Структура и классификация механизмов

СОДЕРЖАНИЕ I. Пояснительная записка……………………………………………………..5 II. Краткое изложение содержание дисципны……………………………....6 III. Опорный конспект лекций…………………………………..……………8 1. Структура и классификация механизмов……………………………9 2. Анализ и синтез зубчатых механизмов…………………………….18 3. Рычажные механизмы……………………………………………….70 4. Исследование движения машинного агрегата….………………….93 5. Анализ и синтез кулачковых механизмов………………………...103 6. Уравновешивание механизмов………………….…………………112 VI. Глоссарий……………………………...……………………………............165 VII. Библиографический список……………………………...……….............167 1 I. ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Машиностроение является ведущей отраслью современной техники. Прогресс машиностроения определяется созданием новых высокопроизводительных и надежных машин. Научной основой создания новых машин и технологических линий является теория механизмов и машин. Учебная дисциплина «Теория механизмов и машин» является одной из основных общепрофессиональных дисциплин, на базе которой ведется в дальнейшем подготовка инженеров-конструкторов, инженеровтехнологов и эксплуатационников механических специальностей. Основные цели курса теории механизмов и машин – научить будущих инженеров-механиков применять общие методы исследования и проектирования схем механизмов для создания новых высокопроизводительных и экономичных машин, а также для разработки оптимальных режимов работы существующего оборудования. Задачи дисциплины «Теории механизмов и машин» – выработка знаний о современных подходах к анализу и синтезу механизмов, а также рассмотрение сведений по приводам механизмов, колебаниям и вибрациям машин. В результате изучения дисциплины «Теория механизмов и машин» студент должен: знать:  основные задачи теории механизмов и машин;  основные виды механизмов и их кинематические и динамические свойства;  структуру механизмов;  общие методы синтеза механизмов. уметь:  определять основные параметры схем механизмов по заданным кинематическим и динамическим свойствам;  использовать методику кинематического и силового исследования механизмов;  проводить механический анализ и синтез машин. овладеть навыками:  структурного анализа;  кинематического анализа;  динамического анализа. При изучении данной дисциплины используются знания, полученные студентами при изучении таких дисциплин как математика, физика, теоретическая механика, сопротивление материалов. II. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ 2 2.1. Введение Теория механизмов и машин - научная основа создания новых машин и механизмов. Примеры механизмов современной техники. Основные проблемы теории механизмов и машин. Значение курса теории механизмов и машин для инженерного образования. 2.2. Структура и классификация механизмов Машина. Механизм. Основные виды механизмов. Звено механизма. Кинематическая пара. Классификация кинематических пар. Кинематические цепи. Требования к кинематической цепи механизма. Определение числа степеней свободы плоских и пространственных кинематических цепей. 2.3. Анализ и синтез зубчатых механизмов Зубчатые механизмы и область их применения. Классификация зубчатых передач. Основной закон зацепления. Цилиндрическая зубчатая передача. Эвольвентное зацепление. Интерференция профилей. Коэффициент перекрытия. Кинематика изготовления сопряженных поверхностей зубьев цилиндрических эвольвентных зубчатых колес. Геометрические параметры колеса. Условие неподрезания зубьев. Нулевые, положительные и отрицательные зубчатые передачи. Выбор коэффициентов смещения. Определение геометрических параметров передачи. Косозубые цилиндрические передачи. Определение передаточного отношения в многоступенчатых зубчатых механизмах с неподвижными осями. Сателлитные зубчатые механизмы и их разновидности. Кинематическое исследование сателлитных механизмов. Основы кинематического синтеза планетарных механизмов. Коническая зубчатая передача: кинематика и основы проектирования. Виды гиперболоидных зубчатых передач. Червячная передача. 2.4. Кинематический анализ и синтез рычажных механизмов Структурный анализ и структурный синтез плоских рычажных механизмов. Структурная классификация плоских рычажных механизмов. Кинематическое исследование плоских рычажных механизмов: метод планов скоростей и ускорений, метод графиков, аналитический метод. Этапы синтеза механизмов. Входные и выходные параметры синтеза. Основные и дополнительные условия синтеза. Методы оптимизации в синтезе механизмов с применением ЭВМ. Синтез рычажных механизмов по заданным положениям с учетом допустимых углов давления, по коэффици3 енту увеличения средней скорости выходного звена. Условие проворачиваемости механизмов. Синтез по методу приближения функций. Синтез передаточных и направляющих механизмов. 2.5. Силовой анализ механизмов Задачи силового анализа. Силы, действующие на звенья механизма. Силы инерции звеньев механизма. Условие кинетостатической определимости кинематических цепей. Определение реакций связи и уравновешивающего момента в механизмах. Теорема Жуковского. Трение в кинематических парах. Силовой анализ механизмов с учетом трения в кинематических парах. 2.6. Исследование движения машинного агрегата Звено приведения. Приведенные силы (моменты сил). Приведенные моменты инерции (массы). Кинетическая энергия механизма. Уравнение движения механизма в форме кинетической энергии и в дифференциальной форме. Основные режимы движения механизма. Решение уравнения движения механизма при различных случаях силового нагружения. Линейные и нелинейные уравнения движения. Неравномерность движения механизма (главного звена). Определение момента инерции маховика. 2.7. Анализ и синтез кулачковых механизмов Виды кулачковых механизмов. Угол давления на ведомое звено и его связь с габаритами кулачка. Определение основных размеров кулачкового механизма из условия ограничения угла давления. Характеристика законов движения выходного звена кулачкового механизма. Определение профиля кулачка по заданному закону движения толкателя графическим и аналитическим методами. 2.8. Уравновешивание, колебания и виброзащита машин Статическое и полное уравновешивание звеньев. Балансировка жестких роторов. Условие уравновешивания механизмов. Динамическая характеристика кинематической модели. Приведенные параметры: массы, жесткости упругих звеньев. Колебания механизмов. Исследование динамической колебательной системы с одной степенью свободы. Колебания в рычажных и кулачковых механизмах. Анализ действия вибраций. Методы виброзащиты. Динамическое гашение колебаний. 2.9. Приводы механизмов 4 Гидравлические, пневматические и электрические приводы механизмов. Типовые схемы приводов. Уравнение движения. Характеристики электродвигателей. III. ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ Введение Теория механизмов и машин – первая общеинженерная дисциплина, объектом изучения которой являются конкретные детали машин, а не абстрактная материальная точка или материальное тело, как это было в теоретической механике или физике. Проектирование любой машины начинается с выбора схемы машин. Это первый и основной этап проектирования. После выбора схемы машины определяются размеры деталей и материал, из которого они будут изготовлены. Это второй этап проектирования. И, наконец, на завершающем этапе выбираются методы и средства их изготовления. Так вот, первый, определяющий, этап проектирования и рассматривается в теории механизмов и машин. Теория механизмов и машин – это наука об общих методах исследования свойств механизмов и машин и проектирования их схем. Излагаемые в теории механизмов и машин методы пригодны для проектирования любого механизма и не зависят от его технического назначения, а также физической природы рабочего процесса машины. Полученные знания при изучении курса «Теория механизмов и машин» являются основой для освоения таких дисциплин как «Детали машин и основы конструирования», «Технология машиностроения», специальных дисциплин по расчету и конструированию отдельных видов машин. 1. Структура и классификация механизмов 1.1. Основные понятия и определения Механизм – система твердых тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемое движение других твердых тел. Механизмы бывают плоскими и пространственными. Плоским называется механизм, все подвижные точки которого движутся в параллельных плоскостях. 5 Пространственным называется механизм, подвижные точки которого описывают не плоские траектории, или траектории, лежащие в пересекающихся плоскостях. С помощью условных обозначений механизм можно изобразить на плоскости в виде структурных схем (рис. 1.1). Рис. 1. 1 Твердые тела, входящие в состав механизма и обладающие относительной подвижностью, называют звеньями механизма. Звено – деталь или несколько жестко соединенных между собой деталей, движущихся как одно целое. Звенья изображаются схематично в виде прямой, так как для изучения движения частей механизма безразлична конструкция детали, технология ее изготовления и многие другие факторы. На структурных схемах звенья обозначаются арабскими цифрами. Звенья могут быть подвижные и неподвижные. Неподвижное звено механизма называют стойкой. Неподвижность показывается штриховкой. В любом механизме только одно неподвижное звено (нулевое звено на схеме). Звенья различают по конструктивным признакам (коленчатый вал, поршень, зубчатое колесо и т.д.) и по характеру их движения. Например, звено, вращающееся на полный оборот вокруг неподвижной оси, называют кривошипом, при неполном обороте – коромыслом. Среди подвижных звеньев выделяют входные и выходные звенья. Входным называется звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом. Входное звено указывают на схемах стрелочкой (звено 1 на схеме). Выходным называется звено, которое совершает движение, для выполнения которого предназначен механизм (звено 5 на схеме). Начальным звеном называется звено, которому приписывается одна или несколько обобщенных координат. Звенья соединяются между собой так, чтобы они могли совершать относительное движение. Эти соединения называются кинематической парой. 6 Кинематическая пара – соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение. Кинематические пары обозначаются на схеме римскими цифрами (I, II, III, IV, V, VI, VII). Элемент пары – совокупность поверхностей, линий и точек звена, по которым оно может соединяться с другим звеном. Обеспечение постоянного контакта элементов пары называется замыканием. Кинематические пары могут иметь геометрическое или силовое замыкание. При геометрическом замыкании постоянный контакт звеньев обеспечивается геометрией соединяемых звеньев. При силовом замыкании для этого необходимо внешнее усилие (сила упругости пружины). Кинематические пары делятся на классы зависимости от числа связей, накладываемых парой на относительное движение звеньев. Если рассматривать звено, свободно движущееся в пространстве, то оно обладает шестью степенями свободы, т.е. может совершать три поступательных движения вдоль координатных осей x, y,z и три вращательных движения вокруг тех же осей. Любая кинематическая пара ограничивает движение звеньев, исключая те или иные из шести возможных. Ограничения, накладываемые на движения звеньев, называют связями. Номер класса кинематической пары совпадает с числом связей, налагаемых парой. Примеры кинематических пар и их условные обозначения на схемах приведены на рис. 1.2. Кинематическая пара первого класса – это такое соединение двух звеньев, которое отнимает одно движение, т. е. оставляет возможными пять относительных движений, например шар, лежащий на плоскости (рис. 1.2, е). При таком соединении звеньев невозможным становится их относительное поступательное движение вдоль вертикальной оси. Если шар поместить в полый цилиндр, то исчезнет возможность еще одного поступательного движения, следовательно, такое соединения звеньев 1 и 2 будет кинематической парой второго класса (рис. 1.2, д). Соединив два звена сферическими поверхностями, получим кинематическую пару третьего класса – сферический шарнир (рис. 1.2, г). Ограничив в сферическом шарнире вращательные движения относительно вертикальной оси при помощи пальца звена 1, вставленного в прорезь звена 2, получим пару четвертого класса – сферический шарнир с пальцем (рис.1.2, ж). К парам четвертого класса относятся соединения двух звеньев, очерченных плоскими постоянно контактирующими кривыми, например соединения зубчатых колес (рис.1.2, з). 7 Рис. 1.2 Еще одним примером кинематической пары четвертого класса является соединение круглого вала с круглой втулкой (рис. 1.2, в). Если ограничить в этой паре вращательное движение, сделав, например, сопрягаемые поверхности некруглыми, то получим пару пятого класса (рис. 1.2, б), которая допускает только поступательное относительное движение, а если в паре (рис. 1.2, в) ограничить поступательное движение, то получим пару также пятого класса, допускающую только вращательное движение (рис. 1.2, а). Замечание: во всех рассмотренных примерах все движения предполагались независимыми, однако существуют такие кинематические пары, в 8 которых два или несколько движений связаны друг с другом определенной зависимостью. В этом случае независимым можно считать только одно из этих движений. Примером такой пары является винтовая пара – пятого класса (рис. 1.2, и). Кинематические пары делятся на высшие и низшие в зависимости от характера соприкасающихся поверхностей. Кинематическая пара называется высшей, если элементы звеньев соприкасаются по линии или в точках (рис. 1.2, д, е, з). Кинематическую пару называют низшей, если элементы звеньев соприкасаются по поверхности (рис. 1.2, а, б, в, г, ж). Преимущества низших пар: 1. Возможность передачи больших нагрузок, так как больше площадь соприкасающихся поверхностей; 2. Простота изготовления. Преимущества высших пар: 1. Уменьшение сил трения в машинах (возможно трение качения); 2. Возможность получения разнообразных законов движения выходного звена за счет придания звеньям, образующим высшую кинематическую пару, определенной формы. 1.2. Кинематические цепи Кинематическая цепь – система звеньев, образующих между собой кинематические пары. Кинематические цепи делятся на: 1) плоские и пространственные; 2) простые и сложные; 3) замкнутые и незамкнутые. Кинематическая цепь называется простой, если каждое звено входит не более чем в две кинематические пары (рис. 1.3). Рис. 1.3 Рис. 1.4 Кинематическая цепь называется сложной, если имеется хотя бы одно звено, образующее более чем две кинематические пары (рис. 1.4). Незамкнутой называется кинематическая цепь, в которой есть звенья, входящие только в одну кинематическую пару (см. рис. 1.3). Замкнутой называется кинематическая цепь, в которой каждое звено входит, по крайне мере, в две кинематические пары (рис. 1.5). 9 Рис. 1.5 1.3. Структурная формула кинематической цепи Рассмотрим кинематическую цепь, состоящую из m звеньев. Число степеней свободы, которыми будут обладать эти звенья, будет равно 6m . Если эти звенья соединить между собой с помощью кинематических пар, то каждая кинематическая пара будет накладывать на относительное движение звеньев различное число связей, зависящее от класса кинематической пары. Обозначим через p1 число кинематических пар первого класса, через p2 - число кинематических пар второго класса, через p3 - третьего, p4 - четвертого, p5 - пятого класса. Число связей, накладываемых всеми парами первого класса, – 1p1 ; второго класса – 2 p2 ; третьего класса – 3 p3 ; четвертого класса – 4 p4 ; пятого класса – 5 p5 Тогда степень свободы кинематической цепи будет равна Н  6m  5 p5  4 p4  3 p3  2 p2  p1 . Сделаем одно из звеньев кинематической цепи неподвижным. При этом степень свободы кинематической цепи уменьшится на 6. И в этом случае степень свободы относительно неподвижного звена, которая называется степенью подвижности и обозначается как W, будет равна: W  Н  6  6m  1  5 р5  4 р4  3 р3  2 р2  р1 . Обозначим m 1  n – число подвижных звеньев. Тогда получаем W  6n  5 p5  4 p4  3 p3  2 p2  p1 – формула Сомова – Малышева для определения степени подвижности пространственной кинематической цепи. Если провести аналогичные рассуждения для плоской кинематической цепи, то получим W  3n  2 p5  p4 – формулу Чебышева для определения степени подвижности плоской кинематической цепи. Важной характеристикой работоспособности манипуляторов и промышленных роботов является маневренность. 10 Маневренность – это степень свободы механизма при неподвижном (фиксированном) положении схвата. Пример. Определить степень подвижности и маневренность пространственного механизма манипулятора промышленного робота (рис. 1.6). Рис. 1.6 Степень подвижности определяем по формуле Сомова – Малышева: W  6n  5 p5  4 p4  3 p3  2 p2  p1 . Звенья механизма обозначим арабскими цифрами: 0 – стойка; 1…7 подвижные звенья, т. е. n=7. Определим число кинематических пар: звенья 0 и 1 образуют низшую двухподвижную кинематическую пару I (4го класса); звенья 1 и 2 образуют низшую поступательную пару II (5-го класса); звенья 2 и 3 образуют низшую вращательную одноподвижную пару III (5го класса); звенья 3 и 4 образуют низшую вращательную одноподвижную пару IV (5го класса); звенья 4 и 5 образуют низшую вращательную одноподвижную пару V (5го класса); звенья 5 и 6 образуют низшую двухподвижную пару VI (4-го класса); звенья 6 и 7 образуют низшую вращательную одноподвижную пару VII (5-го класса). Таким образом, p5  5 ; p4  2 ; p3  p2  p1  0 . Подставляя полученные значения параметров в формулу, получим степень подвижности пространственного механизма манипулятора промышленного робота: W  6  7  5  5  4  2  0  0  0  9. 11 Маневренность манипулятора определяем по той же формуле Сомова – Малышева, но подвижное звено 7 (захват) считаем неподвижным: m  6  6  5  5  4  2  0  0  0  3. Механизм – это тоже кинематическая цепь, но отвечающая определенным условиям: 1. наличие стойки; 2. цепь должна быть замкнутая (исключение: механизмы роботов и манипуляторов); 3. при заданном движении одного или нескольких звеньев все остальные звенья должны совершать вполне определенные движения. Для обеспечения определенности движения необходимо, чтобы степень подвижности механизма равнялась числу входных звеньев (числу задаваемых законов движения) или обобщенных координат. 1.4. Механизмы с пассивными звеньями В структурных формулах не учитываются размеры и форма звеньев, поэтому специальным подбором размеров некоторых звеньев или их формы можно получить фактическую степень подвижности, отличающуюся от степени подвижности определяемой по структурной формуле. В качестве примера на рис. 1.7, а показан механизм спарника колес, степень подвижности которого, определенная по формуле Чебышева, будет равна нулю. Однако звено 4 не влияет на характер движения других звеньев, а служит лишь для увеличения жесткости конструкции, т. е. оно является звеном с пассивными связями и при подсчете степени подвижности не должно учитываться. Рис. 1.7 На рис. 1.7, б изображен кулачковый механизм с толкателем 2, снабженный роликом 3. Степень подвижности такого механизма равна двум. Однако круглый ролик представляет собой конструктивный элемент, вве12 денный для уменьшения сил трения и износа звеньев. Вращение ролика вокруг своей оси является лишней степенью свободы (удаление ролика не изменяет кинематику механизма в целом) и при подсчете степени подвижности его также не следует учитывать. 1.5. Структура плоских рычажных механизмов Механизмы, звенья которых образуют только низшие кинематические пары, называются рычажными механизмами. Для удобства изучения механизмов и разработки общих методов их проектирования и анализа все механизмы классифицируют. Впервые эта классификация была предложена русским ученым Ассуром в 1914 году, в дальнейшем она была усовершенствована И. И. Артоболевским и получила название классификации Ассура-Артоболевского. Согласно теории Ассура – Артоболевского любой плоский рычажный механизм может быть получен методом наслоения, т.е. путем присоединения к одному или нескольким первичным механизмам кинематических цепей нулевой степени подвижности, так называемых структурных групп, причем каждая структурная группа должна быть присоединена не менее чем к двум звеньям. Первичным механизмом или механизмом первого класса, первого порядка называется простейший двухзвенный механизм, состоящий из стойки и одного подвижного звена, связанных между собой кинематической парой пятого класса (рис. 1.8). Рис. 1.8 Рис. 1.9 Структурной группой (или группой Ассура) называется кинематическая цепь, степень подвижности которой будет равна 0, если свободные элементы звеньев крайних пар (внешних пар) соединить со стойкой и при этом ее нельзя разложить на более простые группы с нулевой степенью подвижности. Все структурные группы классифицируются начиная со второго класса. Группа второго класса (второго порядка) – это группа, состоящая из двух звеньев и трех кинематических пар (рис. 1.9). 13 Класс группы выше второго определяется по количеству внутренних кинематических пар, образующих наиболее сложный замкнутый контур (рис. 1.10). Порядок структурной группы определяется по количеству внешних кинематических пар. Класс всего механизма определяется по наивысшему классу структурных групп, входящих в состав механизма. Порядок механизма определяется по порядку группы наивысшего класса. Рис. 1.10 1.6. Структурный анализ плоских рычажных механизмов Структурный анализ механизма заключается в разложении механизма на структурные группы и определении его класса и порядка. Структурный анализ выполняется в следующей последовательности: 1) определяем степень подвижности механизма; 2) отделяем последовательно структурные группы начиная с наиболее удаленной от первичного механизма. При этом следим за тем, чтобы оставшийся механизм имел ту же степень подвижности, что и заданный. 3) каждое звено и каждую кинематическую пару можно взять лишь в одну структурную группу; 4) после отделения всех структурных групп должен остаться первичный механизм. Пример структурного анализа механизма приведен на рис. 1.11. 14 2-й класс, 2-й порядок 2-й класс, 2-й порядок 2-й класс, 2-й порядок Механизм 2-го класса, 2-го порядка Рис. 1.11 1.7. Замена высших кинематических пар кинематическими цепями с парами пятого класса При определении класса плоских механизмов с высшими парами, высшие пары заменяют эквивалентными цепями с низшими парами пятого класса. Для того чтобы замена была структурно и кинематически эквивалентной, следует провести общую нормаль к соприкасающимся профилям (рис. 1.12), найти на ней центры кривизны этих профилей в рассматриваемом положении механизма и поместить в них вращательные пары пятого класса, которыми 4-е звено, заменяющее высшую пару, будет присоединяться к звеньям 1 и 2. 15 Если одно из звеньев будет иметь прямолинейный профиль, то его центр кривизны будет в бесконечности и звено 4 будет с поступательной кинематической парой. Рис. 1.12 2. Анализ и синтез зубчатых механизмов Зубчатые передачи являются наиболее распространенными узлами современных машин и в значительной степени определяют их качество и конкурентоспособность. Они предназначены для передачи вращения и крутящего момента от одного вала механизма к другому с заданным передаточным отношением угловых скоростей. Наибольшее распространение в современном машиностроении получили эвольвентные зубчатые передачи. Они отличаются компактностью, высоким КПД, постоянством передаточного отношения, надежностью работы, высокой долговечностью и простотой обслуживания. В зависимости от расположения осей колес зубчатые передачи делятся на цилиндрические (с параллельными осями) (рис. 2.1, а, б), конические (с пересекающимися осями) (рис. 2.1, г) и гиперболоидные (со скрещивающимися осями) (рис.2.1, д, е, ж). Среди гиперболоидных передач выделяют винтовые передачи (рис 2.1, д), составленные из цилиндрических колес, гипоидные (рис. 2.1, ж), состоящие из конических колес, и червячные (2.1, е), состоящие из червячного колеса и червяка. 16 Рис. 2.1 2.1. Цилиндрическая зубчатая передача Простая цилиндрическая зубчатая передача - это трёхзвенный зубчатый механизм (рис. 2.2), состоящий из двух подвижных звеньев, – цилиндрических зубчатых колёс (1 и 2) и неподвижного звена – стойки (0), служащий для передачи вращательного движения между параллельными валами, обычно с целью изменения величины или направления угловой скорости выходного звена. 17 Рис. 2.2 Два зубчатых колеса в зацеплении образуют высшую кинематическую пару (III), а со стойкой зубчатые колёса соединены с помощью низших кинематических пар (I,II). Рис. 2.3 Рис.2.4 Простые цилиндрические зубчатые передачи могут быть внешнего (рис. 2.3) и внутреннего (рис. 2.4) зацеплений. Следует также указать реечное зацепление (рис. 2.5), разграничительное между внешним и внутренним зацеплениями. Основной кинематической характеристикой зубчатого механизма является передаточное отношение, равное отношению угловой скорости ведущего зубчатого колеса к угловой скорости ведомого колеса. i1 2   18 1 . 2 (2.1) Рис. 2.5 Знак "+" соответствует одинаковым направлениям угловых скоростей, а знак "-" – противоположным направлениям угловых скоростей зубчатых колес 1 и 2. В расчётах зубчатых механизмов на прочность вместо передаточного отношения иногда используется передаточное число – отношение чисел зубьев колеса к числу зубьев шестерни (звено зубчатой передачи с меньшим числом зубьев) – без учёта того, какое из звеньев механизма является ведущим. U  z2 . z1 (2.2) 2.1.1. Основной закон зацепления Передача движения между зубчатыми колёсами осуществляется высшей кинематической парой, а именно боковая, в общем случае криволинейная, поверхность зуба ведущего колеса давит на боковую поверхность зуба ведомого колеса. Основной закон зацепления, т. е. правильного контакта звеньев высшей пары в общем виде можно сформулировать следующим образом (рис. 2.6). «Абсолютные скорости в точках контакта контактирующих поверхностей (боковых поверхностей зубьев) должны проектироваться на общую нормаль, проведённую через точку контакта в виде одинаковых по величине и направлению отрезков»:     и (2.3) V1n  V2n V1n n  V2n n   Здесь V1n, 2 - проекции абсолютных скоростей на нормаль, V1n, 2 , n - вектора абсолютных скоростей и нормали. Невыполнение основного закона зацепления приводит к тому, что боковая поверхность зуба первого колеса будет внедряться в боковую 19 n n поверхность зуба второго колеса, если V 1  V 2 , а при V 1n  V n2 поверхности не будут контактировать. Уравнение (2.3) есть уравнение зацепления (контакта), записанное в самом общем виде. Рис. 2.6 Имея уравнения боковых поверхностей зубьев, а следовательно, и их нормалей, и уравнения абсолютных скоростей точек контакта зубьев, можно получить конкретные уравнения зацепления, восстанавливающие связь между геометрическими и кинематическими параметрами зацепления. У основного закона зацепления для плоских механизмов есть продолжение, которое носит название теоремы Виллиса. «Нормаль к профилям зубьев, проведённая через точку их контакта, разделит расстояние между центрами вращения колёс на части, обратно пропорциональные их угловым скоростям». Известно, что V1n  V2n . Необходимо доказать, что 1 O2П .  2 О1П Из подобия треугольников (рис. 2.7) O1KM 1 и Kab следует: V1n O1M1 VO M , откуда V1n  1 1 1 , а так как V1  1O1K , то V1n  ω1O1M1 .  V1 O1K O1K 20 Аналогично из подобия треугольников O2KM 2 и Kcb получим, что V2n  2O2M2 . Зная, что V1n  V2n , будем иметь 1 O2M 2 .  2 O1M1 Рис. 2.7 Наконец, на основании подобия треугольников O1ПМ1 и O2ПМ 2 получим: О2П М 2П О2М 2 1     i1 2 О1П М1П О1М1 2 Для (2.4) того чтобы передаточное отношение было постоянным     i1 2  1  const , точка П должна занимать определённое положение на 2   линии, соединяющей центры вращения колёс. Из уравнения (2.4) следует, что окружные скорости в точке П одинаковы: 1O1П  2O2П . Следовательно, эта точка является центром вращения в относительном движении колёс. Точка П получила название полюса зацепления. При вращении вокруг центров O1 и O 2 полюс зацепления опишет окружности, которые являются центроидами в относительном движении колёс. Они называются начальными. Радиус начальных окружностей обозначается rw. При зацеплении колёс начальные окружности обкатываются друг по другу без скольжения. Скольжение профилей. Проекции V1t , V2t окружных скоростей в точке контакта на общую касательную не одинаковы (рис. 2.7). Это 21 свидетельствует о наличии скольжения контактирующих профилей. Скорость скольжения равняется VS  V2t  V1t , где V1t  1M1K , V2t  2M2K из подобия треугольников O1KM1 ~ Каb и O2KM 2 ~ Ксb ; Отрезки M1K  M1П  ПК ; M2K  M2П  ПК , тогда VS  2 M2П  ПК   1M1П  ПК   2M2П  2ПК  1M1П  1ПК . Так как согласно уравнению (2.4) 1M1П  2M2П , то скорость скольжения профилей (2.5) VS  ПК  2  1  . Таким образом, скорость скольжения пропорциональна расстоянию точки контакта от полюса зацепления П , в котором скорость скольжения равна нулю. Сопряжённые поверхности и их образование. Поверхности, линии или точки зубьев, по которым происходит контакт в зубчатой передаче, называются сопряжёнными. Для сопряжённых точек зубчатых передач   необходимо выполнение закона зацепления V1nn  V2nn . В плоских зубчатых передачах должно выполняться условие (2.4): 1 rw2 .  2 rw1 (2.4) Какими кривыми могут быть очерчены профили зубьев плоских передач? Эта задача имеет бесконечное число решений. Наиболее широкое применение получил эвольвентный профиль зуба. 2.1.2. Эвольвента окружности и её свойства Эвольвентой окружности является кривая, описываемая любой точкой прямой линии при перекатывании её без скольжения по окружности (рис. 2.8). Прямая линия называется производящей прямой, а окружность – основной ( rb ). Свойства эвольвенты вытекают из способа её образования: 1.Эвольвента имеет правую и левую ветви. При качении производящей прямой по основной окружности в одном направлении точка К прямой описывает правую ветвь эвольвенты K0K X . При качении производящей прямой в другом направлении точка К описывает левую ветвь эвольвенты K 0K 'X . Обе ветви сходятся в точке K 0 , которая лежит на основной окружности. Следовательно, эвольвента не имеет точек внутри основной окружности. 22 2.Отрезки касательных являются радиусами кривизны эвольвенты в соответствующих точках. Это следует из того, что точка М X является мгновенным центром вращения производящей прямой, а следовательно, и центром кривизны эвольвенты в точке K X . Следовательно, основная окружность – это геометрическое место центров кривизны эвольвенты. Отрезок производящей прямой K X М X является текущим радиусом кривизны  X эвольвенты в точке K X . Таким образом, чтобы определить положение нормали в любой точке эвольвенты, достаточно из этой точки провести прямую, касательную к основной окружности. 3.Кривизна эвольвенты уменьшается по мере удаления от основной окружности и с возрастанием её радиуса. Рис. 2.8 Острый угол (  X ) между касательной к профилю зуба в точке K X и её радиусом-вектором OK X является углом профиля зуба. Угол inv  X , образованный начальным радиусом-вектором эвольвенты OK 0 и её текущим радиусом OK X , называется эвольвентным углом или инволютой угла  X . Его величина определяется следующим образом: rX  rb cos X или cos  X  rb . rX (2.7) 23 2.1.2. Эвольвентное зацепление Рассмотрим схему внешнего и внутреннего взаимодействия двух эвольвентных профилей Э1 и Э 2 с основными окружностями rb1 и rb 2 , вращающимися вокруг центров O1 и O 2 (рис. 2.9, а, б) и касающимися друг друга в точке K . Рис. 2.9, а Из свойств эвольвенты следует, что прямая KM 1 (рис. 2.9, а), проведённая от точки K касательно к основной окружности радиуса rb1 , является нормалью к эвольвенте Э1 . Прямая KM 2 , проведённая касательно к основной окружности rb 2 , на том же основании является нормалью к эвольвенте Э 2 . Отрезки KM 1 и KM 2 – это отрезки прямой M1M2 , касательной к двум основным окружностям. Таким образом, прямая M1M2 - общая нормаль к двум сопряженным эвольвентам, имеющим точку контакта на прямой M1M2 . При повороте звеньев профили займут положение Э1 и Э 2 , а точка контакта эвольвент переместится в точку K . Эвольвенты Э1 и Э 2 имеют общую нормаль, представленную той же прямой M1M2 , и точка их контакта находится на этой прямой M1M2 , которую можно рассматривать, как геометрическое место точек контакта сопряжённых эвольвент Э1 и Э 2 . Это представление справедливо и для внутреннего зацепления эвольвент Э1 и Э 2 (рис 2.9, б). 24 Рис. 2.9, б Таким образом, в процессе зацепления двух эвольвентных профилей положение их общей нормали M1M2 , касательной к двум основным окружностям, оказывается постоянным. Кроме того, она пересекает линию центров O1O2 в одной и той же точке П . Окружности, касающиеся друг друга в точке П , являются центроидами в относительном движении. В теории зацеплений эти окружности радиусов rw1 и rw2 , перекатывающиеся без скольжения, называются начальными. При неподвижных центрах O1 и O 2 передаточное отношение i1 2  1 rw2  . И на основании подобия треугольников O1M1П и O2M2П 2 rw1 получим i1 2  ω1 r r  w2  b 2 . ω2 rw1 rb1 (2.8) Следовательно, при взаимодействии эвольвентных профилей передаточное отношение не изменяется, так как не изменяются радиусы основ25 ных окружностей. Это первое и основное свойство эвольвентного зацепления. Второе важное свойство эвольвентного зацепления: эвольвентное зацепление как внешнее, так и внутреннее допускает изменение межосевого расстояния ( aw ) c cохранением ранее предусмотренного отношения, поскольку радиусы основных окружностей при этом не изменяются. Третье важное свойство эвольвентного зацепления заключается в том, что при внешнем зацеплении эвольвентные профили являются сопряжёнными только в пределах отрезка M1M2 . Что произойдёт, если зацепление профилей выйдет за пределы M1M2 ? Возьмём на нормали n  n точку x , расположенную вне участка M1M2 , ниже точки M 2 (рис. 2.9, а). Изобразим профили Э1 и Э 2 , проходящими через точку x . Для профиля Э 2 линия n  n не служит нормалью. Следовательно, в этом положениии профили не имеют общей контактной нормали и не являются сопряжёнными, а пересекаются. В отличие от внешнего зацепления, сопряжение эвольвентных профилей внутреннего зацепления возможно лишь вне участка M1M2 .На участке M1M2 происходит пересечение эвольвент, так как здесь прямая M1M2 , являясь нормалью к Э 2 , не будет таковой к Э1 . Пересечение профилей носит название интерференции. В реальной передаче пересечение эвольвент вызывает повышенный износ зубьев и усталостные напряжения в их материале, а в некоторых случаях – поломку зубьев и заклинивание передачи. Поэтому в проектируемых зацеплениях возможность пересечения эвольвент должна быть исключена. 2.1.4. Образование прямозубого колеса. Основные элементы цилиндрических колёс и рейки На рис. 2.10 в перспективе показана боковая поверхность прямого зуба, которую можно представить как совокупность совершенно одинаковых эвольвент, расположенных в плоскостях перпендикулярных к оси колеса ( Э, Э ). Эти эвольвенты являются траекториями точек образующей прямой K 0K0 , лежащей на производящей поверхности параллельно оси колеса. Начальные точки этих эвольвент располагаются на образующей основного цилиндра K 0K0 . Пересечение боковой поверхности прямого зуба с любым соосным цилиндром и с производящей плоскостью происходит по прямой KK . Эта поверхность является эвольвентной линейчатой цилиндрической поверхностью. 26 Рассмотрим основные элементы зубчатого колеса (рис. 2.11). У каждого зубчатого колеса различают тело и зубчатый венец, образованный чередующимися зубьями и впадинами. Поверхность 1, отделяющая зубья от тела зубчатого колеса, называется поверхностью впадин зубьев. Поверхность 2, ограничивающая зубья со стороны, противоположной телу зубчатого колеса, – поверхностью вершин зубьев. Пространство между двумя соседними зубьями 3 – впадина. Поверхность, ограничивающая зуб со стороны впадины 4, называется боковой поверхностью зуба. Рис. 2.11 Боковая поверхность состоит из главной 5 и переходной 6 поверхностей. Главная поверхность – это та часть боковой поверхности зуба, которая, взаимодействуя с главной поверхностью другого зуба, обеспечивает заданное передаточное отношение. Переходная поверхность соединяет главную поверхность с поверхностью впадин. При определении всех элементов зубьев и их размеров используется воображаемая цилиндрическая поверхность 7, называемая делительной. Делительная поверхность делит зуб на делительную головку 8 и делительную ножку 9. Линия пересечения боковой поверхности зуба с делительной поверхностью называется делительной линией зуба. Осевой размер «в» зубчатого колеса является шириной его венца. Линия пересечения боковой поверхности зуба с любой несоосной поверхностью определяет профиль зуба. 2.1.5. Параметры цилиндрических колёс и рейки Параметры зубчатого колеса рассматриваются в торцовом сечении колеса, т.е. сечении колеса плоскостью перпендикулярной к его оси. 27 На рис. 2.12 изображено зубчатое колесо с внешними зубьями. Наибольший радиус ra имеет окружность вершин, а наименьший радиус r f – окружность впадин. Рис. 2.12 Рис. 2.13 На рис. 2.13 изображено зубчатое колесо с внутренними зубьями. В этом случае радиус окружности вершин внутренних зубьев меньше радиуса окружности впадин. На рис. 2.12 и 2.13 изображена также делительная окружность радиуса r , которая делит зуб по высоте на делительные головку ha и ножку h f . Расстояние между двумя одноимёнными точками двух соседних зубьев, измеренное по окружности, называется окружным шагом зубьев. Шаг по делительной окружности обозначается через p . Длина делительной окружности 2r  pZ . Отсюда диаметр делительной окружности d   p  Z  mZ . Отношение p   m (мм) называется   модулем зубьев колеса. Соответствующий стандарт предусматривает целый ряд значений модуля (от 0.05 до 100). Через модуль выражают все линейные размеры зубчатых колёс и передач. Величина модуля назначается в соответствии с прочностным расчётом зубчатых передач. Шаг зубьев p y по любой окружности радиуса ry представляется как сумма толщины зуба s y и ширины впадины e y , т.е. p y  s y  ey . Шаг зубьев по делительной окружности p  s  e  m . Если безгранично увеличивать число зубьев колеса, а следовательно, и радиусы всех окружностей, то в пределе при Z   все окружности преобразуются в прямые, а эвольвентный профиль зуба станет прямолинейным. При Z   получим зубчатую рейку (рис.2.14). В любом месте прямоли- 28 нейной части зуба рейки профильный угол будет одним и тем же, равным  . Стандартный угол равен 20 . Прямая, по которой толщина зуба рейки равна ширине впадины, т.е. равна половине шага, называется делительной прямой. Шаг зубьев рейки, измеренный по любой прямой, параллельной делительной, имеет одинаковое значение p  m . Рис. 2.14 2.1.6. Способы получения зубьев зубчатых колёс Заготовку зубчатых колёс в зависимости от материала, размеров и формы получают ковкой, штамповкой, литьём, точением. Зубья колёс изготовляют нарезанием, накатыванием, литьём (редко). Существует два метода нарезания зубьев: 1) копирование, 2) метод обкатки. Метод копирования заключается в нарезании на заготовке колеса 2 впадины между зубьями инструментом с режущим контуром, совпадающим с контуром впадины зуба нарезаемого колеса. Режущим инструментом служат модульные, дисковые и пальцевые фрезы. Заготовка устанавливается на шпинделе делительной головки. Фреза 1 (рис. 2.15) прорезает одну впадину, после чего заготовка поворачивается на угловой шаг 2 Z и фрезеруется следующая впадина. Так повторяется до тех пор, пока не будут прорезаны все Z впадин зубчатого колеса. 29 Рис. 2.15 Профиль впадины нарезаемого колеса зависит от его модуля m и числа зубьев. Поэтому, чтобы получить точный профиль зуба, нужно иметь специальную фрезу для каждого числа зубьев данного модуля, т.е. примерно 150 фрез каждого модуля. Для сокращения количества фрез допускают некоторую неточность, нарезая одной и той же фрезой колеса с числами зубьев, близкими к числу зубьев, которому соответствует данная фреза. Чаще применяется набор из 8 фрез каждого модуля. При нарезании колёс по методу обкатки (огибания) инструмент и нарезаемое колесо являются звеньями зубчатой передачи. Поэтому в качестве инструмента используются эвольвентные зубчатые рейки или зубчатое колесо, снабжённые режущими гранями (гребёнка, червячная фреза, долбяк). Нарезание производится на специальных зуборезных станках (зубострогальных, зубофрезерных и зубодолбёжных), где, кроме движения резания, инструменту и нарезаемому колесу сообщаются такие относительные движения (движения обкатки), которые имели бы звенья зубчатой передачи при их зацеплении. Рис. 2.16 При нарезании колеса на зубодолбёжном станке (рис. 2.16) инструмент (долбяк 1) совершает вертикальные движения резания, в процессе которых снимается стружка. Кроме того, долбяк и нарезаемое колесо согласовано вращаются (движение обкатки) с угловыми скоростями Д и 3 . При этом Д Z3  , 3 Z Д 30 где Z 3 , Z Д - числа зубьев нарезаемого колеса и долбяка. Профиль зуба нарезаемого колеса получается как семейство огибающих линий, которые образуются профилем зуба инструмента при движении обкатки. Метод обкатки имеет следующие преимущества по сравнению с методом копирования: – выше производительность, так как меньше вспомогательное время, – выше точность изготовления, – требует меньшее число инструментов, так как одним инструментом можно нарезать колёса с любым числом зубьев данного модуля, а также колёса с различной толщиной зуба. 2.1.7. Станочное реечное зацепление. Производящая поверхность. Производящая рейка При нарезании колёс по методу обкатки проекции режущих кромок инструмента на плоскость, перпендикулярную оси нарезаемого колеса, представляют собой профили зубьев рейки или колеса. При движении резания, во время которого происходит снятие стружки, режущие кромки инструмента описывают поверхности, представляющие собой боковые поверхности зубьев воображаемой рейки или колеса. Эти поверхности называются производящими, а воображаемая рейка (колесо), образованная производящими поверхностями и двумя плоскостями, перпендикулярными к оси нарезаемого колеса, – производящей рейкой (колесом). Профиль зубьев производящей рейки называют исходным производящим реечным контуром (ИПК). Форма и размеры исходного производящего контура стандартизированы. ИПК состоит из прямолинейного эвольвентного участка ЕF (рис. 2.17), наклоненного к оси зуба под углом  , и криволинейных переходных участков ЕС и FD, которые очерчиваются дугой радиуса  . Точки сопряжения этих участков обозначены буквами Е, С, D, F. Прямая, разделяющая по высоте зуб на две равные части, называется делительной. Расстояние между одноимёнными профилями, измеренное по делительной или любой другой параллельной ей прямой, называется шагом исходного контура  . Для того чтобы диаметры колёс выражались рациональными числами, основу стандарта составляет модуль исходного производящего контура: m p .  31 Рис. 2.17 Модуль измеряется в миллиметрах, и его значения регламентированы ГОСТ 9563-80. На исходном производящем контуре отмечаются ещё 4 линии, параллельные прямой и проходящие по основаниям впадин зубьев, по их вершинам и через точки сопряжения Е и F. Расстояния между этими прямыми выражают размеры зуба исходного производящего контура по высоте и измеряются соответственно величинами ha  ham и c  cm , где ha - коэффициент высоты головки зуба, c - коэффициент радиального зазора. Согласно стандарту 13755-80 ha =1.0; c = 0.25. Прямые, проходящие через точки Е и F, называются граничными прямыми. Толщина зуба ИПК по делительной прямой равна ширине впадины S0  e0  m , а вместе они составляют шаг. Угол  между эвольвентным 2 профилем зуба (прямолинейный участок EF) и осью симметрии зуба называется углом профиля исходного контура. Согласно ГОСТ 13755-80   20 . Радиус скругления (дуги FD):   c m  0,4m . 1  sin  Таким образом, ИПК реечного инструмента характеризуется четырьмя стандартными параметрами: m ,  , ha , c . Производящая рейка или колесо образуют с нарезаемым колесом зубчатое зацепление, называемое станочным. В станочном зацеплении начальная прямая рейки перекатывается без скольжения по начальной окружности нарезаемого колеса. Последней всегда служит делительная окружность, на которой шаг зубьев рейки р отложится Z раз, где Z - число зубьев нарезаемого колеса. 32 Начальной прямой рейки может быть любая прямая, параллельная делительной прямой, в том числе и делительная прямая. Кратчайшее расстояние между делительной прямой рейки и делительной окружностью нарезаемого колеса или между делительной и начальной прямыми производящей рейки называется смещением исходного производящего контура и определяется как xm, где x - коэффициент смещения. Точка касания начальной прямой рейки и начальной окружности нарезаемого колеса (т. П 0 ) - полюс станочного зацепления (рис. 2.18). Нормаль к профилю зуба производящей рейки, проведённая через точку П 0 , линия станочного зацепления. Угол станочного зацепления равен углу профиля зуба производящей рейки   20 . На рис. 2.18 показаны три различных станочных зацепления. В первом станочном зацеплении (рис. 2.18, а) начальной прямой служит делительная, т.е. xm=0 и x=0. Колёса, нарезанные в этом станочном зацеплении, носят название зубчатых колёс без смещения. Во втором станочном зацеплении (рис. 2.18, б) делительная прямая рейки удалена от делительной окружности нарезаемого колеса на величину +xm, т.е. рейка смещена от центра нарезаемого колеса (положительное смещение). Во втором станочном зацеплении нарезаются колёса с положительным смещением. Зубчатые колёса с отрицательным смещением нарежутся в станочном зацеплении, изображённом на (рис. 2.18, в). Здесь делительная прямая рейки смещена к центру нарезаемого колеса на величину -xm (отрицательное смещение). Рис. 2.18 33 2.1.8. Геометрические параметры зубчатого колеса Форма зуба и геометрические параметры колеса зависят от параметров исходного производящего контура и его смещения в станочном зацеплении (рис. 2.19). Делительный окружной шаг зубьев p  m , так как в станочном зацеплении делительная окружность всегда является и начальной окружностью. Радиус делительной окружности r определим из равенства 2r  р0Z : р0 Z mZ mZ .   2 2 2 Радиус основной окружности rb . r (2.9) Линия станочного зацепления касается основной окружности нарезаемого колеса. Из треугольника OMП0 (рис. 2.19):  rb  r cos  mZ 2 cos . (2.10) Радиус окружности впадин r f . Поверхность впадин нарезаемого колеса формируется вершиной зуба производящей рейки. Следовательно, радиус окружности впадин определится (рис. 2.19): rf  r  h f ,   где h f  m ha  c  x или   rf  m Z  ha  c  x . 2 (2.11) Рис. 2.19 Для нарезаемых rf  m Z  ha  c  m Z  1.25 . 2 2  колёс,    Делительная толщина зуба S. 34 без смещения (x=0) Толщина зуба S по делительной окружности равна ширине впадины рейки по начальной прямой (рис. 2.20). Рис. 2.20 р0 m  2e0   2 xm tg  . 2 2 m У колёс, нарезаемых без смещения, S  . 2 Таким образом, S  (2.12) Толщина зуба на произвольной окружности. Из рис. 2.21 можно записать  у  inv y    inv , где  - половина угловой толщины зуба по делительной окружности;  y - половина угловой толщины зуба на окружности радиуса rу. Выразив угловую толщину зуба через окружную, получим Sy 2ry  inv  y  S  inv  2r S  S y  2ry   inv   inv  y  .  2r  Угол профиля зуба треугольника OMK : у или (2.13) на окружности радиуса rу можно определить из cos  y  rb ry (2.14) 35 Рис. 2.21 2.1.9. Подрезание и заострение зубьев Интерференция зубьев в станочном зацеплении приводит к подрезу зубьев. При этом головка зуба производящей рейки срезает часть зуба нарезаемого колеса в области ножки (рис. 2.22, б). Подрез ослабляет основание зуба и уменьшает эвольвентную часть профиля, т.е. уменьшаются прочность зубьев на изгиб и плавность зацепления в зубчатой передаче. Рис. 2.22 36 Выведем условие неподрезания зубьев. С этой целью рассмотрим станочное зацепление (рис. 2.22, а). Точка А является границей активной части линии станочного зацепления. В этой точке контактирует граничная точка эвольвентного участка производящего контура с нарезаемым профилем. Если точка А выходит за границу линии станочного зацепления (т. М), то наступает подрез зубьев. Чем дальше точка А выходит за точку М, тем сильнее будут подрезаны зубья. Условие неподрезания можно представить в виде П0М  П0A . Из треугольника aП0А а из треугольника OП0М   П0а ha  x П0А   m, sin  sin  П0М  r sin   mZ sin  . 2   Тогда условие неподрезания получим в виде: Z sin  ha  x .  2 sin  (2.15) Условие неподрезания (2.15) можно представить и в таком виде:   2 ha  x . Z sin 2  (2.16) Для крайнего случая отсутствия подреза (т. А совпадает с т. М) будем иметь   2 ha  x Z  Z min , sin 2  (2.17) где Zmin - наименьшее число зубьев колеса, которое может быть нарезано без подреза. Из формулы видно, что при положительном смещении Zmin уменьшается, а при отрицательном – увеличивается. При x=0   2 ha Z min  2 , sin  (2.18) а при ha =1 и  =20 , Z min =17. Следовательно, при проектировании зубчатых колёс без смещения следует брать Z  17 . Зубчатое колесо с числом зубьев < 17 во избежание подреза следует проектировать с положительным смещением. Определим коэффициент наименьшего смещения xmin , при котором отсутствует подрез. С этой целью неравенство (2.15) решим относительно x : x  ha  Z sin 2  . 2   2ha Подставив из (2.18) значение sin   , будем иметь Z min 2 37 x  ha Zha ha Z min  Z  .   Z min Z min Здесь х - коэффициент смещения, при котором отсутствует подрез. Наименьший коэффициент смещения xmin получим рассматривая крайний случай отсутствия подреза: ha Z min  Z  . Z min 17  Z =1,   20 , Z min =17, xmin  . Z xmin  При ha (2.19) (2.20) По формуле (2.19) можно также определить величину отрицательного смещения, с которым можно нарезать колесо с Z>17, не вызвав подреза. Если увеличить коэффициент смещения, то толщина зуба Sa у вершин будет уменьшаться. При некотором коэффициенте смещения, называемом максимальным, наступает заострение зуба ( Sa =0). Опасность заострения особенно велика у колёс с малым числом зубьев (меньше 15). Для предотвращения излома вершины заострённого зуба коэффициент смещения назначают так, чтобы толщина Sa была бы не меньше 0,2m ( Sa  0,2m ). 2.1.10. Эвольвентная зубчатая передача и ее геометрические параметры У зубчатого колеса эвольвентные профили ограничиваются окружностями вершин с радиусами ra1 и ra 2 . В точках А и В линия зацепления пересекается окружностями вершин зубьев колёс; в точке А сопряжённые профили входят в зацепление, а в точке В - выходят из зацепления. Отрезок АВ носит название активной части линии зацепления. Зубчатая передача должна быть спроектирована так, чтобы активная часть линии зацепления АВ находилась внутри линии зацепления M1M2 . Если это условие не выполняется, то в зубчатой передаче в результате интерференции произойдёт заклинивание. При заданном направлении вращения только одна сторона зуба будет воспринимать усилие. Её называют рабочей стороной зуба. В зацеплении участвуют активные профили зубьев, расположенные на рабочих сторонах зубьев. Чтобы определить активную часть профиля зуба, нужно точки начала (А) и конца (В) зацепления перенести на профили зубьев колёс дугами соответствующих окружностей, где a1b1 и a2b2 – активные части профилей (рис. 2.23). Точка a1 контактирует с точкой a2 , а точка b1 - с точкой b2 , т.е. эти точки являются сопряжёнными. 38 Между окружностью вершин одного колеса и окружностью впадин другого имеется расстояние, которое называется радиальным зазором. На рис. 2.23 он отмечен буквой с; его величина определяется выражением c cm , где c =0.25. Рис. 2.23 Геометрические параметры зубчатых передач Угол зацепления  w Теоретическое зацепление не имеет бокового зазора между зубьями. Отсюда следует, что Sw1  ew2 и ew1  Sw2 , а так как Sw1  ew1  рw , то (рис. 2.24). Sw1  Sw2  pw . (2.21) Толщина зубьев по начальным окружностям: S  S w1  2rw1 1  inv   inv  w  ,  2r1  (2.22) 39 S  Sw2  2rw2  2  inv   inv  w  .  2r2  (2.23) Подставляя выражения (1.22) и (1.23) в (1.21), получим S  S  рw  2rw1 1  inv   inv  w   2rw2  2  inv   inv  w  .  2r1   2r2  (2.24) При этом pwZ1,2 ,  S1,2  m  2 x1,2m tg  , 2 2r1,2  mZ1,2 . 2r w1,2 (2.25) (2.26) (2.27) Рис. 2.24 Подставляя в выражение (2.24) выражения (2.25), (2.26), (2.27), будем иметь pw    pw Z1  m 2  2 x1m tg    inv   inv  w     mZ1   pw Z 2  m 2  2 x2m tg    inv   inv  w .   mZ 2  После простейших преобразований получим 40 2x1  x2 tg   inv Z1  Z2   inv w Z1  Z2   0 или 2x1  x2 tg  (2.28)  inv  . Z1  Z 2 Для нулевых передач X  =0, inv  w  inv  , т.е. угол зацепления раinv  w  вен углу профиля исходного контура ( 20 ). Радиусы начальных окружностей Из прямоугольных треугольников O1M1П и O2M2П (рис. 2.24) определим rb1,2 cos mZ1,2 cos . (2.29)  r1, 2  cos w cos w 2 cos w mZ Для нулевых передач rw1,2  r1,2  1,2 , т.е. в нулевых передачах 2 rw1,2  начальные окружности совпадают с делительными. Межосевое расстояние aw  rw1  rw2  mZ1  Z 2  cos . 2 cos w (2.30) Для нулевых передач межосевое расстояние равно делительному межосевому расстоянию : a mZ1  Z 2  . 2 (2.31) Радиусы окружностей вершин Эти радиусы определяются из условия получения необходимого радиального зазора с в зубчатой передаче. Этот зазор обычно принимают равным c  cm , с * = 0.25. По рис. 2.25 можно записать ra1  aw  rf 2  cm , ra 2  aw  rf 1  cm . В ГОСТ 16532-70 на расчет геометрии зубчатой передачи радиусы окружностей вершин определяются через коэффициенты уравнительного смещения -  y : ra1,2  r1,2  m ha  x1,2   y , где  y  x  y , а y - коэффициент воспринимаемого смещения, равный  y  aw  a , m здесь y m - воспринимаемое смещение, равное наименьшему расстоянию между делительными окружностями колёс зубчатой передачи. 41 Рис. 2.25 Для нулевых передач x  0 , y  0 ,  y  0   ra1,2  r1,2  m ha  x1,2 , (2.32) а для передач без смещения ( x1,2  0 ) ra1,2  r1,2  mha  m 2Z1,2  2 . (2.33) 2.1.11. Коэффициент перекрытия зубчатой передачи Качественные показатели взаимодействия двух сопряженных колес определяются характеристиками зацепления – коэффициентом перекрытия, удельным скольжением, правильностью зацепления. Коэффициент перекрытия учитывает непрерывность и плавность зацепления в передаче. Такие качества передачи обеспечиваются перекрытием работы одной пары зубьев работой другой пары. Количественной характеристикой величины перекрытия является коэффициент перекрытия, совпадающий в прямозубой передаче с коэффициентом торцового перекрытия , который определяется как отношение     , где  , угол торцового перекрытия, – угол поворота колеса от положения зубьев при входе в зацепление в точке А (рис. 2.26.) до положения зубьев при выходе из зацепления в точке В. Коэффициент перекрытия определяет среднее число пар зубьев, находящихся одновременно в зацеплении. Для непрерывной передачи движения ведомому звену необходимо, чтобы   1 . При    1 все время в зацеплении находится одна пара зубьев, т.е. если одна пара выходит из за42 цепления (контакт в точке В), то следующая пара входит в зацепление (контакт в точке А). Значение   1 означало бы вступление в контакт каждой пары зубьев с ударом, что недопустимо. Рис. 2.26 Для прямозубчатых цилиндрических колес значение коэффициента перекрытия может колебаться в пределах 1,1    1,982 . Чем больше коэффициент перекрытия, тем плавнее работает передача. Значение   1,982 является теоретическим пределом. Такое значение имело бы место при зацеплении двух реек с   20 и ha  1 . Коэффициент перекрытия через длину активной части линии зацепления ( g a ) выражается следующим образом. Учитывая, что  2  p p  nn1  mm1 ; 2  w  b ;  rw2 rb 2 rw2 rb 2  nn1  mm1 .  pw pb На основании свойства эвольвенты  mm 1 gа , тогда получим   43   gа . pb Величину активной части линии зацепления можно представить как сумму дополюсной g f и заполюсной g a частей активной линии зацепления (рис. 2.27): g f  rb2 tg a 2  tg w  , ga  rb1tg a1  tg w  . Рис. 2.27 Подставив эти значения в выражение для  , с учетом, что pb  m cos , получим формулу для определения коэффициента перекрытия прямозубой передачи:   Z1tg a1  tg  w   Z 2 tg a 2  tg  w  . 2 (2.34) Для физического представления о передаче с дробными значениями коэффициента перекрытия рассмотрим процесс зацепления за время отнесенное к шагу. Для этого на длине активной части линии зацепления АВ от точек А и В отложим шаг зубьев по основной окружности pb (см. рис. 2.26, б). Когда пара зубьев входит в контакт в точке А, предыдущая пара зубьев будет контактировать в точке Д. При вращении колес точка контакта рассматриваемой пары зубьев будет перемещаться по отрезку АС, а точка контакта предыдущей пары зубьев будет перемещаться по отрезку ДВ. Таким образом, на участках АС и ДВ одновременно зацепляются две пары зубьев. Когда точка контакта рассматриваемой пары зубьев будет в точке С, предыдущая пара зубьев выйдет из зацепления и участок СД будет характеризоваться процессом зацепления только одной пары зубьев. 44 Обозначим продолжительность контакта на участке СД через t1 , продолжительность одновременного контакта двух пар зубьев на участке АС и ДВ через t2 и продолжительность зацепления, отнесенную к одному шагу, через t . Имеем t1 CD ,  t pb так как СД=АВ-2АС; AB  gа   pb , то получим t1 t  2   ; 2    1 . t t Откуда t1  2    t и t2    1 t . Следовательно, при ε=1,25 одна пара зубьев на протяжении шага 25% времени работает самостоятельно и 75% времени передает нагрузку совместно с другой парой зубьев. Удельное скольжение. Зубья зацепляющихся колёс перекатываются и скользят друг по другу. Наличие скольжения при одновременном нажатии одного профиля на другой приводит к износу профилей в процессе зацепления. Характеристикой степени влияния кинематических и геометрических факторов на износ зубьев служит коэффициент удельного скольжения  - отношение скорости скольжения VS в точке контакта К к тангенциальной составляющей этой скорости V t (рис. 2.28). Скорость скольжения VS профилей в точке контакта определяется как разность тангенциальных составляющих абсолютных скоростей V1t и V2t , а удельное скольжение для 1го и 2го колес соответственно 1  V t 1  V2t  V1t  t t и  2  V2  V1  V2t . За время одного оборота колеса с меньшим числом зубьев Z1 второе колесо не завершает полный оборот. Следовательно, его зубья в i 1  2 -й раз реже вступают в контакт, чем зубья первого колеса, и поэтому меньше изнашиваются. Для того чтобы сравнивать интенсивность износа зубьев по коэффициентам скольжения, разделим  2 на i1 2  2  VS  1 z2 V  ; 1  S t ; V1  2 z1 V i . t 2 1 2 Формулы для определения 1 и  2 имеют следующий вид:  1  lK  1   1  i l l ,  1 2  K p1 (2.35) 45  1 2   1  i  1 2  lK  , l l  K p2 (2.36) где lK - алгебраическая величина, равная расстоянию от полюса зацепления до текущего положения точки К – контакта пары зубьев; l p1 и l p 2 - абсолютные значения длин отрезков ПМ 1 и ПМ 2 . Рис. 2.28 Точка контакта К зубьев в процессе зацепления перемещается по линии зацепления от положения А (вход зубьев в зацепление) до положения В (выход зубьев из зацепления). Отсюда следует, что расстояние lK изменяется от значения (-АП) до нуля и затем - от нуля до значения (+ВП). Поэтому, как вытекает из формул 2.35 и 2.36, коэффициенты скольжения 1 и  2 также изменяются в процессе зацепления. Коэффициент удельного давления учитывает влияние геометрии зубьев (радиусов кривизны их профилей) на величину контактных напряжений, возникающих в местах соприкосновения зубьев. При больших значениях контактных напряжений, что бывает при чрезмерном нагружении, может произойти выкрашивание материала на рабочей поверхности зубьев. Контактные напряжения определяются по формуле Герца   Z E qn пр , 46 где Z E  1 1  12   E1 1   22    E2  - коэффициент, учитывающий механические свойства материала шестерни и колеса; qn - расчётная удельная нормальная нагрузка; пр - приведённый радиус кривизны: 1 1 1 1  2    пр 1 2 12 или, используя свойства эвольвентных профилей, 1 М1М 2  . пр М1К  М 2К Коэффициентом удельного давления  называется отношение  m m  M1M 2  . пр M1K  M 2K Поскольку точка К контакта зубьев перемещается вдоль линии зацепления, то расстояние M1K увеличивается, а расстояние M2K уменьшается, поэтому коэффициент удельного давления изменяется в процессе зацепления. 2.2. Сложные зубчатые механизмы 2.2.1. Простые зубчатые передачи Передаточное отношение i 1 2 - й пары зубчатых колёс выражается формулой i1 2   1 n z  1  2 . 2 n2 z1 Чтобы получить компактную и лёгкую передачу, число зубьев z1 должно быть наименьшим. Предельное число зубьев z1 ограничивается явлением подрезания и минимально допустимой величиной коэффициента перекрытия. В среднем принимается z 1 min 18...26 . Для колёс, нарезаемых без смещения, в зависимости от частоты вращения n1(мин 1) рекомендуется назначать: n1 менее 100 100...500 500...1000 свыше 1000 z1 min 17...18 18...22 22...24 24...26 Поскольку теоретически верхнего предела для z2 не существует, то при выборе числа зубьев на большом колесе следует исходить из ограни47 чений габаритных размеров и веса конструкции. В практике машиностроения (в металлообрабатывающих станках, подъёмно-транспортных и других машинах) принимается z 2 min  120...150 . Отсюда следует, что передаточное отношение для одной пары зубчатых колёс лежит в пределах от 10 до 0.1. Для механических передач принимается примерно i 12 1...6 , а для ручных i12  10...12 . Для одной зубчатой пары передаточное отношение может достигать15 (в приборах). Стремление повысить передаточное отношение в приборах обусловливается целесообразностью уменьшения их массы и габаритных размеров за счёт сокращения числа кинематических звеньев. В конструкторской машиностроительной практике для прямозубых зацеплений обычно i 12 5...7 , так как с ростом этого параметра возрастают габариты передачи и её вес, а также возникают дополнительные трудности при изготовлении и монтаже. Когда передаточное отношение выходит за пределы, допустимые для одной пары зубчатых колёс, появляется необходимость применения сложных передач. 2.2.2. Графоаналитический метод определения передаточного отношения (способ Л.П. Смирнова) Сущность метода определения передаточного отношения с помощью треугольников скоростей основан на том, что линейная скорость при вращении тела относительно неподвижной оси прямо пропорциональна радиусу вращения ( V   r ) и, следовательно, линейные скорости точек, лежащих на любом радиусе, изменяются по закону прямой линии (рис. 2.29). Рис. 2.29 Для колеса 1 изменение скоростей точек, расположенных на диаметре ВА, изображается в виде треугольников О1Аа и О1Вb. Для колеса 2 скорости точек, расположенных на диаметре АС, изменяются по закону треугольников О2Аа и О2Сс. Длина отрезка Аа на чертеже равна Аа  VА r ; а отрезка ОА – ОА  V l VA Aa V V   tg  , r OA l l где V - масштаб скорости, l - масштаб длины. (рис.2.29), тогда   48 30V tg  . Векторы линейных  l скоростей точек прямой ОА в масштабе V ограничиваются наклонной Поскольку   n 30 , то получим n  Oа , составляющей угол  с прямой ОА и характеризующей распределе- ние этих скоростей на отрезке OA . Следовательно, угловая скорость и число оборотов пропорциональны тангенсу угла с вершиной в точке О. Полученная зависимость позволяет перейти к графическим построениям для определения передаточного отношения механизмов с вращательным движением звеньев. На рис. 2.30 а, б показаны начальные окружности колёс, соприкасающиеся в точке А, линейная скорость VA которых изображается вектором Аа . Рис. 2.30 На плане скоростей наклонные аb и ac составляют углы 1 и 2 с линией центров O1O2 и характеризуют закон изменения линейных скоростей на диаметрах колёс 1 и 2. Проведём прямую YY перпендикулярно O1O2 и от некоторой точки О на перпендикуляре к YY отложим отрезок произвольной длины OF  L . Затем через точку F проведём лучи F1 и F 2 параллельно ba и са. Точки 1 и 2 пересечения лучей с прямой YY ограничивают длины отрезков O1 и О 2 . В результате получаем (рис. 2.30, а): tg 1   Отсюда O1 O1 O2 O2   ; tg 2   . OF L OF L V  1 , tg 1  O1 V l l L   1 , 2  V tg 2  O 2 V l l L 1  49 i1 2  1 О1  2 О2 Числа оборотов колёс 1 и 2 определяются по зависимостям: 30V 30V 1 , n1  tg 1  O1  l  l L 30V 30V 1 . n2  tg 2  O 2  l  l L Следовательно, i1 2  1 n О1 .  1  2 n2 О2 Для случая зубчатой передачи с внутренним зацеплением (рис. 2.30, б) i 1 2  1 n О1 .  1  2 n2 О2 Из изложенного видно, что отрезки O1 и O 2 изображают в масштабе   V 1 30 V 1 угловые скорости  1, 2 , а в масштабе  n  - числа обоl L  l L ротов n1,2 . Если отрезки на плане угловых скоростей располагаются по разным сторонам от точки О, то колеса вращаются в противоположные стороны: одно - по часовой стрелке, другое - против. Следовательно, передаточное отношение оказывается отрицательным. В случае, когда отрезки O1 и O 2 лежат по одну сторону от прямой ОF, передаточное отношение является положительной величиной. 2.2.3. Механизмы с неподвижными осями колёс В тех случаях, когда заданное передаточное отношение превышает целесообразное для одной пары колёс (чаще всего в пределах от 10 до 0.1), используют устройства, включающие ряд зубчатых колёс, различным образом сцеплённых друг с другом, которые называют сложными зубчатыми механизмами. Различают два основных типа зубчатых механизмов: с неподвижными и с подвижными относительно стойки осями. Механизмы первой группы могут быть двух видов: рядовые и ступенчатые. Рядовые зубчатые механизмы Рядовой зубчатый механизм характеризуется тем, что на каждой из осей находится по одному колесу. Эти механизмы применяются в тех случаях, когда расстояние между осями валов велико, когда непосредственное зацепление одной пары колёс вызывает нерациональное увеличение 50 размеров передачи, и для изменения направления вращения ведомого вала при постоянном направлении вращения ведущего (реверсивные зубчатые механизмы). Передаточное отношение рядового зубчатого механизма с внешним зацеплением (рис. 2.31, а), состоящего из четырех колёс 1, 2, 3 и 4 равно: i1 4   z  z  z  1 z  i 1  2 i 2  3 i 3  4    2   3   4    4 . 4 z1  z1  z 2  z3  В общем случае при k колёсах i 1 K  1 z  (1)h K K z1 (2.37) Таким образом, общее передаточное отношение рядового механизма равно обратному отношению чисел зубьев крайних колёс. Знак передаточного отношения определяется множителем  1h , где h - число ступеней передач внешнего зацепления. Поэтому передаточное отношение последовательного соединения, состоящего из трех колёс и содержащего внутреннее зацепление (рис. 2.31, б), определяется z  i13   3   1 . z1 3 Рис. 2.31 Из формулы (2.37) видно, что числа зубьев колёс, находящихся в зацеплении между колёсами 1 и k , не влияют на величину общего передаточного отношения механизма и их часто называют паразитными колёсами. Не изменяя величины общего передаточного отношения, паразитные колёса изменяют его знак (т.е. направление вращения ведомого вала). Ступенчатые зубчатые механизмы В ступенчатых механизмах на каждой из осей, кроме крайних (входной и выходной), находится по два и более колеса (рис. 2.32). Эти меха51 низмы широко используют в коробках скоростей для получения переменных передаточных отношений и уменьшения габаритных размеров при обеспечении больших передаточных отношений. На рис. 2.32 показана трехступенчатая передача. Ее передаточное отношение этой передачи равняется  z  z  z  z zz i1 4  i 1  2 i 2  3 i 3  4    2   3   4    2 3 4 . z1z2 z3  z1  z2  z3  При любом числе ступеней передаточное отношение определяется как: i 1 K  (1)h z2 z3 z4 ...z K , z1 z2 z3 ...zk  (2.38) где h - число ступеней с внешним зацеплением. Таким образом, в отличие от рядового, передаточное отношение ступенчатого зубчатого механизма зависит от числа зубьев всех входящих в его состав колёс. Общее передаточное отношение такого механизма равно произведению передаточных отношений передач (ступеней), входящих в состав механизма. Графический способ определения передаточного отношения с помощью треугольников скоростей представлен на рисунке 2.32. Рис. 2.32 Схема механизма выполняется в масштабе l [м/мм]. Задаёмся отрез52 ком Aa , изображающим скорость точки А, и последовательно строим треугольники скоростей для всех колёс. Целесообразно построить отдельно план линейных скоростей. Для этого необходимо провести вертикальную линию, спроектировать на неё оси колёс и построить треугольники скоростей, не загромождая схему механизма. Масштаб плана линейных скоростей: V  VA Aa  м   с  мм  . Затем строим план угловых скоростей, проведя из точки F линии, параллельные сторонам треугольников O1a ; ab ; bc и O4c до пересечения с прямой YY. Отрезки O1; O 2 ; O3 и O 4 пропорциональны угловым скоростям 1 ; 2 ;  3 и  4 . Масштаб плана угловых скоростей соответствует   V l L  1   с  мм . Передаточные отношения: i1 2   1 О1  О1 О1 ; i13  1   ; i1 4  1   .  2 О2 3 О3 4 О4 Задача 1. В трёхступенчатом зубчатом редукторе (рис.2.32) с общим передаточным отношением i1 4  60 рассчитать передаточные отношения каждой ступени по условию i 1  2  i 2 3 i 3 4 и числа зубьев колёс, считая модуль одинаковым для всех колёс. Минимальное число зубьев Z min  17 . Решение. Распределяем передаточные отношения по условию задачи: i 1  4  i 1  2 i 23 i 34 5  4  3  60 . Выбираем количество зубьев: Z1  Z 2  Z3  18 Тогда количество зубьев z2  z1 i 1 2 18  5  90, z3  z2 i 2  3  18  4  72, z4  z3 i 3  4  18  3  54. Общее передаточное отношение: z  z  z  90  72   54  i14   2   3   4             60 . z1  z2  z3  18  18   18  2.2.4. Сателлитные передачи Зубчатые механизмы с подвижными осями некоторых зубчатых колёс называются сателлитными (эпициклическими). Сателлитная передача, в которой на отдельные звенья наложена дополнительная кинематическая 53 связь путём закрепления одного из центральных колёс, называется планетарной, а без дополнительной связи - дифференциальной. Эта связь может быть осуществлена соединением двух его звеньев замыкающей цепью, в результате чего образуется замкнутая дифференциальная передача. Сателлитные передачи дают возможность при небольшом количестве колёс, лёгкости и компактности конструкции воспроизводить большие передаточные отношения. Поэтому они получили широкое распространение в машиностроении и приборостроении. Планетарные механизмы и замкнутые дифференциалы применяются для реализации передаточных отношений, а дифференциалы - для сложения угловых скоростей или разложения независимого вращательного движения двух выходных звеньев механизма. Существует несколько методов определения передаточных отношений сателлитных механизмов: аналитический, основанный на принципе обращения движения, и графический, осуществляемый с помощью построения треугольников скоростей. 2.2.4.1. Планетарные механизмы Механизмы, включающие неподвижные колёса, называются планетарными (рис. 2.33). Они состоят из центральных колёс 1 и 3, оси которых совпадают, водила Н и сателлита 2 (их может быть несколько). Сателлит вращается относительно своей оси и одновременно обкатывается вокруг колеса 1. Зубья колеса 1 нажимают на зубья колеса 2 и поворачивают его относительно неподвижного (опорного) колеса 3. При этом сателлит нажимает на свою ось и заставляет водило Н вращаться. Рис. 2.33 54 Кинематический анализ планетарных механизмов Кинематический анализ планетарных механизмов выполняется по методу Виллиса, основанному на остановке водила. Для этого всей планетарной передаче (рис. 2.33) мысленно сообщается вращение с угловой скоростью водила, но направленной в обратную сторону, т.е.  H . Таким образом, получается обращённое движение, при котором водило мысленно останавливается, а другие колёса освобождаются. Преобразованный механизм представляет собой рядовой зубчатый механизм, скорость звеньев в котором составляет: H  0 ; 1( H )  1(3)  (H3) ; колесо 3 было неподвижно, а в преобразованном механизме его угловая скорость равна  (H3) . Верхний индекс показывает неподвижное звено. Мысленная остановка водила равноценна вычитанию его угловой скорости из угловых скоростей подвижных колёс. Передаточное отношение в преобразованном механизме в итоге представляется как i 1(H3)   1(3)  (H3) . Но поскольку 3(3)  0 , то получается (3) (3)  3  H i 1( H3)  1   1(3)  1  i1(3)H , откуда передаточное отношение планетар(3) H ного механизма равно i 1(3)H  1  i 1( H3) . При этом  z  z   z  i 1(H3)  i 1(H2) i (2H3)    2   3     3  .  z1  z 2   z1  В обращённом механизме сателлит 2 является “паразитным” колесом и лишь изменяет направление вращения ведомого колеса. Окончательно будем иметь: i 1(3)H  1  Z1 z3 ;  (H3)   1(3) ; Z1  Z 3 z1 (3) z 2  z3  2 i   (3) ; z2 H Z  Z3 Z Z  Z 3  .  (23)   (H3) 2   1(3) 1 2 Z2 Z 2 Z1  Z3  z3 (3) (H ) 2 H  1  i 23  1  z2 В общем виде формула Виллиса представляется как i ln  H  1  i (nHl) , где n и l - центральные колёса. При этом i (Hl )n  1 i (nl) H  (2.39) 1 . 1  i (nHl) При графическом методе определения передаточных отношений в 55 планетарном механизме строятся планы линейных и угловых скоростей (рис. 2.33). Тогда i 1(3)H   1(3)  (H3) ;  1(3)  h V  aa V   tg  H V ;  tg 1 V ;  ((3H) )  O 1  l  aO 1  l l l Из плана угловых скоростей: О1 OH О1 ; tg H  ; i1(3)H  ; OF OH ОF V ;  О1  ; (H3)  OH  ;   l OF tg1  1(3) где   - масштабный коэффициент плана угловых скоростей. Передаточное отношение i13H оказывается положительным, так как отрезки O1и OH располагаются по одну и ту же сторону от вертикали OF . Наиболее распространённые схемы планетарных механизмов Основные схемы планетарных механизмов представлены на рис. 2.34. В этих схемах неподвижным колесом может быть либо колесо 3, либо колесо 1. Схема 1. Планетарная передача (Джемса) работает как силовой редуктор, т.е. уменьшает угловую скорость входного звена, если водило является выходным. Передаточное отношение: i 1(3)H  1  Z3  39 . Z1 Наименьшие габариты механизм имеет при i 1(3)H  4 . Максимальное передаточное отношение можно получить в случае, когда неподвижным звеном является большое центральное колесо. Эта передача работает как мультипликатор, т.е. увеличивает угловую скорость, когда входным звеном является водило. Направление угловой скорости входного звена в механизме не изменяется. Схема 2. Редуктор со сдвоенными сателлитами по габаритам мало отличается от редуктора Джемса при i 1(3)H  7 . Передаточное отношение передачи равняется i 1(3)H  1  Z 2 Z3  7  25 . Z1Z 2' Направление вращения выходного звена совпадает с направлением угловой скорости входного колеса. Схема 3. Редуктор Давида применяется в несиловых передачах, в основном в приборостроении. Передаточное отношение равно 56 i 1(3)H  1  Z 2 Z3  100  5000 . Z1Z 2' Рис. 2.34 Схема 4. Редуктор Давида понижает скорость только при передаче от водила Н к колесу 1. Он имеет меньшие габариты по сравнению со схемой 3, но изготовление колёс с внутренним зацеплением более затруднительно. Передаточное отношение равно: i (H3)1 1 i 1(3)H  1  30  1000 .  Z 2  Z3   1    Z Z  1  2'  При значительных нагрузках и больших передаточных отношениях используются многоступенчатые планетарные механизмы, представляющие ряд последовательно расположенных механизмов, или сложные зубчатые механизмы, сочетающие в себе планетарный механизм с простой передачей. Общее передаточное отношение таких передач состоит из произведения передаточных отношений отдельных простых зубчатых механизмов. 2.2.4.2. Дифференциальные механизмы Сателлитные механизмы с двумя или несколькими ведущими звенья57 ми, в которых все колёса и водило подвижные, называются дифференциальными. Наиболее распространёнными схемами являются те же, что и для планетарных механизмов (рис. 2.34). Подсчитаем степень подвижности дифференциала, соответствующего, например, схеме 2 (рис. 2.35). В нём число подвижных звеньев n=4, пар пятого класса P5=4, пар 4-го класса P4=2, а степень свободы и, следовательно, число ведущих звеньев равно (по формуле П.Л. Чебышева): W=3n-2P5-P4=34-24-2=2. Рис. 2.35 В механизме 2 входных звена, законы движения которых задаются. Входными звеньями могут быть: колёса 1 и 3, колесо 1 и водило Н, колесо 3 и водило Н. Дифференциальные механизмы, как и простые планетарные, позволяют получить большие изменения угловых скоростей при небольшом количестве колёс и компактности всей передачи, в результате чего уменьшаются её габариты и вес. Недостатками этих механизмов являются относительная сложность конструкции, требующая повышенной точности обработки деталей и сборки, и сравнительно высокая потеря на трение в кинематических парах, что препятствует внедрению некоторых типов этих механизмов. Дифференциалы дают возможность сообщения выходному звену такого вращательного движения, которое описывается суммой или разностью движений входных звеньев. В первом случае в механизме имеются 2 входа и 1 выход (например счётно-решающий суммирующий механизм), во втором - 1 вход и 2 выхода (например автомобильный дифференциал). 58 2.2.4.3. Замкнутый дифференциальный механизм Дифференциальный механизм, у которого входные звенья связаны дополнительной зубчатой передачей, называется замкнутым. В этом механизме независимым движением обладает одно звено. Замкнутый дифференциальный механизм состоит из двух кинематических цепей (рис. 2.36): 1. дифференциальный механизм с колёсами 1, 2, 2 , 3 и водилом Н. 2. зубчатый механизм с неподвижными осями, состоящий из колёс 3 , 4, 5. Этот механизм соединяется с дифференциальным с помощью вала O3 , на котором закреплены колёса 3 и 3 , и вала OH (или O5 ), на котором закреплены водило Н и колесо 5. i3 H  3 3'  z 4  z5  z         5 . H 5  z3'  z 4  z3' Колесо Z 4 оказывается паразитным, не влияющим на величину передаточного отношения, но изменяющим его знак. Рис. 2.36 Графическое решение замкнутых дифференциалов проводится с помощью треугольников скоростей (по методу Л.П. Смирнова). В этом случае можно задаваться линейной скоростью одной из точек и одной угло59 вой скоростью любого звена. 2.3. Синтез зубчатых механизмов Необходимость развития синтеза зубчатых механизмов возникла в соответствии с задачами проектирования планетарных механизмов, входящих в состав приборов, строительно-дорожных, транспортных и других машин. Большое количество схем механизмов для воспроизведения одних и тех же передаточных отношений приводит нередко к тому, что используются далеко не лучшие варианты. В первую очередь были развиты методы синтеза зубчатых механизмов с учетом КПД и выявления всех возможных вариантов. Дальнейшее развитие методов синтеза зубчатых механизмов связано с построением справочных таблиц и графиков и с учетом многих дополнительных требований (веса, габаритов, технологичности изготовления и т.п.), обусловленных назначением прибора и машины. Поэтому развиваются и подробно обосновываются методы выбора оптимальных схем планетарных механизмов для отдельных типов машин. 2.3.1. Выбор чисел зубьев колес планетарной передачи При назначении чисел зубьев планетарного механизма учитывается ряд ограничений, важнейшие из которых следующие: – числа зубьев должны быть целыми числами; – сочетание чисел зубьев колес должно обеспечивать заданное передаточное отношение с допустимой точностью; – при отсутствии специальных требований в передаче целесообразно использовать нулевые колеса. Это ограничение записывается в форме отсутствия подреза зубьев: Z  Zmin  17 – для колес с внешними зубьями, нарезанными стандартным инструментом, и Z  Zmin  85 при ha*  1 и Z  Zmin  58 при ha*  0,8 – для колес с внутренними зубьями, в зависимости от параметров долбяка; – для обеспечения движения точек по соосным окружностям оси центральных колес и водила Н должны совпадать между собой (условие соосности); – при расположении сателлитов в одной плоскости, т.е. без смещения в осевом направлении, соседние сателлиты должны располагаться с таким окружным шагом, чтобы между окружностями вершин обеспечивался гарантированный зазор (условие соседства); –сборка нескольких сателлитов должна осуществляться без натягов при равных окружных шагах между ними (условие сборки). Условие правильного зацепления, обусловливающее отсутствие за60 клинивания и отсутствие интерференции зубьев, обеспечивается числами зубьев зацепляющихся колес в случае нарезания их долбяком, приведенными в табл. 2.1. Таблица 2.1 Числа зубьев зацепляющихся колес, нарезанных долбяком Внешнее зацепление Z1 Z2 1 2 13 < 17 14 < 27 15 < 48 16 < 112 17 и выше любое любое Z1 3 17 18 19 20 21 22 Внутреннее зацепление Z2 Z1 4 5 23  > 144 24 > 81 25 > 60 26 > 50 > 44 27...79 80 и выше Z2 6 > 41 > 38 > 36 > 35 > Z1+8 > Z1+7 В этой таблице Z1 – число зубьев меньшего колеса, а Z2 – число зубьев большего колеса. 2.3.2. Условие соосности Сущность условия соосности заключается в том, что оси центральных колес 1, 3 и водила Н должны лежать на одной прямой, т.е. колеса 1, 3 и водило Н должны быть соосными. Условие соосности выражается через радиусы начальных окружностей, которые в нулевых зубчатых колесах совпадают с делительными окружностями (рис. 2.34): для схемы 1: r1+r2= r3-r2; для схемы 2: r1+r2= r3-r2; для схемы 3: r1+r2 = r3+r2; для схемы 4: r1-r2= r3-r2. Радиусы делительных окружностей вычисляются по формуле r mZ , 2 где m – модуль зубчатого колеса. Обозначим m1 – модуль зубчатых колес 1 и 2 m2 – модуль зубчатых колес 2 и 3. Тогда для нулевых зубчатых колес условие соосности выражается через числа зубъев колес: для схемы 1: Z1+Z2= Z3-Z2; для схемы 2: (Z1+Z2)m1 = (Z3-Z2)m2; 61 для схемы 3: (Z1+Z2)m1 = (Z3+Z2)m2; для схемы 4: (Z1-Z2)m1 = (Z3-Z2)m2. В случае если m1 = m2, то для схемы 1: Z3 = Z1 +2Z2; для схемы 2: Z1 + Z2 = Z3 – Z2 ; для схемы 3: Z1+ Z2 = Z3+Z2 ; для схемы 4: Z1 – Z2 = Z3 – Z2’ . 2.3.3. Условие соседства Выигрыш в размерах у планетарного редуктора по сравнению с простой многоступенчатой передачей происходит также при применении нескольких сателлитов. В силовых редукторах располагают возможно большее число сателлитов, чтобы уменьшить нагрузку на каждую пару зубьев. Максимальное число сателлитов, которые могут быть установлены, ограничивается условием отсутствия касания окружностей головок двух соседних сателлитов, т.е. условием соседства. В дифференциальных и планетарных механизмах сателлиты располагаются по окружности симметрично в одной плоскости так, чтобы соседние сателлиты не накладывались друг на друга или не задевали друг друга вершинами зубьев. Для условия соседства можно получить математическое выражение. На рис. 2.37 показаны два соседних сателлита в предельном положении, когда окружности их вершин не касаются друг друга. Соединив центры вращения колес, получим равнобедренный треугольник OO1O1, у которого   k O1O1 = 2CO1=2Rsin   , где R - радиус окружности, на которой располагаются центры сателлитов, k - число сателлитов. 62 Рис. 2.37 Поскольку R = r1+r2, а радиусы начальных окружностей равны r = m mZ для нулевых колес, то R  z 1 z 2 . 2 2 Предельный случай, изображенный на рис. 2.37, недопустим, так как при малейших неточностях сборки вершины зубьев начнут задевать друг друга. Поэтому между окружностями вершин сателлитов должен быть зазор, т.е.   k   k 2ra < 2Rsin   или 2ra Z2+2 ha* Число сателлитов или блоков сателлитов вычисляется в соответствии с выражением k  . z 2 2ha arcsin z 1 z 2 Эта формула получена для внешнего зацепления. В случае внутреннего зацепления (рис. 2.38) аналогичным путем выводится неравенство при рассмотрении двух соседних сателлитов Z2’ и центрального колеса Z3: k  . z2  2ha arcsin z 3 z2 Рис. 2.38 63 Для двухрядных планетарных механизмов (рис. 2.34, схемы 2,3,4), у которых блок сателлитов состоит из двух колес 2 и 2, проверка условия соседства производится по сателлиту, имеющему больший радиус начальной окружности, и соединенному с ним центральному колесу. Определенное по неравенствам и округленное всегда в меньшую сторону число блоков сателлитов является максимально возможным для данного механизма при размещении сателлитов в одной плоскости. Таким образом, условие соседства выражается:   k    для схемы 2: (Z1+Z2)sin   >Z2+2 ha* - для внешнего зацепления, k   (Z3-Z2)sin   >Z2 +2 ha* - для внутреннего зацепления, k    для схемы 3: (Z1+Z2)sin   >Z2+2 ha* - для внешнего зацепления, k   (Z3+Z2)sin   >Z2+2 ha* - для внешнего зацепления, k  для схемы 1: (Z1+Z2)sin   >Z2+2 ha* ,  для схемы 4: обычно у этих редукторов один блок сателлитов. 2.3.4. Условие сборки Условие сборки (или условие равных углов между сателлитами) заключается в том, чтобы зубья каждого сателлита могли одновременно войти в зацепление с обоими центральными колесами при симметричном расположении зон зацепления (рис. 2.38). Планетарная передача может быть собрана в том случае, если головки зубьев сателлита 2 войдут во впадины центральных колес 1 и 3 одновременно, и при этом ось сателлита совпадет с осью соответствующего пальца на водиле. Допустим, что колесо 3 неподвижно. Расположим центральное колесо 1 таким образом, чтобы ось симметрии какой-либо впадины его совпадала с осью симметрии впадины колеса 3 (рис. 2.38). Тогда между колесами 1 и 3 можно установить сателлит. Для определенности примем, что сателлит имеет четное число зубьев. Если колесо 1 повернуть на один угловой шаг, т.е. на угол 1= 2 , то Z1 на линии OI вновь расположится ось симметрии впадины колеса 1. Если сателлиты располагаются в параллельных плоскостях, то после поворота колеса 1 на угол 1 можно установить второй сателлит. 64 При повороте колеса 1 на угол 1 водило должно повернуться на угол  H: H  1 i 1(3)H  2 , z1 i 1(3)H где i 1(3)H - передаточное отношение при условии, что колесо 1 - ведущее звено, а колесо 3 - неподвижное. Очевидно, что максимальное число сателлитов: kmax  Учитывая, что i 1(3)H  2 . H z 1 z 3 , получим kmax = Z1 i 1(3)H = Z1+Z3 z1 Сателлиты могут быть установлены не в параллельных плоскостях, а в одной плоскости. Тогда для установки второго сателлита колесо 1 надо повернуть не на один угловой шаг, а на угол l1 , где l - целое число. При этом k  z 1 z 3 . Для разгрузки центральных подшипников и возможности l передачи большей мощности в планетарных редукторах устанавливается несколько симметрично расположенных сателлитов. Число k сателлитов обычно колеблется в пределах от 2 до 12, иногда больше; в машиностроении чаще всего применяют передачи с числом k =3...6 . Условие сборки выражается: для схемы 1: Z1+Z3=k l ; z 3 z 2 z 1 z 2  kl ; z2 z z z z для схемы 3: 3 2 1 2  kl . z2 для схемы 2: Для схем 2 и 3 условие сборки представляется еще и так: i 1(H3) z 1 z 2'  kl , D где D - общий наибольший делитель чисел Z1 и Z2. Поскольку условие сборки фактически сводится к проверке, будет ли при установке сателлитов целым числом интервал числа зубьев центрального колеса, то его выражают следующим соотношением: z1 i 1(3)H 1  kl  B , k где Z1 - число зубьев центрального колеса, k - число сателлитов, В и l- целые числа (l=1, 2, 3, ...; В=0, 1, 2, 3, ...). 2.3.5. Методика выбора числа зубьев в планетарных механизмах 65 Проектирование планетарной передачи рекомендуется проводить в следующей последовательности:  ознакомиться с исходными данными и условиями работы планетарного механизма;  определить требуемое передаточное отношение между угловыми скоростями входного и выходного валов планетарной передачи;  выбрать структурную схему механизма;  используя формулу Виллиса, получить соотношение между передаточным отношением и числами зубьев колес;  проанализировать ограничения, которые необходимо учитывать при выборе чисел зубьев колес;  выбрать методику поиска наиболее подходящего варианта кинематической схемы планетарной передачи;  методом перебора проанализировать несколько вариантов решения и дать им оценку;  вычертить кинематическую схему спроектированной передачи в масштабе длины;  построить треугольники распределения линейных скоростей звеньев и диаграмму угловых скоростей звеньев планетарного механизма;  определить графически передаточное отношение спроектированного механизма и его отклонение от требуемого значения. Числа зубьев должны быть в практически осуществимых пределах (обычно от 18 до 100). При их назначении целесообразно руководствоваться рекомендациями, изложенными в главе 2. В иных случаях все качественные показатели зубчатого зацепления (отсутствие интерференции, заострения и т.п.) обеспечиваются соответствующим выбором коэффициента смещения. 2.3.6. Подбор чисел зубьев колес однорядного планетарного механизма Для механизма Джемса (рис.2.34, схема 1) значение передаточного отношения i 1(3)H всегда положительно, поэтому колесо 1 и водило Н вращаются в одном направлении. Так как i 1(3)H >1, то передача этого типа при ведущем звене 1 служит для уменьшения скорости вращения ведомого звена - водила Н, а при ведущем звене Н - для увеличения скорости вращения ведомого колеса 1. На основании ранее изложенного для планетарного механизма, соответствующего схеме 1: 66  передаточное отношение i 1(3)H  1 z  1  i 1(Н3) 1  3 , Н z1  условие соосности: Z3=Z1 +2Z2; Z 1i 1(3)Н  условие сборки сателлитов: Z1+Z3=kl или k  ; l максимальное число сателлитов из условия соседства: k  . z 2 2ha arcsin z 1 z 2 Из формулы для передаточного отношения выражаем Z3=Z1( i 1(3)H -1), которое подставляем в уравнение соосности:   ) z 1 i 1(3H 2 z 2 . 2 Получаем общее уравнение для определения чисел зубьев однорядного планетарного механизма:    i 1(3)H  2 (3) i 1(3)H  z1 : z2 : z3 : l  1 : : i 1 H  1 :  z1 2 k   (2.41) Решение этой задачи возможно в неопределенном числе вариантов, так как при трех неизвестных числах зубьев имеем два уравнения с дополнительными условиями сборок и соседства. Исходя из требований наименьших габаритов передачи и условия отсутствия подрезания, выбираем наименьшее число Z1 зубьев центрального колеса 1, а по заданному передаточному отношению i 1(3)H находим из уравнения (2.41) числа зубьев сателлитов Z2 и колеса Z3. Задача. Подобрать числа зубьев колес однорядного планетарного механизма. Дано: i 1(3)H =4,5; m=10 мм; ha* =1. Решение. Подставляем значение i 1(3)H в пропорцию (2.41): 4,5   4,5  2 z1 : z2 : z3 : l  1: : 4,5  1 :  z1 . 2 k  После вычислений получим 4,5   z1 : z2 : z3 : l  1 :1,25 : 3,5 :  z1 . k   Для обеспечения минимальных габаритов механизма при отсутствии подрезания или заклинивания передачи согласно табл. 2.1 принимаем Z1=20. Тогда 67 z1 : z2 : z3 : l  20 : 25 :70 : 90 , k откуда Z2=25, Z3=70. Максимально возможное число сателлитов из условия соседства: k  3,14 180    4,9 z 2 2ha arcsin 25  2 36,9 arcsin 20  25 z 1 z2 Практически k может быть равным 4, 3 или 2. Принимаем k=З, тогда последний член пропорции 90/k=30. Условие сборки при этом удовлетворяется, так как l=30. Это означает, что каждый последующий сателлит устанавливается на место предыдущего при простом повороте водила на угол 360°/k=З60°/3=120° и повороте центрального колеса 1 на 30 угловых шагов. Подбор чисел зубьев планетарных механизмов, соответствующих схемам 2, 3, 4 (рис. 2. 34) подробно изложен в пособии [8]. 3. Рычажные механизмы 3.1 Кинематический анализ рычажных механизмов Кинематическое исследование механизма, т.е. изучение движения звеньев механизма без учета сил, обусловливающих это движение, заключается в определении кинематических характеристик механизма, к которым относятся: 1) траектории, описываемые точками звеньев и перемещения звеньев; 2) скорости отдельных точек звеньев и угловые скорости звеньев; 3) ускорения отдельных точек звеньев и угловые ускорения звеньев. Знание кинематических характеристик механизма позволяет решать задачи, связанные с прочностным расчетом механизма, с оценкой динамических свойств механизма и с оценкой габаритных размеров механизма. Для определения параметров движения звеньев механизма используют аналитические и графические методы. Графические методы кинематического исследования получили широкое распространение, обусловленное быстротой, удобством и наглядностью решения. Точность графических методов 0,3…0,5 % достаточна для решения многих прак68 тических задач. В тех случаях, когда необходимо провести расчет с высокой точностью или требуется провести большой объем однообразных построений, целесообразно использовать аналитические методы. 3.1.1 Планы положений механизма Кинематическое исследование механизма начинается с определения положения всех звеньев механизма в различные моменты времени внутри цикла движения механизма. Каждому моменту времени соответствует определенное положение начального звена механизма. Положение остальных звеньев механизма определяют построением плана механизма. План механизма – это изображение кинематической схемы механизма в выбранном масштабе, соответствующее определенному положению начального звена. 3.1.2. Метод планов скоростей и ускорений для механизмов 2го класса 2-го порядка Метод основан на графическом решении векторных уравнений движения. Для построения планов скоростей и ускорений механизма должна быть известна его кинематическая схема и задан закон движения начального звена. Начинается кинематическое исследование с первичного механизма и далее проводится по структурным группам в том порядке, в каком они присоединяются к первичному механизму. В качестве примера рассмотрим движение механизма, представленного на рис. 3.1, а. Для заданного положения механизма известна угловая скорость начального звена, которая обычно считается постоянной, а также все длины звеньев и расстояния между неподвижными точками. По известным размерам строится план положения механизма в определенном масштабе. Построение плана скоростей начинается с определения скорости точки A кривошипа. VA  1lOA . 69 Рис 3.1 Вектор скорости точки A направлен перпендикулярно кривошипу OA в направлении его вращения. Из теоретической механики известно, что любое движение плоского тела может рассматриваться как сумма двух движений - переносного и 70 относительного, а абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей этой точки (теорема сложения скоростей). При плоском движении звена переносное движение является поступательным со скоростью произвольно выбранной точки звена, принятой за полюс, а относительное движение является вращательным вокруг этой точки. Используя эти сведения, рассмотрим структурную группу, состоящую из 2 и 3 звена, и запишем для каждого из звеньев теорему сложения скоростей. Для звена 2: разложим плоскопараллельное движение звена AB на поступательное вместе с точкой A и вращательное вокруг точки A. Тогда в соответствии с теоремой сложения скоростей    VB  VA  VBA (3.1) где VBA - скорость относительного вращательного движения точки B относительно точки A, направленная перпендикулярно к звену AB. При анализе векторных уравнений принято подчеркивать обозначение векторов одной или двумя чертами снизу. Две черты обозначают, что данный вектор известен как по величине, так и по направлению. Одна черта означает, что для вектора известно только направление или величина. Для звена 3:    (3.2) VB  VO 1  VBO 1 где VO1 - скорость точки O1 , она равна нулю, VBO1 - скорость точки B относительно O1, она направлена перпендикулярно к BO1 . В уравнениях (3.1) и (3.2) неизвестными являются величины относительных скоростей. Для их определения строим план скоростей с выбранным масштабным коэффициентом μV . Из произвольного полюса p (рис. 3.1, б) проводим вектор pa перпендикулярный кривошипу OA, соответствующий на плане скоростей абсолютной скорости VA . Длина этого вектора определит величину масштабного коэффициента V  VA pa . Из точки a проводим линию, перпендикулярную AB, соответствующую относитель ной скорости VBA , а из полюса p линию, перпендикулярную BO1, соответ ствующую относительной скорости VBO1 . В пересечении указанных линий    находим точку b. Вектор pb изображает скорость VB точки B, а вектор ab  - скорость VBA . Значения действительных скоростей находим по формулам VB  V pb ; VBA  V ab . (3.3) 71 Зная скорости двух точек B и O1 звена 3, можно найти скорость любой третьей точки этого же звена, например точки C, используя известную из теоретической механики теорему подобия: изображение звена на плане скоростей или ускорений подобно самому звену с таким же обходом сторон. В соответствии с теоремой подобия вектор pc скорости точки C находим построением на известном векторе pb треугольника pbc, подобного треугольнику O1BC. При построении подобного треугольника необходимо следить за тем, чтобы он был правильно сориентирован, т.е. при обходе вершин треугольника на плане скоростей и на плане механизма чередование вершин треугольника должно быть одинаковым. Значение скорости точки C определим по формуле (3.4) VC  V pc го Рассмотрим следующую структурную группу, состоящую из 4 и го 5 звеньев. Разложим плоскопараллельное движение звена CD на поступательное вместе с точкой C и вращательное вокруг точки C. Тогда, по теореме сложения скоростей    VD  VC  VDC , где VD - скорость точки D, направленная параллельно yy, VDC - скорость относительного вращательного движения точки D относительно точки C, направленная перпендикулярно CD. Для определения этих векторов на плане скоростей (рис.3.1, б) через точку c проводим прямую линию, перпендикулярную CD, а через полюс p – прямую, параллельную оси xx; точка d пересечения этих прямых определяет векторы pd и cd, изображающие искомые скорости VD и VDC : (3.5) VD  V pd ; VDC  V dc Свойства планов скоростей:  векторы, выходящие из полюса плана скоростей, представляют собой абсолютные скорости;  вектор, соединяющий концы абсолютных скоростей, представляет собой относительную скорость, он направлен к той точке, которая стоит первой в индексе скорости;  концы векторов абсолютных скоростей точек механизма, жестко связанных между собой или принадлежащих одному звену, на плане скоростей образуют фигуры, подобные фигурам, образованным этими точками на схеме механизма. С помощью плана скоростей можно определить угловые скорости звеньев. Например, угловая скорость 2го звена: 72 2  VBA . l BA (3.6)  Направление 2 находится по вектору скорости VBA : мысленно переносим этот вектор в точку B на плане механизма и смотрим, в какую сторону он будет вращать звено AB. Построение плана ускорений План ускорений выполняют в той же последовательности и используя такие же по кинематическому содержанию уравнения, что и план скоростей. Построение плана ускорений начинаем с определения ускорения точки A кривошипа, складывающегося геометрически из суммы нормальной и тангенциальной составляющих:    a A  a An  a A . (3.7) Так как в нашем примере мы считаем, что 1  const , то a A будет равно нулю. Величина нормального ускорения точки A определяется по формуле a nA   12l OA . Из произвольной точки q, называемой полюсом (рис. 3.1, в), откладываем вектор qa нормальной составляющей ускорения точки A, направленный параллельно OA, от точки A к точке O. Длина отрезка qa позволяет определить масштабный коэффициент a  a nA . qa (3.8) Для определения ускорения точки В используем векторные уравнения, основанные на разложении плоского движения звеньев 2 и 3 (см. построение плана скоростей).   n  , (3.9) aB  a A  aBA  aBA   n  aB  aO 1  aBO  aBO , (3.10) 1 1 где aB - вектор абсолютного ускорения точки В; n - вектор нормального ускорения точки В в ее вращательном относиa BA тельном движении вокруг точки А, направленный параллельно АВ от точки В к точке А;  - вектор тангенциального ускорения точки В в том же движении, перa BA пендикулярный АВ;  aO 1 - ускорение точки О1 , оно равно нулю; 73 n - вектор нормального ускорения точки В в ее вращательном движеaBO 1 нии вокруг точки О1, направленный параллельно ВО1 от точки В к точке О1;  - вектор тангенциального ускорения точки В в том же движении, aBO 1 перпендикулярный ВО1. Величины нормальных ускорений определяют по формулам n a BA 2 2 VBO VBA n 1 . ; aBO 1   lBO 1 l AB Длины отрезков an и pm,изображающих эти ускорения на плане ускорений, определяют по формуле n n a BO a BA 1 ; pm  . an  a a Для определения ускорения точки В графически решаем систему из уравнений (3.9) и (3.10). В соответствии с уравнением (3.9) на плане ускорений (рис. 3.1, в) из точки а проводим прямую, параллельную АВ, и откладываем на ней отрезок an в направлении от В к А. Через точку n проводим перпендикуляр к АВ. В соответствии уравнением 3.10 из полюса проводим прямую, параллельную ВО1, и откладываем на ней отрезок pm в направлении от В к О1. Через точку m проводим линию, перпендикулярную к ВО1. В пересечении двух прямых получаем точку b. Вектор nb изоб , а вектор mb - ускорение a  . Соединяя точки a и ражает ускорение aBA BO 1 b, получаем вектор ab , изображающий ускорение aBA :   a BA  μ a nb ; aBO  mba . 1 Для определения ускорения точки C строим на отрезке pb треугольник pbc, подобный треугольнику O1BC и сходственно с ним расположенный. aC  μ a pc ; a BA  μ a ab . Построение плана ускорений для группы звеньев 4 и 5. Для определения ускорения точки D используем векторное уравнение, основанное на разложении плоскопараллельного движения звена CD:   n  , aD  aC  aDC  aDC и из условия, что вектор абсолютного ускорения точки D aD будет направ лен параллельно xx, aD xx . n - вектор нормального ускорения точки D в ее вращательном отЗдесь a DC носительном движении вокруг точки C, направленный параллельно DC от 74  - вектор тангенциального ускорения точки D в том точки D к точке C a DC же движении, перпендикулярный CD. n определяем по формуле Величину нормального ускорения a DC 2 n  VDC . a DC l DC n изобразится отрезком cl: На плане ускорений a DC n a DC . cl  μa Для определения ускорения точки D на плане ускорений от точки C откладываем отрезок cl в направлении от точки D к точке C. Через точку l проводим перпендикуляр к CD, а через полюс q – линию, параллельную xx,  ,а и в пересечении получаем точку d. Вектор ld изображает ускорение aDC вектор qd – ускорение точки D. ad  μ a qd . Свойства планов ускорений: – векторы, идущие из полюса плана ускорений, представляют собой абсолютные ускорения соответствующих точек звеньев; – отрезки, расположенные между концами абсолютных ускорений, соответствуют полным относительным ускорениям; – планы ускорений дают возможность находить такие угловые ускорения звеньев, например угловое ускорение 2-го звена.  aBA . 2  l AB  Направление  2 определяется по вектору aBA , перенося его мысленно в точку B на плане механизма. 3.1.3. 3.1. Силовой анализ рычажных механизмов Основной задачей силового анализа является: 1) определение внутренних сил, т.е. сил действующих в кинематических парах, эти силы необходимы для расчёта звеньев на прочность, жесткость, для расчёта подшипника на долговечность и т.д. 75 2) определение сил, приложенных к механизму извне (движущих), необходимых для осуществления заданного закона движения. 3.2.1. Классификация сил действующих на звенья механизма Силы и моменты, приложенные к звеньям механизма, можно разделить на четыре группы: 1. Движущие силы и моменты, совершающие положительную работу. К ним относятся сила давления рабочей смеси на поршень цилиндра двигателя, момент, развиваемый электродвигателем на ведущем валу насоса или компрессора и т. д. 2. Силы и моменты сопротивления, совершающие отрицательную работу за время своего действия или за один цикл. Их можно разделить на две подгруппы: а) силы и моменты полезного сопротивления, для преодоления которых и предназначен механизм, они приложены к выходному звену. б) силы и моменты вредного сопротивления (сила трения, сила сопротивления среды и т.д.) 3. Силы тяжести звеньев, они приложены в центре масс звеньев, совершают положительную работу, когда центр масс опускается, и отрицательную работу, когда центр масс поднимается; однако за полный кинематический цикл работа сил тяжести равна нулю. 4. Внутренние силы, силы взаимодействия между звеньями механизма. По третьему закону Ньютона они взаимообратны и определяются в процессе силового расчёта. При проектировании механизма силовой расчет выполняется в два этапа. На первом этапе определяют реакции в кинематических парах без учета сил трения, считая звенья механизма абсолютно жесткими. На втором этапе определяют силы трения, используя результаты первого этапа, и с их учетом определяют истинные реакции в кинематических парах. 3.2.2. Силы инерции звеньев Силовой анализ проводится с учётом ускоренного движения звеньев. Учёт ускоренного движения звеньев производится методами кинетостатики. Его основной принцип – принцип Даламбера: если ко всем силам, действующим на звено, движущееся с ускорением, добавить силы инерции, то все силы, действующие на звено, будут уравновешены. В общем случае плоского движения элементарные силы инерции приводятся к равнодействующей силе инерции (главному вектору сил 76  инерции) Fи , приложенной в центре масс звена, и результирующей паре  сил инерции (главному моменту пары сил инерции) M и .   Fи  mas , где m – масса звена, as – ускорение центра масс звена.   Mи  J s , где Js – момент инерции звена относительно оси, проходящей через центр масс звена перпендикулярно плоскости вращения, ε – угловое ускорение звена. Сила инерции направлена в сторону, противоположную ускорению центра масс звена, а момент пары сил инерции - противоположен угловому ускорению звена. Действие силы инерции и момента пары сил инерции можно привести к одной результирующей силе инерции Fи (рис. 3.2.1), но линия действия результирующей силы не будет проходить через центр масс S , а будет смещена относительно него на плечо, определяемое по формуле M h и . Fи  Расстояние h (плечо силы Fи ) следует отложить в такую сторону от  центра масс S, чтобы направление момента силы Fи относительно центра  масс S совпадало с направлением момента пары сил инерции M и . Рис. 3.2.1 3.2.3. Реакции кинематических пар или условие статической определимости структурных групп Силы взаимодействия между звеньями, образующими низшую кинематическую пару, представляют собой равнодействующую элементарных сил взаимодействия, распределённых по поверхности соприкосновения звеньев. Без учёта сил трения сила взаимодействия двух звеньев всегда направлена по общей нормали к поверхности соприкосновения элементов пар. Во вращательной паре равнодействующая сила реакции R проходит через центр шарнира (рис. 3.2.2, а). Величина и направление этой реакции 77 неизвестны. В поступательной паре (рис. 3.2.2, б) реакция перпендикулярна направляющим этой пары. Она известна по направлению, но неизвестны ее точка приложения и величина. Рис. 3.2.2 Таким образом, реакция каждой низшей кинематической пары содержит два неизвестных. Рассмотрим плоскую кинематическую цепь, состоящую из n звеньев, образующих между собой p5 кинематических пар. Для каждого звена из этой цепи можно написать три уравнения статики, значит общее число уравнений для n подвижных звеньев будет 3n. Число неизвестных параметров сил реакции будет равно 2p5. Цепь статически определима, если число неизвестных равно числу уравнений, т.е. 3n=2p5 или 3n-2p5 = 0. Это совпадает с условиями, которым удовлетворяют структурные группы. 3.2.4. Кинетостатика первичного механизма Так как степень подвижности первичного механизма равна единице, то он не является статически определимым. Для того чтобы к нему можно было бы применить уравнение статики, необходимо дополнительно ввести силу или пару сил, уравновешивающие все силы, приложенные к начальному звену. Такая сила носит название уравновешивающей силы, а момент – уравновешивающего момента. Они эквивалентны движущим силам, которые должны быть приложены к начальному звену для осуществления требуемого закона движения. Если входное звено закреплено непосредственно на валу двигателя, то уравновешивающим будет крутящий момент двигателя R21 h1 e  M ур (рис. 3.2.3, а). 78 а) б) Рис. 3.2.3 Если кривошипный вал приводится во вращение через зубчатую передачу, то на зубчатое колесо, сблокированное с кривошипом, действует со стороны сопряжённого колеса уравновешивающая сила: Fурh 1 R21 h 2, Fур  R21 h2 , h1 где R21 - реакция со стороны отброшенного звена. 3.2.5. Общий порядок силового расчёта 1. Прикладываем к звеньям механизма все силы, включая силы инерции. 2.Механизм разбиваем на структурные группы, при этом силовой анализ начинаем с последней присоединяемой структурной группы. 3.Разрушенные связи при выделении структурных групп заменяем реакциями. 4.Неизвестные реакции определяем по уравнениям статики. 5.После окончания расчёта наиболее удалённой структурной группы производим силовой расчёт следующей по направлению к начальному звену структурной группы. Причём в этом случае надо учитывать и силы действия уже рассмотренных групп. 6.После окончания расчёта всех структурных групп определяем силы, действующие на начальное звено, в том числе уравновешивающую силу или момент. 3.2.6 Графический метод силового анализа механизма второго класса и второго порядка 79 Дана схема механизма с масштабным коэффициентом l , угловая скорость входного звена, массы звеньев, положение центров масс звеньев и сила полезного сопротивления, приложенная в точке С звена 3, перпендикулярно ВО2. Силовой анализ проводим в следующем порядке: 1. Определяем силы тяжести звеньев G2  m2 g , G3  m3 g . Прикладываем в соответствующих точках звеньев на плане механизма G2, G3, Pпc. 2. Определяем силы инерции звеньев Fи 2  m2aS2 , Fи 3  m3aS3 , где aS 2 , aS 3 - ускорения центров масс звеньев 2 и 3, которые определяются   по плану ускорений aS2  a qS2 ; aS3   a qS3 . Вектора Fи 2 , Fи 3 прикладываем в центрах масс S2, S3 и направляем противоположно векторам ускорений aS 2 , aS 3 (рис. 3.2.4, а, б). 3. Определяем осевые моменты инерции. Так как звенья 2 и 3 считаем однородными стержнями, центр масс которых находится на середине оси звена, то J S 2  m2l 2AB 12 , J S3  m3l 2BO 12 2 . 4. Определяем угловые ускорения звеньев:   a aBA , 3  BO2 . 2  lBO2 l AB Направления ε2, ε3 показаны на плане механизма дуговыми стрелками (рис. 3.2.4, а). 5. Определяем момент пары сил инерции: M и2  J S2 2 ; M и 3  J S 3 3 . Для удобства расчета силу инерции Fи 2 и момент сил инерции M и 2 заменяем одной результирующей силой Fи 2 , которая будет смещена относительно центра масс S2 на плечо h, определяемое по формуле h 80 M и2 (см. п. 3.2.2). Pи 2 Рис. 3.2.4 Аналогично заменяем действие силы инерции Fи 3 и момента сил инерции M и 3 результирующей силой, смещенной в точку k3 (рис. 3.2.5, а). 6. Силовой расчет структурной группы звеньев 2, 3. Отделяем от механизма группу звеньев 2, 3, наносим все действующие на звенья внешние силы, силы инерции, а действие отброшенных звеньев 1 и 4 заменяем реакциями (рис. 3.2.5, а). Реакции во вращательных парах A и O неизвестны по величине и направлению; представим каждую из реакций в виде геометрической суммы нормальной (направленной вдоль звена) и тангенциальной (направленной перпендикулярно звену) составляющих.   Величину тангенциальных составляющих реакций R12 , R34 определяем из уравнения моментов относительно точки B для каждого звена в отдельности. Для звена 2:  AB  G h  F h  0 .  R12 2 2 и2 и2 F h  G2h2  Отсюда R12 .  и2 и2 AB 81 Рис. 3.2.5 Для звена 3:   R43 O2 B  G3h3  Fи3hи3  Pnc BC  0 . F h  G3h3  Pnc BC  Отсюда R43 .  и3 и3 O2 B Все плечи сил берутся с плана группы в миллиметрах. Направлением тангенциальных составляющих задаемся произвольно. Если при расчете величина тангенциальной составляющей получается отрицательной, то её направление следует изменить на противоположное. n n Для определения нормальных составляющих R12 , R43 запишем уравнение равновесия сил, действующих на группу 2-3:  n       n R12  R12  G2  Fи 2  Pnc  G3  Fи3  R43  R43 0. 82 Решим это уравнение методом планов сил (рис. 3.2.5, б). Для этого выберем масштабный коэффициент μF. Построение удобнее начинать с тангенциальной составляющей, например, от точки q откладываем вектор  , потом последовательно откладываем известные вектора, а затем от R12 начала первого вектора (точка q) и из конца последнего известного вектора (точки n) проводим направления векторов, которые известны по n n направлению, но не известны по величине ( R12 , R43 ), точка k пересечения этих направлений дает вершину замкнутого многоугольника сил, а отрезки nk и kq графически определяют модули нормальных составляющих реn n акций R12 , R43 : n n R12  kq F , R43  nk  F .   Полные реакции R12 , R43 найдем как геометрическую сумму нормальной и тангенциальной составляющих. Их графическое определение показано на плане сил (рис. 3.2.5,б).  Для определения реакции R32   R23 во внутренней кинематической паре B нужно замкнуть на плане сил систему сил, действующих на одно из звеньев (2 или 3). Например, для нахождения R32 найдем замыкающий     вектор системы сил R12 , G2 , Fи 2 . На рис. 3.2.5, б вектор R32 показан пунктиром, его модуль R32  mk μ F . 7. Силовой расчет первичного механизма (рис. 3.2.5, в) Считаем, что масса кривошипа уравновешена, угловая скорость 1  const , поэтому сила инерции Fи1  0 и момент сил инерции M и1  0 . Сила тяжести G1 – малая величина, ею при расчете можно пренебречь. На кривошип действуют силы:    1.Реакция в шарнире A: R21   R12 ;реакция в опоре O1: R41 и уравновешивающий момент Mур, который надо определить. 2.Уравновешивающий момент определяем из уравнения моментов относительно точки O1: M ур  R21h'μ l  0 ,  M ур  R21h'μ l . Реакция R41 в шарнире O1 будет по модулю равна реакции R21 , но противоположна ей по направлению. 3.2.7. Применение принципа возможных перемещений при определении уравновешивающей силы или уравновешивающего момента Для определения мощности двигателя, для динамического расчёта и в ряде других случаев необходимо знать только величину уравновешиваю83 щей силы или уравновешивающего момента. В этом случае можно воспользоваться принципом возможных перемещений (реакции кинематических пар при этом не определяются). Если система, состоящая из n звеньев, находится в равновесии под действием сил и моментов, то для неё можно записать: n n i 1 i 1  Fi dS i cos i   M i d  i  0 , где Fi и Mi - все силы и моменты, приложенные к звеньям, включая силы и моменты пары сил инерции, а также уравновешивающую силу или уравновешивающий момент; dSi - элементарное действительное перемещение точки приложения силы Fi ; i - угол между направлением силы и направлением перемещения точки приложения силы; dφi - элементарный угол поворота i-го звена, нагруженного моментом Mi. Разделим каждый член уравнения на элементарное время dt и перейдём к пределу при dt→0: n n i 1 i 1  FiVi cosi   M i  i  0 где Vi – скорость точки приложения силы Fi; i - угловая скорость i-го звена. Каждый член уравнения представляет собой мгновенную мощность, развиваемую силой или моментом. Следовательно, если система, состоящая из n звеньев, находится в равновесии, то сумма мгновенных мощностей всех сил и моментов, приложенных к звеньям механизма, должна равняться 0. Предположим, что в точке К звена АВ приложена силы Fi (рис. 3.2.6). Скорость точки приложения силы Fi показана вектором Vi . Мощность N i силы Fi можно выразить следующим образом: Ni  FiVi cosi  FiVFi , где VFi - проекция скорости точки приложения силы на направление силы; если VFi совпадает по направлению с силой Fi , то берется знак «плюс», если VFi противоположна по направлению Fi , то берется знак «минус». 84 Рис. 3.2.6 Таким образом, уравнение равновесия можно записать, как n n i 1 i 1  FiVFi   M i  i  0 Пример: используем метод возможных перемещений для определения уравновешивающего момента М ур кривошипно-ползунного механизма (рис. 3.2.7, а). а) б) Рис. 3.2.7 85   Пусть на звенья 2 и 3 действуют силы F2 и F3 , приложенные в точках К и В. Силы F2 и F3 представляют собой равнодействующие всех действующих на звенья 2 и 3 сил, включая и силы инерции. Строим план скоростей механизма с масштабным коэффициентом   V (рис. 3.2.7, б) и переносим векторы F2 и F3 сил параллельно самим себе в изображающие точки k и в плана скоростей. Определяем проекции скоростей точек приложения сил на направление сил VF2 и VF3 и записываем условие равновесия: M ур 1 F2VF2  F3VF3  0 , или M ур 1 F2 VF2 V  F3 pbV  0 , где pb и VF2 - отрезки с плана скоростей, в мм. Из этого уравнения определяем М ур  V F3 pb  F2 VF2 1 . Замечание: Для определения мгновенной мощности, развиваемой силой, можно использовать план скоростей, повернутый на 900. В этом случае для определения уравновешивающей силы или уравновешивающего момента используют теорему Жуковского: если векторы всех сил, приложенных к различным точкам звеньев и уравновешенных на механизме, перенести параллельно самим себе в одноименные точки повернутого на 900 плана скоростей, приняв фигуру плана за жесткий рычаг, то сумма моментов всех указанных сил относительно полюса плана будет равна нулю. Моменты сил, приложенные к звеньям, в этом случае необходимо заменить парой сил, перенося затем их на план скоростей. 4. Исследование движения машинного агрегата При кинематическом и силовом анализе механизма угловая скорость начального звена принималась постоянной. В действительности угловая скорость периодически изменяется, так как к звеньям механизма во время движения приложены различные силы, являющиеся функциями времени, скорости или положения механизма. Механизм машинного агрегата является многозвенной системой, и определение законов движения такой системы представляет собой трудную задачу. Однако если степень подвижности механизма = 1, то достаточно определить закон движения только одного звена, которое тем самым будет 86 являться начальным. При этом законы движения остальных звеньев можно получить методами кинематики. Поэтому, вместо исследования движения всего механизма под действием приложенных сил, исследуют движение лишь одного из звеньев механизма, которое называют звеном приведения. На звено приведения должны действовать такие условные нагрузки и оно должно обладать такой условной массой, чтобы в каждый момент времени закон движения звена приведения полностью совпадал с законом движения начального звена. То есть по сути дела звено приведения является динамической моделью механизма. А такие условные силы (или моменты), прикладываемые к звену приведения, называются приведенными силами (моментами). Условная масса (или момент инерции) звена приведения называется приведенной массой (моментом инерции). Определение закона движения начального звена является основной задачей динамики. 1.1. Режимы движения машины. Коэффициент неравномерности хода Процесс движения машинного агрегата состоит из трех фаз: разбег, установившееся движение и выбег (торможение) (рис 4.2). Стадия разбега характеризуется тем, что работа движущих сил за это время больше, чем работа сил сопротивления, при этом угловая скорость начального звена изменяется от 0 до max. Стадия выбега характеризуется тем, что работа движущих сил меньше работы сил сопротивления, при этом угловая скорость уменьшается от max до 0. Рис. 4.2 87 Стадия разбега и стадия выбега относятся к неустановившимся режимам, которые характеризуются непериодическими изменениями скорости. При установившемся движении скорость начального звена изменяется периодически. При этом за полный цикл работа движущих сил равняется работе сил сопротивления. Внутри цикла в отдельные моменты времени эти работы могут быть неравны. Время цикла – это время, по окончании которого скорость начального звена принимает свое первоначальное значение, после чего характер ее изменения повторяется. Внутри цикла угловая скорость изменяется от max значения до min. Неравномерность вращения оценивается коэффициентом неравномерности:  max  min , ср (4.11) где ωср – средняя за цикл скорость. Для каждого вида машин существуют свои предельные значения коэффициента неравномерности. 1 1  , 25 50 1 1 для текстильных машин    , 50 100 1 1 для приводов электрогенераторов   .  100 200 Для металлорежущих станков   Коэффициент неравномерности – величина малая, поэтому: ср  max  min . 2 (4.12) Совместно решая (4.11) и (4.12), получим   max  ср 1   ,  2   min  ср 1   .  2 Наилучшим условием для работы многих машин в установившемся движении являлось бы равномерное вращение главного вала, принимаемого обычно в качестве начального звена. Колебания угловой скорости вызывают дополнительные динамические нагрузки, следовательно, снижается надежность и долговечность машин, а также ухудшается рабочий процесс машины. Так как полностью избавиться от колебаний скорости нельзя, то нужно стремиться уменьшить размах этих колебаний, то есть уменьшить δ. 88 Обеспечить заданный коэффициент неравномерности можно двумя способами: 1. Приближением законов изменения движущих сил к законам изменения сил сопротивления. Это достигается выбором схемы механизма и режимов работы. 2. Увеличением инертности главного вала машины, так как чем инертнее материальное тело, тем медленнее происходит изменение его скорости под действием приложенных сил. Это достигается установкой дополнительной массы на главном валу машины, выполняемой в виде колеса с массивным ободом и называемой маховиком. Основным назначением маховика является ограничение колебаний угловой скорости в пределах, определяемых величиной коэффициента неравномерности. Определение размеров маховика, его момента инерции по заданному коэффициенту неравномерности является основной задачей динамического синтеза машин. 5. Анализ и синтез кулачковых механизмов Кулачковые механизмы предназначены для преобразования непрерывного движения входного звена в прерывистое движение выходного звена по заданному закону (рис. 5.1) Рис. 5.1 Входное звено 1, имеющее сложный профиль, называется кулачком, выходное звено 2 – толкателем. Кулачок и толкатель образуют между собой высшую кинематическую пару, а со стойкой 3 каждое из звеньев образует низшую кинематическую пару. Закон движения толкателя определяется профилем кулачка и является основной характеристикой кулачкового механизма. 89 Достоинством кулачкового механизма является простота конструкции, надежность, относительно высокий коэффициент полезного действия, возможность осуществления движения выходного звена по любому заданному закону, что особенно важно при проектировании автоматических устройств. Недостатками кулачкового механизма являются: большой износ соприкасающихся поверхностей в высшей кинематической паре, большие динамические нагрузки при повышенных скоростях, трудности при изготовлении кулачков сложного профиля. Кулачковые механизмы применяются в механизмах подачи станков автоматов, в механизмах перемещения их рабочих органов, в двигателях внутреннего сгорания и т. д. 5.1. Основные типы кулачковых механизмов На рис. 5.2 показаны схемы наиболее часто применяемых кулачковых механизмов. Механизм, показанный на рис. 5.2, и, является пространственным, остальные – плоскими. 90 Рис. 5.2 В зависимости от характера движения кулачка, кулачковые механизмы могут быть с вращающимся кулачком (рис. 5.2, а, в, г, д, е, ж, и) или с поступательно движущимся (рис. 5.2, б, з). Выходное звено кулачкового механизма (толкатель) может совершать поступательное движение (рис. 5.2, а, б, г, д, е, з, и) или вращательное (рис. 5.2, в, ж), а также, в более редких случаях, – сложное плоскопараллельное. Если ось толкателя проходит через центр вращения кулачка, то такие кулачковые механизмы называются центральными (рис. 5.2, а, е). Если ось толкателя смещена относительно центра вращения кулачка, то такие механизмы называются внецентренными (рис. 5.2, г). Кратчайшее расстояние между осью толкателя и центром вращения кулачка e называется эксцентриситетом (рис. 5.2, г). 91 По типу толкателя механизмы разделяются на механизмы с остроконечным толкателем (рис. 5.2, а), с толкателем, снабженным роликом (рис. 5.2, б, в, г, д, и), с плоскими (тарельчатым) толкателем (рис. 5.2, е, ж) и с грибовидным (рис. 5.2, з) толкателем. Наиболее распространены роликовые толкатели, так как при этом трение скольжения между профилем кулачка и толкателем заменяется трением качения, в результате чего снижаются потери мощности на трение в кинематических парах механизма и уменьшается износ профиля кулачка. Работа кулачковых механизмов возможна лишь при гарантированном контакте между кулачком и толкателем, обеспечиваемом с помощью пружины (иногда груза) (рис. 5.2, в, е) или геометрическим замыканием высшей пары (рис. 5.2, д, и). 5.2. Геометрические характеристики кулачковых механизмов На профиле кулачка можно выделить четыре участка, соответствующие четырем различным фазам движения толкателя (рис. 5.3): участки bc и ad, очерченные радиусами r0 и R0 из центра вращения O1 и два участка ab и cd – кривые переменной кривизны. Рис. 5.3 При контакте кулачка с толкателем на участке ab толкатель удаляется из самого близкого (по отношению к центру вращения кулачка) положения в самое дальнее; на участке bc толкатель остается неподвижным в самом дальнем положении; на участке cd толкатель возвращается из самого дальнего в самое близкое положение; на участке da толкатель остается неподвижным в самом близком положении. Центральные углы, соответствующие указанным участкам профиля называются профильными угла92 ми: удаления  у , дальней остановки  до , возвращения  в , ближней остановки бо . От профильных углов кулачка следует отличать фазовые углы φ, равные соответствующим значениям обобщенной координаты. Угол поворота кулачка, при котором происходит удаление толкателя, называют фазовым углом удаления φу; соответственно различают углы дальней остановки – φдо, возвращения – φв, ближней остановки – φбо. При равномерном вращении кулачка по значению фазовых углов можно определить продолжительность соответствующих фаз движения толкателя. В общем случае центральные профильные углы и фазовые углы не совпадают по величине (рис. 5.4). Такое совпадение имеет место только для центрального кулачкового механизма. В зависимости от выполняемого технологического процесса некоторые участки профиля могут отсутствовать, а соответствующие им профильные углы равняться нулю. Рис. 5.4 5.3. Угол давления в кулачковом механизме Углом давления  называют острый угол между направлением скорости точки толкателя, соприкасающейся с кулачком, и нормалью к профилю кулачка в точке контакта (рис. 5.5). Если пренебречь силой трения между кулачком и толкателем, то силой, приводящей в движение толкатель (движущей силой), является давление F кулачка, приложенное к толкателю в точке А и направленное по нормали nn. Разложим силу F на две составляющие: Fp и Fs. Сила Fp – полезная составляющая, она перемещает толкатель, преодолевая при этом все полезные (связанные с выполнением технологических задач) и вредные (силы трения) сопротивления, приложенные к толкателю. Сила Fs – 93 вредная составляющая, она изгибает толкатель и увеличивает силы трения в кинематической паре, образованной толкателем и стойкой. Fp  F cos ; Fs  F sin  . Рис. 5.5 При увеличении угла давления сила Fp уменьшается, а сила Fs увеличивается, уменьшается коэффициент полезного действия. При некотором значении угла  может оказаться, что сила Fp не сможет преодолеть все сопротивления, приложенные к толкателю, и механизм не будет работать. Такое явление называют заклиниванием механизма, а угол  , при котором оно имеет место, называют критическим углом  крит . При проектировании кулачкового механизма предельно допустимое значение угла давления  доп выбирают с некоторым запасом от критического. Для кулачковых механизмов с поступательно движущимся толкателем  доп  30 , а для механизмов с коромысловым толкателем  доп  45 . Следует заметить, что при силовом замыкании угол давления имеет существенное значение только на фазе удаления толкателя, когда на него давит кулачок. На фазе возвращения толкатель движется под действием пружины или силы тяжести, и угол давления теряет смысл. Поэтому угол давления на фазе возвращения можно не учитывать. Однако в процессе монтажа механизма в машине или при ремонтных работах иногда приходится поворачивать кулачок в обратном направлении. При этом фаза возвращения становится уже фазой удаления, для которой не исключена опасность за94 клинивания. Поэтому, обычно углы давления учитывают и на фазе возвращения. При геометрическом замыкании углы давления необходимо обязательно учитывать как на фазе удаления, так и на фазе возвращения. 5.4. Законы движения толкателя Законы движения толкателя выбираются с учетом условий работы механизма. При этом возможны два случая: 1. Закон движения толкателя определяется выполняемой технологической операцией. 2. Для выполняемой технологической операции закон движения толкателя безразличен, важен только конечный результат. В этом случае конструктор выбирает такой закон движения, чтобы обеспечивался простой профиль кулачка, увеличивался коэффициент полезного действия и плавность движения. По характеру воздействия на работоспособность и долговечность механизма все законы движения толкателя можно разделить на три группы: 1) законы, приводящие к «жестким» ударам. Одним из них является линейный закон (рис. 5.6, а). В этом случае скорость движения толкателя постоянна, а ускорения, следовательно, и силы инерции, в начале и конце фазы теоретически равны бесконечности. Последнее и вызывает «жесткий» удар толкателя о кулачок. Практически из-за наличия упругих деформаций и зазоров в кинематических парах ускорения (следовательно, и силы инерции) имеют большую, но конечную величину, что приводит к быстрому износу поверхностей в этих местах. Поэтому применение такого закона допустимо лишь при малых скоростях в механизмах с относительно небольшой массой толкателя. Рис. 5.6 95 2) законы, вызывающие «мягкие» удары толкателя. Наиболее распространен в этом случае закон с постоянным ускорением (рис. 5.6, б) и косинусоидальный закон (рис. 5.6, в). В этом случае ускорение и сила инерции толкателя изменяются на конечную величину в точках разрыва функции S ''(φ). 3) безударные законы. К таким законам относится синусоидальный закон движения толкателя (рис. 5.6, г). Такие законы способствуют наибольшей работоспособности и долговечности кулачкового механизма. 5.5. Синтез кулачковых механизмов Задачей геометрического синтеза кулачковых механизмов является: 1) определение основных размеров, обеспечивающих надежную работу механизма без заклинивания и удовлетворяющих условию требуемых габаритов; 2) определение геометрической формы профиля кулачка, которая должна соответствовать параметрам заданного закона движения толкателя. 6. Уравновешивание механизмов Под действием переменных внешних нагрузок, а также инерционных сил и моментов, звенья механизма перемещаются неравномерно, что приводит к возмущающему воздействию на фундамент. Для уравновешивания этих воздействий необходимо, чтобы главный вектор сил инерции ме ханизма F был равен нулю, а также должен быть равен нулю и главный  момент. Если главный вектор сил инерции механизма F не равен нулю, то механизм статически неуравновешен, если главный момент не равен нулю, то говорят о моментной неуравновешенности. Рассмотрим статическое уравновешивание механизма, предполагающее выполнение условия, что F  0 .  Главный вектор сил инерции F  maS , где m – масса системы всех подвижных звеньев механизма; aS - ускорение центра масс S этой системы. Для того чтобы выполнялось условие равенства нулю главного вектора, необходимо, чтобы aS  0 , а это возможно, если центр масс системы подвижных звеньев механизма не перемещается. Таким образом, статическое уравновешивание есть действие, в результате которого центр масс системы подвижных звеньев работающего механизма становится неподвижным. Достичь этого можно, используя метод замещающих масс. 96 Пусть дано тело АВ массой m, совершающее плоское или вращательное движение (рис. 6.1, а). Рис. 6.1 Сосредоточим массу тела, распределенную по всему его объему, в точках А и В (рис. 6.2, б). Значения сосредоточенных масс mA и mB определим из уравнений (6.1) mA  mB  m ; mAl AS  mBlBS . Первое уравнение означает, что масса заменяющей системы равна массе заданного тела, второе – что центр масс S’ системы [mA, mB] располагается в том же месте, что и центр масс S заданного тела. Следовательно, главный вектор сил инерции заменяющей системы [mA, mB] равен главному вектору сил инерции заданного тела. Рис. 6.2 Выполним статическое уравновешивание шарнирного четырехзвенника (рис. 6.2, а), для которого заданы длины подвижных звеньев l1, l2, l3 , их массы m1, m2, m3 и положения центров масс S1, S2, S3 . 97 Заменим каждое звено двумя сосредоточенными массами, используя уравнение 6.1: m1A  m2 B  m3C  m1lBS1 , m1B  l1 m2lCS2 l2 m3lS3D l3 m1l AS1 , m2C  , m3D  , l1 m2lBS 2 l2 m3lCS3 l3 , . Объединим массы, размещенные в точках В и С: mB  m1B  m2 B , mC  m1C  m2C . Таким образом, заданный механизм окажется замененным четырьмя массами, сосредоточенными в точках А, В, С и D (рис. 6.2, б). Центр масс системы [m1A, mB, mC, m3D] находится на том же месте, что и центр масс заданного механизма. Разместим на звеньях 1 и 3 противовесы (корректирующие массы) mk1 и mk3 (рис. 6.2, в) с таким расчетом, чтобы центр масс системы [mB, mk1] и [mС, mk3] оказались бы в неподвижных точках А и D. Для этого необходимо, чтобы (6.2) mk1rk1  mBl1 ; mk 3rk 3  mCl3 . Объединим массы, размещенные на звеньях 1 и 3: mA  m1A  mB  mk1 ; mD  m3D  mC  mk 3 (рис. 6.2, в, г). Таким образом, после размещения противовесов заданный механизм заменяется системой двух неподвижных масс mA и mD. Поэтому центр масс Sy этой системы, а следовательно, и центр масс заданного механизма, но дополненного противовесами mk1 и mk3, тоже станет неподвижным (рис 6.2, г, д), то есть статическое уравновешивание механизма выполнено. Массы mk1 и mk3 противовесов можно определить из уравнения (6.2), задавшись размерами rk1 и rk3. Таким образом, метод заменяющих масс состоит в следующем: каждое звено механизма надо заменить двумя сосредоточенными массами; затем, вводя противовесы (корректирующие массы) и объединяя их с заменяющими массами, добиться того, чтобы объединенные массы оказались бы, в конечном счете, размещенными в неподвижных точках механизма. 98 Рис. 6.3 Кривошипно-ползунный механизм (рис. 6.3) можно статически уравновесить двумя противовесами. Однако установка противовеса mk2 на шатуне 2 сильно его удлиняет, а значит и увеличивает габариты всего механизма. Поэтому в инженерной практике кривошипно-ползунный механизм статически уравновешивается только одним противовесом, размещенным на звене 1. Но в этом случае статическое уравновешивание будет не полным, а частичным. Рассмотрим, как можно статически уравновесить горизонтальный кривошипно-ползунный механизм (рис 6.4, а) таким образом, чтобы устранить динамическое воздействие на основание в вертикальном направлении. Заменим звенья заданного механизма тремя сосредоточенными массами m1A, mB, mC (рис. 6.4, б). Всю массу звена 3 сосредоточим в точке C, поскольку звено 3 движется поступательно. Используя уравнение (6.1), получим m1A  m1lBS1 m2 B  m2lCS2 l1 l2 , m1B  m1l AS1 , m2C  l1 , m2lBS 2 l2 . 99 Рис. 6.4 Объединим массы в точках B и C: mB  m1B  m2 B , mC  m3  m2C . Разместим на звене 1 противовес mk1 (рис. 6.4, в) с таким расчетом, чтобы центр масс системы [mB, mk1] оказался бы в неподвижной точке A. Для этого выполним соотношение mk1 rk1  mB l1 . Объединим массы, размещенные на звене 1: mA  m1A  mB  mk1 (рис. 6.4, г). Таким образом, после размещения противовеса mk1 заданный механизм может быть замещен системой двух масс: неподвижной mA и горизонтально движущейся mC. Поэтому центр масс S’ этой системы, а следовательно, и центр масс заданного механизма, но дополненного противовесом mk1 будет двигаться, но только горизонтально (рис. 6.4, г, д). А вертикальное динамическое воздействие на основание механизма, таким образом, будет устранено. Полной статической уравновешенности можно добиться и без размещения противовеса, если спроектировать самоуравновешенный механизм. Примером такого механизма является сдвоенный кривошипноползунный механизм (рис 6.5), используемый для мотоциклетных и других двигателей внутреннего сгорания. 100 Рис. 6.5 Следует отметить, что полностью статически уравновешенный механизм сохраняет свою полную статическую уравновешенность при любой величине угловой скорости начального звена как постоянной, так и переменной. 101 VI. ГЛОССАРИЙ Активная линия зацепления зубчатой передачи – часть линии зацепления зубчатой передачи, по которой происходит взаимодействие одного зуба с другим. Входное звено – звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения других звеньев. Выходное звено – звено, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм. Главный вектор системы сил – величина, равная сумме всех сил системы. Дифференциальный механизм – сателлитный механизм, в котором все центральные колеса подвижные. Замкнутая кинематическая цепь – кинематическая цепь, каждое звено которой входит не менее чем в две кинематические пары. Звено механизма – одно или несколько неподвижно соединенных твердых тел, входящих в состав механизма. Зубчатая передача – передаточный механизм, в котором подвижными звеньями являются зубчатые колеса, образующие со стойкой или водилом вращательные или поступательные пары. Исходный производящий контур – проекция режущей грани инструмента на плоскость перпендикулярную к оси нарезаемого колеса. Кинематическая пара – соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение. Кинематическая схема механизма – графическое изображение последовательности соединения звеньев в кинематические пары с указанием размеров звеньев. Кинематическая цепь – система звеньев, связанных между собой кинематическими парами. Кинетостатика – раздел механики, изучающий движение с помощью уравнений движения, записанных в форме уравнений статики. Класс кинематической пары – число связей, наложенных на относительное движение звеньев кинематической пары. Коническая зубчатая передача – зубчатая передача с пересекающимися осями зубчатых колес. Коромысло – вращающееся звено механизма, которое может совершать только неполный оборот вокруг неподвижной оси. Косозубая цилиндрическая передача – зубчатая передача, составленная из косозубых цилиндрических зубчатых колес. Крайнее положение звена – положение звена, из которого оно может двигаться только в одном направлении. 102 Кривошип – вращающееся звено шарнирного или рычажного механизма, которое может совершать полный оборот вокруг неподвижной оси. Маховик – вращающееся тело, характеризующееся добавочным моментом инерции и предназначенное для уменьшения коэффициента неравномерности движения механизма. Машина – устройство, выполняющее механические движения для преобразования энергии, материалов и информации с целью замены или облегчения физического и умственного труда. Метод обращения движения – метод исследования и проектирования механизма, заключающийся в мысленной остановке подвижного звена механизма при сохранении относительных движений всех звеньев, входящих в механизм. Механизм – система тел, предназначенная для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в требуемые движения других тел. Модуль зубьев – линейная величина, в  раз меньше шага зубьев. Начальное звено – звено, которому приписывается одна или несколько обобщенных координат механизма. Неуравновешенность ротора – состояние ротора, характеризующееся таким распределением масс, которое во время вращения вызывает переменные нагрузки на опорах ротора и его изгиб. Пассивные связи – связи в механизме, удаление которых не меняет характер движения механизма в целом. Передаточное отношение – отношение скорости входного звена механизма к скорости выходного звена. Перекрытия коэффициент – отношение угла перекрытия   (угла поворота зубчатого колеса от положения входа зуба в зацепление до выхода из него) к угловому шагу  . Планетарный механизм – сателлитный механизм, имеющий неподвижное центральное колесо. Подрезание зуба – срезание части номинальной поверхности у основания зуба обрабатываемого зубчатого колеса в результате интерференции зубьев при станочном зацеплении. Редуктор (от лат. reducere – приводить обратно, отодвигать назад, возвращать) – понижающая передача, обычно включающая в себя систему взаимодействующих звеньев, заключенных в единый корпус. Сателлит – зубчатое колесо планетарной передачи с подвижной осью вращения. Угол давления – угол между направлением силы давления на данное звено со стороны другого звена и скоростью точки приложения этой силы. 103 Уравновешивание механизма – устранение переменных воздействий со стороны стойки механизма на фундамент (или опору стойки). Эвольвентное зацепление – зубчатое зацепление, в котором использованы сопряженные зубья, профиль которых выполнен по эвольвенте. 104 VII. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1.Фролов, К.В. Теория механизмов и машин и механика машин / К. В. Фролов, С. А. Попов, А. К. Мусатов. – М.: Высшая школа, 2001. 2. Фролов, К.В. Теория механизмов и машин и механика машин / К. В. Фролов и др. – М.: Высшая школа, 2003. 3. Фролов, К.В.Теория механизмов и машин и механика машин / К. В. Фролов, С. А. Попов, А. К. Мусатов.– М.: МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2002. 4. Головин, А.А. Динамика механизмов: учеб. пособие / А. А. Головин, Ю. В. Костиков, А. Б. Красовский. – М.:МГТУ им. Н.Э.Баумана,2001. 5. Гуслякова, Г.П. Динамический анализ механизмов и машин: учеб. пособие / Г. П. Гуслякова, Д. С. Гусляков. – НГТУ. – Н.Новгород, 2001. 6. Смелягин, А.И. Структура механизмов и машин: учеб. пособие / А. И. Смелягин. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. тех. ун-т, 2003. 7. Дворников Л.Т. Теория кинематических пар и соединений: учеб. пособие / Л. Т. Дворников, Э. Я. Живаго.– Сиб. гос. индустриальный ун-т. – Новокузнецк, 2001. 8. Гуслякова, Г. П. Зубчатые цилиндрические передачи. Основы теории и проектного анализа: учеб. пособие / Г. П. Гуслякова, И. В. Воробьева. – НГТУ. – Н. Новгород, 2003. 105