниз являются движущими силами, а при движении звеньев вверх — силами сопро­тивления; или сила давления на поршень двигателя вну­треннего сгорания в период сгорания рабочей смеси явля­ется движущей силой, а в период сжатия — силой сопро­тивления. Поэтому необходимо исследовать движение механизма в течение всего цикла движения. Для этого используем теорему об изменении кинетической энергии: АД - АС=Т-Т0 (5.44) где АД – работа движущих сил; АС – работа сил сопротивления (без учёта сил трения); Т0, Т - соответственно кинетическая энергия в начале и в конце рассматриваемого промежутка времени. Изменение кинетической энергии механизма связано с изменением скорости: • в период разбега скорость возрастает от нуля до установившегося значения (рисунок 5.6), также возрастает и кинетическая энергия: АД -АС0; • в период установившегося движения скорость за цикл возвращается к первоначальному значению, т.е. кинетическая энергия не изменяется: АД - АС =0; • в период выбега скорость падает до нуля, соответственно изменяется и кинетическая энергия: АД - АС0. Мы будем рассматривать движение механизмов только в установившемся режиме. Установившемся движением называется такое, при котором скорость звена приведения является периодической функцией времени. Как видно (рисунок 5.6), угловая скорость  колеблется относительно некоторого постоянного среднего значения ср, причём характер изменения угловой скорости периодически повторяется. Время, по истечении которого скорость звена приведения принимает своё первоначальное значение, называется временем цикла Тц. Установившееся движение имеет место в том случае, когда сумма работ за цикл всех сил, приложенных к механизму, равна нулю Ац=0. Основным энергетическим уравнением установившегося режима является уравнение вида: АДц = АСц (5.45) В этом случае приращение кинетической энергии механизма за цикл не происходит (), и следовательно угловая скорость звена приведения в начале и в конце цикла одинакова. Внутри цикла  изменяется, проходя через max и min. Неравномерность вращения оценивается коэффициентом неравномерности: (5.46) Коэффициент неравномерности характеризует размах колебаний угловой скорости по отношению к её среднему значению. Чем меньше , тем относительно меньше размах колебаний, тем спокойнее вращается звено приведения. В зависимости от назначения механизма допустимый коэффициент неравномерности имеет значения от десятых до сотых долей единиц. Среднюю величину угловой скорости можно принять равной: (5.47) Совместное решение уравнений (5.46) и (5.47) даст: ; В установившемся режиме работают очень многие машины (станки, прессы, генераторы электрической энергии, компрессоры, насосы и т.д.). Наилучшее условие для работы всех этих машин – абсолютно равномерное вращение их главного вала (принимаемого обычно в качестве начального звена). Колебания скорости главного вала вызывают дополнительные динамические нагрузки, вследствие чего снижается долговечность и надёжность машин. Следовательно, поскольку колебания скорости полностью устранить нельзя, то нужно по возможности хотя бы сократить их размах, т.е. нужно величину  сделать приемлемо малой. Как известно, все звенья механизма обладают инертностью. Это свойство состоит в том, что чем инертнее материальное тело, тем медленнее происходят изменения его скорости, вызываемые действием приложенных сил. Поэтому инертность главного вала со всеми жёстко связанными с ним деталями надо сделать достаточно большой. Для этого на главном валу машины надо закрепить добавочную массу, выполненную в виде колеса с развитым ободом и называемую маховиком. Для уменьшения размеров маховика удобнее всего устанавливать его на звенья, обладающие большими угловыми скоростями. Подбирая его момент инерции, можно обеспечить вращение главного вала машины с заданным коэффициентом неравномерности. Основное назначение маховика состоит в ограничении колебаний угловой скорости в пределах, устанавливаемых величиной коэффициента неравномерности. Рассмотрим изменение кинетической энергии (рисунок 5.6): (5.48) (5.49) Приведённый момент инерции звена приведения будет равен: (5.50) Формула (5.50) применяется при практических расчётах момента инерции махового колеса. 5.2.5 Механический коэффициент полезного действия Механический коэффициент полезного действия (КПД) называется отношение абсолютной величины работы сил производственных сопротивлений к работе всех движущих сил за цикл установившегося движения: (5.51) где Авр.с. – работа непроизводственных сопротивлений; Адв – работа всех движущих сил; Nс – мощность, поглощаемая силами непроизводственных сопротивлений; Nдв – мощность, развиваемая движущими силами. Отношение работы непроизводственных сопротивлений к работе движущих сил принято обозначать через ψ и называть механическим коэффициентом потерь. В соответствии с этим формула (5.51) будет иметь вид: η=1-ψ (5.52) Если работа непроизводственных сопротивлений будет больше работы всех движущих сил, то действительное движение механизма произойти не может, это явление носит название самоторможения механизма: или (5.53) Коэффициент полезного действия механизма может изменяться в пределах 0 ≤ η ≤ 1. Коэффициент полезного действия нескольких механизмов, соединённых последовательно (рисунок 5.7) определяется по следующей формуле (Адв2 =Ас1; Адв3 =Ас2; …; Адв.п =Ас(п-1)): ηобщ =η1 · η2 · η3 ·… ηп = (5.54) Рисунок 5.7 - Схема последовательного соединения механизмов Рисунок 5.8 - Схема параллельного соединения механизмов Теперь рассмотрим параллельное соединение механизмов (рисунок 5.8). Общий КПД определяется по формуле: (5.55) ; ; (5.56) Подставив выражения (5.56) в формулу (5.55) получим: (5.57) где ν1, ν2,… νn – коэффициенты распределения энергии 6 Синтез рычажных механизмов Существуют следующие варианты синтеза: - по нескольким положениям входного и выходного звеньев; - по средней скорости выходного звена; по коэффициенту изменения средней скорости (kω) выходного звена при обратном и прямом ходах механизма; по коэффициенту неравномерности рабочего хода машины; - по отдельным траекториям выходного звена механизма. 6.1 Условия существования кривошипа в четырёхзвенных механизмах Правило Грасгофа: самое короткое звено может быть кривошипом, если сумма длин самого короткого и самого длинного звеньев меньше суммы длин остальных звеньев. Рассмотрим шарнирный четырёхзвенник АВСД (рисунок 6.1), у которого длины звеньев обозначены через a, b, c, d и при этом a е+ LАВ (6.2) где е – дезаксиал (величина внеосности). Звено а буде коромыслом, если: LВС < е+ LАВ 6.2 Проектирование кривошипно-ползунных механизмов 6.2.1 Проектирование кривошипно-ползунного механизма по заданной средней скорости ползуна. Задан кривошипно-ползунный механизм АВС (рисунок 6.3), средняя скорость ползуна Vср , м/с; частота вращения вала кривошипа n, об/с; отношение длин кривошипа и шатуна λ=l1/l2 . Определить l1,l2 . Рисунок 6.3 –Осевой кривошипно-ползунный механизм Двойной ход ползуна соответствует одному обороту кривошипа: 2Н=4l1 Время одного оборота вала tоб, сек, равно: Средняя скорость ползуна определяется по формуле: Ход ползуна: Н=2l1 Угол давления (угол между скоростью ползуна Vс и силой давления шатуна на ползун): . 6.2.1 Проектирование кривошипно-ползунного механизма по заданным расстояниям от крайних положений ползуна до оси вращения кривошипа. Задан кривошипно-ползунный механизм АВС (рисунок 6.3), расстояния от крайних положений ползуна до оси вращения кривошипа LАС1, LАС2. Определить l1,l2 . Рассмотрим крайние положения механизма: LАС1=LАВ+LВС (6.3) LАС2=LСВ-LАВ (6.4) Решая совместно уравнения (6.3), (6.4) получаем: и 6.3 Проектирование шарнирного четырёхзвенника по заданным крайним положениям коромысла Задан механизм шарнирного четырёхзвенника АВСД (рисунок 6.4), длина стойки ℓ4, м; длина коромысла ℓ3, м; углы, определяемые крайние положения коромысла γ1, γ2. Определить l1,l2. Рисунок 6.4 – Механизм шарнирного четырёхзвенника Угловой ход (размах) ведомого звена: γ2 – γ1=θ Изобразим два крайних положения механизма, в каждом из которых кривошип и шатун находятся на одной прямой. Угол между этими прямыми обозначим β. Движение ведомого коромысла из положения 1 в положение 2 обозначим как прямой ход, а движение в противоположном направлении как обратный ход. За время прямого хода tпр кривошип повернётся на угол (180+β), а за время обратного хода tобр – на угол (180-β). Рассмотрим крайние положения механизма: LАС1=LАВ+LВС (6.5) LАС2=LСВ-LАВ (6.6) Решая совместно уравнения (6.5), (6.6) получаем: и 6.4 Проектирование кулисных механизмов по заданному коэффициенту изменения средней угловой скорости кулисы Задан кулисный механизм (рисунок 6.5а), коэффициент изменения средней скорости кулисы при прямом и обратном ходах: ; расстояние l4, величина h – размер, соответствующий длине верхней части ползуна с некоторым запасом. Определить l1,l2, ход (размах) кулисы β. а б а – механизм с качающейся кулисой; б – механизм с вращающейся кулисой Рисунок 6.5 - Кулисные механизмы При l1> l4 имеем механизм с вращающейся кулисой, рисунок 6.5а (кулиса 3 за один оборот кривошипа 1 проворачивается на один оборот) При l1< l4 имеем механизм с качающейся кулисой, рисунок 6.5б (кулиса 3 совершает возвратно-вращательное движение). Кулисные механизмы обладают цепным свойством – передача усилия с кривошипа на кулису через ползун 2 происходит при нулевом значении угла давления. Точки Д1 и Д2 – крайние положения кулисы (рисунок 6.5а). Рассмотрим ∆ОВ2А: Коэффициент изменения средней скорости кулисы kω и размах кулисы β связаны соотношением: (6.7) 7 Синтез плоских зубчатых механизмов с круглыми цилиндрическими колёсами 7.1 Общие сведения Зубчатая передача представляет собой передаточный механизм, звеньями которого являются зубчатые колёса, служащие для передачи движения и сил путём непосредственного зацепления. Меньшее колесо передачи принято называть шестерней, а большее колесом. По расположению зубьев на ободе колёс их делят на: прямозубые, косозубые и шевронные. По расположению осей бывают: с параллельными осями (цилиндрическая передача), с пересекающимися (коническая передача), с перекрещивающимися (червячная передача). По форме профиля зуба различают: эвольвентные с зацеплением Новикова, циклоидальные и цевочные. В силовых передачах применяются главным образом зубчатые колёса с эвольвентным профилем зубьев, т.к. именно он сохраняет кинематически точно передаточное отношение передачи. 7.2 Основная теорема зацепления Раздел теории механизмов, посвящённый методам проектирования по заданным кинематическим условиям схем механизмов, получил название синтеза механизмов. В плоском механизме обеспечение передачи заданного закона движения зависит от геометрии сопряжённых профилей звеньев. Профили зубьев механизма передачи должны быть спроектированы строго определённым образом. Рассмотрим передачу движения одного звена по другому, образующих высшую кинематическую пару в точке С (рисунок 7.1). Окружные скорости точки С относительно центров вращения О1 и О2 будут равны: (7.1) (7.2) Рисунок 7.1 – Высшая кинематическая пара в зацеплении Проведём через точку С к профилям двух звеньев касательную t-t и нормаль n-n. Разложим скорости и по этим направлениям: и (7.3), (7.4) Для обеспечения постоянного касания профилей двух звеньев необходимо соблюдение условия: (7.5) Скорость скольжения профилей будет определяться равенством: (7.6) Опустим из центров О1 и О2 перпендикуляры на нормаль n-n и рассмотрим подобие треугольников: О1N1C ~ сва1 О2N2С ~ сва2 О1N1Р ~ О2N2Р Из подобия запишем соотношение: и (7.7), (7.8) Откуда получаем соотношение скоростей: (7.9) (7.10) Точка Р называется полюсом зацепления. Полученное соотношение (7.10) выражает основную теорему зацепления. Общая нормаль к профилям, проведённая в точке их касания, делит межцентровое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям. В общем случае передаточное отношение записывается: (7.11) Знак минус указывает на внешнее зацепление. 7.3 Геометрия эвольвентных профилей их проектирования Рассматривая различные виды кривых, входящих в зацепление двух звеньев, пришли к выводу, что профили зубьев, которые очерчены по эвольвенте, обеспечивают постоянное передаточное отношение U12 = const. Эвольвента – кривая, которую описывает любая точка прямой, перекатываемой без скольжения по окружности (рисунок 7.2). Рисунок 7.2 – Образование эвольвенты Здесь rв называется радиусом основной окружности. По основной окружности перекатывается производящая прямая. Для геометрической теории зацепления важное значение имеют следующие свойства эвольвенты: точка Nх является мгновенным центром вращения производящей прямой, а следовательно, и центром кривизны эвольвенты в точке Аi; отрезок прямой АiNx является текущим радиусом кривизны эвольвенты. На основании этого нормалью к эвольвенте в любой её точке является прямая, касательная к основной окружности. Уравнение эвольвенты: (7.12) (7.13) При увеличении радиуса основной окружности эвольвентный профиль постепенно теряет свою кривизну и при rв  эвольвента преобразуется в прямую линию. На рисунке 7.3 изображено эвольвентное зацепление, эвольвенты Э1 и Э2 контактируют в точке C. Отрезки CN1 и CN2 составляют общую прямую N1N2 касательную к двум основным окружностям. Прямая N1N2 будет общей нормалью к двум эвольвентам Э1 и Э2, αw – угол зацепления. Рисунок 7.3 – Эвольвентное зацепление Таким образом, прямую N1N2 можно рассматривать, как геометрическое место точек контакта сопряжённых эвольвент, её называют линией зацепления. Полюс Р называется полюсом зацепления. Точка пересечения линии зацепления с линией центров О1О2, определяет мгновенный центр скоростей двух профилей в их относительном движении. Общая нормаль N1N2, как касательная к двум основным окружностям, не меняет своего положения, а потому не изменяет своего положения и полюс Р. Этим доказывается существенное свойство эвольвентного зацепления, а именно: эвольвентное зацепление обеспечивает постоянство передаточного отношения в процессе зацепления: (7.14) Окружности, касающиеся в полюсе зацепления, называются начальными окружностями, радиусы которых обозначаются и . Начальные окружности в процессе зацепления двух профилей обкатываются друг по другу без скольжения, т.е. линейные скорости точек, лежащих на обеих начальных окружностях, одинаковы. Углом зацепления называется острый угол w между линией зацепления и прямой, перпендикулярной межосевой линии. Межосевое расстояние является геометрическим параметром передачи и определяется по формуле: (7.15) Сохраняя передаточное отношение постоянным, можно изменять межосевое расстояние, действительно: (7.16) При внешнем зацеплении эвольвентные профили являются сопряжёнными только в пределах отрезка N1N2 линии зацепления, вне её эвольвенты пересекаются. 7.4 Способы изготовления зубчатых колёс Зубчатые колеса с эвольвентным профилем зубьев обычно нарезаются на специальных зуборезных станках двумя методами: метод копирования и обкатки (или огибания). Оба эти способа используют при зубофрезеровании и зубодолблении. Метод копирования состоит в том , что по чертежам тщательно построенных профилей зубьев изготавливается дисковая фреза или пальцевая фреза (рисунок 7.4). Режущая кромка фрезы имеет очертание впадины между зубьями. Вращаясь, фреза перемещается в направлении боковой образующей зуба. За каждый ход фризы вдоль оси колеса получается нарезанной одна впадина. По прохождении все впадины фриза возвращается в исходное положение. После этого нарезаемое колесо поворачивается на величину угла τ=2π/z, где z – число зубьев нарезаемого колеса, и процесс повторяется. Данный метод изготовления профилей является сравнительно мало производительным, т. к. требует очень Рисунок 7.4- Метод копирования большого кол-ва инструментов для производства нескольких зубчатых колес одного модуля, но с различными числами зубьев. Метод обкатки или огибания заключается в том, что режущему инструменту и заготовке сообщают то относительное движение, которое имели бы 2 зубчатых колеса находящихся в правильном зацеплении. Колесо – инструмент может быть сделано в виде инструментального колеса (долбяка) или инструментальной рейки (червячной фризы, гребенки). При способе огибания режущие грани зуба инструмента занимают все возможные огибающие положения по отношению к получающейся боковой поверхности зуба нарезаемого колеса (рисунок 7.5). При изготовлении одновременно осуществляются технологические движения инструмента, в результате которых удаляется материал из впадин нарезаемого колеса. Способ обкатки позволяет изготовить одним и тем же инструментом колеса с любым числом зубьев. У зубчатых колес с эвольвентным профилем зуба, нарезаемых методом обкатки, различают станочное и проектируемое, или монтажное, зацепление. Проектируемое зацепление появляется при сборке, или монтаже, и взаимодействии двух парных зубчатых колес в механизме. а б а-долбяком на внутреннем венце; б-червячной фрезой Рисунок 7.5 – Нарезание прямых зубцов методом обкатки 7.5 Станочное зацепление Станочное зацепление – это зубчатое зацепление производящего исходного контура инструмента с нарезаемой заготовкой (процесс нарезания зубчатых колес на специальных станках). Если колесо нарезается реечным инструментом, то станочное зацепление рассматривается в торцовой плоскости зубчатого колеса и реечного производящего контура (рисунок 7.6). Рисунок 7.6 – Реечное станочное зацепление Начальная окружность изготовляемого зубчатого колеса, по которой производится деление цилиндрической заготовки на z равных частей, будет делительной окружностью. Шаг по делительной окружности колеса должен быть шагом стандартного модуля. Радиус делительной окружности определяется из соотношения: 2πR=z·p → R = z·p/2π = z·m/2 (7.17) где т – модуль производящего исходного контура: m = p/ π (7.18) р – шаг исходного производящего контура, измеренный по любой прямой, параллельной делительной есть величина постоянная Размеры производящего исходного контура при нарезании колес будут стандартные. Размерами вдоль делительной прямой являются шаг, толщина зуба и ширина впадины. Толщина зуба по делительной прямой равна ширине впадины: s0=ℓ0=π·m/2 (7.19) Угол профиля зуба стандартизован α=20°. Радиус скругления определяется по формуле: 0=c*m/(1-sinα)≈0,4m (7.20) Полная высота производящего контура: h=2hm+ 2c*m (7.21) где h*а - коэффициент высоты зуба, равный 1; c* - коэффициент радиального зазора, равный 0,25. Средняя прямая (делительная прямая) производящего исходного контура в станочном зацеплении располагается по отношению к делительной окружности колеса различным образом, она может касаться делительной окружности, быть отодвинута от нее, и пересекать ее. Если средняя прямая касается делительной окружности, т. е. она сливается со станочно-начальной прямой, то нарезаемое колесо получается с равно деленным шагом или нулевым. Это произойдет вследствие того, что толщина зуба производящего контура по средней прямой и ширина впадины, передадут свои размеры ширине впадине и толщине зуба нарезаемого колеса по делительной окружности, и на колесе будет выполняться равенство s0=ℓ0=π·m/2. Если средняя прямая контура отодвинута от делительной окружности колеса в направлении от центра заготовки, по стоночно-начальной прямой, перекатываемой по делительной окружности без скольжения, является та прямая инструмента, по которой ширина впадины исходного контура больше толщины зуба, нарезаемое колесо получается положительным, т. е. s0> π·m/2=ℓ0. Расстояние между средней и станочно-начальной прямыми называется положительным смещением и выражается в долях модуля χ·m, где χ – коэффициент смещения. Если средняя прямая придвинута к центру колеса, так что пересекает делительную окружность, то станочно-начальной прямой является та прямая инструмента, по которой толщина зуба исходного контура больше ширины впадины, и нарезаемое колесо получается отрицательным, толщина зуба s0< π·m/2=ℓ0. Расстояние между средней и станочной начальной прямыми называется отрицательным смещением, равным χ·m. Расстояние между окружностью вершин зубьев колеса и прямой впадин исходного контура представляет собой станочный зазор, определяемый по формуле: c=c*m+Δym (7.22) где Δym – уравнительное смещение; Δy – уравнительный коэффициент смещения. 7.5.1 Размеры изготовляемого зубчатого колеса с внешними зубьями Диаметр заготовки: dα =2Rα (7.23) где Rα - радиус окружности вершин: Rα = R+χ·m+h·m - Δỵ·m (7.24) Высота зуба: h = m(2h + c*- Δỵ) (7.25) Толщина зуба по делительной окружности: S = π·m/2+ 2 χ·m·tgα (7.26) Радиус окружности впадин: Rf = R + χ·m - h·m - c*·m (7.27) Радиус делительной окружности: R = z·m/2 (7.28) Радиус начальной окружности: (7.29) 7.5.2 Влияние смещения на форму зуба Сравним профили зубьев трех колес с различным смещением имеющих одинаковые z и m (рисунок 7.7). Колеса имеют одинаковые радиусы делительных и основных окружностей следовательно, профили зубьев очерчены по одной и той же эвольвенте. По мере увеличения χ толщина зуба у основания увеличивается, а у вершины уменьшается, т. е. χ влияет на форму зуба. Рисунок 7.7- Влияние смещения на форму зуба Зуб положительного колеса данного модуля самый прочный. Используется эвольвентный участок наиболее удаленный от ее основания, следовательно, обладающий большим радиусом кривизны, что способствует уменьшению износа. Следовательно, назначая тот или иной коэффициент смещения для колес при проектировании, можно влиять на изменение формы зубьев колес и качество зубчатой передачи. 7.5.3 Подрезание профилей зубьев. Качественные показатели зубчатой передачи В станочном зацеплении при пересечении эвольвенты зуба изготавливаемого колеса режущим профилем зуба производящего исходного контура инструмент срезает часть зуба колеса. В результате получается колесо с подрезанными зубьями (рисунок 7.8). Рисунок 7.8 - Подрезание профилей зубьев Во избежании подреза зуба необходимо, чтобы точка пересечения граничной прямой с линией зацепления NР (рисунок 7.6), обозначенная буквой не заходила за точку N, т.е. РN  PВ. и Минимальное число зубьев при х=0, =20, будет равно: (7.30) Минимальное смещение, при котором не получается подреза зубьев равно: (7.31) Из этой зависимости следует, что зубчатое колесо, имеющее ZZmin, можно нарезать с положительным, нулевым и даже с отрицательным смещением, поскольку для такого колеса хmin0. Для зубчатого колеса, у которого Z=Zmin, можно взять положительное или нулевое смещение, а для колеса у которого ZZmin – только положительное смещение хmin>0. Если увеличивать коэффициент смещения, то толщина зуба Sа у вершины будет уменьшаться. Для предотвращения излома вершины заострённого зуба коэффициент смещения назначают так, чтобы толщина Sа была бы не меньше 0,2m, т.е. Sа0,2m. Коэффициент смещения должен быть ограничен верхними пределами, т.е. ххmax. Внутри указанных пределом xmin12  x12  хmax12 коэффициенты смещения х1 и х2 колёс зубчатой передачи надо назначать так, чтобы зависящие от них качественные показатели передачи, характеризующие её свойства (плавность хода, износостойкость, прочность), имели бы оптимальные значения. Один из качественных показателей коэффициент перекрытия (>1,1) учитывает непрерывность и плавность зацепления в передаче. Такие качества передачи обеспечиваются перекрытием работы одной пары зубьев работой другой пары: (7.32) Другой качественный показатель, коэффициент скольжения (), является одним из параметров, определяющим износ зубчатой передачи: (7.33) (7.34) Коэффициент удельного давления учитывает влияние геометрии зубьев (радиусов кривизны их профилей) на величину контактных напряжений, возникающих в местах соприкосновения зубьев: (7.35) где Q – сила взаимодействия зубьев, н; в – ширина зубчатых колёс, мм; Е – приведённый модуль упругости их материалов: q – коэффициент удельного давления:  -приведённый радиус кривизны эвольвентных профилей в точке контакта: Для передачи с числом зубьев Z1 и Z2 можно построить в координатах х1 и х2 область допустимых значений коэффициентов смещения. Эта область ограничена линиями, определяющими коэффициентами качественной передачи, и называемой блокирующим контуром. 7.6 Синтез планетарных зубчатых механизмов Проектирование планетарных редукторов начинают с выбора схемы механизма. Для одного и того же заданного передаточного отношения можно создать различные схемы механизма, отличающиеся по КПД, габаритами и весом. С ростом передаточного отношения КПД планетарных механизмов уменьшается. Использование внутреннего зацепления в планетарных механизмах позволяет уменьшить габариты и вес. После выбора схемы механизма производят определение чисел зубьев колёс так, чтобы обеспечить заданное передаточное отношение, условие соосности, условие соседства и условие сборки. Рассмотрим методику проектирования (рисунок 7.9): 1) По заданному передаточному отношению подбираются числа зубьев так, чтобы при подстановке их в формулу (7.36) получилось требуемое значение. Допускается отклонение от заданного U в пределах 1…5%. (7.36) 2) Условие соосности – указывает на то, чтобы оба центральных зубчатых колеса и водило должны иметь общую геометрическую ось вращения. Сумма радиусов начальных (делительных) окружностей должна быть постоянной, т.е.: rw1 + rw2 = rw3 - rw2 или z1+z2 = z3 – z2 (7.37) 3) Условие соседства или совместимости – учитывает необходимость совместного размещения ряда сателлитов по общей окружности. Для того, чтобы окружности вершин не соприкасались, надо удовлетворить неравенству: откуда (7.38) где k – число сателлитов Рисунок 7.9 - Схема планетарного механизма 4) Условие сборки (условие равных углов между сателлитами) – учитывает необходимость одновременного зацепления всех сателлитов с центральными колёсами при симметричной геометрии зон зацепления. Правильная сборка осуществляется, если оси сателлитов равномерно располагаются по окружности rH, т.е. если центральные углы между радиусами-векторами центров сателлитов одинаковы и равны . Механическая сборка осуществима в том случае, если выполняется условие: (7.39) где с – любое целое число; р – целое число поворота водила Н. Автоматическая сборка осуществима в том случае, если выполняется условие: - целое число; - целое число; или - целое число 5) Определяем радиусы начальных окружностей: Выбираем масштабный коэффициент (μℓ) и строим кинематическую схему планетарного механизма (рисуно7.9). 6) Построение картины линейных скоростей. Со схемы механизма переносим все характерные точки на базисную ось О1В. Определяем скорость точки А: VA = ω1 ∙ r1 Выбираем масштабный коэффициент (μv) и строим вектор АА/ с учётом выбранного масштаба (рисунок 7.9). Соединяем точки В и А/. Из точки О2 проводим горизонталь до пересечения с прямой ВА/, получаем точку О2/. Соединяем О2/ и О1. На пересечение прямых О2/ О1 и АА/ получаем точку АА//. Из картины линейных скоростей можем определить угловые скорости колёс и передаточное отношение: ; ; 7) Построение картины угловых скоростей. Из выбранного полюса Р проводят лучи параллельные О1А/, О1О2/, ВА/. На пересечение их с прямой mm, проведённой на произвольном расстоянии h=КР, получаем точки 1, 2, Н и отрезки К2, К1, КН, изображающие ω1, ω2, ωН в масштабе μω. Из картины угловых скоростей можно определить угловые скорости: ω1 =(К1) μω; ω2 =(К2) μω; ωН =(КН) μω Если известны моменты М1 и МН на концевых валах редуктора, трение считаем отсутствует и звенья движутся равномерно, тогда: 8 Кулачковые механизмы 8.1 Виды кулачковых механизмов Кулачком называют звено высшей кинематической пары с переменной кривизной профиля. Профиль кулачка определяет закон движения ведомых звеньев. Механизм, в состав кинематической цепи которого входит кулачок, называют кулачковым. Кулачковые механизмы в зависимости от движения выходного звена делятся на три вида: 1) выходное звено движется поступательно; 2) выходное звено вращается; 3) выходное звено совершает сложное движение. Примером первого вида кулачковых механизмов может служить механизм на рисунке 8.1а. Цилиндр, ограниченный в сечении плоской кривой 1, вращается вокруг оси А с заданной угловой скоростью ω. Действуя на ролик 3, свободно вращающийся вокруг оси, цилиндр 1 заставляет звено 2 двигаться поступательно в направляющих С-С. а б в а-с поступательно движущимся выходным звеном; б-с возвратно-вращающимся выходным звеном; в) со сложно движущимся выходным звеном Рисунок 8.1 – Схемы кулачковых механизмов На рисунке 8.1б показан второй вид кулачкового механизма. Кулачок 1 вращается с заданной угловой скоростью ω. Действуя на ролик 3, кулачок 1 заставляет звено 2 вращаться вокруг оси С. На рисунке 8.1в показан третий вид кулачкового механизма. Кулачок 1 вращается вокруг оси с угловой скоростью ω. Действуя на ролик 5, кулачок 1 заставляет звено 2 совершать сложное движение, в то время как звенья 3 и 4 вращаются соответственно вокруг осей Е и F. Кулачковые механизмы с поступательно движущимся звеном вида, показанного на рисунке 8.1а, могут иметь различные кинематические схемы, рисунок 8.2. Кулачок может вращаться вокруг неподвижной оси А (рисунок 8.2 а, б, в) или двигаться поступательно (рисунок 8.2 г, д) вдоль оси х-х и т.д. Ось у-у выходного звена может пересекать ось А вращения кулачка (рисунок 8.2 а) и не пересекать её (рисунок 8.2 в), образуя некоторое кратчайшее расстояние, равное l. Ось у-у движения звена 2 может быть перпендикулярна к оси х-х движения кулачка (рисунок 8.2 г) или образовать некоторый угол α с осью х-х (рисунок 8.2 д). Наконец, выходное звено может оканчиваться точкой С (рисунок 8.2 а, г), круглым роликом 3 (рисунок 8.2 в, д) или прямой а-а (плоской тарелкой) (рисунок 8.2 б). Выходное звено 2, движущееся поступательно, носит название толкателя или штанги. Выходное звено 2, вращающееся вокруг неподвижной оси (рисунок 8.1б), носит название коромысла, а выходное звено 2, имеющее сложное движение (рисунок 8.1 в), называется шатуном. а б в г д а) с поступательно движущимся толкателем с остриём на конце; б) с плоским толкателем; в) с поступательно движущимся толкателем и роликом; г) с поступательно движущимся кулачком и толкателем с остриём; д) с поступательно движущимися кулачком, толкателем и роликом Рисунок 8.2 – Схемы кулачковых механизмов При работе кулачковых механизмов необходимо, чтобы было постоянное соприкосновение входного и выходного звеньев. Это соприкосание может быть обеспечено чисто геометрически, если выполнить профиль кулачка в форме паза а-а (рисунок 8.3 а), боковые поверхности которого огибают ролик 3. Пазовый кулачок обеспечивает геометрическое замыкание высшей пары кулачкового механизма. На рисунке 8.3 б показан другой способ кинематического замыкания – с помощью двух роликов 3 и 4. При таком замыкании на профиль кулачка накладывается дополнительное условие равенства суммы противоположных радиусов-векторов r/ и r// центрового профиля кулачка расстоянию l между осями вращения роликов 3 и 4. Чаще всего применяется силовое замыкание с помощью пружины 4 (рисунок 8.4 а, б). а б а) с пазовым кулачком; б) с двумя толкателями в рамке Рисунок 8.3 – Схемы кулачковых механизмов с геометрическим замыканием а б а) с поступательно движущимся толкателем; б) с возвратно-вращающимся коромыслом Рисунок 8.4 – Схемы кулачковых механизмов с силовым замыканием 8.2 Этапы проектирование кулачкового механизма Решение задач метрического синтеза (проектирования) кулачковых механизмов можно разделить на следующие этапы: 1. Обоснование и выбор закона движения толкателя. 2. Обоснование и выбор типа кулачкового механизма. 3. Определение основных размеров кулачкового механизма на ос­нове соображений геометрических и динамических. 4. Кинематическое проектирование профиля кулачка. В тех случаях, когда выбран тип роликового толкателя, приходится еще определить конструктивные размеры ролика. Рассмотрим полный цикл работы кулачкового механизма. Он состоит из четырёх фаз (рисунок 8.5): 1 – фаза удаления толкателя, отвечающая времени τ1 и углу поворота кулачка α1 (рисунок 8.5б, профиль А0А1); 2 – фаза верхнего выстоя толкателя, соответствующая параметрам τ2 и α2 (рисунок 8.5в, профиль А1А2); 3 – фаза приближения толкателя, соответствующая параметрам τ3 и α3 (рисунок 8.5г, профиль А2А3); 4 – фаза нижнего выстоя толкателя, соответствующая параметрам τ4 и α4 (рисунок 8.5д, профиль А3А0). а б в г д Рисунок 8.5 – Фазы кулачков СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1 Артоболевский И.И. Теория механизмов и машин - М.,Наука,1988. 2 Теория механизмов и машин. Под ред. К.В. Фролова. М., 1986. 3 Юдин В.А., Петрокас Л.В. Теория механизмов и машин, М., Высшая школа, 1967. 4 Левитская О.Н., Левитский Н.И.. Курс теории механизмов и машин. М.,1985. 5 Кожевников С.П. Теория механизмов и машин. М.,1975.