Теория автоматического управления. Основные понятия и определения

Пермский государственный технический университет КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ по курсу: “Теория автоматического управления” для студентов заочной формы обучения. (часть 1) Составил: к.т.н., доцент Андриевская Н.В. ПЕРМЬ 2006 ЛИТЕРАТУРА 1. В. В. Солодовнков, В. Н. Плотников, А. В. Яковлев Основы теории и элементы систем автоматического регулирования. 2. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. 3. В. А. Бесекерский , Е. П. Попов Теория систем автоматического управления. 4. Теория автоматического управления :Учеб. пособие для вузов /Анхимюк В.Л., Опейко О.Ф., Михеев Н.Н/ 5. Теория автоматического управления / под. Ред. Воронова А.А./ 6. Теория автоматического управления / под ред. Нетушила А.В./ 7. Лукас В.А. Теория автоматического управления. . 8. Р. Дорф, Р. Бишоп Современные системы управления. Историческая справка Основоположником предмета теории автоматического управления является русский ученый и инженер И.А. Вышнеградский, который в 1867 г. опубликовал ра­боту о регуляторах прямого действия. В этой работе он впервые доказал, что объект регулирования и регулятор являются единой системой регулирования, и поэтому процессы, проходящие в регуляторе и объекте управления, являются взаимосвязан­ными и должны рассматриваться вместе, т.е. системно. где Р  регулятор или автоматически управляющее устройство – устройство, осуществляющее в соответствии с алгоритмом управления воздействие на управляемый объект, а ОУ  объект управления – устройство (или совокупность устройств), осуществляющее технический процесс и нуждающееся в специально организованных воздействиях извне для осуществления его алгоритма функционирования. В это же время в том же направлении работал Максвелл. В дальнейшем выдающиеся русские ученые А.М. Ляпунов и Н.Е. Жуковский создали основы математической теории процессов, протекающих в автоматически управляемых машинах и механизмах. Еще до н.э. арабы изобрели поплавковый регулятор. 1765г. - Ползунов изобрел паровую машину (поплавковый регулятор в котле). 1784г. - Уатт изобрел центробежный регулятор скорости в паровой машине. Работы современного ТАУ: А.С. Понтрягин - «принцип максимума». Р.Беллман и Р.Каллман - «Принцип оптимальности автоматизированного управления». Основными задачами ТАУ являются: устойчивость, управляемость, наблюдаемость, качество переходных процессов, динамическая точность, синтез и анализ систем автоматического управления, идентификация. Взаимосвязь ТАУ с другими техническими науками Кибернетика наука об оптимальном управлении сложными системами (технические объекты, технологические процессы, живые организмы, коллективы, предприятия и др.). В кибернетике выделяется раздел технической кибернетики, как науки об управлении техническими объектами. В технической кибернетике выделяется теория информации – наука, занимающаяся сбором и обработкой информации, необходимой для управления техническими объектами и ТАУ. Системой автоматического управления  называют совокупность управляемого объекта и автоматического управляющего устройства (регулятора), взаимодействующих между собой в соответствии с определенным алгоритмом управ­ления. САУ – это такая система, в которой управляющие функции выполняются автоматически, т.е. без участия чело­века. АСУ (автоматизированная система управления)  это система, в которой часть управляющих функций выполняется автоматическими управляющими устройствами, а часть функций (наиболее важных и сложных) выполняется человеком. Основные понятия и определения ТАУ Автоматическое регулирование  это поддержание постоянной заданной вели­чины, характеризующей состояние объекта управления или изменение этой величины по определенному заданному закону регулирования. При этом это поддержание осуществляется путем измерения управляемых величин объекта управления и выработкой управляющего воздействия на данный объект. Автоматическое управление  это автоматическое выполнение ряда функций, обеспечивающих оптимальное функционирование системы с возможностью выбора из различных вариантов функционирования. При этом данные функции выполняются по алгоритмам, достигающим цель управления. САР – система автоматического регулирования; ТАР – теория автоматического регулирования; САУ – система автоматического управления; ТАУ – теория автоматического управления. Основные характеристики ОУ Объектом управления в ТАУ могут быть любые технические объекты, технологические процессы, а также более простые САУ. Любой объект характеризуется рядом величин, определяющих процессы в самом объекте, влияние внешней среды на объект, управляющие сигналы с регулятора. Внешними воздействиями называют величины, влияющие на объект извне. Внешние воздействия бывают двух типов: 1. Управляющее воздействие (управляющий сигнал, управляющая входная величина) – это величина, характеризующая влияние регулятора на объект. 2. Возмущениявнешние воздействия, которые не управляют объектом, но оказывают влияние на функционирование объекта. Возмущения делятся на нагрузку – это внешние воздействия, обусловленные работой системы и помехи  вредное влияние внешней среды, обусловленное побочными явлениями в объекте. Величины, характеризующие изменения в самом объекте, называются внутренними величинами или состоянием объекта. Среди них следует выделить управляемую величину, по наблюдениям за которой и вырабатывается управляющее воздействие регулятора. - возмущение; - управляющее воздействие; - управляемая величина. Примеры объектов управления 1. у = Н - управляемая величина (уровень жидкости); х = Q1 - управляющее воздействие (приток жидкости); z = Q2 – нагрузка (расход жидкости). Динамическая характеристика: где S – площадь поперечного сечения резервуара. Y = f(X, Z, t) – взаимосвязь всех координат. Каждый объект характеризуется двумя характеристиками (режимами): статической и динамической. Статическая характеристика (установившийся режим) – это характеристика, в которой постоянное входное воздействие Х и возмущение Z постоянны во времени, тогда управляемая величина Y = f(X,Z). Статические характеристики бывают монотонные и экстремальные. Частным случаем статической характеристики является квазистатическая характеристика, когда на вход подается гармоническое воздействие (sin), тогда в установившемся режиме тоже будет гармоническая величина. Динамическая характеристика, когда управляемая величина Y не является постоянной во времени и описывается следующим уравнением: Y(t) = f(X(t), Z(t), t). Все переменные описываются системой обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), либо системой нелинейных дифференциальных уравнений (НДУ). 2. Электродвигатель постоянного тока. Фд  магнитный поток двигателя; iя  ток якоря двигателя; Uя  напряжение якоря двигателя; Rя  сопротивление якоря двигателя; iв  ток обмотки возбуждения; Uв  напряжение обмотки возбуждения; Мтр  момент трения, возникающий на валу двигателя;   частота вращения вала двигателя; J  момент инерции механизма, приведенного к валу двигателя; Мнагр  момент нагрузки на валу двигателя. Запишем уравнения: - динамические характеристики. При статической характеристике все производные зануляются. a1 и c1 конструктивные параметры двигателя; Фд - является нелинейной функцией от тока возбуждения; Мтр  является нелинейной функцией от частоты вращения вала двигателя; Управляющим воздействием является Х = Uя(Uв), управляемой величиной – У = , нагрузка (внешнее воздействие) – Z = Uв(Uя), Мнагр, Мтр – помеха. Типовая функциональная схема САР (замкнутая) U(t) – задающее воздействие (общий сигнал в систему), x(t) – управляющее воздействие (то, что вырабатывает регулятор), y(t) – управляемая величина, e(t) – отклонение (ошибка) управляемой величины от задающего воздействия. Структура САУ: 1  Задающее устройство, которое преобразует входной сигнал U(t) в сигнал, удобный для дальнейшего использования;  2  сравнивающее устройство, вырабатывает сигнал ошибки (отклонения) как разность задающего сигнала и управляемой величины; 3  преобразующее устройство, преобразует сигнал ошибки в другую форму, удобную для дальнейшего использования, при этом не выполняются функции усиления и коррекции (пример: электрическаямеханическая); 4 и 8  корректирующие устройства, улучшают динамические свойства регулирования и повышают устойчивость. В зависимости от включения бывают параллельными или последовательными. 4  последовательная коррекция, 8  па­раллельная коррекция.  5  сравнивающее устройство местной обратной связи; 6 усилительное устройство, усиливает мощность сигнала; 7  исполнительное устройство, вырабатывает управляющее воздействие x(t) непосредственно на объект управления; 9  чувствительный элемент, фиксирует (измеряет) управляемую величину y(t); 10  элемент главной обратной связи, преобразует управляемую величину y(t) в вид, удобный для сравнения с задающим сигналом; ОУ  объект управления. Блоки 1, 10, 9 образуют датчик, а блоки 3, 4, 5, 6, 7, 8 – сервомеханизм. Тогда, с учетом укрупнений, получим: Датчик измеряет управляемую величину и задающую. Сервомеханизм вырабатывает и реализует управляющее воздействие. Реальная САУ может не содержать некоторые из рассматриваемых пронумерованных блоков. Некоторые блоки могут объединяться. То, что называли блоками, носит название звеньев. И регулятор, и ОУ могут состоять из нескольких звеньев. Два сигнала – входной и выходной. Классификация САУ Классификационные признаки САУ выделяют три крупные группы: 1. Классификация по характеру динамических процессов в системе. 2. Классификация по характеристикам управления. 3. Классификация по другим признакам. Классификация по характеру динамических процессов в системе 1. Непрерывность. а) САУ бывают непрерывные  это такие системы, в которых во всех звеньях непрерывному во времени входному сигналу соответствует непрерывный во времени выходной сигнал. Для того чтобы система была непрерывная, необходимо наличие непрерывных статических характеристик системы. б) дискретные САУ это такие системы, в которых хотя бы в одном звене непрерывному входному сигналу соответствует дискретный выходной сигнал (или импульс). Такое звено, называется импульсным. К дискретным системам, как разновидность, относятся цифровые САУ, в которых функции регулятора выполняет цифровое устройство, а выходная величина представляет собой цифры. в) релейные САУ (системы релейного действия)  это системы, в которых хотя бы в одном звене непрерывной входной величине соответствует выходная величина, изменяющаяся скачком. Статическая характеристика релейных систем имеет точку разрыва. 2. Линейность. а) 1. Обыкновенные линейные системы (с сосредоточенными параметрами) – это такие системы, в которых в каждом из звеньев динамические процессы описываются обыкновенными линейными уравнениями. Статическая характеристика таких систем имеет линейный вид. Параметры (коэффициенты) этой системы постоянны во времени. а) 2. Особые линейные системы, среди которых различают: 1. линейные системы с переменными параметрами это такие САУ, в которых хотя бы одни параметры системы изменяются во времени, например, коэффициент усиления. 2. линейные САУ с распределенными параметрами это такие САУ, динамика которых описывается частными производными. 3. линейные системы с запаздыванием это такие САУ, в которых присутствует хотя бы одно звено чистого запаздывания (непрерывному входному сигналу соответствует непрерывный выходной сигнал, сдвинутый по времени на , где  - время запаздывания). б) Нелинейные системы  это такие САУ, в которых хотя бы одно звено описывается нелинейным уравнением или имеется нелинейность иного вида, такая как произведение двух переменных, квадратный корень, степень и др. Среди нелинейных систем также выделяют особые нелинейные системы: б) 1. нелинейные системы с переменными параметрами; б) 2. нелинейные системы с распределенными параметрами; б) 3. нелинейные системы с чистым запаздыванием; б) 4. К нелинейным системам относятся релейные системы. Классификация по характеристикам управления 1. По принципу управления. В зависимости от конфигурации цепи воздействий различают три вида систем управления: с разомкнутой цепью воздействий, с замкнутой цепью и комбинированные. а) В автоматической системе управления с разомкнутой цепью воздействий (кратко – разомкнутая система) входными воздействиями управляющего устройства являются только внешние (задающие и возмущающие) воздействия, т.е. в них не осуществляется контроль управляемой величины. Разомкнутые системы можно разделить в свою очередь на два класса: системы, осуществляющие управление в соответствии с изменением только задающего воздействия (рис. а) и системы, управляющие при изменении возмущения (рис. б). Алгоритм управления разомкнутой системы первого типа имеет вид: Чаще всего оператор Ау устанавливает пропорциональную связь между задающим воздействием хз(t) и управляющим воздействием y(t), а сама система в этом случае осуществляет программное управление. Системы первого типа работают с достаточной эффективностью лишь при условии, если влияние возмущений на управляемую величину невелико и все элементы разомкнутой цепи обладают достаточно стабильными характеристиками. Система управления по возмущению – это такая система, в которой для уменьшения отклонения управляющей величины от заданной измеряется управляющее воздействие, обрабатывается по определенному алгоритму и накладывается на прежний управляющий сигнал. В системах управления по возмущению управляющее воздействие зависит от возмущающего и задающего воздейст­вий: причем в большинстве случаев оператор Ау может быть разделен на две не зависящие друг от друга составляющие: Оператор Аз соответствует, как правило, простому пропорциональному преобразованию сигнала хз(t), а оператор Ав может быть и более сложным, например, устанавливающим нелинейное соотношение между сигналами ув(t) и z(t). В большинстве случаев разомкнутые системы управления по возмущению выполняют функции стабилизации управляемой величины. Преимущество разомкнутых систем управления по возмущению – их быстродействие: они компенсируют влияние возмущения еще до того, как оно появится на выходе объекта. Но применимы эти системы лишь в том случае, если на управляемую величину действует одно или два возмущения и есть возможность измерения этих возмущений. б) В автоматической системе с замкнутой цепью воздействий (кратко – замкнутая система), на вход управляющего устройства поступают как внутреннее (контрольное) воздействие, так и внешнее (задающее). Система управления по отклонению или замкнутая система – это такая система, в которой для уменьшения отклонения управляемой величины от заданной, измеряется данное отклонение, обрабатывается по определенному алгоритму управляющее воздействие. Управляющее воздействие в замкнутой системе формируется в большинстве случаев в зависимости от величины и знака отклонения истинного значения управляемой величины от ее заданного значения: где - сигнал ошибки (называемый также сигналом рассогласования). В замкнутой системе контролируется непосредственно управляемая величина и тем самым при выработке управляющих воздействий учитывается действие всех возмущений, влияющих на управляемую величину. В этом заключается преимущество замкнутых систем. Но из-за наличия замкнутой цепи воздействий в этих системах могут возникать колебания, которые в некоторых случаях делают систему неработоспособной. Кроме того, сам принцип действия замкнутых систем (принцип управления по отклонению) допускает нежелательные изменения управляемой величины: вначале возмущение должно проявиться на выходе, система «почувствует» отклонение и лишь потом выработает управляющие воздействия, направленные на устранение отклонения. Такая «медлительность» снижает эффективность управления. Несмотря на наличие определенных недостатков, этот принцип широко применяют при создании автоматических систем. Во всех замкнутых системах существуют обратные связи, которые подразделяются на жесткие обратные связи и гибкие обратные связи. Жесткие обратные связи – это такие связи, в которых обратный сигнал существует как в динамическом, так и в статическом режиме. Гибкие обратные связи – связи, в которых сигнал обратной связи существует только в динамическом режиме. В комбинированных системах создают две цепи воздействий – по заданию и по возмущению, и управляющее воздействие формируется согласно оператору Эффективность работы комбинированной системы управления всегда больше, чем у порознь функционирующих замкнутой или разомкнутой систем. 2. По управляющему воздействию (задающее воздействие). В зависимости от характера изменения задающего воздействия во времени автоматические системы управления разделяются на три класса: стабилизирующие, программные и следящие системы. а) Стабилизирующая автоматическая система управления (система стабилизации) – это система, алгоритм функционирования которой содержит предписание поддерживать значение управляемой величины постоянным: Стабилизирующие системы самые распространенные в промышленной автоматике. Их применяют для стабилизации различных физических величин, характеризующих состояние технологических объектов. б) Алгоритм функционирования программной автоматической системы содержит предписание изменять управляемую величину в соответствии с заранее заданной функцией времени f(t): . в) Следящая автоматическая система управления предназначена для изменения управляемой величины в соответствии с изменениями другой величины, которая действует на входе системы и закон изменения которой заранее не известен: , но f(t) заранее не известна. Следящие системы используют обычно для дистанционного управления перемещением объектов в пространстве. Управляемой величиной в этом случае является либо расстояние (перемещаемого объекта) от какой-либо начальной точки, либо угол поворота (вращаемого объекта), отсчитываемый от начального положения. Следящие системы применяют также для дистанционной передачи показаний. г) Самонастраивающиеся системы (адаптивные или экстремальные) U(t)=extr(Ui(t)), входной сигнал U(t) выбирается наилучшим из множества сигналов в соответствии с целью управления. Наиболее часто принцип автоматического поиска применяют для управления объектами, характеристики которых имеют экстремальный характер. Целью управления является отыскание и поддержание управляющих воздействий, соответствующих экстремальному значению управляемой величины. Такие системы поиска называют экстремальными системами. 3. Свойства в установившемся режиме. а) Статические системы  это такие системы, в которых при заданном воз­действии, которое стремится к постоянному, отклонение управляющей величины также стремится к постоянной величине, отличной от нуля. б) Астатические системы  это такие системы, в которых отклонение управляющей величины при любом постоянном задающем воздействии стремится к нулю. Классификация САУ по другим признакам 3.1. По усилению мощности сигнала. а) САУ прямого действия это такая САУ, в которой управляющий сигнал предварительно не усиливается. б) САУ непрямого действия  это САУ, в которых управляющий сигнал усиливается предварительно дополнительным усилительным устройством. 3.2. По количеству контуров в системе. а) одноконтурные САУ – системы, в которых существует только одна главная обратная связь. б) многоконтурные САУ – системы, в которых помимо обратной главной связи существуют местные обратные связи. 3.3. По связности системы. а) односвязные САУэто САУ, в которых присутствует либо один регулятор, либо несколько регуляторов, взаимодействие которых учитывается в законе управления. б) многосвязные САУ это САУ, в которых присутствует несколько регуляторов независимых друг от друга. 3.4. По размерности системы. а) одномерные САУ – системы, в которых существует один управляющий сигнал и одна управляемая величина. б) многомерные САУ – системы, в которых количество управляемых величин и управляющих сигналов превышает единицу. Основные (типовые) управляющие воздействия САУ При экспериментальном и теоретическом исследовании автоматических систем и их элементов используют ряд стандартных сигналов, называемых типовыми воздействиями. Эти воздействия описываются простыми математическими функциями и легко воспроизводятся при испытании систем. Наибольшее применение в теории и практике автоматического управления находят следующие четыре типовых воздействия: ступенчатое, импульсное, гармоническое и линейное. Ступенчатое воздействие – это воздействие, которое мгновенно возрастает от нуля до некоторого значения и далее остается постоянным (см. рис.). Ступенчатому воздействию соответствует функция При анализе и расчете систем удобно использовать ступенчатое воздействие, у которого величина а0 = 1. Его называют единичным ступенчатым воздействием (единичным скачком) и обозначают 1(t). Математическое выражение, описывающее единичный скачок, имеет вид Ступенчатое воздействие чаще всего используют при испытаниях и расчетах систем стабилизации, так как эти воздействия наиболее близки к реальным входным (задающим и возмущающим) воздействиям систем стабилизации. Импульсное воздействие представляет собой одиночный импульс прямоугольной формы (см. рис.), имеющий достаточно большую высоту и весьма малую продолжительность (по сравнению с инерционностью испытываемой системы). Очевидно, что площадь такого импульса всегда равна а0. При математическом анализе автоматических систем используют единичное импульсное воздействие, которое описывается так называемой дельта – функцией причем Согласно этим выражениям, дельта – функцию можно рассматривать как импульс, имеющий бесконечно большую высоту, бесконечно малую длительность и единичную площадь. Дельта – функцию можно определить также как производную единичного скачка: . В качестве стандартного гармонического воздействия используют обычно сигнал синусоидальной формы, описываемый функцией где А – амплитуда сигнала; - круговая частота, рад/с; Т – период сигнала, с. Гармонические воздействия широко используются при исследовании точности и устойчивости как стабилизирующих, так следящих и программных автоматических систем. Это объясняется двумя обстоятельствами: во – первых, реальные возмущения часто имеют периодический характер и поэтому могут быть представлены в виде суммы гармонических составляющих; во – вторых, математический аппарат анализа автоматических систем хорошо разработан именно для случая гармонических воздействий. Для следящих и программных систем типовым является линейное воздействие (см. рис.) . Коэффициент а1 характеризует скорость нарастания воздействия x(t). Временные характеристики САУ Наиболее наглядное представление о динамических свойствах элемента дает его переходная функция (характеристика). Переходной функцией h(t) называют изменение выходной величины y(t) во времени, возникающее после подачи на вход единичного ступенчатого воздействия, при нулевых начальных условиях. Импульсной переходной функцией (t) называют изменение выходной величины y(t), возникающее после подачи на вход дельта – функции, при нулевых начальных условиях (см. рис.). Импульсная переходная функция (t) равна производной от переходной функции h(t): , и наоборот, переходная функция равна интегралу от импульсной переходной: Переходные характеристики h(t) и (t) называют также временными. Частотные динамические характеристики Частотные характеристики описывают передаточные свойства элементов и систем в режиме установившихся гармонических колебаний, вызванных внешним гармоническим воздействием. Зная частотную характеристику элемента, можно определить реакцию элемента на гармоническое воздействие любой частоты, а также на сумму гармонических воздействий различной частоты. Частотные характеристики широко используются в теории и практике автоматического управления, так как реальные возмущения, действующие на автоматические системы, могут быть представлены как сумма гармонических сигналов. 1. Передаточная функция звена (W(p)). 2. Амплитудная частотная характеристика (АЧХ). 3. Фазовая частотная характеристика (ФЧХ). 4. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ). 5. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика (ЛАЧХ). Передаточной функцией W(p) называют отношение изображения выходной величины к изображению входной величины при нулевых начальных условиях. Допустим динамика описывается дифференциальным управлением: Применим к данному уравнению прямое преобразование Лапласа: Структурная схема звена САУ: Зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигнала от частоты называют амплитудной частотной характеристикой (сокращенно - АЧХ) и обозначают А() (см. рис.а). Зависимость фазового сдвига между входным и выходным сигналами от частоты называют фазовой частотной характеристикой (ФЧХ) и обозначают () (см. рис.б). Аналитические выражения А() и () называют соответственно амплитудной и фазовой частотными функциями. АЧХ показывает, как элемент пропускает сигналы различной частоты. Оценка пропускания производится по отношению амплитуд в установившемся режиме. АЧХ имеет размерность, равную отношению размерности выходной величины к размерности входной. ФЧХ показывает, какое отставание или опережение выходного сигнала по фазе создает элемент при различных частотах в установившемся режиме. Амплитудную и фазовую частотные характеристики можно объединить в одну общую – амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ или АФХ). Амплитудно-фазовая частотная характеристика W(j) представляет собой функцию комплексного переменного j, модуль которой равен А(), а аргумент равен (). Каждому фиксированному значению частоты i соответствует комплексное число W(ji), которое на комплексной плоскости можно изобразить вектором, имеющим длину А(i) и угол поворота (i) (см. рис.в). Отрицательные значения (), соответствующие отставанию выходного сигнала от входного, принято отсчитывать по часовой стрелке от положительного направления действительной оси. При изменении частоты от нуля до бесконечности вектор W(j) поворачивается вокруг начала координат, при этом одновременно увеличивается или уменьшается длина вектора. Кривая, которую при этом опишет конец вектора, называемая годографом, и есть АФХ. Каждой точке характеристики соответствует определенное значение частоты. Проекции вектора W(j) на действительную и мнимую оси называют соответственно действительной и мнимой частотными характеристиками и обозначают При этом, действительная частотная характеристика Р() – всегда четная функция частоты, а мнимая характеристика Q() – всегда нечетная функция. Аналитическое выражение для АФХ конкретного элемента можно получить из его передаточной функции путем подстановки р=j: АФХ W(j), как и любая комплексная величина, может быть представлена в показательной форме где А() – модуль АФХ, а () – угол сдвига по фазе; алгебраической или тригонометрической Связь между различными частотными функциями следующая: Физический смысл замены р=j: на вход звена мы подаем гармоническое воздействие , на выходе звена - , тоже имеем гармонический сигнал, но с другой амплитудой и со сдвигом по фазе. При практических расчетах автоматических систем удобно использовать частотные характеристики, построенные в логарифмической системе координат. Такие характеристики называют логарифмическими. Они имеют меньшую кривизну и поэтому могут быть приближенно заменены ломаными линиями, составленными из нескольких прямолинейных отрезков. Причем, эти отрезки в большинстве случаев удается построить без громоздких вычислений при помощи некоторых простых правил. Кроме того, в логарифмической системе координат легко находить характеристики различных соединений элементов, так как умножению и делению обычных характеристик соответствует сложение и вычитание ординат логарифмических характеристик. За единицу длины по оси частот логарифмических характеристик принимают декаду. Декада – интервал частот, заключенный между произвольным значением i и его десятикратным значением 10i. Отрезок логарифмической оси частот, соответствующий одной декаде, равен 1. Обычно в расчетах используют логарифмическую амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ) ординаты которой измеряют в логарифмических единицах – белах (Б) или децибелах (дБ). При построении фазовой частотной характеристики логарифмический масштаб применяют только для оси абсцисс. На рис.г показаны ЛАЧХ L() (толстая линия) и соответствующая ей приближенная (асимптотическая) характеристика Lа() в виде прямолинейных отрезков (тонкая линия). Частоты, соответствующие точкам стыковки отрезков, называют сопрягающими и обозначают с. Типовые динамические звенья Алгоритмические звенья, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого и второго порядка, получили название типовых динамических звеньев. Типовые динамические звенья подразделяются на: 1. безынерционное звено (усилительное); 2. апериодическое звено; 3. колебательное звено; 4. идеальное дифференцирующее звено; 5. реальное дифференцирующее звено; 6. идеальное интегрирующее звено; 7. реальное интегрирующее звено; 8. форсирующее звено; 9. звено чистого запаздывания. Безынерционное звено Безынерционное звено является простейшим среди всех типовых звеньев. Оно передает сигнал со входа на выход мгновенно, без искажений его формы. В звене может происходить только усиление или ослабление мгновенных значений входной величины. Связь между мгновенными значениями входной величины x(t) и выходной величины y(t) описывается алгебраическим уравнением Передаточные свойства звена определяются лишь одним параметром – передаточным коэффициентом k. При единичном ступенчатом воздействии x(t)=1(t), приложенном в момент t=0, выходная величина мгновенно изменяется и принимает значение k (рис.а). 1. Переходная характеристика звена имеет вид 2. Импульсная переходная характеристика (функция веса) (рис.б) 3. Уравнение звена в операционной форме отсюда передаточная функция 4. Амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) звена описывается функцией которой на комплексной плоскости соответствует одна точка на действительной оси (рис.е). 5. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) представляет собой прямую, параллельную оси частот (рис.в). Это означает, что сигналы любой частоты (от нуля до бесконечности) проходят через безынерционное звено с одинаковым отношением амплитуд выходной и входной величин, равным k. 6. Выражение для фазовой частотной характеристики (ФЧХ) (рис.г) показывает, что безынерционное звено не создает фазовых сдвигов между входной и выходной величиной. Это и оправдывает название звена. 7. Логарифмическая амплитудная частотная характеристика (ЛАЧХ) безынерционного звена так же, как и его АЧХ, является прямой линией, параллельной оси абсцисс (рис.д). Графики соответствующих характеристик изображены на рис.: На алгоритмических схемах безынерционное звено изображают в виде прямоугольника, внутри которого указывают буквенное обозначение или числовое значение передаточного коэффициента k (см. рис.). Пример: Здесь U  входная характеристика; I  выходная характеристика. Примерами могут также служить любая электрическая цепь, состоящая из сопротивлений и являющаяся усилительным звеном; рычаги и зубчатые передачи. В практике усилительные звенья встречаются очень редко. Апериодическое звено Динамика процесса описывается следующим уравнением: где k передаточный коэффициент или коэффициент усиления, Тпостоянная времени, характеризующая инерционность звена. 1. Переходная характеристика: 1) 2) В точке ноль строят касательную переходной характеристики, определяют точку пересечения с линией k. Абсцисса этой точки и есть постоянная времени. 2. Импульсная переходная характеристика, или функция веса, звена может быть получена путем дифференцирования функции h(t): 3. Передаточная функция: Применим преобразование Лапласа к уравнению: Структурная схема звена при этом будет выглядеть следующим образом: 4. АФХ: Подставляя в передаточную функцию p=j, получим амплитудно-фазовую функцию: 5. АЧХ: График АЧХ строится по точкам: Здесь с – частота среза. Гармонические сигналы малой частоты ( <с) пропускаются звеном хорошо – с отношением амплитуд выходной и входной величин, близким к передаточному коэффициенту k. Сигналы большой частоты ( >с) плохо пропускаются звеном: отношение амплитуд существенно коэффициента k. Чем больше постоянная времени Т, т.е. чем больше инерционность меньше звена, тем меньше АЧХ вытянута вдоль оси частот, или, тем уже полоса пропускания частот. Т.о. инерционное звено первого порядка по своим частотным свойствам является фильтром низкой частоты. 6.ФЧХ: ФЧХ инерционного звена первого порядка равна: Чем больше частота входного сигнала, тем больше отставание по фазе выходной величины от входной. Максимально возможное отставание равно 900. При частоте с=1/Т сдвиг фаз равен –450. 7.ЛАЧХ: Рассмотрим теперь ЛАЧХ звена. Точная ЛАЧХ описывается выражением: При построении ЛАЧХ апериодического звена прибегают к асимптотическим методам или, другими словами, строят асимптотический график ЛАЧХ. На втором участке наклон асимптотической ЛАЧХ составляет 20 дБ/дек. От первых двух точек эта характеристика ЛАЧХ в точке среза будет меньше асимптотической ЛАЧХ на величину . Шаблон поправки Для построения ЛАЧХ апериодических звеньев в литературе приводится шаблон поправки. В пределах одной декады ЛАЧХ вокруг частоты с претерпевает наибольшие изменения. Шаблон таких изменений уже вычислен и приведен в литературе. Порядок построения ЛАЧХ апериодического звена 1. Строим асимптотический ЛАЧХ. 2. Выбирается шаблон поправки, ось ординат которого совмещается с частотой среза асимптотической ЛАЧХ. 3. По данному шаблону вносятся изменения в асимптотическую ЛАЧХ. Примеры апериодических звеньев Колебательное звено Динамика процессов в колебательном звене описывается уравнением: , где k коэффициент усиления звена; Т постоянная времени колебательного звена;  коэффициент демпфирования звена (или коэффициент затухания). В зависимости от величины коэффициента демпфирования различают четыре типа звеньев: а) колебательное 0<<1; б) апериодическое звено II порядка>1; в) консервативное звено =0; г) неустойчивое колебательное звено <0. 1. Переходная характеристика колебательного звена: Амплитуды первых двух колебаний определяют величину -. Чем ближе коэффициент затухания к единице, тем меньше амплитуда колебаний, чем меньше Т, тем быстрее устанавливаются переходные процессы. При  >1 колебательное звено называется апериодическим звеном второго порядка (последовательное соединение двух апериодических звеньев с постоянными времени Т1 и Т2). , или можно записать так . Здесь 0 – величина, обратная постоянной времени (); . Такое звено в литературе называют консервативным звеном. Все переходные характеристики будут колебаться вдоль величины k. 2. Импульсная переходная характеристика: 3.Передаточная функция: 4.АФХ: График АФХ будет выглядеть следующим образом: Это характеристика для колебательного звена и для апериодического звена второго порядка. Для апериодического звена - . А в случае б) формула АФХ совпадает со случаем а). - - АФХ для консервативного звена. 5.АЧХ: . АЧХ при частоте имеет максимум (резонансный пик), равный . Отсюда видно, что, чем меньше коэффициент , тем больше резонансный пик. Т.о., по графику АЧХ видно, что колебательное звено, как и все инерционные звенья, хорошо пропускает сигналы низкой частоты и плохо – сигналы высокой частоты; если частота гармонического входного сигнала близка к частоте собственных колебаний звена, то отношение амплитуды выходного сигнала к амплитуде входного больше передаточного коэффициента k. 6.ФЧХ: Для случая б) график будет аналогичным, только перегиб будет чуть меньше (штриховая линия на графике). 7.ЛАЧХ: , где Асимптотическая ЛАЧХ колебательного звена: Определяем наклон на втором участке: Шаблон к графику а) дается от 0 до 1 шагом в 0,1. Консервативное звено: Структурная схема колебательного звена будет выглядеть следующим образом: Примером колебательного звена является любая RLc- цепь. Идеальное интегрирующее звено Динамика интегрирующего звена описывается дифференциальным уравнением . 1. Переходная характеристика: 2. Импульсная переходная характеристика (или функция веса) имеет вид: 3. Передаточная функция идеального интегрирующего звена: 4. АФХ звена: на комплексной плоскости изображается в виде прямой, совпадающей с мнимой осью. 5. АЧХ: представляет собой гиперболу, которая при стремится к бесконечности. При увеличении частоты значения А() стремятся к нулю. Это свойство сближает интегрирующие звенья с инерционными. 6. ФЧХ идеального интегрирующего звена: показывает, что сдвиг фаз, создаваемый звеном, на всех частотах одинаков и равен -900. 7. ЛАЧХ: представляет собой прямую с наклоном –20дБ/декаду, проходящую через точку с координатами =1, L()=20lgk. Пример: Идеальным интегрирующим звеном можно считать (с некоторыми допущениями) гидравлический исполнительный механизм, для которого входной и выходной величиной является количество жидкости Q (м3/с), поступающей в единицу времени в полость цилиндра, а выходной величиной – перемещение l (м) поршня со штоком. Действительно, если масса перемещающихся частей пренебрежимо мала и усилие, создаваемое давлением гидронасоса, существенно больше сил сопротивления, то перемещение поршня определяется уравнением баланса жидкости вида , где S – площадь поверхности жидкости (м2), а коэффициент k – выражением . Идеальных интегрирующих звеньев в реальных объектах практически не существует. Реальное интегрирующее звено Динамика процесса в таком звене описывается следующим уравнением: , где k – коэффициент усиления. 1. Переходная характеристика: 2. Импульсная переходная характеристика: 3. Передаточная функция реального интегрирующего звена: Реальное интегрирующее звено представляет собой последовательное соединение идеального интегрирующего звена и апериодического. 4. АФХ: 5. АЧХ: 6. ФЧХ: 7. ЛАЧХ: Структурная схема: Примером может служить электродвигатель постоянного тока, в котором управляемая величина – поворот вала двигателя. Изодромное интегрирующее звено Динамика процесса описывается следующим уравнением: , здесь k и k1 – коэффициенты усиления. 1. Переходная характеристика: 2. Импульсная переходная характеристика: 3. Передаточная функция: 4. АФХ: 5. АЧХ: 6. ФЧХ: 7. ЛАЧХ: Структурная схема: Примером изодромного интегрирующего звена может служить гидравлический демпфер, к поршню которого присоединена пружина. Идеальное дифференцирующее звено Динамика процесса в таком звене описывается уравнением: 1. Переходная характеристика: 2. Импульсная переходная характеристика: 3. Передаточная функция: 4. АФХ: совпадает с положительной частью мнимой оси. 5. АЧХ: показывает: чем больше частота входного сигнала, тем больше амплитуда выходного сигнала. Эта особенность дифференцирующих звеньев вытекает непосредственно из основного уравнения: чем быстрее изменяется во времени сигнал x(t), тем больше его производная в правой части и выходной сигнал y(t). 6. ФЧХ: Сдвиг фаз, создаваемый идеальным дифференцирующим звеном, на всех частотах одинаков и равен 7. ЛАЧХ звена: - прямая линия с наклоном +20 дБ/декаду, проходящая через точку с координатами . Структурная схема: Примером дифференциального звена можно назвать тахогенератор постоянного тока. Реальное дифференцирующее звено Динамика дифференцирующего звена представлена уравнением 1. Переходная характеристика: График меняется скачком. 2. Импульсная переходная характеристика: 3. Передаточная функция: 4. АФХ: 5. АЧХ: 6. ФЧХ: 7. ЛАЧХ: Структурная схема: Примером реального дифференцирующего звена является Rc – цепь. Здесь x=U1 – входная величина; y=U2=UR – выходная величина. Звено чистого запаздывания Звеном чистого запаздывания называется такое звено, выходная величина которого полностью повторяет входную величину, но со сдвигом во времени на величину  (время запаздывания). Динамика процесса описывается уравнением: , где  - длительность запаздывания. 1. Переходная характеристика: 2. Импульсная переходная характеристика: 3. Передаточная функция звена: 4. АФХ: представляет собой окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице. 5. АЧХ: 6. ФЧХ: 7. ЛАЧХ: Структурная схема: Структурные схемы САУ Для оценки точности, устойчивости и качества управления замкнутых систем необходимо знать их уравнения статики и динамики. Уравнение динамики замкнутой системы можно получить на основе совокупности уравнений отдельных элементов, образующих систему, путем последовательного исключения промежуточных переменных. Наиболее удобным для решения этой задачи объединения математических моделей элементов является метод структурных преобразований, согласно которому по структуре схемы с помощью нескольких простых правил находят ее общую (эквивалентную) передаточную функцию, а затем – соответствующее уравнение динамики. Структурные схемы САУ  это графическое изображение САУ, где динамика процессов представлена в операторной форме в виде передаточных функций. Типовые элементы структурных схем САУ 1. Звено 2. Узел разветвления 3. Сумматор 4. Элемент сравнения Для упрощения (свертывания) сложных алгоритмических схем применяют три главных правила преобразования, с помощью которых определяют эквивалентные передаточные функции типовых соединений звеньев. • Передаточная функция последовательно соединенных звеньев равна произведению передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение. Определить передаточную функцию всей системы. • Передаточная функция параллельно соединенных звеньев равна алгебраической сумме передаточных функций всех звеньев, входящих в соединение. • Передаточная функция соединения с отрицательной (положительной) обратной связью равна передаточной функции прямой цепи, деленной на единицу плюс (минус) произведение передаточных функций прямой цепи и цепи обратной связи. Соединение звеньев с отрицательной обратной связью. Структурная схема звеньев с положительной обратной связью. С помощью этих правил удается преобразить любую исходную алгоритмическую схему, не содержащую перекрестных связей, к одноконтурной схеме. Алгоритмическую схему замкнутой системы управления (и саму систему) называют одноконтурной, если при ее размыкании в какой либо точке образуется цепь, не содержащая параллельных соединений и обратных связей. Цепь, полученная при размыкании замкнутой системы (см. рис. а) между точками А и В, не содержит параллельных соединений и обратных связей. Получаемая при размыкании одноконтурной системы цепь последовательно соединенных элементов, стоявших внутри замкнутого контура, называется разомкнутым контуром системы (см. рис. б). В соответствии с этим определением Передаточная функция разомкнутого контура Wр.к.(р) одноконтурной системы равна произведению передаточных функций всех элементов, стоящих внутри контура системы. Передаточные функции элементов, стоящих вне замкнутого контура, никогда не входят в произведение Wр.к.(р). Для нашей системы , передаточные функции W5(p) и W6(p) не входят в это произведение, т.к. эти элементы стоят вне замкнутого контура. Многоконтурные структурные схемы При определении передаточной функции многоконтурной системы используется принцип вложенности: определяется минимальный вложенный контур и его передаточная функция. А далее переходят к следующему контуру, при этом первый контур заменяется звеном с полученной передаточной функцией. В итоге получим схему: Некоторые правила структурных преобразований 1 Перенос сумматоров 2 Перестановка звеньев 3 Перенос узла с выхода сумматора на вход 4 Перенос узла с входа сумматора на выход 5 Перенос узла с выхода звена на вход 6 Перенос узла со входа звена на выход 7 Перенос сумматора с выхода звена на вход 8 Перенос сумматора со входа звена на выход 9 Замена передаточных функций прямой и обратной цепи 10 Приведение к единичной обратной связи Изображение структурных схем в виде графов Информация о структуре системы и передаточных свойствах ее элементов может быть задана не только в виде обычной алгоритмической схемы, но и в виде сигнального графа. Сигнальный граф системы управления представляет собой ориентированный граф – совокупность дуг, изображающих отдельные звенья и указывающих направление передачи сигнала, и вершин, соответствующих входным и выходным сигналам звеньев. Отдельному звену алгоритмической схемы, изображаемому прямоугольником, на сигнальном графе системы соответствует стрелка, соединяющая вершины х и у (см. рис. а). Около стрелки указывается передаточная функция звена. Соответствие между изображениями типовых соединений двух элементов на алгоритмических схемах и сигнальных графах показано на рис. б-г. Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующий ей сигнал равен сумме всех выходных сигналов этих дуг. Если из вершины исходят несколько дуг, то входные сигналы всех дуг одинаковы и равны сигналу данной вершины. Граф системы управления строят по ее алгоритмической схеме, заменяя каждое звено (прямоугольник) дугой, а каждый сумматор (кружок) – вершиной (кружком меньшего диаметра). При этом узлы разветвления сигналов, используемые на алгоритмических схемах, на графах оказываются совмещенными с вершинами. Методика построения ЛАЧХ последовательного соединения звеньев Пусть задана передаточная функция разомкнутой одноконтурной системы: 1. Определяется наклон начального участка дб/дек, где - степень астатизма системы ( - количество интегрирующих звеньев, - количество дифференцирующих звеньев). 2. Определяются сопрягающие частоты и отмечаются вдоль оси частот. 3. Начальный участок с наклоном дб/дек проходит через точку . 4. После каждой из сопрягающих частот наклон характеристики изменяют по сравнению с предыдущим участком на величину: а) – 20 дб/дек, если сопрягающая частота принадлежит апериодическому звену; б) + 20 дб/дек, если сопрягающая частота принадлежит форсирующему звену; в) –40 дб/дек, если сопрягающая частота принадлежит колебательному звену; г) + 40 дб/дек, если сопрягающая частота принадлежи форсирующему звену 2 порядка. 5. На высоких частотах логарифмическая характеристика наклон – 20(r-s) дб/дек, где r – порядок знаменателя, s- порядок числителя передаточной функции . Устойчивость систем САУ Устойчивость автоматической системы – это свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Неустойчивая система не возвращается в исходное состояние, а непрерывно удаляется от него. Здесь, в рисунке а), А0 – невозмущенное состояние, А2 – возмущенное состояние; на рисунке б) изображено неустойчивое состояние системы, а на рисунке в) – ее нейтральное состояние. По аналогии с состояниями можно ввести понятие возмущенного и невозмущенного движения. Пусть дана САУ, которая характеризуется переменными . Движение системы при заданном режиме определяется xi(t).Это движение называется невозмущенное. Допустим, что на систему воздействуют внешние силы, которые приводят к отклонению движения от невозмущенного. , где xi0(t) – движение, вызванное внешними возмущениями. Если после снятия внешнего воздействия, спустя некоторое время, система вернется в некоторую область вокруг невозмущенного движения, то данное невозмущенное движение называется устойчивым. Понятие устойчивости по Ляпунову. Пусть САУ описывается с помощью системы уравнений при заданных начальных условиях: Решением данного уравнения является как функция начальных значений (уравнение невозмущенного движения). Здесь xi0 – установившееся движение. К системе приложено внешнее воздействие, которое привело к отклонению движения от установившегося . Для данных отклонений можно записать систему уравнений: Уравнение - является уравнением возмущенного движения. Невозмущенное движение () называется устойчивым по отношению к переменным xi, если для любого положительного числа А2, как бы мало оно ни было, найдется другое положительное число 2, которое удовлетворяет условию для всех возмущений: , а возмущенное движение удовлетворяет условию , где i – весовые коэффициенты. Движение будет устойчивым, если при небольших изменениях начальных условий, вызванных внешними воздействиями, невозмущенное движение будет отличаться от возмущенного движения мало. Данное определение справедливо как для линейных, так и для нелинейных систем. Свободное движение линейной или линеаризованной системы описывается однородным дифференциальным уравнением где - свободная составляющая выходной величины системы. Система является устойчивой, если свободная составляющая xc(t) переходного процесса с течением времени стремится к нулю, т.е. если . Такая устойчивость называется асимптотической. Если свободная составляющая неограниченно возрастает, т.е. если , то система неустойчива. Наконец, если свободная составляющая не стремится ни к нулю, ни к бесконечности, то система находится на границе устойчивости. Найдем общее условие, при котором система, описываемая уравнением (*), устойчива. Решение уравнения (*) равно сумме где Ck – постоянные, зависящие от начальных условий; pk – корни характеристического уравнения . Корни данного уравнения могут быть действительными (pk=k), мнимыми (pk=jk) и комплексными (pk=k± jk). Переходная составляющая (**) при t стремится к нулю лишь в том случае, если каждое слагаемое вида . Характер этой функции времени зависит от вида корня pk. Рассмотрим все возможные случаи расположения корней pk на комплексной плоскости (см. рис.) и соответствующие им функции xk(t), которые показаны внутри кругов (как на экране осциллографа). 1. Каждому действительному корню pk=k в решении (**) соответствует слагаемое вида Если k<0 (корень р1), то функция (***) при t стремится к нулю. Если k>0 (корень р3), то функция (***) неограниченно возрастает. Если k=0 (корень р2), то функция (***) остается постоянной. 2. Каждой паре сопряженных комплексных корней pk=k± jk в решении (**) соответствуют два слагаемых, объединенных в одно Эта функция представляет собой синусоиду с частотой k и амплитудой, изменяющейся во времени по экспоненте. Если действительная часть двух комплексных корней k<0 (корни р4 и р5), то колебательная составляющая (****) будет затухать. Если k>0 (корни р8 и р9), то амплитуда колебаний будет неограниченно возрастать. Наконец, если k=0 (корни р6 и р7), т.е. если оба сопряженных корня – мнимые (pk=+ jk, pk+1=- jk), то xk(t) представляет собой незатухающую синусоиду с частотой k. Общее условие устойчивости: Для устойчивости линейной автоматической системы управления необходимо и достаточно, чтобы действительные части всех корней характеристического уравнения системы были отрицательны. При этом действительные корни рассматриваются как частный случай комплексных корней, у которых мнимая часть равна нулю. Если хотя бы один корень имеет положительную действительную часть, то система будет неустойчивой. Устойчивость системы зависит только от вида корней характеристического уравнения и не зависит от характера внешних воздействий на систему. Устойчивость есть внутренне свойство системы, присущее ей вне зависимости от внешних условий. Используя геометрическое представление корней на комплексной плоскости (см. рис.) в виде векторов или точек, можно дать вторую формулировку общего условия устойчивости (эквивалентную основной): Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости. Если хотя бы один корень находится в правой полуплоскости, то система будет неустойчивой. Мнимая ось j является границей устойчивости в плоскости корней. Если характеристическое уравнение имеет одну пару чисто мнимых корней (pk=+jk, pk+1=-jk), а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то в системе устанавливаются незатухающие гармонические колебания с круговой частотой . В этом случае говорят, что система находится на колебательной границе устойчивости. Точка  =0 на мнимой оси соответствует так называемому нулевому корню. Если уравнение имеет один нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Если таких корня два, то система неустойчива. Критерий Гурвица Автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением , устойчива, если при a0>0 положительны все определители ∆1, ∆2, . . .∆п вида Если хотя бы один из определителей, называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. Если главный определитель ∆п=0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n=1;2;3;4. Раскрывая определители, фигурирующие в общей формулировке критерия, можно получить следующие условия. 1. Для уравнения первого порядка (n=1) условие устойчивости: а0>0 и ∆1=а1>0, т.е. для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля. 2. Для уравнения второго порядка (n=2) условие устойчивости: Т.о., и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным. 3. Для уравнения третьего порядка (n=3) условие устойчивости: При n=3 для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения были больше нуля и произведение средних коэффициентов уравнения (а1, а2) было больше произведения крайних (а0, а3). 4. Для уравнения четвертого порядка (n=4) кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия . При n=4 система будет устойчива при всех коэффициентах больших нуля и при . Т.о., для устойчивости систем не выше четвертого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель ∆п-1 были положительными. Критерий Гурвица удобно использовать при n<5. При n>5 критерий Гурвица становится громоздким и применяют критерий Рауса. Критерий Рауса САУ будет устойчивой, если будут положительны все элементы первого столбца матрицы Рауса (включая а0 и а1). , где i – номер строки, j – номер столбца. Если не все коэффициенты столбца положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения. Матрица: Пример: Характеристическое уравнение: Алгебраические критерии устойчивости для систем выше пятого порядка становятся трудоемкими для вычисления. Кроме того, алгебраические критерии не отражаются наглядностью, поэтому на практике широкое распространение получили частотные критерии устойчивости: критерий Михайлова, критерий Найквиста. И тот, и другой критерии базируются на принципе комплексного аргумента. Принцип аргумента Рассмотрим уравнение: , здесь i – корни данного уравнения . Каждому корню i на комплексной плоскости соответствует некоторая точка. Если соединить точку с нулем, то можно говорить о векторе. Длина вектора равна модулю комплексного числа i, а угол, образуемый положительной действительной осью и вектором i, есть аргумент комплексного числа i. Придадим  значение j (=j). Считаем движение против часовой стрелки положительным, тогда для корней, находящихся в левой части комплексной плоскости при изменении частоты , вектор (-i) описывает угол +. Для корней, находящихся в правой полуплоскости, вектор (-i) при изменении частоты опишет угол -. Считаем, что порядок системы п-ый , и m корней положительно, значит отрицательные – п-т. Тогда суммарный угол поворота всех векторов составит следующее выражение: . Критерий Михайлова Рассмотрим характеристическое уравнение системы p=j - придаем чисто мнимое значение. Для того чтобы система была устойчивой, необходимо, чтобы суммарный угол поворота векторов р-рi составлял угол п. Алгоритм применения критерия Михайлова. 1. Получаем передаточную функцию системы. 2. Составляем характеристическое уравнение системы (это знаменатель передаточной функции). 3. В характеристическом уравнении заменяем р на j. 4. Выделяем действительную и мнимую часть. Действительная часть характеристического уравнения является функцией четной, а мнимая часть – нечетной. Поэтому достаточно ограничиться построением кривой, соответствующей характеристическому полиному для положительных частот. Тогда кривая, соответствующая отрицательным частотам является зеркальным отражением кривой для положительных частот относительно оси абсцисс. 5. Изменяем частоту и для каждой частоты строим точку на комплексной плоскости, и соответствующий годограф характеристического уравнения. 6. Судим об устойчивости системы по критерию Михайлова. Если годограф начинается и заканчивается на действительной оси, то система будет устойчивой, в противном случае – наоборот. Формулировка критерия Михайлова. Автоматическая система управления, описываемая уравнениями п-го порядка будет устойчивой, если при изменении частоты от 0 до  характеристический вектор системы (годограф Михайлова) повернется против часовой стрелки на угол , не обращаясь при этом в нуль. Это означает, что характеристическая кривая устойчивой системы должна при изменении  от 0 до  пройти последовательно через п квадрантов. На рисунке а) изображен вектор D(j), называемый характеристической кривой или годографом Михайлова. Характеристические кривые, соответствующие устойчивым системам (рисунок б)), имеют плавную спиралеобразную форму и уходят в бесконечность в том квадранте, номер которого равен порядку уравнения. Если характеристическая кривая проходит п квадрантов не последовательно или проходит меньшее число квадрантов, то система неустойчива (рисунок в)). В практических расчетах удобно применять следствие из критерия Михайлова: Система устойчива, если действительная и мнимая части характеристической функции D(j) обращаются в нуль поочередно (см. рисунок г)), т.е. если корни уравнений Re()=0 и Im()=0 перемежаются. Критерий Михайлова удобно применять для анализа устойчивости систем высокого порядка (n>5). Критерий Найквиста В отличие от критериев Гурвица, Рауса и Михайлова, которые основаны на анализе характеристического уравнения системы, критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы. В этом заключается существенное преимущество критерия, т.к. построение АФХ разомкнутого контура для большинства реальных систем оказывается проще, чем построение годографа Михайлова. Особенно упрощается это построение для одноконтурных систем, состоящих из типовых звеньев. Имеется САУ: здесь Dp(j) – частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы. Найквист в своем критерии рассматривает вспомогательную функцию, определяемую по формуле Примечание: Возьмем абстрактное комплексное число . Модуль этого числа будет равен произведению модулей каждого из множителей, а аргумент этого числа – сумме каждого из слагаемых. Причем . Рассмотрим три случая. 1. Система в разомкнутом состоянии устойчива, это значит по Михайлову: , где п – порядок разомкнутой системы. Частотное характеристическое уравнение разомкнутой системы также имеет порядок п, т.к. порядок числителя разомкнутой системы всегда меньше или равен порядку знаменателя разомкнутой системы (). Если система в замкнутом состоянии тоже устойчива, то угол одинаковый . Рассмотрим изменения аргумента  при изменении частоты от 0 до : Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если изменение аргумента функции (j) при изменении частоты от 0 до  составит ноль. Это возможно только в том случае, когда годограф не охватывает точку начала координат. Критерий Найквиста для первого случая: замкнутая система будет устойчивой, если годограф разомкнутой системы не пересекает отрезок (-;-1], т.е. не охватывает критическую точку (-1;0). На рисунке а) изображен годограф системы, устойчивой в замкнутом состоянии, а на б) – системы, находящейся на границе устойчивости. Система находится на границе устойчивости, если годограф, соответствующий амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы хотя бы один раз пересечет точку [-1;0]. 2. Разомкнутая система неустойчива. Замкнутая система устойчива, это значит, что изменение аргумента представляется формулой: , где k – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости. Изменение аргумента от 0 до : . Изменение частоты от 0 до  составит: . При анализе устойчивой системы, при неустойчивой разомкнутой системе будем считать положительным направлением годографа – против часовой стрелки. Отрицательным направлением годографа – по часовой стрелке, или снизу вверх при пересечении действительной оси. Тогда критерий Найквиста звучит так: если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет k положительных корней характеристического уравнения, то система в замкнутом состоянии будет устойчива лишь в том случае, если разность между количеством положительных переходов и количеством отрицательных переходов отрезка действительной оси будет равна k/2, т.е. если годограф разомкнутой системы пересекает отрезок в положительном направлении в раз. 3. Разомкнутая система устойчива, замкнутая система неустойчива. здесь п – количество корней замкнутой системы. Если система в разомкнутом состоянии устойчива, а в замкнутом состоянии неустойчива, то годограф пересекает отрезок в отрицательном направлении в раз. Объединяя все три случая, можно дать следующее определение критерию Найквиста: Система в замкнутом состоянии будет устойчива, если разность между числами положительных и отрицательных переходов годографа разомкнутой системы отрезка действительной оси будет равна , где т – количество корней характеристического уравнения разомкнутой системы, находящихся в правой полуплоскости. Примеры: 1. т=2 Система неустойчивая. 2. т=5 Система устойчивая. Алгоритм использования критерия Найквиста 1. Приводим систему к виду 2. Получаем передаточную функцию разомкнутой системы. 3. С помощью алгебраических критериев определяем количество (m) положительных корней характеристического уравнения разомкнутой системы. 4. Строим амплитудно-фазовую характеристику разомкнутой системы. 5. По критерию Найквиста судим об устойчивости замкнутой системы по годографу АФХ разомкнутой системы и количеству положительных корней. Логарифмический критерий устойчивости Логарифмический критерий устойчивости применяется при исследовании сложных многоконтурных систем, при построении ЛАЧХ корректирующих звеньев, выводящих исходную систему из неустойчивого состояния. Базовым для логарифмического критерия устойчивости является критерий Найквиста. По критерию Найквиста, базовая точка (-1;0) в комплексной плоскости. Рассмотрим АФХ разомкнутой системы в двух случаях: 1. АФХ первого рода, когда система в разомкнутом состоянии устойчива. Это означает, что годограф такой системы не пересекает отрезок . САУ в разомкнутом состоянии будет устойчива, если частота среза логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАЧХ) меньше частоты, при которой ФЧХ достигает значения -, т.е. при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза ФЧХ не должна достигать угла -. 2. АФХ второго рода, когда разомкнутая система неустойчивая, а замкнутая система устойчива. Для АФХ второго рода логарифмический критерий устойчивости заключается в следующем: при положительных значениях ЛАЧХ до частоты среза, количество переходов прямой - ФЧХ должно быть равно нулю (т.е. количество положительных переходов равно количеству отрицательных переходов). Сравнительный анализ критериев устойчивости 1. Алгебраический критерий Гурвица целесообразно применять при порядке системы . 2. Алгебраический критерий Рауса применяется при порядке системы от 4 до 6. 3. Критерий устойчивости Михайлова применяется при исследовании сложных многоконтурных систем, когда необходимо выяснить влияние измерения структуры системы и средств ее стабилизации на устойчивость. 4. Критерий устойчивости Найквиста целесообразно применять тогда, когда система имеет одноконтурный вид, и если отдельные элементы системы заданы экспериментально. 5. Логарифмический критерий устойчивости применяется тогда же, когда и критерий Найквиста, особенно при исследовании системы на большом интервале частот. Запас устойчивости Запас устойчивости по алгебраическому критерию Гурвица , , где - запас устойчивости. Запасом устойчивости считается некоторая величина , при которой самый min определитель Гурвица не должен быть меньше этой величины. Запас устойчивости при частотных критериях устойчивости При частотных критериях устойчивости различают два критерия: по амплитуде и по фазе. Запас устойчивости по амплитуде определяется наиближайшей точкой по отношению к критической. В численном значении - это длина отрезка [0;B], где В – точка пересечения годографа системы и отрицательной оси. Нормированная величина запаса устойчивости: - запас устойчивости по модулю. Если , то система находится на границе устойчивости; Если , то система устойчивая; Если - система неустойчива. На практике считается допустимым запас по амплитуде в логарифмическом масштабе - , что составляет . Чтобы определить, обладает ли САУ заданным запасом устойчивости по амплитуде, проводится следующие исследования: 1. Строится годограф амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы. 2. Определяется ближайшая точка пересечения данного годографа с действительной осью по отношению к точке [-1,0]. 3. Определяется запас устойчивости по формуле: , где h – это отрезок [0;B]. 4. Если полученный запас устойчивости больше заданного, то САУ отвечает заданному запасу устойчивости, в противном случае САУ не обладает заданным запасом. Запасом устойчивости по фазе называется минимальный угол, образуемый отрицательной действительной осью и прямой, соединяющий начало координат и точку пересечения годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы и окружности с единичным радиусом с центром в начале координат. На практике допустимым запасом устойчивости считается угол: . Если , то система не обладает запасом устойчивости; Если , то система обладает запасом устойчивости. Устойчивость систем со звеном чистого запаздывания Системы со звеньями чистого запаздывания относятся к иррациональным системам, поэтому они не поддаются анализу алгебраическими критериями устойчивости. Наиболее применимый метод анализа – частотный метод (метод Найквиста). Характеристическое уравнение такой системы: Предположим, что разомкнутая система – устойчивая. Звено чистого запаздывания не вносит изменений по амплитуде, а изменяет только фазу. Графически это означает поворот любой точки годографа амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы на угол по часовой стрелке. Поскольку при амплитуда достаточно мала, то годограф амплитудно-фазовой характеристики всей системы (т.е. со звеном чистого запаздывания) закручивается вокруг начала координат . Строится годограф системы со звеном чистого запаздывания. Определяется точка пересечения данного годографа с окружностью единичного радиуса, и соответствующая данной точке частота. Берется запас устойчивости  и определяется величина . Вывод: звено чистого запаздывания ухудшает характеристики по отношению к устойчивости и может возникнуть такая ситуация, что при времени чистого запаздывания 0 годограф пересечет т.[-1,0], т.е. меняя , мы можем выводить систему на устойчивое состояние: - система устойчивая; - система на границе устойчивости; - система неустойчива. или Здесь 0 - критическое время чистого запаздывания. Кроме того, звено чистого запаздывания уменьшает запас устойчивости системы. Структурно устойчивые и структурно неустойчивые системы Структурно устойчивой системой называется система, устойчивости которой можно добиваться, изменяя параметры звеньев, при этом тип звеньев и их соединения остаются неизменными. Здесь КОС – коэффициент обратной связи. Устойчивость такой системы достигается путем изменения коэффициентов усиления. Структурно неустойчивой системой называется система, устойчивость которой может быть достигнута при изменении структуры (замена типов звеньев и характеров соединений). Влияние параметров на устойчивость системы D-разбиение по одному параметру Теория устойчивости позволяет не только определить устойчивость данной системы, но и влияние некоторых параметров системы на ее устойчивость. Данное влияние определяется с помощью процедуры D-разбиения. Предположим, что известно характеристическое уравнение системы: В системе есть некоторый параметр (коэффициент k), который можно изменять, который входит линейно в характеристическое уравнение. Тогда характеристическое уравнение можно разбить на 2 части: где М(р) – члены характеристического уравнения, не содержащие параметр k, а D(p) – члены характеристического уравнения, содержащие коэффициент k линейно. На комплексной плоскости строится кривая с , при этом левая часть штрихуется. Только замкнутая область D определяет пределы изменения данного параметра, при которых система является устойчивой. При изменении ,САУ остается устойчивой. Если подобных областей разбиения не оказывается, то система считается структурно неустойчивой и вывести ее установившееся состояние возможно, только лишь изменив структуру. Вывод: теория устойчивости решает следующие вопросы: 1. Определение устойчивости системы (с помощью критериев устойчивости) 2. Влияние отдельных параметров системы на устойчивость системы в целом (метод D-разбиения). 3. Определение структуры неустойчивых систем (можно решить с помощью D-разбиения или алгебраических критериев). Анализ качества САУ Основные показатели качества САУ Качество САУ определяется следующими показателями: 1. Время достижения установившегося режима – такое время, по истечение которого для управляемой величины выполняется условие: , где у – управляемая величина; р – некоторая величина (для САУ 5% от установившегося режима). Время переходного процесса –отрицательное время, при котором переходный процесс по выходной координате достигает 5%-ной зоны от устойчивого значения. 2. Перерегулирование - это процентное соотношение разницы максимального перерегулирования и установившегося значения: . 2. а) Время максимального перерегулирования (tперерег), такое время, при котором выходная величина достигает своего максимального по модулю значения: . 2. б) Число перерегулирований – это количество раз, когда управляемая величина превышает по модулю значение: . 3. Колебательность () - кол-во колебаний, приходящихся на отрезок времени переходного процесса. 4. Ошибка в установившемся режиме (точность САУ) . Для статических систем ошибку можно графически продемонстрировать как: Для астатических систем: Первые два показателя – это показатели качества переходного процесса, а четвертый – показатель качества в установившемся режиме. Вместе они образуют группу показателей качества САУ. Для анализа показаний качества управления могут быть использованы прямые и косвенные методы оценки. Прямые методы определения качества базируются на исследовании переходного процесса, дают наиболее достоверную информацию с последующим определением показаний качества. Но они являются самыми трудоемкими. Косвенные методы определения качества позволяют по косвенным признакам, не решая ни дифференциальных, ни характеристических уравнений, получить приближенный переходный процесс с приближенными показателями качества. Прямые методы оценки качества • Классический метод; • операторный метод; • частотный метод; • моделирование на ЭВМ. Классический метод определения показателей качества Основывается на решении дифференциального уравнения, описывающего динамику процессов в САУ: Уравнение (2) сводится к системе дифференциальных уравнений первого порядка и разрешается одним из известных методов. Решение уравнения y(t)=f(t), что и представляет собой переходный процесс. Операторный метод К исходному дифференциальному уравнению (2) применяется преобразование Лапласа с учетом начальных условий. где Kx – это начальное условие по переменной х, Ky – начальное условие по переменной у (а также их производных). где K(p)=Ky(p)-Kx(p). 1. Применяем прямое преобразование Лапласа к входной величине x(t) (дает х(р)). 2. Получаем в операторном виде переходный процесс по уравнению (3). 3. Используя таблицы Лапласа, осуществляем обратное преобразование Лапласа переменной у(р). Частотный метод Основан на преобразованиях Фурье. Если f(t) – периодическая функция, то к ней можно применить преобразование: Если f(t) непериодическая функция, то ее тоже можно представить с помощью интеграла Фурье: Тогда f(t) может быть представлена: - прямое преобразование Фурье; - обратное преобразование. Понятие обобщенной частотной передаточной функции Обобщенная частотная передаточная функция представляет собой следующее выражение: . Обобщенная частотная передаточная функция содержит в себе как частотные характеристики объекта ((р)), так и характеристики входного воздействия в операторном виде (х(р)). Если р придать чисто мнимое значение j, то обобщенное число . Определение переходного процесса через вещественную характеристику обобщенной частотной передаточной функции. Здесь действительная часть является функцией четной, а мнимая – нечетной. Поэтому, если интеграл , то для действительной части . Мнимая часть будет равна нулю, т.о. Все процессы при отрицательном времени равны нулю: Тогда С учетом этого у(t) будет иметь вид: Определение показателей качества по типовым характеристикам - частный случай, когда входным сигналом является ступенька. Тогда , или в операторной форме , тогда , где Re(W) – действительная часть передаточной функции. Любую переходную характеристику можно разбить на трапеции. Исходя из этого, Солодовников и Воронов предложили следующий способ: рассмотреть единичную трапецию и на ее основе описать переходные процессы. Единичная трапеция: Здесь d - частота равномерного пропускания; 0 - частота пропускания. Функция Р() может быть описана следующим образом: , где коэффициенты . Введем коэффициент , и выразим где - интегральный синус. Солодовников создал h-таблицы (h(t)=h()), в которых для каждого конкретного  и по времени t можно получить переходный процесс, соответствующий данной единичной трапеции. Для неединичной трапеции, когда Р(0)1=К, переходный процесс увеличивается в К раз. Порядок построения переходного процесса по вещественной частотной характеристике: 1. Получаем выражение для Р() (Существует два способа получения вещественной части: первый наиболее точный, путем выражения из передаточной функции; второй – по логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы). 2. Строится график вещественной частотной характеристики. 3. Характеристика разбивается на трапеции. 4. Для каждой трапеции определяются частоты d, 0 и соответствующий им коэффициент . 5. Из таблиц h-функции для каждой трапеции определяется переходный процесс h(). 6. Каждый из переходных процессов масштабируется в соотношении К=Р(0). 7. Все переходные процессы суммируются. Полученный результат – есть переходный процесс, соответствующий данной вещественной частотной характеристике. 8. По переходному процессу определяются основные показатели качества. Частотные методы являются как прямыми, так и косвенными методами оценки показателей качества. Как прямой метод, частотные методы позволяют построить кривую переходного процесса в зависимости от Р() с помощью специальных методов. Как косвенный метод, частотный метод позволяет по виду Р() приближенно вычислить показатели качества. Приближенное определение показателей качества по виду Р() (Косвенный метод) 1. Близким по виду вещественным характеристикам Р() соответствуют близкие по виду переходные характеристики h(t). 2. При косвенных оценках вещественной характеристики Р() ограничиваются исследованием спектра частот П, при которых вещественная действительная характеристика Р() имеет положительное значение. Отбрасываемая часть при частотах свыше П влияет на начало переходной характеристики h(t). 3. Если , где п – произвольное число, то . Это означает следующее: если рассмотреть две характеристики, то вещественной частотной характеристике с захватом наибольших спектров частот (более широкая переходная характеристика) соответствует менее длительный переходный процесс. Чем шире Р(), тем быстрее происходит затухание, т.е. тем меньше время переходного процесса. 4. Установившееся значение h() соответствует значению вещественной частотной характеристики при частоте =0 . 5. Если вещественная частотная характеристика Р() является монотонно убывающей функцией и Р()=0, то переходная характеристика имеет апериодический характер. Для апериодического процесса В этом случае перерегулирование . 6. Если Р() - является положительной невозрастающей функцией, то переходная характеристика имеет вид затухающих колебаний: Перерегулирование составляет . 7. Если вещественная характеристика Р() имеет явно выраженный max , то переходная характеристика будет иметь вид затухающих колебаний и перерегулирование . 8. Общим условием для немонотонности переходной характеристики (колебательности) является: частотная характеристика Р() на каком-то этапе должна быть меньше G(), которая определяется как . Здесь - наибольшее целое число от деления. 9. Если Р() претерпевает разрыв, то система находится на границе устойчивости. 10. Склонность к колебаниям (hmax) тем выше, чем больше пик Pmax. 11. Для монотонного (апериодического переходного процесса) время переходного процесса составляет . 12. Если Р() может быть аппроксимирована трапецией вида то длительность переходного процесса определяется неравенством: . 13. Если вещественную характеристику Р() можно разложить на ряд трапеций, то по параметрам трапеций можно определить перерегулирование  по ординатам этих трапеций. Все трапеции должны быть прямоугольные. , где Pk() - значение высоты трапеции, имеющей на осях Р(),  - положительное значение, Pi() - значение высоты трапеции, имеющей на осях Р(),  - отрицательное значение. Построение вещественной частотной характеристики с использованием ЛАЧХ разомкнутой системы и номограмм Рассмотрим структурную схему: Передаточная функция такой системы имеет вид: Данному уравнению на комплексной плоскости соответствуют кривые Р()=const, при этом по оу откладываются 20lgH, а по ох – фаза . Данная схема называется номограм­мой. Индексы около каждой кривой означают значения вещественной частотной характеристики (ВЧХ). Алгоритм построения ВЧХ по номограмме 1. Строятся ЛАЧХ и ФЧХ разомкнутой системы. 2. Заполняется следующая таблица (первые три строки):  1 … п Ндб Н1 … Н2  1 … 2 Р 3. Строится ЛАФХ в масштабе номограммы. 4. Данная ЛАФХ накладывается на номограмму. 5. Точки пересечения ЛАФХ с кривыми номограммы определяют значение ВЧХ. Заполняем четвертую строку данной таблицы. Т.о. получаем затабулированную функцию Р(). Моделирование с использованием вычислительных средств На сегодняшний день это самый широко используемый метод определения качества переходных процессов. В основе этого метода может лежать система дифференциальных уравнений (метод Эйлера, метод Рунге-Кутта любого порядка). В результате решения этой системы получается таблица значений, определяющая переходный процесс в системе. Другим способом моделирования является решение характеристического уравнения. Полученные корни характеристического уравнения определяют переходный процесс в операторном виде. Используя преобразования Лапласа, получаем переходный процесс во временном пространстве. Достаточно развитое программное обеспечение предоставляет несколько пакетов (средств) моделирования (STRATUM; MATLAB; GPSS и др.). СТАУ предлагает описание САУ в терминах пространства состояния. Описанные таким образом системы, ориентированы на применение вычислительных средств. Косвенные методы оценки показателей качества САУ Прямые методы не всегда удобны для определения показателей качества, поэтому существуют косвенные методы определения показателей качества по косвенным признакам, не требующим построения переходного процесса. К косвенным методам относятся: • Корневые методы; • Частотные методы; • Интегральные методы. Корневые методы оценки показателей качества Корневые методы для определения косвенной оценки показателя качества используют корни характеристического уравнения замкнутой системы и их расположения на комплексной плоскости. Передаточная функция любой системы может быть представлена в следующем виде: , где i – это нули передаточной функции; i – полюса передаточной функции (корни характеристического уравнения). i определяет устойчивость системы и качество переходных процессов, i определяет только качество переходных процессов. Влияние полюсов передаточной функции на качество переходных процессов Каждому полюсу i на комплексной плоскости соответствует определенная точка. Данные корни определяют на плоскости следующую замкнутую плоскость. В корневых методах используют так называемые корневые показатели, определяемые по расположению корней р1, р2, …, рп характеристического уравнения замкнутой системы на комплексной плоскости. 1) Наиболее общим корневым показателем качества является среднее геометрическое значение модулей корней , которое легко вычисляется через крайние коэффициенты характеристического уравнения. 0 определяет центр расположения всех корней характеристического уравнения и влияет на быстродействие системы. Чем меньше показатель 0, тем ближе «созвездие» корней к мнимой оси и тем больше длительность переходного процесса. Пусть : Чем ближе к мнимой оси, тем ближе САУ к границе устойчивости. Поскольку - где - передаточный коэффициент разомкнутого контура для астатических систем, а - для статических систем. Чем выше коэффициент усиления k, тем лучше быстродействие системы. 2) Расстояние от мнимой оси до действительной части ближайшего к ней корня называется степенью устойчивости . 3) Колебательные свойства системы регулирования предопределяет k–ая пара комплексных корней , для которой наибольшее отношение или наибольший угол  между действительной осью и лучами, соединяющими начало координат с этими корнями. В данном случае такой парой являются комплексные корни р2 и р3. Отношение д мнимой части  к действительной части  доминирующей пары комплексных корней называют степенью колебательности. В практических расчетах чаще используют корневой показатель колебательности , также определяемый через доминирующую пару комплексных корней. При выборе настроек регуляторов стремятся получить значения . 4) Абсолютное значение  действительной части корня, наиболее удаленного от мнимой оси. Связь степени устойчивости с быстродействием системы Степень устойчивости  характеризует в переходном процессе самую медленную составляющую, поэтому быстродействие (время переходного процесса) в значительной мере зависит от . Допустим, что  определяет апериодическую составляющую переходного процесса (ближайший корень действительный). Будем считать, что установившееся время . Это означает, что весь переходный процесс Здесь ∆ - это числовая характеристика, показывающая, во сколько раз изменилась величина С во времени (0;). Для типовых систем ∆ задается (∆=0,05) и тогда время переходного процесса составляет , т.о. tПП в таких случаях будет определяться только степенью устойчивости tПП=f(). Если ближайший к мнимой части корень комплексный, то это определяет колебательную составляющую Связь колебательности с перерегулированием Введем понятие логарифмического декремента затухания . Логарифмический декремент затухания показывает, сколько колебаний происходит в период изменения амплитуды колебаний в е раз. Смещенные уравнения Характеристическое уравнение замкнутой системы: . Сместим мнимую ось влево на величину , что математически означает введение новой переменной , тогда характеристическое уравнение примет вид: Здесь Bi =f(bi, ). Это означает, что на границе устойчивости будет либо один корень, либо два сопряженных комплексных корня. Если это будет действительный корень, то Вп=0, если это комплексные корни, то предпоследний определитель Гурвица равен нулю. Т.о. введение смещенного уравнения (1) и использование алгебраического критерия Гурвица позволяет определить устойчивость системы без вычисления корней характеристического уравнения. Корневые методы, в отличие от частотных методов, определяют область, отвечающую заданным показателям качества. Влияние нулей передаточной функции на качество переходного процесса Корни знаменателя называются корнями характеристического уравнения или полюсами передаточной функции. Корни числителя называются нулями передаточной функции. Чтобы исследовать САУ на устойчивость и на качество управления необходимо определить нули и полюса передаточной функции. Перед исследованием нужно проверить: . Если , то их нужно сократить, и они не будут влиять ни на качество, ни на устойчивость. Рассмотрим частный случай, когда передаточная функция системы имеет вид: , где - ноль передаточной функции. - переходный процесс y(t) состоит из двух составляющих, при этом: Графически это означает, что: Если просуммировать y1(t) и y2(t), то получим верхний график y(t). Т.о. нули передаточной функции не увеличивают время переходного процесса, а вносят колебательность в переходный процесс. Нули передаточной функции не влияют на устойчивость системы, поэтому при синтезе линейных САУ, отвечающих максимальному быстродействию, можно не рассматривать нули передаточной функции. Рассмотрим случай, когда ноль передаточной функции совпадает с полюсом. Будем считать, что , это означает следующее: Если i была величина положительная и единственная, то полюс pi скомпенсировал данный корень и САУ будет устойчивой. Т.о., компенсация нулей передаточной функции и полюсов передаточной функции может быть использована в построении корректирующих устройств САУ. С точки зрения переходного процесса, наилучшей считается САУ, у которой все корни характеристического уравнения приблизительно равны , где i=1,2,3…n. Перерегулирование при этом составляет . - min из всех возможных. Диаграмма Вышнеградского Влияние распределения корней на характер переходного процесса и на устой­чивость хорошо иллюстрирует диаграмма, построенная И.А. Вышнеградским для нормированного характеристиче­ского уравнения третьего порядка . Область устойчивости в плоскости параметров А1 и А2 состоит из трех областей, соответствующих различному распределению корней. Область I, ограниченная линией abc, соответствует трем действительным (и не равным друг другу) корням и апериодическому переходному процессу. Область II, ограниченная линией abd, соответствует паре комплексных корней и одному действительному корню, причем действительный корень ближе к мнимой оси, чем комплексные. Переходный процесс в этом случае монотонный. В области III, заключенной между границей устойчивости и линией abc, также пара комплексных корней и один действительный, но к мнимой оси ближе расположены комплексные корни. Переходный процесс колебательный. На диаграмме показано также распределение корней для разграничительных линий. В точке b, в которой А1=А2=3, все три корня действительные и равные друг другу. Частотные методы базируются на прямом и обратном преобразовании Фурье. Если f(t) – функция периодическая, то для нее применимо: Будем рассматривать: Y(t)=h(t); x(t)=1(t) , - вещественная характеристика. Интегральный метод оценки показателей качества Рассмотрим кривую переходного процесса 1 и установившееся значение 2. Будем считать, что 1 – переходный процесс реальной системы; 2 – переходный процесс идеальной системы. Тогда отличие реальной системы от идеальной определяется площадью S, и если взять критерий – является функцией то можно определить показатели качества реальной системы в сравнении с идеальной. Определенный интеграл J называется интегральной оценкой переходного процесса. В зависимости от вида функции f различают: • Линейную интегральную оценку; • Квадратичную интегральную оценку; • Апериодическую интегральную оценку. Линейная интегральная оценка Она определяется следующим образом: , при этом: чем меньше обл. S, тем лучше будут все переходные процессы. Метод Кулебакина . Рассмотрим следующую передаточную функцию: . В качестве входного сигнала x(t) рассмотрим ступенчатое воздействие r(t). , тогда , а . Интегральная схема будет выглядеть так: Если рассматривать минимум этой функции, то он будет достигаться при выполнении равенства это идеальный переходный процесс (площадь S – min). Т.о. выбирая коэффициенты передаточной функции в соответствии с равенством (*), можно достичь заданных показателей качества, но линейная интегральная оценка применяется только для монотонных (апериодических) переходных процессов. Для колебательных процессов применяется квадратичная интегральная оценка, которая определяется по формуле: Апериодическая интегральная оценка Рассмотрим , т.к. все величины постоянные. Здесь Т – постоянная времени, которая задается. Если выражение , то функция J примет минимальное значение. Это будет достигаться в том случае, если у – апериодический переходный процесс. - оптимальный процесс с точки зрения апериодической интегральной оценки. Синтез линейных САУ Под синтезом линейных САУ понимается выбор такой структурной схемы, ее параметров, характеристик, которые отвечают с одной стороны заданным показателям качества и простоты технической реализации и надежности с другой стороны. Особенности синтеза 1. САУ включает в себя объект управления и корректирующие устройства (это такие устройства, структура и параметры которых изменяются в соответствие с задачей синтеза). 2. Задание показателей качества определяется как верхняя граница допустимых показателей качества, т.о. заданные показатели качества определяют собой область принятия решений. Поэтому при синтезе выбирают критерий оптимизации, позволяющий определить однозначный выбор структуры и параметров САР. 3. Для современных САУ процедура синтеза определяет ориентировочную характеристику САУ, поэтому окончательный результат получается в результате анализа (настройки, моделирования) синтезированной САУ. Этапы синтеза САУ 1. Анализируется объект управления, определяются статические и динамические характеристики объекта. 2. Определяется критерий оптимизации, основанный на заданных показателях качества САУ. 3. Строится структурная схема САУ, выбираются технические средства ее реализации. 4. Синтез оптимальной динамической характеристики. 5. Аппроксимация оптимального динамического режима, т.е. выбор динамических характеристик (желаемых), отвечающих заданным показателям качества и простоте технической реализации корректирующих устройств. 6. Определение динамических характеристик корректирующих устройств, которые обеспечивают желаемые динамические характеристики всей системы. 7. Выбор схемы и способа технической реализации корректирующих устройств по заданной динамической характеристике корректирующего устройства. 8. Анализ синтезированных САУ. Существует два способа включения корректирующих устройств: 1) Последовательно к объекту управления. Здесь W0(p) – передаточная функция объекта, а Wкор(р) – передаточная функция корректирующего устройства. Достоинством последовательной схемы вклю­чения является простота технической реализации. Недостатки: высокая чувствительность данной схемы к помехам; сильная зависимость от изменений параметров объекта. 2) Параллельно к некоторой части объекта. Достоинства: уменьшение зависимости, в отличие от схемы (1), от изменения параметра объекта, хорошая помехозащищенность. Недостатки: корректирующее устройство данной схемы реализуется дорогостоящими схемами, в отличие от схемы (1). В качестве динамических характеристик, по которым осуществляется синтез САУ, выбирается ЛАЧХ разомкнутой системы объекта, т.к. по ней достаточно легко определить параметры объекта. Желаемая ЛАЧХ При построении желаемой ЛАЧХ выделяют три диапазона частот: 1. Низких частот (с). Данный диапазон частот отражает статические характеристики. 2. Диапазон средних частот (с). Определяет динамические характеристики объекта при ступенчатом входном воздействии. 3. Диапазон высоких частот (с). Данный диапазон частот не влияет на статику, а определяет динамические характеристики объекта при быстроизменяющемся входном воздействии. Построение желаемой ЛАЧХ Низкочастотная асимптота строится точно такая же, как и низкочастотная асимптота системы без корректирующих устройств. 1. В большинстве случаев - . 2. Задается перерегулирование. Существуют специальные графики зависимости перерегулирования и времени пп (переходного процесса) от максимального значения вещественной частотной характеристики. 3. По заданному %=18% (обычно) определяем Рmax. 4. По заданному Ртах определяем время пп . 5. По полученному пп определяем частоту среза . 6. Наклон желаемой ЛАЧХ в точке, равной с, составляет –20дБ/дек. Данный наклон является оптимальным с точки зрения быстродействия системы. 7. Определяем минимальное значение вещественной частотной характеристике по формуле . 8. По номограмме определяем диапазон средних частот. Иначе говоря, определяем величину Нmin(Рmin) и фазу: Сопрягаем низкочастотную характеристику со среднечастотной характеристикой и высокочастотную со среднечастотной. Допустим, что в результате сопряжения получится такая характеристика: 9. Аппроксимируем данную ЛАЧХ дробно-рациональной функцией или полиномом с заданной точностью. 10. По специальным таблицам, по заданному алгебраическому виду ЛАЧХ определяем схему и вид корректирующего устройства. Данный способ синтеза работает только для минимально фазовых систем (это такие системы, в которых ЛАЧХ однозначно определяет ФЧХ). Пример такой системы – это звено с чистым запаздыванием. Синтез последовательных корректирующих устройств 1) В системах с последовательными корректирую­щими звеньями, корректирующее звено ставят перед объектом. 2) Если при задаче синтеза ставится задача скомпенсировать некоторую постоянную, то в качестве корректирующего звена ставят форсирующее звено Построим передаточную функцию разомкнутой системы: , если p=j, то . Соответственно, если перейдем к логарифмическим характеристикам: . Считаем, что желаемая ЛАЧХ это - , а нам известно - , то тогда логарифмическая характеристика будет определяться как . Алгоритм построения САУ с последовательными корректирующими звеньями 1. Задаемся желаемой логарифмической характеристикой. 2. Определяем ЛАЧХ объекта. 3. Получаем ЛАЧХ корректирующего звена, как разницу между ЛАЧХ желаемой и ЛАЧХ объекта. 4. Аппроксимируем ЛАЧХ дробно-рациональной функцией или полиномом. 5. По специальным таблицам получаем схему корректирующего звена (как правило, это RC - цепи). Синтез САУ с параллельными корректирующими устройствами Корректирующим звеном обычно охватывают ту часть объекта, которая имеет наибольший коэффициент усиления (в целях экономии). Рассмотрим , или в частотном виде и тогда разомкнутую систему можно упростить за счет приведенных допущений . Если построить ЛАЧХ, то получим . Считая, что - желаемая ЛАЧХ, получим для корректирующего звена: . Алгоритм построения САУ с параллельными корректирующими звеньями Аналогичен. Иногда на практике возникает необходимость построения САУ комбинированной с последовательными и параллельными корректирующими звеньями. Структурная схема такой САУ: Считаем, что единицей в знаменателе можно пренебречь, тогда В результате синтеза мы получаем суммарную ЛАЧХ последовательного и параллельного корректирующего звена. Для разбиения этой ЛАЧХ на последовательные и параллельные дополнительные части проводятся дополнительные исследования. Влияние обратных связей на динамические свойства объекта Существуют так называемые обратные связи (ОС) и соответствующие им передаточные функции (WOC).В зависимости от того, чему равна передаточная функция обратной связи, различают: жесткие и гибкие обратные связи. Если WOC=kОС - коэффициент усиления, то такая связь называется жесткой ОС. Сигнал данной обратной связи существует и в статике, и в динамике. Если WOC=kОСР(КОС/Р), то такая связь называется гибкой ОС. Сигнал данной обратной связи существует только в динамике. Рассмотрим случай, когда в качестве объекта берем апериодическое звено . Охват апериодического звена жесткой отрицательной обратной связью (ЖООС) Рассмотрим передаточную функцию замкнутой системы: , где . Охват апериодического звена жесткой отрицательной обратной связью приводит к уменьшению коэффициента усиления и постоянной времени. Это означает увеличение быстродействия системы, но и потерю мощности сигнала на выходе. Для компенсации потери мощности на выходе увеличивают мощность входного сигнала. Охват апериодического звена жесткой положительной обратной связью (ЖПОС) Если kkoc<1, тот произойдет увеличение k1, Т*; если kkoc=1, то система будет на границе устойчивости; если kkoc>1, то система неустойчива. Охват апериодического звена гибкой отрицательной обратной связью Идеальное дифференцирующее звено - . Если в качестве обратной связи используется идеальное дифференцирующее звено, то система с такой обратной связью называется системой с гибкой обратной связью. Сигнал обратной связи будет существовать только при изменяющейся выходной величине у, т.е. в динамическом режиме. В статическом режиме, когда y=const, сигнал гибкой отрицательной обратной связи будет равен нулю. , где k*=k – прежний коэффициент усиления, а Т*=Т+kkoc – увеличивается. Охват апериодического звена гибкой отрицательной связью не изменяет коэффициент усиления системы и увеличивает постоянную времени, что приводит к увеличению быстродействия системы без потерь мощности выходного сигнала. Дифференциальные звенья очень чувствительны к помехам, поэтому к системам с гибкими отрицательными связями для уменьшения помех дополнительно ставятся фильтры. Охват апериодического звена гибкой положительной обратной связью , где k*=k – прежний коэффициент усиления, а Т*=Т-kkoc – уменьшается. Гибкая положительная обратная связь затягивает переходный процесс, не уменьшая мощность выходного сигнала. Поэтому, если объект представляет собой колебательную систему с большими начальными амплитудами, то гибкая положительная обратная связь будет уменьшать колебательность системы. Передаточная функция типовой одноконтурной системы Статическими называются такие САУ, у которых при постоянном задающем воздействии ошибка в установившемся режиме стремится к некоторой постоянной неравной нулю. Часто при расчете систем передаточные функции и уравнение динамики записывают не для управляемой величины х, а для сигнала ошибки , который также может рассматриваться как сумма двух составляющих: , где ев, ез – составляющие сигнала ошибки, обусловленные изменениями соответственно возмущающего и задающего воздействий. Для каждой составляющей сигнала ошибки можно записать передаточные функции, связывающие эти составляющие с соответствующими внешними воздействиями. Передаточная функция системы по задающему воздействию равна , а передаточная функция по возмущающему воздействию Уравнение динамики системы, записанное для сигнала ошибки, будет иметь вид Рассмотрим для примера следующий случай: пусть . Тогда ошибка будет зависеть только от задающего воздействия . Пусть для нашего случая , тогда Здесь О является порядком астатизма у объекта, а Р – у регулятора, причем если О0 и Р0, то ошибка будет равна нулю. Если регулятор или объект содержат интегрирующие звенья, то ошибка в установившемся режиме будет равна нулю, следовательно, система является астатической. Статической будет та САУ, в которой ни регулятор, ни объект не будут содержать интегрирующих звеньев. Кроме того, статическая САУ – это САУ имеющая нулевой порядок астатизма. Ошибки статических и астатических систем при типовых задающих воздействиях Рассмотрим три типа задающих воздействий: 1. хЗ1=А01(t) Зададим: . Тогда . Это означает, что, если =0, то ошибка будет равна , следовательно, система статическая, а если =1, то ошибка - , значит данная система – астатическая. Т.о. при порядке астатизма системы 1, система при данном возмущающем воздействии является астатической. 2. хЗ1=А0t1(t) Зададим: . Тогда . Это означает, что, если =0, то ошибка будет равна , следовательно, система находится в неопределенном состоянии; если =1, то ошибка - , значит данная система статическая; а если =2, то ошибка равна , что говорит об астатичности данной системы. Т.о. при линейном изменяющемся задающем воздействии, система будет статической при порядке астатизма системы =1, а при 2 – система является астатической. 3. хЗ1=А0t21(t) Тогда . Это означает, что: • если =0, то ошибка будет равна , сле­довательно, система находится в неопределенном состоянии; • если =1, то ошибка - , следовательно, система находится в неопределенном состоянии; • если же =2, то ошибка равна , значит данная система статическая; • если =3, то ошибка равна - в этом случае система является астатической. Т.о. система будет статической при порядке астатизма системы =2, а при 3 она является астатической. Графики в этом случае аналогичны пункту 2. Ошибка при возмущающем воздействии, не равном нулю На ошибку, обусловленную возмущающим воздействием влияет только астатизм регулятора. Таблица Составляющие сигналов ошибки Порядок астатизма Виды возмущений А01(t) А0 t1(t) А0t21(t) e3 =0 А0/(1+k)   =1 А0/ k  =2 2 А0/ k eB 0=0; p=0 А0 k 0/(1+ k)   0=0; p =1 А0/ kР  0=1; p =0 А0 k 0/ k   0=1; p =1 А0/ kР  0=2; p =2 2 А0/ kР Выводы: 1. Составляющая ошибки, обусловленная задающим воздействием, зависит от порядка астатизма всей системы 2. Составляющая ошибки, обусловленная возмущающим воздействием, зависит от порядка астатизма регулятора. 3. Ошибка при задающем воздействии определяется по формуле: еЗ=А0q!/k , где хз= A0tq1(t) , q определим при q от 1 до n. 4. Ошибка при возмущающем воздействии обратно пропорциональна коэффициенту системы еВ=1/k. 5. Если q, то еЗ()=,еВ()=. 6. Если qР, то еЗ()=0,еВ()=0. Если система работает на отслеживание ошибки, обусловленное задающим воздействием, то такая система называется системой стабилизации. Если система работает на отслеживание ошибки, обусловленное возмущающим воздействием, то такая система называется следящей системой. Чувствительность параметров Чувствительностью системы называется выходных характеристик или показателей качества в зависимости от изменений параметров системы. Если система не изменяет свои выходные характеристики или показатели качества при изменении параметров системы, то такая система называется грубая (рабастая). Количественной характеристикой чувствительности системы является функция чувствительности, которая определяется как частная производная какой-либо характеристики системы (передаточная, переходная характеристика, время переходного процесса и т.д.) по варьируемому параметру. , расчетное значение данного параметра. Чаще всего на практике применяется относительная функция чувствительности: . Чем меньше функция чувствительность (относительная функция чувствительности), тем грубее система и, следовательно, лучше качество управления. Для типовой системы: относительная ФЧ определяется следующей формулой: . Типовые законы регулирования линейных систем Рассмотрим типовые алгоритмы управления (законы регулирования), применяемые в линейных автоматических системах. 1. П (пропорциональный) – регулятор: Простейший закон регулирования реализуется при помощи безынерционного звена с передаточной функцией . Согласно этому выражению, управляющее воздействие и в статике и в динамике пропорционально сигналу ошибки е. Поэтому такой закон регулирования называется пропорциональным (П). Преимуществами данного регулятора являются простота и быстродействие, а недостатком – ограниченная точность. 2. И (интегральный) – регулятор: Закон регулирования, которому соответствует передаточная функция , где ТИ – постоянная времени регулятора. Здесь управляющее воздействие у в каждый момент времени пропорционально интегралу от сигнала ошибки е. Поэтому И - регулятор реагирует главным образом на длительные отклонения управляемой величины от заданного значения. Кратковременные отклонения сглаживаются таким регулятором. Преимуществом данного регулятора является лучшая по сравнению с П - регулятором точность установки режима, а недостатками – худшие по сравнению с П - регулятором показатели качества, а именно большая колебательность и меньшее быстродействие. 3. ПИ – регулятор: Наибольшее распространение в промышленной автоматике получил пропорционально-интегральный (ПИ) закон регулирования . Объединяет два регулятора П и И, следовательно, обладает наилучшими свойствами по сравнению с вышеописанными регуляторами, а именно: за счет П - составляющей улучшается показательные качества в переходном процессе, а за счет И - составляющей уменьшается ошибка регулирования  т.е. улучшается точность. 4. Д (дифференциальный) – регулятор: , где ТД – постоянная времени Д – регулятора. Преимуществом данного регулятора является то, что х(р) зависит от дифференциальной ошибки, и регулятор реагирует на малейшее изменение ошибки. Однако очень большим недостатком является плохая помехоустойчивость (очень чувствительный). На практике практически не используется в чистом виде - как и идеальное дифференцирующее звено. 5. ПД – регулятор: Наилучшее быстродействие достигается при пропорционально - дифференциальном (ПД) законе регулирования . ПД – регулятор реагирует не только на величину сигнала ошибки, но и на скорость его изменения. Благодаря этому при управлении достигается эффект упреждения. Недостатком пропорционально – дифференциального закона регулирования является ограниченная точность. 6. ПДИ – регулятор: Наиболее гибким законом регулирования (в классе линейных законов) является пропорционально – интегрально – дифференциальный (ПИД) закон , который сочетает в себе преимущества более простых законов. Объединяет три регулятора П, И и Д, обладает преимуществами всех регуляторов, а недостатком является сложность реализации. Описание САУ методом пространства состояния Состоянием САУ называется та минимальная информация об объекте, которая позволяет спрогнозировать поведение системы в будущем при известных задающих воздействиях. С точки зрения ТАУ, объект представляет собой черный ящик, характеризующийся рядом координат. Состояние объекта в любой момент времени определяется тремя векторными пространствами: 1) Векторное пространство входа определяет входные воздействия на объект. 2) Векторное пространство внутреннего состояния определяет реакцию системы на входное воздействие. 3) Векторное пространство выхода определяется выходными переменными. Совокупность этих векторов определяет состояние системы (пространства состояния). Для непрерывных линейных систем динамика и статика объекта описываются следующими уравнениями: где A* - матрица коэффициентов САУ; B* - матрица управления САУ; C* - матрица выхода САУ; D* - матрица обхода САУ. Данное описание позволяет представить все стороны САУ: • Первое уравнение описывает динамику САУ; • Второе уравнение описывает статику САУ. На практике бывает удобней объединить вектор входа и внутреннего состояния в один: - обобщенный вектор состояния. В итоге получим систему уравнений: Тогда систему (*) можно представить в виде: В пространстве состояния в качестве графического изображения системы предлагают схемы переменных состояний. Схемы переменных состояний (СПС) В основе СПС лежит единичный интегратор: Схемы переменных состояния строятся по передаточной функции объекта. Существует три способа построения схем состояния: • метод прямого программирования; • метод параллельного программирования; • метод последовательного программирования. Метод прямого программирования Используется, если описание САУ представлено в виде передаточной функции: Числитель и знаменатель делим на коэффициент b0, что позволяет определить знаменатель, как цепь обратных связей: Схема переменных состояния строится с последовательной цепочки единичных интеграторов. Количество интеграторов равно п. Далее определяется обратная цепь по знаменателю преобразованной передаточной функции. В методе пространства состояния (если нет иных оговорок) нумерация внутренних переменных идет с конца. Пример: Рассмотрим следующую передаточную функцию: , преобразуем ее в . По данным строим схему: По данной схеме переменных состояния составим систему уравнений. Рассмотрим расширенный вектор: , выходной же вектор - . Допустим, что r(t) – единичная ступенчатая функция, тогда система уравнений будет иметь вид: Для y(t) составим уравнение: . Определяем матрицу коэффициентов: . Матрица выхода: . Т.о., если записать в матричном виде, то получим уравнения: . Метод параллельного программирования Передаточная функция предварительно разбивается на сумму следующих дробей: , при этом s+d=n – порядку системы; i – это действительные полюса передаточной функции W(p); j, j – определяют комплексные полюса передаточной функции W(p). Строим структурную схему: Пример: Схема состояния будет выглядеть следующим образом: Составим систему уравнений: Т.о. матрица коэффициентов А имеет следующий вид: ; а матрица . Метод последовательного программирования Применяется тогда, когда передаточная функция представлена произведением передаточных функций простейших звеньев. В этом случае схема переменных состояния представляет собой последовательное соединение схем состояния простейших звеньев. Схемы переменных состояния типовых звеньев 1. Апериодическое звено: Схема состояния такого звена имеет вид: 2. Колебательное звено: Ему соответствует схема состояния следующего вида: 3. Идеальное интегрирующее звено: Схема состояния: 4. Реальное интегрирующее звено: Схема состояния: 5. Идеальное дифференцирующее звено: Схема состояния идеального дифференцирующего звена не существует. 6. Реальное дифференцирующее звено: Схема состояния имеет вид: 7. Упругое (форсирующее) звено: Схема состояния для этого звена будет выглядеть следующим образом: 8. Изодромное звено: Схема состояния: Построим нашу схему методом последовательного программирования: Области применения методов программирования схем переменных состояния Выбор метода построения схемы переменных состояния зависит от вида передаточной функции и целей исследования системы. Если САУ представлена передаточной функцией высокого порядка и не раскладывается на простые составляющие, то применяется метод прямого программирования. Если задача исследования системы требует определения не только выходной переменной, но и внутренних, то лучше применять метод последовательного программирования. Кроме того, схема переменных состояния, построенная методом последовательного программирования, наилучшим образом соответствует реальному физическому объекту. Если для исследования системы необходима только выходная переменная, и передаточная функция достаточно легко раскладывается на простые, то применяется метод параллельного программирования. Кроме того, матрица перехода, полученная по схеме переменных состояния, построенная методом параллельного программирования, наиболее проста в определениях. Матрица перехода Уравнение (1) можно переписать как , где матрица (Т) – это матрица перехода, а Т – некоторое время (не постоянная времени). Матрица перехода может быть определена одним из трех способов: • Аналитический способ; • Разложением в ряд; • По схеме переменных состояния. Аналитический способ получения матрицы перехода Применим к уравнению (1) прямое преобразование Лапласа: Сгруппируем: , где - квадратная матрица; - единичная матрица. Умножим уравнение (4) слева на обратную матрицу (pI-A): . Применяя обратное преобразование Лапласа, получаем: , где матрица Ф(t) имеет вид: . Пример: Рассмотрим апериодическое звено - . Найдем Ф(t): Получение матрицы перехода разложением в ряд Решением дифференциального уравнения (1) является: Вычислять до тех пор, пока: . Такой метод получения матрицы перехода легко реализуем на ЭВМ. Получение матрицы перехода по схеме переменных состояния Допустим, матрица перехода имеет вид: Для i-го обобщенного вектора можно записать: . Допустим, что в этом уравнении ; Элемент , матрицы перехода Ф(t) определяется по схеме переменных состояния как реакция i-й переменной на ед. ступеньку, поданную на j-ю переменную при прочих нулевых начальных условиях. С точки зрения использования различных способов получения Ф(t), предпочтение отдается аналитическому способу и способу разложения в ряд, при этом аналитический способ дает явную формулу определения матрицы перехода, что позволяет использовать данную матрицу при различных значениях. Если величина t является фиксированной, то удобнее использовать метод разложения в ряд, как наиболее экономичный.