Теорема об изменении кинетической энергии

ЛЕКЦИЯ 6 ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ 6.1. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки Кинетическая энергия является основной мерой механического движения. Эффект действия силы на тело выражается в изменении его движения, следовательно и в изменении кинетической энергии. Найдем связь между силой, приложенной к материальной точке и скоростью, с которой будет двигаться эта точка, или, иначе говоря, между работой силы и изменением скорости. Пусть материальная точка массой m перемещается вдоль оси Ох под действием силы .(рис. 6.1). Уравнение движения точки имеет вид . (6.1) Пусть задан путь, пройденный точкой за некоторый промежуток времени . Тогда естественно предположить, что скорость точки будет зависит от координаты , т.е. . Вычислим вроизводную по времени от скорости, как функции координат, т. е.: . (а) Подставим в (6.1) полученное выражение (а): (6.2) Введем обозначение: – кинетическая энергия точки; –элементарной работа силы F на перемещении x . Тогда выражение (6.2) примет вид (6.3) В этом виде равенство (6.3) имеет очень наглядный смысл: при смещении точки на dx, сила совершает работу , в результате чего изменяется величина кинетической энергии точки , характеризующая движение точки и, в частности, модуль ее скорости. Если точка смещается из положения в положение (), а ее скорость при этом изменяется от до то, интегрируя (6.3), получим . (б) Здесь – кинетическая энергия материальной точки в конце пути; – кинетическая энергия материальной точки в начале пути; – работа, соверщаемая силой на перемещении S. Теорема. Изменение кинетической энергии материальной точки при ее каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении. При рассмотрении движения точки по криволинейной траектории из положения Р1 до положения Р2, надо рассмотреть векторное уравнение движения; , рис. 6.2. Имеем , здесь – дуга, вдоль которой перемещается точка. 6.2. Теорема об изменении кинетической энергии механической системы Будем представлять механическую систему, состоящую из N отдельных точек. Пусть точки системы массой переместились так, что их радиус-векторы в системе отсчета Oxy получили приращение . Вычислим, как при этом изменилась кинетическая энергия Т механической системы. Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий элементов механической системы: . Вычислим дифференциал кинетической энергии системы и преобразуем полученное выражение (в) здесь – скалярный квадрат; Принимая во внимание, что , где – ускорение k-ой точки, и – внешняя и внутренняя силы, приложенные к k-ой точке. Перепишем равенство (в): . Здесь – суммаа внутренних сил системы равне нулю. Таким образом, . (6.4) Здесь Равенство (6.4) выражает теорему об изменении кинетической энергии механической системы в дифференциальной форме. В конечной форме теорему об изменении кинетической энергии можно записать в форме . (6.5) Здесь – кинетическая энергия механической системы и в конце пути; – кинетическая энергия механической системы в начале пути; Теорема.Дифференциал кинетической энергии системы равен элементарной работе всех сил системы. Кинетическую энергию и работу прежставим через эффективную массу и эффективную силу: Подставим полученное выражение в (6.4), получим Если в начальный момент времени система находилась в покое, тогда (6.6) Продифференцировав по времени правую и левую части уравнения (6.6), получим Получили Пример 6.1. Два груза массой и связаны между собой нерастяжимым тросом, перекинутым через неподвижный блок (рис. 6.3). В начальный момент времени система находилась в состоянии покоя. Вычислить скорость грузов при подъеме второго груза h=10м. Решение. Система состоит из двух материальных тел (связанных нерастяжимым тросом), движущихся параллельно одной оси Oy. Пусть правый груз опускается, тогда левый груз будет подниматься. Скорость движения грузов –. Кинетическая энергия в конечном положении системы: Здесь Вычислим работу, совершаемую силами и : Здесь Запишем теоремуо кинетической энергии Пример 6.2. Механическая система (рис. 6.4) состоит из диска обмотанного нерастяжимой нитью, на конце которой прикреплен груз. Вычислить ускорение при подъеме груза, если на диск приложен вращающий момент . Дано =40 кг, R=0,4 м,=60 кг. Решение. Вычислим кинетическую энергию системы, равную сумме энергией всех ее тел . (а) Диск вращается вокруг центра вращенияО, груз движется поступательно, тогда кинетическая энергия каждого тела механической системы, соответственно, имеет вид (б) Выразим линейные и угловые скорости в выражении (б) через перемещение груза S и его скорость . Направления движений тел изображены на рис. 6.5: . (в) Подставляя выражения (в) в (б), получим . Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энергий элементов системы, т.е. Выражение, стоящее в скобках имеет размерность массы (кг), следовательно, слагаемые в скобке представляют собой приведенную массу заданной механической системы, обозначим ее . Момент инерции диска равен . Вычислим значение приведенной массы системы Вычислим работу, совершенную внешними силами, сообщив механической системе перемещение при котором груз подымается на S. Тогда, имея в виду (а), получим В начальный момент времени система находилась в покое, следовательно Пример 6.3. Механическая система (рис. 6.6) состоит из диска 2 (H), обмотанного нерастяжимой нитью к концу которой привязано тело ( H). Система движется в плоскости рисунка под действием сил тяжести, . Вычислить ускорение центра масс тела 1. Решение. Вычислим ускорение, используя теорему об изменении кинетической энергии системы: . (а) Изображаем на рис. 6.7 внешние силы, совершающие работу: вес приложен к неподвижному центру вращения, следовательно, работы совершать не будет. Рис. 6.7 Вычислим работу от внешних сил: ,. (б) Для дальнейшего решения нужно все перемещения выразить через перемещение центра масс (точки ) тела , т.к. в задаче требуется рассчитать ускорение этой точки. Имеем: , (рис. 6.7). Вычислим кинетическую энергию системы, равную сумме энергией всех ее тел: . (ж) Здесь Получим м/с2. Ответ: ускорение центра масс тела 1 м/с2. Пример 6.4. Диск 1 приводит в движение каток 2, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости, рис. 6.8. Диск 1 и каток 2 – однородные диски радиусом и , соответственно. Их силы тяжести, соответственно, равны:H, . Коэффициент трения качения катка k=0,2 см. Трением в осях катка и блока, а также массой нити пренебречь. Каток катится без скольжения по наклонной шероховатой поверхности с углом наклона . К диску приложена пара сил с моментом H·м, Вычислить ускорение центра диска, если в начальный момент система покоилась. Решение. Вычислим ускорение, используя теорему об изменении кинетической энергии системы: . (а) Изображаем на рис. 6.9 внешние силы, совершающие и . Вес приложен к неподвижному центру вращения О, следовательно, работы совершать не будет. Полную работу сил, приложенных к механической системе, совершают: момент вращения , вращающий диск и сила тяжести катка Имеем: Запишем уравнение, связывающие уголы поворота диска и катка: Вычислим работу, совершаемую моментом вращения , силой тяжести катка m2g и моментом сопротивления : получим: Здесь Вычислим кинетическую энергию механической системы: Здесь Получим Ответ: ускорение центра диска Пример 6.5. Механическая система (рис. 6.10) состоит из составного диска 2 обмотанного нерастяжимыми нитями, на концах которых прикреплен подвижный диск 1. В начальный момент времени система находилась в состоянии покоя, под действием сил тяжести подвижного диска начала движение. Дано: H, м;H, м, , радиус инерции относительно оси вращения м. Вычислить ускорение центра масс диска 1. Решение. Вычислим ускорение центра масс диска, используя теорему об изменении кинетической энергии системы: . (а) Изобразим на рис. 6.11 силу , совершающую работу. Вес приложен к неподвижному центру вращения, следовательно, работы совершать не будет. Вычислим работу от внешних сил: . Для дальнейшего решения нужно все перемещения выразить через перемещение центра масс (точки С) первого диска – S т.к. в задаче требуется рассчитать ускорение этой точки. Вычислим кинетическую энергию системы: . Диск 1 совершает плоское движение. Точка точка МЦС, тогда (рис. 6.11) Для дальнейшего решения нужно все перемещения выразить через перемещение центра масс (точки С) подвижного диска – S , т.к. в задаче требуется вычислить ускорение этой точки. Имеем: (б) Вычислим кинетическую энергию системы: (в) Подвижный диск 1 движется плоскопараллельно, диск 2 вращается вокруг центра вращения О,следовательно, кинетическая энергия каждого тела механической системы соответственно имеет вид (г) Подставив выражения (г) в (в), получим Вычислим моменты инерции подвижного и неподвижного дисков м4; м4; Вычислим величину эффективной массы заданной системы кг. Вычислим значение эффективной силы заданной системы Имеем: . (д) Получим Ответ. Центр масс подвижного диска опускается со скоростью, равной . Пример 6.6. Механическая система (рис. 6.12) состоит из составного диска 2 (H, м, м, радиус инерции относительно оси вращения м), обмотанного нерастяжимыми нитями, на концах которых прикреплен груз 1 (H) и однородный каток 3 (). Каток катится без скольжения по наклонной поверхности с углом наклона . Вычислить ускорение, с которым опускается тело 1. Рис. 6.12 Решение. В лекции 4 в примере 4.8 были вычислены уравнения связи и вычислена работа внешних сил: ;, . Где Дж. Кинетическая энергия системы была вычислена в лекции 5. примере 5.5 и равна Получим Ответ: первый груз спускается с ускорением Пример 6.7. На вертикально поставленный винт надета гайка (рис. 6.13). Ей сообщена угловая скорость такого направления, что гайка начинает подниматься.На какую высоту подниметсягайка до остановки, если шаг винта h? Трение отсутствует. Решение. Пусть высота подъема гайки Н, тогда работа, совершаемая весом гайки . При движении гайка поднимается вдоль оси z вверх и вращается вокруг этой оси до остановки, следовательно, кинетическую энергию записать так . Гайка в конце движения остановилась, следовательно . Тогда (а) Вычислим скорость движения гайки по оси z вверх V0 и момент инерции гайки относительно этой оси Jz. Вычислим линейную скорость гайки в начале ее движения. Имеем (б) Примем, что гайка имеет форму цилиндра с осевым отверстием радиусом r. Если m масса гайки, то ее момент инерции относительно винта будет определяться следующим образом: , здесь – плотность гайки. Тогда . (в) Кинетическая энергия (а) с учетом (б) и (в) запишем (г) Имеем; , . Замечание Теорема об изменении кинетической энергии играет важную роль в общей теории машин. При работе любой машины приходится преодолевать так называемые “полезные” и “вредные” сопротивления. Отношение полезной работы к работе, произведенной двигателем , называется коэффициент полезного действия машины и обозначается буквой (ню); следовательно . Здесь . Величина работы, произведенной двигателем за время , является функцией времени, т. е. . Напомним, что работа, произведенная в единицу времени называется мощностью двигателя. Обозначая мощность двигателя через, получим . (6.7) Размерность: =. В технической практике мощность измеряется в лошадиных силах (под одной лошадиной силой понимается мощность, необходимая для поднятия 75 кгна один метр за секунду): 1 л. с. = 75. Из (6.6) получим формулу, связывающую работу, затраченную двигателем за время в зависимости от его мощности . При постоянной мощности, имеем: . (6.8) Пример 6.8. Поезд весом , отходя от станции, идет по горизонтальному пути с постоянным ускорением (рис. 6.14). Сила сопротивления движению поезда равна , где – постоянный коэффициент. Вычислить мощность, развиваемую поездом. Решение.Применим теорему о кинетической энергии, получим: , где ; S– длина пути, пройденная поездом. Кинетическая энергия в начальный момент , т. к. скорость поезда в начале пути равна нулю. Пусть , тогда работа, совершенная поездом, равна , (а) где – скорость поезда. Дифференцируя по времени (а), получим искомую мощность Здесь – ускорение поезда, Ответ. Мощность, развиваемая поездом, равна . 6. 3. Силовая функция. Потенциальная энергия Предположим, что точка движется в некотором пространстве и на нее со стороны пространства действует сила, которая зависит от положения точки в этом пространстве, но не зависит от скорости движения точки. В этом случае говорят, что в пространстве задано силовое поле, а также, что точка движется в силовом поле. Соответствующие понятия для системы материальных точек аналогичны. Силы, зависящие от положения точек их приложения, в механике встречаются часто. Например, сила упругости, приложенная к материальной точке, которая движется по горизонтальной прямой под действием пружины. Важнейшим примером силового поля в природе является гравитационное поле: действие Солнца на планету данной массы определяется в каждой точке пространства законом всемирного тяготения. Силовое поле называется потенциальным, если существует скалярная функция U, зависящая только от координат , , точки -точки материальной системы (возможно, и от времени), такая, что . (6.9) Функция называется силовой функцией. Рассмотрим свойства силовой функции. Элементарная работа связана с силовой функцией следующим образом т.е. Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции. Полная работа силы на участке от точки до точки (рис. 6.15) Получили . (6.10) Рис. 6.15 Из полученных выражений следует, что 1. Работа силы в потенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю; 2. Работа силы в потенциальном силовом поле зависит только от положения конечной и начальнойточек, но сам путь перемещения роли не играет. Потенциальная энергия. Потенциальной энергией П в рассматриваемой точке силового поля Р называют работу, которую совершают силы поля, действующую на материальную точку при ее перемещении из точки Р в начальную точку 1, т.е. П= или П= Свяжем силовую функцию Uс потенциальной энергией. Имеем т.е. , или Примеры вычисления потенциальной энергии 1. Однородное поле тяжести.Пусть m – масса точки; g– ускорение свободного падения. Тогда (рис. 6.10) . 2. Силовое поле упругой пружины. Пусть материальная точка движется вдоль оси Ох (рис. 6.16) под действием пружины, к которой она прикреплена. Если при пружина не деформирована, то получим . 6.4. Закон сохранения кинетической энергии Для механической системы имеем , (6.11) т.е. приращение кинетической энергии системы за конечное время равно работе всех сил системы за то же время. Пусть все силы системы (внутренние и внешние) потенциальны, и их потенциал не зависит явно от времени. В этом случае элементарная работа сил системы будет полным дифференциалом , тогда из (5.26) следует, что . Определение.Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной механической энергией системы. Из последнего равенства следует, что , (6.12) Закон сохранения механической энергии.Если все силы системы потенциальны и потенциал не зависит от времени, то при движении системы ее полная механическая энергия постоянна. Следует иметь в виду, что для справедливости закона сохранения механической энергии требование о том, чтобы все силы системы были потенциальными, необязательно. Достаточно потребовать, чтобы потенциальными были силы, работа которых на действительном перемещении системы отлична от нуля. 6.5. Закон сохранения кинетической энергии Для механической системы имеем , (6.13) т.е. приращение кинетической энергии системы за конечное время равно работе всех сил системы за то же время. Пусть все силы системы (внутренние и внешние) потенциальны, и их потенциал не зависит явно от времени. В этом случае элементарная работа сил системы будет полным дифференциалом , тогда из (5.26) следует, что . Определение.Сумма кинетической и потенциальной энергии называется полной механической энергией системы. Из последнего равенства следует, что , (6.14) Закон сохранения механической энергии.Если все силы системы потенциальны и потенциал не зависит от времени, то при движении системы ее полная механическая энергия постоянна. Следует иметь в виду, что для справедливости закона сохранения механической энергии требование о том, чтобы все силы системы были потенциальными, необязательно. Достаточно потребовать, чтобы потенциальными были силы, работа которых на действительном перемещении системы отлична от нуля.