Теория функций комплексного переменного

Я предлагаю Вам, уважаемые студенты-геофизики-заочники, курс по Теории Функций Комплексного Переменного (ТФКП), состоящий, в принципе, из двух частей: части I – базовой (лекция 1), и части II – существенной (лекция2). В части I изложение материала несколько расширено: можно опустить, например, материал по обратным тригонометрическим и гиперболическим функциям; часть II, наоборот, несколько сокращена по сравнению в полным курсом ТФКП. Тем не менее изложенного материала достаточно для того, чтобы познакомиться с основными понятиями и приложениями ТФКП и суметь применить их, касаемо к группам ЗРФ, к выполнению курсовой работы. Каждая часть имеет собственную внутреннюю нумерацию параграфов и рисунков. В рамках отведенных Вам часов (4 часа лекций + 4 часа практики) предлагаемый материал, конечно же, избыточен. Но куда деваться… Разбиение всего объема на лекционную и практическую часть – чисто условное. Рекомендую воспользоваться единым файлом, который я Вам разослал довольно давно. Литература, на которую я также иногда буду ссылаться в данном курсе лекций и которая Вам будет полезна для углубленного изучения ТФКП, следующая: 1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. Учебник для вузов (год издания несущественен). 2. Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. Учебное пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов (год издания несущественен). Лекция 1 §1. Комплексные числа и комплексная плоскость Рассмотрим уравнение (z – a)2 + b2 = 0, где a и b – произвольные действительные числа, и решим его относительно переменной z. Формальное решение дает z  a  b   1  z  a  b  1  z  a  bi . Здесь a и b составляют, вообще говоря, упорядоченную пару чисел, которую можно понимать, с одной стороны, как точку (a; b) на плоскости, т.е. в пространстве R2, а с другой – как комплéксное число z = a + bi с двумя действительными компонентами a и b. Компоненту а называют действительной частью комплексного числа z и часто обозначают как Re(z), а компоненту b – мнимой частью и обозначают как Im(z). В дальнейшем изложении будем часто писать «к.ч.» вместо «комплексное число». Число i   1  0  1  i называют мнимой единицей (она соответствует точке (0;1) на плоскости). Заметим, что из i   1 следует, что i 2  1 . Множество С всех возможных комплексных чисел образует комплексную плоскость, которая отличается (причем существенно!) от обычной плоскости тем, что вертикальная ось обозначается не как Y, а как iY. Само к.ч. обозначается на комплексной плоскости точкой, а ее координаты – рисками (черточками) на координатных осях. Комплексное число общего вида записывают как z = x + yi или, что то же самое, как z = x + iy. Иногда пишут: z = Re(z)+ i Im(z). Корни рассмотренного iY квадратного уравнения обраz = x+iy зуют пару так называемых ǀzǀ = 0  z = 0+0·i комплексно сопряженных y ǀzǀ = +∞  z = ∞ чисел, одно из которых обоz=i 1 значается как z, а другое – ρ φ как z : для числа z = a + bi X O x имеем z  a  bi , а для числа действительная ось z = x–iy ρ –φ z = a – bi имеем z  a  bi . Изображения этих чисел –y можно увидеть на рис. 1 (здесь же введены понятия мнимая ось Рис. 1. Комплексная плоскость и комплексные числа на ней. 1 комплексного нуля и бесконечно удаленной точки z = ∞). Расстояние ρ от точки, соответствующей комплексному числу z, до начала координат, называется его модулем:   z  x 2  y 2 . Очевидно, что точка z с модулем ρ является одной из точек, лежащих на окружности радиуса ρ. Любой угол, соответствующий положению радиуса ρ, называется аргументом комплексного числа z. Поскольку одной точке окружности соответствует бесконечно много углов, то можно записать: Arg(z) = 2πk + φ = φ(k) = φk, где k – любое целое число. Удобно полагать, что слагаемое   ( ;  ] ; в таком случае значение    0  ( ;  ] называют главным значением аргумента и обозначают как arg(z). Итак, можно записать: Arg(z) = 2πk + arg(z), k  Z . (1.1) Удобнее всего определять arg(z) числа z = x + iy следующим образом:  1, y  0; arg(z) = sign(y) arccos(х/ρ), где sign ( y )   0, y  0;    1, y  0. Например, для к.ч. z = –4 – 3i имеем: Rez = x = –4; Imz = y = –3; ρ = ǀzǀ = x 2  y 2  (4) 2  (3) 2  5 ; argz = –arccos(х/ρ) = –arccos(–4/5) = φ0; Argz = 2πk + φ0 = 2πk – arccos(–4/5). Заметим, что для комплексно сопряженных чисел имеем: (1.2) z  z   , arg( z )   arg( z) . §2. Формы представления комплексных чисел Таких форм три: алгебраическая (А-форма), тригонометрическая (Т-форма) и показательная (Е-форма). А-формой к.ч называют его представление в виде z = x + iy. Эта форма наиболее удобна для выполнения операций сложения и вычитания комплексных чисел. Т-форма комплексного числа связана с полярными координатами точки на плоскости. В самом деле, из рисунка 1 ясно, что x = ρcosφ, y = ρsinφ. Поэтому z = x + iy можно записать как z = ρcosφ + i·ρsinφ = ρ(cosφ + i·sinφ), (2.1) что и является тригонометрической формой представления комплексного числа z. Здесь   z  x 2  y 2 , а φ представляет собой, строго говоря, главное значение аргумента: φ = arg(z)  ( ; ] , которое находится либо из геометрических соображений, либо по формуле (1). Эта форма используется, как правило, при умножении и делении комплексных чисел, а также при возведении их в натуральную степень. Е-форма комплексного числа является самой компактной формой его представления и тоже часто используется при умножении, возведении в натуральную степень и делении комплексных чисел. Ее вид мы выясним позже. §3. Алгебраические операции над комплексными числами Прежде всего введем, для чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2, операцию сравнения (равенство к.ч.):  x  x2 , z1  z 2   1  y1  y 2 . (3.1) Для чисел z1 = ρ1(cosφ1 + i·sinφ1) и z2 = ρ2(cosφ2 + i·sinφ2), записанных в Т-форме, это означает:    2 , z1  z 2   1 (3.2)  1   2 . Сложение и вычитание к.ч. проводится так же, как для векторов, поскольку и к.ч., и вектор представляют собой упорядоченную пару чисел: 2  x  x1  x2 , z1  z 2  z  x  iy   (3.3)  y  y1  y2 . Формула (3.3) означает, что при сложении (вычитании) мы можем оперировать с к.ч. так же, как и с алгебраическими выражениями, приводя подобные, содержащие или не содержащие множитель i. Это же относится и к умножению к.ч. (здесь учтено, что i2 = –1): z1z2 = (x1+ iy1)(x2 + iy2) =(x1x2 + i2y1y2) + i (x1y2 + x2 y1), т.е. z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i (x1y2 + x2 y1). (3.4) Теперь выполним умножение в Т-форме, т.е. полагая z1= ρ1(cosφ1 + i·sinφ1) и z2 = ρ2(cosφ2 + i·sinφ2): z1z2 = ρ1ρ2(cosφ1 + i·sinφ1) (cosφ2 + i·sinφ2) = = ρ1ρ2[(cosφ1cosφ2 – sinφ1sinφ2) + i·(sinφ1cosφ2 + cosφ1sinφ2)], т.е. z1z2 = ρ1ρ2[(cos(φ1+φ2) + i·sin(φ1+φ2)]. (3.5) Это означает, что при умножении к.ч. их модули перемножаются, а аргументы – складываются. При этом следует иметь в виду, что сумма аргументов φ1+φ2 может выйти за пределы промежутка (–π; π], определенного для главных значений аргумента, т.е. дать Arg(z1z2); тогда для получения arg(z1z2) нужно использовать соотношение (1.1), соответствующим образом подбирая k. Формулы (3.1) – (3.5) позволяют установить некоторые полезные свойства комплексно сопряженных чисел: Re( z )  ( z  z ) / 2, z  z  2 x  2 Re( z )    zz 1º.   .  z  z  2 y  2i Im( z )  Im( z )  2i  (3.6) 2º. z  z  x 2  y 2   2  z  z . (3.7) Введем теперь операцию деления к.ч. z1 на z2 ≠ 0. В А-форме она проводится через умножение числителя и знаменателя дроби на число, сопряженное знаменателю: 2 2 z1 z1 z 2 z1 z 2   2 . z2 z2 z2 2 (3.8) Учитывая, что arg( z 2 )   arg( z 2 )   2 и что z 2  z 2   2 , получаем z1 z1 z 2  1  2  2  2 [cos(1  ( 2 ))  i sin(1  ( 2 ))] , то есть z2 2 2 z1  1 (3.9)  [cos(1   2 )  i sin(1   2 )] . z2 2 Теперь можно получить еще два свойства комплексно сопряженных чисел, справедливых для ненулевых z: z z2 z2 z z2 z2   2,   2; z zz  z zz  z z z  1 . 4º. z z z 3º. Последнее означает, что комплексные числа (3.10) (3.11) z z и имеют модуль, равный 1, т.е. z z находятся на единичной окружности, сохраняя при этом аргумент числа z ≠ 0 +0·i. Аналогично, хотя это не относится к комплексно сопряженным числам, имеем: z z   1, z z (3.12) т.е. нормированное своим модулем к.ч. тоже имеет модуль, равный 1. Из формулы (3.6) немедленно вытекает формула Муавра–Лапласа, используемая для возведения к.ч. z : z   , arg z   в натуральную степень n: 3 z n  1  z  z   z   n [cos(n )  i  sin( n )] .  n (3.13) раз Найдем общую формулу для in, где n – любое целое число. Последовательным умножением на i, для неотрицательных степеней n получаем: i0= 1, i1 = i, i2 = –1, i3 = – i, i4 = 1, i5 = 1, i 0 = i, и т.д. Для отрицательных n: i–1 = 1/i = i/i2 = –i, i–2 = 1/i2 = –1, i–3 = 1/i3 = i, i–4 = 1/i4 = 1, i–5 = 1/i5 = –i, … Получена, таким образом, последовательность: … , i–5 = –i, i–4 = 1, i–3 = i, i–2 = –1, i–1 =–i, i0= 1, i1 = i, i2 = –1, i3 = – i, i4 = 1, i5 = 1, … с очевидным повторением значений через каждые четыре позиции. Поэтому имеем: i 4k  1, i 4k 1  i, i 4k  2  1, i 4k 3  i , k  Z . (3.14) §4. Извлечение корней из комплексных чисел Из формулы Муавра–Лапласа, в свою очередь, вытекает алгоритм извлечения корня натуральной степени n из к.ч. По определению имеем: n (4.1) z    n  z . Будем считать, что z   (cos  i sin ) ,т.е. z : z   , arg z   . Аналогично, результатом ω извлечения корня положим  :   r , arg    . Тогда по формуле (3.13) имеем: z   n  r n [cos(n )  i sin(n )]   (cos  i sin  )  [cos(  2k )  i sin(  2k )], k  Z . Используя теперь определение (3.2) равенства к.ч., получаем:  r  n ,  rn       2k n    2k    .      n Заметим, что здесь θ зависит от k, поэтому следует писать θk, где k подбираются так, чтобы все θk  ( ;  ] , т.е. представляли собой главные значения аргумента. Таким образом, мы получили: n z  n  (cos  k  i sin  k ) , где  k    2k n  ( ;  ] . Лучше всего записать алгоритм извлечения корня из к.ч. в таком виде: n z  k , где k  n  (cos k  i sin k ), 2 arg z   z , k  k  0 , 0  , n n (4.2) для всех k : k  ( ; ]. Согласно этой формуле, окружность радиуса ρ (она всегда может расцениваться как единичная окружность, основным назначением которой является отыскание нужных нам главных значений аргументов к.ч.) делится на n равных частей. Тем самым получаем промежуточные точки отсчета (это углы, кратные 2π/n, к каждому из которых добавляется угол φ0). В итоге получаем все различные корни стеiY пени n из числа z, причем в количестве, равном n. ω1 Прежде чем переходить к примерам, рассмотрим случай извлечения квадратного корня из комплексного числа и приведем его геометрическую интерпретацию (рис. 2): φ0 x ω = z  x  iy  ρ(cos φ  i sin φ) . X φ0 1 Здесь имеем ωk  r (cos φk  i sin φk ) , где φ0 2  r   , k  k   k  0 , k  {0; sign( )}. φ 2 2 Это означает, что оба значения квадратного y z ω0 корня из к.ч. всегда находятся на противоположных Рис. 2. К извлечению квадратного корня. 4 концах диаметра окружности (радиуса r), составляющего угол φ0 = φ/2 с действительной осью. На рис. 2 изображены корни из к.ч. z, имеющего argz = φ < 0 и ρ = |z| = 1. §5. Функции комплексного переменного Аналогично общему определению, свойственному функции действительной переменной, для функции комплексного переменного вводится следующее определение. Пусть каждой точке z = x + iy из некоторого множества D комплексной плоскости XiY поставлена в соответствие, по некоторому закону f, точка ω = u + iv плоскости UiV. Тогда говорят, что на множестве D (области определения) задана однозначная функция ω = f(z) комплексного переменного z с областью значений G. Если таких точек ω = u + iv несколько, то говорят о многозначной функции f(z). В ТФКП функцию iV ω = f(z) называют также отобiY ражением (области D на обz = x + iy ласть G); точку ω = u + iv назыG вают образом точки z = x + iy, а y ω = u + iv точку z = x + iy – прообразом точки ω = u + iv (то же можно D v ω = f(z) говорить и об областях D и G). u При этом необходимо помнить, U что координаты точки ω = u + iv X x зависят, вообще говоря, от обеих координат точки z = x + iy, Рис. 3. К понятию функции комплексного переменного. т.е. являются функциями двух действительных переменных: u = u(x,y), v = v(x,y). Заметим, что если x = x(t), y = y(t), то и ω =ω(t). Выше, вообще говоря, мы имели дело с однозначной функцией ω = zn и n-значной функцией   n z . §6. Базовые и связанные с ними функции комплексного переменного Таких функций три, и определяются они через степенные ряды: z ez 1  z 1! cos(z )  1 2  z 2!  z 3 z  3! 2 z z  4!  2! sin( z )  4 z 5 z  5! z 1!  z 6! 4  4!  6 7  z 7! z 8 8! 6  6! 3  3! z  z n  z n 2n 8  ( 1) z 8! 5  5! z (6.1) n!  (6.2) ( 2n)! 7  7! z n 2 n 1 9  9! ( 1) z ( 2n  1)!  (6.3) Каждый из этих рядов сходится к соответствующей функции в любой точке ком плексной плоскости. Сходимость ряда  c n z n к f ( z)  u( x, y)  iv( x, y) означает, что при n 1     n  1   любом z = z0 = x0 + iy0 действительная часть Re  c n z n  этого ряда сходится к u(x0, y0),     n  1   а мнимая Im  c n z n  – к v(x0, y0). Используя результат (3.14), найдем подстановкой iz вместо z в ряд (6.1): e iz  1  iz 1!  z 2 2!  iz 3 3!  z 4 4!  iz 5 5!  z 6 6!  iz 7 7!  z 8  8! (6.4) и, подстановкой –z вместо z в полученный ряд(6.4): 5 e iz  1  iz 1!  z 2 2!  iz 3  z 3! 4  4! iz 5 5!  z 6 6!  iz 7 7!  z 8  (6.5) 8! Теперь, складывая и вычитая (6.4) и (6.5), а затем сравнивая результаты с (6.2) и (6.3), получаем:  z2 z4 z6 z8  e iz  e iz  21         2 cos z , 2! 4! 6! 8!   (6.6)  z z3 z5 z7 z9  e iz  e iz  2i         2i sin z .  1! 3! 5! 7! 9!  (6.7) Это означает, что мы можем получить эквивалентные определения для cosz и sinz: e iz  e iz e iz  e iz , sin z  2 2i cos z  . (6.8) Таким образом, базовой, в принципе, является только одна функция – еz, на которую, кстати, переносятся все свойства показательной функции действительной переменной. Все другие рассматриваемые в ТФКП функции тоже выражаются, в конечном счете, либо через еz, либо через обратную ей функцию Lnz. Прежде всего это тригонометрические функции: tg z  ctg z  sin z 1 eiz  e iz 1 e 2iz  1 ,     cos z i eiz  e  iz i e 2iz  1 (6.9) cos z eiz  e iz e 2iz  1 . i i sin z eiz  e  iz e 2iz  1 (6.10) Используя формулы (6.8), легко получить:  2 e 2iz  2  e 2iz  cos z   cos 2 z  sin 2 z  1  2 cos 2 z  1  cos(2 z ) 4     2   . 2 2 2 iz  2iz  cos z  sin z  cos(2 z )  2 sin z  1  cos(2 z )  sin 2 z  e  2  e    4 (6.11) Нетрудно получить и теоремы сложения, предварительно найдя нужные произведения (аналогию можно найти чуть ниже). Важное место в ТФКП занимают и гиперболические функции, определяемые аналогично функциям действительной переменной: ch ( z )  e z  e z e z  e z shz e z  e  z chz e z  e  z , sh ( z )  , th ( z )   , cth ( z )   2 2 chz e z  e  z shz e z  e  z . (6.12) Выведем формулы для ch(z1 ± z2) и для sh(z1 ± z2):  e z1  e  z1 chz1chz 2   2  z1  z1 shz shz  e  e  1 2 2 e z 2  e  z 2 e z1  z 2  e ( z1  z 2 )  e z1  z 2  e ( z1  z 2 )     2 4  z2  z2 z1  z 2  ( z1  z 2 ) z1  z 2  ( z1  z 2 )  e e e e e e     2 4   e z1  z 2  e ( z1  z 2 )  ch( z1  z 2 ) chz1chz 2  shz1shz 2    2   , т.е. ch( z1  z 2 )  chz1chz 2  shz1shz 2 . z1  z 2  ( z1  z 2 ) e  e  chz chz  shz shz   ch( z1  z 2 )  1 2  1 2 2   (6.13) Отсюда при z1 = z2 = z получаем: ch2z + sh2z = ch(2z), ch2z – sh2z = 1, а через сложение и вычитание этих выражений – еще два полезных соотношения: 2ch2z = ch(2z) + 1, 2sh2z = ch(2z) + 1.  e z1  e  z1 shz1chz 2  2 Аналогично,  z1  z1 chz shz  e  e 1 2  2 e z 2  e  z 2 e z1  z 2  e ( z1  z 2 )  e z1  z 2  e ( z1  z 2 )     2 4  z2  z2 z1  z 2  ( z1  z 2 ) z1  z 2  ( z1  z 2 )  e e e e e e     2 4  6   e z1  z 2  e ( z1  z 2 )  sh ( z1  z 2 ) shz1chz 2  chz1shz 2    2   , т.е. sh( z1  z 2 )  shz1chz2  chz1shz 2 , z1  z 2  ( z1  z 2 ) e  shz chz  chz shz  e  sh ( z1  z 2 )  1 2  1 2 2  (6.14) что при z1 = z2 = z дает sh(2z)  2 shz  chz . Для тригонометрических функций таким же способом получаем: cos(z1 ± z2) = cosz1cosz2  sinz1sinz2, sin(z1 ± z2) = sinz1cosz2 ± cosz1sinz2. (6.15) Полезны также следующие выводы: cos(iz)  2 2 2 2 ei z  e i z e  z  e z ei z  e  i z e  z  e z   ch( z ) ; sin (iz)    ish ( z ) ; 2 2 2i 2i ish( z ) ch( z ) tg(iz)   ith ( z ) ; ctg(iz)   icth( z ) . ch( z ) ish( z ) (6.16) (6.17) §7. Формула Эйлера Из (6.8) легко получить обобщенную формулу Эйлера: cos z  i sin z  e iz (7.1) При z = φ  R эта формула переходит в формулу Эйлера: (7.2) e i  cos   i sin  , позволяющую записать к.ч. в показательной форме (Е-форме): z = x + iy = ρ(cosφ + i·sinφ) = ρеiφ (7.3) Формула (7.3) содержит в себе все три формы представления к.ч.: алгебраическую, тригонометрическую и показательную. Выясним, используя формулу Эйлера, одно из важнейших свойств функции ω = еz, а именно ее периодичность: e z  e xiy  e x e iy  e x (cos y  i sin y)  e x [cos(y  2k )  i sin( y  2k )]  e x e i ( y 2k )   e xiy  2ki  e z  2ki , т.е.  ( z )  e z  e z 2ki   ( z  2ki) , что свидетельствует о том, что функция ω = еz является периодической с периодом Т= 2πki. Отметим, что прямое использование формулы Эйлера дает: e 2ki  cos(2k )  i sin(2k )  1 . iy z Rsinφ R φ y0 Rcosφ z0 x x0 Рис. 4. К уравнению окружности. Формула Эйлера дает возможность записать уравнение ǀz – z0ǀ = R окружности с радиусом R и с центром в точке (x0, y0) в показательной форме. Действительно, произвольная точка z окружности на комплексной плоскости (рис. 4) может быть записана как z = z0 + Rcosφ +iRsinφ, и тогда все множество точек этой окружности (в параметрической форме) есть z = z0 + R(cosφ +isinφ),  [0; 2 ] (7.4) или же, в показательной форме, z = z0 + Reiφ,  [0; 2 ] . (7.5) §8. Логарифмическая функция Общий алгоритм получения функции, обратной функции ω = f(z), представляет собой кольцевую последовательность действий: 7 ω = f(z) ↕ ↨ z = f(ω)  z = g(ω) ↕ ↨ ω = g(z)  взаимно обратные функции Функция ω = Ln(z) является обратной по отношению к функции ω = еz и определяется следующим образом: ω  Ln(z )  z  e ω2πki  e u iv 2πki  e u  e i(v2πk ) . Поскольку z = |z| ei(argz +2πk) = ρ eiφ+2πki, то из условия (3) равенства к.ч. имеем:  ρ  e u  u  ln z ,  arg z  v.  Следовательно, мы приходим к определению: Lnz  ln z  i arg z  2ki  ln z  i  Argz .  (8.1) ln z Здесь часть ln z  i arg z  ln z называется главным значением функции Ln(z). Поскольку k – любое целое число, то ω = Ln(z) является бесконечнозначной функцией. 1 z Найдем теперь Ln , используя (8.1). Поскольку arg 1 z z  arg  arg 2  arg z   arg z , z zz z 1 1 1   z z z  ln 1   ln z , а z 1 z то имеем: Ln   ln z  i arg z  2k  Ln z , т.е. Ln z 1  Ln z . (8.2) Имея ω = Ln(z), можно говорить и о показательно-степенной функции: (8.3) z z1  e z1Ln z . Функция ω = Ln(z) обладает, по сравнению с обычным логарифмом, одним специфическим свойством. Рассмотрим соотношения, вытекающие из (8.1): Ln(z1·z2) = lnǀz1·z2ǀ + i·Arg(z1·z2) = lnǀz1ǀ + lnǀz2ǀ + i·[Arg(z1) + Arg(z2)], Ln(z1/z2) = lnǀz1/z2ǀ + i·Arg(z1/z2) = lnǀz1ǀ – lnǀz2ǀ + i·[Arg(z1) – Arg(z2)]. Получены, казалось бы, известные свойства обычного логарифма: Ln(z1·z2) = Ln(z1) + Ln(z2) (8.4) Ln(z1/z2) = Ln(z1) – Ln(z2). (8.5) Однако слагаемые в правой части представляют собой независимые бесконечные множества чисел, поэтому равенства в полученных соотношениях следует понимать как равенства неупорядоченных множеств. Перепишем (8.4) и (8.5), с учетом понятия главного значения логарифма, в развернутом виде: Ln(z1·z2) = ln(z1·z2) + 2πki·= ln(z1) + ln(z2) +2πni + 2πmi, (8.4.1) Ln(z1/z2) = ln(z1/z2) + 2πki·= ln(z1) – ln(z2) + 2πni – 2πmi. (8.5.1) Это значит, что за счет k ·= n ± m ( n, m, k  Z ) каждое из значений левой части может быть представлено через сумму некоторых слагаемых правой части; наоборот, сумма двух любых слагаемых правой части дает одно из значений правой части. В частности, свойство (8.5) при z1 = z2 (z2≠ 0) приводит к нулю по правой части, но по левой части – к Ln(1) = ln1 + i·0 + 2πki = 2πki ( k  Z ), т.е. нуль в правой части может быть получен за счет любых n = m в (8.5.1) с одной стороны, но только при k = 0 – с другой. §9. Обратные тригонометрические функции. Функция ω = Ln(z) позволяет нам получить обратные тригонометрические функции Arccos(z), Arcsin(z), Arctg(z) и Arсctg(z). Для этого воспользуемся общим алгоритмом. 8 e iz  e iz 2 Так, из ω  cos( z )  ω e iz  e iz 2 извлечем функцию z  Arc cos(ω) . Для этого разрешим относительно z: ω    2ωe iz  1  0  e iz  ω  e iz  e iz  2ωe iz  e 2iz  1  e iz 2 2 ω 2 1 . Здесь надо иметь в виду, что квадратный корень из ω2 – 1 дает два противоположных значения, и поэтому записи  ω2  1 и  ω 2  1 эквивалентны. Далее, поскольку z = eω  ω = Ln(z), получаем iz = Ln( ω  ω2  1 ), т.е. 1 z  Arccos(ω)  Ln (ω  ω 2  1)  i  Ln (ω  ω 2  1) . i Наконец, проводя взаимную замену z ↔ ω, приходим к (9.1 Arccos(z)  i  Ln ( z  z 2  1) . Замену z ↔ ω можно делать изначально. Используем этот прием для получения функции ω  Arc sin( z) : z  sin ω    2 eiω  e iω  2izeiω  e 2iω  1  eiω  2ize iω  1  0  eiω  iz   z 2  1 , 2i что дает Arcsin(z)  i  Ln (iz  i z 2  1) . (9.2) 1 e 2iz  1 . Имеем: i e 2iz  1 Для получения ω = Arctg(z) возьмем, из (6.9), tg ( z )   1 e 2iω  1 1  iz i  z . z  tg (ω)    ize2iω  iz  e 2iω  1  e 2iω   i e 2iω  1 1  iz i  z 1 iz Следовательно, ω = Arctg(z) = Ln . С учетом формулы (9.2) можно записать: 2i iz 1 iz 1 1  iz 1 iz i iz  Ln   Ln  Ln Arctg(z) = Ln . (9.3) 2i i  z 2i 1  iz 2i iz 2 iz Аналогично, для ctg( z )  i  z  ctg (ω)  i  e 2iω  1 e 2iω  1 e 2iz  1 e 2iz  1 имеем:  ze 2iω  z  ie 2iω  i  e 2iω  Arсctg(z) = z i , что дает: z i 1 z i 1 z i i z i Ln   Ln  Ln . 2i z i 2i z i 2 z i (9.4) Обратные гиперболические функции находим таким же образом. Получаем: – из z  ch(ω)  e ω  e ω 2   2 : eω  2 zeω  1  0  eω  z  z 2  1 ,т.е. ω  Arch(z)  Ln ( z  z 2  1) ; – из z  sh (ω)  ω e e 2 ω (9.5)   2 : eω  2 ze ω  1  0  eω  z  z 2  1 ,т.е. ω  Arsh(z)  Ln ( z  z 2  1) ; – из z  th (ω)  e ω  e ω ω e e ω  e 2ω  1 e 2ω 1 : ze2ω  z  e2ω  1  e2ω  (9.6) 1 z , т.е. 1 z 1 1 z ; ω  Arth(z)= Ln 2 1 z – из z  cth (ω)  e ω  e ω ω e e ω  e 2ω  1 e 2ω 1 : ze2ω  z  e2ω  1  e2ω  (9.7) z 1 , т.е. z 1 9 1 z 1 . ω  Arсth(z)= Ln 2 z 1 (9.8) §10. Предел и непрерывность функции комплексного переменного В §5 было указано, что функция ω = f(z) понимается как ω = u(x, y) + i·v(x, y). Это означает, что ее действительная Ref(z) = u(x,y) и мнимая Imf(z) = v(x,y) части являются функциями двух действительных переменных. Поэтому для любой точки z0 = x0 + iy0 из области определения функции ω = f(z) можно записать: ω0 = f(z0) = u(x0, y0) + i·v(x0, y0), а предел функции ω = f(z) при z → z0, если он существует, понимать как число а + bi, где А и В являются пределами составляющих u(x, y) и v(x, y) при не зависящих одно от другого условиях х → х0 и у → у0. Последнее говорит о том, что в силу независимости х и у стремление z к z0 происходит по произвольным траекториям, и таких траекторий – сколько угодно. Сама точка z0 может быть как конечной, так и бесконечной (бесконечно удаленной от начала координат; в таком случае пишут: z0 = ∞). Далее мы будем говорить о приращении Δz комплексного переменного z как о Δz = z – z0 = (х – х0) + i·(у – у0) = Δх + i·Δу, и понимать z → z0 как z – z0 = Δz → 0 + i·0. Если учесть, что z → z0  ǀ z – z0ǀ→ 0, где 0 теперь – уже действительное число, то корректнее всего вместо z → z0 писать ǀΔzǀ → 0. Учитывая все сказанное выше, можно дать следующее, аналогичное определению предела функции действительной переменной, определение: если для любого [сколь угодно малого] действительного числа ε > 0 найдется действительное число ρ = ρ(ε) > 0 такое, что (10.1) из 0 < |z – z0| < ρ следует |f(z) – А| < ε, то говорят, что lim f(z) = А = а + bi (или, других обозначениях, lim f(z) = А). z  z0 Δz  0 Функция α(z) такая, что lim α(z) = 0 (здесь 0 = 0 + i·0) называется бесконечно маz  z0 f(z) лой при условии z → z0 (в том числе и для z0 = ∞ – бесконечно удаленной точки). Поскольку для любого комплексного числа А имеем 0 = ǀ0= ǀA – Aǀ < ε для любых положительных ε и ρ, то, согласно определению (10.1), это означает: предел постоянной равен самой постоянной: lim А  А . z  z0 В определении (10.1) неравенство |f(z) – А| < ε можно записать как |(f(z) – А) – 0| < ε, а это означает, что lim [f(z) – А] = 0, т.е. что f(z) – А является БМФ (бесконечно малой z  z0 функцией): f(z) – А = α(z)  f(z) = А + α(z), где α(z): lim α(z) = 0. z  z0 (10.2) Равносильность проведенных преобразований позволяет сформулировать необходимое и достаточное условие (НДУ) существования предела функции комплексного переменного: для того, чтобы f(z) при z → z0 имела пределом число А ≠ ∞, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было представить в виде суммы этого числа и некоторой функции, являющейся бесконечно малой при том же условии z → z0. Итак, lim f(z) = А  lim [f(z) – А] = 0 + i·0  z  z0 z  z0 lim z  z0 0 ǀf(z) – Аǀ = 0. Кроме того, легко установить, что lim z  z0  lim u ( x, y )  a   x  x0  x  0,  , где условие z → z0     z  0   lim v( x, y )  b  y  y 0  y  0 .   z  z 0  f(z) = А = а + bi   z  z 0 10 Наконец, lim z  z0 0 f ( z )  (a  bi)  0  A lim z  0 [u ( x, y )  a]2  [v( x, y )  b]2  0 . Все свойства пределов, характерные для функции действительной переменной, переносятся и на предел функции комплексного переменного. Это касается предела линейной комбинации конечного числа функций, предела произведения конечного числа функций, предела частного. Непрерывность функции комплексного переменного. Начнем с определения, аналогичного принятому для функции действительной переменной: функция ω = f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) называется непрерывной в точке z = z0= x0 + iy0, если lim f(z) = f(z0). (10.3) z  z0 Здесь нужно иметь в виду, что функция должна быть определена как в достаточно малой окрестности точки z0, так и в самой этой точке; предел функции в этой точке должен существовать и быть равным значению функции в этой точке. Очевидно, что непрерывность функции f(z) = u(x,y) + i·v(x,y) в точке z0 = x0 + iy0 эквивалентна непрерывности функций u(x,y) и v(x,y) в точке (x0,y0). Из (10.3) и (10.2) следует, что lim [f(z) – f(z0)] = 0  lim Δf = 0, где Δf = f(z) – f(z0) z  z0 z  0 есть приращение функции. Это приводит к НДУ непрерывности функции в точке: для того, чтобы функция f(z) была непрерывной в точке z0, необходимо и достаточно, чтобы бесконечно малому приращению функции соответствовало бесконечно малое приращение аргумента, а бесконечно малому приращению аргумента – бесконечно малое приращение функции. Сумма, разность, произведение непрерывных в точке функций тоже есть функция, непрерывная в этой точке. Это же относится и к частному функций в точках z0 таких, где f(z0) ≠ 0. Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Все рассмотренные в §6 и §8 функции являются непрерывными на областях их определения. 11