Свойства и параметры электрических, магнитных и гибридных волн

Лекция 11.2. Свойства и параметры электрических, магнитных и гибридных волн В случае электрических ( Emz  0 , H mz  0 ). Магнитных ( H mz  0 , Emz  0 ) и гибридных ( Emz  0 , H mz  0 ) волн постоянная  отлична от нуля. Это следует, в частности, из равенств (11.8) и (11.9). Для каждой конкретной линии передачи она может быть определена в результате решения уравнений (11.10) и учета краевых условий, соответствующих этой линии. Постоянна  зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от типа распространяющейся волны, но не зависит от частоты. Выражая коэффициент фазы  из (11.3), получаем   k 2   2 . (11.11) Так как k  2 f  , то в зависимости от частоты подкоренное выражение в (11.11) может быть положительным (при k > ), равным нулю (при k = ) или отрицательным (при k < ). В первом случае параметр  – действительное число и фазы составляющих векторов поля в фиксированный момент t = t0= const линейно зависят от координаты z, что является признаком распространения волны вдоль оси Z с постоянной скоростью vф = /. Распространение волны в этом случае сопровождается переносом энергии вдоль оси Z. В третьем случае k < . Подкоренное выражение в (11.11) оказывается отрицательным, и   i |  | . Знак в правой части последнего равенства выбран из физических соображений:  i z  i|  | z e при этом множитель e и амплитуды составляющих векторов E m и H m экспоненциально убывают вдоль оси Z. Если принять   i |  | , то амплитуды векторов поля будут возрастать с удалением от источников, что в рассматриваемой задаче физически невозможно. Фазы составляющих векторов поля в данном случае не зависят от координат: поле имеет характер стоячей волны и экспоненциально уменьшается вдоль оси Z. Переноса энергии вдоль линии передачи в этом случае не происходит. Подчеркнем, что экспоненциальное убывание поля вдоль линии передачи не связано с потерями энергии: рассматривается идеальная направляющая система, в которой потери отсутствуют. Во втором случае параметр  = 0. Такой режим называют критическим. Частота f = fкр, определяемая из условия k = , называется критической частотой: . f кр   . 2  . (11.12) Соответствующая этой частоте критическая длина волны кр  2 .  (11.13) Выражая  из (11.13) и подставляя в (11.11), получаем  2         кр 2 2 2       k 1    .  кр    (11.14) Как видно, параметр  является действительной величиной, т.е. поле (11.1) представляет собой распространяющуюся волну, только при выполнении условия   кр . Неравенство (11.15) можно переписать в виде (11.15) f  f кр . (11.16) Таким образом, Е-, Н- и гибридные волны в идеальной линии передачи могут распространяться только на частотах, превышающих некоторую критическую частоту, определяемую формулой (11.12). Отметим, что значение f кр зависит от формы и размеров поперечного сечения линии и типа волны. Неравенство (11.15), а также (11.16) часто называют условием распространения волны в линии передачи. По аналогии с обычным определением назовем длиной направляемой волны , распространяющейся в линии передачи, расстояние между двумя поперечными сечениями, в которых в один и тот же момент времени фазы составляющих вектора E (или H ) отличаются на 2. Очевидно также, что длина волны  равна расстоянию, на которое поверхность равной фазы перемещается за период. Так как зависимость всех составляющих e i z , то векторов поля от координаты z определяется множителем 2  ,   2     1      кр  а фазовая скорость вычисляется по формуле  vф    c   1    кр (11.17) .    (11.18) 2 Как видно, при   кр длина волны в линии и фазовая скорость Е-, Н- и гибридных волн больше соответственно длины волны   с и фазовой скорости vф = с волны, свободно f распространяющейся в безграничной однородной среде без потерь с параметрами  и . Отметим, что у Е-, Н- и гибридных волн фазовая скорость зависит от частоты. Это явление называют дисперсией волн. При f  f кр (   кр ) фазовая скорость равна бесконечности, при увеличении частоты vф приближается к скорости света (рис. 11.2). Общие выражения для критической длины волны (11.13), критической частоты (11.12), коэффициента фазы (11.14), длины волны в линии (11.17) и фазовой скорости (11.18) одинаковы для Е-, Н- и гибридных волн. Однако из этого не следует, что значения перечисленных параметров будут одинаковыми для этих волн. Критическая длина волны зависит от поперечного волнового числа (кр = 2/). В свою очередь, значение  зависит от формы и размеров поперечного сечения линии передачи и от структуры поля распространяющейся волны. Структура поля Е-, Н- и гибридных волн различна, поэтому в общем случае соответствующие данным волнам значения  могут не совпадать. При этом для указанных волн не будут совпадать и значения параметров кр, fкр, , vф и . Перейдем к вычислению характеристических сопротивлений рассматриваемых волн. По определению характеристическое сопротивление волны равно отношению поперечных к . . направлению распространения составляющих векторов E m и H m . . . В случае Е-волн поперечные составляющие векторов E m и H m определяются формулами .  2 E m   i  grad  Emz , (11.19) .  H m  i [ z0 , grad  Emz ] , 2  (11.20) получающимися из (11.8) и (11.9) при H mz  0 . Подставляя в (11.20) выражение для .  [ z , E m ] . Аналогичное равенство из (11.19), приходим к соотношению H m   0 . grad  Emz . . . . выполняется и для векторов E  E  z0 E и H  H 0  z0 H z0 , где E z и H z – продольные  . z  . . составляющие векторов E 0 и H 0 , введенных формулами (11.1). Как видно, векторы E m  и . . . H m  (а также E и H  ) взаимно перпендикулярны. Из полученного соотношения вытекает  следующее выражение для характеристического сопротивления Е-волн:  Z   Zc 1   E c где Zс  .     кр 2   ,  (11.21)  . При этом соотношение, связывающее поперечные составляющие векторов  . E и H в случае Е-волн принимает вид: . . 1 H m   E [ z0 , E m  ] . Zc Характеристическое сопротивление Е-волн зависит от длины волны (от частоты). При   кр оно всегда меньше Zc  (11.22)  . На  критической частоте (при   кр ) Zc  0 . При уменьшении  E E (т.е. при увеличении частоты от fкр до бесконечности) Zc возрастает от нуля до Zс (рис. 11.3). Аналогично вычисляется характеристическое сопротивление Z cH волн Н. Полагая в (11.8) и (11.9) Ez  0, получаем: .  E m  i[ z0 , grad  H mz ] , 2  (11.23) .  H m   i  grad  H mz . 2  (11.24) Подставляя выражение для grad  H z из (11.24) в (11.23), приходим к равенству Em     [z 0 , H m ] . Умножая обе части этого равенства на орт z0 и раскрывая двойное  векторное произведение, получаем . H m  где . .  1 [ z0 , E m  ]  H [ z 0 , E m  ] ,  Zc (11.25) ZcH     Zc .   1    кр    (11.26) 2 11.3. Концепция парциальных волн Свойства Е-, Н- и гибридных волн существенно отличаются от свойств ТЕМ-волн. Эти отличия легко объясняются, если предположить, что Е-, Н- и гибридные волны могут быть представлены в виде суперпозиции парциальных ТЕМ-волн, распространяющихся под некоторым углом к оси линии передачи (оси Z). Распространение парциальных волн в этом случае может происходить, например, вдоль ломаной линии путем многократных отражений от стенок (рис. 11.4) или других элементов направляющей системы. Если направляющая система заполнена неоднородной средой, характер распространения парциальной волны может быть более сложным. У ТЕМ-волны, распространяющейся непосредственно вдоль оси Z . . (рис. 11.5), векторы E m и H m лежат в поперечной плоскости . (перпендикулярны оси Z). У парциальной ТЕМ-волны векторы E m . и лежат в плоскостях, Hm перпендикулярных отрезкам ломаной линии (рис. 11.4), вдоль которой распространяется парциальная . волна. В данном случае по меньшей мере один из векторов ( E m . или H m ) будет не перпендикулярен оси Z. При этом либо вектор . . E m (рис. 11.6), либо вектор H m (рис. 11.7), либо оба вектора . . (и E m , и H m ) будут иметь Н- и гибридной волнам, продольные составляющие, что соответствует Е-, распространяющимся вдоль оси Z. Используем представление о парциальных волнах для объяснения полученных выше результатов: длина волны в линии у Е-, Н- и гибридных волн больше соответствующих параметров ТЕМволны, характеристическое сопротивление у Е-волны меньше, а у Н-волны больше характеристического сопротивления ТЕМ-волны. В случае Е-, Н- и гибридных волн парциальная ТЕМ-волна распространяется вдоль линии, образующей угол  с осью Z (рис. 11.8). Поверхности равных фаз (ПРФ) этой волны перпендикулярны оси Z и перемещаются вдоль нее с фазовой скоростью vфTEM  l , где Т – период электромагнитных колебаний. За время Т каждая ПРФ, T например ПРФ 1–1 на рис. 11.8, переместится вдоль оси Z на расстояние  (расстояние 1– 2 на рис. 11.8). Путь, пройденный этой же ПРФ за время Т вдоль оси Z, будет больше и равен расстоянию между точками 1 и 2. Соответственно длина волны вдоль оси Z (длина волны в линии в случае Е-, Н- и гибридных волн) будет больше  и равна   фазовая скорость по оси Z равна vф   . Отсюда cos    c   , т.е. фазовые скорости Е-, Н- и Т Т cos  cos  гибридных волн больше скорости света в данной среде. Из рис. 11.6, соответствующего Е-волне, видно, что амплитуда поперечной относительно оси Z составляющей напряженности электрического поля (Ех на рис. 11.6) меньше амплитуды вектора E парциальной волны (Е на рис. 11.6), тогда как амплитуды напряженности магнитных полей у обеих волн совпадают (Н на рис. 11.6). Следовательно, у Е-волны, распространяющейся вдоль оси Z, отношение поперечных составляющих напряженностей электрического и магнитного полей меньше, чем у парциальной ТЕМ-волны. Соответственно Zc  Zc . У Н-волн амплитуда поперечной составляющей напряженности магнитного поля (Ну на рис. 11.7) меньше амплитуды поперечной составляющей напряженности магнитного поля парциальной ТЕМ-волны, тогда как амплитуды поперечных составляющих напряженностей электрических полей у обеих волн совпадают (см. рис. 11.7). Следовательно, характеристическое сопротивление E TEM Н-волны больше, чем характеристическое сопротивление ТЕМ-волны ( Zc  Zc H TEM ). H E Сравнивая формулы для , vф, Zc и Z c с формулами (11.17), (11.18), (11.21) и (11.26)   соответственно, замечаем, что они будут совпадать, если считать cos   1     кр что то же самое, sin     2 или,  . Как видно, угол  между осями Z и Z зависит от . При кр 0 (f) угол  0, при кр (ffкр) угол  /2. 11.4. Скорость распространения энергии и групповая скорость Для характеристики перемещения немонохроматических сигналов вводят понятие групповой скорости, обозначая этим термином скорость перемещения максимума огибающей группы моно-хроматических волн, близких между собой по частоте. Пусть в диспергирующей системе распространяется эквивалентная некоторому сигналу в общем случае бесконечная сумма монохроматических волн. Мгновенное значение любой составляющей напряженности электрического поля Е(z,t), соответствующего этому сигналу, можно записать в виде интеграла  E (z,t )   A ( )e i[t   ( )z ] m d , (11.27)  где Am ( )  Am ( )  e i 0 ( ) , Am () и  0 () - амплитуда и начальная фаза рассматриваемой составляющей вектора E монохроматической волны частоты , а () – коэффициент фазы этой волны. Если спектр сигнала достаточно узкий и заключен в интервале частот 0 –     0 + , то можно считать, что вне этого интервала Am()  0. При этом формула (11.27) принимает вид E (z ,t )  0  A  m ( )ei[t   ( )z ]d  . (11.28) 0  Разлагая коэффициент фазы () в ряд Тейлора в окрестности частоты 0, получаем  ( )  0    (  0 )   0 1 2 2!  2 (  0 )2  ..., (11.29)  0 где 0 = (0) – коэффициент фазы монохроматической волны частоты 0. Поскольку спектр сигнала узок, то в (11.29) можно ограничиться двумя первыми членами. При этом из (11.28) следует равенство: E (z,t )  e i (t  0 z ) 0  A    m ( )  e   i ( 0 ) t     0  z   d . (11.30) 0  Чтобы не усложнять изложение, предположим, что у передаваемого сигнала Am ( ) – четная функция относительно  = 0. Тогда формула (11.30) принимает вид: E (z,t )  e  0      i (0t  0 z) 2 Am ( ) cos ( 0 ) t      0      z   d    0    . (11.31) Выражение в фигурных скобках в правой части равенства (11.31) представляет собой амплитуду рассматриваемой составляющей вектора E сигнала, которая, очевидно, имеет      z    1 . Любая другая составляющая вектора E максимум при cos (  0 )  t           немонохроматического сигнала также будет иметь максимум амплитуды при выполнении сформулированного условия. Следовательно, максимум сигнала непрерывно перемещается вдоль оси Z со скоростью vгр  z  1/ / . t (11.32) По определению эта величина и является групповой скоростью. Индекс  = 0 в (11.32) опущен, поскольку центральная частота 0 была выбрана произвольно. Так как при выводе формулы (11.32) в разложении (11.29) были сохранены только два первых члена, то условием применимости формулы (11.32) являются медленное изменение коэффициента фазы () вблизи частоты 0 и узкость спектра сигнала. При невыполнении этих условий влияние дисперсии становится весьма заметным, и сигнал в процессе распространения так сильно меняет свою форму, что само понятие групповой скорости теряет смысл. В направляющих системах коэффициент фазы описывается выражением (11.14). Подставляя (11.14) в (11.32), находим групповую скорость направляемых волн: 2     . vгр   c 1      кр   (11.33) Как видно, при   кр у Е-, Н- и смешанных волн vгр < c, а у ТЕМ-волн vгр = с. Учитывая, что 1 vгр vф  c2  . (11.34)  В окрестности максимума сигнала, очевидно, сосредоточена основная часть энергии. Поэтому скорость перемещения максимума сигнала, т.е. групповая скорость, характеризует скорость перемещения энергии электромагнитного поля сигнала по линии передачи. Так как сигнал предполагался узкополосным, то эта скорость должна мало отличаться от скорости распространения энергии vэ монохроматической волны, т.е. vэ  vгр. В линиях передачи закрытого типа и некоторых других направляющих системах без потерь vэ = vгр. Поэтому скорость распространения энергии vэ в идеальных линиях передачи можно определять по формуле (11.34) с учетом (11.33):   c2 vэ   c 1   vф  кр 2   .  (11.35) Как и следовало ожидать vэ < c для Е-, Н- и гибридных волн, и vэ = с для ТЕМ-волн. Зависимость vэ от частоты для Е-, Н- и смешанных волн показана на рис. 11.2. При  = кр скорость распространения энергии равна нулю и по мере повышения частоты приближается к скорости света в данной среде. 11.5. Мощность, переносимая электромагнитной волной по линии передачи Средний за период поток энергии через элементарную площадку dS , расположенную в поперечном сечении S линии передачи, равен dPcp  Re П z dS , где . * . *   1 1 0 П z   z0 [ E , H  ]     E [ z0 , H 0 ]  ,   2  2    E0 (11.36) 2 E02 0 2 Re П z   e , (11.37) 2 Zcл 2 Zcл где Е0 – максимальное значение напряженности электрического поля в линии передачи, E0 e0   – безразмерная функция, зависящая только от поперечных координат (в общем E0 случае , ) и определяющая структуру электрического поля в поперечном сечении линии, л а Zc – характеристическое сопротивление распространяющейся волны. Напомним, что для Е л Н ТЕМ-, Е- и Н-волн Zc равно Zс, Zc и Z c соответственно. Таким образом, средний за период поток энергии Рср через поперечное сечение линии передачи или, что то же самое, средняя мощность, переносимая волной по линии передачи, определяется выражением Pcp  Re  П z d S  S E02 1 0 2 E d S   2 Zcл S 2 Zcл  S 2 e0 d S . (11.38)