Теоремы о моменте количества движения материальной точки и механической системы

20.2. Теоремы о моменте количества движения материальной точки и механической системы Рассмотрим движение точки массы m под действием силы F . Уравнение движения ее m d F dt умножим векторно слева на радиус-вектор r , получим r m d  r F dt Левую часть этого равенства преобразуем следующим образом: r m так как dr  dt и d d  dr  d   r  m     m    r  m  dt dt  dt  dt   m  0 . С учетом этого имеем d  r  m   r  F dt (20.10) 1 Вектор  r  m  представляет собой момент количества движения точки относительно начала координат, а вектор r  F – это момент силы F относительно того же центра. Равенство (20.10) выражает теорему о моменте количества движения точки: производная по времени от момента количества движения материальной точки относительно некоторого центра равна моменту равнодействующей приложенных к точке сил, относительно того же центра. В проекциях на оси декартовых координат Oxyz из (20.10) получим три уравнения d   m  yz  zy    yZ  zY ,  dt  d   m  zx  xz    zX  xZ ,  (20.10´) dt  d   m  xy  yx    xY  yX . dt  d 1 По определению секториальной скорости точки   r    учитывая это, теореме dt 2 (20.10) можно придать следующий вид: d 2 2m 2  r  F dt где d 2  dt 2 – секториальное ускорение. (20.11) 2 Применим теперь эту теорему для описания движения системы из n материальных точек. Для каждой точки системы справедливо равенство (20.10) и так как результирующую сил, приложенных к k-й точке, делим на внешнюю и внутреннюю e i составляющие, т.е. Fk  Fk  Fk , то получим d  rk  mk k   rk  Fke  rk  Fki , k  1, n. dt Суммируя эти равенства по k всем и меняя порядок суммирования и дифференцирования, будем иметь n n d n e i r  m   r  F  r  F       k k k   k k k k  dt k 1 k 1 k 1 По определению (20.2) n  r  m    K k 1 k k k O – кинетический момент системы относительно центра О; по свойству внутренних сил (18.13) сумма n  r  F   M k 1 k e k e O n  r  F   0 k 1 k i k ; определяет главный момент внешних сил системы относительно центра О. Таким образом, получаем теорему о кинетическом моменте системы: dKO  M Oe dt (20.12) 3 т.е. производная по времени от главного момента количеств движения системы относительно какого-либо неподвижного центра равна главному моменту внешних сил системы относительно того же центра. Проектируя (20.12) на оси Oxyz, получим dK y dK x dK z  M xe ,  M ye ,  M ze dt dt dt (20.13) e где Kx, Ky, Kz определяются по формулам (20.3), а M xe , M ye , M ze – проекции вектора M O на оси Oxyz, и они представляют собой главные моменты внешних сил системы относительно осей координат. Теоремы (20.12) и (20.13) служат для описания движения системы вокруг некоторого центра или оси. n n  K x   mx  mk k    mk  yk zk  zk y k ,  k 1 k 1  n n  K y   m y  mk k    mk  zk xk  xk zk ,  k 1 k 1  n n  K z   mz  mk k    mk  xk y k  yk xk .  k 1 k 1  (20.3) 4 20.3. Уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси Рассмотрим вращение механической системы вокруг неподвижной оси Oz с угловой скоростью, проекцию которой на ось Oz обозначим через . Кинетический момент системы относительно оси Oz согласно (20.8) будет Kz=Izω. Подставляя это выражение в последнее уравнение (20.13), получим d  I z  dt  M ze (20.14) Момент инерции Iz изменяемой системы может быть переменной величиной, поэтому в общем случае его нельзя выносить из под знака производной. В неизменяемой механической системе расстояния точек ее до оси Oz не меняются, поэтому Iz=const. Вынося Iz из под знака производной, уравнение (20.14) можно представить следующим образом: 2 d d  Iz  M ze или I z 2  M ze dt dt (20.15) Абсолютно твердое тело является неизменяемой системой, следовательно, вращение его вокруг неподвижной оси будет описываться уравнением (20.15) и из него интегрированием находится закон вращения тела φ=φ(t). 5 Сравним уравнение (20.15) с уравнением поступательного движения тела: Отсюда видим, что эти дифференциальные уравнения совершенно одинаковые и что момент инерции в уравнении (20.15) играет такую же роль, как масса в уравнении поступательного движения тела. Таким образом, еще раз отметим, что момент инерции характеризует инертность тела при вращательном движении. И еще, для запоминания отметим, что утверждение, относящееся к поступательному движению тела, переносится на вращательное движение, если заменить слово скорость словами угловая скорость слово ускорение словами угловое ускорение слово масса словами момент инерции слово сила словами момент силы 6 20.4. Законы сохранения – интегралы площадей а) Движение точки. Центральные силы. Из теоремы (20.10) получаются первые интегралы – законы сохранения, если r  F  0 . d  r  m   r  F dt d 2 2m 2  r  F dt (20.10) (20.11) F  0 момент ее относительно центра будет равен нулю, если линия действия силы F все время будет проходить через этот центр, т.е. векторы r и F будут При параллельны друг другу. Такие силы называются центральными. При движении точки под действием центральной силы, как следует после интегрирования из (20.10) и (20.11), во все время движения будет r    c или d c  dt 2 (20.16) где c  c1 , c2 , c3  – векторная константа. В проекциях на оси координат Oxyz из (20.16) получаются три скалярных первых интеграла: yz  zy  c1   zx  xz  c2  xy  yx  c3  (20.16') 7 Интегралы (20.16), (20.16') называются интегралами площадей, так как в левой части их стоят величины, имеющие размерность секториальной скорости м2/с. Так как по (20.16) вектор r  имеет в пространстве постоянное направление, перпендикулярное плоскости векторов r и  , то векторы r и  лежат все время в одной плоскости, а значит, траектория точки лежит в этой плоскости. Уравнение этой плоскости получается из (20.16'), если умножить эти уравнения соответственно на x, y, z и сложить, будем иметь с1 x  с2 y  с3 z  0 Таким образом, при движении точки под действием центральной силы траектория ее расположена в неизменяемой плоскости, а ее радиус-вектор описывает в равные промежутки времени равные площади, т.е. секториальная скорость постоянна (закон Кеплера). Если r  F  0 , но момент силы относительно какой-либо оси равен нулю, т.е. линия действия силы пересекает ось или параллельна ей, то из (20.10') получим один   скалярный первый интеграл. Пусть, например, mz F  xY  yX  0 , тогда из третьего уравнения (20.10') получим xy  yx  const (20.17) 8 d   m  yz  zy    yZ  zY ,  dt  d   m  zx  xz    zX  xZ ,  dt  d   m  xy  yx    xY  yX . dt  (20.10') Если в плоскости, перпендикулярной оси Oz, ввести полярные координаты x=ρcos(φ), y=ρsin(φ), то интеграл (20.17) примет вид: xy  yx  const (20.17) 2   const (20.17') При решении практических задач чаще всего используются интегралы площадей в форме (20.17) и (20.17'). 9 б) Движение системы. Если на систему действуют только внутренние силы, а главный момент внешних сил M Oe  0 , то из (20.12), интегрируя, получим т.е. при M Oe  0 dKO  M Oe dt (20.12) K O  const (20.18) кинетический момент системы постоянен и плоскость, перпендикулярная к вектору K O , имеет постоянную ориентацию в пространстве и называется неизменяемой плоскостью Лапласа. В проекциях на оси Oxyz интеграл (20.18) дает три скалярных интеграла n K x   mk  yk zk  zk y k   c1 k 1 n K y   mk  zk xk  xk zk   c2 (20.18') k 1 n K z   mk  xk y k  yk xk   c3 k 1 Эти интегралы также называются интегралами (теоремами) площадей. 10 Если M Oe  0 , но, например, момент внешних сил относительно оси Oz равен нулю M ze  0 тогда, интегрируя третье уравнение из (20.13), будем иметь n K z   mk  xk y k  yk xk   const (20.19) k 1 e В случае вращения системы вокруг оси Oz при M z  0 из (20.14), интегрируя, получим I z   const (20.19') Из (20.19') можно сделать следующие выводы: 1) Если система неизменяемая, т.е. Iz=const, тогда в силу (20.19') угловая скорость e ω=const и, значит, система при M z  0 равномерно вращается вокруг оси Oz. 2) Если система изменяемая, то под действием внутренних сил отдельные ее точки могут удаляться от оси, что приведет к увеличению момента инерции Iz, или приближаться, что приведет к уменьшению величины Iz. Но так как по (20.19') Izω=const, то при увеличении Iz угловая скорость  уменьшится и наоборот. Таким образом, действием внутренних сил можно изменить угловую скорость системы, так как в общем случае из постоянства Kz не следует постоянство . 11 Пусть система состоит из n тел, каждое из которых вращается вокруг одной и той же оси Oz со своей угловой скоростью ωk. Тогда кинетический момент системы относительно оси Oz будет равен K z  I z11  I z 2 2    I zn n где Izk – моменты инерции тел системы относительно оси вращения. e При M z  0 из (20.19) будем иметь n I zk k  const (20.20) k 1 Это равенство дает зависимость между угловыми скоростями тел, образующих систему. e Если в начальный момент t=0 система покоилась, т.е. Kz=0, то при M z  0 кинетический момент Kz=0 во все время, поэтому если под действием внутренних сил одни части системы начнут вращаться в некотором направлении, то другие придут во вращение в противоположном направлении так, чтобы Kz=0. При решении задач равенства (20.18)–(20.20) составляются для некоторого начального положения системы или начального момента времени и приравниваются таким же выражениям для другого положения или момента времени и из полученных уравнений находят неизвестные величины. Например, (20.20) можно записать в виде  n   n  I   I    zk k    zk k   k 1 1  k 1 2 12