Теоремы с доказательствами.Лекция 14.

Лекция 14 (07.12.2020). 1. Гладкие многообразия. Для более подробного изучения множеств в топологических пространств хотелось бы иметь у точек координаты также, как и в обычном Rn . Далее обсуждаем эти вопросы. Определение 1.1. Пусть (X, τ ) – хаусдорфово топологическое пространство, удовлетворяющее 2-ой аксиоме счетности (со счетной базой). Картой размерности n на (X, τ ) называется пара (U, f ), где U ∈ τ и отображение f : (U, τU ) → (Rn , τ0 ) – гомеоморфизм U на открытое множество f (U ) ∈ Rn . Пример 1.1. В пространстве (Q, τ0 ) нет ни одной карты, т.к. ни одно открытое множество не гомеоморфно открытому множеству в Rn , поскольку у них разные мощности. Пример 1.2. В пространстве (R, τ[a,b) ) также нет ни одной карты. Как известно, при гомеоморфизме сохраняются компоненты связности. В то же время компонента связности каждой точки в (R, τ[a,b) ) состоит из одной этой точки. Напомним определение из курса матана. Определение  1.2. y1 =    2 y = f :U →V : ...    m y = будем обозначать Пусть U ⊂ Rn , V ⊂ Rm , U, V ∈ τ0 . Отображение f 1 (x1 , x2 , ..., xn ), f 2 (x1 , x2 , ..., xn ), которое далее для краткости ... f m (x1 , x2 , ..., xn ), y i = f i (xα ), α = 1, n, i = 1, m, называется гладким класса C k , если функции f i (xα ) являются дифференцируемыми порядка k. Определение 1.3. Две карты (Ui , fi ), (Uj , fj ) размерности n на топологическом пространстве (M, τ ) называются k-согласованными, если выполнено одно из следующих условий: 1 ∩ 1) Ui ∩ Uj = ∅; 2) Ui Uj ̸= ∅ ⇒ отображения ∩ ∩ fij = fj fi−1 : fi (Ui Uj ) → fj (Ui Uj , fji = fi fj−1 : fj (Ui ∩ Uj ) → fi (Ui ∩ Uj ) являются отображениями класса C k . Функции fij называются функциями перехода от карты (Ui , fi ) к карте (Uj , fj ). Определение 1.4. Пусть (Ui , fi ) – карта размерности n на (X, τ ). Гомеоморфизм fi называют координатным гомеоморфизмом, а набор чисел fi (M ) = (x1i , ...xni ) называются координатами точки M ∈ X относительно карты (Ui , fi ). Определение 1.5. Множество карт размерности n, покрывающих все пространство (X, τ ) называется атласом размерности n и класса C k , k ≥ 0, если каждая пара карт k-согласована. Определение 1.6. Два атласа класса C k на многообразии называются эквивалентными, если их объединение есть атлас класса C k . Определение 1.7. Топологическое хаусдорфово пространство (X, τ ), удовлетворяющее 2-ой аксиоме счетности (со счетной базой), называется n-мерным гладким многообразием класса C k , k ≥ 0, если на нем существует n-мерный атлас класса C k . Если для (X, τ ) существует атлас класса C ∞ , то (X, τ ) называется многообразием класса C ∞ . Многообразие класса C 0 называется топологическим многообразием. Пример построения гладкого атласа и функций перехода для окружности приведен в файле: Лекция 14. пример. Укажем достаточные условия многообразий, которые являются подмножествами в Rn . Теорема 1.1. Пусть f : (R3 , τ0 ) → R : (x, y, z) → f (x, y, z), f ∈ C ∞ . Обозначим Mc = {(x, y, z) ∈ R3 |f (x, y, z) = c} – поверхность уровня функции f (x, y, z) = c. Пусть ∇f |Mc = (fx , fy , fz )|Mc ̸= 0. Тогда (Mc , τ0 ) – гладкое класса C ∞ многообразие размерности 2. 2 Доказательство. Доказательство следует из теоремы о неявной функции. Приведем ее формулировку в нужной форме. Теорема 1.2 (О неявной функции). Пусть выполнены условия теоремы ?? и P0 (x0 , y0 , z0 ) ∈ Mc и ∂f | ̸= 0. Пусть точка Q0 получена ∂z P0 проекцией точки P0 на подпространство R2 = {(x, y)}, т.е. Q0 (x0 , y0 , 0). Тогда ∃I = (z0 − δ, z0 + δ), Dε (Q0 ) ∈ R2 и функция g : Dε (Q0 ) 7→ R : (x, y) 7→ g(x, y) класса C ∞ такая, что: 1)∀(x, y) ∈ Dε (Q0 ) ⇒ f (x, y, g(x, y)) = c, 2) z0 = g(x0 , y0 ), 3) ∀x, y ∈ Dε (Q0 ) ⇒ |z0 − g(x, y)| < δ, 4) функция g(x, y) определена единственным образом. ∩ Другими словами, для точки P0 существует I ×Dε (Q0 ) | UP0 = Mc (I × Dε (Q0 )) совпадает с графиком функции z = g(x, y). Обозначим φP0 : UP0 → Dε : (x, y, z) 7→ (x, y) и докажем, что (UP0 , φP0 ) – карта на Mc . В силу единственности неявной функции g(x, y) отображение φP0 – биекция UP0 на Dε (Q0 ). Поскольку проекция (x, y, z) → (x, y, 0) непрерывное отображение, то и его ограничение на UP0 также непрерывно. Обратное отображение φ−1 P0 : (x, y, 0) 7→ (x, y, g(x, y)) также непрерывно, т.к. по теореме ?? оно является отображением класса C ∞ . Найдем функции ∩ перехода для разных карт. Пусть P0 ∈ UP0 VP0 . Если координатные гомеоморфизмы это проекции на одну и ту же координатную плоскость, то на пересечении окрестностей координатные функции совпадают, т.е. функциями перехода будут тождественные отображения. Поэтому они класса C ∞ . Пусть теперь координатные гомоморфизмы φ1 , φ2 – проекции на разные плоскости, XOY, XOZ, соответственно. Тогда φ1 : {u1 = x, u2 = y} ⇒ φ−1 (u1 , u2 ) = (u1 , u2 , g1 (u1 , u2 )), φ2 : {v1 = x, v2 = z} ⇒ φ2 φ−1 : {v1 = 1 u1 , v2 = g1 (u1 , u2 )} – гладкая функция.  Аналогичный результат справедлив и в случае пространства Rn . Теорема 1.3. Пусть f : Rn → R – функция класса C r и M = {(x1 , x2 , ∂f ..., xn ) ∈ Rn |f (x1 , x2 , ..., xn ) = c = const}, rang( ∂x i )|M = 1. r Тогда M – гладкое многообразие класса C и dimM = n − 1. При этом в качестве локальных координат в каждой карте можно выбрать n − 1 декартовых координат. 3 Пример 1.3. Рассмотрим f : R2 → R : f (x, y) = x2 − y 2 и поверхность уровня этой функции M : f (x, y) = 0. Множество M является парой пересекающихся прямых x + y = 0 и x − y = 0. Докажем, что точка (0, 0) в (M, τ0 ) не имеет окрестности гомеоморфной интервалу на обычной прямой. Рассуждаем методом от противного. Пусть такой гомеоморфизм существует для окрестности U . Тогда ограничение этого гомеоморфизма на множество U \ {(0, 0)} также является гомеоморфизмом, что невозможно, т.к. множество U \ {(0, 0)} имеет 4 компоненты связности, а интервал без точки – только 2 компоненты связности. 4