Техническая физика

Министерство образования и науки Российской Федерации Дальневосточный федеральный университет Инженерная школа ТЕХНИЧЕСКАЯ ФИЗИКА Курс лекций для студентов направления подготовки 26.03.02 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры» Владивосток 2018 УДК 629.12.001 Одобрено научно-методическим советом Инженерной школы ДВФУ. Курс лекций предназначен для студентов, обучающихся по направлению подготовки 26.03.02 «Кораблестроение, океанотехника и системотехника объектов морской инфраструктуры», изучающих дисциплину "Техническая физика" и могут использоваться в лабораторных работах и практических занятиях, а также при выполнении курсовых работ. Курс лекций подготовил: О.Э. Суров - кандидат техн. наук, доцент кафедры Кораблестроение и океанотехника, Инженерная школа ДВФУ. Курс лекций печатается с оригинал-макета, подготовленного авторами Редактор Н.С. Мун Верстка, дизайн СD Г.П. Писаревой Опубликовано: ……...2018 Формат PDF Объем … МБ [Усл. печ. л. 10,0] Тираж 30 экз. Издание подготовлено Редакционно-издательским отделом Инженерной школы ДВФУ [Кампус ДВФУ, корп. С, каб. С714] Дальневосточный федеральный университет 690091, Владивосток, ул. Суханова, 8 Изготовитель CD: Дальневосточный федеральный университет 1. ПРЕДМЕТ ГИДРОМЕХАНИКИ. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ЖИДКОСТИ. 1.1. Предмет гидромеханики и объект изучения Гидромеханика – раздел механики, посвященный равновесию и движению жидкости, ее взаимодействию с телами и поверхностями. Объектом изучения является жидкость – физическое тело, обладающее свойством текучести. Текучесть – способность иметь конечные деформации при действии даже малых внешних сил. Деформации –относительное изменение расстояния между двумя частичками. Газы также обладают текучестью, но при значительно меньших межмолекулярных силах. Они сжимаемы и не образуют свободной поверхности. Жидкости и газы можно считать несжимаемыми, если скорость их перемещения менее 20% от скорости распространения в них звука. Для жидкости это практически во всех корабельных задачах, а для воздуха (340 м/с) это 70 м/с. Гидромеханика использует сложные математические методы, но сформулировать задачи, составить уравнения движения и их решить часто не удается без экспериментов. Поэтому гидромеханика – теоретико-экспериментальная наука. Задачи гидромеханики можно разделить: • внутренняя – изучение движения жидкости, окруженной твердыми стенками (гидравлика); • внешняя – обтекание (либо движение) тел в жидкости. Предметом гидромеханики является вопросы создания теоретических методов расчета сил и разработка принципов моделирования этих сил. Последнее относится к важнейшему разделу гидромеханики – теории подобия. 1.2. Из истории гидромеханики За сотни лет до нашей эры гидромеханика развивалась в виде обобщения опыта в области гидростатики и гидравлики. Первым теоретическим обобщением явился закон Архимеда. Основы современной гидромеханики заложены в XVII веке – Эйлер и Бернули (члены Российской академии). 1650 г. англичанин Антони Дин (учитель Петра I) впервые решил прорезать пушечные порты до спуска судна на воду, т.е. предсказал или рассчитал осадку судна. 1836 г. Френсис Смит отказался от гребных колес и применил спиральный движитель. После, основным показателем судов была скорость. В 1878 г. при постройке английского крейсера "Ирис" назначалась контрактная скорость 17,5 узл. при мощность 5250 л.с. и 7000 л.с. при форсаже двигателя. Но даже при форсаже двигателя скорость судна составила 15,1 узл. При замене 4х лопастного винта на 2х лопастной скорость судна стала 15,6 узл. при мощности двигателя 4370 л.с. (экономия мощности). При замене 4х лопастного винта с меньшей площадью лопасти привел к увеличению скорости до 18,6 узл. В те годы это самый быстроходный крейсер. В 1868 г. первый опытовый бассейн в Англии. В России первый опытовый бассейн появился в 1888 г. Важность гидромеханики для корабелов очевидна, а ее место в системе подготовки инженера показано на рис. 1.1. Рис. 1.1. Гидромеханика в системе подготовки инженеров 1. ГИДРОСТАТИКА Гидростатика - раздел гидромеханики, изучающий законы равновесия жидкости в состоянии покоя. Так как в состоянии покоя касательные напряжения в жидкости равны нулю, то законы гидростатики справедливы как для идеальных, так и для вязких жидкостей. 1.1.Основные характеристики и свойства жидкостей Плотность - масса жидкости, отнесенная к занимаемому объёму, измеряется в . (1.1.1) Плотность пресной воды равна 1000 кг/м3. Плотность жидкости зависит от температуры и давления, но во многих случаях этим можно пренебречь. Удельный вес - вес единицы объёма жидкости измеряется в . (1.1.2) Удельный вес воды 9810 Н/м3, а воздуха - 12 Н/м3. Как правило, теория оперирует не реальными объектами, а их расчетными моделями, которые наделяются некоторыми свойствами. Часто это фактически гипотезы в отношении модели. К таким свойствам относится сплошность жидкости. Сплошность (или непрерывность) - гипотеза (допущение) о том, что любой (по размерам) выделенный объём жидкости обладает одинаковыми свойствами. Очевидно, это не так если размеры выделенного объёма малы и соизмеримы с межмолекулярными пространствами в жидкости. Но эта гипотеза или свойство в отношении жидкости позволяет применить к решению задач аппарат непрерывных и дифференцируемых функций. Одно из важнейших свойств для жидкостей является вязкость. Если этим свойством пренебрегают, то жидкость называют идеальной, если учитывают, то - реальной. Вязкость - сопротивление сдвигающим усилиям, возникающим в результате трения частиц жидкости при движении. В большинстве задач судостроения жидкость наделяется таким свойством как несжимаемость. Эта гипотеза подтверждается тем, что при увеличении внешнего давления с 1 до 100 атмосфер объем воды изменяется лишь на 0.5%. Кроме перечисленных свойств в разных задачах могут учитываться и другие свойства - теплоёмкость, теплопроводность, капиллярность, электропроводность и др. 1.2. Силы, действующие в жидкости В гидромеханике обычно рассматриваются только распределенные силы, так как сосредоточенные силы вызывают разрыв жидкости, а следовательно и потерю основного свойства (гипотезы) сплошности. При этом силы делят на массовые и поверхностные. Массовые силы приложены к каждой частице жидкости и пропорциональны её массе. Это силы тяжести, силы инерции и т.п. Рис.1.2.1 Частица жидкости Рис.1.2.2 К иллюстрации в поле массовых сил тяжести поверхностных сил В наиболее распространенном случае жидкость находится только в поле тяжести. Тогда на частицу жидкости, рис.1.2.1, действует сила тяжести (веса) G = mg или FX= FY= 0, а FZ = - G . Величину массовой силы, приложенной к частице жидкости, отнесенную к массе этой частицы называют напряжением массовой силы. Для рассмотренного случая fZ = FZ/m = - G/m = - mg/m = -g [м/с2]. Таким образом, напряжения массовых сил имеют размерность ускорения. Поверхностные силы - силы, непрерывно распределенные по поверхности или границе жидкости. Они характеризуются напряжением поверхностных сил - отношением величины силы к площади её приложения. В общем случае, рис.1.2.2, поверхностная сила может действовать не перпендикулярно к поверхности, тогда p = P/S , а pn = Pn/S - нормальные напряжения поверхностных сил; pt = Pt/S - касательные напряжения поверхностных сил. Напряжения поверхностных сил имеют размерность давлений - Н/м2, Па. Касательные напряжения могут возникнуть только в вязкой жидкости при движении. В состоянии покоя для вязкой жидкости и независимо от состояния для идеальной (невязкой) жидкости касательные напряжения отсутствуют, а поверхностные силы будут всегда направлены перпендикулярно к поверхности. 1.3. Свойства нормальных напряжений (гидростатических давлений) Нормальные напряжения, взятые с обратным знаком, в гидромеханике называют давления. Учитывая, что жидкость наделена свойствами текучести и сплошности одновременно, то она не может выдержать растяжения без разрыва. Поэтому (свойство-1) в жидкости могут действовать только сжимающие нормальные напряжения (или давления). - размеры граней, - площади граней, перпендикулярных осям, - площадь произвольно ориентированной грани, - напряжения сжатия граней (давления) Рис.1.3.1 К условию равновесия элементарного объёма жидкости Выделим в жидкости элементарный объём - , рис.1.3.1. Пусть на этот объём действует массовая сила - F (на рис. не показана) и поверхностные силы. Запишем условия равновесия сил вдоль: оси x - , , оси y - , , оси z - , . Здесь - косинус угла между нормалью к произвольно ориентированной грани и k-ой координатной осью. Из геометрии известно , , . Тогда , , , или , . . С уменьшением размеров , тогда или . (1.3.1) Следовательно, давление в любой точке покоящейся жидкости не зависит от направления или ориентации площадок, проходящих через эту точку (свойство-2). 1.4. Дифференциальные уравнения равновесия жидкости Рассмотрим, рис.1.4.1, условия равновесия частицы жидкости в форме прямоугольного параллелепипеда, на которую действуют поверхностные силы, приложенные к граням, а из массовых сил - только сила тяжести. Массовая сила Поверхностные силы Приращения поверхностных сил Рис.1.4.1. К условию равновесия элементарного объёма жидкости Запишем условия равновесия сил вдоль: оси x - , оси y - , оси z - . Сократив одинаковые слагаемые с противоположными знаками и поделив оставшиеся на объём , получим , , . Учитывая свойство-2 (см п.1.3) в виде , окончательно запишем , , . (1.4.1) Полученная система дифференциальных уравнений равновесия жидкости позволяет сделать важные выводы: 1. Из первых двух уравнений следует, что давления в покоящейся жидкости не зависят от координат X и Y. Они зависят только от координаты Z. 2. Гидростатические давления в любых точках горизонтальной плоскости (XOY) имеют одинаковую величину, которая меняется только при изменении Z. 3. В покоящейся жидкости поверхности равного давления есть горизонтальные плоскости, рис.1.4.2. Рис.1.4.2. Независимо от уровней свободных поверхностей и давлений на поверхности внутри покоящейся жидкости давления в точках каждой из горизонтальных плоскостей будут иметь одинаковые значения. 1.5. Интегрирование уравнения равновесия (основное уравнение гидростатики) Поскольку давления в покоящейся жидкости зависят только от координаты Z (1.4.1), то от частной производной можно перейти к общей и записать или . Интеграл этого уравнения или . (1.5.1) где С - постоянная интегрирования, которую следует определять из граничных условий конкретной задачи. Рис.1.5.1. К заданию граничных Рис.1.5.2. Эпюра гидростатических условий задачи давлений по основному закону Для покоящейся жидкости с давлением p0 на свободной поверхности, рис.1.5.1, запишем граничное условие в виде при Z=0 p=p0 . Подставим в уравнение (1.5.1) и получим C=p0 . Уравнение принимает вид . Для произвольной точки жидкости на глубине h (Z = - h), получим . (1.5.2) Это уравнение называют основным законом гидростатики. Для открытых сосудов и водоёмов поверхностное давление равно атмосферному давлению . В соответствии с полученным законом эпюра давлений с ростом глубины погружения имеет линейный характер, рис.1.5.2. Давление на глубине жидкости представляет собой сумму давления на свободной поверхности и давления столба жидкости высотой, равной глубине. Можно убедиться, что основной закон гидростатики выражает более общий закон сохранения потенциальной энергии жидких частиц. Потенциальная энергия здесь представляется двумя слагаемыми - потенциальной энергией давления окружающей жидкости на частицу и потенциальной энергией положения (глубины) частицы. Согласно (1.5.2), если к свободной поверхности приложить добавочное давление, то на эту же величину вырастут давления во всех точках внутри жидкости. Это суть известного из физики закона Паскаля, согласно которому приложенное к поверхности жидкости внешнее давление передаётся ею по всем направлениям одинаково. Из основного закона гидростатики также вытекает известный из физики закон сообщающихся сосудов, согласно которому уровни жидкости в них лежат в одной горизонтальной плоскости. Рис.1.5.3. К иллюстрации Рис.1.5.4.Гидравлический гидростатического парадокса пресс На рис.1.5.3, где показаны три сосуда с одинаковыми уровнями заполнения и площадями донной части, иллюстрируется известный гидростатический парадокс. Он заключается в том, что суммарная сила давления на дно всех сосудов одинаковая, несмотря на существенно различное количество жидкости (весов) в сосудах. На практике это находит широкое применение в гидравлических машинах. На рис.1.5.4. показана схема гидравлического пресса. Здесь сравнительно небольшим усилием создается значительное давление на поверхности поршня малого диаметра. Это давление передается жидкостью на поверхность большого поршня и создается большое усилие, которое и совершает полезную работу. Часто поверхностное давление равно атмосферному и тогда формулу (1.5.2.) записывают в виде избыточного давления . (1.5.3) Избыточное давление есть разница абсолютного давления и атмосферного давления. В различных областях техники избыточное давление часто измеряют высотой соответствующего столба жидкости . (1.5.4) Так высоты столбов различных жидкостей, соответствующие давлению в одну техническую атмосферу, составляют: вода 10 м, бензин 13.33 м, ртуть 0.736 м, воздух 8140 м. Введенные понятия широко используются для конструирования приборов, измеряющих давления в жидкостях, называемых жидкостными манометрами. 1.6. Сила гидростатического давления на плоскую поверхность (центр давления) Рассмотрим участок плоской поверхности - S, расположенный под произвольным углом - к свободной поверхности жидкости, рис.1.6.1. а) б) Рис.1.6.1. К определению силы гидростатического давления на плоскую поверхность и положения центра давления Выделим на участке - S элементарную площадку - dS и запишем для неё силу давления, используя (1.5.2) . Интегрируя по всей площади, найдем полную силу давления , учитывая, что (см. рис.1.6.1а), а величины постоянны по всей площади S и могут быть вынесены за знак интеграла, получим . Здесь - общая площадь рассматриваемой поверхности; - статический момент всей площади S относительно оси Y, который можно заменить на произведение величины всей площади S и координаты её центра тяжести - Xc. Тогда . Учитывая, что (см. рис.1.6.1б) окончательно , (1.6.1) где - глубина, на которой находится центр тяжести рассматриваемой площади S. Следовательно, сила гидростатического давления на плоскую поверхность равна произведению площади этой поверхности - S на давление, действующее в центре тяжести этой площади - . При решении многих задач возникает необходимость определить не только суммарную силу давления, но и условный центр приложения её равнодействующей, называемый центром давления. В частности, это важно при проектировании устройств для аварийного открытия крышек (лацпортов, иллюминаторов) под водой. В общем случае центр тяжести крышки не будет совпадать с центром давления на крышку. Рис.1.6.2. К определению точки приложения равнодействующей силы избыточного давления на плоскую поверхность - центра давления. Будем полагать, что давление на свободной поверхности равно атмосферному. Если атмосферное давление также действует на плоскую поверхность с внутренней стороны, то эти давления полностью уравновешены в любой точке плоской поверхности и интерес представляют только избыточные давления от воды. На рис.1.6.2 показаны: RИ - сила избыточного давления; D - центр давления; координата - XD и глубина погружения - hD центра давления. Сила избыточного давления , (1.6.2) остальные величины подлежат определению. Рассмотрим условие, соответствующее схеме в правой части рис.1.6.2. С одной стороны - интегрирование элементарных моментов от сил давления по всей площади. С другой стороны - момент, от равнодействующей силы. Очевидно, что они равны. Тогда . Учитывая, что , а , получим . - момент инерции рассматриваемой площади относительно оси Y. Его можно представить в виде суммы собственного момента инерции (относительно центра тяжести рассматриваемой площади) и переносного момента инерции (относительно оси Y) . В результате можно записать . Заменив координаты X на соответствующие глубины h (), получим глубину, где расположен центр давления , (1.6.3) где S - площадь плоской поверхности; hC - глубина расположения центра тяжести поверхности; JC - собственный момент инерции данной площади; - угол расположения относительно свободной поверхности. Таким образом, в общем случае, центр приложения сил давления (центр давления) расположен более глубоко, чем центр тяжести, на величину второго слагаемого. Только в случае горизонтального положения ( - параллельно свободной поверхности) эти центры совпадают. Формула (1.6.3) справедлива при любой форме плоской поверхности. 1.7. Сила гидростатического давления на цилиндрическую поверхность Рассмотрим тело в жидкости, рис.1.7.1, с одной цилиндрической поверхностью (ABCD) и остальными плоскими. Если внутри тела и на свободной поверхности жидкости действуют одинаковые давления (например, атмосферное), то в любой точке поверхности тела они будут уравновешены. Поэтому достаточно рассмотреть только избыточные давления. Нас интересует сила давления - R на цилиндрическую поверхность - S, т.к. для плоских поверхностей силы давления уже рассмотрены выше. Рис.1.7.1. К определению силы давления на цилиндрическую поверхность Разложим силу R на проекции - Ry и Rz. Вначале определим силу Ry. Из условия равновесия действующих на тело сил (вдоль Y) очевидно, что . Обратим внимание, что поверхность S' (ABC'D') является плоской и сила давления для неё определяется согласно (1.6.2). С другой стороны, площадь поверхности S' есть ни что иное, как площадь проекции рассматриваемой цилиндрической поверхности - S на плоскость перпендикулярную оси Y (направлению силы Ry). Поэтому горизонтальная составляющая силы , (1.7.1) где S' - площадь проекции рассматриваемой поверхности на плоскость, перпендикулярную направлению силы; hc' - глубина положения центра тяжести проекции рассматриваемой поверхности. Таким образом, горизонтальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность может быть определена как произведение площади соответствующей проекции этой поверхности на давление в центре тяжести этой проекции. Рис.1.7.2. Поверхности АВ различны по форме и площади, но горизонтальные составляющие сил давления на них одинаковы Теперь определим вертикальную составляющую силы давления. Очевидно, что любая вертикальная сила поддержания, действующая вверх, может быть уравновешена весом соответствующего столба воды. В рассматриваемом случае уравновесить вертикальную силу давления можно, если наполнить объём тела, рис.1.7.1, той же жидкостью изнутри до уровня свободной поверхности. Следовательно, вертикальная составляющая силы давления может быть представлена , (1.7.2) где VТД - объём так называемого "тела давления", равный объёму над рассматриваемой поверхностью и ограниченный сверху свободной поверхностью. Таким образом, вертикальная составляющая силы избыточного давления равна весу жидкости в объёме тела давления. Данный вывод справедлив для поверхностей любой формы. Результирующая сила избыточного давления при известных её проекциях определяется как (1.7.3) при этом угол (1.7.4) определяет положение вектора силы относительно свободной поверхности жидкости. Горизонтальная составляющая проходит на глубине, где расположен центр давления проекции поверхности, а вертикальная составляющая - через центр тяжести объёма тела давления. Рис.1.7.3 Определение объёмов тел давления на разные поверхности 1.8. Закон Архимеда и его приложение Тело, погруженное (полностью или частично) в жидкость, испытывает со стороны жидкости суммарное давление, направленное снизу вверх и равное весу жидкости в объеме погруженной части тела. Pвыт = ρжgVпогр Для однородного тела плавающего на поверхности справедливо соотношение где: V - объем плавающего тела; ρm - плотность тела. Существующая теория плавающего тела довольно обширна, поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь гидравлической сущности этой теории. Способность плавающего тела, выведенного из состояния равновесия, вновь возвращаться в это состояние называется остойчивостью. Вес жидкости, взятой в объеме погруженной части судна называют водоизмещением, а точку приложения равнодействующей давления (т.е. центр давления) - центром водоизмещения. При нормальном положении судна центр тяжести С и центр водоизмещения d лежат на одной вертикальной прямой O'-O", представляющей ось симметрии судна и называемой осью плавания (рис. 1.8.1). Пусть под влиянием внешних сил судно наклонилось на некоторый угол α, часть судна KLM вышла из жидкости, а часть K'L'M', наоборот, погрузилось в нее. При этом получили новое положении центра водоизмещения d'. Приложим к точке d' подъемную силу R и линию ее действия продолжим до пересечения с осью симметрии O'-O". Полученная точка m называется метацентром, а отрезок mC = h называется метацентрической высотой. Будем считать h положительным, если точка m лежит выше точки C, и отрицательным - в противном случае. Рис. 1.8.1. Поперечный профиль судна Теперь рассмотрим условия равновесия судна: 1) если h > 0, то судно возвращается в первоначальное положение; 2) если h = 0, то это случай безразличного равновесия; 3) если h<0, то это случай неостойчивого равновесия, при котором продолжается дальнейшее опрокидывание судна. Следовательно, чем ниже расположен центр тяжести и, чем больше метацентрическая высота, тем больше будет остойчивость судна. 1.9. Гидростатика в примерах Общее правило решения задач • Сформулировать основную идею решения задачи (направление решения). Как правило, это условие равновесия давлений, сил или моментов сил. • Подбор формул и законов. • Максимально работать с формулами и преобразованиями. • Контроль за размерностью величин (при числовых расчетах). Задача 1: Определить уровень воды в баке h по показаниям ртутного манометра h1 и h2. Основное уравнение гидростатики: . Давление воды в т. А на ртуть: . Давление ртути в т. А на воду: . Из условия равновесия в точке А, запишем: рв = рр , сделав не ложные преобразования, получим: . Задача 2: Бревно длиной l квадратного сечения а×а выступает из пресной воды на 25%. Каков удельный вес бревна? 1. Вариант решения задачи основан на равнодействии сил, действующих на бревно (с верху и низу) Rв – Rн – G = 0. ⎧Rн = (ра + γв0,75а)аl ⎨G = aalγб ⎩Rв = рааl γб = 0,75 γв 2. Вариант решения задачи с использованием понятия объема тела давления (закон Архимеда). ⎧Rz = γвVтд = γв0,75а2l ⎩G = a2lγб Rz = G ⇒ γб = 0,75 γв Задача 3: Корпус опоры буровой платформы – цилиндр разделен на 4е водонепроницаемых отсека. Известен вес корпуса, длина и диаметр. Какова будет посадка опоры после балластировки 2х отсеков? Rz – Rб – Gк = 0 Rz = γвVтд = γв Rб = γв Определение сил давления на плоские поверхности Задача 4: Определить при каком уровне h произойдет автоматический сброс воды через плоскую крышку размером а×а и весом G (трение в петли не учитывать). Для решения задачи необходимо, чтобы выполнялось условие: MR ≥ MG. При этом по рисунку: h = hc - a/2 sin α MR = R Ld; MG = G a/2 cos α; R = γhcS = γhca2 ; hd = hc + ; Подставляем полученные выражения в генеральное условие и определяем hc. Задача 5: Определить суммарное гидростатическое давление для криволинейной поверхности АВЕ (четверть цилиндра с горизонтальными образующими длиною l), изображенной на рис. Решение. Считая равнодействующую складывающейся из двух составляющих, каждая из которых направлена под углом 45° к горизонту, можно записать в соответствии, с формулой Ri = γVi cos α Суммарное гидростатическое давление может быть найдено с помощью горизонтальной и вертикальной составляющих: В любом случае величина равнодействующей Угол между горизонтом и линией действия суммарного гидростатического давления по формуле Для поверхности сферы или кругового, цилиндра равнодействующая должна проходить через их центры. Для построения вектора проводим из точки О луч под углом α к горизонтали ЕО; в пересечении его с дугой АВЕ находится центр давления D (см. рис.). Контрольные вопросы по гидростатики 1. Избыточное давление это... 1. Центр давления это... 2. Массовые силы это... 2. Поверхностные силы... 3. Гидромеханика это... 3. Текучесть это... 4. Горизонтальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность равна... 4. Вертикальная составляющая силы давления на цилиндрическую поверхность равна... 5. Плотность это... 5. Вязкость это... 6. Основное уравнение гидростатики... 6. Сила давления на плоскую площадку... 7. Идеальная жидкость это... 7. Удельный вес это... 8. Объем тела давления 8. Свойства жидкости... 2. КИНЕМАТИКА Кинематика - раздел гидромеханики, изучающий свойства движения жидкости без учета причин его возникновения, т.е. без учета сил. По образному выражению Н.Е. Жуковского "кинематика - это геометрия движения". Поскольку силы в ней не учитываются, то её выводы остаются справедливыми как для идеальных, так и для вязких жидкостей. 2.1. Методы изучения движения жидкостей Если при движении твердого недеформируемого тела расстояние между его любыми двумя точками остается неизменным, то в жидкости могут меняться и взаимное расположение точек, и их скорости. Поэтому для описания движения жидкости необходимо большее число уравнений. Для описания и изучения движения жидкости могут использовать два метода. Метод Лагранжа. Данный метод описывает жидкость с позиций механики материальной точки, в качестве которой выступает жидкая частица. Для каждой жидкой частицы, находящейся в начальный момент времени - t0 в точке с координатами - x0, y0, z0 нужно знать изменение координат с течением времени, т.е. систему трёх уравнений Рис.2.1.1 Движение жидкой частицы Такие системы уравнений должны быть записаны для всех частиц рассматриваемого потока. В этом случае движение будет заданным, а проекции скоростей и ускорений определяются обычным способом . Зная в любой момент времени координаты частиц, их скорости и ускорения, мы фактически знаем всю кинематику движения жидкости. Очевидно, что метод Лагранжа очень громоздкий, т.к. частиц в потоке жидкости множество. Поэтому применяется он очень редко и только с использованием ЭВМ. Как правило, он необходим, если необходимо изучить движение конкретной частицы в общем потоке. Метод Эйлера. Этот метод отличается от рассмотренного выше тем, что объектом внимания являются не сами частицы жидкости, а фиксированные точки в пространстве, через которые проходят эти частицы. Если в любой точке пространства и в любой момент времени известны скорости движения (проекции) , то кинематика движения потока считается заданной. 2.2. Понятия линии тока, трубки тока, жидкой частицы и критической точки Из кинематики движения твердых частиц известно понятие траектории движения - путь пройденный частицей в пространстве. Метод Лагранжа также использует это понятие. В методе Эйлера этого понятия нет, а есть понятие линии тока. Линией тока называется кривая, в каждой точке которой в любой момент времени вектор скорости направлен по касательной. Линия тока и траектория движения частиц совпадают лишь в случае, если движение не изменяется во времени (стационарное). Рис.2.2.1 К выводу дифференциального Рис.2.2.2 Линии тока не могут уравнения линии тока пересекаться Выделим на линии тока бесконечно малый отрезок dl (рис.2.2.1). Пусть вектор скорости расположен под углами к осям X, Y, Z, соответственно. Тогда проекции вектора скорости и проекции отрезка на координатные оси можно записать в виде . Выразим из левого и правого уравнений, а затем приравняем их. Аналогично поступим с другими косинусами. В результате получим . Учитывая равенство правых частей уравнений, можно записать . (2.2.1) Это уравнение называют дифференциальным уравнением линии тока. Линии тока не могут пересекаться. Для доказательства предположим, что это не так и рассмотрим рис.2.2.2. В точке пересечения вектор результирующей скорости оказывается направленным не по касательной к линиям 1 и 2. Тогда согласно определению, данному выше, кривые 1 и 2 не являются линиями тока. Рис.2.2.3 Критические точки Рис.2.2.4 Трубка тока На рис.2.2.3 показано обтекание симметричного тела. Линии тока на бесконечно большом удалении будут прямые. Линия тока по оси симметрии от точки А до точки В проходит по контуру тела. Возникает мысль о возможности разветвления и соединения линий тока в некоторых точках потока. Но тогда в этих точках будет более одного вектора скорости, что опять же противоречит данному выше определению линии тока. В чем же дело? Оказывается, что в таких точках (ветвления) величина самой скорости равна нулю, а сами точки называют критическими. Если поперек потока провести замкнутую кривую (не являющуюся линией тока), а затем через каждую её точку провести линию тока, то образуется поверхность, называемая трубкой тока. Очевидно, что в любой точке такой поверхности скорость направлена строго по касательной, а вектор нормальной составляющей скорости равен нулю. Следовательно, жидкость внутри трубки тока, называемая жидкой струйкой, не может перетекать через поверхность трубки тока. 2.3 Классификация потоков жидкости Движение жидкости классифицируют по признаку изменения во времени и по геометрическим признакам. По признаку изменения во времени движение может быть: - установившимся (стационарным), когда скорость потока в любой фиксированной точке пространства не изменяется во времени. В этом случае локальная составляющая ускорения равна нулю, а линии тока и траектории совпадают; - неустановившимся (нестационарным) - зависящим от времени. По геометрическим признакам потоки бывают: - пространственными, например обтекание корпуса судна, лопасти гребного винта и т.п. Здесь скорость , - плоскими – течение одинаковое во всех плоскостях, например обтекание крыла с большим отношением длины к ширине (большого удлинения). Здесь скорость . В случае плоского течения существует функция тока ψ, связанная с проекциями скорости зависимостями: в прямоугольных координатах , в полярных координатах . Разность значений функции тока в двух точках (А и В) равна расходу жидкости сквозь цилиндрическую поверхность единичной высоты, проходящей через кривую, соединяющую эти точки QAB = ψB - ψA. Знание функции тока упрощает и нахождение линий тока, так как уравнение их семейства принимает вид ψ = С. Функция тока по проекциям может быть определена исходя по формуле: , или - осесимметричное – течение одинаковое во всех плоскостях, проходящих через одну и ту же ось, например обтекание корпуса торпеды, которое удобно описывать в цилиндрических координатах. Здесь скорость , где x-координата вдоль оси симметрии корпуса, r-координата отстояния от оси симметрии, t-время. 2.4 Формы уравнения неразрывности. Объёмный расход жидкости. Закон сохранения массы (материи) является одним из основных в природе. Его можно записать в виде Безусловно, он справедлив и для жидкости. Учитывая, что масса и объём связаны для однородной жидкости (), получим . (2.4.1) Если жидкость однородна и несжимаема, то любой выделенный в ней объём остается постоянным по величине, независимо от времени (закон сохранения объёма). Пусть в потоке жидкости находится мысленно замкнутая поверхность -S, охватывающая объём - V. Выделим на этой поверхности элементарную площадку - dS, рис.2.4.1. Рис.2.4.1 К понятию объёмного расхода Рис.2.4.2 Участок жидкой струйки Разложим вектор скорости потока () в районе площадки dS на нормальную () и касательную () составляющие. Тогда объем жидкости, протекающий через элементарную площадку в единицу времени, будет пропорционален нормальной составляющей скорости и равен (м3/с) . Назовем эту характеристику элементарным объёмным расходом. Для всей поверхности S объёмный расход . Очевидно, что с учётом закона сохранения объёма (2.4.1) и того, что поверхность S является замкнутой, сколько жидкости втекает внутрь объёма, столько же и вытекает из него. То есть . (2.4.2) Это интегральная форма уравнения неразрывности. Рассмотрим участок жидкой струйки, рис.2.4.2. Выделим два сечения перпендикулярно потоку. При бесконечно малых размерах сечений dS1 и dS2 скорости по сечениям можно считать постоянными и равными V1 и V2, соответственно. Тогда объёмные расходы через сечения Согласно определений "трубки тока" и "жидкой струйки" протекания жидкости сквозь поверхность трубки тока быть не может. Тогда через сечения 1 и 2 в единый момент времени должно проходить равное количество жидкости и можно записать Если перейти к трубе с конечными размерами сечений, то в общем случае распределения скоростей по сечениям не будут равномерными, рис.2.4.3. Но ввиду не протекания жидкости через стенки . Используя для любого сечения понятие осреднённой скорости потока , получим . (2.4.3) Это уравнение неразрывности в гидравлической форме. Из него следует, что с увеличением площади сечения трубы средняя скорость потока в ней будет падать, и наоборот, чем меньше площадь сечения трубы, тем выше в ней скорость. Получим ещё одну важную для приложений форму уравнения неразрывности жидкости. Рассмотрим (рис.2.4.4) прямоугольный параллелепипед со сторонами в потоке жидкости с проекциями скоростей на гранях, совмещённых с координатными плоскостями, - . Рис.2.4.3 К уравнению неразрывности Рис.2.4.4 К уравнению неразрывности в гидравлической форме в дифференциальной форме Определим расход жидкости через грань 1234 и грань 5678. Расход в направлении внешней нормали к грани будем считать положительным. . Общий расход через обе рассмотренные грани (вдоль оси Z) составит . Аналогичные рассуждения вдоль других осей в итоге приводят к . Фактически все грани образуют замкнутую поверхность, и следовательно общий расход через неё равен нулю (см. 2.4.2), т.е. . Суммируя и поделив каждое слагаемое на величину элементарного объёма, равную , получим . (2.4.4) Это дифференциальная форма уравнения неразрывности. В частном случае плоского потока уравнение имеет вид и позволяет утверждать следующее. Если вдоль одной оси скорости жидкости возрастают (ускорение), то вдоль другой оси скорости жидкости должны убывать (торможение). 2.5 Ускорение жидкой частицы Скорость в общем случае зависит как от координат, так и от времени, т.е. является сложной функцией . Производная от этой сложной функции по времени и есть ускорение, т.е. . Учитывая, что , , , запишем в векторной форме (2.5.1) или в проекциях на координатные оси . (2.5.2) Здесь первые выделенные слагаемые являются ускорениями в привычном смысле (изменение скорости во времени) и называются в гидромеханике местным или локальным ускорением. Выделенные правее слагаемые называют конвективным ускорением жидкой частицы. Таким образом, ускорение жидкой частицы в общем случае является суммой локального и конвективного ускорения. Последнее не зависит от времени. Следовательно, даже в стационарном (установившемся) потоке, не меняющемся во времени, жидкие частицы могут иметь отличные от нуля ускорения, если скорости в разных точках потока не равны. В качестве иллюстрации рассмотрим стационарное движение в трубе переменного сечения, рис.2.5.1. Здесь в любой i-ой точке потока не зависимо от времени. Однако очевидно, что жидкая частица, движущаяся вдоль оси трубы, будет иметь участок ускорения (1-2), а затем участок торможения (2-3). Только в одной точке-2 ускорение будет равно нулю. Рис.2.5.1. К иллюстрации конвективного ускорения в стационарном потоке 2.6 Обращение движения Предположим, что тело движется в покоящейся жидкости прямолинейно и с постоянной скоростью - V0 в неподвижной системе координат, рис.2.6.1а. Движение, вызванное телом в окружающей жидкости, будет нестационарным. Для подтверждения этого достаточно записать изменение скорости во времени в точке 1. Изучать (описывать) нестационарное движение сравнительно сложно, поэтому в гидромеханике широко используется приём обращения движения. Рис.2.6.1 Реальное нестационарное движение жидкости, возмущаемой телом (а), и стационарное движение после приёма обращения (б) Возьмём систему координат, неподвижно связанную с телом, а жидкость представим в виде набегающего со скоростью - V0 потока. Нетрудно убедится, что в любой точке потока движение будет стационарным. При обращении движения кинематика движения жидкости в принципе меняется, но при этом не меняются ускорения, а следовательно и силы взаимодействия, которые и представляют основной интерес. Докажем равенство ускорений в обоих случаях. Пусть в точке 1 реального потока (рис.2.6.1а) скорость -V1. Ускорение соответственно равно . В соответствующей точке 1 обращённого потока (рис.2.6.1б) скорость равна V1+V0, где второе слагаемое не изменяется во времени и в пространстве. Ускорение соответственно равно . Таким образом, доказано, что ускорения одинаковы в обоих случаях. Приём обращения движения широко используется не только в теоретической, но и в экспериментальной гидромеханике (например, в аэрогидродинамических трубах). 2.7 Анализ движения жидкой частицы Как и твердые тела, жидкие частицы могут двигаться поступательно и вращаться вокруг мгновенной оси с угловой скоростью. На этом аналогия заканчивается. Вследствие лёгкой деформируемости жидкие частицы дополнительно имеют специфичный вид движения - деформационный. При неизменности своего объёма жидкая частица может (рис.2.7.1, позиции 3 и 4): - сжиматься (растягиваться) - линейная деформация; - сдвигаться (скашиваться) - угловая деформация. Рис.2.7.1 Виды движения Рис.2.7.2 Жидкая частица и жидкой частицы приращения скоростей Рассмотрим жидкую частицу, находящуюся в плоском движении, рис.2.7.2. Здесь - размеры сторон частицы, а точка 1 принята за полюс, перемещающийся со скоростью . На рисунке показаны и далее рассматриваются только дополнительные скорости (приращения). Определим характеристики деформационного и вращательного движения жидкой частицы. При этом нас будут интересовать не сами деформации, а скорости деформаций. Скорость деформаций это отношение скорости к первоначальному размеру стороны частицы. Рассмотрим 2 случая: 1 - скорости направлены вдоль соответствующих осей; 2 - скорости направлены перпендикулярно соответствующим осям. Случай 1. Схема показана на рис.2.7.3. Здесь т.е. частица получает только линейные деформации. С учетом данного определения для скоростей деформаций , , . Рис.2.7.3 Приращения скоростей Рис.2.7.4 Приращения скоростей направлены вдоль осей направлены перпендикулярно осям Если все составляющие скоростей деформаций сложить , (2.7.1) то получим уравнение неразрывности в дифференциальной форме (2.4.4) и равенство нулю в правой части. Это означает, что частица не может только растягиваться или сжиматься одновременно вдоль всех осей. Случай 2. Схема показана на рис.2.7.4. Здесь . Очевидно, что грани частицы 1-2 и 1-4 вращаются вокруг полюса-1. Определим угловые скорости вращения граней в виде: , . Величина угловой скорости деформаций всей частицы вокруг оси-Z, перпендикулярной плоскости XOY, определяется как среднеарифметическое . В результате для всех проекций угловых скоростей деформаций , , .(2.7.2) Угловые скорости деформаций и сдвиговое движение частицы возможны без её вращения, если угловые скорости сторон равны по величине и направлены противоположно, на рис.2.7.4. Если же они направлены в одну сторону или не равны по величине, то будет происходить угловое вращение всей частицы вокруг полюса-1, рис. 2.7.5. Угловая скорость частицы характеризуется среднеалгебраическим значением (положительным принимаем направление против часовой стрелки) . В результате для всех проекций угловых скоростей вращения: , , .(2.7.3) Таким образом, в общем случае движение жидкой частицы представляет собой сумму поступательного (V), вращательного () и деформационного () движений. Рис.2.7.4 Приращения скоростей направлены перпендикулярно осям в разные стороны 3. ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ Если угловые скорости вращения частиц жидкости (2.7.3) отличны от нуля, то движение называют вихревым. 3.1 Основные понятия вихревого движения По аналогии с понятием линии тока (см.2.2) введём понятие вихревой линии. Вихревой линией называют линию, в каждой точке которой вектор угловой скорости вращения жидких частиц направлен по касательной. Направление вектора угловой скорости совпадает с направлением мгновенной оси вращения частицы, рис.3.1.1а. а) б) в) Рис.3.1.1 Вихревая линия (а), вихревая трубка или вихрь (б), циркуляция скорости по контуру (в) Дифференциальное уравнение вихревой линии аналогично дифференциальному уравнению линии тока (2.2.1) и имеет вид . (3.1.1) Вихревой трубкой или вихрём называется замкнутая поверхность, образованная вихревыми линиями, вместе с находящейся внутри жидкостью, рис.3.1.1б. Удвоенное произведение угловой скорости вращения частиц на площадь поперечного сечения (перпендикулярного вектору угловой скорости) называют интенсивностью вихря. Для элементарного вихря с бесконечно малым сечением . Размерность угловой скорости - сек-1, размерность площади - м2. Следовательно интенсивность вихря имеет размерность - м2/сек. Для вихря с конечными размерами сечения . (3.1.2) Интенсивность является количественной характеристикой вихрей. Рассмотрим замкнутый контур в потоке жидкости, рис.3.1.1в. В районе пересечения произвольной линии тока с контуром выделим элементарный отрезок. Разложим вектор скорости на нормальную и касательную составляющие к этому отрезку. Нормальная составляющая скорости использовалась нами для введения понятия расхода (рис.2.4.1 и формула 2.4.2). Теперь используем касательную составляющую скорости и введём новое понятие - циркуляции скорости. Элементарной циркуляцией скорости называют произведение длины элементарного отрезка и касательной к нему составляющей скорости . Тогда по всему замкнутому контуру величина циркуляции скорости очевидно равна . (3.1.3) Нетрудно убедиться, что размерность циркуляции скорости - м2/с и совпадает с размерностью интенсивности вихря. 3.2 Связь интенсивности вихря и циркуляции скорости (теорема Стокса) Поместим в вихревой поток элементарный прямоугольный контур со сторонами dX и dY, рис.3.2.1, и определим для него циркуляцию скорости. Положительным будем считать значение, когда вектор скорости совпадает с направлением обхода контура против часовой стрелки. Рис.3.2.1 К определению циркуляции скорости по замкнутому контуру . Таким образом . (3.2.1) Согласно (2.7.3) содержимое в скобках есть удвоенная угловая скорость вращения частиц - , а вне скобок - площадь элементарной площадки, перпендикулярной вектору угловой скорости. Но согласно п.3.1 , т.е. мы получили интенсивность элементарного вихря. Следовательно, или, переходя на контур конечных размеров, можем записать . (3.2.2) Теорема Стокса. Циркуляция скорости по любому замкнутому контуру равна интенсивности всех вихрей, пронизывающих поверхность, ограниченную этим контуром. Причины появления вихрей в жидкости могут быть самими различными. Источником образования вихрей в покоящейся жидкости могут быть движущиеся в ней тела. 3.3 Формы существования вихрей (теорема Гельмгольца) Рассмотрим участок вихревой трубки между двумя произвольными сечениями, рис.3.3.1, и разрежем поверхность трубки вдоль одной из вихревых линий. Поверхность вихревой трубки по определению не может быть пронизана ни одним из вихрей. Тогда, согласно теореме Стокса циркуляция скорости по замкнутому контуру поверхности трубки равна нулю, т.к. равна нулю интенсивность пронизывающих вихрей - их нет. Из сказанного следует, что . Запишем циркуляцию скорости в виде суммы циркуляций по всем участкам контура поверхности, рис.3.3.1. Двигаясь вдоль контура от точки А, положительной будем считать циркуляцию, если поверхность остаётся слева от направления движения. . В данном случае учтено, что , а . Циркуляции и равны и противоположно направлены, поэтому их сумма равна нулю. Тогда для оставшихся слагаемых циркуляций можно записать . С учетом теоремы Стокса это равенство можно переписать , (3.3.1) т.е. интенсивность вихря в обоих произвольно выбранных по длине сечениях одинаковая. К этому выводу первым пришёл Гельмгольц. Теорема Гельмгольца. Интенсивность вихря вдоль его длины есть величина постоянная. Тогда (3.3.2) или с учётом (3.1.2) можно записать , (3.3.3) где - средняя (по сечению вихря) угловая скорость вращения частиц; - площадь поперечного сечения вихря. Если сравнить (3.3.3) с (2.4.3) для объёмного расхода трубки тока, то можно заметить аналогию с интенсивностью вихря (внутри вихревой трубки) и постоянство этих характеристик вдоль соответствующих трубок. Следствия теоремы Гельмгольца: 1. С уменьшением площади сечения вихря угловые скорости вращения частиц возрастают (и наоборот). 2. Вихрь не может закончиться в жидкости, т.к. при , , а вращение с бесконечной скоростью физически невозможно. Из второго следствия следует, что вихрь внутри жидкости может закончиться либо на границах жидкости - свободной или твердой поверхностях, либо замыкаться в вихревое кольцо. Разные формы возможного существования вихрей в жидкости иллюстрируются на рис.3.3.2. В теории крыла рассматриваются полубесконечные вихри, берущие начало на твердой кромке крыла и уходящие в бесконечность. С удалением от начала вихря его сечение увеличивается, а скорости вращения частиц уменьшаются. Вихрь как бы "размывается" в жидкости, а его энергия переходит в тепловую. В невязкой (идеальной) жидкости вихрь теоретически должен существовать неограниченно долго. В вязкой жидкости из-за трения интенсивность вихря постепенно уменьшается, но во времени, а по длине (согласно теореме Гельмгольца) остаётся неизменной. 4. БЕЗВИХРЕВЫЕ ТЕЧЕНИЯ ЖИДКОСТИ Если угловые скорости вращения частиц жидкости равны нулю, то движение называют безвихревым. Движение реальных жидкостей из-за вязкости всегда вихревое. Однако вязкость, как правило, проявляется в ограниченных объёмах в непосредственной близости от твердых стенок. Основная же часть потока может рассматриваться с позиций безвихревого движения и теоретически описывается более просто. 4.1 Потенциал скорости и уравнение Лапласа Угловые скорости вращения равны нулю , если согласно (2.7.3) выполняются условия: , , . (4.1.1) В математической теории поля доказано, что в случае выполнения условий (4.1.1) существует такая функция , частные производные, от которой по координатам равны проекциям скоростей на соответствующие оси, т.е. , , . (4.1.2) Нетрудно убедиться, что функция имеет размерность [м2/с]. Функцию называют потенциал скорости, а безвихревое движение - потенциальным. Существование функции - потенциала скорости значительно упрощает решение задач, т.к. вместо трёх функций , , достаточно определить (найти) одну - . Вспомним уравнение неразрывности жидкости в дифференциальной форме (2.4.4) . Заменив в нём проекции скоростей на производные от потенциала, согласно (4.1.2), получим . (4.1.3) Это известное в математике уравнение Лапласа. Его решение приводит к определению функции потенциала скорости . Как известно, решение дифференциальных уравнений требует задания начальных и граничных условий конкретной задачи. 4.2 Метод наложения (сложения) потенциальных потоков Прямое определение функции потенциала скорости сложных потоков путем решения (4.1.3) возможно далеко не всегда. Однако, для простых потоков решения получить можно. Такие решения имеются в справочниках. Тогда возникает вопрос - можно ли представить сложный поток как совокупность (сумму) более простых потоков? Допустим, что и потенциалы простых известных нам потоков, удовлетворяющие уравнению Лапласа (4.1.3). Рассмотрим функцию, которая представляет собой простую сумму указанных потенциалов, и подставим её в уравнение Лапласа . Так как содержимое в каждой скобке равно нулю, то и их сумма равна нулю. Следовательно функция есть также потенциал скорости, удовлетворяющий уравнению Лапласа. Таким образом, потенциал скорости сложного потока можно представить в виде суммы потенциалов нескольких простых потоков. 4.3 Простейшие стационарные потенциальные потоки 4.3.1 Поступательный поток. Рассмотрим поток, линии тока которого показаны на рис.4.3.1. Для него можно записать , , . Так как значение потенциала не зависит от координат Y и Z, а только от X, то можно от частной производной перейти к общей или . Интегрируя, получим . Так как функция нужна только для определения скорости, то постоянную интегрирования - С можно просто опустить. В результате, потенциал скорости . (4.3.1) 4.3.2 Пространственный источник и сток. Представим себе, что из некоторой точки в окружающее пространство непрерывно и равномерно во все стороны поступает жидкость. Такую точку назовём пространственным источником. Количественной характеристикой интенсивности такого источника будем считать объёмный расход жидкости - Q [м3/с]. Если вокруг источника радиусом - R описать сферу, где центр-источник, то скорости потока - VR будут направлены по внешним нормалям и одинаковыми в любой точке поверхности этой сферы. Площадь поверхности такой сферы равна . Расход жидкости через поверхность сферы () по закону сохранения объёма должен равняться интенсивности (расходу) источника, откуда скорость . (4.2.2) Тогда потенциал скорости . (4.3.3) Если радиус сферы устремить к нулю, то согласно (4.2.2) скорость в самом источнике становится бесконечной. Практически это невозможно, как и невозможен источник с нулевыми размерами. В теории такие точки называют особыми (математические особенности) и области в непосредственной близости от этих точек исключаются из рассмотрения. Все приведённые формулы справедливы и для пространственного стока - точки, в которой происходит отбор жидкости - но знак интенсивности для стока меняется на противоположный. 4.3.3 Плоский источник и плоский сток. Напомним, что плоскими мы считаем потоки, зависящие от двух координат. Линии тока плоского источника показаны на рис.4.3.3. Интенсивность плоского источника Q имеет размерность [м2/с] и представляет собой расход на единицу длины плоского источника. Аналогично (4.2.2) запишем (4.3.4) тогда потенциал скорости . (4.3.5) Для стока знак интенсивности меняется на противоположный. 4.3.4 Плоский циркуляционный поток. Пусть в жидкости вдоль оси Z находится бесконечно длинный прямой вихрь. Частицы двигаются вокруг него по концентрическим окружностям в плоскости XOY, рис.4.3.4. Вычислим циркуляцию скорости вдоль окружности , откуда . Тогда потенциал скорости с учётом , (4.3.6) где Г - циркуляция (интенсивность вихря). 4.4. Наложение простейших потоков При графическом наложении (сложении) двух потоков нужно, чтобы между двумя смежными линиями тока каждого из потоков расход жидкости был одинаков. 4.4.1 Наложение источника и стока. Плоский диполь. Рассмотрим случай, когда плоский источник и плоский сток имеют одинаковую (по абсолютной величине) интенсивность и отстоят друг от друга на расстоянии - а. Их линии тока показаны на рис.4.4.1а тонкими линиями. Равенство расходов между двумя линиями тока здесь обеспечивается равенством углов между ними. Линии тока результирующего потока проходят через точки пересечений и показаны более жирными линиями. Рис.4.4.1 Наложение источника и стока (а) и плоский диполь (б) Устремим источник и сток друг к другу (), но так, чтобы величина (называется моментом) , т.е. интенсивности должны возрастать. В итоге получим результирующий поток, показанный на рис.4.4.1б. Такой поток соответствует так называемому плоскому диполю с характеристикой - моментом М. Функция (4.4.1) есть потенциал скорости плоского диполя. 4.4.2 Наложение циркуляционного потока и стока. Вихресток. Рассмотрим случай, когда плоский сток расположен в центре циркуляционного потока. Их линии тока показаны на рис.4.4.2 более тонко. Соединив точки пересечения, получим линии тока (более жирные) результирующего потока, который носит название - вихресток. В случае объёмного стока и вихря получается картина, которая наблюдается при спуске воды из ванны. 4.4.3 Наложение поступательного потока и источника. Обтекание полутела. Рассмотрим случай, когда в поступательном потоке жидкости со скоростью движения V0 расположен источник с интенсивностью Q. Для наглядности построения выполним для случая плоских потоков. Пусть линии тока источника отстоят на угол , тогда расход жидкости между двумя линиями . Расход между двумя линиями тока поступательного потока . Величину расстояний между линиями тока определяем из равенства расходов . Результирующий поток (результат наложения) показан более жирно на рис. 4.4.3 (только выше оси - х). Как видно, линии тока разбиваются на две группы. Жидкость поступательного потока как бы обтекает контур полутела и не перемешивается с жидкостью от источника. По оси - х контур полутела (критическая точка) отстоит от источника на расстоянии, которое можно определить из условия равенства нулю скорости движения результирующего потока в этой точке. или - называют радиус полутела. 4.4.4 Наложения большего числа потоков. Если в поступательный поток поместить одновременно источник и сток (одинаковой по величине интенсивности) на расстоянии друг от друга, то результирующий поток будет иметь вид, показанный на рис. 4.4.4. Рис.4.4.4 Обтекание овала поступательным потоком Если источник и сток совместить (получим диполь), то овал превратится в окружность. В более сложных случаях, размещая вдоль оси - х множество источников и стоков (суммарная интенсивность которых по величине равна) можно получить картину обтекания тела достаточно сложной формы. 4.5. Кинематический анализ потоков жидкости Кроме графического представления потоков в гидромеханике возникают задачи, связанные с анализом потоков жидкости, заданных аналитически. Такой анализ использует ранее полученные условия и выражения и может включать: 1.Проверку условия неразрывности (2.4.4). 2.Анализ ускорений жидких частиц (2.5.2). 3.Анализ деформаций жидких частиц (2.7.1-2). 4.Анализ вращения жидких частиц (2.7.3). Выполним кинематический анализ на примере потока, для которого имеется потенциал скорости , где x, y – координаты; t – время; a, b - константы. Определим проекции скоростей потока . Видно, что скорости меняются в пространстве и во времени. Поток плоский и нестационарный. Проверим условие неразрывности . Условие выполнено, т.е. жидкость потока удовлетворяет условию сплошности. Определим ускорения . Частицы данного потока имеют как локальные, так и конвективные ускорения. Определим деформации частиц потока , . Частицы растягиваются вдоль оси-x и сжимаются вдоль оси-y без сдвига. Определим скорости углового вращения частиц . Вращения нет - движение безвихревое. 4.6. Методы анализа потенциальных течений и обтекания тел Конечной целью большинства методов является точное или приближённое решение уравнения Лапласа (4.1.3) и нахождение функции потенциала скорости при заданных начальных и граничных условиях конкретной задачи. 4.6.1 Метод наложения простых потоков Метод заключается в том, что твердое тело заменяется совокупностью действующих дискретных гидродинамических особенностей – источников, стоков, вихрей и диполей. Для замкнутых тел суммарный расход источников и стоков должен равняться нулю. Достоинство: простота и наглядность. Недостатки: ограниченное количество гидродинамических особенностей. Данный метод используется для плоских и осесимметричных потоков. 4.6.2 Метод интегральных уравнений Данный метод аналогичен предыдущему, но гидродинамические особенности в виде истоков, стоков и вихрей представляются не дискретно, а в виде распределенных по поверхности тела или вдоль оси его симметрии. Это позволяет перейти от суммирования дискретных особенностей к их интегрированию. 4.6.3 Метод конформных отображений По-другому, этот метод называют методом теории функции комплексного переменного. Данный метод основан на преобразовании задачи в исходной системе координат хоу к более простой задачи в другой системе координат ςоη (рис.4.6.1). Рис.4.6.1. Переход от сложной задачи к простой. Исследование обтекания плоского контура сложной формы с помощью преобразования математических функций сводится к хорошо изученному обтеканию простого контура, комплексный потенциал которого известен. Наиболее употребительными являются отображения потоков вокруг заданного контура на поверхность круга или полуповерхность, комплексные потенциалы которых известны: для круга Зная кинематические характеристики вокруг простых контуров с помощью преобразования функций можно получить кинематические характеристики вокруг заданного сложного контура. Преобразование функций для различных форм контуров, различны. Этот метод допустим только для плоских потоков, и широко используется для расчета крыльев большого размаха. 4.6.4 Метод конечных элементов В вариационном исчислении доказано, что решение краевой задачи уравнения Лапласа равносильно нахождению функции ϕ , обеспечивающий минимум функционала Iϕ . В данном методе поток жидкости разбивается на подобласти (треугольники или квадраты), рис. 4.6.2. В результате разбиения получим Δ-ную сетку. Задаются граничными условиями для потока . В каждой треугольной области функция ϕ заменяется простой (линейной) зависимостью ϕ = а+вх+сх с коэффициентами, выраженными через значения ϕ в углах треугольника. В конечном итоге получается система алгебраических уравнений, где число уравнений равно числу узловых точек, а неизвестными являются конечные значения коэффициентов а, в, с. Решение полученной системы уравнений и есть значение функции ϕ в узлах сетки. Данный метод неудобен при изучении бесконечных и полубесконечных потоков, в громоздкости задания данных и неточности. Для обеспечения необходимой точности вводится большое количество подобластей. Достоинство – данный метод обеспечивается программными продуктами. 4.6.5. Метод электрогидродинамической аналогии Данный метод основан о том, что потенциал напряжений электрического поля, как и потенциал скоростей потока жидкости удовлетворяет уравнению Лапласа. Кроме того, соблюдается аналогия непротикания на границах и через неэлектропроводную поверхность. Это позволяет заменить исследование электрического поля. Источник постоянного тока подключается поперек потока на достаточном удалении (рис.4.6.3). Для данного метода используются ванны с электролитом или электропроводная бумага. 5. ДИНАМИКА НЕВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Динамика - раздел гидромеханики, изучающий движение жидкости в зависимости от сил разной природы. Случай невязкой жидкости (отсутствие вязкости и равенство нулю касательных напряжений) является наиболее простым. Давления здесь называют гидродинамическими и они обладают теми же двумя свойствами, что и гидростатические в покоящейся жидкости (давления только сжимающие – 1, давление не зависит от ориентации площади – 2). 5.1. Дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости в форме Эйлера Рассмотрим жидкую элементарную частицу в форме параллелепипеда, движущуюся со скоростью V. На нее действуют поверхностные силы, а из массовых сил учтем только силу тяжести G. Обратимся к рис.5.1, где показаны только силы вдоль оси Z. Согласно второму закону Ньютона m a = ∑F можно записать вдоль оси Z . После преобразования, получим , если по аналогии записать данное уравнение для других осей, то получим систему дифференциальных уравнений, которую впервые получил Эйлер. Учитывая, что в невязкой жидкости Px=Py=Pz=P, тогда в этой системе, состоящей из трех уравнений, имеем четыре неизвестных P, Vx, Vy, Vz, которые зависят от координат и времени. Чтобы замкнуть систему используют дополнительно уравнение неразрывности. 5.2. Начальные и граничные условия Для решения системы дифференциальных уравнений их необходимо подчинить начальным и граничным условиям. Начальные условия – это задание р0 и V0 (давлений и скоростей) в начальный момент времени t=t0. Имеют смысл только в неустановившихся движениях. Граничные условия – это условия для р и V на границах потока, выполняющиеся в любой момент времени. Граничные условия подразделяются на: • кинематические, т.е. задаются скорости движения жидких частиц непосредственно прилегающих к поверхностям, ограничивающих движущуюся жидкость (твердые стенки, смоченная поверхность тела и т.д.); • динамические, т.е. задаются давления на поверхности, ограничивающей жидкость. На свободной поверхности жидкости при волнении и без него давление всегда равно атмосферному. Рассмотрим абсолютное движение тела с площадью поверхности S, движущегося вдоль отрицательного направления оси х с постоянной скоростью V0 твердой стенки с площадью поверхности S1 (рис.5.2). Т.к. движение жидкости, вызванное движением твердого тела, затухает далеко впереди, то кинематические граничные условия записываются: х = -∞ и V=0. Исходя из того, что жидкость не может перетекать через твердую стенку вдоль всей поверхности S1, Vn=0 (нормальная скорость). Учитывая, что жидкость не может отрываться от движущегося тела S, то граничные условия по поверхности S: Vn=Vтп (Vтп – проекция скорости тела на нормаль в данной точке). Рассмотрим обращенное движение тела S вблизи твердой стенки S1, т.е. обтекание поступательным потоком, движущимся со скоростью V=-V0. При обтекании твердого тела нормальная составляющая скорости движения жидкости на поверхности тела равна нулю, а касательная составляющая равна полному вектору скорости. 5.3. Интегрирование уравнений движения. Уравнение Бернулли. Рассмотрим установившееся движение жидкости вдоль одной из линии тока. За время dt частица проходит путь ds = Vdt или в проекциях на координатные оси: Vxdt = dx Vydt = dy Vzdt = dz. Умножим левые части в этих уравнениях на левые части системы уравнений Эйлера, а правые – на правые, получим: . Просуммируем правые и левые части уравнений, сократив dt. . Левая часть последнего уравнения есть дифференциал: . Скобка в правой части есть полный дифференциал давлений: . Тогда сумма примет вид: или . Если дифференциал функции равен нулю, то сама функция есть константа: [м2/с2], умножив все слагаемые на ρ, получим: [Н/м2], а разделив на g, получим: [м]. Последние три уравнения называют интегралом или уравнением Бернулли. Они записаны в трех формах и отличаются размерностями слагаемых. Эти уравнения справедливы только для идеальной жидкости и только для частиц жидкости расположенных на одной линии тока. 5.4. Физический смысл уравнения Бернулли Умножим уравнения Бернулли на вес частицы жидкости - ΔG = mg. . В первом слагаемом ΔG/g = Δm – масса. Следовательно, первое слагаемое есть кинетическая энергия жидкой частицы. (mV2/2). Во втором слагаемом p/ρg = h. Поместим, пустую трубку в жидкость. Жидкость поднимется до уровня H пропорционально давлению р. Следовательно, [Нм] можно представить как работу, которую совершает давление, поднимая частицу на высоту h. Иными словами это потенциальная энергия давления. В третьем слагаемом, как и в механике твердого тела, имеем потенциальную энергию положения частицы весом ΔG относительно плоскости сравнения. Таким образом, уравнение Бернулли в любой форме выражает закон сохранения энергии. Каждое из слагаемых может меняться (энергия с одного вида переходит в другой), но в сумме энергия постоянная. Это справедливо только для навязкой жидкости и одной линии тока. 5.5.Распределение давления по поверхности тела, движущегося в жидкости. Коэффициент давления Пусть твердое тело движется с постоянной скоростью в невязкой жидкости, которую для упрощения изучения считаем вначале безграничной (например, подводное судно, глубоко погруженное под свободную поверхность океана). Также для простоты тело считаем симметричным относительно его диаметральной плоскости, которая остается параллельной вектору во все время движения. Если движение жидкости, вызванное движением тела, рассматривать в неподвижной системе координат, то, как показано в кинематике, оно будет неустановившимся, а картина линий тока в качественном отношении будет иметь вид, изображенный на рис. 3.1. Чтобы упростить решение задачи, используем принцип обращения движения. Тогда тело будет представляться неподвижным, а жидкость - натекающей на него со скоростью . В каждой точке потока скорость с течением времени изменяться уже не будет, т.е. движение жидкости станет установившимся. Как показано в кинематике, такая замена не приведет к изменению динамических характеристик потока (давление, силы). Однако картина обтекания тела изменится, и линии тока будут иметь вид, показанный на рис. 3.2, а. В силу условия плавного обтекания поверхность тела есть поверхность тока, состоящая из совокупности линий тока, к каждой из которых можно применить интеграл Бернулли . Сделаем это по отношению к точкам центральной линии тока ОАСВ, лежащей в диаметральной плоскости тела и нормальной к его поверхности в точках А и В. Поскольку рассматриваем безграничную жидкость, гидростатическим давлением интересоваться не будем и рассмотрим распределение избыточного давления по отношению к гидростатическому. Тогда для точки О, расположенной далеко перед телом, где поток не возмущен присутствием тела, скорость V0, а давление р0 и для точки С на поверхности тела, где скорость V1, а давление р1 имеем . Отсюда давление в произвольной точке поверхности тела . Таким образом, для получения полной количественной картины распределения давления необходимо знать скорости и V1 во всех точках поверхности тела. Однако его качественную картину можно выяснить, рассматривая лишь некоторые характерные точки потока. Заметим, что в точках А и В, где происходит ветвление потока, на поверхности тела скорости равны нулю в силу кинематического граничного условия плавного обтекания. Такие точки носят название критических. Полагая V1= 0, находим давление в критических точках . Легко видеть, что оно является максимальным на поверхности тела и больше давления невозмущенного потока на величину , называемую скоростным напором. В точках, лежащих в миделевой части тела, происходит стеснение потока, и в силу уравнения неразрывности скорости в них больше V0. Следовательно, давление там ниже давления р0 невозмущенного потока. Далеко за телом, где вызванные телом возмущения затухают, V1= V0 и р1= р0. Изложенное позволяет построить качественную эпюру распределения давления по поверхности тела. Ее удобно представить в безразмерном виде; перенося р0 в левую часть уравнения и деля обе части на , получим - отношение избыточного давления к скоростному напору. Качественная эпюра коэффициента давления имеет вид, показанный на рис. 3.2, б. Удобство использования коэффициента заключается в его свойствах: его величина не зависит от рода жидкости и от скорости набегания потока. Это используется при испытаниях моделей в воздушных аэродинамических трубах без обеспечения подобия по скоростям и роду жидкости; коэффициент давления зависит только от формы тела и координаты (х). Зная легко получить само давление; условия (1) и (2) строго справедливы только для идеальной жидкости, но для хорошо обтекаемых тел практически выполняются и для реальных жидкостей. Подчеркнем, что изображенная сплошной линией эпюра построена для невязкой безграничной жидкости. При движении тела в реальной жидкости давление в ней за счет вязкостных эффектов перераспределяется. Эксперименты показывают, что для удлиненных тел, с большим отношением длины к ширине, эпюра коэффициента давления в носовой части, как правило, близка к построенной для невязкой жидкости. В кормовой же части, благодаря влиянию вязкости, величины несколько снижаются, и эпюра коэффициента давления примет вид, показанный на рис. 3.2, б пунктиром. Причины этого снижения будут рассмотрены позже, при изучении динамики вязкой жидкости и пограничного слоя. Если тело движется не в безграничной жидкости, а по ее свободной поверхности (например, надводное судно), то вследствие неравномерности распределения давления вдоль корпуса на свободной поверхности образуются так называемые корабельные волны, распространяющиеся в определенных направлениях. Ввиду того, что в районе носа давление повышенное (рис. 3.2), там следует ожидать подъема воды, т.е. вершину волны (рис. 3.3). Ее высоту можно приближенно оценить, используя уравнение Бернулли для обращенного движения жидкости. Совместим координатную плоскость Оху со свободной поверхностью воды в равновесном состоянии (при отсутствии волн), а ось Оz направим, как обычно, вертикально вверх. Поверхность воды в силу кинематического граничного условия на ней есть поверхность тока, поэтому к точкам линии ОАВ волнового профиля можно применить интеграл Бернулли. Для полного давления, включая гидростатическое, в точках О и А он имеет вид Но во всех точках свободной поверхности давление равно атмосферному; следовательно, р0 = рА = ра. Далеко перед телом, в точке О, где вода еще не возмущена движением тела, ее поверхность горизонтальна, поэтому z0 = 0. В точке А, где происходит ветвление потока на левый и правый борт, линия тока нормальна по отношению к поверхности тела, значит скорость в ней VА = 0, т.е. точка А является критической. С учетом этих замечаний последнее уравнение примет вид , откуда подъем воды в точке А . Поскольку всегда zА > 0, то в носовой части тела действительно располагается вершина волны. В кормовой части, в районе точки В, где скорость, согласно эпюре рис. 3.2, также близка к нулю, тоже следует ожидать вершину волны. Однако приведенная выше даже сугубо приближенная оценка высоты кормовой волны смысла не имеет: в кормовой части тела происходит сложная интерференция различных систем корабельных волн, расчету которой посвящен специальный раздел курса "Сопротивление воды движению судов" - теория волнового сопротивления. 5.6. Кавитация жидкости Интеграл Бернулли можно использовать для изучения интересного физического явления - образования и роста до видимых размеров пузырьков пара в потоке жидкости, своеобразного "холодного кипения" части жидкости (перехода ее в пар) при неизменной температуре, называемого кавитацией. Для уяснения сущности кавитации рассмотрим вначале достаточно простой случай - осесимметричное установившееся движение жидкости в длинной трубе переменного сечения (рис. 3.4). Пусть площадь сечения 0-0 равна S, а сечения 1-1 -s, причем S > s. Температуру жидкости в трубе считаем постоянной. Выделим центральную линию тока, совпадающую с осью симметрии трубы, и обозначим скорости и давление в точках ее пересечения с сечениями 0-0 и 1-1 соответственно через V0, р0 и V1, р1. Используя уравнение Бернулли, для этих точек получим . Но из уравнения неразрывности в гидравлической форме следует откуда . Поскольку S > s, то V1 > V0, величина в квадратных скобках всегда больше нуля, и р1 < р0, тем больше, чем больше отношение S/s. Следовательно, при достаточно сильном местном сжатии трубы или большой скорости потока V0 второй член правой части в формуле для р1 может настолько приблизиться к р0, что давление р1 в сечении 1-1 упадет до давления рн насыщенных паров при данной температуре. Тогда в соответствии с законами термодинамики происходит образование пузырьков пара в этом сечении, жидкость как бы вскипает (кавитирует). Давление насыщенных паров существенно зависит от температуры жидкости. Рассмотрим теперь явление кавитации в более сложном случае движения тела с постоянной скоростью V0 под свободной поверхностью жидкости. Как и в предыдущем параграфе, обратим движение и определим характеристики установившегося потока жидкости вокруг неподвижного тела (рис. 3.5). Пусть центральная линия тока ОАСВ расположена на глубине h под свободной поверхностью, возмущениями которой, обусловленными присутствием тела, для простоты пренебрежем. Обозначив скорость и давление в точке О далеко перед телом через V0 и р0 и считая их известными, в соответствии с интегралом Бернулли имеем , где V1 и р1 - скорость и давление в произвольной точке С на поверхности тела. Но по формуле гидростатики р0 = ра + γh где ра - атмосферное давление. Поэтому При изучении распределения давления по поверхности тела в предыдущем параграфе было выяснено, что в районе критических точек А и В давление повышенное (р1 > р0), в районе миделя р1 < р0, т.е. наблюдается разрежение, по сравнению с невозмущенным потоком. Ясно, что именно в этом районе при определенных условиях следует ожидать снижения давления до величины давления насыщенных паров и, следовательно, начала кавитации. Выясним условия, при которых наступит это явление. Назовем относящуюся к миделевой части тела величину коэффициентом местного разрежения. В силу уравнения неразрывности скорость V1 в некоторой точке поверхности тела пропорциональна и V0' Следовательно, при изменении V0 коэффициент ξ для фиксированной точки поверхности не изменяется. Он меняется лишь при переходе от точки к точке. Вводя этот коэффициент в предыдущую формулу, получим Предположим, что скорость набегающего потока V0 увеличивается. Тогда давление р1 в каждой точке поверхности тела падает, и, наконец, в некоторой точке может достичь величины рн давления насыщенных паров. Из формулы для р1 следует, что раньше всего это произойдет там, где коэффициент ξ максимален. В этой точке начнут выделяться пузырьки пара, при неизменной температуре жидкость как бы вскипит - начнется кавитация. Наступление кавитации принято характеризовать кавитационным числом которое тем меньше, чем больше давление насыщенных паров и скорость набегающего потока. Сопоставляя формулы для р1 и χ, легко убедиться, что в момент начала кавитации χ = ξmax. Скорость потока, соответствующая этому моменту, Отсюда видно, что для наступления кавитации нужна тем большая скорость потока, чем выше атмосферное давление (обычно за время исследуемого процесса оно меняется слабо), больше погружение тела, меньше давление насыщенных паров (ниже температура жидкости) и коэффициент местного разрежения. Последний, как отмечалось ранее, определяется только формой поверхности тела и тем меньше, чем слабее искривлена эта поверхность. Если после начала кавитации скорость потока продолжает увеличиваться, то и в точках, соседних с той, где ξ = ξmax давление упадет до давления насыщенных паров, и тоже произойдет вскипание жидкости. Образуется ряд пузырьков пара, которые будут сноситься набегающим потоком в кормовую часть тела. Эта стадия кавитации называется первой, а иногда пузырчатой. Часть пузырьков пара, переходя в область более высокого давления, конденсируется, что сопровождается выделением кислорода и резким повышением давления на поверхности тела. Это может привести к разрушению соответствующей частя поверхности, так называемой кавитационной эрозии. Образовавшийся пузырёк продолжает двигаться вдоль тела и попадает в зону p>pн. Происходит конденсация пара, давление в каверне практически падает до 0. Жидкость занимает освободившийся объём с большой скоростью. Происходит удар жидкости о поверхность (со звуком). Жидкость "выбивает" металл, появляются характерные раковины (типа оспенных) – эрозия. При дальнейшем увеличении скорости потока часть пузырьков пара с течением времени смыкается в сравнительно большой газовый пузырь - кавитационную каверну, примыкающую к поверхности тела. От окружающей тело жидкости каверна отделена достаточно устойчивой пленкой, поэтому вторая стадия кавитации называется иногда пленочной. Во второй стадии изменяется кинематическая картина обтекания тела, поскольку примыкающая к нему каверна как бы изменяет форму тела, что может привести к увеличению сопротивления воды его движению и снижению гидродинамических характеристик. Рис. 5.7. С увеличением скорости полости, насыщенные паром (кавитационные каверны) охватывают все большую часть поверхности (рис. 5.7). Суперкавитацией называют случай, когда каверна замыкается уже за телом. Начальная кавитация практически не влияет на гидродинамические характеристики – сила сопротивления, подъемная сила крыла, к.п.д. винта. Однако при этом опасна кавитационная эрозия поверхности (рис. 5.8): При суперкавитации эрозии нет, но остаются шумы и падают (ухудшаются) гидродинамические характеристики. Кавитации подвержены, в частности, попасти гребных винтов особенно высокоскоростных и крупнотоннажных судов, перья корабельных рулей, несущие поверхности судов на подводных крыльях, некоторые выступающие части. При неблагоприятных условиях она может привести к снижению скорости, ухудшению управляемости судна, поломке гребных винтов, рулей, выступающих частей. Следовательно, в большинстве случаев кавитация - вредное явление, с которым по возможности нужно бороться. Наиболее рациональный путь борьбы с ней - надлежащая профилировка поверхности тела, дающая минимально возможные коэффициенты местного разрежения. Следует, по возможности, увеличивать заглубление тел, движущихся вблизи свободной поверхности, например, гребных винтов и корабельных рулей. Чтобы избежать кавитации, иногда приходится идти и на снижение скорости движения тела, что обычно приводит к ухудшению эксплуатационных характеристик судна, и поэтому крайне нежелательно. Методы борьбы с кавитацией: 1. увеличить глубину погружения (h) для винтов и подводных крыльев; 2. увеличить поверхностное давление (ра) для систем; 3. изменить форму тела, уменьшив (меньше толщина и больше длина); 4. снизить скорость движения (обтекание) жидкости; 5. понизить температуру жидкости (для систем). 5.7. Истечение жидкости из отверстий, насадков и из-под затворов Рассмотрим различные случаи истечения жидкости из резервуаров, баков, котлов через отверстия и насадки (короткие трубки различной формы) в атмосферу или пространство, заполненное газом или той же жидкостью. В процессе такого истечения запас потенциальной энергии, которым обладает жидкость, находящаяся в резервуаре, превращается в кинетическую энергию свободной струи. Основным вопросом, который интересует в данном случае, является определение скорости истечения и расхода жидкости для различных форм отверстий и насадков. Уравнение Бернулли удобный инструмент для решения таких задач 5.7.1. Истечение через малые отверстия в тонкой стенке при постоянном напоре Рассмотрим большой резервуар с жидкостью под давлением Р0, имеющий малое круглое отверстие в стенке на достаточно большой глубине Н0 от свободной поверхности (рис.5.7.1). Рис. 5.7.1. Истечение из резервуара через малое отверстие Жидкость вытекает в воздушное пространство с давлением Р1. Пусть отверстие имеет форму, показанную на рис.5.7.2, а, т.е. выполнено в виде сверления в тонкой стенке без обработки входной кромки или имеет форму, показанную на рис.5.7.2, б, т.е. выполнено в толстой стенке, но с заострением входной кромки с внешней стороны. Струя, отрываясь от кромки отверстия, несколько сжимается (рис.5.7.2, а). Такое сжатие обусловлено движением жидкости от различных направлений, в том числе и от радиального движения по стенке, к осевому движению в струе. Рис. 5.7.2. Истечение через круглое отверстие Степень сжатия оценивается коэффициентом сжатия. где Sс и Sо - площади поперечного сечения струи и отверстия соответственно; dс и dо - диаметры струи и отверстия соответственно. Возьмем на одной высоте две точки: 1 – на удалении от отверстия, где скорость равна нулю; 2 – в сжатом сечении струи. Запишем уравнение Бернулли в размерности высот, при этом z1=z2 и V1=0: Откуда скорость в сжатом сечении струи:, где φ = 0.96÷0.99 – коэффициент уменьшения скорости где α - коэффициент Кориолиса; ζ- коэффициент сопротивления отверстия. Тогда расход жидкости через отверстие можно определить по формуле: , произведение εsφ =μ0 называют коэффициент расхода и в практике расчетов принимают 0.6. Если рассматривать опорожнение бака в атмосферу. Точка 1: р1=р0+γh Точка 2: р2=рa. Следовательно, скорость в сжатом сучении струи: . Расход жидкости: . Таким образом, скорость и расход при истечении увеличиваются с ростом давления на поверхности (р0) и высотой (h) и уменьшаются с ростом внешнего давления (ра) и удельного веса (γ). Значение коэффициента сжатия ε, сопротивления ζ, скорости φ и расхода μ для круглого отверстия можно определить по эмпирически построенным зависимостям. На рис. 5.7.3 показаны зависимости коэффициентов ε, ζ и μ от числа Рейнольдса, подсчитанного для идеальной скорости где ν - кинематическая вязкость. Рис. 5.7.3. Зависимость ε, φ и от числа Reu Рис. 5.7.4. Инверсия струй При истечении струи в атмосферу из малого отверстия в тонкой стенке происходит изменение формы струи по ее длине, называемое инверсией струи (рис. 5.7.4). Обуславливается это явление в основном действием сил поверхностного натяжения на вытекающие криволинейные струйки и различными условиями сжатия по периметру отверстия. Инверсия больше всего проявляется при истечении из некруглых отверстий. 5.7.2. Истечение при несовершенном сжатии Несовершенное сжатие наблюдается в том случае, когда на истечение жидкости через отверстие и на формирование струи оказывает влияние близость боковых стенок резервуара (рис.5.7.5). Рис. 5.7.5. Схема несовершенного сжатия струи Так как боковые стенки частично направляют движение жидкости при подходе к отверстию, то струя по выходе из отверстия сжимается в меньшей степени, чем из резервуара неограниченных размеров, как это было описано в п.5.7.1. При истечении жидкостей из цилиндрического резервуара круглого сечения через круглое отверстие, расположенное в центре торцевой стенки, при больших числах Re коэффициент сжатия для идеальной жидкости можно найти по формуле, представленной Н.Е. Жуковским: где n - отношение площади отверстия Sо к площади поперечного сечения резервуара S1 Расход жидкости при несовершенном сжатии где напор Н нужно находить с учетом скоростного напора в резервуаре 5.7.3. Истечение под уровень Часто приходится иметь дело с истечением жидкости не в атмосферу, а в пространство, заполненное этой же жидкостью (рис.5.7.6). такой случай называется истечением под уровень, или истечением через затопленное отверстие. Рис. 5.7.6. Истечение под уровень В этом случае вся кинетическая энергия струи теряется на вихреобразование, как при внезапном расширении. Скорость истечения в сжатом сечении струи где φ - коэффициент скорости; Н - расчетный напор, Расход жидкости равен Таким образом, имеем те же расчетные формулы, что и при истечении в воздух (газ), только расчетный напор Н в данном случае представляет собой разность гидростатических напоров по обе стенки, т.е. скорость и расход жидкости в данном случае не зависят от высот расположения отверстия. Коэффициенты сжатия и расхода при истечении под уровень можно принимать те же, что и при истечении в воздушную среду. 5.7.4. Истечение через насадки при постоянном напоре Внешним цилиндрическим насадком называется короткая трубка длиной, равной нескольким диаметрам без закругления входной кромки (рис. 5.7.7). На практике такой насадок часто получается в тех случаях, когда выполняют сверление в толстой стенке и не обрабатывают входную кромку. Истечение через такой насадок в газовую среду может происходить в двух режимах. Первый режим - безотрывный режим. При истечении струя, после входа в насадок сжимается примерно так же, как и при истечении через отверстие в тонкой стенке. Затем струя постепенно расширяется до размеров отверстия из насадка выходит полным сечением (рис.5.7.7). Рис. 5.7.7. Истечение через насадок Коэффициент расхода μ, зависящий от относительной длины насадка l / d и числа Рейнольдса, определяется по эмпирической формуле: Так как на выходе из насадка диаметр струи равен диаметру отверстия, то коэффициент сжатия ε = 1 и, следовательно, μ = φ , а коэффициент сопротивления ζ = 0,5. Если составить уравнение Бернулли для сжатого сечения 1-1 и сечения за насадком 2-2 и преобразовать его, то можно получить падение давления внутри насадка P2 - P1 0,75Hgρ При некотором критическом напоре Нкр абсолютное давление внутри насадка (сечение 1-1) становится равным нулю (P1 = 0), и поэтому Следовательно, при Н > Нкр давление P1 должно было бы стать отрицательным, но так как в жидкостях отрицательных давлений не бывает, то первый режим движения становится невозможным. Поэтому при Н Нкр происходит изменение режима истечения, переход от первого режима ко второму (рис.5.7.8). Рис. 5.7.8. Второй режим истечения через насадок Второй режим характеризуется тем, что струя после сжатия уже не расширяется, а сохраняет цилиндрическую форму и перемещается внутри насадка, не соприкасаясь с его стенками. Истечение становится точно таким же, как и из отверстия в тонкой стенке, с теми же значениями коэффициентов. Следовательно, при переходе от первого режима ко второму скорость возрастает, а расход уменьшается благодаря сжатию струи. При истечении через цилиндрический насадок под уровень первый режим истечения не будет отличаться от описанного выше. Но при Н > Нкр перехода ко второму режиму не происходит, а начинается кавитационный режим. Таким образом, внешний цилиндрический насадок имеет существенные недостатки: на первом режиме - большое сопротивление и недостаточно высокий коэффициент расхода, а на втором - очень низкий коэффициент расхода. Недостатком также является возможность кавитации при истечении под уровень. Внешний цилиндрический насадок может быть значительно улучшен путем закругления входной кромки или устройства конического входа. На рис.5.7.9 даны различные типы насадков и указаны значения соответствующих коэффициентов. Рис. 5.7.9. Истечение жидкости через насадки а - расширяющиеся конические; б - сужающиеся конические; в - коноидальные; г - внутренние цилиндрические Конически сходящиеся и коноидальные насадки применяют там, где необходимо получить хорошую компактную струю сравнительно большой длины при малых потерях энергии (в напорных брандспойтах, гидромониторах и т.д.). Конически сходящиеся насадки используют для увеличения расхода истечения при малых выходных скоростях. 5.7.5. Истечения через отверстия и насадки при переменном напоре (опорожнение сосудов) Рассмотрим случай опорожнения открытого в атмосферу сосуда при постоянно уменьшающемся напоре, при котором течение является неустановившемся (рис.5.7.10). Однако если напор, а следовательно, и скорость истечения изменяются медленно, то движение в каждый момент времени можно рассматривать как установившееся, и для решения задачи применить уравнение Бернулли. Рис. 5.7.10. Схема опорожнения резервуара Обозначим переменную высоту уровня жидкости в сосуде за h, площадь сечения резервуара на этом уровне S, площадь отверстия Sо, и взяв бесконечно малый отрезок времени dt, можно записать следующее уравнение объемов: где dh - изменение уровня жидкости за время dt. Отсюда время полного опорожнения сосуда высотой Н Если будет известен закон изменения площади S по высоте h, то интеграл можно подсчитать. Для призматического сосуда S = const (рис.5.7.11), следовательно, время его полного опорожнения Из этого выражения следует, что время полного опорожнения призматического сосуда в два раза больше времени истечения того же объема жидкости при постоянном напоре, равном первоначальному. Рис. 5.7.11. Опорожнение призматического резервуара Рис. 5.7.12. Опорожнение непризматического резервуара Для определения времени истечения жидкости из горизонтального цилиндрического сосуда (цистерны) (рис. 5.7.12) выразим зависимость переменной площади S от h: где l - длина цистерны; D - диаметр цистерны. Тогда время полного опорожнения такой цистерны, т.е. время изменения напора от h1 = D до h2 = 0, получится равным 5.7.6. Истечение из-под затвора в горизонтальном лотке Во многих водозаборных и водопропускных гидротехнических сооружениях расходы воды проходят через отверстия, перекрываемые затворами. Затворы поднимают на определенную высоту над дном и пропускают через отверстия необходимые расходы. Чаще всего на гидромелиоративных сооружениях устраивают отверстия прямоугольного сечения, истечение из которых и рассмотрим. Отверстия могут быть незатопленными (истечение свободное) и затопленными, когда уровень воды за затвором влияет на истечение. Если отверстие незатопленное, то вытекающая из-под затвора струя находится под атмосферным давлением (рис. 5.7.13). При истечении через затопленное отверстие струя за затвором находится под некоторым слоем воды (рис. 5.7.14). Рис. 5.7.13. Истечение из-под затвора через незатопленное отверстие Когда затвор приподнят над дном, вытекающая из-под него струя испытывает сжатие в вертикальной плоскости. На расстоянии, примерно равном высоте отверстия а (высоте поднятия затвора), наблюдается наиболее сжатое сечение. Глубина в сжатом сечении hc связана с высотой отверстия а следующей зависимостью: hc = ε'a где ε' - коэффициент вертикального сжатия струи. Коэффициент вертикального сжатия ε' зависит от отношения высоты отверстия а к напору (глубине воды перед затвором) Н. Для ориентировочных расчетов можно принимать ε' = 0,64. Если составить уравнение Бернулли для сечений, проведенных перед затвором и в сжатом сечении, после преобразований получим: где φ - коэффициент скорости, где Н0 - напор с учетом скорости подхода, Тогда расход при истечении из-под затвора при незатопленном отверстии определится по формуле: где S - площадь отверстия, S = ab. Рис. 5.7.14. Истечение из-под затвора при затопленном отверстии При истечении через затопленное отверстие (рис. 5.7.14) расход определится по формуле: где hz - глубина в том сечении, где наблюдается максимальное сжатие истекающей из-под затвора струи. Глубина hz определяется из зависимости в которой а hб - глубина в отводящем канале (бытовая глубина). 5.7.7. Давление струи жидкости на ограждающие поверхности Если вытекающая из отверстия или насадка струя попадает на неподвижную стенку, то она с определенным давлением воздействует на нее. Основное уравнение, по которому вычисляется давление струи на площадку, имеет вид На рис. 5.7.15 приведены наиболее часто встречающиеся в практике ограждающие поверхности (преграды) и уравнения, по которым вычисляется давление струи на соответствующую поверхность. Величина давления струи, естественно, зависит от расстояния насадка до преграды. С увеличением расстояния струя рассеивается и давление уменьшается. Соответствующие исследования показывают, что в данном случае струя может быть разбита на три характерные части: компактную, раздробленную и распыленную (рис.5.7.16). В пределах компактной части сохраняется цилиндрическая форма струи без нарушения сплошности движения. В пределах раздробленной части сплошность потока нарушается, причем струя постепенно расширяется. Наконец, в пределах распыленной части струи происходит окончательный распад потока на отдельные капли. Рис. 5.7.15. Взаимодействие струи жидкости с неподвижной поверхностью Рис. 5.7.16. Составные части свободной струи 5.8. Решение задач на истечение и перетекание жидкостей 5.8.1. Определить время опорожнения отсека через донное отверстие (рис. 5.8.1) если известны начальный уровень воды в отсеке – Н и площадь свободной поверхности отсека – Fc. Решение. За время dt уровень воды падает dh, что соответствует изменению объема dV=-Fcdh. С другой стороны через отверстие за время dt протекает объем жидкости равный , прировняв два уравнения, получаем: , или . Умножим числитель и знаменатель на . Отношение - это время опорожнения в случае, если расход постоянный и равен начальному значению. Реальное время опорожнения в 2 раза больше. 5.8.2. Определить время выравнивания уровней жидкости в двух сообщающихся отсеках (рис. 5.8.2). Решение. За время dt изменение объемов в отсеках должно быть одинаково (закон сохранения объема). -F1dh1=F2dh2=Qdt Начальные условия: • при t=0 уровни H1 и H2 • при t соответственно h1 и h2 • при t=0 h=H1-H2=H • при t=Tв h=0 Обозначим h=h1-h2 dh=dh1-dh2 где , . Выразим dt и получим: , далее интегрируем с учет изменения пределов и меняем знак . Получим время выравнивания уровней жидкости в отсеках при первоначальном перепаде H. 5.8.3. Определить время затопления отсека судна, сидящего на грунте через пробоину (рис. 5.8.3). Решение. В момент t = 0, перепад Н, получена пробоина площадью F. Используем формулу, полученную в последней задаче, полагая F1=Fо, а F2=∞. Тогда получим: или где FоH=V0 и , следовательно, получим время затопления отсека до уровня Н . Числовой пример: F=0.5×0.5 м = 0.25 м2  ⎫ Fо=20×30 м = 600 м2 ⎬Тв=5711 с ≈ 1.6 часа. Н=10 м; μ =0.6 ⎭ Это случай, когда судно сидит на грунте. Если же судно тонет, то затопление отсеков сопровождается увеличением осадки (уровня Н). Поэтому напор струи через пробоину окажется в среднем больше, чем в рассмотренном случае, а время затопления меньше. Например, "Титаник" затонул за 40 мин. 5.9. Приборы измерения скоростей потоков и расхода жидкостей Конструкции многих приборов для измерения скоростей и расходов жидкостей используют уравнение Бернулли. Опустим в поток две трубки (рис. 5.9.1). 1 – пьезометрическая; 2 – трубка Пито. Уровни жидкости в трубках h1 и h2 будут отличаться на величину Δh. Покажем, что перепад уровней является функцией скорости и может использоваться для её измерения. Запишем уравнение Бернулли в форме высот для точек 1 и 2. при этом z1 = z2 – т.к. отверстия трубок находятся на одном уровне; V2=0 – критическая точка, тогда получим здесь р1 = γh1 и р2 = γh2 тогда , следовательно, . Из приведенных выше преобразований уравнения Бернулли видно, что по перепаду высот в трубках можно определить скорость потока. Рассмотренный способ используется в приборе Пито - Прандтля, где обе трубки объединены и имеют выход в дифференциальный манометр (рис. 5.9.2). Принцип: с ростом скорости падает давление, этот же принцип используется в пульверизаторах. Водомер Вентури – используется для измерения расхода жидкости в трубопроводах. Конструктивно может быть в виде вставки в трубопровод (рис. 5.9.3). Очевидно, что трубке 1 уровень жидкости будет больше, т.к. V1p2. Запишем уравнение Бернулли, при этом учтем, что z1 = z2 – т.к. отверстия трубок находятся на одном уровне, тогда , следовательно, . Далее воспользуемся уравнением неразрывности в гидравлической форме, где площади сечений 1 и 2 известны (S1 и S2). V1S1=V2S2=Q=const , тогда или . Окончательно расход будет определяться по формуле , где α - коэффициент, поправка на вязкость и неравномерность - тарируется заранее. 6. ДИНАМИКА ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ Вязкой называется жидкость, при движении которой между ее частицами и слоями возникают касательные напряжения. Происхождение этих напряжений связано с молекулярным строением жидкости. Рассматривая жидкость только как сплошную среду, эти напряжения определить нельзя. 6.1. Понятие вязкости. Ньютоновские и неньютоновские жидкости Любая реальная жидкость в той или иной мере обладает вязкостью, т.е. свойством сопротивляться сдвигающим усилиям. Для иллюстрации этого рассмотрим обтекание плоской твердой поверхности (рис. 6.1) потоком невязкой, а затем вязкой жидкости. В первом случае (рис. 6.1, а) скорость потока всюду, в том числе и на самой поверхности, равна заданной на большом удалении от нее скорости V0. Во втором случае (рис. 6.1, б) ближайший к твердой поверхности слой жидких частиц, как показывает опыт, "прилипает" к ней в силу взаимного притяжения молекул жидкости и твердой стенки, так что скорость потока на ней оказывается равной нулю. Следующий, расположенный немного дальше от стенки слой жидкости будет сдвигаться относительно первого, так как силы взаимного притяжения между молекулами самой жидкости меньше сил притяжения между молекулами и твердой стенкой. Однако эти силы будут препятствовать сдвигу, благодаря чему между слоями возникнут касательные напряжения. Третий слой будет сдвигаться относительно второго при еще меньшем взаимном притяжении молекул, так что в результате, по мере удаления от твердой поверхности, скорости жидких частиц постепенно будут нарастать до заданной скорости V0 набегающего потока. Благодаря сдвигу слоев друг относительно друга между ними образуются касательные напряжения, которые обусловливают сопротивление трения движению вязкой жидкости. Величины касательных напряжений можно определить методами молекулярно-кинетической теории, однако, на практике их обычно оценивают по эмпирическим формулам. Впервые такая формула была получена еще в XVII в. Ньютоном опытным путем; для плоского слоистого движения жидкости, она имеет вид – формула Ньютона, где производная скорости по нормали к площадке, на которой определяется касательное напряжение τ, характеризует перепад скоростей между соседними слоями жидкости, а коэффициент пропорциональности μ называется динамической вязкостью и зависит от рода жидкости и ее температуры. Размерность динамической вязкости μ - Н·с/м2 в СИ. Единицей измерения μ в СИ является пуаз, равный 0,1 Н·с/м2. В гидромеханике корабля широкое распространение получило также понятие кинематической вязкости . Ее размерность м2/с чисто кинематическая, не содержащая размерностей массы или силы. Единицей измерения ν в СИ является стокс, равный 10-4 м2/с. С увеличением температуры как динамическая, так и кинематическая вязкости существенно снижаются. Формула Ньютона справедлива для большинства жидкостей, встречающихся в судостроительных задачах, в частности, для пресной и морской воды, воздуха, жидкого топлива энергетических установок. Эти жидкости называются ньютоновскими. Однако в природе существуют жидкости, касательные напряжения в которых не подчиняются зависимости Ньютона. Для них справедливы более сложные соотношения, например , которое при k=μ и m=1 переходит в формулу Ньютона. Если же k≠μ и m≠1, то жидкость будет неньютоновской. К неньютоновским жидкостям относятся масляные краски, смолы, глинистые растворы, пасты, водные пульпы песка, некоторые расплавы и растворы полимеров. Последние могут быть использованы для снижения сопротивления трения при движении твердого тела, в частности судна, в реальной жидкости. 6.2. Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости. Граничные условия. Раньше мы получили дифференциальные уравнения для движения невязкой жидкости: . Общая задача гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости с математической точки зрения сводится к решению системы четырех дифференциальных уравнений, три из которых представляют собой дифференциальные уравнения движения (уравнения Навье - Стокса, или уравнения Рейнольдса для турбулентного течения), а четвертое - уравнение неразрывности. При использовании прямоугольных координат уравнения Навье - Стокса для несжимаемой жидкости имеют вид: , (6.2.1) где ν - кинематический коэффициент вязкости жидкости. Выделенная часть учитывает вязкость жидкости. При ν→0 уравнения переходят в дифференциальные уравнения движения невязкой жидкости. В этой системе, состоящей из трех уравнений, имеем четыре неизвестных P, Vx, Vy, Vz. Чтобы замкнуть систему используют дополнительно уравнение неразрывности: (6.2.2.). Уравнения Навье - Стокса применимы к жидкостям и течениям, для которых справедлива обобщенная гипотеза Ньютона о связи между компонентами напряжения поверхностных сил и компонентами скоростей деформации. Для получения решения системы дифференциальных уравнений, определяющих движение несжимаемой вязкой жидкости, необходимо задание начальных (для неустановившегося течения) и граничных условий. Начальные и граничные условия для вязкой несжимаемой жидкости Для изучения движения вязкой несжимаемой жидкости с постоянным коэффициентом вязкости необходимо решать совместно систему дифференциальных уравнений (6.2.1) и (6.2.2) с частными производными второго порядка. Решения этой системы дифференциальных уравнений будут содержать произвольные функции, для определения которых необходимо задавать начальные и граничные условия. Задание начальных условий необходимо лишь в том случае, когда изучается неустановившееся движение жидкости. В этом случае должно считаться известным всё движение жидкости для какого-либо фиксированного момента времени, например для начального момента t=0. Для этого момента времени должно быть задано распределение скоростей и давлений, т. е. при t=0 P=P0(x,y,z) , Vx= Vx0(x,y,z), Vy= Vy0(x,y,z), Vz= Vz0(x,y,z) (6.2.3) где P0, Vx0, Vy0, Vz0 - заданные функции координат. Во многих случаях на искомые функции P, Vx, Vy, Vz накладываются ограничения, вытекающие из существа самих задач, не только в отношении однозначности, но и в отношении ограниченности их значений. Эти требования однозначности и ограниченности искомых функций играют роль своего рода краевых условий, так как они позволяют исключать из решений произвольные функции, вносящие неоднозначность в распределение скоростей и давлений либо обращающие их в бесконечность. К простейшим граничным условиям относятся: 1) условия на твёрдых недеформируемых стенках, вообще говоря, подвижных; 2) условия на деформирующихся поверхностях раздела, отделяющих две несмешивающиеся жидкости. При обтекании вязкой несжимаемой жидкостью твёрдых стенок должно выполняться следующее кинематическое условие: частицы не могут проникать через твёрдые стенки и отрываться от них. Это кинематическое условие будет выполнено, если существует равенство проекций на нормаль к поверхности стенки векторов скоростей частиц жидкости и соответственных точек твёрдой стенки, т.е. (6.2.4) Этого условия было достаточно для изучения движения идеальной жидкости, для которой дифференциальные уравнения содержали лишь частные производные от скоростей Vx, Vy, Vz первого порядка. Для изучения же движения вязкой жидкости одного условия (6.2.4) будет недостаточно не только с физической точки зрения, но и с формальной, так как порядок дифференциальных уравнений повысился. К кинематическому условию (6.2.4) необходимо присоединить ещё и динамическое условие. Коль скоро мы допустили, что частицы вязкой жидкости взаимодействуют друг с другом не только давлением, но и с помощью внутреннего трения, то с тем же основанием мы должны предположить и наличие касательного взаимодействия частиц жидкости с точками стенки. Это касательное взаимодействие частиц жидкости с точками стенки будет представлять собой внешнее трение жидкости. Силу внешнего трения, приходящуюся на единицу площади, принято считать пропорциональной разности касательных скоростей частиц жидкости и точек стенки, т. е. (6.2.5) где λ - коэффициент внешнего трения, pnτ - касательное напряжение, вычисляемое через скорости деформации согласно обобщённой гипотезе Ньютона. Возьмем элементарную площадку Δσ на поверхности стенки с нормалью, направленной внутрь жидкости (рис. 6.2.1). Вектор касательного напряжения pnτ можно представить в виде С другой стороны, в силу условия (6.2.4) будем иметь: Пользуясь этими равенствами, динамическое условие (6.2.5) можно представить в виде (6.2.6) Проектируя левую и правую части (6.2.6) на оси координат, вводя направляющие косинусы l, m, n - нормали получим следующие три соотношения, выражающие динамические условия на твёрдых стенках: (6.2.7) В ранних работах по теории движения вязкой жидкости предполагалось, что коэффициент внешнего трения имеет конечную величину. Но проведённые в последующее время тщательные опыты и измерения скоростей частиц вблизи стенок показали, что коэффициенту внешнего трения следует придавать весьма большие значения. На этом основании значение этого коэффициента теоретически можно считать бесконечно большим. Так как левая часть равенства (6.2.6) является конечной, то, предполагая коэффициент бесконечно большим, мы должны второй множитель считать равным нулю. Таким образом, граничное условие на твёрдой стенке принимает следующую форму: (6.2.8) Равенство (6.2.8) означает, что частицы жидкости, примыкающие к стенкам, имеют те же скорости, какие имеют соответственные точки самой стенки. Условие (6.2.6) по этой причине называется условием "прилипания" частиц вязкой жидкости к твёрдой стенке. Это граничное условие можно было и не выводить из условия (6.2.6), а принять его как результат наблюдений. При решении конкретных задач в большинстве случаев используется именно условие "прилипания" (6.2.8). Обратимся к выяснению граничных условий на поверхности раздела двух не перемешивающихся жидкостей. Условие, что частицы первой жидкости не перемешиваются с частицами второй жидкости, можно выразить равенством проекций на нормаль к поверхности раздела векторов скоростей этих частиц, (6.2.9) Условие (6.2.9) не исключает возможности разрыва касательных составляющих скоростей частиц первой и второй жидкости на поверхности раздела. Для выяснения динамического условия возьмём на поверхности раздела элементарную площадку (рис. 6.2.6). На одной стороне этой площадки будет развиваться напряжение (pn)I, обусловленное деформацией примыкающих частиц первой жидкости, а на второй стороне будет развиваться напряжение (pn)II. Эти два вектора напряжений в общем случае по величине не будут равны между собой не только по причине возможного наличия сил капиллярности, но и по причине образования внешней силы трения. Силу внешнего трения на поверхности раздела можно также полагать пропорциональной разности касательных скоростей частиц первой и второй жидкостей. Если силы капиллярности будут пренебрежимо малыми, то в силу требования непрерывности нормальных составляющих напряжений при переходе через поверхность раздела будем иметь: (6.2.10) Касательные составляющие напряжений могут претерпевать разрыв, величина которого должна быть равна силе внешнего трения, т. е. (6.2.11) где λI,II - коэффициент внешнего трения частиц первой и второй жидкости. Таким образом, в общем случае на поверхности раздела должны выполняться кинематическое условие (6.2.9) и два динамических условия (6.2.10) и (6.2.11). Рассмотрим часто встречающийся случай, в котором вторая жидкость имеет сравнительно малую плотность и весьма малые скорости движения, как это имеет место, например, при движении воды в каналах и реках. Поверхность раздела, отделяющая воду от атмосферного воздуха, в этом случае называется свободной поверхностью. Так как в этом случае будем иметь, то динамические условия (6.2.10) и (6.2.11) должны принять следующую форму: (6.2.12) где p0 - давление со стороны покоящейся жидкости. Таким образом, на свободной поверхности раздела нормальная составляющая напряжения должна быть равна постоянному давлению, а касательная составляющая должна обращаться в нуль. Кинематическое условие (6.2.9) заменяется в этом случае другим условием, выражающим собой, то предположение, что частицы жидкости, находящиеся на свободной поверхности, не покидают этой поверхности во всё время движения. Это новое условие можно выразить равенством нормальной составляющей вектора скорости частиц жидкости скорости перемещения по нормали точек самой свободной поверхности, т.е. (6.2.13) где Vnп скорость перемещения по нормали точек самой поверхности. Мы рассмотрели лишь те граничные условия, которые должны выполняться для скоростей и напряжений. Этих условий будет достаточно для изучения ряда случаев движения несжимаемой жидкости и некоторых случаев движения вязкой сжимаемой жидкости, в которых можно пренебрегать изменением температуры. При учёте изменения температуры необходимо вводить в рассмотрение и граничные условия по отношению к температуре, которые могут быть весьма разнообразными, и поэтому об этих условиях целесообразно вести речь не в общем виде, а в каждом конкретном случае отдельно. Точные решения уравнений Навье - Стокса получены к настоящему времени лишь для простейших течений, для которых возможно заранее предсказать характер траекторий частиц жидкости. В большинстве случаев для задач, представляющих практический интерес, используют приближенные уравнения, получаемые из полных при отбрасывании членов, имеющих несущественное значение. К таким решениям относятся решения задач об обтекании кругового цилиндра и шара несжимаемой вязкой жидкостью, полученные Стоксом из решения приближенных уравнений с отброшенными квадратичными членами, определяющими силы инерции. Эти решения справедливы для течений, в которых роль сил инерции по сравнению с силами вязкости пренебрежимо мала. 6.3. Теория подобия в гидромеханике Невозможность получения теоретического решения дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости приводит к необходимости опытного определения интересующих характеристик путем испытания моделей. Такого рода модельные эксперименты проводят с соблюдением условий гидродинамического подобия, включающих условия геометрического, кинематического и динамического подобия. Геометрическое подобие – это когда сходственные размеры объектов и потоков пропорциональны. Кинематическое подобие – это когда скорости частиц в сходственных точках натуры и модели в сходственные моменты времени пропорциональны и одинаково направлены. Динамическое подобие – это когда силы разной природы в сходственных точках натуры и модели в сходственные моменты времени пропорциональны и одинаково направлены. Условия гидродинамического подобия выражаются так называемыми критериями частичного подобия, представляющими собой безразмерные комбинации величин, характеризующих течение и определяющих соотношения сил различной природы в потоке. Выражения критериев гидродинамического подобия для несжимаемой жидкости непосредственно вытекают из уравнений Навье - Стокса, приведенных к безразмерному виду путем представления всех размерных величин в долях от характерных. Рассмотрим наиболее полное уравнение: . В левой части уравнения представлено полное ускорение вдоль оси z, которое складывается из локального и конвективного: . Введем характерные силы процесса: L0 – длина (судна); V0 – скорость (судна); P0 – давление (наибольшее гидростатическое давление на днище); T0 – время (торможения); и их безразмерные величины: Далее перепишем дифференциальное уравнение Навье – Стокса с учетом безразмерных величин: Здесь каждое слагаемое соответствует определенным силам: 1 – силы инерции стационарные; 2 – силы инерции конвективные; 3 – силы тяжести; 4 – силы давления; 5 – силы вязкости. Разделим все слагаемые на сомножитель (конвективные силы инерции), тогда получим: Заметим, что в квадратных скобках стоят безразмерные характеристики. Если кроме геометрического и кинематического подобия потребовать равенства у модели и натуры этих характеристик, то будет полное динамическое подобие. - критерий подобия Струхаля, который характеризует отношение сил инерции, вызываемых локальными и конвективными ускорениями. Применяется при моделировании нестационарных и периодически повторяющихся течений. При испытании моделей гребных винтов и колес гидравлических машин критерий подобия Струхаля используется в несколько измененном виде, именуемом относительной поступью , где n - число оборотов в единицу времени, D - диаметр гребного винта. - критерий подобия Фруда, характеризует отношение сил инерции и сил тяжести. Применяется при моделировании течений, в которых эти силы играют решающую роль, например, при испытаниях моделей надводных судов, сопровождающихся волнообразованием, моделировании водосливов и т.п. - критерий подобия Эйлера, характеризует отношение сил давления и инерции. В однородной несжимаемой жидкости равенство чисел Еu для двух потоков обеспечивается, если для них равны числа Fr и Rе, т.е. критерий Эйлера самостоятельного значения в этих случаях не имеет. Но он играет главную роль при моделировании течений несжимаемой жидкости, сопровождающихся кавитацией; в качестве характерного перепада давления в этом случае принимают разность между давлением в потоке Pо и давлением насыщенных паров Pн, критерий Эйлера в этом случае превращается в число кавитации . - критерий подобия Рейнольдса, характеризует отношение сил инерции и вязкости в потоке, служит основным критерием частичного подобия при моделировании течений реальных жидкостей. В случае моделирования установившихся течений в напорных трубопроводах, установившихся движений тел в безграничной несжимаемой жидкости становится критерием полного гидродинамического подобия. При турбулентном режиме течения к перечисленным критериям подобия, должен быть добавлен критерий подобия в силах турбулентного трения и инерции, определяемый степенью турбулентности. В некоторых случаях, когда имеет место распространение струй, брызгообразование, распространение капиллярных волн, образование в жидкости каверн, существенное значение приобретают силы поверхностного натяжения. Для учета их влияния используется динамическое граничное условие для давления на поверхности раздела жидкости. Из физики известно, что жидкость с искривленной свободной поверхностью подвержена действию дополнительного давления от сил поверхностного натяжения , где r1 и r2 - главные радиусы кривизны элемента поверхности; σ - поверхностное натяжение. Если поверхность жидкости выпукла, pп.н > 0; при вогнутой свободной поверхности давление pп.н < 0. На поверхности раздела воды с воздухом при ра = 1 ат и температуре 25°С поверхностное натяжение σ=0.073 мН/м. Получим критерий подобия для учета влияния сил поверхностного натяжения. Как уже отмечалось, любой критерий подобия характеризует отношение сил различной природы, действующих в жидкости. Обозначим силу поверхностного натяжения, приложенную к элементу поверхности S, через Rп.н, а силу инерции, приложенную к элементу объема V- через Rи Очевидно, что , где rб=r/L - безразмерные радиусы. Сила инерции, равная произведению массы частицы ρV на ускорение, может быть представлена в виде где - величина, характеризующая конвективное ускорение в жидкости. Учитывая, что S ~ L2, а V ~ L3 получим ; . Составим отношение из размерных величин, входящих в данное выражение, . Безразмерная величина We называется числом Вебера. Оно характеризует отношение силы поверхностного натяжения к силе инерции. Для подобия потоков с учетом сил поверхностного натяжения требуется соблюдение равенства чисел Вебера . При движении сжимаемой жидкости (газа) с большими скоростями в число критериев подобия входит число Маха М, под которым понимают отношение характерной скорости к скорости звука , где - скорость звука; - отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. Число Маха играет большую роль в газовой динамике. При М < 1 течения называют дозвуковыми; качественно они аналогичны течениям несжимаемой жидкости. При М > 1 течения газа называют сверхзвуковыми; они качественно отличаются от течений несжимаемой жидкости. Для течений газа, близких к скорости звука и превосходящих ее, необходимо учитывать подобие по числам Маха. Напомним, что до чисел М< (0.2÷0,3) влиянием сжимаемости можно пренебречь. В гидромеханике часто пользуются понятием коэффициента давления и коэффициента местного трении: 1) - коэффициента давления - отношение избыточного давления к скоростному напору. Напомним, что удобство использования коэффициента заключается в его свойствах: его величина не зависит от рода жидкости и от скорости набегания потока; коэффициент давления зависит только от формы тела и координаты (х). Зная легко получить само давление. 2) - коэффициента местного трения, который связан с касательным напряжением на поверхности тела Покажем, что и являются функциями критериев подобия. Введем в формулу Ньютона безразмерные величины . На основании этой зависимости получим , откуда следует, что коэффициент местного трения является явной функцией числа Рейнольдса . Представим выражение для коэффициента давления в виде , где р0 - давление в невозмущенном потоке. Принимая его в качестве характерного давления р0 = Р и учитывая выражение для числа Эйлера, можно записать , откуда следует, что коэффициент давления является явной функцией от числа Эйлера . 6.4. Общие формулы для гидродинамических сил и моментов Выразив вектор напряжения через давление р и касательное напряжение τ0 где - орт касательной, n - внешняя нормаль, придадим следующий вид общему выражению для гидродинамической реакции воздействия жидкости на тело: Здесь добавлен тождественно равный нулю интеграл где р0 - давление в невозмущенной жидкости. Вводя в формулу для гидродинамической реакции выражения для коэффициента местного трения и коэффициента давления , получим Умножим и разделим правую часть на характерную площадь S Здесь член имеет размерность силы; безразмерное векторное выражение в скобках называется коэффициентом гидродинамической силы . Учитывая это, можно выражение для гидродинамической реакции представить в виде Все силы в гидромеханике, за исключением инерционных сил, связанных с присоединенными массами, представляются в полученной форме. Аналогично записывается формула для момента , куда вводится дополнительно характерное плечо L1, где - коэффициент момента. Задача расчета сил и моментов, действующих на тело, сводится к определению коэффициентов силы и момента . Преобразуем выражение для , вводя функциональные зависимости согласно и следует, что явно зависит от критериев подобия Эйлера и Рейнольдса. В случае движения с волнообразованием коэффициенты и могут также зависеть от критерия подобия Фруда. При неустановившихся движениях и являются функциями числа Струхаля. Следовательно, коэффициент гидродинамической силы является функцией критериев подобия и зависит также от формы тела и направления его движения (от ориентации тела в потоке) . Выясним, когда коэффициенты гидродинамических сил натурного объекта и геометрически подобной ему модели равны. На основании полученных преобразований можно заключить, что и если Euн = Euм; Reн = Reм; Frн = Frм; Shн = Shм, откуда следует основной закон подобия: коэффициенты гидродинамических сил и моментов для модели и натуры равны, если соблюдается равенство всех критериев подобия. На практике обычно при поступательном, наиболее важном, движении тела оперируют не векторным коэффициентом гидродинамической силы , а его составляющими по осям координат в скоростной системе координат. Ось х при этом направлена по вектору скорости (рис. 6.3.1). Рис. 6.3.1 где Сx, Су, Сz коэффициенты соответственно сопротивления, боковой и подъемной силы. При этом . Тогда Все приведенные выше рассуждения относительно СR, очевидно, можно распространить на Сx, Су, Сz. Вопрос о выборе характерных величин, входящих в выражения для критериев подобия, а также характерных площадей, фигурирующих в формулах для гидродинамической силы и ее проекций, не решается однозначно. Для определенного класса задач выбирают соответствующие характерные величины. Например, в случае движения судна обычно в качестве характерной длины выбирают длину по ватерлинии, а в качестве характерной скорости - скорость движения судна. За характерную площадь принимают смоченную поверхность, а иногда площадь миделевого сечения тела. При решении задач динамики тел в ряде случаев в качестве характерной площади целесообразно принимать т.е. объемное водоизмещение тела в степени 2/3. Удачный выбор перечисленных характерных величин способствует систематизации опытных материалов. Легко найти формулу для пересчета коэффициентов гидродинамической силы, отнесенных к различным характерным площадям, например и , откуда 6.5. Пример обеспечения подобия при испытаниях Модель надводного судна, выполненная в масштабе Lм/Lн=1/kl=1/16, испытывается в бассейне с работающими гребными винтами. Предполагая, что при испытаниях обеспечено полное гидродинамическое подобие, определить: 1 - масштаб скорости Vм/Vн и скорость буксировки модели, если скорость движения натурного судна Vн = 16 м/сек (≈32 узла); 2 - масштаб сил, действующих на корпус судна Rм/Rн, считая плотность в натурных и модельных условиях одинаковой; 3 - масштаб буксировочной мощности Nм/Nн; 4 - масштаб чисел оборотов гребного винта nм/nн и число оборотов модели гребного винта, если nн = 600 об/мин; 5 - масштаб мощности на валу гребного винта (Nм/Nн)в; 6 - соотношение чисел Рейнольдса модели и натуры Reм/Reн, полагая, что кинематический коэффициент вязкости в натурных и модельных условиях одинаков νм= νн; 7 - соотношение чисел кавитации для гребного винта модели и натуры χм = χн, если ось гребного винта в натуре находится на глубине Твн = 5 м, давление насыщенных паров воды в обоих случаях одинаково рм = рн = 100 кг/м2, а на поверхности воды давление в обоих случаях также одинаково и равно нормальному атмосферному. Решение. 1. Поскольку буксировочные испытания моделей надводных судов проводят при равных с натурой числах Фруда масштаб скорости буксировки, и скорость буксировки определяем, приравняв числа Фруда модели и натуры, откуда , т.е. масштаб скорости при буксировке надводных моделей равен квадратному корню из линейного масштаба. Отсюда скорость буксировки модели: 2. Для определения масштаба сил используем выражение сил сопротивления через безразмерные гидродинамические коэффициенты по формулам, согласно которым для модели и натуры можем написать Масштаб сил так как по условию . При равенстве чисел Фруда, при котором проводятся испытания, масштаб скорости и линейный масштаб связаны между собой полученным в пункте 1 соотношением и масштаб сил Обеспечение полного гидродинамического подобия при равных числах Фруда и движении в среде одинаковой плотности приводит к масштабу сил, равному кубу линейного масштаба. 3. Так как буксировочная мощность при равномерном движении равна произведению силы сопротивления на скорость, то для ее масштаба можем написать что с учетом полученных масштабов сил и скорости дает В рассматриваемом примере =16384 и мощность необходимая для буксировки модели, в 16384 раза меньше натурной буксировочной мощности. 4. Масштаб чисел оборотов гребного винта получим, приравняв относительные поступи модели и натуры Отсюда так как В рассматриваемом примере масштаб чисел оборотов гребного винта 1/kn=4, т.е. гребной винт модели должен вращаться в четыре раза быстрее натурного 5. Масштаб мощности на валу гребного винта на основании и так как по условиям задачи и ранее полученным соотношениям в рассматриваемом примере 6. Соотношение чисел Рейнольдса модели и натуры при νм=νн В случае испытания модели надводного судна с Frм = Frн и , следовательно, При числа Рейнольдса модели и натуры отличаются в раз. В рассматриваемом примере Rен = 64 Rем, число Рейнольдса модели в 64 раза меньше, чем у натуры. Это означает, что при равенстве чисел Фруда модели и натуры и масштабе, отличном от единицы, при испытании в одинаковой среде нельзя обеспечить подобие по силам вязкости. Методика пересчета результатов испытаний судовых моделей в бассейнах предусматривает в этом случае введение расчетных поправок. 7. Соотношение чисел кавитации так как В рассматриваемом примере т.е. число кавитации при испытании модели в ≈11 раз больше. 6.6. Режимы течения вязкой жидкости. Переход от ламинарного течения к турбулентному. Уравнения Рейнольдса Режимы течения вязкой жидкости подразделяются: на ламинарные и турбулентные. Под ламинарным понимается устойчивое, слоистое движение жидкости, когда отдельные ее слои, не перемешиваясь, как бы скользят друг по другу. При таком движении существует лишь молекулярное трение между соседними слоями. Как показывает опыт, ламинарное движение возможно при сравнительно невысоких числах Рейнольдса. С ростом Re происходит потеря устойчивости движения, нарушение слоистой структуры потока, частицы жидкости переходят из слоя в слой, слои перемешиваются. Движение вязкой жидкости, потерявшее устойчивость, называется турбулентным. Число Рейнольдса, при котором происходит переход ламинарного течения в турбулентное, называют критическим и обозначают Reкр. Впервые переход ламинарного течения в турбулентное детально изучил О. Рейнольдс. Он наблюдал движение подкрашенных струек жидкости, вытекавших из бака по стеклянным трубкам. На рис. 6.6.1 изображена установка, аналогичная той, на которой Рейнольдс производил свои опыты. Рис. 6.6.1. Схема установки Рейнольдса Установка состоит из резервуара А с водой, от которого отходит стеклянная труба В с краном С на конце, и сосуда D с водным раствором краски, которая может по трубке вводиться тонкой струйкой внутрь стеклянной трубы В. В зависимости от скорости течения, которая регулировалась краном, от температуры жидкости и от диаметра трубки наблюдалось слоистое, упорядоченное движение жидкости или слои теряли устойчивость, перемешивались, так что визуально фиксировался переход течения в турбулентное. Таким путем было установлено, что комбинация параметров DV/ν, где D - диаметр трубки, V - скорость течения и ν - кинематическая вязкость жидкости, определяет переход ламинарного течения в турбулентное. Эта комбинация по существу представляет число Рейнольдса для трубы DV/ν = Reтр. Опыты показали, что в зоне Reтр = 2100-2400 ламинарное течение в трубе переходит в турбулентное. Следовательно, критическое число Рейнольдса для трубы колеблется в пределе 2100-2400. Поскольку число Рейнольдса зависит от размерных величин - характерных длины и скорости, то для потоков вокруг различных тел критическое число Reкр может существенно отличаться от приведенного выше значения для трубы. Так, поток воды вокруг водоизмещающего судна из ламинарного переходит в турбулентный при числе Рейнольдса Reтр = LV/ν, или порядка 106 (L - длина судна, V - скорость). Ламинарное движение жидкости может быть как установившимся, так и неустановившимся. Турбулентное движение по своей природе всегда неустановившееся. Большинство течений в натурных условиях являются турбулентными. Как показывают многочисленные опыты, например, записи скоростей порывистого ветра в точке, изменение скорости во времени при турбулентном движении обычно описывается кривой вида, изображенного на рис. 6.6.3. Оно носит характер беспорядочных пульсаций вокруг некоторого среднего значения. Поэтому мгновенную скорость турбулентного потока, например, вдоль оси OX, целесообразно представить в виде Vx=Vxср+dVx где Vxср - осредненная за некоторый, достаточно большой интервал времени, скорость; dVx - пульсации скорости. Многочисленными опытами установлено, что изменение пульсаций скорости во времени можно отнести к числу случайных процессов. Для их анализа и расчета разработаны специальные методы, основанные на закономерностях теории вероятности и математической статистики. Изучение этих методов выходит за рамки курса общей гидромеханики. Обычно турбулентное течение формируется в пограничном слое, в гидродинамическом следе за обтекаемым телом, а также в свободных струях и при движении жидкости с неравномерным распределением плотности. 6.7. Потери напора при ламинарном течении жидкости Как показывают исследования, при ламинарном течении жидкости в круглой трубе максимальная скорость находится на оси трубы. У стенок трубы скорость равна нулю, т.к. частицы жидкости покрывают внутреннюю поверхность трубопровода тонким неподвижным слоем. От стенок трубы к ее оси скорости нарастают плавно. График распределения скоростей по поперечному сечению потока представляет собой параболоид вращения, а сечение параболоида осевой плоскостью - квадратичную параболу (рис.6.7.1). Рис. 6.7.1. Схема для рассмотрения ламинарного потока Уравнение, связывающее переменные υ и r, имеет следующий вид: где P1 и P2 - давления соответственно в сечениях 1 и 2. У стенок трубы величина r = R, , значит скорость υ = 0, а при r = 0 (на оси потока) скорость будет максимальной Теперь определим расход жидкости при ламинарном течении в круглой трубе. Так как эпюра распределения скоростей в круглой трубе имеет вид параболоида вращения с максимальным значением скорости в центре трубы, то расход жидкости численно равен объему этого параболоида. Определим этот объем. Максимальная скорость дает высоту параболоида Как известно из геометрии, объем параболоида высотой h и площадью πR2 равен , а в нашем случае . Если вместо R подставить диаметр трубы d, то формула для расхода приобретет вид Расход в трубе можно выразить через среднюю скорость: откуда . Для определения потерь напора при ламинарном течении жидкости в круглой трубе рассмотрим участок трубы длиной , по которому поток течет в условиях ламинарного режима (рис. 6.7.1). Потеря давления в трубопроводе будет равна . Если в формуле динамический коэффициент вязкости μ заменить через кинематический коэффициент вязкости ν и плотность ρ (μ = ν ρ) и разделить обе части равенства на объемный вес жидкости γ = ρ g, то получим: Так как левая часть полученного равенства равна потерям напора hпот в трубе постоянного диаметра, то окончательно это равенство примет вид: Уравнение может быть преобразовано в универсальную формулу Вейсбаха-Дарси, которая окончательно записывается так: , где λ - коэффициент гидравлического трения, который для ламинарного потока вычисляется по выражению: . Однако при ламинарном режиме для определения коэффициента гидравлического трения λ Т.М. Башта рекомендует при Re < 2300 применять формулу . 6.8. Потери напора при турбулентном течении жидкости Как было указано в п. 6.6, для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений. Если с помощью особо чувствительного прибора-самописца измерять пульсации, например, скорости по времени в фиксированной точке потока, то получим картину, подобную показанной на рис. 6.8.1. Скорость беспорядочно колеблется около некоторого осредненного по времени значения υоср, которое в данном случае остается постоянным. Характер линий тока в трубе в данный момент времени отличается большим разнообразием (рис.6.8.2). Рис. 6.8.1. Пульсация скорости Рис. 6.8.2. Характер линий тока в турбулентном потоке в турбулентном потоке При турбулентном течении жидкости в трубе получение столь же простейших аналитических зависимостей для потерь напора как при ламинарном течении в принципе невозможно вследствие неустановившегося характера и необходимости определять турбулентные напряжения полуэмпирическим путем. Анализ уравнений Рейнольдса и большого числа экспериментальных данных о течениях реальных жидкостей в трубах позволяет, однако, отметить ряд важных закономерностей осредненного турбулентного движения в гладкой прямой трубе круглого сечения. В непосредственной близости от стенок трубы, где пульсации частиц в поперечном направлении мешает стенка и где они, следовательно, практически отсутствуют, существует очень тонкий слой жидкости, в котором течение практически сохраняет ламинарный характер. Этот тонкий слой жидкости называют ламинарным подслоем. Скорость движения в ламинарном подслое распределена по линейному закону, изменяется от нуля на стенке (условие "прилипания" частиц) до некоторого конечного значения Vδ на внешней границе подслоя (рис. 6.8.3). Толщина ламинарного подслоя δл прямо пропорциональна радиусу трубы и обратно пропорциональна числу Рейнольдса. За ламинарным подслоем, ближе к оси трубы, существует небольшая переходная зона, в которой ламинарное течение переходит в турбулентное, а затем располагается основная зона турбулентного движения, называемая турбулентным ядром потока. Рис. 6.8.3. Модель турбулентного режима движения жидкости Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении жидкости в круглых трубах является уже приводившаяся выше эмпирическая формула, называемая формулой Вейсбаха-Дарси и имеющая следующий вид: Различие заключается лишь в значениях коэффициента гидравлического трения λ. Этот коэффициент зависит от числа Рейнольдса Re и от безразмерного геометрического фактора - относительной шероховатости Δ/d (или Δ/r0, где r0 - радиус трубы). Впервые наиболее исчерпывающей работы по определению были даны И.И. Никурадзе, который на основе опытных данных построил график зависимости lg(1000λ) от lg Re для ряда значений Δ/r0. Опыты Никурадзе были проведены на трубах с искусственно заданной шероховатостью, полученной путем приклейки песчинок определенного размера на внутренние стенки трубопровода. Результаты этих исследований представлены на рис. 6.8.4, где построены кривые зависимости lg (1000λ) от lg Re для ряда значений Δ/r0. Рис. 6.8.4. График Никурадзе Прямая линия (I) соответствует ламинарному режиму движения жидкости. Далее на графике можно рассматривать три области. Первая область - область малых Re и Δ/r0, где коэффициент λ не зависит от шероховатости, а определяется лишь числом Re (отмечена на рис. 6.8.4 прямой II). Это область гидравлически гладких труб. Если число Рейнольдса лежит в диапазоне 4000> d. В этом случае распределение давлений по живому сечению подчиняются гидростатическому закону. 7.2. Уравнения Бернулли в задачах гидравлики Задачи гидравлики напорных течений, т. е. таких, в которых давление вдоль потока непостоянно, решают с помощью двух основных уравнений гидравлики - уравнения неразрывности и уравнения Бернулли. Для потока несжимаемой жидкости они имеют следующий вид: а) уравнение неразрывности для потока без разветвлений (простого трубопровода) б) уравнение неразрывности для узлов разветвлений сложного трубопровода в) уравнение Бернулли для плавно изменяющегося установившегося потока несжимаемой жидкости г) уравнение Бернулли для плавно изменяющегося неустановившегося потока несжимаемой жидкости В представленных выражениях: S – площадь сечения потока; Q – объемный расход;  -коэффициент неравномерности кинетической энергии; р – абсолютное давление; z – высота над принятой горизонтальной плоскостью отсчета (плоскостью сравнения) до точек, в которых давление равно р; hw - потеря напора; hi - инерционный напор; γ - удельный вес движущейся жидкости. Все слагаемые в представленных уравнениях имеют размерность длины и поэтому иногда именуются высотами: - скоростная высота; - приведенная высота давления; z - геометрическая высота. 7.3. Потери напора (энергии) Все источники потерь напора в трубопроводах подразделяют на два вида - потери напора на трение hf и местные потери напора hj. Потери напора на трение происходят вдоль всего потока реальной жидкости; местные потери локализуются на ограниченных по длине участках при изменении сечения потока, его направления, делении и слиянии, в арматуре и т.п. Пренебрегая взаимным влиянием гидравлических сопротивлений, потерю напора hw, представляют в виде арифметической суммы потерь на трение hf и местных hj вдоль потока (принцип наложения потерь напора) Согласно теории гидродинамического подобия все виды потерь выражают через безразмерные гидродинамические коэффициенты в долях от скоростного напора потока. Потеря напора на трение на участках равномерного течения . Потеря напора в местных сопротивлениях . В этих выражениях: λ - коэффициент сопротивления трения; l – длина участка трубопровода; Численные значения коэффициентов λ и ζ зависят от критериев геометрического и гидродинамического подобия. Для установившихся течений несжимаемой жидкости в напорных трубопроводах критерием гидродинамического подобия служит критерий Рейнольдса, подсчитываемый по средней скорости и диаметру Ранее в пп.6.6 и 6.7 мы рассмотрели потери напора на трение при ламинарном и турбулентном движениях. Коэффициент сопротивления трения в общем случае зависит от Rе, относительной шероховатости, рис. 7.3, и параметра, характеризующего форму сечения канала. Из рис. 7.3.1 видно, что коэффициент сопротивления зависит только от Re при малых Re и только от шероховатости при больших Re. Для круглых трубопроводов при ламинарном течении, т.е. при Rе < 2300, справедлива формула Пуазейля При турбулентном режиме течения в гладких круглых трубопроводах могут использоваться полуэмпирические формулы, которые в зависимости от принятых допущений имеют несколько различный вид, но дают практически близкие результаты: - формула Блазиуса (для Rе < 105) λ = 0,3164Re-1/4; - формулы Прандтля - Никурадзе (для Rе > 105): или . Для области квадратичного сопротивления (для сильно шероховатых труб при высоких числах Rе) λ = f(ε). В случае зернистой шероховатости справедлива формула Никурадзе при бугристой шероховатости - формула Теплова Коэффициенты местных сопротивлений принимают главным образом по результатам экспериментальных исследований. Местные гидравлические сопротивления Простейшие местные гидравлические сопротивления можно разделить на расширения, сужения и повороты русла, каждое из которых может быть внезапным или постепенным. Более сложные случаи местного сопротивления представляют собой соединения или комбинации перечисленных простейших сопротивлений. Рассмотрим простейшие местные сопротивления при турбулентном режиме течения в трубе. 1. Внезапное расширение русла. Потеря напора (энергии) при внезапном расширении русла расходуется на вихреобразование, связанное с отрывом потока от стенок, т.е. на поддержание вращательного непрерывного движения жидких масс с постоянным их обновлением. Рис. 7.3.2. Внезапное расширение трубы При внезапном расширении русла (трубы) (рис.7.3.2) поток срывается с угла и расширяется не внезапно, как русло, а постепенно, причем в кольцевом пространстве между потоком и стенкой трубы образуются вихри, которые и являются причиной потерь энергии. Рассмотрим два сечения потока: 1-1 - в плоскости расширения трубы и 2-2 - в том месте, где поток, расширившись, заполнил все сечение широкой трубы. Так как поток между рассматриваемыми сечениями расширяется, то скорость его уменьшается, а давление возрастает. Поэтому второй пьезометр показывает высоту на ΔH большую, чем первый; но если бы потерь напора в данном месте не было, то второй пьезометр показал бы высоту большую еще на hрасш. Эта высота и есть местная потеря напора на расширение, которая определяется по формуле: где S1, S2 - площадь поперечных сечений 1-1 и 2-2. Это выражение является следствием теоремы Борда, которая гласит, что потеря напора при внезапном расширении русла равна скоростному напору, определенному по разности скоростей Выражение ( 1 - S1/S2 )2 обозначается греческой буквой ζ (дзета) и называется коэффициентом потерь, таким образом 2. Постепенное расширение русла. Постепенно расширяющаяся труба называется диффузором (рис.7.3.3). Течение скорости в диффузоре сопровождается ее уменьшением и увеличением давления, а следовательно, преобразованием кинетической энергии жидкости в энергию давления. В диффузоре, так же как и при внезапном расширении русла, происходит отрыв основного потока от стенки и вихреобразования. Интенсивность этих явлений возрастает с увеличением угла расширения диффузора α. Рис. 7.3.4. Постепенное расширение трубы Кроме того, в диффузоре имеются и обычные потери на терние, подобные тем, которые возникают в трубах постоянного сечения. Полную потерю напора в диффузоре рассматривают как сумму двух слагаемых: где hтр и hрасш - потери напора на трение и расширение (вихреобразование). где n = S2/S1 = (r2/r1) 2 - степень расширения диффузора. Потеря напора на расширение hрасш имеет ту же самую природу, что и при внезапном расширении русла где k - коэффициент смягчения, при α= 5…20°, k = sinα. Учитывая это полную потерю напора можно переписать в виде: откуда коэффициент сопротивления диффузора можно выразить формулой Функция ζ = f(α) имеет минимум при некотором наивыгоднейшем оптимальном значении угла α, оптимальное значение которого определится следующим выражением: При подстановке в эту формулу λТ =0,015…0,025 и n = 2…4 получим αопт = 6 (рис.7.3.5). Рис. 7.3.5. Зависимость ζдиф от угла 3. Внезапное сужение русла. В этом случае потеря напора обусловлена трением потока при входе в более узкую трубу и потерями на вихреобразование, которые образуются в кольцевом пространстве вокруг суженой части потока (рис.7.3.6). Рис. 7.3.6. Внезапное сужение трубы Рис. 7.3.7. Конфузор Полная потеря напора определится по формуле; где коэффициент сопротивления сужения определяется по полуэмпирической формуле И.Е. Идельчика: в которой n = S1/S2 - степень сужения. При выходе трубы из резервуара больших размеров, когда можно считать, что S2/S1 = 0, а также при отсутствии закругления входного угла, коэффициент сопротивления   ζсуж = 0,5. 4. Постепенное сужение русла. Данное местное сопротивление представляет собой коническую сходящуюся трубу, которая называется конфузором (рис. 7.3.7). Течение жидкости в конфузоре сопровождается увеличением скорости и падением давления. В конфузоре имеются лишь потери на трение где коэффициент сопротивления конфузора определяется по формуле в которой n = S1/S2 - степень сужения. Небольшое вихреобразование и отрыв потока от стенки с одновременным сжатием потока возникает лишь на выходе из конфузора в месте соединения конической трубы с цилиндрической. Закруглением входного угла можно значительно уменьшить потерю напора при входе в трубу. Конфузор с плавно сопряженными цилиндрическими и коническими частями называется соплом (рис. 7.3.8). Рис. 7.3.8. Сопло 5. Внезапный поворот трубы (колено). Данный вид местного сопротивления (рис.7.3.9) вызывает значительные потери энергии, т.к. в нем происходят отрыв потока и вихреобразования, причем потери тем больше, чем больше угол δ. Потерю напора рассчитывают по формуле где ζкол - коэффициент сопротивления колена круглого сечения, который определяется по графику в зависимости от угла колена δ (рис. 7.3.10). 6. Постепенный поворот трубы (закругленное колено или отвод). Плавность поворота значительно уменьшает интенсивность вихреобразования, а следовательно, и сопротивление отвода по сравнению с коленом. Это уменьшение тем больше, чем больше относительный радиус кривизны отвода R/d рис. 7.3.11). Коэффициент сопротивления отвода ζотв зависит от отношения R/d, угла δ, а также формы поперечного сечения трубы. Рис. 7.3.9. Рис. 7.3.10. Зависимости ζкол от угла δ Рис. 7.3.11. Отвод Для отводов круглого сечения с углом δ= 90 и R/d 1 при турбулентном течении можно воспользоваться эмпирической формулой: Для углов δ 70° коэффициент сопротивления а при δ 100° Потеря напора в колене определится как Все выше изложенное относится к турбулентному движению жидкости. При ламинарном движении местные сопротивления играют малую роль при определении общего сопротивления трубопровода. 7.4. Трубопроводы При расчетах напорных трубопроводов основной задачей является либо определение пропускной способности (расхода), либо потери напора на том или ином участке, равно как и на всей длине, либо диаметра трубопровода на заданных расходе и потерях напора. В практике трубопроводы делятся на короткие и длинные. К первым относятся все трубопроводы, в которых местные потери напора превышают 5…10% потерь напора по длине. При расчетах таких трубопроводов обязательно учитывают потери напора в местных сопротивлениях. К ним относят, к примеру, маслопроводы объемных передач. Ко вторым относятся трубопроводы, в которых местные потери меньше 5…10% потерь напора по длине. Их расчет ведется без учета местных потерь. К таким трубопроводам относятся, например, магистральные водоводы, нефтепроводы. Учитывая гидравлическую схему работы длинных трубопроводов, их можно разделить также на простые и сложные. Простыми называются последовательно соединенные трубопроводы одного или различных сечений, не имеющих никаких ответвлений. К сложным трубопроводам относятся системы труб с одним или несколькими ответвлениями, параллельными ветвями и т.д. К сложным относятся и так называемые кольцевые трубопроводы. 7.4.1. Простой трубопровод постоянного сечения Жидкость по трубопроводу движется благодаря тому, что ее энергия в начале трубопровода больше, чем в конце. Этот перепад уровней энергии может создаваться несколькими способами: работой насоса, разностью уровней жидкости, давлением газа. Рассмотрим простой трубопровод постоянного сечения, который расположен произвольно в пространстве (рис. 7.4.1), имеет общую длину l и диаметр d, а также содержит ряд местных сопротивлений (вентиль, фильтр и обратный клапан). В начальном сечении трубопровода 1-1 геометрическая высота равна z1 и избыточное давление Р1, а в конечном сечении 2-2 - соответственно z2 и Р2. Скорость потока в этих сечениях вследствие постоянства диаметра трубы одинакова и равна ν. Запишем уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2. Поскольку скорость в обоих сечениях одинакова и α1 = α2, то скоростной напор можно не учитывать. При этом получим или Рис. 7.4.1. Схема простого трубопровода Пьезометрическую высоту, стоящую в левой части уравнения, назовем потребным напором Нпотр. Если же эта пьезометрическая высота задана, то ее называют располагаемым напором Нрасп. Такой напор складывается из геометрической высоты Hпотр, на которую поднимается жидкость, пьезометрической высоты в конце трубопровода и суммы всех потерь напора в трубопроводе. Назовем сумму первых двух слагаемых статическим напором, который представим как некоторую эквивалентную геометрическую высоту а последнее слагаемое Σh - как степенную функцию расхода Σh = KQm тогда Hпотр = Hст + KQm где K - величина, называемая сопротивлением трубопровода; Q - расход жидкости; m - показатель степени, который имеет разные значения в зависимости от режима течения. Для ламинарного течения при замене местных сопротивлений эквивалентными длинами сопротивление трубопровода равно где lрасч = l + lэкв. Численные значения эквивалентных длин lэкв для различных местных сопротивлений обычно находят опытным путем. Для турбулентного течения, используя формулу Вейсбаха-Дарси, и выражая в ней скорость через расход, получаем По этим формулам можно построить кривую потребного напора в зависимости от расхода. Чем больше расход Q, который необходимо обеспечить в трубопроводе, тем больше требуется потребный напор Нпотр. При ламинарном течении эта кривая изображается прямой линией (рис. 7.4.2, а), при турбулентном - параболой с показателем степени равном двум (рис. 7.4.2, б). Рис. 7.4.2. Зависимости потребных напоров от расхода жидкости в трубопроводе Крутизна кривых потребного напора зависит от сопротивления трубопровода K и возрастает с увеличением длины трубопровода и уменьшением диаметра, а также с увеличением местных гидравлических сопротивлений. Величина статического напора Нст положительна в том случае, когда жидкость движется вверх или в полость с повышенным давлением, и отрицательна при опускании жидкости или движении в полость с пониженным давлением. Точка пересечения кривой потребного напора с осью абсцисс (точка А) определяет расход при движении жидкости самотеком. Потребный напор в этом случае равен нулю. Иногда вместо кривых потребного напора удобнее пользоваться характеристиками трубопровода. Характеристикой трубопровода называется зависимость суммарной потери напора (или давления) в трубопроводе от расхода: Σh = f(Q) 7.4.2. Соединения простых трубопроводов Простые трубопроводы могут соединяться между собой, при этом их соединение может быть последовательным или параллельным. Последовательное соединение. Возьмем несколько труб различной длины, разного диаметра и содержащих разные местные сопротивления, и соединим их последовательно (рис. 7.4.3, а). Рис. 7.4.3. Последовательное соединение трубопроводов При подаче жидкости по такому составному трубопроводу от точки М к точке N расход жидкости Q во всех последовательно соединенных трубах 1, 2 и 3 будет одинаков, а полная потеря напора между точками М и N равна сумме потерь напора во всех последовательно соединенных трубах. Таким образом, для последовательного соединения имеем следующие основные уравнения: Q1 = Q2 = Q3 = Q ΣhM-N = Σh1 + Σh2 + Σh3 Эти уравнения определяют правила построения характеристик последовательного соединения труб (рис. 7.4.3, б). Если известны характеристики каждого трубопровода, то по ним можно построить характеристику всего последовательного соединения M-N. Для этого нужно сложить ординаты всех трех кривых. Параллельное соединение. Такое соединение показано на рис. 7.4.4, а. Трубопроводы 1, 2 и 3 расположены горизонтально. Рис. 7.4.4. Параллельное соединение трубопроводов Обозначим полные напоры в точках М и N соответственно HM и HN , расход в основной магистрали (т.е. до разветвления и после слияния) - через Q, а в параллельных трубопроводах через Q1, Q2 и Q3; суммарные потери в этих трубопроводах через Σh1, Σh2 и Σh3. Очевидно, что расход жидкости в основной магистрали Q = Q1 = Q2 = Q3 Выразим потери напора в каждом из трубопроводов через полные напоры в точках М и N: Σh1 = HM - HN; Σh2 = HM - HN; Σh3 = HM - HN Отсюда делаем вывод, что Σh1 = Σh2 = Σh3 т.е. потери напора в параллельных трубопроводах равны между собой. Их можно выразить в общем виде через соответствующие расходы следующим образом Σh1 = K1Q1m; Σh2 = K2Q2m; Σh3 = K3Q3m где K и m - определяются в зависимости от режима течения. Из двух последних уравнений вытекает следующее правило: для построения характеристики параллельного соединения нескольких трубопроводов следует сложить абсциссы (расходы) характеристик этих трубопроводов при одинаковых ординатах (Σh). Пример такого построения дан на рис. 7.4.3, б. Разветвленное соединение. Разветвленным соединением называется совокупность нескольких простых трубопроводов, имеющих одно общее сечение - место разветвления (или смыкания) труб. Рис. 7.4.5. Разветвленный трубопровод Пусть основной трубопровод имеет разветвление в сечении М-М, от которого отходят, например, три трубы 1, 2 и 3 разных диаметров, содержащие различные местные сопротивления (рис. 7.4.5, а). Геометрические высоты z1, z2 и z3 конечных сечений и давления P1, P2 и P3 в них будут также различны. Так же как и для параллельных трубопроводов, общий расход в основном трубопроводе будет равен сумме расходов в каждом трубопроводе: Q = Q1 = Q2 = Q3 Записав уравнение Бернулли для сечения М-М и конечного сечения, например первого трубопровода, получим (пренебрегая разностью скоростных высот) Обозначив сумму первых двух членов через Hст и выражая третий член через расход (как это делалось в п.7.4.1), получаем HM = Hст 1 + KQ1m Аналогично для двух других трубопроводов можно записать HM = Hст 2 + KQ2m HM = Hст 3 + KQ3m Таким образом, получаем систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными: Q1, Q2 и Q3 и HM. Построение кривой потребного напора для разветвленного трубопровода выполняется сложением кривых потребных напоров для ветвей по правилу сложения характеристик параллельных трубопроводов (рис. 7.4.5, б) - сложением абсцисс (Q) при одинаковых ординатах (HM). Кривые потребных напоров для ветвей отмечены цифрами 1, 2 и 3 , а суммарная кривая потребного напора для всего разветвления обозначена буквами ABCD. Из графика видно, что условием подачи жидкости во все ветви является неравенство HM > Hст1. 7.4.3. Сложные трубопроводы Сложный трубопровод в общем случае составлен из простых трубопроводов с последовательным и параллельным их соединением (рис. 7.4.6, а) или с разветвлениями (рис. 7.4.6, б). Рис. 7.4.6. Схемы сложных трубопроводов Рассмотрим разомкнутый сложный трубопровод (рис. 7.4.6, б). магистральный трубопровод разветвляется в точках А и С. Жидкость подается к точкам (сечениям) B, D и E с расходами Q B и QD и QE. Пусть известны размеры магистралей и всех ветвей (простых трубопроводов), заданы все местные сопротивления, а также геометрические высоты конечных точек, отсчитываемые от плоскости M - N и избыточные давления в конечных точках PB и PD и PE. Для этого случая возможны два вида задач: Задача 1. Дан расход Q в основной магистрали MA. Необходимо определить расходы QB и QD и QE, а также потребный напор в точке М. Задача 2. Дан напор в точке М. Определить расход в магистрали Q и расходы в каждой ветви. Обе задачи решают на основе одной и той же системы уравнений, число которых на единицу больше числа конечных ветвей, а именно: уравнение расходов: Q = QB = QD = QE уравнение равенства потребных напоров для ветвей CD и CE Hст D + KCDQDт = Hст E + KCEQEт уравнение равенства потребных напоров для ветви АВ и сложного трубопровода АСЕD Hст B + KABQBт = Hст D + KCDQDт + KAC(QD + QE)т выражение для потребного напора в точке М Расчет сложных трубопроводов часто выполняют графоаналитическим способом, т.е. с применением кривых потребного напора и характеристик трубопроводов. Кривую потребного напора для сложного трубопровода следует строить следующим образом: 1) сложный трубопровод разбивают на ряд простых; 2) строят кривые потребных напоров для каждого из простых трубопроводов; 3) складывают кривые потребных напоров для ветвей (и параллельных линий, если они имеются) по правилу сложения характеристик параллельных трубопроводов; 4) полученную кривую складывают с характеристикой последовательно присоединенного трубопровода по соответствующему правилу (см. п.7.4.2). Таким образом, при расчете идут от конечных точек трубопровода к начальной точке, т.е. против течения жидкости. Сложный кольцевой трубопровод. Представляет собой систему смежных замкнутых контуров, с отбором жидкости в узловых точках или с непрерывной раздачей жидкости на отдельных участках (рис. 7.4.7). Задачи для таких трубопроводов решают аналогичным методом с применением электроаналогий (закон Кирхгофа). При этом основываются на двух обязательных условиях. Первое условие - баланс расходов, т.е. равенство притока и оттока жидкости для каждой узловой точки. Второе условие - баланс напоров, т.е. равенство нулю алгебраической суммы потерь напора для каждого кольца (контура) при подсчете по направлению движения часовой стрелки или против нее. Рис. 7.4.7. Схема сложного кольцевого трубопровода Для расчета таких трубопроводов типичной является следующая задача. Дан максимальный напор в начальной точке, т.е. в точке 0, минимальный напор в наиболее удаленной точке Е, расходы во всех шести узлах и длины семи участков. Требуется определить диаметры трубопроводов на всех участках. 7.4.4. Трубопроводы с насосной подачей жидкостей Как уже отмечалось выше, перепад уровней энергии, за счет которого жидкость течет по трубопроводу, может создаваться работой насоса, что широко применяется в машиностроении. Рассмотрим совместную работу трубопровода с насосом и принцип расчета трубопровода с насосной подачей жидкости. Трубопровод с насосной подачей жидкости может быть разомкнутым, т.е. по которому жидкость перекачивается из одной емкости в другую (рис. 7.4.8, а), или замкнутым (кольцевым), в котором циркулирует одно и то же количество жидкости (рис. 7.4.8, б). Рис. 7.4.8. Трубопроводы с насосной подачей Рассмотрим трубопровод, по которому перекачивают жидкость из нижнего резервуара с давлением P 0 в другой резервуар с давлением P3 (рис. 7.4.8, а). Высота расположения оси насоса H1 называется геометрической высотой всасывания, а трубопровод, по которому жидкость поступает к насосу, всасывающим трубопроводом или линией всасывания. Высота расположения конечного сечения трубопровода H2 называется геометрической высотой нагнетания, а трубопровод, по которому жидкость движется от насоса, напорным или линией нагнетания. Составим уравнением Бернулли для потока рабочей жидкости во всасывающем трубопроводе, т.е. для сечений 0-0 и 1-1 (принимая α = 1): Это уравнение является основным для расчета всасывающих трубопроводов. Теперь рассмотрим напорный трубопровод, для которого запишем уравнение Бернулли, т.е. для сечений 2-2 и 3-3: Левая часть этого уравнения представляет собой энергию жидкости на выходе из насоса. А на входе насоса энергию жидкости можно будет аналогично выразить из уравнения: Таким образом, можно подсчитать приращение энергии жидкости, проходящей через насос. Эта энергия сообщается жидкости насосом и поэтому обозначается обычно Hнас. Для нахождения напора Hнас вычислим уравнение : где Δz - полная геометрическая высота подъема жидкости, Δz = H 1 + H2; КQm - сумма гидравлических потерь, P3 и Р0 - давление в верхней и нижней емкости соответственно. Если к действительной разности уровней Δz добавить разность пьезометрических высот ( P3 - Р0 ) ( ρg ), то можно рассматривать увеличенную разность уровней и формулу можно переписать так: Hнас = Hст + KQm Из этой формулы делаем вывод, что Hнас = Hпотр Отсюда вытекает следующее правило устойчивой работы насоса: при установившемся течении жидкости в трубопроводе насос развивает напор, равный потребному. На этом равенстве основывается метод расчета трубопроводов с насосной подачей, который заключается в совместном построении в одном и том же масштабе и на одном графике двух кривых: напора Hпотр = f1(Q) и характеристики насоса Hнас = f2(Q) и в нахождении их точки пересечения (рис. 7.4.9). Рис. 7.4.9. Графическое нахождение рабочей точки Характеристикой насоса называется зависимость напора, создаваемого насосом, от его подачи (расхода жидкости) при постоянной частоте вращения вала насоса. На рис. 7.4.9 дано два варианта графика: а - для турбулентного режима; б - для ламинарного режима. Точка пересечения кривой потребного напора с характеристикой насоса называется рабочей точкой. Чтобы получить другую рабочую точку, необходимо изменить открытие регулировочного крана (изменить характеристику трубопровода) или изменить частоту вращения вала насоса. 7.4.5. Гидравлический удар Гидравлическим ударом называется резкое повышение давления, возникающее в напорном трубопроводе при внезапном торможении потока рабочей жидкости. Этот процесс является очень быстротечным и характеризуется чередованием резких повышений и понижений давления, которое связано с упругими деформациями жидкости и стенок трубопровода. Гидравлический удар чаще всего возникает при резком открытии или закрытии крана или другого устройства, управляемого потоком. Пусть в конце трубы, по которой движется жидкость со скоростью υ0, произведено мгновенное закрытие крана (рис. 7.4.10, а). Рис. 7.4.10. Стадии гидравлического удара При этом скорость частиц, натолкнувшихся на кран, будет погашена, а их кинетическая энергия перейдет в работу деформации стенок трубы и жидкости. При этом стенки трубы растягиваются, а жидкость сжимается в соответствии с увеличением давления на величину ΔPуд, которое называется ударным. Область (сечение n - n), в которой происходит увеличение давления, называется ударной волной. Ударная волна распространяется вправо со скоростью c, называемой скоростью ударной волны. Когда ударная волна переместится до резервуара, жидкость окажется остановленной и сжатой во всей трубе, а стенки трубы - растянутыми. Ударное повышение давления распространится на всю длину трубы (рис. 7.4.10, б). Далее под действием перепада давления ΔPуд частицы жидкости устремятся из трубы в резервуар, причем это течение начнется с сечения, непосредственно прилегающего к резервуару. Теперь сечение n-n перемещается обратно к крану с той же скоростью c, оставляя за собой выровненное давление P0 (рис. 7.4.10, в). Жидкость и стенки трубы предполагаются упругими, поэтому они возвращаются к прежнему состоянию, соответствующему давлению P0. Работа деформации полностью переходит в кинетическую энергию, и жидкость в трубе приобретает первоначальную скорость υ0, но направленную теперь в противоположную теперь сторону. С этой скоростью весь объем жидкости стремится оторваться от крана, в результате возникает отрицательная ударная волна под давлением P0 - ΔPуд, которая направляется от крана к резервуару со скоростью c, оставляя за собой сжавшиеся стенки трубы и расширившуюся жидкость, что обусловлено снижением давления (рис. 7.4.10, д). Кинетическая энергия жидкости вновь переходит в работу деформаций, но противоположного знака. Состояние трубы в момент прихода отрицательной ударной волны к резервуару показано на рис. 7.4.10, е. Так же как и для случая, изображенного на рис. 7.4.10, б, оно не является равновесным. На рис. 7.4.10, ж, показан процесс выравнивания давления в трубе и резервуаре, сопровождающийся возникновением движения жидкости со скоростью υ0. Очевидно, что как только отраженная от резервуара ударная волна под давлением ΔP уд достигнет крана, возникнет ситуация, уже имевшая место в момент закрытия крана. Весь цикл гидравлического удара повторится. Протекание гидравлического удара во времени иллюстрируется диаграммой, представленной на рис. 7.4.11, а и б. Штриховыми линиями показано теоретическое изменение давления у крана в точке А, а сплошной действительный вид картины изменения давления по времени (рис. 7.4.11, а). При этом затухание колебаний давления происходит за счет потерь энергии жидкости на преодоление сил трения и ухода энергии в резервуар. Если давление P0 невелико (P0 < ΔP уд), то картина изменения амплитуды давления получается несколько иная, примерно такая, как показано на рис. 7.4.11, б. Рис. 7.4.11. Изменение давления по времени у крана Повышение давления при гидравлическом ударе можно определить по формуле ΔPуд = ρυ0c Данное выражение носит название формулы Жуковского. В нем скорость распространения ударной волны c определится по формуле: где r - радиус трубопровода; E - модуль упругости материала трубы; δ - толщина стенки трубопровода; K - объемный модуль упругости (см. п.1.3) Если предположить, что труба имеет абсолютно жесткие стенки, т.е. E = , то скорость ударной волны определится из выражения Для воды эта скорость равна 1435 м/с, для бензина 1116 м/с, для масла 1200 - 1400 м/с. 7.4.6. Изменение пропускной способности трубопроводов в процессе их эксплуатации При проектировании напорных трубопроводов следует учитывать, что их пропускная способность в период эксплуатации снижается (например, для водопроводных труб до 50% и даже ниже). Вследствие коррозии и образования отложений в трубах (инкрустации), шероховатость труб увеличивается. Это можно оценить по формуле: kt = k0 + αt где k0 - абсолютная шероховатость для новых труб, (мм), kt - шероховатость через t лет эксплуатации, α - коэффициент характеризующий быстроту возрастания шероховатости (мм/год). Таблица 7.4.1 7.5. Пример расчета простого трубопровода Остановимся для наглядности на расчете простого трубопровода, изображенного на рис. 7.5. Пусть ходкость вытекает по трубам с диаметрами d1 и d2 из напорного резервуара, открытого сверху и сообщающегося с атмосферой. Длина первого участка l1, второго - l2, на нем установлен кран, и в конце этого участка жидкость вытекает наружу, где давление также равно атмосферному. Обычно расчет сводится к определению расхода жидкости Q, времени опорожнения резервуара t к построению напорной пьезометрической линии. Рис. 7.5. Схема простого трубопровода с напорной и пьезометрической линиями Для определения расхода используют формулу Q=VсрS, в которой среднюю скорость истечения Vср находят из уравнения Бернулли. Применяя его к точкам сечений О-О и 2-2, где поток можно считать плавно изменяющимся, имеем поскольку уровень жидкости в сечении О-О снижается очень медленно, а плоскость отсчета расположена на уровне оси симметрии второй трубы. Для турбулентного потока можно положить α2 ≈ 1, поэтому после сокращение . Полная потеря напора Н складывается из потерь на трение на первом и втором участках трубопровода и местных потерь, обусловленных сопротивлениями на входе из резервуара в трубу, на расширение при переходе из одного участка в другой и в кране: где , и - коэффициенты местного сопротивления на входе, при расширении и в кране соответственно. В итоге Но из уравнения неразрывности, где S1 и S2 - площади сечений первой и второй труб; , т.е. искомой скорости истечения жидкости. Поэтому где ζс - приведенный коэффициент сопротивления трубы. Подставляя значение H в равенство , находим Поскольку коэффициенты сопротивления λ1 и λ2 зависят от числа Рейнольдса, а последнее - от скорости , то расчет приходится вести методом последовательных приближений, полагая в исходном приближении ζс = 0. Искомый расход жидкости где - так называемый коэффициент расхода. В невязкой жидкости μ = 1, в реальной - колеблется в достаточно широких пределах; обычно μ = 0,6-0,8. Вычислив расход, легко найти время опорожнения резервуара t = V/Q, где V - объем воды в резервуаре. Проведенный расчет позволяет построить напорную и пьезометрическую линии (рис. 7.4). В сечении О-О полный напор h, и напорная линия совпадает с уровнем жидкости в резервуаре. Если бы жидкость была невязкой, эта линия оставалась бы горизонтальной на всем протяжении трубопровода (пунктир). В реальной жидкости механическая энергия тратится на преодоление сопротивлений. Первое падение энергии, связанное с потерей напора при входе воды в трубу, изображено в виде ступеньки Hвх, далее идет наклонная прямая, характеризующая потери на трение HL1 на первом участке, затем следует ступенька, определяющая потери на внезапное расширение Нрасш, далее - наклонная прямая, характеризующая потери на трение HL2 на втором участке до крана, ступенька Hкр, отражающая влияние крана, опять наклонная прямая, определяющая потери на трение HL2'' за краном, на конечном участке трубы. В сечении 2-2 давление равно атмосферному, уровень z2=0, и полный напор равен удельной кинетической энергии истечения жидкости . Для построения пьезометрической линии удобно от напорной откладывать вниз соответствующие величины скоростного напора и и . В трубах постоянного сечения это величины постоянные, поэтому пьезометрическая линия на каждом из участков параллельна напорной. Начинать ее построение удобнее с сечения 2-2, где полный напор равен скоростному, и, следовательно, пьезометрическая линия начинается с нуля. В резервуаре эта линия совпадает с напорной, так как предполагается, что скорость в сечении О-О пренебрежимо мала, и скоростной напор отсутствует. 8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КРЫЛА 8.1. Понятие крыла и его геометрические характеристики Крылом называется хорошо обтекаемое тело, подъемная сила которого во много раз больше силы сопротивления. Форма плоского крыла в плане (см. рис. 8.1) может быть прямоугольной (1), трапециевидной (2), стреловидной (3), эллиптической (4). Рис. 8.1 Формы крала в плане 1- успокоители качки, 2- перо руля, 3- крыло судна на подводных крыльях (СПК), 4- лопасть грибного винта. Наряду с плоскими иногда применяют V-образные, Х-образные, кольцевые, винтовые и другие пространственные крылья. Если принять связанную с плоским крылом правую поточную систему координат, как указано на рис. 8.2, то проекция Rx равнодействующей R гидродинамических сил на ось x представляет сопротивление, а проекция Rу подъемную силу крыла. Плоское крыло характеризуется площадью S его проекции в плане и размахом l. Рис. 8.2. Система координат плоского крыла Сечение крыла плоскостью хоу называется профилем крыла. На рис. 8.3 показаны некоторые характерные формы профилей. Отрезок прямой, соединяющий крайние переднюю и заднюю точки профиля, называется хордой b крыла. Форма профиля крыла характеризуется следующими геометрическими параметрами. Относительной толщиной профиля называется отношение максимальной толщины е профиля к его хорде, которое выражается в процентах ее длины обычное <20-25%. Крылья, у которых <10%, называются тонкими. Положение максимальной толщины относительно передней кромки профиля сm выражается в долях его хорды . Форма профиля задается в виде ординат ув и ун, отсчитываемых от хорды до его спинки и нижней стороны. Плавная кривая с ординатами у1с=(у1в+у1н)/2 называется средней линией профиля. Максимальная ордината f этой кривой представляет ее стрелку прогиба. Отношение максимальной стрелки прогиба к хорде называется относительной кривизной профиля . Относительная кривизна обычно составляет <2-3%. Положение максимальной стрелки прогиба средней линии профиля характеризуется величиной сf, т.е. в безразмерной форме . У некоторых профилей средняя линия имеет возле задней кромки обратную вогнутость. Такие профили называют обычно S-образными. У S-образных профилей под относительной кривизной понимают , а под обратной относительной кривизной отношение f2/b. Положение f1 и обратной кривизны f2 характеризуется координатами с1 и с2. Средняя геометрическая хорда bср представляет отношение площади проекции крыла в плане к его размаху bср = S/l. Важной геометрической характеристикой крыла служит его относительное удлинение - отношение размаха крыла к средней хорде λ = l/bcp = l2/S У прямоугольного в плане крыла λ = l/b. Крыло, размах которого l бесконечно велик по сравнению с его хордой, носит название крыла бесконечного размаха (λ = ∞). Крыло с размахом больше двух, называется крылом конечного размаха (λ > 2), а если λ < 2, - крылом малого удлинения. 8.2. Образование подъемной силы Подъемная сила, действующая на подводное или воздушное крыло, определяется, как составляющая результирующей гидродинамической силы, перпендикулярной скорости набегающего потока. Следует отметить, что подъемная сила может быть направлена вверх или вниз, хотя для поддержания при горизонтальном движении требуется, вертикальная сила, направленная вверх. Процесс образования подъемной силы на подводном крыле в корне отличается от образования силы поддержания. Будем считать, что поток, обтекающий неподвижное, глубоко погруженное тело, установившийся и безвихревой. (Вспомним, что термин "безвихревой" означает, что ни один элемент движущейся жидкости не вращается). Поскольку вращение жидкой частицы может быть вызвано только вращающим моментом вследствие действия касательных сил на ее поверхности, то, следовательно, в нашей модели касательные силы отсутствуют, и жидкость невязкая. Предположим, что тело представляет собой длинный цилиндр с постоянным вдоль оси круговым поперечным сечением, расположенный под прямым углом к набегающему потоку бесконечной протяженности. Картина линий тока в районе центрального сечения цилиндра изображена на рис. 8.4, а. Симметрия картины относительно осей хх и zz показывает (если применить уравнение Бернулли), что силы, перпендикулярные хх (подъемная сила) и zz (сопротивление), должны быть равны нулю. Рис 8.4. Картина линий тока при обтекании кругового цилиндра безграничным потоком: а - без циркуляции; б - с циркуляцией; 1 - подъемная сила; 2 -циркуляционный поток; S1 и S2 - критические точки Для получения подъемной силы надо, чтобы картина линий тока не была симметрична относительно xx. Этого можно достичь, деформируя поперечное сечение тела или вызывая дополнительную циркуляционную составляющую потока. Если скорости жидкости относительно цилиндра над его верхней поверхностью больше скоростей на нижней поверхности, то из уравнения Бернулли следует, что среднее давление на нижней поверхности больше, чем на верхней. Поперечная сила - в этом случае направленная вверх (подъемная сила) - развивается так, как показано на рис. 8.4, б. Поток остается симметричным относительно оси zz, и, следовательно, сопротивление остается нулевым. Теоретически картину линий тока, изображенную на рис. 8.4, б, можно получить из суперпозиции однородного потока, диполя и точечного вихря, представляющего циркуляционное течение. Тогда можно показать, что подъемная сила на единицу размаха цилиндра определяется как подъемная сила/размах = ρ Г V = L', (8.1) где ρ - плотность жидкости, V - скорость набегающего потока, Г- циркуляция, соответствующая интенсивности точечного вихря. Здесь мы принимаем допущение о том, что положительная циркуляция соответствует подъемной силе, направленной вверх по перпендикуляру к вектору скорости набегающего потока. Уравнение 8.1 впервые получили независимо Кутта и Жуковский для тел произвольной формы, и его часто называют теоремой Кутта-Жуковского. Жуковский показал также, что картину обтекания кругового цилиндра можно использовать для получения картины обтекания тела другой (но математически связанной с цилиндром) формы. При помощи конформного преобразования тело, определенное таким образом, может принять форму подводного крыла, симметричного относительно средней линии (не обязательно прямой). Тогда скорости и, следовательно, давления на поверхности подводного крыла можно вычислить достаточно легко. Обратимся к сечениям подводного крыла бесконечного размаха (т.е. бесконечной протяженности в направлении, перпендикулярном плоскости листа) и предположим, что мы преобразуем картину обтекания на рис. 8.4, а к картине обтекания на рис. 8.5. Ни на цилиндре, ни на крыле нет подъемной силы. В то время как у цилиндра две критические точки S1 и S2 лежат на линии θ = π и θ = 0, положение соответствующих точек на крыле зависит от угла атаки α. Рис. 8.5. Обтекание профиля крыла безграничным потоком: а - без циркуляции; б - с циркуляцией Из рис. 8.4, а видно, что в результате преобразования мы получаем воздушное крыло с острой задней кромкой. Однако даже в случае не вязкой жидкости требуемой мгновенное изменение направления поддерживать не удается. Более того, для реальных жидкостей в течении под нижней поверхностью подводного крыла происходит постоянное рассеяние энергии вследствие существования касательных напряжений в пограничном слое. В результате жидкость не обладает достаточной энергией для того, чтобы обойти острую заднюю кромку и достичь критической точки S2, поэтому она отрывается от поверхности крыла. Фактически единственное устойчивое положение S2 находится на задней кромке, а картина обтекания типа изображенной на рис. 8.5, а имеет место лишь короткое время после начала движения. Движение точки S2 к задней кромке крыла соответствует смешению точки S2 на цилиндре (рис. 8.4, а) от θ = 0 к θ < 0, т.е. ниже оси xx. Из рис. 8.4, б видно, что этому соответствует циркуляционное течение, направленное по часовой стрелке (т.е. по нашему правилу знаков положительное), вызывающее движение точки S1 к θ > π, т.е. также ниже оси хх. Соответствующее изменение картины обтекания подводного крыла показано на рис. 8.5, б. Таким образом, для обеспечения устойчивого обтекания крыла должно быть создано такое циркуляционное течение, чтобы задняя критическая точка в результате своего смещения совпала с задней кромкой. О том, что для создания подъемной силы на крыле необходимо циркуляция вокруг крыла, нам известно из гипотезы Жуковского. Для объяснения возникновения циркуляции мы должны обратиться к вопросу о вязкости реальных жидкостей. Отрыв вязкого потока около задней кромки крыла вызывает движение жидкости на верхней поверхности от S2 к задней кромке. Это течение происходит в направлении, противоположном направлению идеального потока, и таким образом, возникает вихрь, который называется разгонным (рис. 8.6). Разгонный вихрь быстро сносится с задней кромки вниз по потоку. Однако необходимо удовлетворить теореме Кельвина. В ней говорится, что в невязкой жидкости циркуляция скорости по замкнутой кривой, которая движется вместе с жидкостью и состоит из одних и тех же частиц, не меняется во времени. Рис. 8.6. Схема формирования циркуляции при движении крыла из состояния покоя: а - возникновение разгонного вихря; б - суммарная циркуляция равна нулю; в - разгонный вихрь сносится вниз по потоку; 1 - разгонный вихрь При условии, что точки замкнутой кривой достаточно удалены от тела, градиенты скорости в этих точках пренебрежимо малы, и влияние вязкости также мало. Тогда поведение потока в этой области можно считать идентичным поведению безвихревого потока. Вихрь вызывает такой циркуляционный поток (присоединенный вихрь), что полная циркуляция по замкнутой кривой равна нулю, и S2 движется к задней кромке. Так на подводном крыле возникает подъемная сила. Условие, по которому циркуляция в идеальной жидкости вызывает перемещение точки S2 на заднюю кромку, называется условием Кутта-Жуковского. Истинное значение циркуляции, необходимое для удовлетворения этого требования, несколько меньше, чем в случае идеального потока, так как при этом пограничный слой изменяет форму подводного крыла. Если картина обтекания меняется вследствие изменения угла атаки а (см. рис. 8.5), геометрии подводного крыла или скорости V, то возникают новые разгонные вихри и соответствующая циркуляция. Разгонный вихрь перестает влиять на обтекание крыла по мере того, как сносится вниз по потоку и постепенно диссипирует под влиянием вязкости. Хотя вязкость необходима для появления разгонных вихрей и, следовательно, циркуляции, величина вязкости мало влияет на подъемную силу при условии тонкости пограничного слоя и отсутствия отрыва. Но даже в этом случае всегда формируется след, так как завихренность из пограничного слоя сносится вниз по потоку, и на практике положение критической точки S2 установить нелегко. Однако для тонких подводных крыльев закон Кутта-Жуковского выполняется точно. 8.3. Гидродинамические характеристики крыла Положение крыла относительно набегающего на него потока характеризуется углом атаки α между направлением скорости потока бесконечно далеко перед крылом V∞ и хордой крыла (см. рис. 8.1). Если углы атаки по размаху крыла постоянны, крыло называется гидродинамически незакрученным. Если же углы атаки изменяются по размаху вследствие особенностей его геометрии или условий обтекания, то крыло будет гидродинамически закрученным. Силы и моменты, действующие на крыло, существенно зависят от его угла атаки. Обычно рассматривают не сами силы, а их безразмерные коэффициенты. Коэффициент сопротивления крыла определяется соотношением а коэффициент подъемной силы Иногда удобнее рассматривать силы, действующие на крыло не в принятой выше системе координат, а в системе х1, у1, z1, связанной с крылом (см. рис. 8.1). В этом случае рассматривают две составляющие силы - нормальную Rn и тангенциальную Rt и соответственно два безразмерных коэффициента: нормальной силы тангенциальной силы Коэффициенты Су и Сx связаны с Сn и Сt соотношениями Сn=Сyсоsα+Схsinα; Сt= Сyсоsα-Схsinα. Для оценки эффективности крыльев используют понятие их гидроаэродинамического качества К=Ry/Rх=Су/Сx. Для крыльев при наивыгоднейших углах атаки K= 10-20. В общем случае равнодействующая гидродинамических сил, действующих на крыло, создает относительно оси z момент Мz, который характеризуется коэффициентом момента Момент Mz можно выразить как где - расстояние от точки D приложения равнодействующей до оси z. Точка D приложения равнодействующей называется центром давления профиля (см. рис. 8.1). Отношение называется коэффициентом центра давления. Если ось z совпадает с передней кромкой профиля, то коэффициент момента mz относительно этой оси mz=СnСD. Значения безразмерных гидродинамических коэффициентов крыла существенно зависят от угла атаки. Характер зависимостей Сх, Су, СD, mz и К от угла α показан на рис. 8.7. Угол атаки α0, соответствующий нулевому значению коэффициента подъемной силы, носит название угла нулевой подъемной силы. Как видно из приведенного графика, коэффициент подъемной силы крыла и коэффициент момента вначале с увеличением угла атаки возрастают по законам, близким к линейным. Это позволяет представлять их в следующем виде: где dCy/dα = Cyα и dmz/dα = mzα - тангенсы углов наклона кривых Су и mz, α1 – угол атаки с учетом угла нулевой подъемной силы, т.е. α1 = α –α0. При угле α = αкр характер кривых Cy(α) и mz(α) резко изменяются, и в случае дальнейшего увеличения угла атаки кривая непрерывно падает. Угол αкр носит название критического угла атаки, или угла срыва. Этому углу соответствует максимальное значение коэффициента подъемной силы. Значение (αкр и соответствующий ему максимальный коэффициент подъемной силы Сymax зависят от числа Rе потока, обтекающего крыло: с увеличением этого числа они возрастают. Как следует из результатов опытов, при Re > (1 - 1.5)⋅106 коэффициент подъемной силы, если α < αкр, перестает зависеть от числа Rе, т.е. крыло попадает в зону автомодельности. Величины α0 , Сyα и mzα от числа Rе практически не зависят. Поскольку сопротивление трения составляет значительную долю от общего сопротивления Rх, автомодельная область для коэффициента сопротивления Сx, крыла отсутствует; он уменьшается с увеличением числа Rе. В некоторых случаях оказывается удобней представлять коэффициенты Сх и Сy не в функции от угла атаки, а в виде зависимости Су = f(Сx). Такой график приведен на рис. 8.8 и носит название поляры крыла. Тангенс угла наклона прямой f, проведенной из начала координат в данную точку паляры, представляет качество крыла при угле атаки, соответствующем этой точке (в случае, когда масштабы Сх и Сy выбраны при построении паляры одинаковыми). Тангенс угла наклона касательной 2, проведенной из начала координат к поляре, характеризует максимальное качество крыла. Центр давления крыла с увеличением угла атаки медленно смещается к хвостовой части профиля: для симметричных профилей он располагается в области 0.2-0.5 хорды от передней кромки. Форма крыла существенно влияет на его гидродинамические характеристики; особенно сильно влияет на них изменение его относительного удлинения 1. С ростом относительного удлинения возрастает наклон кривых Сyα, увеличивается качество и уменьшается критический угол атаки. Угол нулевой подъемной силы крыла остается неизменным. Гидроаэродинамические характеристики крыла существенно изменяются при его движении вблизи границ потока. 8.4. Методы построения профиля крыла НЕЖ В данном разделе рассматриваются два метода построения профиля НЕЖ: конформное отображение кругов и графоаналитический метод. Метод конформного отображения кругов. Профили Н.Е. Жуковского (НЕЖ) получаются, рис. 8.10, при конформном отображении кругов, рис. 8.9, по формулам , координаты точек окружности и профиля НЕЖ связаны зависимостями , где k определяет максимальную стрелку прогиба (кривизны), l - максимальную толщину. Подъемная сила крыла единичной длины . Рис. 8.9. Исходная окружность Рис. 8.10. Теоретический для теоретического профиля НЕЖ профиль НЕЖ Графоаналитический метод. Чаще контур профиля строят графическим методом Котельникова – Трефтца, который рассматривается ниже. 1. По заданным значениям k, l, r0 построить две окружности см. рис. 8.11. 2. Провести луч ОСМ из начала координат через центр соприкасающегося круга. 3. Провести ON таким образом, чтобы ∠NOD=∠DOM. 4. Построить вспомогательный круг с центром в точке С1 пересечения луча ON с отрезком ВС, радиус вспомогательного круга R=|C1B|. 5. Провести лучи ОЕ и OF, одинаково наклоненные к оси абсцисс (∠EOT=∠TOF); Е – точка пересечения первого луча с соприкасающимся кругом, F – точка пересечения второго луча с вспомогательным кругом. 6. Построить ЕН||OF и FH||EO; H- точка профиля, являющаяся отображением точки Е. 7. Повторить построения п. 5 и 6 для достаточного числа точек, меняя наклон лучей EO и OF. Рис. 8.11. Графигческий метод построения профиля НЕЖ Величина относительной скорости в точке профиля Н, являющейся отображением точки Е соприкасающегося круга, находится после следующих построений: 1. Из точки В провести луч BL под углом α к оси абсцисс. 2. Опустить перпендикуляр из точки Е на LB (EP⊥LB). Скорость касательна к контуру профиля и имеет величину . Подъемную силу Ry можно найти интегрированием эпюр давлений р по поверхности профиля. Величина давления определяется по формуле . 9. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВОЛН Теория волн, раздел механики жидкости, в котором изучается поведение жидкой среды при колебательном движении ее поверхности. Эта теория основывается на общей теории волн в жидкостях и газах, которая в свою очередь тесно связана с теорией акустических, световых, электромагнитных и механических волн в различных средах. Океан можно рассматривать как сложную механическую систему, всегда стремящуюся сохранить положение равновесия. Если какая-либо внешняя сила выводит эту систему из равновесия, то возвращение к исходному равновесному состоянию происходит в виде затухающих волновых колебаний. При этом в зависимости от природы волнообразующих сил различают гравитационные волны, обусловленные весомостью жидкости, и капиллярные, которые вызываются взаимодействием молекул жидкости в очень тонком поверхностном слое жидкости. Те и другие могут возникать на свободной поверхности жидкости или на границе раздела жидкостей с различной плотностью. Вместе с тем, как всякая распределенная механическая колебательная система, океан обладает набором собственных колебаний. Один из наиболее эффективных механизмов энергоснабжения океана - резонансный, когда собственные колебания океана совпадают по частоте с колебаниями внешних источников энергии. 9.1. Общие положения Рассмотрим гравитационные волны на поверхности неограниченно глубокой идеальной жидкости. Гравитационные волны возникают вследствие того, что частицы жидкости, выведенные из положения равновесия, возвращаясь, под действием силы тяжести к этому положению, будут совершать колебательные движения. К гравитационным относятся ветровые волны, зыбь, волны, вызываемые движением тел в жидкости, приливные волны, возникающие вследствие притяжения жидкости Солнцем и Луной. Рис. 9.1. Элементы волн В гидродинамической теории волн обычно используют следующие термины и определения: • высота волны h - вертикальное расстояние между вершиной и подошвой (рис. 9.1); • амплитуда волны r - ее полувысота; • длина волны λ - горизонтальное расстояние между вершинами или подошвами двух смежных волн; • период волны τ0 - интервал времени между прохождением вершин или подошв двух смежных волн через фиксированную вертикаль; • фазовая скорость волны с - скорость перемещения ее профиля в горизонтальном направлении; • уклон взволнованной поверхности α - угол между горизонтальной плоскостью и касательной к волновому профилю в данной его точке. Волны, профиль которых перемещается в горизонтальном направлении, называются прогрессивными, в противном случае - стоячими. Если характеристики всех волн совершенно одинаковы, волнение называется регулярным, в противном случае - нерегулярным. Регулярного волнения в природе не существует и это лишь одна из возможных математических моделей реального морского волнения. Из существующих видов волнения наиболее близка к регулярному мертвая зыбь, представляющая собой свободные колебания поверхности моря при полном безветрии. Зыбь возникает из ветровых волн при выходе последних из зоны действия ветра либо после его прекращения. Волновое движение идеальной несжимаемой тяжелой жидкости, которая представляет собой модель воды в теории волн к гидродинамической теории качки, суть движение безвихревое. Для того чтобы в этом убедиться, следует обратиться к известной в классической гидромеханике теореме Томсона. Эта теорема гласит, что в идеальной баротропной1 жидкости, находящейся под действием потенциальных массовых сил, циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, состоящему из одних и тех же частиц жидкости, не зависит от времени. Следствием этой теоремы является теорема Лагранжа, утверждающая, что движение такой жидкости, возникающее из состояния покоя, будет безвихревым. Действительно, если в какой-либо момент времени в определенном объеме жидкости циркуляция по любому замкнутому контуру равна нулю, то, обращаясь к теореме Томсона, можно утверждать, что в этом объеме она всегда была и будет равна нулю. Когда данный объем жидкости находится в покое, то, очевидно, циркуляция скорости равна нулю. Следовательно, когда он придет в движение, циркуляция также останется равной нулю. Но в векторном анализе доказывается, что циркуляция вектора по замкнутому контуру равна потоку вихря этого вектора через поверхность, опирающуюся на данный контур. Это утверждение называется теоремой Стокса. Таким образом, если циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, лежащему в данном объеме жидкости, равна нулю, то вихри в нем отсутствуют. На принятую модель воды как идеальную несжимаемую тяжелую жидкость распространяются теоремы Томсона и Лагранжа, т.е. ее волновое движение, как возникающее из состояния покоя, будет безвихревым. 9.2. Определение потенциала скоростей волн и граничные условия Безвихревое движение обладает потенциалом скоростей φ, определение которого и представляет собой первоочередную задачу теории волн. Будем решать эту задачу в неподвижной системе координат О1х1у1z1, плоскость О1х1у1, которой совпадает с невозмущенной свободной поверхностью, а положительная ось О1z1 направлена вверх. Для простоты записи индекс 1 в обозначениях координатных осей временно отбросим. Как известно из гидромеханики, уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости имеет вид . где Vx, Vy и Vz - проекции скорости жидкости на соответствующие оси. В случае безвихревого движения . Подставляя эти выражения в уравнение неразрывности, убедимся, что потенциал скоростей должен являться гармонической функцией, т.е. удовлетворять уравнению Лапласа в области, занятой жидкостью. Помимо этого требуется выполнение динамического граничного условия - равенства давления на свободной поверхности атмосферному давлению ра. Скорость и давление в жидкости связаны интегралом Лагранжа, который применительно к волновым движениям имеет вид . Подставив в в это выражение р = ра получаем граничное условие для потенциала . Данное граничное условие нелинейно, так как в него входят квадратичные члены и выполняется оно на неизвестной заранее поверхности zв. Вследствие этого задача определения φ является в общем случае нелинейной, что значительно осложняет ее решение. 9.3. Основные уравнения теории волн малой амплитуды Сравнительно просто решается задача о волнах относительно малой амплитуды (линейная теория волн), когда можно пренебречь квадратом вызванных скоростей в интеграле Лагранжа и перенести граничное условие на невозмущенную свободную поверхность. Возвышение свободной поверхности zв определяется зависимостью , а давление в жидкости находят из линеаризированного интеграла Лагранжа . В этих предположениях для свободных прогрессивных волн относительно малой амплитуды, распространяющихся на поверхности жидкости конечной глубины Н вдоль оси х получены следующие зависимости: , где - частота формы волны; - частота волны; , , . Период τ (частота σ) и длина волны λ (частота формы k) связаны между собой зависимостями , σ2 = gk th kH. Частицы жидкости движутся по замкнутым эллиптическим траекториям, описываемым уравнением , где х0 и z0 - координаты равновесного положения частицы. Полная энергия волн участка длиной λ с шириной гребня, равной единице, состоящая из кинетической энергии Т и потенциальной П, определяется зависимостью , при этом Т = П. Перенос энергии волн осуществляется с групповой скоростью . Эта групповая скорость равна скорости перемещения "пакета" волн с близкими периодами. Для глубокой воды kH → ∞, приведенные выше формулы приобретают вид , , , , σ2 = gk . Частицы жидкости в волне движутся по замкнутым круговым траекториям, описываемым уравнением . Групповая скорость u =c/2. Согласно теории малых волн их длина и период не зависят от амплитуды а; величина амплитуды должна быть задана из дополнительных соображений. Для развившейся волны зыби открытого моря применяют эмпирическую зависимость h = 2a = 0.17λ3/4. Отношение h/λ изменяется в пределах от (1/10 ÷ 1/15) для волн прибоя до (1/30 ÷ 1/40) для развившихся волн длинной зыби. В случае, когда глубина воды Н мала по сравнению с длиной волн, скорость распространения волн на мелководье определяется как . В свободных волнах конечной амплитуды на глубокой воде скорость сk определяется зависимостью . Теоретическое определение элементов вынужденных волн, возникающих при движении тел у свободной поверхности, а также расчет волновых реакций, действующих на эти тела, представляют сложную задачу и не рассматриваются в данном курсе. Лишь в случае движения гидродинамических особенностей под свободной поверхностью можно указать сравнительно простые зависимости для определения гидродинамических реакций волновой природы и элементов вызванного волнового движения.