Строительная механика

В.Н. Завьялов, В.М. Романовский, Е.Л. Тараданов КУРС ЛЕКЦИЙ по строительной механике F1 F Y q С VA f А VB K y х Н Н ак l В 10 X Федеральное агентство по образованию Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ) В.Н. Завьялов, В.М. Романовский, Е.Л. Тараданов КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ Омск Издательство СибАДИ 2005 1 УДК 624+539. 3 ББК 38. 112 М 33 Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В.Н. Шестаков, канд. техн. наук, доц. А.П. Малиновский Работа одобрена редакционно-издательским советом академии в качестве курса лекций для студентов строительных специальностей. Курс лекций по строительной механике / В.Н. Завьялов, В.М. Романовский, Е.Л. Тараданов.  Омск: Изд-во СибАДИ, 2005.  156 с. В настоящем курсе лекций изложены основы расчёта статически определимых и статически неопределимых конструкций и сооружений на действие статических, подвижных, температурных и динамических нагрузок. Кроме того, рассмотрены основы расчёта статически неопределимых рам на устойчивость. Приведены некоторые справочные материалы, связанные с расчётом транспортных и строительных сооружений. Данный курс лекций рекомендуется студентам высших учебных заведений, обучающимся на строительных специальностях. Табл. 2. Ил. 138. Библиогр.: 9 назв. © В.Н.Завьялов, В.М. Романовский, Е.Л. Тараданов, 2005 ISBN 5  93204 217  6 2 ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящий курс лекций по строительной механике написан в соответствии со стандартом для специальности «Автомобильные дороги и аэродромы». Авторами он многократно прочитан студентам факультета «Автомобильные дороги и мосты» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии (СибАДИ), обучающимся по специальности «Автомобильные дороги и аэродромы». В предлагаемом курсе лекций излагаются основы классической строительной механики, без глубокого осмысления которых невозможно освоение современных методов расчёта сооружений, использующих многочисленные программные продукты. Для того чтобы излагаемый материал оказался доступным для понимания, при написании данного курса авторы стремились максимально использовать накопленный опыт преподавания классической строительной механики. При этом рассматривались только традиционные методы расчётов сооружений. Известно, что строительная механика, как и сопротивление материалов, занимается расчётами на прочность, жёсткость и устойчивость. Но если сопротивление материалов изучает эти вопросы применительно только к простым элементам конструкций, строительная механика решает вопросы, связанные с расчётом сооружений в целом. В первых разделах курса изучается расчёт статически определимых конструкций, таких как многопролётные статически определимые балки, арки, фермы и рамы. Кроме того, в этих же разделах рассматриваются теоретические обоснования классических методов определения перемещений. В последующих разделах рассмотрены вопросы расчёта статически неопределимых конструкций  неразрезных балок и рам. Даны также теоретические основы расчёта конструкций на действие как статических, так и подвижных, и динамических нагрузок. Приведены в курсе и первоначальные сведения расчёта статически неопределимых рам на устойчивость, имеются справочные данные, позволяющие использовать эту книгу при выполнении студентами расчётно-графических работ. В настоящем курсе рассматривается строительная механика, связанная с расчётом только стержневых конструкций, используемых при создании транспортных сооружений, предназначенных для эксплуатации их автомобильным транспортом. Из всего многообразия стержневых конструкций здесь рассматриваются конструкции, находящиеся вместе с внешней нагрузкой в одной плоскости. 3 1. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СТЕРЖНЕВЫХ КОНСТРУКЦИЙ 1.1. Степень свободы в статике сооружений Стержневыми называются такие системы, которые состоят в основном из прямолинейных стержней, объединённых в конструкцию различными типами соединений (сварка, болт, заклёпка и др.). Целью кинематического анализа сооружений является оценка этих сооружений с точки зрения их геометрической неизменяемости. В строительной механике стержневых систем рассматривается расчёт геометрически неизменяемых сооружений, т.е. таких, перемещения любых точек которых невозможны без деформирования как отдельных элементов конструкции, так и её в целом. Для того чтобы конструкция могла быть использована в качестве сооружения, она должна быть и геометрически неизменяемой, и неподвижной относительно основания. Геометрическая изменяемость и подвижность сооружения относительно основания характеризуются его степенью свободы. В статике сооружений степенью свободы называется число независимых геометрических параметров, определяющих положение диска на плоскости (рис. 1.1). В этом определении степени свободы под термином «диск» понимается любой жёсткий геометрически неизменяемый структурный элемент сооружения.  .  . Ц.Т y  . x Рис. 1.1 Из анализа рис. 1.1 очевидно, что диск на плоскости обладает тремя степенями свободы  он может перемещаться поступательно вдоль осей х 4 и у соответственно и поворачиваться (угол ) вокруг центра тяжести диска. Зная эти три параметра, можно точно определить положение диска на плоскости. 1.2. Опоры Для того чтобы в процессе создания и последующей эксплуатации сооружение оставалось геометрически неизменяемым и неподвижным по отношению к основанию (как говорят в строительной механике  к земле), сооружение с землёй соединяют специальными устройствами, называемыми опорам, каждая из которых лишает сооружение определённого числа степеней свободы. Всякое устройство, отнимающее у жёсткого диска одну степень свободы, называется простой кинематической связью. В опорах возникают опорные реакции, которые вместе с внешними нагрузками создают уравновешенную систему сил, действующую на сооружение. В строительной механике различают три типа опор, состоящих из определённого числа простых кинематических связей. Кинематическая связь представляет собой прямолинейный стержень, ограниченный с обеих сторон шарнирами. Шарниры бывают простыми, когда они соединяют два стержня и кратными, когда они соединяют более чем два стержня (рис.1.2). Кратность шарнира определяется числом стержней, сходящихся в нём, без единицы. Однократный шарнир Трёхкратный шарнир и т. д. Рис. 1.2 Каждый простой шарнир предполагает наличие в нём двух простых кинематических связей. Шарнирно-подвижная опора (рис. 1.3, а) состоит из одной простой кинематической связи. Такая опора лишает диск на плоскости одной степени свободы  она не даёт возможности поступательного перемещения диска вдоль этой опорной связи. При любом характере нагружения диска внешней нагрузкой опорная реакция R в шарнирно-подвижной опоре может быть направлена только вдоль этой простой кинематической связи и перпендикулярно продольной оси диска. F R F V H R F М 5 H V F H Шарнирно-неподвижная опора состоит из двух простых кинематических связей. При таком характере прикрепления диска к земле опорная реакция R может быть направлена под углом к продольной оси диска. Такую опорную реакцию разлагают на две взаимно-перпендикулярные составляющие  вертикальную V и горизонтальную Н. Шарнирно-неподвижная опора отнимает у диска на плоскости две степени свободы, лишая его возможности поступательного перемещения по двум взаимно- перпендикулярным направлениям. Жёсткая заделка (защемление) предполагает наличие в ней трёх простых кинематических связей (рис. 1.3, в), отнимающих у диска на плоскости три степени свободы, лишая его возможности как поступательных, так и угловых перемещений. При таком закреплении диска возникающую опорную реакцию раскладывают на три составляющие  V, Н и М. Характер возникновения опорного момента М=V ℓ0 иллюстрируется шарнирностержневым эквивалентом защемления (рис. 1.3, г). При этом величина опорного момента равна . 1.3. Геометрический анализ изменяемости стержневых систем Исходя из сказанного, число степеней свободы n сооружения в целом может быть определено по формуле П.Л. Чебышева n = 3Д  2Ш – С0. (1.1) Каждая цифра и символ этой формулы несут свою смысловую нагрузку: Д описывает число жёстких дисков рассматриваемой стержневой системы; 3 означает, что каждый диск на плоскости обладает тремя степенями свободы; Ш описывает число простых шарниров; 2 со знаком минус означает, что каждый простой шарнир «отнимает» у жёсткого диска на плоскости две степени свободы, т. е. предотвращает возможность поступательных перемещений диска по двум взаимно-перпендикулярным направлениям; С0 описывает число простых кинематических связей; 1 и знак минус означает, 6 что каждая простая кинематическая связь «отнимает» у жёсткого диска одну степень свободы, т.е. предотвращает возможность линейного перемещения диска вдоль стержня простой кинематической связи. Для кинематического анализа таких стержневых систем, как фермы, удобно пользоваться формулой n = 2У - Сф - Со, (1.2) где У описывает число узлов фермы, а 2 означает, что каждый узел фермы на плоскости обладает двумя степенями свободы; Сф и С0 описывают число стержней фермы и число опорных простых кинематических связей соответственно; 1 перед ними означает, что каждый стержень налагает на координаты узлов фермы условие постоянства расстояния между узлами фермы. Если в результате определения числа степеней свободы (степени изменяемости) стержневой системы оказывается, что n>0, то такая система считается изменяемой, так как она не обладает необходимым минимумом связей. Такая система является геометрически изменяемой и не может быть использована в качестве сооружения. Сиcтема, для которой n = 1, называется механизмом и она тоже не может быть использована в качестве сооружения. Случай, когда n=0, означает, что рассматриваемая система обладает необходимым минимумом связей и при определённых условиях может быть использована в качестве сооружения. При n  0 рассматриваемая система обладает числом связей больше необходимого минимума. Естественно, что такая система может быть использована в качестве сооружения. Последнее условие n <0 является необходимым, но недостаточным для точной оценки геометрической изменяемости стержневой системы, поскольку геометрическая изменяемость стержневой системы зависит не только от числа связей, но и от их расположения. Для полной оценки изменяемости стержневой системы необходимо соблюдать следующие принципы образования геометрически неизменяемых систем: 1) присоединение к жёсткому диску системы двухстержневого звена (диады) не изменяет степени свободы стержневой системы (рис. 1.4, а); 2) два жёстких диска могут быть соединены жёстко с помощью шарнира С и стержня АВ, ось которого не проходит через центр шарнира (рис. 1.4, б); 3) два жёстких диска могут быть соединены геометрически неизменяемо друг с другом тремя стержнями, оси которых не пересекаются в одной точке (рис. 1.4, в); 4) три жёстких диска (или стержня) можно соединить в геометрически неизменяемую систему с помощью трёх шарниров, не лежащих на одной прямой. С А В 7 а б Рис. 1.4 Несоблюдение указанных принципов образования геометрически неизменяемых систем может привести не только к появлению просто геометрически неизменяемой системы, но и к так называемой мгновенно изменяемой системе. Рассмотрим всегда геометрически неизменяемую двухстержневую систему АСВ, нагруженную в шарнире С сосредоточенной силой F так, как это показано на рис. 1.5. F А С D NАС NА NВ С Е В NВС С F H Рис. 1.5 На построенном силовом треугольнике сторона ДЕ параллельна стержню АС и длина её в соответствии с принятым масштабом сил равна величине продольного усилия NАС, а длина ВС соответственно равна величине NBC. При уменьшении угла , что видно из силового треугольника, величины усилий NАС и NBC при неизменности значения силы F будут увеличиваться и в какое-то мгновение, когда все три шарнира окажутся на одной прямой величины этих усилий, станут равными бесконечности и стержни разрушатся. Вот почему мгновенно изменяемые системы нельзя использовать в качестве сооружения 2. РАСЧЁТ МНОГОПРОЛЁТНЫХ 8 СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК 2.1. Расчёт многопролётных статически определимых балок на действие статической нагрузки Многопролётные статически определимые балки (рис. 2.1) образуются из статически неопределимых (неразрезных) балок путём введения в них определённого числа шарниров. q F А В С D D М Е G Н Рис. 2.1 Это число можно определить по формуле (1.1) или из следующего рассуждения. Известно, для жёсткого прикрепления балки к земле необходимо минимум три простые кинематические связи. Число простых кинематических связей, превышающих этот минимум, равно числу шарниров, которые надо ввести в неразрезную балку, чтобы её превратить в многопролётную статически определимую балку. При постановке этих шарниров необходимо придерживаться следующих правил: 1) если крайний пролёт неразрезной балки имеет шарнирное опирание, то в нём должно быть не более одного шарнира; 2) если крайний пролёт неразрезной балки защемлён, в нём должно быть не более двух шарниров; 3) если в одном из пролётов неразрезной балки стоит два шарнира, то должен быть обязательно один пролёт, в котором нет шарниров. Расчёт многопролётной статически определимой балки на действие статической нагрузки удобно вести с использованием так называемой этажной схемы. При построении этажной схемы из многопролётной балки выбирают основную и дополнительные балки (рис. 2.2). При этом основной считается та балка, которая прикреплена к земле тремя связями. В многопролётной балке может быть одна или несколько основных балок. Дополнительными считаются те балки, которые прикреплены частью связей к основной балке, а частью  к земле либо всеми связями прикреплены к основной балке. В схеме, представленной на рис. 2.2, основными являются балки АВ и GH, а дополнительными  все остальные. Взаимодействие балок между собой при действии на них статической на- 9 грузки иллюстрируется на рис. 2.3. А В С D D Е D D G Е С А Н G Н В Рис. 2.2 Взаимодействие балок между собой при действии на них статической нагрузки иллюстрируется на рис. 2.3. q F RЕ RD RD RВ М RЕ RG RС RН RВ RА Рис. 2.3 Из анализа рис. 2.3 очевидно, что расчёт многопролётных статически определимых балок необходимо начинать с дополнительных, так как опорные реакции таких балок являются внешней нагрузкой для балок, на которые они опираются. 2.2. Расчёт многопролётных статически определимых балок 10 на действие подвижной нагрузки К подвижной нагрузке, оказывающей внешнее силовое воздействие на сооружения, относят автомобильный и железнодорожный транспорт, мостовые краны и другие нагрузки. Особенностью расчёта сооружений на подвижную нагрузку является то, что для оценки напряжённо-деформированного состояния во всех поперечных сечениях по длине сооружения необходимо фиксировать бесконечно большое число раз подвижную нагрузку, превращая её в статическую. Такой расчёт, естественно, нерационален. Поэтому при расчёте сооружений на подвижную нагрузку не строят эпюры внутренних усилий, описывающих их изменение по длине сооружения. Для решения этой задачи в строительной механике разработан аппарат линий влияния. Линией влияния называется график изменения какого-либо усилия (момент ли, сила ли, напряжение ли, перемещение ли и т.д.) в зависимости от положения силы F = 1.Таким образом, линия влияния (л.в.) описывает изменение усилия в каком-то конкретном сечении. Физический смысл ординаты л.в. заключается в том, что такая ордината описывает величину того усилия, л. в. которого построена. Сила F = 1 не имеет размерности. 2.3. Линии влияния опорных реакций Известно, что любой расчёт конструкции начинают с определения опорных реакций. Не является исключением и расчёт, связанный с построением линий влияния. Рассмотрим построение линий влияния опорных реакций для двухопорной балки. Поместим на неё силу F = 1, движение которой по балке будем описывать изменением координаты х (рис. 2.4). При фиксированном положении силы F=1 составим уравнение моментов относительно шарнира В, как и при обычном расчёте: RA   F(   х) = 0  RA = F  х .  (2.1) Из анализа выражения (2.1) очевидно, что оно описывает прямую линию. Тогда из (2.1) при х = 0 и с учётом F = 1 найдём, что RA = 1, а при х=  RA = 0. Составляя аналогичное уравнение моментов относительно шарнира А, можно построить линию влияния опорной реакции RB. В строительной механике принято положительные ординаты линии влияния откладывать вверх от базовой линии. x А _ F=1 11 В ℓ RА RВ Эти же линии влияния можно построить, вообще не осуществляя аналитических выводов. Ясно, что в тот момент времени, когда подвижная сила F = 1 окажется над опорой А, F будет восприниматься только опорой А, опорная реакция которой будет равна 1, тогда как опорная реакция на опоре В в этот же момент времени будет равна 0. При этом известно, что если между двумя шарнирами нет нагрузки, то любое внутреннее усилие на таком участке стержня будет изменяться по закону прямой линии. Если рассматривать балку с двумя консолями (рис. 2.5), то уравнения для реакции будут такими же, что и для балки без консолей. Учитывая, что функциональная зависимость между опорными реакциями RA и RB соответственно и координатой х является первой степени (см. выражение 2.1), поэтому продолжая прямые линии на консоли, получают линии влияния опорных реакций RA и RB. Форма линий влияния RA и RB и значения их ординат показаны на рис. 2.5. Построим линии влияния опорных реакций защемлённой балки, изображённой на рис. 2.6. В защемлении возникают две опорные реакции: МА и RA. Из условия равновесия А = 0 получаем МА + Fх = 0  МА = х. Тогда при х = 0 МА =   . Из уравнения проекций   F + RA  0  RA = 1. На рис. 2.6 показаны формы и значения ординат линий влияния опорных реакций МА и RA для консольной балки. x _ F=1 МА А x _ F=1 В а RА ℓ RВ 12 ℓ в RА 2.4. Линии влияния внутренних усилий При построении линий влияний внутренних усилий рассматривают два положения подвижной единичной силы  слева и справа от рассматриваемого сечения. При этом рассматривают равновесие той части балки, на которой в данный момент отсутствует подвижная сила. При построении линий влияния внутренних усилий считаем линии влияния опорных реакций известными. Пусть, например, требуется построить линию влияния изгибающего момента М, расположенного в сечении к на расстоянии а от левой опоры балки АВ, изображённой на рис. 2.7. Пусть подвижная сила F = 1 расположена справа от рассматриваемого сечения к. Тогда, рассматривая равновесие левой части балки, запишем выражение для определения момента в сечении к. к  RA а  правая прямая. (2.2) Выражение (2.2) говорит о том, что при положении подвижной силы F = 1 справа от рассматриваемого сечения к изгибающий момент к изменяется точно так же, как и опорная реакция RA, только ординаты л.в. RA изменены на постоянную величину а. При расположении силы F = 1 слева от сечения к из уравнения равновесия правой части балки АВ найдём выражение для к: к = RB(   а) левая прямая. _ F=1 К А а RА  (2.3) В 13 ℓ RВ Л.в. М Выражение (2.3) говорит о том, что при положении подвижной силы F = 1 слева от рассматриваемого сечения к изгибающий момент к изменяется точно так же, как и опорная реакция RВ, только ординаты л.в. RA изменены на постоянную величину (   а). Необходимо знать, что левая и правая прямые должны пересекаться обязательно под сечением и что правая прямая действительна справа до сечения, а левая  слева. Физический смысл любой из ординат л.в. к заключается в том, что она равна величине к именно в сечении к при расположении подвижной единичной силы F над этой ординатой. Размерность ординат л.в. к имеет размерность длины. При построении линии влияния QК в том же сечении к рассматриваемой балки АВ (рис. 2.8) так же, как и в предыдущем случае, подвижную силу F располагают поочерёдно справа и слева от рассматриваемого сечения к. При расположении подвижной силы F = 1 правее сечения к поперечная сила может быть найдена из выражения (2.4), полученного из уравнения равновесия левой части балки.   RA  Qк = 0  Qк = RA  правая прямая. (2.4) При расположении подвижной силы F =1 левее сечения к поперечная сила может быть найдена из выражения (2.5), полученного из уравнения равновесия правой части балки.   RВ + Qк = 0  Qк =  RВ  левая прямая. (2.5) Из анализа выражений (2.4) и (2.5) очевидно, что поперечная сила Qк при расположении подвижной силы справа и слева от сечения к будет из- 14 меняться как опорные реакции RA и RВ соответственно. _ F=1 К В А а RВ ℓ RА 1. Правая прямая Л.в. Qк . Левая прямая -1.0 Рис. 2.8 При этом левая и правая прямые оказываются параллельными, а «скачок» на л.в., расположенный под сечением, равен единице. Ординаты л.в. Q не имеют размерности. На рис. 2.9 показаны линии влияния внутренних усилий для сечений, расположенных между опорными связями двухконсольной балки. При построении линий влияния внутренних усилий для сечений, расположенных в консольных балках так же, как и в предыдущих случаях, рассматривают положение подвижной единичной силы слева и справа от сечения. Однако при любом положении силы рассматривается равновесие незакреплённой части балки. При этом положение подвижной силы «привязывают» не к опоре, как это имеет место при построении линий влияния усилий для двухопорной балки, а к сечению (рис. 2.10). Л.в. Мк груз справа. Рассматривая равновесие правой части балки, найдём Мк =  Fх  правая прямая. Тогда при х = 0 Мк = 0, а при х = а Мк = а;  груз слева. Рассматривая равновесие правой части балки, найдём Мк = 0. Л.в. Qк груз справа. Рассматривая равновесие правой части балки, найдём Qк = F = 1  правая прямая; груз слева. Рассматривая равновесие правой части балки, найдём Qк = 0  левая прямая. _ F=1 К К 2 1 А В в а RА ℓ 15 с RВ . в Рис. 2.9 x К _ F=1 К _ F=1 а Левая прямая Правая прямая . . Л.в. Мк -а Л.в. Qк 1 Рис. 2.10 2.5. Линии влияния усилий в сечениях многопролётных статически определимых балок Отличительной особенностью линий влияния опорных реакций и усилий в многопролётных статически определимых балках является то, что их построение начинают с той балки, в которой требуется построить линию влияния. Это делают так, как изложено ранее. После этого исследуют 16 влияние на рассматриваемое усилие различного положения подвижной единичной силы на других балках. На рис. 2.11 показан числовой пример построения различных линий влияния для многопролётной статически определимой балки. К1 А 4 К2 В 3 D С 6 К3 4 Е 3 2 Н G 8 12 6 3 1 Л.в. RА 0.667 1 Л.в. RН 0.444 2м Л.в. Мк -3м 1 4м -2.67м Л.в. Мк 3 0.4 1 Л.в. Qк 1 0.4 Л.в. Qк 2 -0.6 2.6. Определение усилийРис. с помощью линий влияния 2.11 17 Процесс определения усилий с помощью линий влияния называется загружением линий влияния. Загружение линий влияния осуществляется в соответствии с физическим смыслом ординаты линии влияния. Рассмотрим характерные виды внешних нагрузок. Совершенно очевидно, что, если любая ордината л.в. представляет собой величину искомого усилия при положении подвижной (сосредоточенной) силы F = 1 над этой ординатой, то действительное значение этого усилия (рис. 2.12) будет равно произведению заданного сосредоточенного значения силы F на значение ординаты, находящейся под этой силой. Произведение (2.6) считается положительным, если вектор сосредоточенной силы направлен вниз, а ордината л.в. положительна или если вектор сосредоточенной силы направлен вверх, а ордината л.в. отрицательна. Если над линией влияния находится система сосредоточенных сил, то в соответствии с принципом суперпозиции усилие S будет равно сумме произведений сил на соответствующие ординаты. Определение усилия с помощью линии влияния от действия на балку равномерно распределённой нагрузки интенсивностью q иллюстрируется на рис. 2.13. Элементарная сосредоточенная сила, выделенная из заданной, равна dF = q dℓ. Тогда элементарное усилие dSq от загружения л.в. сосредоточенной силой dF будет равно dSq = dF y = qd   y. b Полное усилие Sq =  q  y  d . a F SF  F  y ; n Л.в. S y S F   Fi  y i . (2.6) i 1 Рис. 2.12 После интегрирования получается, что усилие Sq от загружения л.в. равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q или от системы равномерно распределённых нагрузок различной интенсивности может быть определено: Sq = q   ; n Sq =  qi   i . (2.7) i 1 dF М q а y yа dℓ dℓ в 18 yв Л.в. S F F Л.в. S Произведение q   считается положительным, если вектор интенсивности распределённой нагрузки направлен вниз, а площадь л.в.  является положительной. При этом следует помнить, что в формулах (2.7) участвует вся площадь л.в., находящаяся в пределах действия распределённой нагрузки. При загружении л.в. сосредоточенным моментом М (рис. 2.14) удобно представить этот момент в виде пары одинаковых сил Fлев= F и Fправ = F, векторы которых направлены в противоположные стороны и расположены М на расстоянии d  друг от друга. Тогда М = Fd  F = . В этом случае d усилие SM в соответствии с (2.6) можно найти из выражения SM =  Fyлев + Fуправ . у прав  у лев После преобразований получим SM = М . d у прав  у лев Так как выражение представляет собой тангенс угла наd клона л.в. к базовой линии, можем записать выражения (2.8), первое из которых даёт возможность определить по л.в. усилие SM от действия одного сосредоточенного момента М, а второе  от действия системы таких моментов. n SM = М tg; SM =  М i  tg .I . (2.8) i 1 В (2.8) произведения считаются положительными, если направляющий вектор сосредоточенного момента М пытается «прижать» л.в. к базовой линии. 2.7. Кинематический способ построения линий влияния Кинематический способ построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений (принцип Лагранжа). Если система твёр- 19 дых тел, связанная между собой идеальными связями, находится в равновесии, то сумма работ всех заданных сил на любых сколь угодно малых возможных перемещениях равна нулю. Идеальными считаются такие связи, в которых отсутствуют трение, обмятия узлов и другие аналогичные явления. Возможными считаются такие перемещения, какие допускают идеальные связи. В соответствии с этим методом каждая линия влияния представляет собой эпюру перемещений. Рассмотрим построение линии влияния опорной реакции (рис. 2.15) для однопролётной балки АВ. Поместив подвижную единичную силу F в произвольную точку, отбрасывают опорную связь в точке А. Под действием силы F =1 балка АВ, ставшая механизмом, повернётся вокруг опоры В на угол , а перемещение точки под силой F=1 составит величину у. В соответствии с принципом Лагранжа можно записать следующее выражение: Fу  RA = 0. (2.9) Работа силы взята со знаком минус, так как сила RA противоположна направлению перемещения точки А. Учитывая то, что F =1, из (2.9) найдём RA = 1у. Если ординаты возможных пе_ ремещений выразить как функF=1 цию угловой скорости  возВ А можного вращения вокруг шарнира В, то выражение величины х ℓ RА RВ опорной реакции получит такой _ же вид, как и выражение (2.1), F= А  x В т. е. RA = F . Исходя из это RА го, когда подвижная сила F =1 y будет находиться над опорой А,  Л.в. RА  станет соблюдаться равенство у=. Рис. 2.15 При построении линии влияния момента для превращения балки АВ в механизм (рис. 2.16) в сечение, для которого требуется построить эту линию влияния, вводят условный шарнир. Высвободившееся усилие обозначают символом M. Введение шарнира даёт балке возможность провиснуть, и эпюра возможных перемещений такой балки охарактеризуется двумя 20 прямыми, взаимно пересекающимися на вертикали под шарниром. Восстановление равновесия может быть достигнуто приложением в рассматриваемом сечении двух равных взаимно противоположных моментов М. Выражение возможной работы в этом случае примет следующий вид: М МFy. (2.10) 1 у .  Величины угловых смещений  и  по их малости могут быть заменены тангенсами, а именно ка, тогда последнее выражение примет вид: Учитывая то, что F=1, из (2.10) найдём М = М= у у х .  а   к  _ F=1 К А В а М (2.11) М   α К y  α  Рис. 2.16 По выражению (2.11) можно найти ординаты линии влияния М. При построении линии влияния поперечной силы Q для превращения балки АВ в механизм (рис. 2.17) в сечение, в котором требуется построить эту линию влияния, вводят условное устройство, допускающее только взаимный сдвиг звеньев балки между собой. _ F=1 К А В а ℓ 21 _ F=1 Выражение возможной работы в этом случае примет вид  Qc Qc′ + Fy = 0. Откуда с учётом того, что с +с′ = , находят Q= у х  .   (2.12) 2.8. Определение расчётного положения подвижной системы нагрузок Расчётное положение подвижной системы сосредоточенных сил над линией влияния усилия S соответствует max или min искомой величины этого усилия. В общем случае искомое усилие S может иметь несколько экстремальных (max или min) значений. В тех случаях, когда искомое усилие S=f(x), представляет собой функцию положения системы сил на балке, и её первая производная, являющаяся непрерывной функцией, из условия dS/dx = 0 можно найти положение подвижной системы сосредоточенных сил, при которых S=f(x) достигает экстремального значения. Рассмотрим определение экстремального значения усилия S при загружении треугольных линий влияния. Для случая, когда вершина треугольника линии влияния находится в начале или в конце линии влияния (рис. 2.18), экстремальным положение подвижной системы сосредоточенных нагрузок будет тогда, когда вся наибольшая нагрузка находится над вершиной линии влияния или вся система нагрузок находится над всей линией влияния, начиная с её вершины. То или иное расположение нагрузки зависит от количественных значений каждой из нагрузок, составляющих данную подвижную систему. В случае, когда подвижная нагрузка представляет собой равномерно распределённую нагрузку, экстремальным будет такое (рис. 2.19) расположение этой нагрузки, когда ординаты этой линии влияния, находящиеся в начале и конце действия распределённой нагрузки ун и ук, будут равны 22 между собой. q F F F F Л.в. S Л.в. S yн yк Рис. 2.19 Рис. 2.18 При загружении треугольной линии влияния системой сосредоточенных подвижных сил (рис. 2.20), когда вершина линии влияния находится на некотором расстоянии а от её начала, любое усилие можно найти исходя из выражения n S   Fi  yi . (2.13) i 1 Если предположить, что вся система нагрузок сдвинулась вправо или влево, значение усилия получит приращение dS. В правой части равенства (2.13) ординаты изменятся на величину dxtgk. Тогда n dS   Fi tgidx. (2.14) i 1 F1 α1 F2 y1 Fi y2 Fn yi y α2 a Рис. 2.20 Сумма, стоящая в правой части равенства (2.14), представляет собой значение первой производной от величины S . Известно, что функция достигает своего экстремального значения, когда её первая производная равна 23 нолю. В соответствии с этим dS n   Fi  tgi = 0. dx i 1 (2.15) Но так как углы наклона 1, 2, …, k, …, n линии влияния остаются без изменения, выражение (2.15) может обратиться в ноль при условии, если изменяются величины некоторых сил F. Последнее условие возможно только при переходе какой-либо силы, называемой Fкр, через вершину линии влияния. Исходя из этого получены условия (2.16), определяющие экстремальное положение над треугольной линией влияния системы сосредоточенных подвижных нагрузок:   Fлев  Fкр  Fправ  ;  a b  F F  Fкр   лев   прав .  a b (2.16) В практике расчёта конструкций транспортных сооружений часто используют так называемую эквивалентную нагрузку. Эквивалентной называется такая равномерно распределённая нагрузка интенсивностью qэ, которая создаёт в рассматриваемом сечении такое же усилие, какое вызывает система из сосредоточенных нагрузок, установленная в экстремальном положении. При загружении линии влияния любого усилия системой сосредоточенных нагрузок усилие может быть найдено по выражению (2.6) n S F   Fi  y i . По данному определению эквивалентной нагрузки усилие в i 1 соответствии с (2.7) может быть найдено по выражению S  q э  . Приравнивая оба значения S, найдём n  Fi  yi qэ  i 1  . (2.17) Очевидно, что величина эквивалентной нагрузки зависит от вида и очертания линии влияния. Однако для подобных между собой линий влияния, которые могут быть построены одна из другой изменением всех ординат в одном и том же соотношении, эквивалентные нагрузки имеют одинаковую интенсивность 2.9. Узловая передача нагрузки 24 В конструкциях транспортных сооружений внешняя, в частности подвижная, нагрузка на несущие элементы передаётся через вспомогательные элементы. Имеет место так называемая узловая передача нагрузки. В этом случае обобщение закона о линиях влияния требует, чтобы последние в характере своего изменения удовлетворяли, с одной стороны, основному свойству линии влияния, по которому (рис. 2.21) усилие определяют по формуле S F  F  y ; с другой стороны, чтобы эта величина удовлетворяла условию передаточного действия нагрузки, по которому S  Fn y n  Fn 1 y n 1 . _ F=1 По правилу рычага нагрузку F раскладывают на нагрузки Fn и n n+1 Fn+1, являющимися узловыми наFn Fn+1 d грузками dx x Fn  F ; Fn 1  F . (2.18) d d Л.в. S yn+1 y yn Рис. 2.21 _ F=1 А В к а ℓ ℓ-а а Левая прямая Правая прямая 1 Правая прямая -1 Левая прямая Рис. 2.22 Отсюда следует, что при узловой передаче нагрузки линия влияния из- 25 меняется между узлами по закону прямой. На рис. 2.22 показаны примеры построения линий влияния при узловой передаче нагрузки. 2.10. Определение усилий в матричной форме При решении многих задач строительной механики удобным оказывается использование матричного аппарата линейной алгебры. На основании принципа суперпозиций запишем аналитические выражения для определения любых внутренних усилий S в различных сечениях стержня, подверженного действию системы сосредоточенных сил.  S1  s11  F1  ...  s1i  Fi  ...  s1k  Fk ; ........................................................  S i  si1  F1  ...  sii  Fi  ...  sik  Fk ; ..........................................................  S n  s n1  F1  ...  s ni  Fi  ...  s nk  Fk .  (2.19)  В выражении (2.19) sij i  1, n; j  1, k  усилие в i -м сечении от действия силы F j  1 . В матричной форме эта система уравнений может быть записана в виде S  Ls  F . (2.20) В  выражении F  F1 ...F j ...Fk (2.20) вектор искомых усилий S  S1...Si ...Sn  ; Т  транспонированный вектор внешних нагрузок. s11 . s1i . . . Ls  si1 . . . sii . sn1 . sni . s1k . . . . sik .  матрица влияния усилия. (2.21) . snk Из выражения (2.21) видно, что элементами матрицы влияния являются ординаты линий влияния того усилия, матрица влияния которого строится. При определении усилий в матричной форме любая задача решается шире, чем это имеет место при определении усилия с помощью линии влияния. В этом случае охватывается сразу несколько сечений рассматриваемой конструкции. Размер матрицы влияния Ls зависит от числа участков, на которые разбивают рассчитываемую конструкцию. 26 Рассмотрим, например, построение матрицы влияния Lm моментов. Для этого возьмём двухопорную шарнирно опёртую с обеих сторон балку (рис. 2.23), разделённую на пять (n) равных по длине участков. Длина каждого участка d=  . Если в точках 1,2,3,4 приложены какие-то сосредоточенные n силы F, то изгибающий момент М в каждом из этих сечений определится в соответствии с (2.19) из выражений (2.21)  M 1  F1  m11  F2  m12  F3  m13  F4  m14 ;  M 2  F1  m21  F2  m22  F3  m23  F4  m24 ; M  F  m  F  m  F  m  F  m ;  M 3  F1  m31  F2  m32  F3  m33  F4  m34 .  4 1 41 2 42 3 43 4 44 А 1 2 3 d d m11 d m12 (2.22) В 4 d m13 d . m14 Л.в. М1 m21 m31 m41 m22 m23 m33 m32 m24 Л.в. М2 m34 Л.в. М3 m43 m42 m44 Л.в. М4 Рис. 2.23    В матричной форме выражения (2.22) примут вид M  Lm  F , где М  вектор-столбец искомых моментов; F  вектор-столбец внешних нагрузок. Из рис. 2.23 и выражений (2.22) ясно, что элементами матрицы влияния Lm являются ординаты линий влияния моментов М для каждого сече- 27 ния соответственно. Для данного вид: m11 m12 m13 m m22 m23 Lm  21 m31 m32 m33 m41 m42 4d n 3d Lm  n 2d n 1d n 3d n 6d n 4d n 2d n m43 2d n 4d n 6d n 3d n примера эта матрица примет следующий m14 m24 m34  матрица влияния моментов. m44 1d n 4 2d n d 3 3d n 2 n 1 4d n 3 2 1 6 4 2 4 6 3 2 3 4 . (2.23) Из анализа структуры матрицы влияния Lm наблюдается закономерность в определении элементов матрицы влияния моментов. Исходя из этого любой элемент матрицы влияния моментов может быть определён по формулам. При i j mij=(d/n)(n j); при i j mij=(d/h)(ni). Рассмотрим пример построения эпюры М для балки (рис. 2.24), нагруженной системой сосредоточенных сил F. Пролёт балки  =10 м разделён на пять частей, т.е. n=5. Тогда длина  одной части составит d  . F1 = 5кН; F2 = 15кН; F3 = 5кН. n Построение эпюры М будем осуществлять в соответствии с выражением (2.19), которое в матричной форме имеет вид   M  Lm  F . (2.24)   При этом вектор-столбец искомых моментов M , вектор-столбец F и матрица влияния моментов Lm приобретают следующий вид: М  M1 М 2 ; M3 M4 А F1 Lm  F2 1 d 4 3 2 1 F  01 FF ; 2 F3 d d В F3 328 2 d 3 6 4 2 . n2 4 6 3 1 2 3 4 4 d d Подставляя полученные матрицы в выражение (2.24) и совершая операцию перемножения матриц, получаем вектор-столбец искомых усилий  изгибающих моментов М. 4 3 M1  M 23 6 M  M2  3 52 4 M4 1 2 2 1 5 22 4 2 0   34 . 6 3 15 46 5 28 3 4 По полученному вектору искомых изгибающих моментов построена эпюра М (см. рис. 2.24). Матрицы влияния моментов для консольных балок имеют следующий вид: 0 1  2 Защемление слева Защемление справа   . n Lm  d . . 1 . . .  n  1 . . . 1 . 1 . . . . . . . 1 Lm  d  n  1 . n 3. РАСЧЁТ РАСПОРНЫХ СИСТЕМ 29 .  2 1 0 3.1. Общие сведения Распорной называется такая система, в результате действия на которую вертикальных внешних нагрузок в ней возникают наклонные опорные реакции. На рис. 3.1 показаны два типа распорных систем. F VА VА VА С R R VВ H HВ А HА А R R HА В В С F а б Рис. 3.1 При расчёте распорных систем наклонную опорную реакцию R разлагают на две составляющие  вертикальную V и горизонтальную Н. Горизонтальная составляющая опорной реакции Н называется распором. Если горизонтальная составляющая Н направлена вовнутрь конструкции, то такую конструкцию называют арочной системой (рис. 3.1, а), если наружу  висячей системой (рис. 3.1, б). В настоящем курсе рассматривается только арочная система (арка). По степени статической определимости различают арки: трёхшарнирные (рис. 3.2, а), двухшарнирные (рис. 3.2, б) и бесшарнирные (рис. 3.2, в). а б в Рис. 3.2 Арки могут быть как сплошными, так и решётчатыми. Опоры арки могут располагаться как в одном уровне, так и в разных уровнях. Конструктивные элементы арки показаны на рис. 3.3:   пролёт арки; f  стрела подъёма арки; шарниры А и В называются пятовыми, а шарнир С  замковым. Элемент арки между шарнирами А и С называется левой полуаркой, а между шарнирами В и С  правой полуаркой. По отношению стрелы подъёма арки к её длине различают следующие 30 типы арок: f 1   подъёмистая арка;  5 y f 1   пологая арка.  5 С f А В х ℓ Рис. 3.3 Ось арки может быть очерчена различными кривыми. Наиболее часто в практике транспортного строительства используется парабола, описанная выражением (3.1), и дуга окружности, описанная выражением (3.2). y 4f 2 x   x   парабола. (3.1) Тригонометрические функции, соответствующие параболе, имеют сле4f 1 дующий вид: tg =   ; cos = ; sin = cos  tg.   2 x 2 1  tg 2  2   у  R    x  R  f  дуга окружности. (3.2) 2  Тригонометрические функции, соответствующие дуге окружности имеют 2 следующий вид: f 2 R  2 8f ; sin   yR f   2x ; cos   2R R . В последних формулах R  радиус окружности. 3.2. Расчёт трёхшарнирной арки на статическую нагрузку Как и любой расчёт, расчёт трёхшарнирной арки начинают с определения опорных реакций. На рис. 3.4 изображена арка с пятами на одном уровне, находящаяся под воздействием системы внешних нагрузок. Вертикальные составляющие Va и Vb опорных реакций Ra и Rb находят из рассмотрения пролёта арки, как пролёта балки. Тогда из МВ = 0 нахо- 31 дят: VA M B0   , а из М А  M A0   . = 0  VB  М F q y К RА RВ С VВ VА HА x HВ ℓ1 А ℓ2 В ℓ F VА q М VВ К Рис. 3.4 Здесь  М А0  В  представляет собой так называемый балочный момент, т.е. момент, создаваемый вертикальными силами. Для определения горизонтальных Нa и Нb составляющих опорных реакций Ra и Rb рассмотрим равновесие арки в целом, составив уравнение статики суммы проекции всех сил, действующих на арку, на горизонтальную ось х. х=Нa  Нb = 0  Нa = Нb = Н. Далее, составляя уравнение моментов относительно замкового шарнира С, рассматривая при этом равновесие либо левой, либо правой полуарок, можно записать  М справ   М с0прав   Н  f  0; (3.3)  М слев  Исходя из (3.3) находят М с0 лев   Н  f  0. М с0прав   Н M c0 лев    . (3.4) f f Для определения в произвольном сечении арки внутренних усилий 32 мысленно в этом сечении проводят плоскость, нормальную к оси арки (рис. 3.5). Положение плоскости определяется координатами её центра тяжести хк, ук и к. v Nах а Qх φах М ах К y yх VА HА А х Рис. 3.5 Отделяемая этим сечением любая из частей арки находится в равновесии под действием приложенных к рассматриваемой части арки внешних сил и равнодействующей R внутренних сил, приложенной к плоскости сечения. С отнесением равнодействующей R в центр тяжести сечения внутренние усилия в сечении арки будут определяться изгибающим моментом Мх, поперечной силой Qx и продольной силой Nx. Рассматривая равновесие оставшейся части арки (см. рис. 3.5), составляют уравнение моментов относительно сечения к и уравнения проекций всех сил на нормаль  и касательную к оси арки в точке к соответственно. Исходя из этого получены выражения M xa  M x0  H  y x ; (3.5) Qxa  Qx0  cos  k  H  sin  k ;  N xa   Qx0 sin k + H cos k (3.6)  (3.7) По приведённым формулам строят эпюры внутренних усилий, предва- 33 рительно определив геометрические параметры каждого рассматриваемого сечения трёхшарнирной арки. 3.3. Расчёт трёхшарнирной арки на подвижную нагрузку Расчёт на подвижную нагрузку предполагает построение линий влияния всех искомых параметров, определяющих напряжённо-деформированное состояние рассчитываемой конструкции. Как обычно, расчёт начинают с построения линий влияния опорных реакций. Линии влияния вертикальных Va и Vb составляющих опорных реакций (рис. 3.6) строят в точности так же, как строят линии влияния опорных реакций в двухопорной без консолей балке. При этом пролёт арки рассматривается как пролёт балки с длиной пролёта, равной расстоянию между пятовыми шарнирами А и В. Линия влияния горизонтальной (распора Н) составляющей опорной реакции может быть построена в соответствии с выражением (3.4), согласно которому Л .в.М с0 Л .в. Н  . (3.8) f Из (3.8) видно, что линия влияния распора имеет в точности такой же вид, что и линия влияния изгибающего момента для сечения С, построенного из рассмотрения пролёта арки как пролёта простой двухопорной балки (см. рис. 3.5). В соответствии с этим все ординаты данной линии влияния поделены на постоянную f , равную стреле подъёма арки. Линия влияния изгибающего момента М ка в произвольном сечении к арки, находящемся на расстоянии х от левой опоры, может быть построена исходя из формулы (3.5): Л .в. М ка  Л .в. М к0  Л .в. Н  у к . (3.9) В соответствии с этим выражением л.в. М ка представляет собой алгебраическую сумму двух линий влияния  линии влияния балочного момента и линии влияния распора Н, ординаты которой умножают на постоянную величину ук. На рис. 3.7, а показано построение М ка путём геометрического (метода наложений) сложения указанных линий влияния. На рис. 3.7, б показано построение л.в. М ка на базовой линии как результат алгебраического сложения двух разнозначных линий влияния. Построение линии влияния поперечной силы Q основывается на фор- 34 муле (3.6) и соответствует выражению Л .в. Qka  Л .в. Qk0  cos k  Л .в. Н  sin k . (3.10) _ F=1 VА С VВ HА f HВ А В ℓ1 ℓ2 ℓ _ F=1 А В VА VВ Л.в. VА 1 Л.в. VВ 1 Л.в. Н ℓ1 ℓ2 f Рис. 3.6 Согласно (3.10) л.в. Qka представляет собой геометрическую сумму двух линий влияния  балочной линии влияния Qk0 , построенной для сечения к из рассмотрения пролёта арки как пролёта балки, и линии влияния 35 распора Н , умноженных соответственно на значения cos  k и sin  k , имеющих место в сечении к. На рис. 3.8 показано построение л.в. Qka так называемым методом наложения. Как и в предыдущем случае, на базовой линии (рис. 3.8, б) показано сложение двух линий влияния. Построение линии влияния продольной силы N ka , согласно формуле (3.7), можно осуществить по выражению   Л .в. N ka    Л .в. Qk0  sin k  Л .в. H  cos k  .   (3.11) На рис. 3.9 показано построение этой линии влияния. _ F= RВ RА К С f А а ℓ1 ℓ2 um ℓ- um ℓ Л.в. М0к Л.в. Н-yк а б Л.в. Мак Рис. 3.7 Анализ всех трёх линий влияния показывает, что на каждой из них есть 36 такая точка, при положении над которой единичной подвижной силы искомое усилие равно нулю. Эта точка называется нулевой и может быть использована для геометрического построения указанных линий влияния. При использовании геометрического метода нулевых точек для получения аналитических значений ординат этих линий влияния необходимо знать расстояния UM, UQ и UN соответственно. Эти расстояния можно найти из рассмотрения подобия соответствующих треугольников, получившихся в процессе построения линий влияния. На рис. 3.6, 3.7 и 3.8 показаны эти треугольники, из подобия которых получены следующие формулы:  f Для л.в. М ка . (3.12) UM   yk f   2    a 2   _ F=1 RВ RА К С f φк А а В ℓ1 ℓ2 uQ ℓ- uQ ℓ Л.в. Q0к а cos φк Л.в. Н-yк б cos φк Л.в. Qак Рис. 3.8 37 Для л.в. Qka UQ    tg f ; tg  . tg k  tg 2 (3.13) D _ F=1 К RА RВ С f φк А а ℓ1 uN В ℓ2 ℓ Л.в. Q0к sin φ а sin φк Л.в. Н cos φк sin φк Л.в. Nак б Рис. 3.9 Для л.в. N ka UN   tg . ctg k  tg (3.14) В случае расположения сечения к на правой полуарке формулы (3.12), (3.13) и (3.14) можно использовать с учётом того, что эти расстоя- 38 ния необходимо отмерять от правой пятовой опоры В. к1 RВ RА А _ F=1 φк f В cos φк Л.в. Qак uQ Рис. 3.10 RВ _ F=1 RА к1 f φк cos φк Л.в. Qак uQ Рис. 3.11 Рассмотрим два частных случая построения л.в. Qka , показанных на 39 рис. 3.10 и 3.11. Если сечение, например к1, расположено на левой полуарке ближе к замковому шарниру С, то направление вектора опорной реакции Rа пересечёт направление опорной реакции Rb в точке (нулевой точке), расположенной над правой полуаркой (см. рис. 3.10). Но между двумя шарнирами (в данном случае С и В) усилие должно изменяться по закону прямой линии. Если сечение, например к2, расположено на левой полуарке таким образом, что направления опорных реакций Rа и Rb пересекутся в шарнире С, то правая прямая (см. рис. 3.11) будет совпадать с базовой линией. 3.4. Определение напряжений в сечениях арки Нормальные напряжения в поперечных сечениях арки, испытывающих деформацию внецентренного сжатия, определяют по формуле, известной из курса сопротивления материалов:  N M  e. A J (3.11) В (3.11) А  площадь поперечного сечения арки; J  момент инерции сечения; е  расстояние от нейтральной линии сечения до той точки, в которой определяется напряжение. Наибольшее значение напряжения будет соответствовать невыгоднейшему загружению линий влияния для нормального усилия N и изгибающего момента М . Из сопоставления этих линий влияния, представленных на рис 3.7 и 3.9, видно, что пределы невыгоднейшего загружения этих линий влияния различны, вследствие чего определять наибольшее напряжение приходится в трёх предположениях: 1) определить наибольшее положительное значение М и вычислить соответствующее этому загружению значение N ; 2) определить наибольшее отрицательное значение М и вычислить соответствующее этому загружению значение N ; 3) определить наибольшее значение N , вычислить соответствующее ему значение М . По формуле (3.11) определяют нормальные напряжения, соответствующие каждой схеме загружения линий влияния М и N. Для конструирования сечения арки принимают наибольшее из трёх значений найденных нормальных напряжений. Избежать тройного загружения двух линий влияния можно, пользуясь расчётом при помощи ядровых моментов. Двухчленная форма нормального напряжения может быть приведена к одночленной, если за точку моментов взять не точки К1 и К 2 ядра сечения (рис. 3.12). 40 n y n N N с1 С К1 К1 с2 e С h К2 с1 с2 К2 e m N Q m b R Поперечное сечение арки Рис. 3.12 Пусть расстояния крайних точек ядра сечения от оси арки будут с1 и с2 соответственно, а расстояние точки приложения нормальной силы N от оси арки е. Равнодействующую левых сил R разложим на две составляющие N и Q. В одной из крайних точек ядра сечения, например в верхней точке к1, приложим перпендикулярно сечению две взаимно уравновешенные силы N . В результате в сечении будет приложено три силы N, которые могут быть теперь сведены к паре с моментом M  N  (е  с1 ) и продольной силе N, действующей в крайней верхней ядровой точке к1. Величина нормального напряжения в нижней точке m сечения может N e  c1  быть найдена по формуле  m  , т.к. от силы N, приложенной в Wm верхней ядровой точке, нормальные напряжения в нижней точке m сечения равны нулю. Аналогично можно получить формулу для определения N e  c 2  напряжения в верней точке сечения n:  n  . Wn к1  к2  Числители двух последних формул обозначают как М ядр и М ядр со- ответственно и называют ядровыми моментами. Окончательно формулы для определения нормальных напряжений в крайних точках сечения принимают вид m  к1  M ядр Wm и 41 n   к2  M ядр Wn . (3.12) _ F=1 К1 К К2 А С f В аК1 а аК2 аК1 Л.в. МяК1 um 1 аК2 Л.в. МяК2 um 2 Рис. 3.13 Для того чтобы найти по этим формулам наибольшее напряжение при невыгодном загружении, остаётся построить линии влияния так называемых ядровых моментов М к1 и М к2 соответственно для крайних верхней и нижней точек к1 и к 2 ядра сечения. На рис. 3.13 показано построение этих линий влияния методом нулевой точки. Расстояния U M k и U M k можно на1 2 ходить по формуле (3.12), только учитывать при этом угол наклона  , который составляет горизонталь с касательной, проведённой к оси арки в том сечении, в котором определяется напряжение. 3.5. Рациональное очертание оси арки Рациональной осью трёхшарнирной арки заданного пролёта и заданной стрелы подъёма называется такая ось, при которой требуемые усло- 42 виями прочности поперечные сечения арки будут наименьшими. Очевидно, что наименьшая величина нормального напряжения, согласно выражению (3.11), будет в том случае, когда значение изгибающего момента в сечении будет равно нулю. Последнее же возможно в том случае, когда равнодействующая внутренних проходит через центр тяжести поперечного сечения арки. Этому условию должны удовлетворять все сечения арки. Рассмотрим типичный случай загружения, когда арка находится под действием равномерно распределённой нагрузки (рис. 3.14). Исходя из определения рациональной оси арки приравняем к нулю выражение (3.5). M xa  M x0  H  y x  0 . (3.13) Из этого выражения следует, что М х0 ух  . Н (3.14) Рассмотрим частный случай, когда замковый шарнир С расположен в середине пролёта арки. Величина балочного изгибающего момента, как известно, может быть определена из выражения M x0  q  x   x  . 2 (3.15) Распор Н для симметричного расположения замкового шарнира будет соответственно равен H q 2 . 8f (3.16) Подставляя (3.15) и (3.16) в выражение (3.14), получим выражение, описывающее рациональное очертание оси арки, загруженной равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q , при расположении замкового шарнира в середине пролёта арки. q  x  x  2 yx  . q 2 8f 43 (3.17) После арифметических преобразований выражения (3.17) получим выражение, описывающее рациональное очертание оси арки. yx  y 4f  x  x  . 2 (3.18) q y С x f В НА х ℓ q • А В С x Рис. 3.14 Анализ выражения (3.18) свидетельствует о том, что в данном частном случае нагружения трёхшарнирной арки рациональной оказалась ось, описанная по квадратной параболе. Аналогичным методом можно вывести любую формулу, описывающую рациональное её очертание в зависимости от характера внешнего нагружения трёхшарнирной арки. Однако, как показывает опыт, технологически осуществить такие конструкции практически невозможно. 44 4. ПЛОСКИЕ СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛОЧНЫЕ ФЕРМЫ 4.1. Понятие о ферме Фермой называется стержневая система, прямолинейные стержни которой соединены шарнирами. Фермы имеют такое же назначение, как и балки сплошного сечения, только для больших пролетов, и различаются по следующим признакам: 1) характеру очертания внешнего контура; 2) типу решетки; 3) типу опорных связей фермы; 4) назначению; 5) уровню езды. По характеру очертания внешнего контура различают фермы с параллельными поясами (рис.4.1) и с полигональным очертанием поясов (рис. 4.3). По типу решетки различают фермы с треугольной решеткой (см. рис. 4.3), с раскосной решеткой (см. рис. 4.3), с полураскосной решеткой (см. рис. 4.1) и многорешетчатые (рис. 4.2). Рис. 4.1 Рис. 4.2 Рис. 4.3 45 Рис. 4.4 По типу опорных связей различают фермы: балочные (см. рис. 4.3), арочные (рис. 4.4) и консольные (см. рис. 4.1). По конструктивному назначению различают фермы стропильные, крановые, мостовые и др. Мостовые фермы по уровню езды делятся на фермы с ездой поверху, с ездой понизу и с ездой посередине. Реальные фермы являются многократно статически неопределимыми системами, так как стержни в узлах соединены между собой жестко. Точный расчет таких ферм требует выполнения объемных вычислений. Однако, как показывают сравнительные расчеты, при действии на стальные фермы узловой нагрузки усилия в стержнях ферм с жесткими узлами мало отличаются от усилий в ферме с шарнирным соединением стержней в узлах. Это позволяет определять усилия в стержнях ферм методом сечений, применяя способы вырезания узлов, моментной точки, проекций. 4.2. Линии влияния усилий в стержнях ферм При построении линий влияния усилий в стержнях ферм рассматривают два положения единичной силы F  слева и справа от рассечённой панели ездового полотна. Так как ферма – это конструкция с узловой передачей нагрузки, линии влияния усилий в стержнях будут иметь вид ломаной линии с вершинами под узлами. Если для определения усилия используется способ вырезания узлов, то рассматривается статическое равновесие узла для двух положений единичной безразмерной силы F = 1: в узле и вне узла (рис. 4.5). В случае определения усилий методом сечений линия влияния состоит из трех отрезков прямых: левой прямой, правой прямой и соединительной прямой. Левая прямая соответствует положению F = 1 слева от рассекаемой панели, правая прямая F = 1  справа от рассекаемой панели, а переходная прямая проходит через ординаты под узлами рассекаемой панели. Рассмотрим построение линий влияния усилий в вертикальных элементах для фермы на рис. 4.6.Чтобы построить линию влияния усилия V5-6, необходимо вырезать узел 5 и рассмотреть равновесие для двух положений подвижной силы F = 1: 46 1) сила F = 1 находится в любом узле, кроме узла 5 (см. рис 4.6,а). Тогда   -V5-6 = 0; 2) сила F = 1 находится непосредственно в узле 5 (см. рис. 4.6,б):   F – V5-6 = 0  V5-6= 1. Результат построения линии влияния усилия V5-6 приведён на рис. 4.6. V5-6 V5-6 Узел 5 Узел 5 U3-5 U3-5 U5-7 U5-7 F=1 а Рис. 4.5 б Для построения линии влияния усилия V3-4 необходимо рассечь ферму в панелях 1 – 3 и 4 6 и рассмотреть равновесие левой отсеченной части (при этом F=1 оставляем в правой отброшенной части фермы).   RА – V3-4  0  V3-4  RА. Таким образом, получена правая прямая (по положению силы F=1 справа от рассечённой панели), которая справедлива до тех пор, пока единичная сила находится правее узла 3 (езда понизу). Точка Риттера (моментная точка) лежит в бесконечности, потому что два других неизвестных усилия, попавших в сечение (U1-3 и O4-6), параллельны и не пересекаются. В связи с этим левая прямая должна пройти через ноль на левой опоре и быть параллельна левой прямой. Левая прямая справедлива до тех пор, пока подвижная сила F = 1 располагается левее узла 1. Переходная прямая соединяет ординаты под узлами 1 и 3 рассекаемой панели 1  3. Построение линий влияния усилий в элементах поясов фермы рассмотрим на примере фермы, представленной на рис. 4.7. Для определения усилия U3-5 необходимо рассечь ферму в панелях 3 – 5 и 4  6 и рассмотреть равновесие левой отсеченной части (рис. 4.7, а) (при этом F = 1, как и в предыдущем случае, оставляем в правой отброшенной части фермы). Составим уравнение моментов относительно моментной точки 4: 1,5d Млев4 RА1,5– U3-5 h  0  U3-5 RА. h Полученная правая прямая справедлива тогда, когда подвижная сила F = 1 находится правее узла 5. Для построения левой прямой снова соста- 47 вим уравнение моментов относительно моментной точки 4, рассматривая равновесие правой отсечённой части (рис 4.7, в): Мпр4 -RB  2 d + U3-5  h  0  U3-5  1,5d RB. h Аналогично строится линия влияния усилия O4-6. Моментной точкой для данного стержня является узел 5. 2 а h 4 6 8 10 _ F=1 1 3 d 9 5 7 1 б Л.в. V5-6 2 4 в O4-6 Сечение V3-4 1 U1-3 RА 1 Правая прямая Л.в. V3-4 г Левая прямая Переходная прямая Рис. 4.6 Усилие в раскосе D2-5 для фермы, представленной на рис. 4.8, можно определить, также рассекая ферму через панели 2  4 и 3  5. Моментной точкой для данного стержня является точка к. Из уравнения моментов от- 48 носительно этой точки определим положение правой прямой линии влияния D2-5. Мк  D2-5  r2-5  RA c  0  D2-5  RАс / r2-5. Левая прямая проходит через ноль на левой опоре и пересекается с правой прямой под моментной точкой к. Переходная прямая соединяет ординаты под узлами 3 и 5 рассекаемой панели 3 – 5. 2 а 4 O4-6 6 D4-5 h 1 d 3 U3-5 _ F=1 5 9 7 1.5d h Правая прямая Левая прямая б 8 Л.в. U3-5 Переходная прямая  2d h Левая прямая Переходная прямая Правая прямая Л.в O4-6 в Рис. 4.7 4.3. Загружение линий влияния усилий в стержнях ферм Для некоторых стержней линии влияния усилий будут иметь различный вид для езды поверху и езды понизу (рис. 4.9). В связи с этим усилия в стержне будут зависеть от того, к узлам какого пояса, верхнего или нижнего, приложена нагрузка. Например, чтобы вычислить усилие в стержне V3-4 для силы Fв, действующей на узел 4, необходимо её величину умножить на ординату yв линии влияния (см. рис. 4.9, в). Для определения 49 усилия от Fн, приложенной в узле 3 нижнего пояса, величина V3-4 определяется путём умножения Fн на yн линии влияния (см. рис. 4.9, б). Сечение O2-4 2 • r2-5 RА 6 4 8 10 _ F=1 D2-5 13 к 1 3 U3-5 d с 7 5 с r2-5 11 9 Правая прямая О Л.в. D2-5 Переходная прямая Левая прямая Рис. 4.8 а 2 Fв 4 6 8 10 h 1 9 3 б 5 Fн 7 d yн 1 Л.в. V3-4 Езда понизу в 1 Л.в. V3-4 Езда поверху yв Рис. 4.9 50 5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В УПРУГИХ СИСТЕМАХ 5.1. Основные понятия и обозначения Всякое сооружение под действием приложенных к нему внешних нагрузок (сосредоточенные и распределённые нагрузки, ветер, температура и др.) изменяет свою первоначальную форму, т.е. все точки этого сооружения получают перемещения. Определение перемещений осуществляют для того, чтобы оценить жёсткость сооружения. Для определения перемещений необходимо знать работу внутренних сил, возникающих в сооружении в результате действия на него внешних нагрузок. В инженерной практике расчёт, связанный с определением перемещений, сводится к определению перемещений от действия внешних нагрузок, не вызывающих напряжений в поперечном сечении больше предела упругости. Такие перемещения называются упругими. Пусть отрезок ab, принадлежащий какому-то элементу конструкции, помещённый в прямоугольную систему координат и имеющий длину ds до деформирования элемента конструкции, занимал положение, показанное на рис. 5.1. y •b dS+ΔdS vb а ' Δb α +Δα • Δа vа • dS ' • α • b • а x Uа Рис. 5.1 После деформирования элемента конструкции этот отрезок займёт положение a b . При этом длина его изменится на величину ds , а первоначальный угол   на величину  . Тогда расстояние аа  будет составлять полное перемещение точки а, а bb  точки b ;   угловое перемещение 51 отрезка ab ; u a и u b  есть суть линейные перемещения точек а и b вдоль оси х соответственно, v a и v b  вдоль оси у, w  вдоль оси z (это перемещение на рис. 5.1 не показано, т.к. оно перпендикулярно плоскости чертежа). Рассмотрим определение упругих перемещений. Полное перемещение обозначается символом km . Индексы у перемещения несут следующую смысловую нагрузку: первый индекс (в данном случае k ) указывает на направление искомого перемещения; второй индекс (в данном случае m ) указывает на причину, вызвавшую это перемещение. На рис. 5.2 показана иллюстрация индексов перемещений для балок, нагруженных разным типом нагрузок. F ∆mk ∆kk Mm ∆mm ∆km Рис. 5.2 Перемещения, вызванные действием силовых факторов, равных единице, называются единичными (удельными) и обозначаются  km или  mm . На основе принципа суперпозиции при определении перемещений используется зависимость km  F1   k1  ...  Fi   ki  ....  Fn   km . (5.1) 5.2. Действительная работа внешних сил При определении работы внешних сил рассматривается статическое приложение нагрузки, когда они в процессе приложения к конструкции медленно возрастают от 0 до какого-то конечного значения и в дальнейшем остаются неизменными. Из сопротивления материалов известно, что работа, производимая силой F1 на перемещении в направлении k, вызванном этой силой, равна пло- 52 щади треугольника ОАВ графика, показанного на рис. 5.3. В соот-ветствии с этим действительная работа внешних сил описывается фор-мулой А F W  1  F1   k1. 2 F1 (5.2) Δ Δк 1 Рис. 5.3 5.3 Обобщённые силы и обобщённые перемещения Под обобщённой силой будем понимать любое силовое воздействие. Под обобщённым перемещением будем понимать условное перемещение, определённое из того, что произведение обобщённой силы на обобщённое перемещение равно возможной работе. Сказанное поясним примерами. F F Пример 1. a b F F b' a' W=F·∆a +F·∆b = F·(∆a+∆b)= F*·∆*, где F*  обобщённая сила; ∆*  обобщённое перемещение. ∆a ∆b F Пример 2. b a W=F·∆a -F·∆b =F·[(ρ +h) ·∆φ - ρ·∆φ]= F·h·∆φ = M* ·∆*, F ρ где M*  обобщённая сила; ∆* обобщённое перемещение. 53 ∆b F ∆a F b' a' ∆φ b Пример 3. F 2F 3F 2F 5F А=F·∆1+2F·∆2+3F·∆3+2F·∆4+5F·∆5=F*·∆*, ∆1 ∆2 ∆3 ∆4 где F*  обобщённая сила; ∆*  обобщённое перемещение. ∆5 Здесь же необходимо дать понятие о действительной и возможной работе. При деформации тела внешние силы совершают работу на перемещениях точек приложения этих сил. Внутренние силы совершают работу на соответствующих им деформациях, которые могут быть как линейными, так и угловыми. Работа называется действительной, если она производится на перемещениях, вызванных теми же силами. Работа называется возможной, если она производится на перемещениях или деформациях, вызванных другими силами. 5.4. Действительная работа внутренних сил Выделим из конструкции, подверженной внешнему силовому воздействию, бесконечно малый элемент (рис. 5.4) длиной dℓ, на гранях которого имеют место внутренние силовые факторы M, Q и N. dℓ + ∆·dℓ е. M Q Q M N N N dℓ N dℓ Рис. 5.4 Рис. 5.5 54 Внутренние силовые факторы противодействуют изменению длин волокон материала, изгибу, сдвигу. Поэтому действительная работа, создаваемая внутренними силовыми факторами, будет отрицательной. В формулах для определения таких работ в этой связи ставят знак минус. На основании принципа суперпозиции найдём работу, совершаемую каждым из этих внутренних силовых факторов на вызванных ими перемещениях. 1. Работа продольных сил. Силы N вызвали изменение первоначальной длины элемента на величину d (рис. 5.5). Возникшие при этом внутренние усилия будут равны по величине внешним силам и противоположны по знаку. Из курса сопротивления материалов известно, что изменение длины стержня при деформации «растяжениесжатие», когда на стержень действует сосредоточенная продольная сила N, определяют по формуле d  N  d . EA (5.3) Элементарная работа внутренних сил на совершаемых ими перемещениях (в данном случае d ), согласно приведённому здесь определению действительной работы, может быть определена в соответствии с (5.2) по формуле 1 W  N     N  d . 2 (5.4) Подставляя в выражение (5.4) выражение (5.3), получают формулу для определения элементарной работы: 1 Nd N 2 d W  N     N   . 2 EA 2 EA (5.5) Тогда в целом по стержню продольная сила N совершит работу W N   N 2 d   . 2EA (5.6) В случае действия на стержень системы продольных сил N, выражение (5.6) принимает следующий вид: 55 N i2 d . 2 E A i 1  i i n W N     (5.7) 2. Работа изгибающего момента. O d φ ρ M A Под действием изгибающего момента М (рис. 5.6) произойдёт взаимный поворот сечений бесконечно малого элемента длиной d . При этом элементарная работа, совершаемая сосредоточенным моментом М, будет равна 1 W M     M  d . 2 (5.8) M B dℓ Рис. 5.6 В сопротивлении материалов при рассмотрении чистого изгиба полу1 М чено следующее соотношение: . Из рассмотрения треугольника   ЕJ d ОАВ (см. рис. 5.6) очевидно, что d  . Подставляя эти соотношения в  выражение (5.8), получим W M    M  d . 2 EJ (5.9) Выражение работы в целом для всего стержня с учётом действия на него системы сосредоточенных моментов принимает следующий вид: W (M ) M 2 d   . i 1 2 EJ n (5.10) 3. Работа от действия поперечной силы. Вызванный силой Q сдвиг торцевых сечений бесконечно малого элемента определится из выражения  у    d . С другой стороны, в соответ- 56 ствии с законом Гука при сдвиге    . Подставив это соотношение в преG Q , найдём величину сдвига A Q  d у  . AG дыдущую формулу и учтя   (5.11) γ Q τ·dA γ Q ∆y dℓ dℓ Рис. 5.7 Закрепим условно левую грань (рис. 5.7) бесконечно малого элемента и предположим, что касательные напряжения  распределены по всей высоQ те сечения равномерно. Исходя из этого предположения   . A Элементарная работа статической силы Q на этом перемещении будет равна 1 Q 2  d W Q     Q   y   . (5.12) 2 2 AG Из курса сопротивления материалов известно, что в действительности эпюра касательных напряжений по высоте сечения является непостоянной. Она изменяется по квадратной параболе от нуля в крайних волокнах до максимума в уровне нейтрального волокна. Поэтому в выражение (5.12) вводят поправочный коэффициент  , учитывающий неравномерность распределения по высоте сечения касательного напряжения  . Формула, по которой определяют этот коэффициент, получена из известной формулы Журавского. А S   2  отс dA . (5.13) J z A b2 57 Величина этого коэффициента, что очевидно из формулы (5.13), в которой участвуют только геометрические параметры сечения, зависит от формы поперечного сечения элемента. При этом коэффициент  всегда больше единицы. Так, для прямоугольника   1,2 . Выражение работы в целом для всего стержня с учётом действия на него системы сосредоточенных поперечных сил принимает следующий вид: n Q 2 d  Q W     . (5.14) 2GA i 1 Суммируя работы от всех рассмотренных силовых факторов, получим выражение действительной работы внутренних силовых факторов N 2 d M 2 d Q 2 d W         . 2 EA 2 EJ 2 GA    (5.15) Выражение (5.15), взятое с обратным знаком, носит название потенциальной энергии системы: U  W . 5.5. Теоремы о взаимности работ и перемещений Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 5.8). 1-е состояние 2-е состояние F1 F2 * ∆21 ∆11 * ∆22 * ∆12 Рис. 5.8 В дальнейшем, понимая под F какую-то обобщённую силу, уберём индекс (*). Физический смысл показанных на рис. 5.8 перемещений заключается в следующем: 11  перемещение в направлении силы F1 от действия той же силы F1; 21  перемещение в направлении силы F2 от действия силы F1; 12  перемещение в направлении силы F1 от действия силы F2; 22  перемещение в направлении силы F2 от действия той же силы F2. 58 Работу силы F1 на вызванном ею перемещении 11 обозначим W11, а работу силы F2 на вызванном ею перемещении 22  W22. Учитывая, что эти силы приложены статически, в соответствии с определением действительной работы запишем 1   F1  11 ;  2  1   F2  22 .  2 А11  А22 (5.16) С другой стороны, используя выражение (5.15), запишем N 12 d M 12 d Q12 d  W11  (        ); 2 EA 2 EJ 2 GA      2 2 2 N 2 d M 2 d Q 2 d  W22  (        ).  2 EA 2 EJ 2 GA    Рассмотрим теперь статическое нагружение данной системы в такой последовательности (рис. 5.9): сначала к системе статически прикладывается сила F1. Затем, когда процесс нарастания силы F1 закончится, к уже деформированной системе также статически прикладывается сила F1. До приложения силы F2 работа 1 W11   F1  11 2 . (5.17) F1 F2 ∆11 ∆22 ∆12 Рис. 5.9 В результате дополнительного нагружения силой F2 система получает дополнительные деформации. В связи с этим в ней возникают дополнительные усилия, равные тем, что имели место во втором (см. рис. 5.8) состоянии. В процессе приложения силы F2 сила F1 остаётся неизменной. Поэтому она на перемещениях, вызванных силoй F2, совершает возможную работу А12  F1  12 . В это время сила F2 на вызванном ею перемеще1 нии 22 совершает действительную работу А22   F2  22 . Таким обра2 зом, полная работа системы при описанном характере её нагружения будет равна 1 1 А  А11  А12  А22  F1   11  F1  12  F2   22 . (5.18) 2 2 59 С другой стороны, учтя, что работа сил не зависит от порядка их приложения, можно записать А  F1  11   F2  21  F2  21 . 2 2 (5.19) Приравнивая два последних выражения, после преобразований получаются следующие равенства: F1  12  F2  21 или A12  A21 . (5.20) На основании полученных равенств формулируется теорема о взаимности работ (теорема Бетти) – возможная работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна возможной работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния. Выразим механическую работу W12 через внутренние усилия N, M и Q, записывая выражение (5.18)для внутренних сил: W12  W  W11  W22 . W   N1  N 2 2 d  2 EA  (5.21) M 1  M 2 2 d   Q1  Q2 2 d .    2 EJ 2GA  (5.22)  Подставляя в (5.21) формулы (5.22) и (5.17), после преобразований получим выражение, описывающее механическую работу W12: W12  (   N 1   N 2 d M d Q d    M 1  2    Q1 2 ) . EA EJ GA   (5.23) Из анализа выражения (5.23) очевидно, что каждое подынтегральное выражение представляет собой произведение внутреннего силового фактора одного состояния на соответствующее перемещение (деформацию), вызванное силами другого состояния. Снова рассмотрим два состояния системы. Но в качестве нагрузок в обоих состояниях примем силы F1  1 и F2  1 . Тогда вызванные ими перемещения (рис. 5.10) будут единичными  . На основании теоремы Бетти можно записать F1   12  F2   21 . Поскольку силы F1  1 и F2  1 , то получается равенство  12   21 , называе- 60 мое теоремой о взаимности перемещений (теорема Рэлея). Перемещения по направлению сил первого состояния от сил, равных единице, второго состояния равны перемещениям по направлению сил второго состояния от сил, равных единице, первого состояния. 1-е состояние a 2-е состояние _ F1=1 δ 11 b a δ21 δ12 _ F2=1 b δ22 Рис. 5.10 5.6. Определение перемещений. Интеграл Мора Снова рассмотрим два состояния системы (рис. 5.11). В первом из них на систему действует любой комплекс внешних нагрузок, во втором  только единичный силовой фактор, например сила F2  1 . Составим выражение работы, совершаемой заданным комплексом внешних нагрузок (1-е состояние) в направлении действия силы F2  1 (2-е состояние). Согласно принципу возможных перемещений W21  F2  21  0 или N d M d Q d (5.24) Δ 21    N 2 1    M 2 1  Q2 1 . EA EJ GA   1-е состояние F 2 М 2-е состояние q 2 _ F2=1 Δ21 Рис. 5.11 Черта над обозначениями усилий означает, что эти усилия найдены от действия единичного силового фактора. Таким образом, перемещения от любой нагрузки можно выразить через внутренние усилия, возникающие в этой системе от действия на неё заданной внешней нагрузки и от действия на неё единичного силового фактора. При этом направление единичного 61 силового фактора совпадает с направлением искомого перемещения. Если определяется линейное перемещение (рис. 5.12), то в единичном (дополнительном) состоянии к системе, в той точке, перемещение которой определяется, прикладывается сила F  1 . Если определяется угловое перемещение (рис. 5.13), то к тому сечению, поворот которого определяется, прикладывают сосредоточенный момент М  1. _ F =1 _ М=1 Рис. 5.12 Рис. 5.13 Если определяют взаимное линейное смещение (рис. 5.14) двух точек системы, то в единичном состоянии к этим точкам по линии искомого смещения прикладывают единичные сосредоточенные силы, вектор которых направлен в разные стороны. Если определяют взаимное угловое перемещение двух сечений, то в единичном состоянии к этим двум сечениям (рис. 5.15) прикладывают сосредоточенные единичные моменты, вектор которых направлен в сторону возможного взаимного углового перемещения. F=1 М=1 М=1 F=1 Рис. 5.14 Рис. 5.15 В общем виде формула для определения перемещений принимает следующий вид: mn    N m  N n d M d Q d    M m n    Qm n . EA EJ GA   62 (5.25) Выражение (5.25) называется интегралом Мора. Порядок определения перемещений:  находят аналитические выражения для определения внутренних усилий при действии на систему заданной внешней нагрузки (действительное состояние системы);  по направлению искомого перемещения прикладывают соответствующий искомому перемещению единичный силовой фактор, от действия которого находят аналитическое выражение внутреннего силового фактора (единичное состояние системы);  полученные аналитические выражения внутренних силовых факторов подставляют под знаки интегралов и осуществляют интегрирование, результатом которого является определение величины искомого перемещения. При этом следует отметить, что если знак найденного перемещения окажется отрицательным, то это означает, что действительное направление искомого перемещения направлено в противоположную сторону. 5.7. Правило П. Верещагина На практике часто встречаются случаи, когда на отдельных участках стержни имеют одинаковые физические и геометрические параметры, а одна из подынтегральных функций изменяется линейно. Тогда при учёте только изгибающего момента интеграл Мора принимает следующий вид: mn  1  M m  M n  d. EJ  (5.26) Подынтегральные функции представляют собой функции, по которым строят соответствующие эпюры (рис. 5.16). Без учёта жёсткости, переходя к интегрированию по координате х, b mn   M m  M n  dx . (5.27) a На рис. 5.16 эпюра Мm представляет собой эпюру, построенную от того или иного силового фактора, равного единице (единичная эпюра), а эпюра Мn представляет собой эпюру, построенную от действия заданной внешней нагрузки. Такую эпюру называют эпюрой действительного состояния или грузовой. 63 _ Эп. Мm O' Эпюра Мm единичного состояния. Mm α O _ b c a x Эп. Мn dΩ c Эпюра Мn действительного состояния. b dx Рис. 5.16 Из рис. 5.16 очевидно, что M m   x  a  tg. Подставив это выражение под знак интеграла (5.27), получим b  mn    x  a  tg  M n  dx  tg   x  a  d . a (5.28)  В выражении (5.28) d  M n  dx  дифференциал площади эпюры Mn;   x  a d  статический момент площади эпюры M n относительно  оси O  O  . Этот статический момент можно записать как S M  x с  a    , где хс  расстояние от центра тяжести эпюры M n до оси O  O  . Таким образом, выражение (5.27) можно переписать так: b mn   M m  M n  dx   x c  a    tg. Произведение в правой части a х с  а   tg = yc. На основании изложенного b mn   M m  M n  dx    у с . (5.29) a Окончательно можно записать следующее равенство: mn  1 Эп.М m  Эп. М n M m  M n  d  .  EJ  EJ (5.30) Таким образом, доказана возможность интегрирования методом пере- 64 множения эпюр. Перемножить две эпюры  это значит найти площадь одной из них и умножить на ординату, снятую на другой эпюре и находящуюся под центром тяжести первой. Знак произведения считается положительным, если обе перемножаемые эпюры находятся по одну сторону стержня. Следует помнить, что если перемножаются две прямолинейные эпюры, то не имеет значения, на какой из них брать площадь, а на какой  ординату. Если одна из перемножаемых эпюр является криволинейной, то необходимо брать площадь именно криволинейной эпюры. Перемножать эпюры можно только на тех участках, на которых обе эпюры являются не ломаными и жёсткостные характеристики поперечных сечений являются постоянными. В противном случае перемножение эпюр необходимо осуществлять по участкам. Тогда выражение (5.30) примет вид mn   Эп. М m  Эп. М n 1 M m  M n  d   .  EJ  EJ (5.31) В качестве примера (рис. 5.17) покажем перемножение двух трапеций. _ Эп. Мm I a Для того чтобы удобно было находить центр тяжести эпюр, необходимо эти эпюры разделять на простые фигуры, положение центра тяжести которых известно. В данном случае обе трапеции можно представить состоящими из двух треугольников, обозначенных римскими цифрами. Тогда по формуле (5.31) II ℓ/3 c y1 III ℓ/3 y2 y1' b ℓ/3 _ Эп. Мn y2' IV d ℓ Рис. 5.17 1 ( 1  y1  1  y1   2  y 2  EJ 1  1  2  1  1  1  1  1  2    2  y 2 )   a c   a d   b c   b d    EJ  2  3  2  3  2  3  2  3    2ac  bd ad  bc  .  6 EJ mn = I  III + I  IV + II  III +II  IV = 65 Полученное выражение носит название формулы трапеции. В прил.1 приводятся наиболее характерные случаи перемножении эпюр. 5.8. Определение перемещений от действия температуры Интеграл Мора, как отмечалось в предыдущем подразделе, может быть представлен в следующем виде: mn    M m  n    N m  zn    Qn   yn .   (5.32)  M n dz  взаимный угол поворота торцевых EJ сечений (рис. 5.18) элемента, имеющего бесконечно малую длину dz N  dz стержня от заданной внешней нагрузки; zn  n  взаимное смещеEA Q dz ние торцевых сечений dz;  yn    n  взаимное смещение торцевых GA сечений вдоль оси, перпендикулярной оси z. В таком виде интеграл Мора может быть использован для определения перемещений не только от действия сил, но и от температуры. Пусть верхнее волокно элемента dz нагрето на t1, а нижнее  на t2. При этом t1  t2 . Распределение температуры по высоте сечения принято по прямолинейному закону. При температурном коэффициенте линейного расширения  верхнее волокно удлинится на t1 dz , а нижнее  на t2dz. На уровне нейтральной оси это удлинение, что очевидно из рис. 5.18, составит полусумму удлинений верхнего и нижнего волокон элемента dz. В выражении (5.32) n   zn   zt   t1  t2  dz . 2 (5.33) Выражение (5.33) соответствует тому состоянию элемента dz, при котором он по всей высоте сечения h получил равномерное изменение температуры. От неравномерного нагрева торцевые сечения элемента dz поворачиваются на угол n  t   t1  t2  dz . h (5.34) Деформация сдвига в элементе dz не возникает, т.е.  уn  0. Подставляя (5.33) и (5.34) в (5.32), получим интеграл Мора для опреде- 66 ления температурных перемещений. mt   t1  t 2 t t M m  dz   1 2  N m  dz .  h  2  αt1dz 2 dz αt1dz 2 ∆φt 2 h (5.35) ∆φt 2 ∆zt 2 ∆zt 2 z dz αt2dz 2 αt2dz 2 Рис. 5.18 Интеграл Мора (5.35) значительно упрощается тогда, когда интегрирование ведётся на прямолинейных или ломаных стержнях, имеющих по длине постоянное поперечное сечение. В этом случае интегралы могут быть определены, как площади единичных эпюр. mt   t1  t 2 t t  M   1 2  N , h 2 (5.36) где  M и  N  площади единичных эпюр M и N . При поперечном сечении элемента, несимметричном относительно нейтральной оси, в формулах (5.35) и (5.36) во втором слагаемом множитель, связанный с температурой, принимает вид t 2  t1  t 2  / h y , где у  расстояние от нижнего волокна до горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести. При этом необходимо помнить следующее правило знаков: если деформации элемента dz от температуры и от единичной силы аналогичны, то знак соответствующего слагаемого в формулах (5.35) и (5.36) будет положительным и, соответственно, наоборот. 67 5.9. Определение перемещений от осадки опор При перемещениях опор любой статически определимой конструкции в её опорных закреплениях опорные реакции не возникают. Пусть опора В рамы, представленной на рис. 5.19, получила осадку на величину . При определении линейного перемещения произвольной точки, например к, в единичном состоянии к этой точке в направлении искомого перемещения прикладывают сосредоточенную силу F  1 . От действия этой силы определяют опорные реакции. Действительное состояние К Единичное состояние Δк Δ Fк=1 В А Δ В А Rb Рис. 5.19 На основании принципа возможных перемещений можно составить следующую аналитическую зависимость: Fk  k  Rb    0; 1  k  Rb    0; k  Rb  . (5.37) В соответствии с третьим уравнением в (5.37) можно записать общую формулу для определения перемещений от осадки опор: k   Ri  i . (5.38) Произведение в (5.38) считается положительным, если опорная реакция направлена в противоположную сторону от осадки опор. 68 6. РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ СИЛ 6.1. Понятие о статической неопределимости Статически неопределимыми называются системы, для которых внутренние или внешние силы не могут быть определены из уравнений статики. Для того чтобы решить такие системы, необходимо составить дополнительные уравнения к трём уравнениям статики. По способу составления таких уравнений (что называется раскрытием статической неопределимости) в строительной механике разработано несколько методов. Каждый из этих методов предполагает выбор из заданной системы основной. Одним из первых был разработан метод сил. Статически неопределимые системы имеют так называемые «лишние» связи. «Лишними» могут быть как внешние, так и внутренние связи. Поэтому различают как внешнюю, так и внутреннюю статическую неопределимость. Число лишних связей определяет степень статической неопределимости системы: n = 3К  Ш , (6.1) где К – количество замкнутых контуров системы; Ш – число однократных шарниров. Замкнутым считается такой контур, который полностью ограничен стержнями рамы или стержнями и землёй. Цифра 3 означает , что замкнутый контур является трижды статически неопределимой системой. Выражение (6.1) является частным случаем выражения (1.1) и предназначено для определения статической неопределимости плоских рам. Если после определения степени статической неопределимости n  0, это означает, что рассматриваемая рама не обладает необходимым минимумом связей и поэтому не может быть использована в качестве сооружения. В случае для n  система обладает необходимым минимумом связей, является статически определимой и при правильном расположении этих связей, не допускающих любой геометрической изменяемости рамы, может быть использована в качестве сооружения. В случае n  0 рассматриваемая рама обладает «лишними» связями, является статически неопределимой и может быть использована в качестве сооружения. Так, для рамы, показанной на рис 6.1, K = 2; Ш = 4. Подставляя эти данные в выражение (6.1), получим n 3 2  4 = 2. 69 (6.2) Заданная систeма Основная система метода сил метода сил Х1 Х2 Рис. 6.1 Из выражения (6.2) очевидно, что рама, изображённая на рис. 6.1, является дважды статически неопределимой системой. Статически неопределимые системы обладают следующими свойствами: 1. В статически неопределимых системах, по сравнению со статически определимыми, при одной и той же нагрузке значения внутренних усилий получаются меньшими. 2. Статически неопределимые системы являются более жёсткими по сравнению со статически определимыми. 3. Разрушение «лишних» связей в статически неопределимых системах не ведёт к разрушению всей системы. 4. В статически неопределимых системах температурные воздействия и осадка опор вызывают появление дополнительных усилий в отличие от статически определимых систем. 6.2. Основная система метода сил В методе сил основную систему выбирают из заданной, устраняя «лишние» связи. За «лишние» могут быть приняты как внешние, так и внутренние связи. Внешние связи являются опорными связями, а внутренними являются связи, препятствующие взаимному перемещению двух смежных сечений при мысленном рассечении стержня или удалении из него шарнира. Для любой статически неопределимой системы существует несколько вариантов основной системы. Рациональной основной системой является такая, для которой при её решении наиболее просто составляются уравнения статики. Основная система метода сил должна быть желательно статически определимой и геометрически неизменяемой. Для того чтобы основная система оставалась эквивалентна заданной, 70 вместо устранённых «лишних» связей ставят неизвестные усилия Х. На рис. 6.2 приведены два варианта основной системы. В качестве «лишних» связей выбраны внешние. Основная система метода сил Заданная система Основная система метода сил І вариант ІІ вариант Х1 Х1 Х2 Х2 Рис. 6.2 Наиболее простым представляется ІІ вариант основной системы. На рис. 6.3 для заданной системы приведена основная система, где за «лишние» выбраны внутренние связи, полученные путём мысленного устранения внутреннего шарнира. Основная система, принятая для расчёта и нагруженная внешней нагрузкой и усилиями Х, приложенными вместо устранённых связей, будет эквивалентна заданной в случае, если перемещения в этих системах равны между собой. Если при расчёте удаляются внешние связи, то условием эквивалентности будет равенство нулю перемещений по направлению устранённых связей. Если за «лишние» связи приняты внутренние, то условием эквивалентности будет равенство нулю взаимных перемещений смежных поперечных сечений в месте разреза системы. Для заданных систем, имеющих n лишних связей, условие эквивалентности имеет вид 1  0 ; …; i  0 ; …; n  0, (6.3) где Δi  перемещения по направлению удаленных связей. Используя принцип независимости действия сил, условие (6.3) запишем в виде 71 i = i1 + i +…+ i +…+ iк +…+ i F = 0, (6.4) где iк  перемещение по направлению i -й удалённой связи, вызванной действием k-й неизвестной силы; i F  перемещение по направлению i- й удалённой связи от действия нагрузки. Х1 Х2 Х1 Х2 Основная система метода сил Заданная система Рис. 6.3 6.3. Канонические уравнения метода сил Любое перемещение, вызванное какой-либо силой, для линейно дефомируемых систем можно выразить в виде произведения этой силы на перемещение от действия единичной силы: i k   k  ik , (6.5) где Х k  искомое усилие;  ik  перемещение по направлению i - й связи основной системы от действия силы X k = 1. Для статически неопределимой системы с n «лишними» связями система уравнений имеет вид  X 1   11  ...  X i   1i  ...  X n   1n  1F  0;  .................................................................   X 1   i1  ...  X i   ii  ...  X n   in  iF  0;  ................................................................   X 1   n1  ...  X i   in  ...  X n   nn  nF  0. 72 (6.6) Система (6.6) называется системой канонических уравнений метода сил. В связи с тем, что заданная рассчитываемая статически неопределимая конструкция под действием внешних и внутренних сил находится в равновесии, каждое уравнение системы уравнений (6.6) отрицает наличие перемещений по направлению устранённых связей. Коэффициенты с одинаковыми индексами называются главными и могут быть только положительными. Коэффициенты с разными индексами называются побочными, они могут быть как положительными, так и отрицательными. Побочные коэффициенты обладают свойством взаимности, т.е.  ij   ji . Коэффициенты iF называются грузовыми и представляют собой перемещения в основной системе в направлении i-й устранённой связи от заданной внешней нагрузки. 6.4. Определение коэффициентов канонических уравнений Вычисление коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений метода сил и её грузовых членов, представляющих единичные и грузовые перемещения, проводится с помощью известных методов определения перемещений, изложенных в предыдущем разделе. Обычно при расчёте систем с прямолинейными элементами применяется правило П.Верещагина, в соответствии с которым осуществляется перемножение эпюр. При этом, если рассматриваются так называемые изгибные конструкции (балки, рамы и арки), то определение перемещений ведётся с учётом только изгибающих моментов М, так как перемещения, учитывающие значения продольных N и поперечных Q сил оказываются несопоставимо малыми по сравнению с теми, которые имеют место от действия изгибающего момента М, и ими пренебрегают. Для определения единичных коэффициентов используют формулу  ik   Эп.M i  Эп.M k  y  i k , EJ EJ (6.7) где Эп.M i  эпюра изгибающих моментов, построенная в основной системе от действия неизвестной силы Х i  1 , приложенной в точке устранения i-й «лишней» связи; Эп. M k  эпюра изгибающих моментов, построенная в основной системе от действия неизвестной силы Х i  1 , приложенной в точке устранения k-й «лишней» связи;  i  площадь эпюры изгибающих моментов M i ; y k  координата на эпюре M k , расположенная под центром тяжести эпюры M i . 73 Свободные члены системы канонических уравнений (6.6) метода сил определяют по формуле iF Эп.М F0  Эп. М i  y   F i , EJ EJ (6.8) где Эп.M F0  эпюра изгибающих моментов (грузовая эпюра), построенная в основной системе от действия заданных внешних нагрузок;  F  площадь грузовой эпюры M F0 ; yi  ордината на эпюре M i , расположенная под центром тяжести грузовой эпюры M F0 . Для проверки правильности определения коэффициентов при неизвестных строят в соответствии с выражением (6.9) суммарную единичную эпюру M S . n Эп. M S   Эп.M i . (6.9) i 1 Правильность определения коэффициентов  ik (единичных перемещений) при неизвестных в системе канонических уравнений метода сил в соответствии с универсальной проверкой осуществляется выражением (6.10), согласно которому квадрат суммарной единичной эпюры М S равен сумме всех коэффициентов при неизвестных: Эп.М S2 n n     ik . EJ i 1 k 1 (6.10) В случае неудовлетворения равенства (6.10) осуществляют согласно выражению (6.11) построчную проверку, когда произведение суммарной единичной эпюры M S на любую единичную эпюру должно дать сумму единичных перемещений того уравнения, на единичную эпюру которой осуществлялось перемножение: n Эп.М S  Эп.М k   ik . EJ k 1 (6.11) Правильность определения свободных членов системы канонических уравнений метода сил осуществляется в соответствии с выражением (6.12). В соответствии с (6.12) суммарную единичную эпюру M S умножают на 74 грузовую эпюру M F0 . Результат этого умножения должен быть равен сумме свободных членов системы канонических уравнений: Эп.М S  Эп.М F0   iF . EJ (6.12) После контроля правильности определения параметров системы канонических уравнений их подставляют в эту систему и тем или иным известным из линейной алгебры методом решают. В результате решения находят значения «лишних» неизвестных Х i . 6.5. Построение итоговых эпюр внутренних усилий в заданной системе Основная система, в которой определены значения всех «лишних» неизвестных, представляет собой статически определимую систему с действующими на неё заданной внешней нагрузкой и усилиями Х i . Для построения эпюр внутренних усилий M, N, Q составляются аналитические выражения этих внутренних усилий для характерных участков рассчитываемой конструкции. Кроме того, для построения эпюр внутренних усилий может быть использован также приём, основанный на принципе независимости действия сил. На основании этого принципа для заданной n раз статически неопределимой системы усилия определяются в соответствии с выражением Эп.М итог  Эп.М F0   Эп.M i  X i . (6.13) По полученным ординатам (6.13) строят эпюру M итог . Поперечные силы в заданной системе определяются по известной из теории изгиба дифференциальной зависимости Qх  M прав  М лев dM  tg  Q x0  , d  (6.14) где   угол между эпюрой M и осью стержня рамы; Q x0  балочное значение поперечной силы. Продольные силы N в заданной системе определяют путём вырезания узлов на эпюре Q х . Составляют уравнения равновесия для этих узлов, проецируя силы на оси стержней, из которых и находят искомые значения 75 усилий N. По эпюрам M итог , Q , N определяют реактивные усилия в опорах рассчитываемой рамы и проводят две проверки правильности построения итоговых эпюр внутренних усилий. Узловая проверка. Вырезая узлы на эпюре M итог , составляют уравнения равновесия статики  М , равенство нолю которых свидетельствуют о правильности построенной эпюры M итог . Статическая проверка. Для осуществления статической проверки показывают заданную схему рамы с действующей на неё заданной внешней нагрузкой и с отброшенными опорными связями, вместо которых поставлены усилия, снятые с эпюр Q и N. Рассматривая равновесие такой схемы рамы, составляют уравнения, представляющие собой суммы проекций всех сил на две взаимно-перпендикулярные оси. Равенство нолю этих уравнений свидетельствует о правильности построенных эпюр Q и N. 6.6. Расчёт статически неопределимых рам методом сил на температурные воздействия Действие на конструкцию температуры является также действием внешнего силового фактора. При этом предполагается, что элементы конструкции работают в пределах упругих деформаций и поэтому действителен принцип независимости действия сил, что позволяет проводить расчёт отдельно как от действия обычных внешних нагрузок, так и от действия температур. В соответствии с этим канонические уравнения метода сил при расчёте на температурные воздействия имеют вид  X 1   11  ...  X i   1i  ...  X n   1n  1t  0;  .................................................................   X 1   i1  ...  X i   ii  ...  X n   in  it  0;  ................................................................   X 1   n1  ...  X i   in  ...  X n   nn  nt  0. (6.15) В системе уравнений коэффициенты при неизвестных (единичные перемещения) определяются так же, как при обычном расчёте, свободные члены  it представляют собой перемещение в основной системе по направлению устранённой i-й связи от действия температуры. В результате решения системы уравнений (6.15) находят значения неизвестных усилий t Хit. Тогда итоговая эпюра M итог может быть построена в соответствии с выражением 76 n t M итог   M i  X it . (6.16) i 1 В основной системе от действия температуры возникают только перемещения, а внутренние усилия при этом равны нолю. В заданной системе возникают как перемещения, так и внутренние усилия. Рассмотрим пример расчёта статически неопределимой рамы (рис. 6.4) в качестве внешней нагрузки на которую рассматривается действие изменения температуры. Исходные данные для расчёта:  =10м; α-коэффициент температурного расширения; t1  температура наружных волокон рамы; t 2  температура внутренних волокон; t1 > t 2 ; h = 0,125   высота поперечного сечения рамы (рис. 6.5). t1 EJ t1 Заданная сисℓ t1 2EJ t2 x h t2 ℓ Рис. Рис. 6.4 Степень статической неопределимости заданной системы определится из выражения n = 3К  Ш = 3  2  4 = 2. (6.17) Из (6.17) очевидно, что заданная система является дважды статически неопределимой. Основная система (рис. 6.6) выбрана из заданной путём устранения двух простых кинематических связей, составляющих шарнирно-неподвижную опору. Для того чтобы основная система была эквивалентна заданной, вместо устранённых связей поставлены искомые усилия Х1t и Х2t. В связи с тем, что при определении перемещений от действия температуры учитывается влияние и изгибающих моментов M, и продольных сил N, единичные эпюры построены для этих силовых факторов. На рис. 6.7 и 6.8 представлены эпюры от действия соответственно Х1 = 1 и Х2 = 1. 77 Система канонических уравнений для данной задачи принимает вид выражения  11  Х 1t  12  X 2t  1t  0; (6.18)    X    X    .  21 1t 22 2t 2t Х2 Х1 Основная система метода сил ℓ ℓ Рис. 6.6 ℓ х1=1 1 _ Эп. М1 _ Эп. N1 ℓ 1 Рис. 6.7 х2=1 _ Эп. М2 ℓ Рис. 6.8 78 -1 -1 _ Эп. N2 Определим коэффициенты канонических уравнений:  11 Эп. М 1  Эп.М 1 1 2 1 1 5 3        ; EJ 2 3 EJ 2 EJ 6 EJ Эп.М 1  Эп.М 2 1 1 3  12   21     ; EJ 2 2 EJ 4 EJ Эп. М 2  Эп.М 2 1 2 1 3  22      . ЕJ 2 3 2 EJ 6 EJ (6.19) Свободные члены системы уравнений (6.19) определим по формулам предыдущего раздела: t  it       M    t ср   N , (6.20) h где t  t1  t 2  изменение температур; h  высота поперечного сечения  элемента;  8 ; t1  300 С; t 2  20 0 С;  М  площадь эпюры моментов h М i в основной системе;  N  площадь эпюры продольных сил N i в основной системе. Знаки в (6.20) определяют, сравнивая деформации от температуры и от единичного воздействия. Если кривизна от силы и температуры и от одного знака, то знак в десятом слагаемом берётся плюс. Если деформации от силы и от температуры одного знака, то второе слагаемое будет положительное. t t  1   t   (1  3 ) ;         2 h 2 2 h  t t 1 t               (  1) . 2 h 2 2 h 1t    2t Подставляя найденные значения перемещений (6.19) и (6.20) в систему уравнений (6.18), получают систему уравнений 5 3 3 t    X 1t   X 2t   1  3   0;   6 EJ 4 EJ 2  h  3 3    X    X  t  1     0. 1t 2t  4 EJ 6 EJ 2  h 79 (6.21) После решения любым известным в математике методом системы канонических уравнений (6.21) находят значения X1t и X2t усилий в "лишних" связях от действия температуры. X 1t   15,8362 EJt 2,4575 EJt  1,5836 EJ ; X 2t   0,2457 EJ . 2  2 Умножая эпюру М 1 на Х1t, а эпюру М 2  на Х2t и суммируя их, получим итоговую эпюру Мtитог от действия температуры (рис. 6.9). α1 15.84 _ Эп. М1Х1 15.84 _ Эп. М2Х2 15.84 EJα α2 Эп. М t 13.38 2.46 EJα Рис. 6.9 t По эпюре М итог , используя дифференциальную зависимость между Q и M, определяем ригель Qитог  tg1 = 1,8362EJ; стойка Qитог = tg2   стойка Qитог  15,8362 13,3787EJ ; 10 2,4575EJt  0,2457 EJ . 2 По полученным значениям строим итоговую эпюру поперечных сил в заданной системе (рис. 6.10). Для построения эпюры продольных сил Nt итог на эпюре Qt итог вырезаем узел С (рис. 6.11). Составляем условия равновесия узла С: 80  х  2,4575 EJt 2  N риг  0 ;  у   N cт  1,58362 EJt 2 (6.22)  0. (6.23) Из (6.22) и (6.23) находим N риг  0,24575EJ и N ст  1,58362 EJ . t По полученным значениям строим эпюру  итог (рис. 6.12). у 1.584 EJα Nриг Узел С Qриг С х Qст Эп. Q t 0.246 EJα Nст Рис. 6.10 0.246 EJα Рис. 6.11 у 0.246 EJα 1.584 EJα Эп. N t 13.38 EJα х 1.584 EJα 0.246 EJα Рис. 6.12 1.584 EJα Рис. 6.13 81 Проверки правильности построенных эпюр: Статическая проверка. Для заданной рамы покажем все реактивные усилия, взятые с эпюр Q tитог, N tитог и M tитог (рис. 6. 13). Составим условия равновесия для рамы: х   у   mA   2 ,4575EJt 2 15,8362 EJt  13,3787 EJt   2   2 ,4575EJt 2 15,8362 EJt 2 ,4575EJt  2  0;  2    0;  15,8362 EJt 2   0. Статическая проверка выполнена и подтвердила правильность построенных эпюр. Деформационная проверка. Результат перемножения эпюр М tитог на единичную эпюру в основной системе (при воздействии температуры) равняется it, где it  температурное перемещение в направлении X i в основной системе t Эп .М итог  Эп .М 1   1t  EJ t Эп.М итог  Эп.М 2   2t .  EJ Проверим эти условия:  1 1 EJt 2 1 14 ,6074 EJt        12 ,5t; EJ 2  3 2 EJ   1t  12 ,5EJt;     13,3787 EJt 15,8362 EJt   2       3,5094 EJt ; 2 EJ 6      2 t  3,5EJt  . Выполненная деформационная проверка подтверждает правильность построенных эпюр. 82 6.7. Расчёт статически неопределимой рамы на осадку опор Опорные закрепления стержней в процессе деформаций систем могут перемещаться, что может проявляться при осадке фундаментов. От этих перемещений система деформируется, в ней возникают внутренние усилия и поэтому необходимо производить расчёт заданной системы на действие перемещений её опорных связей. Канонические уравнения для статически неопределимых систем, рассчитываемых методом сил, аналогично расчёту на температурное воздействие имеют вид  X 1   11  ...  X i   1i  ...  X n   1n  1  0;  .................................................................   X 1   i1  ...  X i   ii  ...  X n   in  i  0;  ................................................................   X 1   n1  ...  X i   in  ...  X n   nn  n  0. (6.24) Коэффициенты при неизвестных в (6.24) определяются так же, как и при обычном расчёте, а свободные члены i , представляющие собой перемещения от осадки опорных связей, определяют по выражению k 1    Ri  ci , (6.25) i 1 где Ri  реактивное усилие в опорной связи от действия на основную систему единичного силового фактора; сi  осадка рассматриваемой опорной связи. Рассмотрим пример расчёта рамы на смещение опор (рис. 6.14). Левая опора рамы сместилась в вертикальном направлении на величину с . Построим эпюры внутренних усилий при смещении этой опоры. Степень статической неопределимости рассматриваемой рамы и её основная система метода сил определены в предыдущем примере. Канонические уравнения метода сил запишутся в виде   11  Х 1   12  Х 2   1  0;    21  Х 1   22  Х 2   2   0. В данном примере 1 = с ; 2  = 0. 83 (6.26) Заданная система Основная система метода сил Х2 ЕЈ ∆ ℓ Х1 2ЕЈ ℓ Рис. 6.15 Рис. 6.14 Если подставить найденные перемещения в канонические уравнения метода сил и решить эту систему, X 1  24 EJ 36 EJ  3  с ; X 2   3  с . 11  11  Итоговая эпюра изгибающих моментов от осадки опор в заданной системе может быть построена по известному выражению  Эп.М итог  Эп.М 1  Х 1  Эп.М 2  Х 2  . (6.27) На рис. 6.16 показано построение итоговой эпюры моментов в заданной системе от смещения опоры. 0.0873 EJ∆ _ Эп. М1Х1 0.0873 EJ∆ _ Эп. М2Х2 0.0873 EJ∆ 0.1309 EJ∆ 0.0436 EJ∆ Рис. 6.16 84 Эп. М∆  По итоговой эпюре моментов М итог строим итоговую эпюру попереч ных сил Qитог в соответствии с выражением  Qитог  dM итог   tg. d (6.28) Тогда риг tg1  Qитог  ст tg2  Qитог 24 EJ с; 11 3 36 EJ    3 с. 11   На рис. 6.17 показана итоговая эпюра поперечных сил Qитог в заданной системе от осадки опор. у 0.0174 EJ∆ Nриг Узел Qриг С х Qст Эп. Q∆ 0.0262 EJ∆ Nст Рис. 6.17 Рис. 6.18 Для построения эпюры продольных сил вырежем узел С на эпюре рассмотрим его равновесие (рис. 6.18).  Qитог и 36 EJc  N  0 ;  х   11 pиг 3 у  24 EJc 3  N ст  0 . Из уравнений равновесия (6.29) находим N риг   36 EJc 11 3  продольная сила в ригеле; 85 (6.29) 24 EJc  продольная сила в стойке. 3  По полученным значениям строим эпюру продольных сил N итог в заданной системе от осадки опор (рис. 6.19). Проведём статическую проверку правильности построенных эпюр. На рис. 6.20 показана схема рамы с опорными реакциями, возникшими в ней от осадки опор. Составляем уравнения равновесия, записав суммы проекций сил, действующих на раму, соответственно на оси х и у. N ст   0.0262 EJ∆ у 0.0262EJ ∆ 0.0174 EJ∆ Эп. N∆ 0.0436 EJ∆ х 0.0174 EJ∆ 0.0262 EJ∆ 0.0174 EJ∆ Рис. 6.20 Рис. 6.19 36 EJс  х   11 m 3   36 EJс  0; 11  3 24 EJс  у   11 3  24 EJс  0; 11  3 36 EJс 24 EJс 12 EJс        0. 11  3 11  3 11 2 Уравнения равновесия выполняются, что свидетельствует о правильности выполненных расчётов. 86 7. РАСЧЁТ НЕРАЗРЕЗНЫХ БАЛОК 7.1. Уравнение трех моментов Неразрезной называется статически неопределимая сплошная балка, прикреплённая к земле более чем тремя простыми кинематическими связями. При расчёте неразрезных балок опоры принято нумеровать слева направо. На рис. 7.1 показана заданная многопролётная неразрезная балка и её основная система метода сил. q F М 1 2 3 а М0 М1 М1 М2 М2 б Рис. 7.1 Степень статической неопределимости для неразрезных балок можно определять несколькими способами. Наиболее рациональным из них является способ, который заключается в том, что считают общее число простых кинематических связей. Из этого числа вычитают цифру 3, означающую минимально необходимое число простых кинематических связей для жёсткого прикрепления балки к земле. Полученное таким образом число представляет собой степень статической неопределимости рассматриваемой неразрезной балки. Так, показанная на рис. 7.1, а балка прикреплена к земле шестью простыми кинематическими связями. Значит, степень её статической неопределимости равна трём. Если рассчитывать неразрезную балку методом сил, то наиболее рациональной основной системой для неё является такая, в которой в надопорные сечения неразрезной балки вводят шарниры, высвобождающие одну степень свободы (рис. 7.1, б), давая возможность углового перемещения  надопорных сечений балки. На рис. 7.2 построены единичные эпюры моментов для неразрезной три раза статически неопределимой балки. 87 Заданная система _ М0 =1 Основная система метода _ Эп. М0 1.0 _ М1 =1 _ Эп. М1 1.0 _ М2 =1 _ Эп. М2 1.0 Рис. 7.2 Сопоставляя эти эпюры, можно сделать вывод о том, что в каждом из канонических уравнений метода сил будут иметь место только три коэффициента при неизвестных. Выделим из рассматриваемой неразрезной балки (рис. 7.3), имеющей по всей длине жёсткость EJ=const, два сопряжённых друг с другом пролёта. Определяем угол поворота  n (рис. 7.3) на n опоре в основной системе: 88  n   n ,n 1  M n 1   n ,n  M n   n ,n 1  M n 1  nF  0 . q F М 1 2 ℓn 3 ℓn+1 ℓn+2 ℓ a Мn-1 Мn (7.1) Мn+1 φn б _ Эп. М0 1.0 _ Эп. М1 аn ℓn 1.0 bn+1 ℓn+1 _ Эп. М2 1.0 ωn аn Сn · · bn аn+1 Сn+1 Эп. М0F ωn+1 bn+1 Рис. 7.3 Перемножением соответствующих единичных эпюр определим коэффициенты при неизвестных. 89  n ,n 1    n ,n Эп .М n  Эп .М n 1  1 1 1     n  1  n . EJ EJ 2 3 6 EJ (7.2) Эп .M n2 1 1 2 1 1 2 2  n   n1  . (7.3)      n  1     n 1   1  EJ EJ 2 3 EJ 2 3 6 EJ  n ,n 1   Эп .M n  Эп .M n 1  1 1 1     n 1   1  n 1 . EJ EJ 2 3 6 EJ (7.4) При определении грузового перемещения nF на грузовой эпюре M Fo приняты обозначения:  n и  n 1  площади грузовых эпюр моментов (метода сил) соответственно для пролётов  n и  n 1 ; a n и bn 1  расстояния от центра тяжести этих эпюр (рис. 7.3) соответственно до опор (n1) и (n+1). nF   Эп .М Fo  Эп .M n a b 1 1  n  n    n 1  n 1 . EJ EJ  n EJ  n 1 (7.5) Подставим найденные перемещения в (7.1), перенося грузовое перемещение в правую часть уравнения и сокращая все слагаемые на изгибную жёсткость EJ: n 2 n   n1    a  b    M n1   M n  n 1  M n   n n  n1 n1 . 6 6 6  n1   n (7.6) Следует обратить внимание на правую часть выражения (7.6). По сути, она представляет собой сумму двух условных (фиктивных) опорных реакций, полученных от загружения условной нагрузкой, описанной по закону a  построенных грузовых эпюр М Fo . Обозначив Bnф  n n и n b  Anф1  n 1 n 1 , а их сумму Bnф  Аnф1 за Rnф и подставив их в выраже n 1 ние (7.6), получим уравнение, которое в строительной механике носит название уравнения трёх моментов.    n  M n 1  2 n 1   n   M n   n 1  M n 1  6Rnф . 90 (7.7) При расчёте многопролётных неразрезных балок на статическую нагрузку для каждой промежуточной опоры записывают уравнение трёх моментов. Таких уравнений записывают столько, сколько раз является статически неопределимой рассчитываемая балка. В результате решения полученной таким образом системы алгебраических уравнений находят значения опорных моментов. Строят эпюру опорных моментов, которую геометрически складывают с грузовой эпюрой M Fo . В результате сложения получают эпюру моментов в заданной системе. В прил. 2 для наиболее характерных случаев загружения балки приведены значения фиктивных опорных реакций Аnф и Вnф . 7.2. Определение моментных фокусных отношений Рассмотрим некоторый участок неразрезной балки (рис. 7.4) с загруженным только одним пролётом и с построенной для этого случая эпюрой моментов. Если каким-то образом изменить величину силы F загруженного пролёта, то соответственно изменятся и ординаты этой эпюры. Но форма эпюры никак не изменится, и в незагруженных пролётах останутся неизменными положения нулевых точек, которые называются фокусными точками. Точки, расположенные правее загруженного пролета, называются правыми, а левее  левыми фокусами. Отношения опорных моментов незагруженного пролета называются моментными фокусными отношениями. Различают левые k n моментные фокусные отношения, представляющие собой отношение последующего опорного момента к предыдущему, и правые k n , представляющие собой отношение предыдущего опорного момента к последующему. F+ΔF Левые фокусы Правые фокусы n+1 n+1 n-1 n-3 ℓn-2 ℓn-1 n+2 n ℓn ℓn+1 ℓn+2 Рис. 7.4 Так, для пролёта  n при расположении загруженного пролёта правее 91 Mn . Если загруженный пролёт расположен леM n 1 вее рассматриваемого, то в нём будет иметь место правое фокусное отноM шение k n   n 1 . Таким образом, в каждом незагруженном пролёте Mn имеются два моментных фокусных отношения, знания которых дают возможность определять моменты на опорах незагруженных пролётов. Для вывода формулы определения моментных фокусных отношений рассмотрим участок неразрезной балки (рис. 7.5) при расположении загруженного пролёта правее выделенного участка. рассматриваемого k n   Мn Мn-1 ℓn-1 Мn+1 ℓn Рис. 7.5 Запишем уравнение трёх моментов для опоры n и приравняем его к нулю (7.8). Равенство нулю выражения (7.8) связано с отсутствием на сопряжённых рассматриваемых пролётах внешней нагрузки. M n 1 n 1  2 M n  n 1   n   M n 1 n  0 . (7.8) Выразим в (7.8) опорные моменты M n 1 и M n 1 через опорный момент M n , используя для этого левые фокусные отношения: Mn Mn  k    M   ; n  1 n  1  M n 1 k n 1  M  k n   n 1  M n 1   k n M n .  Mn (7.9) Подставим соотношения (7.9) в выражение (7.8). Мn  n 1  2 M n  n 1   n   k n M n  n  0 . (7.10) k n 1 Сокращая выражение (7.10) на величину M n и решая его относительно  92 левого фокусного отношения kn, получим kn  2  n  1   2    левое фокусное отношение.  n 1  k n 1  (7.11) Проводя аналогичные рассуждения при расположении загруженного пролёта левее рассматриваемого, получим k n  2   n 1  1   2    правое фокусное отношение. n  k n 1  (7.12) Анализ структуры полученных формул говорит о том, что они являются рекуррентными, т.е. каждое последующее значение фокусного отношения определяется через предыдущее значение для левых фокусных отношений, а наоборот  для правых. Для определения этих значений рассмотрим три случая закрепления крайних пролётов. При шарнирном опирании крайнего (например, левого) пролёта (рис. Mn 7.6) левое фокусное отношение, согласно его определению, k n   . M n 1 Но так как при шарнирном опирании крайний опорный момент M n 1  0 , то в этом случае k n   . k1=∞ k1=∞ n n ℓ1 а Рис. 7.6 ℓ1 Рис. 7.7 Если крайний (например, левый) пролёт неразрезной балки имеет консоль, то, используя предыдущее рассуждение (рис. 7.7), можно заключить, что левое фокусное отношение k n   . В случае жёсткого защемления крайнего (например, левого) пролёта неразрезной балки (рис. 7.8) для определения значения фокусного отношения в месте этого защемления в левую сторону ставят условный пролёт  n 1  0 , имеющий шарнирное опирание. Для этого случая было показано, что k n 1   . Тогда, подставляя это значение в (7.11), получаем значение 93 kn  2  0  1 2    2. n   Мn Мn-1 n-2 n-1 ℓn-1=0 n ℓn Рис. 7.8 Аналогичными будут значения правых фокусных отношений, если рассматривать такие же соответственно закрепления крайних правых пролётов неразрезной балки:  k n   ; k n   и k n  2 . Пример. Определить фокусные отношения в неразрезной балке. 2 1 ℓ1=2м ℓ2=4м 3 ℓ3=4м Рис. 7.9 Фокусные отношения определим по формулам (7.11) и (7.12). Левые: k1 = 2; k 2  2  k3  2  Правые: 1  1 2 1  2    2   2    2 ,75 ; 2  k1  4 2 2  1  4 1   2    2   2    3,64 . 3  k2  4 2 ,75  k 3   ; k 2  2  k1  2  3  1 4 1  2    2   2    4 ; 2  k 3  4  2  1  4 1  2    2   2    5,5 . 3  k 2  2 4 94 7.3. Определение моментов на опорах загруженного пролёта При расчёте неразрезных балок, прежде чем воспользоваться моментными фокусными отношениями, необходимо найти значения моментов на опорах загруженных пролётов. Пусть загруженным является только один пролёт  n . Запишем уравнения трёх моментов соответственно для левой (n  1) и правой n опор.  М n  2  n 1  2 M n 1  n 1   n   M n  n  6 Rnф1 ;  ф  M n 1 n  2 M n  n   n 1   M n 1 n 1  6 Rn . (7.13) В первом уравнении системы (7.13) выразим опорный момент М n 2 через опорный момент М n 1 , используя для этого левое фокусное отношение k n 1 . Во втором уравнении этой же системы опорный момент M n 1 выразим через момент M n , используя для этого правое фокусное отношение k n 1 : M M M n 2   n 1 ; M n 1   n . k n 1 k n 1 В последних соотношениях, используя формулы (7.11) и (7.12), заменим левое k n 1 и правое k n 1 фокусные отношения на фокусные отношения k n и k n соответственно. Кроме того, учитывая, что загруженным является только пролёт  n , Rnф1  Аnф ; Rnф  Bnф . Подставляя эти данные в систему уравнений (7.13) и решая её относительно опорных моментов M n и М n 1 , получим формулы для определения левых М n 1 и правых М n моментов на опорах загруженного пролёта. 6 Anф  k n  Bnф M n 1     n k n  k n  1  левый опорный момент. (7.14) 6 Вnф  k n  Аnф Mn     n k n  k n  1  правый опорный момент. (7.15) Зная значения опорных моментов в загруженном пролёте, через соответствующие моментные фокусные отношения можно определить моменты на опорах незагруженных пролётов. 95 7.4. Определение изгибающих моментов и поперечных сил в заданной системе неразрезной балки Изгибающие моменты в заданной системе неразрезной балки определяем по известному выражению М зад  М оп  М о , (7.16) где М оп  значение опорных изгибающих моментов; М о  значение изгибающих моментов в основной системе (см. рис. 7.3) (в статически определимых простых балках). Поперечные силы определяем по известной из теории изгиба дифференциальной зависимости между M и Q: Q зад  dM зад  tg, d (7.17) где   угол наклона эпюры Mзад к оси балки. Анализируя изложенное, можно сформулировать алгоритм расчёта многопролётных неразрезных балок методом моментных фокусных отношений на статическую нагрузку. 1. По формулам (7.11) и (7.12) находят значения моментных фокусных отношений. В каждом пролёте имеются два моментных фокусных отношения: одно левое k n , другое правое k n . 2. Поочерёдно в соответствии с принципом суперпозиции загружают каждый пролёт. При этом сначала находят для загружаемого пролёта значения фиктивных опорных реакций Аnф и Вnф соответственно. После этого по формулам (7.14) и (7.15) находят моменты на опорах загруженного пролёта. Далее, используя мометные фокусные отношения, находят значения опорных моментов на опорах незагруженных пролётов. 3. Суммируя найденные значения опорных моментов, строят эпюру опорных моментов. 4. Построенную эпюру опорных моментов складывают с грузовыми эпюрами для каждого пролёта и получают таким образом эпюру моментов в заданной системе. 5. Контролем правильности построенной эпюры моментов служит известная из предыдущего раздела настоящего курса деформационная проверка метода сил. 6. По построенной эпюре моментов, используя известное выражение 96 Q x  Q xo  M пр  М лев , строят эпюру поперечных сил, контролем правиль ности которой являются её дифференциальная зависимость с итоговой эпюрой моментов и статическая проверка. 7. Правильность построения эпюры Q x контролируется статической проверкой, когда рассматривается равновесие всех сил, возникающих в зоне каждой опоры неразрезной балки. Для проведения статической проверки мысленно делают два сечения: слева и справа у рассматриваемой опоры, заменяя действие отброшенных частей соответствующими поперечными силами, сумма проекций которых на вертикальную ось должна равняться опорной реакции. 7.5. Линии влияния опорных моментов Как известно, расчёт любого сооружения на подвижную нагрузку предполагает построение линий влияния усилий. В связи с тем, что неразрезная балка является статически неопределимой системой, сначала нужно раскрыть эту статическую неопределимость, то есть построить линии влияния «лишних» неизвестных. В настоящем подразделе показано, что для неразрезной балки «лишними» неизвестными являются опорные моменты. Для построения линий влияния опорных моментов подвижную силу F  1 передвигают поочерёдно по всем пролетам неразрезной балки и выражают опорные моменты в них как функции от координаты положения этой подвижной силы F  1 . Для определения опорных моментов используем формулы (7.14) и (7.15), в которые подставим значения фиктивных опорных реакций (7.16) и (7.17), полученных при фиксированном (рис. 7.10) положении силы F  1 в пролёте  n .  2n   F u 1    ; 6  2n ф Bn   F u 1  u  . 6 Аnф (7.18) (7.19) Учитывая, что сила F  1 , получим выражения для определения опорных моментов при передвижении подвижной единичной силы по пролёту. Движение силы F  1 по пролёту описывается изменением параметра u (или  ), фиксирующего положение этой силы в пролёте: 97 6 M n 1    n 6 Mn    n    2n  2n  u 1     k n  u 1  u   6 6 ; k n  k n  1  2n  2n u 1  u   k n  u 1     6 6 . k n  k n  1 _ F=1 v·ℓ n u·ℓn Мn Мn-1 Rn-1 Rn Эп. М0F Афn Вфn Рис. 7.10 После арифметических преобразований и обозначения функций, описывающих положение единичной силы в пролёте, за 2  u   u 1     u 1  u 2  u  и  u   u 1  u   u1  u  соответственно, учитывая при этом, что u  1   , получают формулы для построения линий влияния опорных моментов: М n 1   Мn   n   u k n   u   линия влияния левого опорного k n k n  1 момента. (7.20)   n   u k n   u   линия влияния правого опорного k n k n  1 момента. (7.21) Для определения α(u) и β(u) составлена табл. 7.1 Изменяя u (положение груза F=1 в n-м пролете), из табл. 7.1 находим значения α(u), β(u). 98 u α(u) β(u) 0,2 0,288 0,192 0,4 0,384 0,336 Таблица 7.1 0,8 1 0,192 0,288 0,6 0,336 0,384 Подставляя α(u), β(u) в (7.20) и (7.21), находим значения ординат опорных моментов в точках разбиения пролета (0,1,2,3,4,5) и строим л.в. Мn-1, л.в. Мn (рис. 7.11) для одного пролёта. 1 _ F=1 2 3 u=0.4 u=0.6 4 5 Мn-1 Мn u=0.2 u=0.8 Л.в. Мn-1 Л.в. Мn Рис. 7.11 7.6. Линии влияния моментов для сечений, расположенных в пролётах неразрезной балки После построения линий влияния опорных моментов (раскрытие статической неопределимости системы) можно приступать к построению линий влияния внутренних усилий в сечениях неразрезной балки. Для построения линии влияния изгибающего момента М рассмотрим сечение k в n-м пролете неразрезной балки (рис. 7.12). Построим линию влияния изгибающего момента Мк в сечении k, расположенного на расстоянии а от левой опоры А. Для определения опорной реакции Ra , возникающей от сил, характер действия которых на балку показан на рис. 7.13, составим уравнение моментов относительно опоры В: 99  m B  R a  n  M n 1  M n  0 . Ra  Из этого выражения находим, что Мn-1 _ F=1 А M n  M n 1 . n В К а (7.22) Мn b ℓn аb ℓn Л.в. М0к Л.в. Мn Л.в. Мn-1 Л.в. Мк Рис. 7.12 Тогда, если рассматривать равновесие левой до сечения k части пролёта, изгибающий момент в сечении k от действия М коп опорных моментов может быть найден из выражения M коп  Ra  a  M n 1 . Подставим в это выражение формулу для определения Ra : 100 (7.23) M коп  M n  M n 1 b a  a  M n  М коп  М n 1  Mn . n n n (7.24) Полный изгибающий момент М к в сечении k в соответствии с принципом суперпозиции будет равен сумме найденного момента М коп от действия найденных значений опорных моментов и так называемого балочного момента М ко , возникающего в сечении k от действия вертикальных нагрузок при рассмотрении пролёта неразрезной балки как однопролётной статически определимой двухопорной балки. Тогда формула для определения изгибающего момента в сечении k в пролёте неразрезной балки примет вид b a М к  М ко  М коп  М ко  М n 1  Mn . (7.25) n n Для построения л.в. М к изгибающего момента в сечении k формула (7.25) может быть переписана: Л .в.М к  Л .в.М ко  Л .в.М n 1  b a  Л .в.М n  . n n (7.26) Линия влияния М к показана на рис. 7.12. 7.7. Линии влияния поперечных сил Построение линии влияния Qк осуществляют на основе известного выражения, которое применительно к построению линии влияния принимает вид Л .в.М n Л .в. М n 1 Л .в.Q k  Л .в.Q ко   . (7.27) n n На рис. 7.13 показано построение линии влияния поперечной силы Qк в сечении k, выполненное для пролёта неразрезной балки на основании выражения (7.27). 7.8. Линии влияния опорных реакций Рассмотрим n-ю опору неразрезной балки, фрагмент которой показан на рис. 7.14. Опорную реакцию в заданной системе, аналогично случаю определе- 101 ния Мк, определяем из выражения Rn  Rno  Rnоп . _ F=1 Мn-1 (7.28) К а Мn b ℓn аb ℓn Л.в.Q0к а ℓn Л.в.Мn Л.в. Мn-1 Л.в. Qк Рис. 7.13 Рассмотрим эпюру Моп (см. рис. 7.14). Определим поперечные силы левее и правее опоры n: tg1 = Qn  M n  M n 1 ; n tg2 = Qn 1  Рассмотрим равновесие опоры n (рис. 7.15). Из условия равновесия получаем Rnоп  Qn 1  Qn . 102 M n 1  M n .  n 1 (7.29) Подставляя в (7.29) формулы для определения Qn и Qn+1, получим выражение Rnоп  M n 1  M n M n  M n 1 M n1  1 M       1  M n  n1 .  n1 n  n 1   n  n1  n _ F=1 n-1 Rn (7.30) n+1 n ℓn ℓn+1 1.0 Л.в. R0n Мn Мn-1 Мn+1 Мn-1 α1 Мn a2 Мn+1 Эп. Моп Рис. 7.14 Тогда с учётом (7.30) выражение (7.28) принимает вид  1 M M 1   M n  n 1 . Rn  Rno  n 1    (7.31)  n 1   n  n 1  n Qn Qn+1 Rn Рис. 7.15 Для построения линий влияния формула (7.31) преобразуется в следующее выражение: 103 Л .в.Rn  Л .в.Rno  Л .в.М n 1  1 Л .в.М n 1 1   Л .в. М n     . (7.32) n     n n 1  n Формы линий влияния опорных моментов, внутренних усилий и опорной реакции для неразрезной балки приведены на рис. 7.16. 1 К 2 3 Л.в. М0 Л.в. М1 Л.в. М2 Л.в. М0к Л.в. Мк Л.в. Q0к Л.в. Qк Л.в. R01 Л.в. R1 Рис. 7.16 104 8. РАСЧЁТ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 8.1. Основы метода При расчёте статически неопределимых систем применяются: а) метод сил; б) метод перемещений; в) смешанный и комбинированный методы; г) метод конечных элементов (МКЭ) и др. В методе сил за неизвестные принимают X i в устранённых связях, а дополнительными уравнениями являются условия совместности основной и заданной систем, записываемых в виде уравнений, описывающих равенство перемещений в направлении этих устранённых связей. В методе перемещений наоборот  неизвестные выбирают в виде перемещений Z i , а дополнительными уравнениями являются условия совместности основной и заданной систем, записанных в виде статических уравнений. Основная система в методе сил обычно выбирается статически определимой. В методе перемещений основная система всегда статически неопределимая. Метод перемещений имеет преимущество перед методом сил в том, что для сложных конструкций количество неизвестных в методе перемещений меньше, чем в методе сил. Другим преимуществом метода перемещений перед методом сил является то, что в методе перемещений для любой заданной системы возможен только один вариант основной системы, тогда как в методе сил для заданной системы можно выбрать несколько вариантов основной системы. При расчёте рамных систем методом перемещений принимают следующие допущения: а) деформациями стержней, работающих на изгиб от продольных и поперечных сил, пренебрегают; б) ввиду малости перемещений хорды отрезки, соединяющие концы любого стержня, принимаем равными длине самих стержней; в) сближение концов стержня при его изгибе как от внешней нагрузки, так и от смещения узлов рамы не учитываем. За неизвестные в методе перемещений принимают (рис. 8.1) перемещения Z  углы поворота жестких узлов рамы и линейные смещения узлов рамы. 105 Узел 1 Узел 2 Z1 Z3 h/2 Z3 Z2 F h h/2 ℓ Рис. 8.1 8.2. Выбор основной системы Основную систему в методе перемещений выбирают из заданной путём введения во все жёсткие узлы условных жёстких заделок. В направлении возможных линейных подвижек элементов заданной системы ставят условные простые кинематические связи, препятствующие линейным подвижкам этих элементов. Следует отметить, что условные жёсткие заделки предотвращают только угловые перемещения, но не препятствуют линейным перемещениям этих узлов. В методе перемещений заданная стержневая система превращается в совокупность однопролётных статически неопределимых стержней, известные решения которых используются при расчёте рассматриваемых заданных систем. В методе перемещений имеет место не статическая, как в методе сил, а кинематической неопределимость заданной системы. Кинематическую неопределимость n определяют по выражению n  nу  nл , (8.1) где n у  число жестких узлов, в которые необходимо ввести условные жёсткие заделки, устраняющие возможные повороты узлов; n л  число простых кинематических связей, которые необходимо ввести в заданную систему, чтобы устранить возможные линейные подвижки элементов рамы. Пример. Определить степень кинематической неопределенности рамы, показанной на рис. 8.1. 106  n у  2 , т.к. рассматриваемая рама имеет два жёстких узла, обозначенных на схеме цифрами 1 и 2. Для определения n л во все узлы заданной рамы вводят шарниры (рис. 8.2), тем самым превращая заданную схему рамы в геометрически изменяемую систему. Узел 2 Узел 1 h ℓ Рис. 8.2 В дальнейшем исследование такой системы сводится к определению того количества простых кинематических связей, которые необходимо поставить в неё для того, чтобы превратить её в геометрически неизменяемую систему. Для этого по формуле nл = 3Д - 2Ш  С0 из первого раздела настоящего курса определяем n л  3  5  2  4  6  1. (8.2) Из (8.2) очевидно, что заданная на рис. 8.1 система имеет одну линейную подвижку. Таким образом, согласно выражению (8.1) степень кинематической неопределимости рассматриваемой рамы будет равна n  ny  nл  2  1  3. (8.3) При выборе основной системы метода перемещений в жёсткие узлы 1 и 2 заданной системы вводим условные защемления, устраняющие поворот, примыкающих к этому узлу поперечных сечений стержней. Затем в направлении возможной линейной подвижки вводим одну условную простую кинематическую связь 3, которая устраняет возможное линейное смещение горизонтального элемента рамы (ригеля). На рис. 8.3 показана выбранная из заданной (рис. 8.1) основная система. 107 Из анализа основной системы видно, что она представляет собой набор однопролётных статически неопределимых балок. Как правило, такими балками являются балки двух типов  защемлённые с обеих сторон и балки, защемлённые с одной стороны и шарнирно опёртые с другой. Исходя из этого, основную систему метода перемещений в обобщённом виде можно представить как систему, состоящую из набора определённого количества конечных элементов. Однажды рассчитав эти статически неопределимые балки от действия различного вида внешней нагрузки и перемещений, их можно использовать для расчёта любых статически неопределимых стержневых систем методом перемещений. В прил. 3 приведены данные расчёта часто встречающихся в инженерной практике статически неопределимых балок. Z2 Z1 Z3 EJр Связь 3 Связь 1 Связь 2 h EJС EJС ℓ Рис. 8.3 8.3. Канонические уравнения метода перемещений В каждой условно введенной связи основной системы возникают реактивные усилия как от действия внешней нагрузки, так и от смещения связи. В заделках возникают реактивные моменты, а в линейных связях  реактивные усилия. Условия эквивалентности заданной и основной систем в методе перемещений записывают в виде системы канонических уравнений  r11  Z1  ...  r1i  Z i  ...  r1n  Z n  R1F  0;  .............................................................   ri1  Z1  ...  rii  Z i  ...  rin  Z n  RiF  0;  ............................................................   rn1  Z1  ...  rni  Z i  ...  rnn  Z n  RnF  0. 108 (8.4) Канонические уравнения метода перемещений (8.4) описывают реактивные усилия в условных связях и заделках основной системы как от перемещений этих связей и заделок, так и от заданной внешней нагрузки. Физический смысл коэффициентов при неизвестных перемещениях Zi заключается в том, что rij представляет собой реактивное усилие в i-й условной заделке или связи в основной системе от перемещения j-й условной заделки или связи на единицу. Физический смысл свободного члена RiF системы канонических уравнений метода перемещений заключается в том, что он представляет собой реактивное усилие в i-й условной связи или заделке от внешней нагрузки. Равенство нолю каждого из уравнений означает, что в заданной системе нет ни заделок, ни связей, т.к. они являются условными. Система канонических уравнений метода перемещений в матричной форме имеет следующий вид:    rij  Z i  RiF  0 , (8.5)    где rij  матрица реакций; Ri F  вектор реакций от внешней нагрузки; Z i  вектор искомых перемещений. В матрице реакций различают «главные» реакции r11 , r22 , …, rnn , имеющие индексы i = j, и побочные реакции r12 , r13 , …, r1, n и т.д., у которых i  j .  r11 r12 ... r1n   R1F   Z1    R   Z   r21 r22 ... r2 n   (8.6) rij  ; RiF   2 F ; Z i   2  .  ... ... ... ...   ...   ...  r  R  Z   n1 rn 2 ... rnn   nF   n «Главные» реакции всегда положительны. Побочные реакции могут иметь любой знак и обладают свойством взаимности, т.е. rij  r ji .  Матрица жёсткости rij обладает рядом свойств: 1) определитель этой матрицы всегда положителен;  2) матрица rij всегда симметрична относительно главной диагонали; 3) произведение двух «главных» реакций всегда больше квадрата соответствующего побочного перемещения rii r jj  rij 2 . Для определения значений элементов rij матрицы реакций строят эпюры моментов M i от перемещений Z i  1 условных заделок и связей. На рис. 8.4 показаны такие эпюры, построенные для основной системы, изображённой на рис. 8.3. Значения ординат эпюр M i взяты из прил. 3. 109 В строительной механике имеются два метода определения значений элементов rij матрицы реакций: 1) кинематический, который основан на правиле П.Верещагина (аналогично определению перемещений) путём перемножения эпюр; 2) статический, использующий уравнения равновесия. Связь 1 4EJр ℓ Связь 2 Z1=1 Z2=1 Связь 3 4EJр ℓ 4EJc h Связь 1 Z3= 1 Связь 3 2EJр ℓ _ Эп. М1 2EJc h Z3= 1 2EJр ℓ 3EJc h _ Эп. М2 6EJр ℓ Z3=1 6EJc h2 3EJc h2 _ Эп. М3 6EJc h2 4EJc 6EJc h h2 2EJc 6EJc h h2 3EJc 3EJc h h2 6EJр ℓ _ Эп. М∑ Рис. 8.4 Наиболее рациональным методом определения реактивных усилий rij является статический метод. В соответствии с этим методом используют два уравнения статики  либо уравнение моментов  М  0 , либо сумму проекций на ту или иную ось, например у,  у  0 , сил, действующих на рассматриваемую часть основной системы метода перемещений. 110 Рассмотрим в качестве примера определение реактивных усилий rij по эпюрам, показанным на рис. 8.4. Связь 3 r11 r12 4EJр ℓ Связь2 а r33 2EJр ℓ 3EJc h2 Связь2 4EJc h б Связь 1 r23 в Связь2 Растянутое волокно Связь2 12EJc h3 г Связь 1 3EJc h3 Рис. 8.5 Для определения, например, реактивного усилия r11 , которым является изгибающий момент, возникающий в условной заделке 1 от поворота этой заделки на единицу, мысленно вырежем на эпюре М 1 узел 1 (см. рис. 8.5, а). Реактивный момент r11 направлен в сторону заданного перемещения Z1. Рассматривая равновесие этого узла, запишем 4 EJ p 4 EJ 4 EJ p 4 EJ  М  r11    h c  0  r11    h c . Реактивное усилие r12 представляет изгибающий момент, возникающий в условной заделке 1 от поворота условной заделки 2 на единицу. В соответствии с этим на эпюре М 2 мысленно вырежем узел 1 (см. рис. 8.5) и снова составим уравнение равновесия:  М  r12  2 EJ p   0  r12  2 EJ p  . Проводя аналогичные рассуждения, нетрудно найти реактивное усилие 3EJ (см. рис. 8.5, в) r23   2 c . В случае, если реактивным усилием является h продольное усилие в условной связи (в данном случае это условная связь 111 3) уравнение равновесия представляет собой  х  0 . Для того чтобы со- ставить это уравнение на эпюре (эпюра М 3 ), построенной от линейного перемещения условной связи 3, мысленно делают сечение и рассматривают равновесие (см. рис. 8.5, г) оставшейся части рамы. В рассматриваемом 12 EJ c 3EJ c 15EJ c примере  х  r33  .  3  0  r33  3 h h h3 Для оценки правильности вычисления коэффициентов rij строят суммарную единичную эпюру М  (см. рис. 8.4). Произведение этой эпюры саму на себя должно давать сумму всех коэффициентов при неизвестных. Эп.M   Эп.M  n n    rij . (8.7) EJ i 1 j 1 В случае отсутствия равенства (8.7) проводят построчную проверку. Эп. M   Эп.M 1  r11  r12  ...  r1n ; EJ Эп .M   Эп .M 2   r21  r22  ...  r2 n ; EJ …………………………... Эп .M   Эп .M n   rn1  rn 2  ...  rnn . EJ  (8.8) Для определения свободных членов RiF системы канонических уравнений (8.4) метода перемещений в основной системе строят так называемую грузовую эпюру M Fo , показанную на рис. 8.6. При построении этой эпюры используют стандартные решения из прил. 3. Значения RiF находят, используя те же методы, которые используются для определения коэффициентов rij . Так для определения значения реактивного усилия R1F мысленно вырезают узел 1, а усилия R2 F  узел 2. Из уравнений равновесия находят соответственно: R1F Fhc q 2   и 8 12 q 2 R2 F  . Реактивное усилие R3F , которым в данной задаче является 12 продольное усилие в условной заделке 3, определяют мысленно делая сечение на эпюре M Fo по стойкам близко к ригелю. Из суммы проекций на 112 горизонтальную ось можно найти R3F   Связь 1 F 2 qℓ2 12 qℓ2 12 Связь 2 Fh 8 Связь3 qℓ2 24 Fh 8 Эп. М 0F Fh 8 Рис. 8.6 Проверка правильности определения значений осуществляется в соответствии с выражением n Эп .M   Эп .M Fо  мет .сил      RiF , EJ RiF (8.9) i 1 где Эп.M Fo  эпюра изгибающих моментов (рис. 8.7) от внешней нагрузки, построенная в любой статически определяемой системе, являющейся основной системой метода сил рассчитываемой заданной системы. qℓ2 2 qℓ2 2 qℓ2 2 Fh 2 Эп. М0'F (метод сил) Рис. 8.7 113 8.4. Решение системы канонических уравнений и построение эпюр внутренних усилий Найденные значения коэффициентов при неизвестных rij и свободных членов RiF подставляют в систему (8.4) канонических уравнений метода перемещений и решают любым известным в линейной алгебре способом. В результате решения системы канонических уравнений метода перемещений находят значения Zi искомых перемещений. Нахождение искомых значений перемещений Zi означает, что заданная к расчёту (заданная система) стержневая конструкция становится кинематически определимой. Все внутренние усилия, возникающие в поперечных сечениях стержней от найденных перемещений Zi и от заданной внешней нагрузки, могут быть в соответствии с принципом суперпозиции определены из выражения n Эп. М итог   Эп.M i  Z i  Эп.М Fo . (8.10) i 1 Необходимым контролем правильности построения эпюры Митог является условие равновесия изгибающих моментов в жёстких узлах рассчитываемой конструкции. В основной системе метода перемещений единичные M i и грузовая M Fo эпюры являются неуравновешенными. Но единичные эпюры M i , будучи каждая умноженная на соответствующее ей перемещение Zi и сложенные друг с другом и грузовой эпюрой M Fo , обязательно должны в итоге давать эпюру моментов Митог с уравновешенными в жёстких узлах моментами. Отмеченное условие правильности построения итоговой эпюры моментов Митог является необходимым, но недостаточным. Достаточным условием правильности построения эпюры Митог является проведение деформационной проверки, суть которой изложена в разделе 6 настоящего курса. При этом не имеет значения, с использованием какого метода – метода сил или метода перемещений – построена итоговая эпюра моментов Митог. Поэтому для проведения деформационной проверки из заданной рассчитываемой системы выбирают любую основную систему метода сил, в которой строят любую эпюру моментов M i от действия неизвестной силы X i  1. Соблюдение условия Эп.М итог  Эп.М i  метода сил   0 свидетельствует о правильности поEJ строения эпюры Митог. Построение эпюр поперечных Q и продольных N сил осуществляют точно так же, как это делается (см. гл. VI настоящего курса) при решении статически неопределимых задач методом сил. 114 9. ОСНОВЫ ДИНАМИКИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 9.1. Основные понятия В предыдущих разделах был рассмотрен расчёт стержневых систем при действии статических нагрузок, которые изменялись достаточно медленно от нулевого до конечного значения и больше во времени не изменялись. Однако в практике создания и эксплуатации транспортных сооружений имеются нагрузки, которые во времени изменяют и свою величину, и направление действия. Нагрузки, которые являются функциями от времени, называются динамическими. Динамические нагрузки, зависящие от времени, при действии на элементы конструкции вызывают их колебания. Поэтому в колеблющихся элементах конструкции появляются инерционные силы, вызывающие возникновение в поперечных сечениях колеблющихся элементов дополнительные внутренние усилия. Автопоезда, движущиеся по дорогам, мостам, передают динамические нагрузки, изменяющиеся во времени. Автомобильная дорога, мост могут колебаться, и эти колебания могут сильно возрастать, вызывая большие инерционные силы. Особенно опасны колебания при резонансе, когда напряжения и деформации могут достигать бесконечности, т.е. наступает разрушение конструкции. Инженер должен уметь применять меры, направленные на уменьшение эффекта динамических воздействий. В практике расчётов всё многообразие динамических нагрузок условно подразделяют на пять видов: 1. Вибрационная (периодическая, гармоническая) нагрузка. Такой вид нагрузки изменяется во времени по периодическому закону. Чаще всего таким законом является либо закон синуса, либо косинуса. Как правило, вибрационные нагрузки создаются вращением неуравновешенных масс. Например, вращение коленчатого вала автомобиля. 2. Ударная нагрузка, время действия которой составляет десятые доли секунды. Характерным примером создания ударной нагрузки является работа копра при забивке свай. 3. Импульсная нагрузка, время действия которой составляет сотые доли секунды. Характерным примером импульсной нагрузки является удар железнодорожного колеса при движении поезда о стык рельс. 4. Подвижная нагрузка, к которой относят автомобили, железнодорожные поезда, поезда метрополитена. 115 5. Сейсмическая нагрузка, характерная хаотичным изменением во времени и своей величины, и направления. В настоящем курсе рассматривается действие только вибрационной нагрузки. 9.2. Определение числа степеней свободы В динамике сооружений число степеней свободы равно числу независимых геометрических параметров, определяющих положение колеблющихся масс в любой момент времени. Из приведённого определения числа степеней свободы очевидно, что в динамике сооружений, в отличие от статики, появляется ещё одна координата – время. Определение числа степеней свободы удобно проводить путём наложения связей. Минимальное число связей, устраняющих возможные перемещения масс, будет равно числу степеней свободы системы. При определении числа степеней свободы можно вводить допущения, упрощающие их нахождение. Рассмотрим пример определения числа степеней свободы для простой балки, несущей массу m. Число степеней свободы такой балки равно 1 (рис. 9.1), так как масса m может колебаться только в вертикальном направлении. M ● Рис. 9.1 Перемещением массы по горизонтали пренебрегаем. Пренебрегаем также вращением массы. Массу закрепляем одной вертикальной связью, устраняющей возможное вертикальное перемещение массы. Если на балке расположено n колеблющихся масс (рис. 9.2), то число степеней свободы такой балки равно n. m1 m2 ● mi mn ● ● ● Рис. 9.2 Рассмотрим раму, на стойке которой прикреплена колеблющаяся масса m (рис. 9.3). Учитывая, что изгибная жёсткость EJ ригеля есть конечная величина, масса m может колебаться как в горизонтальном, 116 так и вертикальном направлениях. Число степеней свободы рассматриваемой системы равно 2. ● m Рис. 9.3 Из приведенного примера очевидно, что число степеней свободы и число колеблющихся масс в рассматриваемой системе не всегда могут совпадать. 9.3. Собственные колебания систем с одной степенью свободы без учёта сил сопротивления внешней среды Рассмотрим невесомую балку, весом которой по сравнению с массой m пренебрегаем (рис. 9.4). m ● y(t) y x J F δ11 Рис. 9.4 Рассмотрим положение массы m в момент времени t. Отклонение массы обозначим y(t). В отклонённом положении на массу m действует сила 117 инерции J, равная произведению массы на ускорение, что известно из курса физики. d2y J (t )  m 2 . (9.1) dt Перемещение массы определяем через единичное перемещение в соответствии с выражением у (t )  J (t )   11 . (9.2) Перемещение  11 в (9.2) представляет собой перемещение, найденное от действия силы F=1, приложенной в точке прикрепления массы m. С учетом (9.1) выражение (9.2) принимает вид у ( t )  m d2y dt 2   11 . (9.3) Перенося в (9.3) все члены в левую часть уравнения, получим дифференциальное однородное уравнение, описывающее собственные колебания системы с одной степенью свободы без учёта сил сопротивления внешней среды: d2y у (t )  m 11 2  0 . (9.4) dt Для приведения этого уравнения к стандартному виду разделим все слагаемые в (9.4) на произведение m 11 . d2y dt 2  1  y  0. m 11 (9.5) 1 . Тогда дифференциальное уравнение m 11 (9.5) принимает стандартный вид d2y   2 y  0. (9.6) 2 dt Обозначим в (9.5)  2  Получили уравнение, описывающее собственные колебания системы с одной степенью свободы. Параметр   собственная частота колебаний. 118 В математике получено решение уравнения (9.6), которое имеет следующий вид: y  A1 sin t  A2 cos t , (9.7) где A1 , A2  произвольные постоянные интегрирования. Для определения A1 , A2 используем начальные условия, имеющие место в момент t=0. При t=0 начальный прогиб y  у 0 , начальная скорость    0 . Подставим в (9.7) t=0. у  А1  sin 0  A2  cos 0  y 0 . (9.8) Из (9.8) находим, что А2  у 0 . Для определения постоянного интегрирования А1 необходимо взять первую производную по времени от выражения (9.7), т.е. найти выражение, по которому в процессе колебания изменяется скорость перемещения колеблющейся массы. dy    A1 cos t  A2 sin t . dt (9.9) Подставляя в (9.9) t=0, получим   А1 cos 0  A2 sin 0   0 . (9.10) 0 . С учётом найденных значений постоян ных интегрирования решение дифференциального уравнения (9.7) принимает окончательный вид Из (9.10) найдём, что А1  у 0 sin t  y 0 cos t .  (9.11) Получим закон перемещения массы. Предположим, что колеблющаяся масса m находится в покое и мы её вывели из равновесия, придав ей ка кую-то начальную скорость  0 . Тогда y  0 sin t . Если в начальный мо мент времени балка уже была изогнута (см. рис. 9.4) и она стала совершать колебания, то начальная скорость колебаний при этом  0  0 . Тогда уравнение колебаний примет вид y  y 0 cos t . Оба эти закона одинаковы по своему характеру, только смещены по фазе. Для анализа колебаний при- 119 0 sin t и построим его график (рис. 9.5), построенный со гласно приведённым данным (табл. 9.1). мем закон y  Таблица 9.1 t t y  2  2    3 2 3 2 2  2 Т А А t Рис. 9.5 Из анализа графика (см. рис. 9.5) очевидно, что все циклы колебаний одинаковые. Наибольшее отклонение массы от положения статического равновесия равно постоянной величине, которая носит название амплиту ды колебаний А  0 . Удвоенная величина амплитуды колебаний состав ляет размах колеблющейся точки. Время Т, за которое балка совершает полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Из анализа гра2 фика (см. рис. 9.5) можно записать, что Т  . Число полных циклов ко лебаний в единицу времени называется частотой колебаний; если взять за единицу времени 2 с, то частота собственных (свободных) колебаний 2 -1 1  с . Учитывая, что  2  , частота собственных колебаний Т m 11 может быть определена из выражения 1  . (9.12) m 11 120 9.4. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы Рассмотрим балку (рис. 9.6) с массой m. К массе приложена F(t) – возмущающая сила, создающая вынужденные колебания и изменяющаяся по гармоническому закону F (t )  F0 cos  t. Частота возмущающей силы обозначена символом  , а амплитудное значение возмущающей силы – F0. F(t) ● m y(t) x J y F Рис. 9.6 Рассмотрим положение массы m в момент времени t. Отклонение массы обозначим y(t). В отклоненном положении на массу действуют силы: F(t) – возмущающая сила; J(t) – сила инерции;   частота возмущающей силы; F0  амплитуда силы F(t). Силами сопротивления, которые возникают при колебаниях, пренебрегаем. Перемещение массы в любой момент времени через единичное перемещение определяем по выражению у (t )  F (t )  J (t ) 11 . (9.13) Подставим в (9.13) вместо инерционной силы J(t) выражение, представленное формулой  d 2 y y (t )   F (t )  m 2  11 . (9.14) dt   После раскрытия скобок в уравнении (9.14) и деления всех слагаемых на произведение массы и единичного перемещения получаем d 2 y (t ) dt 2  1 1 y (t )  F (t ) . m 11 m 121 (9.15) 1  собственная частота колебаний. m 11 Обозначим в (9.15)  = Уравнение (9.15) принимает вид d2y dt 2 2y  1 F0 cos t . m (9.16) Как известно, полное решение дифференциального уравнения (9.16) представляют в виде у  y 0  y 2 . Общее у0 решение представляет собой решение однородного дифференциального уравнения. Частное у2 решение d 2 y2 уравнения (9.16) ищем в виде у 2  C cos t ;  С 2 cos t. С учётом 2 dt изложенного уравнение (9.16) примет следующий вид: 1 F0 cost. m  C 2 cost   2 C  cost  (9.17) Из уравнения (9.17) следует, что постоянная интегрирования С может быть найдена из выражения C С учетом  2  F0 m( 2   2 )  F0 2  2 m 1  2       . 1 постоянная интегрирования С m 11 (9.18) получается равной C F0 11  y ст . (9.19) 2 2 1 2 1 2   В (9.19) yст = F0δ11. Замечаем, что амплитуда вынужденных колебаний от силы, изменяющейся по гармоническому закону, больше, чем прогиб от 1 силы, приложенной статически. Обозначим    динамический 2  1 2  коэффициент. График изменения динамического коэффициента μ в зави симости от отношения показан на рис. 9.7.  122 μ 1 1 2 3 Θ/ω Рис. 9.7  = 1, коэффициент μ равен ∞, что означает бесконечно большие  прогибы в конструкции, а это равносильно ее разрушению. Явление, при котором частота собственных колебаний ω совпадает с частотой возмущающей силы  , называется резонансом. Резонанс опасен для конструкций, поэтому надо стремиться к тому, чтобы частоты ω и  не совпадали. Полное решение дифференциального уравнения (9.16) для вынужденных колебаний имеет вид  y  y 0 cos t  0 sin t  y ст  cos t . (9.20)  Анализируя выражение (9.20), отмечаем, что первые два слагаемые описывают собственные колебания и быстро затухают. Третье слагаемое описывает вынужденные колебания, которые остаются и имеют ту же частоту, что и возмущающая сила F(t). При 9.5. Собственные колебания системы с конечным числом степеней свободы Рассмотрим балку (рис. 9.8) с n сосредоточенными массами, которые совершают собственные колебания в вертикальной плоскости. Вращения, горизонтальные смещения масс и силы сопротивления внешней среды при анализе колебательного процесса не учитываются. Число степеней свободы такой системы равно n. К каждой из масс приложены силы инерции J1,J2,…, Jn. В этом случае имеют место собственные колебания системы с n степенями свободы. 123 y2(t) y1(t) ● m1 J1 ● ● ● m2 yn(t) yi(t) mi J2 mn Ji Jn Рис. 9.8 Обозначим отклонение масс y1, y2,…, yn, а амплитуды колебаний  A1, A2,…, An. Уравнения движения масс примем в виде, описанном выражениями y1  A1 sin t   ; y 2  A2 sin t   ; ........................... y n  An sin t   . (9.21) В соответствии с принятым законом колебаний (9.21) определим силы инерции: d2y J 1   m1 2 1  m1ω 2 A1 sin( t + ) = m12y1 dt d 2 y2 J 2 =  m2  m2 2 A2 sin( t + ) = m12y1; 2 dt …………………………………………………… (9.22) d 2 yn J n  mn  m n ω 2 An sin ω t  ν   m n ω 2 y n . 2 dt Найдем перемещения точек прикрепления каждой из масс от всех инерционных сил: y1   11m1 2 y1   12 m2 2 y 2  ...   1n mn 2 y n ; y 2   21m1 2 y1   22 m2 2 y 2  ...   2 n mn 2 y n ; ………………………………………… y n   n1m1 2 y1   n 2 m2 2 y 2  ...   nn mn 2 y n . Разделим в (9.23) все слагаемые на ω2 и, обозначая (9.23) 1   (собствен2 ное число), перенося все слагаемые в одну сторону, получим систему ли- 124 нейных однородных алгебраических уравнений, неизвестными в которых являются перемещения у точек прикрепления масс.  m1 11    y1  ...  m i  1i y i  ...  m n  1n y n  0;  ......................................................................   m1 i1 y1  ...  m i  ii    y i  ...  m n  in y n  0 ;  ......................................................................  m1 n1 y1  ...  m i  ni y i  ...  m n  nn    y n  0. (9.24) Система уравнений (9.24) имеет два решения. Первое, когда неизвестные (в данном случае у) равны 0. Такое решение не соответствует физике этой задачи, т.к. оно обозначает, что рассматриваемая балка находится в состоянии покоя. Второе  отличное от нуля, когда (y1  0; y2  0; yn  0 и т.д.). Но это решение возможно лишь в том случае, если ее определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, будет равен нулю. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, представляет собой уравнение, которое называется характеристическим или вековым. Для определения корней λ1, λ2,…, λn этого уравнения каждому значению λi соответствует собственная частота  i  1 . Число частот   равно числу степеней свободы рассматриваемой системы. Покажем первые три формы колебаний для рассмотренной ранее балки (рис. 9.9). m1 11   ... ... ... m i  1i ... ... ... m n  1n ... m1 i1 ... ... m i  ii   ... ... ... ... m n  in ... m1 n1 ... m i  ni =0  вековое уравнение. (9.25) ... m n  nn   Свободные колебания систем могут происходить как по одной из форм колебаний, так и по совокупности нескольких форм. В рассмотренном решении не учтены силы сопротивления, что является приближенным решением. Для практических задач результаты приведенного расчета систем на собственные колебания являются приемлемыми с достаточной степенью точности. Каждой частоте ωi соответствует своя форма колебаний. 125 m1 ● m2 m3 ● ● mn ● 1-я форма 1 2-я форма 2 3-я форма 3 Рис. 9.9 9.6. Вынужденные колебания системы с n степенями свободы Рассмотрим систему (рис. 9.10) с n массами, на которую, кроме того, действует внешняя сила F(t)= F0 cos t, изменяющаяся по гармоническому закону cos t. F(t)= F0 cosΘt m1 m2 ● y1(t) ●у2(t) J1 mi ●yi(t) ● Ji J2 mn yn(t) Jn Рис. 9.10 Перемещения масс определяем в соответствии с принципами суперпозиции и Даламбера, используя при этом единичные перемещения . y1   11 J 1   12 J 2   13 J 3  ...   1n J n  F (t ) 1F ; y 2   21 J 1   22 J 2   23 J 3  ...   2 n J n  F (t ) 2 F ; …………………………………………………… y n   n1 J 1   n 2 J 2   n 3 J 3  ...   nn J n  F (t ) nF . 126 (9.26) В (9.26) J1, J2, … , Jn – инерционные силы;  ij – перемещение в направлении i-й массы от действия силы F = 1, приложенной в точке прикрепления j-й массы;  iF  перемещение i-й массы от действия силы F(t) = 1. Движение масс во времени будет происходить по тому же закону, по которому меняется внешняя возмущающая сила: y1  A1 cost ; y 2  A2 cost ;…; y n  An cost . Силы инерции, приложенные к каждой из масс, имеют вид d 2 y1 J 1   m1 2  m1 2 A1 cost  m1 2 y1 ; dt d 2 y2 J 2   m2  m2 2 A2 cost  m2 2 y 2 ; 2 dt …………………………… ………….. (9.27) 2 d yn J n  mn  mn 2 An cost  mn 2 y n . 2 dt Подставляем (9.27) в систему (9.26) и, сокращая на cost, получаем следующую систему уравнений: *   11 J 1   12 J 2  ...   1n J n  F0 1F  0;  * J 2  ...   2n J n  F0 2 F  0;  21 J 1   22  ................................................................ *  n1 J 1   n 2 J 2  ...   nn J n  F0 nF  0. В (9.28) уравнениях (9.28) главные диагональные коэффициенты   1    1  1  * *  ;  22    22   ; … ;  nn   nn  .  11    11   2 2 2   m  m  m   1   2  n   Следует отметить, что эти коэффициенты в отличие от главных диагональных систем канонических уравнений метода сил и метода перемещений могут быть отрицательными. Решая систему (9.28), находим амплитудные значения инерционных сил J1, …, Jn. Силы инерции будут меняться по такому же гармоническому закону, как и возмущающая сила F(t): J 1 (t )  J 1 cost ; J 2 (t )  J 2 cost ;…; J n (t )  J n cost . Определив инерционные силы, можно определить изгибающие моменты (динамические), которые возникают в поперечных сечениях рассматриваемой конструкции в состоянии наибольших отклонений масс от положения равновесия. В соответствии с этим можно записать 127 М дин  М Ft   M i  J i . (9.29) где M Ft – изгибающий момент от действия амплитудного F0 значения возмущающей силы F(t); M i  изгибающий момент от действия силы F=1, приложенной к точке прикрепления i-й массы. Определив Mдин, можно найти Qдин, используя для этого известную из сопротивления материалов дифференциальную зависимость dM дин Qдин   tg, где  – угол наклона Mдин с осью балки (рамы). dS Вырезая узлы на эпюре Qдин, определяем Nдин. 9.7. Расчет рамы на динамическое действие нагрузки Рассмотрим раму (рис. 9.11). m2 m1 ● h/2 h/2 ℓ/2 ℓ/2 ● ℓ/2 F(t) Рис. 9.11 кН  с 2 кН  с 2 Исходные данные:  = 6 м; h = 4 м; m1 = 4 ; m2 = 3 ; м м F0 = 30 кН; EJ = 7000 кН  м2. 1. Определение числа степеней свободы: каждая из масс m1 и m2 может перемещаться только в вертикальном направлении, следовательно, число степеней свободы рассчитываемой рамы равно 2. 2. Построение единичных и грузовой эпюр. В точке приложения массы m1 прикладываем F = 1 и строим эпюру М 1, изображённую на рис. 9.12. В точке приложения массы m2 прикладываем F = 1 и строим эпюру М 2, изображённую на рис. 9.13. 128 В точке действия возмущающей силы прикладываем амплитудное значение этой силы F0 и строим эпюру MF , изображённую на рис. 9.14. 3. Определение коэффициентов δiK, ΔiF: Эп.М 1  Эп.М 2  1 34  2 6  1  6 3 3  1  6  3 33  EJ 2 EJ 3 EJ EJ 2 128,5  1  1  33 2 3  ; EJ 2 3 EJ  12   Эп.M 2  Эп.M 2 1 2 1   3 4   3   3 6  3  EY 2 EJ 3 EJ + 1  1  3 3 2  3  75 ; 2 EJ 2 3 EJ Эп .М 1  Эп .М 2 1 2 1 1 2 11    46 6   3 6  6   3 3  3  EJ 2 EJ 3 EJ 2 EJ 3 3 2  6  6  2  3  3  2  3  6  246 ;  6 EJ EJ  22   1F   Эп. M F Эп.M 1 1 1 2 1 2 240    2  30   3   2  30  3  30  6   ; EJ EJ 2 3 EJ 6 EJ 2 F   Эп.M F  Эп.M 2 1 1 2    2  30   1,5  EJ 2 EJ 2 3  1 2 120  2  30  1,5  30  3   . EJ 6 EJ _ F=1 6 2 2 3 6 3 3 3 3 _ Эп. М1 Рис. 9.12 129 3 2 _ F=1 3 3 3 3 3 1.5 _ Эп. М2 2 Рис. 9.13 30 кНм 2 F0=30 кН 2 Эп. МF Рис. 9.14 4. Определение собственных частот. Составляем уравнение для определения собственных чисел, которое для данной задачи имеет вид определителя второго порядка (число степеней свободы равно 2).  11 m1    12 m 2 0. m1 21  22 m 2   Раскроем определитель и получим алгебраическое уравнение второго порядка относительно искомого параметра  . 130 2 ( 11m1   )( 22 m2   )   12 m1m 2  0 ; 2  11 22 m1m 2   22 m 2   11 m1  2   12 m1m 2  0 ; 2 2  ( 22 m2   11m1 )   11 22 m1m2   12 m1m2  0. Подставим в последнее уравнение значения перемещений  и решим его: 246  75 246 128,52 2  75   3  4    4   0; EJ  EJ EJ  EJ EJ 2 1209 204887,75   0; EY ( EY ) 2 1209  642130 1209  801,33   . EJ  2 2 EJ 2  12 Корнями уравнения являются найденные значения  . 1  1005,16 ; EY 2  407,67 . EY По найденным значениям  найдём искомые частоты собственных колебаний. 1  1 EJ EJ    0,0315 c 1  EJ ; 1 1005,16 31,7 2  1 EJ EJ    0,0495 c 1  EJ . 2 407,67 20,19 5. Определение инерционных сил. Частоту  возмущающей силы примем равной 0,3min. Тогда частота вынужденных колебаний   0,31  0,00945 EJ . Составим систему уравнений для определения инерционных сил J1 и J2, которая в данном случае принимает вид *   11  J 1   12  J 2  1Ft  0;  *  21  J 1   22  J 2  2 Ft  0. 131 246 1 2583,33   . 2 EJ 4  EJ (0,00945) EJ m1 1 75 1 3697,44     . 2 2 EJ 3  EJ (0,00945) EJ m2 *  11   11  *  22   22 1 2  После подстановки найденных параметров в систему уравнений инерционных сил находим их значения. 128,5 240  397,44  J  J   0; 1 2  EJ EJ EJ  128,5 3697,44 120  J1  J2   0.  EJ EJ EJ  3697 J 1  128,5 J 2  240  0;   128,5 J 1  3697,44 J 2  120. J1 =  0,074 кH; J2 =  0,035 кH. 6. Построение динамических эпюр внутренних усилий Mдин, Qдин, Nдин. Динамическую эпюру М дин построим в соответствии с выражением Эп .М дин  Эп .М 1  J 1  Эп .М 2  J 2  Эп .М Ft . На рис. 9.15 и рис. 9.16 показаны произведения единичных эпюр на соответствующие им инерционные силы, а на рис. 9.17 показана итоговая эпюра Мдин. 0.444 0.444 0.222 _ Эп. М1 J1 Рис. 9.15 132 0.222 0.105 0.105 0.00525 _ Эп. М2 J2 0.0525 Рис. 9.16 0.548 0.548 0.327 α2 α3 α1 Эп. Мдин 30.274 Рис. 9.17 По полученным значениям Mдин строим эпюру Qдин. dM дин  tg ; d Q1  tg1  15,137 кН ; Q3  tg 3  0,074 кН ; Q2  tg 2  14,862 кН ; Q4  tg 4  0,109 кН . Qдин  133 0.109 0.074 15.1 4 14.8 6 Эп. Qдин Рис. 9.18 По построенной эпюре Qдин, показанную на рис. 9.18, используя метод вырезания узлов на эп. Qдин, строим эпюру Nдин (рис. 9.20). Вырезаем узел C так, как это показано рис. 9.19. у Qриг Из суммы проекций на оси х и у находим Nриг х Nриг = 14,86 кН. Qст Nст = 0. Nст Рис. 9.19 По этим данным строим эпюру Nдин, показанную на рис. 9.20 7. Проверка правильности построения эпюр Составим уравнения равновесия, спроецировав все силы, действующие на рассчитываемую раму, на оси х и у соответственно и уравнение моментов. Σx = 15,137 + 14,862 – 30 = 0 Σy = 0,109 – 0,074 – 0,035 = 0 134 ΣmA = 30  2 + 0,074  3 + 0,035  6 – 0,109  9 + 14,862  4 = 0 Равенство нолю последнего выражения означает, что статическая проверка выполняется. 14.86 Эп. Nдин . Рис. 9.20 0.074 кН 0.035 кН 14.86 кН y F=30 кН 15.13 кН 0.074 кН x Рис. 9.21 135 10. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ 10.1. Основные понятия Под устойчивостью понимают способность элементов конструкций сохранять первоначальное положение равновесия при действии на них сжимающих нагрузок. Устойчивость является необходимым условием для каждой инженерной конструкции. Когда первоначальная форма равновесия становится неустойчивой, происходит потеря устойчивости конструкции. Потеря устойчивости может привести к разрушению как отдельного элемента, так и конструкции в целом. Физическим признаком устойчивости формы равновесия служит поведение нагруженной конструкции при её отклонении от положения равновесия на некоторую малую величину. Равновесие конструкции устойчиво, если после устранения причин, вызвавших её отклонение, она возвращается в исходное положение. Если после устранения причин конструкция не возвращается в первоначальное положение, то её первоначальное положение равновесия неустойчиво. Наименьшая сжимающая нагрузка, при которой происходит потеря устойчивости конструкции, называется критической силой Fкр. Основы устойчивости упругих систем были разработаны Л. Эйлером (1744 г.). Им впервые решена задача об устойчивости стержня, сжатого силой F (рис. 10.1). Fв ‹ Fкр ℓ Fв = Fкр ℓ а Fв › Fкр ℓ б в Рис. 10.1 Для сжатого силой F стержня при F < Fкр устойчива прямолинейная первоначальная форма равновесия (рис. 10.1, а). Это состояние характери- 136 зуется тем, что стержень, отклонённый на малую величину от начального положения равновесия, возвращается в первоначальное положение после устранения возмущений. При сжимающей силе F = Fкр (рис. 10, б) происходят разветвления форм равновесия, т. е. возможны две формы равновесия  прямолинейная и криволинейная. В этом случае стержень испытывает состояние, когда бесконечно малое превышение силы F приводит к потере устойчивости. При F > Fкр (рис. 10, в) устойчивыми становятся криволинейные формы равновесия, что ведёт к разрушению стержня. На рис. 10.1 пунктиром показаны неустойчивые формы равновесия. Основной задачей исследования устойчивости конструкций является определение критических нагрузок. Критические нагрузки определяются статическими, энергетическими и динамическими методами. Статический метод. Исследуют равновесие систем в отклонённом состоянии. Получают уравнения, описывающие перемещения систем в отклонённом положении, и определяют величину сжимающей силы, при которой возможно появление новых форм равновесия. Минимальная величина этой нагрузки и будет являться критической силой. Для исследований используют любые методы раскрытия статической неопределимости. Энергетический метод. Этот метод основан на определении критической нагрузки из условия равенства нулю приращения полной энергии системы при переходе её в новое неустойчивое положение равновесия. Если потенциальная энергия системы при этом возрастает, то первоначальное положение равновесия устойчиво. Динамический метод. Это метод основан на использовании колебаний систем. Если колебания системы происходят с уменьшением амплитуды колебаний, то первоначальное положение системы устойчивое. При достижении нагрузкой критического значения внешнее возбуждение приводит к неограниченному росту амплитуд колебаний. 10.2. Определение усилий в сжато-изогнутых стержнях при смещении их опорных закреплений При исследовании устойчивости стержневых систем необходимо определить концевые усилия в стержнях при смещениях их опорных закреплений. Рассмотрим стержень длиной  , жёсткостью EJz , сжатый силой F (рис. 10.2). Предположим, что в результате потери устойчивости стержня, сжатого силой F, левый край его сместился на величину y0 , а поперечное сечение повернулось на угол φ0 . В переместившемся приопорном сечении стержня возникли усилия M0 (изгибающий момент) и Q0 (поперечная сила). На- 137 правления Q0 и M0 выбираем в соответствии с принятыми направлениями для поперечной силы и изгибающего момента. x F y F x y0 M0 F0 φ0 y0 - y Q0 ℓ Рис. 10.2 В произвольном сечении стержня значение изгибающего момента определяется выражением М ( x )  M 0  Q0  x  F ( y  y 0 ) . (10.1) Из теории изгиба, рассмотренного в курсе сопротивления материалов, уравнение изогнутой оси стержня записывается согласно выражению EJ z  y ( x )   M (х). (10.2) Из равенства выражений (10.1) и (10.2) получаем у '' ( x )   Обозначим в (10.3) M 0  Q0 x  F ( y 0  y ) . EJ z (10.3) F  k 2 . Тогда уравнение изогнутой оси стержня EJ z принимает вид y '' ( x )  k 2 y ( x )   ( M 0  Q0 x  Fy 0 ) . EJ z (10.4) Решением неоднородного дифференциального уравнения (10.4) второго порядка является функция 138 y ( x )  C1 sin kx  C 2 cos kx  ( M 0  Q0 x  Fy 0 ) . (10.5) k 2 EJ z Функция (10.5) представляет собой уравнение изогнутой оси сжатого стержня. Согласно известной дифференциальной зависимости получим выражение для угла поворота:  ( x )  y ' ( x )  kC1 cos kx  kC 2 sin kx  Q0 2 k EJ z . (10.6) Для определения постоянных интегрирования C1 и C2 используем граничные условия: при x = 0 y = y0 , а у   у 0 . Подставим эти условия в (10.5) M  Fy 0 и (10.6), получаем y 0  C 2  02 и соответственно k EJ z Q M y 0'  kC1  2 0 . Отсюда постоянные интегрирования C 2  2 0 и k EJ z k EJ z C 1 y 0' Q  3 0 . k k EJ z После подстановки найденных значений постоянных интегрирования в (10.5) и (10.6) выражения для y(x) и у  (x) принимают вид, соответствующий выражениям (10.7) и (10.8). y 0  y 0' sin kx M 0 (1  cos kx ) Q0 (kx  sin kx ) y( x)    . k k 2 EJ z k 3 EJ z y ' ( x )  y 0' cos kx  M 0 sin kx Q0 (1  cos kx )  . kEJ z k 2 EJ z (10.7) (10.8) Продифференцировав по длине стержня, получим выражения для определения внутренних силовых факторов. M z ( x )   EJy ' ' ( x )  kEJy 0' sin kx  M 0 cos kx  Q0 sin kx . k Q y ( x )  k 2 EJy 0' cos kx  kM 0 sin kx  Q0 cos kx . 139 (10.9) (10.10) 10.3 Определение изгибающих моментов и поперечных сил в опорных сечениях Полученные выражения можно использовать для определения усилий в приопорных сечениях стержня при единичных смещениях этих сечений. Для стержня (рис. 10.3), защемлённого с обеих сторон, при повороте левой заделки на угол у 0 = 1 имеют место следующие краевые условия  при x = 0 прогиб y = 0 и угол поворота у 0 = 1, а при x =  прогиб опоры В у  = 0 и угол поворота у  = 0. y0 М0 М0 F F y0 = 1 Q0 Q0 ℓ Рис. 10.3 Подставляя эти условия в (10.9) и (10.10), получаем M0  4 EJ  k(tgk  k) .  k k  8tgk tg    2 2 k 6 EJ 2 . Q0   2  12 tg k  k     2 2 (10.11) ( k) 2 tg (10.12) Используя найденные значения начальных параметров (10.11) и (10.12), находим значение изгибающего момента при x = . M  2 EJ  k(k  sin k) .  k k  4 sin k tg    2 2 140 (10.13) Изгибающие моменты и поперечные силы, возникающие в опорных сечениях при других перемещениях опорных закреплений, приведены в прил. 4. 10.4 Расчёт статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений Как и любой расчёт, расчёт статически неопределимых систем на устойчивость начинается с принятия ряда допущений, позволяющих с достаточной точностью при выполнении инженерных расчётов определить величину критической силы, при которой происходит потеря устойчивости. Определение потери устойчивости рам выполняют в случаях, когда в стержнях до потери устойчивости возникают только продольные силы. Это возможно, когда рама нагружена только узловой нагрузкой. Если рама загружена силами, приложенными вне узлов, то такая нагрузка заменяется узловой нагрузкой. В этом случае критические силы определяются приближённо и находятся лишь наибольшие значения продольных сил. Для расчёта рам на устойчивость применяют метод сил и метод перемещений. Рассмотрим особенности расчёта статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений. Как и при обычном расчёте, сначала определяют по известной формуле n = ny + nл степень кинематической неопределимости. Затем в соответствии с заданной системой выбирают основную систему. Для этого во все жёсткие узлы вводят условные заделки, а в направлении возможных линейных подвижек элементов заданной системы ставят условные простые кинематические связи. Далее записывают систему канонических уравнений, которая имеет вид  r11 Z1  ...  r1i Z i  ...  r1n Z n  0;  .............................................   ri1 Z1  ...  rii Z i  ...  rin Z n  0;  ............................................  rn1Z1  ...  rni Z i  ...  rnn Z n  0. (10.14) Отличительная особенность системы уравнений (10.14), во-первых,  отсутствие свободных членов. Это связано с тем, что вся внешняя нагрузка при расчёте на устойчивость сведена к узлам. Поэтому в основной системе метода перемещений отсутствует грузовая эпюра моментов М Fo . Вовторых, коэффициенты при неизвестных, представляющие собой реактив- 141 ные усилия в условных связях и заделках от единичных перемещений этих связей и заделок, учитывают появление дополнительных моментов на сжатых элементах основной системы. Система уравнений (10.14) является однородной. Поэтому ненулевое решение её возможно лишь тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, будет равен нулю. Поскольку в данном расчёте нет необходимости находить значения перемещений Z, а необхоFкр димо найти параметр    , в котором присутствует искомая критиEJ ческая сила и который содержится в коэффициентах rij, то формирование указанного определителя представляет одну из задач данного расчёта. Такой определитель, называемый уравнением устойчивости метода перемещений представлен выражением r11 ... r1i ... ... ... ... r1n ... ... ri1 ... ... ... ... ... rii ... rn1 ... rni rin  0 . ... (10.15) ... rnn В результате раскрытия определителя (10.15) получается алгебраическое уравнение относительно неизвестных функций, зависящих от искомого параметра  . Эти функции представлены следующими выражениями:  2 tg 1    ; 3tg     2     tg    ;    8tg  tg    2 2   2    1   ; 2    sin   3    3    ;  4    1   ; 1    . 2 3tg        4 sin   tg    2 2 Полученное алгебраическое уравнение решают методом подбора, задаваясь значением параметра . По заданному начальному значению  по таблицам (прил. 5) или по приведённым только что формулам находят значения функций, входящих в решаемое алгебраическое уравнение. Удобно строить график, по оси ординат которого откладывают результат решения этого уравнения, а по оси абсцисс – величину того значения  , при котором получен этот результат. Искомым является то значение параметра  , 142 при котором решаемое алгебраическое уравнение оказывается равным нуFкр. лю. Тогда при найденном значении  из выражения    находят EJ величину критической силы. Если на рассматриваемую статически неопределимую систему действуют несколько сжимающих сил, необходимо знать величины соотношений между ними. Исходя из таких соотношений находят параметры уравнения устойчивости и проводят его решение точно так же, как и при действии на систему только одной сжимающей силы. 143 Приложение 1 Эп. Мi a a b Эп. Мp a·c·ℓ 2 c d c b·c·ℓ 6 a · d· ℓ 2 d a·(c+d)·ℓ 2 d a·d·ℓ 3 b · d· ℓ 3 (2·b·d+b·c)·ℓ 6 a·d·ℓ 4 a·b·ℓ 12 a·c·ℓ 3 c b a (2·a·c+b·c)·ℓ 3 (a·d+2·b·d)·ℓ 6 (2·a·c+2·b·d+b·c+a·d)·ℓ 6 (a·d+3·b·d) ·ℓ 12 (3·a·c+b·c)·ℓ 12 f ℓ/2 d c ℓ/2 f 2·a·f·ℓ 3 a·f·ℓ 3 a·(c+4·f+d)·ℓ 6 (b·d+2·b·f)·ℓ 6 144 (a·c+b·c) ·ℓ 3 (a·c+2·f·(a+b)+b·d)·ℓ 6 Приложение 2 6 Аф 6 Bф B F 2 vu 1  v  . При u  v  0,5 3 2 F 8 F 2 vu 1  u  . При u  v  0,5 3 2 F 8 B q 3 4 q 3 4 B q 3 2 u 2  u 2 4 q 3 2 u 2  u2 4 B q 3 5  4 8 q 3 5  4 8 q 3 7  4 15 q 3 8  4 15 Схемы нагрузки u·ℓ F v·ℓ A ℓ q A ℓ v·ℓ u·ℓ q A   ℓ q A q A B ℓ u·ℓ v·ℓ M A ℓ B    m 1  3v 2 . При u  v  0,5 m  4 145   m 1  3u 2 . При u  v  0,5 m 4 Приложение 3 Эпюра изгибающих моментов 2 Схема балки 1 МА МВ 1 А В RА МА 1 В МВ А МА 3EJ  3i  МА МВ MB  1 ℓ МА RВ RВ 1 ℓ q А 2 6 EJ 2  6i ;  6i   6i  2 3EJ 3i RA  2  ;   RA   МА  МА МВ 3EJ 2  3i  12i 2 RB  RВ 146 3i   2 12 EJ  3 ; 12 EJ  3 3EJ 3EJ 3   3 12i 2 3i 2  q 2 MA  ; 12 RA  q ; 2 q 2 MB  12 RB  q 2 В ℓ  3EJ RB  RA  В МВ 6 EJ 6 EJ RB  RB  МА А МА МА  MA  В RА 2 EJ  2i  ℓ МА RА МB  RВ А RА МВ RВ ℓ RА МА Значения Значения опоропорных ных реакций моментов 3 4 4 EJ 6 EJ 6i МА   4i ; R A  2  ;    3i 2 ; Продолжение приложения 3 1 МА 2 3 q RА q 2 MA  8 МА В А MA  А F а МВ МА Fab 2 2 ; Fb 2  2a   2 1   ;     RB  МВ В в RА MB  Fa 2 b 2 RВ МА F МА А MA  В а  Fb  2  b 2  2 2 в RА МА В в а MA  МВ m RВ RА МА МВ МА m А RА 2  3b ) в RВ mb 2 ( 2    3b); ma M B  2 2  3а   MA  В а Fa 2  2b   2 1       Fb R A  3 (3 2  2  b2 ) ; RB  RВ МА А 3 RA  q 8 RA  RВ ℓ МА 4 5 R A  q ; 8 m 2 2 ( 2  RA  2 3 6ab 3 RA  RA  m;  6ab 3 3m 2 3 m ( 2  2  b ); RB  2 b ) 147 Fa 2 3  a  3m 2 3 ( 2  Окончание прил. 3 1 2 А МА МВ В ℓ Неравномерный нагрев МА А t1 t2 RА МА В ℓ RВ 148 4 EJ t  , h где h высота поR A  RB  0 перечного сечения;   температурный коэффициент линейного расширения; t   t1  t 2 ; t1t2 M A  M B  3EJt   , где h  2h высота поперечноR A  RB  го сечения;   температур-   3EJt  2h ный коэффициент линейного расширения; t   t1  t 2 ; t1t2 M A  M B Неравномерный нагрев МА МВ t1 t2 3 Приложение 4 Схемы стержня и эпюры М Функции 1 2 F 1 3EJ φ (v) ℓ 1 3EJ φ (v) ℓ2 1 ℓ F 1 4 1  32   1    2   3 3  2    2    4EJ φ (v) ℓ 2 6EJ φ (v) ℓ2 4 ℓ  3    2EJ φ (v) ℓ 3  4    F    sin  ;    4 sin   tg    2 2 4 2    2 3   6 4 1  32    1     2    ; 3 3  2   1 ℓ  tg    ;    8tg  tg    2 2 3EJ η (v) ℓ3 1 1    4 2    3 149  42   .  2   Окончание прил. 4 1 F 2 6EJ φ4(v) ℓ2 8 2    4 3     2  2    ; 12 1 12E η2(v) J ℓ  4    6EJ φ (v) ℓ2 4 F 1 EJ 2 v ℓ3 4 2    2 3   12 n Fкр EJ ℓ   n   150 Fкр EJ ; Приложение 5 v φ1(v) φ2(v) φ3(v) φ4(v) η1(v) η2(v) 0.00 0.25 0.50 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50 2.75 3.00 3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00 5.25 5.50 5.75 6.00 6.25 1.0000 0.9958 0.9832 0.9619 0.9313 0.8908 0.8393 0.7751 0.6961 0.5991 0.4793 0.3291 0.1361 -0.1220 -0.4894 -1.0693 -2.1726 -5.3838 +227.80 6.601 3.362 2.152 1.545 1.029 0.551 0.1702 1.0000 0.9979 0.9916 0.9811 0.9662 0.9469 0.9226 0.8936 0.8590 0.8187 0.7720 0.7181 0.6560 0.5846 0.5021 0.4061 0.2933 0.1587 -0.0048 -0.2097 -0.4772 -0.8488 -1.4181 -2.4526 -5.1594 -47.067 1.0000 1.0010 1.0042 1.0095 1.0172 1.0274 1.0403 1.0563 1.0760 1.0998 1.1286 1.1634 1.2058 1.2574 1.3212 1.4008 1.5018 1.6327 1.8070 2.0468 2.3924 2.9232 3.8234 5.6223 10.727 94.186 1.0000 0.9990 0.9958 0.9905 0.9832 0.9737 0.9619 0.9478 0.9313 0.9194 0.8908 0.8665 0.8393 0.8089 0.7751 0.7377 0.6961 0.6501 0.5991 0.5425 0.4793 0.4086 0.3291 0.2390 0.1361 0.0172 1.0000 0.9750 0.8999 0.7743 0.5980 0.3700 0.0893 -0.2457 -0.6372 -1.0884 -1.6040 -2.1917 -2.8639 -3.6428 -4.5727 -5.7568 -7.5060 -11.4050 +221.05 -1.822 -4.973 -6.935 -8.532 -9.981 -11.44 -12.64 1.0000 0.9937 0.9750 0.9437 0.8999 0.8435 0.7743 0.6926 0.5980 0.4906 0.3700 0.2364 0.0893 -0.0713 -0.2457 -0.4341 -0.6372 -0.8550 -1.0884 -1.3377 -1.6040 -1.8882 -2.1917 -2.5162 -2.8639 -3.2380 151 Библиографический список 1. Строительная механика: Учеб. для вузов / Под ред. А.В. Даркова. – М.: Выс-шая школа, 1984. – 567 с. 2. Строительная механика. Стержневые системы: Учеб. для вузов / Под ред. А.Ф.Смирнова. – М.: Стройиздат, 1981. – 512 с. 3. Снитко Н.К. Строительная механика: Учеб. для вузов. – М.: Высшая школа, 1984. – 567 с. 4. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (статика стержневых систем): Учеб. пособие для студентов вузов/ Под ред. Г. Клейна. М.: Высшая школа, 1980.  383с. 5. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений: Учеб. для вузов/ Под ред. А.Ф. Смирнова. – М.: Стройиздат, 1984. – 512 с. 6. Руководство к практическим занятиям по курсу строительной механики (основы теории устойчивости, динамики сооружений и расчета пространственных систем): Учеб. пособие для студентов вузов/ Под ред. Г. Клейна. М.: Высшая школа, 1972. – 320с. 7. Строительная механика: Учеб. для вузов / Под ред. А.Ф. Смирнова. – М.: Стройиздат, 1981. – 208 с. 8. Киселёв В.А. Строительная механика. Специальный курс: Учеб. для вузов. – М.: Стройиздат, 1969. – 431 с. 9. Рабинович И.М. Курс строительной механики стержневых систем: Учеб. для строительных вузов. – М.: Гос. изд-во лит-ры по строительству и архитектуре, 1951. – 544 с. – Ч. II . 152 ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие ……….………………………………………………....…...3 1. Кинематический анализ стержневых конструкций…..……….…..4 1.1. Степень свободы в статике сооружений………………….….........…4 1.2. Опоры………………………….……………………....……………….5 1.3. Геометрический анализ изменяемости стержневых систем………..6 2. Расчёт многопролётных статически определимых балок………..9 2.1.Расчёт многопролётных статически определимых балок на действие статической нагрузки………………………………….……9 2.2. Расчёт многопролётных статически определимых балок на действие подвижной нагрузки……………………………...…..…...11 2.3. Линии влияния опорных реакций…………………………………...11 2.4. Линии влияния внутренних усилий…………………………..……..13 2.5. Линии влияния усилий в сечениях многопролётных статически определимых балок………………………………….….16 2.6. Определение усилий с помощью линий влияния………………….18 2.7. Кинематический способ построения линий влияния……………...19 2.8. Определение расчётного положения подвижной системы нагрузок ………………………………………………………..…..…22 2.9. Узловая передача нагрузки ………………………………………….25 2.10. Определение усилий в матричной форме………………………....26 3. Расчёт распорных систем…………...…………………………………....30 3.1. Общие сведения………………………………………………………30 3.2. Расчёт трёхшарнирной арки на статическую нагрузку………….....31 3.3. Расчёт трёхшарнирной арки на подвижную нагрузку……………..34 3.4. Определение напряжений в сечениях арки…………………………40 3.5. Рациональное очертание оси арки…………………………………..42 4. Плоские статически определимые балочные фермы……………..….45 4.1. Понятие о ферме……………………………………………………...45 4.2. Линии влияния усилий в стержнях ферм…………………………...46 4.3. Загружение линий влияния усилий в стержнях ферм……………...49 5. Определение перемещений в упругих системах…………………...…..51 5.1. Основные понятия и обозначения…………………………………..51 5.2. Действительная работа внешних сил……………………………….52 153 5.3. Обобщённые силы и обобщённые перемещения…………………..53 5.4. Действительная работа внутренних сил……………………………54 5.5. Теоремы о взаимности работ и перемещений……………………...58 5.6. Определение перемещений. Интеграл Мора……………………….61 5.7. Правило П.Верещагина……………………………………………...63 5.8. Определение перемещений от действия температуры…………….66 5.9. Определение перемещений от осадки опор………………………...68 6. Расчёт статически неопределимых систем методом сил……………………………………..……………………….....69 6.1. Понятие о статической неопределимости………………………….69 6.2. Основная система метода сил……………………………...……….70 6.3. Канонические уравнения метода сил…….……………...…………72 6.4. Определение коэффициентов канонических уравнений………….73 6.5. Построение итоговых эпюр внутренних усилий в заданной системе………………………………………….…………75 6.6. Расчёт статически неопределимых рам методом сил на температурные воздействия…………………………….……...76 6.7. Расчёт статически неопределимой рамы на осадку опор………...83 7. Расчёт неразрезных балки…………………………………...………......87 7.1. Уравнения трёх моментов………………………….….……………87 7.2. Определение моментных фокусных отношений……………......…91 7.3. Определение моментов на опорах загруженного пролёта …….…95 7.4. Определение изгибающих моментов и поперечных сил в заданной системе неразрезной балки………………………….....96 7.5. Линии влияния опорных моментов…………………………...……97 7.6. Линии влияния моментов для сечений, расположенных в пролётах неразрезной балки……………………………...…...…..99 7.7. Линии влияния поперечных сил………………………..…………101 7.8. Линии влияния опорных реакций………………….………...……101 154 8. Расчёт статически неопределимых систем методом перемещений…………………………………………………………..…105 8.1. Основы метода………………………………………………...……105 8.2. Выбор основной системы……………………………...…………..106 8.3. Канонические уравнения метода перемещений……………….…108 8.4. Решение системы канонических уравнений и построение эпюр внутренних усилий…………………………………………...114 9. Основы динамики стержневых систем…………………………….…115 9.1. Основные понятия…………………………………………...……..115 9.2. Определение числа степеней свободы…………………...……….116 9.3. Собственные колебания систем с одной степенью свободы без учёта сил сопротивления внешней среды……………...……..117 9.4. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы……………………………………………………………....121 9.5. Собственные колебания системы с конечным числом степеней свободы………………………………….………………..123 9.6. Вынужденные колебания систем с n степенями свободы……….126 9.7. Расчёт рамы на динамическое действие нагрузки ……………….128 10. Устойчивость стержневых систем………………………………..….136 10.1. Основные понятия……………………………….………..…...….136 10.2. Определение усилий в сжато-изогнутых стержнях при смещении их опорных закреплений………………….……..137 10.3. Определение изгибающих моментов и поперечных сил в опорных сечениях………………………………………...……….140 10.4. Расчёт статически неопределимых рам на устойчивость методом перемещений……………………..……………………...141 Приложение 1……………………………………..………………………...144 Приложение 2……………………………………………………..………...145 Приложение 3……………………………………………..………………...146 Приложение 4………………………………………..……………………...149 Приложение 5………………………………..……………………………...151 Библиографический список……………...…………..…………………...152 155 Учебное издание Завьялов Виктор Николаевич, Романовский Владимир Михайлович, Тараданов Евгений Леонидович КУРС ЛЕКЦИЙ ПО СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКЕ *** Редактор И.Г. Кузнецова Подписано к печати 12.12.2005 Формат 60*90 1/16. Бумага писчая Оперативный способ печати Гарнитура Таймс Усл. п. л. 9,75, уч.-изд. л. 9,75 Тираж 200 экз. Заказ № Цена договорная *** Издательство СибАДИ 649099, Омск, ул. П. Некрасова, 10 _____________________________ Отпечатано в ПЦ издательства СибАДИ 649099, Омск, ул. П. Некрасова, 156