Теоремы с доказательствами.Лекция 13.

Лекция 13 (30.11.2020). 1. Фактор-топология Определение 1.1. Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквивалентности, если оно 1. рефлексивно, 2. симметрично, 3. транзитивно. Определение 1.2. Пусть X – множество, на котором задано отношение эквивалентности S. Обозначим X/S – множество классов эквивалентности. Отображение π : X → X/S : x → π(x) = [x], которое переводит точку x в соответствующей ей класс [x], называется канонической проекцией. Определение 1.3. Пусть (X, τ ) – т.п. Фактор-топологией на (XS , τS ) называется семейство τS = {A ⊂ X/S | π −1 (A) ∈ τ }. Замечание 1.1. Другими словами, множество в фактор-топологии открыто тогда и только тогда, когда его полный прообраз при канонической проекции открыт. Корректность определения 1.3, т.е. справедливость аксиом топологического пространства для фактор-топологии следует из свойств прообразов множеств. Из определения также следует, что каноническая проекция. Определение 1.4. Пусть X – множество, на котором задано отношение эквивалентности S и A ⊂ X. Множество A называется насыщенным, если вместе с каждой точкой a оно содержит весь класс эквивалентности [a], другими словами насыщенное множество является объединением классов эквивалентности или является полным прообразом некоторого множества относительно канонической проекции. Пример 1.1. Зададим на (R, τ0 ) отношение эквивалентности S : x ∼ y ⇔ sign(x) = sign(y) или x = y = 0. Найдем фактор-топологию на фактор-пространстве (RS , τ0S ). Обозначим классы эквивалентности R/S = {+, −, 0}. Тогда на множестве из 3 точек {+1, −1, 0} фактор-топология τ0S = τ0S = {{+1, −1, 0}, ∅, {+1}, {−1}, {+1, −1}}. 1 Замечание 1.2. Для изучения фактор-пространств полезно иметь критерии, когда (XS , τS ) гомеоморфно какому-либо известному пространству. Для этого будут полезны следующие теоремы. Теорема 1.1. Пусть (X, τ ), (Y, ω) – топологические пространства, S – отношение эквивалентности на X, π : X → X/S – каноническая проекция и g : (XS , τS ) → (Y, ω), причем f = gπ. В этом случае говорят, что следующая диаграмма коммутативна. (X, τ )K . KK f KK KK KK  % g / (XS , τS ) (Y, ω) π Отображение f непрерывно тогда и только тогда, когда g – непрерывно. Доказательство. 1. ⇐ . Пусть g непрерывно. Тогда f непрерывно как композиция непрерывных отображений. 2. ⇒ . Пусть f непрерывно. Докажем, что g непрерывно, т.е. ? ∀A ∈ ω ⇒ g −1 (A) ∈ τS . По условию f −1 (A) = π −1 (g −1 (A)) ∈ τ ⇒ g −1 (A) ∈ τS по определению топологии τS .  Пример 1.2. Отображение π, вообще говоря, не является открытым, т.к. открытое множжество может не быть полным прообразом, т.е. состоять из классов эквивалентности. Пусть на (R, τ0 ) задано отношение с двумя классами эквивалентности 0 = (−∞, 0], 1 = (0, +∞). Пусть A = (−5, −1) ⇒ A ∈ τ, π(A) = 0 ∈ / τf . Часто приходится рассматривать случаи, когда отношение эквивалентности задано с помощью отображения. Определение 1.5. Пусть (X, τ ) – топологическое пространство, Y – некоторое множество (без топологии!) и f : X → Y – некоторое отображение. Зададим на X отношение эквивалентности: x1 ∼ x2 ⇔ f (x1 ) = f (x2 ). Обозначим полученное фактор-пространство (Xf , τf ). Тогда τf называется фактор-топологией на Xf относительно отображения f или топологией, индуцируемой на (X, τ ) отображением f. 2 Пример 1.3. Пусть f : (R, τ0 ) 7→ R : {f (x) = 1, если x ∈ (0, ∞); f (x) = 0, если x = 0; f (x) = −1, если x ∈ (−∞, 0)}. В этом случае (Rf , τ0f ) совпадает с топологией из примера 1.1. Следствие 1.1. Пусть (X, τ ), (Y, ω) – топологические пространства, f (X, τ ) → (Y, ω) – непрерывная сюръекция. Определим отображение fb : (Xf , τf ) → (Y, ω) : [x] 7→ f (x). Тогда fb непрерывно. Доказательство. Имеем следующую коммутативную диаграмму: (X, τ ) . JJ JJ f JJ π JJ J%  fb / (Y, ω) (Xf , τf ) Из теоремы (1.1) следует, что fb непрерывно.  Определение 1.6. Пусть f : (X, τ ) → (Y, ω). Отображение f называется факторным, если fb : (Xf , τf ) → (Y, ω) – гомеоморфизм. Пример 1.4. Пусть f : (R, τ0 ) → (Y, ω), где Y = {+1, 0, −1}, ω = {{+1}, {−1}, {+1, −1}, {+1, 0, −1}, ∅}, f (x) = sign(x). Из примера 1.1 следует, что (Rf , τ0f ) ∼ = (Y, ω), т.е. f факторное. Укажем некоторые достаточные условия факторности отображения. Эти условия не являются необходимыми. Теорема 1.2. Пусть f : (X, τ ) → (Y, ω) – непрерывная сюръекция. Отображение f является факторным, если выполнено одно из следующих условий: 1) f открыто; 2) f замкнуто. Доказательство. Условие f = fbπ полезно записать в виде следующуй коммутативной диаграммы: (X, τ )K KKK KKfK π KKK  % fb / (Y, ω). (Xf , τf ) Из определения отношения эквивалентности следует, что отображение b f – биекция, т.к. прообраз любой точки не пуст, инъективность следует из определения фактор-пространства. 3 1) Достаточно доказать открытость fb, т.к. открытость отображения fb означает непрерывность обратного отображения fb−1 . Докажем, что fb открыто. Пусть A ∈ τf ⇒ π −1 (A) ∈ τ ⇒ f (π −1 (A)) ∈ ω. Из условия f π −1 = fb следует, что fb открыто. 2) аналогично.  Замечание 1.3. Другими словами, факторное отображение – это композиция канонической проекции и некоторого гомеоморфизма. Для проверки замкнутости отображения полезно использовать теорему 2.10 из лекции 12. Пример 1.5. Пусть S 1 = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 = 1} и f : (R, τ0 ) 7→ (S 1 , τ0S1 ) : t 7→ (sin 2πt, cos 2πt). Докажем, что отображение f факторное. Во-первых, f непрерывно, т.к. оно непрерывно в смысле матана. Далее, базу топологии τ0S1 образуют открытые интервалы на окружности, как пересечение открытых дисков на плоскости с окружностью S 1 . Поэтому отображение f открыто, т.к. оно переводит открытые базу обычной топологии на прямой в базу на окружности. Таким образом, по теореме 1.2 оно факторное. Тогда fb : (Rf , τ0f ) → (S 1 , τ0S1 ) – гомеоморфизм. Найдем классы эквивалентности на R по отношению, определенному отображением f, т.е. найдем точки, которые отображаются в одну. Для этого, решая систему sin 2πt1 = sin 2πt2 , cos 2πt1 = cos 2πt2 . получим, что t1 = t2 + 2k, k ∈ Z. Таким образом, классы эквивалентности [x] состоят из точек [x] = {x + n, n ∈ Z}. Теперь доказано, что фактор-пространство (R, τ0 ) по отношению эквивалентности S : {x ∼ y ⇔ x − y = 2k, k ∈ Z} гомеоморфно окружности с топологией индуцированной топологией обычной топологией плоскости. Заметим, что это же фактор-пространство можно отождествить с множеством точек полуинтервала [0, 1). Топология на полученном фактор-пространстве не совпадает с топологией, индуцированной на этом полуинтервале обычной топологией прямой. e0 в фактортопологии удовлетвоДействительно, окрестность нуля U e0 ) ∈ τ0 ⇒ U e0 = [0, ε) ∪(1 − ε, 1) для некоторого ε > 0. ряет условию: π −1 (U 4 Пример 1.6. Определим на ([0, 1], τ0 ) отношение эквивалентности S : {0 ∼ 1}, т.е. отождествляются только две точки 0 и 1, класс эквивалентности каждой другой точки состоит только из этой точки. Докажем, что фактор-пространство по этому отношению так же, как и в предыдущем примере, гомеоморфно окружности на плоскости с индуцированной топологией. Для доказательства опять воспользуемся теоремой 1.2. Поэтому сначала определим отображение f : ([0, 1], τ0 ) → (S 1 , τ0 ), чтобы каждый класс эквивалентности отображался в одну точку, и при этом разные классы должны отображаться в разные точки. Очевидно, что этим условиям удовлетворяет следующее отображение: f : [0, 1] → S 1 : t → (sin 2πt, cos 2πt) ⊂ (R2 , τ0 ). Проверим, что f является факторным. Оно непрерывно, т.к. непрерывно в смысле матана, и замкнуто по теореме 2.10 из лекции 12. Поэтому по теореме 1.2 отображение f является факторным, т.е. пространство ([0, 1]S , τ0S ) гомеоморфно (S 1 , τ0 ). Определение 1.7. Пусть на пространстве (X, τ ) задано отношение эквивалентности S. Если (XS , τS ) гомеоморфно пространству (Y, ω), то говорят, что (Y, ω) можно получить из (X, τ ) склеиванием точек, находящихся в отношении S. Замечание 1.4. Пример 1.6 показывает, что окружность можно получить склеиванием концов отрезка. 5