Теорема Коши - Гельмгольца о распределении скоростей в элементарном объеме жидкости

ЛЕКЦИЙ 10 Теорема Коши - Гельмгольца о распределении скоростей в элементарном объеме жидкости Коши (1789-1857 ) – фр. математик; Гельмгольц (1821-1894) – немецкий ученый, создатель вихревой теории. Как мы уже говорили, движение абсолютно твёрдого тела со скоростью можно разложить на мгновенно поступательное движение со скоростью полюса и мгновенно вращательное движение вокруг полюса с угловой скоростью, не зависящей от выбора полюса (полюс выбирается произвольно): , где – поступательная скорость, общая для всех точек тела и характеризуемая движением одной какой-либо точки, называемой полюсом; – линейная скорость рассматриваемой точки, обусловленная вращением твёрдого тела вокруг мгновенной оси, проходящей через полюс; – угловая скорость тела; – радиус-вектор, определяющий положение рассматриваемой точки твёрдого тела по отношению к полюсу. Указанную теорему можно обобщить на случай жидкости, но уже заранее можно утверждать, что для жидкости аналогичная теорема будет более сложной, т.к. расстояния между отдельными точками одной и той же частицы жидкости или газа не остаются постоянными. Отдельные точки внутри частицы перемещаются относительно друг друга, что сопровождается деформацией частицы, то есть изменением ее формы и объема. В связи с этим, в отличие от абсолютно твердого тела, скорость движения любой точки жидкой частицы зависит не только от поступательного и вращательного движений данной частицы, но еще и от ее деформации, т.е. от относительного перемещения самих точек внутри жидкой частицы, к которой они относятся. Отвлекаясь от молекулярного строения, под частицей жидкости понимают очень малый объем по сравнению с общей протяженностью изучаемого движения, но достаточно большой по сравнению с длиной свободного пробега молекул или амплитудой колебательных движений молекул жидкости. Рассмотрим внутри одной и той же движущейся частицы две бесконечно близкие друг к другу точки и (рис.1). Рис. 1 Расположение точек и в частице Скорости движения точек и являются функциями времени и координат. Предположим, что составляющие скорости точки известны и заданы уравнениями: (1) Требуется определить составляющие скорости точки , для которых выполняются выражения общего вида (2) Если в некоторый момент времени t скорость точки известна, то, разлагая скорость в окрестности точки в ряд Тейлора (1685-1731) для данного момента времени, получим с точностью до бесконечно малых первого порядка следующие выражения для составляющих скорости точки (3) Для каждого уравнения системы (3) выполним преобразования типа: . Так для первого уравнения прибавим и вычтем в правой части величины и , для второго – и , для третьего – и , получим: (4) Заметим, что выражения в скобках, где есть знак минус, представляют собой проекция вихря скорости на координатные оси. Поэтому последние три уравнения мы можем переписать в виде: (5) Введём обозначения: Используя введённые обозначения и группируя члены с вихрем скорости, перепишем (5) в виде: (6) Вторые члены (6) в правой части – суть проекции линейной скорости вращательного движения на координатные оси; . В векторном виде система (6) имеет вид: или , т.к. , (7) где представляет собой скорость деформации жидкой частицы, которая зависит от девяти величин, составляющих так называемый тензор второго ранга. В нашем случае этот тензор называют тензором деформаций, который записывают в виде матрицы: или Таким образом, деформация частицы жидкости или газа выражается более сложной величиной, чем обычный трехмерный вектор. Из соотношений (6) следует, что скорость деформации зависит от девяти величин, стоящих множителями при дифференциалах . Соотношения (6), или что тоже (7) выражают теорему Коши-Гельмгольца (называют Первой теоремой Гельмгольца) о разложении скорости частицы жидкости или газа, которую можно сформулировать следующим образом: во всякий данный момент времени скорость любой точки бесконечно малой жидкой частицы равна векторной сумме трех скоростей: 1) скорости одной какой-либо точки (полюс), характеризующей поступательное движение частицы; 2) линейной скорос­ти, обусловленной вращением этой частицы около оси, проходящей через точку , с угловой скоростью, равной половине вихря скорости точки ; 3) скорости деформации в точке , возникающей в результате изменения формы и объема частицы воздуха. Составляющие тензора деформации называются скоростями сжатия или растяжения. Они определяют скорости сжатия или растяжения линий в направлении осей координат и связанное с этим относительное изменение объема жидкой частицы. Если составляющие скорости движения точек увеличиваются в направлениях соответствующих осей координат: , то расстояние между точками увеличивается с течением времени, происходит растяжение линий и увеличение объема частицы. Если составляющие скорости движения точек уменьшаются в направлениях соответствующих осей координат (рис.2б), то происходит сжатие и уменьшение объема частицы. a) Растяжение в направлении оси б) Сжатие в направлении оси Рис. 2. Растяжение или сжатие в направлении оси Составляющие тензора деформации: называются скоростями скашивания прямых углов. Они характеризуют изменение формы жидкой частицы, обусловленное неравномерным распределением скоростей точек, расположенных в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Если в начальный момент времени четыре линии образуют в плоскости XOY квадрат, то в результате скоса прямых углов квадрат преобразуется в ромб, стороны которого сохраняют первоначальную длину сторон квадрата, но длина диагоналей изменяется. Путем несложных преобразований можно показать, что изменение прямого угла за единицу времени определяется суммой производных , а относительное изменение длины диагонали равно половине изменения этого угла. На рисунке 3 приведены простейшие примеры деформации скоса прямого угла в зависимости от распределения составляющих скорости в плоскости XOY. Рис. 3. Деформации скоса углов ПРИЛОЖЕНИЕ 10 (Вспомогательный материал) Ряд Тейлора – разложение функции в окрестности точки : Ряд Маклорена – разложение функции в окрестности точки :