Теоремы с доказательствами.Лекция 12.

Лекция 12 (23.11.2020) в конце файла. 1. Аксиомы отделимости Определение 1.1. Говорят, что в топологическом пространстве выполняется аксиома: 1) T0 , если по крайней мере у одной из двух точек существует окрестность, не содержащая другой точки. 2) T1 , если у каждой из двух точек существует окрестность, не содержащая другой точки. 3) T2 , если у каждой из двух точек существуют непересекающиеся окрестности. Эта аксиома называется аксиомой Хаусдорфа. 4) T3 , если у каждой точки и замкнутого множества, не содержащего данную точку, существуют непересекающиеся окрестности. Окрестностью множества A называется любое открытое множество, содержащее множество A. 5) T4 , если у двух непересекающихся замкнутых множеств существуют непересекающиеся окрестности. Если в топологическом пространстве (X, τ ) выполнена аксиома Ti , то (X, τ ) называется Ti -пространством. Обозначение (X, τ ) ∈ Ti . T0 -пространство называется колмогоровским, T2 -пространство назы∩ вается хаусдорфовым. Если (X, τ ) ∈∩T1 T3 , то пространство называется регулярным. Если (X, τ ) ∈ T1 T4 , то пространство называется нормальным. Пример 1.1. (R, τ = (−∞, a)) ∈ T0 , (R, τ = (−∞, a)) ∈ / T1 . Теорема 1.1. (X, τ ) ∈ T1 ⇔ каждая точка замкнута. Доказательство. / Uy ⇒ X \ {x} ∪1. ⇒ . Пусть x ∈ X ⇒ ∀y ̸= x ∃Uy | x ∈ = (y̸=x,y∈X) Uy ∈ τ. 2. ⇐ . X \ {x} ∈ τ ⇒ ∀y ̸= x∃Uy |x ∈ Uy ⊂ X \ {x} ⇒ x ∈ / Uy .  Теорема 1.2. Метрическое топологическое пространство является хаусдорфовым, т.е. T2 -пространством. Доказательство. Пусть (X, τd ) – метрическое пространство с метрикой d. ∩ Пусть x, y ∈ X, x ̸= y. Тогда D d(x,y) (x) D d(x,y) (y) = ∅. Поскольку 3 3 D d(x,y) (x), D d(x,y) (y) ∈ τd , то все доказано. . 3 3 1 Определение 1.2. Последовательность в топологическом пространстве называется сходящейся к точке a, если для любой окрестности Ua точки a существует номер N |∀n > N ⇒ xn ∈ Ua . Пример 1.2. Предел последовательности может быть не один, например, в тривиальной топологии. Также в (R, τr ) предел последовательности {1/n} – каждая точка, отличная от нуля. Теорема 1.3. Пусть (X, τ ) ∈ T2 и {an } – последовательность в X. Если последовательность сходится, то ее предел определен единственным образом. Доказательство. Методом от противного. Пусть для последовательности {an } точки x ̸= y являются ∩ пределами. Из аксиомы Хаусдорфа (T2 ) следует, что существуют Ux Uy = ∅. Отсюда приходим к противоречию с определением предела последовательности.  Теорема 1.4. Пусть (X, τ ) ∈ T1 . Тогда каждая окрестность предельной точки множества A содержит бесконечно много точек из A. Доказательство. Пусть x — предельная точка множества A и ∩ Ux – некоторая ее окрестность. ∩ Предположим, что множество B = Ux A конечно. Тогда В = (Ux A) \ {x} замкнуто, как объединение конечного числа замкнутых одноточечных множеств, и, следовательно, множество V = Ux \ B ∈ τ. Тогда ∩ V – окрестность точки x и V A = {x}, тем самым получили противоречие с определением предельной точки множества A.  Теорема 1.5. ∩ Метрическое пространство нормально, т.е. (X, τd ) ∈ T1 T4 . Доказательство. Сначала заметим, что из теоремы 1.2 следует, что (X, τd ) ∈ T2 , а поэтому в нем выполнена аксиома T1 . Пусть A, B – непересекающиеся замкнутые множества. Обозначим d(x, A) = inf {d(x, y)|y ∈ A}. Докажем, что d(x, B) > 0, ∀x ∈ A. Рассуждение методом от противного. Пусть ∃ x ∈ A | d(x, B) = inf {d(x, y)|y ∈ B} = 0. Тогда ∀ε > 0 ∃ y ∈ B | d(x,∩ y) < ε. Последнее означает, что x ∈ B = B, что противоречит условию A B = ∅. Обозначим d∪ x = d(x, B), dy = d(y, ∪ A). Пусть A1 = x∈A D dx (x), B1 = y∈B D dy (y). 2 2 2 ∩ A Докажем, что B1 = ∅. Опять методом от противного. Пусть z ∈ 1 ∩ A1 B1 ⇒ ∃x ∈ A| d(x, z) < d2x , аналогично ∃y ∈ B| d(y, z) < d2y . Не ограничивая общности, будем считать, что dx ≥ dy . Отсюда d(x, y) ≤ y ≤ dx . Противоречие с определением dx .  d(x, z) + d(z, y) < dx +d 2 Определение 1.3. Топологическое пространство называется метризуемым, если топология в этом пространстве порождается некоторой метрикой. Теорема 1.6 (Урысон П.С.). Нормальное пространство со счетной базой метризуемо. Без доказательства. 2. Компактные пространства Определение 2.1. Система σ = {Uα , α ∈ A} подмножеств простран∪ ства X называется покрытием множества Y, если Y ⊂ α∈A Uα . Определение 2.2. Пусть σ = {Uα , α ∈ A} покрытие пространства X. Покрытие σ ′ = {Ui′ , i ∈ I} называется подпокрытием покрытия σ, если σ ′ ⊂ σ. Определение 2.3. Пространство называется компактным, если из каждого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Пример 2.1. (R, τ0 ) некомпактно. Для доказательства достаточно привести пример открытого покрытия, из которого нельзя выбрать никакого конечного подпокрытия. Рассмотрим открытое покрытие {(−n, n), n ∈ N }. Если для него есть конечное подпокрытие, то среди этого конечного числа интервалов есть наибольший. Но никакой конечный интервал не образует покрытие прямой. Определение 2.4. Подпространство в топологическом пространстве называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии. Теорема 2.1. Пусть (X, τ ) – т.п. Подпространство (A, τA ) компактно ⇔ из каждого покрытия подмножества A открытыми в (X, τ ) множествами можно выбрать конечное подпокрытие. 3 Доказательство. ⇒ . Пусть (A, τA ) компактно и∩σ = {Ui , i ∈ I}, Ui ∈ τA . Тогда для каждого Ui существует Vi ∈ τ |Ui = A Vi . Составим покрытие σ e = {Vi , i ∈ I} множества A. По условию из σ можно выбрать конечное подпокрытие множества A. Тогда, очевидно, можно выбрать конечное подпокрытие множества A из σ e. Обратно. Аналогичные рассуждения в обратном порядке.  Лекция 12 (23.11.2020) Теорема 2.2. Всякое бесконечное множество в компактном пространстве имеет хотя бы одну предельную точку. Доказательство. Методом от противного. Пусть множество |A| = ∞ и оно не имеет ни одной точки предельной точки, т.е. у каждой точки есть проколотая окрестность, не содержащая точек множества A. В частности, это выполнено для точек множества A. Тогда оно содержит все свои точки прикосновения. Поэтому A = A, т.е. оно замкнуто и по теореме 2.3 оно компактно.∩По предположению A не имеет предельных точек, то ∀a ∈ A ∃ Ua | Ua A = {a}. Такие окрестности Ua образуют открытое покрытие A, для которого не существует конечного подпокрытия.  Теорема 2.3. Замкнутое подмножество компактного пространства компактно. Доказательство. Пусть A замкнуто. Рассмотрим открытое покрытие σ множества A и добавим к нему открытое множество CA. Это открытое покрытие X, из него можно выбрать конечное подпокрытие σ ′ . Удаляя из σ ′ множество CA, получим конечное подпокрытие множества A.  Часто бывает полезен критерий компактного множества, для формулировки которого сначала потребуется следующее определение. Определение 2.5. Система множеств называется центрированной, если любая ее конечная подсистема имеет непустое пересечение. Теорема 2.4. Топологическое пространство компактно ⇔ каждая замкнутая центрированная система имеет непустое пересечение. Доказательство. 1. ⇒ . Метод от противного. Пусть пространство компактно и Fi , i ∈ I – центрированная система замкнутых множеств, имеющая ∪ пустое пересечение. Рассмотрим открытую систему CFi . Тогда X = i∈I CFi , т.е. CFi образуют открытое покрытие пространства. Из компактности следует, что из 4 этого , k = 1, p. То∪pпокрытия можно выбрать конечное подпокрытие CFik∩ гда k=1 CFik = X, отсюда переходя к дополнению, получим pk=1 Fik = ∅, что противоречит условию центрированности. 2. ⇐ . Метод от противного. Пусть пространство некомпактно, т.е. существует покрытие Ui ∈ τ, i ∈ I, для которого нет конечного подпокрытия. Тогда замкнутая система CUi является центрированной и по условию ∩ имеет непустое пересечение. Теперь из условия i∈I CUi ̸= ∅ получим, что ∪ i∈I ̸= X, что противоречит определению покрытия.  Наша ближайшая цель – получить критерий компактного множества в (Rn , τ0 ). Для этого потребуются следующие теоремы. Теорема 2.5 (Теорема Гейне-Бореля-Лебега). Отрезок ([a, b], τ0 ) компактен. Доказательство. ∪ Пусть [а, b] = α Uα∈A , Uα ∈ τ0 . Обозначим X = {х ∈ (а, b]|отрезок [а, х ] покрывается конечным числом множеств Uα }. Докажем, что X = ̸ ∅. В самом деле, пусть а ∈ Uα0 , тогда [а, а + ε) ∈ Ua0 для некоторого ε > 0, и, отрезок [а, а + ε/2] покрывается всего лишь одним множеством из нашего семейства. Далее, пусть v = sup X, покажем, что v ∈ X. Пусть v ∈ Uβ . Тогда v ∈ (v − ε, v + ε) ⊂ Uβ для некоторого ε. Так как ∩ v — верхняя грань множества X, существует точка ∪ с ∈ (v∪− ε,∪v + ε) X. По определению множества X имеем∪[а, c]∪⊂ U∪α1 U∪ ... Uαn для каких-то α1 , ..., αn , α2 поэтому [a, v] ⊂ Uα1 Uα2 ... Uαn Uβ . Таким образом, v ∈ X. Покажем, наконец, что v = b. В самом деле, пусть v ∈ Uβ , если v < b, то имеем (v − ε, v + ε) ⊂ Uβ для некоторого ε > 0. Тогда, добавляя, если надо, множество Uβ к конечному семейству множеств Uα , покрывающих [a, v], получаем, что, скажем, v + ε/2 ∈ X, в противоречие с тем, что v = sup X.  Теорема 2.6. Компактное подмножество в хаусдорфовом пространстве замкнуто. Доказательство. Пусть A – компактно в T2 -пространстве (X, τ ). Докажем, что A замкнуто. Докажем, что CA ∈ τ. Пусть p ∈ CA, тогда ∩ a T2 a ∀a ∈ A ⇒ ∃ U , U | U Up = ∅. Составим покрытие множества A ⊂ a a p ∪ a a∈A Up . В силу компактности A из него можно выбрать ∩ конечное ∩ ∩ подпо∩ крытие, обозначим его U1 , ...Uk . Тогда, очевидно, что U1 U2 ... Uk – окрестность точки p, которая не пересекается с A, т.е. CA ∈ τ.  5 Теорема 2.7. Непрерывный образ компактного пространства компактен. Доказательство. Пусть (X, τ ) – компактное топологическое пространство и f : (X, τ ) → (Y, ω) – непрерывное отображение, причем f (X) = Y. Пусть {Ua , a ∈ A} – открытое покрытие пространства (Y, ω). Тогда {f −1 (Ua ), a ∈ A} – открытое покрытие пространства (X, τ ), для него по условию найдется конечное подпокрытие, образ которого будет конечным подпокрытием для покрытия {Ua , a ∈ A}.  Теорема 2.8. Топологическое произведение двух компактных пространств компактно. Доказательство. Пусть (X, τ ), (Y, ω) – компактные ∪ топологические пространства. Пусть дано открытое покрытие X×Y = µ∈Γ Wµ ⇒ ∀(x, y) ∈ X × Y ∃Ui × Vα | (x, y) ∈ Ui × Vα ⊂ Wµ0 для некоторого µ0 , где Ui , Vα – элементы баз топологий τ и ω, соответственно. Поэтому достаточно доказать существование конечного подпокрытия для любого покрытия множествами вида Ui × Vα . Фиксируем x0 ∈ X. Тогда {x0 } × Y компактно, как непрерывный образ Y. Выберем конечное покрытие Ui1 × Vα1 , Ui2 × Vα2 , ..., Uin ×∩Vαn из покрытия пространства {x0 } × Y. Составим множество Ux0 = nk=1 Uik . Тогда множества Uik × Vαk , k = 1, n образуют покрытие множества U (x0 ) × Y. Для каждого x ∈ X построим аналогичное конечное покрытие множества U (x) × Y. ∪ Составим открытое покрытие X × Y = x∈X ∪s U (x) × Y. В силу компактности X найдем конечный набор U (xp )|X = p=1 U (xp ). Теперь каждое множество U (xp ) × Y покрывается конечным числом множеств, тогда и для X × Y также найдется конечное подпокрытие.  Следствие 2.1. Параллелепипед I n = [a1 , b1 ] × [a2 , b2 ] × ... × [an , bn ] ⊂ (Rn , τ0 ) – компактное подмножество. Доказательство. Доказательство следует из теоремы Гейне-Бореля и теоремы 2.8.  Определение 2.6. Подмножество в Rn называется ограниченным, если существует параллелепипед I n = [a1 , b1 ]×[a2 , b2 ]×...×[an , bn ], содержащий это множество. Теорема 2.9 (Критерий компактности в Rn ). Подмножество в Rn компактно тогда и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено. 6 Доказательство. 1. ⇐ . Пусть A замкнуто в (Rn , τ0 ) и ограничено. Тогда существует I n | A ⊂ I n . Как известно, I n – замкнутое множество, тогда A замкнуто в τI n . По следствию 2.1 I n – компактное множество, а в силу теоремы 2.3 замкнутое множество A в компактном пространстве (I n , τI n ) компактно. 2 ⇒ . Пусть A компактно. Построим его открытое покрытие множествами вида Um = (−m, m) × (−m, m) × ... × (−m, m) = (−m, m)n , m ∈ N. Эти множества образуют покрытие A, т.к. они образуют покрытие Rn . В силу компактности из этого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Выбирая в этом конечном покрытии наибольшее множество Um0 , получим, что A ⊂ Um0 , т.е. ограниченность A доказана. По теореме 2.6 компактное множество A в хаусдорфовом пространстве n (R , τ0 ) является замкнутым.  Определение 2.7. Отображение одного топологического пространства в другое называется замкнутым, если образ каждого замкнутого множества замкнут. Теорема 2.10. Непрерывное отображение компактного пространства в хаусдорфово пространство является замкнутым. Доказательство. Пусть f : (X, τ ) → (Y, ω), A ⊂ X и A замкнуто. Тогда A компактно по теореме 2.3. В силу теоремы 2.7 множество f (A) компактно. Наконец, по теореме 2.6 множество f (A) замкнуто.  Теорема 2.11 (Вейерштрасс). Непрерывная функция f : (X, τ ) 7→ (R, τ0 ) на компактном пространстве ограничена и достигает на X своей верхней (нижней) грани. Доказательство. По теореме 2.7 множество f (X) компактно, поэтому по критерию компактности в (R, τ0 ) оно ограничено и замкнуто, т.е. оно содержит все свои предельные точки.  Далее получим важный признак гомеоморфизма. Теорема 2.12. Непрерывное биективное отображение f : (X, τ ) 7→ (Y, ω) компактного пространства является гомеоморфизмом. Доказательство. Из теоремы 2.10 следует замкнутость отображения f. Докажем, что непрерывность f −1 эквивалентна замкнутости отображения f. Будет удобно обозначить g = f −1 : (Y, ω) 7→ (X, τ ). Пусть A – замкнутое множество в X. Тогда g −1 (A) = f (A) – замкнутое множество, т.е. f −1 непрерывно.  7