Теория электрической связи. Классификация электрических цепей. Фазовая модуляция

Министерство Российской Федерации по связи и информатизации Московский технический университет связи и информатики Центр дистанционного образования Теория электрической связи Конспект лекций. Часть 1. Кафедра теории электрической связи Разработчик: кандидат технических наук, доцент кафедры ТЭС МТУСИ Сухоруков Александр Сергеевич Москва 2000 Оглавление Инструкция по использованию студентами информационной базы учебной дисциплины Теория электрической связи (часть1)……4 Методика итогового компьютерного контроля…………………….6 Предисловие………………………………………………………………8 1.Обобщённая структурная схема системы связи……………………...8 2.Разложение сигналов в ряд по ортогональным функциям …………10 2.1.Общие положения………………………………………...……….10 2.2. Ряд Фурье………………………………………………...……..…11 3.Теорема Котельникова. ……………………………………...………..13 3.1. Разложение непрепрывных сигналов в ряд Котельникова...…...13 3.2. Спектр дискретизированного сигнала. ……………………...…..16 3.2. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности ……….….18 3.3.Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов. …………...19 3.4. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов ……… …………………………….….20 4.Классификация электрических цепей ……………………………….22 5. Аппроксимация характеристик. ……………………………………..23 5.1.Общие положения………………………………………………….23 5.2. Аппроксимация полиномом. ………………………………….…24 5.3. Линейно-ломаная аппроксимация. ……………………………...24 6. Методы расчёта спектра тока на выходе НЭЦ. ………………….…25 6.1.Расчёт амплитуд гармоник методом угла отсечки.. ………….25 6.2. Расчёт амплитуд гармоник методом кратных дуг………….…27 6.3. Расчёт амплитуд гармоник методом 3-х и 5-и ординат………29 7. Амплитудная модуляция (АМ). …………………………………….30 7.1.Временная и спектральная диаграммы сигнала АМ………….30 7.2. Амплитудный модулятор. ……………………………………...32 7.3.Статическая модуляционная характеристика(СМХ)…………..33 7.4. Энергетические показатели АМ. ………………………………36 7.5. Балансная АМ (БАМ) ……………………………………….….37 7.6. Однополосная модуляция (ОМ) ……………………………….37 8.Детектирование (демодуляция) сигналов АМ……………………...38 8.1.Диодный детектор сигналов АМ………………………………..38 8.2.Квадратичный детектор. .……………………………………….39 8.3. Линейный детектор. ………………………………………….…41 8.4.Статическая характеристика детектора (СХД) …………….….42 9.Частотная модуляция (ЧМ). ………………………………………..43 9.1. Временная и спектральная диаграммы сигнала ЧМ………..43 9.2. Формирование ЧМ сигнала. ………………………………….45 9.3.Статическая модуляционная характеристика (СМХ)………..46 9.4. Детектирование сигналов ЧМ. ……………………………….47 10.Фазовая модуляция (ФМ). ………………………………………...49 10.1. Сравнение ФМ и ЧМ………………………………………....49 10.2.Фазовый (синхронный ) детектор (ФД). …………………….51 11. Случайные процессы. ……………………………………………..52 11.1. Характеристики случайных процессов……………………..52 11.2. Нормальный случайный процесс( гауссов процесс)…….....54 11.3. ФПВ и ФРВ для гармонического колебания со случайной начальной фазой. ………………………………..56 11.4.ФПВ для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой…………………………………………….…57 11.5. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса…58 11.6.ФПВ и ФРВ для дискретных случайных процессов……....59 11.7. Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса. ………………………………………...61 11.8. ФПВ процесса на выходе идеализированного ограничителя. ………………………………………………….64 11.9. ФПВ процесса на выходе идеального ограничителя………65 11.10. Линейные (инерционные) преобразования случайного процесса. ……………………………………………………...66 12. Функция корреляции………………………………………..…….67 13. Энергетический спектр. ……………………………………….....68 14. Соотношение Винера - Хинчина и его применение для решения задач…..…………………………69 15. Модели непрерывных каналов связи……………………………72 16. Введение в теорию цифровой фильтрации……………………..73 Заключение……………………………………………………………74 Список рекомендуемой литературы………………………………..74 Инструкция по использованию студентами информационной базы учебной дисциплины "Теория электрической связи"(ч.1) 1. По первой части курса Теория электрической связи (ТЭС) предусмотрены следующие формы отчетности: • контрольная работа; • лабораторный практикум со сдачей зачета по каждой работе. - экзамен. 2. Информационная база дисциплины ТЭС содержит следующие составляющие: • самодостаточный конспект лекций, содержащий вопросы для контроля усвоения курса; • задание на контрольную работу, методические указания по контрольной работе и по первой части курса; • лабораторный практикум для выполнения лабораторных работ на персональном компьютере; • методику итогового компьютерного контроля; • инструкцию по использованию студентом информационной базы. 3. Кафедра рекомендует студентам следующий порядок работы с учебными материалами: • ознакомиться с настоящей "Инструкцией"; • прочитать конспект лекций и изучить его, понять основные термины, идеи и проблемы курса; • основательно проработать по конспекту лекций разделы курса "Амплитудная модуляция", "Детектирование сигналов АМ" и проработать описания лабораторных работ №3 "Формирование сигнала амплитудной модуляции" и №4 "Детектирование сигналов амплитудной модуляции" ; • выполнить лабораторную работу №3 ПК "Формирование и детектирование сигналов амплитудной модуляции". Работа выполняется студентом в Пункте Дистанционного Обучения (ПДО) под руководством тьютора , либо по месту работы (месту жительства) ; • для выполнения работы вставить дискету с программой в дисковод, выполнить инсталляцию программы LABBENCH VER.2.0, пустить файл "start.exe", • если программа установлена, то выбрать ИНФОРМПРОЕКТ в программах, далее выбрать LABBENCH PRO, войти в лабораторию, кликнув на дверь, выбрать "лабораторный практикум" и "лабораторную работу №3пк", • получить допуск, ответив на 5 вопросов (в случае необходимости, можно поработать с Методическими Указаниями) ; • следуя указаниям на экране монитора и методическим указаниям выполнить работу; • оформить отчет по работе и защитить ее; • основательно проработать раздел конспекта лекций "Частотная модуляция" и описание лабораторной работы №29м "Формирование и детектирование сигналов ЧМ", стараясь ответить на все контрольные вопросы ; • выполнить домашнее задание к работе №29м (номер варианта совпадает с последней цифрой номера студенческого билета); • выполнить лабораторную работу №29пк - "Формирование и детектирование сигналов ЧМ" в ПДО под руководством тьютера, либо на индивидуальном рабочем месте; • порядок запуска программы аналогичен описанному выше, но для выполнения следует выбрать лабораторную работу №29пк; • следуя указаниям на экране монитора и методическим указаниям описания, выполнить лабораторную работу №29пк; - оформить отчет и защитить работу; • оформить итоговый зачет по лабораторному практикуму; • внимательно проработать задание на контрольную работу и, в соответствии с методическими указаниями, проработать соответствующие разделы учебника (конспекта) и выполнять последовательно все пункты курсовой работы ( о консультациях см. ниже); • выполненную курсовую работу сдать в ПДО для проверки ее тьютором или в Центр ДО для ее проверки преподавателем ЦДО МТУСИ; • после получения "зачета" по курсовой работе и лабораторному практикуму записаться в ПДО на экзамен по курсу ТЭС. 4. Для выяснения всех организационных и учебных вопросов студенты, обучающиеся по дистанционной технологии, могут использовать все телекоммуникационные возможности ПДО и ЦДО МТУСИ. Расписание консультаций - прилагается. Методика итогового компьютерного контроля Учебные занятия проводятся по дистанционной технологии обучения, которая не требует отвлечения слушателя от исполнения им его служебных обязанностей. При обучении по дистанционной технологии слушателю не нужно выезжать в Центр Дистанционного Обучения. Слушатель повышает свою квалификацию прямо на своем рабочем месте или по месту жительства. Порядок проведения занятий. 1.Порядок получения учебной информации. Студенты могут через Internet получить необходимые учебные материалы: • раздел конспекта лекций; • текст контрольного задания, • контролирующие тесты, • расписание консультаций и методические рекомендации. Для этого надо войти на сайт МТУСИ: http://ipk.mtuci2.ru На сайте выбрать позицию "Дистанционное Обучение". На открывшейся странице выбрать позицию "Посмотреть проект ДО". На открывшейся странице увидим два окна: слева - "меню", справа - " просмотр". Выбрать правое окно и в режиме "просмотр" выбрать пункт "библиотека". В правом окне увидим название лекции, контрольного задания, теста и т.п., а также две кнопки : "ВОЙТИ" и "СКАЧАТЬ ФАЙЛ". Выбрать кнопку "СКАЧАТЬ ФАЙЛ" , ввести логин и пароль. При этом Ваш компьютер должен иметь программное обеспечение Windows (версии 95 -98). 2.Порядок проведения компьютерного контроля и консультаций. Для проведения итогового компьютерного контроля (зачет, экзамен) , а также для проведения консультаций предполагается проведение сеансов связи через Интернет и сеансов видеоконференцсвязи по сети ISDN. Для проведения сеанса связи по сети Интернет надо войти в Info-city по адресу: moscow-infocity.mtuci2.ru/win/index2.htm. Затем выбрать кнопку chat. Во время связи рекомендуется: Разделы «Пароль» и «E-mail» не заполнять. Для студентов в разделе «Имя» вносится фамилия студента. Для лучшего отображения вопросов и ответов предлагается при общении в Chat закрепить за преподавателем красный цвет (red), за слушателями: белый (white), голубой (blue), желтый (yellow). При использовании видеоконференцсвязи по сети ISDN сеансы организуются по заранее согласованному расписанию (см. расписание сеансов). Видеоконференцсвязь позволяет вести диалог, практически не отличающийся от очной встречи. Для обмена графической информацией ( текст, формулы, графики и т.п.) следует использовать режим White Board . ПРЕДИСЛОВИЕ Курс Теория электрической связи (ТЭС) является теоретической базой, которая позволяет специалисту в области телекоммуникаций квалифицированно эксплуатировать современные телекоммуникационные системы, уверенно ориентироваться среди множества устройств и систем связи, представленных на рынке, четко представлять их сильные и слабые стороны, пути их совершенствования. Данный конспект представляет собой сокращенное и частично адаптированное к технологии дистанционного обучения изложение первой части курса ТЭС, посвященной изучению аналоговых систем связи. Содержание первой части курса ТЭС составляют следующие вопросы: - общие сведения о системах электросвязи; • математические модели сообщений, сигналов и помех; • основы теории модуляции и детектирования; • случайные процессы , • модели непрерывных каналов, • введение в теорию цифровой фильтрации. 1.Обобщённая структурная схема системы связи. Система связи - это совокупность технических устройств, которые позволяют передать сообщение от источника к получателю. Сообщения - это совокупность сведений об окружающих нас предметах, явлениях. Сообщения могут быть звуковыми (речь, музыка), световыми (изображения неподвижных и подвижных объектов), текстовыми (буквенно-цифровые сообщения) . Обобщенная структурная схема системы связи (рис.1.1) отражает наиболее типичные преобразования, которым подвергается сообщение в системе связи, она справедлива для любых видов сообщений. Рассмотрим назначение основных блоков системы связи. Источник кодер модулятор выходное линия сообщения устройство связи генератор несущей входное демодулятор декодер получатель устройство сообщения Рис.1.1 Источник информации – источник сообщения подлежащего передаче (человек, окружающая среда и т.п.). Сообщение - речь, музыка, текст, изображение, параметры некоторых объектов и т.п. Кодер – а) преобразует неэлектрическое сообщение в электрический сигнал ( сигнал - это электрическая копия сообщения). б) преобразует аналоговый (непрерывный) сигнал в дискретный (цифровой ); в) осуществляет эффективное кодирование с целью уменьшения необходимой скорости передачи информации при заданном качестве (устранение избыточности сообщения); г) осуществляет помехоустойчивое кодирование, позволяющее улучшить качество принимаемого сообщения. Генератор несущий – генерирует колебания с постоянной амплитудой, частотой, фазой. Модулятор – изменяет амплитуду, частоту или фазу переносчика в соответствие с модулирующим сигналом, поступающим от кодера. Выходное устройство – усиливает сигнал, для обеспечения заданного качества связи и ограничивает спектр излучаемого сигнала до полосы частот, отведённой для заданной системы связи. Кодер, модулятор, генератор несущей и выходное устройство образуют передатчик. Линия связи – совокупность технических устройств (кабель, двухпроводная линия, оптическая линия связи ) или эфир, по которым сигнал поступает от пере датчика к приёмнику.Напряжение на входе приёмника можно записать как: - напряжение на входе приёмника. - мультипликативная помеха (это переменный коэффициент передачи линии связи). - напряжение на выходе передатчика. - аддитивная помеха (тепловой шум, помеха от соседних передатчиков, помехи от различных технических устройств и т.п.). Входное устройство - выделяет сигнал своего передатчика, отфильтровывает (не пропускает) сигналы соседних по частоте передатчиков и часть помех , усиливает сигнал. Демодулятор – преобразует ВЧ модулированный сигнал в НЧ модулирующий ( сигнал на выходе демодулятора, примерно, соответствует тому, что было на входе модулятора). Декодер – а) принимает решение по каждой посылке(1 или 0), б) декодирует кодовые комбинации , исправляет часть ошибок, г) преобразует кодовые комбинации в сообщения удобные для получателя. Получатель сообщения - человек, компьютер или другие технические устройства. Входное устройство, демодулятор и декодер образуют приемник. КОДЕР + ДЕКОДЕР = КОДЕК МОДУЛЯТОР + ДЕМОДУЛЯТОР = МОДЕМ КОДЕР+МОДУЛЯТОР+ДЕКОДЕР+ДЕМОДУЛЯТОР=КОДЕМ Вопросы для самопроверки. 1. Какие блоки входят в состав обобщенной структурной схемы системы связи? 2. Какие блоки входят в состав передатчика? 3. Какие блоки входят в состав приемника? 4. Укажите назначение основных блоков структурной схемы? 2.Разложение сигналов в ряд по ортогональным функциям. 2.1. Общие положения Для исследования различных свойств сообщений, сигналов и помех удобно использовать разложение этих процессов в ряды. Любой процесс (с некоторыми математическими ограничениями ) можно представить в виде ряда: k(t) - ортогональные функции, т.е.: (2.1) Ck - коэффициенты разложения, Еk - энергия ортогональных функций. 2.2. Ряд Фурье. Если выбрать в качестве ортогональных функций: то этот ряд (2.1) называется рядом Фурье. (2.2) ; - частота первой гармоники, определяемая периодом T ( T- период функции x(t) ). Разложение сигнала в ряд Фурье называется спектром сигнала. Спектр периодического сигнала – дискретный. Спектр непрерывного сигнала – сплошной и определяется интег- ралом Фурье: - S(j) =  x(t) e -jt dt (2.3) -  Шириной спектра сигнала Пэ называется полоса частот, в пределах которой заключена основная доля энергии сигнала. В качестве примера рассчитаем спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов c амплитудой А: x(t) А . . . . Рис.2.1  T t Определим коэффициенты разложения в ряд Фурье Cк : /2 bk = 2/Т  A sin kt dt = 0, т.к. подинтегральная функция - нечетная. -/2 Пусть Т = 2, тогда коэффициенты ak равны: a0 = А, ak = 2А/ k (sin k/2), при к > 0. Итак, временная диаграмма периодической последовательности импульсов показана на рис.2.1. Спектр этой последовательности показан на рис.2.2. ak 2A/ A/2 2A/3 Рис.2.2. . . 0  2 3 4  Ширина спектра сигнала равна, в данном случае, Пэ =2/. Спектр непериодического сигнала ( спектральная плотность) , как уже сказано выше, может быть получен с помощью интеграла Фурье. Для одиночного прямоугольного импульса с амплитудой А и длительностью  на рис.2.3 получим спектр S(j) на рис.2.4 : S(j) x(t) А  t 0  2/ 4/ Рис.2.3. Рис.2.4. Спектр непериодического сигнала сплошной, бесконечный, ширина спектра определяется длительностью сигнала и, ориентировочно, равна Пэ =2/. Вопросы для самопроверки 1. Какие функции называются ортогональными? 2. Запишите ряд Фурье в общем виде. 3. Что такое спектр сигнала? 4. Запишите выражение для спектра периодического сигнала. 5. Рассчитайте амплитуды гармонических составляющих для периодической последовательности прямоугольных импульсов. 6. Что такое ширина спектра сигнала? 7. Чему равна ширина спектра последовательности импульсов? 8. Запишите выражение для спектра непериодического сигнала. 9. Рассчитайте и постройте спектр одиночного прямоугольного импульса. 10. Какие параметры сигнала влияют на ширину спектра и на частоту гармонических составляющих спектра? 3.Теорема Котельникова. 3.1.Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова Телекоммуникационные сигналы делятся на непрерывные и дискретные. Непрерывные сигналы (функции) могут принимать любые , сколь угодно близкие друг к другу значения, в любые моменты времени. Примером непрерывного сигнала является гармоническое колебание. Дискретные (цифровые) сигналы могут принимать только заранее известные значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину, причем изменяться эти значения могут только в определенные моменты времени. Примером дискретного сигнала является (см. рис.2.1 ) периодическая последовательность прямоугольных импульсов, которая в моменты времени ( -/2 +кТ ) принимает значения или 0, или А. Любая непрерывная функция, спектр которой не содержит частот выше , полностью определяется своими отсчетами, взятыми через интервал времени . ( Теорема Котельникова) Временные диаграммы непрерывного сигнала x(t) и дискретизированного x д(t) имеют вид: x(t) t 0 t 2t 3t 4t Рис. 3.1 xд(t) 0 t 2t 3t 4t t Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал x(t), достаточно передавать отсчёты x(kt). Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда: (3.1) Ряд Котельникова – это разложение сигнала в ряд по ортого- нальным функциям . (3.2) Теоретически дискретизация осуществляется с помощью -импульсов . Временная диаграмма одиночного - импульса имеет вид: u(t) (t-a) Рис. 3.2 0 a t Спектр одиночного - импульса получим, используя преобразование Фурье: Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций: Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид: S(j) 1 Рис. 3.3  Чтобы получить отсчёты функции перемножим функцию на периодическую последовательность - импульсов с периодом Т=t. Временная диаграмма периодической последовательности дельта-импульсов имеет вид: u(t) (t+4t) (t+3t) (t+2t) (t+t) (t) (t-t) (t-2t) (t-3t) . . . . . . . -4t -3t -2t -t 0 t 2t 3t 4t t Рис.3.4 Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным. (3.3) ; Т = t ; -частота дискретизации. Спектр периодической последовательности - импульсов в соответствии с формулой для U(t) имеет следующий вид : S(j) 1/t Рис.3.5 . . . . . . . . . . . t --3д -2д -д 0 д 2д 3 д  3.2. Спектр дискретизированного сигнала. Рассмотрим временные диаграммы исходного и дискретизированного сигналов: x(t) t 0 t 2t 3t 4t Рис. 3.6 xд(t) 0 t 2t 3t 4t t - дискретизированный сигнал - исходный сигнал. -периодическая последовательность - импульсов Разложим периодическую последовательность -импульсов в ряд Фурье, как мы это делали выше: Найдём спектр дискретизированного сигнала. (3.4) Т.о. мы видим, что спектр дискретизированного сигнала содержит спектр исходного сигнала Sx(), спектр исходного сигнала смещенный на величину частоты дискретизации вправо Sx( - д), тот же спектр смещенный на величину частоты дискретизации влево Sx(+ д), тот же спектр смещенный на величину 2д и т.д. Спектр исходного непрерывного сигнала. Sx() Рис.3.8 -g g  Спектр дискретизированного сигнала:  Sд() Рис.3.9 ……….. ………… (-д - в) -  д - в 0 в д (д + в)  3.3. Спектр дискретизированного сигнала при дискретизации импульсами конечной длительности (сигнал амплитудно-импульсной модуляции или АИМ сигнал). Очевидно, что реально мы располагаем не последовательностью дельта-импульсов, а последовательностью импульсов конечной длительности. В результате процесса дискретизации мы получим не последовательность дельта-импульсов, амплитуда которых соответствует значению непрерывного сигнала в тактовые моменты времени, а последовательность реальных, например, прямоугольных импульсов, амплитуда которых соответствует значениям непрерывного сингнала в тактовые моменты времени. Рассмотрим временные диаграммы : x(t) аналоговый сигнал t U(t) периодическая последовательность импульсов t xаим(t) сигнал АИМ t 0 t 2t 3t 4t …… Рис.3.10. АИМ сигнал можно записать в виде: U(t)-периодическая последовательность импульсов. В квадратных скобках – ряд Фурье для последовательности импульсов конечной длительности. Спектр АИМ сигнала,следовательно, похож на спектр дискретизированного сигнала при дискретизации дельта -импульсами , но амплитуда составляющих спектра убывает с ростом номера гармоники : (3.5) Спектр АИМ сигнала в соответствии с формулой (3.5) принимает вид, показанный на рис.3.11.  Sд() -2д -  д - в 0 в д 2д  Рис.3.11 3.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов. В линию связи передаются импульсы-отсчёты, которые поступают на вход приёмника. Для восстановления исходного непрерывного сигнала из импульсов-отсчётов надо эти импульсы подать на вход идеального фильтра низких частот (ИФНЧ), который имеет следующие характеристики. Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ (АЧХ ИФНЧ) имеет вид: K() K - д 0 д  Рис.3.12 Импульсная реакция ИФНЧ, т.е. реакция на дельта-импульс имеет вид: gифнч (t) Рис. 3.13 t -3 t - 2t -t 0 t 2t 3t (3.6) Первая формула - это выражение для импульсной реакции ИФНЧ, вторая и третья формулы определяют моменты времени, для которых g ИФНЧ(t) обращается в ноль. Cо спектральной точки зрения мы пропускаем дискретизированный сигнал, имеющий спектр в соответствии с рис.3.9 или 3.11, через ИФНЧ с АЧХ рис.3.12. Очевидно, что на выходе ИФНЧ получим спектр: S()= K Sд() = K Sx() /t; или для АИМ сигнала получим: S()= KSд() = K a0Sx() /2. Таким образом, с точностью до постоянного множителя мы получили на выходе ИФНЧ спектр исходного сигнала x(t). С временной точки зрения мы получили исходный непрерывный сигнал x(t). 3.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов. Теорема Котельникова точно справедлива только для сигналов с финитным (конечным) спектром. На рис.3.14 показаны некоторые варианты финитных спектров: Sx() 3 2 1 0 в  Рис.3.14. Однако спектры реальных информационных сигналов бесконечны. В этом случае теорема Котельникова справедлива с погрешностью. Sx() 0 в  Рис.3.15. Погрешность дискретизации определяется энергией спектральных составляющих сигнала, лежащих за пределами частоты в. (3.7) Вторая причина возникновения погрешностей - неидеальность восстанавливающего ФНЧ. Т.о. погрешность дискретизации и восстановления непрерывного сигнала определяется следующими причинами: 1) Спектры реальных сигналов не финитны. 2) АЧХ реальных ФНЧ неидеальны. Например, если в качестве ФНЧ использовать RC- фильтр, то восстановленный сигнал на его выходе будет иметь вид: Рис.3.16. с учетом того, что импульсная реакция RC-фильтра равна: Вывод: чем выше и чем ближе характеристики ФНЧ к идеальным, тем ближе восстановленный сигнал к исходному. Вопросы для самопроверки. 1. Какие сигналы называются непрерывными? 2.Какие сигналы называются дискретными? 3. Сформулируйте теорему Котельникова. 4.Рассчитайте и постройте спектр дискретизированного сигнала. 5. Рассчитайте и постройте спектр сигнала АИМ. 6. Как восстановить непрерывный сигнал из отсчетов? 7. Чем определяются погрешности дискретизации и восстановления сигналов? 4.Классификация электрических цепей. Любая электрическая цепь описывается дифференциальным уравнением. (4.1) 1) Если =const , то это линейная электрическая цепь (ЛЭЦ). Она состоит из линейных элементов R,L,C. Рис.4.1 Для линейной цепи справедлив принцип суперпозиции: реакция на суммарное воздействие равна сумме реакций на каждое из воздействий в отдельности. Например: - характеристика ЛЭЦ ; В линейной цепи невозможно появление новых частот, не содержащихся во входном воздействии. 2) Если , то цепь называется нелинейной электрической цепью (НЭЦ) и состоит из нелинейных R(i), L(i),C(u). Рис.4.2 Для НЭЦ несправедлив принцип суперпозиции. Пусть НЭЦ описывается уравнением: В НЭЦ возникают новые частоты, не содержащиеся во входном воздействии. 3) Если , то цепь называется параметрической (ПЭЦ) и состоит из элементов, зависящих от времени : Рис.4.3 Для ПЭЦ: а) справедлив принцип суперпозиции. б) возможно появление новых частот. ПЭЦ конструируется на основе нелинейных элементов, на которые мы подаём напряжение, зависящее от времени. Вопросы для самопроверки. 1.Какая электрическая цепь называется линейной? 2.Какая электрическая цепь называется нелинейной? 3.Какая электрическая цепь называется параметрической? 4.Для каких цепей справедлив принцип суперпозиции? 5.В каких цепях появляются новые частоты? 5. Аппроксимация характеристик. 5.1.Общие положения Аппроксимация – замена истинной сложной характеристики более простым выражением. Аппроксимация состоит из 3-х этапов: 1) выбор аппроксимирующей функции. 2) определение коэффициента аппроксимации. 3) оценка точности аппроксимации. 5.2. Аппроксимация полиномом. В этом случае произвольная характеристика ( для определенности будем рассматривать вольт-амперную характеристику ВАХ )– аппроксимируется полиномом вида: (5.1) При этом виде аппроксимации обычно требуют совпадения заданной и аппроксимирующей характеристик в нескольких выбранных точках (см. рис.5.1) i i з (u) i(u) 3 2 Рис.5.1 1 u - заданная ВАХ. - аппроксимирующая ВАХ. и должны совпадать в заданных точках (1,2 и 3). (5.2) Составим уравнения для определения . (5.3) Отсюда определяем . Размерность аk, если : , то a0[mA], a1[mA/B], a2[mA/B2]. 5.3. Линейно-ломаная аппроксимация. При этом виде аппроксимации заданная характеристика iз(u) аппроксимируется отрезками прямых (рис.5.2) : (5.4) E0 -напряжение отсечки i i1 iз(u)  Е0 u1 u Рис.5.2 Вопросы для самопроверки. 1.Что такое аппроксимация? 2.Какие виды аппроксимации Вы знаете? 3.Что такое аппроксимация полиномом? 4.Аппроксимируйте произвольную ВАХ полиномом. 5. Аппроксимируйте произвольную ВАХ отрезками прямых. 6. Методы расчёта спектра тока на выходе НЭЦ. 6.1. Метод угла отсечки. Ток на выходе нелинейного элемента имеет вид импульсов при входном гармоническом воздействии (рис.6.1). Углом отсечки называется половина части периода, выраженная в градусах, в течение которого протекает выходной ток (рис.6.2). i i(t) Imax E E0 u t  2 Um t Рис.6.1 i  =180 i  =90 i <90 t t t i i >90  = 0 t t Рис.6.2. На рис. 6.1 на входе нелинейного элемента (НЭ) действует гармоническое напряжение с частотой 0 и амплитудой Um. Напряжение смещения Е задает рабочую точку на ВАХ . Ток на выходе НЭ имеет вид импульсов с амплитудой Imax. Периодическую последовательность импульсов iвых (t) представим рядом Фурье: (6.1) Порядок расчета амплитуд гармоник Ik методом угла отсечки следующий: 1) Определяем i 2) Рссчитываем : (правая ВАХ) u i (левая ВАХ) u 3) определяем амплитуду n-ой гармоники. - коэффициенты Берга (определяем по графикам в учебнике[1]). Коэффициент гармоник характеризует относительный уровень нелинейных искажений гармонического сигнала и рассчитывается по формуле: (6.2) Спектр входного напряжения. u Um 0 0  Рис.6.3 Спектр выходного тока. i …… Рис.6.4. 0 0 20 30 40  Угол отсечки - называется оптимальным, если амплитуда n-ой гармоники будет максимальной. Если = const, то (например, - максимальна, если ) Если Um= const, то (например, I4 - максимальна при =450) 6.2. Расчёт амплитуд гармоник методом кратных дуг. Для определения амплитуд гармоник по этому методу необходимо аппроксимировать ВАХ нелинейного элемента полиномом и подставить в полином входное гармоническое напряжение: и, в соответствии с методом кратных дуг, представить степени косинусов и синусов в виде соответствующих функций кратных аргументов: Очевидно, что спектральные диаграммы входного напряжения и выходного тока будут аналогичны построенным выше на рис.6.3 и 6.4. Рассмотрим бигармоническое воздействие. В этом случае входное напряжение равно сумме двух гармонических колебаний с разными частотами 1 и 2: (6.3) Подставим в полином: В квадратных скобках стоят колебания комбинационных частот. Общая формула для вычисления комбинационных частот: (6.4) В соответствии с выражением для входного напряжения построим спектр: Спектр входного напряжения. u Рис.6.5. 0 1 2  В соответствии с полученным выражением для выходного тока построим его спектр: Спектр выходного тока. i Рис.6.6. 0 1 21 2 2 2  2- 1 2+ 1 6.3. Расчёт амплитуд гармоник методом 3-х и 5-и ординат. imax i0 imin Рис.6.7. E u t Метод 3-х ординат. Метод 3-х ординат позволяет определить амплитуды постоянной составляющей, первой и второй гармоник: (6.4) Метод 5-и ординат аналогичен методу 3-х ординат (смотри в учебнике [1]). Вопросы для самопроверки. 1.Что такое угол отсечки? 2.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе нелинейного элемента (НЭ) методом угла отсечки. 3.Что такое оптимальный угол отсечки? 4.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе НЭ методом кратных дуг. 5.Укажите порядок расчета спектра тока на выходе НЭ методом 3-х ординат. 6.Постройте спектр тока на выходе нелинейного элемента и поясните, как определить амплитуды гармоник тока различными способами. 7. Что такое комбинационные частоты ? 7.Амплитудная модуляция (АМ). 7.1.Временная и спектральная диаграммы сигнала АМ При АМ амплитуда несущего ВЧ колебания изменяется в соответствии с модулирующим НЧ сигналом. (7.1) Um - средняя амплитуда АМ сигнала. - глубина (коэффициент) АМ. Если модулирующий сигнал гармонический: - модулирующая, низкая частота, - несущая, высокая частота, то АМ сигнал принимает вид: (7.2) Временная диаграмма НЧ сигнала: Uнч(t) Рис.7.1 t Временная диаграмма модулированного сигнала АМ: uАМ (t) U Um t Рис.7.2 В соответствии с временной диаграммой глубина амплитудной модуляции равна: МA=U/Um. (7.3) . Определим спектр АМ сигнала, для чего раскроем скобки в выражении для АМ и представим произведение косинусов в виде косинуса суммы и разности углов: (7.4) Спектр модулирующего сигнала . U Рис.7.3   Спектр АМ сигнала. u Um несущая нижняя MAUm MAUm верхняя боковая 2 2 боковая 0- 0 0+  Рис.7.4 - ширина спектра сигнала АМ – полоса частот, в пределах которой заключена основная доля энергии сигнала. (7.5) Боковые имеют высоту (амплитуду) не более половины несущей. 7.2. Амплитудный модулятор. Схема базового амплитудного модулятора имеет вид: C L Uнч(t) UАМ(t) Uвч(t) Рис.7.5. E Ek На входе 3 напряжения: 1. - модулирующее напряжение. 2. - несущее напряжение. 3. - напряжение смещения. (7.6) Транзистор – нелинейный элемент. Он преобразует спектр входного процесса, чтобы получить нужные нам частоты (несущую и 2 боковых) LC-контур (линейная электрическая цепь) выделяет нужные частоты. Определим спектр тока на выходе транзистора, если ВАХ транзистора аппроксимируется полиномом второй степени. Построим спектр входного напряжения: Uвх Um E Vm Рис.7.6. 0  0  В соответствии с расчетом построим и спектр тока i через транзистор: i Рис.7.7. 0  2 0- 0 0+ 20  Резонансный контур настроен на и выделяет частоты . Сопротивление резонансного контура имеет вид: (7.7) АЧХ контура показана на рис.7.7 пунктиром. На контуре выделяются токи с частотами . Для каждой из этих частот резонансный контур имеет свое сопротивление. Умножив амплитуду соответствующей составляющей тока на сопротивление контура для этой частоты , получим амплитуду составляющей напряжения на контуре. В целом, мы получим на контуре АМ сигнол: 1-ое слагаемое – несущая частота АМ сигнала. 2-ое слагаемое – боковые частоты АМ сигнала. Спектр напряжения на контуре представляет собой спектр АМ сигнала, рассмотренный нами выше. 7.3.Статическая модуляционная характеристика (СМХ). СМХ –это зависимость амплитуды 1-ой гармоники выходного тока I1 модулятора от напряжения смещения E при амплитуде вч несущей Um=const и амплитуде нч модулирующего сигнала Vm = 0. Расчет СМХ методом угла отсечки. 1.Аппроксимируем ВАХ отрезками прямых. S<0; i E0 u Рис.7.8. 2. Определяем пределы изменения смещения E. Um – амплитуда несущей. 3. Задаёмся напряжением смещения Е/. 4. Определяем угол отсечки: 5. Определяем амплитуду первой гармоники: , где 1()-коэффициент Берга (см. учебник[1]) 6.Возвращаемся в пункт 3 и т.д. Стандартный вид СМХ показан на рис. 7.9. Рассмотрим выбор рабочего режима по СМХ. I1 I1 I1max рт I10 I1min Emax Eрт Emin E t Рис.7.9. uнч t 1. Выбираем линейный участок (на глаз). 2. Определяем Еmin , Emax , Imax , Imin . 3. Выбираем рабочую точку в середине линейного участка Р.Т.(I10;ЕР. Т.) 4. Определяем максимальную амплитуду модулирующего сигнала для неискажённой модуляции: 5. Определяем максимальную глубину амплитудной модуля- ции для неискажённых АМ: Рассмотрим спектры АМ сигналов при более сложных модулирующих сигналах. Для простейшего случая , когда модулирующий сигнал представляет собой моногармоническое колебание, спектр модулирующего сигнала показан на рис.7.3 и спектр АМ сигнала на рис.7.4. Пусть модулирующий сигнал содержит две частоты 1 и 2. Если спектр модулирующего сигнала более сложный, то усложняется спектр АМ сигнала: он содержит спектр модулирующего сигнала, перенесённый на частоту , несущую частоту и зеркальное отражение спектра модулирующего сигнала относительно несущей. Спектр модулирующего сигнала. U Рис.7.10. 1 2  Спектр АМ сигнала. u Um Рис.7.11. 0-1 0 0+1  0-2 0+2 В этом случае, ширина спектра АМ сигнала равна удвоенной максимальной модулирующей частоте : Если спектр модулирующего сигнала будет сплошным в некоторой полосе частот: U Рис.7.12. 1 2  то спектр АМ сигнала также будет иметь верхнюю и нижнюю боковые полосы частот , и тоже сплошные: u Um Рис.7.13. 0-1 0 0+1  0-2 0+2 7.4. Энергетические показатели АМ. Определим среднюю мощность АМ сигнала на сопротивление R за большой интервал времени: Все слагаемые, содержащие после интегрирования и усреднения по времени уничтожаются, так что остаются два слагаемых: (7.8) 1-ое слагаемое – мощность несущей, 2-ое слагаемое – мощность боковых. При амплитудной модуляции мощность боковых, которые переносят полезную информацию даже при МА=1 составляют, только 1/3 средней мощности передатчика. 2/3 мощности передатчика тратится на излучение несущей, которая не несёт информацию. Т.е АМ имеет плохие энергетические показатели. Поэтому используется более эффективные виды модуляции. 7.5. Балансная АМ (БАМ) При БАМ не передают несущей частоты. Спектр БАМ при гармонической модуляции имеет вид: u Рис.7.14. 0-1 0 0+1  7.6.Однополосная модуляция (ОМ) Так как верхняя и нижняя боковые одинаковые, то можно передавать только одну боковую, однако, для детектирования сигнала ОМ на приеме необходимо точно восстановить несущую частоту, поэтому надо передавать кусочек несущей – “пилот-сигнал” .Спектр сигнала ОМ имеет сдедующий вид при гармонической модуляции : u пилот-сигнал Рис.7.15. 0- 0  Преимущества ОМ: 1. Вся мощность передатчика тратится на передачу информации. 2. Ширина спектра ОМ равна : , т.е. в 2 раза меньше, чем ширина спектра АМ или БАМ . Недостатки ОМ: 1.Усложнение схемы приемников, т.к. надо восстанавливать несущую. 2.Необходимо передавать пилот-сигнал. Вопросы для самопроверки. 1.Запишите аналитическое выражение для АМ сигнала. 2.Нарисуйте временную диаграмму АМ сигнала при гармонической модуляции и при произвольном модулирующем сигнале. 3.Нарисуйте спектр АМ сигнала при гармонической модуляции и при произвольном спектре модулирующего сигнала. 4.Что такое глубина модуляции ? 5.Нарисуйте принципиальную схему амплитудного модулятора. 6. Рассчитайте спектр тока на выходе модулятора и спектр напряжения на контуре модулятора. 7. Что такое СМХ? 8. Каков порядок расчета СМХ методом угла отсечки и методом кратных дуг. 9.Каков порядок выбора рабочего участка по СМХ и порядок определения параметров выходного АМ сингнала? 9.Каковы энергетические показатели АМ? 11. Что такое ОБП и ОМ и каковы их спектры? 8. Детектирование (демодуляция) сигналов АМ. 8.1.Диодный детектор сигналов АМ Детектор сигналов АМ предназначен для того, чтобы из ВЧ АМ сигнала получить НЧ модулирующий сигнал. Схема простейшего амплитудного диодного детектора показана на рис.8.1. Д   uAM(t) R C uнч(t) Рис.8.1.   Назначение нелинейного элемента, диода – преобразование ВЧ АМ сигнала, его нелинейное преобразование с целью создания нужных нам низких, модулирующих частот. Назначение линейной цепи, т.е. RC фильтра нижних частот (ФНЧ), выделение низкой частоты, т.е. выделение спектра модулирующего сигнала. Вольамперная характеристика ВАХ диода показана на рис. 8.2. i Рис. 8.2. -A 0 A u 1. Для маленьких напряжений ВАХ диода хорошо аппроксимируется полиномом 2-ой степени (i=aU2), поэтому детектор для маленьких напряжений называется квадратичным. Рабочий участок ВАХ для квадратичного детектора А-А (рис.8.2). 2. Для больших напряжений ВАХ диода аппроксимируется отрезками прямых (линейно-ломанная аппроксимация). Для сигналов с большой амплитудой детектор называется "линейным". i заданная ВАХ аппроксимирующая ВАХ  Рис.8.3. Б Б u Рабочий участок Б-Б не линейный, а линейно-ломанный. 8.2.Квадратичный детектор. Как мы уже говорили, в этом случае ВАХ диода аппроксимируется полиномом второй степени и, следовательно, для определения спектра тока через диод используется метод "кратных дуг". На вход детектора подаем амплитудно-модулированный сигнал, т.е. выражение для АМ сигнала надо подставить в полином: i = aU2 = / Uвх(t)= Uам(t) = Um(1+Macos(t)cos(0t) / = =aU2m(1+Macos(t))2cos2(0t)=aU2m(1+2Macos(t)+ = (8.1) В соответствии с полученным выражением построим спектр тока через диод (см. рис.8.4): i Рис.8.4. 0  2 (20 - 2) 20 ( 20 +2)  (20 - ) ( 20 +) ФНЧ выделяет низкочастотные составляющие тока, т.к. его АЧХ, показанная пунктиром на рисунке 8.4 имеет вид: Следовательно, ФНЧ выделяет: • постоянную составляющую с частотой равной 0, • полезную составляющую с частотой модулирующего колебания  ,то есть: I= aUm2 MА , • вторую гармонику полезного сигнала с частотой 2, I2* = , которая определяет степень нелинейных искажений полезногосигнала. Постоянная составляющая легко отделяется разделительной емкостью, которая включается между выходом детектора и входом следующего каскада (обычно, это УНЧ) . При квадратичном детектировании кроме полезной составляющей с частотой  возникают нелинейные искажения полезного сигнала с частотой 2. Коэффициент нелинейных искажений равен: Кн.ч.= (8.2) Чем глубже, т.е. лучше модуляция, тем больше нелинейные искажения. 8.3. Линейный детектор. Для сильных сигналов с большой амплитудой ВАХ диода аппроксимируется отрезками прямых (см. рис.8.3). i =, где S=tg  Метод анализа : метод «угла отсечки». Ток через диод имеет вид импульсов, которые мы можем представить в виде ряда Фурье. Таким образом, ток через диод может быть записан в виде: i = Ik=Imax (t)k()= (8.4) Спектр тока через диод для режима "линейный детектор" показан на рис.8.5. i Рис.8.5. ……..  0  (0-) 0 (0+) (20-) 20 (20 +) Спектр тока содержит только полезную, модулирующую частоту  в низкочастотной области. При линейном детектировании отсутствуют нелинейные искажения полезного сигнала. ФНЧ отфильтровывает высокочастотные составляющие тока, ослабляет их в соответствии с сопротивлением RC цепи для разных частот: (8.5) Напряжения различных составляющих на выходе ФНЧ, соответственно , равны: U00 = SUm(1+cos)0()R - напряжение постоянной составляющей, - напряжение низкой, модулирующей частоты, - напряжение несущей частоты. Cпектр напряжения на выходе RC-цепочки имеет вид: u Рис.8.6. ……..  0  (0-) 0 (0+) (20-) 20 (20 +) Сравнение спектров рис.8.5 и 8.6 показывает, что ФНЧ заметно ослабляет несущую частоту по сравнению с низкой частотой, т.е. улучшает качество детектирования. 8.4.Статическая характеристика детектора (СХД) Статическая характеристика детектора - зависимость постоянной составляющей тока диода I0 от амплитуды входного ВЧ сигнала: I0 = f (Um) Получим выражение для СХД: а) для слабых сигналов i = aUm2 = ( Uвх= Umcos0t ) = aUm2cos20t = , следовательно б) для сильных сигналов I0 = SUm(1-cos)*0() (8.6) СХД имеет вид параболы для малых амплитуд и прямой линии для больших амплитуд: I0 Рис.8.7. 0 Um Вопросы для самопроверки. 1. Что такое квадратичный и линейный детектор? 2. Порядок расчета тока на выходе квадратичного детектора. 3. Порядок расчета тока на выходе линейного детектора. 4. Рассчитайте амплитуду спектральных составляющих напряжения на выходе детектора. 5. Нарисуйте принципиальную схему амплитудного детектора. 6. Каково назначение линейной и нелинейной цепей в детекторе? 7. Рассчитайте АЧХ фильтра нижних частот детектора. 8. Запишите неравенство для выбора постоянной времени ФНЧ. 9.Частотная модуляция (ЧМ). 9.1.Временная и спектральная диаграммы сигнала ЧМ При ЧМ частота ВЧ колебания (несущей) изменяется в соответствии с НЧ модулирующим сигналом. чм (t) = 0 + Uнч(t), где (9.1) чм (t)- частота ЧМ сигнала; 0- среднее значение несущей частоты; Uнч(t)-модулирующий сигнал; -девиация частоты, т.е. максимальное отклонение частоты от среднего значения. Если модулирующий сигнал гармонический, т.е. Uнч = cost, то чм(t) = 0 + соst а выражение для ЧМ сигнала имеет вид: чм(t) = Uчм(t) = Umcos(0t+ Mч - индекс ЧМ. (9.2) Uчм(t) = Umcos(0t+ Временная диаграмма модулирующего сигнала имеет вид: Uнч(t) Рис.9.1. t Временная диаграмма соответствующего ЧМ сигнала принимает вид: Uчм(t) Рис.9.2 t Как видно из рис.9.2, там, где модулирующий сигнал больше, там и частота ЧМ сигнала больше , а период колебаний меньше. чм(t) = 0 + cost max = 0 +  min = 0 -  Амплитуда при ЧМ постоянна, меняется только частота. Для получения спектра ЧМ сигнала разложим Uчм(t) в ряд Фурье. Uчм(t) = Umcos(0t+ = Um0(Mч)cos0t+ Um1(Mч)cos(0+)t- Um1(Mч)cos(0)t+Um2(Mч)cos(0+2)t+Um2(Mч)cos(02)t+Um3(Mч)*cos(0+3)t- Um3(Mч)cos(0-3)t+ k(Mч) - функция Бесселя к-ого порядка. Вид спектра зависит от Мч. Спектр ЧМ сигнала при Мч<<1 (т.е. порядка 0,1; 0,05;) u Um несущая нижняя MчUm MчUm верхняя боковая 2 2 боковая 0- 0 0+  Рис.9.3. При Мч<<1 спектр ЧМ сигнала похож на спектр АМ сигнала (несущая, 2 боковых ), но для ЧМ этот спектр приближенный. Все остальные боковые тоже есть, но они очень малы. Спектр ЧМ сигнала при Мч>1 выглядит так (Мч=5): U J4(Mч) J4(Mч) ) J3(Mч) J1(Mч) J1(Mч) J3(Mч) Рис.9.4. J5(Mч) J2(Mч) J0(Mч) J2(Mч) J5(Mч) J6(Mч) J6(Mч)  0-6 0-5 0-3 0- 0 0+ 0+3 0+5 0+6 0-4 0-2 0+2 0+4 Полоса частот сигнала ЧМ. Пчм  2(Мч+1) Мч<<1 Пчм  2, ( как при АМ ) Мч>>1 Пчм  2Мч = 22 Ширина спектра при Мч>>1 не зависит от модулирующей частоты. Это широкополосный сигнал. 9.2. Формирование ЧМ сигнала. ЧМ сигнал может быть получен с помощью частотного модулятора. Частотный модулятор состоит из автогенератора и элемента с помощью которого изменяется частота автогенерации. моду модулирующий сигнал Рис.9.5. Автогенератор - генератор с самовозбуждением, т.е. усилитель, охваченный цепью положительной обратной связи ( колебания с выхода поступают на вход, поддерживая возникшие колебания). Для LRC - генератора цепью обратной связи может быть катушка обратной связи. Элементом, управляющим частотой генератора, в этом случае является варикап (емкость p-n перехода, которая зависит от приложенного напряжения). Для RC - генератора цепью обратной связи является цепочка RС. В качестве резистора R используются сопротивления транзисторов, зависящие от приложенного напряжения. Частота генерации RC генератора определяется выражением: (9.3) В соответствии с модулирующим НЧ сигналом меняется R, следовательно, меняется частота генерации генератора. 9.3.Статическая модуляционная характеристика (СМХ). Основной характеристикой частотного модулятора является статическая модуляционная характеристика (СМХ). Статической Модуляционной Характеристикой частотного модулятора называется зависимость частоты генерируемых колебаний от напряжения смещения Е: г = f(E) Пусть нам известна зависимость сопротивления R в цепи обратной связи частотно-модулируемого генератора от напряжения смещения Е: R R' Рис.9.6. E E' 1. Задаемся каким-то смещением Е', по графику находим R'. 2. Определяем частоту генерации: г/ = 3. Задаемся смещением Е'', находим R'', находим г'', и т.д. Стандартная СМХ для частотного модулятора имеет вид: г гmax 0 Рис.9.7 гmin Emin Eрт Emax E Выбор рабочего режима по СМХ. 1. Выбираем на глаз линейный участок на СМХ. 2. Определяем границы рабочего участка: гmax, гmin, Еmax, Emin. 3. Выбираем рабочую точку в середине рабочего участка. Определяем 0 и Ер.т. для рабочей точки. 4. Определяем максимальную амплитуду модулирующего (Н.Ч.) сигнала: Um  5. Определяем максимально-допустимую девиацию частоты: 6. Определяем максимально допустимый индекс неискаженной ЧМ. Мч max = Мч max = 9.4. Детектирование сигналов ЧМ. Назначение частотного детектора (ЧД) состоит в том, чтобы из ВЧ модулированного ЧМ сигнала получить НЧ модулирующий сигнал. ЧД преобразует ЧМ сигнал в амплитудно - частотно модулированный (АЧМ), который детектируется с помощью амплитудного детектора. Наиболее распространенная схема ЧД - ЧД с расстроенными контурами. Его принципиальная схема имеет вид: 1.+(-) 1 uAМ(t) R C Рис.9.8 2 R C 2. -(+) Контура расстроены относительно средней частоты ЧМ сигнала 0. Например: 10, 2<0. Если частота ЧМ сигнала больше 0  чм (t)  0 , то она ближе к 1, чем к 2, т.е. напряжение ( его амплитуда ) на верхнем контуре (на входе Д1) больше чем напряжение на выходе нижнего контура (на входе Д2). Напряжение в точке 1 будет больше чем в точке 2. Если  чм (t) < 0 , т.е. ближе к 2 то, так же рассуждая, получим, что напряжение в точке 2 будет больше чем в точке 1. Полярность напряжения на выходе Uнч(t) меняется на противоположную. Основная характеристика - статическая характеристика детектора. Это зависимость постоянной составляющей тока в нагрузке детектора I0 от частоты входного сигнала. I0 = () I0 = (f) Стандартный вид СХД следующий: I0 Imax I01 I00 min 0 max  I02 Imin Рис.9.9 Расчет рабочего режима по СХД. 1. Выбираем линейный участок. 2. Определяем max., min , Imax. ,Imin. 3. Выбираем рабочую точку в середине линейного участка характеристики. 4. Определяем 0 , I00 0. 5. Определяем допустимую девиацию частоты max = (max - min)/2. 6. Определяем максимально допустимый индекс Мч макс входного ЧМ сигнала для неискаженного детектирования Мч макс = max/, где  - модулирующая низкая частота. 7. Рассчитаем амплитуды первых четырех гармоник и коэффициент нелинейных искажений полезного сигнала. Для расчета вводим обозначения: Вопросы для самопроверки. 1. Запишите аналитическое выражение для ЧМ сигнала. 2. Что такое девиация частоты? 3. Чему равен индекс ЧМ? 4. Нарисуйте временную диаграмму ЧМ сигнала при гармонической модуляции. 5. Нарисуйте спектр ЧМ сигнала для очень малых и больших значений индекса ЧМ. 6. Нарисуйте принципиальную схему частотного модулятора. 7. Что такое СМХ частотного модулятора? 8. Каков порядок расчета СМХ. 9. Выбор рабочего режима по СМХ. 10. Нарисуйте принципиальную схему частотного детектора. 11. Что такое СХД? 10.Фазовая модуляция (ФМ). 10.1.Сравнение ФМ и ЧМ При ФМ фаза ВЧ несущего колебания изменяется в соответствии с НЧ модулирующим сигналом. ФМ(t) = 0 + Uнч(t) = 0 + МфUнч(t), где ФМ(t)- фаза ФМ сигнала, 0 - начальная фаза, Мф - индекс фазовой модуляции. (10.1)  = макс - 0 = 0 - мин - максимальное отклонение фазы сигнала от начального значения (девиация фазы).Для ФМ : = Мф . Фазомодулированный сигнал можно представить в виде: Uфм (t) = Um cos[0t+0+ Мф Uнч(t)] = / Uнч(t) = cost/ = Um cos[0t+0+ Мф cost], где 0t - текущая фаза. (10.2) Временные и частотные параметры ФМ сигнала похожи, в первом приближении, на временные и частотные параметры ЧМ сигнала, однако имеется много различий. Наиболее ярко эти различия проявляются, если модулирующий сигнал - двоичный (1,0). Модулирующий двоичный сигнал. uнч(t) 1 0 1 0 0 Т 2Т 3Т 4Т t Сигнал двоичной ЧМ. U(t) t Сигнал двоичной ФМ U(t) t Рис.10.1. Ширина спектра сигнала ФМ равна: ПФМ  2( МФ +1) (10.3) При МФ <<1 спектр ФМ сигнала напоминает спектр сигнала ЧМ и АМ. Сигнал ФМ можно сформировать с помощью частотного модулятора. Но на входе частотного модулятора включают дифференцирующее устройство (при аналоговой модуляции ).Детектирование сигнала ФМ осуществляется с помощью частотного детектора, но на его выходе включают интегратор. Структурная схема фазового модема имеет вид:. Uнч (t) Uнч (t) Рис.10.2 На выходе дифференцирующего устройства имеем: Uдиф(t) = (10.4) Частотный модулятор изменяет частоту в соответствии с Uдиф(t): чм(t) = 0 + Uдиф(t) Фаза выходного сигнала вых(t) = Фаза выходного сигнала меняется в соответствии с Uнч(t). Частотный детектор реагирует на частоту, т.е. на выходе ЧД: На выходе интегратора : Uвых инт = 0t + Uнч(t)  Uнч(t) 10.2.Фазовый (синхронный ) детектор (ФД). Синхронный детектор (фазовый детектор) позволяет осуществить высококачественное детектирование сигналов АМ, ЧМ и ФМ ; он обеспечивает наилучшее выделение сигнала на фоне помех. Структурная схема ФД имеет вид: Uс(t) Uоп(t) Рис.10.2. Сигнал (АМ, ЧМ, ФМ): Uс(t) = Um (t)cos[0t+чм(t)+фм(t)+0] Опорное напряжение: Uоп(t) = Umcos(0t+0) У синхронного детектора два входа. На первый вход подается модулированный сигнал, а на второй вход опорное напряжение. Частота опорного напряжения равна центральной частоте сигнала 0 - (синхронность) , а фаза равна начальной фазе сигнала 0 - (синфазность). Простейшая принципиальная схема ФД имеет вид: Uс(t) R C Рис.10.3. R C Uоп(t) Напряжение на выходе СД равно интегралу от произведения сигнала на опорное напряжение: Пусть на входе АМ сигнал: Uc(t) = Uам(t) = U(t)cos(0t+0) = U(t) - практически постоянно на интервале T = - получили модулирующий сигнал без искажений. Вопросы для самопроверки. 1. Запишите аналитическое выражение для сигнала ФМ. 2. Дайте определение девиации фазы и индекса ФМ. 3. Нарисуйте принципиальную схему синхронного детектора. 4. Рассчитайте напряжение на выходе СД. 11. Случайные процессы. 11.1.Характеристики случайных процессов Процессы, рассматриваемые в теории связи, могут быть детерминированными или случайными. Детерминированные процессы - это процессы, течение которых во времени известно заранее и абсолютно точно. Например, гармонический сигнал U(t) = Umcos(0t+0), где Um,, 0, 0 - заданы. Это простейшая модель информационного сигнала, но она оказывается очень не точной для современных систем связи, дает большие погрешности в расчетах. Поэтому вводится новая модель, более сложная - случайные процессы (СП). Случайные процессы таковы, что их течение во времени заранее точно предсказать невозможно. Пример СП - тепловой шум x(t). Процесс случайный, т.к. мы не знаем его полностью. СП описывается своими реализациями, т.е. конкретными образцами. Совокупность реализаций образует ансамбль (полная, но очень сложная характеристика СП). Функция распределения вероятностей СП (ФРВ). Функция распределения вероятностей обозначается F(x), характеризует вероятность того, что случайный процесс в некоторый момент времени t1 принимает значение меньшее x1 . Полное обозначение одномерной ФРВ F(x1 ,t1 ) = P(x0 Рис.11.2. 2>1 m1 - среднее значение случайного процесса . x 2 - дисперсия случайного процесса . Свойства нормального случайного процесса . 1. W(x)  0 2. Нормальная ФПВ симметрична относительно x = m1 3. W(x) - max при х = m1 4. Площадь под кривой W(x) равна 1. 5. При изменении m1 форма кривой не меняется, но кривая смещается вдоль оси х. 6. Чем больше дисперсия 2, тем кривая ниже и шире. 7. С вероятностью близкой к 1 (Р0,997) мгновенные значения нормального случайного процесса лежат в пределах: m1 - 3 < x < m1+3 W(x) Рис.11.3. 3 3 x Если известна дисперсия и m1, то рабочий участок ВАХ должен иметь протяженность m13. 8. ФРВ для нормального случайного процесса = F() - табулированная функция (интеграл вероятности Лапласа) F (0) = 0.5 F (-x) = 1- F(x) F (3.9) = 0.99995 F (-) = 0; F() = 1. ФРВ для нормального процесса имеет вид: F (x) 1 0.5 Рис.11.4. 0 m1 x 11.3.ФПВ и ФРВ для гармонического колебания со случайной начальной фазой. Рассмотрим случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой: X(t) = Asin ( wt +  )  - случайная величина, равномерно распределенная на интервале  , т.е. ФПВ мгновенных значений фазы , показанная на рис.11.5 равна: ; |x|   W() 1/2 Рис.11.5. - 0   Вычислим среднее значение : Вычислим дисперсию: ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой, изображенная на рис. 11.6, имеет вид: W(x) Рис.11.6. -A 0 A x Чем больше А, тем кривая ниже и шире. Заштрихованная площадь равна единице. Это площадь под кривой W(x) (условие нормировки).. ФРВ мгновенных значений для гармонического колебания со случайной фазой: X(t) = Asin ( wt +  ) F(x) 1 0.5 Рис.11.7. -A 0 A x 11.4.ФПВ для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой. Рассмотрим случайный процесс z(t), равный: Z(t) = x(t) + Asin (wt+ ) где x(t) - нормальный случайный процесс; Asin (wt+ ) - гармоническое колебание со случайной начальной фазой. W(z) в этом случае находится сверткой. Вид ФПВ, т.е. W(z) зависит от параметра: W(z) h2=0 h2= h2= 6 Рис.10.8. 0 z h2 = 0 - нормальный случайный процесс (чистый шум). h2   - одно гармоническое колебание. 11.5.Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса. Случайный процесс y(t) = Um(t) cos ( 0t+(t) ) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота 0. Um(t) - огибающая случайного процесса (случайная амплитуда) на рис.11.9; (t) - фаза случайного процесса. Для нормального случайного процесса фаза (t) распределена равномерно (см. выше). u(t) Um(t) Рис.11.9. t Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея: ; Um  0 W(Um) з-н Релея з-н Райса Рис.11.10. 0 Um Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса): закон Райса. I0(.) - функция Бесселя от мнимого аргумента. 11.6.ФПВ и ФРВ для дискретных случайных процессов. Дискретные случайные процессы принимают с определенной вероятностью значения, отличающиеся одно от другого на конечную величину. Вероятность таких значений – число не равное 0. Рассмотрим реализацию дискретного случайного процесса. x(t) а T1 Т2 t Рис.11.11 b T1+T2=T Для эргодического стационарного случайного процесса усреднение по множеству реализаций эквивалентно усреднению по времени одной реализации. T1/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение а. T2/T - вероятность того, что случайный процесс принимает значение b. ФПВ заданного случайного процесса в соответствии с полученным выражением показана на рис.11.12: W(x) Рис.11.12. b 0 a x ФРВ для случайного процесса принимающего 2 значения x=a и x=b имеет вид: F(x) 1 T2/T1 Рис.11.13. t b a Вычислим среднее значение двоичного дискретного случайного процесса, принимающего 2 значения: x=a c вероятностью T1/T, x=b c вероятностью T2/T 11.7.Нелинейные безынерционные преобразования случайного процесса. Нелинейное преобразование: y(t)=f[x(t)] – называется безынерционным, если y(tk) в момент времени tk зависит только от x(tk). ФПВ для процесса y на выходе: Пусть характеристика нелинейного элемента может быть аппроксимирована линейно-ломаными. y Рис.11.14 b -a a x -b Это нелинейное устройство называется ограничителем. Пусть на входе ограничителя действует нормальный случайный процесс с нулевым средним m1x=0. ФПВ процесса x нарисована на рис.11.15 (верхний рисунок). Рассчитаем ФПВ процесса y: 1. Пусть у=kx (k>1) Подставим в W(x) вместо x, y/k, тогда На интервале ФПВ для у будет нормальной, со средним значением m1y=0, но дисперсия y, т.е. . W(x) x -a a W(y) Рис.11.15. -ka 0 ka y 2. Пусть: Выражаем x через у, т.е. Это нормальная ФПВ со средним значением b и дисперсией 3.Пусть: Это нормальная ФПВ, m1= -b и дисперсия . ФПВ процесса y дана на рис.11.15 (нижний рисунок). 11.8.ФПВ процесса на выходе идеализированного ограничителя. Такой ограничитель имеет горизонтальные участки насыщения. W(y) P(x<-a)(y+ka) P(x>a)(y-ka) Рис.11.16. -ka 0 ka y 11.9.ФПВ процесса на выходе идеального ограничителя. Характеристика идеального ограничителя показана на рис.11.17. y ka Рис.11.17. x -ka Процесс на выходе идеального ограничителя y - имеет только два значения : ка и –ка. Т.к. вероятность положительных и отрицательных значений х равна 0.5, то вероятность того, что y принимает значения +ka или -ka также равна 0.5. Поэтому, выполняя расчеты, как в предыдущем случае, получим, что ФПВ процесса y вырождается в две дельта-функции в точках y=-ka и y=ka (рис.11.18): W(y) 0,5 (y+ka) 0,5 (y-ka) Рис.11.18. -ka 0 ka y 11.10.Линейные (инерционные) преобразования случайного процесса. Линейная инерционная система – это линейный фильтр. В этом случае процесс на выходе системы у(t1) зависит от входного процесса x не только в момент времени t1, но и от значений x в предшествующие и последующие моменты времени: 1. Если процесс на входе ЛЭЦ нормальный, то у тоже нормальный случайный процесс, но его числовые характеристики отличаются от числовых характеристик процесса x и вычисляются следующим образом: 2. Если процесс на входе ЛЭЦ не нормальный, но ширина его спектра значительно больше полосы пропускания линейной цепи , то процесс на выходе ЛЭЦ имеет тенденцию к нормализации. Вопросы для самопроверки. 1. Какой процесс называется случайным? 2. Что такое ФПВ и ФРВ? Как они связаны? 3. Запишите выражения для числовых характеристик случайного процесса. 4. Какой процесс называется нормальным? 5. Постройте ФПВ для произвольного двоичного случайного процесса. 6. Какой процесс называется узкополосным? 7. Запишите выражение для ФПВ процесса на выходе нелинейной цепи. 12.Функция корреляции. Функция корреляции характеризует степень статистической зависимости двух значений случайного процесса, разделенных интервалом времени . Общее определение – функция корреляции случайного процесса B(t1,t2) это второй центральный смешанный момент распределения случайного процесса. (12.1) Для эргодического стационарного случайного процесса с нулеым средним функция корреляции зависит только от разности =(t2-t1) и определяется выражением: (12.2) Стандартный вид функции корреляции. В() В(0) Рис.12.1. -к 0 к  1.В() - четная; В() = В(-) 2.В(0) - max; В(0) = 2 (средняя мощность переменной составляющей, т.е. дисперсия случайного процесса). 3. 4. интервал корреляции случайного процесса, характеризует ширину графика функции корреляции: ||  к - то значения коррелированны, || > к - то значения не коррелированны. 5. R() = В() / В(0) - коэффициент корреляции, R()  1. Вопросы для самопроверки 1. Дайте определение функции корреляции случайного процесса. 2. Запишите выражение для функции корреляции стационарного, эргодического процесса с нулевым средним. 3. Нарисуйте стандартный вид графика для функции корреляции. 4. Чему равно максимальное значение функции корреляции случайного процесса? 5. Каков физический смысл функции корреляции? 6. Как определить интервал корреляции случайного процесса? 7. Что такое коэффициент корреляции случайного процесса? 13.Энергетический спектр. Энергетическим спектром G() называется зависимость энергии составляющих случайного процесса от частоты.Стандартный вид энергетического спектра: G() Рис.13.1. 0  Пэ Энергетический спектр показывает, какая энергия процесса заключена в единичной полосе частот, т.е. это энергия процесса, приходящаяся на 1Гц или на 1 рад/с. Размерность G() --- В2/Гц или В2/ рад*Гц Пэ - ширина энергетического спектра,т.е. полоса частот, в пределах которой заключено порядка 95  - 99,9  энергии всего процесса. Она обратно пропорциональна интервалу корреляции Пэ = const / к const  3  6- зависит от ограничений накладываемых на сигнал . Вопросы для самопроверки 1.Что такое энергетический спектр случайного процесса? 2. Как определить ширину энергетического спектра процесса? 3. Как связаны ширина энергетического спектра процесса и интервал корреляции? 14.Соотношение Винера - Хинчина и его применение к решению задач Это соотношение связывает функцию корреляции и энергетический спектр случайного процесса. В теории случайных процессов это соотношение аналогично преобразованию Фурье для детерминированных процессов: (14.1) Коэффициенты могут быть и другими. В теории связи, в качестве модели помехи, часто используется случайный процесс, называемый белым шумом. Белым шумом называется абсолютно случайный (дикий) процесс, энергетический спектр которого бесконечен и равномерен. G() G0 Рис.14.1. 0  G() = G0 при 0     G0 - спектральная плотность белого шума. Мощность белого шума в полосе частот  ( в рад/с ) : P = G0* Пример белого шума - это тепловой шум. Функция корреляции белого шума вычисляется в соответствии с преобразованием Винера-Хинчина: Функция корреляции белого шума имеет следующий вид: В() G0 () Рис.14.2. 0  Рассмотрим прохождение белого шума через полосовой фильтр. На входе идеального полосового фильтра с АЧХ равной : действует нормальный белый шум со спектральной плотностью G0. Определим функцию корреляции и ФПВ процесса y на выходе фильтра; т.е. В()вых и W(y) . Спектр белого шума на входе фильтра показан на рис.14.1. АЧХ полосового фильтра показана на рис. 14.2, а спектр процесса на выходе полосового фильтра изображен на рис.14.3. К() К0 0 (0 -Пэ/2) 0 (0 +Пэ/2)  Рис.14.2 G()вых G0К02 0 (0 -Пэ/2) 0 (0 +Пэ/2)  Рис.14.3. Спектральная плотность белого шума на выходе ПФ: G()вых = G0К02, т.к. АЧХ показывает во сколько раз изменится амплитуда напряжения, следовательно, энергия изменится в К02 раз. В соответствии с соотношением Винера - Хинчина, зная G()вых найдем В()вых. : График функции корреляции процесса на выходе ПФ показан на рис.14.4: В()вых Рис.14.4.  -2/Пэ 2/Пэ Определим ФПВ процесса у на выходе фильтра. Т.к. процесс на входе фильтра нормальный с нулевым средним значением, то процесс y на выходе фильтра тоже будет гаусовским процессом с нулевым средним значением и дисперсией 2, которая равна Bвых(0), как это указывалось в разделе , посвященном изучению функции корреляции: Анализ графика функции корреляции на рис.14.4 позволяет определить интервал корреляции для процесса на выходе фильтра. Интервал корреляции вычисляется в данном случае как расстояние от точки  =0 до значения , при котором функция корреляции первый раз обращается в ноль. Из графика следует, что интервал корреляции равен 2/пэ, т.е. обратно пропорционален ширине спектра процесса. Вопросы для самопроверки. 1.Рассчитайте функцию корреляции случайного процесса , если известен его энергетический спектр. 2.Рассчитайте энергетический спектр процесса, если известна его корреляционная функция 3. Что такое белый шум? 4. Определите функцию корреляции случайного процесса на выходе полосового фильтра, если на входе фильтра действует белый щум. 15. Модели непрерывных каналов связи. Реальные каналы связи достаточно сложно описать таким образом, чтобы удовлетворить требования разработчиков телекоммуникационной аппаратуры и специалистов, занимающихся эксплуатацией систем связи. В то же время при решении практических задач некоторые параметры канала связи являются несущественными для одного класса задач, и определяющими для другого. Поэтому были разработаны несколько моделей, которые отражают наиболее существенные параметры и характеристики типичных реальных каналов связи: Идеальный канал без помех Сигнал на выходе такого канала определяется так: s(t) = k u(t - ), где s(t) - сигнал на выходе канала, u(t) - сигнал на входе канала, k - коэффициент передачи канала,  - время задержки сигнала в канале. Параметры канала - постоянны. Канал с аддитивным гауссовским шумом Сигнал на выходе такого канала имеет вид: s(t) = k u(t - ) + x(t), где x(t) - нормальный шум. Параметры канала либо постоянны, либо являются известными функциями времени. Канал с неопределенной фазой сигнала и аддитивным шумом Сигнал на выходе такого канала связи описывается таким же выражением, которое приведено выше для канала с аддитивным гауссовским шумом, но параметры канала k и  для канала с неопределенной фазой сигнала являются случайными функциями времени. Канал с межсимвольной интерференцией и аддитивным шумом Сигнал на выходе канала с межсимвольной интерференцией представляет собой в каждый момент времени сумму данной к-ой посылки сигнала, переходной процесс (межсимвольная интерференция ) от предыдущих и последующих посылок сигнала и аддитивный шум. 16. Введение в теорию цифровой фильтрации Цифровой фильтр - это микроэвм, микропроцессор, которые осуществляют операцию фильтрации средствами вычислительной техники. Цифровой фильтр (ЦФ) описывается разностным уравнением: где xi - сигнал на входе ЦФ, yi - сигнал на выходе ЦФ, al , bm - коэффициенты. Максимальное из чисел L,M определяют порядок ЦФ. Если все коэффициенты al равны нулю, то ЦФ называется нерекурсивным. Если хотя бы один из коэффициентов al не равен нулю, то фильтр называется рекурсивным. Основные характеристики ЦФ следующие: -импульсная реакция цифрового фильтра gi , т.е. реакция ЦФ на единичный импульс (xi=1 при i=0, xi=0 при i0); -переходная характеристика цифрового фильтра hi , т.е. реакция ЦФ на дискретную функцию единичного скачка ( xi = 1 при i 0, xi =0 при i<0 ); • передаточная функция ЦФ, равная отношению Z - преобразований выходного сигнала и входного: Передаточная функция позволяет достаточно легко получить АЧХ и ФЧХ цифрового фильтра , подставив в выражение для K(z) вместо переменной z выражение е jT . Более детально характеристики ЦФ второго порядка будут рассматриваться во второй части курса ТЭС, посвященной изучению цифровых телекоммуникационных систем. Вопросы для самопроверки 1. Что такое цифровой фильтр? 2. Запишите разностное уравнение для ЦФ. 3. Что такое импульсная реакция ЦФ? 4. Что такое переходная характеристика ЦФ? 5. Что такое передаточная функция ЦФ? 6. Что такое z-преобразование заданного процесса ? ЗАКЛЮЧЕНИЕ Современные системы связи становятся все более совершенными, предоставляя пользователю широкий выбор различных телекоммуникационных услуг. С точки зрения специалиста в области телекоммуникации это означает, что системы связи становятся все более сложными и их эксплуатация требует не только некоторых практических навыков, но и глубоких знаний в области теории связи. Первая часть курсы, посвященная, в основном, изучению преобразований аналоговых сигналов в различных блоках системы связи, имеет самостоятельное значение, поскольку значительная часть информации передается в аналоговой форме. В то же время этот раздел курса ТЭС является, фактически, введением в теорию цифровой электрической связи. Цифровые системы связи позволяют еще более расширить спектр телекоммуникационных услуг, предоставляемых пользователю, и представляют собой ту базу, без которой невозможно функционирование ни одной отрасли народного хозяйства на современном этапе развития информационного сообщества. СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1. Теория электрической связи. Учебник для Вузов. - М., Радио и связь, 1998, 432 с. 2. Зюко А.Г., Кловский Д.Д., Назаров М.В., Финк Л.М. Теория передачи сигналов. - М., Радио и связь, 1986, 304 с. 3. Кловский Д.Д., Шилкин В.А.. Теория электрической связи, Сб. задач и упражнений. - М., Радио и связь, 1990, 280 с. 4. Зюко А.Г., Фалько А.И., Панфилов И.П., Банкет В.Л., Иващенко П.В.. Помехоустойчивость и эффективность систем передачи информации. - М., Радио и связь, 1985, 272с. 5. Назаров М.В., Прохоров Ю.Н. Теория электрической связи. Учебное пособие. МТУСИ, 1991, 72с.