Теоремы с доказательствами.Лекция 7.

Лекция 7(19.10.2020) Теорема 0.1. Пусть (X, τ ), (Y, ω) – т.п. Тогда B1 = Bτ × Bω является базой топологии произведения τ × ω. Доказательство. Нужно проверить критерий базы в т.п.. Первое условие B1 ∈ τ × ω следует из определения топологии произведения. Проверим второе условие критерия базы в топологическом пространстве. ∪ ∀W ∈ τ × ω ⇒ W = i∈I Ai × Bi , Ai ∈ τ, Bi ∈ ω ∀i ∈ I. Тогда ∀(a, b) ∈ U ∃Ai0 , Bi0 |(a, b) ∈ Ai0 × Bi0 ⊂ W. Поскольку Bτ , Bω – базы топологий, то ∃U ∈ Bτ , V ∈ Bω |a ∈ U ⊂ Ai0 , b ∈ V ⊂ Bi0 ⇒ (a, b) ∈ U × V ⊂ Ai0 × Bi0 ⊂= W.  Теорема 0.2. (R2 , τ0 ) = (R, τ0 ) × (R, τ0 ). Доказательство. Ранее уже было доказано, что топологии на плоскости с базами, состоящими из открытых дисков с центами в произвольны точках и из открытых прямоугольников совпадают. Определение 0.1. Отображения pr1 : X × Y → X : (x, y) → x, pr2 : X × Y → Y : (x, y) → y называются проекциями. Теорема 0.3. Отображения pri : (X1 × X2 , τ1 × τ2 ) → (Xi , τi ), (i = 1, 2) непрерывны. Топология произведения – слабейшая из топологий на X1 × X2 , относительно которой pri (i = 1, 2) непрерывны. Доказательство. 1. Непрерывность p1 . ∀U ∈ τ ⇒ pr1−1 (U ) = U × X2 ∈ τ1 × τ2 . 2. Пусть µ – топология на X1 × X2 , относительно которой pri (i = 1, 2) непрерывны. ∀U ∈ τ1 ⇒ pr1−1 (U ) ∩ = U × X2 ∈ µ. Аналогично ∀V ∈ τ2 ⇒ pr2−1 (V ) = X1 × V ∈ µ ⇒ U × X2 X1 × V = U × V ∈ µ ⇒ µ ⊃ ττ1 ×τ2 .  Теперь рассмотрим непрерывное отображение в произведение топологических пространств. Теорема 0.4. Пусть (X1 , τ1 ), (X2 , τ2 ) и f : (Y, ω) → (X1 , τ1 ) × (X2 , τ2 ). Отображение f является непрерывным ⇔ fi = pri ◦ f - непрерывны. 1 Доказательство. Изобразим отображения в виде диаграммы Y JJ JJ f JJ i JJ JJ  $ pri / Xi X1 × X2 f 1. ⇒ . Следует из непрерывности композиции. ? 2. ⇐ . Пусть fi = pri ◦ f – непрерывны. ∀U ∈ τ1 × τ2 ⇒ f −1 (U ) ∈ ω. Очевидно, что достаточно проверить для U = U1 × U2 ∈ Bτ1 ×τ2 , Ui ∈ τi . Из непрерывности f1 ⇒ f1−1 (U1 ) = f −1 pr1−1 (U1 ) = f −1 (U1 ×∩ X2 ) ∈ ω. Ана−1 −1 −1 логично f (X U2 ) ∈ ω ⇒ f (U1 × U2 ) = f ((U1 × X2 ) (X1 × U2 )) = ∩1 × −1 −1 f (U1 × X2 ) f (X1 × U2 ) ∈ ω.  Теорема 0.5. Пусть f : (R, τ0 ) → (Rk , τ0 ). Отображение f непрерывно ⇔ оно непрерывно в смысле матанализа. Доказательство. По теореме 0.4 достаточно доказать непрерывность по каждой координате, т.е. непрерывность pri ◦ f. Теперь доказательство следует из результата курса матана, что отображение непрерывно ⇔ когда оно непрерывно по каждой координате. 1. Связность Далее изучаем разные свойства топологических пространств. Определение 1.1. Топологическое пространство называется связным, если его нельзя представить как объединение двух непустых непересекающихся открытых множеств. В противном случае пространство называется несвязным. Определение 1.2. Подмножество в топологическом пространстве называется связным, если оно связно в индуцируемой топологии. ∪ Пример 1.1. A = (−1, 1) ∪ ∩(2, 5) ⊂ (R, τ0 ). Пусть U = (−1, 1) ∈ τA , V = (2, 5) ∈ τA ⇒ A = U V, U V = ∅. Поэтому A несвязно. Пример 1.2. Множество рациональных чисел с√индуцированной √ топологией (Q, τ0 ) несвязно. Выберем U = {r ∈ Q|r > 2}, V = q < 2. Тогда ∩ ∪ U V = ∅, U V = R. 2 Теорема 1.1 (Критерий несвязного пространства). Пространство X несвязно тогда и только тогда, когда в нем существует непустое открытозамкнутое множество A ̸= X. Доказательство. ∪ ∩ 1. ⇒ . X = A B, A, B ∈ τ, A B = ∅ ⇒ A = CB ∈ τ ⇒ Поэтому B замкнуто. 2. ⇐ . Пусть A∪– открыто-замкнутое множество, A ̸= ∅, A ̸= X. Тогда ∩ CA ∈ τ ⇒ X = A B, A B = ∅.  Пример 1.3. (X, τD ) – несвязное пространство, т.к. каждое подмножество является открыто-замкнутым. Пример 1.4. (R, τир ) – связное пространство, т.к. не существует открытозамкнутых множеств, кроме R, ∅. Теорема 1.2. Отрезок (M = [0, 1], τ0 ) связен. ∪ ∩ Доказательство. Пусть [0, 1] = A B, A, B ∈ τM , A B = ∅ и оба непусты. Не ограничивая общности, предположим, что 0 ∈ A. Поскольку A ∈ τM ⇒ ∃c ∈ [0, 1]|[0, c) ⊂ A. Пусть c0 = sup c|c ∈ A. Докажем, что c0 ∈ A. По определению супремума c0 точка прикосновения множества A, т.е. c0 ∈ A = A, т.к. A – открыто-замкнутое множество. Далее, поскольку A ∈ τ, то существует интервал (c1 , c2 )|c0 ∈ (c1 , c2 ) ⊂ A, что противоречит выбору c0 .  Замечание 1.1. Аналогично доказывается, что полуинтервалы [a, b), (a, b] связны. 3