Теория автоматического управления. Принципы управления: программное, по возмущению, по отклонению, комбинированное

Лекция №1 Основные понятия и цели курса Понятие о регулировании и управлении. Принципы управления: программное, по возмущению, по отклонению, комбинированное. Классификация САУ по назначению, по наличию усилителя, по закону регулирования, по величине статистической ошибки, по математическому описанию, по сигналам управления. Основные элементы САУ. Задачи теории автоматического управления. Литература: 1. "Теория автоматического управления" М.Высш. шк. 1976 г. Под ред. А.В. Нетушила 2. "Теория автоматического управления" М.Высш. шк. 1977 г. Под ред. А.С. Шаталова 3. Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования, учебное пособие для вузов, изд. 2-е, перераб. и доп., - М.: "Энергия", 1967. - 648с., ил. 4. "Теория автоматического управления" Минск, Высш. шк.1979 Под ред. Анхимюк 5. Дрофф Р., Бишоп Р. Современная система управления. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000. – 831 с. 6. Теория автоматического управления. Под редакцией Соломенцева Ю.М.- М.: Высшая школа, 2000.- 267 с. 7. Анхимюк В. Л. Теория автоматического регулирования.– М.: ООО “Издательство АСТ”, 2000. – 504 с. 8. Теория автоматического управления. Учеб. для вузов по спец. "Автоматика и телемеханика". В 2-х ч./ Н.А. Бабаков, А.А. Воронов и др.: Под ред. А.А. Воронова. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. - 367с., ил. Введение Теория автоматического управления (ТАУ) появилась во второй половине 19 века сначала как теория регулирования. Широкое применение паровых машин вызвало потребность в регуляторах, то есть в специальных устройствах, поддерживающих устойчивый режим работы паровой машины. Первым промышленным регулятором этого периода является поплавковый регулятор питания паровой машины, построенный И.И. Ползуновым в 1765 году. Затем центробежный регулятор скорости паровой машины разработанный английским механиком Дж. Уаттом в 1784 году. Это дало начало научным исследованиям в области управления техническими объектами. Основоположником теории автоматического регулирования по праву считается И.А. Вышнеградский, опубликовавший в 1876 году свой труд «об общей теории регуляторов» и в 1878 году работу «О регуляторах непрямого действия». В этих работах осуществлен системный подход к регулятору и паровой машине как к единой динамической системе. Это позволило дать общий методологический подход к исследованию самых разнообразных по принципу действия регуляторов. В этих работах были заложены основы теории устойчивости, разработаны основы современных методов исследования (анализ системы по распределению корней, выделение области устойчивости, определение монотонности регулирования и др.). Общая теория устойчивости динамических систем была разработана в докторской диссертации А.М. Ляпуновым (1892 год), где дано строгое понятие устойчивости движения и предложено два метода определения устойчивости. Задачу определения устойчивости систем любого порядка впервые решил Раус (1877) и затем независимо от него Гурвиц (1895). Частотный критерий устойчивой работы электронного усилителя разработал Найквист (1932). Этот критерий был обобщен и развит применительно к теории автоматического управления А.В. Михайловым (1938). Оказалось, что результаты и выводы данной теории могут быть применимы к управлению объектами различной природы с различными принципами действия. В настоящее время сфера ее влияния расширилась на анализ динамики таких систем, как экономические, социальные и т.п. Поэтому прежнее название “Теория автоматического регулирования” заменено на более широкое - “Теория автоматического управления”. Автоматическое регулирование – поддержание постоянной или изменение по заданному закону некоторой величины, характеризующей процесс, осуществляемое при помощи измерения состояния объекта или действующих на него возмущений Управление охватывает больший круг задач. Под автоматическим управлением понимается автоматическое осуществление совокупности воздействий, выбранных из множества возможных на основании определенной информации и направленных на поддержание или улучшение функционирования управляемого объекта в соответствии с целью управления. Общие положения Целенаправленные процессы, выполняемые человеком для удовлетворения различных потребностей, представляют собой организованную и упорядоченную совокупность действий – операций, которые делятся на два основных вида: рабочие операции и операции управления. Рабочие операции выполняются за счет мускульной силы человека Замена мускульной силы человека природной энергией в рабочих операциях называется механизацией. Цель механизации состоит в высвобождении человека в тяжелых операциях, требующих больших затрат физической энергии (земляные работы, подъем грузов), во вредных операциях (химические, радиоактивные процессы), в рутинных операциях за счет использования технических устройств. Для правильного и качественного выполнения рабочих операций необходимы сопровождающие их действия другого рода – операции управления, посредством которых обеспечиваются в нужные моменты начало, порядок следования и прекращение рабочих операций. Совокупность управляющих операций образует процесс управления. Операции управления также частично или полностью могут выполняться техническими устройствами. Замена труда человека в операциях управления называется автоматизацией, а технические устройства, выполняющие операции управления – автоматическими устройствами. Автоматическим регулятором называется регулирующее устройство, осуществляющее управление объектом регулирования согласно заданного алгоритма. Алгоритм управления – это правило выработки управляющего воздействия для решения поставленной задачи. Система автоматического управления (САУ) – это взаимодействующий с объектом управления автоматический регулятор, в котором преобразование и передача информации, формирование управляющих команд и их реализация осуществляется автоматически согласно заданному алгоритму управления. Для анализа САУ используются принципиальная и функциональная схема. Принципиальная схема показывает физическую природу элементов автоматики, технические характеристики, принцип действия и взаимодействие между ними. Элементом автоматики называется часть системы, в которой происходит качественное или количественное преобразование физической величины и передача ее к последующему элементу. На принципиальной схеме все элементы и связи между ними изображаются в виде условного графического обозначения. Это позволяет изготовить автоматическую систему или произвести ее ремонт. Функциональная схема состоит из функциональных элементов, которые показывают их функциональное назначение при автоматическом управлении технологическим процессом и связь между ними. Функциональный элемент – это условно выделенная часть САУ, выполняющий определённую функцию по реализации заданного алгоритма управления. На функциональной схеме все элементы (кроме сравнивающего устройства) изображается в виде прямоугольников с указанием их функционального назначения. Сравнивающее устройство изображается в виде окружности с крестиком внутри. Связь между элементами изображается сплошными линиями со стрелками, показывающими направление прохождения управляющих сигналов. Структурная схема показывает математическую зависимость между входным и выходным сигналами каждого элемента и их взаимосвязь. Структурные элементы так же, как и функциональные элементы, изображаются в виде прямоугольников, а воздействие – в виде стрелок. В простых автоматических устройствах внешний вид функциональной и структурной схемы совпадает. В сложных системах САУ отдельные функциональные элементы для получения их математической зависимости разбиваются на отдельные звенья и для каждого находится математическая зависимость. Структурная схема САУ отражают порядок прохождения информационного сигнала и его изменение в каждом звене. Она выполняется для получения математической модели всей системы и не учитывает конкретные особенности и принципы работы элементов. Различные по физической природе и по принципу работы элементы могут иметь одинаковый вид математической зависимости между входным и выходным сигналом. Эта схема с более высокой степенью абстракции, имеет более обобщённый характер и математически отражает динамические свойства звеньев. Связь между выходным и входным сигналом каждого звена обычно показывается через передаточную функцию W(p). С помощью структурных преобразований получают общую передаточную функцию (ПФ) всей системы, которая является достаточно полной математической моделью процесса регулирования. По этой ПФ можно провести анализ работы САУ, т.е. определить ее статические и динамические характеристики. По этой ПФ можно провести синтез работы САУ, т.е. определить такие ее параметры, которые наилучшим образом соответствуют поставленной задаче. Классификация функциональных элементов Объект управления (регулирования) (ОУ) – машины, аппараты или другие устройства, требуемый режим которых поддерживается регулятором путем управления (регулирования) заданных величин. Исполнительное устройство (ИУ) – функциональный элемент, осуществляющий выработку управляющих сигналов согласно алгоритма управления и непосредственно воздействующий на объект управления для изменения режима его работы. Усилитель (У) – функциональный элемент, в котором, не изменяя физическую природу входного сигнала осуществляется увеличение его мощности за счет энергии вспомогательного источника питания. Преобразующее устройство (ПУ) – функциональный элемент, применяемый для преобразования управляющего сигнала с целью изменения закона управления. Усилительное и преобразующее устройство могут быть объединены в один функциональный блок: усилительно-преобразующее устройство. Датчик (Д) – функциональный элемент, измеряющий и преобразующий информацию о физической величине в сигнал, удобный для обработки и использования в системе управления. Корректирующее устройство (КУ) – функциональный элемент, служащий для повышения устойчивости САУ и улучшения ее динамических характеристик. Задающее устройство (ЗУ) – функциональный элемент, служащий для формирования сигнала, согласно заданному значению регулируемой величины. Сравнивающее устройство – это функциональный элемент, осуществляющий алгебраическую операцию по отношению к воздействиям, поступающим на его вход (например, операции сложения или вычитания поступающих сигналов). Примечание – Сигналы, поступающие на сравнивающее устройство, всегда имеют одинаковую физическую природу (усилие, напряжение, перемещение и др.). Сигналы, выходящие из сравнивающего устройства, могут иметь другую физическую природу. Например, на входе – усилие, на выходе – перемещение. Классификация сигналов, действующих в САУ Регулируемая величина x(t) – это показатель, характеризующий состояние объекта управления. Например, температура, уровень, давление и т.д. Возмущающее воздействие (помехи) f(t) – это воздействие, нарушающее требуемую функциональную зависимость (связь) между задающим воздействием и регулируемой величиной. Управляющее воздействие q(t) – это воздействие, поступающее с исполнительного устройства на объект управления для управления регулируемой величиной. Примечание – составление функциональной схемы надо начинать с определения объекта управления и этих сигналов в САУ: регулируемая величина, возмущающее и управляющее воздействия. Задающее воздействие u(t) – это величина, соответствующая заданному (предписанному) значению регулируемой величины в объекте регулирования. Отклонение регулируемой величины x(t) в объекте управления (ОУ) от требуемого значения может быть вызвано возмущающим воздействием f(t) или изменением задающего воздействия u(t). Это отклонение x(t) измеряется с помощью датчика (Д) и преобразуется в сигнал x2(t), который является сигналом одинаковой физической природы с u(t). На сравнивающем устройстве эти два сигнала сравниваются и вырабатываются управляющий сигнал u = u(t) – x2(t). Таким образом, управляющий сигнал u – сигнал отклонения (ошибки) между заданным и действительным значением регулируемой величины. Примеры составления функциональной схемы Пример 1. Дана принципиальная схема автоматического регулирования уровня бензина в карбюраторе (рисунок 1.1). Определить функциональные элементы САУ и составить функциональную схему. РЕШЕНИЕ: Принцип работы. При увеличении расхода бензина из поплавковой камеры уровень бензина уменьшается, поплавок опускается. Вместе с ним опускается игла, открывается запорный клапан и увеличивается приток бензина. В результате уровень бензина в поплавковой камере восстанавливается. Рисунок 1.1 – Принципиальная схема регулирования уровня топлива в поплавковой камере Определяем ОР и действующие на него факторы. Объект управления (ОУ) – поплавковая камера карбюратора, в которой происходит процесс регулирования. Регулируемая величина x(t) – уровень бензина. Возмущающее воздействие f(t) – изменение расхода бензина. Управляющее воздействие q(t) – подача бензина в поплавковую камеру для восстановления заданного уровня. Функциональная схема ОР и воздействующие на него сигналы показаны на рисунке 1.2 Рисунок 1.2 – Функциональная схема ОР и сигналы, воздействующие на него. Элементы функциональной схемы. Исполнительное устройство (ИУ) – запорный клапан, от которого зависит количество поданного бензина в поплавковую камеру. Чем ниже будет расположена игла, тем больше будет подано бензина в поплавковую камеру. Датчик (Д) – поплавок, который служит для измерения регулируемой величины (уровня бензина) и преобразования его в перемещение иглы клапана. Задающее устройство (ЗУ) – длинна стержня иглы клапана, от которого зависит уровень бензина. Рассмотрим, как в данном автоматическом устройстве происходит работа сравнивающего устройства (рисунок 1.3). Выходной сигнал от задающего устройства – предписанная длина стержня Lпр, на котором установлена игла клапана. Выходной сигнал от датчика – действительное расстояние от запорного клапана до уровня бензина Lдей, которое передается на сравнивающее устройство с помощью поплавка. Работа сравнивающего устройства заключается в сравнении этих двух сигналов. В результате, чем меньше уровень бензина и, соответственно ниже расположен поплавок, тем ниже опускается запорная игла относительно заданного значения, и тем больше будет поступать бензина в поплавковую камеру. Величина опускания иглы ∆L определяется уравнением: ∆L = Lпр – Lдей Рисунок 1.3 – Схема работы сравнивающего устройства к примеру 1 На основании рисунков 1.2 и 1.3 составляем Функциональную схему регулирования уровня топлива в поплавковой камере, которая показана на рисунке 1.4 Рисунок 1.4 – Функциональная схема системы автоматического регулирования уровня бензина в поплавковой камере Выдать задания для первой Л/Р Лекция №2. Классификация САУ По цели управления Все автоматические системы по цели управления можно разделить на две группы. 1. Первая группа – это системы с заранее заданным (жестким) алгоритмом управления, регуляторы которых содержат только исполнительные элементы. К первой группе относятся: 1.1 САК – система автоматического контроля, которая производит в автоматическом режиме измерение контролируемой величины и все операции связанные с обработкой, регистрацией и передачей полученных данных. Цель контроля: сигнализация, защита, регистрация, блокировка. 1.2 САУ – система автоматического управления, которая обеспечивает изменение регулируемой величины объекта управления согласно технологическим требованиям и с учетом возмущающих воздействий. Цель управления – изменять параметры работы объекта управления в зависимости от времени, вида и величины возмущающих воздействий и действительного значения регулируемой величины. 1.3 САР – система автоматического регулирования (или стабилизации), которая обеспечивает поддержание регулируемой величины в заданных пределах при произвольно изменяющихся возмущающих воздействиях. Цель регулирования – стабилизация заданного режима работы объекта регулирования при случайном изменении возмущающих воздействий (и особенно, если это возмущение – нагрузка). САР можно рассматривать как частный случай работы САУ, когда задающее воздействие u(t) является постоянной величиной. 1.4 СПУ – система программного управления, в которой управляющее воздействие изменяется по заранее составленной программе. Цель управления – изменение режима работы объекта управления согласно составленной программе. СПУ можно рассматривать как частный случай работы САУ, когда закон изменения задающего воздействия u(t) заранее известен, заранее запрограммирован и в процессе работы не изменяется. 1.5 САС – система автоматического слежения (или следящая система), которая на выходе в точности воспроизводит случайные сигналы, поданные на вход системы. Цель управления – копирование (кодирование, преобразование, видоизменение) на выходе системы сигналов, поданных на ее вход. Сигналы, проходящие через САС, не корректируются, а только (но не всегда) масштабируются по величине или по мощности. САС можно рассматривать, как частный случай работы САУ, когда закон изменения задающего воздействия u(t) заранее неизвестен. 2. Вторая группа – это оптимальные системы управления (ОСУ) с заранее неизвестным (гибким) алгоритмом управления за счет автоматического поиска и поддержания оптимального управления согласно заданному критерию качества регулирования. Регуляторы таких систем кроме основного контура регулирования имеют дополнительный контур, который изменяет параметры регулятора для обеспечения оптимального производственного процесса. Ко второй группе относятся : 2.1 СОУ – система оптимального управления, в которой задача оптимального управления сводится к определению оптимального алгоритма управления при заданной и не изменяющейся структуре и параметрах системы. Цель управления – определение оптимального управляющего воздействия на объект, когда известна структура и параметры системы управления. 2.2 АСУ – адаптивная система управления, которая автоматически приспосабливается (адаптируется) к изменению свойств объекта управления и к изменяющимся внешним условиям работы путем накопления и использования информации, получаемой в процессе работы. Достижение оптимального поведения системы производится автоматически, путем целенаправленного изменения параметров регулятора, структуры системы и совершенствования алгоритма управления. Цель управления – обеспечение заданного показателя качества регулирования (критерия качества) в условиях нестационарности объекта управления. Различают следующие виды адаптивных систем: 2.2.1 Самонастраивающиеся системы, - в которых адаптация производится путем изменения некоторых параметров регулятора и управляющих воздействий; 2.2.2 Самоорганизующиеся системы, - в которых адаптация производится не только за счет изменения ее параметров и управляющих воздействий, а также за счет изменения структуры системы управления путем автоматического подключения или отключения корректирующих звеньев; 2.2.3 Самообучающиеся системы, - в которых адаптация производится не только за счет изменения ее параметров, управляющих воздействий и подключения корректирующих звеньев, а также дополнительно за счет совершенствования алгоритма управления путем автоматического поиска оптимальных управлений, ''запоминания'' их и с одновременным ''забыванием'' старых, менее эффективных алгоритмов управления. 2.3 Система экстремального управления (СЭУ) – это система, которая самостоятельно в процессе своей работы вырабатывает и поддерживает экстремальное значение регулируемого параметра. Цель управления – непрерывный поиск экстремума по управляющему воздействию, когда случайным образом изменяются динамические свойства объекта управления и даже критерий качества. СЭУ – это один из видов самонастраивающихся систем. Выделение ее в самостоятельный класс связано со специфической особенностью управления такой системой, когда заранее не известна ни величина, ни даже направление (+ или – ) изменения управляющих воздействий. Все это определяется в процессе работы путем подачи пробных сигналов. По алгоритму управления В зависимости от алгоритма, т.е. способов получения информации и формирования управляющего воздействия различают следующие принципы управления: Принцип программного управления, когда алгоритм управления вырабатывается по заранее составленной программе в задающем устройстве и последовательно выдается на объект управления. В таких САУ вся информация об управлении априорно (заранее) занесена в задающее устройство. По такому принципу работают станки с числовым программным управлением для получения ткани с вышитым рисунком, светофоры на перекрестках и т. д. (+): просто управлять, надежно, дешево (-) нет контроля за рег. вел-ной, за возмущающим воздействием, нет автоматической корректировки. Принцип управления по возмущению, когда алгоритм управления вырабатывается с помощью датчика возмущающего воздействия и компенсирует вызываемое им отклонение регулируемой величины. В таких САУ вся информация об управлении на регулятор поступает с возмущающего воздействия. Обычно это нагрузка. По такому принципу работают, например, генераторы с дополнительной обмоткой возбуждения в цепи якоря, в которой создается дополнительный магнитный поток для компенсации потери напряжения, который пропорционален силе тока генератора. (+) предвидение возможного отклонения рег. вел-ны и досрочное регулирование (-) нет контроля за рег. вел-ной, также невозможно предусмотреть все возмущения (трение, температура) – это грубая регулировка. Принцип управления по отклонению, когда алгоритм управления вырабатывается по отклонению между заданным и действительным значением регулируемой величины. В таких САУ информация поступает с датчика регулируемой величины, сравнивается с заданным значением и пропорционально ошибке происходит процесс регулирования. Особенность такой САУ – наличие главной обратной связи от регулируемой величины на регулятор. По такому принципу работают большинство САУ для регулирования температуры, давления, частоты вращения двигателей и т.д. (+) четкий, жесткий контроль (-) сначала происходит ошибка, затем начинается регулирование. Принцип комбинированного управления, когда алгоритм управления вырабатывается одновременно по возмущению и по отклонению. Такие САУ имеют два контура управления. В первом контуре (по возмущению) производится быстрое предварительное регулирование, а во втором контуре (по отклонению) производится медленная и точная регулировка. По такому принципу происходит регулирование, например, давления пара в паровом котле. Пропорционально расходу пара производится регулирование по возмущению (по нагрузке), а по отклонению давления пара от заданного значения производится более точное регулирование.(+) быстрое рег-е и кач-й контроль (-) дорого и сложно согласовать оба контура. По закону регулирования Закон регулирования - это математическая зависимость между входной и выходной величиной регулятора. Входная величина равна отклонению регулируемой величины от заданного значения u; выходная величина – это воздействие регулятора на исполнительное устройство xвых(t) Законы регулирования непрерывного действия с линейными законами регулирования имеют вид: где xвых(t) – выходная величина регулятора; u – входная величина; kp, kи, kд – коэффициенты пропорциональности или параметры настройки регулятора Такой закон регулирования называется стандартный закон. В этом уравнении kп u – пропорциональный или П-закон регулирования (действие на ОР пропорционально сигналу управления); П-закон обеспечивает устойчивую работу САУ, но в установившемся режиме система имеет статическую ошибку регулирования; – интегральный или И-закон регулирования (воздействие на ОР пропорционально интегралу (обычно по времени) от сигнала управления); И-закон обеспечивает в установившемся режиме работы отсутствие статической ошибки регулирования, малая скорость регулирования; – дифференциальный или Д-закон обеспечивает уменьшение инерционности системы и тем самым ускоряет процесс регулирования. Сумма этих составляющих образует ПИД-закон По виду обратной связи Одноконтурные САУ имеют одну главную обратную связь, служащую для сравнения действительного и предписанного значения регулируемой величины. Многоконтурные САУ кроме главной обратной связи имеют еще дополнительные (местные) обратные связи, соединяющие выход и вход одного или нескольких элементов системы. Положительная обратная связь, если с увеличением сигнала на выходе сигнал на входе тоже увеличивается. Отрицательная обратная связь, если с увеличением сигнала на выходе сигнал на входе уменьшается. Жесткая обратная связь обеспечивает прохождение сигнала в переходном и в установившемся режиме с одинаковым коэффициентом передачи. Гибкая обратная связь обеспечивает прохождение сигнала только в переходном режиме работы системы. В установившемся режиме коэффициент передачи равен нулю (обратная связь обрывается). По количеству регулируемых величин Одномерная САУ, с одной регулируемой величиной. Многомерная САУ, с несколькими регулируемыми величинами, которые разделяются на: – системы несвязанного регулирования, в которых регуляторы, предназначены для регулирования различных величин, не связанны друг с другом; – системы связанного регулирования, в которых регуляторы, различных регулируемых величин имеют взаимные связи друг с другом. По ошибке в установившемся режиме Статическая система, которая в установившемся режиме работы имеет отклонение регулируемой величины от заданной, в зависимости от величины приложенного возмущающего воздействия (обычно от нагрузки). Т.е. в установившемся режиме регулируемая величина зависит от нагрузки. Астатическая система, которая в установившемся режиме работы не имеет отклонения регулируемой величины от заданной, при любой величине возмущения. Т.е. в установившемся режиме регулируемая величина не зависит от нагрузки. Примечание – система может быть статической по отношению к одному воздействию (обычно нагрузка), астатической по отношению к другому воздействию (например, по управлению). По наличию и виду вспомогательной энергии Прямое регулирование, когда в системе управления не используется вспомогательная энергия стороннего датчика. Энергия датчика достаточна для управления регулирующим органом энергии. Непрямое регулирование, когда датчик использует вспомогательную энергию стороннего источника для управления регулирующим органом. Системы непрямого регулирования по виду вспомогательной энергии разделяются: электронные; электромеханические; гидравлические; механические; комбинированные. По стабильности параметров системы Стационарные системы, в которых все параметры элементов системы не изменяются во времени или математическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами. Это, например электродвигатели, гидравлические и механические устройства станка и т.д. Нестационарные системы (во времени), которые имеют хотя бы одно звено с изменяющимися параметрами в процессе работы, или математическая модель которых описывается дифференциальными уравнениями с переменными параметрами. Это, например, самолет, в котором при полете по мере расхода топлива изменяется его вес, расположения центра тяжести. По виду сигналов управления Непрерывные сигналы управления представляют собой непрерывную функцию времени. Между входными и выходными величинами всех элементов системы существует непрерывная функциональная связь. Прерывистые сигналы управления (или дискретные сигналы) характеризуется наличием разрыва непрерывности и скачков подаче сигнала управления. Между входными и выходными величинами системы управления функциональная связь в некоторые промежутки времени прерывается. Прерывистые сигналы в свою очередь разделяются: – релейные, когда сигнал управления постоянен по величине или равен нулю. Фактически он соответствует двум командам: «пуск» или «стоп»; – позиционные, когда сигнал управления по абсолютной величине остается постоянным, но в зависимости от алгоритма управления меняет знак или равен нулю; – вибрационные, когда чередуются разные по величине сигналы; – импульсные, когда сигнал управления преобразован в последовательность модулированных импульсов, чередующихся через определенные промежутки времени (такты); – кодированные, когда сигнал управления преобразован в определенный код. По математическим признакам Линейные системы, в которых все звенья описываются линейными дифференциальными уравнениями при значительных отклонениях регулируемой величины. Нелинейные системы, в которых хотя бы одно звено описывается нелинейным дифференциальным уравнением. Нелинейные системы в свою очередь разделяются на: – несущественно нелинейные системы, которые при малых отклонениях регулируемого параметра можно линеаризовать; – существенно нелинейные системы, в которых нелинейный элемент придает системе особые свойства, и линеаризовать их без потери этих свойств нельзя. Лекция №3 Характеристика линейных непрерывных моделей Получение дифференциальных уравнений отдельных звеньев СУ. Уравнения динамики и статистики. Стандартное воздействие. Преобразование Лапласа. Преимущество решения дифференциальных уравнений операторным методом. Обратное преобразование Лапласа. Как отмечалось ранее, системы управления по виду сигналов управления подразделяют на непрерывные (представляют собой непрерывную функцию времени, между входными и выходными величинами всех элементов системы существует непрерывная функциональная связь) и дискретные. Этот раздел посвящен изучению непрерывных систем. Кроме того системы могут быть линейными и нелинейными. Остановимся на линейных (эти системы описываются линейными диф. ур-ми) Математическая взаимосвязь между входным воздействием на систему и изменение во времени выходной величины описывается дифференциальным уравнением. Обычно диф. уравнения отдельных элементов системы получают аналитическим путем, рассматривая принцип действия этих устройств. В ряде случаев теоретический анализ динамики САУ бывает настолько затруднен, что проще и надежнее определить диф. уравнение экспериментально, путем определения переходных характеристик при подаче на вход САУ стандартных воздействий. В качестве стандартных воздействий чаще всего используют единичную ступенчатую функцию и на выходе получают переходную функцию. Или на вход системы подают единичную импульсную функцию и на выходе получают весовую функцию или импульсную переходную характеристику. Уравнения динамики и статики Статический режим САУ характеризуется следующими условиями: - между притоком и расходом регулируемой среды устанавливается баланс равноденствия; - регулирующий орган, изменяющий приток или расход регулируемой среды, неподвижен; - отклонение регулируемой величины в САУ от заданного значения равно нулю или некоторому постоянному значению. Исходя, из этих условий можно дать определение статической характеристики системы. Статической характеристикой САУ называется зависимость выходного сигнала от входного в установившемся (статическом) режиме работы. Различают линейные и нелинейные статические характеристики. Для линейных статических характеристик зависимость между входной и выходной величиной описывается уравнением статики (а) Если входная и выходная величины имеют одинаковую физическую природу, то k называют коэффициентом усиления элемента. При различной физической природе входной и выходной величин, k называют коэффициентом передачи. Многие механические и электрические элементы в достаточно широком диапазоне изменения параметров можно считать линейными. Необходимым условием линейности является постоянное соответствие между реакцией системы или звена хвых и входным воздействием хвх на всем диапазоне его воздействия. Пусть к системе, находящейся в состоянии покоя, приложено воздействие хвх1 и на выходе появилась реакция хвых1. Затем при тех же условиях приложено воздействие хвх2 и появилась реакция хвых2. Необходимым условием линейности является, чтобы при воздействии хвх1 + хвх2 реакция была равна хвых1 + хвых2. Это условие называют принципом суперпозиции. Кроме этого, в линейной системе должен также выполнятся фактор масштабирования. Если входное воздействие увеличили в m раз, то и реакция на выходе должна тоже увеличится в m раз. Это условие называют принцип гомогенности. Статическая характеристика, которая удовлетворяет условию суперпозиции и гомогенности, считается линейной характеристикой. Для линейной статической характеристики коэффициент передачи (усиления) является величиной постоянной (рисунок а) при любом значении хвх. Если статическая характеристика элемента нелинейная, то коэффициент k является переменной величиной и при разных значениях хвх будут разные значения коэффициента k (рисунок б). Динамические характеристики Определяют поведение системы в переходном процессе при действии возмущающих сил или после прекращения их действия. Для составления уравнения динамики система разбивается на элементы и для каждого из них составляется соответствующее уравнение не основе физических законов, определяющих происходящие в элементы процессы. Подавляющее большинство реальных элементов имеют нелинейные характеристики и, следовательно, описываются нелинейными дифференциальными уравнениями. Однако, многие нелинейные элементы можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения элемента приближенными линейными. Это позволяет для анализа и синтеза систем управления использовать методы теории линейных систем, которые наиболее просты и хорошо разработаны. Динамическая характеристика звена – это его реакция на определенное входное воздействие. Для линейных звеньев и линейных систем в целом характеристика полностью определяет их динамические свойства, так как к линейным звеньям и системам применим принцип суперпозиции, позволяющий по реакции линейного элемента на какое-либо известное воздействие найти его реакцию на воздействие произвольного вида. Стандартное воздействие Чтобы однозначно оценить поведение системы в переходном режиме, входное воздействие должно быть простым, не затрудняющим решение уравнения и соответствовать самому тяжелому режиму работы. В ТАУ рассматриваются три стандартных воздействия: 1. Единичная ступенчатая функция (скачкообразная функция) – представляет собой мгновенной включение и отключение входного сигнала 1(t) При включении: При отключении: 2. Единичная импульсная функция – представляет собой входной сигнал в виде импульса бесконечно малой длины, но имеющего конечную площадь, равную 1. δ(t) 3. Единичная синусоидальная функция u(t) = Aвх ∙ sin ω t Aвх = 1 Решение дифф. уравнений 1. Переходная (временная, разгонная) функция – реакция элемента или системы на единичную ступенчатую функцию а)колебательный, б) монотонный, г), в) неустойчивая система 2. Весовая функция (функция веса, переходная импульсная функция) – это реакция элемента или системы на единичную импульсную функцию 3. Частотные характеристики – определяются по выходному гармоническому сигналу, установившемуся в элементе или системе при подаче единичной синусоидальной функции. x(t) = Aвых  sin (t + вых) Преобразование Лапласа. Передаточная функция При исследовании и проектировании систем управления используют математический метод, получивший название преобразование Лапласа. Этот метод позволяет функцию одного переменного (обычно t) преобразовать в функцию другого переменного посредством соотношения: где - исходная функция вещественной переменной подлежащей преобразованию по Лапласу. Эта функция называется оригиналом; - комплексная переменная преобразования. Её называют множитель Лапласа; - функция комплексного переменного= a +jb. Эта функция называется изображением. Преобразование Лапласа позволяет выполнить алгебраизацию дифф. уравнений, т.е. операции дифференцирования и интегрирования заменить на алгебраические умножение и деление. После такого преобразования значительно облегчаются процессы анализа и синтеза САУ. Для простейших временных функций изображения по Лапласу приведены в таблице Таблица – изображения по Лапласу временных функций. Примеры 1. 2. 3. (*) Для физической реализации Динамические свойства систем можно оценивать по передаточным функциям, которые получают из операционных уравнений, общий вид которых представлен уравнением (*) Передаточная функция элемента или системы представляет собой отношение изображения по Лапласу выходной величины к изображению по Лапласу входной величины при нулевых начальных условиях. – передаточная функция н.у. = 0 Примеры: 1. делим обе части уравнения на u(p) 2. 3. – передаточная функция в общем виде Лекция№4 Частотные характеристики звена. Частотными характеристиками называются формулы и графики, характеризующие реакцию звена на гармоническое входное воздействие в установившемся режиме, т.е. вынужденные синусоидальные колебания звена. Если на вход линейного звена подать гармоническое воздействие u(t)=U0sin(t), где U0 - амплитуда,  - угловая частота, имеющая размерность [рад/с] или [c-1 ], то, как следует из необходимых и достаточных условий линейности, на выходе звена в установившемся режиме будет также гармоническая функция той же частоты, но, в общем случае, другой амплитуды U0 и сдвинутая по фазе относительно входной величины на угол φ x(t)=X0sin(t+φ). Связь между выходной гармоникой и входной устанавливается с помощью частотной передаточной функции звена W(j). 1. Частотная передаточная функция является важнейшей динамической характеристикой звена и представляет собой отношение изображений по Фурье выходного и входного сигналов при нулевых начальных условиях и равных нулю воздействиях на остальных входах: (3.6) Из сравнения преобразований Фурье и Лапласа следует, что частотную передаточную функцию звена легко получить из его передаточной функции путем замены p на j, т.е. (3.7) Частотная передаточная функция W(j), как видно, представляет собой комплексное число, которое можно записать как в полярной, так и декартовой системах координат: W(j) = A()= U() + jV(), (3.8) где А() - модуль или амплитуда частотной передаточной функции, представляющий собой отношение амплитуды выходной величины к амплитуде входной, т.е. коэффициент усиления звена k на частоте  А() =  W(j)  = mod W(j) =; (3.9) φ - аргумент или фаза частотной передаточной функции, показывает фазовый сдвиг выходной гармоники по отношению к входной на частоте  φ = arg W(j); (3.10) U() - вещественная составляющая частотной передаточной функции U() = Re W(j); (3.11) V() - мнимая составляющая частотной передаточной функции V() = Im W(j). (3.12) Соотношения и связывают между собой составляющие частотной передаточной функции. Таким образом, частотная передаточная функция, определяющая реакцию звена на гармонические колебания всех возможных частот, позволяет, пользуясь принципом суперпозиции, найти реакцию линейного звена на произвольное воздействие. Выражение (3.8) представляет амплитудно-фазовую частотную характеристику звена. Выражения (3.9) и (3.10) называются соответственно амплитудной частотной характеристикой звена и фазовой частотной характеристикой звена, а выражения (3.11) и (3.12) - вещественной частотной характеристикой и мнимой частотной характеристикой звена. Для наглядного представления частотных свойств звена частотные характеристики отображают графически. 2. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ). Строится на комплексной плоскости и представляет собой геометрическое место концов векторов (годографов), соответствующих частотной передаточной функции W(j) при изменении частоты от нуля до бесконечности (рис.3.3). Для каждой частоты  на комплексной плоскости наносится точка, полученные точки соединяются затем плавной кривой. АФЧХ можно строить как в декартовых координатах (U, V), так и в полярных (A, φ). Рис. 3.3. Амплитудно-фазовая частотная характеристика АФЧХ строится как для положительных, так и для отрицательных частот. При замене в W(j)  на - получается сопряженная комплексная величина. Поэтому АФЧХ для отрицательных частот является зеркальным отображением относительно вещественной оси АФЧХ для положительных частот. На рис.3.3 АФЧХ для отрицательных частот показана пунктирной линией. Длина вектора, проведенного из начала координат в точку АФЧХ, соответствующую выбранной частоте , равна А(), а угол между вектором и положительным направлением вещественной оси равен φ. 3. Амплитудная частотная характеристика (АЧХ). Показывает, как пропускает звено сигнал различной частоты, иначе, представляет собой коэффициент изменения амплитуды гармонических колебаний при прохождении через звено (рис. 3.4). Рис. 3.4. Амплитудная частотная характеристика где р - резонансная частота, т.е. частота, на которой амплитудная частотная характеристика достигает максимума, иначе, на этой частоте звено имеет максимальный коэффициент усиления; с - частота среза, частота, на которой амплитудная частотная характеристика, уменьшаясь, принимает значение, равное единице, и при дальнейшем повышении частоты остается меньше единицы; п - частота пропускания, частота, на которой амплитудная частотная характеристика, уменьшаясь, принимает значение, равное 0,707, и при дальнейшем повышении частоты не увеличивается; п=2п - полоса пропускания, диапазон частот гармонических колебаний, пропускаемых звеном без заметного ослабления. 4. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ). Показывает фазовые сдвиги, вносимые звеном на различных частотах (рис.3.5). Рис. 3.5. Фазовая частотная характеристика 5. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ). Представляет собой зависимость вещественной составляющей частотной передаточной функции от частоты (рис. 3.6). Рис. 3.6. Вещественная частотная характеристика Мнимая частотная характеристика (МЧХ). Представляет собой зависимость мнимой составляющей частотной передаточной функции от частоты (рис.3.7). Рис. 3.7. Мнимая частотная характеристика 6. Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). На практике чаще всего амплитудную и фазовую частотные характеристики изображают в логарифмическом масштабе (рис. 3.8). Рис. 3.8. Логарифмические частотные характеристики При построении логарифмической амплитудной частотной характеристики (ЛАХ) по оси ординат откладывают величину L() = 20 lg A() = 20 lgW(j). (3.13) Эта величина выражается в децибелах [дб]. Бел представляет собой логарифмическую единицу, соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз и т.д. Децибел равен одной десятой части бела. Так как А() представляет собой отношение не мощностей, а амплитуд, то увеличение этого отношения в десять раз соответствует двум белам или двадцати децибелам. Поэтому в правой части (3.13) стоит множитель 20. По оси абсцисс откладывается частота  в логарифмическом масштабе lg(). Равномерной единицей на оси абсцисс является декада [дек] - любой отрезок, на котором значение частоты  увеличивается в десять раз. Точка пересечения ЛАХ с осью абсцисс соответствует частоте среза с . Верхняя полуплоскость ЛАХ соответствует значениям А1 (усиление амплитуды), а нижняя полуплоскость - значениям А1 (ослабление амплитуды). При построении логарифмической фазовой частотной характеристики (ЛФХ) отсчет углов φ = argW(j) идет по оси ординат в обычном масштабе в угловых градусах. Главным достоинством логарифмических частотных характеристик является возможность построения их во многих случаях практически без вычислительной работы. Все рассмотренные виды динамических характеристик звеньев (передаточная функция, дифференциальное уравнение, весовая функция, переходная функция, амплитудно-фазовая частотная характеристика) связаны между собой. Поэтому все они эквивалентны друг другу в определении динамических свойств звена системы управления.