Теоремы с доказательствами.Лекция 11.

Лекция 11 (16.11.2020) 1. Аксиомы отделимости Определение 1.1. Говорят, что в топологическом пространстве выполняется аксиома: 1) T0 , если по крайней мере у одной из двух точек существует окрестность, не содержащая другой точки. 2) T1 , если у каждой из двух точек существует окрестность, не содержащая другой точки. 3) T2 , если у каждой из двух точек существуют непересекающиеся окрестности. Эта аксиома называется аксиомой Хаусдорфа. 4) T3 , если у каждой точки и замкнутого множества, не содержащего данную точку, существуют непересекающиеся окрестности. Окрестностью множества A называется любое открытое множество, содержащее множество A. 5) T4 , если у двух непересекающихся замкнутых множеств существуют непересекающиеся окрестности. Если в топологическом пространстве (X, τ ) выполнена аксиома Ti , то (X, τ ) называется Ti -пространством. Обозначение (X, τ ) ∈ Ti . T0 -пространство называется колмогоровским, T2 -пространство назы∩ вается хаусдорфовым. Если (X, τ ) ∈∩T1 T3 , то пространство называется регулярным. Если (X, τ ) ∈ T1 T4 , то пространство называется нормальным. Пример 1.1. (R, τ = (−∞, a)) ∈ T0 , (R, τ = (−∞, a)) ∈ / T1 . Теорема 1.1. (X, τ ) ∈ T1 ⇔ каждая точка замкнута. Доказательство. / Uy ⇒ X \ {x} ∪1. ⇒ . Пусть x ∈ X ⇒ ∀y ̸= x ∃Uy | x ∈ = (y̸=x,y∈X) Uy ∈ τ. 2. ⇐ . X \ {x} ∈ τ ⇒ ∀y ̸= x∃Uy |x ∈ Uy ⊂ X \ {x} ⇒ x ∈ / Uy .  Теорема 1.2. Метрическое топологическое пространство является хаусдорфовым, т.е. T2 -пространством. Доказательство. Пусть (X, τd ) – метрическое пространство с метрикой d. ∩ Пусть x, y ∈ X, x ̸= y. Тогда D d(x,y) (x) D d(x,y) (y) = ∅. Поскольку 3 3 D d(x,y) (x), D d(x,y) (y) ∈ τd , то все доказано. . 3 3 1 Определение 1.2. Последовательность в топологическом пространстве называется сходящейся к точке a, если для любой окрестности Ua точки a существует номер N |∀n > N ⇒ xn ∈ Ua . Пример 1.2. Предел последовательности может быть не один, например, в тривиальной топологии. Также в (R, τr ) предел последовательности {1/n} – каждая точка, отличная от нуля. Теорема 1.3. Пусть (X, τ ) ∈ T2 и {an } – последовательность в X. Если последовательность сходится, то ее предел определен единственным образом. Доказательство. Методом от противного. Пусть для последовательности {an } точки x ̸= y являются ∩ пределами. Из аксиомы Хаусдорфа (T2 ) следует, что существуют Ux Uy = ∅. Отсюда приходим к противоречию с определением предела последовательности.  Теорема 1.4. Пусть (X, τ ) ∈ T1 . Тогда каждая окрестность предельной точки множества A содержит бесконечно много точек из A. Доказательство. Пусть x — предельная точка множества A и ∩ Ux – некоторая ее окрестность. ∩ Предположим, что множество B = Ux A конечно. Тогда В = (Ux A) \ {x} замкнуто, как объединение конечного числа замкнутых одноточечных множеств, и, следовательно, множество V = Ux \ B ∈ τ. Тогда ∩ V – окрестность точки x и V A = {x}, тем самым получили противоречие с определением предельной точки множества A.  Теорема 1.5. ∩ Метрическое пространство нормально, т.е. (X, τd ) ∈ T1 T4 . Доказательство. Сначала заметим, что из теоремы 1.2 следует, что (X, τd ) ∈ T2 , а поэтому в нем выполнена аксиома T1 . Пусть A, B – непересекающиеся замкнутые множества. Обозначим d(x, A) = inf {d(x, y)|y ∈ A}. Докажем, что d(x, B) > 0, ∀x ∈ A. Рассуждение методом от противного. Пусть ∃ x ∈ A | d(x, B) = inf {d(x, y)|y ∈ B} = 0. Тогда ∀ε > 0 ∃ y ∈ B | d(x,∩ y) < ε. Последнее означает, что x ∈ B = B, что противоречит условию A B = ∅. Обозначим d∪ x = d(x, B), dy = d(y, ∪ A). Пусть A1 = x∈A D dx (x), B1 = y∈B D dy (y). 2 2 2 ∩ A Докажем, что B1 = ∅. Опять методом от противного. Пусть z ∈ 1 ∩ A1 B1 ⇒ ∃x ∈ A| d(x, z) < d2x , аналогично ∃y ∈ B| d(y, z) < d2y . Не ограничивая общности, будем считать, что dx ≥ dy . Отсюда d(x, y) ≤ y ≤ dx . Противоречие с определением dx .  d(x, z) + d(z, y) < dx +d 2 Определение 1.3. Топологическое пространство называется метризуемым, если топология в этом пространстве порождается некоторой метрикой. Теорема 1.6 (Урысон П.С.). Нормальное пространство со счетной базой метризуемо. Без доказательства. 2. Компактные пространства Определение 2.1. Система σ = {Uα , α ∈ A} подмножеств простран∪ ства X называется покрытием множества Y, если Y ⊂ α∈A Uα . Определение 2.2. Пусть σ = {Uα , α ∈ A} покрытие пространства X. Покрытие σ ′ = {Ui′ , i ∈ I} называется подпокрытием покрытия σ, если σ ′ ⊂ σ. Определение 2.3. Пространство называется компактным, если из каждого открытого покрытия можно выбрать конечное подпокрытие. Пример 2.1. (R, τ0 ) некомпактно. Для доказательства достаточно привести пример открытого покрытия, из которого нельзя выбрать никакого конечного подпокрытия. Рассмотрим открытое покрытие {(−n, n), n ∈ N }. Если для него есть конечное подпокрытие, то среди этого конечного числа интервалов есть наибольший. Но никакой конечный интервал не образует покрытие прямой. Определение 2.4. Подпространство в топологическом пространстве называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии. Теорема 2.1. Пусть (X, τ ) – т.п. Подпространство (A, τA ) компактно ⇔ из каждого покрытия подмножества A открытыми в (X, τ ) множествами можно выбрать конечное подпокрытие. 3 Доказательство. ⇒ . Пусть (A, τA ) компактно и∩σ = {Ui , i ∈ I}, Ui ∈ τA . Тогда для каждого Ui существует Vi ∈ τ |Ui = A Vi . Составим покрытие σ e = {Vi , i ∈ I} множества A. По условию из σ можно выбрать конечное подпокрытие множества A. Тогда, очевидно, можно выбрать конечное подпокрытие множества A из σ e. Обратно. Аналогичные рассуждения в обратном порядке.  4