Теоретические основы электротехники. Основные понятия и законы теории электрических цепей

МИНИCTEPCTBO ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» УТВЕРЖДАЮ Директор института ___________________ Ф.И.О. «__» _______________ 201_ г. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ (курс лекций) Направление 11.03.04 "Электроника и Наноэлектроника" Квалификация выпускника бакалавр Форма обучения Учебный план Очная 2018 года Изучается в 4 и 5 семестрах СОГЛАСОВАНО: РАЗРАБОТАНО: Зав.Кафедрой физики, электротехники и электроники Пигулев Р.В.________________ «__» _____________ 201_ г. Рассмотрено УМК Протокол №___ от «___»__________ Председатель УМК института Демин М.С.______________ Зав. кафедрой физики, электротехники и электроники Пигулев Р.В. «__» ____________ 201_г. Профессор кафедры физики, электротехники и электроники Чуенкова И.Ю. «__» ____________ 201_ г. Ставрополь, 2018     Электронный курс лекций подготовлен в соответствии с требованиями государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования по дисциплине «Теоретические основы электротехники». Содержит электронный курс лекций с дополнительной информацией, способствующей усвоению основного материала, и вопросами для повторения тем. В электронном курсе лекций доступность изложения материала сочетается с полнотой и системностью освещения вопросов по теоретическим основам электротехники, включая расчет цепей постоянного и синусоидального тока, теорию четырехполюсников, трехфазные цепи, цепи несинусоидального тока, теорию электромагнитного поля и другие разделы курса. Курс рассчитан на студентов всех форм обучения и аспирантов, его информационное содержание достаточно для изучения дисциплины в объеме, предусмотренном стандартами.   Содержание Введение 7 1.Основные понятия и законы теории электрических цепей 8 Введение 8 1.1 Электрическая цепь с сосредоточенными параметрами 8 1.2 Закон Ома для участка цепи с ЭДС 10 1.3 Баланс мощностей для простой неразветвленной схемы 11 1.4 Законы Кирхгофа 13 2.Анализ цепей при постоянных воздействиях. Методы расчета цепей постоянного тока. 14 Введение 14 2.1 Метод узловых потенциалов 14 2.2 Метод контурных токов 16 2.3 Преобразование параллельного соединения ветвей 18 2.4 Основные свойства электрических цепей постоянного тока 19 2.4.1 Принцип наложения 19 2.4.2 Свойство взаимности 20 2.4.3 Входные и взаимные проводимости. Коэффициент передачи 21 2.4.4 Принцип компенсации 22 2.4.5 Общие замечания о двухполюсниках и многополюсниках 23 2.5 Метод эквивалентного генератора 24 2.6 Линейные соотношения между напряжениями и токами 27 2.7.Передача энергии от активного двухполюсника пассивному 29 3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях 30 Введение 30 3.1 Основные понятия переменного тока 31 3.2 Основные понятия синусоидального тока 32 3.3 Действующие, средние значения токов, ЭДС, напряжений 33 3.4 Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами 34 3.5 Действия с комплексными числами 36 3.6 Резистор, конденсатор и катушка в цепи синусоидального тока 38 3.6.1 Резистор в цепи синусоидального тока 38 3.6.2 Катушка индуктивности в цепи синусоидального тока 39 3.6.3 Конденсатор в цепи синусоидального тока 40 3.7 Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока 41 3.8 Треугольник сопротивлений 43 3.9 Мощность в цепи синусоидального тока 45 3.9.1 Активная, реактивная и полная мощности 45 3.9.2 Мощность резистивного, индуктивного и емкостного элементов 49 3.9.3 Баланс мощностей 52 3.10 Расчет цепей синусоидального тока 53 3.11 Двухполюсник в цепи синусоидального тока 54 3.12 Условия передачи максимальной мощности от активного двухполюсника к пассивному двухполюснику 56 3.13 Топографические и векторные диаграммы 57 3.14 Комплексные частотные и передаточные характеристики 59 3.15 Резонанс в цепи синусоидального тока 61 3.15.1 Резонанс в последовательном контуре 61 3.15.2 Частотные характеристики и резонансные кривые 63 3.15.3 Резонансные явления при изменении параметров контура 67 3.15.4 Резонанс в параллельном контуре 68 3.15.5 Частотные характеристики параллельного контура 71 3.15.6 Понятие о резонансе в сложных цепях 73 3.16 Цепи с взаимной индуктивностью 74 3.16.1 Индуктивно связанные элементы цепи 74 3.16.2 ЭДС взаимной индукции 77 3.16.3 Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи 80 3.16.4 Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи 81 3.16.5 Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности 82 3.16.6 Эквивалентная замена индуктивных связей 83 3.16.7 Передача энергии между индуктивно связанными элементами цепи 83 3.16.8 Цепи с трансформаторами 85 3.16.9 Идеальный трансформатор 88 4. Основы теории четырехполюсников 89 Введение 89 4.1 Формы записи уравнений четырехполюсника 89 4.2 Входные сопротивления 91 4.3 Коэффициенты четырехполюсника 92 4.4 Экспериментальное определение коэффициентов и входных сопротивлений 93 4.5 Эквивалентные схемы четырехполюсников 95 4.6 Управляемые (зависимые) источники напряжения и тока 96 4.7 Гиратор (инвертор сопротивлений) 99 4.8 Конвертор сопротивлений 100 4.9 Вторичные параметры пассивных четырехполюсников 102 4.10 Активные четырехполюсники 104 5. Многополюсники 106 Введение 106 5.1 Расчет многополюсников 106 5.2 Операционный усилитель 107 6. Анализ фильтров 108 Введение 108 6.1 Расчет фильтров по заданным характеристическим параметрам 109 6.2 Требования к частотным характеристикам несогласованных фильтров 112 7. Активные элементы электронных цепей 114 Введение 114 7.1 Схемы замещения транзистора четырехполюсником 115 7.2 Связи между параметрами биполярного транзистора при различных схемах включения 116 7.3 Схемы замещения биполярного транзистора 118 7.4 Схемы замещения полевого транзистора. 120 7.5 Транзистор как усилитель электрических сигналов 122 7.6 Анализ транзисторного усилительного каскада 124 7.7 Особые свойства активных цепей 128 7.8 Обратные связи 129 8. Трехфазные цепи 132 Введение 132 8.1 Общие понятия трехфазных цепей 132 8.2 Симметричный режим трехфазных цепей 136 8.3 Расчет симметричных режимов трехфазных цепей 138 8.4 Расчет несимметричных режимов трехфазных цепей 139 8.5 Разложение несимметричной системы на прямую, обратную и нулевую последовательности фаз 141 8.6 Понятие о методе симметричных составляющих 143 8.7 Измерение мощности в трехфазных цепях 146 8.8 Вращающееся магнитное поле 147 8.9 Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей 149 8.9.1 Асинхронные двигатели 149 8.9.2 Синхронные двигатели 151 9.Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами 153 Введение 153 9.1 Классический метод анализа переходных процессов 154 9.1.1 Возникновение переходных процессов и законы коммутации. 154 9.1.2 Переходный, установившийся и свободный процессы 155 9.1.3 Короткое замыкание rL–цепи 156 9.1.4 Короткое замыкание rС–цепи 158 9.1.5 Включение rC–цепи на постоянное напряжение 160 9.1.6 Включение rC–цепи на синусоидальное напряжение 161 9.1.7 Переходные процессы в rLC–цепи 163 9.1.8 Апериодическая разрядка конденсатора 165 9.1.9 Предельный случай апериодической разрядки конденсатора 166 9.1.10 Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора 167 9.1.11 Включение rLC–цепи на постоянное напряжение 169 9.1.12 Общий случай расчета переходных процессов классическим методом 170 9.1.13 Система дифференциальных уравнений 173 9.2 Операторный метод расчета переходных процессов 174 9.2.1 Общие понятия операторного метода расчета переходных процессов 174 9.2.2 Законы Кирхгофа в операторной форме 176 9.2.3 Эквивалентные операторные схемы 179 9.3 Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывного изменяющегося напряжения (интеграл Дюамеля) 180 9.3.1 Применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения 180 9.3.2 Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы 183 9.4 Метод переменных состояния 184 9.5 Переходные процессы при «некорректных» коммутациях 188 10. Анализ цепей при воздействии сигналов произвольной формы 191 Введение 191 10.1 Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд 192 10.2 Максимальные, действующие и средние значения несинусоидальной периодической величины 196 10.3 Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных периодических кривых 197 10.4 Несинусоидальные кривые с периодической огибающей 198 10.4.1Биения 198 10.4.2 Модулированные колебания 199 10.5 Расчет цепей с несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами 201 10.6 Резонанс в цепи несинусоидального тока 203 10.7 Мощность в цепи несинусоидального тока 205 11. Нелинейные электрические и магнитные цепи 206 Введение 206 11.1 Нелинейные двухполюсники и четырехполюсники 207 11.2 Определение рабочих точек на характеристиках нелинейных двухполюсников и четырехполюсников 210 11.3 Явления в нелинейных цепях постоянного и переменного тока 213 11.4 Методы расчета нелинейных цепей 214 11.5 Нелинейные электрические цепи постоянного тока 216 11.6 Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках 222 11.6.1. Общие положения теории расчета магнитных цепей 222 11.6.2 Анализ неразветвленных магнитных цепей 224 11.6.3 Анализ разветвленных магнитных цепей 227 11.7 Нелинейные цепи с источниками напряжения и тока одинаковой частоты 227 11.8 Простейшие выпрямители 230 11.9 Феррорезонанс 231 11.9.1 Феррорезонанс напряжений 232 11.9.2 Феррорезонанс токов 233 12. Спектральный метод анализа цепей 235 Введение 235 12.1 Интеграл Фурье 235 12.2 Теорема Рейли 237 12.3 Применение спектрального метода 238 12.4.Определение переходной функции четырехполюсника через передаточную и передаточной через переходную 245 13. Список литературы 247 13.1 Список основной литературы 247 13.2 Список дополнительной литературы 247 13. Цепи с распределенными параметрами ……………………………………………... Введение 13.1Дифференциальные уравнения для однородной длинной линии 13.2 Установившийся режим в однородной линии 13.3 Уравнения однородной линии с гиперболическими функциями 13.4 Характеристики однородной линии 13.5 Линия без искажений 13.6 Линия без потерь 13.7 Стоячие волны в линии 13.8 Применение линии без потерь 13.9 Линия как четырехполюсник 14. Теория электромагнитного поля Введение 14.1 Уравнения Максвелла 14.2 Теорема Гаусса и третье уравнение Максвелла 14.3 Выражение в дифференциальной форме принципов непрерывности магнитного потока и непрерывности электрического тока, четвертое уравнение Максвелла 14.4 Теорема Остроградского. Теорема Стокса 14.5 Полная система уравнений электромагнитного поля 14.6 О комплексных магнитной и диэлектрической проницаемостях 15. Электростатическое поле Введение 15.1 Понятие электростатического потенциала 15.2 Уравнения Пуассона и Лапласа 15.3 Граничные условия на поверхности проводников 15.4 Граничные условия на поверхности раздела двух диэлектриков 15.5 Граничные условия на поверхности раздела двух проводящих сред 15.6 Аналогия электрического поля в проводящей среде с электростатическим полем 16. Магнитное поле……………………………………………………………………………. Введение 16.1 Магнитное поле постоянных токов . 16.2 Векторный потенциал магнитного поля 16.3 Выражение магнитного потока через векторный потенциал 16.4 Граничные условия на границе раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями 16.5 Аналитические и численные методы расчета электрических и магнитных полей 16.5.1 Поле заряженной оси 16.5.2 Поле двухпроводной линии передачи 16.5.3 Метод зеркальных изображений 16.5.4 Вторая группа формул Максвелла 16.5.5 Третья группа формул Максвелла. Частичные емкости 16.6 Общая задача расчета магнитного поля постоянных токов 16.7 Поле токов вблизи плоских поверхностей ферромагнитных тел 17. Переменное электромагнитное поле ………………………………………………….. 17.1 Переменное электромагнитное поле в диэлектрике……………………………. 17.2 Вектор Пойнтинга…………………………………………………………………. 17.3 Поток электромагнитной энергии. Уравнение Умова–Пойнтинга……………. 17.4 Электродинамические векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля………………………………………………………………………………… 17.5. Поверхностный эффект и эффект близости…………………………………….. Введение К изучению курса «Теоретические основы электротехники» или «ТОЭ» студенты приступают после освоения разделов «Электричество и магнетизм» курса физики и разделов «Дифференциальное и интегральное исчисления и матричная алгебра» курса математики. Поэтому элементы теории электрических цепей и теории поля студентам, приступающим к изучению ТОЭ, в определенной мере известны. В курсе ТОЭ эти знания расширяются, углубляются и дополняются и доводятся до уровня, соответствующего современной теории электрических цепей и теории поля и достаточного для решения задач, с которыми инженеру придется встретиться в своей практической деятельности. При изучении курса ТОЭ студент учится правильно ставить электротехническую задачу, составлять ее расчетную модель в требуемом диапазоне частот и амплитуд воздействий, выбирать наиболее рациональный метод решения, интерпретировать получаемые результаты и, если потребуется, уточнять расчетную модель. Изучение курса ТОЭ способствует развитию у студентов инженерной интуиции. В курсе «Теоретические основы электротехники» или «ТОЭ» изучаются электрические и магнитные явления и их применение для практических целей. Огромное значение электрической энергии объясняется рядом ее преимуществ перед другими видами энергии. Главное состоит в том, что электрическая энергия наиболее универсальна, так как сравнительно легко преобразуется в другие виды энергии; кроме того, ее можно производить на мощных электростанциях, передавать на огромные расстояния при сравнительно небольших потерях и легко распределять между различными потребителями. В 21 веке намечается значительное расширение производства миниатюрных электронных управляющих машин как составной части основного технологического оборудования, приборов, различных систем управления и контроля, увеличение выпуска автоматических манипуляторов (промышленных роботов), более широкое использование электротехники при изучении живых организмов (электробиология) и исследовании космоса (космическая электродинамика). Но как бы ни развивались и совершенствовались автоматические системы управления, роль человека всегда будет определяющей. Чтобы уметь творчески использовать преимущества электрификации, внедрять электронные и автоматические приборы и автоматизированные системы управления разнообразными производственными процессам, будущему инженеру необходимо овладеть основами дисциплины «Теоретические основы электротехники». В предлагаемом электронном варианте лекций изложены традиционные и новые, появившиеся в последние годы в программах вопросы теории цепей и теории электромагнитного поля. Курс содержит список как основной, так и дополнительной литературы. 1.Основные понятия и законы теории электрических цепей Введение В этой главе рассматривается элементная база цепей постоянного тока, показывается, как в теории цепей осуществляется переход от реальных электротехнических устройств к их схемам замещения. Даны основные определения электрических цепей и их составных частей. Рассмотрены законы Ома и Кирхгофа. Представлен баланс мощностей в цепи постоянного тока. 1.1 Электрическая цепь с сосредоточенными параметрами Электрической цепью называется совокупность устройств, предназначенных для передачи, распределения и взаимного преобразования электрической энергии. Основными элементами электрической цепи являются источники и приемники электрической энергии. В источниках электрической энергии тепловая (химическая, энергия расщепления атома и др.) превращается в электрическую энергию. В приемниках – наоборот. Электрические цепи, в которых получение электрической энергии в источниках, ее передача, и преобразование в приемниках происходят при неизменных во времени токах и напряжениях, называются цепями постоянного тока. Чтобы облегчить изучение процессов в электрической цепи, ее заменяют расчетной схемой замещения, т.е. идеализированной цепью, которая служит расчетной моделью реальной цепи. Каждый реальный элемент цепи заменяется элементами схемы, математическое описание каждого из которых должно отражать главные процессы в элементе цепи. Рисунок 1.1 – Обозначение реального источника энергии и потребителя Для цепи постоянного тока пользуются понятиями двух основных элементов схемы: источника энергии с ЭДС (Е) и внутренним сопротивлением () и резистивного элемента – приемника с сопротивлением (рис. 1.1б). Сопротивление соединительных проводов не будет учитываться, т.к. оно должно быть много меньше сопротивления приемников. Электродвижущая сила Е (рис. 1.1а) численно равна разности потенциалов φ или напряжению U между положительными и отрицательными выводами 1 и 2 источника энергии при отсутствии в нем тока. (1.1) Если к выводам источника энергии присоединить приемник, то в замкнутом контуре этой простейшей цепи возникает ток , при этом разность потенциалов на выводах 1 и 2 уже не будут равны ЭДС вследствие падения напряжения внутри источника энергии, т.е. на его внутреннем сопротивлении : (1.2) Рисунок 1.2 – Вольтамперная характеристика источников энергии На рис. 1.2 кривая 1приведена вольтамперная характеристика (ВАХ) источника энергии. При увеличении тока напряжение на выводах источника энергии убывает практически по линейному закону от до . Затем пропорциональность нарушается ввиду сильного нагрева источника. Существует две схемы замещения реального источника: – идеальный источник ЭДС, – идеальный источник тока (). Их обозначения приведены на рисунке 3, ВАХ для идеального источника ЭДС приведена на рисунке 1.2, кривая 2, ВАХ для идеального источника приведена на рисунке 1.2 кривая 3. Сопротивление приемника характеризует потребление электрической энергии, т.е. превращение электрической энергии в другие виды при мощности . Наряду с сопротивлением для расчета цепей вводят понятие проводимости . Источники ЭДС и источники тока (рисунок 1.3) называют активными элементами цепи, а резистивные элементы – пассивными. Рисунок 1.3– Обозначение идеальных источников ЭДС и тока 1.2 Закон Ома для участка цепи с ЭДС Для однозначного определения потенциала любой точки электрической цепи необходимо заземлить (произвольно) потенциал какой-нибудь одной точки. Выберем для схемы, представленной на рис. 1.4 . По определению потенциал точки 3 больше на значение ЭДС: Рисунок1.4– Электрическая схема для иллюстрации закона Ома (1.3) Ток во внешней части простейшей электрической цепи направлен от точки с более высоким потенциалом (3) к точке с более низким потенциалом (1). Поэтому потенциал больше потенциала : (1.4) Из двух формул имеем:, (1.5) В общем случае: . (1.6) Если направление ЭДС совпадает с положительным направлением тока, то его записывают с положительным знаком, в противоположном случае – с отрицательным. Эта формула представляет собой закон Ома для участка цепи с ЭДС. Если в результате расчета по формуле для тока получается отрицательное значение, то действительное направление тока не совпадает с выбранным положительным направлением. Для напряжения между любыми точками цепи также может быть произвольно выбрано положительное направление. Оно указывается стрелкой или индексами у буквы . Например, будем в дальнейшем ставить от точки к точке . На участках схемы с пассивными элементами положительные направления напряжения и тока всегда выбираются совпадающими. 1.3 Баланс мощностей для простой неразветвленной схемы Рассмотрим энергетические соотношения для электрической цепи (рис.1.5) состоящей из одной машины постоянного тока с ЭДС и внутренним сопротивлением . И аккумуляторной батареи с ЭДС и внутренним сопротивлением . ЭДС машины и аккумуляторной батареи направлены навстречу друг другу. Пусть ЭДС машины больше ЭДС аккумуляторной батареи. При этом условии действительное направление тока совпадает с направлением ЭДС . Напряжение U на выводах обоих источников Рисунок 1.5– Электрическая цепь для расчета энергетического баланса меньше ЭДС на внутреннее падение напряжения и больше ЭДС на падение напряжения на батарее: (1.7) Обозначим разность потенциалов: (1.8) Тогда: , (1.9) После умножения обеих частей равенств на и перестановки слагаемых получим: (1.10) Левая часть этого уравнения представляет собой мощность, развиваемую машиной. Первое слагаемое правой части определяет мощность тепловых потерь, а второе слагаемое – мощность, отдаваемую аккумуляторной батарее. (1.11) Мощность, получаемая батареей, расходуется на ее зарядку и на мощность тепловых потерь. Подставим из (1.11) в (1.10): , или (1.12) Полученные соотношения для баланса мощностей применимы к любым другим цепям. 1.4 Законы Кирхгофа Ветвью электрической цепи называется участок, состоящий только из последовательно включенных источников ЭДС и приемников с одним и тем же током. Узлом цепи называют место соединения трех и более ветвей. Режим электрической цепи произвольной конфигурации полностью определяется первым и вторым законами Кирхгофа. Первый закон: алгебраическая сумма токов в узле равна нулю. (1.13) В этом уравнении одинаковые знаки должны быть взяты для токов имеющих одинаковые положительные направления относительно узловой точки. Обычно токи, направленные к узлу, берут с положительными знаками, а токи, направленные от узла – с отрицательными. Однако, это не принципиально. Если к данному узлу присоединен источник тока, то учитывают ток этого источника. Второй закон: применяется к контурам электрической цепи и формулируется следующим образом: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках, входящими в этот контур равна нулю. (1.14) Необходимое количество уравнений: по первому закону Кирхгофа – число узлов без единицы: по второму закону Кирхгофа – число ветвей без источников тока, за вычетом уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа:() В этом уравнении положительные знаки принимаются для тех напряжений, положительное направление которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода контура. Другая формулировка этого закона: в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме ЭДС: (1.15) В этом уравнении положительные знаки принимаются для токов и ЭДС, положительное направление которых совпадают с произвольно выбранным направлением обхода рассматриваемого контура. 2.Анализ цепей при постоянных воздействиях Введение Рассмотрены свойства и методы анализа линейных электрических цепей постоянного тока с сосредоточенными параметрами. Определены основные свойства электрических цепей постоянного тока. Показано преобразование нескольких параллельных ветвей в одну. Даны линейные соотношения между напряжениями и токами. Рассмотрены: передача энергии от активного двухполюсника к пассивному двухполюснику и условия, когда эта энергия может быть максимальной. 2.1 Метод узловых потенциалов Как было показано, режим любой цепи полностью характеризуется уравнениями, составленными на основании первого и второго законов Кирхгофа, причем для определения токов во всех n ветвях необходимо составить и решить систему уравнений с n неизвестными. Число уравнений, подлежащих решению, можно сократить, если воспользоваться методом узловых потенциалов, основанным на применении первого закона Кирхгофа и закона Ома. Для выяснения сущности этого метода рассмотрим, например, электрическую схему, показанную на рис.2.1. Пусть потенциал одного из узлов, например 3 узла, будет равен нулю, т.е. . Такое допущение не изменяет условия задачи, т.к. ток в каждой ветви зависит от разности потенциалов между концами ветви. Запишем уравнения на основании первого закона Кирхгофа для 1 и 2 узлов этой схемы при выбранных положительных направлениях токов. (2.1) Токи в ветвях согласно закону Ома: ; ; ; ; ; (2.2) Рисунок 2.1 –Схема для анализа уравнений методом узловых потенциалов После подстановки (2.2) в (2.1) и группировки членов получаем: (2.3) или: (2.4) В этих уравнениях проводимости с двумя одинаковыми индексами представляют собой суммарную проводимость ветвей, присоединенных к узлу, и называются собственной узловой проводимостью, например: ; –узловая проводимость соответственно 1 и 2 узлов. Проводимость с двумя разными индексами равна сумме проводимостей ветвей, соединяющих между собой рассматриваемые узлы и называется общей узловой проводимостью, например: . Правая часть уравнения называется узловым током. Она содержит алгебраические суммы произведений ЭДС на соответствующие проводимости. Если электрическая схема содержит не только источник ЭДС, но и источник тока, то в правую часть уравнений войдут токи источников тока. Произведение вида записывается с положительными знаками в том случае, если ЭДС направлена к узлу, и с отрицательными, если ЭДС направлена от узла. То же самое относится и к токам источников тока. Уравнения не зависят от выбранных положительных направлений токов в ветвях. Если электрическая схема имеет в своем составе узлов, потенциал, например, –го узла принят равным нулю, то для определения потенциалов остальных узлов необходимо составить уравнений, то есть столько же уравнений как по первому закону Кирхгофа. Решив эту систему уравнений, можно определить потенциалы узлов, а, зная потенциалы – найти токи во всех ветвях по закону Ома для участка цепи. Например, для приведенной схемы . 2.2 Метод контурных токов контурных токов, можно ограничится совместным решением независимых уравнений (–количество ветвей, – число ветвей с источниками тока, – количество узлов), то есть тем количеством, которое составляется для схемы на основании второго закона Кирхгофа. Для иллюстрации применения метода контурных токов рассмотрим схему изображенную на рис. 2.2 с шестью ветвями и четырьмя узлами. Прежде чем составить уравнения по второму закону Кирхгофа, надо выбрать взаимно независимые контуры и направления их обхода. По первому закону Кирхгофа имеем: (2.5) По второму закону Кирхгофа для трех контуров: (2.6) Пользуясь уравнениями (2.5),исключим из уравнений (2.6) общие для нескольких контуров токи ,,, в результате чего получим: (2.7) Рисунок 2.2 – Схема для расчета методом контурных токов Каждый указанный здесь ток принимается как контурный. Токи в ветвях, общих для нескольких контуров равны алгебраическим суммам контурных токов. и т.д. (2.8) Из приведенного примера следует, что для определения токов в ветвях этим методом нужно ввести в расчет контурные токи и решить совместно систему уравнений (2.7). Перепишем последние уравнения, введя новые обозначения: (2.9) В уравнениях (2.9) сопротивление вида , равное сумме сопротивлений, входящих в соответствующий контур, называют собственным сопротивлением контура, а вида – общим сопротивлением контуров. Величина входит в уравнения всегда со знаком (+), а величинаберется со знаком (+) если в смежной ветви контурные токи направлены одинаково и со знаком (–) если они направлены в противоположные стороны. Правые части уравнений называют контурными ЭДС. В результате решения системы (2.9) находятся контурные токи. Токи в ветвях находятся из величин контурных токов. Например, для схемы на рис.2.2 . 2.3 Преобразование параллельного соединения ветвей Если сложная электрическая схема содержит одну или несколько групп параллельно соединенных ветвей с источниками ЭДС, то расчет и исследование такой схемы можно значительно упростить, заменить каждую группу параллельных ветвей одним источником и одним сопротивлением. На рис. 2.3 показана группа из параллельно соединенных ветвей, выделенная из электрической схемы. Остальная часть схемы условно обозначена прямоугольником. Требуется заменить параллельных ветвей одной эквивалентной ветвью так, чтобы на выводах 1 и 2 ток и напряжение в эквивалентной схеме были такими же, как в заданной схеме. Рисунок 2.3– Схема для преобразования параллельных ветвей в одну эквивалентную . Рисунок 2.4 – Схема эквивалентная схеме рис.2.3 Суммарный ток схемы на рис 2.3: (2.10) На эквивалентной схеме рис. 2.4 ток: (2.11) Так как условия эквивалентности должны быть выполнены при любом токе и напряжении (рис.2.4), то, приравняв правые части выражений, нужно положить: (2.12) откуда: (2.13) (2.14) При вычислении эквивалентной ЭДС с положительным знаком записываются те ЭДС, которые направлены к тому же узлу, что и эквивалентная ЭДС и с отрицательным знаком – направленные к другому узлу. Эквивалентная проводимость не зависит от ЭДС, а эквивалентная ЭДС зависит не только от ЭДС отдельных ветвей, но и от их проводимостей. Энергия, потребляемая сопротивлениями ветвей до преобразования схемы с активными элементами, не равна энергии, потребляемой эквивалентными сопротивлениями ветвей после преобразования. Если к узлам 1 и 2 присоединены кроме ветвей с источниками ЭДС еще и ветви с источниками тока, то нужно учесть токи заданных источников тока. 2.4 Основные свойства электрических цепей постоянного тока 2.4.1 Принцип наложения Каждая ЭДС в уравнении, записанном в методе контурных токов, представляет собой алгебраическую сумму ЭДС во всех ветвях контура. Если заменить все контурные ЭДС алгебраическими суммами ЭДС ветвей, то после группировки слагаемых получается выражение для контурного тока в виде алгебраических сумм составляющих токов, вызванных каждой из ЭДС ветвей в отдельности. При этом каждая составляющая тока равна произведению ЭДС ветви на алгебраическую сумму коэффициентов: (2.15) , где – главный определитель системы. – алгебраические дополнения, получаемые вычеркиванием столбца и строки и умножением определителя на . Это чрезвычайно важное свойство называемое принципом наложения и непосредственно следует из линейности уравнений, описывающих режим цепей с линейными элементами. Принцип наложения справедлив не только для контурных токов, но и для токов, ветвей. Таким образом, при определении токов ветвей при помощи принципа наложения нужно поочередно оставлять в схеме по одной ЭДС, считать остальные ЭДС источников равными нулю, но сохраняя в схеме их внутренние сопротивления. Если в схеме есть источники тока, то следует найти составляющие токов ветвей, вызываемые каждым источником тока. Ток в ветви определяется как алгебраическая сумма частичных токов, вызванных каждым источником энергии. Однако этим принципом нельзя пользоваться для вычисления мощности. Почему? 2.4.2 Свойство взаимности Пусть в схеме произвольной конфигурации (рис.2.5 а) единственный источник ЭДС действует в ветви с сопротивлением в направлении от к и создает в ветви с сопротивлением ток , направленный от к . Такой же единственный источник ЭДС (рис.2.5 б), включенный в ветвь с сопротивлением и действующий в направлении от к создает в ветви с сопротивлением ток , направленный от к и равный току . а) б) Рисунок 2.5 –Схемы для иллюстрации свойства взаимности 2.4.3 Входные и взаимные проводимости. Коэффициент передачи Пользуясь принципом наложения, напишем уравнение для тока в любой ветви, например, линейной электрической цепи: (2.16) где – частичный ток в ветви , обусловленный действием ЭДС . В этом уравнении ток обозначает ток в ветви , а – ЭДС соответственно в первой, второй и т.д. ветвях. При этом если положительное направление для тока выбрано совпадающим с направлением ЭДС , то >0, но составляющие токов в той же ветви вида , создаваемые ЭДС других ветвей, могут быть и отрицательными. В этом уравнении множители при ЭДС имеют размерность проводимости. Каждый из множителей с двумя одинаковыми индексами вида называют входной проводимостью ветвей , любой из множителей с двумя различными индексами называют взаимной проводимостью ветвей и . При заданных направлениях действия ЭДС и выбранном положительном направлении тока взаимные проводимости могут получиться либо положительными, либо отрицательными величинами. Численные значения входных и взаимных проводимостей могут быть определены следующим путем. Приравниваем в рассматриваемой схеме все ЭДС кроме ЭДС к нулю; при этом ток: (2.17) Следовательно, входная проводимость любой ветви определяется отношением тока к ЭДС в этой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях. ЭДС , включенная в ветвь , вызывает в общем случае токи во всех ветвях и, в частности, в ветви . Ток в ветви определяется по уравнению, аналогичному (2.16), при равных нулю всех ЭДС, кроме ЭДС , т.е. , откуда: (2.18) отметим, что .Таким образом, взаимная проводимость двух любых ветвей определяется отношением тока в одной ветви к ЭДС в другой ветви при равных нулю ЭДС в остальных ветвях. 2.4.4 Принцип компенсации В уравнении , составленном по второму закону Кирхгофа, напряжение на любом сопротивлении можно всегда из левой стороны перенести в правую сторону со знаком минус и рассматривать как эквивалентную ЭДС , направленную противоположно току в ветви . Это положение носит название принципа компенсации. Очевидно, что обе схемы эквивалентны, если . При этом следует иметь в виду, что эквивалентная ЭДС прямо пропорциональна току в ветви, т.е. зависит от тока. Источник ЭДС, которым можно заменить любой резистивный элемент цепи, соответствует простейшему идеальному зависимому источнику, ЭДС которого зависит от тока по известному закону (рис.2.6). Рисунок 2.6– Схемы для иллюстрации принципа компенсации Любую ветвь с известным током можно заменить источником тока , при этом режим цепи не изменится. 2.4.5 Общие замечания о двухполюсниках и многополюсниках При использовании процессов в сложных электрических цепях часто интересуются током, напряжением и мощностью только одной ветви. В этом случае выделяют ветвь, присоединенную к сложной цепи в двух точках. Часть электрической схемы произвольной конфигурации с двумя выделенными выводами или полюсами называют двухполюсником. Двухполюсники, содержащие источники электрической энергии, называют активными, не содержащие источников энергии – пассивными. Всякий пассивный двухполюсник является потребителем электрической энергии, он характеризуется одной величиной – . Рассмотрим схему на рис. 2.7. Если выделить в этой схеме ветвь с источником ЭДС и сопротивлением , то остальную часть схемы можно рассматривать относительно выводов как пассивный двухполюсник. Часть той же схемы относительно выводов ветви с сопротивлением можно рассматривать как активный двухполюсник. В дальнейшем все активные двухполюсники будем обозначать прямоугольниками с буквой «А», пассивные – с буквой «П» (рис. 2.8 а и б ). Рисунок 2.7 – Выделение двухполюсника в схеме а) б) Рисунок 2.8– Обозначение активных и пассивных двухполюсников Если в электрической цепи выделено более двух выводов, то соответствующий участок цепи называется многополюсником. 2.5 Метод эквивалентного генератора Метод эквивалентного генератора, основанный на теореме об активном двухполюснике, позволяет достаточно просто определить ток в одной (представляющей интерес при анализе) ветви сложной линейной схемы, не находя токи в остальных ветвях. Применение данного метода особенно эффективно, когда требуется определить значения тока в некоторой ветви для различных значений сопротивления в этой ветви, в то время как в остальной схеме сопротивления, а также ЭДС и токи источников постоянны. Теорема об активном двухполюснике формулируется следующим образом: если активную цепь, к которой присоединена некоторая ветвь, заменить источником с ЭДС, равной напряжению на зажимах разомкнутой ветви, и сопротивлением, равным входному сопротивлению активной цепи, то ток в этой ветви не изменится. Ход доказательства теоремы иллюстрируют схемы на рис. 2.9. Рисунок 2.9– Схемы, иллюстрирующие ход решения методом эквивалентного генератора Пусть в схеме выделена некоторая ветвь с сопротивлением Z, а вся оставшаяся цепь обозначена как активный двухполюсник А (рис. 2.9 а). Разомкнем эту ветвь между точками 1 и 2 (рис. 2.9 б). На зажимах этой ветви имеет место напряжение . Если теперь между зажимами 1 и 2 включить источник ЭДС  с направлением, указанным на рис. 2.9 в, то, как и в цепи на рис.2.9 б ток в ней будет равен нулю. Чтобы схему на рис. 2.9 в сделать эквивалентной цепи на рис. 2.9 а, в рассматриваемую ветвь нужно включить еще один источник ЭДС , компенсирующий действие первого (рис. 2.9 г). Будем теперь искать ток  по принципу наложения, т.е. как сумму двух составляющих, одна из которых вызывается источниками, входящими в структуру активного двухполюсника, и источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 слева, а другая – источником ЭДС , расположенным между зажимами 1 и 2 справа. Но первая из этих составляющих в соответствии с рис. 2.9 в равна нулю, а значит, ток  определяется второй составляющей, т.е. по схеме на рис. 2.9 д, в которой активный двухполюсник А заменен пассивным двухполюсником П. Таким образом, теорема доказана. Указанные в теореме ЭДС и сопротивление можно интерпретировать как соответствующие параметры некоторого эквивалентного активному исходному двухполюснику генератора, откуда и произошло название этого метода. Таким образом, в соответствии с данной теоремой схему на рис. 2.10 а, где относительно ветви, ток в которой требуется определить, выделен активный двухполюсник А со структурой любой степени сложности, можно трансформировать в схему на    рис.2.10 б. Отсюда ток  находится, как: ,  (2.19) где  – напряжение на разомкнутых зажимах ab. Уравнение (2.19) представляет собой аналитическое выражение метода эквивалентного генератора. Параметры эквивалентного генератора (активного двухполюсника) могут быть определены экспериментально или теоретически. В первом случае, в частности на постоянном токе, в режиме холостого хода активного двухполюсника замеряют напряжение  на его зажимах с помощью вольтметра, которое и равно Е э. Затем закорачивают зажимы a и b активного двухполюсника с помощью амперметра, который показывает ток  (см. рис. 2.10 б). Тогда на основании результатов измерений . При теоретическом определении параметров эквивалентного генератора их расчет осуществляется в два этапа: 1. Любым из известных методов расчета линейных электрических цепей определяют напряжение на зажимах a-b активного двухполюсника при разомкнутой исследуемой ветви. 2. При разомкнутой исследуемой ветви определяется входное сопротивление активного двухполюсника, заменяемого при этом пассивным. Данная замена осуществляется путем устранения из структуры активного двухполюсника всех источников энергии, но при сохранении на их месте их собственных (внутренних) сопротивлений. В случае идеальных источников это соответствует закорачиванию всех источников ЭДС и размыканию всех ветвей с источниками тока. Рисунок 2.10 – Нахождение параметров активного двухполюсника 2.6 Линейные соотношения между напряжениями и токами В активном четырехполюснике (рис.2.11) с выводами и кроме ветви с источником ЭДС выделена ветвь с источником ЭДС и сопротивлением . Пользуясь принципом наложения для токов и в ветвях схемы, запишем для токов: (2.20) где находятся внутри четырехполюсника, и знак (–) перед проводимостью поставлен, т.к. положительное направление тока противоположно направлению действия ЭДС . Предположим, что ЭДС первого источника может измениться, а ЭДС остальных источников , , и т.д. – неизменное. Так как входные и взаимные проводимости ( и ) не зависят от значения ЭДС , то обозначив (2.21) получим: (2.22) или заменив на : (2.23) Рисунок 2.11 –Линейные соотношения между токами и напряжениями в схеме Как следует из принципа компенсации, изменение ЭДС в схеме на рис. 2.11 равносильно изменению напряжения при изменении сопротивления в эквивалентной схеме на рис. 2.12; при этом входная и взаимная проводимости и не зависят от сопротивления , т.к. определяются для схемы на рис. 16, где нет сопротивления .Следовательно, при изменении сопротивления токи и связаны с напряжением линейными соотношениями. Для определения постоянных и , и необходимо рассчитать или измерить токи и и напряжение в двух режимах первой Рисунок 2.12 – Линейные соотношения между токами и напряжениями в схеме ветви (при двух значениях сопротивления ). Наиболее наглядно и просто эти постоянные определяются из режимов короткого замыкания () и холостого хода (). При коротком замыкании , токи и При холостом ходе , следовательно: (2.24) откуда , (2.25) 2.7.Передача энергии от активного двухполюсника пассивному Рассмотрим схему, показанную на рис. 2.13. Будем считать, что – входное сопротивление активного двухполюсника и – может принимать любые значения. Установим соотношение между сопротивлениями и , при выполнении которого мощность пассивного двухполюсника максимальна. и (2.26) Рисунок 2.13– Схема соединения активного и пассивного двухполюсников – мощность, развиваемая активным двухполюсником, – мощность потерь в этом двухполюснике. Для определения тока , при котором мощность максимальна, найдем производную от по и приравняем ее к нулю. (2.27) откуда В общем случае ток . Следовательно, мощность максимальна при , т.е. при равенстве входных сопротивлений пассивного и активного двухполюсников. При равенстве максимальная мощность: (2.28) Отношение мощности пассивного двухполюсника к мощности , развиваемой активным эквивалентным двухполюсником, называют К.П.Д. активного эквивалентного двухполюсника. (2.29) при . 3. Анализ цепей при синусоидальных воздействиях Введение Выписка из книги Р. Винер «Я – математик», с. 69. Наибольшие заслуги в разрешении проблем, связанных с генерированием и использованием переменного тока принадлежит Николе Тесла. Ему удалось, служа в компании «Вестингауз», убедить своих хозяев производить не постоянный ток, а переменный, меняющий свое направление шестьдесят раз в секунду. Направление такого переменного тока легко уменьшить или увеличить с помощью трансформатора, а получается он в генераторах упрощенного типа, при конструировании которых отпадают многие серьезные проблемы, осложняющие создание хороших генераторов постоянного тока. На переменном токе могут работать самые разнообразные двигатели, включая некоторые виды индукционных двигателей. На заре эпохи господства переменного тока компании «Вестингауз», раньше других овладевшей секретом его использования, пришлось выдержать жестокую борьбу. Ее главными противниками были: «Дженерал электрик» и «Эдисон», вложившие большие капиталы в предприятия, работающие на постоянном токе. Дело дошло до того, что «Дженерал электрик» с помощью различных махинаций добились от властей штата Нью-Йорк постановление казнить преступников на электрическом стуле с помощью переменного тока. Это было сделано для того, чтобы запугать население и заставить обывателей отказаться от использования переменного тока у себя дома. Но с течением времени выяснилось, что переменный ток гораздо более выгоден, и страсти понемногу улеглись. 3.1 Основные понятия переменного тока Переменным током называют ток, изменяющийся во времени. Значение тока в любой данный момент времени называют мгновенным, и обозначают малой буквой . Ток определен, если известна его зависимость от времени и указанно положительное направление тока. Токи, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени в той же самой последовательности, называют периодическим, а наименьший промежуток времени, через который эти повторения наблюдаются – периодом . Для периодического тока . Величина, обратная периоду, называется частотой . Частота измеряется в герцах (Гц). Частота равна одному герцу, если период равен одной секунде. Термин «переменный ток» обычно применяют в узком смысле, а именно для такого периодического тока, у которого постоянная составляющая равна нулю, т.е. (3.1) И особенно часто для гармонического или синусоидального тока (рис.3.1). Рисунок 3.1– Зависимость синусоидального тока во времени 3.2 Основные понятия синусоидального тока Мгновенные значения синусоидального тока определяется выражением: , (3.2) где – амплитуда тока. Аргумент синуса называют фазой – . Угол равен фазе в начальный момент времени (), и поэтому называется начальной фазой. Фаза с течением времени непрерывно растет. После ее увеличения на весь цикл изменения тока повторяется. Величина показывает скорость изменения фазы и обозначается . Принимая во внимание, что , можно записать: (3.3) Это выражение послужило основанием называть угловой частотой, измеряется в . Введя обозначение для угловой частоты, получаем: (3.4) На рис. 3.2 построен график синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами: (3.5) Рисунок 3.2– График синусоидальных токов одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами По оси абсцисс отложено время и пропорциональная времени величина . Начальная фаза отсчитывается всегда от момента, соответствующего началу синусоиды, до момента начала отсчета времени . При начало синусоиды тока сдвинуто влево, а при для тока – вправо от начала координат. Если у нескольких синусоидальных функций, изменяющихся с одинаковой частотой, начала синусоид не совпадают, то говорят, что они сдвинуты относительно друг друга по фазе. На рис. 3.2 , т.е. ток опережает по фазе ток . Если у синусоидальных функций одинаковые частоты и одинаковые начальные фазы, то говорят, что совпадают по фазе, если разность фаз равна , то говорят, что они противоположны по фазе. 3.3 Действующие, средние значения токов, ЭДС, напряжений Для суждения о периодическом токе вводится понятие о среднем значении тока за период: (3.6) Также вводится понятие о среднеквадратичном значении тока за период, который называют действующим значением тока: (3.7) За один период переменного тока в проводнике с сопротивлением выделяется тепловая энергия: (3.8) Откуда следует, что действующий ток численно равен такому постоянному току, при котором за один период в проводнике с тем же сопротивлением выделяется такое же количество тепла, как и при переменном токе. Установим связь между действующим значением и амплитудой синусоидального тока: (3.9) следовательно: . Действующие ЭДС и напряжения записываются аналогично. 3.4 Изображение синусоидальных функций времени векторами и комплексными числами Расчет цепей переменного тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся токи, напряжения, ЭДС векторами или комплексными числами. Предположим, что некоторая величина изменяется во времени по синусоидальному закону: (3.10) Возьмем прямоугольную систему координат MON, рис. 3.3. Расположим под углом относительно горизонтальной оси OM вектор , длина которого в выбранном масштабе равна амплитуде (положительные углы откладываются против движения часовой стрелки). Предположим себе, что вектор с момента времени начинает вращаться вокруг начала координат против часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой частоте (рисунок 3.3). В момент времени вектор составит с осью OM угол . Его проекция на ось N`N равна в выбранном масштабе мгновенному значению рассматриваемой величины . Таким образом, между мгновенным значением и вектором можно установить однозначную связь. На этом основании вектор называют вектором величины . Если считать оси MM` и NN` осями действительных и мнимых величин на комплексной плоскости, то вектор соответствует комплексному числу, модуль которого равен и аргумент – углу . Это комплексное число называется комплексной амплитудой рассматриваемой величины. Комплексную амплитуду можно записать в полярной, показательной, тригонометрической и алгебраической формах: (3.11) где . Если вектор ,начиная с момента времени вращается против направления движения часовой стрелки с угловой скоростью , то ему соответствует Рисунок 3.3 – Изображение векторов на комплексной плоскости комплексная функция времени, которая называется комплексной мгновенной величиной: (3.12) Значение ее мнимой части равно рассматриваемой синусоидально изменяющейся величине . Таким образом, если величина и ее изображение – комплексная амплитуда – однозначно связаны следующим равенством: , (3.13) где символ обозначает, что от комплексной функции времени, записанной в квадратных скобках, берется только значение мнимой части. Метод расчета цепей синусоидального тока, основанный на изображении гармонических функций времени комплексными числами, называется методом комплексных величин. 3.5 Действия с комплексными числами При исследовании цепей синусоидального тока приходится алгебраически суммировать гармонические функции времени одинаковой частоты, но с различными амплитудами и различными начальными фазами. Непосредственное суммирование связано с трудоемкими преобразованиями. Значительно проще эта задача решается графически при помощи векторной диаграммы или путем суммирования комплексных амплитуд. Пусть требуется найти сумму двух гармонических функций времени: (3.14) Сначала рассмотрим решение, выполняемое при помощи векторной диаграммы. Отложим векторы и и графически определяем вектор , равный геометрической сумме векторов и (рис. 3.4). Теперь перейдем к аналитическому методу сложения: . Чтобы произвести суммирование комплексных чисел, их нужно представить в алгебраической форме: ; . (3.15) Рисунок 3.4 – Сложение векторов на комплексной плоскости Выполнив суммирование, получим: , где ; . (3.16) Отсюда находим: , (3.17) Так как (3.18) то для определения нужно еще знать в какой четверти располагается вектор . Умножение комплексных чисел осуществляется в показательной форме. Например, необходимо перемножить два комплекса: , (3.19) Выполнив умножение, получим: , (3.20) где ; Деление комплексных чисел также осуществляется в показательной форме. Необходимо произвести деление следующих комплексов: (3.21) Выполнив деление, получим: (3.22) Где , (3.23) Вместо комплексных амплитуд часто берут комплекс действующего значения: (3.24) Теперь рассмотрим вопрос о применимости к схемам цепей переменного тока законов Кирхгофа. В узлах схемы не могут накапливаться заряды. Поэтому для любого узла схемы справедлив первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных значений токов в проводах, соединенных в узел равна нулю: (3.25) Справедлив и второй закон Кирхгофа: алгебраическая сумма мгновенных напряжений на всех элементах любого замкнутого контура равна нулю: (3.26) Можно мгновенные значения токов и напряжений заменить их комплексами и получить законы Кирхгофа для комплексных токов, напряжений и ЭДС. 3.6 Резистор, конденсатор и катушка в цепи синусоидального тока 3.6.1 Резистор в цепи синусоидального тока На рис. 3.5 изображен резистор с сопротивлением , по которому течет синусоидальный ток . По закону Ома напряжение на резисторе: Рисунок 3.5– Резистор в цепи синусоидального тока , (3.27) где . Комплекс тока и совпадающий с ним по фазе комплекс напряжения показаны на векторной диаграмме рисунка 3.6 б, мгновенные величины тока и напряжения изображены на рисунке 3.6 а. а) б) Рисунок 3.6 –Мгновенные величины и комплексы тока и напряжения на резисторе 3.6.2 Катушка индуктивности в цепи синусоидального тока Практически любая обмотка (катушка) обладает некоторой индуктивностью и активным сопротивлением . Выделим из схемы только индуктивность (без активного сопротивления). Если через нее течет ток , то в катушке наводится ЭДС самоиндукции: (3.28) Рисунок 3.7 – Катушка индуктивности в цепи синусоидального тока Положительное направление отсчета ЭДС на рис. 3.7 обозначено стрелкой, совпадающей с положительным направлением отсчета тока . Найдем разность потенциалов, между точками и . (3.29) Следовательно: (3.30) где , и . Вывод: напряжение на катушке опережает ток по фазе на . Мгновенные величины тока и напряжения, а также их вектора на комплексной плоскости представлены на рис. 3.8. Рисунок 3.8 – Мгновенные величины и комплексы тока и напряжения на катушке индуктивности 3.6.3 Конденсатор в цепи синусоидального тока Пусть напряжение u, приложенное к конденсатору, меняется по синусоидальному закону (рис. 3.9): (3.31) Заряд связан с напряжением на конденсаторе следующим соотношением: (3.32) Ток через конденсатор: (3.33) Рисунок 3.9 – Конденсатор в цепи синусоидального тока Вывод: ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на . Сопротивление конденсатора обратно пропорционально циклической частоте. Мгновенные величины тока и напряжения, а также их вектора на комплексной плоскости представлены на рис. 3.10. Рисунок 3.10 –Мгновенные величины и комплексы тока и напряжения на конденсаторе Умножение вектора на и .Умножение вектора на дает тот же вектор, опережающий исходный на . Умножение на дает такой же вектор, но отстающий от исходного вектора на . 3.7 Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока Широкое распространение на практике получил символический или комплексный метод расчета цепей синусоидального тока. Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями, к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнениях, составленных по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока заменяют комплексной амплитудой тока , мгновенное значение напряжения на индуктивной катушке – комплексом , опережающим ток на мгновенное значение напряжения на конденсаторе – комплексом , отстающим от тока на . Например: для схемы, изображенной на рис. 3.11 уравнение для мгновенных значений можно записать: или (3.34) Запишем его в комплексной форме: (3.35) Вынесем за скобку и получим: (3.36) (3.37) Множитель ( ) представляет собой комплекс, имеющий размерность сопротивления и обозначается . Его называют комплексным сопротивлением: (3.38) Уравнение (3.38) можно переписать в виде: (3.39) Разделим уравнение (3.39) на и перейдем к комплексам действующих значений: Рисунок 3.11 – Схема для иллюстрации символического метода расчета (3.40) Это уравнение есть закон Ома для цепи синусоидального тока. В общем случае имеет некоторую действительную часть и некоторую мнимую часть . , где (3.41) 3.8 Треугольник сопротивлений Из формулы следует, что модуль комплексного сопротивления . Следовательно, можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника. При этом: (рис.3.12). Рисунок 3.12 – Треугольник сопротивлений Помимо комплексного сопротивления вводится также понятие комплексной проводимости: (3.42) Действительную ее часть обозначают , а мнимую – . Чтобы выделить действительную и мнимую части из общей формулы проводимости числитель и знаменатель дроби умножают на сопряженный комплекс: (3.43) При использовании комплексной проводимости закон Ома: , (3.44) Аналогичным образом можно представить как гипотенузу прямоугольного треугольника (рис.3.13), катетами которого является активная и реактивная проводимости: при этом. Рисунок 3.13 – Треугольник проводимостей По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы равна нулю: (3.45) Подставив вместо этого и вынося за скобку, получаем: (3.46) Так как при любом , то . Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС. Пусть замкнутый контур содержит ветвей, и каждая ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС , резистор , индуктивность и емкость , по которым протекает ток .Тогда запишем: (3.47) Каждое слагаемое в уравнении (3.47) можно заменить комплексной величиной. После замены перепишем уравнение: (3.48) Для анализа и расчета электрических цепей переменного тока, так же как и для цепей постоянного тока разработан ряд приемов и методов, облегчающих решение по сравнению с решением системы уравнений при непосредственном применении законов Кирхгофа. То есть все методы расчета, разобранные в предыдущем параграфе для цепей постоянного тока применимы к цепям переменного тока. 3.9 Мощность в цепи синусоидального тока 3.9.1 Активная, реактивная и полная мощности Мгновенная мощность, производимая и отдаваемая источником ЭДС и получаемая двухполюсником, равна скорости совершения работы в данный момент времени. (3.49) Напряжение и ток на входе пассивного двухполюсника в общем случае сдвинуты по фазе на угол . Примем начальную фазу напряжения , следовательно, начальная фаза тока . При таком условии мгновенные значения напряжения и тока: (3.50) (3.51) Подставляя выражения для тока и напряжения из (3.50 и 3.51) в (3.49), имеем для мгновенной мощности: (3.52) Согласно формуле (3.52) мгновенная мощность имеет постоянную составляющую и гармоническую составляющую, частота которой в 2 раза больше частоты напряжения и тока (рис.3.14). Мгновенная мощность положительна, когда у напряжения и тока одинаковые знаки, и она отрицательна, когда у напряжения и тока разные знаки. Когда мгновенная мощность отрицательна, энергия поступает не в двухполюсник, а возвращается из двухполюсника к источнику ЭДС. Такой возврат энергии источнику питания возможен, так как энергия периодически запасается в магнитном и электрическом полях элементов цепи, входящих в состав двухполюсника. Если двухполюсник состоит из резистивных элементов, энергия накапливаться в нем не может. В этом случае нет сдвига фаз между напряжением и током. Среднее значение мгновенной мощности за период называется активной мощностью или иногда просто мощностью: Рисунок 3.14 – Мгновенная мощность (3.53) Активная мощность, получаемая двухполюсником, не может быть отрицательной (рис. 3.15). Активная мощность измеряется в Вт. Работу электрических машин также характеризуют полной мощностью S: (3.54) Рисунок 3.15–Активная мощность Единицы измерения полной мощности [ВА]. Очевидно, что полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных значениях напряжения и тока. Отношение активной мощности к полной равно косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током и называется коэффициентом мощности: (3.55) Для лучшего использования электрических машин желательно обеспечить . Высокий желателен также для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям. При расчетах электрических цепей находит применение ток называемая реактивная мощность: (3.56) Она положительна при и отрицательна при . Единица измерения реактивной мощности – ВАР. За один период переменного тока дважды отдается генератором в цепь и дважды он получает ее обратно, т.е. реактивная мощность является энергией, которой обмениваются генератор и приемник. Мощности связаны следующей зависимостью: (3.57) Графически эту связь можно представить в виде прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой (рис.3.16). Рисунок 3.16 –Треугольник мощностей Рассмотрим теперь прием, позволяющий найти активную и реактивную мощности при известных комплексах напряжения и тока. Он заключается в том, что нужно взять произведение комплексного напряжения на комплекс тока , сопряженный с комплексом . Это произведение называется комплексной мощностью . Пусть ; , так что и , т.е. (3.58) Действительная часть комплексной мощности равна активной мощности, мнимая – реактивной мощности. Модуль комплексной мощности равен полной мощности . 3.9.2 Мощность резистивного, индуктивного и емкостного элементов Вся энергия, поступающая в резистивный элемент, преобразуется в тепло. Принимая во внимание, что , мгновенная мощность может быть представлена в следующем виде: (3.59) Так как ток совпадает по фазе с напряжением, то из соотношения (3.52) получаем: (3.60) Мгновенная мощность колеблется в пределах от 0 до и не бывает отрицательной. Активная мощность равна положительному значению, реактивная – нулю. Для индуктивности мгновенная мощность равна скорости прироста энергии магнитного поля (рис 3.17). (3.61) Для емкости мгновенная мощность равна скорости прироста энергии электрического поля (рис. 3.18): (3.62) Рисунок 3.17–Мгновенная мощность индуктивного элемента Рисунок 3.18 –Мгновенная мощность индуктивного элемента Так как для индуктивности , а для емкости , то для обоих случаев получим: (3.63) Знак (–) в формуле (3.63) для катушки индуктивности, (+) – для емкости. Площади, ограниченные кривыми мгновенных мощностей и осями абсцисс, пропорциональны энергии, которая поступает в индуктивные или емкостные элементы – на рис. 3.17; 3.18 обозначены знаком (+), если энергия возвращается источнику питания – знаком (-). Эти площади равны друг другу. Происходит непрерывный обмен энергией между источником питания и этими элементами. Активная мощность у этих элементов равна нулю. Реактивные мощности, получаемые индуктивными и емкостными элементами, можно выразить как произведение угловой частоты и максимальных значений энергии, периодически запасаемых соответственно в магнитных и электрических полях. (3.64) (3.65) Для индуктивного элемента: (3.66) Для емкостного элемента: (3.67) Отрицательная потребляемая мощность соответствует положительной отдаваемой мощности. Источники питания могут либо отдавать, либо получать реактивную мощность. Рассмотрим более детально энергетические процессы в контуре с двумя накопителями энергии – в последовательном RLC контуре, находящимся под действием источника синусоидального напряжения (рис.3.19). Мгновенные мощности, потребляемые отдельными элементами контура: (3.68) Рисунок 3.19– Последовательный колебательный контур Так как условие баланса мощностей выполняется для любого момента времени, то: (3.69) Поскольку при последовательном соединении конденсатора и катушки их напряжения находятся в противофазе, то есть и имеют противоположные знаки, то для мощностей и справедливо такое же соотношение: при накоплении энергии конденсатором катушка отдает ее и наоборот. Таким образом, в контуре происходит обмен энергией между катушкой и конденсатором. Если контур имеет индуктивный характер, то максимальная энергия, запасаемая катушкой в течение периода, превосходит максимальную энергию, запасаемую конденсатором. Поэтому циклический обмен энергией между реактивными элементами цепи L и C не сбалансирован, и в течение части периода, когда напряжение на зажимах цепи и ток имеют противоположные знаки, часть энергии, запасенной катушкой, отдается питающему контур источнику. При емкостном характере цепи, наоборот, максимальная энергия, запасаемая конденсатором, превосходит максимальную энергию, запасаемую катушкой, и отдача энергии источнику в течение части периода обеспечивается конденсатором. В случае ток и напряжение на зажимах контура совпадают по фазе. При этом обмен энергией между катушкой и конденсатором сбалансирован, и нет обмена между реактивными элементами и источником питания. Энергия источника в этом режиме полностью отдается резистивному элементу контура. 3.9.3 Баланс мощностей Из закона сохранения энергии следует, что в любой цепи соблюдается баланс как мгновенных, так и комплексных мощностей. Он звучит так: равны нулю в отдельности суммы получаемых активных мощностей и суммы получаемых реактивных мощностей. Так как отрицательные получаемые мощности представляют собой мощности отдаваемые, то сумма всех отдаваемых и всех получаемых мощностей равны друг другу: (3.70) При равенстве сумм комплексных величин, суммы их модулей в общем случае не равны друг другу. Отсюда следует, что для модулей баланс мощностей не соблюдается. Активная мощность измеряется ваттметром, который имеет 2 цепи или обмотки – напряжения и тока. Два вывода: один – обмотки напряжения; другой – обмотки тока. Одноименные зажимы обозначают одинаковыми значками, обычно звездочками (рис 3.20). Рисунок 3.20 – Подключение ваттметра Ваттметр устроен так, что измеряет значение , где и – действующие напряжения и ток, подведенные к ваттметру, а – угол сдвига фаз между ними, который соответствует одинаковым положительным направлениям и относительно выводов, отмеченных звездочкой. Стрелка ваттметра отклоняется по шкале, если и против шкалы, если . 3.10 Расчет цепей синусоидального тока Уравнения, выражающие законы Кирхгофа в комплексной форме для цепей синусоидального тока имеют совершенно такой же вид, как и соответствующие уравнения для цепей постоянного тока. Все методы расчета цепей постоянного тока получены на основе законов Ома и Кирхгофа. Если повторять все рассуждения и выводы, взяв за основу уравнения Кирхгофа в комплексной форме, то для цепей синусоидального тока можно обосновать те же методы, которые были получены для цепей постоянного тока. Это возможно за исключением цепей с взаимной индуктивностью. При последовательном соединении приемников энергии с комплексными сопротивлениями , эквивалентное комплексное сопротивление цепи: (3.71) причем ; . (3.72) При параллельном соединении приемников энергии с комплексными проводимостями , эквивалентная комплексная проводимость: (3.73) причем ; . (3.74) В случае двух параллельных ветвей их общее сопротивление: (3.75) 3.11 Двухполюсник в цепи синусоидального тока На рис.3.21 изображен пассивный двухполюсник, подключенный к источнику ЭДС Входное сопротивление двухполюсника: (3.76) Рисунок 3.21 – Двухполюсник В общем случае: (3.77) Входное сопротивление можно определить опытным путем или расчетным путем, если известна схема соединения двухполюсника. При опытном определении входного сопротивления собирают схему, изображенную на рис.3.22. Рисунок 3.22 –Схема для определения входного сопротивления двухполюсника В приведенной схеме амперметр измеряет ток , вольтметр – напряжение на входе двухполюсника. Ваттметр измеряет активную мощность: (3.78) Модуль входного сопротивления: (3.79) При делении получим .По косинусу угла находится и затем находится и . Так как есть функция четная, т.е. ,то измерения необходимо дополнить еще одним опытом, который позволил бы путем сопоставления показаний амперметра в двух опытах выяснить знак угла . Сдвиг фаз можно измерить фазометром. Если фазометр отсутствует, то делают следующий опыт. Параллельно двухполюснику путем замыкания ключа подключают небольшую емкость . Если показания амперметра при замыкании ключа станут меньше, то , если больше, то (рис 3.23). 3.12 Условия передачи максимальной мощности от активного двухполюсника к пассивному двухполюснику Представим источник энергии (рис.3.24) с ЭДС и внутренним сопротивлением: (3.80) Рисунок 3.23 –Векторная диаграмма при подключении пробной емкости как активный двухполюсник. Выясним, каким должно быть сопротивление пассивного двухполюсника, чтобы передаваемая ему активная мощность была максимальной. Мощность приемника: (3.81) Рисунок 3.24 –Схема для расчета передачи максимальной мощности от активного двухполюсника пассивному двухполюснику Очевидно, что при любом мощность максимальна при . В этом случае: (3.82) Поступим теперь аналогично цепи постоянного тока. Взяв от выражения производную и приравняв ее к нулю, найдем, что мощность имеет наибольшее значение при условии . Таким образом, приемник получает от источника наибольшую активную мощность, если его комплексное сопротивление является сопряженным с комплексным внутренним сопротивлением источника: (3.83) При этом условии максимальная мощность: (3.84) Иногда сопротивление приемника можно изменить не произвольно, а только с сохранением соотношения между активными и реактивными сопротивлениями, т.е. при . Анализ показывает, что в этом случае мощность максимальна, если равны друг другу полные сопротивления приемника и источника:. 3.13 Топографические и векторные диаграммы Для суждения о напряжениях между различными точками схемы используют топографические диаграммы. Они представляют собой диаграммы комплексных потенциалов, причем каждой точке схемы соответствует определенная точка на топографической диаграмме. Построим топографическую диаграмму для схемы, изображенной на рис. 3.25. Рисунок 3.25 –Схема для построения топографической диаграммы Отложим вектор тока в произвольно выбранном направлении, причем примем потенциал точки т.е. (рисунок 3.26). Определим потенциалы остальных точек. Будем обходить контур, начиная от точки навстречу положительному направлению тока. Потенциал точки больше потенциала точки на величину падения напряжения на индуктивности: (3.85) Так как , то на диаграмме изображен отрезком, равным по модулю , и опережающим ток по фазе на . Проведем из точки прямую, параллельную току, т.к. потенциал точки выше потенциала точки на величину падения напряжения на активном сопротивлении : (3.86) Получим потенциал точки . Аналогично находим: (3.87) Рисунок 3.26–Топографическая диаграмма Рисунок 3.27–Векторная диаграмма Отложив отрезок перпендикулярно току , получим точку . Далее для точки а: (3.88) Затем получаем последнюю точку топографической диаграммы. Соединив точку и , получим вектор, численно равный . Можно также определить угол сдвига фаз между напряжением и током . По топографической диаграмме можно определить также напряжение между любыми точками схемы. Для этого достаточно соединить соответствующие точки топографической диаграммы отрезком прямой и придать этому отрезку надлежащее направление. На рис. 3.26 это точки и . Векторная диаграмма для схемы рис.3.25 приведена на рис. 3.27. Начинаем строить ее с вектора тока, принимая его начальную фазу равную 0. Затем откладываем вектора напряжений на всех элементах схемы и суммируем их согласно второму закону Кирхгофа. Получаем входное напряжение, численно равное ЭДС . (3.89) 3.14 Комплексные частотные и передаточные характеристики К частотным характеристикам цепи в комплексной форме или к комплексным частотным характеристикам относятся входные и передаточные функции, записанные в комплексной форме. Входная комплексная функция цепи – это зависимость от частоты комплексного сопротивления или проводимости: (3.90) Построим зависимости от частоты модуля и аргумента входного комплексного сопротивления параллельной схемы замещения реального конденсатора (рис. 3.28) с заданными параметрами и , считая их в рассматриваемом диапазоне частот неизменными. Рисунок 3.28–Схема для построения частотных характеристик Входное сопротивление: (3.91) Модуль: , угол: (3.92) Зависимости и для данной цепи приведены на рис. 3.29. Передаточная комплексная функция цепи определяет реакцию цепи на внешнее воздействие и равна отношению выходной величины к входной величине , выраженных в комплексной форме. Различают четыре передаточных функции: 1) передаточная функция по напряжению 2) передаточная функция по току 3) передаточное сопротивление 4) передаточная проводимость (3.93) Рисунок 3.29–Зависимости и Зависимость модуля передаточной функции от частоты называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). Зависимость аргумента от частоты – фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). 3.15 Резонанс в цепи синусоидального тока Наименование «резонанс» заимствовано из теории колебаний. Резонансом называется процесс вынужденных колебаний с такой частотой, при которой интенсивность колебаний при прочих равных условиях максимальна. Характеризовать интенсивность колебательного процесса можно по различным проявлениям, максимумы которых наблюдаются при различных частотах. За критерий принимается совпадение по фазе тока и напряжения на входных зажимах, т.е. так называемый фазовый резонанс. Ток совпадает с напряжением по фазе, если входное реактивное сопротивление или входная реактивная проводимость двухполюсника равна нулю. Отметим, что частоты, при которых наблюдается резонанс, не всегда совпадают с частотой собственных колебаний. Принятый здесь критерий резонанса применим также при больших потерях, при которых собственные колебания в контуре невозможны. 3.15.1 Резонанс в последовательном контуре Рассмотрим последовательное соединение резистивного, индуктивного и емкостного элементов. Такую цепь называют последовательным колебательным контуром или – цепью (рис 3.30). В цепи наступает резонанс при условии: , или , т.е.: (3.94) Рисунок 3.30 –Последовательный колебательный контур При равенстве напряжения на катушке и конденсаторе равны по величине и противоположны по фазе, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи называют резонансом напряжений. Напряжения на индуктивности и емкости при резонансе могут значительно превышать напряжение на входных выводах цепи, которое равно напряжению на активном сопротивлении. Полное сопротивление цепи минимально при : , а ток при заданном напряжении достигает наибольшего значения: (3.95) В теоретическом случае при полное сопротивление цепи в режиме резонанса также равно нулю, а ток при любом конечном значении напряжения бесконечно велик. Также бесконечно велики напряжения на индуктивности и емкости. Из условия следует, что резонанса можно достичь, изменяя либо частоту напряжения питания, либо параметры цепи: индуктивность или емкость. Угловая частота, при которой наступает резонанс, называется резонансной угловой частотой: (3.96) а частота, при которой наступает резонанс – резонансной частотой: (3.97) Индуктивное и емкостное сопротивления при резонансе: (3.98) Величина называется характеристическим сопротивлением контура. Отношение напряжения на индуктивном или емкостном элементе к напряжению питания при резонансе обозначают буквой : (3.99) и называют добротностью контура или коэффициентом резонанса. Добротность контура указывает, во сколько раз напряжение на индуктивном или емкостном элементе при резонансе больше, чем напряжение на входных выводах; , если . Энергия, поступающая в контур от источника питания, в любой момент времени полностью переходит в тепло. Поэтому для источника питания контур эквивалентен резистивному элементу. 3.15.2 Частотные характеристики и резонансные кривые Предположим, что к контуру (см. рис. 3.30) приложено синусоидальное напряжение:, амплитуда которого неизменна, а частота может изменяться в пределах от 0 до . Изменение частоты приводит к изменению параметров контура. Изменяется его реактивное, и, следовательно, полное сопротивление, а также угол . Зависимости от частоты параметров цепи называются частотными характеристиками цепи, зависимости действующих (амплитудных) значений тока и напряжения от частоты – резонансными кривыми. На рис. 3.31а построены частотные характеристики и . Изменение реактивного сопротивления приводит к изменению режима цепи. На рис. 3.31б приведен примерный вид резонансных кривых ,, и для цепи, добротность которой составляет. При напряжение, приложенное к цепи, во времени не изменяется, поэтому ток в цепи отсутствует. При изменении частоты от 0 до реактивное сопротивление имеет емкостной характер и изменяется от до 0. Вследствие этого ток возрастает от 0 до максимального резонансного значения: (3.100) а) б) Рисунок 3.31– Частотные характеристики и резонансные кривые последовательного колебательного контура При частоте напряжение, приложенное к цепи, во времени не изменяется, а угол сдвига фаз между напряжением и током изменяется от до 0 и имеет емкостной характер. При изменении частоты от величины до результирующее реактивное сопротивление возрастает от 0 до и имеет индуктивный характер. Вследствие этого ток уменьшается от наибольшего значения до 0, а угол возрастает от 0 до . Напряжение изменяется пропорционально току. В выражении напряжения на индуктивности оба сомножителя зависят от частоты. При частоте сопротивление , ток и, следовательно, . При изменении частоты от 0 до значения оба сомножителя увеличиваются, и возрастает. При дальнейшем увеличении частоты () ток уменьшится, но за счет роста напряжение продолжает возрастать. Анализ показывает, что для цепи с добротностью возрастание родолжается непрерывно до значения , а для цепи с добротностью напряжение при некоторой частоте достигает максимума , а затем уменьшается. При , и . Теперь рассмотрим зависимость напряжения на емкости от частоты. При частоте тока в цепи нет, поэтому . Анализ показывает, что для цепи с добротностью напряжение уменьшается непрерывно до 0, а для цепи с добротностью напряжение сначала из-за возрастания тока увеличивается, достигая при некотором значении частоты максимума , а затем уменьшается. Уменьшение напряжения с ростом частоты начинается при частоте меньшей вследствие непрерывного уменьшения . При частоте как ток , так и равны нулю, поэтому , , при . График зависимости тока (рис. 3.31б) показывает, что рассматриваемая цепь обладает избирательными свойствами. Цепь обладает наименьшим сопротивлением для тока той частоты, которая наиболее близка к ее резонансной частоте. Избирательными свойствами таких цепей широко пользуются в электросвязи и радиотехнике, при этом режим резонанса является нормальным режимом работы. Наоборот, в устройствах, где резонансный режим не предусмотрен, появление резонанса нежелательно, так как возникающие значительные напряжения на катушке и конденсаторе могут оказаться опасными для изоляции. Вычислим влияние параметров цепи на форму резонансной кривой . Для удобства сравнения резонансных кривых друг с другом будем строить их в относительных единицах. (3.101) где – действующий ток при резонансе, – относительная частота. Преобразуем выражение полного сопротивления цепи: (3.102) Разность характеризует расстройку контура относительно резонансной частоты. Произведение называется обобщенной расстройкой контура. С учетом этих обозначений сопротивление: (3.103) ток в цепи: (3.104) Последнее выражение показывает, что влияние параметров цепи на вид резонансной кривой полностью учитывается добротностью контура . На рисунке 3.32а представлен ряд резонансных кривых. Как видно из графиков, чем больше добротность, тем острее резонансная кривая, тем лучше «избирательные свойства» цепи, что и послужило одной из причин назвать добротностью контура. Наибольшие достигнутые на практике значения добротности . Для оценки избирательных свойств цепи вводят условное понятие ширины резонансной кривой или полосы пропускания контура (). Полосу пропускания определяют как разность верхней и нижней частот, между которыми отношение превышает . На рис. 3.32 б проведена горизонтальная линия, соответствующая . Ее пересечение с резонансными кривыми определяет граничные частоты полосы пропускания соответствующих контуров. Чем выше добротность контура, тем уже полоса пропускания. Высшая и низшая относительные частоты показаны на рис. 3.32 б для контура с известной добротностью . На этом же рисунке построена идеальная резонансная кривая, для которой вне полосы пропускания ток равен нулю. 3.15.3 Резонансные явления при изменении параметров контура Резонанса можно достичь не только изменением частоты напряжения питания, но и изменением индуктивности катушки или емкости конденсатора. Чаще всего контур настраивают в резонанс при помощи конденсатора переменной емкости. Предположим, что в последовательный контур включен конденсатор, емкость которого изменяется. Рассчитаем и построим резонансные кривые тока и напряжений на индуктивности и емкости. Ток в цепи равен нулю при емкости и растет с увеличением емкости до резонансного значения: а) б) Рисунок 3.32–Резонансные кривые для контуров с различной добротностью (3.105) при , удовлетворяющую условию резонанса: (3.106) затем уменьшается при дальнейшем увеличении емкости и стремится при к величине (рис. 3.33, 3.34): (3.107) Добротность контура при этом равна: (3.108) Рисунок 3.33 –Определение полосы пропускания контура при изменении С Напряжение на индуктивности равно , т.е. форма кривой такая же, как и . Максимальное значение напряжения достигается в резонансе. При емкости . Если , напряжение на емкости при ; оно достигает максимального значения при , при равно ; при напряжение на конденсаторе стремится к 0. При добротности наступает при соотношении и равно . 3.15.4 Резонанс в параллельном контуре Рассмотрим цепь с двумя параллельными ветвями: в одной – с сопротивлением и индуктивностью , а в другой – с сопротивлением и емкостью . Такую цепь называют параллельным колебательным контуром (рис. 3.35). В данной цепи резонанс наступает, если у входной проводимости: (3.109) Рисунок 3.34 –Резонансные кривые в контуре при изменении С Рисунок 3.35 –Параллельный колебательный контур реактивная составляющая равна нулю: (3.110) или где: ; (3.111) При равенстве реактивных проводимостей противоположные по фазе реактивные составляющие токов равны, поэтому резонанс в рассматриваемой цепи получил название резонанса токов. Из векторной диаграммы (рис. 3.36) видно, что при резонансе ток на входных выводах контура может быть значительно меньше токов в ветвях. В теоретическом случае при токи и сдвинуты по фазе относительно напряжения на углы и , и суммарный ток: (3.112) Рисунок 3.36–Векторная диаграмма для схемы 3.35 Входное сопротивление цепи при этом бесконечно велико. Подставив в соотношение , значения и , выраженные через параметры цепи и частоту, получим: (3.113) Изменением одной из величин:,,,, при остальных четырех постоянных не всегда можно достичь режима резонанса. Резонанс отсутствует, если значение изменяемой величины при ее определении из уравнения (3.113) получается мнимым или комплексным. Для величин и могут получаться по два значения, удовлетворяющие уравнению (3.113).В таких случаях можно достичь двух резонансных режимов. Решив уравнение (3.113), найдем выражение для резонансной угловой частоты: (3.114) Резонанс возможен, если сопротивления и оба больше или меньше . Если это условие не выполнено, частота получается мнимой величиной. При резонансная частота , т.е. такая же, как и при резонансе в последовательном контуре. При равенстве сопротивлений резонансная частота может принимать любое значение, т.е. резонанс наблюдается при любой частоте. Действительно, при условии входное сопротивление контура равно . Оно активное и не зависит от частоты. Следовательно, ток и напряжение совпадают по фазе при любой частоте. Заметим, что в радиотехнике часто применяются контуры с малыми потерями, т.е. когда в контуре и малых по сравнению с . В таких условиях резонансную частоту можно вычислить по формуле: (3.115) Анализ показывает, что в общем случае сумма энергий электрического и магнитного полей при резонансе не остается постоянной. Эта сумма постоянна только в теоретическом случае, т.е. при условии . 3.15.5 Частотные характеристики параллельного контура Построим резонансную кривую тока в неразветвленной части идеального параллельного контура (рис.3.37) при неизменном напряжении источника питания для Рисунок 3.37 – Идеальный колебательный контур идеального случая . На рис. 3.38 показаны частотные характеристики проводимостей ветвей , и входной проводимости цепи . Ток в неразветвленной части , поэтому кривая в соответствующем масштабе и есть резонансная кривая тока . При изменении частоты от 0 до эквивалентная проводимость , т.е. индуктивная и изменяется от до 0. При наступает резонанс токов , , и . При возрастании частоты от до , входная проводимость , т.е. емкостная и изменяется от 0 до . В общем случае при сопротивлениях и не равных нулю, активная входная проводимость цепи отлична от нуля при любой частоте, поэтому ток ни при одном значении частоты не равен нулю. Анализ показывает, что при условии и зависимость при имеет минимум, причем этот минимум наблюдается при частоте, отличающейся от резонансной частоты. Последнее объясняется тем, что максимум полного входного сопротивления получается при частоте, для которой , а резонанс имеет место при частоте, для которой или . Чем меньше и , тем меньше минимальное Рисунок 3.38 –Частотные характеристики параллельного колебательного контура значение тока , тем ближе значение частоты, при которой наблюдается минимум тока, к резонансной частоте и тем меньше резонансная кривая тока отличается от кривой при . При условии и ток при любой частоте одинаков. Зависимость не имеет ни максимума, ни минимума и графически представляется прямой, параллельной оси абсцисс. Анализ показывает, что при условии и резонансная кривая тока при некотором значении частоты достигает максимума. 3.15.6 Понятие о резонансе в сложных цепях Условие фазового резонанса и для разветвленной цепи (рис. 57) с несколькими катушками индуктивности и конденсаторами дают для частоты уравнения, которые могут иметь несколько действительных корней. Другими словами, в разветвленной цепи может быть несколько резонансных частот. Рисунок 3.39–Резонанс в сложном колебательном контуре Рассмотрим цепь на рис. 3.39. Потерями в ней можно пренебречь. Входное сопротивление цепи чисто реактивное: (3.116) Резонанс наступает при условии или , причем если , то и наоборот, если , то . Это справедливо всегда, если пренебречь потерями в ветвях. Следовательно, резонансными будут частоты, обращающие в нуль или в бесконечность. В рассматриваемом случае при следующем соотношении , или: (3.117) На этой частоте имеет место резонанс токов в параллельных ветвях, содержащих и . Полагая , из уравнения (3.116) получим вторую резонансную частоту: (3.118) При этой частоте имеет место резонанс напряжений в последовательном контуре с индуктивностью и емкостью, эквивалентной двум параллельным ветвям. Таким образом, в рассматриваемой цепи две резонансные частоты. Общее количество резонансных частот равно количеству реактивных элементов без одного. 3.16 Цепи с взаимной индуктивностью 3.16.1 Индуктивно связанные элементы цепи Если изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а возникшую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуют коэффициентом связи , под которым понимают отношение: (3.119) где – взаимная индуктивность элементов цепи, и – индуктивности элементов цепи. Покажем, что коэффициент связи всегда меньше 1 и выясним, при каких условиях он мог бы быть равен 1. Пусть две катушки изготовлены в виде тонких колец большого диаметра. При указанной форме катушек можно считать, что все витки каждой катушки сцеплены с одинаковым магнитным потоком. На рис. 3.40 показана картина магнитного поля при наличии тока в первой катушке. Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции , а витки второй катушки – с магнитным потоком взаимной индукции . Потокосцепления самоиндукции и взаимной индукции первой и второй катушек равны соответственно: (3.120) По определению индуктивность первой катушки и взаимная индуктивность катушек: , (3.121) Рисунок 3.40– Индуктивно связанные катушки (возникновение потока взаимоиндукции при протекании тока по первой катушке) Сделаем пояснения. Положительные направления тока и магнитного потока самоиндукции условимся всегда выбирать согласованными по правилу правого винта, поэтому, когда , то , а когда , то и . Следовательно, отношение всегда положительно. Что же касается положительного направления для потока взаимной индукции , то его выбор произволен, поэтому отношение может иметь любой знак. Будем считать величину положительной величиной, поэтому выражение для величины запишем по модулю. На рис. 3.41 показана схематичная картина поля при наличии только тока во второй катушке. Для второй катушки запишем аналогичные уравнения. По определению: (3.122) (3.133) Равенство может быть доказано на основании условия независимости энергии магнитного поля токов и от порядка их возрастания от нуля до своих Рисунок 3.41– Индуктивно связанные катушки (возникновение потока взаимоиндукции при протекании тока по второй катушке) конечных значений. Составим соотношение: (3.134) Так как и , то . Коэффициент связи двух катушек мог бы равняться 1, если бы и , т.е. весь поток, создаваемый в одной катушке, полностью (без рассеяния) сцеплялся бы с витками другой катушки, что возможно лишь при совмещении катушек. Практически витки двух катушек пронизываются неодинаковыми магнитными потоками, и поэтому всегда . Изменения индуктивной связи между двумя катушками можно достигнуть перемещением одной катушки относительно другой. 3.16.2 ЭДС взаимной индукции При изменении тока в одном из индуктивно связанных элементов цепи в другом элементе возникает ЭДС взаимной индукции и между его разомкнутыми выводами появляется магнитное напряжение: , (3.135) Для облегчения решения вопроса о знаке этих величин прибегают к специальной разметке выводов индуктивно связанных элементов цепи. Два вывода, принадлежащих двум разно индуктивно связанным элементам цепи, называются одноименными и обозначаются одинаковыми значками по следующему правилу: при одинаковом направлении токов относительно одноименных зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции в каждом элементе должны суммироваться. Рисунок 3.42 –Разметка одноименных выводов катушек Применим это правило для разметки выводов катушек, показанных на рис. 3.42. При направлении тока от вывода к выводу и тока , от вывода к выводу магнитные потоки самоиндукции и взаимной индукции суммируются. Поэтому вывод является одноименным с выводом и аналогично вывод является одноименным с выводом . Для другого случая (рис. 3.43) одноименными являются выводы и , и .Разница – в направлении намотки 2 катушки. Одну из двух пар одноименных выводов обозначают значками, например, * или . Определим знак в выражении для ЭДС и напряжения, обусловленных взаимной индукцией. Рассмотрим две катушки рис. 3.44. Пусть катушка 1 разомкнута, а в катушке 2 протекает синусоидальный ток .Выберем положительные направления для ЭДС , напряжения и тока в катушке 2 относительно одноименных выводов одинаковыми и направленными, например, от к и, соответственно, от к . Рисунок 3.43– Разметка одноименных выводов катушек Рисунок 3.44– Схема для определения знака магнитного напряжения Отметим, что . ЭДС на основании закона Лоренца должна иметь такое направление, при котором вызываемый ею ток препятствовал бы изменению магнитного потока взаимной индукции. Поэтому если , то направлена от к , т.е. . Если , то ЭДС должна быть направлена от к , т.е. . Таким образом, при выбранных положительных направлениях знаки и всегда противоположны, поэтому: (3.136) Если бы положительные направления и в катушке 1 и тока в катушке 2 относительно одноименных выводов были выбраны различными, то аналогичные рассуждения показали бы, что знаки и были бы всегда одинаковы: (3.137) Для комплексных величин уравнения (3.136) и (3.137): (3.138) (3.139) Напряжение , обусловленное взаимной индукцией, сдвинуто по фазе относительно тока на угол или . Знак этого узла зависит от выбора положительных направлений и относительно одноименных выводов. Величина имеет размерность сопротивления, называется сопротивлением взаимной индукции и обозначается . Величина называется комплексным сопротивлением взаимной индукции и обозначается : (3.140) 3.16.3 Последовательное соединение индуктивно связанных элементов цепи Предположим, что две катушки с сопротивлениями и , индуктивностями и и взаимной индуктивностью соединены последовательно. Возможны два вида их включения – согласное (рис. 3.45) и встречное (рис. 3.46). Рисунок 3.45 –Согласное соединение индуктивно связанных элементов При согласном включении токи в обоих элементах в любой момент времени направлены одинаково относительно одноименных выводов. Рисунок 3.46 –Встречное соединение индуктивно связанных элементов При встречном включении токи в обоих элементах цепи в любой момент времени направлены противоположно относительно одноименных выводов, поэтому магнитные потоки вычитаются. Индуктивность двух последовательно соединенных индуктивно связанных элементов: (3.141) (3.142) Знак (+) относится к согласному, а знак (–) к встречному включению. Следовательно: (3.143) Полное сопротивление при согласном включении больше, чем при встречном. Этим можно пользоваться для определения опытным путем одноименных выводов индуктивно связанных элементов цепи, например по показаниям вольтметра и амперметра. Напряжения на элементах имеют по три составляющих: (3.144) 3.16.4 Параллельное соединение индуктивно связанных элементов цепи Предположим, что две катушки с сопротивлениями и , индуктивностями и и взаимной индуктивностью соединены параллельно, причем одноименные выводы присоединены к одному и тому же узлу (рис. 3.47). При выбранных положительных направлениях токов и напряжения: (3.145) Рисунок 3.47 –Параллельное соединение индуктивно связанных элементов где Решив уравнения, получим: (3.146) ; (3.147) при , т.е. принимает обычный вид общего выражения для параллельно соединенных сопротивлений. 3.16.5 Расчеты разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности Расчеты разветвленных цепей можно вести, составляя уравнения по первому и второму законам Кирхгофа или методом контурных токов. В качестве примера запишем уравнения по законам Кирхгофа для схемы, представленной на рис. 3.48. Рисунок 3.48 –Расчет разветвленных цепей, содержащих индуктивно связанные элементы Слагаемые входят со знаком (+) или (–) в зависимости от того, совпадают или не совпадают по отношению к одноименным выводам элементов цепи и направление обхода контура через элемент и положительное направление тока через элемент . (3.148) 3.16.6 Эквивалентная замена индуктивных связей Анализ и расчет электрических цепей в ряде случаев упрощается, если часть схемы, содержащую индуктивные связи, заменить эквивалентной схемой без индуктивных связей. Этот прием называют развязкой индуктивных связей. Найдем схему без индуктивных связей, эквивалентную двум индуктивно связанным элементам цепи, присоединенным к общему узлу (рис. 3.49). Запишем соотношения для напряжений в виде: (3.149) Перепишем эти соотношения: (3.150) Получаем возможность заменить схему, изображенную на рис.3.49, Т-образной схемой замещения, не содержащей индуктивных связей, изображенной на рис.3.50. Если катушки соединены встречно, то перед М знак изменится на противоположный. При сильной связи обмоток (к=1) одна из индуктивностей в Т-образной схеме замещения может получиться отрицательной. Поэтому эквивалентную схему с взаимной индуктивностью можно использовать для моделирования цепей с отрицательной индуктивностью. 3.16.7 Передача энергии между индуктивно связанными элементами цепи Рассмотрим, как передается энергия между двумя индуктивно связанными элементами разветвленной цепи. Всю цепь за исключением этих двух элементов представим в виде активного четырехполюсника (рис.3.51). В течение каждого полупериода изменения токов и энергия, поступающая в магнитное поле индуктивно связанных элементов, возвращается обратно. Однако это не означает, что равны количества энергии, поступающей в поле и возвращаемой из поля обратно для каждого элемента в отдельности. Покажем, что при сдвиге фаз между токами и , отличающимися от 0 и , от одного из элементов поступает больше энергии, чем возвращается, а от другого элемента, наоборот, Рисунок 3.49– Исходная схема, содержащая индуктивно связанные элементы Рисунок 3.50–Эквивалентная схема в магнитное поле поступает меньше энергии, чем возвращается. В результате энергия передается от одного элемента к другому. Пусть известны токи: (3.151) Составим выражения для комплексных мощностей первого и второго элементов, обусловленных взаимной индукцией: ; (3.152) откуда: (3.153) Рисунок 3.51–Передача энергии между индуктивно связанными элементами Положительные значения мощностей соответствуют притоку энергии к рассматриваемым элементам от активного четырехполюсника, а отрицательные – передаче энергии из рассматриваемых элементов в четырехполюсник. Активная суммарная мощность, обусловленная взаимной индукцией и поступающая в оба элемента, равна нулю, т.е. . Если , то , а . В этом случае энергия передается из активного четырехполюсника в магнитное поле через первый элемент и возвращается через второй элемент. Если , то , а . В этом случае энергия поступает через второй элемент и возвращается обратно через первый. 3.16.8 Цепи с трансформаторами Воздушный трансформатор. В электротехнике широко применяется передача энергии из одного контура цепи в другой при помощи трансформаторов. Они используются для преобразования переменного напряжения (тока). Трансформаторы состоят из двух или нескольких индуктивно связанных катушек или обмоток. Обмотка трансформатора, к которой подводится питание, называется первичной обмоткой. Обмотка, к которой присоединяется приемник энергии – вторичной. Напряжение между выводами обмоток и токи в этих обмотках называют соответственно первичными и вторичными напряжениями и токами трансформатора. Цепи, в состав которых входят первичная и вторичная обмотки трансформатора, называют первичной и вторичной цепями трансформатора. Цепь, состоящая из двухобмоточного трансформатора, имеет вид, показанный на рис. 3.52. Будем считать, что нагрузка представляет собой последовательно соединенные катушку индуктивности и резистор, то есть:. Рисунок 3.52 –Трансформатор напряжения Введем обозначения: (3.154) где и – активное и реактивное сопротивления вторичного контура. Запишем уравнения по второму закону Кирхгофа для первичного и вторичного контуров. (3.155) Построим векторную диаграмму токов и напряжений для первичной и вторичной цепей (рис.3.52). Для построения векторной диаграммы зададимся током и отложим векторы , и по действительной оси. Вектора , и опережают по фазе вектор тока , поэтому отложим их по мнимой оси. Соединив конец вектора с нулевой точкой, получим, как следует из второго уравнения, вектор (рисунок 3.53). Разделив напряжение на , определим значение и направление вектора тока . Вектор отложим под углом (в сторону отставания) к вектору . Затем построим вектор совпадающим по направлению с вектором , а также вектора и , направленные перпендикулярно ему. Их сумма дает вектор . Решив систему уравнений (3.155) относительно тока , получим: Рисунок 3.53–Векторная диаграмма трансформатора (3.156) где введены обозначения: , (3.157) Сопротивления и называют вносимыми (из второго контура в первый) активным и реактивным сопротивлениями. Вносимое активное сопротивление всегда больше нуля. В нем поглощается энергия, которая в реальной цепи передается из первичной цепи во вторичную цепь. Вносимое реактивное сопротивление всегда имеет знак, противоположный знаку . Пользуясь схемой эквивалентного двухполюсника, решим вопрос об условиях передачи максимальной активной мощности во вторичную цепь, т.е. передачи максимальной мощности в сопротивление . Для этого должны удовлетворяться следующие соотношения между сопротивлениями: и или , (3.158) Последние соотношения можно получить, если предусмотреть возможность изменения параметров контуров, например, и можно менять. Если: (3.159) то ни при каких значениях и не может быть получена максимальная мощность. 3.16.9 Идеальный трансформатор Идеальный трансформатор представляет собой элемент схемы, которому приписываются следующее свойство: при любых сопротивлениях нагрузки отношения первичного и вторичного комплексных напряжений и отношения вторичного и первичного комплексных токов равны друг другу и равны постоянному действительному числу: (3.160) Это число называется коэффициентом трансформации идеального трансформатора. Рассмотрим другие свойства идеального трансформатора. Пусть к вторичным выводам идеального трансформатора присоединен приемник с комплексным сопротивлением (рис. 3.54). Входное сопротивление со стороны первичных выводов: (3.161) То есть оно в раз больше сопротивления . Если к первичным выводам присоединить приемник с комплексным сопротивлением , а питание осуществляется со стороны вторичных выводов, то аналогичным путем можно показать, что: (3.162) Эти соотношения характеризуют трансформацию сопротивлений. Если вторичные выводы разомкнуты, то , если они короткозамкнуты, то . Установим связь между комплексными мощностями на входе и выходе идеального трансформатора. Комплексная мощность на входе: (3.163) Рисунок 3.54–Идеальный трансформатор Реальный трансформатор приближается по своим свойствам к идеальному трансформатору, если коэффициент магнитной связи обмоток стремится к единице. Стальной магнитопровод в трансформаторе увеличивает коэффициент магнитной связи между обмотками. 4. Основы теории четырехполюсников Введение В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электрической цепи, т.е. четырехполюсники. Теория четырехполюсников дает возможность единым методом анализировать системы, самые различные по структуре и принципу действия. Кроме того, сложная цепь расчленяется на более простые части, характеристики которых дают полное представление о режиме работы всей цепи. 4.1 Формы записи уравнений четырехполюсника Одну пару выводов четырехполюсника называют первичной, другую – вторичной. Четырехполюсник называется активным, если в его состав входят источники питания и пассивным – если их нет (рис.4.1). Рисунок 4.1–Изображение четырехполюсника Для исследования четырехполюсников необходимо, прежде всего, установить зависимости между четырьмя величинами, определяющими режимы его работы: напряжениями и токами на первичных и вторичных выводах. Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами могут быть записаны в различной форме. если считать две из указанных величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой двух уравнений, которые называют уравнениями четырехполюсника. Например, если к вторичным выводам четырехполюсника подключен приемник с сопротивлением нагрузки , а к первичным – источник Э.Д.С. , то при заданном напряжении на выводах приемника и токе можно определить необходимое напряжение источника питания на первичных выводах и ток источника по уравнениям типа А: (4.1) В этом уравнении коэффициенты , , , определяют сам четырехполюсник и зависят от схемы соединения и параметров составляющего четырехполюсник элементов электрической цепи; и – безразмерные коэффициенты, имеет размерность сопротивления, – проводимости. Всего можно записать шесть различных по форме, но по существу эквивалентных, т.е. математически равносильных пар уравнений. Уравнение типа В: (4.2) Уравнение типа Y: (4.3) где все коэффициенты – проводимости. Уравнения типа Z: (4.4) где все коэффициенты – сопротивления. Уравнение типа H: (4.5) Уравнение типа G: (4.6) 4.2 Входные сопротивления Отношение напряжения к току при питании четырехполюсника со стороны первичных выводов и сопротивлении нагрузки на вторичных выводах называется входным сопротивлением четырехполюсника со стороны первичных выводов . При питании четырехполюсника со стороны вторичных выводов и сопротивлении нагрузки на первичных выводах, отношение напряжения к току – это входное сопротивление четырехполюсника со стороны вторичных выводов . Входное сопротивление четырехполюсника определяет режим работы источника питания. Оно зависит от структуры и параметров составляющих четырехполюсник элементов. Для определения входных сопротивлений и можно воспользоваться любым из типов уравнений, однако наиболее простые выражения получаются, если выбрать уравнения типа А и В. (4.7) При питании со стороны первичных выводов и коротком замыкании вторичных, т.е. при .Входное сопротивление: (4.8) При холостом ходе на вторичных выводах, т.е. при : (4.9) При питании со стороны вторичных выводов и коротком замыкании первичных, т.е. при (4.10) Наконец, при холостом ходе на первичных выводах, т.е. при входное сопротивление: (4.11) Между четырьмя сопротивлениями короткого замыкания и холостого хода существует простая зависимость: (4.12) Режим работы четырехполюсника можно характеризовать передаточными функциями при заданном сопротивлении приемника по току, по напряжению и передаточным сопротивлением: (4.13) 4.3 Коэффициенты четырехполюсника Коэффициенты уравнений постоянны (при заданной частоте) и определяются только структурой четырехполюсника и параметрами составляющих его элементов, а не параметрами источника питания и приемника. С точки зрения режима на первичных и вторичных выводах четырехполюсники, имеющие одинаковые значения коэффициентов неотличимы, т.е. эквивалентны, хотя их внутренняя структура может быть различной. Таким образом, можно утверждать, что четырехполюсник задан, если известны его коэффициенты. Четырехполюсник задается четырьмя коэффициентами любого из типов уравнений. Поэтому матрица коэффициентов одного из типов уравнений может быть выражена через матрицу коэффициентов любого другого типа уравнений. В специальных таблицах приведены формулы связи коэффициентов всех систем уравнений. Коэффициенты уравнений четырехполюсника называют его первичными параметрами. Если известна схема четырехполюсника и значения составляющих его элементов, то любой из коэффициентов может быть определен расчетным путем. Для пассивных четырехполюсников выполняется принцип взаимности, и число независимых коэффициентов каждого типа уравнений уменьшается до трех. В качестве примера найдем зависимость между коэффициентами матрицы Y. Предположим, что выходные выводы четырехполюсника замыкаются накоротко сначала при питании со стороны первичных выводов, а затем со стороны вторичных. В первом случае , и из второго уравнения типа Y получим: (4.14) Во втором случае и из первого уравнения типа Y имеем: (4.15) Если выбрать напряжение в уравнении (4.14) равным напряжению в уравнении (4.15), то из принципа взаимности следует, что (4.16) Это равенство выполняется при условии . Полученный результат не является неожиданным. Коэффициенты и – это по сути дела взаимные (передаточные) проводимости выходной и входной ветвей четырехполюсника при источниках ЭДС и , подключенных соответственно к первичным и вторичным выводам. Симметричный четырехполюсник – это четырехполюсник, у которого при взаимной замене первичных и вторичных выводов режимы источника питания и приемника не изменяются. У пассивного симметричного четырехполюсника два независимых коэффициента, а у активного симметричного – три независимых коэффициента. 4.4 Экспериментальное определение коэффициентов и входных сопротивлений Первичные параметры каждого данного четырехполюсника могут быть определены экспериментально при измерении режима (напряжений и токов) на первичных и вторичных выводах. Например, при питании четырехполюсника со стороны первичных выводов (напряжение ) и холостом ходе на вторичных (напряжение ), токи равны соответственно, (4.17) а при коротком замыкании на вторичных выводах (напряжение , токи , ): (4.18) При работе четырехполюсника в цепи постоянного тока для вычисления коэффициентов достаточно измерить вольтметрами напряжения и амперметрами токи. В цепи синусоидального тока необходимо еще определить угол сдвига фаз между соответствующими величинами, например и при определении коэффициента . С ростом частоты экспериментальное определение большинства коэффициентов становится все более трудным, так как измерение напряжений, токов и особенно сдвига фаз усложняется. У четырехполюсников – линий передачи сигналов экспериментальное определение коэффициентов по результатам двух опытов практически невозможно, так как требует включения прибора измеряющего сдвиг фаз (осциллограф, фазометр) одновременно к выходным и входным выводам линии. Сопротивления х.х. и к.з. могут быть измерены теми же методами, что и любые другие сопротивления, например, при помощи измерительного моста или амперметра, вольтметра и ваттметра, включенных только со стороны первичных или только со стороны вторичных выводов. Поэтому для большинства четырехполюсников измерение сопротивлений , , , можно выполнить точнее и проще, чем измерение коэффициентов четырехполюсника, особенно на высоких частотах. Однако в общем случае по найденным экспериментальным или расчетным путем сопротивлениям х.х. и к.з. нельзя определить четыре независимых коэффициента какого-либо типа уравнений. Действительно, эти сопротивления связаны соотношением , т.е. у четырехполюсника три независимых сопротивления х.х. и к.з. Коэффициенты четырехполюсника можно выразить через сопротивления х.х. и к.з. В качестве примера свяжем коэффициенты уравнений типа А с одним из трех независимых сопротивлений , , . Подставив в соотношение значения коэффициентов , и получим: (4.19) откуда: (4.20) Аналогично можно получить формулы для коэффициентов , и . Следует обратить внимание, что выражение (4.20) дает два значения коэффициента . При извлечении квадратного корня из комплексного числа получается два комплекса, аргументы которых отличаются на ; то есть . Выбор того или иного значения коэффициента зависит от разметки вторичных выводов. Изменение положительного направления напряжения равносильно изменению его фазы на . 4.5 Эквивалентные схемы четырехполюсников Четырехполюсники эквивалентны, если при замене одного четырехполюсника другим, режимы источника питания и приемника не изменяются. Наиболее простая схема замещения четырехполюсника должна состоять не менее чем из четырех элементов, параметры которых зависят от коэффициентов уравнений. Для пассивного четырехполюсника (три независимых коэффициента) чаще выбирают Тили П – образные схемы замещения(рис.4.2 и 4.3 соответственно), сопротивления элементов которых зависят от значений коэффициентов заданной матрицы. Рисунок 4.2–Т–образная схема замещения четырехполюсника Рисунок 4.3 –П–образная схема замещения четырехполюсника 4.6 Управляемые (зависимые) источники напряжения и тока В предыдущих главах при анализе электрических цепей было принято, что идеальные и реальные источники напряжения и тока задаются не зависящими от режима цепи параметрами. При исследовании цепей с многополюсниками, в частности, с четырехполюсниками, содержащими, например, транзисторы, гираторы, операционные усилители, нельзя построить эквивалентную схему, состоящую только из резистивных, индуктивных, емкостных элементов и идеальных или реальных источников напряжения и тока с постоянными параметрами. Для построения эквивалентных схем дополнительно нужно ввести управляемые (зависимые) источники. Управляемый источник – это элемент с двумя парами выводов (входной и выходной), т.е. четырехполюсник. Он содержит идеальный источник напряжения (ЭДС) или тока, который управляется напряжением между какими-либо двумя выводами цепи или током в какой-либо ветви. Различают четыре типа управляемых источников, у которых выходная величина влияет на входную величину. 1. Источник напряжения, управляемый напряжением (ИНУН) с матрицами коэффициентов четырехполюсника (рис.4.4): (4.21) Рисунок 4.4– ИНУН и напряжением на выходных выводах, пропорциональным напряжению на входных выводах: 2. Источник напряжения, управляемый током (ИНУТ) – рис.4.5 с матрицами коэффициентов: , (4.22) Напряжение на выходных выводах источника зависит от тока входной ветви: . 3. Источник тока, управляемый напряжением (ИТУН) с матрицами (рис.4.6): Рисунок 4.5 –ИНУТ , (4.23) Выходной ток такого источника является заданной функцией напряжения на входных выводах: Рисунок 4.6– ИТУН . 4. Источник тока, управляющий током (ИТУТ) с матрицами коэффициентов (рис. 4.7): (4.24) Выходной ток такого источника пропорционален входному току:. Другие матрицы у таких четырехполюсников не существуют, и их следует рассматривать как частного вида активные четырехполюсники. Для активного четырехполюсника две Рисунок 4.7 –ИТУТ простейшие схемы замещения общего вида получаются добавлением к Т и П – образной схеме четвертого элемента – управляемого источника напряжения или тока (рис. 4.8 и 4.9): Рисунок 4.8–Реализация управляемых источников Рисунок 4.9–Реализация управляемых источников 4.7 Гиратор (инвертор сопротивлений) К активным четырехполюсникам относится гиратор. Как известно, для получения резонансных явлений необходимо иметь цепь, состоящую из индуктивности и емкости. Индуктивными свойствами обладают катушки. Однако в микроэлектронике изготовление катушек затруднено: сказываются помехи, создаваемые магнитными полями других катушек, великие габариты и т.д. Индуктивный эффект, однако, можно получить с помощью электронных схем, состоящих из операционного усилителя, резисторов и конденсатора. Электронные цепи, обладающие индуктивными свойствами, называют гираторами. Таким образом, гиратор является «электронной индуктивностью». Гиратор задается любой из следующих четырех матриц: ;;; (4.25) где - действительная величина, называемая коэффициентом гирации. Матриц и не существует. Для практического осуществления гиратор требует применения двух управляемых источников. Рисунок 4.10 –Обозначение гиратора Рисунок 4.11–Одна из возможных схем реализации гиратора Рисунок 4.12 –Одна из возможных схем реализации гиратора На рисунке 4.10 изображено условное обозначение гиратора; на рис. 4.11 представлена эквивалентная схема с двумя управляемыми источниками напряжения, на рис. 4.12 – с двумя управляемыми источниками тока. Из любой системы уравнений гиратора можно определить его входное сопротивление: (4.26) т.е. входное сопротивление инвертора пропорционально проводимости нагрузки. Важно отметить, что при емкостном сопротивлении получается входное индуктивное сопротивление , т.е. можно реализовать индуктивный элемент при помощи активного четырехполюсника и емкостного элемента и наоборот. 4.8 Конвертор сопротивлений Как и инвертор сопротивлений, конвертор – это активный четырехполюсник. Он задается, например, матрицей: (4.27) и – его входное сопротивление пропорционально сопротивлению нагрузки. При действительных коэффициентах и , отрицательном значении одного из них и резистивном сопротивлении нагрузки , т.е. получается резистивный элемент с отрицательным сопротивлением. Как и для реализации гиратора, для реализации конвертора требуется применение управляемых источников (рис.4.13): Рис. 4.13 –Схема реализации конвертора сопротивлений Рис. 4.14 –Схема реализации трансформатора Схема замещения для идеального трансформатора на электронных устройствах изображена на рис. 4.14, где – коэффициент трансформации. 4.9 Вторичные параметры пассивных четырехполюсников Часто на практике между источником питания и приемником бывает включена цепь, состоящая из нескольких четырехполюсников. Например, телевизионная приемная антенна присоединяется не непосредственно к телевизору, а при помощи симметричного четырехполюсника – телевизионного кабеля. Отрезок кабеля имеет два входных вывода , которыми он присоединен к источнику питания (антенна) и два выходных вывода , к которым присоединяется приемник (телевизор). Очень важно правильно выбрать сопротивление приемника. Его выбирают так, чтобы входное сопротивление четырехполюсника – кабеля на выводах было одинаковым и равным независимо от длины кабеля. При одинаковых входных сопротивлениях кабелей разной длины все генераторы – антенны, к которым присоединены кабели, оказываются одинаково нагруженными. Следовательно, конструкция всех антенн может быть одинаковой независимо от длины кабеля. Поставим вопрос о том, как же надо загрузить симметричный четырехполюсник, чтобы его входное сопротивление равнялось сопротивлению нагрузки. Найдем входное сопротивление , учитывая, что для симметричного четырехполюсника : (4.28) Необходимо иметь , т.е. должно быть: (4.29) Последнее выражение определяет значение сопротивления нагрузки , при котором и входное сопротивление равно сопротивлению нагрузки. Преобразовав последнее выражение, найдем, что: (4.30) Если выбрать вполне определенное сопротивление приемника, а именно, равное , то и выходное сопротивление четырехполюсника равно этому значению. Выходное сопротивление четырехполюсника при такой нагрузке зависит только от его коэффициентов и и может быть принято за параметр четырехполюсника. Новый параметр нужно знать, если возникает задача о выборе нагрузки для готового четырехполюсника или наоборот, если проектируют четырехполюсник для совместной работы с заданным приемником. Выбранный параметр обозначают и называют характеристическим сопротивлением четырехполюсника: 1 параметр: (4.31) Режим четырехполюсника при соблюдении соотношений: называют режимом согласованной нагрузки. В качестве второго параметра симметричного четырехполюсника выбирают величину, которая позволяет весьма просто сравнивать напряжения и токи на входе и выходе четырехполюсника при согласованной нагрузке. Для сравнения напряжений на входе и выходе составим их соотношения при согласованной нагрузке: 2 параметр: (4.32) где – модуль отношения характеризует изменение значения напряжения; – аргумент отношения, который показывает сдвиг фаз между напряжениями на входе и выходе. Этот угол называется постоянной фазы. Комплексная величина определяется обязательно при согласованной нагрузке. Поэтому комплексная величина определяется при согласованной нагрузке и называется параметром четырехполюсника. Напряжение на выходе четырехполюсника нередко значительно отличается от значения напряжения на выходе. Поэтому отношение напряжения на входе и выходе принято оценивать в логарифмическом масштабе, для чего вводится постоянная ослабления: 3 параметр или (4.33) Постоянная ослабления – физическая безразмерная величина. Поэтому ее единицей измерения служит непер [Нп]. Постоянной ослабления Нп обладает четырехполюсник, у которого при согласованной нагрузке напряжение на выходе в раз меньше, чем напряжение на входе. При согласованной нагрузке: ,следовательно: . Постоянная ослабления характеризует как отношение напряжений, так и отношение токов на входных и выходных выводах: (4.34) Сдвиг по фазе между токами равен сдвигу фаз между напряжениями. Постоянную ослабления можно вычислить и по известным полным или активным мощностям на входе и выходе. Так как сдвиг фаз между напряжением и током на входе и выходе один и тот же , то можно записать выражение с постоянной ослабления А: (4.35) откуда: (4.36) гдеА берется в Нп; β – в радианах. 4 параметр – постоянная передачи Г. Комплексная безразмерная величина характеризует изменение напряжения и тока при согласованной нагрузке, как по величине, так и по фазе и называется постоянной передачи четырехполюсника. Постоянная передачи – еще один параметр симметричного четырехполюсника. Постоянная передачи полностью определяется структурой четырехполюсника и параметрами составляющих его элементов. 4.10 Активные четырехполюсники Активные четырехполюсники, содержащие независимые источники, называется автономными четырехполюсниками. У этих четырехполюсников могут быть напряжения и токи на первичных и вторичных выводах и при отсутствии источников, подключенных к первичным, вторичным или тем и другим выводам. Системы предыдущих уравнений не удовлетворяют этим условиям. Каждая из системы уравнений должна быть дополнена слагаемыми, учитывающими наличие независимых источников у четырехполюсника. Запишем уравнения в А форме, дополнив их для получения наиболее простых эквивалентных схем с постоянными слагаемыми: (4.37) В частности, в режиме короткого замыкания на первичных и вторичных выводах , получим: (4.38) то есть: (4.39) Следовательно: (4.40) Его схема замещения представлена на рисунке 4.15: Рисунок 4.15–Схема активного четырехполюсника 5. Многополюсники Введение Четырехполюсник можно рассматривать как частный случай многополюсника. Подход при расчете режимов многополюсников аналогичный четырехполюсникам. 5.1 Расчет многополюсников Обозначение многополюсника (одно из возможных) с выбранными положительными направлениями токов показано на рис. 5.1. Согласно первому закону Кирхгофа: (5.1) Кроме токов режим на выводах определяется напряжениями, которые можно задать между каждым из выводов и базовым выводом, то есть: (5.2) Рисунок 5.1–Многополюсник У многополюсника независимых токов и независимых напряжений. Уравнения связи напряжений и токов, как и у четырехполюсника можно записать в матричной форме, например: (5.3) где – квадратная матрица проводимостей; , – матрицы-столбцы напряжений и токов. Для любого –го вывода : (5.4) где – взаимная проводимость относительно выводов и определяется при всех кроме (все выводы, кроме -го соединены с -м). Аналогично – входная проводимость относительно выводов и .Уравнение (216) можно записать в виде: (5.5) где – квадратная матрица сопротивлений. Для любого – го вывода справедливо: (5.6) где – взаимное сопротивление выводов и , определяется при всех кроме , то есть отсоединенных от цепи, частью которой служит многополюсник, всех выводов, кроме -го. Аналогично – входное сопротивление относительно выводов и . У пассивных многополюсников матрицы и симметричны. 5.2 Операционный усилитель К активным многополюсникам относится и операционный усилитель (ОУ), имеющий дифференциальный вход с очень большими входными сопротивлениями, малое выходное сопротивление и высокий коэффициент усиления. ОУ изготавливается в виде интегральных микросхем и применяется во многих электронных устройствах различного назначения, в том числе для реализации управляемых источников, гираторов и для выполнения математических операций. Обозначение ОУ и выбранная разметка выводов показана на рис.5.2. На рис. 5.3 показана эквивалентная схема при уровнях сигналов, для которых ОУ можно рассматривать как линейный многополюсник. У ОУ два входных вывода 1 и 3, которые обозначают еще знаками (–) и (+) и соответственно называют инвертирующим и неинвертирующим выводами. ЭДС управляемого источника: (5.7) Рисунок 5.2– Изображение операционного усилителя где – внутренний коэффициент усиления, достигающий практически . Входное сопротивление больше выходного на 2–3 порядка. У идеального ОУ считают , , . Рисунок 5.3–Эквивалентная схема ОУ У такого усилителя , и при любом можно считать . Схема замещения ОУ справедлива в широкой полосе частот. Этот диапазон ограничен частотой, при которой необходимо уже учитывать паразитные емкости реального устройства. Операционные усилители часто применяются в схемах активных четырехполюсников, в частности, гираторов, конверторов сопротивлений, активных фильтров, зависимых источников. 6. Анализ фильтров Введение В электрических, радиотехнических и телемеханических устройствах и устройствах связи часто ставятся задачи: из многих сигналов, занимающих широкую полосу частот, выделить один или несколько сигналов с более узкой полосой частот. Сигналы (напряжения и токи) заданной полосы выделяют при помощи электрических фильтров. Так, в радиоприемнике из сигналов многочисленных радиостанций фильтры выделяют сигнал одной принимаемой станции. При организации по воздушным линиям электропроводной связи одновременно нескольких телефонных разговоров на приемной станции устанавливаются фильтры для разделения телефонных сигналов отдельных абонентов. 6.1 Расчет фильтров по заданным характеристическим параметрам Простейшие фильтры состоят из катушек индуктивности и конденсаторов, включенных последовательно или параллельно, т.е. представляет собой последовательный или параллельный контур. Однако в качестве пассивных фильтров чаще применяются четырехполюсники, состоящие из катушек индуктивности и конденсаторов. К фильтрам предъявляются неодинаковые требования. В одной части полосы частот, которая называется полосой пропускания, сигналы не должны ослабляться, а в другой, называемой полосой задержания (непропускания) – ослабление сигналов не должно быть меньше определенного значения. Фильтр следует считать идеальным, если в полосе пропускания отсутствует ослабление сигналов и нет искажения формы сигналов, а вне полосы пропускания сигналы на выходе фильтра отсутствуют. Практически конечно нельзя создать идеальный фильтр, но можно получить в полосе пропускания достаточно малое ослабление сигналов, по крайней мере, на некоторых частотах, если фильтр составлен из конденсаторов и катушек с малыми потерями, которыми пренебрегают. В зависимости от диапазона частот, относящихся к полосе пропускания, различают: 1.фильтры нижних частот, пропускающие без большого ослабления колебания всех частот ниже некоторой частоты среза fср; 2. фильтры верхних частот, пропускающие без большого ослабления колебания всех частот выше некоторой частоты среза fср; 3. полосовые фильтры, пропускающие без большого ослабления колебания определенной полосы частот от fср1 до fср2; 4. заграждающие фильтры, не пропускающие без большого ослабления колебания определенной полосы частот от fср1 до fср2; На рисунке 6.1 показаны амплитудно-частотные характеристики (АЧХ) указанных фильтров, причем на рис. 6.1а изображена АЧХ идеального низкочастотного фильтра, на рис.6.1б – высокочастотного фильтра, на рис. 6.1в – полосового фильтра, на рис.6.1г – заграждающего фильтра. На рисунке 6.2 показаны схемы реализации этих фильтров, причем рисунки а, б, в, и г соответствуют низкочастотным, высокочастотным, полосовым и заграждающим фильтрам. На рисунке 6.2 показаны схемы реализации соответствующих фильтров. Амплитудно-частотные характеристики фильтров и схемы их реализации приведены на рисунках 6.1 и 6.2 соответственно, где а соответствует фильтру нижних частот, б – фильтру верхних частот, в –полосовому фильтру, г–заграждающему фильтру. Симметричный простейший фильтр имеет Т и П – образную схему с коэффициентом: (6.1) Характеристические сопротивления для Т и П – образных схем замещения зависят от частоты: (6.2) (6.3) где , – граничная частота полосы пропускания. При , т.е. в полосе пропускания и – активные сопротивления, которые изменяются с ростом частоты от значения до 0 у Т-образного, и до у П-образного фильтров. При , т.е. в полосе задержания, и – реактивные сопротивления, которые изменяются с ростом частоты от 0 до у Т-образного, и от до 0 у П-образного фильтров. а) б) в) г) Рисунок 6.1–АЧХ фильтров Рисунок 6.2–Схемы реализации фильтров Следовательно, добиться работы фильтра на согласованную нагрузку невозможно. Изменение сигнала при несогласованной нагрузке оценивают коэффициентом затухания . При расчете индуктивности и емкости фильтра задают граничную частоту и сопротивление нагрузки. Коэффициент затухания для фильтра: (6.4) (6.5) Обычно отношение (6.4) выражают в децибелах. Так как добиться согласованной нагрузки фильтра в требуемой полосе пропускания нельзя, то на практике элементы фильтра рассматривают по заданным рабочим параметрам или передаточным функциям при известном постоянном сопротивлении нагрузки. Часто применяются на практике полиномиальные фильтры с передаточной функцией вида: (6.6) По заданной частотной характеристике рабочей постоянной ослабления для таких фильтров в полосе пропускания задается максимально допустимое значение , а в полосе непропускания – минимальное значение . Для аналогичного решения задачи реализации фильтра необходимо выбрать функцию, которая с достаточной точностью аппроксимируется работой фильтра. Эта характеристика часто аппроксимируется полиномами Баттерворта или Чебышева . В обоих случаях получаются полиномиальные фильтры, имеющие цепную схему. 6.2 Требования к частотным характеристикам несогласованных фильтров Поскольку передаточная функция любой электрической цепи с постоянными сосредоточенными параметрами представляет собой дробно–рациональную функцию аргумента , то задача аппроксимации частотной характеристики фильтра нижних частот состоит в выборе такого вида этой функции, которая наиболее близка к характеристике идеального фильтра НЧ. Обозначим искомую аппроксимирующую функцию , где – безразмерная частота. При использовании безразмерной частоты (за базисную частоту принимаем частоту среза фильтра ). Задача аппроксимации АЧХ фильтра нижних частот сводится к поиску рациональной дроби , обладающей тем свойством, что при ее отклонения от единицы не превосходят некоторого заданного малого значения, а при значение резко уменьшается с ростом частоты. Поставленным условиям удовлетворяет дробь вида: (6.7) где – полином степени ; – число, определяющее неравномерность характеристики в полосе пропускания. Очевидно, что при выборе соответствующего полинома с в полосе пропускания функция заключена в пределах . Поэтому величина связана с характеристикой неравномерности передачи фильтра в полосе пропускания . Так как , то (6.8) В полосе задержания значение уменьшается тем быстрее, чем выше показатель степени полинома . Заданная величина минимального ослабления в полосе задержания выражается через введение функции следующим образом: (6.9) где – граничная частота полосы пропускания. Один из наиболее простых способов решения задачи аппроксимации состоит в выборе в качестве полинома степенной функции . При этом: (6.10) На рис. 6.3 изображены кривые при от 1 до 3. Из них следует, что при увеличении они приближаются к характеристике идеального фильтра нижних частот (ФНЧ). Зависимости данного класса монотонны. Рассматриваемый класс аппроксимации определяет фильтры с так называемыми максимально плоскими характеристиками (фильтры Боттерворта). Другой подход к аппроксимации частотных характеристик связан с использованием в качестве полиномов , полиномов Чебышева , определяемых при общим соотношением: . Из всех полиномов степени полином Чебышева наименее уклоняется от 0 на отрезке (-1,1). Такое свойство полиномов Чебышева определяет равноколебательный характер функции: Рисунок 6.3–АЧХ фильтров Баттерворта (6.11) которая в полосе пропускания колеблется между значениями и единицей. Число экстремумов функции в полосе пропускания равно степени полинома (рис.6.4). С увеличением спад частотной характеристики в полосе задержания становится все более резким, и характеристика приближается к характеристике идеального фильтра нижних частот. Подобная аппроксимация носит название равноколебательной, а соответствующие фильтры называются фильтрами Чебышева. Рисунок 6.4–АЧХ фильтров Чебышева 7. Активные элементы электронных цепей Введение Для более наглядного представления электрических свойств транзисторов и устройств на их основе применяют обычные методы электротехники, предварительно составив разнообразные эквивалентные схемы. Все эквивалентные схемы транзисторов можно разделить на две группы: схемы замещения четырехполюсника, носящие формальный характер, и «естественные» эквивалентные схемы, моделирующие происходящие в них физические процессы. Структурные элементы схем замещения не отражают определенных физических свойств и процессов, происходящих в транзисторе. Такие схемы наиболее просты и содержат обычно лишь четыре элемента, но эти элементы оказываются частотно–зависимыми, и требуется знание их значений на рабочей частоте рассчитываемого каскада. «Естественные» эквивалентные схемы содержат шесть–семь и более элементов, но каждый из них отражает определенные стороны физических процессов в транзисторе, что позволяет предвидеть закономерные изменения свойств транзистора при различных рабочих режимах. Кроме того, значения элементов «естественных» эквивалентных схем, как правило, не зависят от частоты. 7.1 Схемы замещения транзистора четырехполюсником При описании транзистора с помощью уравнений четырехполюсника, один из его трех выводов – базы, коллектора или эмиттера – является общим для входного и выходного контура. В схеме с общим эмиттером (рис.7.1) входным является напряжение между базой и эмиттером , выходным – напряжение – между коллектором и эмиттером, соответственно входным током является ток базы , выходным – ток коллектора . Рисунок 7.1–Изображение транзистора При принятых для четырехполюсников направлениях отсчета токов и напряжений входные и выходные напряжения у транзисторов n-p-n-типа положительны, у p-n-p-типа – отрицательны. Остальные свойства обоих типов транзисторов идентичны. Транзистор является нелинейным элементом, однако пропорциональность характеристик можно обеспечить при малых переменных составляющих токов и напряжений , которые накладываются на относительно большие постоянные составляющие , в рабочей точке. Тогда рассматриваемые отдельно малые сигналы и связаны линейными соотношениями: (7.1) Для малых синусоидальных сигналов эти уравнения можно записать в комплексной форме: (7.2) Отсюда следует, что частные производные, выражающие связи между малыми сигналами, представляют соответствующие Н-параметры транзистора. Коэффициенты Н определяются из режимов короткого замыкания и холостого хода. (7.3) 7.2 Связи между параметрами биполярного транзистора при различных схемах включения Наряду с рассмотренной схемой включения транзистора с общим эмиттером (рис. 7.1и 7.2 а) используют также схемы с общей базой (рис. 7.2 б) и общим коллектором (рис. 7.2 в). В связи с этим возникает задача пересчета параметров, известных для одной схемы включения, к параметрам другой схемы. Установим связь между Н-параметрами биполярного транзистора в схеме с общей базой и с общим эмиттером. Оба четырехполюсника описываются системой уравнений в матричной форме: С общим эмиттером: (7.4) С общей базой: (7.5) а) б) в) Рисунок 7.2–Схемы включения транзисторов Токи и напряжения в обеих системах связаны соотношениями: (7.6) Это позволяет выразить напряжения и токи первой схемы через величины, описывающие вторую схему, следующим образом: (7.7) Подставляя полученные соотношения в систему(258) уравнений для схемы с общим эмиттером, получаем: (7.8) где – определитель матрицы: (7.9) Связь между коэффициентом Н в обеих схемах: (7.10) Поскольку величина обычно имеет порядок нескольких десятков, то из этих соотношений следует, что входное сопротивление транзистора с общей базой меньше, чем в схеме с общим эмиттером. Выходное сопротивление наоборот существенно больше в схеме с общей базой. Аналогично получаются пересчетные формулы и для схемы с общим коллектором: (7.11) 7.3 Схемы замещения биполярного транзистора Для расчета малосигнального режима в электронной цепи, в которой рассматриваются только переменные составляющие токов и напряжений, используются схемы замещения транзистора. В области низких и средних частот описания транзистора системой уравнений приводит к резистивной схеме изображенной на рис. 7.3. Широко распространена также одногенераторная схема (рис. 7.4). Параметры схемы, изображенной на рис. 7.1, непосредственно выражают через Н-параметры транзистора. Рисунок 7.3 –Схема замещения биполярного транзистора Рисунок 7.4–Схема замещения биполярного транзистора При пренебрежении малым параметром все связи существенно упрощаются. Соответствующая этому упрощению схема замещения показана на рис. 7.5. Рисунок 7.5–Упрощенная схема замещения биполярного транзистора Рисунок 7.6– Упрощенная схема замещения биполярного транзистора Рисунок 7.7– Упрощенная схема замещения биполярного транзистора Учитывая соотношения между параметрами можно применить более простую модель транзистора с нулевой выходной проводимостью (рис. 7.6). В еще более приближенной модели отсутствует входное сопротивление, то есть . Такое идеализированное описание транзистора приводит его схему замещения к идеальному источнику тока, управляемому входным током (рис 7.7). 7.4 Схемы замещения полевого транзистора. Полевой транзистор, имеющий, как и биполярный, три вывода – затвор, сток и исток, также используют в различных схемах включения. В схеме с общим истоком (рис. 7.8), где изображен прибор с каналом n-типа, напряжения двух других выводов отсчитывается Рисунок 7.8–Полевой транзистор от истока. Выходной ток является нелинейной функцией входного и выходного и напряжений . Входной ток полевого транзистора – ток затвора – пренебрежимо мал, и обычно можно принять . При малых изменениях токов и напряжений в окрестности рабочей точки – используют линеаризацию выходных характеристик, приводящую к линейным связям для малых сигналов: (7.12) Рассматривая и в качестве входного и выходного напряжений четырехполюсника, перепишем это уравнение для малых синусоидальных сигналов в комплексной форме, используя индексы 1 и 2 для входных и выходных величин: (7.13) Т.о., частные производные, вычисленные в рабочей точке, представляют Y-параметры полевого транзистора – крутизну характеристики прямой передачи и выходную проводимость . Остальные два малосигнальных параметра полевого транзистора равны нулю, т.к. в окрестности рабочей точки p-n переход – затвор-канал смещен в обратном направлении, и ток затвора .Из приведенных связей вытекает малосигнальная схема замещения полевого транзистора (рис. 7.9), включающая источник тока, управляемый входным напряжением и параллельную ему проводимость Рисунок 7.9–Схема замещения полевого транзистора Поскольку в рассматриваемой схеме , то входная ветвь разомкнута, и четырехполюсник не имеет ни Z-, ни H-параметров. параметры схемы с общим стоком выражаются через параметры схемы с общим истоком следующем образом: (7.14) 7.5 Транзистор как усилитель электрических сигналов Рассмотрим усиление малых сигналов, подаваемых от источника синусоидального напряжения на вход биполярного транзистора, нагруженного на комплексное сопротивление нагрузки . Пренебрежем влиянием элементов цепи, обеспечивающих смещение транзистора – подачу на его зажимы постоянных напряжений, обеспечивающих режим в рабочей точке. Используя для биполярного транзистора схему замещения при , прейдем к схеме, изображенной на рис. 7.10, т.к. , а , то для напряжения на нагрузке, параллельно которой включено сопротивление , будем иметь: (7.15) Рисунок 7.10–Упрощенная схема замещения полевого транзистора Поскольку ток в нагрузке равен: (7.16) то для коэффициентов усиления напряжения и тока получим: (7.17) Выражения для и позволяют оценить соотношения сопротивления нагрузки и параметров транзистора, при которых достигается то или иное значение коэффициентов усиления. Предельное по модулю значение для данного транзистора, соответствующее значению : (7.18) Поскольку произведение , существенное усиление напряжения имеет место и при значениях , близких к единице, например, в схеме с общей базой. Для получения значения максимального тока в нагрузке, наоборот, следует уменьшить сопротивление нагрузки. При максимальный коэффициент усиления по току. Схема для аналогичного анализа полевого транзистора изображена на рис. 7.11.Здесь напряжение на нагрузке: (7.19) Рисунок 7.11–Схема для анализа полевого транзистора Поэтому коэффициент усиления напряжения равен: (7.20) Максимальное по модулю усиление напряжения имеем при , когда ; где – внутреннее сопротивление транзистора, – безразмерный коэффициент усиления. 7.6 Анализ транзисторного усилительного каскада Схема включает источник усиливаемого синусоидального сигнала , источник постоянной ЭДС и резистивные элементы , , , , обеспечивающие требуемый режим в рабочей точке транзистора (рис.7.12). Конденсаторы и препятствуют протеканию постоянного тока, задающего смещение, через элементы генератора и нагрузки.Расчет каскада при заданных параметрах цепи включает в себя анализ режима по постоянному току и анализ малосигнального режима в рабочей точке. При анализе на постоянном токе генератор и нагрузка не влияют на распределение токов, так как ветви с емкостями и принимаются разомкнутыми. Поэтому анализ проводят для цепи, показанной на рис. 107. Рисунок 7.12–Транзисторный усилительный каскад Рисунок 7.13 – Упрощенная схема транзисторного усилительного каскада Система уравнений Кирхгофа, составленная для этой цепи, имеет вид: (7.21) Она включает семь неизвестных и позволяет определить все искомые величины, используя пять записанных уравнений и два семейства входных и выходных характеристик транзистора. Поскольку при расчете режима постоянного тока необходимо учитывать нелинейность характеристик, то расчет производится методом последовательных приближений. Для этого выполняется преобразование записанных уравнений. С учетом того, что значение тока базы существенно меньше значений токов в коллекторной и эмиттерной цепях ,, пренебрежем слагаемым в первом уравнении системы и перепишем оставшиеся уравнения, принимая , в виде: (7.22) Исключим далее токи и в линейной части цепи. При подстановке из первого уравнения в третье получим: (7.23) Откуда для тока получим: (7.24) Подстановка этого выражения в последнее уравнение системы (7.22) позволяет привести его к виду: (7.25) Теперь для определения значений , , и имеем два уравнения (7.25) и (7.23), и два семейства характеристик транзистора. Уравнение (7.23) на семействе выходных характеристик изображается прямой линией, проходящей через точки (ек , 0) на оси абцисс и (0, ) – на оси ординат. Пересечения данной выходной характеристики с нагрузочной прямой определяет соответствующие значения . а) б) Рисунок 7.14–Входные и выходные характеристики транзистора Подстановка и в уравнение (7.25) для выходного напряжения дает значение . Изобразим точку с координатами на семействе входных характеристик. Эта точка не лежит на входной характеристике, так как исходное значение было принято произвольно. Последовательно повторяя описанную процедуру расчета, найдем то значение тока базы , при котором значение , определяемое из уравнения (7.25), отвечает входной характеристики (точка А на рис. 7.14а). Далее в рабочей точке определяем параметры транзистора и составляем схему замещения каскада. Используя схему замещения транзистора при в схеме усилительного каскада, получим схему, изображенную на рис. 7.15. Рисунок 7.15–Схема замещения усилительного каскада 7.7 Особые свойства активных цепей 1.К одной из особенностей активных цепей относится эффект усиления мощности, генерируемой независимыми источниками. При питании сопротивления нагрузки от источника через пассивный четырехполюсник активная мощность на выходе не может быть больше на входе (рис.7.16). В соотношении знак “” ставится только тогда, когда четырехполюсник без потерь, то есть в него включены только элементы. Соотношения между мощностью на входе и выходе активного четырехполюсника могут быть любыми. Это не противоречит закону сохранения энергии, так как режим работы активных элементов, находящихся внутри четырехполюсника, обеспечивается источником постоянного напряжения , от которого и потребляется дополнительная мощность (рис.7.17). 2. Следующей особенностью активных цепей является возможность возникновения в них неустойчивых режимов при определенных сочетаниях параметров цепи. 3. Еще одна особенность активных цепей, связанную с неприменимостью принципа взаимности к этому классу цепей. Применительно к параметрам четырехполюсников это выражается неравенствами: Рисунок 7.16–Пассивный четырехполюсник Рисунок 7.17–Активный четырехполюсник ; ; ; (7.26) которые определяют различную способность четырехполюсника к передаче сигнала с входа на выход и в обратном направлении. В предельном случае это различие выражается равенством нулю его -, - и - параметров, имеющих индексы 12. Подобные вырожденные четырехполюсники называют односторонними. 7.8 Обратные связи Свойства систем, включающих подобные односторонние четырехполюсники, существенно изменяются при наличии в системе обратных связей – элементов, через которые часть выходного сигнала усилителя передается обратно на вход усилителя, где суммируется с входным сигналом системы. Цепь обратной связи обычно представляет собой некоторый пассивный четырехполюсник, осуществляющий преобразование выходного сигнала по определенному закону. Сигнал, подаваемый на вход цепи обратной связи (ОС) может быть пропорционален выходному напряжению или выходному току системы. В связи с этим различают обратные связи по напряжению и по току. Существуют параллельная и последовательная обратные связи. Обратная связь, осуществляющая сложение сигналов во входной цепи, называют положительной, вычитание сигналов характеризует отрицательную обратную связь. На рис. 7.18 изображена схема системы, включающей идеальный усилитель напряжения с коэффициентом усиления и звено обратной связи, характеризуемое передаточной функцией . Так как напряжение обратной связи вычитается на входе усиления из выходного сигнала , то обратная связь является отрицательной. Для определения передаточной функции всей цепи в целом используем записанные соотношения. Имеем: (7.27) Откуда: и окончательно получаем: (7.28) Рисунок 7.18–Идеальный усилитель с обратной связью Как видно из полученного выражения для коэффициента передачи , отрицательная обратная связь уменьшает результирующее усиление сигнала. На первый взгляд этот эффект может показаться нежелательным. С помощью положительной обратной связи легко получить противоположный результат. Это может быть достигнуто простым перекрещиванием проводов на выходе цепи обратной связи , чему соответствует изменение знака в знаменателе . Однако на практике отрицательную обратную связь в активных цепях используют шире, чем положительную. Это связано с тем, что отрицательные обратные связи обеспечивают стабилизацию характеристики системы. Так в системе на рис. 7.18 при больших значениях коэффициента усиления имеем . Отсюда следует, что даже значительные изменения коэффициента мало отражаются на значении передаточной функции , которая главным образом определяется параметрами цепи обратной связи. Обратная связь оказывает также существенное влияние на такие характеристики системы, как ее входное и выходное сопротивления. Особенно широко применяют обратную связь в цепях с операционными усилителями. Наиболее распространенные схемы включения операционного усилителя с обратными связями изображены на рис. 7.19. Во входной цепи усиления (рис. 7.19 а) суммируются входной ток и ток цепи обратной связи , пропорциональный выходному напряжению . Так как для усилителя с при конечном на входе должно быть =0 то , а . Входной ток идеального усилителя при его бесконечном входном сопротивлении , отсюда или. Рисунок 7.19– Схемы включения операционного усилителя с обратными связями Поэтому передаточная функция всей цепи . В частности, при рассматриваемая цепь изменяет знак напряжения на противоположный: . Для схемы, изображенной на рис. 7.19 б, при идеальных свойствах усилителя на его втором входе имеется также входное напряжение всей цепи . Оно равно падению напряжения на плече делителя напряжения в цепи обратной связи. Значения токов в обоих плечах делителя равны, так как вход усилителя не потребляет тока: . Отсюда передаточная функция цепи равна: (282) Обе рассмотренные схемы можно использовать в качестве усилителя с конечным значением . Отрицательное значение дает схема изображенная на рис. 7.19 а, положительное – схема на рис. 7.19 б. При эта схема представляет собой повторитель напряжения (рис. 7.19 в). Применение схем на операционных усилителях с обратными связями позволяет решать более широкий круг задач преобразования сигналов, чем в пассивных цепях. 8. Трехфазные цепи Введение Трехфазные цепи – наиболее распространенные в современной электроэнергетике. Это объясняется рядом их преимуществ по сравнению с однофазными, так и с другими многофазными цепями (экономичность передачи энергии, возможность сравнительно простого получения кругового вращающегося поля, а также двух различных эксплуатационных напряжений в одной установке: фазного и линейного). Разработка трехфазных цепей, так же как и многих других важных научно–технических проблем, была исторически обусловлена. Необходимость в их разработке вызывалась требованиями развивающегося промышленного производства, а возможность решения этой проблемы была обусловлена успехами в области изучения электрических и магнитных явлений и опытом использования разнообразных электротехнических устройств. 8.1 Общие понятия трехфазных цепей На рис.8.1 схематично показано устройство генератора переменного тока с тремя обмотками на статоре. Ради упрощения каждая обмотка показана как состоящая только из двух проводов, заложенных в диаметрально противоположные пазы статора. А соединена с Х, В–с Y, C–с Z. Наводимые в обмотках ЭДС максимальны, когда ось полюсов ротора пересекает проводники статора. Для различных обмоток это происходит в различные моменты времени. Поэтому наводимые в обмотках ЭДС не совпадают по фазе. Генераторы с несколькими обмотками, в которых наводятся ЭДС одинаковой частоты, но сдвинутые друг относительно друга по фазе, называются многофазными генераторами. Соответственно любые источники питания, имеющие несколько выводов (полюсов), между которыми создаются напряжения одной и той же частоты, сдвинутые относительно друг друга по фазе, называются многофазными источниками питания. Совокупность электрических цепей с многофазными источниками питания называется многофазной системой электрических цепей. Таким образом, в электротехнике термин «фаза» имеет два различных значения. По числу фаз многофазные источники питания и системы цепей подразделяются на двух-, трех-, четырехфазные и т.д. Генератор с тремя обмотками называется трехфазным генератором. В электротехнике вследствие наибольшей экономичности применяются исключительно трехфазные цепи. Впервые трехфазный асинхронный двигатель изобрел и построил Доливо-Добровольский. Начала обмоток обозначаются А, В, С, концы X, Y, Z. В момент времени, соответствующий положению ротора, показанному на рисунке 1, ЭДС в обмотке А максимальна и достигает положительного максимума. Рисунок 8.1–Схематичное устройство трехфазного генератора Положительный максимум ЭДС в обмотке В наступит позже, когда ротор повернется на 1/3 оборота. ЭДС в обмотке В отстает по фазе от ЭДС в обмотке А на 1/3 периода (один оборот = 1 периоду). ЭДС в обмотке С отстает по фазе от ЭДС в обмотке В также на 1/3 периода. На рисунке 8.2 изображен график мгновенных значений и векторная диаграмма ЭДС трехфазного генератора. (8.1) Соответственно: (8.2) Рисунок 8.2 – График мгновенных значений и векторная диаграмма трехфазных ЭДС (8.3) Им соответствуют комплексные действующие значения: (8.4) Порядок, в котором ЭДС проходят через одинаковые значения, например, через положительный максимум, называется порядком чередования фаз. Существуют два способа соединения обмоток генераторов, трансформаторов и приемников в многофазных цепях: соединение звездой и многоугольником. При соединении звездой (обозначается Ү) все «концы» фазных обмоток генератора и ветвей звезды приемника называются нейтральными точками, а соединяющий их провод – нейтральным проводом (рисунок 8.3 а). Остальные провода, соединяющие обмотки генератора с приемником называются линейными. При соединении треугольником (обозначается ∆) фазные обмотки генератора соединяются последовательно таким образом, чтобы «начало» одной обмотки образовывало с «концом» другой обмотки общую точку (рисунок 8.3 б). Схемы соединения обмоток источника питания и приемников не зависят друг от друга. В одной и той же цепи могут быть источники питания и приемники с различными схемами соединений. Лучи звезды или ветви многоугольника приемника называются фазами приемника, сопротивления – фазными сопротивлениями, соответственно фазными ЭДС напряжениями и токами (EФ, UФ, IФ). Напряжения между линейными проводами называется линейными напряжениями; токи, текущие в линейных проводах – линейными токами (UЛ, IЛ ). При соединении фаз звездой линейные токи равны фазным токам: IЛ = IФ. При соединении фаз многоугольником линейное напряжение равно фазному напряжению: UЛ = UФ. Положительные направления токов во всех линейных проводах выбираются одинаковыми– то есть направленными от источника питания к приемнику, а в нейтральном проводе – от нейтральной точки приемника к нейтральной точке источника питания. Положительные направления , у приемника также: . У треугольника положительные направления ЭДС и токов в направлении АВСА, в приемнике – abca. Многофазную цепь и многофазный приемник называют симметричными, если комплексные сопротивления всех фаз одинаковы. В противном случае их называют несимметричными. Режим многофазной цепи, при котором многофазные системы напряжений и токов симметричны, называют симметричным. а) б) Рисунок 8.3 – Схемы соединения трехфазных генераторов и потребителей: а)– звездой, б)– треугольником 8.2 Симметричный режим трехфазных цепей На рисунке 8.4 приведена векторная диаграмма напряжений и токов для симметричного режима для схемы Y –Y и активно–индуктивном характере нагрузки (φ > 0). Ток в нейтральном проводе: , поэтому при симметричном приемнике нейтральный провод не применяют. Линейные напряжения определяются как разности фазных напряжений: (8.5) Рисунок 8.4 –Векторная диаграмма трехфазной цепи при соединении звездой Из вершины N опускаем высоту ND. В равнобедренном треугольнике она является одновременно биссектрисой и меридианной. Из рассмотренного прямоугольного треугольника ADB имеем: (8.6) (8.7) На рисунке 8.5 приведена векторная диаграмма токов и напряжений при симметричном режиме и φ> 0 для схемы ∆– ∆. Линейные токи определяются как разности фазных токов. (8.8) Рисунок 8.5 –Векторная диаграмма для соединения нагрузки треугольником Причем соотношения между линейными и фазными токами выводятся аналогично. В результате имеем: (8.9) Активная мощность симметричного трехфазного приемника равна: (8.10) независимо от вида соединения. В этом выражении φ – сдвиг по фазе между фазными напряжениями и фазными токами. Аналогично для реактивной и полной мощностей симметричного трехфазного приемника имеем: , (8.11) Трехфазная цепь с нейтральным проводом обладает тем преимуществом, что может питать приемники, рассчитанные для работы при различных напряжениях. Приемники в такой цепи можно включать между линейными проводами на линейные напряжения и между линейными проводами и нейтральным проводом – на фазное напряжение. 8.3 Расчет симметричных режимов трехфазных цепей Рассмотрим порядок расчета токов в симметричной цепи, изображенной на рисунке 8.6. Пусть напряжения на выводах источника питания симметричны и заданы и пусть известны сопротивления всех элементов цепи – приемников 1, 2, 3, 4. Рисунок 8.6 – Схема соединения различных потребителей в трехфазной цепи Для выполнения расчета проще всего преобразовать схему, заменив соединения треугольником источника питания и элементов 4 на соединение звездой. Сопротивления фаз симметричной звезды в 3 раза меньше сопротивления фаз симметричного треугольника. Фазные напряжения эквивалентного источника питания, соединенного Y , в раз меньше линейных напряжений. Таким образом, получается схема, указанная на рисунке 8.7. Все нейтральные точки в симметричном режиме имеют одинаковый потенциал. Поэтому, не нарушая режима, соединим их проводом без сопротивления (провод показан на схеме штрихом). Затем удалим из схемы две фазы, например, В и С, и перейдем к схеме, изображенной на рисунке 8.8. Рисунок 8.7 – Преобразованная схема рисунка 8.6 Рисунок 8.8 – Схема соединения приемников фазы А Удаление двух фаз не изменит режима работы оставшейся фазы А. Токи в фазе А рассчитываются по схеме, изображенной на рисунке 8.8. Токи в фазах В и С по модулю такие же, что и в фазе А. Токи в ветвях потребителя 4, соединенного ∆, в раз меньше токов в элементах потребителя 3. Для расчета симметричных режимов в сложных разветвленных трехфазных цепях широко применяются моделирование соответствующих однофазных схем. 8.4 Расчет несимметричных режимов трехфазных цепей Рассмотрим, как рассчитываются несимметричные режимы при следующих двух условиях: 1) имеется только статическая нагрузка; 2) падение напряжения в фазах генератора не учитываются. При двух указанных ограничениях расчеты несимметричных режимов трехфазных цепей не содержат ничего принципиально нового и могут выполняться любыми методами, известными из предыдущих глав. Пусть заданы несимметричные фазные напряжения на выводах несимметричного приемника. Рисунок 8.9 – Пример расчета несимметричного режима трехфазной цепи Определим токи для схемы, изображенной на рисунке 8.9. Заданные напряжения можно всегда приписать источникам ЭДС: . В схеме 2 узла, поэтому целесообразно применить для расчета метод двух узлов. Обозначив напряжение между нейтральными токами приемника и источника питания через , найдем напряжение смещения нейтрали: (8.12) Где – проводимости ветвей и нейтрального провода. Токи в фазах и нейтрали: (8.13) В предельном случае при YN = ∞, т.е. ZN = 0, имеем = 0 и, следовательно, напряжение на фазах приемника равны фазным напряжениям источника питания. При этом условии ток в каждой фазе может быть вычислен по закону Ома независимо от токов остальных фаз. При отсутствии нейтрального провода расчет можно вести в таком же порядке. Изменится лишь выражение для напряжения , поскольку = 0, а именно: (8.14) К преобразованию схемы следует прибегать в случае цепи с несколькими приемниками, имеющими различные схемы соединений. Если элементы индуктивно связаны друг с другом, то расчет может быть выполнен, например, путем решения уравнений Кирхгофа, составленных для токов в ветвях или же для контурных токов. 8.5 Разложение несимметричной системы на прямую, обратную и нулевую последовательности фаз Любую несимметричную систему трех токов, напряжений, потоков одинаковой частоты (обозначим их комплексы действующих значений , , ) можно однозначно представить в виде трех систем: нулевой, прямой и обратной последовательностей фаз. Система прямой последовательности состоит из трех векторов, , , равных по модулю и повернутых относительно друг друга на 120˚, причем векторотстает от вектора на 120˚ (рисунок 10). Рисунок 8.10 – Система векторов прямой последовательности Используя оператор а трехфазной системы, можно записать: (8.15) Система обратной последовательности состоит из трех векторов , , равных по модулю и повернутых относительно друг друга на 120˚, причем вектор опережает вектор на 120˚ (рисунок 8.11): (8.16) Система нулевой последовательности образована тремя векторами, совпадающими по фазе (рисунок 8.12): (8.17) Рисунок 8.11 – Система векторов обратной последовательности Рисунок 8.12 – Система векторов нулевой последовательности Выразим три вектора , , через векторы симметричных систем следующим образом: (8.18) Перепишем (8.18) с учетом (8.15-8.17): (8.19) Из системы уравнений (8.19) найдем , , через векторы , , . Для определения сложим уравнения в системе (8.19) и учтем, что 1+ а + а2 = 0. В результате получим: (8.20) Таким образом, для нахождения следует геометрически сложить три заданных вектора и взять одну треть от полученной суммы. Для нахождения к уравнению 1 в системе (8.19) прибавим уравнение 2 в системе (8.19), умноженное на а, и уравнение 3 в системе (8.19), умноженное на а2: (8.21) Следовательно, одна треть суммы, состоящей из вектора плюс вектор (повернутый против часовой стрелки на 120˚) плюс вектор (повернутый по часовой стрелки на 120˚), дает вектор . Для вычисления к уравнению1 в системе (8.19) прибавим уравнение 2 в системе (8.19), предварительно умноженное на а2, и уравнение 3 в системе (8.19), умноженное на а: (8.22) 8.6 Понятие о методе симметричных составляющих Трехфазные системы передачи электрической энергии состоят из источников энергии, линий передачи, трансформаторов и электродвигателей. В результате какой – либо аварии (например, короткого замыкания или обрыва провода) или при несимметричной нагрузке на элементы системы (электродвигателях, трансформаторах, самой линии передачи) возникают несимметричные напряжения. Расчет токов и напряжений в таких системах производят с помощью схем замещения, на которых все элементы системы должны быть представлены комплексными сопротивлениями. Но сопротивление на фазу одного и того же элемента неодинаково для разных последовательностей. Поэтому расчет следует вести для каждой из последовательностей отдельно, а затем искомую величину (ток или напряжение) определить как сумму токов или соответственно напряжений нулевой, прямой и обратной последовательностей. Рассмотрим причины, обуславливающие различные значения сопротивления одного и того же элемента для разных последовательностей фаз (при относительно низких частотах). Фазные сопротивления трехфазной линии передачи для прямой, обратной и нулевой последовательностей фаз обозначим соответственно Z1Л, Z2Л, Z 0Л. Сопротивление на фазу линии передачи для прямой последовательности Z1Л равно сопротивлению на фазу линии для обратной последовательности Z2Л, но не равно сопротивлению на фазу линии для нулевой последовательности Z 0Л вследствие различных значений индуктивности на фазу трехфазной линии для систем прямой и нулевой последовательности фаз. Различные значения индуктивности на фазу линии для прямой и нулевой последовательностей фаз объясняются двумя причинами. Во-первых, индуктивность на фазу линии для прямой и обратной последовательности определяется только геометрическими размерами петель, образованных линейными проводами, тогда как индуктивность на фазу линии для нулевой последовательности зависит не только от геометрических размеров петель, образованных линейными проводами, но и от геометрических размеров петель, образованных линейными проводами и нулевым проводом. Во-вторых, ЭДС, наводимые в петлях проводов линии для прямой и обратной последовательностей, представляют собой геометрическую сумму ЭДС, наводимых сдвинутыми по фазе на 120˚ токами в линейных проводах. Тогда как ЭДС, наводимые в петлях проводов линии для нулевой последовательности, созданы совпадающими по фазе токами нулевой последовательности. В трехфазном трехстержневом трансформаторе сопротивление на фазу для нулевой последовательности ZОТ не равно сопротивлению на фазу для прямой последовательности Z1Т, но Z1Т = Z2Т, где Z2Т – сопротивление на фазу для обратной последовательности. Объясняется это главным образом тем, что магнитные потоки нулевой последовательности Ф0 всех трех фаз находятся в фазе и поэтому не могут замыкаться по соседним стержням магнитной системы и замыкаются по воздуху. Магнитные потоки трех фаз прямой Ф1 и соответственно обратной последовательности по фазе сдвинуты на 120˚ и поэтому могут замыкаться по соседним стержням магнитной системы. Так как магнитное сопротивление по пути в воздухе много больше магнитного сопротивления по пути в стали, то при одинаковых токах нулевой и прямой последовательностей Ф0 < Ф1. Поэтому ZОТ < Z1Т. Еще большее различие имеют сопротивления прямой Z1Д, обратной Z2Д и нулевой Z0Д последовательностей асинхронного двигателя. Если к входным зажимам трехфазного асинхронного двигателя одновременно подвести напряжение прямой, нулевой и обратной последовательностей фаз, то входное сопротивление на фазу двигателя для прямой последовательности Z1Д не будет равно входному сопротивлению на фазу для обратной последовательности Z2Д , и оба они будут отличны от входного сопротивления для нулевой последовательности Z0Д. Разберем, чем это объясняется. Под действием напряжения прямой последовательности в двигателе создается круговое вращающееся магнитное поле. Оно увлекает за собой ротор двигателя. Ротор вращается с угловой частотой ωр. Система напряжений обратной последовательности также создает круговое вращающееся поле, но направление вращения его обратно направлению вращения поля прямой последовательности. Система напряжений нулевой последовательности вращающегося магнитного поля не создает. Вокруг роторных обмоток ею создаются пульсирующие потоки, замыкающиеся по воздушному зазору между статором и ротором, подобно тому, как в трехстержневом трехфазном трансформаторе потоки от нулевой последовательности, выходя из сердечника, замыкались по воздуху. Входное сопротивление на фазу двигателя для данной последовательности зависит не только от активного и реактивного сопротивления фазы статорной обмотки, но и от активного и реактивного сопротивления роторной обмотки. (Подобно тому, как в трансформаторе входное сопротивление определяется не только собственным сопротивлением первичной обмотки, но и сопротивлением, вносимым вторичной обмоткой). Индуктивное сопротивление фазы ротора прямо пропорционально частоте. ЭДС прямой последовательности создает в роторе токи частоты (ω - ωр), что составляет примерно от 0,02 до 0,05 ω, тогда как токи ротора от обратно вращающегося поля имеют частоту ω + ωр ( 1,98 ÷ 1,95) ω. Так как частоты токов в роторе, создаваемые прямой и обратной последовательностями, различны, то различны и входные сопротивления на фазу для прямой (Z1Д) и обратной (Z2Д) последовательностей. Магнитные потоки нулевой последовательности фаз замыкаются, минуя ротор, а потоки прямой и обратной последовательностей фаз проходят через ротор. При одном и том же токе прямой и нулевой последовательностей соответствующие им потоки различны. Поэтому для асинхронного двигателя Z0Д # Z1Д # Z2Д. Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На основании принципа наложения, применимого к линейным цепям, заданный несимметричный режим работы схемы представляют как результат наложения трех симметричных режимов. В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составляющие прямой последовательности фаз, а линии передачи, вращающиеся машины и трехфазные трансформаторы представлены на схемах их сопротивлениями для прямой последовательности Z1. Во втором симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат составляющие только обратной последовательности, а машины и трансформаторы представлены их сопротивлениями обратной последовательности Z2.В третьем симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составляющие нулевой последовательности, а машины и трансформаторы представлены соответствующими сопротивлениями нулевой последовательности Z0. Для того, чтобы от симметричной исходной схемы прийти к трем симметричным схемам, поступают следующим образом. В том месте схемы, где создается несимметрия, в схему вводят систему трех несимметричных напряжений ,,. Система этих напряжений (ЭДС) на основании теоремы компенсации заменяет три неодинаковых сопротивления, образовавшихся в месте аварии и приведших к несимметрии во всей схеме. Далее три несимметричных напряжения раскладывают на три симметричные, основные векторы ,, надлежит определить. Точно так же три несимметричных тока ,, раскладывают на три симметричные системы токов, основные векторы которых , , следует найти. В методе симметричных составляющих неизвестными являются шесть величин: три напряжения (,,) и три тока (, , ), через которые могут быть выражены любые напряжения и токи в цепи. Для определения шести неизвестных составляют шесть уравнений: по одному уравнению составляют для каждой из трех симметричных систем; остальные три уравнения записывают для того участка схемы, где создается несимметрия. Вид трех последних уравнений зависит от характера несимметрии в схеме. 8.7 Измерение мощности в трехфазных цепях Выясним, сколько ваттметров нужно включить для измерения активной мощности в трехфазной цепи при любом несимметричном режиме. На рисунке 8.13 прямоугольником условно показана сколь угодно сложная цепь, питаемая трехфазной линией с нейтральным проводом, в которую для измерения мощности нужно включить три ваттметра. В цепи без нейтрального провода линейные напряжения на входных выводах всегда можно рассматривать как получающимися от двух источников напряжения, включенных как показано на рисунке 8.14. Следовательно, активная мощность передачи энергии по линии без нейтрального провода может быть измерена двумя ваттметрами (рисунок 8.14). Для этой схемы (8.23) Рисунок 8.13– Измерение мощности в трехфазной цепи Рисунок 8.14 –Измерение мощности в трехфазной цепи 8.8 Вращающееся магнитное поле Одним из основных преимуществ многофазных токов является возможность получения вращающегося магнитного поля, лежащего в основе принципа действия наиболее распространенных двигателей переменного тока. Направление вращения магнитного поля зависит исключительно от последовательности фаз токов в катушках. Движущиеся в пространстве магнитные поля широко применяются в различных областях электротехники. Для получения движущегося магнитного поля нужно иметь минимум две пространственно смещенные обмотки с несовпадающими по фазе токами. Рассмотрим схематические картины магнитного поля для различных следующих друг за другом моментов времени (рисунок 8.15). Рисунок 8.15 –моменты времени для схематической картины магнитного поля Пусть первый из моментов времени соответствует совпадению линии времени с вектором I1. Катушки подключены к фазам А, В, и С. Направления токов в катушках и схематическая картина магнитного поля показаны на рисунке 8.16(а, б, в и г) для моментов времени 1, 2, 3 и 4. а) б) в) г) Рисунок 8.16 –Схематические картины магнитного поля для различных моментов времени 8.9 Принцип действия асинхронного и синхронного двигателей 8.9.1 Асинхронные двигатели Поместим между неподвижными катушками в область вращающегося магнитного поля укрепленный на оси подвижный металлический барабан (см. рисунок 8.17) Рисунок 8.17–Схематическое изображение асинхронного двигателя Если магнитное поле вращается по направлению движения часовой стрелки, то барабан относительно поля вращается в обратном направлении. Приняв это во внимание, по правилу правой руки найдем направление наведенных в барабане токов (на рисунке 8.17 показаны крестиками и точками). Затем, применив правило левой руки, убедимся, что взаимодействие этих токов с магнитным полем дает силы, приводящие в движение барабан в том же направлении, в каком вращается магнитное поле. Частота вращения барабана меньше частоты вращения магнитного поля относительно катушек, т.к. при одинаковых угловых скоростях прекратилось бы наведение токов в барабане и, следовательно, не было бы сил создающих вращающий момент. Рассмотренное простейшее устройство поясняет принцип действия трехфазных асинхронных двигателей. Слово «асинхронный» заимствовано из греческого языка и означает неодновременный. Этим словом подчеркивается различие в частотах вращения поля и ротора. Статор асинхронной машины представляет собой полый цилиндр, составленный из листов электротехнической стали. Листы имеют форму колец со штампованными пазами. В пазах, находящихся на внутренней поверхности цилиндра, укладывается статорная обмотка. Эта обмотка выполняется так, что при включении ее в сеть переменного тока в расточке статора (внутри цилиндра) образуется магнитное поле, вращающееся вокруг оси статора с постоянной скоростью. Ротор машины имеет вид цилиндра, набранного из круглых листов стали. У поверхности ротора вдоль его образующих расположены проводники, составляющие обмотку ротора. Обмотка ротора не связана с внешней электрической сетью. Токи в ней возникают в результате того, что ротор при вращении отстает от вращающегося поля. Значение этих токов определяется скоростью вращения магнитного поля относительно ротора. Для оценки этой скорости вводится понятие скольжения асинхронной машины , где (8.24) no – скорость вращения магнитного потока; n – скорость вращения ротора. Поскольку условием возникновения токов в роторе является неравенство скоростей n ≠ no, ротор асинхронного двигателя не может вращаться со скоростью, равной синхронной. Асинхронная машина используется обычно как двигатель. У асинхронного двигателя движущий момент возникает в роторе как результат взаимодействия вращающегося магнитного поля с индуцируемыми им в роторе токами. Этот момент увлекает ротор в сторону вращения магнитного поля. Образование вращающего момента, воздействующего на ротор асинхронного двигателя, можно проследить по рисунку 8.18. Полюсы магнитного поля статора, вращающегося со скоростью ω, показаны штриховыми линиями, чтобы подчеркнуть, что статор не имеет конструктивно оформленных полюсов. Проводники ротора показаны кружочками, указанные в них направления ЭДС и токов можно определить по правилу правой руки. Направление сил f, действующих на проводники ротора в результате взаимодействия токов в проводниках ротора с магнитным полем статора, могут быть найдены по правилу левой руки. В настоящее время промышленность выпускает ряд различных типов трехфазных асинхронных двигателей мощностью от десятков ватт до тысяч киловатт. Рисунок 8.18– Образование вращающего момента, воздействующего на ротор асинхронного двигателя 8.9.2 Синхронные двигатели Поместим между неподвижными катушками в область вращающегося магнитного поля укрепленный на оси подвижный электромагнит, питаемый постоянным током (рисунок 8.19). На электромагнит действует вращающий момент, направление которого изменяется 2 раза за каждый оборот магнитного поля. Вследствие периодического изменения направления вращающего момента и инерции подвижной системы электромагнит остается неподвижным. Однако если его привести во вращение посредством какого – либо приспособления с угловой скоростью, близкой к угловой скорости вращающегося поля, то он будет продолжать вращаться и достигнет частоты вращения одинаковой с частотой вращения поля. Это принцип действия синхронной машины. Словом «синхронный» подчеркивается одинаковая частота вращения поля и ротора. Синхронные машины широко применяются в народном хозяйстве как электрические генераторы и двигатели преимущественно большой мощности. Синхронная машина является машиной переменного тока, устройство ее статора принципиально не отличается от устройства статора асинхронной машины. Ротор представляет собой электромагнит, обмотка которого питается постоянным током через два изолированных контактных кольца, укрепленных на валу машины и вращающихся вместе с ротором. Постоянный ток подводится к ротору извне через неподвижные щетки, скользящие по контактным кольцам. В настоящее время постоянный ток для питания обмотки ротора получают обычно от промышленной сети переменного тока при помощи управляемых тиристорных выпрямителей. Рисунок 8.19– Схематическое устройсьво синхронной машины Пусть в момент включения взаимное расположение полюсов ротора (сплошная линия) и магнитного поля статора (штриховая линия) будет таким, как показано на рисунке 8.20 а. Т.к. разночисленные полюсы стремятся расположиться друг против друга, возникает момент, действующий со стороны статора на ротор в направлении часовой стрелки. Через половину периода переменного тока, питающего статор, поле статора повернется на одно полюсное деление, т.е. в полюсы поля статора поменяются местами. Ротор за это время практически не сдвинется с места из-за механической инерции, взаимное расположение полюсов ротора и поля статора будет таким, как показано на нижнем рисунке 8.20 б, при этом момент, действующий со стороны статора на ротор, окажется направленным против часовой стрелки. В результате ротор не сдвинется с места, т.к. он будет находиться под действием кратковременных знакопеременных толчков. Поэтому в момент включения двигателя в сеть ротор неподвижен, и пуск в ход синхронного двигателя обычного исполнения непосредственным включением в сеть невозможен. а) б) Рисунок 8.20 –Взаимное расположение полюсов ротора и магнитного поля статора Пуск синхронного двигателя становится возможен лишь при условии, что предварительно будет произведен разгон ротора до скорости, равной синхронной или близкой к ней. Для синхронных двигателей обычно применяется асинхронный пуск в ход, состоящий в том, что в начале пуска двигатель разгоняется как асинхронный. Перед включением статора двигателя в трехфазную сеть обмотка ротора замыкается на сопротивление, постоянный ток в эту обмотку пока не подается. Затем включается обмотка статора, и возникает вращающееся магнитное поле. Оно индуцирует токи в пусковой клетке ротора, в результате чего возникает вращающий момент, и двигатель разгоняется до некоторой установившейся скорости n. В результате возникает обычный для синхронной машины момент взаимодействия вращающегося поля статора и полюсов ротора, и машина втягивается в синхронизм, т.е. ротор начинает вращаться синхронно с полем. Синхронные двигатели применяют в основном для установок большой мощности, начиная примерно с 50 – 100 кВт. 9.Методы анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами Введение В предыдущих главах рассматривались стационарные (установившиеся) режимы работы электрических цепей, при которых в результате относительно длительного действия источников электрической энергии устанавливаются постоянные или синусоидальные токи. Однако в ряде случаев необходимо исследовать неустановившиеся процессы, возникающие в электрических цепях вследствие коммутации. Электромагнитные процессы, возникающие в электрической цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются переходными. Иногда значения токов или напряжений некоторых элементов цепи могут во много раз превышать номинальные значения, на которые рассчитаны эти элементы. Для предотвращения выхода из строя этих элементов во многих случаях используют аппаратуру, автоматически защищающую электрическую цепь от перенапряжений и чрезмерного увеличения токов. При эксплуатации электротехнических устройств и выборе аппаратуры защиты необходимо знание максимальных значений токов и напряжений, возникающих в переходном режиме, и время, за которое они достигаются. 9.1 Классический метод анализа переходных процессов 9.1.1 Возникновение переходных процессов и законы коммутации. В электрических цепях могут происходить включения и отключения пассивных или активных элементов, короткие замыкания отдельных участков переключения. В результате таких изменений, называемых коммутациями, которые будем считать происходящими мгновенно, в цепи возникают переходящие процессы, заканчивающиеся спустя некоторое время после коммутации. Начало отсчета времени переходного процесса (t=0) начинается с момента коммутации. Этот момент времени непосредственно перед коммутацией обозначим (0-), а сразу после коммутации – (0+). Сформулируем два закона коммутации: 1. В индуктивном элементе ток (и магнитный поток) непосредственно после коммутации в момент, который называется моментом коммутации t= (0+) сохраняет свое значение, которые он имел непосредственно перед коммутацией, т.е. при t=(0-), и далее начинает изменяться именно с этого значения. (9.1) Если для такой ветви допустить, что в момент коммутации ток изменится скачком, то напряжение на индуктивном элементе будет бесконечно большим, и в цепи в момент коммутации не будет выполняться второй закон Кирхгофа. 2. На емкостном элементе напряжение (и заряд) сохраняет в момент коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяется, начиная именно с этого значения. (9.2) Если допустить, что в момент коммутации напряжение на емкостном элементе изменяется скачком, то ток будет бесконечно большим, а в цепи не будет выполняться второй закон Кирхгофа. С энергетической точки зрения невозможность мгновенного изменения тока iL и напряжения uc объясняется невозможностью скачкообразного изменения запасенной в индуктивном и емкостном элементах энергии (энергия магнитного поля Wм= Li2/2 , энергия электрического поля Wэ=Сu2/2). Cкачкообразное изменение энергии требует бесконечно больших мощностей, что лишено физического смысла. Рассмотрим переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами. 9.1.2 Переходный, установившийся и свободный процессы Рассмотрим сначала некоторые общие вопросы расчета переходных процессов на простом примере – включение последовательно контура (rLC– цепи) к источнику ЭДС, которая изменяется во времени непрерывно и задана каким-либо аналитическим выражением. Запишем второй закон Кирхгофа для произвольного момента времени: , (9.3) где i – ток переходного процесса, который в дальнейшем будет называться переходным током или просто током. Напряжение на конденсаторе: (9.4) Когда с переходным процессом можно уже не считаться, наступает принужденный режим. Иначе его называют установившимся. Когда наступает установившийся режим уравнение (9.3) принимает вид: (9.5) где iy, ucy – установившиеся величины тока и напряжения. Вычитая уравнение (9.5) из уравнения (9.3) и обозначая (9.6) Получим: (9.7) или (9.8) Разности токов и напряжений переходного процесса и принужденного режимов называют соответственно током и напряжением свободного процесса или просто свободными током и напряжением. Из уравнения (9.8) следует, что напряжения на всех элементах, создаваемые свободными составляющими токов, взаимно уравновешиваются. Уравнение (9.6) показывает, что процесс, происходящий в цепи, можно рассматривать состоящим из двух накладывающихся друг на друга процессов – установившегося и свободного, имеющего место только во время переходного процесса. Следовательно, во время переходного процесса все токи и напряжения могут быть разложены на слагаемые принужденного и свободного режимов: (9.9) Конечно, физически существуют только переходные токи и напряжения, и разложение их на установившиеся и свободные составляющие является удобным математическим приемом. Он необходим для решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений, согласно которому общее решение таких уравнений равно сумме частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. Действительно, свободный ток представляет собой общее решение однородного дифференциального уравнения (9.7). Установившийся ток представляет собой частное решение неоднородного дифференциального уравнения (9.3). Начнем изучение переходных процессов с изучения классического метода расчета. Этот метод заключается в интегрировании дифференциальных уравнений, связывающих токи и напряжения в цепи, в результате чего появляются постоянные, и в определении постоянных из начальных условий, вытекающих из законов коммутации. Начальными условиями назовем значения переходных токов в индуктивных элементах и напряжений на емкостных элементах при t=0, т.е. те значения, которые в момент коммутации не изменяются скачками. Иногда эти условия называют еще независимыми начальными условиями. 9.1.3 Короткое замыкание rL–цепи Ветвь с сопротивлением и индуктивностью внезапно замыкается ключом накоротко. Ток в катушке индуктивности до коммутации был постоянным и равным , (9.10) Рисунок 9.1– Короткое замыкание RL–цепи Найдем закон изменения тока в катушке индуктивности после коммутации. Установившийся ток в катушке равен нулю. Следовательно, полный ток равен свободному току i=iсв. Свободный ток удовлетворяет однородному дифференциальному уравнению первого порядка: , (9.11) Общее решение этого уравнения записывается как: , (9.12) В (9.12) А – постоянная интегрирования и p =–r/L – корень характеристического уравнения , (9.13) соответствующего однородному дифференциальному уравнению (35). При t=0 из (36) следует, что i(0-)=i(0+)=A т.к. по первому закону коммутации iL(0-)=iL(0+). То есть если i=iL имеем i(0-)=i(0+), то А=iсв(0+)=E/(R+r). Таким образом, закон изменения тока после коммутации: , (9.14) Величина =L/r , имеющая размерность времени, называется постоянной времени rL– цепи и может быть определена как время, в течение которого свободный ток уменьшается в е раз по сравнению со своим начальным значением iсв(0+). В самом деле: , (9.15) Величина, обратная постоянной времени называется коэффициентом затухания rL–цепи: , (9.16) Свободный ток затухает тем медленнее, чем больше постоянная времени , т.е. чем больше индуктивность L и чем меньше сопротивление r. С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания rL–цепи характеризуется тем, что вся энергия, запасенная до коммутации в магнитном поле катушки, в течение переходного процесса превращается на сопротивлении r в тепло. Если до короткого замыкания в катушке протекал переменный ток, то характер переходного процесса не изменится. 9.1.4 Короткое замыкание rС–цепи Предположим, что конденсатор емкостью С был заряжен от источника постоянной ЭДС до напряжения U(0-)=Е, а затем замкнулся ключ, и конденсатор разряжается через регистр r (рисунок 9.2). Рисунок 9.2 – Короткое замыкание rС–цепи Установившееся напряжение на конденсаторе UСу=0 и установившийся ток iу=0. Следовательно, полный ток и полное напряжение равны своим свободным составляющим. Примем положительные направления напряжения и тока на конденсаторе совпадающими и запишем: , (9.17) Уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи после коммутации: , (9.18) С учетом того, что ток, протекающий через конденсатор, равен , (9.20) , (9.21) Это однородное уравнение первого порядка. Ему соответствует характеристическое уравнение: , которое имеет корень (9.22) Общее решение уравнения (45) ищется в виде: . (9.23) Величина =rС, имеющая размерность времени, называется постоянной времени rС–цепи. Обратная ей величина α=1/=1/rС называется коэффициентом затухания rС–цепи. Постоянная времени  тем больше, чем больше емкость конденсатора и сопротивление. Следовательно, чем больше емкость С и сопротивление r, тем медленнее в цепи затухают свободные ток и напряжение и тем медленнее происходит разрядка конденсатора. Постоянную интегрирования А определим из начальных условий. Согласно второму закону коммутации: , (9.24) Для напряжения на конденсаторе получим: , (9.25) Ток через конденсатор: , (9.26) Кривые изменения тока и напряжения в цепи после коммутации приведены на рисунке 9.3. Рисунок 9.3 – Кривые изменения тока и напряжения при коротком замыкании rС–цепи С энергетической точки зрения процесс короткого замыкания rС–цепи характеризуется переходом энергии, запасенной до коммутации в электрическом поле конденсатора, в тепло на резисторе. 9.1.5 Включение rC–цепи на постоянное напряжение Рассмотрим переходный процесс при включении rС–цепи на постоянное напряжение U(рисунок 9.4). Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для свободного процесса, соответствует однородному уравнению, записанному для пункта 2.1.4: Рисунок 9.4 – Включение rC–цепи на постоянное напряжение , или (9.27) Поэтому свободное напряжение на емкости равно: (9.28) Переходное напряжение на емкости: (9.29) Так как конденсатор до коммутации не был заряжен, т.е. при t=(0-) напряжение uс(0-)=0, то А=-U и, следовательно: (9.30) Для тока получим: (9.31) Начальное значение тока i(0+) может быть получено и непосредственно. Так как Uc(0)=0, то все напряжение источника U при t = 0 равно напряжению Ur=ri. Кривые изменения напряжений uc, ucу, u uccв и тока i показывают, что напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно (рисунок 9.5). Напряжение возрастает и ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи , т.е. чем медленнее затухает свободное напряжение uccв. Отметим аналогию законов изменения тока iL в rL–цепи и напряжения u uc в rC–цепи при включении их на постоянное напряжение. Рисунок 9.5 – Кривые изменения тока и напряжения в rС–цепи при ее подключении на постоянное напряжение Аналогия распространяется и на случаи включения rL и rС–цепей на синусоидальное напряжение. К исследованию процессов зарядки и разрядки конденсатора через резистор сводятся многие важные практические задачи, возникающие при расчете переходных процессов в цепях автоматики, телемеханики, электроники и связи. 9.1.6 Включение rC–цепи на синусоидальное напряжение При включении rC –цепи на синусоидальное напряжение (схема аналогична рисунку 9.4): (9.32) Установившееся напряжение на емкости (9.33) где (9.34) Изменение свободного напряжения на емкости по-прежнему определяется выражением для свободной составляющей при коротком замыкании rC– цепи, и переходное напряжение на емкости равно: (9.35) где постоянная времени цепи =rС. Начальные условия дают uc=0 при t=0. Отсюда находим постоянную А: (9.36) В результате напряжение на емкости: (9.37) Ток: (9.38) При t=0 ток i(0+)=Umsin/r. Действительно, в момент включения цепи емкость как бы закорочена (Uc(0)=0), и напряжение питания равно напряжению на резисторе. Кривые изменения напряжения на емкости изображены на рисунке 9.6. Рисунок 9.6– Изменение напряжения на конденсаторе при включении RC– цепи на синусоидальное напряжение Спустя время от T/4 до 3T/4 после включения напряжения Uс может достигать значений, превышающих амплитуду установившегося режима. Максимальное значение Uc получается, если в момент включения цепи установившееся напряжение равно амплитудному значению (-φ=π или 0), а постоянная времени цепи →∞. Этот случай иллюстрируется рисунком 9.7. Примерно через половину периода после включения цепи uc достигает почти удвоенной амплитуды установившегося режима, т.е. Ucmах≈2UСуст. Если в момент включения установившееся напряжение на емкостном элементе проходит через 0, то начальное значение его свободной составляющей также равно 0, т.е. свободного напряжения на емкостном Рисунок 9.7– Изменение напряжения на конденсаторе при включении RC– цепи на синусоидальное напряжение при условии (-φ=π или 0) элементе вообще нет, и в цепи сразу возникает установившийся режим. 9.1.7 Переходные процессы в rLC–цепи По второму закону Кирхгофа свободные напряжения на всех элементах неразветвленной цепи (рисунок 9.8) взаимно уравновешиваются. Поэтому в последовательном контуре при отсутствии источников, т.е. при i=icв, uc= uccв: (9.39) где (9.40) Подставляя значения тока из уравнения (9.40) в уравнение (9.39) после дифференцирования получаем для uc дифференциальное уравнение второго порядка: (9.41) Для заряда и тока можно получить аналогичные уравнения второго порядка. Для решения этих уравнений составим характеристическое уравнение, заменяя вторую производную на р2, первую – на р, саму величину –на единицу, константу– на 0. (9.42) Рисунок 9.8 – Переходный процесс в RLC–цепи Характер свободного процесса зависит только от параметров rLC–цепи, т.е. иначе от вида корней характеристического уравнения. Т.к. эти корни определяются равенством: (9.43) то характер свободного процесса зависит от р1 и р2. 9.1.8 Апериодическая разрядка конденсатора Апериодической разрядкой конденсатора, заряженного до напряжения Uo , через резистор и катушку индуктивности, называется разрядка, при которой напряжение на конденсаторе монотонно спадает от значения Uo до 0, т.е. не происходит перезарядки конденсатора. Апериодическое решение однородного дифференциального уравнения (9.39), т.е. в рассматриваемом случае апериодический характер свободного процесса разрядки конденсатора имеет место, если корни характеристического уравнения действительны, т.е. если: (9.44) Назовем критическим сопротивлением контура такое его наименьшее значение, при котором свободный процесс имеет еще апериодический характер: (9.45) Корни р1 и р2 действительные и различные, если выполняется неравенство r rкр. Общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка при различных корнях записывается в виде: (9.46) При условии r rкр А1 и А2 действительные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий, а р1 и р2 – действительные и различные корни характеристического уравнения. Заметим, что корни обязательно отрицательные, т.к. свободный процесс должен быть затухающим во времени. (9.47) При разрядке конденсатора установившееся напряжение на нем и ток равны нулю, поэтому их переходные значения равны свободным uc = uccв, i=icв. Из начальных условий uc (0)=Uo и i(0)=0 определим значения постоянных интегрирования. Подставив начальные условия в (69) и (70) получим: (9.48) откуда (9.49) При этих значениях постоянных интегрирования напряжение и ток: (9.50) Т.к. произведение корней р1 и р2 характеристического уравнения равно его свободному члену, т.е. р1р2=1/LC, то: (9.51) Ток и напряжение на элементах состоят из двух экспоненциальных составляющих, коэффициенты затухания которых равны (р1) и (р2) – рисунок 9.9. Напряжение на индуктивности найти самостоятельно. 9.1.9 Предельный случай апериодической разрядки конденсатора Предельный случай апериодической разрядки конденсатора имеет место, если сопротивление контура r=rкр, т.е. корни характерного уравнения действительные и равные а) б) Рисунок 9.9 – Кривые напряжения а) и тока б) для переходного процесса в RLC–цепи при апериодической разрядки конденсатора (9.52) Общее решение однородного дифференциального уравнения дается в этом случае формулой: (9.53) Для свободного тока получим: (9.54) При начальных условиях uC(0)=Uo и i(0)=0 находим постоянные интегрирования А1=Uo, А2=-pUo. Подставив значения А1 и А2 , получим напряжение на емкости и ток: (9.55) Кривые напряжения и тока – на самостоятельное рассмотрение. 9.1.10 Периодическая (колебательная) разрядка конденсатора Разрядка будет периодической или колебательной, если сопротивление контура меньше критического: r rкр, т.е. корни характеристического уравнения комплексные и сопряженные. Обозначим через: , (9.56) Так что (9.57) где св – угловая частота; Тсв – период собственных или свободных колебаний контура. Для корней р1 и р2 получим: (9.58) Решение дифференциального уравнения при комплексных корнях его характеристического уравнения записывается в виде: (9.59) Ток (9.60) Так как переходные напряжения и ток по-прежнему равны их свободным значениям и начальные условия такие же, то получим: (9.61) Из последних соотношений находим: (9.62) (9.63) (9.64) Подставив значения А, sin и cos  и обозначив для краткости: , (9.65) (9.66) Получим окончательные выражения: (9.67) (9.68) Кривые изменения Uc и i даны на рисунке 9.10. Ток и напряжение представляются затухающими синусоидальными функциями с угловой частотой собственных колебаний контура св и коэффициентом затухания α, причем как св, так и α определяются только параметрами контура r, L и C. Начальная фаза  зависит также только от параметров контура. Быстроту затухания рассматриваемых колебаний характеризуют отношением напряжений в моменты времени t и t+Tсв. Это отношение называется декрементом колебания. Это постоянная величина, не зависящая от времени t, а зависящая лишь от параметров rLC-контура. Сопротивление r оказывает существенное влияние на скорость затухания колебательной зарядки конденсатора. По мере увеличения сопротивления r уменьшается частота собственных колебаний св и увеличивается Тсв. Рисунок 9.10 – Кривые напряжения и тока переходного процесса в RLC–цепи при периодической разрядки конденсатора 9.1.11 Включение rLC–цепи на постоянное напряжение Условимся называть последовательный контур апериодическим, если каждая из составляющих его свободного тока меняется по экспоненциальному закону. Сравнивая включение апериодического контура на постоянное напряжение U с апериодической разрядкой конденсата, заключаем, что установившийся ток по-прежнему равен 0, а установившееся напряжение равно U. Поэтому, в отличие от апериодического, разряд конденсатора теперь Uccв(О)=-U, т.е. знаки коэффициентов А1 и А2 изменяются на обратные. Переходные напряжение и ток определяются как: (9.69) (9.70) Кривые – на самостоятельное рассмотрение. Включение rLC –цепи на постоянное напряжение при исследуется аналогично рассмотренному выше. Сравнивая включение колебательного контур с колебательной разрядкой конденсатора, заключаем, что свободные напряжения и ток в рассматриваемом случае изменяются также, как и при колебательной разрядке конденсатора, только теперь Uccв(O)=-U , и знак коэффициента А изменяется на обратный. Также как и при колебательной разрядке конденсатора заслуживает внимания случай включения на постоянное напряжение идеального колебательного контура (). Поэтому для тока и напряжения на емкости имеем: (9.71) Ток и напряжение изменяются гармонически с частотой свободных колебаний св=0, при этом напряжение Uc колеблется в пределах от 0 до 2U. С энергетической точки зрения процесс включения rLC –цепи на постоянное напряжение интересен тем, что при любых r,L, C половина энергии, полученной от источника за время переходного процесса, перейдет в тепло, а другая половина запасается в электрическом поле конденсатора. 9.1.12 Общий случай расчета переходных процессов классическим методом В предыдущих параграфах был дан анализ переходных процессов в неразветвленных цепях. Порядок расчета переходных процессов в разветвленных цепях рассмотрим на достаточно простом примере расчета тока i в цепи, чтобы нетрудно было проследить все этапы расчета. 1. Для цепи после коммутации (рисунок 9.11) составим систему дифференциальных уравнений по первому и второму закону Кирхгофа. Рисунок 9.11 – Разветвленная схема для расчета переходных процессов (9.72) где (9.73) После подстановки Uc и дифференцирования уравнений (9.72) получаем систему уравнений для трех неизвестных токов: (9.74) 2. Независимые начальные условия – ток в индуктивном элементе iL(0+) и напряжение на емкостном элементе Uc(0+) – неизвестны. Поэтому определим их из расчета режима цепи до коммутации с применением законов коммутации. Считая, что до коммутации в левом контуре был установившийся режим. При постоянной ЭДС Е конденсатор был заряжен до напряжения Uc=E, т.е.Uc(0-)=Uc(0+)=Uc(O)=E, а ток был равен 0, т.е. i(0-)= i(0)= i(0+)=0. Это и есть независимые начальные условия. 3. Запишем искомую величину в виде суммы установившейся и свободной составляющих: (9.75) 4. Установившуюся составляющую найдем, рассчитав режим цепи постоянного тока (ЭДС в цепи постоянная) после коммутации. В установившемся режиме после коммутации ток протекает только по внешнему контуру, и . 5. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни. Из системы трех уравнений (9.74) с тремя неизвестными i, i1, i2 можно записать характеристическое уравнение. Для определения корней можно составить главный определитель системы и приравнять его к 0. = 0 (9.76) или (9.77) Корень р=0 соответствует установившемуся режиму, который уже найден. Два других корня определяются из характеристического уравнения: (9.78) Они могут быть действительные разные р1 и р2, равные р1 = р2 или комплексные сопряженные р1,2=-αjсв при α0 (действительная часть корней не может быть положительной, т.к. переходные процессы затухают). 6. Запишем свободную составляющую тока, обращая внимание на вид корней или (9.79) Далее для определения будем предполагать случай действительных разных корней. 7. Искомое решение с двумя постоянными интегрирования: (9.80) 8. Для определения двух постоянных интегрирования запишем полученное решение и его производную для начального момента времени: (9.81) Это два алгебраических уравнения, из которых можно найти постоянные А1 и А2 при известных значениях i1(0) и . Начальные значения тока i1(0) определим из системы дифференциальных уравнений цепи (9.72), записанной для момента t=0: (9.82) В этой системе алгебраических уравнений с тремя токами, напряжением и производной тока две величины i(0) и Uc(0) были уже найдены с применением закона коммутации. Следовательно, остальные три величины i1(0), i2(0) и можно вычислить. Для определения начального значения производной дифференцируем систему уравнений Кирхгофа (95) и подставляем t=0. (9.83) Это система трех уравнений с тремя неизвестными , которые можно вычислить. В рассматриваемой задаче достаточно найти. При трех корнях характеристического уравнения потребовалось бы еще раз продифференцировать уравнение Кирхгофа для определения третьего начального значения – второй производной искомой величины. 9. После определения постоянных А1 и А2 остается подставить их в уравнение (9.80). 9.1.13 Система дифференциальных уравнений Необходимое число уравнений, составляемых по первому и второму законам Кирхгофа, определяется также как и при расчете установившихся режимов в цепях постоянного и переменного токов. Характеристическое уравнение дифференциального уравнения первого порядка составляется алгебраизацией соответствующего однородного уравнения. Например, для дифференциального уравнения тока: (9.84) Характеристическое уравнение: (9.85) Имеет n корней, среди которых могут быть действительные и комплексно–сопряженные, различные и одинаковые. Степень n называется порядком цепи. Для понижения порядка определителя, при помощи которого находятся корни характеристического уравнения, можно записать уравнения цепи контурными токами. Характеристическим является также уравнение главного определителя системы, составленного методом узловых потенциалов. Еще можно определитель записать сразу без составления дифференциальных уравнений. Это делается так: составляется комплексное входное сопротивление цепи для источника синусоидальной ЭДС. Источник ЭДС можно считать включенным в любую из ветвей цепи. После замены jω оператором р получим: (9.86) и, приравнивая его к 0, находим корни. Число корней характеристического уравнения не может быть больше числа накопителей энергии в цепи после коммутации, т.е. числа ее индуктивных и емкостных элементов. Наличие индуктивных связей не увеличивает числа корней характеристического уравнения. Корни характеристического уравнения определяются только топологией цепи после коммутации и значением ее параметров. В общем случае они одинаковы для любого из токов и напряжений в цепи. Корни характеристического уравнения имеют отрицательные действительные части. В цепях с зависимыми источниками, например, четырехполюсниками – операционными усилителями с обратной связью возможно самовозбуждение. В этом случае характеристическое уравнение имеет хотя бы один корень с положительной действительной частью. 9.2 Операторный метод расчета переходных процессов 9.2.1 Общие понятия операторного метода расчета переходных процессов Классический метод расчета переходных процессов требует в общем случае многократного решения систем дифференциальных уравнений для нахождения начальных значений функции и ее производных, что и представляет основную трудность расчета этим методом. Так как дифференциальные уравнения переходных процессов в линейных цепях представляют собой линейные уравнения с постоянными коэффициентами, то их можно интегрировать также операторным методом, основанным на преобразовании Лапласа. Сущность операторного метода заключается в том, что некоторой заданной однозначной функции f(t), называемой оригиналом, удовлетворяющей условиям Дирихле, и равной 0 при t0, сопоставляется другая функция F(p) комплексного переменного p=s+j, называемая изображением. Это сопоставление производится по формуле: , (9.87) которая представляет собой прямое преобразование Лапласа функции f(t) и обозначается как: (9.88) где F(p) – называется Лапласовым изображением функции f(t). Обратно: если нужно по имеющемуся изображению F(p) найти оригинал f(t), то это выполняется при помощи обратного преобразования Лапласа: (9.89) Уравнение (9.89) – это решение интегрального уравнения (9.87) относительно f(t) на комплексной плоскости. Интеграл (9.89) обозначается еще как: (9.90) Система интегро–дифференциальных уравнений относительно оригиналов заменяется системой алгебраических уравнений относительно их изображений. При решении полученной системы алгебраических уравнений определяются изображения искомых функций, а затем при помощи обратного преобразования Лапласа – оригиналов, т.е. искомые функции времени. Ряд таких функций и их изображений приведен в таблицах. Необходимость вычисления постоянных интегрирования по начальным условиям отпадает, поскольку все начальные условия учитываются при переходе от системы интегро–дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений. Часто изображение функции имеет вид рациональной дроби: (9.91) при этом mn, причем дробь F1(p)/F2(p)=F(p) несократимая. Оригинал f(t) изображения можно найти по формуле, называемой теоремой разложения. Для случая действительных корней характеристического уравнения, которым в операторном методе является F2(p)=0 теорема разложения записывается как: (9.92) где рк – простые корни характеристического уравнения, причем один из них может равняться 0. Часто встречается другая форма записи разложения, применяющаяся в том случае, когда в составе знаменателя (9.91) есть множитель р, т.е. знаменатель имеет один нулевой корень. Получаем другую форму теоремы разложения: (9.93) Если корни комплексно–сопряженные, то формула разложения выглядит следующим образом: (9.94) Если корни комплексно–сопряженные и в составе знаменателя есть множитель р, то формула разложения имеет вид: (9.95) 9.2.2 Законы Кирхгофа в операторной форме Рассмотрим rLC–цепь, которая была подключена к источнику ЭДС е1(t) и в момент t=0 переключается к источнику ЭДС е(t) – рисунок 9.12. Дифференциальное уравнение цепи после коммутации: (9.96) Рисунок 9.12 – Схема для расчета переходных процессов операторным методом Где: (9.97) Напряжение uc(0), а также ток i(0), как и при расчете переходного процесса классическим методом, должны быть определены расчетом режима цепи до коммутации. Перейдем в уравнении (9.96) от оригиналов к изображениям. Получим алгебраическое уравнение: (9.98) где: (9.99) Из (121) определим ток: (9.100) Выражение, стоящее в знаменателе, назовем полным сопротивлением rLC–цепи в операторной форме или операторным сопротивлением. (9.101) Сопротивление rLC – цепи в операторной форме построено также как и комплексное сопротивление, если в нем заменить jω через р. Величина, обратная операторному сопротивлению, называется операторной проводимостью: (9.102) Операторная ЭДС цепи, стоящая в числителе, состоит не только из операторного изображения ЭДС источника, т.е. Е(р), но и еще из двух слагаемых, которые определяются начальными условиями, т.е.током в индуктивности i(0-)= i(0+) и напряжением на конденсаторе uc(0-)=uc(0+). Положительное направление ЭДС Li(0) совпадает с положительным направлением тока в ветви, а направление ЭДС uC(0)/p противоположно направлению тока. При этом положительные направления тока и напряжения на конденсаторе совпадают. Особенно просто выглядит выражение (9.100) при нулевых начальных условиях, т.е. при i(0)=0 и uC (0)=0: (9.103) Оно аналогично закону Ома в комплексной форме. Для любого узла разветвленной цепи: (9.104) Поэтому, обозначив изображения токов Ik(p)=Li k(t), получаем первый закон Кирхгофа в операторной форме: (9.105) причем некоторые из токов могут быть изображением токов источников тока. Для любого замкнутого контура, состоящего из n ветвей: (9.106) Переходя к изображениям, получаем второй закон Кирхгофа в операторной форме: (9.107) что можно переписать: (9.108) В последних выражениях iк(0) и Ucк(0) начальные значения токов в катушках индуктивности и напряжений на конденсаторах в соответствующих ветвях. Особенно просто запишется второй закон Кирхгофа при нулевых начальных условиях, т.е. при iк(0)=0 и Ucк(0)=0: (9.109) Он полностью аналогичен второму закону Кирхгофа в комплексной форме. Итак, закон Ома, первый и второй законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны по форме записи тем же законам в комплексной форме. Нужно только иметь ввиду, что в каждой к-той ветви при ненулевых начальных условиях действуют не только внешняя ЭДС, но еще и внутренние ЭДС Lkik(0) и Uck(0)/p и что в качестве сопротивления ветви берется ее операторное сопротивление. 9.2.3 Эквивалентные операторные схемы На рисунке 33 изображены операторные схемы замещения катушки индуктивности и конденсатора. Как видно из рисунка, эти схемы содержат внутренние ЭДС, причем в катушке ЭДС направлена по току, а в конденсаторе – против тока. При расчете переходного процесса операторным методом желательно сразу записать уравнения Кирхгофа в операторной форме, а также уравнения с применением методов расчета, которые основаны на уравнениях Кирхгофа (контурные токи, узловые потенциалы и т.д.). Каждую из этих систем уравнений можно записать, составив для заданной цепи эквивалентную операторную схему. В каждой ветви с параметрами r1, L и С должны быть при ненулевых начальных условиях учтены две дополнительные внутренние ЭДС Li(0) и Uc(0)/p. Для расчета переходного процесса после коммутации в цепи, изображенной на рисунке 9.13 операторная схема приведена ниже. Для нее запишем: Рисунок 9.13 – Эквивалентные операторные схемы катушки индуктивности и конденсатора (9.110) После приведения операторной схемы замещения цепи (рисунок 9.14) необходимо любым из известных методов расчета (с применением законов Кирхгофа, контурными токами, узловыми потенциалами и т.д.) найти изображение искомой величины. Затем по таблицам или по формулам разложения перейти от изображения к оригиналу. Рисунок 9.14 – Операторная схема замещения цепи 9.3 Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывного изменяющегося напряжения (интеграл Дюамеля) 9.3.1 Применение интеграла Дюамеля при сложной форме напряжения Пусть произвольный пассивный линейный двухполюсник (рис. 9.15) подключается к источнику непрерывно изменяющегося напряжения U. Требуется найти ток i любой ветви двухполюсника после замыкания ключа. Задачу решим в два приема. Сначала искомую величину найдем при включении двухполюсника на единичный скачок напряжения (рис. 9.16) Рисунок 9.15 – Пассивный двухполюсник Рисунок 9.16 – Функция Хевисайда Единичный скачок (единичное ступенчатое воздействие) задается единичной ступенчатой функцией – функцией Хевисайда 1(t), изображенной на рисунке 9.17, так что: 1(t)=0 при t0 1(t)=1 при t0 (9.111) Функция h(t), численно равная искомому току (или напряжению) при действии единичного скачка называется переходной функцией или переходной характеристикой. Это реакция цепи на единичный скачок. Например, для rL–цепи переходная функции тока: (9.112) для rC–цепи переходная функция напряжения на емкостном элементе: (9.113) Если определяются ток и напряжение, можно соответственно обозначить переходные функции как hi(t) и hU(t). Переходную функцию h(t) при любой схеме пассивного двухполюсника можно найти классическим или операторным методами. Для этого на вход исходной цепи включается источник ЭДС, равный 1В, и ищется закон изменения искомого тока или напряжения после коммутации. Таким образом, в дальнейших расчетах функцию h(t) будем считать известной. При t0 h(t)=0. Все дальнейшие рассуждения проведем для случая, когда нужно рассчитать ток. Непрерывно изменяющееся напряжение U(t) (рисунок 9.17) заменим ступенчатой функцией с элементарными прямоугольными скачками U. Тогда процесс изменения напряжения можно представить как включение при t=0 постоянного напряжения U(0), а затем как включение элементарных постоянных напряжений U, смещенных относительно друг друга на интервалы времени  и имеющих знак (+) для возрастающей и знак (-) для падающей ветви заданной кривой напряжения. Рисунок 9.17– Включение пассивного двухполюсника к источнику непрерывного изменяющегося напряжения Составляющая искомого тока в момент времени t от постоянного напряжения U(0) равна U(0)h(t). Составляющая искомого тока в момент t от элементарного скачка напряжения U, включаемого в момент времени , равна Uh(t-). Аргументом переходной функции служит время(t-), поскольку элементарный скачок напряжения U начинает действовать на время  позднее замыкания ключа. Элементарный скачок напряжения: , (9.114) где m– масштабный коэффициент. Поэтому искомая составляющая тока: (9.115) Элементарные скачки напряжения включаются на интервале времени от t=0 до момента t, для которого определяется искомый ток. Поэтому, суммируя составляющие тока от всех скачков, переходя к пределу при →0 и учитывая составляющую тока от начального скачка напряжения U(0), получаем: (9.116) Формула (9.116) называется интегралом Дюамеля. 9.3.2 Включение пассивного двухполюсника к источнику напряжения произвольной формы Пусть произвольный пассивный двухполюсник подключается к источнику напряжения, кривая изменения которого дана на рисунке 9.18. Рисунок 9.18– Кривая изменения входного напряжения Для вычисления тока определим переходную функцию h(t). Так как в промежутке 0tt1 включаемое напряжение задано функцией u1(t), то можно записать для этого промежутка времени: (9.117) В следующем промежутке t1 tt2 напряжение задано другой функцией u2(t), причем в момент t1 оно изменяется скачком от значения u1(t1) до значения u2(t1). Для учета скачка напряжения в точке t=t1 будем считать, что в этот момент к двухполюснику прикладывается отрицательное постоянное напряжение равное: (9.118) Кроме того, учтем составляющие тока от начального скачка напряжения u1(0) и от элементарных скачков напряжения, определяемого кривой u1(t) и действующего от t=0 до t=t1. В результате получим: (9.119) В этом равенстве в третьем члене аргументом переходной функции служит величина t-t1, т.к. напряжение u2(t1)-u1(t1) включается в момент t1. Аргумент t- переходной функции в обоих интегралах один и тот же, поскольку он имеет смысл промежутка времени, прошедшего от включения элементарного скачка напряжения u до рассматриваемого момента времени t. Однако пределы изменения t в обоих интегралах различны. Наконец, для промежутка времени t2t∞ учтем, что в момент t=t2 включается постоянное напряжение –u2(t2) и что элементарные скачки, определяемые кривой напряжения u2(t), действуют до момента времени t=t2. Поэтому: (9.120) 9.4 Метод переменных состояния Уравнениями состояния можно назвать любую систему уравнений, определяющих режим цепи. В более узком смысле – это система дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенная относительно производных. Методом переменных состояния назовем анализ цепи, основанный на решении уравнений состояния (первого порядка) записанных в форме Коши. Таким образом, метод переменных состояния – один из методов расчета, прежде всего переходных процессов. Для линейной цепи с постоянными сосредоточенными параметрами ток в каждой ветви, напряжение между выбранными выводами и т.д. всегда можно найти как решение составленного для этого тока, напряжения и т.д. дифференциального уравнения (например, исключением других токов и напряжений из системы уравнений Кирхгофа). (9.121) Введением переменных х1=х; х2=dx/dt; х3=d2x/dt2; хn=dn-1x/dtn-1. Это уравнение сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка: (9.122) Здесь переменные, которые называются переменными состояния, служат переменная х и ее производные. Как известно, переходный процесс в любой цепи кроме ее параметров и действующих источников определяется независимыми начальными (t=0) условиями – токами в индуктивных элементах и напряжениями на емкостных элементах. Через них выражаются искомые величины во время переходных процессов. Поэтому в качестве переменных состояния целесообразно выбрать токи iL и напряжение uc. Действующие источники можно назвать входными величинами F1(t),…,Fm(t), искомые величины – выходными w1(t),…,wm(t). Для цепи с n независимыми токами iL и напряжениями uc должны быть заданы еще n независимых начальных условий. Сокращенно дифференциальные уравнения состояния запишем в матричной форме так: (9.123) где – матрица-столбец (размера n1) переменных состояния; – матрица-столбец (размера m1) ЭДС и токов источников (внешних возмещений); – квадратная матрица порядка n (основная); – матрица размера nm (матрица связи). Элементы же этих матриц определяются топологией и параметрами цепи. Для выходных величин (если определяются не токи в индуктивных элементах и напряжения на емкостных элементах) в матричной форме система алгебраических уравнений имеет вид: (9.124) где – матрица-столбец (размера l1); – матрица связи (размера ln); – матрица связи (размера lm). Уравнения в матричной форме (9.123) можно составить, например, с применением метода наложения. Рассматриваемую цепь на рисунке 9.19 заменим после коммутации эквивалентной цепью, изображенную на рисунке 9.20, у которой каждый заданный ток iL представлен источником тока iL , а каждое заданное напряжение uC – источником напряжения (ЭДС) Uc. Применив метод наложения, запишем напряжения uL и токи iC (сначала учитываем Рисунок 9.19 –Схема для расчета переходных процессов методом переменных состояния Рисунок 9.20 – Эквивалентная рисунку 9.19 схема замещения действие источников iL , затем uC и далее источников, действующих в цепи). (9.125) т.е. (9.126) (9.127) Конечно, уравнения (9.126) можно получить и из уравнений Кирхгофа исключением токов и напряжений резистивных элементов. Однако совместное решение уравнений Кирхгофа с увеличением числа ветвей цепи становится все более громоздким. Уравнения состояния можно формировать и сразу в матричной форме. Если источников тока и ЭДС нет, т.е. F=0, то уравнения упрощаются: (9.128) и характеризует свободные процессы в цепи. Решение запишем в виде: (9.129) где Х(0) – матрица-столбец начальных значений переменных состояния; еАt – матричная экспоненциальная функция. При F0 решение уравнения представим в виде: (9.130) где Ф(t) – некоторая матричная функция цепи. После дифференцирования (9.119) получим: (9.131) Сравнивая (9.131) с (9.123), получаем: (9.132) и умножив на е-At, после интегрирования найдем: (9.133) где  – переменная интегрирования, или (9.134) Подставив это выражение в (141): (9.135) В частности, при t=0 имеем: (9.136) Следовательно, решение для переменных состояния записывается в виде: (9.137) Реакция цепи равна сумме реакций при нулевом входе и при нулевом начальном состоянии. Численное решение осуществляется методом Рунге-Кута. 9.5 Переходные процессы при «некорректных» коммутациях До сих пор рассматривались такие цепи и режимы их работы, для которых удовлетворялись законы коммутации: (9.138) Рассмотрим теперь такие цепи и их режимы, для которых законы коммутации не соблюдаются, а соблюдаются так называемые «обобщенные » законы коммутации. Пусть в цепи, питаемой от источника постоянного напряжения U (рисунок 9.21), мгновенно отключается ветвь с резистором r3. Токи во всех ветвях непосредственно перед коммутацией (0-), i2(0-) и i3(0-) определяются согласно схемы. После коммутации ток i в контуре, составленном из первой и второй ветви, удовлетворяет дифференциальному уравнению: (9.139) Рисунок 9.21 – Некорректная коммутация в RL–цепи решением которого является: (9.140) Где: (9.141) Для определения постоянной А нельзя воспользоваться формулой (9.138), т.к. при отключении ветви с сопротивлением r3 токи через катушки индуктивности до и после коммутации неодинаковы, то есть i(0-)i(0+): и (9.142) То есть до коммутации они были различны, а после ее отключения они одинаковы, и, в частности, для момента коммутации i1(0+)=i2(0+)=i(0+). Значит токи i1 и i2 в момент разрыва третьей ветви ключом (мгновенного) должны изменяться скачками, что приведет к возникновению бесконечно больших напряжений на индуктивных элементах. Но так как токи во всех ветвях схемы конечны, то для промежутка коммутации от t=(0-) до t=(0+) алгебраическая сумма напряжений на индуктивных элементах должна уравновеситься при (0-)  t  (0+): (9.143) Интегрируя это равенство за промежуток коммутации, и учитывая, что ввиду конечности правой части при t=0 и стремления промежутка интегрирования к нулю, интеграл от правой части равен нулю, получаем: (9.144) перепишем (167) так: (9.145) или: (9.146) окончательно: (9.147) Из формулы (9.147) следует, что потокосцепление контура , состоящего из первой и второй катушек. Иначе говоря, сумма потокосцеплений с обеими катушками до и после отключения ветви осталось неизменной: (9.148) Выражение (9.148) есть первый обобщенный закон коммутации. Из него находим величину тока после коммутации в момент времени t=(0+): (9.149) и далее находим постоянную интегрирования А: (9.150) Разность энергий, запасенных в магнитных полях обеих катушек до коммутации и после коммутации, положительна и расходуется на выделение тепла в сопротивлении искры или дуги. Аналогично можно рассмотреть схему, состоящую из емкостных элементов, (рисунок 9.22) где также не будет соблюдаться второй закон коммутации. Если пренебречь сопротивлениями проводов, соединяющих конденсаторы, то в момент замыкания ключа напряжения на всех трех конденсаторах могут меняться скачком. Для такой цепи соблюдается второй обобщенный закон коммутации: (9.151) Изменение зарядов на всех параллельно включенных конденсаторах за время коммутации равно 0, т.е. сумма зарядов конденсаторов перед коммутацией (t=(0-)) равна сумме их зарядов непосредственно после коммутации (t=(0+)) – закон сохранения заряда или второй обобщенный закон коммутации. Иначе для схемы на рисунке 9.23 его можно записать: (9.152) Энергия, запасенная в конденсаторах до коммутации больше энергии электрического поля эквивалентного конденсатора с после коммутации, ее избыток переходит в тепло в сопротивлениях контактов ключа и в энергию излучения сложного колебательного контура, который получается, если учесть индуктивность проводов. Рисунок 9.22 – Некорректная коммутация в RC–цепи 10. Анализ цепей при воздействии сигналов произвольной формы Введение Ранее рассматривались линейные цепи с неизменными параметрами R, L и С и при действии источников постоянных или синусоидальных ЭДС и токов. На практике ЭДС, напряжения и токи обычно в большей или меньшей степени отличаются от постоянных или синусоидальных, величин, причем зависимость от времени может быть периодической, почти периодической или непериодической. Изображенная на рисунке 10.1 кривая строго периодична (периоды повторения Т) и представляет собой пример несинусоидальных периодических токов. Во всех задачах, где приходится иметь дело со сложными несинусоидальными кривыми токов и напряжений, важно уметь свести сложную задачу к более простой задаче и применять методы расчета более простых задач. Явления, происходящие в линейных цепях при периодических, но несинусоидальных ЭДС, напряжениях и токах, проще всего поддаются исследованию, если кривые ЭДС, напряжения и тока разложить в тригонометрические ряды Эйлера –­ Фурье. Рисунок 10.1 – Пример периодической несинусоидальная кривая 10.1 Разложение периодической несинусоидальной кривой в тригонометрический ряд Как известно, всякая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, может быть разложена в тригонометрический ряд. Существует три формы записи ряда Фурье: 1. Амплитудно–фазовая форма, 2. Тригонометрическая форма, 3. Показательная форма. Амплитудно-фазовая форма записывается следующим образом: (10.1) Первый член ряда А0 называется постоянной составляющей или нулевой гармоникой, вторй член А1m sin(ωt+Ψ1 ) – основной синусоидой или первой гармоникой, все остальные члены вида носят название высших гармоник, – основная частота, Т –­ период несинусоидальной периодической функции. Постоянная составляющая А равна среднему значению функции f(t) за период: (10.2) Тригонометрический ряд после раскрытия синуса суммы для каждой из гармонических составляющих или, короче, гармоник, записывается в тригонометрической форме. (10.3) Здесь , (10.4) Зная коэффициенты ряда (10.1) легко перейти к форме (10.3), подсчитывая (10.5) Наиболее удобной и компактной для расчетов формой записи является экспоненциальная (комплексная) форма ряда Фурье, для перехода к которой используется формула Эйлера (10.6) Замена тригонометрических функций на экспоненты и группировка экспонент с показателями приводит этот ряд к виду: (10.7) Рассмотрим комплексные коэффициенты первой из полученных сумм. Используя выражение для коэффициентов тригонометрической формы Ск и Вк , запишем: (10.8) Вторую сумму можно привести к аналогичному виду. Поэтому экспоненциальный ряд Фурье можно представить в виде одной суммы, содержащей индексы суммирования от -∞ до ∞, включая к=0. (10.9) Где (10.10) комплексные коэффициенты ряда. В последнем интеграле пределы интегрирования от о до Т заменены симметричными пределами от -Т/2 до Т/2, что не изменяет его значения. Эта форма требует вычисления лишь одного комплексного интеграла. Комплексная амплитуда к-й гармоники выражается через следующим образом: (10.11) Для постоянной составляющей имеем: . Комплексные коэффициенты с положительными и отрицательными индексами являются комплексно-сопряженными. Совокупность комплексных коэффициентов рассматриваемой функции образует спектр этой функции. Графическое изображение такого спектра имеет дискретный характер. Изображенный на рисунке 49 спектр не содержит полной информации о сигнале, имеющемся в выражении . Для полного представления необходимо дополнительно изобразить частотную зависимость начальных фаз. Значительное число периодических функций времени, с которыми приходится встречаться в электротехнике, удовлетворяют условию (рисунок 10.1): (10.12) Функции, удовлетворяющие этому условию, называются симметричными относительно оси абсцисс. Они раскладываются в ряд, который не содержит четных гармоник и постоянной составляющей: (10.13) Рисунок 10.2 – Пример функции, симметричной относительно оси абсцисс В схемах выпрямителей переменного тока часто приходится встречаться с функциями, которые при соответствующем выборе начала координат удовлетворяют условию (рисунок 10.2): (10.14) Рисунок 10.3 – Пример функции, симметричной относительно оси ординат Такие функции называются симметричными относительно оси ординат. В этом случае ряд, на который они разлагаются, не содержит синусов: (10.15) В схемах умножителя частоты встречаются функции, которые при выборе начала координат в точке нуля функции, удовлетворяют условию (рисунок 10.4): (10.16) Такие функции называются симметричными относительно начала координат и раскладываются в ряд, не содержащий косинусов и постоянной составляющей. (10.17) Совокупность гармонических составляющих несинусоидальной периодической функции называется ее дискретным частотным спектром. Спектр можно характеризовать некоторой зависимостью Акm (спектр амплитуд) и Ψк (спектр фаз) от частоты. Рисунок 10.4 – Пример функции, симметричной относительно начала координат 10.2 Максимальные, действующие и средние значения несинусоидальной периодической величины Периодически изменяющаяся несинусоидальная величина f(ωt) помимо своих гармонических составляющих характеризуется тремя значениями: максимальным значением за период, аmax, среднеквадратичным или действующим значением за период: (10.18) и средним значением за период: (10.19) При несинусоидальных периодических процессах обычно под значением ЭДС, тока и напряжения понимают действующие значения. Если кривая периодически изменяющейся величины разложена в тригонометрический ряд, то действующее значение может быть найдено следующим образом: (10.20) Иначе, после тригонометрических преобразований получим: (10.21) Или: (10.22) Таким образом, действующее значение периодической несинусоидальной величины зависит только от действующих значений ее гармоник и не зависит от их начальных фаз Ψк . Если, например, напряжение u состоит из ряда гармоник u0 ,u1 ,u2 и т.д., действующие значения которых равны U0 ,U1 ,U2 и т.д., то действующее напряжение: (10.23) аналогично для тока: (10.24) 10.3 Коэффициенты, характеризующие форму несинусоидальных периодических кривых При оценке несинусоидальных периодических кривых пользуются коэффициентом формы кривой кф, коэффициентом амплитуды ка, коэффициентом искажения ки. Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения к среднему значению: (10.25) Коэффициент амплитуды равен отношению максимального значения к действующему значению: (10.26) Коэффициент искажения определяется как отношение действующего значения основной гармоники к действующему значению всей кривой: (10.27) Кривые напряжения промышленных сетей обычно отличаются от идеальной синусоиды. В электротехнике вводят понятие о практической синусоидальной кривой. Напряжение практически считается синусоидальным, если действующее значение всех высших гармоник не превышает 5% действующего значения напряжения основной частоты. 10.4 Несинусоидальные кривые с периодической огибающей Кроме несинусоидальных периодических функций, разлагаемых в тригонометрический ряд, в электротехнике встречаются несинусоидальные кривые с периодическими или почти периодическими огибающими, также разлагаемые на гармонические составляющие. Период напряжений или токов, описываемых такими кривыми, обычно во много раз превышает период любой из составляющих и может стремиться к бесконечности. К числу явлений, характеризуемых такими кривыми, относятся биения и модуляция. 10.4.1Биения Простейший случай биений получается в результате сложения двух синусоид с равными амплитудами и близкими, но не равными частотами ω1 и ω2, причем ω1 > ω2. (10.28) Преобразуя сумму синусов, получаем: (10.29) То есть кривая f(t) представляет собой синусоиду с угловой частотой , амплитуда которой изменяется по косинусоиде со значительно меньшей угловой частотой ( рисунок 10.5). Таким образом, получаем: (10.30) Частотой биений называется частотаравная числу максимумов огибающей кривой в единицу времени. Период биений в общем случае не равен периоду кривой f(t). Действительно: (10.31) Очевидно, что только при соотношении (целое нечетное число) период биений совпадает с периодом кривой f(t). При несоизмеримости угловых частот ω и Ω их отношение является иррациональным числом, так как не существует такой частоты, на которую без остатка делились бы частоты ω и Ω. Следовательно, период функции f(t) равен ∞, и кривая f(t) не периодическая, хотя она и разлагается на две синусоиды. Рисунок 10.5 – Биения 10.4.2 Модулированные колебания Синусоидально изменяющаяся величина задается тремя параметрами: амплитудой Аm , угловой частотой ω и начальной фазой Ψ. Все эти величины постоянны и не зависят от времени. Однако для передачи различных сигналов применяются генераторы, в которых одна из этих величин сравнительно медленно изменяется по некоторому заданному закону. Изменение во времени одного из параметров Аm ,ω или Ψ называют модуляцией. Изменение амплитуды Аm называется амплитудной модуляцией, изменение частоты – частотной модуляцией, изменение начальной фазы Ψ – фазовой модуляцией. Рассмотрим амплитудную модуляцию. Простейший пример функции, изменяющейся с частотой ω0 и с амплитудой Аm(t), модулированной гармоническим сигналом с частотой Ω < ω0 относительно среднего значения А0m, то есть с законом изменения Аm(t): (10.32) Частота ω0 называется несущей частотой, частота Ω– модулирующей частотой, а m – коэффициентом модуляции. Коэффициент модуляции характеризует степень отличия максимальной и минимальной амплитуд от среднего значения А0m. Обычно m меньше единицы. Амплитудная модуляция широко применяется в радиовещании и радиосвязи, где несущая частота ω0– это частота радиосвязи, а модулирующей частотой Ω служит, например, одна из звуковых частот передаваемой речи или музыки. При определении токов или напряжений последние могут быть разложены на синусоидальные составляющие. Действительно, после преобразования произведения: (10.33) получим: (10.34) где,. Начальная фаза каждой из трех гармонических составляющих Ψ к=0. Таким образом, простейшие модулированные по амплитуде колебания могут быть представлены в виде суммы трех синусои­дальных колебаний с несущей частотой ω0, боковыми частотами ω1 и ω2 и постоянными амплитудами (рисунок 10.6). Дискретный спектр амплитуд представлен на рисунке 10.7. Рисунок 10.7 – дискретный спектр амплитуд модулированного сигнала Рисунок 10.6 – Модулированные по амплитуде колебания 10.5 Расчет цепей с несинусоидальными периодическими ЭДС, напряжениями и токами Расчет цепи распадается на три этапа: 1. Разложение ЭДС и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие (получение дискретного спектра). 2. Применение принципа наложения и расчет токов и напряжений в цепи для каждой из составляющих в отдельности. 3. Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих. Рассмотрим второй этап, представляющий собой основную часть расчета. Если несинусоидальная ЭДС представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих: (10.35) то источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными частотами. (10.36) Так, если в цепи действует ЭДС, представленная на рисунке 10.8, то ее действие аналогично действию трех последовательно соединенных источников: Рисунок 10.8 – Представление несинусоидальной ЭДС Применив принцип наложения и рассмотрев действие каждой из составляющих ЭДС в отдельности, можно найти составляющие токов на всех участках цепи. Мгновенное значение тока в цепи равно сумме мгновенных значений составляющих токов. Общий ток в какой-либо ветви: (10.37) Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными ЭДС сводится к решению n задач с синусои­дальными ЭДС, где n– число синусоидальных составляющих ЭДС различных частот, и одной задачи с постоянной ЭДС. При решении каждой из этих задач необходимо учитывать, что для различных частот индуктивные и емкостные сопротивления неодинаковы. Индуктивное сопротивление для к-й гармоники в к раз больше, а емкостное, наоборот, в к раз меньше, чем для первой. (10.38) В первом приближении можно считать, что активное сопротивление не зависит от частоты. Если источник несинусоидальной ЭДС подключен непосредственно к емкостному элементу, то для к-й гармоники тока (10.39) Чем больше к, тем меньше значение емкостного сопротивления для этой гармоники. Следовательно, высшая гармоника ЭДС может вызвать ток в емкости, соизмеримый с током основной гармоники и даже его превышающий. Поэтому при напряжении, близком к синусоидальному, ток в емкости может быть резко несинусоидальным из-за высших гармоник. При подключении источника несинусоидальной ЭДС к индуктивному элементу ток к-й гармоники: (10.40) С увеличением порядка к-й гармоники индуктивное сопротивление для этой гармоники возрастает. Поэтому в токе индуктивного элемента высшие гармоники всегда имеют относительно меньшее значение, чем в напряжении. Даже при резко несинусоидальной кривой напряжения форма кривой тока нередко приближается к синусоиде. При расчете каждой из гармоник можно пользоваться комплексным методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимо суммирование векторов и сложение комплексных напряжений и токов различных гармоник. 10.6 Резонанс в цепи несинусоидального тока При несинусоидальных напряжениях и токах явление резонанса усложняется, так как возможны отдельные резонансы гармонических составляющих. Предположим, что источник несинусоидального напряжения, состоящего из трех гармоник, подключен к последовательному контуру (рисунок 10.9). Ток каждой из гармоник равен: (10.41) Если, например, индуктивность L изменять от нуля до бесконечности, то действующее значение каждой из составляющих тока будет изменяться по резонансной кривой от: (10.42) Рисунок 10.9 – Резонанс в цепи несинусоидального тока при L=0 до при и далее будет снижаться до нуля при . На рисунке штриховой линией построены резонансные кривые для трех гармонических составляющих периодического несинусоидального тока. Значения индуктивности L при резонансах (L к) обратно пропорциональны квадрату номера гармоники:. Кривая общего действующего тока: (10.43) при достаточно малом значении r имеет три резко выраженных максимума, соответствующих резонансным значениям индуктивности (рисунок 10.10). Аналогичные зависимости получаются и при изменении емкости или частоты. В цепях, содержащих источники несинусоидальных ЭДС и токов, резонансные явления могут Рисунок 10.10 – Резонансная кривая тока применяться для выделения требуемых частот и, наоборот, для подавления нежелательных частот. 10.7 Мощность в цепи несинусоидального тока Активная мощность периодического тока произвольной формы определяется как средняя мощность за период: (10.44) Если мгновенные значения напряжения и тока выразить в виде тригонометрических рядов, то получим: (10.45) Так как среднее за период значение произведения мгновенных значений синусоид различной частоты равно нулю, то: (10.46) или после интегрирования (10.47) где Средняя мощность несинусоидального тока равна сумме средних мощностей отдельных гармоник: (10.48) Формула (10.48) записана для активной мощности. Кроме понятия активной мощности вводится понятие полной мощности: (10.49) Отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мощности и иногда приравнивается к косинусу некоторого условного угла . (10.50) Формально также вводится понятие реактивной мощности, определяемое как сумма реактивных мощностей отдельных гармоник. (10.51) Для несинусоидальных токов в отличие от синусоидальных квадрат полной мощности обычно больше суммы квадратов активной и реактивной мощностей: (10.52) 11. Нелинейные электрические и магнитные цепи Введение В предыдущих главах рассматривались только линейные элементы электрических цепей, для которых зависимости между напряжениями, токами, зарядами и магнитными потоками выражаются линейными функциями: (11.1) Нелинейные цепи содержат элементы, которые не могут быть описаны при помощи постоянных коэффициентов, а их характеристики являются нелинейными функциями одной или нескольких переменных. В этом случае зависимости (11.1) – это нелинейные вольтамперные u(i), вебер-амперные (i) и кулон-вольтные q(u) характеристики, причем они часто справедливы только при постоянных токах и напряжениях. Примеры нелинейных элементов: лампы накаливания, диоды, терморезисторы. Для некоторых элементов характеристики справедливы для постоянных токов и при достаточно высоких скоростях изменения токов, т.е. статические характеристики, совпадают с динамическими. Такие элементы (при заданных ограничениях на скорость изменения тока) называются безынерционными. Для других нелинейных элементов, например, для лампы накаливания, нелинейность характеристик которых обусловлена тепловым действием и изменением сопротивления при нагреве, приведенные характеристики справедливы только при постоянном токе или для действующих значений переменных токов. Такие элементы при заданных ограничениях на частоту переменных периодического тока называются инерционными. При постоянном токе не имеет принципиального значения, является ли характеристика нелинейного элемента симметричной или несимметричной. В цепях переменного тока зависимость характеристики от полярности приложенного напряжения или направления тока существенна. Симметричными характеристиками обладают терморезисторы, некоторые типы газоразрядных приборов, катушки со стальными магнитопроводами, конденсаторы с сегнетоэлектриками. Для нелинейных элементов с симметричными характеристиками справедливы следующие равенства: для резистивных u(i), =- u(i), для индуктивных (i) =-(-i) и емкостных q(-u) =- q(-u). Несимметричными характеристиками обладают электронные лампы, полупроводниковые диоды и транзисторы, многие типы газоразрядных приборов и ряд других нелинейных элементов. Для резисторов с несимметричными характеристиками u(i)- u(-i), причем этот неравенство весьма существенно. Несимметричная характеристика может быть получена и искусственно путем введения в цепь, содержащую элемент с симметрической характеристикой, дополнительного источника постоянной ЭДС. 11.1 Нелинейные двухполюсники и четырехполюсники Все рассмотренные выше нелинейные элементы могут быть представлены в виде резистивных, индуктивных и емкостных двухполюсников. Характеристики резистивных двухполюсников приведены в таблице. Каждый нелинейный резистивный двухполюсник обозначается, как показано на рисунке 11.1: Рисунок 11.1 – Обозначение нелинейного двухполюсника Нелинейный резистивный двухполюсник характеризуется сопротивлениями, зависящими от напряжения или тока: статическим и дифференциальным . Обозначение нелинейного резистора показано на рисунке 11.2. Рисунок 11.2 – Обозначение нелинейного резистора В зависимости от участка характеристики, на котором работает нелинейный резистор, применяются различные схемы замещения резистора, справедливые только для данного участка характеристики. Вблизи рабочей точки характеристики (точка А на рисунке 11.3) с координатами UA и IA нелинейную зависимость I(U) можно разложить в ряд Тейлора: Рисунок 11.3 – ВАХ нелинейного резистора (11.2) В данном случае точка А находится на линейном участке характеристики. Если рабочая точка находится на линейном участке, то можно ограничиться только первыми двумя членами ряда и вблизи рабочей точки характеристики описать уравнением: (11.3) Нелинейный резистивный элемент имеет для этого линейного участка характеристики в качестве схемы замещения линейный активный двухполюсник с входным сопротивлением Rвх=RдифА=dU/dI/A и источника ЭДС Е=UA- RдифАIA (рисунок 11.4). Рисунок 11.4 – Схема замещения нелинейного резистивного элемента В отличие от линейных резистивных четырехполюсников у нелинейных четырехполюсников параметры не могут быть тремя или четырьмя постоянными величинами, а задаются двумя семействами экспериментальных характеристик. Наибольшее распространение получило задание параметров семействами входных и выходных характеристик, снимаемых при различных значениях тока или напряжения на второй паре выводов четырехполюсника. В таблицах приведены семейства таких характеристик для различных нелинейных четырехполюсников. Каждый из нелинейных четырехполюсников характеризуется предельным значением напряжения Uдоп, которое допустимо проводить из условия пробоя изоляции, и предельными по условиям нагрева значениями тока Iдоп и мощности потерь Рдоп в элементе (см. рисунок 11.5). Рабочая область выходной характеристики четырехполюсника ограничивается значениями Uдоп, Iдоп и Рдоп=UI. Нелинейные двухполюсники и четырехполюсники часто включаются в цепь с источниками как постоянного, так и переменного напряжения. При этом амплитуды переменных токов и напряжений бывают достаточно малы, поэтому можно линеаризовать нелинейную характеристику так, как это сделано на рисунке 11.3. Рисунок 11.5 – Рабочая область нелинейного четырехполюсника Таким образом, при малых отклонениях от рабочей точки для переменных составляющих токов, напряжений, магнитных потоков и зарядов в нелинейных цепях могут быть построены эквивалентные линейные схемы, дающие возможность для некоторой области переменных составляющих приближенно провести расчет цепи. Анализ нелинейной цепи в этом случае распадается на три этапа: 1) определение рабочих точек на характеристиках нелинейных элементов; 2) определение дифференциальных параметров нелинейных элементов и составление эквивалентной линейной схемы замещения; 3) определение переменных составляющих режима, которое производится методами теории линейных цепей. 11.2 Определение рабочих точек на характеристиках нелинейных двухполюсников и четырехполюсников Если для нелинейного двухполюсника нелинейная характеристика задается функцией одного переменного i(u), то характеристика нелинейного четырехполюсника двумя функциями двух переменных. Одна из этих переменных обычно является аргументом, а вторая параметром, а функция задается семейством кривых, полученных для различных постоянных значений параметра (рисунок 11.6). Теория нелинейных четырехполюсников получила наиболее широкое развитие в связи с применением транзисторов. В качестве характеристик обычно применяются и , и они называются смешанными. При помощи этих характеристик легко могут быть найдены рабочие точки на нелинейных характеристиках в любых схемах включения четырехполюсников и определены параметры их линейных схем замещения вблизи рабочей точки. Рассмотрим наиболее общий случай включения нелинейного резистивного четырехполюсника, когда его первичная и вторичная цепи подключены к активным нелинейным двухполюсникам с нелинейными характеристиками i1(u1) и i2(u2). При этом входная и выходная характеристики четырехполюсника заданы семействами характеристик при значениях параметров для входа и для выхода (см. рисунок 11.7). Рисунок 11.6 – Нелинейный четырехполюсник с подключенными двухполюсниками Входную и выходную характеристики построим в третьем и первом квадрантах как показано на рисунке 11.7. Четырехполюсник, к вторичным выводам которого подключен двухполюсник u2 (i2 ), можно со стороны первичных выводов рассматривать как некоторый двухполюсник, характеристику которого u1 (i1 ) получим простым построением. Для этой цели, начертив в первом квадранте внешнюю характеристику первого активного двухполюсника u2 (i2), представляющую собой нагрузочную характеристику на вторичных выводах четырехполюсника, найдем точки пересечения 1, 2, 3 этой характеристики с соответствующими выходными характеристиками четырехполюсника при . По этим точкам на оси i2 находим токи . По найденным токам во втором квадранте строим вспомогательную характеристику i2 (i1 ) (кривая II). По значениям параметра на характеристиках I и II найдем соответствующие значения и для них на входных характеристиках – точки а, в и с. Соединив эти точки, получим входную характеристику III четырехполюсника, к вторичным выводам которого подключен двухполюсник i2 (u2). Таким образом, четырехполюсник с подсоединенными к вторичным выводам двухполюсником эквивалентен двухполюснику с характеристикой III. Рабочую точку А определим как точку пересечения внешней характеристики i1 (u 1) (кривая IV) двухполюсника, присоединенного к первичным выводам четырехполюсника с входной характеристикой III. Зная рабочую точку, можно определить дифференциальные параметры линеаризованного четырехполюсника в этой точке, составив эквивалентную схему замещения (рисунок 11.8). Изменяя параметры двухполюсников, подключенных к нелинейному четырехполюснику, можно изменять положение рабочей точки А на характеристике четырехполюсника и таким образом управлять параметрами эквивалентной линейной цепи. Рисунок 11.7 – Входные и выходные характеристики четырехполюсника Рисунок 11.8 – Эквивалентная схема замещения четырехполюсника 11.3 Явления в нелинейных цепях постоянного и переменного тока В большинстве устройств с нелинейными элементами возникают явления, принципиально неосуществимые в линейных цепях и часто на нелинейности цепи основывается принцип действия устройства. В нелинейных цепях, питаемых только от источников с синусоидальными ЭДС или токами одной частоты, возникают токи различных частот. Из спектра частот тока можно выделить постоянную составляющую и использовать ее в качестве источника постоянного тока. На этом принципе основано устройство выпрямителей. Из спектра частот могут быть выделены те или иные высшие гармоники и использованы в качестве источников более высоких частот. Это является основой построения умножителей частоты. Нелинейность характеристики цепи дает возможность получить стабилизаторы напряжения. Еще большие возможности открываются применением нелинейных элементов в цепях, питаемых от источников различных частот. Применение источников постоянного тока наряду с источниками переменного синусоидального тока дает возможность управлять переменным током. Можно получить переменный ток значительной мощности за счет энергии источников постоянного тока и, наоборот, получить мощный сигнал постоянного тока за счет энергии переменного тока. Это является основой построения различных усилительных сигналов. Включение нескольких источников синусоидальных напряжений различных частот в нелинейную цепь приводит к получению модулированных колебаний. Особое значение для практики имеют гистерезисные характеристики нелинейных элементов, которые дают возможность запоминать сигналы. Применение быстродействующих элементов, обладающих этими свойствами, явилось основой цифровой вычислительной техники. Все перечисленные явления получили широкое применение в самых различных технических устройствах и их анализ очень важен, хотя и сопряжен с математическими трудностями. 11.4 Методы расчета нелинейных цепей Расчет нелинейных электрических цепей достаточно сложен. Сама теория нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих процессы в нелинейных электрических цепях, разработана значительно меньше. Для нелинейных уравнений каждого типа существуют свои методы подхода и решения. Особенно усложняется расчет нелинейных цепей тем, что в большинстве задач характеристики нелинейного элемента заданы графически и отсутствует математическое описание этих характеристик. В отличие от линейных цепей основой теории нелинейных цепей является получение приближенных решений, дающих в основном качественную оценку процессов. Основными методами расчета нелинейных цепей являются: 1. Методы малого параметра и условной линеаризации. Одним из методов расчета нелинейной цепи является такое упрощение, основанное на пренебрежении относительно малыми величинами, чтобы можно было применить методы расчета линейных цепей, но при решении «квазилинейной» задачи вводить некоторые коррективы, обусловленные нелинейностью. На этом основан метод малого параметра. Метод условной линеаризации основывается на приближенной замене нелинейной функции линейной и применении решений линейного уравнения с последующим уточнением результата введением поправок. Этот метод дает приближенное решение задачи, однако он наиболее прост и поэтому применяется для ориентировочного расчета процессов, анализу которых более точными методами представляет значительные трудности. 2. Метод аналитической аппроксимации нелинейной характеристики. Сущность метода заключается в приближенном выражении нелинейной характеристики некоторой аналитической функцией такого вида, чтобы достаточно просто решалось нелинейное дифференциальное уравнение цепи. Успешное применение метода зависит от того, насколько точно удалось подобрать аналитическое выражение для нелинейной характеристики и насколько просто решается полученное дифференциальное уравнение. При решении дифференциального уравнения иногда пренебрегают некоторыми членами ввиду их относительной малости, рассматривая их как своего рода малый параметр. Этот метод при расчете нелинейных цепей переменного тока применяется в сочетании с методом гармонической линеаризации и дает возможность аналитически найти первую гармонику тока или напряжения в нелинейной цепи. 3. Метод кусочно-линейной аппроксимации характеристики. Сущность метода заключается в замене нелинейной характеристики некоторой ломанной линией и решение задачи методами линейной электротехники. Решения, полученные для каждого из участков ломанной, припасовываются одно к другому соответствующим выбором постоянных интегрирования. 4. Итерационный метод. Применяя этот метод, сначала находят приближенное решение или задаются им, а затем его уточняют путем многократной подстановки каждого решения в исходное уравнение цепи. Итерационные методы применяются и для численного решения задачи при помощи ЭВМ. 5. Графический метод. Сущность метода заключается в сведении дифференциальных уравнений цепи к системе нелинейных уравнений и получении решения графическими построениями. Этим методом просто и точно рассчитывают переходные процессы в цепях с постоянными ЭДС, описываемые для уравнения первого порядка. 6. Метод последовательных интервалов. Сущность метода заключается в замене дифференциального уравнения алгебраическим уравнением, содержащим приращение исследуемых величин за соответствующие интервалы времени. Решение задачи получается в результате множества элементарных расчетов, выполняемых обычно при помощи ЭВМ. В практических задачах обычно применяют то или иное сочетание различных методов расчета. О применимости методов расчета и принципов линейной электротехники к нелинейным цепям. Все методы, основанные на законах Кирхгофа в форме  i=0 и u=0 применимы к расчету нелинейных цепей постоянного тока и для мгновенных значений переменных u и i. Все методы и принципы, основанные для резистивных элементов на пропорциональности напряжения току (закон Ома) неприменимы к нелинейным цепям. Вместо закона Ома необходимо пользоваться нелинейной зависимостью U(I) и I(U), поэтому невозможно использовать принцип наложения и вытекающий из него принцип эквивалентного генератора. Для целей, содержащих безынерционные нелинейные элементы, неприменим комплексный метод описания и расчета цепей переменного тока. 11.5 Нелинейные электрические цепи постоянного тока При постоянных токах в качестве нелинейных могут рассматриваться только цепи с резистивными элементами. Если характеристика нелинейного двухполюсника пересекает ось тока или напряжения в точке, не совпадающей с началом координат, то двухполюсник является активным. Для него всегда может быть составлена схема замещения в виде нелинейного пассивного двухполюсника, характеристика которого проходит через начало координат и последовательно с ним включенного идеального источника напряжения или параллельного с ним включенного идеального источника тока. Параметры первой схемы определяются по точке пересечения характеристики с осью абсцисс, а второй – с осью ординат. Рисунок 11.9 – ВАХ нелинейного резистора и его схема замещения Рисунок 11.10 – ВАХ нелинейного резистора и его схема замещения В первом случае (рисунок 11.9) нелинейный активный двухполюсник с характеристикой I(U) эквивалентен последовательному соединению источника ЭДС Ео=Uo и пассивного нелинейного двухполюсника с характеристикой I(U). При этом U=Uo+U. Во втором случае (рисунок 11.10) он эквивалентен параллельному соединению источника тока Jо=Io и пассивного нелинейного двухполюсника с характеристикой I(U). При этом I=Jo+I. При анализе цепей с нелинейными двухполюсниками применяются различные методы. Выбор анализа цепи существенно зависит от формы задания нелинейной характеристики. Если она задана в аналитической форме, то решение задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений, состоящих из n нелинейных уравнений вида Iк(Uk) и n линейных уравнений вида: или (11.4) При n=1 простое решение может быть получено аналитически или графически. Если нелинейные характеристики заданы в виде таблицы экспериментальных данных, то решение требует графических построений или итерационных интерполяционных процедур, выполняемых для n1 при помощи ЭВМ. Если в цепи имеются участки с последовательным или параллельным соединениями различных нелинейных резистивных двухполюсников, то эти участки можно заменить эквивалентными нелинейными двухполюсниками. Характеристики эквивалентных нелинейных двухполюсников получаются путем суммирования напряжений или токов исходных нелинейных двухполюсников. Таким образом, количество нелинейных элементов цепи может быть уменьшено. Пример 1.На рисунке 11.11 нелинейные элементы последовательно соединены между собой. а) б) Рисунок 11.11 – Последовательное соединение нелинейных элементов и их ВАХ Даны их характеристики I1(U1) и I2(U2). Необходимо построить характеристику I(U) нелинейного двухполюсника эквивалентного последовательному соединению. Так как по второму закону Кирхгофа U=U1+U2, то, построив для выбранных значений I=I1=I2 соответствующие значения U, получим требуемую характеристику. Пример 2. Необходимо для схемы на рисунке 11.11 при заданных характеристиках I1(U1) и I2(U2) и значении Е найти ток и напряжение U1 и U2. Записав уравнение по второму закону Кирхгофа в форме U2=E-U1, построим на одном графике зависимости I2(U2) и I1(Е-U1). Последняя строится по характеристике I1(U1) смещением на значение ЭДС (точка а) и зеркальным отображением относительно вертикальной оси (U1 со знаком минус). По точке пересечения двух зависимостей (рисунок 11.12) находим I, U1 и U2, сумма которых равна ЭДС. Пример 3. В схеме 11.13 нелинейные элементы соединены параллельно. Для параллельного соединения двух нелинейных резисторов с известными характеристиками I1(U1) и I2(U2) построить эквивалентную характеристику I(U). Рисунок 11.12 – Графическое решение примера 2 Так как по первому Кирхгофа I=I1+I2, а U=U1=U2 то, суммируя токи на графике при выбранных значениях U=U1=U2, получим характеристику I(U). Рисунок 11.13 – Параллельное соединение нелинейных элементов Рисунок 11.14 – Суммарная ВАХ для параллельного соединения нелинейных элементов Пример 4. Для цепи, изображенной на рисунке 11.15 рассчитать токи. ВАХ нелинейных элементов изображены на рисунке 11.16 а-в. Рисунок 11.15 – Нелинейная разветвлённая цепь а) б) в) Рисунок 11.16– ВАХ нелинейных элементов Для расчета токов применим метод двух узлов. Для определенности положим Е1>E2 >E3. Выберем положительные направления для токов. Пусть, например, все токи направлены к узлу а. Тогда по первому закону Кирхгофа (11.5) Каждый из токов является нелинейной функцией падения напряжения на своем нелинейном элементе. Выразим все токи в функции одного переменного – напряжения Uав между двумя узлами. Для этого выразим U1, U2 ,U3 через ЭДС и напряжение Uав. (11.6) Таким образом, возникает задача о том, как перестроить кривую в, кривуюв и так далее. Рекомендуется сделать следующие построения: 1. Сместить кривую параллельно самой себе так, чтобы ее начало находилось в точке . 2. Провести через точку вертикаль и зеркально отразить пунктирную кривую относительно вертикали (рисунок 11.17). Рисунок 11.17 – Пример построения ВАХ для графического решения примера 4 Аналогичным образом необходимо перестроить кривые и для других ветвей схемы. Построенные кривые наносят на один рисунок (см. рисунок 11.18). Далее строят суммарную кривую, (11.7) Рисунок 11.18 – Графическое решение примера 4 методом двух узлов просуммировав ординаты кривых 1, 2, 3. На рисунке 11.18 суммарная кривая обозначена индексом «». Точка m пересечения суммарной кривой с осью абсцисс дает значение Uab , при котором удовлетворяется уравнение (11.7). Далее восстанавливается в этой точке перпендикуляр к оси абсцисс. Ординаты точек пересечения с кривыми 1, 2, 3 дают соответственно токи I1, I2, I3 по величине и по знаку. 11.6 Нелинейные магнитные цепи при постоянных потоках 11.6.1. Общие положения теории расчета магнитных цепей Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела и образующих замкнутую систему, в которой существует магнитный поток и вдоль которой замыкаются линии магнитной индукции, называется магнитной цепью. Магнитное поле в вещественных средах описывается тремя векторами: 1. вектором магнитной индукции , характеризующим силовое действие магнитного поля на ток по закону Ампера, а при изменении магнитного поля – возбуждение электрического поля по закону электромагнитной индукции. 2. Вектором намагниченности материала , выражающим магнитный момент единицы объема намагниченного вещества или сумму магнитных моментов элементарных магнитных диполей в единице его объема. 3. Вектором напряженности магнитного поля , который выражается через первые два вектора как разность этих векторов, взятых с соответствующими коэффициентами, зависящими от выбранной системы единиц измерения. В системе СИ: (11.8) где µ0 – магнитная постоянная. При расчете магнитных цепей основными скалярными величинами, характеризующими магнитную цепь, являются: 1. магнитный поток Ф, который определяется как поток вектора магнитной индукции через поверхность поперечного сечения магнитопровода: (11.9) 2. магнитодвижущая сила F, которая выражается через электрический ток i в проводах: (11.10) где W – число витков катушки. В основе расчета магнитной цепи лежат два закона: 1. закон непрерывности линий магнитной индукции (11.11) или при охвате поверхностью S нескольких сечений магнитопровода:.Этот закон аналогичен первому закону Кирхгофа для электрической цепи. 2. закон полного тока (11.12) Этот закон аналогичен второму закону Кирхгофа, так как интеграл по контуру l можно представить в виде суммы криволинейных интегралов на участках цепи, например, от точки а к точке в, каждый из которых можно по аналогии с электрической цепью назвать магнитным напряжением: (11.13) В результате предыдущее уравнение может быть записано аналогично уравнению второго закона Кирхгофа для нелинейной электрической цепи. (11.14) Единицы магнитных величин в системе СИ: магнитный поток – вебер (1Вб=1 В∙с), магнитная индукция – тесла (1 Тл=1В∙с/м2), намагниченность и напряженность магнитного поля – ампер на метр (А/м), магнитное напряжение – ампер (А). Роль вольтамперных характеристик играют вебер-амперные характеристики. 11.6.2 Анализ неразветвленных магнитных цепей В неразветвленной магнитной цепи на всех ее участках один и тот же магнитный поток и, следовательно, различные участки цепи оказываются соединенными последовательно. Примеры неразветвленных магнитных цепей приведены на рисунках 11.19, 11.20. Для цепи, представленной на рисунке 11.19, магнитный поток создается одной обмоткой с числом витков W и током I. Магнитная цепь состоит из двух ферромагнитных участков с поперечными сечениями S1 и и S2 и средними длинами . Рисунок 11.19– Пример схемы неразветвленной магнитной цепи В схеме, изображенной на рисунке 11.20, магнитный поток создается тремя обмотками с количествами витков W1 , W2 , W3 и токами . Предполагается, что магнитопровод состоит из ферромагнитного материала и имеет поперечное сечение S и длину l . Зная магнитные характеристики стали, можно построить для магнитной цепи вебер-амперную характеристику Ф (F). Для цепи, изображенной на рисунке 11.19, запишем: (11.15) Где , . Для схемы, изображенной на рисунке 11.20, запишем: (11.16) Где . По аналогии с электрической цепью для каждого из участков магнитной цепи можно ввести понятие статического магнитного сопротивления: (11.17) Рисунок 11.20 – Пример схемы неразветвленной магнитной цепи Так как зависит от Н, то и сопротивление Rm не является постоянной величиной, а представляет собой функцию Н или Um. В неразветвленных магнитных цепях могут содержаться воздушные участки – зазоры, в которых магнитное поле воздействует на проводники с токами, производя механическое действие на магнитоэлектрическую систему. В воздушном зазоре поле неоднородно. В приближенных расчетах для этого участка вводятся некоторые средние эквивалентные размеры площади сечения воздушного зазора Sв и его длины lв. Уравнение для магнитной цепи, представленной на рисунке 11.21, запишем так: (11.18) гдезначения Н1и Н2 определяются по характеристике стали В(Н) при. Для каждого из ферромагнитных участков цепи по известным характеристикам стали могут быть построены вебер-амперные характеристики Ф(Um), а для воздушных промежутков определены магнитные сопротивления . Дальнейшее исследование цепи аналогично графическому расчету эквивалентной электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 11.22 . Здесь каждому участку магнитной цепи соответствует аналогичный участок электрической цепи с указанием его обозначения. Аналогично расчету нелинейной электрической цепи можно построить графики Ф(Um) , и по точке их пересечения определить соответствующие значения Ф и . Построения, выполненные на рисунке 11.23 , соответствуют задаче анализа: заданы геометрические размеры магнитопровода, его материал, МДС. Требуется определить значение магнитного поля в воздушных зазорах . Рисунок 11.21 – Схема магнитной цепи с воздушным зазором Рисунок 11.22 – Схема замещения магнитной цепи рисунка 73 Рисунок 11.23 – Графический расчет магнитной цепи При решении задачи синтеза обычно задают требуемое значение магнитной индукции Вв в зазоре и магнитный поток . Для каждого участка магнитопровода определяются значения индукции, а по характеристике стали (рисунок 11.24) – соответствующие значения напряженности Н на каждом из участков магнитной цепи для воздушного зазора как. По уравнению (11.18) находится соответствующая МДС. Рисунок 11.24 –Кривая намагничивания ферромагнитного материала 11.6.3 Анализ разветвленных магнитных цепей Расчеты разветвленных магнитных цепей основаны на применении законов Кирхгофа для магнитных цепей. Вследствие нелинейной связи между индукцией и напряженностью магнитного поля для ферромагнитных материалов расчеты таких цепей обычно ведутся графическими и итерационными методами аналогично методам расчета нелинейных электрических цепей. При расчете магнитной цепи, как и при расчете электрической цепи, прежде всего, нужно указать на схеме направления МДС, если известны направления токов и расположение обмоток. Затем необходимо задаться положительными направлениями магнитных потоков, после чего можно переходить к составлению эквивалентной схемы и ее расчету. 11.7 Нелинейные цепи с источниками напряжения и тока одинаковой частоты В цепях с нелинейными резистивными элементами, имеющими несимметричные характеристики, можно осуществить выпрямление напряжения и тока. Нелинейный резистивный элемент с наиболее резко выраженной несимметрией характеристики (относительно начало координат), т.е. элемент с односторонней проводимостью называется электрическим вентилем. Статистическая вольтамперная характеристика для мгновенных значений u и i показана на рисунке 11.25. В зависимости от реальных параметров цепи ее можно представить в виде ломаных линий, изображенных на рисунке 11.26 а и б. а) б) Рисунок 11.25 – ВАХ вентиля: а – реального , б – идеального Характеристика, приведенная на рисунке 11.26 а ближе для электронных и полупроводниковых вентилей, а на рисунке 11.26 б – для газоразрядных и ртутных вентилей. Будем вентили считать безынерционными элементами, т.е. когда статистические и динамические характеристики совпадают. Элементы с характеристиками, показанными на рисунках 78 а) и б), можно представить схемами замещения, состоящими из идеального вентиля и последовательно с ним включенного резистивного элемента с сопротивлением rВ или источника ЭДС Е. Под идеальным вентилем понимается такой элемент, сопротивление которого при одной полярности напряжения равно 0, а при другой полярности равно бесконечности. Характеристика идеального вентиля представлена на рисунке 11.25 б. Покажем, что любой нелинейный элемент генерирует высшие гармоники в токе. Расчет цепи осуществим графическим методом. Чтобы построить кривую тока в цепи с односторонней проводимостью и проверить допустимость идеализации характеристики вентиля, рассмотрим схему выпрямителя на рисунке 11.27. Схема состоит из последовательно соединенных источника синусоидального напряжения U1=Umsint, вентиля с характеристикой i(u), представленной на рисунке 11.25 а, и линейного сопротивления нагрузки r. Запишем уравнение по второму закону Кирхгофа: (11.19) а) б) Рисунок 11.26 – Приведенные ВАХ вентилей и их схемы замещения Рисунок 11.27 – Цепь с последовательным соединением вентиля и резистора Зная зависимость i(U) и сопротивление r, можно построить кривую i(U1) путем суммирования абсцисс кривой i(U) и прямой i=Ur/r – рисунок 11.28. На этом же рисунке внизу построим зависимость напряжения U1 от времени t при трех различных амплитудах Um (кривые 1, 2, 3). Находя по характеристике i(U1) для каждого мгновенного напряжения u1 соответствующие значения тока, нетрудно по точкам построить зависимость тока i от времени t (кривые справа). Как видно из построения, кривая i(t) состоит из чередующихся положительных и отрицательных полуволн. Положительные полуволны тока значительно больше отрицательных полуволн. Различие в абсолютных значениях полуволн тока тем заметнее, чем больше амплитуда Um напряжения источника. При достаточно большой амплитуде отрицательной полуволной тока можно пренебречь и считать, что кривая тока состоит только из положительных полуволн, каждая из которых имеет форму половины синусоиды (однополупериодные выпрямления). При выпрямлении малых напряжений ток обратной полуволны может оказаться одного порядка с током положительной полуволны. В этом случае выпрямляющее действие вентиля оказывается значительно меньше. Рисунок 11.28 – Построение кривой тока для схемы рисунка 11.27 Часто выпрямитель работает в таком режиме, при котором ток положительной полуволны много больше тока отрицательной полуволны, и током отрицательной полуволны можно пренебречь. В этом случае характеристику реального вентиля можно заменить характеристикой идеального вентиля и рассчитать цепь методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейной характеристики. 11.8 Простейшие выпрямители Рассмотрим простейшие схемы, предназначенные для выпрямления. Расчет проведем методом кусочно-линейной аппроксимации нелинейной характеристики для однополупериодного выпрямителя с резистивным сопротивлением нагрузки rн питаемого от источника синусоидального напряжения u (рисунок 11.29). На рисунке 11.30 построены кривые тока I и напряжения на сопротивлении нагрузки rн в предположении, что вентиль идеальный. Рисунок 11.29– Схема простейшего выпрямителя Рисунок 11.31– Кривые тока i и напряжения на сопротивлении нагрузки для схемы 11.30 Напряжение на сопротивлении нагрузки несинусоидальное и имеет наряду с постоянной составляющей Uo еще первую и все четные гармоники. Если схему с вентилем используют для получения постоянного напряжения, то перед потребителем с сопротивлением rн включают фильтр низкой частоты, пропускающий только постоянную составляющую и не пропускающий все гармоники, начиная с первой. 11.9 Феррорезонанс В цепях с нелинейной катушкой индуктивности и конденсатором плавное изменение напряжения может вызвать скачки фазы и амплитуды основной гармоники тока и наоборот – плавное изменение тока может сопровождаться скачкообразным изменением фазы и амплитуды основной гармоники напряжения на некоторых участках цепи. Явления изменения знака угла сдвига фаз между основными гармониками напряжения и тока при изменении напряжения или тока источника питания, обусловленное нелинейностью катушек со сталью, носят название феррорезонанса. В линейных цепях подобные явления принципиально невозможны. 11.9.1 Феррорезонанс напряжений Рассмотрим последовательное соединение катушки со стальным магнитопроводом и конденсатора. Напряжение на катушке без потерь u1 опережает ток i на /2, напряжение на конденсаторе uc отстает от тока на /2. Напряжение питания U=UL=UC. Так как напряжения UL и Uc имеют противоположные фазы, то U=UL-Uc. Зависимость напряжения на катушке от тока задана кривой UL(I). Зависимость напряжения на конденсаторе от тока – кривой а) б) Рисунок 11.32 –Феррорезонанс напряжений: а) схема реализации, б) идеальная ВАХ Uс(I),представленной на рисунке 11.32 наклонной прямой. Разность ординат кривой UL(I) и прямой Uс(I) дает кривую U(I), определяющую значения общего напряжения при разных значениях тока. Точка пересечения кривой U(I) с осью абсцисс (ток Io) соответствует феррорезонансу напряжений (UL=Uc). Участки графика U(I) вблизи точки Io чисто теоретические. Практически из-за потерь в стали и в сопротивлении обмотки кривая U(I) имеет несколько иной вид, представленный на рисунке 11.33. Рисунок 11.33– Реальная ВАХ при феррорезонансе напряжений Если цепь питается непосредственно от источника напряжения, то при изменении напряжения возможны скачкообразные изменения тока (рисунок 11.33). При плавном изменении напряжения U от 0 до U1 ток по фазе отстает от напряжения (ULUc). В точке 1 происходит скачок, при котором ток возрастает до значения I2 соответствующего точке 2; по фазе теперь ток опережает напряжение (UсUL) т.е. происходит опрокидывание фазы. Дальнейшее возрастание напряжения сопровождается плавным увеличением тока. Уменьшение напряжения до значения U3 снова вызывает скачок тока, соответствующий переходу из точки 4 в точку 5. Угол сдвига фаз между напряжением и током в точках 1 и 5 носит индуктивный характер, в точках 2 и 3 – емкостный характер, в точке 4 он близок к 0. 11.9.2 Феррорезонанс токов Если катушка со стальным магнитопроводом и конденсатор соединены не последовательно, а параллельно в цепи также могут возникнуть резонансные явления. При питании цепи от источника заданного тока возможны скачки напряжения, сопровождающиеся изменением знака угла сдвига фаз между напряжением и током. Также как и в п 11.9.1 построим зависимости UL и Uc от напряжения источника U. Так как ток на конденсаторе опережает напряжение по фазе на угол /2, а ток в катушке отстает от напряжения на /2, то общий ток I=(IL-Ic). Рисунок 11.34 – Цепь, в которой происходит феррорезонанс токов Разность абсцисс графиков IL(U) и Ic(U) дает кривую I(U), абсциссы которой определяют общий ток при различных значениях напряжений. Из построения видно рисунка 11.35 а, что при некотором значении напряжения  ток в катушке IL компенсирует ток Ic в конденсаторе и наступает феррорезонанс токов. На рисунке 11.35 б построена теоретическая зависимость I(U) штриховой линией – кривая 2. Полученная кривая носит теоретический характер. Практически из-за потерь в стали и несинусоидальности тока в катушке даже при равенстве действующих значений UL и Uc общий ток не равен нулю. На практике зависимость между общим током и напряжением имеет вид кривой, изображенной на рисунке 11.35 сплошной линией – кривая 1. Можно подобрать такое значение напряжения U, при котором реактивная составляющая первой гармоники тока IL равна току Ic. В этом случае общий ток содержит только активную составляющую. Если питать цепь не от источника заданного напряжения, а от источника заданного тока, то наблюдаются скачки напряжения. Плавное увеличение тока от нуля до I1 приводит к плавному изменению напряжения на участке характеристики 01. а) б) Рисунок 11.35 – ВАХ для феррорезонанса токов: а) ее построение, б) реальная кривая (1)идеальная кривая (2) Дальнейшее увеличение тока приводит к скачкообразному возрастанию напряжения от U1 до U2 и изменению знака угла сдвига фаз между U и I (переход от точки 1 в точку 2). При малых токах реактивное сопротивление цепи емкостное, а при больших токах – индуктивное. Последующее увеличение тока сопровождается плавным увеличением напряжения на участке 2–3. Уменьшение тока приводит к плавному уменьшению напряжения на участке 3–­4. При снижении тока до значения I 2 происходит скачкообразное уменьшение напряжения, сопровождающееся изменением знака угла сдвига фаз. Явления феррорезонанса тока и напряжения могут наблюдаться в случае линейной индуктивности и нелинейной емкости или нелинейных индуктивности и емкости. 12. Спектральный метод анализа цепей Введение Спектральный (частотный) метод исследования процессов в электрических цепях основан на использовании понятий спектров воздействующих импульсов и частотных свойств цепей. Особенно широко его применяют в радиотехнике при рассмотрении вопросов прохождения модулированных колебаний через усилители, фильтры и другие устройства, в импульсной технике при рассмотрении вопросов прохождения через четырехполюсники коротких импульсов длительностью порядка нескольких микросекунд, а в некоторых случаях даже нескольких наносекунд. Допускается, что модулированное колебание или соответственно импульс, пройдя через четырехполюсник, изменился по амплитуде, на некоторое время t0 запоздал по времени, что не допустимо, чтобы существенно изменилась форма импульса (колебания) на выходе по сравнению с формой импульса (колебания) при выходе. Недопустимость изменения формы импульса (колебания) следует из того, что именно в форме импульса (колебания) заключена информация, которую он несет. 12.1 Интеграл Фурье Переход от спектрального представления периодического сигнала к непериодическому можно осуществить, рассматривая полученные соотношения комплексной формы ряда Фурье: (12.1) для сигнала с периодом Т при Т→∞. Из выражения (12.1) следует, что при таком предельном переходе интервалы между соседними частотами дискретного спектра неограниченно уменьшаются, а коэффициенты Фурье и амплитуды отдельных гармоник становятся бесконечно малыми. Это приводит к непрерывному спектру, соответствующему непериодическому сигналу. Выразим обе формулы (12.2) где (12.3) (249) и(250) через произведение (12.4) (12.5) При предельном переходе при Т→∞ ∆ω заменим на dω, а дискретные значения частоты ω ­ на непрерывные ω, изменяющиеся в пределах от -∞ до ∞. В результате сумма перейдет в интеграл. Заменяя обозначение на, получим: (12.6) Полученные формулы определяют прямое и обратное интегральные преобразования Фурье. С их помощью непериодическая функция времени f(t) представляется совокупностью бесконечно большого числа синусоидальных составляющих с бесконечно малыми амплитудами, частоты которых принимают значения от 0 до ∞. Величина F(j∞) называется спектральной плотностью. Комплексная форма ряда Фурье имеет большое значение при переходе от дискретного спектра к непрерывному спектру. В соответствии с формулой (12.6) для нахождения реакции системы на любое воздействие его следует представить в виде бесконечно большого числа гармонических воздействий, символическим методом найти реакцию системы на каждое из воздействий и затем просуммировать реакции на все воздействия. Преобразования 12.5 и 12.6 являются взаимно обратными. 12.2 Теорема Рейли Теорему Рейли записывают следующим образом: (12.7) Функция f(t) = 0 при t<0; S(ω) представляет собой модуль спектра S(jω) функции f(t): (12.8) Если принять, что f(t) есть напряжение, приложенное к активному сопротивлению в 1 Ом, то левая часть в (12.7) представляет собой энергию, выделяющуюся в этом сопротивлении. Таким образом, площадь квадрата модуля спектра S(ω), разделенная на π, является энергией, рассеиваемой в активном сопротивлении, на которое воздействует f(t). Основной при выводе теоремы Рейли служит обратное преобразование Фурье: (12.9) Умножим обе части последнего равенства на f(t) и проинтегрируем по t от -∞ до +∞: (12.10) В правой части изменим порядок интегрирования: (12.11) В соответствии с формулой (12.8) (12.12) следовательно, (12.13) Для перехода к формуле (12.7) учтем, что при t<0 функция f(t)=0. Это дает возможность заменить в левой части нижний предел с -∞ на 0. Приняв во внимание, что квадрат модуля S2 (ω) есть четная функция частоты, заменим в правой части последнего уравнения на 2 . В результате получим формулу (12.7). 12.3 Применение спектрального метода Положим, что на вход некоторого четырехполюсника с передаточной функцией K(jω) = K(ω) ejφ(ω) при нулевых начальных условиях воздействует сигнал f1(t), имеющий спектр SBX(jω). На выходе четырехполюсника появиться сигнал f2(t), спектр которого SВЫХ(jω) = K(jω) SBX(jω), (12.14) где SBX(jω) = . (12.15) Так как сигнал f2(t) может отличаться от сигнала f1(t) по значению (по амплитуде), положим в а раз, и запаздывать на некоторое время t0 , но по форме должен быть таким же, как и f1(t), то можно записать, что f2(t) = аf1 (t – t0). Если к функции f2(t) применить преобразование Фурье, то окажется, что спектр функции f2(t) равен (12.16) Действительно, SBЫX(jω) = (12.17) Введем новую переменную t1 = t – t0. Тогда (12.18) Сравнивая (12.17) и (12.18), замечаем, что . (12.19) Следовательно, для прохождения импульса или модулированного колебания через четырехполюсник без искажения формы необходимо, чтобы модуль передаточной функции был постоянен (не зависел от частоты), а аргумент φ (ω) = – ωt0 линейно изменялся в функции частоты (рис. 11.36 а). а) б) Рисунок 11.36– Модуль и аргумент передаточной функции (а), полоса пропускания четырехполюсника (б) В реальных четырехполюсниках эти условия могут быть выполнены лишь приближенно в некоторой полосе частот, которую называют полосой пропускания. Полоса пропускания ограничена значениями ω, при которых отношение максимального значения K(ω) к минимальному значению равно (рис. 11.36 б). Такой характеристикой обладает, например, схема магнитосвязанного резонансного колебательного контура. Для этой полосы приближенно полагают, что K(ω) = const; . Для того, чтобы сигнал при прохождении через четырехполюсник не изменил своей формы, необходимо, чтобы важнейшие гармонические составляющие частного спектра сигнала находились внутри полосы пропускания четырехполюсника. Для импульсных сигналов треугольной, трапецеидальной, прямоугольной, колоколообразной и некоторых других форм принимают, что они занимают полосу частот от ω = 0 до ω = 2π/tи, где tи – длительность импульса. Если же необходимо передать через четырехполюсник основную часть энергии сигнала (например, 90 % энергии сигнала), то полосу частот можно сузить примерно до 0 ÷ 1/tи. Так как в полосе пропускания идеальные условия для прохождения импульса все же не выполняются, то, проходя через четырехполюсник, импульс в какой-то степени искажается. Определить степень искажения можно двумя способами, основанными на частотных представлениях. Первый способ состоит в непосредственном применении прямого и обратного преобразований Фурье. Основные этапы этого способа таковы: 1) нахождение спектра U1(jω) входного сигнала u1(t); 2) определение передаточной функции четырехполюсника K(jω); 3) получение спектра выходного сигнала U2(jω) = K(jω) U1(jω); 4) вычисление u2(t) по U2(jω). Последнюю операцию можно осуществить с помощью формулы (256), но практически ее удобнее выполнить, используя таблицу изображений по Лапласу, заменив jω на p в U2(jω). Такое решение мало чем отличается от решения той же задачи операторным методом и для сложных схем оказывается малопригодным, поскольку решение достаточно громоздко, и пользуясь им, трудно сделать вывод о том, как тот или иной конкретный элемент схемы при неизменных остальных влияет на фронт и на вершину импульса. Пользуясь этим методом, трудно также судить о том, какие элементы схемы в наибольшей степени влияют на деформацию фронта, какие – на деформацию вершины импульса. В литературе по импульсной технике получил распространение второй способ решения, также основанный на спектральных представлениях. В основу его положено то обстоятельство, что искажение формы фронта выходного импульса по сравнению с формой фронта входного импульса зависит от свойств передаточной функции четырехполюсника на высоких (теоретически на бесконечно больших) частотах, а искажение вершины импульса определяется свойствами передаточной функции на низких частотах (теоретически на частотах, близких к нулю). Для того чтобы убедиться, проделаем некоторые выкладки. Взяв в качестве исходной формулу (9.116) и заменив в ней входное напряжение u(t) на u1(t), ток i(t) на входное напряжение четырехполюсника u2(t), переходную проводимость g(t) на переходную функцию четырехполюсника h(t), получим: . (12.20) Положим, что напряжение u1(t), подводимое в момент t = 0 к цепи с нулевыми начальными условиями, является синусоидальным и по амплитуде равно единице: , (12.21) где 1 – комплексная амплитуда входного напряжения, т.е. . Учтем, что , (12.22) После подстановки (12.20) и (12.21) в формулу (12.20) получим: . (12.23) Комплексную амплитуду напряжения u2(t) в установившемся синусоидальном режиме частоты ω определим, если в квадратной скобке положим t→ ∞: . (12.24) Передаточная функция четырехполюсника K(jω) = U2(ω) /U1(ω) = h(0) + (12.25) При ω = ∞ K(j∞) = h (0). (12.26) При ω = 0 K(0) = h (∞). (12.27) Из формулы (12.26) следует, что свойства переходной функции четырехполюсника в начальный момент, т.е. h (0), определяется свойствами передаточной функции на бесконечно большой частоте K(j∞). В свою очередь, формула (12.27)свидетельствует о том, что свойства переходной функции при относительно больших моментах времени зависят от свойств передаточной функции при нулевой частоте. Таким образом, чтобы не исказился фронт импульса, следует обеспечить условия неискаженной передачи на высоких частотах, а для сохранения формы вершины импульса – условия неискаженной передачи на низких частотах. Для того чтобы выяснить влияние отдельных элементов схемы на искажение формы импульса, прежде всего, составляют полную схему замещения четырехполюсника, учитывая в ней все факторы, влияющие на частотные свойства [паразитные емкости ламп, импульсных трансформаторов, индуктивности рассеяния трансформаторов, емкостные свойства p-n-переходов транзисторов, зависимость коэффициентов усиления транзисторов от скорости процесса (от частоты ω)]. Затем из полной схемы замещения образуются две расчетные схемы. Первая схема представляет собой расчетную схему для высоких частот и позволяет определить степень искажения фронта импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения путем закорачивания последовательно включенных конденсаторов по пути следования сигнала (относительно больших по сравнению с паразитными) и разрыва индуктивных элементов, включенных параллельно резистивным элементам схемы. Вторая схема представляет собой расчетную схему для низких частот и служит для выяснения степени деформирования вершин импульса. Эту схему получают из полной схемы замещения, оставляя в ней последовательно включенные конденсаторы по пути следования сигнала, а также индуктивные элементы, включенные параллельно резистивным сопротивлениям, и закорачивая последовательные индуктивные элементы по пути следования сигнала. Паразитные емкости в низкочастотной схеме не учитывают. В каждой из этих расчетных схем с учетом упрощений число оставшихся индуктивных элементов и конденсаторов оказывается значительно меньше, чем в полной схеме замещения. Для каждой из схем характеристическое уравнение оказывается часто первой или второй, редко третьей степени, и поэтому влияние каждого из элементов схемы на искажение фронта и вершины импульса может быть выявлено относительно легко. Расчет переходного процесса в высокочастотной и низкочастотной схемах производят обычно операторным методом. Окончательный результат (кривую всего переходного процесса) получают, сопрягая решения этих двух схем. Вопрос об искажении заднего фронта импульса принципиально решается так же, как и вопрос об искажении переднего фронта импульса. Проиллюстрируем сказанное примером. На рис. 11.38 а изображена схема лампового усилителя, где RН – нагрузочное сопротивление; СР – относительно большая разделительная емкость (через нее проходит только переменная составляющая выходной величины); С2 – относительно малая емкость нагрузки и (или) емкость второго каскада усиления. Пунктиром показаны источник анодного напряжения Еа и малые по сравнению с СР ( по нескольку пикофарад) межэлектронноые емкости Сса, Сск, С1 (емкость анод – катод и емкость монтажа). В дальнейшем емкости Сса и Сск не учитываем, как оказывающие малое влияние на работу схемы. Схема замещения для расчета переходного процесса при воздействии относительно малых по амплитуде переменных составляющих представлена на рис. 11.39. Она является схемой третьего порядка. Укороченные схемы для формирования фронта (рис. 11.39) и вершины импульса (рис. 11.40) является схемами первого порядка. Для схемы рис. 11.39 ; (12.28) где gэ1 = (1/Ri) + (1/Ra) + (1/Rн). (12.29) Рисунок 11.37– Схема лампового усилителя Рисунок 11.38– Схема замещения усилителя при воздействии малых по амплитуде переменных составляющих Рисунок 11.39 – Упрощение схемы рисунка 11.37 для формирования фронта Рисунок 11.40 – Упрощение схемы рисунка 11.37 для формирования вершины импульса а) б) в) г) Рисунок 11.41 – Входное напряжение (а), фронт выходного напряжения (б), вершина выходного напряжения (в), результирующая кривая (г) Для схемы рис. 11.40 ; (12.30) Если входное напряжение представляет собой прямоугольный импульс (рис. 11.41 а), то фронт выходного напряжения будет в виде нарастающей экспоненты (рис. 11.41 б), а вершина – в виде спадающей экспоненты (рис. 11.41 в). Результирующая кривая uвых изображена на рис. 11.41 г. Подбор параметров усилителя осуществляют, исходя из допустимой деформации фронта и вершины выходного импульса по сравнению с входным импульсом. 12.4.Определение переходной функции четырехполюсника через передаточную и передаточной через переходную Рассмотрим два способа определения К(p) через h(t). Первый способ. Если в формуле (12.75) заменим jω на p, то К(p) определим через переходную функцию следующим образом: . (12.31) Второй способ. При воздействии на вход четырехполюсника напряжения u1(t) = 1 (t) напряжение на его выходе u2(t) = h(t). Если это положение записать относительно изображений, учитывая 1(t) .=˙1/p и обозначая изображение h(t) через H(p), то H(p) = K(p)/p (12.32) Отсюда K(p) = pH(p) (12.33) Формула (12.33) эквивалентна формуле (12.31). Определим h(t) через K(p) . Поскольку h(t) = H(p), а H(p) определено формулой (12.32), то h(t) = K(p)/p. (12.34) Обратим внимание также на то, что K(p) можно рассматривать как изображение входного напряжения четырехполюсника при воздействии на его вход импульса напряжения в виде дельта-функции δ(t) .=˙ 1. 13. Цепи с распределенными параметрами Введение При больших напряжениях, встречающихся в электроэнергетике, и при больших частотах, с которыми имеет дело электросвязь, а также при значительной длине линий пренебрегать токами смещения и токами утечки недопустимо. Токи смещения – это токи, обусловленные емкостью между проводами. Токи утечки – токи, текущие через гирлянды изоляторов. Ток в линии вызывает падение напряжения в активном сопротивлении проводов и создает переменное магнитное поле, которое в свою очередь наводит вдоль всей линии ЭДС самоиндукции. Поэтому напряжение между проводами также не остается постоянным вдоль всей линии. Чтобы учесть изменение тока и напряжения вдоль линии, нужно считать, что каждый сколь угодно малый элемент линии обладает сопротивлением и индуктивностью, а между проводами – проводимостью и емкостью, то есть рассматривать линию как цепь с распределенными параметрами. Такую линию называют длинной. Будем считать, что сопротивление, индуктивность, проводимость и емкость равномерно распределены вдоль линии. Такая линия называется однородной. 13.1 Дифференциальные уравнения для однородной длинной линии Составим дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют напряжения и токи в любом сечении двухпроводной линии. Пусть известны первичные параметры однородной линии, отнесенные к единице ее длины: R0 – сопротивление прямого и обратного проводов, L0 – индуктивность петли, образуемой прямым и обратным проводами, G0 – проводимость между проводами, C0 – емкость между проводами (рисунок 13.1). Длинную линию можно представить в виде множества соединенных в цепочку бесконечно малых элементов длиной dx, каждый из которых имеет сопротивление R0dx и индуктивность L0 dx, проводимость G0dx и емкость C0dx. Обозначим через х расстояние от начала линии до текущего элемента ее длины. Мгновенные значения напряжения и тока в начале выбранного элемента линии dx обозначим через u и I , а в начале следующего – через: (13.1) Для элемента линии длиной dx на основании законов Кирхгофа Рисунок 13.1 – Схема замещения длинной линии (13.2) Приводя подобные члены, пренебрегая величинами второго порядка малости и сокращая на dx, получаем дифференциальные уравнения: (13.3) Решение полученной системы уравнений в частных производных при определенных начальных и граничных условиях дает возможность определить ток и напряжение как функции расстояния от начала линии и времени. 13.2 Установившийся режим в однородной линии Рассмотрим установившийся режим в длинной линии при синусоидальном напряжении источника питания. Переписывая уравнения (13.3) для установившегося режима и вводя комплексные напряжения, токи, сопротивления и проводимости, получаем: (13.4) Где (13.5) – комплексное сопротивление и (13.6) – комплексная проводимость линии единичной длины. Подчеркнем, что Z0 и Y0 не 254ейстются величинами, обратными друг другу. Продифференцируем уравнение (13.4): (13.7) И заменим dU/dx и dI/dx согласно уравнениям (13.4). В результате получим (13.8) Дифференциальные уравнения, определяющие изменения комплексов напряжения и тока вдоль линии, одинаковы. Поэтому достаточно найти, например, закон изменения напряжения U.Решения линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид: (13.9) где А1, А2 – комплексные постоянные интегрирования, γ– коэффициент распространения (13.10) α– коэффициент ослабления, характеризует затухание амплитуды прямой и обратной волн на единицу длины. Измеряется в [Нп/м], β – коэффициент фазы, характеризует изменение фазы волны на единицу длины в зависимости от координаты х точки линии. Ток I согласно уравнению (13.11) Отношение Z0/γ, имеющий размерность сопротивления, называется волновым сопротивлением линии ZC . Для однородной линии (13.12) Волновое сопротивление и коэффициент распространения называются вторичными параметрами линии. Выразив комплексы A1 и А2, имеющие размерность напряжения, в показательной форме (13.13) Запишем мгновенное значение напряжения и тока (13.14) Аналогично можно записать для тока: (13.15) Каждое из слагаемых правой части двух последних выражений можно рассматривать как бегущую волну, движущуюся в направлении возрастания или убывания координаты х и затухающую в направлении движения. И каждое из слагаемых в любой фиксированной точке представляет собой периодическую функцию времени, в любой же фиксированный момент времени – затухающее колебание. Основными характеристиками бегущей волны являются фазовая скорость и длина волны. Фазовой скоростью волны с называется скорость перемещения фазы колебания, которая в течение времени t и по мере увеличения расстояния х, пройденного волной, остается постоянной, т.е. (13.16) откуда следует, что (13.17) Длиной волны х называется расстояние между ближайшими двумя точками, фазы колебания в которых различаются на 2 π. Следовательно: (13.18) откуда (13.19) Условимся волну, движущуюся от начала линии, называть прямой, а движущуюся от конца линии – обратной (рисунок 13.2). Рисунок 13.2 –Распространение прямой и обратной волн в длинной линии Можно расписать (13.20) где (13.21) Токи и напряжения как прямой, так и обратной волны связаны между собой законом Ома (13.22) Введение понятия о прямых и обратных волнах в линиях облегчает анализ процессов. Однако, нужно иметь ввиду, что физически существуют линиях только результирующие ток I и напряжение U, и что разложение их на прямые и обратные волны следует считать лишь удобным приемом. 13.3 Уравнения однородной линии с гиперболическими функциями Постоянные А1 и А2 можно определить, если известны граничные условия. Пусть заданы напряжение U1 и ток I1 в начале линии (х=0). При х=0 получим , (13.23) откуда (13.24) Подставив А1 и А2 для напряжения U и тока I в любой точке линии (на расстоянии х от ее начала) получим: , (13.25) Группируя члены в правой части и вводя гиперболические функции chұx и shұx, будем иметь: , (13.26) Эти формулы позволяют определить ток и напряжение в любой точке линии по их значениям в начале линии. Аналогично можно определить ток и напряжение в любой точке через значение напряжения и тока в конце линии: , (13.27) Соотношения для линий постоянного тока, у которых сопротивление проводов и утечка между проводами равномерно распределены вдоль линии, могут быть получены как частный случай из выведенных соотношений при ω=0. 13.4 Характеристики однородной линии Комплексная величина γ называется коэффициентом распространения, α – коэффициентом ослабления, β – коэффициентом фазы. Сопротивление Zc определяет токи прямой и обратной волн по соответствующим напряжениям. Средние значения модуля Zc для воздушных линий 300–400 Ом, а для кабелей 60–80 Ом. У кабелей емкость Со значительно больше, а индуктивность Lo меньше, чем у воздушных линий, т.к. провода кабеля расположены ближе друг к другу, а относительная диэлектрическая проницаемость изоляции – порядка 4–5. В воздушных ЛЭП, для которых скорость с близка к со , при f=50 Гц длина волны λ = сТ = со/f = 6000 км. При исследовании процессов в линии часто важно знать входное сопротивление линии. Под входным сопротивлением линии Zвх понимают сопротивление двухполюсника, которым можно заменить линию вместе с приемником на ее конце при расчете режима в начале линии , (13.28) при х=l , (13.29) Входное сопротивление при любом сопротивлении нагрузки ZH можно выразить через входные сопротивления линии при холостом ходе Zx и коротком замыкании Zk. , (13.30) Этой формулой удобно пользоваться, если известны сопротивления ZH и Zk, которые могут быть определены из опытов холостого хода и короткого замыкания. Возникновение в конце линии отраженной волны можно учесть, введя комплексный коэффициент отражения волны: , (13.31) Отсутствие обратной волны имеет то преимущество, что вся мощность, переносимая прямой волной к концу линии, поглощается сопротивлением нагрузки. При наличии обратной волны часть мощности прямой волны возвращается источнику обратной волной. Если в конце линии включено сопротивление нагрузки, равное волновому сопротивлению Zн=Zc=U2/I2 , то отраженная волна не возникает. Такую нагрузку называют согласованной нагрузкой. При этом коэффициент отражения ρ=0. Для согласованной нагрузки соблюдается соотношение: , (13.32) То есть для любой точки линии отношение комплексов напряжения и тока равно волновому сопротивлению. Для согласованной линии входное сопротивление Zвх=Zс. Полагая начальную фазу напряжения в конце линии равной нулю, то есть U2=U2 ,запишем мгновенные значения напряжения и тока в любой точке линии: (1.33) Мощность в любом сечении линии , (1.34) Мощность, передаваемая по согласованной линии, называется естественной. Кпд линии η=Р2/Р1. 13.5 Линия без искажений Если считать токи и напряжения линии связи несинусоидальными, но периодическими, то, разлагая их в тригонометрические ряды, можно к каждой гармонике применить полученные результаты. Подчеркнем некоторые особенности линий связи. У кабельных линий связи из-за близкого расположения проводов относительно друг друга индуктивное сопротивление Х0=ωL0 мало по сравнению с активным сопротивлением R0 и им можно пренебречь. Точно также активной проводимостью G0 между проводами можно пренебречь по сравнению с реактивной проводимостью b0=ωC0. Поэтому из общих формул имеем: , (13.35) Из этих соотношений видно, что коэффициент ослабления α и коэффициент фазы β пропорциональны квадратному корню из частоты. Поэтому гармоники более высоких частот затухают сильнее, что приводит к искажению речи, музыки и других сигналов. Воздушная или кабельная линия связи. Не снабженная специальными усилителями, линия пригодна для передачи сигналов, если коэффициент ослабления α не зависит от частоты и невелик. Частоту ω надо полагать достаточно большой, а выражения (13.36) достаточно малыми. При этих условиях после некоторого преобразования будем иметь: , (13.37) Рассматривая α как функцию отношения Z= L0/С0 , найдем минимум α в функции Z. Приравняв dα/dZ к нулю, получаем значение Z, при котором значение α минимально. (13.38) Тогда (13.39) Линию, удовлетворяющую этим условиям, называют линией без искажений. Для нее волновое сопротивление равно: (13.40) Иначе говоря, волновое сопротивление линии без искажений активное и не зависит от частоты. 13.6 Линия без потерь Если положить равными нулю сопротивления проводов линии R0 и проводимость утечки между проводами G0 , то получится так называемая линия без потерь. Для коротких высокочастотных линий, применяемых в радиотехнике, часто пренебрегают сопротивлением R0 и утечкой G0 по сравнению с ωL0 ωC0. Однако чаще это идеализация действительной линии. Для такой линии получаем: (13.41) То есть, в линии без потерь нет ослабления волн, волновое сопротивление активное и не зависит от частоты. Фазовая скорость для такой линии: (13.42) Для воздушной линии εr= μr=1, и фазовая скорость в вакууме совпадает со скоростью света. Для кабельных линий εr>1 и с