Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда левый конец движется по заданному закону или к нему приложено ненулевое усилие

Материал к лекции 18 марта 2020 г. 5.2.2. Свободные колебания полуограниченной струны с начальными отклонением и скоростью, когда левый конец движется по заданному закону или к нему приложено ненулевое усилие Математическая формулировка этой задачи для определения функции имеет вид: (5.2.17) (5.2.18) (5.2.19) (5.2.20) Параллельно с отклонением границы (5.2.20) будем рассматривать усилие, приложенное к границе по закону Гука (5.2.21) К задаче (5.2.17)–(5.2.20) применим метод редукции (5.2.22) Подставляя (5.2.22) в (5.2.17)–(5.2.20), получим Из полученной системы выделим задачу для функции (подчеркнута) (5.2.23) (5.2.24) (5.2.25) (5.2.26) и задачу для функции (все остальные слагаемые) (5.2.27) (5.2.28) (5.2.29) (5.2.30) Решением задачи (5.2.23)–(5.2.26) для функции является функция (5.2.13), поскольку задача (5.2.23)–(5.2.26) полностью совпадает с задачей (5.2.1)–(5.2.4). Для решения задачи (5.2.27)–(5.2.30) сделаем предположение о нечетности функции относительно точки (это можно сделать в случае граничного условия первого рода (5.2.30)). Тогда к уравнению (5.2.27) можно применить синус-преобразование Фурье (см. Приложение 2), для чего умножим обе части уравнения (5.2.27) на и проинтегрируем от до предварительно заменив на и обозначив (5.2.31) получим (5.2.32) В цепочке равенств (5.2.32) дважды использована процедура интегрирования по частям по переменной и естественные условия (5.2.33) Таким образом, приходим к обыкновенному уравнению вида (5.2.34) Решение уравнения (5.2.34) методом вариации произвольных постоянных (см. (5.1.42)–(5.1.46) с начальными условиями (5.2.35) полученными из начальных условий (5.2.28), (5.2.29), имеет вид: (5.2.36) Обратное синус-преобразование Фурье (см. Приложение 2) имеет вид (5.2.37) Меняя в (5.2.37) порядок интегрирования, вычислим вначале интеграл (5.2.38) где – дельта-функции Дирака*. Поскольку в (5.2.38) то так как а в отрицательной области переменной дельта-функция принимается равной нулю, поскольку рассматривается полуось Таким образом, (5.2.39) Из (5.2.37) и (5.2.39) имеем где при при По свойству дельта-функции (4.1.30) Следовательно, (5.2.40) Выражение (5.2.40) – решение задачи (5.2.27)–(5.2.30) для функции В соответствии с редукцией (5.2.22), решением задачи (5.2.17)–(5.2.20) будет сумма решений (5.2.13) и (5.2.40): В случае, когда вместо граничного условия первого рода (5.2.20) на границе полубесконечной струны приложено усилие (5.2.21), то есть граничное условие второго рода, после редукции (5.2.22) приходим к задаче (5.2.42) (5.2.43) (5.2.44) (5.2.45) решение которой определяется выражением (5.2.16), и к задаче (5.2.46) (5.2.47) (5.2.48) (5.2.49) (5.2.50) для решения которой сделаем предположение о четности функции относительно точки Это можно сделать в случае граничного условия второго рода (5.2.49). Тогда к уравнению (5.2.46) можно применить косинус-преобразование Фурье (см. Приложение 2), для чего умножим обе части уравнения (5.2.46) на и проинтегрируем по от до предварительно заменив переменную на и обозначив (5.2.51) Получим (5.2.52) где дважды использовано интегрирование по частям, а также выражения (5.2.49), (5.2.50). Таким образом, получено следующее обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка относительно изображения (5.2.53) Решением уравнения (5.2.53) методом вариации произвольных постоянных с начальными условиями (5.2.54) полученными из начальных условий (5.2.47), (5.2.48), имеет вид: (5.2.55) Обратное косинус-преобразование Фурье (см. Приложение 2) имеет вид (5.2.56) Вычислим вначале интеграл по переменной поменяв порядок интегрирования в выражении (5.2.56) В соответствии с [16] имеем . Тогда (5.2.57) так как интеграл от первого слагаемого равен если (то есть ), а интеграл от второго слагаемого равен так как всегда. В случае, если интеграл от первого слагаемого равен от второго то в сумме при интеграл равен нулю. Таким образом, интеграл от суммы функций равен при В (5.2.57) Подставляя (5.2.57) в (5.2.56), получим, используя свойство единичной функции (5.2.58) где Поскольку то нижний предел в последнем интеграле должен быть заменен на нуль. Таким образом, решением задачи (5.2.46)–(5.2.50) будет функция (5.2.59) В соответствии с редукцией (5.2.22) решением задачи (5.2.17)–(5.2.19), (5.2.21) будет сумма решений (5.2.16) задачи (5.2.42)–(5.2.45) для функции и функции (5.2.59) задачи (5.2.46)–(5.2.50) для функции для