Теоремы динамики

17. Теоремы динамики 17.1. Динамика механической системы Система материальных точек или механическая система – Совокупность материальных точек или материальных тех, объединяемых общими законами взаимодействия (положение или движение каждой из точек или тела зависит от положения и движения всех остальных). Система свободных точек - движение которых не ограничивается никакими связями (например, планетная система, в которой планеты рассматриваются как материальные точки). Система несвободных точек или несвободная механическая система – движение материальных точек или тел ограничиваются наложенными на систему связями (например, механизм, машина и т.п.). 17. Теоремы динамики 17.1. Динамика механической системы Силы, действующие на систему. 1. Внешние силы (e) – действующие на точки и тела системы со стороны точек или тел, не входящих в состав данной системы. 2. Внутренние силы (i) – силы взаимодействия между материальными точками или телами, входящими в данную систему. Одна и та же сила может являться как внешней, так и внутренней силой. Все зависит от того, какая механическая система рассматривается. Например: В системе Солнце, Земля и Луна все силы тяготения между ними являются внутренними. При рассмотрении системы Земля и Луна силы тяготения, приложенные со стороны Солнца – внешние: Л C З 17. Теоремы динамики 17.1. Динамика механической системы На основании закона действия и противодействия каждой внутренней силе Fk соответствует другая внутренняя сила Fk’, равная по модулю и противоположная по направлению. Из этого следуют два замечательных свойства внутренних сил: 1. Главный вектор всех внутренних сил системы равен нулю: R i   Fki  0. 2. Главный момент всех внутренних сил системы относительно любого центра равен нулю: i M Oi   M kO  0. Или в проекциях на координатные оси: i i i X  ; Y  ; Z  k  k  k  0.  M kxi  0;  M kyi  0;  M kzi  0. 17. Теоремы динамики 17.1. Динамика механической системы i i i X  ; Y  ; Z  k  k  k  0. i M  kx  0; i M  ky  0; i M  kz  0. Замечание. Хотя эти уравнения похожи на уравнения равновесия, они таковыми не являются, поскольку внутренние силы приложены к различным точкам или телам системы и могут вызывать движение этих точек (тел) относительно друг друга. Из этих уравнений следует, что внутренние силы не влияют на движение системы, рассматриваемой как одно целое. 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о движении центра масс Для описания движения системы в целом вводится геометрическая точка, называемой центром масс, радиус-вектор которой определяется выражением , mk rk  rC  , M где M – масса всей системы: z m1 r1 rC m2 O yC mk x k  xC  , M zC r2 x mk C r k M   mk . rn xС mn mk y k  yC  , M mk z k  zC  . M Формулы для центра масс аналогичны y формулам для центра тяжести. Однако, понятие центра масс более общее, поскольку оно не связано с силами тяготения или силами тяжести. 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о движении центра масс Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой точке силы разделим на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki. Запишем для каждой точки основное уравнение динамики: mk ak  Fk  Fk e i mk d 2 rk dt 2  Fke  Fki . Просуммируем эти уравнения по всем точкам:  mk d 2 rk dt 2   Fke   Fki . Re Ri  0 d2 e ( m r )  R . 2  k k dt 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о движении центра масс d2 e ( m r )  R . 2  k k dt MrC   mk rk . Из определения центра масс: d2 e ( M r )  R C 2 dt M d 2 rC dt 2 MaC  R  Re e Произведение массы системы на ускорение ее центра массе равно главному вектору внешних сил. Центр масс системы движется как материальная точка массой, равной массе всей системы, к которой приложены все внешние силы, действующие на систему. Mx  R ex  X e; C MyC  R ey MzC  R ez   Y  Z k e k ; e k . 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о движении центра масс Следствия из теоремы о движении центра масс системы (законы сохранения): 1. Если в интервале времени [t1, t2] главный вектор внешних сил системы равен нулю, Re = 0, то скорость центра масс постоянна, vC = const (центр масс движется равномерно прямолинейно – закон сохранения движения центра масс). 2. Если в интервале времени [t1, t2] проекция главного вектора внешних сил системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, то скорость центра масс по оси x постоянна, vCx = const (центр масс движется по оси равномерно). Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z. 3. Если в интервале времени [t1, t2] главный вектор внешних сил системы равен нулю, Re = 0, и в начальный момент скорость центра масс равна нулю, vC = 0, то радиус-вектор центра масс остается постоянным, rC = const (центр масс находится в покое – закон сохранения положения центра масс). 4. Если в интервале времени [t1, t2] проекция главного вектора внешних сил системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, и в начальный момент скорость центра масс по этой оси равна нулю, vCx = 0, то координата центра масс по оси x остается постоянной, xC = const (центр масс не движется по этой оси). Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z. 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о движении центра масс Пример: Два человека массами m1 и m2 находятся в лодке массой m3. В начальный момент времени лодка с людьми находилась в покое. Определить перемещение лодки, если человек массой m2 пересел к носу лодки на расстояние а. 1. Объект движения (лодка с людьми): y 2. Отбрасываем связи (воду): 3. Заменяем связь реакцией: 4. Добавляем активные силы: G1 O G2 G3 MxC  0 R x 5. Записываем теорему о центре масс: MaC  R e  G1  G2  G3  xC  const  0 xC  const N  mk xk 0  mk xk 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о движении центра масс y x1 x2 а G1 O G2 G3 x3 x  mk xk 0  mk xk R m1 x1  m2 x2  m3 x3  m1 ( x1  l )  m2 ( x2  l  a)  m3 ( x3  l ) Лодка переместится на расстояние l в 0  m1l  m2 (l  a)  m3l противоположную сторону. Определим на какое расстояние надо пересесть человеку массы m1, чтобы лодка осталась на месте: m2 a l m1  m2  m3 m1 x1  m2 x2  m3 x3  m1 ( x1  b)  m2 ( x2  a)  m3 x3 . b   m2 a. m1 0  m1b  m2 a. 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о движении центра масс 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о движении центра масс 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о количестве движении Количество движения точки – мера механического движения, определяемая вектором, равным произведению массы точки на вектор ее скорости: m Q v Q  mv . Количество движения системы материальных точек – геометрическая сумма количеств движения материальных точек: Q  Q1  Q2  ...  Qn   Qk . drk d Q   Qk   mk vk   mk  ( mk rk ). По определению центра масс: dt dt MrC   mk rk . d drC Q  (Mrc )  M  MvC dt dt Q  MvC Вектор количества движения системы равен произведению массы всей системы на вектор скорости центра масс системы. В проекциях на координатные оси: Qx  MxC ; Qy  MxC ; Qy  MxC . 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о количестве движении Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой точке силы разделим на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki. Запишем для каждой точки основное уравнение динамики: dv e i mk ak  Fk  Fk mk k dt  Fke  Fki . Просуммируем эти уравнения по всем точкам: dvk e m  R  k dt dvk   Fke   Fki .  mk dt d ( mk vk )  R e dt Re dQ m v  Q  kk  Re Ri  0 dt Производная вектора количества движения системы по времени равна главному вектору внешних сил системы. dQx e e dQу  Rx   X k ;  R eу   Yke ; dt dt В проекциях на координатные оси: dQz  R ez   Z ke . dt 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о количестве движении dQ  Re dt Следствия из теоремы об изменении количества движения системы (законы сохранения): 1. Если в интервале времени [t1, t2] главный вектор внешних сил cистемы равен нулю, Re = 0, то вектор количества движения постоянен, Q = const – закон сохранения количества движения системы). 2. Если в интервале времени [t1, t2] проекция главного вектора внешних сил системы на ось x равна нулю, Rxe = 0, то проекция количества движения системы на ось x постоянна, Qx = const. Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z. 17. Теоремы динамики 17.2. Теорема о количестве движении Пример: Граната массы M, летевшая со скоростью v, разорвалась на две части. Скорость одного из осколков массы m1 возросла в направлении движения до величины v1. Определить скорость второго осколка. v β G2  1. Объект движения (граната): 2. Объект - связи и их реакции отсутствуют. 3. Добавляем активные силы: 4. Записываем теорему об изменении количества движения: dQ e G1 dt dQτ Проецируем на ось  :  m1 g cos   m2 g cos   0. dt Q t Q0  R  G1  G2 .  dQτ   (m1 g cos   m2 g cos  )dt  0. Qτ  Qτ 0  0 или Qτ 0  Qτ Правый интеграл практически равен нулю, т.к. время взрыва t<<1. Mv  m1v1  m2v2 Mv  m1v1 v2  v2 m2 17. Теоремы динамики 17.3. Теорема о моменте количестве движении Момент количества движения точки или кинетический момент движения относительно некоторого центра – мера механического движения, определяемая вектором, равным векторному произведению радиуса-вектора материальной точки на вектор ее количества движения: KO  r  Q  r  mv Q v m KO r i KO  r  mv  x mvx j y mv y k K x  y(mv z )  z (mv y ); z K y  z (mv x )  x(mv z ); mvz K z  x(mv y )  y(mv x ). O Кинетический момент системы материальных точек относительно некоторого центра – геометрическая сумма моментов количеств движений всех материальных точек относительно этого же центра: K O  K1O  K 2O  ...  K nO   KiO  ri  mi vi . В проекциях на оси: K x   Kix ; K y   Kiy ; K z   Kiy . 17. Теоремы динамики 17.3. Теорема о моменте количестве движении Рассмотрим систему n материальных точек. Приложенные к каждой точке силы разделим на внешние и внутренние и заменим их на соответствующие равнодействующие Fke и Fki. Запишем для каждой точки основное уравнение динамики: dv e i mk ak  Fk  Fk  Fke  Fki . dt dvk Умножим векторно каждое из равенств rk  mk  rk  Fke  rk  Fki . dt на радиус-вектор слева: Просуммируем эти уравнения по всем точкам: mk  rk  mk k dvk   rk  Fke   rk  Fki . dt M Oe M Oi  0 Посмотрим, можно ли вынести знак производной за пределы векторного произведения: dr dv dv d (rk  mk vk )  k  mk vk  rk  mk k  rk  mk k . d dt dt dt dt  (rk  mk v k )  M Oe . dt vk  mk vk  0 (sin(vk , mk vk )  0) 17. Теоремы динамики 17.3. Теорема о моменте количестве движении d  dt (rk  mk vk )  M Oe d ( rk  mk vk )  M Oe dt dKO  M Oe dt Производная вектора момента количества движения системы относительно некоторого центра по времени равна главному моменту внешних сил системы относительно этого же центра. В проекциях на оси: dK y dK x dK z e e  Mx;  M y;  M ze dt dt dt 17. Теоремы динамики 17.3. Теорема о моменте количестве движении Следствия из теоремы об изменении момента количества движения системы (законы сохранения): 1. Если в интервале времени [t1, t2] вектор главного момента внешних сил системы относительно некоторого центра равен нулю, MOe = 0, то вектор момента количества движения системы относительно этого же центра постоянен, KO = const – закон сохранения момента количества движения системы). 2. Если в интервале времени [t1, t2] главный момент внешних сил системы относительно оси x равен нулю, Mxe = 0, то момент количества движения системы относительно оси x постоянен, Kx = const. Аналогичные утверждения справедливы для осей y и z. 17. Теоремы динамики 17.4. Элементы теории моментов инерции При вращательном движении твердого тела мерой инерции (сопротивления изменению движения) является момент инерции относительно оси вращения. Рассмотрим основные понятия определения и способы вычисления моментов инерции. 1. Момент инерции материальной точки относительно оси: z h x h m z r O Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки до оси. x y y I z  mh 2  m( x 2  y 2 ) 17. Теоремы динамики 17.4. Элементы теории моментов инерции 2. Момент инерции твердого тела относительно оси: z hk mk rk z O x Момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений массы каждой точки на квадрат расстояния этой точки до оси. y yk xk I z   mk hk2   mk ( xk2  y k2 ) При переходе от дискретной малой массы к бесконечно малой массе точки предел такой суммы определяется интегралом: I z   h 2 dm   ( x 2  y 2 )dm - осевой момент инерции твердого тела. 17. Теоремы динамики 17.4. Элементы теории моментов инерции 3. Теорема о моментах инерции твердого тела относительно параллельных осей: I z 2   ( x 22  y 22 )dm   (( x1  a)2  ( y1  b)2 )dm  z2   ( x12  y12 )dm  2a  x1dm  2b  y1dm  (a 2  b2 )  dm. z1 dm O2 d b x2 x 1 O1 y2 z a y1 x2 x1 I z1 y2 y1 S y1 S x1 d2 M Статические моменты инерции относительно исходных осей I z 2  I z1  2aS y1  2bS x1  d 2 M . – формула перехода к параллельным осям Если ось z1 проходит через центр масс, то статические моменты равны нулю: I z 2  I zC  d 2 M . 17. Теоремы динамики 17.4. Элементы теории моментов инерции z 4. Момент инерции однородного стержня постоянного сечения относительно оси: Выделим элементарный объем dV = Adx zС на расстоянии x: L Элементарная масса: dm  Adx x x C L L 3 L x I z   x dm   x Adx  A 3 dx 2 2 L3 ML2  A  3 3 Для вычисления момента инерции относительно центральной оси (проходящей через центр тяжести) достаточно измениь расположение оси и задать пределы интегрирования (-L/2, L/2). Здесь продемонстрируем формулу перехода к параллельным осям: 2 ML2 L  I zC    M . 3 2 I z  I zC  d 2 M . 2 I zC ML2  L  ML2    M  . 3 12 2 17. Теоремы динамики 17.4. Элементы теории моментов инерции 5. Момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно оси симметрии: R Выделим элементарный объем dV = 2πrdrH (тонкий цилиндр радиуса r) : z Элементарная масса: dm   2rdrH H R R I z   r 2dm   r 22rdrH  2 H y x 4 R r 4 2 R 4 MR  2H  4 2 r dr Здесь использована формула объема цилиндра V=πR2H. Для вычисления момента инерции пустотелого (толстого) цилиндра достаточно задать пределы интегрирования от R1 до R2 (R2> R1): 4 R2 r I z   2 H 4 R1 2 2  R24 R14  M ( R 2  R1 )    2H   .  4  2  4  17. Теоремы динамики 17.4. Элементы теории моментов инерции 6. Момент инерции однородного сплошного тонкого диска относительно оси симметрии: R z MR2 Iz  2 H y x r dr Поскольку высота цилиндров в результате не входит в формулы моментов инерции, то они остаются справедливыми для тонкого сплошного диска и обода колеса (тонкого кольца). 17. Теоремы динамики 17.4. Элементы теории моментов инерции 7. Момент инерции тонкого цилиндра относительно оси симметрии ( t <