Теория механизмов и машин для машиностроительных специальностей

Ульяновский государственный технический университет Кафедра “Основы проектирования машин” Курс лекций по теории механизмов и машин для машиностроительных специальностей В. Я. Недоводеев г. Ульяновск 2012 Оглавление Введение……………………………………………………………………………….4 1. Основные понятия и определения ТММ………………...…………………….5 2. Основные стадии проектирования и создания новой техники……………..6 3. Структурная классификация и виды механизмов….………………………..7 3.1. Классификация кинематических пар……………………………………………7 3.2. Кинематические цепи и их классификация……………………………………..9 3.3. Понятие о степени подвижности механизма………………………………….10 3.4. Структурный анализ механизмов………………………………………………11 3.5. Виды механизмов и их структурные схемы…………………………………...13 4. Кинематический анализ рычажных механизмов…….……………………..14 4.1. Построение планов положения механизма……………………………………14 4.2. Определение скоростей и ускорений механизма методом планов…………..15 4.3. Исследование рычажных механизмов методом кинематических диаграмм..17 4.4. Кинематическое исследование рычажных механизмов аналитическим методом...18 5. Динамический анализ рычажных механизмов……..…………………….....18 5.1. Классификация действующих сил……………………………………………..18 5.2. Приведение сил и масс в механизме…………………………………………...20 5.3. Уравнение движения машины………………………………………………….21 5.4. Понятие об уравновешивающей силе. Теорема Жуковского о жёстком рычаге…..22 5.5. Графоаналитический метод решения уравнения движения машины………..23 5.6. Неравномерное движение машин. Маховики…………………………………24 5.7. Подбор момента инерции Jм маховика по заданному коэффициенту неравномерности δ...25 5.8. Регулирование непериодических колебаний скорости движения машин…..26 5.9. Силовой расчёт рычажных механизмов……………………………………….27 6. Синтез рычажных механизмов………………………………………………...30 6.1. Постановка задачи, виды и способы синтеза………………………………….30 6.2. Решение задач оптимального синтеза стержневых механизмов……………..30 6.3. Условия проворачиваемости кривошипа в шарнирном четырёхзвеннике….31 6.4. Учёт углов давления в стержневых механизмах……………………………...32 6.5. Синтез четырёхзвенника по трём заданным положениям шатуна…………..32 6.6. Синтез кривошипно-кулисного механизма по заданному коэффициенту изменения скорости хода………………………………………………………………33 6.7. Синтез кривошипно-ползунного механизма по некоторым заданным размерам…...33 6.8. Понятие о синтезе механизма по заданному закону движения выходного звена…...34 6.9. Понятие о синтезе механизма по заданной траектории………………………35 6.10. Общий порядок проектирования рычажного механизма…………………...35 7. Кулачковые механизмы………………………………………………………...36 7.1. Классификация кулачковых механизмов……………………………………...36 7.2. Кинематический анализ кулачковых механизмов…………………………….37 7.3. Некоторые вопросы динамического анализа кулачковых механизмов……..39 7.4. Синтез кулачковых механизмов………………………………………………..40 7.4.1. Выбор закона движения толкателя…………………………………………..40 2 7.4.2. Профилирование кулачка……………………………………………………..41 7.4.3. Динамический синтез кулачкового механизма……………………………...42 7.4.4. Аналитический способ синтеза кулачковых механизмов…………………..44 7.4.5. Понятие о проектировании пространственных кулачковых механизмов…45 7.4.6. Проектирование кулачковых механизмов с плоским (тарельчатым) толкателем...45 8. Фрикционные и зубчатые механизмы…...…………………………………...46 8.1. Общие сведения о передачах вращения……………………………………….46 8.2. Фрикционные передачи…………………………………………………………48 8.3. Зубчатые передачи. Виды и классификация…………………………………..49 8.4. Основная теорема зацепления (теорема Виллиса)……………………………51 8.5. Эвольвента и её свойства……………………………………………………….53 8.6. Геометрия эвольвентного зацепления…………………………………………53 8.7. Качественные показатели зацепления…………………………………………54 8.8. Основные параметры зубчатых колёс…………………………………………55 8.9. Методы нарезания зубчатых колёс…………………………………………….56 8.10. Корригирование зубчатых колёс……………………………………………...57 8.11. Наименьшее число зубьев зубчатых колёс. Подрезание и заострение зубьев……58 8.12. Выбор расчётных коэффициентов смещения для передач внешнего зацепления……60 8.13. Цилиндрические колёса с косыми зубьями и их особенности……………...60 8.14. Конические зубчатые передачи……………………………………………….62 8.15. Червячные передачи…………………………………………………………...62 8.16. Кинематический анализ и классификация фрикционных и зубчатых механизмов…63 8.16.1. Кинематический анализ эпициклических механизмов……………………66 8.16.2. Эпициклические механизмы с коническими колёсами…………………...68 8.17. Некоторые вопросы синтеза зубчатых механизмов…………………………68 8.17.1. Синтез эпициклических механизмов с цилиндрическими колёсами. Условия синтеза……………………………………………………………………………69 8.17.2. Методы синтеза эпициклических механизмов…………………………….71 9. Трение в кинематических парах……………………………………………….72 9.1. Виды трения……………………………………………………………………..72 9.2. Трение скольжения в поступательных парах………………………………….73 9.3. Трение скольжения во вращательных парах…………………………………..74 9.4. Трение качения…………………………………………………………………..74 9.5. Особенности учёта сил трения при силовом расчёте рычажных механизмов……..75 9.6. Коэффициент полезного действия (кпд) машины…………………………….76 10. Уравновешивание масс в механизмах и машинах…………………………78 10.1. Действие сил на фундамент. Условия уравновешивания…………………...78 10.2. Уравновешивание с помощью противовесов на звеньях механизма………79 10.3. Уравновешивание вращающихся масс (роторов)……………………………80 Список книг по дисциплине “Теория механизмов и машин”……………..…83 3 Введение Теория механизмов и машин (ТММ) является одним из разделов механики, в котором изучается строение, кинематика и динамика механизмов и машин в связи с их анализом и синтезом. Прикладная механика, которая в настоящее время объединяет такие дисциплины, как: ТММ; сопротивление материалов; детали машин и подъемнотранспортные машины; является одной из старейших отраслей наук. Известно, например, что еще при строительстве египетских пирамид использовались простейшие механизмы (рычаги, блоки и т.д.). Наука, как таковая, выделилась около 200 лет тому назад. Существенный вклад в развитие практической механики внесли такие ученые и изобретатели, как: М.В. Ломоносов; И.И. Ползунов – создатель паровой машины; И.П. Кулибин – создатель часов автоматов; механизма протеза и др.; отец и сын Черепановы, построившие первый в России паровоз; Л. Эйлер, разработавший теорию плоского зацепления и предложивший эвольвентный профиль зубьев колес, который используется в настоящее время. Внесли свой вклад в развитие науки академики: П.Л. Чебышев, И.А. Вышнеградский, Н.П. Петров, В.П. Горячкин, М.В. Остроградский; профессора: Н.Е. Жуковский – отец русской авиации, В.Л. Кирпичев, Н.И. Мерцалов, Л.А. Ассур, И.В. Мещерский, физик Д. Максвелл, а также современные ученые, такие как: И.И. Артоболевский, Н.Г. Бруевич, Д.Н. Решетов и др. 4 1. Основные понятия и определения ТММ Ведущей отраслью современной техники является машиностроение, развитие которого неразрывно связано с созданием новых машин и механизмов, повышающих производительность труда и заменяющих ручной труд машинным. В технике широко используются подвижные механические системы, подразделяемые на машины, машинные агрегаты и механизмы. В обобщенном виде машина – это устройство, создаваемое человеком для использования законов природы с целью облегчения физического и умственного труда. По функциональному назначению машины условно можно разделить на: энергетические, транспортные, технологические, контрольно-управляющие, логические (ЭВМ). Устройства, включающие ряд машин и механизмов, называются машинными агрегатами (М.А.). Обычно М.А. состоит (рис.1) из двигателя – D, передаточного механизма – П.М., рабочей машины – Р.М. и, в ряде случаев, контрольно-управляющих устройств (системы автоматического регулирования) – САР. Рис.1 Схема машинного агрегата В состав каждой отдельной машины входит один или несколько механизмов. Механизмом называется система материальных тел, предназначенных для преобразования движения одного или нескольких тел в требуемые движения остальных. Состав механизмов – разнообразен и включает механические, гидравлические, электрические и др. устройства. 5 Несмотря на разницу в назначении механизмов их строение, кинематика и динамика имеет много общего, поэтому исследование механизмов проводится на базе основных принципов современной механики. Всякий механизм состоит из отдельных тел (деталей), соединенных между собой. Деталь – это изделие, изготовленное без сборочных операций. Детали, соединенные между собой неподвижно или с помощью упругих связей, образуют отдельное звено. Выполнение звеньев из нескольких деталей обеспечивается их соединением. Различают соединения неразъемные (сварные, заклепочные, клеевые) и разъемные (шпоночные, шлицевые, резьбовые). Звенья в зависимости от вида их материала могут быть твердые и гибкие (упругие). Два звена, соединенных друг с другом подвижно, образуют кинематическую пару. Неподвижное звено, состоящее из одной или нескольких деталей, называется стойкой. Таким образом, каждый механизм имеет стойку и подвижные звенья, среди которых выделяют входные, выходные и промежуточные звенья. Входным (ведущим) звеньям сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения выходных (ведомых) звеньев с помощью промежуточных звеньев. Обычно в механизме имеется одно входное и выходное звено. Но в некоторых случаях имеют место механизмы с несколькими входными или выходными звеньями, например, дифференциал автомобиля. Развитие техники осуществляется в направлении совершенствования ранее известных механизмов и путем создания принципиально новых их видов. 2. Основные стадии проектирования и создания новой техники При проектировании новой техники возникает необходимость проведения работ, связанных с анализом и синтезом новой конструкции. Анализ осуществляется при заданных размерах и массе звеньев, когда необходимо определить: скорости, ускорения, действующие силы, напряжения в звеньях и их деформации. В результате может быть произведен проверочный расчет на прочность, выносливость и т.д. 6 Синтез осуществляется при заданных скоростях, ускорениях, действующих силах, напряжениях или деформациях. При этом требуется определить необходимые размеры звеньев, их форму и массу. При синтезе часто решается задача оптимального проектирования конструкции, когда находятся необходимые показатели работы машины при наименьших затратах труда. Обычно основными этапами создания новой конструкции являются: 1) Разработка принципиальной схемы; 2) Проектирование и расчет машины и отдельных ее узлов; 3) Экспериментальные исследования и доводка опытного образца. Проектирование новой техники включает следующие основные этапы: а) разработка технического задания, включающего основные исходные данные; б) разработка эскизного проекта, включающего выбор схемы и компоновку основных узлов конструкции; в) разработка технического проекта, где осуществлены основные расчеты и представлены сборочный чертеж и др. документация. При проектировании сложных механизмов обычно стремятся выделить из общей схемы отдельные, более простые типовые механизмы, проектирование которых имеет свои закономерности. К таким широко используемым в технике механизмам относятся: рычажные (стержневые), кулачковые, фрикционные, зубчатые и др., причем с точки зрения строения, кинематики и динамики любой механизм можно заменить условным рычажным механизмом с последующим его анализом, поэтому структура, кинематика и динамика рычажных механизмов рассматривается наиболее подробно. 3. Структурная классификация и виды механизмов 3.1. Классификация кинематических пар а) Подвижные соединения двух звеньев, называемые кинематической парой (к.п.), классифицируются по разным признакам, например, по характеру соприкосновения звеньев – на низшие, когда контакт происходит по поверхности, и высшие, когда контакт звеньев осуществляется по линии или в точке (рис.2, а, б). б) Низшая к.п. Рис.2 Высшая к.п. 7 Преимуществом низших к.п. является возможность передачи значительных усилий при малом износе, а достоинством высших к.п. возможность воспроизводить достаточно сложные относительные движения. Низшие к.п. могут быть поступательными, вращательными, плоскими и пространственными, а также классифицироваться по числу условий связи, накладываемых на звенья при соединении их в к.п. Любое тело в декартовой системе координат (рис.3) имеет 6 степеней свободы или подвижности (W=6), часть из которых уничтожается в к.п., при этом класс к.п. определяется числом накладываемых связей (6-S), где S – число относительных движений звеньев в к.п. Например, на рис. 4а-д приведены к.п. различных классов. а) б) S=5; к.п. 1класса г) в) S=3; к.п. 3класса д) S=1; к.п. 5класса Рис.4 8 S=4; к.п. 2класса S=2; к.п. 4класса Кинематические пары и звенья механизмов изображаются упрощенно (рис.5) при соблюдении ГОСТа на обозначения звеньев и к.п. Рис.5 3.2. Кинематические цепи и их классификация Любой механизм представляет собой кинематическую цепь (к.ц.) звеньев, соединенных в кинематические пары (к.п.). К.ц. могут быть простыми и сложными, открытыми и замкнутыми, плоскими и пространственными. В простой к.ц. каждое из ее звеньев входит в состав одной или двух к.п., а в сложной к.ц. имеются звенья, входящие в состав трех и более к.п. В открытой к.ц. имеются звенья, входящие в состав одной к.п., а в замкнутой цепи каждое звено входит в состав 2-х и более к.п. (рис.6,а-в). а) простая а)открытая открытаяк.ц. к.ц. б) простая б) замкнутая к.ц. замкнутая к.ц. в) в)сложная сложная открытая открытаяк.ц. к.ц. Рис.6 Если точки всех звеньев двигаются в одной или параллельных плоскостях, то к.ц. называется плоской, в противном случае к.ц. – пространственная (точки звеньев описывают плоские кривые в непараллельных плоскостях или пространственные кривые). 9 3.3. Понятие о степени подвижности механизма Если в пространственной к. ц., состоящей из «n» подвижных звеньев, имеются к.п. 1-ого, 2-ого,… 5-ого класса, число которых, соответственно, p1,p2,… p5, то к. ц. имеет число степеней свободы, определяемое формулой А.П. Малышева. W=6n-5p5-4p4-3p3-2p2-p1 (3.1) Так как любой механизм имеет одно неподвижное звено (стойку) и «n» подвижных звеньев, то формула (3.1) может использоваться для определения W пространственного механизма, где n – число подвижных звеньев, а W – степень подвижности механизма, показывающая сколько нужно иметь ведущих звеньев (двигателей) для получения определенного движения остальных его звеньев. Для плоского механизма степень подвижности определяется по формуле Чебышева: W=3n-2p5-p4, (3.2) При этом к.п. 5-ого 2 B класса существует в виде поступательных, вращательC 1 ных и винтовых. Например, кривошипноA ползунный плоский мехаD низм (рис.7), в котором n=3; 3 p5=4; p4=0, Рис.7 имеет W=3·3-2·4-0=1. При определении W необходимо учитывать возможность наличия так называемых «пассивных» звеньев, т.е. звеньев, устраняемых без формального ущерба для кинематики анализируемого механизма (рис.8). а) W=3·4-2·6-0=0 – с пассивным звеном, б) W=3·3-2·4-0=1 – фактически. Кроме того, необходимо учитывать возможность наличия избыточных связей, Рис. 8 которые не реализуются в реальном механизме, а их число q определяется разностью между числом связей в к.п. действительного и формально возможного механизмов. На рис. 9, а показан действительный механизм, а на рис. 9, б – формально возможный механизм, имеющий функциональное назначение, аналогичное дей10 ствительному механизму, но где все связи, в отличие от действительного механизма, реализованы. p4l =1, p5l =2. p4 =0, p5 =3. Рис.9 Число избыточных связей q в действительном механизме равно: q=(2p5+p4)-(2p/5+p/4)=(2·3+0)-(2·2+1)=1, т.е. степень подвижности действительного механизма равна: W=3n-2p5-p4+q=3·2-2·3-0+1=1. В общем случае пространственного механизма: W=6n-i·pi+q, (i от 1 до 5). 3.4. Структурный анализ механизмов Основной принцип образования рычажных механизмов был сформулирован в 1914 году профессором Л. В. Ассуром и заключается в следующем. Схема любого механизма может быть составлена последовательным присоединением к входным (начальным) звеньям и стойке к.ц. с нулевой степенью подвижности. Такие к. ц. называются структурными группами Ассура. Примеры различных групп Ассура показаны на рис.10. Начальное звено со стойкой образует простейший механизм 1-ого класса (рис.11). Путем присоединения к таким механизмам различных групп Ассура можно получить механизм любой сложности. Группы Ассура классифицируются по числу к.п., которыми они присоединяются к основному механизму. Это число определяет порядок группы. Кроме того, группа Ассура имеет класс, определяемый числом к.п., образующих наиболее сложный замкнутый контур. 11 2-х поводковая группа Ассура 2-го класса 2-го порядка W=3 2-2 3=0 3-х поводковая группа Ассура 3-го класса, 3-го порядка W=3 4-2 6-0=0 Группа Ассура 4-го класса 2-го порядка W=3 4-2 6-0=0 Рис.10 Простейшие механизмы 1-го класса Рис. 11 12 2 5 3 6 4 1 механизм 1-го класса группы Ассура 2-го класса 2-го порядка Формула строения механизма 1(1,6) 2 (2,3) 2 (4,5) Рис.12 Состав и последовательность присоединения групп Ассура в механизме можно выразить его формулой строения. Механизм в целом классифицируется по группе наивысшего класса. На рис.12 показан пример такой классификации. 3.5. Виды механизмов и их структурные схемы Среди всего многообразия конструкций механизмов различают: стержневые (рычажные), кулачковые, фрикционные, зубчатые механизмы, механизмы с гибкими звеньями (например, ременные передачи) и др. виды. Менее распространенные классификации подразумевают наличие механизмов с низшими или высшими парами в плоском или пространственном исполнении и т.д. а) кривошипно-ползунный механизм б) четырёхшарнирный механизм 2 2 1 3 1 4 3 4 г) синусный механизм 2 в) кулисный механизм 2 3 1 1 4 3 Рис.13 Учитывая возможность условного превращения практически любого механизма с высшими парами в рычажный, в дальнейшем наиболее подробно рассматривается именно эти механизмы, а структурные схемы других механизмов изложены в соответствующих разделах. Среди рычажных механизмов наиболее распространенны так называемые четырехзвенные, примеры которых представлены на рис.13, а-г. 4 13 В этих механизмах встречаются однотипные звенья: кривошип – звено, совершающее полнооборотное вращательное движение вокруг неподвижной оси; коромысло – звено, совершающее неполнооборотное вращательное движение вокруг неподвижной оси; ползун – звено, совершающее поступательное движение относительно стойки; камень – звено, совершающее поступательное движение относительно подвижной направляющей, называемой кулисой; шатун – звено, совершающее плоскопараллельное движение. 4. Кинематический анализ рычажных механизмов Кинематический анализ механизмов включает вопросы изучения звеньев с геометрической точки зрения, т.е. без учета действующих сил. Для этого используются графические, аналитические и экспериментальные методы исследования. Одним из наглядных методов является графоаналитический, который включает: а) построение планов положения механизма; б) определение скоростей и ускорений характерных точек или звеньев механизма. При графических построениях на чертеже изображаются длины звеньев, скорости, ускорения и др. величины в определенном масштабе, характеризуемом масштабным коэффициентом: =значение параметра/длина отрезка. Например, вектор pa длиной 10 мм изображает скорость V=20 м/с. Тогда v=20/10=2 м·с-1/мм. 4.1. Построение планов положения механизма Графическое изображение взаимного расположения звеньев механизма, соответствующее заданному моменту времени, называется планом положений или планом механизма. Планы положения строятся в определенном масштабе методом засечек в соответствии с формулой строения механизма, При этом должны быть заданы линейные размеры всех звеньев (рис.14). После построения нескольких совмещенных планов механизма Рис. 14 при необходимости можно определить графически траектории характерных точек звеньев, имеющих сложное движение, например, центра тяжести S шатуна AB (рис.14). 14 4.2. Определение скоростей и ускорений механизма методом планов Метод планов является одним из самых наглядных. Определению подлежат линейные скорости и ускорения отдельных точек и угловые скорости и ускорения звеньев. При этом предварительно составляются векторные уравнения для скоростей и ускорений точек звеньев, совершающих сложное движение, например: а) звено совершает плоскопараллельное t движение, состоящее из переносного, т.е. BA поступательного со скоростью полюса и BA относительного вращательного вокруг BA n полюса (рис.15). BA Принимая за полюс т. A, получим: VB=VA+VBA; где VBA=·lAB; A aB=aA+aBA; где aBA=anBA+atBA при anBA=2·lAB; atBA=·lAB. A Здесь V, a, ,  - линейные скорости и ускорения соответствующих характерных Рис.15 точек, а также угловые скорость и ускорение звена (индексы соответствуют характеру ускорений и обозначениям точек). б) звено совершает сложное движение, состоящее из переносного вращательного и относительного поступательного, например, звено 1 (рис.16). VB1B2 2 Пусть B1 и B2 – точки, принадлежащие звеньям 1 и 2. Тогда: B 1 VB1=VB2+VB1B2, где VB2=·lAB. a kB1B2 aB1=aB2+atB1B2+akB1B2, где ускорение Кориолиса t a B1B2 akB1B2=2VB1B2· и совпадает с направлением вектора VB1B2, повернутого на 90○ в сторону переносного вращения. A Решение векторных уравнений осуществляется графически путем построения так называемых Рис.16 планов скоростей и ускорений, на которых абсолютные скорости и ускорения откладываются от одной точки, называемой полюсом, в определенном масштабе. Пример расчета кривошипно-ползунного механизма рассмотрен на рис.17, где план положений (рис.17, а), план скоростей и ускорений (рис.17, б, в). a l B A a V V a 15 Векторные уравнения для скоростей записываются в виде: VB=VA+VBA; VB=VBx+VBBx; где VA=1·lOA; VBx=0; VBA_|_AB; VBBx||x-x, т.е. в выбранном масштабе μV: pb||x-x; ab_|_AB VBA= μV·ab; VB= μV·pb и 2= VBA/ lAB. б) план скоростей в Р а) план положений А 1 S E V = S 2 а В 1 О Х 4 2 в) план ускорений в П a n S = а Х 3 Рис.17 Векторные уравнения для ускорений при 1=const записываются в виде: aB=aA+aBA; aB=aBx+akBBx+atBBx; где aA=anA=12·lOA; aBA=anBA+atBA; здесь anBA=22·lAB; atBA=ε2·lAB; aBx=0; akBBx=0; atBBx||x-x. Все ускорения представлены на рис.17 в выбранном масштабе μa в виде соответствующих отрезков, например, aB=μa·πb и т.д. При определении скоростей и ускорений промежуточных точек звеньев, например т. S, можно использовать так называемую теорему подобия, согласно которой точки на плане положений звеньев и соответственные точки на планах скоростей и ускорений образуют подобные фигуры или пропорциональные от- a) B A S C б) План скоростей План ускорений a a c c s P s b П b Рис.18 резки. Рассмотрим доказательство данной теоремы. На рис.18 показано звено ABC и планы скоростей и ускорений для точек этого звена: отрезок ca на плане скоростей соответствует VCA_|_CA; отрезок ab на плане скоростей соответствует VAB_|_AB; отрезок bc на плане скоростей соответствует VBC_|_BC; т.е. треугольник abc подобен треугольнику ABC. 16 Ускорения относительного (вращательного) движения равны: aCA  lCA  ( 4   2 ) ; a AB  l AB  ( 4   2 ) ; a BC  l BC  ( 4   2 ) , т.е. aCA/ lCA =aAB/ lAB =aBC/ lBC или ca/CA=ab/AB=bc/BC, Следовательно, треугольник abc подобен треугольнику ABC. Аналогичным является построение фигур для любой промежуточной точки, например т. S (рис.18, а, б). 4.3. Исследование рычажных механизмов методом кинематических диаграмм Кинематической диаграммой называется графическая зависимость какоголибо параметра движения звена от времени или от перемещения входного звена, представленные в определенной системе координат. Если известна одна кинематическая диаграмма, то можно получить остальные зависимости путем графического дифференцирования или интегрирования. На рис.19, а, б показана а) последовательность построения кинематической диаграммы k перемещения ползуна i кривошипно-ползунного мехаSi Sk низма S(φ) и S(t), а также элекрайнее положение менты графического дифференцирования с получением диаграммы скоростей V(t) меб) тодом хорд. Если диаграмма V(t) первична, то процесс, обратный интегрированию, обеспечит получение диаграммы S(t) и называется графическим интегрированием. Следует отметить, что графические методы часто приводят к искажениям резульРис. 19 татов из-за неточности графических построений, поэтому необходимо контролировать расположение характерных точек, соответствующих экстремумам на диаграммах. 17 4.4. Кинематическое исследование рычажных механизмов аналитическим методом Аналитические методы исследования позволяют проводить анализ с заданной степенью точности. Кроме того, создание математических моделей механизмов позволяет решать задачи их оптимального синтеза при использовании ЭВМ. Рассмотрим пример кинематического исследования синусного механизма (механизм двойного ползуна), где кривошип 1 вращается с угловой скоростью ω и угловым ускорением ε (рис.20). 2 Тогда скорость и ускорение точки А равны: A 1 O B 3 S Рис.20 VA=lOA·ω; a A  lOA  ( 4   2 ) . Все точки звена 1 и 2 описывают окружности, а точки звена 3 движутся поступательно, имея перемещения, скорости и ускорения равные: SB=lOA·sinφ=lOA·sinωt; VB=dSB/dt=dSB·dφ/dφ·dt=lOA·ω·cosφ; aB=d2SB/dt=lOA·(ε·cosφ-ω2·sinφ) при ε=0 aB=-lOA·ω2·sinφ. При исследовании многих механизмов получаются достаточно громоздкие формулы, что не является препятствием при использовании ЭВМ. При исследовании пространственных механизмов используются элементы векторной алгебры и векторного анализа. Положения, скорости и ускорения точек механизма выражаются в векторной форме, при необходимости вычисляются проекции на оси и плоскости. Примеры таких исследований изложены в учебной литературе. 5. Динамический анализ рычажных механизмов 5.1. Классификация действующих сил Среди сил, действующих на механизм, различают: а) движущие силы Fд или моменты Mд, ускоряющие движение входных (начальных) звеньев и совершающие положительную работу. Например: силы давления газа на поршень в двигателе внутреннего сгорания, силы веса при опускании груза и т.д. 18 б) силы сопротивления Fc или моменты Мс, замедляющие движение входных звеньев и совершающие отрицательную работу. Они могут быть силами полезного сопротивления, дающими производственный эффект, и силами вредного сопротивления не дающими такого эффекта. К первому типу относятся например, силы тяжести при подъеме груза, а ко второму типу – силы трения. в) силы реакции в кинематических парах Fij, возникающие в опорах звеньев и являющиеся внутренними силами для механизма в целом и внешними для каждого отдельного звена. г) силы инерции Fи или моменты сил инерции Mи возникают при переменном движении звеньев механизма и могут быть как движущими, так и силами сопротивления (в зависимости от их направления относительно направления движения звеньев). Фактически эти силы действуют на тело, вызывающее ускорение другого тела. Однако, условное приложения сил инерции к ускоряемому телу позволяет рассматривать его в равновесии. Этот принцип – принцип Даламбера позволяет задачу динамики свести к статическому расчету. Силы инерции относятся к категории распределенных или так называемых массовых сил, которые как и другие аналогичные силы могут быть приведены к главному вектору и главному моменту (рис.21). Fи =-mas; Mи=-JS·ε; где m и JS – масса и моl S мент инерции звена относительно оси, проходящей через центр l масс; aS – ускорение центра масс; ε – угловое ускорение Рис.21 звена. Знаки (-) показывают, что направления Fи и Ми противоположны соответ- Fи Fи S a h K Fи Mи ствующим ускорениям. Сила Fи и момент Ми, могут быть заменены одной силой Fи/=Fи, линия действия которой проходит через так называемый центр качаний (точка К на рис.21) на оси звена и отстоит от линии действия Fи на расстоянии h=Ми/Fи при замене Ми парой сил Fи/. 19 5.2. Приведение сил и масс в механизме Для исследования закона движения механизма его удобно заменить одним условным звеном – звеном приведения, имеющим закон движения аналогичного звена реального механизма. Все внешние силы, действующие на звенья при этом заменяются одной приведенной силой F∑пр или моментом М∑пр , мощности Р∑пр которых равны мощностям Рi заменяемых сил Fi и моментов сил Mi, т.е. Р∑пр=∑Рi, где Рi=Fi·Vi·cos(FiVi) или Рi=Мi·ωi; Р∑пр=F∑пр·V·cos(F∑прV) или Р∑пр=М∑пр·ω. Здесь Vi и V – скорости точек приложения соответствующих сил; ωi и ω – угловые скорости i-го звена и звена приведения. Суммарную приведенную силу или момент удобно записывать в виде составляющих, например: М∑пр=∑МFiпр+∑ММiпр, где каждая составляющая определяется из соответствующего равенства мощностей: МFiпр=Fi·Vi/ω·cos(FiVi) - для силы Fi; ММiпр=Мi·ωi/ω - для момента Мi; Пример кривошипно-ползунного механизма (рис.22): М∑пр=МFпр+MGпр, где МFпр=F·VC/ω1=F·lAB·рс/pb; MGпр=G·VS/ω1·cos(G^VS)=G·lAB·ps/pb. Здесь pb, pc, ps|=ps·cos(G^VS) – вектора, взятые с плана скоростей (рис.22). Как видно из формул, величина Fпр (Мпр) зависит лишь от соотношения скоростей, а не от их абсолютной величины, что позволяет для приведения сил использовать планы скоростей без учета их масштабов. Каждое iое звено механизма обладает массой mi и моментом инерции Ji относительно оси, проходящей через центр масс звена, при этом кинетическая энергия i-го звена плоского механизма равна: Ti=(mi·Vi2/2)+Ji·ωi2/2. Массы и моменты инерции всех а) б) звеньев механизма можно условно заменить некоторой массой mпр, сосредоточенной в произвольно выбранной точке А звена приведения (рис.23, а) или некоторым моментом инерции Jпр, приписанным звену Рис. 23 приведения (рис.23, б). 20 Замена должна производится из условия равенства кинетических энергий: Тпр=Тмех=∑Тi, где Тпр=mпр·VA2/2 или Тпр=Jпр·ω2/2, т.е. mпр=∑[mi·(Vi/VA)2+Ji·(ωi/VA)2] – при поступательном движении звена приведения. Jпр=∑[ mi·(Vi/ω)2+Ji·(ωi/ω)2] – при вращательном движении звена приведения. mпр и Jпр являются функциями положения звена приведения, т.е. их величина может меняться при изменении положения звена в процессе его движения. 5.3. Уравнение движения машины Работу машины можно разбить на 3 периода: 1) период пуска (разгон); 2) период установившегося движения; 3) период остановки (выбега); t tn ty to Рис.24 Аналитическая зависимость между действующими на звенья силами и кинематическими параметрами движения называется уравнением движения. Это уравнение в общем случае имеет вид ∆Т=Ад-Ас, где ∆Т=Т-Т0 – изменение кинетической энергии за рассматриваемый промежуток времени (Т и Т0 – величина кинетической энергии в конце и начале промежутка); Ад-Ас – суммарная работа действующих сил за рассматриваемый промежуток (Ад, Ас – работа движущих сил и сил сопротивления). В период пуска Ад-Ас=∆Т>0, т.е. происходит ускорение движения звеньев, являющегося неустановившемся. В период установившегося движения Ад-Ас=∆Т=0, т.е. скорости звеньев в конечный и начальный моменты цикла равны и вся работа движущихся сил расходуется на преодоление сопротивлений. 21 В период остановки Ад-Ас=∆Т<0, движение продолжается некоторое время за счет накопленной кинетической энергии, поглощаемой за счет сопротивления движению. Уравнение движения может быть выражено в интегральной и дифференциальной форме, а для упрощения его решения исследование машины заменяют исследованием звена приведения, в котором изменение кинетической энергии равно: ∆Tпр =Адпр-Аспр, где суммарная работа действующих на звено приведения сил может быть выражена: а) в интегральной форме: Адпр-Аспр=∫F∑прds или Адпр-Аспр=∫M∑прdφ; б) в дифференциальной форме: dTпр=M∑прdφ или M∑пр=dTпр/dφ; т.е. при dTпр=1/2·Jпр·ω2 получим: M∑пр=(dJпр/dφ)·(ω2/2)+Jпр·ω·(dω/dφ)·(dt/dt)=(dJпр/dφ)·(ω2/2)+ε·Jпр. Таким образом, уравнение движения машины приводится к тому или иному конкретному виду и решается графическим и графоаналитическим методами, а учитываемые силы и моменты сил, а также приведенные массы и моменты инерции могут быть как постоянными так и переменными величинами, зависящими от того или иного фактора. 5.4. Понятие об уравновешивающей силе. Теорема Жуковского о жестком рычаге Одним из способов определения приведенной силы Fпр является способ, предложенный проф. Н.Е. Жуковским. Уравнение, из которого может быть найдена Fпр, основано на равенстве мощностей: F∑пр·VA·cos(F∑пр VA)=∑Fi·Vi·cos(Fi Vi). Рассмотрим какое-либо а) б) звено механизма, в т. В которого приложена сила Fi под углом αi к вектору скорости Vi этой точки (рис.25, а). Мощность силы Fi равна: Pi=Fi·Vi·cosαi. Если вектор скорости т. В (план скоростей) повернуть на Рис. 25 90˚ и силу Fi приложить к концу вектора (в т. «b»), сохранив ее направление, то момент этой силы относительно полюса «p» будет равен (рис.25, б): Mi=Fi·hi=Fi·Vi·cosαi=Pi, 22 т.е. равен мощности силы Fi. Таким образом, Fi можно найти, повернув на 90˚ план скоростей и приложив к нему все внешние силы, включая силы инерции, в соответствующих точках и сохраняя их направления. Тогда из уравнения моментов такого рычага: F∑пр·hпр=∑Fi·hi, получим: F∑пр=∑Fi·hi/hпр, где hi и hпр – кратчайшие расстояния от полюса плана скоростей до линии действия i-ой и приведенной сил. Повернутый на 90˚ план скоростей с приложенными к нему силами называется жестким рычагом Жуковского. Величина Fпр или Мпр зависит от положения механизма, поэтому можно построить диаграмму, например, Fпр(φ), являющуюся функцией положения звена приведения. Для этого необходимо последовательно определить значения Fпр методом рычага Жуковского для целого ряда положений механизма в пределах цикла (F1пр, F2пр,…) и отложить их на диаграмме (рис.26). F пр F пр F 1 1 пр 2 2 Рис.26 Приведенная сила или момент М∑пр характеризует реакцию механизма на движение его входного звена по определенному закону, задаваемому двигателем. Сила или момент, равные по величине приведенной силе или моменту, но противоположные им по направлению называется уравновешенной силой Fур или моментом Мур. Эта сила или момент развивается двигателем и обеспечивает заданное движение входного звена. Если к рычагу Жуковского приложить все внешние силы, включая силы инерции, а также Fур, то его можно рассматривать в равновесии, из условия которого: Fур·hур+∑Fi·hi=0 можно определить неизвестную Fур, а также найти мощность двигателя Pдв, требуемую для получения заданного движения входного звена в заданном положении: Pдв=Fур·VA·cos(FурVA)=Mур·ω. F∑пр 5.5. Графоаналитический метод решения уравнения движения машины Данный метод позволяет не только наглядно иллюстрировать связь между динамическими и кинематическими параметрами движения, но и решать практические задачи синтеза, например, задачу уменьшения неравномерности вращения звеньев. В качестве примера рассмотрим построение так называемой диаграммы энергомасс. Эта диаграмма строится на основе графиков: ∆Тпр(φ)=Тпр(φ)-Т0пр(φ) и Jпр(φ), 23 причем график ∆Тпр(φ) может быть получен путем графического интегрирования графика Мпр(φ). На рис.27 показана последовательность построения диаграммы энергомасс в координатах ∆Тпр(Jпр), которая при установившемся движении является замкнутой кривой и строится на базе диаграмм ∆Тпр(φ) и Jпр(φ) путем исключения параметра φ (φ – угол поворота звена приведения). Если известна угловая скорость вращения ω0 звена приведения в начале цикла, то можно определить начальную кинетическую энергию:Т0пр=1/2·J0пр·ω02. Тогда диаграмму энергомасс можно рассматривать в координатах Тпр(J1пр), где ось J1пр отстоит от первоначальной оси Jпр на величину Т0пр (рис.27). M Т Т пр пр пр Тi J пр пр J1 То J пр пр i пр Ji 45 Рис.27 Так как Тпр=1/2·Jпр·ω2, то ω2=2·Тпр/Jпр=2·μТ/μJ·tgΨ, где μТ и μJ – масштабные коэффициенты, используемые для построения диаграмм. Таким образом, диаграмма энергомасс позволяет при установившемся движении определить угловую скорость ω звена приведения в любой момент времени, т.е. ω= 2  Т /  J  tg ; а tgΨ= μJ/μT·ω2/2. 5.6. Неравномерное движение машин. Маховики Одним из режимов движения машины при совершении полезной работы является режим равномерного или установившегося движения. При равномерном движении угловая скорость ω вала двигателя постоянна, а при установившемся движении она 24 Рис. 28 периодически изменяется (рис.28), причём степень неравномерности можно оценить коэффициентом неравномерности: δ=(ωmax- ωmin)/ωc, где ωс – средняя угловая скорость за цикл ωс=(ωmax+ ωmin)/2. Неравномерность вредно сказывается на работе машин, т.к. вызывает дополнительные инерционные нагрузки, которые могут привести к поломке. Практикой установлены значения δ, которые допустимы в различных условиях эксплуатации. Регулировать величину δ можно путем изменения величины момента инерции звена приведения, т.е. на быстро вращающийся вал закрепляется дополнительная масса, называемая маховиком. При конструировании маховика стремятся к получению необходимого момента инерции маховика Jм с наименьшим весом G и заданным диаметром D. Для D этой цели маховик изготавливается в виде тяжелого обода, соединенного со втулкой тонким диском с отверстием или спицами (рис.29). Приближенно Jм можно Рис. 29 определить по формуле: Jм≈G·D2/40, кг·м·с2. 5.7. Подбор момента инерции Jм маховика по заданному коэффициенту неравномерности δ Обычно требуется определить параметры маховика при заданных значениях ωср и δ. Существует два наиболее распространенных метода определения Jм – Н.И. Мерцалова и метод Ф. Виттенбауэра. Рассмотрим более точный метод Ф. Виттенбауэра, при котором предварительно строится диаграмма энергомасс ∆Тпр(Jпр). Согласно этой диаграмме (рис.30): ω2max,min=2·μТ/μJ·tgΨmax,min, tgΨmax,min= μJ/μT·ω2max,min/2. С другой стороны из уравнений п.5.6.: ωmax,min=ωс·(1+(-)δ/2). Таким образом, найдя Ψmax и Ψmin и проведя касательные к диаграмме энергомасс под этими углами к горизонтали (рис.30), получим в точке их пересечения начало новой системы координат 25 Рис. 30 с осями Т и J1пр, отстоящими от старых осей на искомую величину Jм и Т0пр. В целом последовательность определения Jм включает следующие операции: 1. Строится диаграмма Мпр(φ) для установившегося движения. 2. Строится диаграмма ∆Тпр(φ) путем графического интегрирования диаграммы Мпр(φ). 3. Строится график Jпр(φ) и диаграмма энергомасс путем исключения параметра φ из графиков ∆Тпр(φ) и Jпр(φ). 4. Определяются углы Ψmax и Ψmin, после чего находится Jм в новых координатах Тпр и J1пр диаграммы Тпр(J1пр). 5.8. Регулирование непериодических колебаний скорости движения машин В процессе выполнения работы приходится регулировать скорость рабочего органа машины. Например, в стационарных двигателях необходимо поддерживать скорость рабочего органа постоянной, а в двигателях транспортных машин эта скорость должна изменяться в широких пределах. Из уравнения движения машины следует, что изменения скорости рабочего органа можно достигнуть за счет изменения разности работ движущих сил и сил сопротивления (Ад-Ас). Устройства, обеспечивающие изменения работы сил сопротивления применяются в виде тормозов, например, в транспортных машинах, которые снабжаются также и приспособлениями для одновременного разобщения двигателя с машиной – орудием. Другим способом регулирования является изменение работы движущих сил путем воздействия на орган, подающий энергию к входному звену (поршню у двигателя внутреннего сгорания, лопаткам турбины и т.д.). Рис. 31 26 Регулирование может осуществляться либо человеком-оператором, либо автоматически – с помощью устройств, называемых регуляторами. Одним из них является центробежный регулятор (рис.31), приводимый во вращение валом двигателя В. Ползун А соединяется с органом, подводящим рабочее тело (пар, горючая смесь и т.д.). Регулятор автоматически поддерживает скорость вала двигателя постоянной, т.к. ее увеличение приводит к уменьшению подачи рабочего тела и наоборот. 5.9. Силовой расчет рычажных механизмов Зная активные силы, действующие на звенья механизма и силы инерции этих звеньев, можно произвести его кинетостатический расчет, т.е. определить реакции в кинематических парах и уравновешивающую силу (момент) на входном звене, причем эта сила (момент) является движущей при совпадении ее направления с направлением движения входного звена или силой (моментом) сопротивления, если ее направление противоположно этому движению. При кинетостатическом расчете реакции в кинематических парах определяются путем статического расчета, который базируется на результатах кинематического анализа, включая ускорения, необходимые для определения сил (моментов) инерции. При силовом расчете используется принцип Даламбера, позволяющий решение задачи динамики свести к статическому расчету. Согласно этому принципу приведение ускоренно движущейся системы в равновесие обеспечивается условным приложением к этой системе сил инерции. При этом неизвестные силы определяются из уравнений статики. Силы взаимодействия а) б) между звеньями (реакции) можно считать направлеными по нормали к контактирующим поверхностям, если расчет ведется без учета сил трения (рис.32, а, б). рис. 32 При графоаналитическом решении используется метод плана сил. Механизм расчленяется на структурные группы Ассура и начальные звенья. Расчет ведется, начиная с последней структурной группы и заканчивается расчетом входного звена. 27 При расчете структурных групп к ним прикладываются все действующие силы, включая силы инерции и реакции отброшенных связей. Каждая из неизвестных реакций, при необходимости, может быть разложена на две составляющие по выбранным направлениям, например, вдоль оси звена (нормальная Fn) и перпендикулярно оси (тангенциальная Ft). При равенстве числа уравнений статики числу неизвестных реакций их можно определить аналитически и графически, построив многоугольник (план) сил. Неизвестные определятся из условия замкнутости векторной суммы сил. Рассмотрим примеры: 1) Двухповодковая группа с вращательными парами: а) б) B M и2 M и1 S1 Fи1 1 F G1 Fi,1 Fи2 G2 2 C n Fj,2 t n S2 Fi,1 t n Fi,1 Fi,1 Fi,1 G1 Fи1 Fj,2 n Fj,2 G2 t Fj,2 t Fj,2 Fи2 Рис.33 t Fi,1 определяется из уравнения моментов для звена 1 - ∑МB=0 относительно т. В. (рис.33, а); Fj,2t определяется из уравнения моментов для звена 2 - ∑МВ=0 относительно т. В (рис.33,а). При отрицательных значениях реакций необходимо изменить их направления на противоположные. Fi,1n и Fj,2n определяются из плана сил (рис.33,б), полученного на основе векторного уравнения; ∑Fk=0, где Fk – силы, действующие на структурную группу. 2) Двухповодковая группа шатун-ползун (рис.34, а, б) а) б) 28 Рис. 34 Fj,2 определяется из уравнения моментов - ∑МА=0 относительно т. А. Fi,1=Fi,1n+Fi,1t определяется из плана сил (рис.34,б) на основе векторного уравнения ∑Fk=0. 3) Двухповодковая группа кулиса-камень (рис.35, а) F i,2 F B в) б) а) Fи1 Fi,2 M и1 F1,2 G1 F G1 F i,2 A n F i,1 t Fi,1 n Fi,1 F и1 t F i,1 Рис.35 Fj,2 определяется из уравнения моментов - ∑МА=0. Fi,1=Fi,1n+Fi,1t определяется из плана сил (рис.35, в), на основе векторного уравнения ∑Fk=0. При этом особенность расчета данной группы Ассура состоит в возможности некоторого упрощения вычислений в случае, когда весом камня 2 можно пренебречь. Тогда реакция Fj,2 противоположна реакции F1,2 и перпендикулярна АВ, т.е. линия ее действия известна (рис.35, б). 4) Входное (начальное) звено (рис.36, а). F j,1 а) M ур A б) F и1 F j,1 M и1 G1 G1 O n F j,1 t F j,1 F и1 t F j,1 n F j,1 Рис.36 Мур определяется из уравнения моментов - ∑Мо=0. 29 Fj,1=Fj,1n+Fj,1t определяется из плана сил (рис.36,б) согласно векторному уравнению ∑Fk=0. 6. Синтез рычажных механизмов 6.1. Постановка задачи, виды и способы синтеза Задачи синтеза рычажных механизмов в общем случае являются сложными задачами оптимального проектирования, включающими этапы структурного, кинематического и динамического расчёта. Поэтому для упрощения решения рассматриваются частные задачи, в которых учитываются лишь некоторые (основные) условия проектирования. В зависимости от исходных данных различают следующие виды синтеза: - геометрический, когда заданы отдельные положения звеньев или траектории отдельных точек; - кинематический, когда заданы некоторые скорости, ускорения или их соотношения; - динамический, когда заданы действующие силы или наложены некоторые ограничения на динамические параметры. К способам синтеза относятся: а) опытный, когда экспериментальным путём подбираются размеры звеньев для реализации заданной траектории; б) графический; в) аналитический. Возможны различные комбинации видов и способов синтеза, перечисленных выше. 6.2. Решение задач оптимального синтеза стержневых механизмов При постановке задачи оптимального синтеза следует различать входные и выходные параметры. Входные – это изначально заданные параметры (размеры звеньев, скорости, ускорения или их соотношения). Выходные – это параметры, определяемые в результате решения задачи. При синтезе необходимо учитывать ряд требований кинематического, конструктивного, технологического характера и т. д., среди которых одно, как правило, является главным, а остальные – второстепенными (дополнительными). Если главное требование записать математически в виде функции 30 Z  f ( x1 , x2 ,..., xn ) , где x1 , x2 - выходные параметры, то такая функция называется функцией цели (целевой), при этом дополнительные условия, выраженные в виде g i ( x1 , x2 ,..., xn )  ,  ,  bi при (i  1, 2,..., m) , называются ограничениями. Задачей оптимального синтеза является обеспечение экстремального значения Z при соблюдении всех ограничений. Например, выразив вес механизма в виде функции Z его параметров (длин звеньев) можно решать задачу минимизации Z при соблюдении условий его существования. К таким условиям относятся условия проворачивания кривошипа в шарнирном четырёхзвеннике, условие соблюдения заданного угла давления и ряд других. При малом числе выходных параметров решение задачи оптимизации может быть получено в аналитической форме. В противном случае используются численные методы направленного, случайного или комбинированного поиска оптимальных решений. 6.3. Условия проворачиваемости кривошипа в шарнирном четырёхзвеннике При проектировании (синтезе) четырёхшарнирного механизма одним из учитываемых условий может быть проворачиваемость звеньев, то есть наличие одного или двух кривошипов. Это зависит от соотношения длин звеньев. Например, для того, чтобы звено АВ четырёхзвенника (рис. 37) могло стать кривошипом, оно должно последовательно пройти через два крайних положения. Используя три положения механизма, получим следующие условия: для положений 1, 2, 3, предварительно обозначив длины звеньев: l AB  a; l BC  b; lCD  c; l AD  d . При этом: a  d  b  c  положение 1; a  b  d  c  положение 2; рис.37 c  b  d  a или a  c  b  d  положение 3; то есть сумма длин кривошипа и любого другого звена меньше суммы остальных звеньев. Сложим попарно полученные неравенства и получим: 31 a  c; a  d; a  b , то есть кривошип является самым коротким звеном. А если данные условия не выполняются, то механизм будет либо двухкривошипным, либо двухкоромысловым. Эти условия используются при геометрическом синтезе. 6.4. Учёт углов давления в стержневых механизмах Углы давления во многом определяют условия работы механизма. Так как угол давления  (рис. 38), измеряемый между вектором силы и вектором скорости в точке её приложения, влияет на трение и износ в кинематических парах, то эти углы, в частности их максимальные значения при синтезе ограничивают для исключения возможности заклинивания и уменьшения коэффициента полезного действия. Для упрощения расчётов, связанных с определением углов давления, обычно пренебрегают тангенциальными составляющими реакций, что позволяет находить наихудшие положения с точки зрения риска заклиниварис. 38 ния и назначать длины звеньев lmin , обеспечивающие приемлемые условия работы при заданном предельном угле  доп. (рис. 38), то есть при  max   доп. l  lmin   r . sin  доп. Углы   90   называются углами передачи и ограничиваются при проектировании величиной  min . 6.5. Синтез четырёхзвенника по трём заданным положениям шатуна рис. 39 Так как точки В и С шарнирного четырёхзвенника описывают дуги окружностей (рис. 39), то проведя перпендикуляры через середины хорд, соединяющих концы шатуна в трёх положениях, получим центры вращения звеньев АВ и CD (точки A и D). Вид синтеза – геометрический; способ синтеза – графический. 32 6.6. Синтез кривошипно-кулисного механизма по заданному коэффициенту изменения скорости хода Одной из кинематических характеристик стержневого механизма может служить коэффициент изменения скорости хода kV представляющий собой отношение средней скорости холостого хода Vx.x. к средней скорости рабочего хода V p.x. . При равномерном движении кривошипа коэффициент kV равен: рис. 40 Vx . x . S t p. x. 180     180    kV       , V p. x. t x. x. S  180    180   где S – ход ползуна; t p. x. и t x. x. - время рабочего и холостого хода;  - угловая скорость кривошипа;  - угол размаха кулисы. При заданном kV можно определить  или наоборот. Используя дополнительные конструктивные соображения, можно определить размеры всех звеньев механизма. Вид синтеза – кинематический; способ – графо-аналитический. 6.7. Синтез кривошипно-ползунного механизма по некоторым заданным размерам Кривошипно-ползунный механизм характеризуется пятью параметрами: a , 1 ,  2 , r  lOA , l  l AB (рис. 40), при этом можно записать два аналитичерис. 41 ских выражения, связыa a вающие эти параметры: sin 1  ; sin  2  . lr lr Таким образом, задавая три параметра из пяти, можно определить два оставшихся из указанных выражений. Например, задав величины a, 1 и  2 , можно определить r и l . Вид синтеза – геометрический; способ – аналитический. 33 6.8. Понятие о синтезе механизма по заданному закону движения выходного звена Пусть задан закон движения ведомого звена (угла поворота коромысла - Ψ) в зависимости от угла поворота кривошипа φ, например, в четырёхшарнирном механизме (рис. 42). рис. 42 Приближенный синтез включает разбивку всего интервала по оси графика  ( ) по оси абсцисс  на участки, соответствующие трём произвольным значениям 1 ,  2 ,  3 . Используется метод обращения движения, когда механизму условно задаётся движение, обратное кривошипу. Если заданы длина коромысла и межцентровое расстояние, то по трём положениям в обращённом движении можно найти размеры шатуна и кривошипа согласно рис. 42, где т. В находят как центр вращения т. С в обращённом движении. Существует постановка задачи, когда отыскивается оптимальный закон движения с точки зрения различных параметров: скорости, ускорения, работы динамических сил и т. д. 34 6.9. Понятие о синтезе механизма по заданной траектории Часто требуется спроектировать механизм с заданной траекторией движения ведомого звена. Например, четырёхшарнирный механизм стрелы портального крана позволяет перемещать груз горизонтально при вращении стрелы в вертикальной плоскости (рис. 43). Синтез таких механизмов осуществляется графическими и аналитическими методами с использованием теории функций с наибольшим приближением к заданной траектории. В этой области имеются работы Чебышева, который первым предложил решение задачи для лямбдообразного прямила Чебышева, положенного в рис. 43 основу конструкции стрелы портального крана (рис. 43). Искомыми параметрами являются длины звеньев, включая и длину ln . 6.10. Общий порядок проектирования рычажного механизма Процесс проектирования рычажного механизма включает следующие основные этапы: 1. Производится синтез кинематической схемы (определяются длины звеньев по заданным условиям). 2. Принимается упрощённый закон движения входного звена, определяются скорости и ускорения звеньев, производится приближённый силовой расчёт (определяются реакции в кинематических парах). 3. По найденным усилиям подбираются сечения звеньев и определяются их массы. 4. Производится приведение сил и масс, подбор маховика и определение истинного закона движения звена приведения. 5. При найденном законе движения звена приведения находятся уточнённые значения скоростей и ускорений, определяются более точные величины реакций и производится проверка прочности и жёсткости звеньев. Размеры сечений и массы звеньев последовательно уточняются. Иногда используют более простую последовательность, в которой расчёт ведётся при заданных длинах и массах звеньев, а также при упрощённом законе движения входного звена. 35 7. Кулачковые механизмы 7.1. Классификация кулачковых механизмов Кулачковые механизмы содержат хотя бы одну высшую кинематическую пару и состоят из кулачка, толкателя и стойки (рис. 44). Степень подвижности такого механизма равна: W  3  n  2  p5  p4  3  2  2  2  1  1 . рис. 44 Основными достоинствами кулачковых механизмов является возможность получения заранее заданного закона движения толкателя с помощью кулачка. К недостаткам следует отнести большое удельное давление в точке контакта кулачка с толкателем, а также сложность изготовления профиля кулачка. Постоянный контакт толкателя с кулачком обеспечивается с помощью кинематического (рис. 45, а) или силового замыкания (рис. 45, б). рис. 45 В зависимости от характера движения кулачка и толкателя возможно преобразование вращательного или поступательного движения кулачка во вращательное или поступательное движение толкателя (рис. 44, 45, 46). рис. 46 Кулачковые механизмы могут быть плоскими (рис. 46, а, б) и пространственными (рис. 46, в), осевыми (е=0) и внеосными (е≠0) с плоским, тарельчатым 36 или роликовым толкателем, где ролик устанавливается для уменьшения трения и износа. Кулачковые механизмы, как правило, используются в машинах автоматического или полуавтоматического действия и обеспечивают функции “жёсткого” управления выполняемого процесса. 7.2. Кинематический анализ кулачковых механизмов Основной задачей кинематического анализа является определение перемещений, скоростей и ускорений толкателя при заданных схеме механизма и профиле кулачка. Решение этой задачи может быть осуществлено аналитическими и графическими методами, первый из которых более точен, но сложен, а второй – менее точен, но прост. Рассмотрим графический метод на примере осевого механизма с роликовым толкателем. Анализ начинается с построения планов механизма. При этом используется метод обращения движения, когда всему механизму условно задают вращение с угловой скоростью   , обратной скорости кулачка (рис. 47). Тогда толкатель в обращённом движении будет двигаться вокруг неподвижного кулачка, а центр ролика опишет кривую, отстоящую от профиля кулачрис. 47 ка на расстояние радиуса r ролика и называемую эквидистантой. Путь S любой точки толкателя при повороте кулачка на угол φ будет равен разности радиусов-векторов, соединяющих центр кулачка и соответствующие положения центра ролика. На основе планов механизма можно построить диаграмму перемещений толкателя в координатах S – φ или S – t, после чего определяются скорости V (рис. 48) (аналоги скоdS рости ) и ускорения a (аналоги ускореd рис.48 ния d 2 S / d 2 ) путём графического дифферен37 dS ( ) . d Движение толкателя имеет реверсивный характер за весь кинематический цикл, при этом наблюдаются 4 фазы движения толкателя, соответствующие 4 фазовым углам поворота кулачка:  у - угол удаления (подъёма) толкателя;  д цирования графиков S (t ), S ( ), V (t ), угол дальнего выстоя;  в - угол возврата (опускания);  б - угол ближнего выстоя. С целью непосредственного определения скоростей и ускорений толкателя осуществляют условную замену высшей пары на низшую. Замена осуществляется так, что движение заменяемого механизма в момент замены соответствует движению заменяющего. В общем случае мгновенный заменяющий механизм представляет шарнирный четырёхзвенник с подвижными шарнирами А и В, расположенными в центрах кривизны, контактирующих в точке Р профилей (рис. 49). В частных случаях возможны различные рис.49 варианты замены (рис 50), при этом можно производить кинематический анализ кулачкового механизма как обычного стержневого. рис. 50 38 7.3. Некоторые вопросы динамического анализа кулачковых механизмов Условия нормальной работы звеньев кулачкового механизма в существенной степени зависит от угла давления  между вектором усилия F, действующего на толкатель со стороны кулачка, и вектором скорости V толкателя (рис.51,а). рис. 51 Угол давления – переменная величина, с увеличением которой возрастает опасность заклинивания механизма, т. к. увеличивается составляющая Fx , вызывающая трение в кинематических парах (рис. 51). Обычно величину  max ограничивают подбором размеров кулачка при условии что:  max 30  для механизмов с поступательным движением толкателя;   45  для механизмов с коромысловым толкателем. Рассмотрим задачу определения текущего угла  для любого положения механизма. Построим заменяющий кривошипно-ползунный механизм ОАВ, где точка А совпадает с центром кривизны кулачка в точке его контакта с роликом. Рассмотрим план скоростей заменяющего механизма (рис. 51, б), где: ∆рав ~ ∆ОАК (∆ с взаимноперепендикулярными сторонами), т. е. lOK pb VB dS / dt dS / dt dS     , отсюда lOK  . lOA pa VA   lOA lOA  d / dt d Таким образом, отложив вектор dS/dφ от точки В в направлении вектора скорости V толкателя, повёрнутого на 90º в сторону вращения кулачка и проведя линию mn через точку О и конец вектора dS/dφ, получим угол  (рис. 51). Можно решить обратную задачу, находя положение центра “О” вращения кулачка при заданных значениях  и dS/dφ для двух положений толкарис. 52 теля (рис. 52). 39 Из рис. 52 видно, что чем больших значений достигают углы давления  , тем меньшие габариты имеет механизм, но риск заклинивания при этом увеличивается. 7.4. Синтез кулачковых механизмов При проектировании кулачковых механизмов используются различные методы синтеза. Если известен минимальный радиус (rmin) кулачка и закон его движения, то построение профиля – задача кинематического синтеза. Если rmin должен определяться с условием отсутствия заклинивания, то построение профиля – задача динамического синтеза. 7.4.1. Выбор закона движения толкателя Вопрос о выборе закона движения толкателя отпадает в случае, если он полностью определяется той операцией, которую толкатель осуществляет, т. е. задан. Однако во многих случаях заданы лишь частичные перемещения, скорости или ускорения толкателя и необходимо подобрать какой-либо закон движения на недостающих участках. Например, может быть задано максимальное и минимальное перемещение толкателя по двум участкам t2 и t4 (рис. 53) в виде графика S(t), показанного основной линией. На остальных участках t1 и t3 закон движения следует выбрать. Из всех возможных законов движения необходимо выбирать оптимальный с точки зрения условий работы механизма. Одним из таких законов является синусоидальный закон S2(t), обеспечирис. 53 вающий плавную безударную работу механизма без резких изменений скорости и без больших значений ускорений, как, например, при выборе закона S1(t), где ускорения, а следовательно силы инерции достигают больших величин, способных вызвать износ и поломку. 40 7.4.2. Профилирование кулачка Рассмотрим графический метод получения профиля кулачка как задачу кинематического синтеза. В этом случае заданы схема кулачкового механизма, закон движения толкателя и rmin кулачка. Профилирование осуществляется на основе закона движения толкателя. В качестве примера рассмотрим профилирование кулачка в осевом механизме с поступательно движущимся толкателем. При этом дана схема механизма, диаграмма движения толкателя и rmin кулачка (рис. 54). рис. 54 В начале размечаются основные размеры механизма в масштабе  l , а также фазовые углы, причём углы  у и в делятся на ряд равных частей в соответствии с диаграммой (рис. 54, б). Строятся начальное, а затем ряд последующих положений толкателя в обращённом движении (рис. 55, а), и полученные точки соединяются плавной кривой. В случае построения профиля кулачка для механизма с роликовым толкателем сначала строится эквидистанта (центровой профиль) как и в предыдущем случае, а затем и сам рабочий профиль кулачка, отстоящий от эквидистанты на величину радиуса ролика rрол (рис. 55, б). рис. 55 41 0,4  rmin ; Величина rрол выбирается из соотношения: rрол  min  0,8   min ; где ρmin – минимальный радиус центрового профиля кулачка, который можно определить графически по трём точкам в месте наибольшей кривизны эквидистанты (рис. 55, б). Профилирование кулачка механизма с коромысловым толкателем состоит из аналогичных операций, т. е. после разметки межцетровых расстояний строится ряд положений коромысла в обращённом движении (рис. 56) в соответствии с заданной диаграммой S(φ), часть которой показана на рис. 56, б. рис. 56 7.4.3. Динамический синтез кулачкового механизма Задача динамического синтеза заключается в нахождении центра вращения кулачка, при условии минимизации размеров механизма, когда заданы: закон движения толкателя и предельно допустимый угол давления  доп . В конечном итоге задача состоит в определении rmin кулачка, после чего может быть решена задача кинематического синтеза (профилирование). Рассмотрим пример определения rmin кулачка для механизма с поступательно движущимся толкателем, когда заданы диаграммы перемещений S(φ) и аналогов скоростей dS/dφ(φ), которые должны быть вычерчены в едином масштабе  S   dS / d  ... Путём исключения параметра φ вычерчивается совмещённая диаграмма S(dS/dφ), как показано на рис. 57. 42 рис. 57 Проведя касательные mn к диаграмме S(dS/dφ) под углами  доп , как показано на рис. 57, получим точку а1 на их пересечении. Тогда отрезок а1в будет соответствовать в масштабе  S величине rmin   S  a1в для внеосного механизма со смещением оси толкателя е≠0 относительно центра вращения кулачка. Так как центр кулачка можно располагать в любой точке заштрихованной области, то при е=0 получим rmin   S  aв , когда центр кулачка совпадает с осью толкателя. Таким образом, габариты механизма уменьшаются при е≠0, т. к. центр кулачка приближается к точке в, а предельный угол давления  доп остаётся неизменным. Обычно при силовом замыкании такие построения делаются только для фазы удаления, т. к. на фазе возврата толкатель является ведущим звеном и заклинивания не происходит. Для механизма с коромысловым толкателем построение совмещённой диаграммы S(dS/dφ) производится в пределах заданного максимального угла размаха коромысла Ψmax. Причём отрезки, равные dS/dφ откладываются в масштабе  l от траектории точки А коромысла по его оси в сторону вектора dS/dφ, повёрнутого на 90º в направлении вращения кулачка (рис. 58). 43 рис. 58 Точки, полученные для нескольких положений коромысла, соединяют плавной кривой и строят допускаемую зону размещения центра вращения кулачка, которую приближённо можно получить, проведя касательные к диаграмме S(dS/dφ) под углами  доп , образованными биссектрисой угла Ψmax и перпендикулярами к ней (см. рис. 58, б). Выбранное положение центра О1 в допускаемой (заштрихованной) зоне определяет величину rmin и межцентровое расстояние О1О2 между кулачком и коромыслом. 7.4.4. Аналитический способ синтеза кулачковых механизмов При аналитическом методе синтеза вместо диаграмм в графической форме dS используются аналитические зависимости S ( ), ( ) и т. д. Например, для  осевого кулачкового механизма с поступательно движущимся толкателем профиль кулачка может быть представлен аналитической зависимостью вида: r  rmin  S ( ) . При заданном rmin и известной зависимости S(φ) можно получить профиль кулачка с любой заданной степенью точности. 44 7.4.5. Понятие о проектировании пространственных кулачковых механизмов Распространённым методом синтеза пространственных механизмов является условная их замена плоским кулачковым механизмом. Тогда задача сводится к синтезу плоского механизма. Например, задача проектирования механизма с поступательно движущимся толкателем и вращающимся кулачком сводится при заданном законе S(φ) к построению развёртки цилиндра, на которой по данным диаграммы строится теоретический и действительный профиль кулачка (рис. 59). рис. 59 7.4.6. Проектирование кулачковых механизмов с плоским (тарельчатым) толкателем В механизме с плоским толкателем угол давления во всех положениях равен нулю (рис. 60, а), поэтому он не может быть использован для определения центра вращения кулачка. В этом случае используют условие выпуклости профиля кулачка ρ>0 (ρ – радиус кривизны профиля). Заменяя кулачковый механизм стержневым (рис. 60, б), план ускорения которого можно построить из условия подобия (рис. 60, в): ∆КАЕ ~ ∆πkв, получим КЕ в d 2 S / dt 2 d 2 S / d 2  (d / dt ) 2    , КА k  2  KA (d / dt ) 2  KA т. е. d 2S KE  d 2 rmin и d 2S   2  rmin  S  0 d d 2S  ( 2  S ) . d 45 или рис. 60 d 2S Следовательно, просуммировав две диаграммы S(φ) и ( ) , построенd 2 ные в одном масштабе  S   d 2 S / d 2  ... , получим величину rmin (рис. 61, г) имеющую несколько большее значение, чем абсолютная величина отрицательной ординаты на суммарной диаграмме. 8. Фрикционные и зубчатые механизмы Фрикционные и зубчатые механизмы предназначены для передачи вращательного движения с одного вала на другой с помощью деталей типа диска в основном цилиндрической формы. При этом, как правило, меняется величина угловой скорости и передаваемого момента, а также их направление. Вал, от которого передаётся движение, называется ведущим, а вал, которому передаётся движение – ведомым. Оси валов могут быть параллельными, пересекаться или перекрещиваться под различными углами. В первом случае механизм является плоским, в остальных случаях механизмы пространственные. 8.1. Общие сведения о передачах вращения Если в механизме имеются только ведущие и ведомые валы и отсутствуют промежуточные вращающиеся звенья, то механизм называется передачей. Передача вращения может осуществляться: 1) путём непосредственного соприкосновения двух дисков, жёстко связанных с ведущим и ведомым валами (фрикционная, червячная, зубчатая); 46 2) посредством промежуточных гибких тел, сцепляющихся с дисками, которые жёстко связаны с ведущим и ведомым валами (ременная, цепная, волновая). Отношения угловых скоростей вращения обоих валов передачи называется передаточным отношением (i ) , которое характеризует процесс преобразования движения количественно. Отношения угловой скорости ведущего вала к угловой скорости ведомого называется передаточным числом (u ) , которое определяет направление передачи энергии. Величина i и u может меняться или оставаться постоянным за время одного оборота ведущего вала. Любую передачу можно схематично представить в виде двух начальных поверхностей, контактирующих между собой, а плоскую передачу – в виде двух начальных окружностей, перекатывающихся друг по другу без скольжения и контактирующих в полюсе р (рис. 61). Тогда V p  rW1  1  rW2  2 , т. е. 1 rW2   i - передаточное число. 2 rW1 1, 2 рис. 61 Аналогично можно изобразить ременную или цепную передачи, а также пространственные передачи (рис. 62). рис. 62 47 8.2. Фрикционные передачи Одной из наиболее простых и во многих случаях достаточно надёжной является фрикционная передача, состоящая в простейшем случае из двух колёс (катков), закреплённых на ведущем и ведомом валах. Для передачи движения без скольжения необходимо приложить к одному из колёс силу Q, достаточную для возникновения трения в месте контакта (рис. 63), при этом касательная сила их сцепления равна по величине передаваемого окружному усилию. рис. 63 Фрикционные передачи могут быть с постоянным и переменным передаточным отношением. Последние называются вариаторами (рис. 64 а, б). рис. 64 Достоинствами фрикционных передач являются: плавность и бесшумность в работе, простота конструкции, невозможность поломки при резком изменении крутящего момента на одном из валов благодаря возможности проскальзывания катков, возможность бесступенчатого регулирования скоростей. Недостатками являются: необходимость прижимного устройства, непостоянство передаточного отношения, невозможность передачи значительных крутящих моментов. В связи с указанными недостатками фрикционные передачи не получили такого широкого распространения как зубчатые. 48 8.3. Зубчатые передачи. Виды и классификация Зубчатые передачи осуществляют передачу вращательного движения с одного вала на другой с помощью цилиндрических, конических, червячных колёс, имеющих специально профилированные зубья, при этом зубчатые колёса могут иметь прямые, косые, спиральные, шевронные зубья и др. (рис. 65). рис. 65 При использовании непрямозубых колёс повышается плавность и бесшумность работы и увеличивается нагрузочная способность передачи. В зубчатых передачах с пересекающимися осями в качестве начальных поверхностей используются усечённые конусы, вершины которых пересекаются в одной точке (рис. 66, а), а в передачах с перекрещивающимися осями теоретическими начальными поверхностями являются гиперболоиды вращения (рис. 66,б). Такие передачи называются гиперболоидными. рис. 66 Контакт зубьев 2-х колёс в таких передачах происходит по прямолинейным образующим mn. В машиностроительной практике ограничиваются отдельными короткими частями гиперболоидов. Например, используя среднюю часть гиперболоидов, получают винтовую зубчатую передачу, а если использовать усечённые конусы, близкие по профилю к гиперболоидам в их широкой части, то получим так называемую гипоидную передачу (рис. 66, б). 49 Частным случаем винтовой передачи является червячная передача, в которой малое колесо называется червяком, а большое – червячным колесом (рис. 67, а, б). рис. 67 Червячные передачи могут быть с одно и многозаходными червяками, при этом число заходов червяка равно числу его зубьев. Червячные передачи позволяют обеспечить большое передаточное отношение при сравнительно малых габаритах вследствие малого числа зубьев (захоZ дов) на червяке, т. к. i1, 2  2 (Z1, Z2 – число зубьев колёс). Однако коэффициент Z1 полезного действия (КПД) передачи низок. Предельные значения передаточных отношений для зубчатой пары составляет:  1…6 – для цилиндрических передач;  1…4 – для конических передач;  10…40 – для червячно-винтовых передач. По форме профиля зуба различают передачи эвольвентные, циклоидальные, цевочные, а также передачи с зацеплением Новикова. Наибольшее распространение получили эвольвентные передачи с профилем, предложенным Леонардом Эйлером в 1754 г. Преимуществом этого профиля является простота изготовления, достаточно высокая нагрузочная способность, малая чувствительность к неточностям межцентрового расстояния. Однако эвольвентный профиль удовлетворяет не всем требованиям, предъявляемым к современным зубчатым передачам. Так, например, в мощных передачах внешнего зацепления, где контактируют выпуклые зубья с малыми радиусами кривизны профилей, происходит их быстрое разрушение из-за недостаточной контактной прочности. Одним из путей повышения контактной прочности является использование внутреннего зацепления, в котором профиль зуба одного из колёс во50 гнутый. Другой путь – применение передач с зацеплением Новикова, где выпуклые профили зубьев одного из колёс, очерченные по дуге окружности, контактируют в вогнутыми профилями другого колеса (рис. 68). При этом нагрузочная способность передачи повышается в 23 раза по сравнению с эвольвентной, а также уменьшаются потери на трение. рис. 68 Одной из интересных и перспективных передач является так называемая волновая передача (рис. 69), состоящая из жёсткого 1 и гибкого 2 зубчатых колёс, а также генератора волн 3 с роликами 4. При вращении генератора 3, благодаря разнице чисел зубьев жёсткого и гибкого колёс, приводится во вращение колесо 2, причём передаточное отношение может быть очень большим ( i  40...400 ). Автор волновой передачи – Массер (США, 1959 г.) указывал на возможность использования треугольного профиля зубьев. рис. 69 К зубчатым передачам относятся передачи с некруглыми, секторными колёсами, колёсами, имеющими зубья на части обода и др. Обычно в зубчатых передачах меньшее колесо называется шестерней. Выбор той или иной передачи зависит от традиционной области её применения и конкретных функциональных особенностей механизма, в котором эта передача будет использована. 8.4. Основная теорема зацепления (теорема Виллиса) Для постоянства передаточного отношения при зацеплении двух профилей зубьев необходимо, чтобы радиусы начальных окружностей зубчатых колёс, перекатывающихся друг по другу без скольжения, оставались неизменными. Если рассмотреть обращённое движение начальных окружностей, когда всей системе задана угловая скорость (  2 ), то второе колесо будет условно неподвижным и точка Р является мгновенным центром относительного вращения колёс (рис. 70,а). Эта точка, называемая полюсом зацепления, где контактируют начальные окружности, делит межцентровое расстояние на отрезки, обратно пропорциональные угловым скоростям, т. к.  rW i1, 2  1  2  const при rW  const .  2 rW1 51 Рассмотрим обращённое движение профилей зубьев зубчаты х колёс (рис. 70, б). рис. 70 Точка контакта зубьев (точка к), принадлежащая первому колесу, вращается вокруг точки Р, которая будет мгновенным центром скоростей. Скорость Vk  PK и совпадает с общей касательной к профилям в точке к при условии постоянства этого контакта. В противном случае постоянного контакта не будет, так как появится составляющая Vk' ' и профили разомкнутся (рис. 71). Так как рассматривается произвольное положение зубьев, то можно сформулировать теорему. Нормаль NN к касающимся профилям зубьев, рис. 71 проведённая через точку их касания, делит межцентровое расстояние на части, обратно пропорциональные угловым скоростям. Эта теорема, сформулированная Виллисом в 1841 г., определяет основной закон зацепления профилей, которые не могут быть произвольными, а должны быть специально подобраны. 52 8.5. Эвольвента и её свойства Наибольшее применение получили эвольвентные зубчатые передачи с профилем зубьев, очерченным по эвольвенте (рис. 72). Эвольвентой круга называется траектория точки, лежащей на прямой, которая перекатывается без скольжения по окружности радиуса rв, называемой основной. рис. 72 Эвольвента имеет следующие свойства: 1) начинается с основной окружности; 2) нормаль к эвольвенте является касательной к основной окружности; 3) радиус кривизны эвольвенты в каждой её точке лежит на нормали к эвольвенте в этой точке. Основная окружность представляет собой геометрическое место центров кривизны эвольвенты и является её эволютой. 8.6. Геометрия эвольвентного зацепления В процессе зацепления зубья касаются друг друга различными точками профиля (рис. 73). Так как эти точки лежат на нормали к профилям, которая одновременно является касательной к обеим основным окружностям, то совокупность точек касания (линия ab ) совпадает с общей для обеих основных окружностей касательной NN. Эта линия называется теоретической линией зацепления, а линия ab длиной gα является её активной частью, где располагаются все точки контакта зубьев. Угол W , измеряемый между нормалью NN к профилям в полюсе рис. 73 зацепления Р и общей касательной к обеим начальным окружностям, называется углом зацепления. Таким образом: rb1  rW1  cos W ; rb2  rW2  cos W . 53 8.7. Качественные показатели зацепления Одним из качественных показателей зубчатой передачи является коэффициент перекрытия   , равный   g / pb , где рв – шаг по основной окружности (расстояние между одноимёнными точками двух соседних зубьев, замеренное по дуге основной окружности). Коэффициент   показывает сколько пар зубьев в среднем одновременно находится в зацеплении. Для прямозубой передачи обычно 1    2 . Чем больше   , тем более плавно и бесшумно работает  передача. Другим качественным показателем является коэффициент скольжения, который учитывает влияние геометрии передачи и её кинематики на скольжение и износ профилей, скользящих друг по другу (рис. 74), что видно из картины скоростей. На этой картине: V - скорость точки к первого колеса; k1 V t - проекция этой скорости на касательную к контактирующим профиk1 лям; V и V t - тоже для колеса 2. k2 k2 Скорость скольжения колеса 1 и 2 относительно друг друга равна: Vck  Vk1k 2  Vkt  Vkt . 1 2 Коэффициенты скольжения колёс 1 и 2 равны: V V 1  ck ;   ck . 2 Vkt Vkt 1 2 Эти коэффициенты равны нулю в полюсе (точка Р) и увеличиваются с удалением от нерис. 74 го по линии зацепления. Таким образом, чем длиннее линия зацепления, (то есть, чем больше коэффициент перекрытия   ), тем больше скольжение и износ профилей зубьев. 54 8.8. Основные параметры зубчатых колёс Основными параметрами зубчатого колеса являются (рис. 75): z – число зубьев; ra – радиус (диаметр) окружности выступов; rf – радиус (диаметр) окружности впадин; rb - радиус (диаметр) основной окружности; r - радиус (диаметр) делительной рис. 75 окружности, т. е. окружности, которая является начальной в станочном зацеплении колеса с режущим инструментом; р – шаг по делительной окружности; h – высота зуба, равная h=ha+hf, где: ha – высота головки зуба; hf – высота ножки зуба; m – модуль зацепления, определяемый из условия: 2r p 2r  zp , т. е.   m (измеряется в мм). z  Величина m стандартизирована, а делительная окружность является окружностью стандартного модуля. Обычно размеры зубчатого колеса и зубьев выражаются через m. Так, например: ha  ha*  m , где ha* - коэффициент высоты головки зуба; h f  (ha*  c* )  m , где c* - коэффициент радиального зазора; r  0,5  m  z ; p    m ; rb  r  cos   0,5  m  z  cos  , где α – угол исходного контура режущего инструмента. Обычно для стандартных зубчатых колёс: ha*  1 ; c*  0,25 ; 55 α=20º. 8.9. Методы нарезания зубчатых колёс Существует два принципиально различных метода нарезания: 1) метод копирования; 2) метод обкатки. В первом случае впадина зубчатого колеса фрезеруется на универсальном фрезерном станке фасонными дисковыми или пальцевыми фрезами, профиль которых соответствует профилю впадины (рис. 76). Затем заготовку поворачивают на угол 360º/Z и нарезают следующую впадину. При этом используется делительная головка, а также имеются наборы фрез для нарезания колёс с различным модулем и различным числом зубьев. Метод непроизводителен и применяется в мелкосерийном и единичном производстве. рис. 76 Второй метод обката или огибания может производиться с помощью инструментальной рейки (гребёнки) на зубострогальном станке; долбяком на зубодолбёжном станке или червячной фрезой на зубофрезерном станке. Этот метод высокопроизводителен и применяется в массовом и крупносерийном производстве. Одним и тем же инструментом можно нарезать колёса с различным числом зубьев. Нарезание с помощью инструментальной рейки имитирует реечное зацепление (рис. 77, а), где профиль зуба образуется как огибающая последовательных положений профиля инструмента, угол исходного контура которого α=20º (рис. 77, б). Зацепление между режущим инструментом и нарезаемым колесом называется станочным. В станочном зацеплении начальная окружность всегда совпадает с делительной. Самым производительным из рассмотренных методов является зубофрезерование с помощью червячных фрез, которые находятся в зацеплении с заготовкой по аналогии с червячной передачей (рис. 77, в). При нарезании долбяком осуществляется его возвратно поступательное движение при одновременном вращении. Фактически при этом осуществляется зацепление заготовки с инструментальным зубчатым колесом – долбяком 56 (рис. 77, г). Этот метод чаще всего используется при нарезании внутренних зубчатых венцов. рис. 77 Все рассмотренные методы используются для нарезания цилиндрических колёс как с прямыми, так и с косыми зубьями. 8.10. Корригирование зубчатых колёс При нарезании колёс режущий инструмент можно располагать ближе к заготовке или дальше от неё. Положение инструмента определяется расстоянием между делительной окружностью колеса и так называемой модульной прямой рейки, проходящей через середину высоты зуба режущего инструмента (рис.78). В зависимости от полорис. 78 жения рейки по делительной окружности может перекатываться без скольжения либо модульная прямая рейки, либо начальная прямая, отстоящая от модульной прямой на величину смещения “b”, которое называется сдвигом или коррекцией, а коэффициент χ (хи), равный χ=b/m, называется коэффициентом смещения инструмента. Если инструмент смещён от нарезаемого колеса, то χ считается положительным (по57 ложительная коррекция), а если – к центру колеса, то χ отрицателен (отрицательная коррекция). При χ=0 нарезаемое колесо называется нормальным (нулевым). Толщина зуба и ширина впадины такого колеса по делительной окружности равны. При положительной коррекции увеличивается прочность зуба, но уменьшается длина линии зацепления, а следовательно и коэффициент перекрытия   . При отрицательной коррекции – обратный эффект, т. е. увеличивается плавность и бесшумность работы передачи, но прочность зуба уменьшается. Зацепление двух зубчатых колёс характеризуется суммарным коэффициентом коррекции χΣ=χ1+χ2, причём возможны три случая: 1) χΣ=0 при χ1=χ2=0, когда в зацеплении находятся два нулевых зубчатых колеса (нулевое зацепление); 2) χΣ=0 при χ1=-χ2, когда в зацеплении находятся два корригированных зубчатых колеса, коэффициенты коррекции которых равны по величине и противоположны по знаку (равносмещённое зацепление с высотной коррекцией); 3) χΣ≠0, когда в зацеплении находятся два корригированных колеса, имеющих: а) χΣ>0 – положительное неравносмещённое зацепление с угловой коррекцией; б) χΣ<0 - отрицательное неравносмещённое зацепление с угловой коррекцией. В первых двух случаях (χΣ=0) делительные окружности совпадают с начальными, угол зацепления W равен углу исходного контура рейки  и межосевое расстояние равно a w  0,5  m  ( Z1  Z 2 ) , в отличие от неравносмещённого зацепления, где делительные и начальные окружности не совпадают, W ≠  , а межосевое расстояние равно: a w  0,5  m  ( Z1  Z 2 )  aw  rw1  rw2 при rw1  rb1 cos  w rb1  r1  cos   0,5  m  Z1  cos  ; ; rw2  cos  , с учётом того, что cos  w rb2 cos  w и rb2  r2  cos   0,5  m  Z 2  cos  . 8.11. Наименьшее число зубьев зубчатых колёс. Подрезание и заострение зубьев рис. 79 При нарезании нулевых колёс с малым числом зубьев может возникнуть явление врезания головок зубьев режущего инструмента в ножки зубьев колеса. Это явление называется подрезанием зуба. При этом уменьшается его прочность и увеличивается износ рабочей части зуба (рис. 79). Согласно свойствам эвольвентного зацепления точки контакта зубьев эвольвентного профиля совпадают с линией NP, начиная с точки N (рис. 80), то есть высота прямолинейной части головки зуба режущего 58 инструмента (рейки) ha*  m должна быть меньше отрезка PF, иначе часть головки зуба рейки будет контактировать с заготовкой (нарезать её) не по эвольвенте. рис. 80 Так как ha*  m  PF , а PF  r  sin 2   0,5  m  Z  sin 2  , то Z 2  ha* 2 и Z min  17 при стандартных значениях ha*  1 ;   20 . sin  Для исключения подреза при Z