Теоремы с доказательствами.Лекция 8.

Лекция 8(28.10.2020) в конце файла . Теорема 0.1. Пусть (X, τ ), (Y, ω) – т.п. Тогда B1 = Bτ × Bω является базой топологии произведения τ × ω. Доказательство. Нужно проверить критерий базы в т.п.. Первое условие B1 ∈ τ × ω следует из определения топологии произведения. Проверим второе условие критерия базы в топологическом пространстве. ∪ ∀W ∈ τ × ω ⇒ W = i∈I Ai × Bi , Ai ∈ τ, Bi ∈ ω ∀i ∈ I. Тогда ∀(a, b) ∈ U ∃Ai0 , Bi0 |(a, b) ∈ Ai0 × Bi0 ⊂ W. Поскольку Bτ , Bω – базы топологий, то ∃U ∈ Bτ , V ∈ Bω |a ∈ U ⊂ Ai0 , b ∈ V ⊂ Bi0 ⇒ (a, b) ∈ U × V ⊂ Ai0 × Bi0 ⊂= W.  Теорема 0.2. (R2 , τ0 ) = (R, τ0 ) × (R, τ0 ). Доказательство. Ранее уже было доказано, что топологии на плоскости с базами, состоящими из открытых дисков с центами в произвольны точках и из открытых прямоугольников совпадают. Определение 0.1. Отображения pr1 : X × Y → X : (x, y) → x, pr2 : X × Y → Y : (x, y) → y называются проекциями. Теорема 0.3. Отображения pri : (X1 × X2 , τ1 × τ2 ) → (Xi , τi ), (i = 1, 2) непрерывны. Топология произведения – слабейшая из топологий на X1 × X2 , относительно которой pri (i = 1, 2) непрерывны. Доказательство. 1. Непрерывность p1 . ∀U ∈ τ ⇒ pr1−1 (U ) = U × X2 ∈ τ1 × τ2 . 2. Пусть µ – топология на X1 × X2 , относительно которой pri (i = 1, 2) непрерывны. ∀U ∈ τ1 ⇒ pr1−1 (U ) ∩ = U × X2 ∈ µ. Аналогично ∀V ∈ τ2 ⇒ pr2−1 (V ) = X1 × V ∈ µ ⇒ U × X2 X1 × V = U × V ∈ µ ⇒ µ ⊃ ττ1 ×τ2 .  Теперь рассмотрим непрерывное отображение в произведение топологических пространств. Теорема 0.4. Пусть (X1 , τ1 ), (X2 , τ2 ) и f : (Y, ω) → (X1 , τ1 ) × (X2 , τ2 ). Отображение f является непрерывным ⇔ fi = pri ◦ f - непрерывны. 1 Доказательство. Изобразим отображения в виде диаграммы Y JJ JJ f JJ i JJ JJ  $ pri / Xi X1 × X2 f 1. ⇒ . Следует из непрерывности композиции. ? 2. ⇐ . Пусть fi = pri ◦ f – непрерывны. ∀U ∈ τ1 × τ2 ⇒ f −1 (U ) ∈ ω. Очевидно, что достаточно проверить для U = U1 × U2 ∈ Bτ1 ×τ2 , Ui ∈ τi . Из непрерывности f1 ⇒ f1−1 (U1 ) = f −1 pr1−1 (U1 ) = f −1 (U1 ×∩ X2 ) ∈ ω. Ана−1 −1 −1 логично f (X U2 ) ∈ ω ⇒ f (U1 × U2 ) = f ((U1 × X2 ) (X1 × U2 )) = ∩1 × −1 −1 f (U1 × X2 ) f (X1 × U2 ) ∈ ω.  Теорема 0.5. Пусть f : (R, τ0 ) → (Rk , τ0 ). Отображение f непрерывно ⇔ оно непрерывно в смысле матанализа. Доказательство. По теореме 0.4 достаточно доказать непрерывность по каждой координате, т.е. непрерывность pri ◦ f. Теперь доказательство следует из результата курса матана, что отображение непрерывно ⇔ когда оно непрерывно по каждой координате. 1. Связность Далее изучаем разные свойства топологических пространств. Определение 1.1. Топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств. В противном случае пространство называется несвязным. Определение 1.2. Подмножество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно в индуцируемой топологии. ∪ Пример 1.1. A = (−1, 1) ∪ ∩(2, 5) ⊂ (R, τ0 ). Пусть U = (−1, 1) ∈ τA , V = (2, 5) ∈ τA ⇒ A = U V, U V = ∅. Поэтому A несвязно. Пример 1.2. Множество рациональных чисел с√индуцированной √ топологией (Q, τ0 ) несвязно. Выберем U = {r ∈ Q|r > 2}, V = q < 2. Тогда ∩ ∪ U V = ∅, U V = R. 2 Теорема 1.1 (Критерий несвязного пространства). Пространство X несвязно тогда и только тогда, когда в нем существует непустое открытозамкнутое множество A ̸= X. Доказательство. ∪ ∩ 1. ⇒ . X = A B, A, B ∈ τ, A B = ∅ ⇒ A = CB ∈ τ ⇒ Поэтому B замкнуто. 2. ⇐ . Пусть A∪– открыто-замкнутое множество, A ̸= ∅, A ̸= X. Тогда ∩ CA ∈ τ ⇒ X = A B, A B = ∅.  Пример 1.3. (X, τD ) – несвязное пространство, т.к. каждое подмножество является открыто-замкнутым. Пример 1.4. (R, τир ) – связное пространство, т.к. не существует открыто-замкнутых множеств, кроме R, ∅. Теорема 1.2. Отрезок (M = [0, 1], τ0 ) связен. ∪ ∩ Доказательство. Пусть [0, 1] = A B, A, B ∈ τM , A B = ∅ и оба непусты. Не ограничивая общности, предположим, что 0 ∈ A. Поскольку A ∈ τM ⇒ ∃c ∈ [0, 1]|[0, c) ⊂ A. Пусть c0 = sup c|c ∈ A. Докажем, что c0 ∈ A. По определению супремума c0 точка прикосновения множества A, т.е. c0 ∈ A = A, т.к. A – открыто-замкнутое множество. Далее, поскольку A ∈ τ, то существует интервал (c1 , c2 )|c0 ∈ (c1 , c2 ) ⊂ A, что противоречит выбору c0 . Таким образом, c0 = 1 ⇒ B = ∅.  Замечание 1.1. Аналогично доказывается, что полуинтервалы [a, b), (a, b] связны. Лекция 8 (26.10.2020) Теорема 1.3. Пусть A ⊂ X и A– связно. Пусть A ⊂ U ∅, U, V ∈ τ. Тогда A ⊂ U или A ⊂ V. ∪ V, U ∩ V = ∩ Доказательство. Метод от противного. Пусть A = A U ̸= ∅, A2 = 1 ∩ A V ̸= ∅ ⇒∪Ai (i = 1, ∩2) открыты в индуцированной топологии τA . Поэтому A = A1 A2 , A1 A2 = ∅, что противоречит связности A.  Теорема 1.4. ∪ Пусть Ai ⊂ X, i ∈ I, каждое Ai связно и Тогда A = i∈I iAi связно. 3 ∩ i∈I Ai ̸= ∅. ∪ ∩ Доказательство. Метод от противного. Пусть A = U V, U V = ∅, U, V ∈ τ ⇒ по теореме 1.3 каждое из Ai принадлежит только одному из множеств U или V. Поскольку их пересечение непусто, то они все принадлежат только одному множеству.  Пример 1.5. Приведем еще один способ доказательства связности полуинтервала ((a, b], τ0 ). (Случай ((a, b), τ0 ) рассматривается аналогично.) Для достаточно представить как объединение ∪ доказательства b−a n≥2 [a + n , b] и воспользоваться теоремой 1.4. Пример 1.6. (R, τ(a,+∞) ). Докажем, что любое подмножество S в этом пространстве связно. М. от противного. Пусть S несвязно. Тогда существует непустое открыто-замкнутое множество F ∈ τS , т.е. ∃U, V ∈ τ(a,+∞) | F = ∩ ∩ U S, F = CV S. Таким ∩ образом,∩существуют открытые в τ(a,+∞) множества U, V | U S = CV S. ? Пусть U = (a, +∞), CV = (−∞, b]. Докажем, что ∀s ∈ S ⇒ a <∩ s ≤ b. ∩ ∧ ∩ М. /U S s ∈ CV S ⇒ U S ̸= ∩ от противного. Если s ≤ a ⇒ s ∈ CV S. Второе условие ∪ s ≥ b проверяется аналогично. М. от противного. ∩ Пусть s ∈ / CV ⇒ U S ̸= CV S. ∩ ∩ Теперь доказано, что S ⊂ (a, b] ⇒ F = S U = CV S = S, т.е. доказано, что единственное открыто-замкнутое множество совпадает с S.  Теорема 1.5. Пусть A – связное подмножество X, тогда связным является любое множество B, лежащее между A и его замыканием A, т.е. A ⊂ B ⊂ A. В частности, замыкание связного множества связно. ∪ ∩ Доказательство. М. от противного. Пусть B = U V, U V = ∅, U ̸= ∅, V ̸= ∅, U, V ∈ τB . Поскольку A – связно, то оно содержится в одном из данных множеств, пусть ∩ ∩ A ⊂ U. Пусть B V ̸= ∅ ⇒ ∃x ∈ B V ⇒ ∩ x ∈ A, т.к. B ⊂ A. При этом V – окрестность точки x, для которой V A = ∅, что противоречит определению точки прикосновения.  Теорема 1.6. Замыкание связного множества связно. Доказательство. Как известно, A ⊂ A ⊂ A. Тогда по теореме 1.5 A связно.  4 Теорема 1.7. Непрерывный образ связного пространства связен. Доказательство. Пусть f : (X, τ ) → (Y, ω), по условию ∪ f (X) =∩Y. Доказательство методом от противного. Пусть f (X) = U V, U V = ∅, U ̸= ∅, V ̸= ∅,∪U, V ∈ ω. ∪ ∩ ∩ Тогда X = f −1 (U V ) = f −1 (U ) f −1 (V ), f −1 (U ) f −1 (V ) = f −1 (U V ) = ∅. Из непрерывности f следует, что f −1 (U ), f −1 (V ) ∈ τ. Получили противоречие со связностью X.  Пример 1.7. Окружность S 1 ⊂ (R2 , τ0 ) связна, как образ отрезка при непрерывном отображении. Определение 1.3. Множество A ⊂ Rn называется выпуклым, если ∀x, y ∈ A отрезок [x, y] ⊂ A. Теорема 1.8. Выпуклое множество в (Rn , τ0 ) связно. М. от противного. Пусть A несвязно. Тогда A = ∪Доказательство. ∩ U ∩V, , U∪ V ∩= ∅, U ̸= ∅, V ̸= ∅, U, V ∈ τA . Пусть a ∈ U, b ∈ V ⇒ [ab] = (U [ab]) (V [ab]), т.е. отрезок несвязен.  Теорема 1.9. Произведение связных пространств связно. Доказательство. Пусть (X, τ ), (Y, ω) – связные топологические пространства. Зафиксируем x0 ∈ X. Тогда f1 : (Y, ω) → (x0 × Y, τT × ω) : (x, y) → (x0 , y) – непрерывное отображение, т.к. прообраз каждого открытого открыт. Тогда пространство (x0 × Y ) – непрерывный образ Y и поэтому связно. Аналогично (X, y0 ) связно для любого y0 ∈ Y. Поскольку (X, y0 ) пересекаются с (x0 , Y ) для каждого x0 ∈ X. Тогда по теореме 1.4 ∪ X × Y = x0 (x0 , Y ) ⊂ U связно.  5