Структурная надежность невосстанавливаемых объектов

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МИРЭА – Российский технологический университет» РТУ МИРЭА ЛЕКЦИЯ №3 по дисциплине Основы теории надежности систем защиты информации (наименование дисциплины (модуля) в соответствии с учебным планом) Уровень бакалавриат (бакалавриат, магистратура, специалитет) Форма обучения очная (очная, очно-заочная, заочная) Направление(-я) подготовки 10.03.01 «Информационная безопасность» (код(-ы) и наименование(-я)) Институт комплексной безопасности и специального приборостроения (ИКБСП) (полное и краткое наименование) Кафедра Защита информации (КБ-1) (полное и краткое наименование кафедры, реализующей дисциплину (модуль)) Лектор к.т.н., доцент Кадомкин Виктор Викторович (сокращенно – ученая степень, ученое звание; полностью – ФИО) Используются в данной редакции с учебного года 2020/21 (учебный год цифрами) Проверено и согласовано «____» ________2020 г. (подпись директора Института/Филиала с расшифровкой) Москва 2020 г. Тема 3. Структурная надежность невосстанавливаемых объектов План Введение – до 10 мин. ─ показать актуальность темы; ─ довести целевую установку через основные положения лекции; ─ охарактеризовать место и значение данной темы в курсе; ─ описать обстановку, в которой разрабатывалась данная проблема и ее практические реализации; ─ дать обзор важнейших источников, монографий, литературы по теме; ─ вскрыть особенности изучения студентами материала по рассматриваемой проблеме. Основная часть Понятие о структурной схеме надежности Объекты с последовательным соединением элементов Объекты с параллельным соединением элементов Объекты со смешанным соединением элементов Объекты с произвольным соединением элементов Логико - вероятностный метод Методы минимальных путей и минимальных сечений Метод преобразования соединения «треугольник» в соединение «звезда» 1.Метод разложения структуры по «ключевым элементам» Заключение – до 5 мин Возможное содержание и методические рекомендации: ─ обобщить наиболее важные, существенные вопросы лекции; ─ сформулировать общие выводы; ─ поставить задачи для самостоятельной работы; ─ ответить на вопросы студентов. Литература а) основная литература: 1. Богатырев В.А. Информационные системы и технологии. Теория надежности. Учебное пособие для бакалавриата и магистратуры. М.: Изд. «Юрайт»,2019.318c. 2 2. Муромцев Д.Ю., Тюрин И.В., Белоусов О.А., Курносов Р.Ю. Надежность радиоэлектронных средств: учебное пособие. Изд. "Лань", 2019.88c. 3. Березкин Е.Ф. Надежность и техническая диагностика систем: учебное пособие . Изд. «Лань»,2019.260c. 4. Сапожников В.В., Сапожников В.В., Ефанов Д.В. Основы теории надежности и технической диагностики: учебник Изд. «Лань»,2019.-588c. 5. ГОСТ 27.002-15 «Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения» 6. Кадомкин В.В., Журавлев, С.И., Трубиенко О.В. Расчет показателей надежности систем защиты информации. [Электронный ресурс] Учебно-методическое пособие / М.: МИРЭА – Российский технологический университет, 2019. 86с. б) дополнительная литература: 1. Половко А.М. Основы теории надежности : учебное пособие для .вузов / А. М. Половко, С. В. Гуров. — 2-е изд., перераб. и доп. СПб. : БХВ-Петербург, 2008. 702 с. 2. Половко А.М.Основы теории надежности : практикум : учебное пособие / А. М. Половко, С.В. Гуров. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006.560 с. 3. Зубарев Ю.М. Математические основы управления качеством и надежностью изделий. Изд. "Лань",2017.-176c. 4. Тимошенков С.П., Симонов Б.М., Горошко В.Н. Основы теории надежности: учебник и практикум академичекого бакалавриата М.: Изд. «Юрайт»,2019.445c. 5. Дорохов А.Н., Керножицкий В.А., Миронов А.Н., Шестопалова О.Л. Обеспечение надежности сложных технических систем.- СПб.: Издательство «Лань», 2017. - 352с. 6. Математические методы в теории надежности и эффективности/Под ред. Б. В. Гнеденко.-М.: Машиностроение, 1987.-280 с. Текст лекции 3.1. Понятие о структурной схеме надежности. Все технические объекты состоят из элементов. Элементы физически могут быть соединены между собой самым различным образом. Для наглядного изображения соединений элементов используются различного рода схемы: Структурные, функциональные, принципиальные и т.д. Каждая имеет свое предназначение и позволяет анализировать, как функционирует то или иное 3 изделие. Для анализа уровня надежности и расчета ее показателей применяются особые схемы, которые получили название структурных схем надежности. Под структурной схемой надежности понимается наглядное графическое представление условий, при которых работает или не работает исследуемый элемент, объект, система, устройство и т.д. Для составления структурной схемы надежности анализируют процесс функционирования объекта, изучают функциональные связи между элементами, виды отказов и причины их возникновения. Такое исследование требует высокой инженерной и математической эрудиции. Степень дробления объекта на элементы зависит от конкретной задачи расчетов. Одно и то же соединение на принципиальной схеме может иметь совершенно другое соединение на структурной схеме надежности. Основными отказами электрических объектов являются отказы типа «обрыв» и «короткое коммутационных замыкание». элементов в Пусть системе объект передачи состоит данных из двух физически соединенных параллельно. При отказе типа «короткое замыкание» схема выйдет из строя, когда откажет любой из двух диодов. Поэтому структурная схема надежности для этого случая изображается в виде последовательного соединения элементов. В другом случае, при отказе типа «обрыв» параллельная цепочка диодов откажет только в случае отказа двух диодов. Следовательно, структурная схема надежности будет представлять собой параллельное соединение элементов. При определении структурной схемы надежности объекта оценивают влияние работоспособности каждого элемента на работоспособность объекта в целом. С этой точки зрения все элементы объекта делят на четыре группы: 1. Элементы, отказ которых практически не влияет на работоспособность объекта (например, деформация кожуха, изменение окраски поверхности и т.д.). Элементы, работоспособность которых за рассматриваемый промежуток времени практически не изменяется и вероятность их безотказной работы 4 близка к единице (станины, корпусные детали, малонагруженные элементы с большим запасом прочности и т.д.). Элементы, ремонт или регулировка которых возможна в процессе работы или во время плановых остановок (наладка, замена режущего инструмента и т.д.). Элементы, отказ которых сам по себе или в сочетании с отказами других элементов приводит к отказу системы. При анализе надежности объекта, в рассмотрение, как правило, включают элементы последней группы. При анализе надежности объекта придерживаются следующего порядка: Проводится анализ устройства и функциональная взаимосвязь составных частей, выполняемые функции объектом и его элементами. Формулируется содержание понятий «безотказная работа» и «отказ». Определяются все возможные отказы объекта и его составных частей, их причины и возможные последствия. Оценивается влияние отказов составных частей на работоспособность объекта. Объект разделяется на элементы, у которых показатели надежности известны. Составляется структурная схема надежности системы. По структурной схеме надежности составляются расчетные зависимости, по которым определяют величину показателей надежности объекта. Расчет надежности проводится в предположении, что объект и каждый его элемент могут находиться в одном из двух возможных состояниях – работоспособном и неработоспособном. Отказы элементов независимы друг от друга. Для расчета показателей надежности сложных объектов используют методы, связанные с перечислением элементарных событий (метод прямого перебора, комбинаторный метод), топологические и структурно-логические методы (методы минимальных путей и минимальных сечений, разложения 5 относительно особого элемента, методы с использованием графов состояний и деревьев отказов и др.), а также методы математического и статистического моделирования. Соединение элементов в структурных схемах надежности сводят к четырем основным видам: последовательному, параллельному, смешанному, произвольному. 3.2.Расчет надежности системы с последовательным соединением объектов 3.2.1.Основные положения Простейшая структурная схема надежности, которая содержит несколько последовательно соединенных невосстанавливаемых объектов, представлена на рис.4.1. Параметры надежности отдельных объектов считаются известными. Последовательное соединение элементов в структурной схеме надежности – это такое соединение, при котором отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всего объекта в целом. Такой тип соединения в теории надежности называют основным соединением. Следует определить параметры надежности полученной системы. 1 2 n Рис.3.1. Структурная схема надежности системы с последовательным соединением объектов Т.к. при отказе любого объекта в составе системы наступает отказ системы, при этом и все остальные элементы системы прекращают свою работу, то показатели надежности такой системы вычисляются по формулам: для вероятности отказа 6 n Pc (t )   Pi (t ) , i 1 для среднего времени наработки на отказ  T1c   Pc (t )dt , для интенсивности отказов n f (t ) 1 dP(t ) c (t )  c    Pc (t ) P(t ) dt d  Pi (t ) 1 i 1 n  P (t ) dt , i i 1 f (t ) c (t )  c  Pc (t ) n n i 1 j 1  i (t ) Pj (t ) n  P (t ) n   i (t ) i 1 j j 1 для частоты отказов n f c (t )   d  Pi (t ) i 1 dt n dPi (t ) n 1 dPi (t ) n    Pj (t )    Pj (t ) dt j 1 dt j 1 i 1 i 1 Pi (t ) n i j и после преобразований в форме уравнения f c (t )  f1 (t ) P2 (t )...Pn (t )  P1 (t ) f 2 (t ) P3 (t )...Pn (t )  ... ...P1 (t ) P2 (t )...Pn 1 (t ) f n (t ) , или уравнения n f c (t )   i 1 n n n n 1 f (t ) n fi (t ) Pj (t )   i  Pj (t )   i (t ) Pj (t ) , Pi (t ) i 1 Pi (t ) j 1 i 1 j 1 j 1 где P1 (t ), P2 (t )...Pn (t )  вероятность безотказной работы каждого элемента, i  1,2,3,...n ; f1 (t ), f 2 (t )... f n (t )  плотность распределения времени до отказа каждого элемента i  1,2,3,...n ; 1 (t ), 2 (t )...n (t )  интенсивность отказов каждого элемента, i  1,2,3,...n . Среднее наработка на отказ равна 7  T1c   Pc (t )dt  1 c  1 n  i (t ) . i 1 3.2.2.Метод расчета параметров надежности для последовательного соединения невосстанавливаемых элементов. Для выполнения параметров надежности при последовательном соединения невосстанавливаемых элементов сформируем в Excel несколько последовательно расположенных блоков ячеек. Каждый блок будет предназначен для расчета характеристик надежности отдельного элемента в структурной схеме надежности с общими данными о времени контролируемого процесса и дополнительным блоком данных, где будут рассчитываться расчета параметров надежности системы в целом. Соотношения для расчета параметров надежности системы получены ранее. Для получения расчетных выражений достаточно указать ссылки на соответствующие параметры надежности отдельных блоков и получить искомых данных параметров надежности системы. Способы формирования таблиц с параметрами надежности отдельных блоков подробно рассмотрены подробно при анализе видов распределений. Переход к расчету нескольких блоков в системе и системы в целом эквивалентен дублированию по горизонтали расчетных таблиц надежности отдельных блоков при общих данных о времени рабочего процесса. Для упрощения при работе с отдельными блоками рекомендуется для каждого из них использовать цвет шрифта, отличающегося от цвета шрифта соседних блоков. Каждый расчетный блок имеет исходные данные о виде и параметрах распределения. Для упрощения формы записи расчетных соотношений в виде эквивалентном математическим уравнениям полученные для каждого блока столбцы с данными поименованы. Для полученных при расчетах параметров надежности системы в целом так же выполняется присвоение имен. 8 На рис. 3.2 представлен общей вид таблицы расчетов для 5 блоков в системы расчета надежности. Рис.3.2. Общий вид таблицы расчетов параметров надежности для 5 последовательно соединенных блоков Для последовательного соединения блоков интенсивность отказов складывается, а при их постоянном значении для каждого блока остается неизменным и интенсивность отказов системы. Интенсивность отказов Наработка до отказа Дисперсия времени работы до возникновения отказа (расчет) λОбщ T0сист D =λ1+λ2+λ3+λ4+λ5 Параметры надежности для 5 последовательных элементов ССН Частота отказов Вероятность безотказной работы Вероятность отказов f(t)Общ Р(t)Общ Q(t)Общ =Р_t_1*Р_t_2*Р_t_3* Р_t_4*Р_t_5 =1-Р_t_Общ =Р_t_1*Р_t_2*Р_t_3* Р_t_4*Р_t_5 =1-Р_t_Общ =λ_t_Общ* Р_t_Общ =λ_t_Общ* Р_t_Общ Результаты численных расчетов параметров Интенсивность отказов λ(t)Общ =f_t__Р_t_1+f_t__Р_t_2+ f_t__Р_t_3+f_t__Р_t_4+ f_t__Р_t_5 =f_t__Р_t_1+f_t__Р_t_2+ f_t__Р_t_3+f_t__Р_t_4+ f_t__Р_t_5 надежности при 5 последовательно соединенных блоков приведены на рис.3.3. Кроме данных о параметрах надежности системы в целом представлены и аналогичные данные по каждому отдельному блоку. 9 1 0,25 0,95 0,2 0,9 0,15 0,85 0,1 0,8 0,05 0,75 200 Р(t)1 400 Р(t)2 Р(t)3 600 Р(t)4 800 Р(t)5 1000 Р(t)Общ 0,0003 0,0003 0,00025 0,00025 0,0002 0,0002 0,00015 0,00015 0,0001 0,0001 0,00005 0,00005 200 Q(t)1 Q(t)2 400 Q(t)3 600 Q(t)4 800 Q(t)5 1000 Q(t)Общ f(t)1 200 f(t)2 400 f(t)3 600 f(t)4 800 f(t)5 1000 f(t)Общ f(t)/Р(t)1 f(t)/Р(t)5 200 400 f(t)/Р(t)2 600 f(t)/Р(t)3 800 1000 f(t)/Р(t)4 λ(t)Общ Рис.3.3.Изменение параметры надежности системы и блоков во времени при последовательном соединении блоков 10 Если элементы работают в периоде нормальной эксплуатации и их вероятности безотказной работы подчиняются экспоненциальному закону можно записать выражения вероятности безотказной работы через интенсивность отказов: . Отсюда, интенсивность отказов последовательной схемы соединения элементов равна сумме интенсивностей отказов отдельных элементов: Если элементы имеют одинаковую надежность 1 (t ) , то последовательной схемы соединения из n элементов интенсивностей отказов равна с (t )  n1 (t ) . Следовательно, надежность системы с последовательной структурой снижается с увеличением числа элементов. Для увеличения надежности необходимо уменьшать количество элементов, снижать интенсивность отказов элементов или увеличивать среднюю наработку до отказа. Для периода нормальной эксплуатации наработка до отказа последовательной структуры: Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы: вероятность безотказной работы будет тем ниже, чем большее число элементов составляют последовательное соединение; вероятность безотказной работы последовательного соединения всегда ниже, чем вероятность безотказной работы самого ненадежного элемента соединения (хуже худшего). 11 3.3.Расчет надежности системы с параллельным соединением объектов 3.3.1.Основные положения Параллельным соединением элементов в структурной схеме надежности называется такое соединение, при котором объект отказывает только при отказе всех элементов его составляющих (рис.3.4). P1(t) 1 P2(t) 2 Pn-1(t) n-1 Pn(t) n Рис.3.4. Структурная схема с параммельным соединением элементов Параллельная модель надежности отображает систему, состоящую из двух и более элементов, соединенных параллельно. Вероятность безотказной работы каждого элемента в произвольный момент времени считаются известными и равными P1(t), P2(t),…,Pn(t. Условием работоспособности объекта с параллельным соединением элементов в течение наработки t необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один элемент был в работоспособном состоянии. Схема с несколькими параллельно соединенными невосстанавливаемых объектов так же простейшей структурная схема и следует определить параметры надежности полученной системы, если параметры надежности отдельных объектов известны. При отказе системы наступает, если все элементы системы прекращают 12 свою работу. Если отказы элементов независимы друг от друга, то вероятность отказа объекта равна произведению вероятностей отказа его элементов: а вероятность безотказной работы 𝑃с(𝑡) = 1 − 𝑄с(𝑡) = 1 − ∏ 𝑄𝑖(𝑡) = 1 − ∏[1 − 𝑃𝑖(𝑡)]. Показатели надежности такой системы вычисляются по формулам: для вероятности отказа n Qc (t )   Qi (t ) , i 1 для вероятности безотказной работы n Pc (t )  1  Qc (t )  1   Qi (t ) , i 1 для частоты отказов находим выражение n dQñ (t ) f c (t )   dt d  Qi (t ) i 1 dt n n dQi (t ) n  Q j (t )   f i (t ) Q j (t ) ,  dt i 1 i 1 j 1 j 1 n i j i j где P1 (t ), P2 (t )...Pn (t )  вероятность безотказной работы каждого элемента, i  1,2,3,...n ; f1 (t ), f 2 (t )... f n (t )  плотность распределения времени до отказа каждого элемента i  1,2,3,...n . Если все элементы объекта имеют одинаковую надежность, то . При экспоненциальном законе распределения вероятность безотказной работы через интенсивность отказов можно записать: . Если все элементы имеют одинаковую надежность, то: . 13 При λ = const последнее выражение принимает вид: 𝑃(𝑡) = 1 − (1 − 𝑒−𝜆𝑡)𝑛. Среднее время наработки параллельной структуры до отказа равно: . Для определения частоты отказов при параллельном соединении находим раскрывая произведения для вероятностей отказов отдельных элементов, находим частоты отказов системы в виде уравнения f c (t )  f1 (t )Q2 (t )...Qn (t )  Q1 (t ) f 2 (t )Q3 (t )...Qn (t )  ... . ...Q1 (t )Q2 (t )...Qn 1 (t ) f n (t ) Интенсивности отказов находим по определению n n  f (t ) Q (t ) c (t )  f c (t )  Pc (t ) i 1 i j j 1 i j . n 1   Qi (t ) i 1 Следует параллельным отметить, что соединением интенсивность элементов отказов является для системы с функцией времени и определяется текущими значениями вероятностей отказов и частотами отказов элементов. Таким образом, для экспоненциального закона распределения с одинаковыми характеристиками элементов вероятность отказов  Qc (t )  1  exp(    ( )d )   n вероятность безотказной работы n  Pc (t )  1  Qc (t )  1  1  exp(   ( )d ) .   При выполнении условия   const получаем следующие характеристики надежности системы: вероятность отказов 14 Qc (t )  1  exp(t ) n вероятность безотказной работы Pc (t )  1  Qc (t )  1  1  exp( t ) , n частоты отказов находим выражение dQñ (t ) d 1  exp( t )  n1 f c (t )    n 1  exp( t )  , dt dt n интенсивность отказов f (t ) n1  exp( t ) c (t )  ñ  P(t ) 1  1  exp( t )n n1 . Средняя наработка на отказ определяется соотношением  T1c   Pc (t )dt  1 1 1 1 1 1          2 3 n 1 n , т.е. средняя наработка на отказ при параллельнос соединении элементов в ССН увеличивается, но с увеличением количества элементов увеличение времени наработка на отказ замедляется. Анализ полученных выражений позволяет сделать следующие выводы:  вероятность безотказной работы объекта с параллельным соединением элементов повышается с увеличением числа элементов;  вероятность безотказной работы параллельного соединения всегда выше, чем вероятность безотказной работы самого надежного элемента соединения (лучше лучшего).  наработка объекта до отказа с параллельным соединением элементов больше наработки на отказ его элементов. 15 3.3.2.Метод расчета параметров надежности для параллельного соединения невосстанавливаемых элементов. Для выполнения расчетов параметров надежности системы с параллельным соединением элементов сформируем в Excel блоков ячеек для определения параметров надежности каждого отдельного элемента в структурной схеме надежности и один общий блок для расчета параметров надежности системы в целом. Соотношения для расчета вероятности отказов и вероятности безотказной работы системы известны, что позволяет на основе известных параметров надежности отдельных блоках найти их численные значения в заданные моменты времени, подставив ссылки на соответствующие надежности отдельных блоков в соотношения для параметры искомых параметров надежности системы. Способы формирования таблиц с параметрами надежности отдельных блоков подробно рассмотрены подробно при анализе видов распределений. Переход к расчету нескольких блоков в системе и системы в целом эквивалентен дублированию по горизонтали расчетных таблиц надежности отдельных блоков при общих данных о времени рабочего процесса. Каждый расчетный блок имеет исходные данные о виде и параметрах распределения. Для упрощения формы записи расчетных соотношений в виде эквивалентном математическим уравнениям полученные для каждого блока столбцы с данными поименованы. Для полученных при расчетах параметров надежности системы в целом так же выполняется присвоение имен. В табл.8 представлены общие данные о параметрах надежности системы с пять параллельно соединенными блоками и фрагменты данных с расчетами параметров надежности 1 и 5 блока. Для расчетов выбраны блоки с теми же законами распределения и значениями интенсивности отказов, что и для последовательно соединенной группы блоков. Когда расчетные формулы для частоты отказов или интенсивности отказов громоздкие, то для расчетов их значений можно использовать условие 16 fc (t )   dPc (t ) dQc (t )  dt dt и выполнить расчет приближенного значение производной по разностной схеме f c (ti )  Q(t i 1)  Q(ti 1 ) P(t i 1)  P(ti 1 )  , t i 1ti 1 t i 1ti 1 где Pc (ti ), Qc (ti ) - табулированные значения соответствующих функций, полученных в расчетах. Для начального момента времени t0  0 можно использовать для расчетов производной выражение f c (t0 )  Q(t1) 1  P(t1)  , t1 t1 а для последней точки табулирования функции расчет выполнить по разностной схеме f c (tn )  Q(t n )  Q(tn 1 ) P(t n )  P(tn 1 )  . t n tn 1 t n tn 1 Результаты представлены на рис.3.5 для интервала времени от 0 до 1000 часов. Расчеты показывают, что на данном интервале вероятность отказов увеличилась до 3…7% для различных элементов структурной схемы, при практически полном отсутствии отказов системы. На рис.3.6. представлено изменение параметры надежности системы во времени для одного блока и при параллельном соединении различного количества блоков с одинаковыми параметрами надежности при параллельном включенных элементов. с одинаковыми параметрами надежности ( 2 блока, 25 блоков, 125 блоков). 17 1 0,08 0,99 0,98 0,07 0,06 0,97 0,05 0,96 0,95 0,04 0,94 0,03 0,93 0,02 0,92 0,91 0,01 0,9 200 Р(t)1 400 Р(t)2 Р(t)3 600 Р(t)4 800 Р(t)5 1000 Р(t)Общ -0,01 0 Q(t)1 0,00008 0,00008 0,00007 0,00007 0,00006 0,00006 0,00005 0,00005 0,00004 0,00004 0,00003 0,00003 0,00002 0,00002 0,00001 0,00001 Q(t)2 400 Q(t)3 600 Q(t)4 800 Q(t)5 1000 Q(t)Общ f(t)1 200 200 f(t)2 400 f(t)3 600 f(t)4 f(t)5 800 f(t)Общ 1000 f(t)/Р(t)1 f(t)/Р(t)5 200 f(t)/Р(t)2 400 600 f(t)/Р(t)3 800 f(t)/Р(t)4 1000 λ(t)Общ Рис.3.5.Изменение параметры надежности системы и блоков во времени при параллельном соединении блоков 18 1 1 0,8 0,8 0,6 0,6 0,4 0,4 0,2 0,2 50 100 P_1 150 P_2 200 250 P_25 P_125 300 350 50 100 150 200 250 Q_1 Q_2 Q_25 Q_125 300 350 0,012 0,012 0,01 0,01 0,008 0,008 0,006 0,006 0,004 0,004 0,002 0,002 50 f_1 100 f_2 150 f_25 200 f_125 250 300 350 50 100 λ_1 150 λ_2 λ_25 200 λ_125 250 300 Рис.3.6.Изменение параметры надежности системы во времени при параллельном соединении блоков при различном числе параллельно включенных элементов с одинаковыми параметрами надежности 19