Теорема Лиувилля: доказательство теоремы Лиувилля. Уравнение Лиувилля для функции распределения

Прикладная квантовая механика и статистическая физика Раздел 2. Основы статистической физики ЛЕКЦИЯ 2 Теорема Лиувилля: Доказательство теоремы Лиувилля Уравнение Лиувилля для функции распределения. Квантовая статистическая механика: Чистое и смешанное состояния для квантовых систем. Статистический оператор (матрица плотности). Полный и неполный ансамбль в квантовой статистике. Квантовое уравнение Лиувилля для эволюции матрицы плотности. Правила соответствия квантовой и классической статистик. Теорема Лиувилля Все сказанное в лекции 1 о статистических ансамблях относилось к какому-то одному моменту времени, в который наблюдалась система (точнее, ряд одинаковых систем из ансамбля). Поскольку состояние системы меняется с течением времени, то возникает естественный вопрос о развитии статистического ансамбля во времени. Его легко решить для полного ансамбля, в котором измеряется набор величин, полностью определяющих микроскопическое состояние системы (т.е. набор всех q и p ). Описание эволюции полного ансамбля опирается на теорему Лиувилля о фазовом объёме – чисто механическую теорему, не содержащую каких-либо статистических соображений. Согласно этой теореме для систем, подчиняющихся уравнениям Гамильтона: фазовый объем системы остается постоянным в процессе движения. То есть, если в начальный момент времени фазовые точки (q0 , p0 ) , составляющие ансамбль Гиббса, непрерывно заполняли некоторую область Γ0 в фазовом пространстве, а в момент t они заполняют область Γt, то соответствующие фазовые объёмы равны между собой Движение фазовых точек, изображающих системы в фазовом пространстве, подобно движению несжимаемой жидкости, - "облако", образованное фазовыми точками, представляющими системы из ансамбля, может как угодно деформироваться в процессе движения, но его объём сохраняется Доказательство теоремы Лиувилля. 1 Основано на преобразовании переменных интегрирования Якобиан Полезные соотношения Нам потребуется доказать, что Доказательство теоремы Лиувилля. 2 Проводим сравнительно несложные преобразования = 0 силу уравнений Гамильтона ч.т.д.! Уравнение Лиувилля для функции распределения С помощью функции распределения можно дать другую формулировку теоремы Лиувилля. При движении в фазовом пространстве "облака", представляющего ансамбль Гиббса, число фазовых точек в нем (число систем в ансамбле), естественно, не изменяется — все фазовые точки, находящиеся в момент t в элементе объёма dqdp , перейдут в момент t' в элемент dq'dp' . Соответственно, можем написать: Полная функция распределения ρ постоянна вдоль фазовых траекторий  альтернативный вариант формулировки теоремы Лиувилля, использующий понятие функции распределения. Т.е., полная производная по времени от функции распределения равна нулю Используя уравнение Гамильтона, получаем скобка Пуассона Основное уравнение движения для функции распределения, остающимся справедливым как в равновесном, так и в неравновесном случаях в равновесном случае Квантовая статистическая механика До сих пор мы рассматривали классическую статистическую механику, в которой состояние системы описывалось точкой (q, p ) в 2s6Nмерном фазовом пространстве координат и импульсов всех частиц, а эволюция во времени определялась уравнениями Гамильтона. В квантовой механике такое описание становится невозможным, хотя бы потому, что согласно принципу неопределенности мы не можем одновременно определить координату и импульс квантовой частицы. Отсюда ясно, что в общем случае требуется построение специального аппарата квантовой статистической механики. Замечательно, однако, что основные положения метода Гиббса остаются справедливыми и при квантовом подходе. Чистое и смешанное состояния для квантовых систем. 1 Чистое и смешанное состояния для квантовых систем. 2 Чистое и смешанное состояния для квантовых систем. 3 Статистический оператор (матрица плотности). 1 Более того, можно показать, что матрица плотности положительно определена, т.е. не имеет отрицательных собственных значений Статистический оператор (матрица плотности). 2 Полный и неполный ансамбль в квантовой статистике Квантовое уравнение Лиувилля для эволюции матрицы плотности. 1 Квантовое уравнение Лиувилля для эволюции матрицы плотности. 2 Правила соответствия квантовой и классической статистик