Теоретические основы электротехники

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Ю.Н. Исаев, В.А. Колчанова, Т.Е. Хохлова КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКИМ ОСНОВАМ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ Рекомендовано в качестве учебного пособия Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета Издательство Томского политехнического университета 2009 И 76 УДК 621.3.011 (075.8) ББК 31.211я73 И 76 Исаев Ю.Н. Курс лекций по ТОЭ / Ю. Н. Исаев, В.А. Колчанова, Т. Е. Хохлова, – Томск: Изд-во ТПУ, 2009. – 176 с. В пособии рассмотрены основные положения теории линейных электрических цепей и их свойства. Теоретический материал закрепляется многочисленными примерами и контрольными заданиями. Издание предназначено для самостоятельной работы студентов Электротехнического института Томского политехнического университета. УДК 621.3.011 (075.8) ББК 31.211я73 Рецензенты Доктор технических наук, профессор ТУСУРа, М.Ю. Катаев Кандидат технических наук, доцент ТГАСУ, А.И. Гедике Доктор технических наук, профессор ТПУ, Б.В. Лукутин © Исаев Ю.Н., 2009 © Томский политехнический университет, 2009 © Оформление. Издательство Томского политехнического университета, 2009 СОДЕРЖАНИЕ Постоянный ток ............................................................................................5 § 1.1. Законы Кирхгофа ...........................................................................5 § 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа ...............................8 § 1.3. Матрично-топологический метод .............................................10 § 1.4. Метод контурных токов ..............................................................14 § 1.5 Баланс мощностей .........................................................................15 § 1.6. Метод контурных токов на основе матрично–топологического подхода ....................................................................................................15 § 1.7. Метод узловых потенциалов ......................................................18 § 1.8. Метод узловых потенциалов на основе матричнотопологического метода ........................................................................20 § 1.9. Метод эквивалентных преобразований .....................................23 § 1.10. Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник ............................................................................................24 § 1.11. Метод эквивалентного генератора ...........................................26 § 1.12 Характеристики эквивалентного генератора ...........................29 § 1.13. Метод наложения (метод суперпозиции). ...............................32 РГР №1 – Расчет линейной цепи постоянного тока ...........................33 Переменный ток ..........................................................................................45 §2.1. Немного о комплексных числах ..................................................49 §2.2. Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных амплитуд (Символический метод) ......................................................50 §2.3. Векторные диаграммы – фазовые соотношения между величинами .............................................................................................55 §2.4. Показания приборов .....................................................................57 §2.5. Мощность в цепи переменного тока ...........................................58 §2.6. Цепи с индуктивно связанными элементами .............................59 Последовательное соединение катушек с индуктивной связью. ......59 §2.7. Построение диаграммы при встречном и согласном включениях индуктивностей с магнитной связью .............................60 §2.8. Расчет цепи с магнитно-связанными индуктивностями ...........61 §2.9. Построение векторной диаграммы .............................................64 §2.10. Мощность в цепи переменного тока с взаимной индуктивностью ...................................................................................677 §2.11. Трансформатор ............................................................................68 §2.12. Резонанс напряжений .................................................................71 3 РГР №2 Расчет линейной цепи синусоидального тока .......................76 Трехфазные цепи.......................................................................................799 §3.1 Метод симметричных составляющих ..........................................82 §3.2 Примеры расчёта несимметричных режимов .............................91 Переходные процессы ..............................................................................101 §4.1 Переходные процессы в простейших цепях. Нулевые начальные условия ...............................................................................101 §4.2 Классический метод расчета переходного процесса. Первый и второй законы коммутации. Понятия о зависимых и независимых начальных условиях.............................................................................106 §4.3 Метод расчета переходных процессов в цепи переменный тока ................................................................................................................119 §4.4 Переходные процессы в цепи второго порядка ........................122 §4.5 Операторный метод расчёта переходных процессов ...............130 §4.6 Интеграл Дюамеля .......................................................................139 §4.6.1 Переходная характеристика (или переходная функция) ....1422 §4.6.2 Импульсная переходная функции (весовая функция-функция Грина) ....................................................................................................143 §4.7 Метод пространство состояний ..................................................146 РГР №3. Расчёт переходных процессов в линейных цепях.............157 Линии с распределенными параметрами ............................................161 §5.1 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии ...........166 §5.2 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии ............168 §5.3 Линии без потерь .........................................................................168 §5.4 Коэффициент отражения .............................................................169 §5.6 Стоячие волны ..............................................................................171 §5.7 Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе ................................................................................................................172 §5.8 Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника .............................174 4 ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ Лекция № 1 ПОСТОЯННЫЙ ТОК § 1.1. Законы Кирхгофа Рассмотрим простую электрическую цепь с одной ЭДС и несколькими сопротивлениями, соединёнными параллельно. Будем считать, что величины ЭДС и сопротивлений нам известны. Все элементы цепи соединены параллельно, поэтому напряжение на каждом элементе одинаково и равно E , но токи разные – они обратно пропорциональны величинам сопротивлений соответствующих ветвей и определяются Рис. 1.1 по закону Ома: E E E E (1) , I3 = ..... I n = . I1 = , I 2 = R1 R2 R3 Rn Результирующий ток I , протекающий в ветви с ЭДС, будет равен сумме токов всех ветвей без ЭДС, то есть I = I1 + I 2 + I 3 + ..... I n . (2) Если подставить выражение (1) в (2), то можно получить: ⎛1 1 E E E E 1 1 ⎞ 1 I = + + + ..... + = E ⋅ ⎜ + + + ..... + ⎟ = E ⋅ = E ⋅ gэ (3) R1 R2 R3 Rn Rn ⎠ Rэ ⎝ R1 R2 R3 Коэффициент пропорциональности между током и ЭДС называется проводимостью и измеряется в сименсах [См]. Итак, мы получили важную формулу, позволяющую определить результирующее – эквивалентное сопротивление схемы с параллельным соединением проводников: 1 1 1 1 1 1 + + ..... + = → Rэ = (4) g э = g1 + g2 + g3 + ..... + gn = + R1 R2 R3 Rn Rэ gэ 5 Рис. 1.2 В частном случае, когда в цепи два сопротивления, выражение (4) можно переписать: 1 1 1 1 RR + = → Rэ = = 1 2 . (5) g э = g1 + g2 = R1 R2 Rэ g э R1 + R2 Это выражение следует запомнить, потому что в электротехнике часто приходится преобразовывать цепь с двумя параллельно включенными сопротивлениями. Отметим полезную информацию, которая содержится в выражении (4). Если вы правильно подсчитали результирующее (эквивалентное) сопротивление схемы параллельно соединённых проводников, то величина результирующего сопротивления должна быть меньше величины самого маленького сопротивления цепи. Теперь вернёмся к выражению (2). Это выражение называется первым законом Кирхгофа, и формулируется следующим образом: Алгебраическая сумма токов в узле равняется нулю. Алгебраическая сумма означает, что следует учитывать знаки, например если входящие в узел токи берутся со знаком плюс, то выходящие должны быть взяты со знаком минус. Или наоборот. Запишем первый закон Кирхгофа для узла, приведённого на рисунке 1.3: − I1 + I 2 − I 3 + I 4 − I 5 = 0 . (6) Рис. 1.3 Рассмотрим простейшую цепь с последовательным соединением проводников, приведённую на рисунке 1.4. В представленной схеме известны все сопротивления и ЭДС. Через все Рис. 1.4 6 сопротивления проходит один и тот же ток. Результирующее или суммарное сопротивление схемы равняется сумме всех сопротивлений: RЭ = R1 + R2 + R3 + .... + Rn (7) По закону Ома, ЭДС в результирующей цепи равняется произведению силы тока на результирующее сопротивление. Проделав несложные преобразования можно получить: E = RЭ ⋅ I = ( R1 + R2 + R3 + .... + Rn ) I = U1 + U 2 + U 3 + ..... + U n (8) где U1 = I ⋅ R1 , U 2 = I ⋅ R2 , и т.д. В результате мы получили второй закон Кирхгофа, который формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений для любого замкнутого контура равняется алгебраической сумме ЭДС контура: ∑ ± Em = ∑ ±U k m (9) k При смешанном соединении проводников, представленном на ри- Рис. 1.5 сунке 1.5, преобразование схемы производят в следующем порядке. Сначала преобразуют сопротивления, соединённые параллельно ( R3 и R4 ), а затем производят преобразования для сопротивлений, соединённых последовательно, то есть: R3 R4 . (10) R3 + R4 Рассмотрим правило параллельных ветвей для ветвей с токами I 3 и I 4 (рис. 1.5.). Напряжения на ветвях одинаково, следовательно, I 3 R3 = I 4 R4 и I = I3 + I4 (11) Решая систему уравнений относительно I 3 и I 4 , получаем правило параллельных ветвей: I ⋅ R3 I ⋅ R4 , I4 = . (12) I3 = R3 + R4 R3 + R4 Это правило иногда называют ”правилом разброса”, так как общий ток ветвей 3 и 4 разбрасывается по ветвям с коэффициентами пропорциональности R4 ( R3 + R4 ) и R3 ( R3 + R4 ) . Rэ = R1 + R2 + 7 § 1.2. Примеры использования законов Кирхгофа (методы расчетов) Для определения токов в электрической схеме использовать правило преобразования параллельно и последовательно соединённых сопротивлений можно не всегда. Например, для цепи представленной на рис. 1.6, это мешают сделать ЭДС E1 , E2 и E3 . В таких случаях для определения токов используют первый и второй законы Кирхгофа. Число уравнений, необходимых для определения токов, равно числу ветвей. Рис. 1.6 Число независимых уравнений, которых можно записать по первому закону Кирхгофа, равно Y-1, где Y – число узлов в схеме. Остальные недостающие уравнения, которые нужны для завершения системы, записывают по второму закону Кирхгофа. Рассмотрим в качестве примера схему, представленную на рисунке 1.6, предполагая, что все сопротивления и ЭДС нам известны. Схема имеет три ветви, следовательно, необходимо записать три уравнения. Записываем одно уравнение по первому закону Кирхгофа. Например, для второго узла: I1 − I 2 − I 3 = 0 . (13) Два недостающих уравнения записываем по второму закону Кирхгофа для первого и второго контуров соответственно: ⎧ I1R1 + I 2 R2 = E1 + E2 . (14) ⎨ − I R + I R = − E − E 2 3 ⎩ 2 2 3 3 Запишем уравнения (13) и (14) в виде системы уравнений, предварительно правильно сгруппировав коэффициенты при неизвестных, в результате получаем формальное решение: ⎛ 1 −1 −1 ⎞ ⎜ ⎟ A = ⎜ R1 R2 0 ⎟ , ⎜0 − R R ⎟ 2 3⎠ ⎝ ⎛ ⎞ ⎛ I1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ E1 + E2 ⎟ , I = ⎜ I 2 ⎟ , ⎜ −E − E ⎟ ⎜I ⎟ 3⎠ ⎝ 2 ⎝ 3⎠ A ⋅ I = B → I = A −1 ⋅ B . Рассмотрим пример с числовыми данными. 8 (15) Пример 1: Дана схема с тремя ЭДС и шестью сопротивлениями. Определить все токи в схеме (рис. 1.7), если: R1 = 10 Ом, R2 = 12 Ом, R3 = 15 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 10 Ом, R6 = 8 Ом, E1 = 50 В, E2 = 30 В, E3 = 15 В. Схема имеет шесть ветвей, следовательно, необходимо составить шесть уравнений. Три уравнения (Y-1=3) по первому закону Кирхгофа (1-ЗК) и три уравнения по второму закону Кирхгофа (2ЗК). Для узлов 1, 2 и 3 соответст- Рис. 1.7 венно записываем по 1-ЗК: ⎧ I1 − I 3 − I 4 = 0; ⎪ (16) ⎨ I 4 + I 5 − I 6 = 0; ⎪ I + I + I = 0. ⎩ 2 3 6 Для контуров I , II и III используем 2-ЗК: ⎧ I1R1 + I 4 R4 − I 5 R5 = E1; ⎪ (17) ⎨ I 3 R3 − I 4 R4 − I 6 R6 = − E3 ; ⎪− I R + I R + I R = E . 2 ⎩ 2 2 5 5 6 6 Перепишем в матричном виде и подставим числовые значения. В результате получаем: ⎛1 0 ⎜ ⎜0 0 ⎜0 1 A=⎜ ⎜ R1 0 ⎜0 0 ⎜ ⎜ ⎝ 0 − R2 0 0 ⎞ ⎛1 0 −1 −1 ⎟ 0 1 1 −1 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 1 0 0 1 ⎟ ⎜0 1 ⎟=⎜ 0 R4 − R5 0 ⎟ ⎜10 0 R3 − R4 0 − R6 ⎟ ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 R5 R6 ⎠⎟ ⎝⎜ 0 − 12 0 0⎞ −1 −1 ⎟ 0 1 1 −1 ⎟ 1 0 0 1⎟ ⎟, 0 20 − 10 0 ⎟ 15 − 20 0 − 8 ⎟ ⎟ 0 0 10 8 ⎠⎟ 9 ⎛ 0 ⎜ ⎜ 0 ⎜ 0 B=⎜ ⎜ E1 ⎜ −E ⎜⎜ 3 ⎝ E2 ⎞ ⎛ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟=⎜ ⎟ ⎜ 50 ⎟ ⎜ −15 ⎟⎟ ⎜⎜ ⎠ ⎝ 30 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ , (18) ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ I = A −1 ⋅ B = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ I1 ⎞ ⎛ 2,329 ⎟ I 2 ⎟ ⎜ −2, 075 ⎜ I 3 ⎟ ⎜ 1,121 ⎟=⎜ I 4 ⎟ ⎜ 1, 209 I 5 ⎟ ⎜ −0, 254 ⎟ ⎜ I 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0,955 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ § 1.3. Матрично-топологический метод Когда ветвей и узлов в схеме много, решение методом Кирхгофа становится утомительным, потому что приходится составлять алгебраи1 I1 R1 E1 4 R4 I4 2 I5 R5 I2 R3 I3 J4 E3 3 R6 I6 E2 R2 J2 а б Рис. 1.8 ческие уравнения высокого порядка. Поэтому в электротехнике существуют методы, позволяющие понизить порядок системы линейных алгебраических уравнений. Такие методы называются матрично– топологическими. Топологические методы особенно удобны для использования компьютерных вычислений. Рассмотрим использование матрично – топологического метода для схемы, приведённой на рисунке 1.8 а. Прежде всего, рисуют ненаправленный (неориентированный) топологический граф схемы. Рисуются ветви схемы без элементов. Причем, рисуются только те ветви схемы, элементы которых имеют конечное сопротивление. Например, для рис. 1.8,б приведен граф схемы, представленной на Рис. 1.8 а, на котором видно восемь ветвей и четыре узла. 10 Затем задают направления токов, и граф становится направленным (ориентированным). Следующим этапом составляют узловую матрицу, задавшись базовым узлом. Базовый узел – это узел, потенциал которого равен некой постоянной величине, в частности нулю. Пусть, например, четвертый узел будет базовым узлом. Тогда сформируем узловую матрицу A по следующему правилу: если ток ветви подтекает к узлу, то ставим -1, если ток ветви оттекает от узла, то ставим 1, если ветвь не имеет связи с узлом, то ставим 0. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, узловая топологическая матрица будет следующей: 1 Ветви 2 3 4 5 6 1 ⎛ −1 0 1 1 0 0 ⎞ 2 A = ⎜ 0 0 0 −1 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ Рис 1.9. ⎜ 0 − 1 − 1 0 0 − 1⎟ 3 ⎝ ⎠ Узлы Составим теперь матрицу контуров B по следующему правилу: если ветвь не входит в контур, то ставим 0, если ветвь входит в контур, то ставим 1 в случае совпадения направления обхода контура с направлением тока, и ставим -1 в противном случае. Для схемы, изображённой на Рис. 1.9, контурная топологическая матрица будет иметь вид: Ветви 1 2 3 4 5 6 I ⎛ 1 0 0 1 −1 0 ⎞ II B = ⎜ 0 0 1 − 1 0 − 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 0 0 1 1⎟ III ⎝ ⎠ Контуры Если узловая и контурная матрицы составлены правильно, то их произведения должны равняться нулевой матрице: ⎛0 0 0 ⎞ B ⋅ A = A ⋅ B = ⎜ 0 0 0 ⎟. ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠ Важными являются также диагональные матрицы сопротивлений diag (R ) и проводимостей diag (g) , а также матрицы ЭДС и источников тока. T T 11 Диагональная матрица сопротивлений состоит только из диагональных элементов, элементами которой являются величины сопротивлений ветвей. То есть первый диагональный элемент – это результирующее сопротивление первой ветви, второй диагональный элемент – это результирующее сопротивление второй ветви и так далее. Диагональная матрица проводимостей – матрица обратная диагональной матрице сопротивлений diag (g ) = diag ( R ) −1 . Топологическая матрица ЭДС – это столбцевая матрица, количество элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы ЭДС формируется по следующему правилу: если ЭДС в ветви отсутствует, то ставим 0, если направление ЭДС совпадает с направлением тока в ветви, то ставим ЭДС с положительным знаком, в противном случае ставим ЭДС с отрицательным знаком. Топологическая матрица источников тока является столбцевой матрицей, количество элементов которой равно количеству ветвей схемы без источников тока. Элементы матрицы источников тока формируются также как матрица ЭДС: если источник тока соединён параллельно i − той ветви с током I i и направление источника тока совпадает с направлением тока I i , то в этом случае ставим величину источника тока с положительным знаком. Если направление источника тока не совпадает с направлением тока в ветви I i , то ставим величину источника тока с отрицательным знаком. И, наконец, если источник тока отсутствует, то ставим нуль. Ниже приводится пример формирования топологических матриц для схемы, приведенной на рисунке 1.8. 12 ⎛ 1 ⎞ ⎜R 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎛ R1 0 0 0 0 0 ⎞ R ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ R ⎜ ⎟ 1 2 ⎜ ⎟ 0 0 0 0 0⎟ ⎜ ⎜ 0 0 R3 0 0 0 ⎟ R2 ⎟, r = diag (R ) = ⎜ G = diag (g) = diag (R ) −1 = ⎜ ⎟, ⎜ ⎟ 1 R ⎜ ⎟ 4 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎜0 0 0 0 R 0 ⎟ R 3 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜0 0 0 0 0 R ⎟ ⎜ ⎟ 1 6⎠ ⎝ 0⎟ ⎜0 0 0 0 R4 ⎟ ⎜ ⎜ 1 ⎟ ⎜0 0 0 0 0 ⎟ R5 ⎠ ⎝ ⎛ E1 ⎞ ⎛ 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − E2 ⎟ ⎜ J2 ⎟ ⎜ −E ⎟ ⎜ 0 ⎟ E = ⎜ 3 ⎟, J = ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ J4 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠ 13 Лекция № 2 § 1.4. Метод контурных токов Прежде чем продолжить рассмотрение матрично–топологического метода, рассмотрим метод контурных токов. Суть метода заключается в уменьшении размерности матрицы СЛАУ для определения токов. Рассмотрим, например, схему, приведённую на рисунке 1.10 примера 1. Выберем произвольное направление I1 1 токов в ветвях. Будем считать, что в R1 R 3 первом контуре течёт только ток J1 R4 J2 I 3 и будем называть его контурным E1 J1 током. Аналогично во втором конI4 E3 туре, полагаем, что течёт ток J 2 . И, 4 3 наконец, в третьем контуре будем 2 I5 R5 R6 I6 считать, что течёт ток J 3 . СоставляJ3 ем уравнения для контурных токов E2 I2 R2 по второму закон Кирхгофа: ⎧ J1 ( R1 + R4 + R5 ) − J 2 R4 − J 3 R5 = E1 ⎪ ⎨− J1R4 + J 2 ( R4 + R3 + R6 ) − J 3 R6 = − E3 ⎪ ⎩− J1R5 − J 2 R6 + J 3 ( R5 + R6 + R2 ) = E2 (19) При составлении уравнений учтено, что в смежных ветвях протекают два контурных тока, направленных навстречу друг другу. Подставляем числовые значения сопротивлений и ЭДС в СЛАУ и получаем решения: Рис. 1.10 − R4 − R5 ⎛ R1 + R4 + R5 ⎞ ⎛ 40 − 20 − 10 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ − R4 − R6 R4 + R3 + R6 ⎟ = ⎜ −20 43 − 8 ⎟ , ⎜ − R5 − R6 R5 + R6 + R2 ⎠⎟ ⎝⎜ −10 − 8 30 ⎠⎟ ⎝ ⎛ E1 ⎞ ⎛ 50 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ − E3 ⎟ = ⎜ −15 ⎟ , ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ E2 ⎠ ⎝ 30 ⎠ ⎛ J1 ⎞ ⎛ 2,329 ⎞ I = A −1 ⋅ B = ⎜⎜ J 2 ⎟⎟ = ⎜ 1,121 ⎟ . (20) ⎜ ⎟ ⎜ J ⎟ ⎜ 2,075 ⎟ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ Теперь можно найти токи в ветвях, используя их связь с контурными токами: I1 = J1 , I 2 = − J 3 , I 3 = J 2 , I 4 = J1 − J 2 , I 5 = J 3 − J1 , I 6 = J 3 − J 2 , T I = (2, 329 − 2, 075 1,121 1, 209 − 0, 254 0, 955 ). 14 (21) § 1.5 Баланс мощностей При составлении СЛАУ по первому и второму законам Кирхгофа можно допустить ошибку, например, пропустить в нужном месте знак минус, и, как следствие, получить неправильное значение токов. Для проверки числовых значений токов составляют баланс мощностей для источников энергии – ЭДС и источников тока, и для потребителей энергии – сопротивлений. Это закон сохранения энергии – сколько энергии было выделено источниками энергии – столько же должно быть потреблено потребителями. Определим мощность источников и мощность приёмников для нашей схемы. Мощность источников энергии: PИ = E1I1 − E3 I 3 − E2 I 2 = 161,899 Вт. (22) Мощность потребителей энергии: 2 2 2 2 2 2 PП = I1 R1 + I 2 R2 + I 3 R3 + I 4 R4 + I 5 R5 + I 6 R6 = 161,899 Вт. (23) Баланс сошелся, следовательно, все токи найдены правильно. § 1.6. Метод контурных токов на основе матрично-топологического подхода Теперь решим задачу примера 1 матрично-топологическим методом. Топологический метод заключается в формализации всех операций. Для этого нам понадобятся топологическая контурная матрица и диагональная матрица сопротивлений: ⎛ R1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛10 0 0 0 0 0 ⎞ ⎜ ⎟ 0 R2 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 12 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎛ 1 0 0 1 −1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 15 0 0 0 ⎟ 0 0 R3 0 0 0 B = ⎜⎜ 0 0 1 − 1 0 − 1 ⎟⎟ , R = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ (24). R 20 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 0 0 0 0 R 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 0 10 0 ⎟ 5 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ 8 R ⎝ ⎠ 6⎠ ⎝ Матрицу сопротивлений для контуров можно переписать в виде матричного произведения трех топологических матриц: 15 B ↓ − R4 − R5 ⎛ R1 + R4 + R5 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 −1 0⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R4 + R3 + R6 − R4 − R6 ⎜ ⎟ = ⎜ 0 0 1 −1 0 −1 ⎟ ⎜ R5 + R6 + R2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 − 1 0 0 1 1⎟⎠ − R5 − R6 ⎝ R BT ↓ ↓ ⎛ R1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ 1 ⎜0 R 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 2 ⎜ ⎟⎜ 0 ⎜ 0 0 R3 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 ⎜ ⎟⎜ ⎜ 0 0 0 R4 0 0 ⎟ ⎜ 1 ⎜ 0 0 0 0 R5 0 ⎟ ⎜ −1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎝ 0 0 0 0 0 R6 ⎠ ⎝ 0 1 −1 −1 0⎞ −1 ⎟⎟ 0⎟ ⎟. 0⎟ 1⎟ ⎟ 1⎠ Матрицу вектора правых частей тоже можно записать в виде произведения топологических матриц Ε B ↓ ⎛ E1 ⎞ ⎜ ⎟ − E2 ⎟ ⎜ ⎛ E1 ⎞ ⎛ 1 0 0 1 − 1 0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − E3 ⎟ − = − − E 1 1 1 ⎟. 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ E ⎟ ⎜ 0 − 1 0 0 1 1⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎠⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ↓ BT ↓ И, наконец, контурные токи можно выразить через токи в ветвях, используя топологические матрицы ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ I1 ⎞ ⎛ 1 ⎟ I2 ⎟ ⎜ 0 ⎜ I3 ⎟ ⎜ 0 ⎟=⎜ I4 ⎟ ⎜ 1 I 5 ⎟ ⎜ −1 ⎟ ⎜ I 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 J1 ⎞ ⎛ 0 0⎞ ⎜ ⎟ ⎟ − J3 ⎟ 0 −1 ⎟ ⎜ ⎛ J1 ⎞ ⎟ J2 1 0 ⎟⎜ ⎟ ⎜ J = ⎜ ⎟. ⎟ 2 −1 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ J1 − J 2 ⎟ J 0 1 ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎜ − J1 + J 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ −J +J ⎟ − 1 1 ⎟⎠ 2 3⎠ ⎝ Следовательно, можно формализовать метод контурных токов, используя топологические матрицы. Последовательность действий такова: записываем произведение матриц: − R4 − R5 ⎛ R1 + R4 + R5 ⎞ ⎛ 40 − 20 −10 ⎞ ⎛ E1 ⎞ ⎛ 50 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ R4 + R3 + R6 − R4 − R6 BRBT = ⎜ ⎟ = ⎜ −20 43 − 8 ⎟ , BE = ⎜ −E3 ⎟ = ⎜ −15 ⎟ , (25) ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ R5 + R6 + R2 ⎠⎟ ⎝⎜ −10 − 8 30 ⎠⎟ − R6 ⎝ −E2 ⎠ ⎝ −30 ⎠ ⎝ − R5 находим контурные токи, а затем и токи в ветвях: J = ( BRB T ) −1 ⎛ J1 ⎞ ⎛ 2,329 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ BE = ⎜ J 2 ⎟ = ⎜ 1,121 ⎟ . ⎜ J ⎟ ⎜ 2, 075 ⎟ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 16 (26) ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ I = BT J = ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ I1 ⎞ ⎛ 2,329 ⎟ I 2 ⎟ ⎜ −2,075 ⎜ I 3 ⎟ ⎜ 1,121 ⎟=⎜ I 4 ⎟ ⎜ 1, 209 I 5 ⎟ ⎜ −0, 254 ⎟ ⎜ I 6 ⎟⎠ ⎜⎝ 0,955 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎠ (27) Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench, представленный на рисунке 1.11, свидетельствует о правильном расчете. Рис. 1.11. Схема, собранная в Electronics Workbench. 17 § 1.7. Метод узловых потенциалов Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ. Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Затем выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю. Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен нулю ϕ4 = 0. Для определения потенциалов остальных узлов нужно составить уравнения относительно неизвестных потенциалов узлов. Прежде всего, запишем систему уравнений относительно токов по первоРис. 1.12 му закону Кирхгофа. ⎧ I1 − I 3 − I 4 = 0 (1уз); ⎪ ⎨ I 4 + I 5 − I 6 = 0 (2уз); ⎪ I + I + I = 0 (3уз). ⎩ 2 3 6 Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и сопротивлений. ⎧ −ϕ1 + E1 ϕ1 − ϕ2 ϕ1 − ϕ3 − E3 − − = 0 (1 уз ); ⎪ R R R 1 4 3 ⎪ ⎪ ϕ1 − ϕ2 −ϕ2 ϕ2 − ϕ3 + − = 0 (2 уз ); ⎨ R R R 4 5 6 ⎪ ⎪ −ϕ3 − E2 ϕ1 − ϕ3 − E3 ϕ2 − ϕ3 + + = 0 (3 уз ). ⎪ R3 R4 ⎩ R2 Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных ϕ1 , ϕ2 , ϕ3 и в результате получаем ⎧⎛ 1 1 1 ⎞ 1 1 E E + ⎟ ϕ1 − ϕ 2 − ϕ3 = 1 + 3 ; ⎪⎜ + R4 R3 R1 R3 ⎪⎝ R1 R4 R3 ⎠ ⎪ 1 ⎛ 1 1 1 ⎞ 1 ⎪ + + ⎟ ϕ2 − ϕ3 = 0; ⎨ − ϕ1 + ⎜ R6 ⎝ R5 R4 R6 ⎠ ⎪ R4 ⎪ ⎛ ⎞ ⎪ − 1 ϕ1 − 1 ϕ2 + ⎜ 1 + 1 + 1 ⎟ ϕ3 = − E2 − E3 . R6 R2 R3 ⎪⎩ R3 ⎝ R2 R6 R3 ⎠ Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это будет соответственно: 18 1 1 1 1 1 1 + + , g 22 = g5 + g 4 + g6 = + + , R1 R4 R3 R5 R4 R6 1 1 1 + + g33 = g 2 + g6 + g3 = R2 R6 R3 или в матричном виде: g ⋅ ϕ = b, g11 = g1 + g 4 + g3 = ⎛1 1 1 ⎞ 1 1 − − ⎜ + + ⎟ R4 R3 ⎜ R1 R4 R3 ⎟ ⎛ 0,217 − 0,05 − 0,067 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 1 1 1 ⎟ (29) где g = ⎜ − + + − ⎟ = ⎜ −0,05 0,375 − 0,125 ⎟ R4 R5 R4 R6 R6 ⎜ ⎟ ⎜ −0,067 − 0,125 − 0,275 ⎟ ⎝ ⎠ ⎜ 1 1 1 1 1⎟ − + + ⎟ ⎜ − R3 R6 R2 R6 R3 ⎠ ⎝ и b – столбцевая матрица правых частей ⎛ E1 E3 ⎞ ⎜ R +R ⎟ 3 ⎟ ⎛ 6 ⎞ ⎜ 1 b=⎜ (30) ⎟ = ⎜⎜ 0 ⎟⎟ . ⎜ E ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − 2 − E3 ⎟ ⎝ −3,5 ⎠ ⎜ R R3 ⎟⎠ 2 ⎝ Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов: ⎛ ϕ1 ⎞ ⎛ 26,71 ⎞ (31) ϕ = g −1 ⋅ b = ⎜⎜ ϕ2 ⎟⎟ = ⎜ 2,539 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ϕ ⎟ ⎜ −5,098 ⎟ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ И, наконец, находим токи во всех ветвях: ⎞ ⎛ I1 ⎞ ⎛ ( E1 − ϕ1 ) / R1 ⎛ 2,329 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ I ⎟ (−E − ϕ ) / R ⎟ ⎜ −2,075 ⎟ 2 3 2 ⎜ 2⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ I 3 ⎟ ⎜ ( ϕ1 − ϕ3 − E3 ) / R3 ⎟ ⎜ 1,121 ⎟ ⎟= (32) ⎜ ⎟=⎜ ⎜ ⎟. ⎜ ⎟ I 1, 209 ( ϕ1 − ϕ2 ) / R4 ⎜ 4⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I5 ⎟ − ϕ2 / R5 ⎟ ⎜ −0, 254 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0,955 I ⎝ ⎠ ⎝ 6 ⎠ ⎝ ( ϕ2 − ϕ3 ) / R6 ⎠ 19 § 1.8. Метод узловых потенциалов на основе матричнотопологического метода Решим задачу примера 1 матрично-топологическим методом. Прежде всего, запишем узловую топологическую матрицу учитывая, что базовым узлом является узел 4: ⎛ −1 0 1 1 0 0 ⎞ A = ⎜ 0 0 0 −1 −1 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 − 1 0 0 − 1⎟ ⎝ ⎠ (33) Теперь нам понадобятся диагональная матрица проводимостей, которая равна обратной диагональной матрице сопротивлений и матрица ЭДС. ⎛ 1 ⎞ ⎜R 0 0 0 0 0 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ 0 R 0 0 0 0 ⎟ 0,1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ E1 ⎞ ⎛ 50 ⎞ 2 ⎜ ⎟ ⎛⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0, 083 0 0 0 0 ⎟ − E3 ⎟ ⎜⎜ −15 ⎟⎟ 1 ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 ⎜ − E ⎟ ⎜ −30 ⎟ R3 0 0, 067 0 0 0 ⎟ −1 ⎜ ⎟ = ⎜⎜ 0 , E=⎜ 2⎟=⎜ g=R = ⎟ ⎟ (34) ⎜ ⎟ ⎜0 1 0 0, 05 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0⎟ ⎜0 0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ R 0,1 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎝0 0 0 0 0,125 ⎠ 0 ⎠ ⎝ 0 ⎟⎠ ⎝ 0⎟ ⎜0 0 0 0 R 5 ⎜ ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜⎜ 0 0 0 0 0 ⎟ R6 ⎟⎠ ⎝ Приведём произведение матриц, результатом которого будет матрица проводимостей узлов: 20 A g AT ↓ ↓ ⎛1 R1 0 0 0 0 0 ⎞ ⎛ −1 0 0 ↓ ⎜0 1 R 0 0 0 0 ⎟⎜ 2 ⎟ ⎜ 0 0 −1 ⎛ −1 0 1 1 0 0 ⎞ ⎜ ⎜ 0 0 1 R3 0 0 0 ⎟ ⎜ 1 0 −1 A ⋅ g ⋅ AT = ⎜ 0 0 0 − 1 − 1 1 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 1 − 1 0 0 − 1⎟ ⎜ 0 0 0 1 R4 0 0 ⎟ ⎜ 1 − 1 0 ⎝ ⎠⎜ 0 0 0 0 1 R5 0 ⎟ ⎜ 0 −1 0 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ 1 R 6 ⎠ ⎝ 0 1 −1 ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟= ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎛1 1 1 ⎞ 1 1 − − ⎜ + + ⎟ R R R R R 1 4 3 4 3 ⎜ ⎟ ⎛ 0,217 − 0,05 − 0,067 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ 1 1 1 1 1 ⎟ =⎜ − + + − ⎟ = ⎜ −0,05 0,375 − 0,125 ⎟ . R4 R5 R4 R6 R6 ⎜ ⎟ ⎜ −0,067 − 0,125 − 0,275⎟ ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ 1 1 1 1 1 − + + ⎟ ⎜ − R R6 R3 ⎠ R R 3 6 2 ⎝ Следующим шагом будет произведение матриц: (35) ⎛1 R1 0 0 0 0 0 ⎞⎛ E1 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎛ E1 + E3 ⎞ 1 R E − 2 3 ⎟⎜ ⎟ ⎜ R R ⎟ ⎛ 6 ⎞ ⎛ −1 0 1 1 0 0 ⎞ ⎜ 1 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 0 1 R3 0 0 0 ⎜ −E2 ⎟ ⎜⎜ ⎜ ⎟ b = −A ⋅ g ⋅ E = ⎜ 0 0 0 −1 −1 1 ⎟ ⎜ 0 ⎟ = ⎜ 0 ⎟ . (36) ⎟⎜ ⎟= 1 R ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ E E ⎟ ⎜ −3,5 ⎟ 4 ⎜ 0 −1 −1 0 0 −1⎟ ⎜ 3 ⎝ ⎠⎜ ⎝ ⎠ 2 ⎟ 0 0 0 0 1 R5 0 ⎜ 0 ⎟ ⎜⎜ − − ⎟⎟ R R3 ⎠ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 0 0 0 1 R ⎟ ⎜⎜ 0 ⎟⎟ ⎝ 2 ⎠ 6 ⎠⎝ ⎝ Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие соотношения: ( ϕ = A ⋅g ⋅A ) T −1 ⎛ ϕ1 ⎞ ⎛ 26,71 ⎞ ⋅ b = ⎜⎜ ϕ2 ⎟⎟ = ⎜ 2,539 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ϕ ⎟ ⎜ −5,098 ⎟ ⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ (37) При известных потенциалах узлов находим напряжения на каждой ветви: 21 ⎛ U1 ⎞ ⎛ E1 ⎞ ⎛ 23, 29 ⎞ ⎛ −1 0 0 ⎞ ⎜U ⎟ ⎜ −E ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 −1 ⎟ −24,902 ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ϕ1 ⎞ ⎜ 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜U3 ⎟ ⎜ 1 0 − 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ − E2 ⎟ ⎜ 16,808 ⎟ U = ⎜ ⎟ = AT ϕ + E = ⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ ϕ2 ⎟ + ⎜ ⎟. U − 1 1 24,171 ⎜ 4⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟⎜ϕ ⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎜U5 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎜ −2,539 ⎟ ⎜ 0 −1 0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ − 1 1 7,637 U ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 6⎠ И, наконец, находим токи во всех ветвях: ⎛ I1 ⎞ ⎛ U1 R1 ⎞ ⎛ 2,329 ⎞ ⎜I ⎟ ⎜U R ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ −2,075 ⎟ ⎜ I3 ⎟ ⎜ U 3 R3 ⎟ ⎜ 1,121 ⎟ I = ⎜ ⎟ = g⋅U = ⎜ ⎟=⎜ ⎟. I U R 1, 209 4 4 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I5 ⎟ ⎜ U 5 R5 ⎟ ⎜ −0, 254 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ I U R ⎝ 6⎠ ⎝ 6 6 ⎠ ⎝ 0,955 ⎠ (38) (39) В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет сделан правильно. В матричной форме баланс мощностей записывается в следующем виде: PП = IT ⋅ R ⋅ I = 161,899 Вт. PИ = I ЧЕ = Е ⋅ I = 161,899 Вт. Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics–Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить напряжения. Разделив показание вольтметров на соответствующие сопротивления можно найти токи в ветвях. Рис. 1.13. Схема, собранная в Electronics Workbench 22 Лекция № 3 § 1.9. Метод эквивалентных преобразований Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на рисунке 1.14: Рис. 1.14 Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями: E + U ab E + U ab I1 = 1 = g1 ⋅ ( E1 + U ab ) , I 2 = 2 = g 2 ⋅ ( E2 + U ab ) , R1 R2 E + U ab = g k ⋅ ( Ek + U ab ) . Ik = k Rk Результирующий ток будет определяться суммой всех токов в ветвях: m n n m k k =0 k =0 k I = I1 + I 2 + I 3 + ... + I1 + ∑ J k = ∑ Ek g k + U ab ∑ g k + ∑ J k . (40) С другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви определяется выражением: I = ( EЭ + U ab ) g Э = EЭ gЭ + U ab g Э . (41) Сравнивая последние два выражения, получаем: EЭ = n m k =0 k ∑ Ek g k + ∑ J k n ∑ gk , gЭ = ∑ gk . k =0 Рассмотрим некоторые частные случаи: 23 n k =0 (42) а б Рис. 1.15. Преобразование параллельных ветвей Для рисунка 1.15 ветви будут преобразованы по формулам для схем а и б соответственно: E R + E2 R1 R ⋅R EЭ = 1 2 , RЭ = 1 2 . EЭ = E1 + J1R1 , RЭ = R1. (43) R1 + R2 R1 + R2 В соответствии с методом эквивалентных преобразований легко получить полезные преобразования, приведённые на рисунках 1.16 и 1.17. Рис. 1.16. Расщепление источника тока Рис. 1.17. Перенос ЭДС через узел § 1.10. Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник Мы рассматривали преобразование сопротивлений, соединённых последовательно или параллельно. В ряде случаев бывают соединения сопротивлений не подчиняющиеся ни правилу параллельного соединения, ни последовательного (например, в трехфазных цепях). В таких случаях могут быть полезными правила преобразования треугольника в звезду или наоборот, звезды в треугольник, которые мы приведем без доказательств. 24 Рис. 1.18 Пример 2: Даны сопротивления R1 = 10 Ом, R2 = 20 Ом, R3 = 15 Ом , соединённые треугольником. Преобразовать соединение треугольником в соединение звездой. Решение: R1R2 R12 = = 4, 444 Ом, R1 + R2 + R3 R13 = R1R3 R2 R3 = 3,333 Ом, R23 = = 6,666 Ом. R1 + R2 + R3 R1 + R2 + R3 Рис. 1.19 Пример 3: Даны сопротивления R12 = 4, 444 Ом, R13 = 3,333 Ом, R23 = 6,666 Ом , соединённые звездой. Преобразовать соединение звездой в соединение треугольником. Решение: R R R1 = R12 + R13 + 12 13 = 10 Ом, R23 R2 = R12 + R23 + R12 R23 = 20 Ом, R13 25 R3 = R13 + R23 + R23 R13 = 15 Ом. R12 § 1.11. Метод эквивалентного генератора В ряде случаев возникает необходимость найти ток в отдельно взятой ветви электрической цепи. В этом случае нет необходимости использовать громоздкие методы расчетов определения токов во всех ветвях. В таких случаях следует использовать метод эквивалентного генератора (МЭГ). МЭГ хорош еще и тем, что позволяет определить сопротивление нагрузки двухполюсника, при котором выделяется максимальная мощность, что очень важно при последовательном включении каскадов, согласованных по мощности. Иногда этот метод называют методом холостого хода и короткого замыкания. Суть метода заключается в том, что в схеме выделяется ветвь, в которой нужно найти ток, а вся оставшаяся часть схемы заменяется активным двухполюсником – эквивалентным генераторором. Существуют две схемы замещения активного двухполюсника (см. рис. 1.20.): 1-я схема – двухполюсник состоит из источника напряжения, ЭДС – EГ и сопротивления RГ ; 2-я схема – двухполюсник состоит из источника тока – J Г и проводимости g Г = 1 RГ . Рис. 1.20. Схема замещения эквивалентного генератора Чтобы определить ЭДС генератора EГ , следует найти напряжение холостого хода – U ХХ относительно выходных зажимов эквивалентного генератора, это и будет искомая ЭДС. Для того чтобы найти сопротивление генератора RГ , следует найти сопротивление относительно выходных зажимов генератора. После определения EГ и RГ легко найти ток короткого замыкания – I КЗ = EГ RГ . Источник тока эквивалентного генератора – J Г равен току короткого замыкания J Г = I КЗ . При известных параметрах эквивалентного генератора можно найти ток в нагрузке: EГ IН = . (44) RН + RГ 26 Если известен ток короткого замыкания J г = I КЗ , применив правило разброса легко найти ток в нагрузке, используя соотношение: J R JГ IН = Г Г = . (45) RН + RГ 1 + RН RГ Для более глубокого понимания целесообразно рассмотреть пример. Пример 4: Даны сопротивления и ЭДС: R1 = 20Ом, R2 = 18Ом, R3 = 25Ом, R4 = 21Ом, R5 = 12 Ом, R6 = 8Ом, E1 = 25 В, E2 = 35 В, E3 = 50 В. Определить ток I 4 в четвёртой ветви, используя метод эквивалентного генератора. Решение: Прежде всего, необходимо преобразовать схему в двухполюсник: выделяем ветвь с сопротивлеРис. 1.21 нием R4 , а всю оставшуюся часть заменяем двухполюсником – эквивалентным генератором. Затем находим напряжение холостого хода и сопротивление эквивалентного генератора. R1 E1 R5 R3 I4 R4 I4 E3 Eг Rг R6 R2 R4 E2 Рис. 1.22 Составляем матрицу сопротивлений и столбцевую матрицу правых частей, и находим необходимые токи: ⎛ R1 + R3 + R5 + R6 − R5 − R6 ⎞ ⎛ 65 − 20 ⎞ A=⎜ ⎟ = ⎜ −20 38 ⎟ , − − + + R R R R R ⎠ 6 2 5 6 ⎝ 5 ⎠ ⎝ 27 ⎛ − E1 − E3 ⎞ ⎛ −75 ⎞ ⎛ I1 ⎞ ⎛ −1,039 ⎞ −1 = = = B=⎜ A B , ⎜ 0,374 ⎟ , E2 ⎟⎠ ⎜⎝ 35 ⎟⎠ ⎜⎝ I 2 ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ I 3 = I1 − I 2 = −1, 413 A. Рис. 1.23 Используя найденные токи можно найти напряжение холостого хода U ХХ = EГ : U ХХ = Eг = − E1 − I1R1 − I 3 R5 = 12,729 B. Для определения сопротивления генератора – сопротивления относительно зажимов a и b, необходимо треугольник сопротивлений преобразовать в звезду и затем сделать некоторые преобразования: Рис. 1.24 28 Rг = R25 = R2 R5 = 5,684 Ом, R2 + R5 + R6 R26 = R2 R6 = 3,789 Ом, R2 + R5 + R6 R65 = R6 R5 = 2,526 Ом. R2 + R5 + R6 ( R25 + R1 ) ⋅ ( R26 + R3 ) + R65 = 16,1 Ом. R25 + R1 + R26 + R3 В соответствии со схемой эквивалентного генератора находим ток короткого замыкания и ток в 4-той ветви I 4 U U xx I кз = xx = 0,791 А, I 4 = = 0,343 A. Rг R4 +Rг § 1.12 Характеристики эквивалентного генератора Важной характеристикой эквивалентного генератора является выходная характеристика U ( I Н ) : U ( I Н ) = EГ − I Н ⋅ RГ EГ , В Рис. 1.25 На этой зависимости ток изменяется в пределах I Н ∈ ( 0, I КЗ = 10 А ) , а напряжение в пределах U ∈ ( 0, U ХХ = EГ = 100 В) , RГ = 10 Ом . Выходная характеристика хороша тем, что позволяет определить ток нагрузки I Н при любой величине сопротивления заданной нагрузки RН . Для того чтобы определить ток нагрузки I Н , достаточно умножить произвольное 29 значение тока на величину сопротивления нагрузки U = I ⋅ RН (см. рис. 1.25), затем отложить найденное значение на графике и соединить с началом координат (на графике это сделано для нагрузки RН = 15 Ом ). Опустив перпендикуляр с точки пересечения полученной кривой и выходной характеристики на ось токов, мы получаем значение интересующего нас тока. В нашем случае I Н = 4A, U Н = 60B . Еще несколько важных характеристик генератора - мощность нагрузки P( RН ) , в зависимости от величины нагрузки, и мощность нагрузки P( I Н ) в зависимости от величины тока нагрузки. • Определим мощность в нагрузке как функцию сопротивления нагрузки P( RН ) . P( RН ) = I Н2 RН = EГ2 RН ( RН + RГ )2 . P ( RН ) 250 200 150 100 50 RН = RГ 10 20 RН 30 40 50 60 70 80 90 100 Определим, в каком случае выделяется максимальная мощность в нагрузке. Для этого нужно взять производную выражения P( RН ) по RН и прировнять нулю: Рис. 1.26. Зависимость мощности от нагрузочного сопротивления EГ2 ( RГ − RН ) 2 EГ2 RН dP( RН ) d EГ2 RН EГ2 = = − = = 0. 3 dRН dRН ( RН + RГ )2 ( RН + RГ )2 ( RН + RГ )3 ( RН + RГ ) Из последнего выражения следует, что для выделения максимальной мощности необходимо выполнение условия R Г = R Н . • Определим мощность в нагрузке как функцию тока нагрузки P( Rн ) . После несложных преобразований получаем: 30 P ( I Н ) = I НU Н = I Н ( EГ − I Н RГ ) = − I Н2 RГ + EГ I Н . Дополняя это выражение до полного квадрата, получаем: 2 ⎛ E ⎞ E2 P ( I Н ) = − RГ ⎜ I Н − Г ⎟ + Г 2 RГ ⎠ 4 RГ ⎝ P ( I Н ) 250 200 150 100 50 IН = 1 2 3 4 5 I КЗ 2 6 IН 7 8 9 10 Рис. 1.27. Зависимость мощности от тока нагрузки Таким образом максимум P ( I Н ) (рис. 1.27) приходится на величину I тока I Н = КЗ равного половине тока короткого замыкания, при этом 2 EГ2 мощность равна величине P ( I Н ) = 4 RГ 31 § 1.13. Метод наложения (метод суперпозиции). Пример. Методом наложения определить ток во второй ветви, если известны величины элементов электрической цепи: R1 = 10Ом, R2 = 20Ом, R3 = 5Ом, E1 = 10 В, E2 = 15 В, J = 1A . Рис. 1.28. Разложение схемы на подсхемы для определения частичных токов Используем принцип суперпозиции: результирующий ток равен сумме частичных токов, определённых при воздействии отдельно взятого источника энергии. Представим исходную схему в виде двух схем, в каждой из которых действует только одна ЭДС. Определим частичный ток I 2′ в схеме с ЭДС E1 : R3 − E1 = −0,714 A, I 2′ = I1′ = −0,143 A. I1′ = R2 R3 + R R 3 2 R1 + R3 + R2 Определим частичный ток I 2′′ в схеме с ЭДС – E2 : E2 R1 I 3′′ = = 1, 286 A, I 2′′ = I 3′′ = 0, 429A. R2 R1 R + R 1 2 R3 + R1 + R2 Наконец определим третий частичный ток I 2′′′ в схеме с источником тока: 32 R1R3 R1 + R3 = 0,143 A . I 2′′′ = J R1R3 + R2 R1 + R3 Находим результирующий ток как сумму частичных токов: I 2 = I 2′ + I 2′′ + I 2′′′ = 0,143 + 0, 429 − 0,143 = 0, 429A ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО–ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ ПО РАСЧЕТУ ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА РГР №1 – Расчет линейной цепи постоянного тока 1. Рассчитать все токи, методом узловых потенциалов, используя матрично-топологический подход. 2. Рассчитать все токи, методом контурных токов, используя матрично-топологический подход. 3. Рассчитать баланс мощностей. 4. Подтвердить расчеты пунктов 1, 2, проделав работу в среде ElectronicsWorkbench. 5. Убрать ветвь с сопротивлением R8. Рассчитать ток в ветви с сопротивлением R4 методом эквивалентного генератора. Построить выходную характеристику генератора и график зависимости мощности от тока P(I) и сопротивления нагрузки P(Rн). 6. Сделать выводы по проделанной работе. № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 R1 Ом 10 15 20 25 12 11 17 22 5 8 R2 Ом 8 10 15 20 25 11 22 5 17 12 R3 Ом 15 8 10 25 11 20 5 22 12 17 R4 Ом 20 25 5 10 22 12 17 8 11 15 R5 Ом 25 22 8 17 15 10 20 5 12 11 Таблица №1 R6 R7 R8 E1 Ом Ом Ом В 22 11 17 150 11 10 8 10 17 17 25 100 20 22 10 50 10 20 22 30 15 8 5 50 25 25 12 40 5 5 15 20 12 12 20 70 8 15 11 80 33 Таблица №2 E2 E3 J В В А 100 50 1 70 20 2 10 30 2,5 80 40 1,5 30 60 2 60 80 2,5 50 70 1 40 10 0,5 20 150 1,2 150 100 0,7 E3 R7 R8 R5 R3 3 2 1 R2 R8 3 R7 E1 E3 2 5 R8 R5 R6 R7 R3 R3 3 R1 R2 E1 E2 4 R4 E3 R2 2 R6 E3 J8 3 E2 1 2 R8 R4 R1 J2 R1 4 R6 1 R2 R3 E1 R7 5 4 R4 E1 R5 E2 1 5 1 R6 R4 J4 5 R5 E2 R1 2 3 4 J1 2 4 E1 E2 R4 1 R5 R6 R7 R8 R1 J1 R2 R3 R3 3 4 J5 5 E3 R1 E1 R6 R2 1 2 R7 E3 R4 5 R8 E2 34 3 5 R5 Примечание. Вариант состоит из трёх цифр. Первая цифра соответствует строке в таблице №1, вторая цифра соответствует строке в таблице №2, последняя цифра соответствует номеру схемы. Задание выдается на 4 недели. Максимальное количество баллов – 100. При задержке задания преподаватель имеет право сократить количество баллов (за каждую неделю – 15 б). 35 Лекция № 4 Пример выполнения расчетно-графичекой работы Данные и схема варианта приведены ниже R1 R2 Ом Ом 10 12 R3 Ом 20 R4 Ом 8 R5 Ом 5 R6 Ом 15 R7 Ом 22 R8 Ом 11 E1 В 50 E2 E3 В В 100 150 J А 2 1. Рассчитать все токи, методом узловых потенциалов, используя матрично-топологический подход. 2. Рассчитать все токи, методом контурных токов, используя матрично-топологический подход. 3. Рассчитать баланс мощностей. Рис. 1.29 4. Подтвердить расчеты пунктов 1, 2, проделав работу в среде ElectronicsWorkbench. 5. Убрать ветвь с сопротивление R8. Рассчитать ток в ветви с сопротивлением R4 методом эквивалентного генератора. Построить выходную характеристику генератора и график зависимости мощности от тока P(I) и сопротивления нагрузки P(Rн). • Выполняем первый пункт задания Приведем ориентированный граф схемы и составим топологические матрицы: узловую, контурную, диагональную матрицу сопротивлений, диагональную матрицу проводимостей, столбцевые матрицы ЭДС и источников тока. 36 1 2 ⎛ −1 − 1 0 0 0 1 1 0 ⎞ ⎜ 0 1 1 0 0 0 0 −1 ⎟ ⎟ A=⎜ ⎜ 0 0 −1 0 −1 0 −1 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 0 0 0 −1 1 −1 0 0⎠ 1 7 2 5 8 4 6 3 – узловая топологическая матрица, 5 4 3 Рис. 1.30 ⎛ 0 1 −1 0 0 0 1 0 ⎞ ⎜ 0 0 0 0 1 1−1 0 ⎟ ⎟ B=⎜ ⎜ −1 0 0 1 0 − 1 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 1 − 1 0 0 0 0 0 − 1⎠ – узловая контурная матрица, 8 IV 1 2 1 7 2 I R = (10 12 20 8 5 15 22 11 ) , T 4 6 3 5 III II 5 4 3 ⎛10 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ diag(R) = ⎜ ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜⎜ ⎝0 Рис. 1.31 0 0 0 0 12 0 0 0 0 20 0 0 0 0 8 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 15 0 0⎞ ⎛ 0,1 ⎜ ⎟ 0 0⎟ ⎜0 ⎜0 0 0⎟ ⎜ ⎟ 0 0⎟ , diag(g) = ⎜ ⎜0 0 0⎟ ⎜ ⎟ 0 0⎟ ⎜0 ⎜0 ⎟ 22 0 ⎜⎜ ⎟⎟ 0 11⎠ ⎝0 0,083 0,05 0,125 0 0, 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ 0,067 0 ⎟ ⎟ 0,045 0 ⎟ 0,091⎟⎠ – диагональные матрицы сопротивлений, и проводимостей соответственно. E = ( −50 0 0 0 100 0 150 0 ) , J = ( 0 0 0 2 0 0 0 0 ) Находим эквивалентную матрицу ЭДС, так как присутствуют источники тока T E′ = E + diag( R ) ⋅ J = ( −50 0 0 16 100 0 150 0 ) . T 37 T Находим контурные токи: ( J 0 = B ⋅ diag( R ) ⋅ BT ) −1 B ⋅ E′ = ( 3,696 1,841 3,066 0,758 ) . T Находим токи в ветвях: I = BT ⋅ J 0 − J = ( −2,308 2,938 − 3,696 1,066 1,841 − 1, 226 1,855 − 0,758 ) . T • Выполняем второй пункт задания Находим потенциалы узлов с помощью топологической узловой матрицы: ( ϕ = − A ⋅ diag(g ) ⋅ AT ) −1 A ⋅ diag(g ) ⋅ E′ = ( −26,917 8,34 82, 264 − 8,532 ) . T Находим напряжения на ветвях: T U = E′ + A ⋅ ϕ = ( −23,083 35, 257 − 73,924 24,532 9, 204 − 18,385 40,819 − 8,34 ) Определяем токи в ветвях: I = diag( g ) ⋅ U − J = ( −2,308 2,938 − 3,696 1,066 1,841 − 1, 226 1,855 − 0,758 ) . T • Выполняем третий пункт задания Проверяем баланс мощностей: P = E ⋅ I − IT ⋅ diag( R ) ⋅ J = 560,744 Вт – мощность источников. P = IT ⋅ diag( R ) ⋅ I = 560,744 Вт – мощность потребителей. • Выполняем четвертый пункт задания Рис. 1.32. Схема измерения токов ветвей, собранная в Electronics Workbench 38 Проделав виртуальный эксперимент, мы получили токи в ветвях с точность до четвертой значащей цифры. Рис. 1.33 На схеме приведено измерения напряжения на сопротивлениях схемы. Следующим этапом, измеряем, напряжения на сопротивлениях схемы и получаем величины напряжений не отличающиеся от расчетных (см. схему). • Выполняем пятый пункт задания Рисуем схему без сопротивления R8 . Рассчитаем ток в ветви с сопротивлением R4 методом эквивалентного генератора (рис.1.34). Построим выходную характеристику генератора и график зависимости мощности от тока P(I) и сопротивления нагрузки P(Rн). Находим напряжение холостого хода U ХХ . Для этого убираем сопротивление R4 и находим токи в ветвях (рис. 1.35). 39 1 R1 R2 E3 E1 2 Uxx 5 R7 R3 E2 3 R6 R4 J4 Rг R5 4 Рис.1.34 Рис. 1.35 ⎧⎪ J 2 ( R2 + R3 + R7 ) − J 1 R7 = E3 ; ⎨ ⎪⎩ − J 2 R7 + J 1 ( R5 + R6 + R7 ) = − E3 + E2 + JR6 ; − R7 E3 ⎛ R2 + R3 + R7 ⎞ ⎛ ⎞ , B=⎜ A=⎜ ⎟ ⎟. − R R + R + R − E + E + JR 7 5 6 7⎠ 2 6⎠ ⎝ ⎝ 3 Подставим числовые значения и получим ⎛ 54 − 22 ⎞ ⎛ 150 ⎞ ⎛ J 1 ⎞ ⎛ 3, 285 ⎞ A=⎜ , B=⎜ ⎟ ⎟ , ⎜ J 2 ⎟ = ⎜ 1, 244 ⎟ . − 22 42 − 22 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Находим напряжение холостого хода в соответствии со схемой: U XX = J 1 ⋅ R6 − J 4 ⋅ ( R6 + R1 ) + E1 = 18,666 В. Находим сопротивление генератора: ( R + R3 ) R7 R′R6 R′ = 2 + R5 , RГ = + R1 . R2 + R3 + R7 R′ + R6 40 R4 Находим ток короткого замыкания и в четвертой ветви: U U XX I КЗ = XX = 1,026А, I 4 = = 0,713А RГ RГ + R4 Строим выходную характеристику эквивалентного генератора. U ( I ) = U XX − RГ I . По оси напряжений откладываем напряжение U XX = 18,666 В , а по оси токов ток короткого замыкания I КЗ = 1,026А , соединяя отложенные точки, получаем выходную характеристику. 20 U XX 16 12 8 U4 4 I КЗ 0.2 0.4 0.6 I4 0.8 1 1.2 Рис. 1.36. Выходная характеристика генератора Строим вольтамперную характеристику (ВАХ) сопротивления ветви R4 = 8 Ом . Для этого величину сопротивления R4 = 8 Ом умножаем на произвольную величину тока, например на I = 1 А и получаем точку на плоскости I , U . Соединяем точку с началом координат (см. рис. 1.36) и получаем ВАХ. Точка пересечения выходной и вольтамперной характеристик дает нам ток и напряжения сопротивления R4 = 8 Ом , I 4 = 0,713А , U 4 = 5,702В . Строим зависимость мощности от сопротивления нагрузки 2 U ХХ RН P( RН ) = : 2 ( RГ + RН ) 41 5 P( RН ) 4 3 2 1 R4 18.19 RН 36.38 54.57 72.76 90.95 109.14 127.33 145.52 163.71 181.89 Рис. 1.37. Мощность генератора в зависимости от нагрузки Здесь нужно обратить внимание, что максимум мощности приходится на величину нагрузки равной сопротивлению генератора RН = RГ . Строим зависимость мощности от сопротивления нагрузки: P ( I Н )5 P( I Н ) = I Н (U ХХ − I Н RГ ) = 4 2 ⎞ 2 ⎛ 2 I НU ХХ U ХХ U ХХ = − RГ ⎜ I Н − + + = 2 ⎟ R R 4 R 4 Г Г Г ⎠ ⎝ 3 2 2 1 I КЗ / 2 0.26 0.51 0.77 2 I КЗ ⎞ U ХХ ⎛ . = − RГ ⎜ I Н − ⎟ + 2 ⎠ 4 RГ ⎝ I КЗ 1.03 Максимальная мощность приходится на величину половине тока короткого замыкания: Рис. 1.38. Мощность нагрузки в зависимости от тока нагрузки 2 ⎛I ⎞ U P ⎜ КЗ ⎟ = ХХ = 4,789Вт . ⎝ 2 ⎠ 4 RГ В завершении проверим все вычисления, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics Workbench. 42 Рис. 1.39. Подключение мультиметра. Рис. 1.40. Мультиметр работает в режиме омметра и измеряет сопротивление генератора 43 Рис. 1.41. Мультиметр работает в режиме вольтметра и измеряет напряжение холостого хода. 44 Лекция № 5 Переменный ток Ток, изменяющийся во времени называется переменным током. Ток может иметь различные формы, он может быть пилообразным, импульсным, синусоидальным. Все это переменный ток. Электрический ток - это скорость изменения заряда во времени, то есть это производная заряда по времени dq i (t ) = (1) dt Измерение емкости. Заряд накапливается на пластинах конденсатора, и чем больше напряжение, тем больше зарядов на пластинах, q = U ⋅C (2) Здесь C - коэффициент пропорциональности, называемый электрической емкостью. Емкость отражает способность проводника накапливать заряды q . И чем больше емкость, тем больше зарядов накапливается на проводнике. Емкость зависит только от геометрических размеров и диэлектрических свойств среды, в которой находится проводник. Поставим выражение (1) в (2) ,получим d (UC ) dU i (t ) = =C (3) dt dt Рис. 2.1 Таким образом, ток через конденсатор определяется выражением (3). Допустим, нам нужно определить емкость конденсатора. Для этого подключим его к источнику напряжения и пусть напряжение, подаваемое на конденсатор, имеет пилообразную форму с периодом T (см рис. 2.2). На схеме U m U (t ) приведено сопротивление R , величина которого очень мала. Измерив t T T /2 3T / 4 T /4 напряжение на сопротивлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Будем считать, что сопроРис. 2.2. Пилообразное напряжение тивление R в схеме известно, оно имеет маленькую величину и несущественно влияет на напряжение на конденсаторе. Используя формулу (3) можно найти ток 45 ⎛ T⎞ i (t ) на интервале t ∈ ⎜ 0, ⎟ . Напряжение на том же интервале является ⎝ 4⎠ линейной функцией и определяется выражением: U 4U m ⎛ T⎞ (4) U (t ) = m t = t , t ∈ ⎜ 0, ⎟ . T /4 T ⎝ 4⎠ Следовательно, на этом интервале ток равен постоянный величине: 4U m ⎛ T⎞ = I m , t ∈ ⎜ 0, ⎟ . (5) T ⎝ 4⎠ Результат дифференциi(t ) рования по формуле (3) изображен на рисунке 2.3. t T /3 T /4 T /2 T Величину тока можно определить, измерив напряжение на сопротивлении R Рис. 2.3. Кусочно-постоянный ток i = U R / R = I m . (6) i (t ) = C Im При известном токе и напряжении можно определить величину емкости 4U I T ⎛ T⎞ i (t ) = C m = I m → C = m , t ∈ ⎜ 0, ⎟ . (7) T 4U m 4 ⎝ ⎠ Измерение индуктивности. Изменение потокосцепления вызывает падение напряжения d Ψ (t ) (8) U (t ) = dt Потокосцепление пропорционально току Ψ = Li . Чем больше ток, тем больше потокосцепление. Коэффициент пропорциональности L между током и потокосцеплением называется индуктивностью проводника. Индуктивность L зависит от геометрических свойств проводника, его конструктивных особенностей. Так как индуктивность является величиной постоянной, то напряжение на индуктивности определяется выражением: di (t ) U (t ) = L . (9) dt Определим экспериментально значение индуктивности L при известном входном напряжении (см. рис. 2.4). На схеме приведено сопротивление R , величина которого очень мала. Измерив, напряжение на со46 противлении и разделив его на величину сопротивления, получаем ток в цепи. Пусть входное напряжение остается прежним, пилообразным (рис. 2.2). Сопротивление схемы, как и прежде, будем V считать малым, слабо влияющим на напряжение индуктивности. R Определим ток из выражения (9) U(t) L V di (t ) U (t )dt U (t ) = L → di (t ) = dt L (10) t Рис. 2.4 1 → i (t ) = ∫ U ( τ)d τ + i (0). L0 Будем считать, что величина тока в начальный момент времени равна нулю t 1 i ( t ) = ∫ U ( τ)d τ . (11) L0 I m i(t ) T /4 T 3T / 4 T /2 t После интегрирования напряжения на участке t ∈ ( 0, T / 4 ) получаем максимальный ток, который можно определить, измерив напряжения на сопротивлении: Рис. 2.5 1 ⎛T ⎞ i ⎜ ⎟ = Im = L ⎝4⎠ T /4 ∫ 4U m 1 4U m t 2 τd τ = T L T 2 T 4 1 4U m T 2 U mT . = = L T 32 8L Используя последнее выражение можно определить индуктивность U mT . 8I m Фазовые соотношения. Рассмотрим, в каком фазовом соотношении находятся ток и напряжение на конденсаторе и на индуктивности при воздействии гармонического напряжения. Пусть ток через индуктивность i (t ) = I m sin( ωt ), ω = 2πf . Определим напряжение на индуктивности: L= 47 di (t ) π = LωI m cos( ωt ) = LωI m sin(ωt + ) . dt 2 Таким образом, напряжение на индуктивности опережает ток на o 90 , или на π / 2 . U (t ) = L Um Im U (t ) i(t ) π π /2 3π / 2 2π Рассмотрим напряжение на конденсаторе U (t ) = U m sin( ωt ) . В этом случае ток через конденсатор определяется выражением Рис. 2.6 dU π = C ωU m cos( ωt ) = C ωU m sin(ωt + ) 2 dt o В данном случае ток опережает напряжение на 90 , или на π / 2 . Можно сказать, что напряжение Um U (t ) отстает от тока на π / 2 . i (t ) = C Im i(t ) π /2 π 3π / 2 Рис. 2.7 48 2π §2.1. Немного о комплексных числах Комплексное число z = x + j y – это вектор на плоскости. Он имеет мо- дуль r = x 2 + y 2 и угол наклона θ к оси x , ⎧ ⎛y⎞ arctg ⎜ ⎟ если x > 0 ⎪ ⎪ ⎝x⎠ θ =⎨ ⎪arctg ⎛ y ⎞ ± π если x < 0 ⎜ ⎟ ⎪⎩ ⎝x⎠ Комплексное число может представляться в алгебраическом, тригонометрическом и показательном видах соответственно: z = x + j y = r cos( θ) + j r sin( θ) = r exp( jθ) x = Re( z ), y = Im( z ) Рис. 2.8 где z = r = x 2 + y 2 . Очень важной является формула Эйлера, связывающая тригонометрические и экспоненциальные функции. Эти формулы помогают перейти от тригонометрической формы представления комплексного числа к показательной и наоборот. e jθ = cos( θ) + j sin( θ), e sin( θ) = e jθ −e 2j − jθ = cos( θ) − j sin( θ); jθ , cos( θ) = 49 e jθ +e 2 jθ . §2.2. Синусоидальные токи и напряжения. Метод комплексных амплитуд (Символический метод) На рисунке 2.9 представлен график синусоидального напряжение, его ещё называют гармоническим напряжением. В аналитическом виде гармонические токи и напряжения записываются следующим образом u (t ) = U m sin(ωt + θ) В , i (t ) = I m sin( ωt + α ) А. Кривая имеет некое максимальное значение U m , называемое амплитудным значением. Кривая сдвинута относительно вертикальной оси на Рис. 2.9 угол θ . Это значение угла называется фазовым сдвигом. Синусоида имеет период T – это кратчайшее расстояние между двумя одинаковыми значениями напряжения. В выражениях для напряжения и тока присутствует круговая частота ω (рад/сек), которая связана с частотой f (Гц-герц) и периодом T соотношением: ω = 2πf = 2π T . При определении синусоидальных токов и напряжений в электрических схемах мы будем осуществлять различные алгебраические операции с тригонометрическими функциями. Поэтому следует перейти от тригонометрических функций ( i1 (t ) = I m1 sin( ωt + θ1 ) ) к комплексным числам ( I m1e jθ1 = I 1 ), которые существенно упрощают алгебраические операции. Например, для того, чтобы сложить два тока одной частоты и разных фазовых сдвигов нужно проделать нижеследующие операции: jθ jωt i ( t ) = I m1 sin( ωt + θ1 ) → I m1e 1e = I 1e jωt ; 1 jθ jωt = I 2 e jωt ; i2 ( t ) = I m 2 sin( ωt + θ2 ) → I m 2 e 2 e ( ) jθ jθ jωt I m1 sin( ωt + θ1 ) + I m 2 sin( ωt + θ2 ) → I m1e 1 + I m 2 e 2 e = ( I1 + I 2 ) e jωt = I m e jθe jωt → I m sin( ωt + θ). Аналогично осуществляются все другие операции – умножение, деление, разность и даже дифференцирование и интегрирование: = Ie jωt 50 i ( t ) = I m sin( ωt + θ) → di ( t ) dt → jωI m e i ( t ) = I m sin( ωt + θ) → ∫ i ( t ) dt → Im jω e jθ = jω I ; jθ I I jθ =−j m e =−j . ω ω Метод замены синусоидальных величин на комплексные называется символическим методом. Этот метод позволяет заменить интегро-дифференциальные уравнения алгебраическими, что позволяет существенно упростить решение. На рисунке 2.10 приведено изображение волновой диаграммы напряжений в виде векторов. Анимация показывает, что при движение волн напряжения фазовые соотношения между векторами не изменяются следовательно токов и напряжений можно заменять на комплексные величины – вектора между которыми сохраняются фазовые соотношения. Векторная диаграмма напряжений Осциллограмма напряжений 40 30 20 40 40 30 30 20 20 10 10 10 10 20 30 40 10 10 20 20 30 30 40 40 а б Рис.2.10. а-векторная диаграмма напряжений, б-волновая диаграмма напряжений В действительности все вектора вращаются с частотой ω . Запишем выражения для напряжений на элементах схемы в символической форме: 51 U L (t ) = L di ( t ) dt → jLωI m e jθ = jωLI = jX L I , jθ jθ Ime Ime 1 U C ( t ) = ∫ i ( t ) dt → =−j = − jX C I , jωC ωC C jθ U R ( t ) = i ( t ) R → I m e R = I R. Здесь X L = ωL, X C = 1 ωC индуктивное и емкостное сопротивления со- ответственно. Таким образом, вместо реактивных элементов индуктивности и емкости в символическую (комплексную) схему замещения вводятся их реактивные сопротивления: L i(t) I jXL C i(t) I -jXC R i(t) I R Рис. 2.11 Факт присутствия комплексной единицы j перед индуктивным сопротивлением jX L означает, что напряжение на индуктивности опережает ток через индуктивность на 90 градусов. Рис. 2.12 Факт присутствия отрицательной комплексной единицы j перед ёмкостным сопротивлением − jX C означает, что напряжение на ёмкости отстаёт от тока через ёмкость на 90 градусов. 52 Рис. 2.13 Если в схеме имеются несколько последовательно соединенных элементов, то их можно заменить результирующим - эквивалентным сопротивлением: Рис. 2.14 Здесь Z = R + j ( X L − X C ) , Z = Ze jϕ , Z = R 2 + X 2 , ϕ = arctg( X R ); R = Zcos(ϕ), X = Zsin(ϕ). В случае параллельного соединения элементов удобнее пользоваться проводимостью. Приведем связь между комплексным сопротивлением и комплексной проводимостью, в алгебраической и показательной формах: Рис. 2.15 Z = R + jX , Z = Ze jϕ ; 1 1 R X = = 2 −j 2 ; 2 Z R + jX R + X R + X2 R X Y = g − jb, g = 2 , b= 2 . 2 R +X R + X2 1 1 e − jϕ e − jϕ = Y = = jϕ = , Y = Ye − jϕ . Z Ze Z R2 + X 2 Y= 53 Пример. Рассмотрим электрическую цепь с заданными параметрами: e(t ) = 10 sin(ωt + 45°) В, ω = 500рад/с, R = 20 Ом, L = 0,1 Гн, C = 50мФ. Определяем индуктивное и емкостное сопротивления: X L = ωL = 30 Ом – индуктивное сопротивление, 1 XC = = 66,66 Ом – емкостное сопротивление. ωC Запишем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура представленной схемы. Сумма напряжений на пассивных элементах равно величине воздействующей ЭДС. U L + U R + U C = e (t ) dq q 1 U R = iR, i = → q = ∫ idt , U C = = ∫ idt , dt C C dΨ di Ψ = Li , U L = =L , dt dt 1 di L + iR + ∫ idt = e(t ) dt C Рис. 2. В соответствии с символическим методом можно сделать замену: i (t ) → I m e jθ1 = I , e (t ) → Em e j θ 2 = E , di (t ) 1 I I → jωL I , U C (t ) = =−j ∫ i (t )dt → dt C j ωC ωC U R (t ) = i (t ) R → U = RI Подставим все величины в уравнение для напряжений, и в результате получим: U L + U R + U C = e(t ) U L (t ) = L j ωL I − j I ωC ⎛ ⎝ + RI = E → ⎜ jωL − j 1 ωC ⎞ ⎠ + R⎟⋅ I = E 1 ⎛ ⎞ j ω L − j + R⎟⋅ I = E ⎜ ωC ⎝ ⎠ Коэффициенты пропорциональности при токах имеют размерность сопротивления и обозначаются следующим образом: 54 Рис. 2.17 ( jX L ) − jX C + R ⋅ I = E → I = ( E ) j X L − XC + R = 10e j 45 20 + j (30 − 66, 66) j 45 10e j106,38 A. = = −0, 23 + j 0, 068 = 0, 239e − j 61,38 41, 76e Теперь можно записать мгновенное значение тока: i (t ) = 0, 239 ⋅ sin( ωt + 106,38)А . §2.3. Векторные диаграммы – фазовые соотношения между величинами Поскольку каждой синусоидальной величине сопоставляется комплексный вектор, то в результате проведённых расчетов можно увидеть фазовые соотношения между величинами в комплексной плоскости. Приведем пример расчетов токов и построение векторной диаграммы. Прежде всего, строится лучевая диаграмма токов, в выбранном масштабе. Затем строится топографическая диаграмма напряжений. Вектор напряжения активного сопротивления откладывается параллельно току активного сопротивления. Вектор напряжения индуктивности опережает ток индуктивности на 90 градусов. Вектор напряжения емкости откладывается с отставанием на 90 градусов от емкостного тока. Положительное значение угла откладывается против часовой стрелки. Отрицательное значение угла откладывается по часовой стрелке. Используем программу Mathcad для расчета цепи и построения диаграмм тока и напряжений. 55 E := 20⋅ e i⋅ 45 ⋅ deg Xc := 15 I1 := R := 20 com( z) := c0 0 ← z , E = 14.142 + 14.142i E c1 1 ← Im( z) , ⎛ 0.566 74.982⎞ ⎜ ⎝ 0.147 0.547 ⎠ c j⋅ Xc j⋅ ( XL − Xc) + R ⎛ 0.412 −29.055⎞ ⎝ 0.36 −0.2 ⎠ com( I2) = ⎜ I3 := I1 − I2 com( I3) = E ⎛ 0.777 105.945⎞ ⎜ ⎝ −0.213 0.747 ⎠ I3 C L I2 S := E⋅ I1 Eo := V( E, 10) ( Re( S) = −5.66 Im( S) = 9.811 ( ) 2⋅ XL − ( I3 ) 2⋅ Xc = −5.66 ) 2⋅ R + ( I2 ) 2⋅ R = 9.811 I2 I1 u2 := V( I2⋅ i⋅ XL, 10) u21 := I2⋅ i⋅ XL + V( I2⋅ R, 10) u1 := I2⋅ i⋅ XL + I2⋅ R + V( I1⋅ R, 10) i1 := V( I1 , 1) ⋅ 10 I1 ⋅ R = 11.327 i2 := V( I2 , 1) ⋅ 10 i3 := V( I3 , 1) ⋅ 10 u3 := V( −I3⋅ i⋅ Xc , 10) I2 ⋅ R = 8.242 n← I2 ⋅ XL = 8.242 I3 ⋅ Xc = 11.655 56 i⋅ 15deg ⋅ .1 − i⋅ 15deg ⋅ .1 0 if a ≤ 0.1 n otherwise ⎛⎜ ⎞⎟ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a ⋅ n + ⎟a −s1⋅ ⎜ a a1 ← ⎜ ⎟ a ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ a⋅ n ⎜⎝ −s2⋅ a + a⎟⎠ a1 I1 R R s2 ← e c1 0 ← Re( z) , j⋅ ( XL − Xc) + R com( I1) = V( a , n) := s1 ← e arg( z) c0 1 ← , deg ( j⋅ XL + R) ⋅ j⋅ Xc R− I2 := −I1⋅ XL := 20 Рис. 2.18 §2.4. Показания приборов Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротехнике, достаточно большие, поэтому измеряющие приборы не успевают реагировать на частоту. Вследствие этого приборы показывают не амплитудное значение, а некоторое усреднённое значение, называемое среднеквадратическим значением или действующим значением, которое определяется соотношением: T 1T 2 dt = 1 U 2 sin(ωt )2 dt = ( ) UД = u t ∫ ∫ m T T = 2 U m T ⎛ 1 − cos(2ωt ) ⎞ ∫⎜ T 0⎝ 2 ⎟ dt = ⎠ U m2 2 U = m. 2 С учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные, учитывается величина действующего значения. Например: 57 E e(t ) = 10sin(ωt + 30°) → E = m e j 30 = 7,07e j 30B, 2 I i (t ) = 2sin(ωt − 60°) → I = m e− j 60 = 1,41e− j 60A. 2 Рассмотрим пример использования символического метода для решения задач. §2.5. Мощность в цепи переменного тока Полная мощность определяется выражением N S = ∑ ± E k I *k = P + jQ, S = P 2 + Q 2 , k =1 P - активная мощность, Q - реактивная мощность. Знак плюс выбирается, в случае если ЭДС и ток совпадают по направлению (на схему) и минус в противном случае. * - знак комплексного сопряжения. Потребляемая активная и реактивная мощности определяются соотношениями соответственно: N N M P = ∑ Rk I k2 , Q = ∑ X Lk I k2 − ∑ X Ck I k2 . k =1 k =1 k =1 P - активная мощность величина положительная. Q - реактивная мощность может быть как положительной так и отрицательной величиной. Если преобладает индуктивная составляющая X L > X C то Q > 0 . Если X C > X L то Q < 0 . 58 Лекция № 6 §2.6. Цепи с индуктивно связанными элементами Последовательное соединение катушек с индуктивной связью. Рассмотрим цепь с взаимной индуктивностью. По катушкам протекают токи, направленные в одну сторону. Но провода намотаны в разные стороны. Условно на рисунке этот факт можно обозначить звездочками или точками. При этом токи создают магнитное поле вокруг Рис. 2.19. Условное обозначение проводов. В одном случае они катушек складываются, а в другом они вычитаются. Тогда можно записать уравнение Кирхгофа для последовательного контура, учитывая не идеальность катушек. При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны di di di di L1 + iR1 + M + L2 + iR2 + M = e(t ) . dt dt dt dt При встречном соединении, когда токи входят в катушки с разных сторон. di di di di L1 + iR1 − M + L2 + iR2 − M = e(t ) dt dt dt dt В символической форме это можно записать так. ( R1 + jX L1 + jX M ) I + ( R2 + jX L 2 + jX M ) I = E ; ( R1 + R2 + j ( X L1 + X L2 + 2 X M ) ) I = E. При согласном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны. ( R1 + jX L1 − jX M ) I + ( R2 + jX L2 − jX M ) I = E ; ( R1 + R2 + j ( X L1 + X L2 − 2 X M ) ) I = E. При встречном соединении, когда токи входят в катушки с одной стороны. Здесь X M = ωM , X L = ωL . Если ввести обозначения для сопротивлений согласного Z C и встречного Z B соответственно Z C = R1 + R2 + j ( X L1 + X L 2 + 2 X M ) , Z B = R1 + R2 + j ( X L1 + X L 2 − 2 X M ) , то можно найти взаимную индукцию 59 Z C − Z B = 2 X M + 2 X M = 4 X M = 4M ω → M = ZC − Z B 4ω Как экспериментально определить какой тип соединения в цепи, согласное и встречное соединение индуктивностей? Ответ – через токи при фиксированном входном напряжении в цепи. При согласном соединении сопротивление больше Z C – ток меньше. При встречном соединении сопротивление больше Z B – ток больше. §2.7. Построение диаграммы при встречном и согласном включениях индуктивностей с магнитной связью M i(t) U(t) 1. По оси x в масштабе тока M I [ А / см] откладываем значение тока в цепи I . Затем, относительно тока строим топографическую диаграмму напряжений. Напряжение откладываем в масштабе напряжения M U [ В / см ] . Напряжение U R1 совпадает по фазе с током I . Напряжение U L1 опережает ток на 90 градусов. Затем напряжение взаимной индукции U M опережает ток на 90 градусов, потому что мы имеем согласное включение, при этом взаимные потоки складываются. Далее откладываем напряжение U R 2 на сопротивлении R2 совпадающее по фазе с током I . Затем откладываем напряжение U L 2 опережающее ток на 90 градусов. Далее откладываем напряжение взаимной индуктивности U M , опережающее ток на 90 градусов. L1 L2 R1 R2 UM UL2 UR2 UM UL1 UR1 I Рис. 2.20 60 2. По оси x в масштабе тока M I [ А / см] откладываем значение тока в цепи I . Затем, относительно тока строим топографическую диаграмму напряжений. Напряжение отклаM i(t) дываем в масштабе напряжения L L1 2 R1 R2 M U [ В / см] . Напряжение U R1 совU(t) падает по фазе с током I . Напряжение U L1 опережает ток на 90 градусов. Затем напряжение взаUM имной индукции U M отстает от тока на 90 градусов, потому что мы имеем встречное включение, UL2 при этом взаимные потоки вычиUM UR2 таются. Далее откладываем напряжение U R 2 на сопротивлении UL1 R2 совпадающее по фазе с током I . Затем откладываем напряжеUR1 I ние U L 2 опережающее ток на 90 градусов. И наконец, откладываем напряжение взаимной индуктивРис. 2.21 ности U M , отстающее от тока на 90 градусов. §2.8. Расчет цепи с магнитно-связанными индуктивностями Рассмотрим цепь с магнитно-связанными катушками индуктивности. Данные цепи таковы: e(t ) = 40 2 sin(ωt + 45o )В, f = 50Гц, R = 20Ом, M = 0,1Гн, L1 = 0, 2 Гн, L2 = 0,15Гн, C = 60 ⋅ 10−6 мкФ. Определим величины X L1 , X L 2 , X M , X C , E 61 X M = ωM = 31, 416 Ом, X L1 = ωL1 = 62,832 Ом, X L 2 = ωL2 = 47,124 Ом, X C = 53,052 Ом, E = 40e j 45 В. Запишем законы Кирхгофа, с поL мощью которых определяются тоR I1 I2 2 ки и напряжения в цепи. Запишем L1 M эти уравнения для мгновенных C значений токов и напряжений, а E затем перепишем их для ком2R R I3 плексных - действующих значений. o Рис. 2.22 ленной схемой имеем. i1 − i2 − i3 = 0; В соответствии с представ- di di2 − M 3 + i2 2 R = e(t ); dt dt di di di di 1 L2 3 − M 2 + ∫ i 3dt + i3 R − i2 2 R − L1 2 + M 3 = 0. dt dt C dt dt i1R + L1 Перепишем это уравнение в символической форме: I 1 − I 2 − I 3 = 0; I 1R + jX L1 I 2 − jX M I 3 + I 2 2 R = E ; jX L 2 I 3 − jX M I 2 − jX C I 3 + I 3 R − I 2 2 R − jX L1 I 2 + jX M I 3 = 0. Приведем подобные члены и упорядочим в матричном виде: I 1 − I 2 − I 3 = 0; I 1R + ( 2 R + jX L1 ) I 2 − jX M I 3 = E ; ( −2 R − jX L1 − jX M ) I 2 + ( R + jX L 2 + jX M − jX C ) I 3 = 0. Теперь можно записать матричное уравнение −1 −1 ⎛1 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜R ⎟ 2 R + jX L1 − jX M ⎟, B = ⎜ E ⎟ . A=⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 2 R − j ( X L1 + X M ) R + j ( X L 2 + X M − X C ) ⎟ ⎜0 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Поставим данные и получим 62 −1 −1 ⎛1 ⎞ ⎛0 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ A = 20 40 + 62,832 j − 31, 416 j , Β = 28, 284 + 28, 284 j ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 − 40 − 94, 248 j 20 + 25, 488 j ⎟ ⎜0 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ j 62,921 ⎞ ⎛ 0,509 + 0,996 j ⎞ ⎛ 1,118e ⎜ ⎟ AI = B → I = A −1B = ⎜ 0,169 + 0, 211 j ⎟ = ⎜ 0, 271e j 51,416 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ 0,34 + 0,784 j ⎟ ⎜⎜ ⎝ ⎠ ⎝ 0,855e j 66,539 ⎟⎠ По полученным результатам запишем мгновенное значения токов в ветвях i1 (t ) = 1,11 2 sin( ωt + 62,921)A, i2 (t ) = 0, 271 2 sin(ωt + 51, 416)A, i3 (t ) = 0,855 2 sin(ωt + 66,539)A. Использование других методов расчета таких как метод узловых потенциалов, метод контурных токов затрудняется из-за наличия индуктивной связи, поэтому исходную схему упрощают, производя развязку индуктивной связи. Пример развязки индуктивной связи приведен на рисунке. Следует обратить внимание на то, что на рисунке нет направлений токов поэтому нет смысла говорить о встречном или согласном соединении. M -M L1 L2 L1 L1+M L2+M M M L2 L1-M L2-M Рис. 2.23 I1 R E -M I2 L2+M L1+M C 2R Рис. 2.24 R I3 В нашем случае схема развяжется как указанно на рисунке. Теперь можно использовать любой известный метод расчета. Наиболее рациональным методом расчета в данном случае будет метод узловых потенциалов. Определим эквивалентные сопротивления ветвей схемы. 63 Z 1 = R − jX M = 20 − 31, 416 j Ом, Z 2 = 2 R + j ( X L1 + X M ) = 40 + 94, 248 j Ом, Z 3 = R + j ( X L 2 + X M − X C ) = 20 + 25, 488 j Ом. Перерисуем схему замещения и запишем уравнения для потенциалов методом узловых напряжений. 1 I1 Находим проводимости ветвей Z1 I3 I2 1 1 1 , Y = , Y = , Y = 1 2 3 Z3 Z2 Z1 Z2 Z3 E а затем потенциал первого узла: 2 Рис. 2.25 ϕ1 (Y 1 + Y 2 + Y 3 ) = EY 1 , EY 1 = −13,183 + 24,363 j = 27,701 e j118,419 B. Y1 +Y 2 +Y 3 При известном потенциале можем определить токи во всех ветвях I 1 = E − ϕ1 Y 1 , I 2 = ϕ1Y 2 , I 1 = ϕ1Y 3 ϕ1 = ( ) §2.9. Построение векторной диаграммы Для построения векторной диаграммы в первую очередь нужно задаться масштабом тока и напряжения. Следующим этапом строится лучевая диаграмма токов, а затем по отношению к ней строится топографическая диаграмма напряжений. Учитывая, что ток и напряжение на активном сопротивлении находятся в фазе, векторы напряжения и тока на диаграмме следует откладывать параллельно друг другу, и направленными в одну сторону. Напряжение на индуктивности опережает ток индуктивности на 90 градусов, следовательно, вектор напряжения откладывается перпендикулярно вектору тока с опережением (откладывается против часовой стрелки). Напряжение на емкости отстает от тока емкости на 90 градусов, следовательно, вектор напряжения откладывается перпендикулярно вектору тока с отставанием (откладывается по часовой стрелке). Приведем пример построения диаграммы для нашей схемы. От1 кладываем в масштабе токи и напряжения M I = А/см, M U = В/см 30 64 (см. диаграмму). Вычислим необходимые значения напряжений на элементах. E = 40e j 45 = 28, 28 + j 28, 28; U R1 = I1R = 22,369 B; o U L1 = I 2 X L1 = 17 B; U R 2 = I 2 2 R = 10,822 B; U M 2 = I 3 X M = 26,861B; U R 3 = I 3 R = 17,1B; Рис. 2.26 U C = I 3 X C = 45,36 B; U R 2 = I 2 2 R = 10,822 B; U M 2 = I 3 X M = 26,861B; U L 2 = I 3 X L 2 = 40, 292 B; U M 1 = I 2 X M = 8,5B. Определим показания вольтметра: V = I 1R + I 2 jX L1 − I 3 jX M или V = E − I 2 2 R = 28.28 + j 28.28 − ( 0,169 + j 0, 211) 40 = 29.27B 65 Рис. 2.27 66 §2.10. Мощность в цепи переменного тока с взаимной индуктивностью Полная мощность, как и прежде, определяется выражением S= N ∑ ±Ek I k = P + * jQ , S = P 2 + Q 2 , k =1 P - активная мощность, Q - реактивная мощность. Потребляемая активная и реактивная мощности определяются соотношениями соответственно: N N 2 2 M 2 P = ∑ Rk I k , Q = ∑ X L k I k − ∑ X C k I k ± 2 I 1 I 1 X M cos(ϕ1 − ϕ2 ) . k =1 k =1 k =1 Здесь токи I1e jϕ , I 2 e jϕ ветвей, в которых находится индуктивности. Знак плюс выбирается, когда в цепи согласное включение катушек. В противном случае выбирается знак минус. Ниже приводится электрическая схема, собранная в программноинтегрированной среде ElectronicsWorkbench с развязкой индуктивной связи. При развязке индуктивной связи получается отрицательная индуктивность. В место отрицательной индуктивности можно поставить эквивалентную емкость, которая определяется выражением C = 1/ ω2 M . Приведем схему рассмотренной задачи собранную в среде ElectronicsWorkbench. 1 2 Рис. 2.28 Ниже приводится программа вычисления в программно-интегрированной среде MathCAD. 67 ⎛ 1.118 62.921⎞ com( I1) = ⎜ ⎝ 0.509 0.996 ⎠ Магнитносвязанные катушки ⎛ 0.271 51.416⎞ ⎝ 0.169 0.211 ⎠ com( I2) = ⎜ ⎯ 2 S := E⋅ I1 S = 42.567 − 13.766i P := ( I1 ) ⋅ R + Q := ( I2 ) 2 ⋅ XL1 + ( I3 ) 2 ( I2 ⎛ 0.855 66.539⎞ ⎝ 0.34 0.784 ⎠ com( I3) = ⎜ ) 2⋅ R⋅ 2 + ( I3 ) 2⋅ R P = 42.567 ⋅ ( XL2 − Xc) − Xm⋅ 2⋅ I2 ⋅ I3 ⋅ cos ( arg( I2) − arg( I3) ) Q = −13.766 i1 := V( I1, 0.5) i2 := V( I2, 0.5) i3 := V( I3, 0.5) u1 := V( E, 20) u11 := I2⋅ R⋅ 2 + I2⋅ j⋅ XL1 − I3⋅ j⋅ Xm + V( I1⋅ R, 20) u2 := V( I2⋅ R⋅ 2 , 20) u22 := I2⋅ R⋅ 2 + V( I2⋅ j⋅ XL1, 20) u23 := I2⋅ R⋅ 2 + I2⋅ j⋅ XL1 + V( −I3⋅ j⋅ Xm, 20) u3 := V( I3⋅ R, 20) u32 := I3⋅ R + V( −I3⋅ j⋅ Xc , 20) u33 := I3⋅ R − I3⋅ j⋅ Xc + V( I3⋅ j⋅ XL2, 20) u34 := I3⋅ R − I3⋅ j⋅ Xc + I3⋅ j⋅ XL2 + V( −I2⋅ j⋅ Xm, 20) i1 := V( I1, 0.5) ⋅ 30 i2 := V( I2, 0.5) ⋅ 30 i3 := V( I3, 0.5) ⋅ 30 Лекция № 7 §2.11. Трансформатор Электрическая цепь состоит из контуров различного назначения. Может оказаться, что для различных контуров цепи требуется отличающиеся по величине напряжения. Для преобразования переменного напряжения и для перераспределения энергии между контурами цепи, широко применяется такое устройство как трансформатор. Функциональные и конструктивные особенности трансформаторов весьма разнообразны. Мы рассмотрим линейный трансформатор, в котором отсутствуют нелинейные эффекты. Воздушные трансформаторы являются линейными. Трансформатор состоит из двух или нескольких индуктивно связанных катушек. Рассмотрим простой двухобмоточный трансформатор. Двухобмоточный трансформатор состоит из двух обмоток – первичной и вторичной. К первичной обмотке подводится питание а ко вторичной подсоединяется нагрузка–потребитель энергии. Токи и напряжения, относящиеся к первичной и вторичной обмоткам называются первичными и вторичными соответственно. Рис. 2.29. Трансформатор 68 Для усиления магнитной связи используют ферромагнитные сердечники вокруг, которых наматываются обмотки трансформатора (но при этом трансформатор становится нелинейным). Запишем второй закон Кирхгофа для трансформатора, введя обозначения элементов первичной и вторичной обмоток: X 1 = X L 2 , R22 = R2 + RН , X 22 = X L 2 + X Н ; ⎧⎪ I 1 ( R1 + jX 1 ) − I 2 jX M = E ; (50) ⎨ ⎪⎩ − I 1 jX M + I 2 ( R22 + jX 22 ) = 0 . Умножим первое уравнение на ( R22 + jX 22 ) , а второе уравнение на jX M и затем сложим. В результате получим выражение тока первичной обмотки через входное напряжение и сопротивления, вносимые вторичной обмоткой Rвн , X вн : E I1 = = ⎛ ⎞ R22 X 2 2 R1 + 2 XM + j ⎜ X 1 − 2 22 2 X M ⎟ 2 R22 + X 22 R22 + X 22 (51) ⎝ ⎠ = E , R1 + Rвн + j ( X 1 + X вн ) R22 X 22 2 2 X , X = − XM . M вн 2 2 2 2 R22 + X 22 R22 + X 22 Это выражение называется приведение сопротивлений вторичной обмотки к сопротивлениям первичной обмотки. Из этого выражения вытекает следующее. Для того, что бы трансформатор передавал максимальную мощность во вторичную обмотку необходимо, чтобы выполнялось соотношение: где Rвн = R1 = R22 X 22 2 2 X , X = XM . M 1 2 2 2 2 R22 + X 22 R22 + X 22 (52) Построим качественно векторные диаграммы для трансформатора при различных нагрузках: 69 -I1 jXM I2 jXL2 I2 jXL2 -I1 jXM I2RН I2RН I2 -I2 jXН I2R2 I2 jXН I1 jXL1 I2 -I2 jXM I1 jXL1 I2R2 I1R1 U1 I1R1 -I2 jXM U1 I1 I1 а б Рис. 2.30. Векторная диаграмма напряжений трансформатора при нагрузках: а) Z Н = RН + jX Н и б) Z Н = RН − jX Н Что бы добиться выполнения соотношение (52) в первичную и во вторичную цепи трансформатора включаются переменные емкости, что позволяет варьировать реактивные составляющие сопротивлений первичной и вторичной цепях, рис. 2.31. Рис. 2.31. Для приведенной схемы реактивные составляющие будут определятся выражениями: X 1 = X M − 1 ωC1 , X 22 = X M + X Н − 1 ωC2 . Если разрешить первое выражение (52) относительно X 22 , то можно получить: 70 2 2 XM R22 − R1R22 . R1 Последнее выражение показывает, что при выполнении неравенст- X 22 = ва: R1R22 . ω Невозможно получить максимальную мощность во внесенном сопротивлении Rвн . 2 < R1R22 → M < XM §2.12. Резонанс напряжений Рассмотрим схему, в которой последовательно соединены индуктивность емкость сопротивление и источL ник напряжения. Индуктивное и емкоR e(t) стное сопротивления зависят от частоC ты X L ( ω) = ωL, X C ( ω) = 1 ωC . С увеличением частоты индуктивное сопроi(t) тивление X L ( ω) = ωL увеличивается, и Рис. 2.32 ток в цепи с индуктивностью уменьшается. При уменьшении частоты емкостное сопротивление уменьшается, и ток в цепи с емкостью увеличивается. Графическая зависимость индуктивного сопротивления X L ( ω) от частоты приведена на рисунке, она линейна. 71 X C (ω) = 1 ωC Z (ω) = R + j ( X L (ω) − X C (ω) ) X L (ω) = ωL R ω= 1 LC ω= 1 LC X (ω) = X L (ω) − X C (ω) X (ω) = X L (ω) − X C (ω) Рис. 2.33 Зависимость емкостного сопротивления X C ( ω) = 1 ωC от частоты имеет гиперболическую зависимость. При увеличении частоты уменьшается емкостное сопротивление и при этом ток в цепи с емкостью увеличивается. То есть чем быстрее изменяется ток тем меньше емкостное сопротивление. При уменьшении частоты до нуля емкостное сопротивление становится бесконечным. То есть емкость не пропускает постоянный ток. И, наоборот, при увеличении частоты емкостное сопротивление уменьшается, и ток в цепи увеличивается. Вспомним, что емкость пропускает ток смещения. В цепи с последовательно соединенными элементами RLC сопротивление записывается в виде: Z ( ω) = R + jX L ( ω) − jX C ( ω) Будем изменять частоту входного напряжения в цепи. При изменении частоты будут изменяться сопротивления реактивных элементов. При увеличении частоты уменьшается емкостное сопротивление и увеличивается индуктивное сопротивление, и наоборот. При постепенном изменении частоты может наступить такой момент, когда емкостное и индуктивное сопротивления сравняются, и будет выполняться равенство 1 1 . → ω0 = ω = X L ( ω) = X C ( ω), ωL = ωC CL Полученная частота называется частотой свободных колебаний. При такой частоте возникаю свободные колебания в цепи. Колебания электрической цепи не связанные с источником энергии, называются собственными или свободными. 72 В нашем случае при рассмотрении последовательной цепи эти колебания возбуждены внешним источником e(t ) . При резонансной частоте общее сопротивление цепи уменьшается, так как индуктивное сопротивление компенсируется емкостным сопротивлением 1 Z ( ω) = R + jX L ( ω) − jX C ( ω) = R ω= LC При этом ток в цепи возрастает, Ток и напряжение совпадают по фазе. При дальнейшем увеличении частоты индуктивное сопротивление становится больше емкостного, и реактивное сопротивление становится индуктивным. Волновая диаграмма напряжений. UC UR t UL U Векторная диаграмма +j I UL UR UС +1 U Рис. 2.34 73 Режим электрической цепи при последовательном соединении участков с индуктивностью и ёмкостью, характеризующийся равенством индуктивного и ёмкостного сопротивлений, называют резонансом напряжений. Напряжения на индуктивности и ёмкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входе, которое равно напряжению на активном сопротивлении. Отметим, что частоты, при которых наблюдаются фазовый и амплитудный резонансы, не совпадают с частотой собственных колебаний контура (они совпадают только в теоретическом случае, когда катушка индуктивности и конденсатор без потерь). Добротность Q определяется соотношением: X X ρ Q= L = C = , R R R L где ρ = X C = X L = – характеристическое сопротивление. C Чем выше добротность контура Q (и уже полоса пропускания) тем выше селективность контура (лучше избирательная способность) При резонансе происходит совпадение по фазе входного напряжения e(t) и тока i(t) протекающего в контуре. Характер сопротивления становится чисто активным вследствие совпадения по величине емкостного и индуктивного сопротивлений. Q1 p Q 2 p Q 3 Q1 p Q 2 p Q 3 ω =1 ω =1 LC ФЧХ- ϕ (ω ) АЧХ- I (ω ) Рис. 2.35 74 LC Ширина АЧХ I (ω ) зависит от добротности. Ширина АЧХ определяется на высоте 0,707 от амплитудного значения (рис. 2.36). Определим граничные частоты E E 1 = I ( ω) = ; 2 2 2 R R + ( ωL − 1 ωC ) 2 1 ⎛ L⎞ 1+ 2 ⎜ ⎟ ω LC − 1 ω LC R ⎝ C⎠ ( ω0 = 1 L 1 → , Q= C R LC ) 1 2⎛ ω ω0 ⎞ − 1+ Q ⎜ ⎟ ω ⎝ 0 ω⎠ ⎛ ω ω0 ⎞ ω0 − 1 + Q2 ⎜ ⎟ = 2 → ω1,2 = 2Q ⎝ ω0 ω ⎠ и полосу пропускания ∆ω = ω2 − ω1 = 2 = 1 ; 2 ( 1 + 4Q m 1) 2 ω0 . Q Таким образом, рассмотренная схема является полосовым фильтром, рассмотренный фильтр эффективно пропускает частоты, находящиеся в полосе ∆ω увеличивая их относительный вклад. Относительный вклад всех остальных частоты уменьшается. Пример. Рассчитать резонансную частоту для схемы, привеI (ω ) денной на рисунке 2.36 при усI (ω ) = 0, 707 ловии, что даны значения C = 400 ⋅ 10−6 Ф, L = 2 Гн, R = 20Ом, ω1 ω =1 LC e(t ) = 20 2 sin( ωt )В. Определить добротность контура, ток, полосу пропускания и граничные частоты. ω2 Рис. 2.36 X L ( ω) = X C ( ω), f = 75 ω = 5,627Гц. 2π ωL = 1 1 → ω0 = ω = = ωC CL ( ) ω0 ω 1 + 4Q 2 − 1 = 100рад/с; ω2 = 0 2Q 2Q ∆ω = ω2 − ω1 = 25рад/с. ω1 = ( 1 + 4Q + 1) = 125рад/с; 2 Полоса пропускания устанавливается на высоте сигнала равного значению I m 2 = 0,707 I m , I m –максимальное значение тока. РГР №2 Расчет линейной цепи синусоидального тока 1. В исходной цепи с ЭДС e(t ) = 2 E sin( ωt + ϕ) рассчитать токи ветвей и составить баланс мощностей (активных и реактивных). Взаимная индуктивКоэффициент связи k = 0,9 . ность M = k L1L2 . Записать уравнения Кирхгофа для мгновенных значений без развязки индуктивной связи. Переписать уравнения в комплексной форме и найти все токи и показание вольтметра. 2. Произвести развязку индуктивной связи. 3. Определить все токи методом контурных токов. 4. Определить ток в ветви с индуктивностью L2 методом эквивалентного генератора; 5. Записать мгновенные значения токов и напряжений и построить их волновую диаграмму. Построить в одних осях векторные диаграммы токов (лучевую) и напряжений (топографическую). 6. Определить показание электродинамического вольтметра аналитически и по топографической диаграмме. 7. Подтвердить расчеты пунктов 1, 3 ,проделав работу в среде ElectronicsWorkbench. 76 № 1 2 3 4 5 6 7 8 9 E В 50 30 20 40 25 15 22 45 30 12 R Ом 10 20 30 40 50 25 35 50 10 30 Таблица №1 C МкФ 250 100 300 250 100 220 300 400 600 500 ϕ град 30 90 -90 180 90 -90 180 15 77 L1 Гн 0,15 0,2 0,12 0,22 0,19 0,15 0,19 0,11 0,17 0,21 Таблица №2 L2 f Гн Гц 0,15 50 0,2 50 0,12 50 0,22 50 0,19 50 0,15 50 0,19 50 0,11 50 0,17 50 0,21 50 78 Лекция № 8 ТРЕХФАЗНЫЕ ЦЕПИ 2π 2π U A (t ) = E0 2 sin( ωt ), U B (t ) = E0 2 sin( ωt − ), U C (t ) = E0 2 sin( ωt + ). 3 3 Или в символической форме: −j 2π 3 , j 2π 3 E A = E0 , E B = E0e E C = E0e – фазные напряжения. Полезно ввести обозначение для фазового множителя: 1 3 1 3 a = e j2π / 3 = − + j = −0,5 + j 0,866 , a 2 = − − j = −0,5 − j 0,866 . 2 2 2 2 Тогда можно записать: E A = E0 , E B = E0a 2 , E C = E0a. Заметим, что 1 3 1 3 1 + a2 + a = 1 − − j − +j = 0. 2 2 2 2 И, следовательно E A + E B + E C = E0 (1 + a 2 + a ) = 0. Рис. 3.1 I A , I B , I C - линейные токи. Рис. 3.2 79 При наличии нулевого провода (нейтрали) (рис. 3.2) схема разделяется на три независимые схемы E E E I A = A , I B = B , IC = C . ZA ZB ZC Ток нейтрали определяется выражением I N = I A + I B + IC . Рис. 3.3 Для представленной схемы (рис. 3.3) без нейтрали, при симметричной нагрузке Z A = Z B = Z C токи как в предыдущем случае, определяются соотношениями: E E E I A = A , I B = B , IC = C . ZA ZB ZC Или через фазовый множитель E I A = A , I B = a 2 I A , I C = a I A. ZA Потому что потенциалы точек 0 и n одинаковы (следовательно, если в схеме точки 0 и n соединить проводом в схеме ничего не изменится). Рис. 3.4 80 В схеме на рис. 3.4 при симметричной нагрузке, «треугольник» можно заменить «звездой». Рассчитать линейные токи I A , I B , I C , а затем найти фазные токи из уравнений: ⎧ I A = I AВ − I СA ⎪ ⎨ I B = I BC − I AB ⎪I = I − I ⎩ C CA BС Или используя связь между линейными и фазными напряжениями генератора U AB = E A 3e j 30 , U BC = U AB a 2 ,U CA = U AB a можно определить фазные токи U U U I AB = AB , I BC = BC , I AB = CA Z AB Z BC Z CA Рис. 3.5. Рис. 3.6. Эти же уравнения применимы для схемы на рис. 3.6. Мощность в трехфазной цепи определяется как сумма мощностей каждой фазы S = E A I *A + E B I *B + E C I *C = P + jQ 81 При симметричной нагрузке мощность определяется выражением P = 3U ф I ф cos(ϕф ), Q = 3U ф I ф sin(ϕф ), S = 3U ф I ф , или P = 3U Л I Л cos(ϕф ), Q = 3U Л I Л sin(ϕф ), S = 3U Л I Л . §3.1 Метод симметричных составляющих Расчет симметричных режимов гораздо проще несимметричных, поэтому для расчета несимметричных (несбалансированных) режимов в трехфазных цепях широко применяется метод симметричных составляющих (МСС). Метод симметричных составляющих относится к специальным методам расчета трехфазных цепей и широко применяется для анализа несимметричных режимов их работы, в том числе с нестатической нагрузкой. В основе меРис. 3.7. тода лежит представление несимметричной трехфазной системы переменных (ЭДС, токов, напряжений и т.п.) в виде суммы трех симметричных систем, которые называют симметричными составляющими. Различают симметричные составляющие прямой, обратной и нулевой последовательностей, которые различаются порядком чередования фаз. Он основан на представлении любой трехфазной несимметричной системы величин (трех векторов) в виде суммы трех симметричных систем величин. Эти симметричные системы, которые в совокупности образуют несимметричную систему величин, называются ее симметричными составляющими. Симметричные составляющие отличаются друг от друга порядком следования (чередования) фаз. Они называются системами прямой, обратной и нулевой последовательностей. Любая не симметричная система векторов однозначно раскладывается на симметричные составляющие Пример: Пусть имеется трехфазная система векторов (рис. 3.7): A = −0,5 + j 2,5; B = −2 − j 4; C = −3 − j 3. Разложим её на симметричные составляющие. В результате разложения каждый из векторов будет иметь свои компоненты прямой обратной и нулевой последовательностей. Например, вектор A будет иметь компоненты A = { A1 , A2 , A3} , вектор B = {B1 , B 2 , B 3} и вектор C = {C1 , C 2 , C 3} Чередование фаз в прямой последовательности и связь между компонентами векторов будет следующей 82 A1 , B1 = A1e − j 2 π / 3 , C1 = A1e j 2 π / 3 . Чередование фаз в обратной последовательности A2 , B2 = A2 e j 2 π / 3 , C2 = A2 e − j 2 π / 3 . В нулевой последовательности все компоненты векторов равны A0 , = B0 = C0 . Полезно ввести обозначение для фазового множителя: 1 3 1 3 a = e j 2π / 3 = − + j = −0,5 + j 0,866 , a 2 = − − j = −0,5 − j 0,866 . 2 2 2 2 1 3 1 3 Заметим, что 1 + a 2 + a = 1 − − j − +j = 0. Каждый из векторов 2 2 2 2 несимметричной системы раскладывается по компонентам прямой обратной и нулевой последовательности. Прям. Обрат. Нул. ↓ ↓ ↓ A = A1 + A2 + A0 ; B = B1 + B 2 + B 0 ; C = C1 + C 2 + C 0 . Или если использовать фазовый множитель и в качестве основной фазы выбрать фазу A это выражение можно переписать: Прям. Обрат. Нул. ↓ ↓ ↓ ⎧ A = A1 + A2 + A0 ⎛ A ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞ ⎛ A1 ⎞ ⎪ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 2 ⎨ B = A1a + A2 a + A0 → ⎜ B ⎟ = ⎜ a a 1 ⎟ ⎜ A2 ⎟ ⎜C ⎟ ⎜ ⎪ ⎜ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝ a a 2 1 ⎟⎠ ⎝ A0 ⎠ ⎩C = A1a + A2 a + A0 . Если обернуть это матричное выражение то можно получить: 1 ⎧ A + Ba + Ca2 = A 1 ⎪ 3 ⎛1 a a 2 ⎞ ⎛ A ⎞ ⎛ A1 ⎞ ⎛ A1 ⎞ ⎛ 2,687 + j1,289 ⎞ ⎪ ⎜ ⎟ 1 1 ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2 2 ⎨ A2 = A + Ba + Ca → ⎜ A2 ⎟ = ⎜1 a a ⎟ ⎜ B ⎟ → ⎜ A2 ⎟ = ⎜ −1,354 + j0,711⎟ 3 ⎪ ⎜ A ⎟ 3 ⎜⎜1 1 1 ⎟⎟ ⎜ C ⎟ ⎜ A ⎟ ⎜ −1,833 + j0,5 ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ 1 ⎪ ⎝ ⎠ A = A + B + C ( ) ⎪⎩ 0 3 . ( ) ( ) 83 Прямая Последовательности Обратная Нулевая Рис. 3.8. Результаты разложения трёх векторов А, В, С на симметричные составляющие 84 При использовании МСС возникает вопрос, что конкретно мы собираемся раскладывать на симметричные составляющие. Если в системе действует несимметричная системы ЭДС, а цепь сама симметричная, то нужно раскладывать систему ЭДС. Если действующая система ЭДС симметричная, а электрическая цепь имеет локальную несимметрию, то нужно раскладывать на симметричные составляющие ток или напряжения локального участка. Рассмотрим пример (рис. 3.9). Пусть задана симметричная система ЭДС с несимметричной нагрузкой: o a = e j120 = −0,5 + j 0,866, E A = 220 B, E B = 220a 2 , E C = 220a, RA = 10Ом, RB = 20Ом, RC = 30Ом Рис. 3.9 Определим токи методом узловых потенциалов: E R + E B RB + E C RC ϕ= A A = 70 − j17,321B , 1 RA + 1 RB + 1 RC EA −ϕ EB − ϕ = 15 − j1,732 A, I B = = −9 − j8,66 A, IA = RA RB IC = EC − ϕ RC = −6 + j 6,928 A. Определим симметричные составляющие. Так как нет нулевого провода, то нулевая последовательность будет отсутствовать: ⎛1 a a 2 ⎞ ⎛ I ⎞ ⎛ I1 ⎞ ⎟⎜ A ⎟ ⎜ ⎟ 1⎜ 2 ⎜ I 2 ⎟ = 3 ⎜1 a a ⎟ ⎜ I B ⎟ , ⎜1 1 1 ⎟ ⎜ I ⎟ ⎜I ⎟ ⎜ ⎟⎝ C ⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ ⎠ 2 I A + aI B + a I C I A + a2 I B + a I C , I2 = , I2 = 0. I1 = 3 3 85 ORIGIN:= 1 R IA rA EA EC RC EB R RA IB IC RB R Рис. 3.10 Ua := 100 a := e i⋅ 120⋅ deg ( E := Ua Ua⋅ a 2 E E 1 φ := + Ra + R 1 + Ra + R E −φ 1 I := 1 Ua⋅ a 2 R⋅ 2 1 R⋅ 2 R := 20 r := 5 Ra := R⋅ r R+ r E + 3 R⋅ 2 1 + φ = 18.182 R⋅ 2 E −φ 2 I := 2 Ra + R I ⋅R )T R⋅ 2 E −φ I := 3 3 T I = ( 3.409 −1.705 − 2.165i −1.705 + 2.165i) R⋅ 2 1 Ir = 2.727 I_R := I − Ir I_R = 0.682 1 R+ r ⎯ ⎯ ⎯ S = 886.364 S := I ⋅ E + I ⋅ E + I ⋅ E Ir := 1 1 2 2 3 3 ( I1 ) ⋅(Ra + R) + ( I2 )2⋅R⋅2 + ( I3 )2⋅R⋅2 P = 886.364 ⎡( Ir ) 2⋅ r + ( I_R ) 2⋅ R + I 2⋅ R⎤ + I 2⋅ R⋅ 2 + I 2⋅ R⋅ 2 = 886.364 ( 1) ⎦ ( 2 ) ( 3) ⎣ 2 P := ⎛ ⎜ I_r ⎛ ⎞ ⎜ A⋅⎜ 0 → ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ 1 a2 a ⎞ 1 ⎜ A := ⋅ ⎜ 2⎟ 3 1 a a ⎜ ⎝1 1 1 ⎠ ⎛ I1 ⎞ ⎜ I2 ⎜ ⎝ I0 ⎠ I0 − ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ U0 R 1 3 ⋅ Ir ⎞ 1 3 ⋅ I_r ⎞ ⎟ ⋅ I_r ⎟ ⎟ 3 ⎟ 1 1 3 ⋅ I_r ⎠ ⎟ ⋅ Ir ⎟ 3 ⎟ 1 ⎟ 1 3 ⋅ Ir I2 ⎠ − 2⋅ U2 R I1 Ua − 2⋅ U1 R U2 −I2⋅ R −Ir⋅ R 2 3⋅ 2 86 U0 −I0⋅ R −Ir 3 ⋅R U1 −I1⋅ R + Ua ⎛ −1 ⋅ Ir⋅ R⎞ + Ua ⎜ 3 ⎝ ⎠ 2 2 R U1 IA U2 EA RA U0 EC U2 RC EB R U0 IB U1 U2 U1 U0 RB R IC Рис. 3.11 Ir⋅ r ( U1 + U2 + U0) R EA IA I_r⋅ r ⎛ − I_r ⋅ R + Ua ⎞ − I_r ⋅ R − I_r ⋅ R solve , I_r → 30 = 2.727 ⎜ 2 ⎠ 3 11 3 2 ⎝ 3 2 R U1 U2 U0 RA I1 IA1 U1 EA R IA2 I2 U2 I0 U0 RA Рис. 3.12 87 RA RA a := e i⋅ 120⋅ deg 2 Ea := 220 Eb := a ⋅ Ea Ec := a⋅ Ea R := 30 L := 0.3 ω := 100⋅ π r := 10 X := ω⋅ L Z := r + i⋅ X RN := 15 Rn := 5 Схема прямой последовательности Z R Е U1 Рис. 3.13 Рис. 3.14 Схема обратной последовательности Схема нулевой последовательности 3RN U2 Рис. 3.15 I 1 Ik 3 Ik I 2 I 3 Ik Ua 3 U +U +U 1 2 Ee := Ea⋅ Z Z+R U0 Iкз1 Е 3Rn Рис. 3.16 Ze := Z R IA Z R Z R R⋅ Z Z+R Z R IAn Iкз2 U1 U2 Рис. 3.17 Ze = 26.566 + 8.092i Ee = 194.816 + 59.34i Рис. 3.18 U 1 88 Ee − I ⋅ Ze 1 U 2 −I ⋅ Ze 2 Рис. 3.19 U −I ⋅ ( R + 3⋅ RN) ⋅ ( Z + 3⋅ Rn) 0 R + 3⋅ RN + Z + 3⋅ Rn Ik := 0 Given Ik Ik Ik ( R + 3⋅ RN) ⋅ ( Z + 3⋅ Rn) Ee − ⋅ Ze − ⋅ Ze − ⋅ 3 3 3 R + 3⋅ RN + Z + 3⋅ Rn Ikz := Find( Ik) ⎛ 5.665 −7.29 ⎞ U := Ee − Ikz⋅ Ze 3 ⎝ 5.619 −0.719 ⎠ 1 com( Ikz) = ⎜ Ikz = 5.665 Ikz = 5.619 − 0.719i −Ikz U := ⋅ Ze 2 3 −Ikz ( R + 3⋅ RN) ⋅ ( Z + 3⋅ Rn) U := ⋅ 3 R + 3⋅ RN + Z + 3⋅ Rn Z R IA Iкз1 Е IAn U1 Рис. 3.20 T U = ( −91.414 − 41.757i 143.115 + 50.548i −51.701 − 8.791i) Ea − U U U 1 2 ⎯ →T I := I := − I := − 1 2 R R + 3⋅ RN I = ( 1.34 3.067 1.748) R ( ) Z R U2 ⎛1 1 1 ⎞ ⎜ 2 A := ⎜ 1 a a ⎟ ⎜ 2 ⎝1 a a ⎠ Рис. 3.21 ⎛ Ia ⎞ ⎜ Ib := A ⋅ I ⎜ ⎝ Ic ⎠ 89 Рис. 3.22 ⎛ ⎞ ⎜ Ib = ⎜ 2.689 ⎜ ⎜ ⎝ Ic ⎠ ⎝ 2.131 ⎠ Ia ⎛ 5.568 ⎞ 1 ⎛ arg( Ia) ⋅ ⎜ arg( Ib) ⎞ ⎛ Рис. 3.23 −8.63 = ⎜ 168.73 ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ arg( Ic) ⎠ ⎝ 68.28 ⎠ ⎛ Ina ⎞ ⎛ ⎜ Inb := A ⋅ I_ ⎜ ⎯→ T ⎜ ⎜ I_ = ( 1.031 1.601 0.553) ⎝ Inc ⎠ ⎝ deg ( ) arg ( IrN) IrN := Ia + Ib + Ic arg ( Irn) = 129.41 deg IrN = 4.02 deg U I_ := 1 Z U I_ := 2 ⎛ 0.163 ⎞ Inb = ⎜ 2.689 ⎜ Inc ⎠ ⎝ 2.131 ⎠ Ina = 24.55 90 ⎞ 1 2 Z U I_ := Z + 3⋅ Rn ⎛ arg( Ina) ⎞ ⎛ −134.54⎞ 1 ⎜ ⋅ arg( Inb ) = ⎜ 168.73 ⎜ deg ⎜ ⎝ arg( Inc) ⎠ ⎝ 68.28 ⎠ Irn := Ina + Inb + Inc Irn = 3.092 §3.2. Примеры расчёта несимметричных режимов Поперечная несимметрия (замыкание фазы А на землю) Пример расчета в MathCad E := 220 ω := 100 ⋅π L := 0.3 X := L⋅ω r := 5 LN := 0.032 Zn := j ⋅ω ⋅Ln Ln := 0.016 ZN = 10.053i ZA := r + i⋅X Zn = 5.027i ZN := j ⋅ω ⋅LN ZN EA Za ZA EB Zb ZB EC Zc ZC za := j ⋅X Zn Рис. 3.24 LN⋅ 3 = 0.096 Ln ⋅ 3 = 0.048 Комплексные схемы замещения Пряма последовательность EA Za EЭ ZA ZЭ U1 U1 Рис. 3.25 Обратная последовательность Za ZЭ ZA U2 U2 Рис. 3.26 Нулевая последовательность Za 3ZN Z0 ZA U0 3Z n Рис. 3.27 91 U0 E⋅ ZA ⎛ 110.116 −1.517 ⎞ EЭ := ZA + za com EЭ = ⎜ 110.077 −2.916 ⎝ ⎠ za⋅ ZA ⎛ 47.174 88.483⎞ ZЭ := ZA + za com ZЭ = ⎜ 1.249 47.157 ⎝ ⎠ za + 3⋅ ZN ⋅ ZA + 3⋅ Zn ⎛ 58.238 88.607⎞ Z0 := za + ZN⋅ 3 + ZA + 3⋅ Zn com Z0 = ⎜ 1.416 58.221 ⎝ ⎠ ( ) ( ) ( )( ) ( ) Граничные условия при замыкании одной фазы I0 = Ik I I , I1 = k , I 2 = k 3 3 3 U a = U 0 + U1 + U 2 = 0 Из которых следует (см. схемы замещения ) ⎧U1 = EЭ − I1Z Э ⎪ ⎨U 2 = − I 2 Z Э ⎪U = − I Z 0 0 ⎩ 0 Ik ⎧ ⎪U1 = EЭ − 3 Z Э ⎪ I I I I ⎪ ⎧ → ⎨U 2 = − k Z Э → ⎨ EЭ − k Z Э − k Z Э − k Z 0 = 0 3 3 3 3 ⎩ ⎪ Ik ⎪ ⎪U 0 = − 3 Z 0 ⎩ Ik := 0 Given Ik Ik Ik EЭ − ⋅ZЭ − ⋅ZЭ − ⋅Z0 3 3 3 Ik := Find Ik ( ) ( ) ⎛ com Ik = ⎜ −90.047 ⎞ 2.165 −3 ⎝ −1.792 × 10 −2.165 ⎠ Ik = 2.165 92 Решение с использованием EWB. Рис. 3.28 Рис. 3.29 93 Поперечная несимметрия (замыкание фазы В и С на землю) ZN EA Za ZA EB Zb ZB EC Zc ZC Zn Рис. 3.30 Комплексные схемы замещения Пряма последовательность EA Za EЭ ZA U1 ZЭ U1 Рис. 3.31 Обратная последовательность Za ZЭ ZA U2 U2 Рис. 3.32 Нулевая последовательность Za 3ZN Z0 ZA 3Z n U0 Рис. 3.33 94 U0 Граничные условия при замыкании двух фаз U0 = Uk U U , U1 = k , U 2 = k , I a = I 0 + I1 + I 2 = 0 3 3 3 Из которых следует (см. схемы замещения ) ⎧U1 = EЭ − I1Z Э ⎪ ⎨U 2 = − I 2 Z Э ⎪U = − I Z 0 0 ⎩ 0 UA := 0 Given UA EЭ − 3 ⎧ EЭ − U1 ⎪ I1 = ZЭ ⎪ ⎧ E −Ua / 3 Ua / 3 Ua / 3 U ⎪⎪ → ⎨ I2 = − 2 →⎨ Э − − =0 ZЭ ZЭ ZЭ Z0 ⎩ ⎪ ⎪ U ⎪ I0 = − 0 Z0 ⎪⎩ UA UA 3 3 − − ZЭ ZЭ Z0 UA := Find UA ( ) ⎛ 117.561 −1.482 ⎞ com UA = ⎜ ⎝ 117.522 −3.039 ⎠ ( ) UA = 117.561 Рис. 3.34 95 Рис. 3.35 Продольная несимметрия (обрыв фазы А) EA Za ZA EB ZB EC ZC Рис. 3.36 E := 220 ω := 100⋅ π L := 0.3 X := L⋅ ω r := 5 ZA := r + i⋅ X za := j⋅ X 96 Комплексные схемы замещения Пряма последовательность Обратная последовательность EA U1 U2 ZA ZA Рис. 3. 37 Граничные условия при разрыве одной фазы U1 = Ua U , U2 = a 3 3 U a = I a Z a → U a = ( I1 + I 2 ) Z a Из которых следует (см. схемы замещения ) ⎧ E A − U1 = I1Z A ⎨ ⎩−U 2 = I 2 Z A Given U ⎛ ⎜ E − a Ua 3 3 ⎜ − ⎜ Z Z A ⎝ A Ua := Find Ua ( ) ( ) U ⎧ EA − a ⎪ 3 ⎧ Ua Ua ⎞ ⎛ ⎪ I1 = ⎜ EA − 3 ⎟ ZA ⎪ ⎪⎪ → ⎨ → ⎨U a = Z a ⎜ − 3 ⎟ U ZA ⎟ ⎜ ZA ⎪ ⎪ − a ⎝ ⎠ ⎪I = 3 ⎩⎪ ⎪ 2 ZA ⎩ ⎞ ⎟ ⎠ ⋅za Ua Ua = 131.933 ⎛ 131.933 1.823 ⎞ com Ua = ⎜ ⎝ 131.866 4.197 ⎠ Рис. 3.38 97 Рис. 3.39 Продольная несимметрия (обрыв фаз В и С) ZA EA EB Zb ZB EC Zc ZC Рис. 3.40 Комплексные схемы замещения Пряма последовательность Обратная последовательность EA U1 U2 ZA ZA Рис. 3.41 98 Граничные условия при замыкании двух фаз U B a + U C a 2 za z U1 = = I B a + I C a 2 = a ( 2 I1 − I 2 ) 3 3 3 2 U a + U C a za z U2 = B = I B a 2 + I C a = a ( 2 I 2 − I1 ) 3 3 3 ( ) ( ) Из которых следует (см. схемы замещения ) Za Za ⎧ ⎧ ⎪⎪U1 = 3 (2 I1 − I 2 ) ⎪⎪ E A − I1Z A = 3 (2 I1 − I 2 ) ⎧U1 = E A − I1Z A → ⎨ →⎨ ⎨ U I Z Z = − 2 A ⎩ 2 ⎪U = a (2 I − I ) ⎪− I Z = Z a (2 I − I ) 2 2 1 2 A 2 1 3 3 ⎩⎪ ⎩⎪ I1 := 0 I2 := 0.1 Given za E − I1⋅ ZA −I2⋅ ZA 3 za 3 ⋅ ( 2⋅ I1 − I2) ⋅ ( 2⋅ I2 − I1) ⎛ I1 ⎞ := Find( I1, I2) ⎜ ⎝ I2 ⎠ ⎯⎯⎯ → ⎛ I1 ⎞ ⎛ 1.458 ⎞ =⎜ ⎜ ⎝ I2 ⎠ ⎝ 0.291 ⎠ Ia := I1 + I2 Ia = 1.749 Рис. 3.42 99 Рис. 3.43 100 Лекция № 9 ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ §4.1 Переходные процессы в простейших цепях. Нулевые начальные условия Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного установившегося режима работы электрической цепи к другому, чем-либо отличающемуся от предыдущего, например величиной амплитуды, фазы, частоты или значениями параметров схемы. Коммутация это процесс замыкания и размыкания выключателей. Переходные процессы обычно являются быстропротекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а иногда даже милиарные доли секунд. Сравнительно редко длительность переходных процессов достигает секунд и десятков секунд. Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода электрической системы от одного энергетического состояния к другому, то есть это процесс перераспределения энергии между элементами цепи. Рассмотрим переходный процесс в простейшей цепи с источником напряжения, индуктивностью и сопротивлением, соединёнными последовательно. Рис. 4.1. Схема цепи до и после коммутации Пример: ( E = 100В, R = 100 Ом, L = 0, 4Гн ). Определим ток в цепи. Для этого запишем второй закон Кирхгофа для цепи после коммутации: di R ⋅ i (t ) + L = E . dt Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение i (t ) такого уравнения записывается в виде суммы двух составляющих – общего 101 решения однородного уравнения iо.у (t ) и частного решения неоднородного уравнения iч.н (t ) i (t ) = iо.р (t ) + iч.н (t ) Общее решение однородного уравнения легко найти разделив переменные и осуществляя следующую последовательность действий: di di R di R ⋅ i (t ) + L = 0 → R ⋅ i (t ) = − L → − dt = dt dt L i (t ) R − t R − t ⋅ ln( e) + ln( A) = ln(i ) → iо.р (t ) = A ⋅ e L . L Частное решение неоднородного уравнения – это любое уравнение которое удовлетворяет уравнению, и его легко угадать, посмотрев на уравнение: di R ⋅ i (t ) + L = E , dt и если предположить, что ток постоянный то мы получаем: di E R ⋅ i (t ) + L = E → iч.н = . dt R Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения в виде: R − t Ae L E . R Константу интегрирования A находим из начальных условий. В схеме до коммутации ключ был разомкнут и поэтому ток в цепи отсутствовал. Следовательно, мы можем записать: E E i (0) = A + → A=− . R R Запишем окончательное выражение для тока: R R − t⎞ E − Lt E E ⎛ i (t ) = − e + = ⎜1 − e L ⎟ . ⎟ R R R⎜ ⎝ ⎠ В электротехнике общее решение однородного уравнения iо.у (t ) наi (t ) = iо.р (t ) + iч.н (t ) = + зывают свободной составляющей iсв (t ) = A ⋅ e pt , потому что эта составляющая не зависит от источника энергии – внешнего воздействия. То есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров цепи. Частное решение неоднородного уравнения iч.н (t ) в электротехнике называют принуждённой составляющей iпр (t ) . Она зависит от источни- 102 ка энергии и полностью повторяет его функциональную зависимость от времени с неким коэффициентом пропорциональности. Например, если источник энергии постоянный, то принуждённая составляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидальный вид, то и принуждённая составляющая будет иметь синусоидальный вид. Если обратить внимание на решение то можно заметить, что свободная составляющие быстро затухает из-за наличия отрицательного сомножиR⎞ ⎛ теля в показателе экспоненты iсв (t ) = A ⋅ e pt , ⎜ p = − ⎟ , именно она хаL⎠ ⎝ R называют коррактеризует переходный процесс. Постоянную p = − L нем характеристического уравнения, а обратную её величину 1 L называют постоянной времени, (это время за которое ток τ= = | p| R уменьшается в е = 2.71 раз, е-1 = 0,367) После быстрого затухания свободной составляющей остаётся только принуждённая составляющая это означает, что наступил установившийся процесс – установившийся режим работы цепи. Таким образом, можно сказать, что при установившемся режиме искомая величина (ток или напряжение) равна своей принуждённой составляющей. Например, для нашего примера это можно записать так: E i (t = ∞) = iпр = . R Теперь, решим задачу используя физические соображения. Итак, величина искомого тока будет состоять из суммы двух составляющих свободной и принуждённой, первая из которых быстро затухает и имеет экспоненциальный вид, а вторая повторяет форму внешнего воздействия: i (t ) = iсв (t ) + iпр = Ae pt + iпр . Находим принуждённую составляющую в схеме после коммутации при t = ∞ ,считая, что индуктивность является закороткой E i (t = ∞) = iпр = . R Затем, используя начальные условия, находим константу интегрирования А E E i (0) = A + → A=− . R R Записываем полученное решение i (t ) = iсв (t ) + iпр = Ae pt + iпр . 103 Теперь осталось найти корень характеристического уравнения p . Корень характеристического уравнения находится через входное сопротивление схемы. Если сделать замену p = jω и поставить в выражение для сопротивления схемы то можно получить: R ⋅ Ae pt + Lp ⋅ Ae pt = 0 → R + Lp = 0 = Z ( p ) ; R Z ( ω) = jωL + R = 0 → p = − . L Из которого легко получить корень характеристического уравнения. Приведём графическую зависимость результата R − t⎞ E⎛ iL ( t ) = ⎜ 1 − e L ⎟ . ⎟ R⎜ ⎝ ⎠ Напомним, что напряжение на индуктивности определяется выражениdi (t ) . ем uL (t ) = L dt Взяв производную тока по времени, и умножив на индуктивность, получаем R R − t di (t ) R ⎛ E − Lt ⎞ uL (t ) = L = − L ⎜ − e ⎟ = Ee L . ⎟ dt L⎜ R ⎝ ⎠ E 1.2 1.2 iпр = R 1 1 0.8 ( E iL (t ) = 1 − e pt R 0.6 0.4 0.8 ) U L (t ) = Ee pt 0.6 0.4 0.2 0.2 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Ток индуктивности 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Напряжение индуктивности Рис. 4.2 Запишем последовательность действий для решения задачи на переходный процесс: 1. Записываем решение в виде свободной и принужденной составляющих i (t ) = iсв (t ) + iпр = Ae pt + i (∞ ) или u(t ) = uсв (t ) + uпр = ue pt + u( ∞) . 2. Определяем принужденную составляющую в схеме после коммутации uпр = u ( ∞) или iпр = i ( ∞) 104 3. Определяем корень характеристического уравнения p через входное сопротивление Z ( p ) = 0 , в схеме после коммутации. 4. Определяем константу интегрирования A из начальных условий. Записываем окончательное решение и строим график. Рис. 4.3 В качестве примера рассмотри цепь с конденсатором. Найдём закон изменения напряжения на конденсаторе при его зарядке. 1. Запишем искомое решение в виде двух составляющих, принуждённой и свободной: uC (t ) = uсв (t ) + uпр = Ae pt + uпр . 2.После коммутации при установившемся режиме не будет тока и конденсатор будет заряжен до величины u( ∞) = uпр = E . Следовательно, uC (t ) = uсв (t ) + uпр = Ae pt + Е . 3. Корень характеристического уравнения находим через входное сопротивление в схеме после коммутации 1 1 1 . Z ( p) = +R= +R =0→ p = − jωC pC RC 4. Находим константу интегрирования А из начальных условий. До коммутации ключ был разомкнут, и напряжение на конденсаторе отсутствовало uC (0) = A + Е = 0 → A = − E . 5. Записываем окончательный результат: 1 1 ⎞ ⎛ − t − t RC RC + E = E ⎜1 − e ⎟. uC (t ) = uсв (t ) + uпр = − Ee ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ du (t ) Находим ток, через конденсатор, используя выражение iC (t ) = С C , dt 1 1 E − RC t E − RC t = e . iC (t ) = C e RC R 105 Строим графические зависимости тока и напряжения для конденсатора. 0.4 U пр = E 120 100 0.3 80 ( U С = E 1 − e pt 60 ) 0.2 40 iC (t ) = 0.1 20 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Напряжение на емкости 0.01 0.02 E pt e R 0.03 0.04 0.05 Ток емкости Рис. 4.4 §4.2 Классический метод расчета переходного процесса. Первый и второй законы коммутации. Понятия о зависимых и независимых начальных условиях До сих пор мы рассматривали относительно простые задачи переходного процесса с независимыми начальными условиями – это задачи на определения тока переходного процесса через индуктивность и напряжения переходного процесса на ёмкости. Задачи определения тока переходного процесса через сопротивление или через источник напряжения решаются сложнее. Для понимания сложных переходных процессов очень важно понимать, что такое зависимые и независимые начальные условия. Начнем рассмотрения этих понятий с первого и второго законов коммутации. В электрической цепи, не может быть мгновенного изменения накопленной в электрических и магнитных полях энергии W (0− ) = W (0+ ) = W (0) . Так как энергия электрического поля конденсатора и энергия магнитного поля индуктивной катушки равны соответственно u 2C i2 L , WC = , WL = 2 2 это означает, что в момент коммутации остаются неизменными напряжения на обкладках конденсатора и токи в индуктивных катушках. Для перераспределения энергии требуется время – это процесс инерционный, не мгновенный. Поэтому существуют два закона коммутации. 106 0.06 Первый закон (правило) коммутации – ток через индуктивность непосредственно до коммутации iL (0−) равен току через индуктивность после коммутации iL (0+ ) : iL (0−) = iL (0+ ) = iL (0) . (*) Второй закон (правило) коммутации – напряжение на ёмкости непосредственно до коммутации uC (0− ) равно напряжению на ёмкости после коммутации uC (0+ ) : uC (0−) = uC (0+ ) = uC (0) . (**) Это есть независимые начальные условия. Независимыми они называются потому, что независимо от того до или после коммутации мы их наблюдаем, они всё равно одинаковы и равны, и поэтому знаки – и + в выражениях (*) и (**) опускают. Важно помнить, что независимые начальные условия определяются в схеме до коммутации. Таким образом, существует только два независимых начальных условия – это напряжение на конденсаторе и ток через индуктивность. Иначе дело обстоит с зависимыми начальными условиями, например с током через ёмкость или с током через источник напряжения: iC (0−) = iC (0+ ), iE (0−) = iE (0+ ) . или с напряжением на индуктивности или на источнике тока: uL (0−) = uL (0+ ), uJ (0−) = uJ (0+ ) . Зависимые начальные условия могут изменятся скачком непосредственно до и после коммутации. То есть их значения «зависят» от того наблюдаем мы их до или после коммутации. Зависимые начальные условия определяются в схеме после коммутации. (При этом в послекоммутационной схеме ёмкость заменяется на источник напряжения равный величине uC (0) и направленный против ёмкостного тока, а индуктивность заменяется на источник тока равный iL (0) и направлен он по индуктивному току). Запишем последовательность действий для определения зависимых начальных условий: 1. Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации – ток через индуктивность iL (0) и напряжения на конденсаторе uC (0) . 2. Заменяем в схеме после коммутации индуктивность – L , источником тока равным значению iL (0) , а емкость – C источником напряжения равным значению uC (0) . Далее находим интересующие нас зависимые начальные условия. 107 Теперь можно приступить к решению примеров с зависимыми и независимыми начальными условиями. R R R C E Пример: Определить независимые uC (0) и зависимые начальные условия iE (0+ ), iC (0+ ) для заданной схемы, если заданы величины: E = 50 В, R = 10Ом, C = 60мкФ . Рис. 4.5 Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутации: E uC (0) = = 25В . 2 Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом ёмкость на источник напряжения: E − uC (0) E − E / 2 = = iE (0+ ) = R R E 50 = = = 2,5A. 2 R 20 Рис. 4.6 iC (0+ ) = iE (0+ ) − Рис. 4.7 uC (0) E = iE (0+ ) − = 2,5 − 5 = −2,5A . R/2 R Пример: Определить зависимые uJ (0+ ), uL (0+ ) и независимые iL (0) начальные условия для заданной схемы: J = 2 A, R = 10Ом, L = 0,1Гн . Определяем независимые начальные условия в схеме до коммутаJ ции: iL (0) = = 1A . 2 Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации заменяем при этом заменяем индуктивность на источник тока равный iL (0) = J / 2 = 1А . 108 u j (0+ ) = JR + uL (0+ ) = J R = 2 ⋅ 10 + 1 ⋅ 5 = 25В 2 2 J J R R− = 1 ⋅ 10 − 1 ⋅ 5 = 5В 2 2 2 Рис. 4.8 Примеры расчета в Mathcad Независимые начальные условия Рис. 4.9 Пример-1. Дано : R1 := 10 R2 := 20 −6 L := 0.2 E := 20 C := 60⋅ 10 Ищем решения в виде: iсв( t) + iпр i( t) A⋅e p⋅t + iпр 1) iпр определяет принуждённую составляющую в схеме после коммутации : iпр := E iпр = 2 R1 2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации : i( −0) i( 0) A + iпр A := −iпр A = −2 3) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации : Z R1 + p ⋅ L 0 p := − R1 L p = −50 4) Записываем окончательное решение и строим график i(t) : i( t) := A ⋅ e p⋅t + iпр τ := 1 p τ = 0.02 t := 0 , τ⋅ 0.5.. 4⋅ τ 109 t = i( t) = 0.01 0.787 0.02 1.264 0.03 1.554 0.04 1.729 0.05 1.836 0.06 1.9 0.07 1.94 0.08 1.963 i( t) := − E R1 ⋅e p⋅t + E R1 2 1.5 i( t ) 1 0.5 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.06 0.07 0.08 t Рис. 4.10 4) Определяем напряжение на индуктивности U(t) : d u ( t) := L⋅ i( t) u ( t) dt t = u ( t) = 20 0.01 12.13 0.02 7.36 0.03 4.46 0.04 2.71 0.05 1.64 0.06 1 0.07 0.6 0.08 0.37 u ( t) := −E⋅ e p⋅ A⋅ e p⋅t −R1 L ⋅ L⋅ E R1 ⋅e p⋅t −E⋅ e p⋅t p⋅t 5 u( t ) 0.01 0.02 0.03 0.04 10 15 20 t Рис. 4.11 110 0.05 Пример-2. Рис. 4.12: Ищем решения в виде: uсв ( t) + uпр u ( t) A⋅e p⋅t + uпр 1) iпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации : uпр = 20 uпр := E uпр := E 2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации : u ( −0) u ( 0) A + uпр A := −uпр A = −20 3) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации : Z R1 + 1 0 p := − p⋅ C 1 3 p = −1.667 × 10 R1⋅ C 4) Записываем окончательное решение и строим график i(t) : u ( t) := A ⋅ e p⋅t u ( t) := −E⋅ e + uпр p⋅t τ := 1 −4 τ = 6 × 10 p t := 0 , τ⋅ 0.5.. 4⋅ τ +E 20 15 u( t ) 10 5 3 .10 4 6 .10 4 9 .10 4 0.0012 0.0015 0.0018 t Рис. 4.13 111 0.0021 0.0024 t = u ( t) = 0.0003 7.869 0.0006 12.642 0.0009 15.537 0.0012 17.293 0.0015 18.358 0.0018 19.004 0.0021 19.396 0.0024 19.634 4) Определяем напряжение на индуктивности U(t): −5 C = 6 × 10 i( t) := t = d i( t) := C⋅ u ( t ) i( t) dt p⋅t −1 C⋅ R1 ⋅ C⋅ E⋅ e p⋅t −E p ⋅ t ⋅e R1 −E p ⋅ t ⋅e R1 i( t) = -2 0.0003 -1.213 0.0006 -0.736 0.0009 -0.446 0.0012 -0.271 0.0015 -0.164 0.0018 -0.1 0.0021 -0.06 0.0024 -0.037 0.5 0 i( t ) C⋅ p ⋅ A ⋅ e 3 .10 4 6 .10 4 9 .10 4 0.0012 0.0015 0.0018 1 1.5 2 t Рис. 4.14 112 0.0021 0.0024 Рис. 4.15 Пример-3. Ищем решения в виде: iсв( t) + iпр i( t) A⋅e p⋅t + iпр 1) iпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации: iпр := E R1 + R2 iпр = 0.667 2) из ННУ определяет константу интегрирования A в схеме до коммутации: i( −0) i( 0) E ⋅ 1 A+ R1 2 R2 + E R1 + R2 E A := R2 + 2 ⋅ 1 R1 2 − iпр A = −0.267 2 3) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление схеме после коммутации: Z R1 + R2 + p ⋅ L R1 + R2 + x⋅ L solve , x → −150 p := − 150 4) Записываем окончательное решение и строим график i(t): i( t) := A ⋅ e p⋅t + iпр τ := 1 p −3 τ = 6.667 × 10 t := 0 , τ⋅ 0.5.. 4⋅ τ t = i( t) = 0.4 0.0033 0.505 0.0067 0.569 0.01 0.607 0.0133 0.631 0.0167 0.645 0.02 0.653 0.0233 0.659 0.0267 0.662 113 0.7 0.6 0.5 i( t ) 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0033 0.0067 0.01 0.0133 0.0167 0.02 0.0233 0.0267 t Рис. 4.16 4) Определяем напряжение на индуктивности U(t): d u ( t) := L⋅ i( t) dt t = i( t) = 0.4 0.0033 0.505 0.0067 0.569 0.01 0.607 0.0133 0.631 0.0167 0.645 0.02 0.653 0.0233 0.659 0.0267 0.662 8 6 u( t ) 4 2 0.0033 0.0067 0.01 0.0133 0.0167 0.02 0.0233 0.0267 t Рис. 4.17 Зависимые и независимые начальные условия Рис. 1.18: Пример- 4. Дано : R1 := 10 R2 := 20 L := 0.2 E := 20 C := 60 ⋅ 10 − 6 Ищем решения в виде: i( t) iсв( t) + iпр A⋅e p⋅t + iпр 1) iпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации: 114 Рис. 4.19 E iпр := R2 + R1 iпр = 0.8 2 2) определяет ННУ в схеме до коммутации: iL( − 0) iL( 0) 3) определяет ЗНУ в схеме после коммутации (Рис. 4.19): E i( 0 + ) E io := R1 + R2 R1 + R2 A := −iпр + io A = −0.133 io = 0.667 4) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации: R1 ⋅ R2 Z R1 + R2 + p⋅L 1 R1⋅ R2 p := − ⋅ L R1 + R2 p = −33.333 R1⋅ R2 R1 + R2 = 6.667 5) Записываем окончательное решение и строим график i(t): i( t) := A ⋅ e t = p⋅t 1 + iпр τ := p i( t) := − i( t) = 0.667 0.015 0.719 0.03 0.751 0.045 0.77 0.06 0.782 0.075 0.789 0.09 0.793 0.105 0.796 0.12 0.798 τ = 0.03 t := 0 , τ⋅ 0.5.. 4⋅ τ E R1 ⋅e p⋅t + E R1 2 1.5 i( t ) 1 0.5 0.015 0.03 0.045 0.06 t Рис. 4.20 115 0.075 0.09 0.11 0.12 Рис. 4.21 Зависимые и независимые начальные условия Пример-5. Дано : R := 20 L := 0.2 J := 2 Рис- 6 Ищем решения в виде: Uсв( t) + iпр U( t ) A⋅e p⋅t + Uпр 1) Uпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации 2) (рис. 4.22): Рис. 4.22 Uпр := J⋅ R 2 Uпр = 20 2) Определяет ННУ в схеме до коммутации (рис. 4.23): R R J⋅ ⋅ ⎛⎜ + R⎞ 2 ⎝2 ⎠ iL( 0) −1 R R io := J⋅ ⋅ ⎛⎜ + R⎞ 2 ⎝2 ⎠ −1 Рис. 4.23 Рис. 4.24 3) Определяет ЗНУ в схеме после коммутации (рис. 4.24): U( 0) R⋅ ( J − iL( 0) ) Uo := R⋅ ( J − io) Uo = 26.667 A := −Uпр + Uo A = 6.667 4) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации (рис. 4.22): Z R 2 + R 2 + R + p⋅L 0 p := − 2⋅ R L p = −200 116 R1⋅ R2 R1 + R2 = 6.667 5) Записываем окончательное решение и строим график i(t): U( t) := A ⋅ e t = p⋅t 1 + Uпр τ := p τ = 0.005 t := 0 , τ⋅ 0.5.. 4⋅ τ U( t ) = 26.67 0.0025 24.04 0.005 22.45 0.0075 21.49 0.01 20.9 0.0125 20.55 0.015 20.33 0.0175 20.2 0.02 20.12 27 18 U( t ) 9 0.0025 0.005 0.0075 0.01 0.0125 0.015 0.0175 0.02 t Рис. 4.25 Рис. 4.26: Зависимые и независимые начальные условия Пример- 6. Дано : R := 20 −6 C := 40⋅ 10 J := 2 Ищем решения в виде: U( t ) Uсв( t) + iпр A⋅e p⋅t + Uпр 1) Uпр определяет принуждённую составляющую схеме после коммутации (рис. 4.27): Рис. 4.27: 117 Uпр := J ⋅ R⋅ 3 Uпр = 120 2) определяет ННУ в схеме до коммутации (рис. 4. 28): J⋅ R Uc( 0) Uco := J⋅ R Рис. 4.28 Рис. 4.29 Рис. 4.30 3) определяет ЗНУ в схеме после коммутации (рис. 4.29 и 4.30): Uco⋅ 2⋅ R 2⋅ R U( 0) J⋅ ( Re + R) + Ee 3 3⋅ R Uo := J⋅ ( Re + R) + Ee Uo = 93.333 A := −Uпр + Uo A = −26.667 Ee := Re := 4) Корень характеристического уравнения через входное сопротивление в схеме после коммутации: 2⋅ R + R + Z 1 p⋅C p := − 1 3⋅ R⋅ C p = −416.667 5) Записываем окончательное решение и строим график i(t): τ := 1 −3 τ = 2.4 × 10 p t = U( t) := A ⋅ e U( t ) = 26.67 0.0012 25.24 0.0024 24.13 0.0036 23.25 0.0048 22.55 0.006 22.01 0.0072 21.58 0.0084 21.24 0.0096 20.98 t := 0 , τ⋅ 0.5.. 4⋅ τ p⋅t + Uпр 120 100 80 U ( t ) 60 40 20 0.0012 0.0024 0.0036 0.0048 t Рис. 4.31 118 0.006 0.0072 0.0084 0.0096 Лекция № 10 §4.3 Метод расчета переходных процессов в цепи переменный тока Для расчета переходный процессов в цепи переменного тока используют символический метод Пример: Определить ток источника напряжения если: R1 = 20 Ом, R 2 = 10 Ом, L = 0, 2 Гн, e(t ) = 20sin(ωt − 60o )В, f = 50 Гц, ω = 2 πf = 313рад/с. Рис. 4.32 Решение: Находим индуктивное сопротивление и комплекс напряжения X L = ωL = 62,8Ом, E = 20e − j 60 В. o Ищем решение в виде i (t ) = iсв (t ) + iпр (t ) = Ae pt + i (t ) . 1. Определяем принужденную составляющую в цепи после коммутации, используя символический метод Рис. 4.33 I пр = E / ( R1 + R2 + jX L ) = −0,163 − j 0, 237 = 0, 287e − j124,466 A . Определяем мгновенное значение принужденного тока iпр (t ) = 0, 287sin( ωt − 124, 466o )A, iпр (0) = −0, 237A . 2. Определяем корень характеристического уравнения R + R2 Z ( p ) = R1 + R2 + pL = 0 → p = − 1 = −150c-1 . L 3. Определяем независимые начальные условия, iL (0) используя символический метод. 119 R ( R + jX L ) ⎞ ⎛ I e = E ⎜ R2 + 1 1 ⎟, 2 R1 + jX L ⎠ ⎝ R1 I L0 = I e = −0,118 − j 0,156 A, iL (0) = 2 R1 + jX L Рис. 4.34 = −0,156A. 4. Определяем зависимые начальные условия в схеме после коммутации, заменяя индуктивность L источником тока равным iL (0) . ie (0+ ) = iL (0) = −0,156A Рис. 4.35 5. Определяем константу интегрирования A ie (0+ ) = A + iпр (0) → A = ie (0+ ) − iпр (0) = 0,081A . Записываем решение и строим график. i (t ) = iсв (t ) + iпр (t ) = Ae pt + iпр (t ) = 0,081e −150t + 0, 287sin(ωt − 124, 466o )A . 6. Строим зависимость в пределах одного периода 120 0.3 0.2 0.1 i( t ) A⋅ e p ⋅t 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02 0.1 0.2 0.3 t t= i(t) = -0.156 0.001 -0.206 0.002 -0.227 0.003 -0.219 0.004 -0.183 0.005 -0.124 0.006 -0.049 0.007 0.036 0.008 0.12 0.009 0.196 0.01001 0.255 0.01101 0.291 0.01201 0.3 0.01301 0.282 0.01401 0.237 0.01501 0.171 Рис. 4.36 121 §4.4 Переходные процессы в цепи второго порядка Рассмотрим цепь второго порядка представленную на рис. 4.37 с параметрами: E = 50B, R = 10Ом, L = 0.1Гн, С = 40мкФ. Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений: Рис. 4.37 di du uL + uC + i ⋅ R = E → L + R ⋅ i + uC = E , i = C ; dt dt (1) d 2u du LC ⋅ 2 + RC ⋅ + u = E. dt dt Решение данного уравнения будем искать в виде суммы двух составляющих: uC (t ) = uсв + uпр = A1 ⋅ exp( p1t ) + A2 ⋅ exp( p2 t ) + E . (2) Первое слагаемое это uсв = A1 ⋅ exp( p1t ) + A2 ⋅ exp( p2t ) свободная составляющая. Она зависит только от параметров схемы, а также от начальных и конечных запасов энергии. Эта составляющая решения не зависит от формы воздействующего напряжения. Второе слагаемое это uпр = uC ( ∞ ) принуждённая составляющая. Она зависит от внешнего воздействия и имеет форму этого воздействия. Очевидно, что в нашем случае она определяется как uпр = uC ( ∞) = E . Постоянные интегрирования определяются из начальных условий, отражающих невозможность мгновенного изменения начальных запасов энергии в конденсаторе и в катушке. Для определения констант интегрирования используем независимые начальные условия uC (0) = 0, iL (0) = 0 . ⎧uC (0) = 0 = A1 + A2 + E ; ⎪ (3) ⎨ du i (0) = i (0 + ) = C = = C A p + A p . ( ) 1 1 2 2 L C ⎪⎩ dt Откуда следует, что 122 − p2 E p1E , A2 = . (4) p2 − p1 p2 − p1 Теперь можно записать окончательное решение − p2 E pE E uC (t ) = ⋅ exp( p1t ) + 1 ⋅ exp( p2t ) + E = − p2 e p t + p1e p t + E. p2 − p1 p2 − p1 p2 − p1 A1 = ( 1 2 ) Определим корни характеристического уравнения входящие в решение uC (t ) p1 , p2 через входное сопротивление схемы. 1 CL ⋅ p 2 + RC ⋅ p + 1 pL + +R= = 0 → CL ⋅ p 2 + RC ⋅ p + 1 = 0 . (5) Cp Cp В результате решения уравнения получаются корни: 2 −b ± D − RC ± ( RC ) − 4 LC R 1 ⎛ R ⎞ = = =− ± ⎜ ⎟ − = (6) 2a 2CL 2L ⎝ 2 L ⎠ LC 2 p1,2 = −δ ± δ2 − ω02 . R 1 – угловая часто– показатель затухания контура, ω0 = Где δ = 2L LC та незатухающих колебаний, при выполнении условия ω02 > δ2 имеем 2 1 ⎛ R ⎞ jωсв = j − ⎜ ⎟ = j ω02 − δ2 . LC ⎝ 2 L ⎠ Здесь ωсв – частота свободных колебаний, Корни уравнения определяются параметрами цепи и могут принимать следующие возможные значения (рис. 4.38). • Дискриминант равен нулю. Кони вещественные, отрицательные и R кратные. Критический режим p1,2 = −δ = − 2L −δt uC (t ) = E (1 + δt ) e + E . • Дискриминант положительный. Корни вещественные отрицательные и неравные. Апериодический режим p1,2 = −δ ± δ2 − ω02 ; uC (t ) = E 2 δ 2 − ω02 (p e 123 1 p2 t ) − p2 e p t + E . 1 • Дискриминант отрицательный. Корни комплексно-сопряжённые, с отрицательной вещественной частью. Колебательный режим p1,2 = − δ ± j ω02 − δ2 = −δ ± jωсв . ⎛ ⎞ δ uC (t ) = Ee −δt ⎜ cos( ωсв t ) + sin(ωсв t ) ⎟ + E . ωсв ⎝ ⎠ Рис. 4.38. Расположение корней на комплексной плоскости. Примеры определения корней характеристического уравнения в Mathcad −6 R := 10 C := 60⋅ 10 p := ( R + L⋅ p ) ⋅ 2⋅ R ( R + L⋅ p ) ⋅ 2⋅ R R + L⋅ p + 2⋅ R R := 20 P := P= + 1 + R + L⋅ p + 2⋅ R L := 0.2 C⋅ p +R C⋅ p −6 R + L⋅ P + R + ⎛ −456.23413613605701002⎞ ⎜ ⎝ −182.65475275283187886⎠ 2 1 C := 100⋅ 10 ( R + L⋅ P) ⋅ R + R solve , p → 1 C⋅ P ⎛ −275 − 156.125i⎞ ⎜ ⎝ −275 + 156.125i⎠ 2 5⋅ R ⋅ C⋅ p + 3⋅ R⋅ C⋅ p ⋅ L + 3⋅ R + L⋅ p ( 3⋅ R + L⋅ p ) ⋅ C⋅ p ⎛ −456.234⎞ ⎝ −182.655⎠ p=⎜ L := 0.1 + R solve , P → ( R + L⋅ P) ⋅ R R + L⋅ P + R + ⋅ i⎤ ⎡( −275.) − 156.12494995995995515 ⎢ ⎥ ⋅ i⎦ ⎣( −275.) + 156.12494995995995515 1 C⋅ P 2 +R 124 2 3⋅ R ⋅ C⋅ P + 2⋅ R⋅ C⋅ P ⋅ L + 2⋅ R + L⋅ P ( 2⋅ R + L⋅ P) ⋅ C⋅ P Примеры определения корней характеристического уравнения и зависимых и независимых начальных условий Пример: Определить независимые iL (0), U C (0) и зависимые начальные условия U L (0+ ), iC (0+ ) . Определить корень характеристического уравнения. Рис. 4.39 Рис. 4.40 Решение: 1. 1.Определяем независимые начальные условия iL (0), U C (0) . 1 E E E iL (0) = = , U C (0) = iL (0) R = . 2 2 R + R 5R 5 2 2. Определяем зависимые начальные условия U L (0+ ), iC (0+ ) из схемы после коммутации (см. документ Маthcad). 3. Определяем корень характеристического уравнения из схемы после коммутации (см. документ Маthcad). Документ Маthcad ORIGIN:= 1 Определить напряжение на конденсаторе. E := 100 R := 10 L := 0.1 C := 50 ⋅ 10 L R R E − 6 R C R E Uпр := 3 Z( p ) := 2⋅ R⋅ ( L⋅ p + R) 3⋅ R + L⋅ p + R+ 1 C⋅ p Корни характеристического уравнения solve , p ⎡( −416.67) − 162.45i ⋅⎤ ⎛ −416.67 − 162.45i⎞ p := Z( p ) →⎢ p=⎜ ⎥ float , 5 ⎣( −416.67) + 162.45i⋅ ⎦ ⎝ −416.67 + 162.45i⎠ 125 Независимые начальные условия E iLo := 2⋅ R E UC0 := 2 Зависимые начальные условия iL(0) R R E R UC(0) R Рис. 4.42 iLo = 5 UC0 = 50 iR0 := E − UC0 + iLo⋅ R 3⋅ R iC0 := iR0 − iLo Постоянные интегрирования U −U ⎛ A 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ − 1 ⎛⎜ C0 пр ⎞ ⎛ A 1 ⎞ ⎛ 8.333 − 81.221i⎞ ⎜ := ⎜ ⋅⎜ =⎜ iC0 ⎟ ⎜⎜ p p ⎜ A2 8.333 + 81.221i⎠ A 1 2 ⎠ ⎜ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ C ⎝ ⎠ p 1⋅ t ⎞ ⎛ ω = 162.45 Uпр = 33.333 ω := Im( p ) U( t) := 2⋅ Re A ⋅ e + Uпр 1 ⎝ 1 ⎠ T := 2⋅ π ω t := 0 , 0.0001.. 0.05 50 U( t ) 40 30 p ⋅t⎞ ⎛ 1 Re⎝ A1⋅ e ⎠ 20 U пр 10 10 0.01 0.02 0.03 t Рис. 4.43 126 0.04 0.05 Проверка расчётов в среде EWB Рис. 4.44 Определить ток индуктивности. E := 100 R := 60 −6 L := 0.1 C := 50⋅ 10 R R E R C L Рис. 4.45 127 R E R UC(0) iL(0) E iпр := R p := Z( p1) iпр = 1.667 Z( p ) := R⋅ L⋅ p Рис. 4.46 + R+ 1 R + L⋅ p C⋅ p solve , p1 ⎡( −233.33) − 213.44i ⋅⎤ ⎛ −233.33 − 213.44i ⎞ →⎢ p=⎜ ⎥ float , 5 ⎣( −233.33) + 213.44⋅ i⎦ ⎝ −233.33 + 213.44i⎠ E UC0 := iLo = 0.833 UC0 = 50 2 E iLo := 2⋅ R UC0 + iLo⋅ R iR0 := UL0 := E − iR0⋅ R 2⋅ R ⎛i − i ⎞ ⎛ A 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ − 1 ⎜ Lo пр ⎜ := ⎜ ⋅ ⎜ UL0 ⎟ p p ⎜A 1 2 ⎝ ⎠ ⎜ ⎝ 2⎠ ⎝ L ⎠ i( t) := A ⋅ e p 1⋅ t 1 + A ⋅e 2 −3 τ = 3.031 × 10 p 2⋅ t + iпр ⎛ A 1 ⎞ ⎛ −0.417 + 0.716i⎞ ⎜ =⎜ ⎜A −0.417 − 0.716i ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ τ := 1 Re( p ) t := 0 , 0.01⋅ τ .. τ⋅ 10 2 1.6 i( t ) 1.2 iпр 0.8 0.4 0.0061 0.0121 0.0182 t Рис. 4.47 128 0.0242 0.0303 Рис. 4.48 129 §4.5 Операторный метод расчёта переходных процессов Операторный метод (преобразование Лапласа) расчета переходных процессов используется для того, чтобы обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами (в пространстве оригиналов) преобразовать в алгебраические (в пространстве изображений). Очевидно, что алгебраические уравнения решаются проще. После решения алгебраического уравнения над полученной функцией (изображением) производится обратное преобразование Лапласа, получается оригинал. Полученный оригинал – это функция, которая и будет решением дифференциального уравнения. Любой функции можно сопоставить её преобразование Лапласа ∞ F ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt , (7) здесь F ( p ) – изображение, f (t ) – оригинал. Выражение (7) записывают ещё и в операторной форме F ( p ) = L [ f (t ) ] . Приведём изображение нескольких часто встречающихся функций. Определим изображение константы – f (t ) = A ( const ) : ∞ F ( p) = A ∫ e − pt e − pt dt = − p ∞ = A . p Найдем изображение экспоненциальной функции – f (t ) = eαt : e − ( p −α )t ∞ 1 F ( p ) = ∫ e e dt = − = . p p − α − α Изображение экспоненциальной функции поможет нам найти изображения синусоидальной косинусной функций– sin( ωt ), cos( ωt ) . Для этого запишем эти функции через формулу Эйлера. Далее осуществляем следующую цепочку преобразований: ∞ αt − pt ⎧ e jωt − e − jωt 1 ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ p + jω − p + jω ⎞ ω = → − = = 2 sin( t ) ; ω ⎪ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 2 2 2j 2 j ⎝ p − jω p + jω ⎠ 2 j ⎝ p +ω ⎪ ⎠ p +ω ⎨ jωt − jωt 1⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎛ p + jω + p − jω ⎞ p ⎪cos(ωt ) = e + e → + = ⎜ = 2 . ⎜ ⎟ ⎟ 2 2 2 ⎪ − + + + ω ω ω ω 2 2 p j p j 2 p p ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎩ Определим изображение производной df (t ) функции f (t ) , имеющей dt изображение F ( p ) ∞ ∞ df (t ) − pt − pt − pt ∫ dt e dt = ∫ e df (t ) = f (t )e ∞ 130 ∞ + p ∫ f (t )e − pt dt = − f (0) + pF ( p ) . t И, наконец, определим изображение интегрального выражения ∫ f (t )dt t ⎛ ⎞ − pt ⎞ 1 ⎛ − pt ∫0 ⎜⎝ ∫0 f (t ')dt ' ⎟⎠ e dt = − p ∫0 ⎜⎝ ∫0 f (t ')dt ' ⎟⎠ d ( e ) = ∞ ∞ t t e − pt ∫ f (t ')dt ' t ∞ p + ∫ f (t )e p − pt dt = F ( p) . p Таблица преобразований Лапласа f (t ) -оригинал F ( p) изображение 1 1 p αt e 1 ( p − α) 1 ( p + α) e −αt sin( ωt ) ( p (p cos( ωt ) df (t ) dt t ∫ f (t )dt ) +ω ) ω p 2 − ω2 2 2 − f (0) + pF ( p ) F ( p) p Вернёмся теперь к переходным процессам. Итак, мы будем сопоставлять каждой функции его изображение. Например i (t ) → I ( p ), u(t ) → U ( p ) . С учётом полученной таблицы можно сопоставить каждому элементу его изображение: uL (t ) = L di (t ) → L ( pI ( p ) − iL (0) ) = pL ⋅ I ( p ) − Li (0); dt uC (t ) = u (0) + 1t u(0) I C ( p ) i (t )dt → ; + ∫ C0 p pC E ; p J J→ . p Заметим, что для того, что бы построить изображение схемы, нужны независимые начальные условия uC (0), iL (0) . После того как построена 131 E→ схема изображений, в пространстве изображений находятся желаемые токи и напряжения с использованием известных методов расчета (МКирхгофа, МУП, МКТ и т.д.). Для перехода от изображения к оригиналу (к временной зависимости) необходимо использовать теорему разложения: n M(p ) M ( p) k I ( p) = → i (t ) = ∑ e p ⋅t , N ( p) k =1 N '( pk ) где pk – корни уравнения N ( p ) = 0 . M ( p) M (0) n M ( pk ) U ( p) = e p ⋅t , → u(t ) = +∑ p ⋅ N ( p) N (0) k =1 pk ⋅ N '( pk ) где pk – корни уравнения N ( p ) = 0 . Пример: Определить ток источника напряжения если E = 50В, R = 10Ом, L = 0, 4Гн . k k 1. 2. Рис. 4.49 Определим независимые начальные условия iL (0) iL (0) = E / R = 50 /10 = 5 A . Изображаем операторную схему замещения после коммутации и находим изображение тока Рис. 4.50 I ( p) = E / p + iL (0) L E + iL (0) Lp M ( p ) = = , p ( 2 R + Lp ) pN ( p ) 2 R + Lp где: M ( p ) = E + iL (0) Lp = 50 + 2 p, N ( p ) = ( 2 R + Lp ) = 20 + 0, 4 p . Находим корень знаменателя и его производную N ( p ) = 20 + 0,4 p = 0 → p = −2 R / L = −20 / 0,4 = −50 c −1 , 132 N '( p ) = L = 0, 4 . Для определения оригинала i (t ) используем теорему разложения 3. M ( p) M (0) M ( p ) p⋅t 50 50 − 100 −50⋅t e = e → i (t ) = + + = p ⋅ N ( p) N (0) p ⋅ N '( p ) 20 −50 ⋅ 0, 4 I ( p) = = 2,5 + 2,5e −50⋅t A. • Переходные процессы в электрических цепях при воздействии импульсного напряжения. (Метод пространства состояний) • Интегрирующие и дифференцирующие цепи (дифференцирование и интегрирование как операции фильтрации сигналов). Частотные характеристики • Интеграл Дюамеля - аналитический метод расчета переходных процессов при импульсном воздействии R U(t) C Рис. 4.51 s := s 100 T := 1 ⋅ 0.8 f( t) := 1 if 0 ≤ t ≤ T⋅ s F( t) := if( t ≤ T , f( t) , F( t − T) ) 0 otherwise t := 0 , 0.001⋅ T .. 4⋅ T 1.25 1 F( t) 0.75 0.5 0.25 0.5 1 1.5 2 2.5 t Рис. 4.52 R := 100 D( t , x) := −6 C := 700⋅ 10 −1 R⋅ C ⋅x + F( t ) R⋅ C p := − 2 1 R⋅ C N := 10 ⋅ 4 L := 0.125 i := 0 .. N 1 p = 0.07 D1( t , x) := 133 −R L ⋅x + F( t ) L 3 3.5 4 〈0〉 x := rkfixed( 0 , 0 , T⋅ 4 , N , D) t := x 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 Рис. 4.53 T := 1 f( t) := 4⋅ t − 1 if 0 ≤ t ≤ T⋅ 0.5 E( t) := if( t ≤ T , f( t) , E( t − T) ) t := 0 , 0.01⋅ T .. 3⋅ T 3 − t⋅ 4 otherwise 1 0.5 1 2 0.5 1 Рис. 4.54 L := 1 −6 R := 3 C := 2000⋅ 10 N := 500 i := 0 .. N 134 3 4 1 0.5 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0.5 1 T := 1 t := 0 , 0.01⋅ T .. 3⋅ T Рис. 4.55 E( t) := sin ( t⋅ 2⋅ π) + sin ( 10⋅ t⋅ 2⋅ π) ⋅ 0.2 −6 L := 1 R := 3 C := 1000⋅ 10 1.2 0.8 0.4 1 2 0.4 0.8 1.2 Рис. 4.56 Рис. 4.57 135 3 4 Reference:C:\Documents and Settings\Yusup\Рабочий стол\Аним_\Анимации\Уч_Пособ.xmcd −6 RC := 10 C := 100⋅ 10 com( z) := c c c c 0, 0 0, 1 1, 0 1, 1 ← z ← arg( z) L := 0.02 RL := 100 1 1 W C( p ) := ⋅ 1 C⋅ p RC + C⋅ p W L( jω) 1 j ⋅ ω⋅ C 1 ⋅ RC + deg ← Re( z) ← Im( z) c ωo := 10 R U(t) C Рис. 4.58 1 0.8 AC( ω) 0.6 AC( ωo) 0.4 0.2 10 2507.5 5005 7502.5 4 1 .10 ω , ωo 10 2507.5 5005 7502.5 4 1 .10 φC( ω) φC( ωo) 45 90 ω , ωo ωo = 400 com( a) = ⎛ 0.928 −21.801⎞ Рис. 4.59 ⎜ ⎝ 0.862 −0.345 ⎠ 136 1 j ⋅ ω⋅ C 0.25 0.25 0.5 0.75 1 Q( ω ) Im( v) 0.25 Q( ωo) Q( ωo) 0.5 zy 0.75 P( ω ) , Re( v) , P( ωo) , zx , P( ωo) Рис. 4.60 f := 50 ω := 2⋅ π⋅ f ω = 314.159 ( ) T := ( 2⋅ π ω t := 0 , 0.01⋅ T .. 2⋅ T ) ( ) ( E( t) := 2⋅ sin t⋅ ω − 90⋅ deg + 0.2⋅ sin ω ⋅ 2⋅ t + 30⋅ deg + 0.3⋅ sin ω ⋅ 4⋅ t + 45⋅ deg + 0.5⋅ sin ω ⋅ 7⋅ t − 60⋅ deg 3 2.5 1.5 2 E( t) 0.01 0.02 0.03 0.04 1 0.5 3 60 30 30 60 90 0 1 2 3 4 5 6 7 8 i 90 i 1.5 1.5 t φ Fi 012345678 i 137 ) 0.25 0.25 0.5 0.75 1 Q( ω ) ( ) Im( v2) 0.25 ( ) Im( v7) 0.5 Im v1 Im v4 0.75 ( ) ( ) ( ) ( ) P( ω ) , Re v1 , Re v2 , Re v4 , Re v7 Рис. 4.61 ⎛ 0.954 −17.441⎞ com a = ⎛ 0.847 −32.142⎞ com a = ⎛ 0.623 −51.488⎞ com a1 = ⎜ 2 ⎜ 0.717 −0.45 4 ⎜ 0.388 −0.487 ⎝ 0.91 −0.286 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0.414 −65.547 ⎛ ⎞ coma7 = ⎜ 0.171 −0.377 ( ) ( ) ( ) ⎝ ( ⎠ ( ) ( )) ( ( )) E1( t ) := 2⋅ a1 ⋅ sin t ⋅ ω − 90⋅ deg + arg a1 + 0.2⋅ a2 ⋅ sin ω ⋅ 2⋅ t + 30⋅ deg + arg a2 ... + 0.3⋅ a4 ⋅ sin ω ⋅ 4⋅ t + 45⋅ deg + arg a4 + 0.1⋅ a7 ⋅ sin ω ⋅ 7⋅ t − 60⋅ deg + arg a7 ( ( )) ( ( )) 3 1.5 E( t ) E1( t ) 0.01 0.02 1.5 3 t Рис. 4.62 138 0.03 0.04 Лекция № 11 §4.6 Интеграл Дюамеля Прежде всего, уместно ввести понятие переходная функция. Переходная функция i (t ) это отклик системы на единичное воздейстg (t ) U(t) вие. При известной переходной функции g (t ) для заданной схемы можно найти ток в цепи Рис. 4.63 i (t ) = g (t )U 0 Здесь U 0 постоянное внешнее воздействие. Для того чтобы Определить ток при произвольном внешнем воздействии U (t ) , разобьем функцию U (t ) на прямоугольники как показано на рисунке 4.64. Полный ток в момент t получаем, используя метод наложения. Просуммируем все частичные токи от отдельных скачков и прибавим их к току u(0) g (t ) : i (t ) = u (0) g (t ) + ∑ u′( τ) g (t − τ) ∆τ Число членов суммы равно числу ступенек напряжения. Очевидно, что ступенчатая кривая тем лучше заменяет плавную кривую, чем больше число ступенек. С этой целью заменим конечный интервал времени ∆τ на бесконечно малый d τ и перейдем от суммы к интеграРис. 4.64 лу: t i (t ) = u(0) g (t ) + ∫ u′( τ) g (t − τ)d τ , или t i (t ) = u(t ) g (0) + ∫ u( τ) g ′(t − τ)d τ 139 Пример: R1⋅ R2 R1 + R2 p := − 1200 + R1 + L⋅ x solve , x → −1200 500 400 U( t ) Uo := 200 300 200 1 τ := p −4 τ = 8.333 × 10 100 Uo⋅ ⎛⎜ 1 + U( t ) := 4.16667 .10 4 4 8.33333 .10 ⎝ 0.00125 t ⎞ if t ≤ t1 t1 ⎠ 0 otherwise t R1 = 200 R2 = 50 L = 0.2 t := 0 , .001 ⋅ τ .. τ ⋅ 1.5 ie( 0 + ) R2 = 50 1 A := R1 + R2 1 R1 + R2 1 − R1 R2 + 1 A = −0.003 R2 + 2 R1 = 0.007 2 L = 0.2 Находим переходную проводимость i(t): g ( t ) := 0.03⋅ e p⋅t 1 + −4 τ = 8.333 × 10 R1 R2 + 2 Находим ток на первом интервале i(t) 0 < t < τ : t i( t ) ⌠ d g ( t) ⋅ U( 0) + ⎮ g ( t − τ) ⋅ U( τ) dτ ⎮ dτ ⌡ t ⌠ i1( t) := g ( t) ⋅ U( 0) + ⎮ g ( t − τ) ⋅ Ud( τ) dτ ⌡ i1( z) float , 4 → ( −6.00) ⋅ e i1( t) := −6.00⋅ e N := 50 ( − 1200.) ⋅ t k := 0 .. N ( − 1200.) ⋅ z + 13.33 + 3200.⋅ z + 13.33 + 3200.⋅ t ∆t := t1 N t := ∆t⋅ k k ( k) I := i t k 140 −4 τ = 8.333 × 10 R1 = 200 12 9 6 3 1.39 2.78 4.17 5.56 6.94 8.33 9.72 11.11 12.5 Находим ток на втором интервале i(t) t1 < t < ∞ : τ ⌠ i2( t) := g ( t) ⋅ U( 0) + ⎮ g ( t − τ1) ⋅ Ud( τ1) dτ1 − 2 g ( t − τ) ⋅ U( 0) ⌡ i2( z) float , 4 → ( −6.00) ⋅ e i2( t) := e i( t) := ( − 1200.) ⋅ t ( − 1200.) ⋅ z ⋅ ⎡⎣( −6.00) + 12.⋅ e − .1e-18 + 12.⋅ e .5000 − 12.00⋅ e ( − 1200.) ⋅ z + .5000 1.⎤ ⎦ i2( t) := −18.834⋅ e i1( t) if 0 ≤ t ≤ t1 i2( t) otherwise Io( to k) 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 to k 141 − 12.00⋅ e ( − 1200.) ⋅ z + 1. ( − 1200.) ⋅ t §6.1.1. Переходная характеристика (или переходная функция) Дельта функция Дирака δ( x − x0 ) и θ( x − x0 ) -ступенчатая функция Хевисайда Свойство дельта функции Дирака: ∞ ⎧∞ при t = t0 δ(t − t0 ) = ⎨ , ∫ δ(t − t0 ) f (t )dt = f (t0 ). ⎩0 при t ≠ t0 −∞ Рис. 4.65 Свойство функция Хевисайда: ⎧0 при t ≤ t0 ; θ(t − t0 ) = ⎨ → θ′(t ) = δ(t ) , ⎩1 при t > t0 . ∞ ∫ δ( x − x0 )dx = θ( x − x0 ) . −∞ Рис. 4.66 Преобразование Лапласа этих функций 1 L [ δ(t )] = 1, L [ θ(t )] = . p Переходная функция h(t) – это закон изменения во времени выходной величины при изменении входной величины в виде единичной ступенчатой функции (отклик (реакция звена) системы на единичное воздействие). Единичная ступенчатая функция описывается следующим образом ⎧0 при t < 0; θ(t ) = ⎨ ⎩1 при t ≥ 0. Рис. 4.67 142 Решение дифференциального уравнения с единичной θ (t ) правой частью, есть переходная функция dx (t ) + x (t ) = θ(t ) → решением уравнения является h(t ) , dt тогда при произвольном воздействии f (t ) имеем: dx (t ) + x (t ) = f (t ) → решением уравнения является функция: dt t x (t ) = h(t ) f (0) + ∫ h′( τ) f (t − τ)d τ. При нулевых начальных условиях: t x (t ) = ∫ h′( τ) f (t − τ)d τ . Решение дифференциального уравнения с импульсной δ (t ) правой частью, есть функция Грина функция или весовая функция: dx (t ) + x (t ) = δ(t ) → решением уравнения является w(t ) , dt тогда при произвольном воздействии f (t ) имеем: dx (t ) + x (t ) = f (t ) → решением уравнения является dt t x (t ) = h(t ) f (0) + ∫ w( τ) f (t − τ)d τ. При нулевых начальных условиях: t x ( t ) = ∫ w( τ ) f ( t − τ ) d τ . §6.1.2. Импульсная переходная функции (весовая функция-функция Грина) Связь между передаточной функцией и переходной функцией можно найти, используя следующие соотношения: 143 δ(t ) = θ′(t ) → w(t ) = h′(t ); t t θ(t ) = ∫ δ(t )dt → h(t ) = ∫ w(t )dt , где функция Грина w(t )-это отклик-реакция системы на δ (t ) воздействие переходная функция h(t )-это отклик-реакция системы на θ (t ) воздействие Напомню, что преобразование Лапласа: ⎡t ⎤ F ( p) , L [ f ′(t )] → pF ( p ) . L [ f (t )] = F ( p ) L ⎢ ∫ f (t )dt ⎥ → p ⎣⎢ 0 ⎦⎥ Следовательно, изображение переходной функции 1 h( p ) = ⋅ W ( p ) . p (11) Пример 1: Дано дифференциальное уравнение d 2x dx dy (t ) dx (0) dy (0) 5 2 + 4 + 3x = y (t ) + 2 , x (0) = y (0) = 0, = = 0. dt dt dt dt dt Определим передаточную функцию дифференциального уравнения. 1. Запишем уравнение в операторной форме: 5 p 2 X + 4 pX + 3 X = Y + 2 pY → 5 p 2 + 4 p + 3 X = (1 + 2 p ) Y . ( 2. Находим передаточную функцию: W ( p ) = ) (1 + 2 p ) (5 p 2 + 4p +3 ) Пример 2: Дано дифференциальное .уравнение d 2x dx dx (0) 0,1 2 + 10 + 100 x = f (t ), x (0) = 0, = 0. dt dt dt Определим передаточную функцию дифференциального уравнения и w(t)-функцию Грина (весовую функцию). 2 2 Z( p ) := 0.1⋅ p + 10⋅ p + 10 1 W ( p ) := Z( p ) 144 . 1 w1( t) := 2 2 invlaplace , p ( − 50.) ⋅ t → .2582⋅ e ⋅ sinh ( 38.73⋅ t) float , 4 0.1⋅ p + 10⋅ p + 10 ⎛ −88.729833462074168852⎞ p := Z( p ) solve , p → ⎜ ⎝ −11.270166537925831148⎠ z( p ) := d Z( p ) dp w( t) := 1 ( 1) zp ⋅e p 1⋅ t 1 + ( 0) zp ⋅e p 0⋅ t τ := 1 p 1 w( t) float , 4 → .1291⋅ e ( − 11.27) ⋅ t − .1291⋅ e ( − 88.73) ⋅ t t := 0 , 0.01.. 4⋅ τ 0.083 0.062 w1( t ) w( t ) 0.042 0.021 0.088 0.18 0.26 0.35 t h1( t) := z( p ) := 1 (0.1⋅x2 + 10⋅x + 102)⋅x invlaplace , x ( − 50.) ⋅ t ( − 50.) ⋅ t → .1000e-1 − .1000e-1e ⋅ ⋅ cosh ( 38.73⋅ t) − .1291e-1e ⋅ ⋅ sinh ( 38.73⋅ t) float , 4 p 1⋅ t p 0⋅ t 1 1 1 d Z( p ) h ( t) := + ⋅e + ⋅e Z( 0) p ⋅z p p ⋅z p dp 1 1 ( ) h ( t1) float , 2 → .10e-1 − .11e-1⋅ e ( ) ( − 11.) ⋅ t1 + .15e-2⋅ e ( − 89.) ⋅ t1 t := 0 , 0.01.. 4⋅ τ Определим h(t) переходную функцию дифф. ур-я 0.0098 0.0073 h1( t ) h( t ) 0.0049 0.0024 0.088 0.18 0.26 0.35 t Делаем проверку w(t) = h'(t) 145 0.083 d dt h1( t ) 0.062 0.042 w( t ) 0.021 0.088 0.18 0.26 0.35 t Рассчитать переходный процесс при внешнем воздействии f(t)=20sin(ωt) ω := 20 f( t) := 20⋅ sin ( ω⋅ t) t ⌠ Fo( t) := ⎮ w( t − τ) ⋅ f( τ) dτ ⌡ 0.1⋅ 2 2 d x( t) + 10⋅ x( t) + 10 ⋅ x t d dt d 2 x ⎛ ⎞ 1 ⎜ D( t , x) := ⎜ 2 ⎟ −10 10 f( t) ⎜ ⋅x − ⋅x + ⎝ 0.1 1 0.1 0 0.1 ⎠ f( t) N := 100 ⎡⎛ 0 ⎞ , 0, 5⋅ τ , N , D⎤ i := 0 .. N t := x〈0〉 ⎥ ⎣⎝ 0 ⎠ ⎦ x := rkfixed⎢⎜ 0.12 Fo( t i) 0.065 ( x〈1〉 ) i 0.01 0.11 0.22 0.33 0.44 0.045 0.1 ti §4.7 Метод пространство состояний Из всех известных методов расчета переходных процессов наиболее физическим является метод пространства состояний. Этот метод позволяет одновременно получать все интересующие нас величины токов и напряжений. Переменные состояния представляют собой систему наименьшего числа независимых величин необходимых для полного определения поведения динамической системы. Переменные состояния это токи индуктивностей и напряжения емкостей, именно они определяют состояние системы. В математической форме уравнения состояний для сложной цепи имеют вид: 146 dx ( t ) = A ⋅ x (t ) + B ⋅ F(t ), D( x, t ) = A ⋅ x + B ⋅ F(t ) . (10) dt x(t ) – вектор состояния (размерность n); A – матрица состояния (размерность nЧn ); B ⋅ F(t ) – вектор столбец (размерность n); D(x, t ) – расширенная матрица. Сначала рассмотрим составления уравнения состояния на простейших цепях первого порядка Определим напряжение на конденсаторе после коммутации. Вектором состояния является Рис. 4.68 напряжение на емкости. Запишем второй закон Кирхгофа. dU C U C + RC = e( t ) . dt dU C Перепишем это уравнение относительно производной dt dU C U dU C e( t ) =− C + → = A ⋅ U C + B(t ) = D (U C , t ) dt RC RC dt такой вид уравнения называется нормальным. Таким образом, дифференциальное уравнение, разрешенное относительно производной называется нормальным. Рис. 4.69 Рассмотрим еще один пример. Определим ток через индуктивность. В данном случае вектором состояния является ток через индуктивность. Составляем уравнение по второму закону Кирхгофа. di iL R + L L = e ( t ) . dt 147 Разрешаем это уравнение относительно производной и получаем уравнение в нормальной форме diL R e( t ) di = − iL + → L = A ⋅ iL + B ( t ) = D ( iL , t ) . dt L L dt Рассмотрим пример для цепи второго порядка. Вектором состояния являются переменные xT (t ) = {iL (t ),U C (t )} . Записываем уравнения по второму закону Кирхгофа, в результате получаем систему дифференциальных уравнений: R E C L Рис. 4.70 di uL + uC + i ⋅ R = E → L L + R ⋅ iL + uC = E , dt du iC = iL → C = iL . dt Разрешим эту систему относительно производных, то есть запишем в нормальном виде R 1 E ⎧ diL i u , = − ⋅ − + L C ⎪⎪ dt L L L ⎨ ⎪ du = 1 iL . ⎪⎩ dt C Выпишем матрицу состояния: ⎛ R 1 ⎞ ⎛E⎞ ⎜− L − L ⎟ ⎛ iL ⎞ ⎜ A=⎜ ⎟ , B = L ⎟ , D( x, t ) = A ⋅ x + B, x = ⎜ ⎟ . ⎜ ⎟ ⎝ uC ⎠ ⎜⎜ 1 0 ⎟⎟ ⎝0 ⎠ ⎝ C ⎠ Что бы проверить правильность составление матрицы состояния, нам нужно проверит ее собственные числа 148 1 ⎞ ⎛ R − − λ − ⎜ L 1 ⎞ L ⎟ ⎛R A − I⋅λ = 0 → ⎜ = 0; ⎟ = ⎜ + λ⎟λ + L LC ⎝ ⎠ ⎜⎜ 1 ⎟ 0−λ ⎟ ⎝ C ⎠ R 1 λ2 + λ + = 0. L LC Если все сделано правильно, то это уравнение совпадает с уравнением входного сопротивления схемы 1 R 1 + Lp + R = 0 → p 2CL + pCR + 1 = 0 → p 2 + p + =0 . Cp C CL Проверим столбцевую матрицу −1 1 ⎞ ⎛ R − −λ − ⎛E⎞ ⎛E⎞ ⎜ ⎛ 0 C ⎞⎜ ⎟ ⎛0 ⎞ L L ⎟ ⎜ ⎟ −1 −A B = ⎜ L = −⎜ ⎟ ⎟⎜ L ⎟ = ⎜ E ⎟ . ⎜ ⎟ 1 − − L RC ⎝ ⎠ 0 ⎝ ⎠ ⎜⎜ 0 − λ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ C ⎠ Результат должен дать принужденные составляющие напряжения на конденсаторе и ток через индуктивность Рассмотрим числовой пример: R = 10 Ом, L = 0,1Гн, C = 60мкФ, E = 50В . L L R R E R C R R R E C R Рис. 4.71 Given L UL + iL⋅ R + ( iL − iC) ⋅ R ( iL − iC) ⋅ R E R E Uc + iC⋅ R R ⎡ −3 ⋅ iL⋅ R − 1 ⋅ Uc + E⎤ ⎢2 ⎥ 2 Find( UL, iC) → ⎢ ⎥ ⎢ −1 ⋅ ( −iL) ⋅ R + Uc ⎥ R ⎣ 2 ⎦ −6 R := 50 L := 0.1 C := 60⋅ 10 R C R L R E E := 50 R 149 R C ⎛ ⎜ a := ⎜ ⎜ ⎝ −3 R ⋅ 2 L 1 2⋅ C −1 2⋅ L − 1 2⋅ R⋅ C ⎞ ⎟ ⎠ ⎛E⎞ −666.667⎞ ⎛ λ := eigenvals ( a) λ = ⎜ b := ⎜ L ⎜ ⎝ −250 ⎠ ⎝0⎠ solve p , ( p ⋅ L + R) ⋅ R 1 ⎛ −666.667⎞ − a− 1⋅ b = ⎛ 0.5 ⎞ p := + R+ →⎜ ⎜ 2⋅ R + p ⋅ L C⋅ p float , 6 ⎝ −250. ⎠ ⎝ 25 ⎠ ( iLo := xo = E R + R⋅ 2 ) iLo = 0.333 Uco := iLo⋅ R Uco = 16.667 T := 6 ( 1) −Re p ⎛ iLo ⎞ ⎝ Uco ⎠ xo := ⎜ ⎛ 0.333 ⎞ D( t , x) := a⋅ x + b N := 102 i := 0 .. N ⎜ ⎝ 16.667⎠ x := rkfixed( xo, 0 , T , N , D) 0.6 0.5 〈1〉 0.4 x i 0.3 0.5 0.2 ( ) 0.1 0.004 0.008 0.012 〈0〉 x i ( ) 0.016 0.02 0.024 30 25 〈2〉 20 x i 15 25 10 ( ) 5 0.004 0.008 0.012 〈0〉 x ( )i 0.016 0.02 0.024 В качестве примера составим уравнение состояние для схемы приведенной на рисунке 4.72. Рис. 4.72 150 Пример 1. Определить ток iL (t ) индуктивности и напряжения uC1 (t ), uC 2 (t ) на ёмкостных элементах после включения ЭДС, если Е = 100 В, R1 = 20 Ом, R2 = 100 Ом, C1 = 20мкФ, C2 = 60мкФ, L = 0,01Гн. Решение. Для составления уравнения состояний эффективно использовать решающие функции программно-интегрирующей среды MathCAD, такие как Given и Find. Запишем уравнения, связывающие токи iC1 (t ), iC 2 (t ) и напряжение uL (t ) с напряжениями на ёмкостях и током индуктивности. Для этого используются первый и второй законы Кирхгофа. В нашем примере матрицы x(t ), A и B ⋅ F( x ) будут равны uC1 (t ) E ⎧ duC1 (t ) = − − + ( ) (1 − узел); C i t 1 L ⎪ dt R2 R2 ⎪ u (t ) ⎪ duC 2 (t ) (2 − узел); = − C 2 + iL ( t ) ⎨ C2 dt R 2 ⎪ ⎪ diL (t ) = uC1 (t ) + uC 2 (t ) − iL (t ) R1 (сред. контур). ⎪L dt ⎩ 1 1 ⎞ ⎛ − − ⎛ E ⎞ ⎜ RC ⎟ C ⎜R C ⎟ 2 1 1 ⎟ ⎜ ⎛ uC1 (t ) ⎞ 2 1⎟ ⎜ 1 1 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ x(t ) = ⎜ uC 2 (t ) ⎟ , A = ⎜ 0 − ⎟ , BF = ⎜ 0 ⎟ . R C C ⎜ 0 ⎟ 2 2 2 ⎜ i (t ) ⎟ ⎜ ⎟ ⎝L ⎠ ⎜ ⎟ 1 R1 ⎟ ⎜ 1 ⎜ ⎟ − − ⎝ ⎠ ⎜ ⎟ L L ⎠ ⎝ L После подстановки числовых значений получаем: ⎛ −500 ⎞ − 5 ⋅ 104 ⎜ ⎟ A = ⎜ 0 − 166,667 1,667 ⋅ 104 ⎟ , ⎜ ⎟ 3 ⎜ 100 − 100 ⎟ 2 10 − ⋅ ⎝ ⎠ ⎛ 5 ⋅ 104 ⎞ ⎜ ⎟ BF = ⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ После определения матриц A и BF необходимо проверить правильность составления уравнения состояний. Это можно сделать, определив корни характеристического уравнения через сопротивление схемы: 151 1 1 R2 C1 p C2 p Z ( p) = + Lp + R1 + = 0. 1 1 R2 + R2 + C1 p C2 p R2 Корни характеристического уравнения p1 , p2 , p3 должны полностью совпасть с собственными числами λ1 , λ 2 , λ 3 матрицы состояния A, det( A − λ ⋅ 1) = 0 . Затем следует проверить принуждённые составляющие решений. В схеме после коммутации их легко найти, в нашем случае они определяются соотношениями: ⎛ E ⋅ ( R2 + R1 ) ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ uC1пр ⎞ ⎜ 2 R2 + R1 ⎟ ⎛ 54,545 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ E ⋅ R2 ⎟ ⎜ ⎟ x пр (t ) = ⎜ uC 2 пр ⎟ = ⎜ ⎟ = ⎜ 45, 455 ⎟ ⎜i ⎟ ⎜ 2 R2 + R1 ⎟ ⎜ 0, 455 ⎟ ⎠ ⎝ Lпр ⎠ ⎜ ⎟ ⎝ E ⎜ ⎟ ⎝ 2 R2 + R1 ⎠ С помощью матричных соотношений их легко проверить: ⎛ 54,545 ⎞ x пр (t ) = − A −1 ⋅ BF = ⎜ 45, 455 ⎟ . ⎜ ⎟ ⎜ 0, 455 ⎟ ⎝ ⎠ Таким образом, мы убедились, что система уравнений состояния составлена правильно. 152 Документ Mathcad Аналитический метод решения переходных процессов методом переменных состояния Находим матрицу состояния A, используя операции Given и Find. Составляем уравнения относительно переменных состояния Uс1, Uc2 и iL . Given iL ic2 + Uc2 R2 iL⋅ R1 + UL − Uc1 + Uc2 E ( iL + ic1) ⋅ R2 + Uc1 ⎛ E − iL⋅ R2 − Uc1 ⎞ ⎜ R2 ⎜ ⎟ Find( ic1, ic2, UL) → ⎜ iL⋅ R2 − Uc2 ⎟ ⎜ ⎟ R2 ⎜ ⎝ −iL⋅ R1 + Uc1 − Uc2 ⎠ Дано: C2 := 60⋅ 10 −6 L := 0.01 R2 := 100 R1 := 20 −6 C1 := 20⋅ 10 E := 100 Записываем матрицу переменных состояния A и матрицу столбец правых частей BF, где B - матрица связи (размерности n x n), F-матрица столбец (размерности n x 1). Внимание!!! Произведение матриц BF здесь обозначено как B! 1 ⎞ ⎛− 1 − ⎜ R2⋅ C1 C1 ⎜ ⎟ 1 1 ⎟ ⎜ − A := ⎜ R2⋅ C2 C2 ⎟ ⎜ 1 −R1 ⎟ 1 − ⎜ L ⎠ L ⎝ L 4 ⎛ 5 × 10 ⎞ ⎜ B=⎜ 0 ⎟ ⎜ 0 ⎝ ⎠ 4 ⎛ −500 ⎛⎜ E ⎞ −5 × 10 ⎞ ⎜ C1⋅ R2 ⎟ A = ⎜ 0 −166.667 1.667 × 104 ⎟ B := ⎜ ⎜ 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎜ 0 −2 × 10 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 100 −100 153 Определяем собственные числа матрицы состояния A => λ ⎛ −1210.96 + 2454.41i⎞ λ = ⎜ −1210.96 − 2454.41i λ := eigenvals ( A ) ⎜ −244.75 ⎝ ⎠ Для проверки определяем корни характеристического уравнения через импеданс схемы Z(p) R2⋅ p := R2 + 1 R2⋅ C1⋅ p + L⋅ p + R1 + 1 C1⋅ p 1 C2⋅ p R2 + 1 solve , p → float , 6 C2⋅ p ⎛ −1210.96 − 2454.41i⋅ ⎞ ⎜ −1210.96 + 2454.41i⋅ ⎜ −244.752 ⎝ ⎠ Для проверки определяем принуждённые составляющие E iLпр := R1 + R2 + R2 uC1 = 54.545 ( ) uC1 := iLпр⋅ R1 + R2 −A uC2 = 45.455 iLпр = 0.455 uC2 := iLпр ⋅R2 ⎛ 54.545⎞ ⋅ B = ⎜ 45.455 ⎜ ⎝ 0.455 ⎠ −1 Теперь обращаемся к одной из стандартных процедур решения системы дифференциальных. уравнений D( t , x) := A ⋅ x + B 1 τ := ⎯⎯⎯⎯ → max( Re( λ) ) Расширенная матрица τ = 0.0041 ⎤ ⎡⎛ 0 ⎞ ⎢ ⎜ ⎥ y := rkfixed 0 , 0 , T , N , D Метод Рунге Кутта ⎢⎜ ⎥ ⎣⎝ 0 ⎠ ⎦ 60 50 y 〈1〉 40 30 20 10 0.0041 0.0082 0.0123 0.0163 0.0204 0.0245 t 154 T := 6⋅ τ t := y 〈0〉 50 40 y 〈2〉 30 20 10 0.0041 0.0082 0.0123 0.0163 0.0204 0.0245 t 1 0.8 y 〈3〉 0.6 0.4 0.2 0.0041 0.0082 0.0123 0.0163 0.0204 0.0245 t Given UL + iL⋅ R + ⎛⎜ iL + ⎝ UL + iL⋅ R ⎞ 9⋅ R 19 Find( UL) → ⋅E − ⋅ iL⋅ R 10 10 9 ⎠ ⋅R R E E(t) α = 380 E( t) := Uo⋅ e 9 E( t) ⋅ L B( t) := 10 3 N := 10 T := A := R L Uo := 100 R := 10 L := 0.1 R⋅ 9⋅ R p := + R + L⋅ p solve , p → −190 10⋅ R α := 2⋅ p i(t) − α ⋅t −19 R D( t , x) := A ⋅ x + B( t) ⋅ 10 L 4 p 〈0〉 y := rkfixed( 0 , 0 , T , N , D) t := y 1 9 ⎞ B = −4.737 A := −B B := ⋅ Uo⋅ ⎛⎜ 19 10 ⎜ R⋅ − L⋅ α ⎝ 10 ⎠ 155 9R 1.25 y 〈1〉 1 0.75 0.5 i( t ) 0.25 0.0053 0.0105 0.0158 0.0211 t Given UL + iL⋅ R⋅ 2 R Uc + ic⋅ R ( iL + ic) ⋅ R + ( UL + iL⋅ R⋅ 2) L ORIGIN:= 1 C E 2R E ⎛ −5 ⋅ iL⋅ R + 1 ⋅ E + 1 ⋅ Uc ⎞ ⎜ 2 2 2 Find( UL, ic) → ⎜ ⎟ ⎜ −1 ⋅ iL⋅ R − E + Uc R ⎝ 2 ⎠ R R := 25 −6 C := 100⋅ 10 L := 0.1 E := 100 R L C E 2R R 1 ⎛ − 5⋅ R ⎞ ⎛ ⎜ 2⋅ L 2⋅ L ⎛ −625 5 ⎞ B := ⎜ A := ⎜ ⎟ A=⎜ ⎜ ⎝ −5000 −200 ⎠ ⎜− 1 − 1 ⎜ ⎝ 2⋅ C 2⋅ R⋅ C ⎠ ⎝ ⎛ −554.473⎞ ⎝ −270.527⎠ λ := eigenvals ( A ) λ = ⎜ solve , p → float , 6 p := z( p ) iLpr := T := E 3⋅ R 10 ⎞ ⎛ 500 ⎞ ⎟ B=⎜ 1 E ⎝ 20000⎠ ⋅ 2 R⋅ C ⎠ 1 + R⎞ ( L⋅ p + 2⋅ R) ⋅ ⎛⎜ C ⋅ p ⎝ ⎠ z( p ) := R + L⋅ p + 2⋅ R + ⎛ −554.473⎞ −1 ⎛ 1.333 ⎞ −A ⋅ B = ⎜ ⎜ ⎝ −270.527⎠ ⎝ 66.667⎠ iLpr = 1.333 ( ) −Re λ1 1 E ⋅ 2 L Ucpr := iLpr⋅ R⋅ 2 Ucpr = 66.667 2 D( t , x) := A ⋅ x + B N := 10 i := 1 .. N ⎡⎛ 0 ⎞ , 0, T , N , D⎤ t := x〈1〉 ⎥ ⎣⎝ 0 ⎠ ⎦ x := rkfixed⎢⎜ 156 1 C⋅ p +R 50 〈3〉 x i 1 〈2〉 x i ( ) ( ) 0.01 0.02 ti 0.01 0.02 ti РГР №3. РАСЧЁТ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ Цепь I-го порядка Рассчитать ток источника ЭДС ie (t ) и напряжение на источнике тока U J (t ) : 1) при постоянном источнике e(t ) = E или i (t ) = I ( E = U 0 , I = I 0 = 6 A) классическим и операторным методом и построить временной график; 2) при гармоническом источнике e(t ) = Em sin( ωt + ψ) или i (t ) = I m sin( ωt + ψ) ( Em = U 0 , I = I 0 = 6 A) классическим методом; 3) операторным методом и с помощью интеграла Дюамеля при экспоненциальном воздействии e(t ) = U 0 e −αt или i (t ) = I 0e −αt , где α = 2 / τ = 2 ⋅ p1 , τ = 1/ p1 - постоянная времени; 4) с помощью интеграла Дюамеля в буквенном виде при импульсном воздействии ⎧U 0 (1 + t / t1 ), t ≤ t1 ⎧ J 0 (1 + t / t1 ), t ≤ t1 e( t ) = ⎨ или i (t ) = ⎨ t > t1 t > t1 ⎩0, ⎩0, t где t1 = 0,5τ, τ – постоянная времени цепи. Построить качественный график ie(t) или Ui(t) для времени 0 ÷ 4t1. Предварительно привести подобные в аналитических выражениях. 157 t1 Цепь II-го порядка При постоянном воздействии E = Uo: 5) Классическим методом определить ток iL, и напряжение на конденсаторе UC; Определить iL(t) - студентам с фамилиями на А – Л и UC(t) - с фамилиями на М – Я. Построить графические зависимости iL (t ) , или U C (t ) .. 6) Методом переменных состояния определить ток индуктивности и напряжение на емкости iL (t ) , U C (t ) , напряжение на индуктивности U L (t ) и ток емкости iC (t ) . Построить графические зависимости iL (t ) , U C (t ) , U L (t ) , iC (t ) . 7) Подтвердить расчеты пунктов 1,2, 6, 7 проделав работу на ElectronicsWorkbench ПРИМЕЧАНИЕ. На схемах показано положение ключей до коммутации. Таблица 1 № п/п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Uo,B 120 240 125 150 180 200 210 230 250 260 Ψ, град 90 180 -90 -90 -90 30 30 -30 -30 R, Ом 20 24 25 30 36 40 42 46 50 52 № п/п ω, с-1 L, Гн C, мкФ 1 100 0,5 500 2 200 0,25 250 3 400 0,2 200 4 400 0,1 100 5 500 0,08 80 158 6 500 0,16 160 7 800 0,05 50 Таблица 2 8 9 125 250 50 0,6 0,3 0,4 160 80 400 Схемы цепей I-го порядка 1 2R R 2 R R R L e(t) i(t) 3R e(t) 8R R L R L 4 3 R e(t) 7R R 2R R R i(t) 8R 2R L 5 L 6 R R 7 R R 4R R R R i(t) e(t) С 8 8R R R С С R 9 R 2R R e(t) i(t) 8R R 3R 2R i(t) 8R R С С 159 Схемы цепей II-го порядка 2 1 R R Е R С R R С Е L L R 3 R R R L 4 R L С С R Е Е R Е 5 R 6 С R R R L R R 7 R 8 R R R С R Е С С Е L Е R L 9 R L L R Е R L R С R С 160 R Е R Лекция № 12 ЛИНИИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ Электрическими линиями с распределенными параметрами называются такие линии, в которых для одного и того же момента времени ток и напряжение непрерывно изменяются при переходе от одной точки (сечения) линии к другой соседней точке. Эффект непрерывного изменения тока и напряжения вдоль линии имеет место вследствие того, что линии обладают распределенными продольными и поперечными сопротивлениями. r0 dx L0 dx i g0 dx C 0 dx r0 dx L0 dx u g0 dx i+ C0 dx i dx r0 dx x u+ L0 dx u dx x di x dx Рис. 5.1 На рисунке 5.1 изображен участок линии с распределенными параметрами, через dx обозначен бесконечно малый элемент длины линии. В результате утечки через поперечные сопротивления токи на соседних участках линии неодинаковы. Вследствие этого и падение напряжения на соседних поперечных сопротивлениях разделенных участком dx тоже отличаются. В электрических линиях с распределенными параметрами продольные сопротивления образованны активными сопротивлениями проводов линии и индуктивностями двух противостоящих друг другу участков линии длиной dx . Поперечные сопротивления состоят из сопротивлений утечки, появляющейся вследствие несовершенства изоляции между проводами линии, и емкостей, образованных противостоящими друг другу элементами (участками) линии. Линию с распределенными параметрами называют однородной, если равны друг другу все продольные сопротивления участков линии одинаковой длины, и если равны друг другу все поперечные сопротивления участков линии одинаковой длины. 161 Линию с распределенными параметрами называют неоднородной, если продольные сопротивления в ней различны и поперечные сопротивления неодинаковы. Когда говорят о линии с распределенными параметрами, то обычно этот термин мысленно связывают с мощными линиями передач электрической энергии на большие расстояния, с телефонными телеграфными воздушными и кабельными линиями, с антеннами в радиотехнике и другими родственными линиями и установками. Пусть r0 – продольное активное сопротивление единицы длины линии; L0 – индуктивность единицы длинны линии; C0 – емкость единицы длины линии; g0 –поперечная проводимость единицы длины линии (она не является обратной величиной продольного сопротивления r0 ); Разобьем линию на участки длиной dx (см. рис. 5.2), x – расстояние, отсчитываемое от начала линии. На длине dx активное сопротивление рано r0 dx , индуктивность – L0 dx , проводимость утечки – g0 dx и емкость – C0 dx . Рис. 5.2 И ток, и напряжение являются в общем случае функциями расстояния вдоль линии x и времени t . Обойдем, выделенный участок линии по контуру и запишем для него второй закон Кирхгофа - сумма падений напряжения для замкнутого контура равняется нулю: ∂i ∂u −u + r0 dx ⋅ i + L0dx + u + dx = 0 . ∂t ∂x Сократив на u и поделив на dx получаем выражение: ∂u ∂i − = r0 ⋅ i + L0 . ∂x ∂t 162 Запишем первый закон Кирхгофа для выделенного узла –1: ∂i (1) i = di + i + dx ∂x Ток di равен сумме токов, проходящих через проводимость g0 dx и емкость C0 dx : ∂u ⎞ ∂ ∂u ⎞ ⎛ ⎛ di = ⎜ u + dx ⎟ g0dx + C0 dx ⎜ u + dx ⎟ . ∂x ⎠ ∂t ∂x ⎠ ⎝ ⎝ Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости, получим ∂u (2) di = u ⋅ g0dx + C0 dx ∂t Подставляя (2) в (1) и поделив на dx , после упрощения получаем − ∂i ∂u . = g0 ⋅ u + C0 ∂x ∂t Таким образом, получаем систему дифференциальных уравнений в частных производных, которые в математической физике называются телеграфными уравнениями: ∂i ⎧ ∂u − = r ⋅ i + L ⎪⎪ ∂x ∂t (2а) ⎨ ∂ ∂ i u ⎪ − = g0 ⋅ u + C0 ⎩⎪ ∂x ∂t Чтобы решить эти уравнения, воспользуемся символическим методом Введем изображения токов и напряжений i ( x, t ) → I ( x )e jωt , u( x, t ) → U ( x )e jωt . (3) Здесь – I ( x ) и U ( x ) комплексные величины тока и напряжения соответственно. Очевидно, что в этом случае мы можем получить следующие соотношения dU ( x ) ∂u → e jωt ; ∂x dx ∂i d L0 → L0 I ( x ) e jωt = jωL0 I ( x )e jωt ; dx ∂t d I ( x) ∂i → e jωt ; ∂x dx ∂u C0 → jωC0U ( x )e jωt . ∂t 163 Подставив все выше полученные выражения в телеграфные уравнения, и сократив на множитель e jωt , получим ⎧ dU ( x ) ⎪⎪ − dx = ( r0 + jωL0 ) I ( x ); (2б) ⎨ d I ( x ) ⎪− = ( g0 + jωC0 )U ( x ). ⎪⎩ dx Введя обозначения Z 0 = r0 + jωL0 , Y0 = g0 + jωC0 , и опуская зависимость напряжения и тока от пространственной координаты эти уравнения можно переписать ⎧ dU ⎪⎪ − dx = Z 0 I ; (2в) ⎨ d I ⎪− = Y0U . ⎪⎩ dx Продифференцируем первое уравнение по x и подставим в него второе получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами d 2U d 2U = Z 0Y0U → − γ 2U = 0, γ = Z 0Y0 . (2г) 2 2 dx dx Будем искать решение в виде U = Ae px . Подставляя искомое решение в (2г) получим характеристическое уравнение относительно p p 2 − γ 2 = 0 → p1,2 = ±γ . Теперь решение можно записать в виде U = A1e p1 x + A2 e p2 x = A1e −γx + A2 e γx . Здесь A1 , A2 комплексные константы которые определяются с помощью граничных условий, комплексное число γ = Z 0Y0 принято называть постоянной распространения. Запишем его в алгебраической форме γ = α + jβ , где α – коэффициент затухания (характеризующий затухание падающей волны на единицу длины линии); β – коэффициент фазы (пространственная частота); он характеризует изменение фазы падающей волны на единицу длины линии. Размерность величин [ γ ] = [α] = [β] = 1/ км . Найдём ток из уравнений dU 1 dU A1e −γx − A2 e γx − = Z0 I → I = − = . dx Z 0 dx Z0 γ 164 Величину, стоящую в знаменателе Z 0 γ называют волновым сопротивлением и обозначают Z в : Z0 Z0 Z0 = = = zв e jϕ в . γ Y0 Z 0Y0 Следовательно, ток можно записать A1e −γx − A2 e γx A1e −γx A2 e γx I= = − . Zв Zв Zв Теперь можно перейти от комплексных величин к мгновенным значениям, то есть осуществить обратный переход от комплексных функций к мгновенным значениям тока и напряжения: I ( x )e jωt → i ( x, t ), U ( x )e jωt → u ( x, t ) . В результате получим u( x, t ) = Am1e −αx sin( ωt − βx + ψ1 ) + Am 2 eαx sin(ωt + β x + ψ 2 ), Zв = Am1e −αx A sin( ωt − βx + ψ1 − ϕв ) − m 2 eαx sin( ωt + β x + ψ 2 − ϕв ). i ( x, t ) = zв zв Рис. 5.3 Бегущая волна характеризуется волновыми параметрами – длинной волны λ и фазовой скоростью υ. Скорость распространения – υ и длину – λ волны можно определить, используя выражения: d ( ωt − βx + ψ1 ) dx dx ω ωt − βx + ψ1 = const → = ω−β = 0 → υ = = , dt dt dt β 2π . λ= β 165 §5.1 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в начале линии Выпишем комплексное представление волн напряжения и тока вдоль линии, и определим константы интегрирования входящие в эти выражения, используя граничные условия в начале линии: ⎧U = A1e −γx + A2 e γx ; ⎪ (4) ⎨ A1e −γx A2 e γx . . = − I ⎪ Zв Zв ⎩ Пусть в начале линии при x = 0 напряжении U 1 и I 1 , тогда можно получить: ⎧ U 1 = A1 + A2 ; ⎨ ⎩ I 1Z в = A1 − A2 . Просуммируем первое, и второе уравнения в системе (4), в результате получим выражение для константы A1 : U +I Z A1 = 1 1 в = A1e jψп . 2 Вычитая второе уравнение из первого в системе (4), получим выражение для константы A2 : U −I Z A2 = 1 1 в = Ae jψо . 2 Поставим найденные константы в выражения для напряжения: ⎛ e γx + e −γx ⎞ ⎛ e γx − e −γx ⎞ U 1 + I 1 Z в −γx U 1 − I 1 Z в γx U= e + e = U1 ⎜ ⎟ − I1Z в ⎜ ⎟. 2 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Напомним, что в скобках находятся гиперболические функции синус и косинус: 166 2 ⎛ e γx + e −γx ⎞ ⎛ e γx − e −γx ⎞ ch ( γx ) = ⎜ ⎟ , sh ( γx ) = ⎜ ⎟. 2 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Приведём графический вид функций ch ( x ) , sh( x ) . 4 Теперь выражения для на3 пряжения и тока можно перепиch(x) сать в виде: 2 ⎧U ( x ) = U 1ch ( γx ) − I 1 Z в sh( γx ); ⎪ 1 (5) U1 ⎨ I x = I ch γ x − sh γ x ( ) ( ) ( ). 1 ⎪ Zв ⎩ 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 Используя это выражение можно 1 получить связь между величинами sh(x) 2 в начале и в конце линии. Поставим x = l в выражения (5), здесь l 3 длина линии: 4 Рис. 5.4 ⎧U (l ) = U 2 = U 1ch ( γl) − I 1 Z в sh( γl); ⎪ (6) U1 ⎨ I l = I = I ch γ − sh γ l l ( ) ( ) ( ). 2 1 ⎪ Zв ⎩ Решим уравнения (6) относительно U 2 и I 2 , получим систему уравнений позволяющую определять ток и напряжения в начале линии при известных значения в конце линии. ⎧U 1 = U 2 ch( γl) + I 2 Z в sh( γl); ⎪ . (7) U2 ⎨ = γ + γ I sh I ch l l ( ) ( ). 1 2 ⎪ Zв ⎩ Если ввести обозначения A = D = ch( lγ ), B = Z в sh( lγ ), C = sh( lγ ) Z в то мы получаем уравнение четырехполюсника ⎧U 1 = AU 2 + BI 2 ; . (8) ⎨ . I = CU + DI ⎩ 1 2 2 Для всякого пассивного четырехполюсника выполняется: AD − BC = ch 2 ( γl) − sh 2 ( γl) = 1 . (9) 167 §5.2 Формулы для определения напряжения и тока в любой точке линии через комплексы напряжения и тока в конце линии Обозначим расстояние от текущей точки на линии до конца линии y , а длину всей линии l : y =l− x. (10) Пусть известны напряжения и ток в конце линии U 2 и I 2 . Будем использовать эти значения как граничные условии при y = 0 . На основании системы уравнений (4) получаем: ⎧U ( y ) = A1e −γ ( l − y ) + A2 e γ ( l − y ) ⎧U (0) = U 2 = A1e −γl + A2 e γl ⎪ ⎪ ⎨ A1e −γ ( l − y ) A2 e γ ( l − y ) → ⎨ A1e −γl A2 e γl . (11) ( ) (0) = − = = − I y I I ⎪ ⎪ 2 Z Z Z Zв в в в ⎩ ⎩ Решая систему относительно констант A1 и A2 : U 2 + I 2 Z в γl ⎧ A e = A1e jψп ; = −γ γ l l ⎧⎪ U 2 = A1e + A2 e ; ⎪⎪ 1 2 → ⎨ (12) ⎨ −γl γl U I Z − j ψ l −γ I Z A e A e , = − ⎪ A = 1 1 в e = Ae о . ⎩⎪ 2 в 1 2 ⎪⎩ 2 2 Подставив найденные значения постоянных A1 и A2 в систему (4) получаем: ⎧U ( y ) = U 2 ch( γy ) + I 2 Z в sh ( γy ); ⎪ . (13) U2 ⎨ = γ + γ I y sh y I ch y ( ) ( ) ( ), 2 ⎪ Zв ⎩ §5.3 Линии без потерь Строго говоря, линии без потерь не существует. Однако можно создать линию с очень малыми потерями (с очень малыми r0 и g0 по сравнению с ω L0 и ω C0 соответственно). В ряде случаев, в особенности при высоких частотах, когда ω L0 >> r0 и ω C0 >> g0 , можно пренебречь наличием потерь в линии и принять r0 = 0 и g0 = 0 . В этом случае коэффициент затухания α = 0 , и коэффициент распространения становится чисто мнимой величиной γ = jβ , β = ω L0C0 , а волновое сопротивление является чисто активным: (14) Z в = zв . Для определения напряжения и тока в любой точке линии обратимся к системе уравнений (13) 168 ⎧U ( y ) = U 2 ch( γy ) + I 2 Z в sh ( γy ); ⎪ , (15) U2 ⎨ I y = sh γ y + I ch γ y ( ) ( ) ( ). 2 ⎪ Zв ⎩ и учтем, что ch ( γy ) = сh( jβy ) = cos(βy ), sh( γy ) = sh ( jβ y ) = j sin(β y ) , и перепишем уравнения (15): ⎧U ( y ) = U 2 cos(βy ) + jI 2 Z в sin(βy ); ⎪ U2 ⎨ I y = j ( ) sin(βy ) + I 2 cos(βy ). ⎪ Z ⎩ в (16) Используя те же выражения для системы (5) можно записать уравнения линий без потерь через ток и напряжения в начале линии: ⎧U ( y ) = U 1 cos(βy ) − jI 1 Z в sin(βy ); ⎪ U1 ⎨ = − I y j ( ) sin(βy ) + I 1 cos(βy ). ⎪ Z ⎩ в (17) §5.4 Коэффициент отражения Отношение напряжения отраженной волны в конце линии к напряжению падающей волны в конце линии называют коэффициентом отражения по напряжению и обозначают K u . В соответствии с формулой (12) можно получить: U2 − I2Zв U2 − Z в A2 e γl I2 Zн − Zв 2 Ku = = = = . Zн + Zв A1e −γl U 2 + I 2 Z в U 2 + Z в I2 2 Из этого выражения видно, что при Z н = Z в согласованной нагрузке мы получаем Ku = 0 , и следовательно нет отражённой волны, а при Z н → ∞ холостом ходе мы получаем Ku = 1 то есть волна полностью отражается. 169 §5.5 Действующие значения напряжения и тока вдоль линии без потерь u i u(t) i(t) . Рис. 5.6. Нагрузка линии больше волнового сопротивления Z H = 3Z C , Ku = 0,5 . u i u(t) i(t) 1 Рис. 5.7. Нагрузка линии меньше волнового сопротивления Z H = Z C , 3 Ku = −0,5 . u i u(t) i(t) Рис. 5.8. Нагрузка линии равна волновому сопротивлению Z H = Z C , Ku = 1 170 §5.6 Стоячие волны Если в конце линии без потерь не потребляется активная мощность (линия разомкнута, закорочена, замкнута на реактивную нагрузку), то в такой линии возникают стоячие волны. При разомкнутом ( I 2 = 0, Z 2 = ∞ ) конце линии без потерь напряжение и ток в любой ее точке определяется с помощью уравнений в тригонометрических функциях: ⎧U ( y ) = U 2 cos(βy ); ⎪ . (17б) U2 ⎨ I y = j β y ( ) sin( ). ⎪ Zв ⎩ Если U 2 = U 2 , то мгновенное значение напряжения и тока вычисляются по уравнениям ⎧u = U 2 m cos(βy )sin( ωt ); ⎪ (17в) ⎨ U 2m i sin( y ) cos( t ). = β ω ⎪ zв ⎩ Рис. 5.8 Каждое из этих уравнений представляет собой произведение двух функций, причем аргумент одной из них зависит только от времени, а другой – только от координаты. Иначе говоря, в любой фиксированной точке линии напряжение и ток изменяются по синусоидальному закону со сдвигом по фазе на четверть периода. При этом распределение напряжения и тока вдоль линии для любого момента времени является также синусоидальным. В результате в конце линии в точках, находяλ щихся от конца линии на расстоянии y = k (k − целое число), напря2 жение имеет максимальные значения (пучности – жирные точки на рис. 171 5.8), а токи – нулевые значения (узлы). В точках, которые отстоят от λ конца линии на расстоянии y = (2k + 1) , существуют узлы (полые точ4 ки на рис. 5.8) напряжения и пучности тока. При этом узлы и пучности тока и напряжения не перемещаются по линии. Стоячую волну можно представить как результат наложения падающей и отраженной волн с одинаковыми амплитудами. §5.7 Входное сопротивление линии без потерь при холостом ходе При холостом ходе ток в конце линии равен нулю I 2 = 0 . Поэтому можно записать (из 17) Z вх х.х = 3 L C Zв U U 2 cos(βy ) = =−j = − j 0 0 = jx U I tg (βy ) tg (βy ) j 2 sin(βy ) Zв На рисунке 5.9 приведена функция – tg ( y ) , которая в инtg(y) тервале от 0 до π / 2 является положительной, следовательно, Z вх х.х имеет емкостной характер (множитель − j ) и изменяется по модулю от ∞ до 0 . Далее в интервале от π / 2 до π функция – tg ( y ) отрицательна. В этом случае Z вх х.х имеет ин- дуктивный характер и изменяется от 0 до ∞ . И так далее, таким образом, изменяя длину отрезка линии без потерь, можно имитировать емкостное или индуктивное сопротивление любой величины. Практически это свойство используется при высокой частоте в различных радиотехнических устройствах. Рис. 5.9 172 3 Рис. 5.10 В точках линии, в которых существует узлы тока и пучноZ(y) сти напряжения, линия может быть представлена резонансным контуром с параллельным сопротивлением емкости и индуктивности, а в точках, в которых имеются узлы напряжения и пучности тока, ту же линию можно представить резонансным контуром с последовательным соединением емкости и индуктивности. При коротком замыкании линии (U 2 = 0, Z 2 = 0 ) из уравнений (17) определяем: ⎧U ( y ) = I 2 zв s in(βy ); . (17г) ⎨ ⎩ I ( y ) = I 2 cos(βy ). В этом случае уравнения для мгновенных значений ⎧u = I 2 m zв s in(βy ) cos( ωt ) (17д) ⎨ ⎩i = I 2 m cos(βy )sin(ωt ) определяют стоячие волны. В конце линии и в точках, отстоящих от ее λ конца на расстоянии y = k , имеются узлы напряжения и пучности 2 λ тока, а в точках, которые находятся на расстоянии y = (2k + 1) , – пуч4 ности напряжения и узлы тока. Входное сопротивление линии без потерь, короткозамкнутой на конце, U I z cos(βy ) Z вх к.з = = 2 в = jzв tg (βy ) = jx I I 2 sin(βy ) Это сопротивление, так же как Z вх х.х , является чисто реактивным и в зависимости от длины участка y линии и частоты ω получается или индуктивным или емкостным (рис. 5.10). 173 Рис. 5.11 На рисунке 5.11 показан график входного сопротивления вдоль короткозамкнутой линии, из которого следует, что при 0 ≤ y ≤ λ / 4; λ / 2 ≤ y ≤ 3λ / 4 и т.д. линия представляет собой индуктивное сопротивление; ток отстает по фазе от напряжения на четверть периода. При λ / 4 ≤ y ≤ λ / 2; 3λ / 4 ≤ y ≤ λ и т. д. линия представляет собой емкостное сопротивление; ток опережает по фазе напряжение линии на четверть периода. Лекция № 13 §5.8 Аналогия между уравнениями линии с распределенными параметрами и уравнениями четырехполюсника Напряжение и ток на входе линии с распределенными параметрами (U 1 , I 1 ) связаны с напряжением и током в конце линии (U 2 , I 2 ) следующими уравнениями: ⎧U 1 = U 2 ch( γl) + I 2 Z в sh( γl); ⎪ . U2 ⎨ = γ + γ I sh ( ) I ch ( ). l l 1 2 ⎪ Zв ⎩ Сопоставим их с известными уравнениями четырехполюсника: ⎧U 1 = AU 2 + BI 2 ; ⎨ ⎩ I 1 = CU 2 + DI 2 . Из сопоставления следует что уравнения по форме полностью аналогичны, а если принять обозначения, что A = D = ch( lγ ), B = Z в sh( lγ ), C = sh( lγ ) Z в (17е) то зависимость между U 1 и U 2 , и I 2 и зависимость между I 1 , и U 2 и I 2 в линиях с распределенными параметрами Точно такие же, как в четы174 рехполюснике. Другими словами, при соблюдении условий (17е) четырехполюсник эквивалентен линии с распределенными параметрами в отношении связи между входными и выходными токами и напряжениями. При перемене местами источника и нагрузки токи в источнике и нагрузке не изменятся. Таким же свойством обладает симметричный четырехполюсник. Поэтому однородная линия с распределенными параметрами может быть заменена симметричным четырехполюсником и. наоборот, симметричный четырехполюсник можно заменить участком однородной линии с распределенными параметрами. Т-схема П-схема I&1 U& 1 Z1 I&2 U& 2 Z3 Z4 I&1 Z2 U& 1 Z5 I&2 Z6 U& 2 Рис. 5.12 Для симметричной Т-схемы замещения четырехполюсника: Z1 = ( A − 1) / C ; Z 3 = 1/ C , или Z1 Z12 A = D = 1 + ; B = 2 Z1 + ; C = 1/ Z 3 . Z3 Z3 Для симметричной П - схемы Z 4 = B; Z 5 = B /( A − 1) или Z4 2 Z4 + ; B = Z4 ; C = . Z5 Z 5 Z 52 Пример: В Т-схеме четырехполюсника Z1 = 100 Ом, Z 3 = − j500 Ом. Определить характеристическое (волновое) сопротивление и произведение γl эквивалентной ему линии с распределенными параметрами. A = 1+ 175 Решение: A = D = 1+ o Z1 100 = 1+ = 1 + 0, 2 j = 1,02e j11 18' ; −500 j Z3 o Z12 104 = 200 + = 200 + j 20 = 200e j 5 40' ; B = 2 Z1 + −500 j Z3 o C = 1/ Z 3 = 1/( − j500) = 0,002e j 90 ; B = Z в sh(l γ ), C = sh(l γ ) Z в , → Z в = B / C = 316e − j 42 10'Ом; o sh( yl ) BC = = 0, 498 + j 0,369; ch( yl ) A yl = αl + jβl = arcth (0, 498 + j 0,369) = 0, 454 + j 0, 437. A = ch(l γ ), th( yl ) = 176 Учебное издание ИСАЕВ Юсуп Ниязбекович Колчанова Вероника Андреевна Хохлова Татьяна Евгеньевна КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТОЭ Учебное пособие Научный редактор доктор ф.-м. н., профессор Ю.Н.Исаев Подписано к печати .09. Формат 60х84/16. Бумага «Снегурочка». Печать RISO. Усл.печ.л. 4,47. Уч.-изд.л. 4,05. Заказ . Тираж 100 экз. Томский политехнический университет Система менеджмента качества Томского политехнического университета сертифицирована NATIONAL QUALITY ASSURANCE по стандарту ISO 9001:2000 . 634050, г. Томск, пр. Ленина, 30.