Теорема об изменении кинетической энергии системы

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ В механике рассматриваются механического движения: два случая преобразования 1. Механическое движение передаѐтся от одного тела к другому в качестве механического движения. Мерой механического движения здесь является вектор количества движения механической системы ̅ . Мерой действия силы в этом случае является импульс силы ̅. 2. Механическое движение превращается в другую форму движения материи (в форму потенциальной энергии, теплоты, электричества и т. д.). Мерой механического движения в этом случае выступает кинетическая энергия механической системы , а мерой действия силы – работа силы A. Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная арифметической сумме кинетических энергий всех точек системы ∑ Определим формулы для вычисления кинетической энергии тела в разных случаях движения. 1. Поступательное движение. В этом случае все точки тела движутся с одинаковыми скоростями, равными скорости движения центра масс ∑ Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат скорости центра масс. 2. Вращательное движение. При вращательном движении скорость любой его точки , где – расстояние от точки до оси вращения ∑ ∑ Величина в скобках является моментом инерции тела относительно оси вращения . Окончательно получим: Кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости. 3. Плоскопараллельное движение. В данном случае движение можно рассматривать как мгновенное вращение вокруг оси, проходящей через МЦС (рис. 49) По теореме Штейнера , тогда , а скорость точки С 𝑣̅ ω С Р Рис. 49 При плоскопараллельном движении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного движения вокруг центра масс. Как отмечалось ранее, внутренние силы векторных характеристик количества движения и системы. Но если под действием внутренних сил скоростей точек системы, то при этом изменится системы. системы не изменяют кинетического момента будут меняться модули и кинетическая энергия Согласно (28) для k-й точки системы Суммируя эти равенства для всех точек системы, имеем ∑ ∑ Обозначим где и – суммы работ внешних и внутренних сил системы при еѐ переходе из начального к конечному положению. В результате получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии системы: Изменение кинетической энергии материальной системы при переходе еѐ из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему при переходе между этими состояниями. Для неизменяемой системы, например, абсолютно твѐрдого тела или нерастяжимых нитей сумма работ всех внутренних сил равна нулю тогда имеем Некоторые случаи вычисления работы сил, действующих на систему. Работа сил вычисляется по формулам, полученным ранее. Рассмотрим дополнительно следующие случаи. Работа сил тяжести, действующих на систему, вычисляется как работа их равнодействующей ̅ на перемещении центра тяжести (или центра масс) системы. ̅ где Р – вес системы; центра масс) системы. – вертикальное перемещение центра тяжести (или Работа пары сил (момента), приложенного к твѐрдому телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, равна произведению момента на приращение угла поворота ∫ В случае, если момент относительно оси вращения тела постоянен, то Если направления угла поворота и момента совпадают, то работа момента положительна, в противном случае – отрицательна. Работа момента сопротивления качению. Сопротивление качению возникает вследствие деформации поверхностей. Площадка соприкосновения катка с поверхностью, а следовательно, и точка приложения реакции ̅ смещается в сторону качения на расстояние (рис. 1, а), при этом создаѐтся пара ( ̅ ̅ момент которой , где – коэффициент трения качения, единица измерения которого – метр; ̅ – нормальная реакция. Если перенести силу параллельно так, чтобы она проходила через центр тяжести катка (рис. 50, б), то необходимо приложить момент равный моменту силы ̅ относительно точки переноса, направленный в сторону, противоположную движению – а) ω R б) ω ̅ 𝑁 ̅ 𝑁 𝐶 𝛿 𝐹̅ 𝑃̅ 𝑣̅𝐶 𝐶 B 𝐹̅ 𝑃̅ Рис. 1 Работу постоянного момента трения качения определяем по формуле Задача Механическая система (рис. 1) состоит из груза 1 массой (коэффициент трения груза о плоскость равна ); ступенчатого шкива 2 массой с радиусами ступеней и радиусом инерции относительно оси вращения сплошного однородного цилиндрического катка 3 массой коэффициент трения качения которого . Система приходит в движение из состояния покоя под действием постоянной силы . На шкив 2 при движении действует постоянный момент сил сопротивления Тела системы соединены друг с другом невесомыми и нерастяжимыми нитями. Определить скорость груза 1 в тот момент времени, когда груз 1 опустится вниз по наклонной плоскость на расстояние 𝑐 𝑆 𝑅 𝑟 1 𝑅 𝐹̅ 𝐶 3 2 30 о Рис. 1 𝑐 ̅ 𝑁 𝑆 𝜔 ̅ 𝑁 𝐹̅ 𝑣̅ 𝐹̅ 30 о 𝑅 𝑟 1 𝐺̅ 𝑅 𝑣̅𝐶 ̅ 𝑁 𝐶 3 2 𝐺̅ 𝜔 𝐺̅ Рис.2 Решение. При решении задачи применим теорему об изменении кинетической энергии системы где и – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; – сумма работ внешних сил, приложенных к системе, на перемещении системы из начального положения в конечное; – сумма работ внутренних сил системы на том же перемещении. Система состоит из абсолютно твѐрдых нерастяжимыми нитями и стержнями, поэтому тел, соединѐнных Так как в начальном положении система находится в покое, то следовательно теорема об изменении кинетической энергии примет вид , . Для определения кинетической энергии системы и суммы работ внешних сил изобразим систему в конечном положении, а также все силы, действующие на систему (рис. 2). Вычислим кинетическую энергию системы в конечном положении как сумму кинетических энергий тел 1, 2, и 3. Кинетическая энергия груза 1, движущегося поступательно, Кинетическая энергия вращательное движение ступенчатого шкива 2, совершающего где момент инерции относительно оси вращения Ох угловую скорость тела 2 выразим через скорость груза 2 Окончательно кинетическая энергия тела 2 Кинетическая энергия катка 3, совершающего плоскопараллельное движение где момент инерции однородного цилиндрического катка 3 относительно его продольной оси Выразим угловую скорость катка 3 и скорость его центра масс через скорость груза 1 Окончательно кинетическая энергия тела 3 Кинетическая энергия системы Найдѐм сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном еѐ перемещении. Работа силы тяжести ̅ ̅ Работа постоянной силы ̅ ̅ Работа силы трения ̅ (̅ ) (̅ ) Работа момента сил сопротивления, приложенного к толу отрицательна, т. к. момент направлен противоположно углу поворота тела 2 где угол поворота тела 2 определим по формуле тогда . Работа пары сил сопротивления качению катка 3 – отрицательна, т.к. момент трения качению и угол поворота катка 3 направлены в разные стороны где угол поворота тела 3 Тогда Работа других сил, приложенных к системе, равна нулю. Найдѐм сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе Согласно теореме ; √ Ответ: