Теоретические основы финансового менеджмента

Лекция 1. Основы финансового менеджмента Тема 1.1. Теоретические основы финансового менеджмента: цели, задачи, функции Финансовый менеджмент представляет собой систему принципов и методов разработки и реализации управленческих решений, связанных с формированием, распределением и использованием финансовых ресурсов предприятия и организацией оборота его денежных средств. Финансы - это денежные отношения, которые возникают между хозяйствующими субъектами по поводу формирования, распределения, перераспределения и использования денежных средств. Эффективное управление финансовой деятельностью предприятия обеспечивается реализацией ряда принципов, основными из которых являются: 1. Интегрированность с общей системой управления предприятия. В какой бы сфере деятельности предприятия не принималось управленческое решение, оно прямо или косвенно оказывает влияние на формирование денежных потоков и результаты финансовой деятельности. Финансовый менеджмент непосредственно связан с производственным менеджментом, инновационным менеджментом, менеджментом персонала и др. Это определяет необходимость органической интегрированности финансового менеджмента с общей системой управления предприятием. 2. Комплексный характер формирования управленческих решений. Все управленческие решения в области формирования, распределения и использования финансовых ресурсов и организации денежного оборота предприятия теснейшим образом взаимосвязаны и оказывают прямое или косвенное воздействие на результаты его финансовой деятельности. В ряде случаев это воздействие может носить противоречивый характер. Так, например, осуществление высокодоходных финансовых инвестиций может вызвать дефицит в финансировании производственной деятельности и как следствие - существенно уменьшить размер операционной прибыли (т.е. снизить потенциал формирования собственных финансовых ресурсов). Поэтому финансовый менеджмент должен рассматриваться как комплексная управляющая система, обеспечивающая разработку взаимозависимых управленческих решений, каждое из которых вносит свой вклад в общую результативность финансовой деятельности предприятия. 3. Высокий динамизм управления. Управленческие решения необходимо принимать оперативно по мере изменения ситуаций (внешних и внутренних условий). 4. Вариативность подходов к разработке отдельных управленческих решений. 1 ОБЕСПЕЧЕНИЕ МАКСИМИЗАЦИИ РЫНОЧНОЙ СТОИМОСТИ ПРЕДПРИЯТИЯ Реализация этого принципа предполагает, что подготовка каждого управленческого решения в сфере формирования и использования финансовых ресурсов и организации денежного оборота должна учитывать альтернативные возможности действий. При наличии альтернативных проектов управленческих решений их выбор для реализации должен быть основан на системе критериев, определяющих финансовую философию, финансовую стратегию или конкретную финансовую политику предприятия. Система критериев устанавливается самим предприятием. 5. Ориентированность на стратегические цели развития предприятия. Какими бы эффективными не казались те или иные проекты управленческих решений в области финансовой деятельности в текущем периоде, они должны быть отклонены, если они вступают в противоречие с миссией (главной целью деятельности) предприятия, стратегическими направлениями его развития, подрывают экономическую базу формирования высоких размеров собственных финансовых ресурсов за счет внутренних источников в предстоящем периоде. С учетом содержания и принципов финансового менеджмента формулируются его цели и задачи. Главной целью финансового менеджмента является максимизация благосостояния собственников предприятия в текущем и перспективном периоде, обеспечиваемая путем максимизации его рыночной стоимости. В процессе реализации своей главной цели финансовый менеджмент направлен на реализацию следующих основных задач (табл. 1.1). Таблица 1.1 Система основных задач, направленных на реализацию главной цели финансового менеджмента Главная цель Основные задачи финансового менеджмента, финансового направленные на реализацию его главной цели менеджмента 1. Обеспечение формирования достаточного объема финансовых ресурсов в соответствии с задачами развития предприятия в предстоящем периоде. 2. Обеспечение наиболее эффективного распределения и использования сформированного объема финансовых ресурсов в разрезе основных направлений деятельности предприятия. 3. Оптимизация денежного оборота. 4. Обеспечение максимизации прибыли предприятия при предусматриваемом уровне финансового риска. 5. Обеспечение минимизации уровня финансового риска при предусматриваемом уровне прибыли. 6. Обеспечение постоянного финансового равновесия предприятия в процессе его развития. 7. Обеспечение возможностей быстрого реинвестирования 2 капитала при изменении внешних и внутренних условий осуществления хозяйственной деятельности 1. Обеспечение формирования достаточного объема финансовых ресурсов в соответствии с задачами развития предприятия в предстоящем периоде. Эта задача реализуется путем определения общей потребности в финансовых ресурсах предприятия на предстоящий период, максимизации объема привлечения собственных финансовых ресурсов за счет внутренних источников, определения целесообразности формирования собственных финансовых ресурсов за счет внешних источников, управления привлечением заемного капитала, оптимизации структуры источников формирования ресурсного финансового потенциала. 2. Обеспечение наиболее эффективного распределения и использования сформированного объема финансовых ресурсов в разрезе основных направлений деятельности предприятия. Оптимизация распределения сформированного объёма финансовых ресурсов предусматривает установление необходимой пропорциональности в их использовании на цели экономического и социального развития предприятия, выплаты необходимого уровня доходов на инвестированный капитал собственникам предприятия и т.п. В процессе хозяйственного использования сформированных финансовых ресурсов в разрезе основных направлений деятельности предприятия должны быть учтены стратегические цели его развития и возможный уровень отдачи вкладываемых средств. 3. Оптимизация денежного оборота. Эта задача решается путем эффективного управления денежными потоками предприятия в процессе кругооборота его денежных средств, обеспечением синхронизации объемов поступления и расходования денежных средств по отдельным периодам, поддержанием необходимой ликвидности его оборотных активов. Одним из результатов такой оптимизации является определение среднего остатка свободных денежных активов, обеспечивающего снижение потерь от их неэффективного использования и инфляции. 4.Обеспечение максимизации прибыли предприятия при предусматриваемом уровне финансового риска. Максимизация прибыли достигается за счет эффективного управления активами предприятия, вовлечения в хозяйственный оборот заемных финансовых ресурсов, выбора наиболее эффективных направлений операционной и финансовой деятельности. При этом, для достижения целей экономического развития предприятие должно стремиться максимизировать не валовую, а чистую прибыль, остающуюся в его распоряжении, что требует осуществления эффективной налоговой, амортизационной и дивидендной политики. Решая эту задачу, необходимо иметь в виду, что максимизация уровня прибыли предприятия достигается, как правило, при существенном возрастании уровня финансовых рисков, так как между этими двумя показателями существует прямая связь. Поэтому максимизация прибыли 1. 3 должна обеспечиваться в пределах допустимого финансового риска, конкретный уровень которого устанавливается собственниками или менеджерами предприятия с учетом их рисковых предпочтений (отношения к степени допустимого риска при осуществлении хозяйственной деятельности). 5.Обеспечение минимизации уровня финансового риска при предусматриваемом уровне прибыли. Если уровень прибыли предприятия задан или спланирован заранее, важной задачей является снижение уровня финансового риска, обеспечивающего получение этой прибыли. Такая минимизация может быть обеспечена путем диверсификации видов операционной и финансовой деятельности, а также портфеля финансовых инвестиций; профилактикой и избеганием отдельных финансовых рисков, эффективными формами их внутреннего и внешнего страхования. 6. Обеспечение постоянного финансового равновесия предприятия в процессе его развития. Такое равновесие характеризуется высоким уровнем финансовой устойчивости и платежеспособности предприятия на всех этапах его развития и обеспечивается формированием оптимальной структуры капитала и активов, эффективными пропорциями в объемах формирования финансовых ресурсов за счет различных источников, достаточным уровнем самофинансирования инвестиционных потребностей. 7. Обеспечение возможностей быстрого реинвестирования капитала при изменении внешних и внутренних условий осуществления хозяйственной деятельности. Меняющаяся экономическая политика государства, изменения конъюнктуры товарного или финансового рынков в целом или отдельных их сегментов, возникновение новых стратегических задач развития предприятия, снижение отдачи капитала в отдельных секторах хозяйственной деятельности предприятия могут потребовать быстрого его реинвестирования в новые высокодоходные проекты, обеспечивающие возрастание рыночной стоимости предприятия. Важнейшим условием обеспечения возможностей такого реинвестирования капитала выступает оптимизация уровня ликвидности как функционирующих активов, так и реализуемой предприятием инвестиционной программы в разрезе составляющих ее инвестиционных проектов. Все рассмотренные задачи финансового менеджмента теснейшим образом взаимосвязаны, хотя отдельные из них и носят разнонаправленный характер (например, обеспечение максимизации суммы прибыли при минимизации уровня финансового риска; обеспечение формирования достаточного объёма финансовых ресурсов и постоянного финансового равновесия предприятия в процессе его развития и т.п.). Поэтому в процессе финансового менеджмента отдельные задачи должны быть оптимизированы между собой для наиболее эффективной реализации его главной цели. 1. 2. 3. 4. 4 Финансовый менеджмент реализует свою главную цель и основные задачи путем осуществления определенных функций, функции финансового менеджмента направлены на реализацию функций финансов предприятия и конкретизируются с учетом особенностей управления отдельными аспектами его финансовой деятельности. Эти функции подразделяются на две основные группы, определяемые комплексным содержанием финансового менеджмента: 1) функции финансового менеджмента как управляющей системы (состав этих функций в целом характерен для любого вида менеджмента, хотя и должен учитывать его специфику); 2) функции финансового менеджмента как специальной области управления предприятием (состав этих функций определяется конкретным объектом финансового менеджмента). Рассмотрим содержание основных функций финансового менеджмента в разрезе отдельных групп. В группе функций финансового менеджмента как управляющей системы основными являются: 1. Разработка финансовой стратегии предприятия. В процессе реализации этой функции исходя из общей стратегии экономического развития предприятия и прогноза конъюнктуры финансового рынка формируется система целей и целевых показателей финансовой деятельности на долгосрочный период; определяются приоритетные задачи, решаемые в ближайшей перспективе и разрабатывается политика действий предприятия по основным направлениям его финансового развития, финансовая стратегия предприятия рассматривается как неотъемлемая составная часть общей стратегии его экономического развития. 2. Создание организационных структур, обеспечивающих принятие и реализацию управленческих решений по всем аспектам финансовой деятельности предприятия. Такие структуры строятся по иерархическому или функциональному признаку с выделением конкретных «центров ответственности». В процессе реализации этой функции финансового менеджмента необходимо обеспечивать постоянную адаптацию этих организационных структур к меняющимся условиям функционирования предприятия и направлениям финансовой деятельности. Организационные структуры финансового менеджмента должны быть интегрированы в общую организационную структуру управления предприятием. 3. Формирование эффективных информационных систем, обеспечивающих обоснование альтернативных вариантов управленческих решений. В процессе реализации этой функции должны быть определены объемы и содержание информационных потребностей финансового менеджмента; сформированы внешние и внутренние источники информации, удовлетворяющие эти потребности; организован постоянный мониторинг финансового состояния предприятия и конъюнктуры финансового рынка. 1. 2. 3. 4. 5 4. Осуществление анализа различных аспектов финансовой деятельности предприятия. В процессе реализации этой функции проводятся экспресс- и углубленный анализ отдельных финансовых операций; результатов финансовой деятельности отдельных дочерних предприятий, филиалов и «центров ответственности»; обобщенных результатов финансовой деятельности, предприятия в целом и в разрезе отдельных ее направлений. 5. Осуществление планирования финансовой деятельности предприятия по основным ее направлениям. Реализация этой функции финансового менеджмента связана с разработкой системы текущих планов и оперативных бюджетов по основным направлениям финансовой деятельности, по различным структурным подразделениям и по предприятию в целом. Основой такого планирования является разработанная финансовая стратегия предприятия, требующая конкретизации на каждом этапе его развития. 6. Разработка действенной системы стимулирования реализации принятых управленческих решений в области финансовой деятельности. В процессе реализации этой функции формируется система поощрения и санкций в разрезе главных менеджеров и менеджеров отдельных структурных подразделений предприятия за выполнение или невыполнение установленных целевых финансовых показателей, финансовых нормативов и плановых заданий. Индивидуализация такой системы стимулирования обеспечивается путем внедрения на предприятии контрактной формы оплаты труда руководителей подразделений и финансовых менеджеров. 7. Осуществление эффективного контроля за реализацией принятых управленческих решений в области финансовой деятельности. Реализация этой функции финансового менеджмента связана с созданием систем внутреннего контроля на предприятии, разделением контрольных обязанностей отдельных служб и финансовых менеджеров, определением системы контролируемых показателей и контрольных периодов, оперативным реагированием на результаты осуществляемого контроля. 5. 6. 1. 2. 3. 4. В группе функций финансового менеджмента как специальной области управления предприятием основными являются: 1. Управление активами, функциями этого управления являются выявление реальной потребности в отдельных видах активов исходя из предусматриваемых объемов операционной деятельности предприятия и определение их суммы в целом, оптимизация состава активов с позиций эффективности комплексного их использования, обеспечение ликвидности отдельных видов оборотных активов и ускорение цикла их оборота, выбор эффективных форм и источников их финансирования. 2. Управление капиталом. В процессе реализации этой функции определяется общая потребность в капитале для финансирования формируемых активов предприятия; оптимизируется структура капитала в целях обеспечения 1. 6 наиболее эффективного его использования; разрабатывается система мероприятий по рефинансированию капитала в наиболее эффективные виды активов. 3. Управление инвестициями. Функциями этого управления являются формирование важнейших направлений инвестиционной деятельности предприятия; оценка инвестиционной привлекательности отдельных реальных проектов и финансовых инструментов и отбор наиболее эффективных из них; формирование реальных инвестиционных программ и портфеля финансовых инвестиций; выбор наиболее эффективных форм финансирования инвестиций. 4. Управление денежными потоками. Функциями этого управления является формирование входящих и выходящих потоков денежных средств предприятия, их синхронизация по объему и во времени по отдельным предстоящим периодам, эффективное использование остатка временно свободных денежных активов. 5. Управление финансовыми рисками. В процессе реализации этой функции выявляется состав основных финансовых рисков, присущих хозяйственной деятельности данного предприятия; осуществляется оценка уровня этих рисков и объем связанных с ними возможных финансовых потерь в разрезе отдельных операций и по хозяйственной деятельности в целом; формируется система мероприятий по профилактике и минимизации отдельных финансовых рисков, а также их страхованию. 6. Антикризисное финансовое управление. Функциями такого управления являются постоянный мониторинг финансового состояния предприятия с целью своевременного диагностирования симптомов финансового кризиса; определение масштабов кризисного состояния предприятия и факторов его вызывающих; определение форм и методов использования внутренних механизмов антикризисного финансового управления предприятием, а при необходимости – форм его внешней санации или реорганизации. 1. Процесс управления финансовой деятельностью предприятия базируется на определенном механизме. Механизм финансового менеджмента представляет собой совокупность основных элементов воздействия на процесс разработки и реализации управленческих решений в области финансовой деятельности предприятия. 7 Тема 1.2. Математические основы менеджмента: основные финансовые вычисления финансового 1. Основы финансовых вычислений Одним из важнейших свойств денежных потоков является их распределенность во времени. При анализе относительно краткосрочных периодов (до 1 года) в условиях стабильной экономики данное свойство оказывает относительно незначительное влияние, которым часто пренебрегают. Определяя годовой объем реализации по предприятию, просто складывают суммы выручки за каждый из месяцев отчетного года. Аналогично поступают со всеми остальными денежными потоками, что позволяет оперировать их итоговыми значениями. Однако в случае более длительных периодов или в условиях сильной инфляции возникает серьезная проблема обеспечения сопоставимости данных. Одна и та же номинальная сумма денег, полученная предприятием с интервалом в 1 и более год, в таких условиях будет иметь для него неодинаковую ценность. Очевидно, что 1 млн. рублей в начале 1992 года был значительно весомее миллиона “образца” 1993 и более поздних лет. Как правило, в таких случаях производят корректировку отчетных данных с учетом инфляции. Но проблема не сводится только к учету инфляции. Одним из основополагающих принципов финансового менеджмента является признание временной ценности денег, то есть зависимости их реальной стоимости от величины промежутка времени, остающегося до их получения или расходования. В экономической теории данное свойство называется положительным временным предпочтением. Наряду с инфляционным обесцениванием денег существует еще как минимум три важнейшие причины данного экономического феномена. Вопервых, “сегодняшние” деньги всегда будут ценнее “завтрашних” из-за риска неполучения последних, и этот риск будет тем выше, чем больше промежуток времени, отделяющий получателя денег от этого “завтра”. Во-вторых, располагая денежными средствами “сегодня”, экономический субъект может вложить их в какое-нибудь доходное предприятие и заработать прибыль, в то время как получатель будущих денег лишен этой возможности. Расставаясь с деньгами “сегодня” на определенный период времени (допустим, давая их взаймы на 1 месяц), владелец не только подвергает себя риску их невозврата, но и несет реальные экономические потери в форме неполученных доходов от инвестирования. Кроме того, снижается его платежеспособность, так как любые обязательства, получаемые им взамен денег, имеют более низкую ликвидность, чем “живые” деньги. То есть у кредитора возрастает риск потери ликвидности, и это третья причина положительного временного предпочтения. Естественно, большинство владельцев денег не согласны бесплатно принимать на себя столь существенные дополнительные риски. Поэтому, предоставляя кредит, они устанавливают такие условия его возврата, которые, по их мнению, полностью возместят им все моральные и материальные неудобства, 8 возникающие у человека, расстающегося (пусть даже и временно) с денежными знаками. Количественной мерой величины этого возмещения является процентная ставка. С ее помощью может быть определена как будущая стоимость “сегодняшних” денег (например, если их собираются ссудить), так и настоящая (современная, текущая или приведенная) стоимость “завтрашних” денег – например, тех, которыми обещают расплатиться через год после поставки товаров или оказания услуг. В первом случае говорят об операции наращения, поэтому будущую стоимость денег часто называют наращенной. Во втором случае выполняется дисконтирование или приведение будущей стоимости к ее современной величине (текущему моменту) – отсюда термин дисконтированная, приведенная или текущая стоимость. Операции наращения денег по процентной ставке более просты и понятны, так как с ними приходится сталкиваться довольно часто беря или давая деньги взаймы. Однако для финансового менеджмента значительно более важное значение имеет дисконтирование денежных потоков, приведение их будущей стоимости к современному моменту времени для обеспечения сопоставимости величины распределенных по времени платежей. В принципе, дисконтирование – это наращение “наоборот”, однако для финансовых расчетов важны детали, поэтому необходимо более подробно рассмотреть как прямую, так и обратную задачу процентных вычислений. Прежде чем рассматривать их применительно к денежным потокам, следует усвоить наиболее элементарные операции с единичными суммами (разовыми платежами). Процентная ставка показывает степень интенсивности изменения стоимости денег во времени. Абсолютная величина этого изменения называется процентом, измеряется в денежных единицах (например, рублях) и обозначается I. Если обозначить будущую сумму S, а современную (или первоначальную) P, то I = S – P. Процентная ставка i является относительной величиной, измеряется в десятичных дробях или %, и определяется делением процентов на первоначальную сумму: (1) Можно заметить, что формула расчета процентной ставки идентична расчету статистического показателя “темп прироста”. Действительно, если абсолютная сумма процента (I) представляет собой прирост современной величины, то отношение этого прироста к самой современной величине и будет темпом прироста перовначальной суммы. Наращение первоначальной суммы по процентной ставке называется декурсивным методом начисления процентов. Кроме процентной существует учетная ставка d (другое название – ставка дисконта), величина которой определяется по формуле: , (2) где D – сумма дисконта. 9 Сравнивая формулы (2) и (3) можно заметить, что сумма процентов I и величина дисконта D определяются одинаковым образом – как разница между будущей и современной стоимостями. Однако, смысл, вкладываемый в эти термины неодинаков. если в первом случае речь идет о приросте текущей стоимости, своего рода “наценке”, то во втором определяется снижение будущей стоимости, “скидка” с ее величины. (Diskont в переводе с немецкого означает “скидка”). Неудивительно, что основной областью применения учетной ставки является дисконтирование, процесс, обратный по отношению к начислению процентов. Тем не менее, иногда она используется и для наращения. В этом случае говорят об антисипативных процентах. При помощи рассмотренных выше ставок могут начисляться как простые так и сложные проценты. При начислении простых процентов наращение первоначальной суммы происходит в арифметической прогрессии, а при начислении сложных процентов – в геометрической. Вначале более подробно рассмотрим операции с простыми процентами. Начисление простых декурсивных и антисипативных процентов производится по различным формулам: декурсивные проценты : (3) антисипативные проценты: , (4) где n – продолжительность ссуды, измеренная в годах. Для упрощения вычислений вторые сомножители в формулах (3) и (4) называются множителями наращения простых процентов: (1 + ni) – множитель наращения декурсивных процентов; 1 / (1 – nd) – множитель наращения антисипативных процентов. Например, ссуда в размере 1 млн. рублей выдается сроком на 0,5 года под 30% годовых. В случае декурсивных процентов наращенная сумма (S i) будет равна 1,15 млн. рублей (1 * (1 + 0,5 * 0,3), а сумма начисленных процентов (I) – 0,15 млн. рублей (1,15 – 1). Если же начислять проценты по антисипативному методу, то наращенная величина (Sd) составит 1,176 млн. рублей (1 * (1 / (1 – 0,5 * 0,3), а сумма процентов (D) 0,176 млн. рублей. Наращение по антисипативному методу всегда происходит более быстрыми темпами, чем при использовании процентной ставки. Поэтому банки используют этот метод для начисления процентов по выдаваемым ими ссудам в периоды высокой инфляции. Однако у него есть существенный недостаток: как видно из формулы (4), при n = 1 / d, знаменатель дроби обращается в нуль и выражение теряет смысл. Вообще, начисление процентов с использованием ставки, предназначенной для выполнения прямо противоположной операции – дисконтирования – имеет оттенок некой “неестественности” и иногда порождает неразбериху (аналогичную той, которая может возникнуть у розничного торговца, если он перепутает правила определения скидок и наценок на свои товары). С позиции математики никакой сложности здесь нет, преобразовав (1), (2) и (4), получаем: 10 (5) Соблюдая это условие, можно получать эквивалентные результаты, начисляя проценты как по формуле (3), так и по формуле (4). Антисипативным методом начисления процентов обычно пользуются в чисто технических целях, в частности, для определения суммы, дисконтирование которой по заданным учетной ставке и сроку, даст искомый результат. В следующем параграфе будут рассмотрены конкретные примеры возникновения подобных ситуаций. Как правило, процентные ставки устанавливаются в годовом исчислении, поэтому они называются годовыми. Особенностью простых процентов является то, что частота процессов наращения в течение года не влияет на результат. То есть нет никакой разницы начислять 30% годовых 1 раз в год или начислить 2 раза по 15% годовых. Простая ставка 30% годовых при одном начислении в году называется эквивалентной простой ставке 15% годовых при начислении 1 раз в полгода. Данное свойство объясняется тем, что процесс наращения по простой процентной ставке представляет собой арифметическую прогрессию с первым членом a1 = P и разностью d = (P * i). P, P + (P * i), P + 2 * (P * i), P + 3 * (P * i), …, P + (k – 1) * (P * i) Наращенная сумма S есть ничто иное как последний k-й член этой прогрессии (S = ak = P + n * P * i), срок ссуды n равен k – 1. Поэтому, если увеличить n и одновременно пропорционально уменьшить i, то величина каждого члена погрессии, в том числе и последнего, останется неизменной. Однако продолжительность ссуды (или другой финансовой операции, связанной с начислением процентов) n необязательно должна равняться году или целому числу лет. Напротив, простые проценты чаще всего используются при краткосрочных (длительностью менее года) операциях. В этом случае возникает проблема определения длительности ссуды и продолжительности года в днях. Если обозначить продолжительность года в днях буквой K (этот показатель называется временная база), а количество дней пользования ссудой t, то использованное в формулах (3) и (4) обозначение количества полных лет n можно будет выразить как t/K. Подставив это выражение в (3) и (4), получим: для декурсивных процентов: (6) для антисипативных процентов: , (7) В различных случаях могут применяться различные способы подсчета числа дней в году (соглашение по подсчету дней). Год может приниматься равным 365 или 360 дням (12 полных месяцев по 30 дней в каждом). Проблема усугубляется наличием високосных лет. Например, обозначение ACT/360 (actual over 360) указывает на то, что длительность года принимается равной 360 дням. Однако возникает вопрос, а как при этом определяется продолжительность ссуды? Например, если кредит выдается 10 марта со сроком возврата 17 июня этого же года, как считать его длительность – по 11 календарю или исходя из предположения, что любой месяц равен 30 дням? Безусловно, в каждом конкретном случае может быть выбран свой оригинальный способ подсчета числа дней, однако на практике выработаны некоторые общие принципы, знание которых может помочь сориентироваться в любой конкретной ситуации. Если временная база (K) принимается равной 365 (366) дням, то проценты называются точными. Если временная база равна 360 дням, то говорят о коммерческих или обыкновенных процентах. В свою очередь подсчет длительности ссуды может быть или приближенным, когда исходят из продолжительности года в 360 дней, или точным – по календарю или по специальной таблице номеров дней в году. Определяя приближенную продолжительность ссуды, сначала подсчитывают число полных месяцев и умножают его на 30. Затем добавляют число дней в неполных месяцах. Общим для всех способов подсчета является правило: день выдачи и день возврата кредита считаются за 1 день (назовем его граничный день). В приведенном выше условном примере точная длительность ссуды составит по календарю 99 дней (21 день в марте + 30 дней в апреле + 31 день в мае + 16 дней в июне + 1 граничный день). Тот же результат будет получен, если использовать таблицу номеров дней в году (10 марта имеет порядковый номер 69, а 17 июня – 168). Если же использовать приближенный способ подсчета, то длительность ссуды составит 98 дней (21 + 2 * 30 + 16 + 1). Наиболее часто встречаются следующие комбинации временной базы и длительности ссуды (цифры в скобках обозначают соответственно величину t и K): 1. Точные проценты с точным числом дней (365/365). 2. Обыкновенные (коммерческие) проценты с точной длительностью ссуды (365/360). 3. Обыкновенные (коммерческие) проценты с приближенной длительностью ссуды (360/360). Различия в способах подсчета дней могут показаться несущественными, однако при больших суммах операций и высоких процентных ставках они достигают весьма приличных размеров. Предположим, что ссуда в размере 10 млн. рублей выдана 1 мая с возвратом 31 декабря этого года под 45% годовых (простая процентная ставка). Определим наращенную сумму этого кредита по каждому из трех способов. Табличное значение точной длительности ссуды равно 244 дня (365 – 121); приближенная длительность – 241 день (6 * 30 + 30 + 30 + 1). 1. 10 * (1 + 0,45 * 244/365) = 13,008 млн. рублей 2. 10 * (1 + 0,45 * 244/360) = 13,05 млн. рублей 3. 10 * (1 + 0,45 * 241/360) = 13,013 млн. рублей Разница между наибольшей и наименьшей величинами (13,05 – 13,008) означает, что должник будет вынужден заплатить дополнительно 42 тыс. рублей только за то, что согласился (или не обратил внимания) на применение 2 способа начисления процентов. 12 Обратной задачей по отношению к начислению процентов является расчет современной стоимости будущих денежных поступлений (платежей) или дисконтирование. В ходе дисконтирования по известной будущей стоимости S и заданным значениям процентной (учетной) ставки и длительности операции находится первоначальная (современная, приведенная или текущая) стоимость P. В зависимости от того, какая именно ставка – простая процентная или простая учетная – применяется для дисконтирования, различают два его вида: математическое дисконтирование и банковский учет. Метод банковского учета получил свое название от одноименной финансовой операции, в ходе которой коммерческий банк выкупает у владельца (учитывает) простой или переводный вексель по цене ниже номинала до истечения означенного на этом документе срока его погашения. Разница между номиналом и выкупной ценой образует прибыль банка от этой операции и называется дисконт (D). Для определения размера выкупной цены (а следовательно, и суммы дисконта) применяется дисконтирование по методу банковского учета. При этом используется простая учетная ставка d. Выкупная цена (современная стоимость) векселя определяется по формуле: (8) где t – срок, остающийся до погашения векселя, в днях. Второй сомножитель этого выражения (1 – (t / k ) * d) называется дисконтным множителем банковского учета по простым процентам. Как правило, при банковском учете применяются обыкновенные проценты с точной длительностью ссуды (2 вариант). Например, владелец векселя номиналом 25 тыс. рублей обратился в банк с предложением учесть его за 60 дней до наступления срока погашения. Банк согласен выполнить эту операцию по простой учетной ставке 35% годовых . Выкупная цена векселя составит: P = 25000 * (1 – 60/360 * 0,35) = 23541,7 руб., а сумма дисконта будет равна D = S – P = 25000 – 23541,7 = 1458,3 руб. При математическом дисконтировании используется простая процентная ставка i. Расчеты выполняются по формуле: (9) Выражение 1 / (1 + (t / k) * i) называется дисконтным множителем математического дисконтирования по простым процентам. Этот метод применяется во всех остальных (кроме банковского учета) случаях, когда возникает необходимость определить современную величину суммы денег, которая будет получена в будущем. Например, покупатель обязуется оплатить поставщику стоимость закупленных товаров через 90 дней после поставки в сумме 1 млн. рублей. Уровень простой процентной ставки составляет 30% годовых (обыкновенные проценты). Следовательно текущая стоимость товаров будет равна: 13 P = 1 / (1 + 90 / 360 * 0,3) = 0,93 млн. рублей Применив к этим условиям метод банковского учета, получим: P = 1 * (1 – 90 / 360 * 0,3) = 0,925 млн. рублей Второй вариант оказывается более выгодным для кредитора. Следует помнить, что каких-то жестких требований выбора того либо иного метода выполнения финансовых расчетов не существует. Никто не может запретить участникам финансовой операции выбрать в данной ситуации метод математического дисконтирования или банковского учета. Существует, пожалуй, единственная закономерность – банками, как правило, выбирается метод, более выгодный для кредитора (инвестора). Основной областью применения простых процентной и учетной ставок являются краткосрочные финансовые операции, длительность которых менее 1 года. Вычисления с простыми ставками не учитывают возможность реинвестирования начисленных процентов, потому что наращение и дисконтирование производятся относительно неизменной исходной суммы P или S. В отличие от них сложные ставки процентов учитывают возможность реинвестирования процентов, так как в этом случае наращение производится по формуле не арифметической, а геометрической прогрессии, первым членом которой является начальная сумма P, а знаменатель равен (1 + i). P, P * (1 + i), P * (1 + i)2, P * (1 + i)3 , …, P * (1 + i)n, где число лет ссуды n меньше числа членов прогрессии k на 1 (n = k – 1). Наращенная стоимость (последний член прогрессии) находится по формуле: (10), где (1 + i) n – множитель наращения декурсивных сложных процентов. С позиций финансового менеджмента использование сложных процентов является более предпочтительным, т.к. признание возможности собственника в любой момент инвестировать свои средства с целью получения дохода является краеугольным камнем всей финансовой теории. При использовании простых процентов эта возможность часто не учитывается, поэтому результаты вычислений получаются менее корректными. Тем не менее при краткосрочных финансовых операциях по-прежнему широко применяются вычисления простых процентов. Некоторые математики считают это досадным пережитком, оставшимся с тех пор, когда у финансистов не было под рукой калькуляторов и они были вынуждены прибегать к более простым, хотя и менее точным способам расчета. Представляется возможным и несколько иное объяснение данного факта. При длительности операций менее 1 года (n < 1) начисление простых процентов обеспечивает получение результатов даже более выгодных для кредитора, чем использование сложных процентов. Выше уже отмечалась закономерность выбора банками именно таких, более выгодных для кредитора способов. Поэтому было бы наивно недооценивать вычислительные мощности современных банков и интеллектуальный потенциал их сотрудников, полагая, что они используют грубые методы расчетов только из-за их низкой 14 трудоемкости. Трудно представить себе банкира, хотя бы на секунду забывающего о собственной выгоде. Сама по себе сложная процентная ставка i ничем не отличается от простой и рассчитывается по такой же формуле (1). Сложная учетная ставка определяется по формуле (2). Так же как и в случае простых процентов возможно применение сложной учетной ставки для начисления процентов (антисипативный метод): , (11) где 1/(1–d)^n – множитель наращения сложных антисипативных процентов. Однако практическое применение такого способа наращения процентов весьма ограничено и он относится скорее к разряду финансовой экзотики. Как уже отмечалось, наиболее широко сложные проценты применяются при анализе долгосрочных финансовых операций (n > 1). На большом промежутке времени в полной мере проявляется эффект реинвестирования, начисления “процентов на проценты”. В связи с этим вопрос измерения длительности операции и продолжительности года в днях в случае сложных процентов стоит менее остро. Как правило, неполное количество лет выражают дробным числом через количество месяцев (3/12 или 7/12), не вдаваясь в более точные подсчеты дней. Поэтому в формуле начисления сложных процентов число лет практически всегда обозначается буквой n, а не выражением t/K, как это принято для простых процентов. Наиболее щепетильные кредиторы, принимая во внимание большую эффективность простых процентов на коротких отрезках времени, используют смешанный порядок начисления процентов в случае, когда срок операции (ссуды) не равен целому числу лет: сложные проценты начисляются на период, измеренный целыми годами, а проценты за дробную часть срока начисляются по простой процентной ставке. , (12) где a – число полных лет в составе продолжительности операции, t – число дней в отрезке времени, приходящемся на неполный год, K –временная база. В этом случае вновь возникает необходимость выполнения календарных вычислений по рассмотренным выше правилам. Например, ссуда в 3 млн. рублей выдается 1 января 1997 года по 30 сентября 1999 года под 28% годовых (процентная ставка). В случае начисления сложных процентов за весь срок пользования деньгами наращенная сумма составит: S = 3 * (1 + 0,28)^(2 + 9/12) = 5,915 млн. рублей Если же использовать смешанный способ (например, коммерческие проценты с точным числом дней), то получим: S = 3 * (1 + 0,28)^2 * (1 + 272 / 360 * 0,28) = 6 млн. рублей Таким образом, щепетильность кредитора в данном случае оказалась вовсе не излишней и была вознаграждена дополнительным доходом в сумме 85 тыс. рублей. 15 Важной особенностью сложных процентов является зависимость конечного результата от количества начислений в течение года. Здесь опять сказывается влияние реинвестирования начисленных процентов: база начисления возрастает с каждым новым начислением, а не остается неизменной, как в случае простых процентов. Например, если начислять 20% годовых 1 раз в год, то первоначальная сумма в 1 тыс. рублей возрастет к концу года до 1,2 тыс. рублей (1 * (1+ 0,2)). Если же начислять по 10% каждые полгода, то будущая стоимость составит 1,21 тыс. рублей (1 * (1 + 0,1) * (1 + 0,1)), при поквартальном начислении по 5% она возрастет до 1,216 тыс. рублей. По мере увеличения числа начислений (m) и продолжительности операции эта разница будет очень сильно увеличиваться. Если разделить сумму начисленных процентов при ежеквартальном наращении на первоначальную сумму, то получится 21,6% (0,216 / 1 * 100), а не 20%. Следовательно сложная ставка 20% при однократном наращении и 20% (четыре раза по 5%) при поквартальном наращении приводят к различным результатам, то есть они не являются эквивалентными. Цифра 20% отражает уже не действительную (эффективную), а номинальную ставку. Эффективной процентной ставкой является значение 21,6%. В финансовых расчетах номинальную сложную процентную ставку принято обозначать буквой j. Формула наращения по сложным процентам при начислении их m раз в году имеет вид: , (13) Например ссуда размером 5 млн. рублей выдана на 2 года по номинальной сложной процентной ставке 35% годовых с начислением процентов 2 раза в год. Будущая сумма к концу срока ссуды составит: S = 5 * (1 + 0,35 / 2)^(2 * 2) = 9,531 млн. рублей. При однократном начислении ее величина составила бы лишь 9,113 млн. рублей (5 * (1 + 0,35)^2; зато при ежемесячном начислении возвращать пришлось бы уже 9,968 млн. рублей (5 * 1 + (0,35 / 12)^(12 * 2)). При начислении антисипативных сложных процентов, номинальная учетная ставка обозначается буквой f, а формула наращения принимает вид: (14) Выражение 1 / (1 – f / m)^mn множитель наращения по номинальной учетной ставке. Дисконтирование по сложным процентам также может выполняться двумя способами – математическое дисконтирование и банковский учет. Последний менее выгоден для кредитора, чем учет по простой учетной ставке, поэтому используется крайне редко. В случае однократного начисления процентов его формула имеет вид: , (15) где (1 –d)n – дисконтный множитель банковского учета по сложной учетной ставке. при m > 1 получаем 16 , (16) где f – номинальная сложная учетная ставка, (1 – f / m)mn – дисконтный множитель банковского учета по сложной номинальной учетной ставке. Значительно более широкое распространение имеет математическое дисконтирование по сложной процентной ставке i. Для m = 1 получаем , (17) где 1 / (1 + i)n – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке. При неоднократном начислении процентов в течение года формула математического дисконтирования принимает вид: , (18) где j –номинальная сложная процентная ставка, 1 / (1 + j / m)mn – дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной номинальной процентной ставке. Например, требуется определить современную стоимость платежа в размере 3 млн. рублей, который должен поступить через 1,5 года, процентная ставка составляет 40%: при m = 1 P = 3 / (1 + 0,4)^1,5 = 1,811 млн. рублей при m = 2 (начисление 1 раз в полугодие) P = (3 / (1 + 0,4 / 2)^(2 * 1,5) = 1,736 млн. рублей при m = 12 (ежемесячное начисление) P = (3 / (1 + 0,4 / 12)^(12 * 1,5) = 1,663 млн. рублей. По мере увеличения числа начислений процентов в течение года (m) проежуток времени между двумя смежными начислениями уменьшается – при m = 1 этот промежуток равен 1 году, а при m = 12 – только 1 месяцу. Теоретически можно представить ситуацию, когда начисление сложных процентов производится настолько часто, что общее его число в году стремится к бесконечнности, тогда величина промежутка между отдельными начислениями будет приближаться к нулю, то есть начисление станет практически непрерывным. Такая на первый взгляд гипотетическая ситуация имеет важное значение для финансов и при построении сложных аналитических моделей (например при разработке масштабных инвестиционных проектов) часто применяют непрерывные проценты. Непрерывная процентная ставка (очевидно, что при непрерывном начислении речь может идти только о сложных процентах) обозначается буквой δ (читается “дельта”), часто этот показатель называют “сила роста”. Формула наращения по непрерывной процентной ставке имеет вид: , (19) где e – основание натурального логарифма (≈2,71828...), edn – множитель наращения непрерывных процентов. 17 Например, чему будет равна через 3 года сумма 250 тыс. рублей, если сегодня положить ее на банковский депозит под 15% годовых, начисляемых непрерывно? S = 250 * e^(0,15 * 3) = 392,1 тыс. рублей. Для непрерывных процентов не существует различий между процентной и учетной ставками – сила роста является универсальным показателем. Однако, наряду с постоянной силой роста может использоваться переменная процентная ставка, величина которой меняется по заданному закону (математической функции). В этом случае можно строить очень мощные имитационные модели, однако математический аппарат расчета таких моделей достаточно сложен и не рассматривается в настоящем пособии, так же как и начисление процентов по переменной непрерывной процентной ставке. Непрерывное дисконтирование с использованием постоянной силы роста выполняется по формуле: , (20) где 1 / e – дисконтный множитель дисконтирования по силе роста. Например, в результате осуществления инвестиционного проекта планируется получить через 2 года доход в размере 15 млн. рублей. Чему будет равна приведенная стоимость этих денег в сегодняшних условиях, если сила роста составляет 22% годовых? P = 15 / e^(0,22 * 2) = 9,66 млн. рублей. 2. Элементарные финансовые расчеты В предыдущем параграфе были изложены основные принципы применения процентных вычислений в практических финансовых расчетах. Приведенные в этой главе примеры относились к банковской деятельности, так как в этой сфере механизм их действия наиболее нагляден и понятен. Однако, сфера использования финансовых вычислений значительно шире, чем расчет параметров банковских кредитов. Хорошее владение основами финансовой математики позволяет сравнивать между собой эффективность отдельных операций и обосновывать наиболее оптимальные управленческие решения. Для анализа финансовых показателей в настоящее время применятся самые изощренные математические методы. Наличие докторской степени по математике пока не является обязательным требованием для финансового менеджера большинства предприятий, однако знание элементарых свойств финансовых показателей и основных взаимосвязей между ними будет ему необходимы начиная с первого дня практической работы. Большую помощь финансисту оказывают специальные компьютерные программы, а также финансовые калькуляторы, позволяющие автоматизировать вычисление многих показателей. Широкое распространение получило использование финансовых таблиц для начисления сложных процентов и дисконтирования. В этих таблицах приводятся значения множителей наращения (дисконтных множителей) для заданных n и i. Для нахождения наращенной стоимости достаточно умножить известную первоначальную сумму на табличное значение множителя наращения. dn 18 Аналогично можно найти приведенную величину будущих денег, умножая их сумму на дисконтный множитель из таблицы. Рассмотим некоторые другие элементарные способы использования результатов финансовых вычислений. В условиях нестабильной экономики банки и другие кредиторы с целью снижения своего процентного риска могут устанавливать переменные ставки процентов для различных финансовых операций. Например, по ссуде в размере 2 млн. рублей общей продолжительностью 120 дней в течение первых двух месяцев будут начисляться 30% годовых, а начиная с 61 дня ежемесячно простая процентная ставка будет увеличиваться на 5% (обыкновенные проценты). Фактически, ссуда разбивается на несколько составляющих, по каждой из которых установлены свои условия. Необходимо найти наращенные суммы по каждой из составляющих, а затем сложить их. Вспомним, что аналогом процентной ставки в статистике является показатель “темп прироста”. При начислении простых процентов следует говорить о базисных темпах прироста, т.к. первоначаьная сумма P остается неизменной. Данная задача в статистических терминах может быть интерпретирована как сложение базисных темпов прироста с последующим умножением на первоначальную сумму займа. Общая формула расчета будет иметь следующий вид: , (1) где N общее число периодов, в течение которых проценты начисляются по неизменной ставке. Подставив в это выражение условия нашего примера, получим: S = 2 * (1 + (60 / 360 * 0,3) + (30 / 360 * 0,35) + (30 /360 * 0,4)) = 2,225 млн. рублей Соответственно для сложных процентов, речь пойдет уже не о базисных, а о цепных темпах прироста, которые должны не складываться, а перемножаться: (2) Подставив условия примера, получим: S = 2 * (1 + 0,3)60/360 * (1 + 0,35)30/360 * (1 + 0,4)30/360 = 2,203 млн. рублей Данную задачу можно решить несколько иным путем – рассчитав сначала средние процентные ставки. Расчет средних процентных ставок (или расчет средних доходностей) вообще очень распространенная в финансах операция. Для ее выполнения полезно опять вспомнить о математико-статистической природе процентных ставок. Так как начисление простых процентов происходит в арифметической прогрессии, средняя простая ставка рассчитывается как средняя арифметическая взвешенная. , (3) 19 где N – общее число периодов, в течение которых процентная ставка оставалась неизменной Сложные проценты растут в геометрической прогрессии, поэтому средняя сложная процентная ставка рассчитывается как средняя геометрическая взвешенная. В качестве весов в обоих случаях используются продолжительности периодов, для которых действовала фиксированная ставка. (4) Снова используем данные нашего примера. В случае начисления простых процентов получим: īпр = ((0,3 * 60) + (0,35 * 30) + (0,4 * 30)) / 120 = 0,3375 = 33,75% S = 2 * (1 + 0,3375 * 120 / 360) = 2,225 млн. рублей То есть средняя процентная ставка составила 33,75% и начисление процентов по этой ставке за весь срок ссуды дает такой же результат, как и тот, что был получен по формуле (1). Для сложных процентов выражение примет вид: īсл = ((1 + 0,3)60 * (1 + 0,35)30 * (1 + 0,4)30)1/120 – 1 = 0,33686 = 33,69% S = 2 * (1 + 0,33686)120/360 = 2,203 млн. рублей Начисление процентов по средней процентной ставке 33,69% также дает результат, эквивалентный тому, что был получен по формуле (2). Понимание различий механизмов наращения простых и сложных процентов помогает избегать довольно распространенных ошибок. Например, следует помнить, что такой процесс как инфляция развивается в геометрической, а не в арифметической прогресссии, то есть к нему должны применяться правила начисления сложных, а не простых процентов. Темпы прироста цен в этом случае являются цепными, а не базисными, т.к. в каждом последующем месяце рост цен относится к предыдущему месяцу, а не к началу года или какой-либо иной неизменной базе. Например, если инфляция в январе составила 5%, в феврале 4%, а в марте 9%, то общая инфляция за квартал будет равна не 18% (сумма месячных показателей), а 19,03% (1,05 * 1,04 * 1,09 – 1). Среднемесячный уровень инфляции за этот квартал составит (1,05 * 1,04 * 1,09)1/3 - 1 = 5,98%. С другой стороны, если объявляется, что среднемесячная инфляция за год составила 5,98%, то это не значит, что общая инфляция за год в 12 раз больше (71,76%). На самом деле годовая инфляция в этом случае составит свыше 100,7% (1,059812 - 1). В предыдущей главе обращалось внимание на сложности, возникающие при попытке понять смысл антисипативного начисления процентов. Рассмотрим ситуацию, в которой необходимо прибегнуть именно к этому способу. Например, коммерсант предлагает вместо оплаты наличными выписать на стоимость закупленных материалов вексель в сумме 500 тыс. рублей со сроком оплаты через 90 дней, который может быть учтен в банке по простой учетной ставкой 25% годовых (коммерческие проценты с точным числом дней ссуды). Для определения суммы, которую понадобится проставить в этом векселе ему необходимо начислить проценты на стоимость товаров, 20 используя антисипативный метод. Сумма векселя составит 533,333 тыс. рублей (500 * 1 / (1 – 90 / 360 * 0,25). Если продавец в этот же день учтет этот вексель в банке (на оговоренных условиях), то получит на руки ровно 500 тыс. рублей (533,333 * (1 – 90 / 360 * 0,25)). Таким образом, начисление антисипативных процентов используется для определения наращенной суммы, которая затем будет дисконтироваться по той же самой ставке, по которой производилось начисление. Такое чисто техническое использование наращения по учетной ставке является преобладающим в практических расчетах. Наряду с расчетом будущей и современной величины денежных средств часто возникают задачи определения других параметров финансовых операций: их продолжительности и величины процентной или учетной ставок. Например, может возникнуть вопрос: сколько времени понадобится, чтобы данная сумма при заданном уровне процентной ставки удвоилась, или при каком уровне учетной ставки в течение года исходная сумма возрастет в полтора раза? Решение подобных задач сводится к преобразованию соответствующей формулы наращения (дисконтирования) таким образом, чтобы вычислить значение неизвестного параметра. Например, если надо рассчитать продолжительность ссуды по известным первоначальной и будущей суммам, а также уровню простой процентной ставки, то преобразуя формулу начисления простых декурсивных процентов (S = P * (1 + ni)), получим формулу (5) из табл. 2.2.1. (Все формулы и их нумерация приведены в табл. 2.2.1). По такой же формуле будет определяться срок до погашения обязательства при математическом дисконтировании. Определение срока финансовой операции для антисипативного начисления процентов и банковского учета производится по формуле (6) из табл. 2.2.1. Например, нужно определить через какой период времени произойдет удвоение суммы долга при начислении на нее 20% годовых простых а) при декурсивном методе начисления процентов; б) при использовании антисипативного метода. Временная база в обоих случаях принимается равной 365 дней (точные проценты). Применив формулы (5) и (6), получим: а) t = (2 – 1) / 0,2 * 365 = 1825 дней (5 лет); б) t = (1 – 1 / 2) / 0,2 * 365 = 912,5 дней (2,5 года) Эти же формулы можно применить для определения срока до погашения обязательств при дисконтировании. Например, по векселю номиналом 700 тыс. рублей банк выплатил 520 тыс. рублей, произведя его учет по простой ставке 32% годовых. Чему равен срок до погашения векселя? Применив формулу (6), получим: t = (1 – 520 / 700) / 0,32 * 360 = 289 дней Товар, стоимостью 1,5 млн. рублей оплачивается на условиях коммерческого кредита, предоставленного под 15% годовых (простая процентная ставка, временная база 360 дней). Сумма оплаты по истечении срока кредита составила 1 млн. 650 тыс. рублей. Чему равен срок предоставленного кредита? Из формулы (5) следует: 21 t = (1,65 / 1,5 – 1) / 0,15 * 360 = 240 дней Таблица 2.2.1 Формулы расчета продолжительности финансовых операций и процентных (учетных) ставок по ним Способ начисления Продолжительность ссуды Процентная (учетная) ставка процентов 1. Простые декурсивные проценты (t – длительность в днях, K – временная база) (5) (12) 2. Простые антисипативные проценты (t – длительность в днях, K – временная база) (6) (13) 3. Сложные декурсивные проценты проценты по эффективной ставке i (n – длительность, лет) 4. Сложные декурсивные проценты по номинальной ставке j (n – длительность, лет) (16) (8) 5. Дисконтирование по сложной эффективной учетной ставке d (n – длительность, лет) (9) 6. Дисконтирование по сложной номинальной учетной ставке f (n – длительность, лет) Непрерывное наращение (дисконтирование) по постоянной силе роста  (n – длительность, лет) (15) (7) (17) (18) (10) (11) (19) Например, сколько лет должен пролежать на банковском депозите под 20% (сложная процентная ставка i) вклад 100 тыс. рублей, чтобы его сумма составила 250 тыс. рублей? Подставив данные в формулу (7), получим: n = log2(250 / 100) / log2(1 + 0,2) ≈ 5 лет Если начисление процентов при этих же условиях будет производиться ежемесячно, то в соответствии с формулой (8): n = log2(250 / 100) / log2(1 + 0.2 / 12)12 ≈ 4,6 года 22 Чтобы избежать использования вычислений логарифмов, разработаны упрощенные способы приближенных вычислений срока финансовых операций. Один из них - “правило 70” - позволяет определить период удвоения первоначальной суммы при начислении сложных процентов по приближенной формуле 70% / i. Проверим его на нашем примере, заменив значение наращенной суммы 250 тыс. рублей на 200 тыс. рублей. По “правилу 70” эта сумма должна быть накоплена через 3,5 года (0,7 / 0,2). Подставив соответствующие значения в формулу (7) получим 3,8 года. Еще одним важнейшим параметром любой финансовой операции является процентная (учетная) ставка. Кроме технической функции, выполняемой этим показателем в ходе расчетов, он используется для оценки доходности – одного из фундаментальных понятий финансового менеджмента. Часто можно услышать (или прочитать) выражения, подобные следующим: “на этой сделке я заработал 50%” или “менеджеры нашего фонда обеспечат годовую доходность по Вашим вкладам не ниже 100% ” и т.п. Следует сразу оговориться, что сами по себе эти выражения вполне корректны, однако объем содержащейся в них полезной информации значительно меньше, чем может показаться на первый взгляд. Из содержания предыдущей главы можно сделать вывод, что любое упоминание о процентных ставках требует массу оговорок и уточнений. Попытаемся понять смысл первого выражения. Во-первых следует уточнить, к какому промежутку времени относится полученный доход – месяцу, году или длительности самой сделки. В последнем случае необходимо знать, чему равна эта длительность. Так как ничего не известно ни о сумме ни о длительности сделки, то ее результат “50% дохода” невозможно сравнить с доходностью какой-то другой операции, чтобы сделать вывод об уровне ее эффективности. Если в ответ на это выражение кто-нибудь заявит: “А я имею 25% годовых по своему банковскому депозиту”, то определить, который же из этих двух инвесторов оказался более удачливым, будет практически невозможно. Сталкиваясь с упоминанием о процентных ставках, финансист должен выяснить о каких процентах – простых или сложных, дискретных или непрерывных, – идет речь. Далее необходимо точно определиться с временной базой – рассчитываются ли годовые проценты или какие-то еще, если проценты годовые, то возникает вопрос, каким образом определяется длительность операции и продолжительность года. В случае начисления сложных процентов должно быть оговорено количество начислений процентов в течение года. В результате может оказаться, что методика определения доходности, используемая одним из контрагентов, не совпадает с той, что “принята на вооружение” другой стороной. Однако в этом уже не будет никакой трагедии, так как, зная особенности обеих этих методик, финансисты достаточно быстро приведут результаты своих расчетов в сопоставимый вид. То есть, своевременно задавая необходимые вопросы, финансист тем самым предотвращает возможные неприятные последствия использования несогласованных терминов. Вряд ли в обозримом будущем удастся заставить 23 всех рассчитывать доходность по какой-либо единой методике, поэтому задача финансиста состоит не в том, чтобы вынудить своего контрагента применять единственноый “правильный” способ, а в том, чтобы как можно скорее разобраться самому, что именно понимает под термином “доходность” его собеседник, и после этого решить, каким образом можно унифицировать расчеты. Вопросы определения доходности заслуживают отдельного разговора, поэтому здесь будут рассмотрены наиболее общие моменты расчета уровня процентных ставок в отдельных финансовых операциях и нахождения эквивалентных им значений. Вначале рассмотрим способы расчета величины процентных (учетных) ставок, когда заданы другие параметры финансовой операции. Преобразовав формулы декурсивного и антисипативного наращения простых процентов, получим выражения (12) и (13) в табл. 2.2.1). Например, чему будет равна простая процентная ставка по ссуде, выданной на 90 дней в размере 350 тыс. рублей, и возвращенной по истечении срока в сумме 375 тыс. рублей (временная база 360 дней)? Подставив эти данные в формулу (12), получим: i = (375 – 350) / (350 * 90) * 360 ≈ 28,6% Вексель номиналом 1 млн. рублей учтен в банке за 60 дней до его погашения в сумме 900 тыс. рублей. По какой простой учетной ставке было произведено его дисконтирование? Используем для расчетов формулу (13): d = (1 – 0,9) / (1 * 60) * 360 = 60% Очевидно, что даная методика может (и должна) использоваться при анализе любых финансовых операциях, а не только в процессе банковского кредитования. Например, иностранная валюта в объеме 1000 единиц, купленная по курсу 20 руб. за 1 единицу, через месяц была продана по курсу 20 руб. 50 коп. Определить доходность этой операции по годовой простой процентной ставке (коммерческие проценты). Из формулы (12) получаем: i = (20500 – 20000) / (20000 * 30) * 360 = 30% Аналогичный подход к расчету доходности используется и на фондовых рынках. Например, Центральным Банком России была рекомендована следующая формула расчета доходности ГКО: , (14) где N – номинал облигации; P – цена ее приобретения; t – срок до погашения. По сути дела она повторяет формулу (12) применительно к точным процентам (временная база 365 дней). Например, облигация номиналом 10 тыс. рублей была приобретена за 8,2 тыс. рублей за 40 дней до погашения. Ее годовая доходность, рассчитанная как простая процентная ставка, составит: r = (10 / 8,2 – 1) * 365 / 40 * 100 ≈ 200,3% Точно такой же результат можно получить, применив формулу (12). Не следует отождествлять процентную ставку, указываемую в кредитном договоре, с доходностью операции, рассчитанной в процентах. В первом случае 24 процентная ставка является реальным параметром финансовой операции, однозначно определяющим величину платежа, который должен последовать в случае исполнения договора. Доходность же – это производная величина, не определяющая, а определяемая теми денежными потоками, которые порождает кредитный договор (ценная бумага или другой финансовый инструмент). В первой главе данного пособия подчеркивался абстрактный характер понятия “прибыль предприятия”. То же самое можно сказать о доходности – в явной форме она не присутствует в ходе осуществления финансовой операции. Рассчитывая доходность финансовой операции, инвестор получает субъективную оценку ее величины, зависящую от целого ряда предпосылок, таких как способ начисления процентов, выбор временной базы и т.п. Эти предпосылки не являются объективными и неизбежными – при всем уважении к Центральному банку инвестор может определить доходность купленной им ГКО по ставке сложных, а не простых процентов, не нарушив при этом ни физических ни юридических законов (и поступив совершенно правильно с позиции финансовой теории). Рекомендация вычислять доходность по методике наращения простых процентов используется на данном рынке как соглашение его участников (точно такое же как соглашение о подсчете точной временной базы). Выполнение условий этого соглашения гарантирует участникам рынка сопоставимость результатов их расчетов, т.е. помогает избежать путаницы, но не более этого. Степень соответствия того либо иного метода расчета доходности идеалу в данном контексте не имеет значения – это предмет научных дискуссий. Используя неправильную или несовершенную методику расчета доходности, инвестор имеет все шансы достаточно быстро разориться, точно так же как и предприятие, завышающее прибыль, вследствие неправильного калькулирования издержек. Но конечной причиной банкротства станет отсутствие у него денег для покрытия обязательств, до этого момента ни один кредитор не сможет вчинить иск о банкротстве только на основании несогласия с методикой подсчета доходности, которой пользуется его должник. Для финансового менеджмента сложные проценты имеют неизмеримо большую ценность, чем простые. Очевидно, что при использовании методики расчета простых процентов значение доходности искажается уже из-за того, что данная методика не учитывает возможности реинвестирования полученных доходов. Пэтому при прочих равных условиях безусловно предпочтительным является расчет доходности как ставки сложных процентов. Рассмотрим методику определения величины этой ставки, когда известны другие параметры финансовой операции. В результате преобразования исходных выражений наращения (дисконтирования) по сложным процентам, получим (см. (15) – (19) в табл. 3.2.1). В качестве иллюстрации рассчитаем доходность облигации из предыдущего примера как ставку сложного процента (наращение 1 раз в году): i = (10 / 8,2)365/40 – 1 ≈ 511,6% 25 Этот результат более чем в 2,5 раза превышает доходность, рассчитанную как ставку простых процентов. Означает ли это, что инвестор, использующий для расчета доходности сложные проценты, в два с половиной раза богаче того, кто купив в один день с ним точно такую же облигацию, применяет для вычислений простые проценты? Тогда последнему следует срочно разучивать новую формулу и точно так же богатеть. Однако, в случае сложных процентов не все так однозначно. Если рассчитывать доходность как сложную номинальную ставку (16), то ее уровень резко снизится, при m = 12 получим: j = 12 * ((10 / 8,2)1/(12*40/365)) – 1 ≈ 195,5% При расчете доходности как силы роста – непрерывные проценты (19) – ее уровень будет более точно соответствовать тому, что был рассчитан с помощью простой процентной ставки:  d = ln (10 / 8,2) / (40 / 365) ≈ 203,6% Чтобы не запутаться в обилии методов расчета процентных ставок не обязательно зазубривать каждую формулу. Достаточно четко представлять, каким образом она получена. Кроме этого, следует помнить, что любому значению данной ставки может быть поставлено в соответствие эквивалентное значение какой-либо другой процентной или учетной ставки. В предыдущей главе был приведен подобный пример эквивалентности между простыми процентной и учетной ставками (5). Эквивалентными называются ставки, наращение или дисконтирование по которым приводит к одному и тому же финансовому результату. Например, в условиях последнего примера эквивалентными являются простая процентная ставка 200,3% и сложная процентная ставка 511,6%, т.к. начисление любой из них позволяет нарастить первоначальную сумму 8,2 тыс. рублей до 10 тыс. рублей за 40 дней. Приравнивая между собой множители наращения (дисконтирования), можно получить несложные формулы эквивалентности различных ставок. Для удобства эти формулы представлены в табличной форме. В заголовки граф табл. 3.2.2 помещены простые процентная (i) и учетная (d) ставки. В заголовках строк этой таблицы указаны все рассмотренные в данном пособии ставки. На пересечении граф и столбцов приводятся формулы эквивалентности соответствующих ставок. В таблицу не включены уравнения эквивалентности простых процентных и сложных учетных ставок, вследствие маловероятности возникновения необходимости в таком сопоставлении. Знание уравнений эквивалентности позволяет без труда переходить от одного измерения доходности к другому. Например, доходность облигаций по простой процентной ставке составила за полгода 60%. По формуле (21) найдем, что в пересчете на сложные проценты это составляет 69%. Доходность векселя, дисконтированного по простой учетной ставке 50% за 3 месяца до срока погашения, в пересчете на простую процентную ставку составит 57,14% (34), если же по процентной ставке принята точная временная база (365 дней), то применив формулу (36), получим i = 57,94%). 26 Таблица 2.2.2 Эквивалентность простых ставок Сложная процентная ставка (iсл) Простая процентная ставка Простая учетная ставка (iпр) (dпр) (22) (20) (21) (23) Сложная номинальная процентная ставка (j) (26) (24) (25) (27) Сила роста () (28) (30) (31) (29) Простая учетная (32) – ставка (dпр) n=t/K (33) Простая учетная ставка (dпр) (34) ki = kd = 360 (35) Простая учетная ставка (dпр) (36) – – ki = 365 kd = 360 (37) Например, предприятие может столкнуться с необходимостью выбора между получением кредита на 5 месяцев под сложную номинальную ставку 27 24% (начисление процентов поквартальное) и учетом в банке векселя на эту же сумму и с таким же сроком погашения. Небходимо определить простую учетную ставку, которая сделает учет векселя равновыгодной операцией по отношению к получению ссуды. По формуле (26) получим d = 22,21%. Кроме формул, приведенных в табл. 3.2.2 и 3.2.3, следует отметить еще одно полезное соотношение. Между силой роста и дисконтным множителем декурсивных процентов существунт следующая связь: (38) По мере усложнения задач, стоящих перед финансовым менеджментом, сфера применения непрерывных процентов будет расширяться, так как при этом становится возможным использовать более мощный математический аппарат. Особенно наглядно это проявляется в случае непрерывных процентных ставок. В обыденной практике финансистов данный способ пока еще не занял должного места, что в какой-то мере объясняется его непривычностью, может быть чересчур “отвлеченным” характером. Однако трезвый анализ показывает, что предположение о непрерывности реинвестирования начисленных процентов не такое уж абстрактное и нереальное. В самом деле, как для простых, так и для сложных процентов факт непрерывности их начисления ни у кого не вызывает сомнений (годовая ставка 36% означает 3% в месяц, 0,1% в день и т.д., то есть можно начислять проценты хоть за доли секунды). Но точно такой же аксиомой для финансов является признание возможности мгновенного реинвестирования любых полученных сумм. Что же мешает совместить два этих предположения? В теории сумма начисленных процентов может (и должна) реинвестироваться сразу по мере ее начисления, т.е. непрерывно. В данном утверждении ничуть не меньше логики, чем в предположении, что реинвестирование должно производиться дискретно. Почему реинвестирование 1 раз в год считается более “естественным” чем 12 или 6 раз? Почему эта периодичность привязывается к календарным периодам (год, квартал, месяц), почему нельзя реинвестировать начисленные сложные проценты, скажем 39 раз в год или 666 раз за период между двумя полнолуниями? На все эти вопросы ответ, скорее всего, будет один – так сложилось, так привычно, так удобнее. Но выше уже было отмечено, что практический расчет величины реальных денежных потоков (например, дивидендных или купонных выплат) и определение доходности финансовых операций это далеко не одно и то же. Если привычнее и удобнее выплачивать купон по облигации 2 раза в год, то так и следует поступать. Но, определять доходность этой операции более логично по ставке непрерывных процентов. Таблица 2.2.3 Эквивалентность сложных процентных ставок Сложная процентная ставка Сложная учетная ставка 28 (iсл) (dсл) Сложная номинальная процентная ставка (j) (41) (39) (40) (42) Сложная номинальная процентная ставка (j) Сила роста () (43) (45) (44) (46) Сложная учетная ставка (dсл) (47) – (48) Например, по вкладу в размере 10 тыс. рублей начисляется 25 простых процентов в год. В конце 1 года вклад возрастет до 12500 рублей. Доходность, измеренная как по простой (формула 12), так и сложной (15) процентной ставке i, составит 25% годовых. Однако, измеряя доходность по номинальной ставке j (16) при m = 2, получим лишь 23,61%, т.к. в этом случае будет учтена потерянная вкладчиком возможность реинвестирования процентов хотя бы 2 раза в год. Если же измерить доходность по силе роста (19), то она окажется еще ниже – всего 22,31%, т.к. теоретически он мог реинвестировать начисленные проценты не 2 раза в год, а непрерывно. 3. Определение современной и будущей величины денежных потоков Содержание двух предыдущих глав было посвящено вопросам, относящимся исключительно к единичным, разовым платежам, хотя для финансового менеджмента наибольший интерес представляет изучение денежных потоков. Основные правила процентных вычислений, рассмотренные нами ранее, остаются неизменными и для совокупности платежей, однако возникает необходимость ввести несколько дополнительных понятий. В финансовом анализе для обозначения денежных потоков в наиболее общем смысле используется термин рента. Каждый отдельный рентный платеж называют членом ренты. Частным случаем ренты является финансовая рента или аннуитет – такой поток платежей, все члены которого равны друг другу, так же как и интервалы времени между ними. Часто аннуитетом называют 29 финансовый актив, приносящий фиксированный доход ежегодно в течение ряда лет. В буквальном переводе “аннуитет” подразумевает, что платежи происходят с интервалом в один год, однако встречаются потоки с иной периодичностью выплат. Очевидно, что рента – это более широкое понятие, чем аннуитет, так как существует множество денежных потоков, члены которых не равны друг другу или распределены неравномерно. В данном параграфе будут рассмотрены примеры и таких неравномерных денежных потоков, но основное внимание будет уделено аннуитетам, ввиду наибольшей методической разработанности именно этого вида рент. Форму аннуитетов имеют многие финансовые потоки, например выплата доходов по облигациям или платежи по кредиту, страховые взносы и др. Можно сказать, что финансы тяготеют к упорядочению денежных потоков. Это и понятно, так как равномерность любых процессов связана с их упорядоченностью, а следовательно – предсказуемостью и определенностью. И хотя риск как мера неопределенности постоянно присутствует в финансах, однако с увеличением этого риска происходит трансформация финансовой деятельности в индустрию азартных игр. Различие между двумя ценными бумагами (облигацией, имеющей высокий рейтинг, и лотерейным билетом) состоит именно в том, что первая из них с достаточно высокой вероятностью гарантирует ее владельцу возникновение упорядоченного положительного денежного потока (аннуитета). Принцип временной ценности денег делает невозможным прямое суммирование членов ренты. Для учета влияния фактора времени к каждому члену ренты применяются рассмотренные выше правила наращения и дисконтирования. Причем в анализе денежных потоков применяется техника вычисления только сложных процентов, то есть предполагается, что получатель потока имеет возможность реинвестировать получаемые им суммы.. Если бы размеры рент всегда ограничивались двумя-тремя членами, то необходимость создания специальных способов расчета денежных потоков, возможно, и не возникла. Ни в теории ни на практике таких ограничений нет, наоборот, существуют большие, очень большие и даже бесконечные денежные потоки (вечные ренты), поэтому были разработаны специальные методы, позволяющие анализировать ренту не по каждому ее члену в отдельности, а как единую совокупность – рассчитывать ее будущую и приведенную величины, а также определять размеры других важных параметров ренты. Как уже отмечалось ранее, в процессе начисления сложных процентов на единичную сумму P возникает геометрическая прогрессия со знаменателем (1 + i), наращенная сумма S представляет собой последний член этой прогрессии P * (1 + i)n. Денежный поток представляет собой совокупность таких единичных сумм Pk, поэтому наращение денежного потока означает нахождение суммы всех k последних членов геометрических прогрессий, возникающих по каждому из них. В случае аннуитета задача упрощается, т.к. Pk в этом случае будет постоянной величиной = P. То есть возникает одна геометрическая прогрессия с первым членом P и знаменателем (1 + i). Отличие от сложных процентов для единичного платежа здесь заключается в том, что требуется 30 найти не последний член прогрессии, а ее сумму. В случае дисконтирования аннуитета меняется лишь знаменатель прогрессии – он будет равен не (1 + i), а 1 / (1 + i). Приведенная стоимость аннуитета находится как сумма вновь полученной геометрической прогрессии. Наряду с членом ренты (обозначим его R) любой денежный поток характеризуется рядом других параметров: период ренты (t) – временной интервал между двумя смежными платежами; срок ренты (n) – общее время, в течение которого она выплачивается; процентная ставка (i) – ставка сложного процента, используемая для наращения и дисконтирования платежей, из которых состоит рента; число платежей за 1 период ренты (p) – используется в том случае, если в течение 1 периода ренты, производится больше, чем 1 выплата денежных средств; число начислений процентов в течение 1 периода ренты (m) – при начислении (дисконтировании) по номинальной процентной ставке (j). В зависимости от числа платежей за период различают годовые и pсрочные ренты. В первом случае за 1 период ренты (равный, как правило 1 году) производится 1 выплата; во втором, в течение периода производится p выплат (p > 1). В случае очень частых выплат, рента может рассматриваться как непрерывная (p → ∞); значительно чаще в финансовом анализе имеют дело с дискретными рентами, для которых p – конечное целое число. Так же как и при использовании сложной процентной ставки для единичных сумм, наращение (дисконтирование) рент может производиться 1 раз за период, m раз за период или непрерывно. По величине членов денежного потока ренты могут быть постоянными (с равными членами) и переменными. По вероятности выплат ренты делятся на верные и условные. В случае условной ренты выплата ее членов ставится в зависимость от наступления какого-либо условия. По своей общей продолжительности (или по числу членов) различают ограниченные (с конечным числом членов) и бесконечные (вечные, бессрочные) ренты. По отношению к фиксированному моменту начала выплат ренты могут быть немедленными и отложенными (отсроченными). Ренты, платежи по которым производятся в конце периода называются обычными или постнумерандо; при выплатах в начале периода говорят о рентах пренумерандо. Рассмотрим пример определения будущей величины ограниченной постоянной ренты (аннуитета) постнумерандо которая выплачивается 1 раз в год (p = 1) и проценты по которой начисляются по сложной эффективной процентной ставке i 20% годовых также 1 раз в год (m = 1). Размер годового платежа R составляет 3 тыс. рублей, общий срок ренты n равен 5 годам. Таблица 2.3.1 Наращение денежного потока № периода 1 2 3 4 5 Итого 1.Член ренты, тыс. руб. 3 3 3 3 3 15 2.Время до 4 3 2 1 – 31 конца ренты, периодов (лет) 3.Множитель наращения (1+0,2)4 (1+0,2)3 (1+0,2)2 (1+0,2)1 (1+0,2)0 – 4.Наращенная величина, тыс. руб. (стр.1*;стр.3) 6,22 4,32 3,6 3 22,32 5,18 Полученное значение (22,32 тыс. руб.) заметно больше арифметической суммы отдельных членов ренты (15 тыс. руб.), однако она значительно меньше той гипотетической суммы, которая могла быть получена, если бы мы захотели нарастить по ставке 20% все 15 тыс. руб. за весь срок ренты (15*; 1,25). Наращенная сумма ренты S получена путем последовательного начисления процентов по каждому члену ренты и последующего суммирования полученых результатов. Введя обозначение k = номеру периода ренты, в наиболее общей форме данный процесс можно выразить следующей формулой: (1) В нашем примере член ренты R неизменен в течение всего срока, процентная ставка i также постоянна. Поэтому наращенную величину ренты можно найти как сумму геометрической прогрессии с первым членом 3000 и знаменателем (1 + 0,2): Следовательно, от общей формулы наращения ренты (1) можно перейти к ее частному случаю – формуле наращения аннуитета: (2) Второй сомножитель этого выражения – ((1 + i)n – 1) / i – называется множителем наращения аннуитета. Так же как и в случае с начислением процентов на единичные суммы, значения таких множителей табулированы, что позволяет облегчить процентные вычисления денежных потоков. Наращение денежных потоков имеет место при периодическом внесении на банковский депозит фиксированных сумм с целью накопления финансового фонда к определенному моменту времени. Например, разместив долгосрочный облигационный заем, предприятие готовится к погашению суммы основного долга в конце срока займа путем периодического внесения на банковский счет фиксированных платежей под установленный процент. Таким образом к моменту погашения облигационного займа у предприятия накопятся достаточные средства в этом фонде. Аналогичные задачи решаются в ходе формирования пенсионного фонда или при накоплении суммы для оплаты обучения детей. Например, заботясь о своей старости, человек может наряду с обязательными отчислениями в государственный Пенсионный фонд, вносить часть своего ежемесячного заработка на банковский депозит под проценты. 32 Наращение суммы такого вклада будет происходить по описанному выше алгоритму. Таким же путем предприятия могут формировать амортизационный фонд для плановой замены оборудования. Обратный по отношению к наращению процесс – дисконтирование денежного потока имеет еще большую важность для финансового менеджмента, так как в результате определяются показатели, являющиеся в настояее время основными критериями принятия финансовых решений. Рассмотрим этот процесс более подробно. Предположим, что рассмотренный в нашем примере денежный поток характеризует планируемые поступления от реализации инвестиционного проекта. Доходы должны поступать в конце периода. Так как эти поступления планируется получить в будущем, а инвестиции, необходимые для выполнения проекта, должны быть произведены уже сегодня, предприятию необходимо сопоставить величину будущих доходов с современной величиной затрат. Как уже было сказано выше, использование для сравнения арифметической суммы членов потока (15 тыс. руб.) бессмысленно, так как эта сумма не учитывает влияние фактора времени. Для обеспечения сопоставимости данных величина будущих поступлений должна быть приведена к настоящему моменту, иными словами данный денежный поток должен быть дисконтирован по ставке 20%. Предприятие сможет определить сегодняшнюю стоимость будущих доходов. При этом процентная ставка будет выступать в качестве измерителя альтернативной стоимости этих доходов: она показывает, сколько денег могло бы получить предприятие, если бы разместило приведенную (сегодняшнюю) стоимость будущих поступлений на банковский депозит под 20%. Дисконтирование денежного потока предполагает дисконтирование каждого его отдельного члена с последующим суммированием полученных результатов. Для этого используется дисконтный множитель математического дисконтирования по сложной процентной ставке i. Операции наращения и дисконтирования денежных потоков взаимообратимы, то есть наращенная сумма ренты может быть получена начислением процентов по соответственной сложной ставке i на современную (приведенную) величину этой же ренты (S = PV*; (1+i)n). Таблица 2.3.2 Дисконтирование денежного потока № периода 1 2 3 4 5 Итого 1.Член ренты, тыс. руб. 3 3 3 3 3 15 2. Число лет от начальной даты 1 2 3 4 5 3.Множитель 1/(1+0,2)1 1/(1+0,2)2 1/(1+0,2)3 1/(1+0,2)4 1/(1+0,2)5 – дисконтирования 4.Приведенная величина, тыс. руб. 2,5 2,08 1,74 1,45 1,21 8,98 33 (стр.1*; стр.3) Из таблицы видно, что при альтернативных затратах 20% сегодняшняя стоимость будущих доходов составляет 8,98 тыс. руб. Именно эта величина и должна сравниваться с инвестициями для определения целесообразности принятия проекта или отказа от его реализации. Обобщая алгоритм, по которому выполнялись расчеты, получаем общую формулу дисконтирования денежных потоков: (3) Так как в нашем примере i и R постоянные величины, то снова применяя правило суммирования геометрической прогрессии, получим частную формулу дисконтирования аннуитета: (4) Второй сомножитель этого выражения – (1 – (1 + i)-n) / i – называется дисконтным множителем аннуитета. Формулы (2) и (4) описывают наиболее общие случаи наращения и дисконтирования аннуитетов: рассматриваются только ограниченные ренты, выплаты и начисление процентов производятся 1 раз в году, используется только эффективная процентная ставка i. Так же как и в случае единичных сумм все эти параметры могут меняться. Поэтому существуют модифицированные формулы наращения и дисконтирования аннуитетов, учитывающие особенности отдельных денежных потоков. Основные из них, относящиеся к ограниченным денежным потокам, представлены в табл. 2.3.3. Таблица 2.3.3 Основные формулы наращения и дисконтирования ограниченных аннуитетов Виды рент Годовая с начислением несколько раз в году (p = 1, m > 1) p-срочная с начислением 1 раз в году (p > 1, m = 1) Наращение Дисконтирование (5) (6) (11) (12) 34 p- срочная с начислением несколько раз в году (p > 1, m > 1, p = m) p- срочная с начислением несколько раз в году (p > 1, m > 1, p ≠ m) Годовая с начислением непрерывных процентов (p = 1, ) p-срочная с начислением непрерывных процентов (p > 1, ) (13) (7) (14) (8) (9) (15) (10) (16) В табл. 2.3.3 не нашли отражения формулы расчета неограниченных денежных потоков, т.е. вечных рент или перпетуитетов. Существуют финансовые инструменты, предполагающие бессрочную выплату доходов их держателям. Одним из примеров таких ценных бумаг являются т.н. консоли (консолидированные ренты), эмитируемые британским казначейством начиная с XVIII века. В случае смерти владельца они передаются по наследству, обеспечивая тем самым действительную “бесконечность” денежного потока. Очевидно, что будущую стоимость ренты такого рода определить невозможно – ее сумма также будет стремиться к бесконечности, однако приведенная величина вечного денежного потока может быть выражена действительным числом. Причем, формула ее определения очень проста: (17) где R – член ренты (разовый платеж), i – сложная процентная ставка. Например, по условиям страхового договора компания обязуется выплачивать 5 тыс. рублей в год на протяжении неограниченного периода, т.е. вечно. Чему должна быть равна стоимость этого перпетуитета, если уровень процентной ставки составит 25% годовых? В соответствии с (17) текущая стоимость всех предстоящих платежей по договору будет равна 20 тыс. рублей (5 / 0,25). Если неограниченная рента выплачивается p раз в году, и начисление процентов по ней производится m раз за год, причем m = p, то формула расчета ее приведенной стоимости принимает вид: 35 , (18) где j – номинальная процентная ставка. Предположим, рассмотренный выше перпетуитет будет выплачиваться дважды в год по 2,5 тыс. рублей, столько же раз будут начисляться проценты (25% в этих условиях становится номинальной ставкой). Его стоимость останется неизменной 20 тыс. рублей ((2,5 + 2,5) / 0,25). В наиболее общем виде (m > 1, p > 1, m ≠ p) формула приведенной стоимости перпетуитета записывается следующим образом: (19) В принципе, ее можно использовать во всех случаях, подставляя соответствующие значения параметров m, p, j, или i. Если предположить четырехразовое начисление процентов по рассматриваемому перпетуитету, то в соответствии с (19) его текущая стоимость составит: 19,394 тыс. рублей (5 / (2 * ((1 + 0,25 / 4)4/2 – 1))). Интересно отметить связь существующую между годовой вечной и годовой ограниченной рентами (аннуитетами). Преобразовав правую часть формулы (4), получим: (20) То есть современная величина конечной ренты, имеющей срок n периодов, может быть представлена как разница между современными величинами двух вечных рент, выплаты по одной из которых начинаются с первого периода, а по второй – с периода (n+1). В случае, если член вечной ренты R ежегодно увеличивается с постоянным темпом прироста g, то приведенная стоимость такой ренты определяется по формуле: , (21) где R1 – член ренты в 1-м году. Данная формула имеет смысл при g < i. Она применяется в оценке обыкновенных акций. При сравнении приведенной стоимости различных аннуитетов можно избежать громоздких вычислений, запомнив следующее правило: увеличение числа выплат по ренте в течение года (p) увеличивает ее текущую стоимость, увеличение числа начислений процентов (m), наоборот, уменьшает. При заданных значениях R, n, i (j, d) наиболее высокий результат даст дисконтирование p-срочной ренты с 1 начислением процентов в год (m = 1). Самый низкий результат при этих же условиях будет получен по годовой ренте (p = 1) с непрерывным начислением процентов. По мере увеличения p современная величина ренты будет расти, по мере роста m онна будет снижаться. Причем изменение p дает относительно больший езультат, чем изменение m. То есть любая p-срочная рента даже с непрерывным начислением 36 процентов (m → ∞) будет стоить дороже, чем годовая рента (p = 1) с 1 начислением процентов в год (m = 1). Например, по облигации предусмотрена ежегодная выплата 1 тыс. рублей в течение 5 лет. Процентная ставка составляет 20%. При начислении декурсивных процентов 1 раз в год стоимость этой ренты по базовой формуле (4) составит 2,99 тыс. рублей. Если выплаты будут производиться 2 раза в год по 500 рублей, то по формуле (12) стоимость ренты будет равна уже 3,13 тыс. рублей. Но если по последнему варианту начислять проценты 2 раза в год (13), текущая величина ренты снизится до 3,07 тыс. рублей. Если же двукратное начисление применить к исходному варианту при p = 1 (11), то приведенная стоимость ренты станет еще меньше 2,93 тыс. рублей. Самым дешевым будет вариант годовой ренты (p = 1) с непрерывным начислением процентов (15) – 2,86 тыс. рублей. 37