Теоретическая механика. Статика. Связи и их реакции

ЛЕКЦИЯ 1. Тема 1 ВВЕДЕНИЕ Общая (или теоретическая) механика является научной основой многих важнейших областей современной техники. Этим объясняется значительная роль дисциплины “Теоретическая механика” в инженерном образовании. Методы и законы механики, как науки о движении и взаимодействии материальных тел, позволяют изучить и объяснить целый ряд важных явлений, а также способствуют выработке навыков объективного анализа окружающего мира. С развитием науки в механике появился ряд самостоятельных областей, связанных с поведением деформируемых тел и сред (строительная механика, сопротивление материалов, аэромеханика, теория упругости), с движением тел с очень высокими скоростями, с необычным взаимодействием частиц в микромире. Однако и в этих современных областях исследования опираются на ряд основных принципов и методов, общих для всей механики. Как и в любой естественной теоретической науке, в теоретической механике основным инструментом служит математика. Такой аппарат предполагает использование математической логики при формулировке и решении поставленных задач. Поэтому впредь при определении основных понятий, выводе или формулировке положений теоретической механики, по возможности, будем использовать математический подход. Итак, несколько определений. Механика – это наука о движении и взаимодействии материальных тел. Движение - перемещение в пространстве одних тел относительно других Под механическим взаимодействием подразумевают такие действия тел друг на друга, при которых изменяются движения этих тел, либо они сами деформируются (меняют свою форму). Теоретическая механика – это раздел механики, изучающий наиболее общие законы движения и равновесия так называемых «идеальных» материальных объектов, то есть абстрактных моделей реальных тел. 1 К моделям реальных тел, изучаемым в теоретической механике, относятся: • материальная точка; • абсолютно твердое тело; • механическая система, то есть совокупность материальных точек и абсолютно твердых тел, выбранных для рассмотрения. Определим эти основные понятия. Материальная точка – это тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстояниями до других тел. Абсолютно твердое тело – это тело, расстояния между любыми двумя точками которого не изменяются, как бы оно не перемещалось. Из последнего определения вытекает, что такое тело – не деформируемое (абсолютно жесткое). Сама же механика – классическая (не релятивистская) механика, т.е. механика, в которой тела двигаются со скоростями, существенно меньшими скорости света. Свободное тело – это тело, которому можно сообщить любое перемещение в пространстве. Если перемещение данного тела в пространстве ограничивается другими телами, то его называют несвободным. Связи – это тела, рассматриваемого тела. Теоретическая механика кинематики и динамики. ограничивающие состоит из трех движение разделов: статики, Статика – это раздел механики, изучающий равновесие совокупности тел (механической системы). 2 Кинематика – это раздел механики, в котором изучается описание различных движений материальных точек, абсолютно твердых тел и механических систем, но не рассматриваются причины, вызывающие эти движения. Динамика – это раздел механики, в котором рассматривается влияние сил на состояние движения материальных точек, абсолютно твердых тел и механических систем. Иногда кинематику и динамику объединяют в общий раздел, который называется кинетика – наука о механических движениях. Изучение любого механического явления начинается с выделения совокупности взаимодействующих тел, которую называют системой тел. Система тел − это выделенная определенным образом совокупность взаимодействующих механических тел. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. Что такое «абсолютно твердое тело»? Как определяется «материальная точка»? Сформулируйте определение для термина «связь». 3 Раздел 1. СТАТИКА Задачей статики является определение условий равновесия материальных тел, находящихся под действием заданной совокупности сил. Под равновесием тела подразумевается его покой относительно некоторой инерциальной системы отсчета (например, системы отсчета, покоящейся относительно Земли). 4 1.1 Введение в статику. Основные положения 1.1.1 Сила. Классификация сил Определим сначала понятие силы: Сила − это мера материальных тел. механического взаимодействия Более корректно сила определяется в разделе «Динамика» по способности вызвать движение тел из состояния покоя или изменить существующее движение последних. Силу (от английского слова “Force”) принято обозначать большой латинской буквой F, либо другой буквой. Сила - вектор, при обозначении которого необходимо указывать признаки векторной величины, т.е. указывать надстрочные стрелку или черту, либо саму букву выделять жирным шрифтом1: JG F ≡ F ≡F Указанные здесь обозначения силы эквивалентны, поэтому они объединены символом тождественности « ≡ », или эквивалентности. Действие силы на тело определяется: G • модулем, или абсолютным значением силы (обозначается F ≡ F ) – это величина силы, выраженная в неких единицах измерения; • Единицей измерения силы в системе единиц СИ является Ньютон (Н); применяется и более крупная единица 1 кН=1000Н) • направлением силы (ортом2 e); • точкой приложения силы. 1 Впредь в тексте любой выделенный жирным шрифтом отдельный алгебраический символ следует воспринимать как символ векторной величины. 2 Ортом вектора называется единичный вектор, направленный в ту же сторону и приложенный в той же точке, что и заданный вектор. 5 Линия действия силы − это прямая, вдоль которой направлена сила. На рис. 1.1 показана линия действия силы − линия ÀÂ. G F B G e A Рис. 1.1. Линия действия силы, приложенной к телу Сила может быть задана: • геометрическим способом, то есть как вектор с известным модулем F и известным направлением, определяемым ортом e; • аналитическим способом, то есть её проекциями FX, FY, FZ на оси выбранной системы координат 0xyz. Проекции силы на координатные оси зависят от её модуля и углов α, β, γ, которые образует сила с координатными осями 0x, 0y, 0z, и определяются следующими соотношениями: FX = F cos α ; FY = F cos β ; (1.1) FZ = F cos γ Модуль силы определяется через свои проекции, как F= FX2 + FY2 + FZ2 (1.2) 6 G FZ Z G FX G k G i G j G F G FY Y X Рис. 1.2. Разложение вектора силы по координатным осям Материальные тела могут действовать друг на друга путем непосредственного соприкосновения или на расстоянии. В зависимости от этого силы можно разделить на поверхностные силы, приложенные к поверхности тела (например, силы давления на тело со стороны окружающей среды) и объемные силы, приложенные к данной части тела (например, силы тяготения) Распределенные силы − это поверхностные и объемные силы. В ряде случаев силы можно считать распределенными вдоль некоторой кривой (например, так называемый «погонный вес», или вес единицы длины тонкого стержня). Распределенные силы характеризуются их интенсивностью. Интенсивность − это величина силы, приходящейся на единицу длины, площади или объема. Интенсивность может быть постоянной (равномерно распределенные силы) или переменной величиной. Если можно пренебречь малыми размерами области действия распределенных сил, то рассматривают сосредоточенную силу, приложенную к телу в одной точке (условное понятие, так как практически приложить силу к одной точке тела нельзя). 7 Сосредоточенная сила − это сила, приложенная к области, размеры которой пренебрежимо малы. Подытоживая сказанное, можно использовать классификацию сил по степени их локализации: • сосредоточенные силы; • распределенные силы, включая: - линейно распределенные силы; - поверхностные силы; - объемные силы. следующую По принадлежности к рассматриваемой механической системе силы можно разделить на внешние и внутренние. Внешние силы − силы, действующие на тело (систему) со стороны других тел, не входящих в рассматриваемую систему. Внутренние силы − это силы, с которыми части данного тела (данной системы) взаимодействуют друг с другом. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. Что такое «модуль силы»? Определите понятие «линия действия силы». Проекция силы на ось – это (…. ?). 8 1.1.2 Система сил Рассмотрим случай, когда на тело действует несколько сил (рис.1.3). Система сил − это совокупность сил F1, F2, F3, …, FN, приложенных к рассматриваемому телу, либо к механической системе. G F2 G F1 G F3 ... G FN Рис. 1.3. Система сил, приложенных к телу В зависимости от расположения линий действия сил систему сил называют: • плоской, если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, либо в параллельных друг другу плоскостях; • пространственной, если линии действия сил не лежат в одной плоскости; • системой сходящихся сил, если линии действия всех сил пересекаются в одной точке; • системой параллельных сил, если линии действия всех сил параллельны друг другу. Эквивалентные системы сил − это те, которые оказывают одинаковое воздействие на свободное твердое тело, т.е. их замена одна другой не изменяет состояния покоя или движения этого тела. Уравновешенная система сил − это такая система сил, которая после ее приложения к покоящемуся 9 (находящемуся в равновесии) телу не сообщает телу никакого движения. Такую систему называют также эквивалентной нулю. Равнодействующая сила данной системы сил − это сила, эквивалентная системе сил, действующих на тело. Обычно равнодействующую силу обозначают буквой R. Уравновешивающая сила − это сила, равная по модулю равнодействующей силе, противоположная ей по направлению и действующая вдоль той же прямой. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. Что такое «плоская система сил»? Что значит «системы сил эквивалентны»? Любая ли система сил имеет равнодействующую? 10 1.1.3 Аксиомы статики Обобщая и систематизируя обширные данные опытов и наблюдений, экспериментальные факты, Галилей и Ньютон сформулировали основные законы механики, которые могут рассматриваться как аксиомы механики, так как имеют в своей основе экспериментальные факты. Первая аксиома гласит (рис.1.4): Действие на точку твёрдого тела нескольких сил равносильно действию одной равнодействующей силы, строящейся по правилу сложения векторов. G F3 G R G F2 G G F1 + F2 G F1 Рис. 1.4. Равнодействующая нескольких сил Следствия из первой аксиомы статики (рис.1.5): Силы, приложенные к точке твёрдого тела, складываются по правилу параллелограмма: их равнодействующая R соответствует диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, как на сторонах. G F2 G R G F1 Рис. 1.5. Правило параллелограмма 11 Сложение сил можно осуществлять по правилу треугольника: Равнодействующая R двух сил F1 и F2 соответствует вектору, начало которого совпадет с началом вектора F1, а конец – с концом вектора F2 при условии, что начало F2 совмещено с концом вектора F1. G R G F2 G F1 Рис. 1.6. Правило треугольника Сложение сил обозначают векторной суммой: G G G R = F1 + F2 (1.3) Модуль равнодействующей может быть вычислен с использованием теоремы косинусов по формуле: R= F12 + F12 + 2FF 1 2 cos α , (1.4) где α − угол между силами F1 и F2. Обратной сложению сил является операция разложения сил. Разложение сил на составляющие по заданным направлениям − это операция, заключающаяся в замене одной силы несколькими. Если на тело действует сила, то её действие можно заменить несколькими силами, называемыми составляющими. 12 Для плоской, двухмерной статики чаще всего производят разложение силы на составляющие по двум взаимно перпендикулярным направлениям (рис.1.7). y G FY G F G FX x Рис. 1.7. Разложение силы на составляющие для плоской системы сил пространственной, трёхмерной статики разложение силы производят на три взаимно перпендикулярных направления (см. рис.1.2). Для этого силу проецируют на заданные оси. Для Вторая аксиома гласит (рис.1.8): Система из двух сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу, является уравновешенной, если эти силы равны по величине, направлены в противоположные стороны и лежат на одной прямой. G F1 G F2 Рис. 1.8. Уравновешенная система из двух сил, приложенных к абсолютно твёрдому телу Математически такие силы связаны друг с другом соотношением инверсии: G G (1.5) F2 = − F1 13 Третья аксиома гласит: Действие на абсолютно твёрдое тело системы сил не изменится, если добавить (или удалить) к ней уравновешенную систему сил. Это означает, что вновь полученная система сил эквивалентна исходной. Следствие. Силу, действующую на точку абсолютно твёрдого тела, можно переносить вдоль линии действия силы (то есть сила является скользящим вектором3). Доказательство. Пусть на тело действует сила F, приложенная в точке À (рис.1.9). G F G F G F B A Рис. 1.9. К доказательству возможности переноса силы вдоль линии ее действия Приложим в точке Â, принадлежащей линии действия силы, уравновешенную систему из двух одинаковых и противоположно направленных сил, также ориентированных вдоль линии ÀÂ и равных по модулю F. Рассматривая две крайние силы из полученной системы трех сил, легко увидеть, что они также образуют уравновешенную систему. Отбросим её, тогда в системе останется только одна сила, приложенная в точке Â, равная исходной, что и требовалось доказать. 3 Это следствие, также как и часть аксиом и теорем статики, применимо только для абсолютно твердого, не деформируемого тела. 14 Четвертая аксиома гласит: Действие одного тела на второе равно и противоположно действию этого второго тела на первое (сила действия равна силе противодействия). Рассмотрим теперь несвободное тело, то есть тело, на которое действуют связи. Сила реакции (реакция связи) – это сила, с которой данная связь действует на тело. Пятая аксиома гласит: Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакции, действие которых эквивалентно действию связей. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. Сформулируйте правила сложения сил. Что значит «Сила – скользящий вектор»? Закон равенства действия и противодействия и аксиома 4 - это одно и то же или нет? 15 1.2 Основные операции с силами в статике В статике вводят некоторые операции над силами, используя которые удается сформулировать решения задачи статики наиболее компактно и удобно. Эти операции зависят от размерности пространства, в котором рассматриваются вектора. Для двухмерного пространства такими операциями будут: • проекция силы на ось; • алгебраический момент силы; • алгебраический момент пары сил. Для трехмерного пространства (то есть для общего случая системы сил) такими операциями будут: • проекция силы на плоскость; • проекция силы на ось; • векторный момент силы; • осевой момент силы; • векторный момент пары сил. Рассмотрим эти операции отдельно для плоской и пространственной задач. 16 1.2.1 Операции с силами в плоской (двухмерной) статике Проекция силы на ось. Остановимся более подробно на формулировке понятия «проекция силы на ось». Проекция силы F на ось 0x – это скалярная величина FX, равная произведению модуля силы F на косинус угла α между силой и положительным направлением оси: FX = F cos α (1.6) Отметим следующие свойства проекции силы на ось: • проекция силы положительна, если угол α острый (α<π/2); • проекция силы равна нулю, если угол α прямой (α=π/2), то есть сила перпендикулярна оси; • проекция силы отрицательна, если угол α тупой (α>π/2). Геометрически проекция FX вектора силы соответствует расстоянию между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора F на рассматриваемую ось (рис.1.10). G F α FX x Рис. 1.10. Проекция силы на ось Алгебраический момент силы. Алгебраический момент силы Ì0(F) – это взятое с соответствующим знаком произведение модуля силы F на плечо h: G M0 F = ± F ⋅ h (1.7) ( ) 17 Обозначение алгебраического момента силы Ì0(F) читается следующим образом: «алгебраический момент силы (F) относительно центра (точки) О). Плечо силы относительно точки – это кратчайшее расстояние между этой точкой и линией действия силы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на линию действия силы. Определение плеча силы показано на рис. 1.11. B 90° G F A Рис. 1.11. Алгебраический момент силы Алгебраический момент силы является скалярной величиной. Его значение зависит как от самой силы F, так и от взаимного расположения вектора силы и точки, относительно которой считается алгебраический момент (см. рис. 1.11). Сформулируем правило знаков для алгебраических моментов сил: Момент силы считается положительным, если сила стремится повернуть тело относительно выбранной точки против хода часовой стрелки, и отрицательным − по ходу часовой стрелки. Для сил F1 и F2, изображенных на рис. 1.12, их алгебраические моменты относительно центра (точки 0) соответственно равны соответственно: 18 G G M 0 F1 = F1 ⋅ h1 M 0 F1 > 0 ; G G M 0 F2 = − F2 ⋅ h2 M 0 F2 < 0 ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) G M0 F2 < 0 ( ) G F2 G M0 F1 > 0 ( ) G F1 h2 h1 Рис. 1.12. Правило знаков для алгебраического момента силы В системе СИ единицей алгебраического момента силы является ньютон на метр (Н·м). ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. Сформулируйте понятие «алгебраический момент силы». Что значит «плечо силы»? Как определяется знак алгебраического момента силы? Алгебраический момент пары сил. Перейдем к рассмотрению определения пары сил (рис.1.13). B G F1 G F2 d A Рис. 1.13. Момент пары сил 19 Пара сил – это система двух равных, параллельных, противоположно направленных сил, линии действия которых не совпадают. Математически силы пары соотносятся G G так: F2 = − F1 , (1.8) а их модули равны F1 = F2 = F (1.9) Плоскость действия пары сил – это плоскость, в которой лежат силы, образующие пару. Определим плечо пары сил (см. рис.1.13). Плечо пары d – это кратчайшее расстояние между линиями действия сил пары. Введем понятие алгебраического момента пары. Алгебраический момент пары сил M(F1, F2) – это взятое с соответствующим знаком произведение модуля одной из сил пары на плечо пары: G G M F1 , F2 = ± F ⋅ d (1.10) ( ) Правило знаков для моментов пар сил аналогично правилу для моментов сил: Момент считается положительным, если силы пары стремится повернуть тело против хода часовой стрелки, и отрицательным − по ходу часовой стрелки. 20 Для показанных на рис.1.14-1 пар сил (F, F') и (Q, Q') их моменты имеют противоположные знаки: G G M 1 F , F ′ ≡ M 1 = F ⋅ d1 ( M 1 > 0 ) ; G G M 2 Q, Q′ ≡ M 2 = −Q ⋅ d 2 ( M 2 < 0 ) ( ( ) ) 2 1 G F′ G Q G F d1 d2 G Q′ M1 M2 Рис. 1.14. Правило знаков для момента пары сил Пара сил не имеет равнодействующей. Пара стремится сообщить телу некоторое вращение. Вращательный эффект пары сил характеризуется величиной, называемой моментом пары. Отсюда следует следующее правило эквивалентности пар сил с равными алгебраическими моментами (приведено без вывода): Пары сил могут быть преобразованы путем изменения величин и направлений сил и изменения плеча пары. Если при этом алгебраический момент пары сохраняется, то оказываемый ею на тело вращательный эффект не изменится, или пары сил с равными алгебраическими моментами эквивалентны. Поскольку действие пары сил на тело полностью характеризуется её моментом, на рисунках пару сил принято изображать дуговой стрелкой, показывающей направление действия момента (см. рис.1.14-2). Теорема о сумме моментов сил пары: 21 Алгебраическая сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, лежащего в плоскости её действия, не зависит от выбора центра и равна моменту пары. G F1 G F2 a d Рис. 1.15. К доказательству теоремы о сумме моментов сил, составляющих пару Докажем это теорему (рис. 1.15). Имеем пару сил (F1, F2), момент которой равен M = F1 ⋅ d = F2 ⋅ d Найдем моменты относительно точки 0 силы F1 и силы F2, а затем сумму моментов этих сил G M0 F1 = − F1 ⋅ a; G M0 F2 = F2 ⋅ ( d + a ) ( ) ( ) Так как F1=F2, то сумма моментов сил, образующих пару, равна G G M0 F1 + M0 F2 = − F1 ⋅ a + F2 ⋅ ( d + a ) = F2 ⋅ d = M, ( ) ( ) то есть моменту пары сил. Окончательно: G G M0 F1 + M0 F2 = M ( ) ( ) (1.11) Поскольку полученный результат не зависит от местонахождения центра (точки 0), то теорема доказана. Следствие из теоремы о сумме моментов сил пары: 22 Пары сил могут быть перемещены в любое место абсолютно твердого тела, при этом оказываемый ими вращательный эффект на тело не изменится. 4 . ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. 4 Что такое «пара сил»? Что значит «плечо пары»? Как определяется алгебраический момент пары и его знак? См. сноску 4. 23 1.2.2 Операции с силами в пространственной (трехмерной) статике Перейдем теперь к пространственной задачи. рассмотрению операций над силами для Проекция силы на плоскость. Введем понятие проекции силы на плоскость. Проекция силы F на плоскость 0xy – это вектор FXY, заключенный между проекциями начала и конца силы F на эту плоскость. В отличие от проекции силы на ось, проекция силы на плоскость является векторной величиной и характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости 0xy (рис. 1.16). z G FZ G F θ G FX ϕ G FY y G FXY x Рис. 1.16. Проекция силы на плоскость По модулю проекция силы на плоскость равна FXY = F cos θ , где θ − угол между векторами F и FXY. Проекция силы на плоскость используется, например, для нахождения проекций силы на оси, лежащие в этой плоскости (см. рис. 1.16): 24 FX = FXY cos ϕ = F cos θ cos ϕ ; FX = FXY sin ϕ = F cos θ sin ϕ ; (1.12) FZ = F sin θ Здесь же написана формула и для проекции силы на ось 0z. Векторный момент силы. Определим понятие радиус-вектора. Радиус-вектор r – это вектор, соединяющий начало координат (т. О) и некую точку в пространстве, например, точку приложения силы. Введем понятие векторного момента силы (рис. 1.17). Векторный момент силы F – это векторное произведение радиус–вектора точки приложения силы на вектор силы G G G G M0 F = r × F (1.13) ( ) z B G F G G M0 F ( ) G α r A 90° C h y x Рис. 1.17. Векторный момент силы Модуль выражением: (величина) векторного момента силы определяется 25 G G G M0 F = M0 F = F ⋅ r sin α = F ⋅ h ( ) ( ) (1.14) Здесь h=0Ñ − плечо силы, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки 0 на линию действия силы F, α − угол между векторами r и F. Модуль (величина) векторного момента силы – это произведение модуля силы на плечо. Вектор момента силы M0(F) направлен в соответствии с правилом векторного произведения (правилом правого винта): Первый по упоминанию вектор r кратчайшим путем поворачивают в сторону второго вектора F, задавая тем самым плоскость и направление вращения правого винта; вектор векторного произведения M0(F) ориентирован по направлению перемещения тела правого винта перпендикулярно плоскости его вращения. Вектор M0(F) считается приложенным к точке 0 и перпендикулярен плоскости треугольника 0ÀÂ, в которой лежат вектора r и F. При этом он направлен в сторону, с которой кратчайший поворот (на угол, меньший 1800) вектора r к вектору F (если его мысленно приложить к точке 0; см. рис. 1.17) виден происходящим против хода часовой стрелки, то есть по правилу правого винта. В системе СИ единицей измерения вектора момента силы является ньютон на метр (Н·м). Момент силы относительно точки не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль её линии действия. Момент силы относительно точки 0 равен нулю (M0(F)=0) в следующих случаях: • сила равна нулю (F=0); • линия действия силы проходит через точку 0 (плечо силы h=0). 26 Векторный момент силы можно описать проекциями FX, FY, FZ на оси координат и указать координаты x, y, z точки с помощью аппарата векторной алгебры, в соответствии с которым силу F необходимо задать своими приложения этой силы. Векторный момент силы относительно начала координат 0 определяется аналитически следующим образом: G G i j G G G G M0 F = r × F = x y FX FY G G G G = M X F i + MY F j + M Z ( ) ( ) ( ) G k z = FZ G G F k, (1.15) ( ) где i, j, k − орты координатных осей 0x, 0y, 0z, а проекции момента M0(F) (рис. 1.18) вычисляются по следующим формулам: G MX F = yFZ − zFY ; G MY F = zFX − xFZ ; G MZ F = xFY − yFX ( ) ( ) ( ) (1.16) z MZ MX G M0 MY y x Рис. 1.18. Проекции вектора момента силы на координатные оси Замечание. Проекции MX(F), MY(F), MZ(F) по определению – это моменты сил относительно координатных осей 0x, 0y, 0z (или осевые моменты). Модуль M0(F) вектора момента силы вычисляется по формуле: 27 G M0 F = G G G MX2 F + MY2 F + MZ2 F ( ) ( ) ( ) ( ) (1.17) ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. Определите, что такое векторный момент силы? Сформулируйте правило правого винта. Как определяется осевые моменты силы? Осевой момент силы. Момент силы относительно оси (осевой момент силы) – это скалярная величина, равная проекции на эту ось векторного момента силы. Из этого определения следует, что аналитическое вычисление моментов силы относительно координатных осей 0x, 0y, 0z можно выполнять по формулам расчета проекций векторного момента этой силы. Момент силы относительно оси может определяться геометрически (рис. 1.19). G F z h G FXY y x Рис. 1.19. Геометрическое определение осевого момента силы Сформулируем, опустив доказательство, геометрический метод оценки осевого момента силы: 28 Момент силы относительно оси равен алгебраическому моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. Например, осевой момент силы F относительно оси 0z (см. рис. 1.19) равен G MZ F = FXZ h ( ) (1.18) Момент силы относительно оси считается положительным, если проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, стремится вращать тело против хода часовой стрелки, глядя с положительного направления оси. При этом правый винт, вращаясь по направлению действия проекции силы, перемещался бы по положительному направлению оси. Например, момент силы F на рис. 1.19 относительно оси 0z равен G произведению модуля её проекции FXY на плечо h этой проекции относительно точки 0, взятое со знаком плюс: G MZ F = + FXZ h ( ) Осевой момент силы равен нулю (MZ(F)=0) в следующих случаях: • сила параллельна оси (то есть равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, FXY=0); • линия действия силы пересекает ось (линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, также пересекает эту ось и плечо этой проекции равно нулю, h=0). Объединяя эти два случая, можно сказать: Осевой момент силы равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. Как оценивается величина осевого момента силы? 29 2. 3. Как определяется знак осевого момента силы? Величина h – это расстояние между линией действия силы и осью? Векторный момент пары сил. Введем понятие векторного момента пары сил (рис. 1.20). Момент пары сил M(F, F') – это векторный момент одной силы пары относительноJJJ точки другой силы: G G приложения JJJG G G (1.19) M = AB × F ≡ BA × F ′ G G G M F, F′ ( d A G F ) G F′ B Рис. 1.20. Векторный момент пары сил В соответствии с определением операции векторного произведения вектор момента пары ориентирован перпендикулярно плоскости действия пары. Учитывая, что F=-F', и используя правило правого винта, легко увидеть (см. рис. 1.20), что оба приведенные в определяющей формуле векторных произведения приводят к одному и тому же результату. Момент пары сил направлен ортогонально к плоскости пары в ту сторону, откуда вращение, в соответствии с правилом правого винта, сообщаемое векторами пары, видно происходящим против хода часовой стрелки. Его модуль равен M = F ⋅ d, (1.20) где d − плечо пары. Модуль момента пары сил равен по величине площади параллелограмма, построенного на векторах пары. Пара сил полностью характеризуется своим моментом. Так же, как и в плоской статике, в пространственной статике действует теорема о сумме моментов сил пары: 30 Векторная сумма моментов сил, составляющих пару, относительно любого центра, не зависит от выбора центра и равна векторному моменту пары G G G G G G G M0 F + M0 F′ = M0 F, F′ (1.21) ( ) ( ) ( ) Доказательство. Формально выбрав в пространстве некую точку (центр 0), подсчитаем сумму моментов сил пары, изображенной, например, на рис. 1.20 (точка 0 не показана). Учтем при этом, что G G F′ = −F и JJJG JJJG JJJG 0 A = 0 B + BA Тогда JJG G JJG G G G G G M 0 F + M 0 F ′ = 0 A × F + 0B × F ′ = JJG G JJG G JJG G JJG G = 0 A × F + 0B × − F = 0 A × F − 0B × F = JJG JJG G JJJG G G G G = 0 A − 0 B × F = BA × F = M F , F ′ ( ) ( ) ( ) ( ) ( (1.22) ) что и требовалось доказать. Следствие из теоремы о сумме моментов сил пары: Пары сил могут быть перемещены в любое место абсолютно твердого тела, при этом оказываемый ими вращательный эффект на тело не изменится. Это следствие вытекает из независимости полученной оценки от выбора центра, а это означает и справедливость обратного утверждения, т.е. независимость результата от местонахождения самой пары. Этому же следствию можно дать другую формулировку: Векторный момент пары сил может быть приложен в любой точке пространства, то есть он является свободным вектором. 31 Приведем без доказательств еще несколько утверждений и теорем эквивалентности пар. • Пары сил, имеющие одинаковые моменты, эквивалентны, то есть оказывают на тело одинаковое механическое действие. • Пару сил можно переносить параллельную плоскости пары. в любую плоскость, • Пары сил можно складывать, при этом моменты пар сил складываются по правилу сложения векторов. • Силы пары можно изменять обратно пропорционально плечам пары. • Силы пары можно синхронно поворачивать, одновременно меняя их величину так, чтобы момент оставался неизменным. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. Куда направлен векторный момент пары сил? Момент пары сил – свободный вектор. Что это означает? Чему равен модуль векторного момента пары? 32 1.2.3. Связи и их реакции В природе часто встречаются несвободные точки и тела, перемещения которых в некоторых направлениях пространства ограничены другими объектами. Тела, ограничивающие свободу перемещения данной точки или тела, называются связями, наложенным на данную точку или тело. Несвободные материальные тела, нагруженные силами, действуют на связи силами, стремящимися эти связи преодолеть. Эти силы носят общее название − силы давления на связь. В соответствии с аксиомой статики о равенстве действия и противодействия связи противодействуют телу. Силы, с которыми связи действуют на рассматриваемый объект, называются реакциями связей, которые приложены к объекту в точке его соприкосновения со связью. Направление реакции связи противоположно тому, куда связь не дает перемещаться объекту. Сформулируем еще раз основные определения, касающиеся связей. Связи – тела, которые ограничивают перемещение данного тела в пространстве. Реакция связи – сила, с которой данная связь действует на тело. Аксиома связей: Связи, наложенные на систему материальных точек, можно заменить силами реакций, действие которых эквивалентно действию связей. Следствие из аксиомы связей: Всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их реакциями. Рассмотрим основные виды часто встречающихся связей 33 1. Гладкая опора. Это простой контакт тела с поверхностью, трением о которую можно пренебречь. Такая связь (рис. 1.21) препятствует перемещению объекта только вдоль нормали к поверхности. Поэтому, реакция N такой связи перпендикулярна поверхности и называется нормальная реакция опоры. G N Рис. 1.21. Гладкая опора 2. Невесомая нерастяжимая нить (трос, канат). Такая связь (рис. 1.22) не дает перемещаться телу вдоль нити. Её реакция Ò приложена к телу, направлена вдоль нити к точке подвеса 0 и носит название сила натяжения нити. G T Рис. 1.22. Невесомая нерастяжимая нить 3. Цилиндрический шарнир (подшипник). Цилиндрический шарнир (рис. 1.23) − это устройство, запрещающее перемещение точек тела, принадлежащих оси шарнира и позволяющее осуществлять относительное 34 вращение соединенных с его помощью тел в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. 1 y G F1 G R G F2 G RA G XB A 2 G Fn G XA x Рис. 1.23. Цилиндрический шарнир: 1 − схема приложения сил; 2 − цилиндрический подшипник (разрез) Реакция R шарнира направлена в этой плоскости, то есть перпендикулярна оси шарнира и имеет две ортогональные составляющие XA, YA. Математически её можно оценить по формуле: RA = X A2 + YA2 (1.23) 4. Сферический шарнир. Такая связь (рис. 1.24) допускает вращение тела в любом направлении в пространстве, но запрещает перемещение точки закрепления тела. Реакция RA может быть направлена в любую сторону и имеет три ортогональные составляющие XA, YA, ZA. Величина силы оценивается аналогично предыдущему случаю: RA = X A2 + YA2 + ZA2 (1.24) 35 z G ZA G RA G YA y A G XA x Рис. 1.24. Сферический шарнир 5. Невесомый шарнирно опертый стержень. На стержень (рис. 1.25) действуют лишь две реакции в шарнирах, приложенные к его концам. В покоящейся, уравновешенной системе в соответствии с аксиомой статики эти силы равны, противоположны и направлены по одной прямой, то есть линии BD, соединяющей концы стержня, при любой его форме G G RD = −RB G RB G F1 A G F2 C B G P D G RD Рис. 1.25. Невесомый шарнирно опертый стержень 6. Плоская заделка (консоль). Это − балка с замурованным в стену концом, или гвоздь, вбитый в стену (рис. 1.26). 36 y G RA G YA MA G XA A x G F Рис. 1.26. Плоская заделка В заделке отсутствуют все перемещения, что обеспечивается силой реакции (исключает линейные перемещения) и реактивным моментом (исключает угловые перемещения). Рассматривая плоскую систему сил, в заделке возникает пара сил с моментом MA, препятствующая повороту балки и реакция RA с двумя ортогональными составляющими XA, YA. Таким образом, в плоской консоли возникает два компонента реакции: силовой RA с двумя составляющими XA, YA и моментный MA. Величина реакции определяется стандартно: RA = X A2 + YA2 (1.25) 7. Подпятник. Данная связь (рис. 1.27) отличается от цилиндрического шарнира отсутствием возможности перемещения вдоль оси шарнира. Примером шарнира с подпятником может служить дверная или оконная петля. Такое ограничение приводит к появлению третьей составляющей реакции по оси 0Z. z G ZA G RA x G XA A G YA y Рис. 1.27. Подпятник Реакция в подпятнике вычисляется по правилу геометрического сложения ортогональных векторных компонент: 37 RA = X A2 + YA2 + ZA2 (1.26) 8. Подвижная шарнирная опора. Такая связь (рис. 1.28) полностью идентична гладкой опоре. Линия действия реакции перпендикулярна опорной поверхности. G RA A Рис. 1.28. Подвижная шарнирная опора ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ 1. 2. 3. Реакция связи приложена к телу или к связи? Перечислите основные типы связей Сколько компонент реакции имеет каждый тип связей и куда они направлены? 38