Степенные ряды

Степенные ряды От рассмотренных в предыдущей главе числовых рядов перейдем к рядам функциональным, имеющим огромное практическое значение при решении самых разнообразных задач. В данной главе в основном будем рассматривать частный случай функционального ряда – степенной ряд. Ряды вида ∞ u1 ( x) + u2 ( x) + u3 ( x) + K + u n ( x) + K =  un ( x) (1) n =1 членами которых являются функции u1 ( x), u2 ( x), u3 ( x),K , u n ( x) , определенные в некоторой области изменения аргумента x , называются функциональными. Если x какое-либо числовое значение x0 из области определения функций u n (x) , то имеем числовой ряд ∞ u1 ( x0 ) + u 2 ( x0 ) + u3 ( x0 ) + K + u n ( x0 ) + K =  un ( x0 ) , (2) n =1 который может сходиться или расходиться. Если ряд (2) сходится, то точка x0 называется точкой сходимости функционального ряда (1). Если при x = x0 ряд (2) расходится, то точка x0 называется точкой расходимости функционального ряда (1). Для одних точек, взятых из области определения функций u n ( x) , ряд может сходиться, а для других – расходиться. Совокупность всех точек сходимости функционального ряда называется его областью сходимости. Важным частным случаем функциональных рядов являются степенные ряды. Если члены u n ( x) функционального ряда (1) являются степенными функциями аргумента x , то ряд называется с т е п е н н ы м . Степенным рядом называется ряд вида ∞ a0 + a1 ( x − x0 ) + a2 ( x − x0 ) + K + an ( x − x0 ) + K =  an ( x − x0 ) n , (3) 2 n n =1 где x0 и коэффициенты ряда a0 , a1 , a2 ,K , an – постоянные числа. В частности, при x0 = 0 степенной ряд имеет вид ∞ a0 + a1 x + a2 x 2 + K + an x n + K =  an x n . (4) n =1 Ряд (3) будем называть рядом по степеням ( x − x0 ) , ряд (4) – по степеням x . Определение области сходимости степенного ряда (3) базируется на следующей теореме Абеля. Теорема 8 (теорема Абеля). Если степенной ряд (3) сходится при х = x0 , x0 ≠ 0 , то он сходится абсолютно при любом значении х , удовлетворяющем неравенству х < x0 . Следствие. Если степенной ряд (3) расходится при х = x0 , то он расходится и при всяком х , большем по абсолютной величине, чем x0 , т.е. при х > x0 . Вычисление радиуса и исследование области сходимости степенного ряда Радиусом сходимости степенного ряда (4) называется такое число R , что для всех x , x < R , степенной ряд сходится, а для всех x , x > R , расходится. Интервал (− R; R ) называется интервалом сходимости. 1 Условимся для рядов, расходящихся при всех x , кроме x = 0 , считать R = 0 , а для рядов, сходящихся при всех x , считать R = ∞ . Для степенных рядов вида (3) все сказанное выше остается в силе с той только разнице, что теперь центр интервала сходимости будет лежать не в точке x = 0 , а в точке x = x0 . Следовательно, интервалом сходимости будет интервал ( x0 − R; x0 + R ) . Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда ∞ a0 + a1 ⋅ x + a2 ⋅ x 2 + K + an ⋅ x n + K =  an ⋅ x n (5) n =1 К ряду (5), члены которого положительны, применим признак Даламбера. Вычислим предел отношения последующего члена ряда (5) к предыдущему. В отличие от числового ряда, этот предел будет содержать множителем x : un +1 ⋅ x n +1 un +1 ⋅ x n ⋅ x un +1 un +1 ⋅ x un +1 = = = = x ⋅ lim u lim u ⋅ x n lim u ⋅ x n lim u lim u n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n n n n n Для тех значений x , при которых получаемый предел будет меньше 1, ряд сходится, а для тех, при которых больше 1, ряд расходится. Отсюда следует, что, то значение x , при котором этот предел равен единице, и будет являться радиусом сходимости ряда, т.е. R ⋅ lim n →∞ R= un +1 = 1, un 1 u R = lim n . (6)  un +1 n → ∞ u n +1 lim u n →∞ n Аналогично, для ряда (5) можно воспользоваться радикальным признаком Коши и вычислить предел n lim n →∞ un ⋅ x n = x ⋅ lim n un . n →∞ Тогда, радиус сходимости найдем из условия равенства этого предела единице, т.е. R ⋅ lim n un = 1  R = n→∞ 1 n lim n →∞ un .(7) Если радиус сходимости равен бесконечности ( R = ∞ ), то ряд (3) сходится при всех значениях x . Если при всех x ≠ 0 предел окажется равным бесконечности, то ряд будет всюду расходиться (кроме точки x = 0 ) и его радиус сходимости будет равен нулю. Область сходимости степенного ряда. При исследовании области сходимости любого степенного ряда необходимо: 1) вычислить по формулам (6) или (7) радиус сходимости; 2) записать интервал сходимости; 3) проверить поведение ряда на каждой границе интервала. 2 ∞ хn Пример 1. Определить область сходимости степенного ряда  . n =1 n! 1 Решение. Имеем un = . Так как есть факториал, то воспользуемся формулой (6) n! R = lim n→∞ un = lim un +1 n → ∞ 1 1 1 n!(n + 1) n! n! = lim = lim ⋅ = lim ( n + 1) = ∞ 1 n ! 1 1 n →∞ n→∞ n→∞ n!( n + 1) ( n + 1)! Следовательно, ряд сходится на всей числовой оси. ∞ хn Пример 2. Определить область сходимости степенного ряда  . n =1 n 1 Решение. Имеем un = . Воспользуемся формулой (6) n R = lim n→∞ un = lim un +1 n → ∞ 1 1 1 n +1 n + 1 ∞  n = lim n = lim ⋅ = lim = = 1 1 1 ∞  n →∞ n →∞ n n →∞ n n +1 (n + 1) ( n + 1)' 1 = = 1. ( n )' 1 n →∞ = lim Тогда, интервал сходимости ряда: x < 1  − 1 < x < 1 . Проверим поведение ряда на концах интервала. (−1) n 1. При x = −1 , получаем знакочередующийся ряд вида  . Он n =1 n исследуется с помощью признака Лейбница. Составим ряд из модулей, т.е. ∞ (−1) n ∞ 1 =  n  . n =1 n =1 n Напомним признака Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) u n ≥ u n+1 ; 2) lim u n = 0 , то ряд сходится. ∞ n →∞ 1) 1 1 1 1 1 > > >K> > > K выполнено. 1 2 3 n n +1 2) u n = lim = = 0 lim ∞ n→∞ n→∞ n 1 1 выполнено. Значит ряд сходится и можно включить точку x = −1 . ∞ 1n ∞ 1 2. При x = 1 , получаем знакочередующийся ряд вида  =  . Это n =1 n n =1 n гармонический ряд, он расходится. Итак, область сходимости ряда – это интервал − 1 ≤ x < 1 или [−1;1) . 3 ∞ хn Пример 3. Определить область сходимости степенного ряда  n . 3 ( n + 3 ) n =1 1 Решение. Имеем un = n . Воспользуемся формулой (6) 3 (n + 3) 1 1 un 3n (n + 3) 1 3n ⋅ 3 ⋅ ( n + 4) 3n ( n + 3) = lim = lim = lim n ⋅ = R = lim 1 1 1 n → ∞ u n +1 n→∞ n →∞ n → ∞ 3 ( n + 3) 3n ⋅ 3 ⋅ ( n + 4) 3n +1 (n + 1 + 3) 3 ⋅ (n + 4)  ∞  (3(n + 4))' 3 = lim =   = lim = = 3. 1  ∞  n → ∞ ( n + 3)' n → ∞ ( n + 3) Тогда, интервал сходимости ряда: x < 3  − 3 < x < 3 . Проверим поведение ряда на концах интервала. 1. При x = −3 , получаем знакочередующийся ряд вида ∞ ( −1 ⋅ 3) n ∞ ( −1) n ⋅ 3n ∞ ( −1) n (−3) n  3n (n + 3) =  3n (n + 3) =  3n (n + 3) =  n + 3 . n =1 n =1 n =1 n =1 Он исследуется с помощью признака Лейбница. Составим ряд из модулей, т.е. ∞ ( −1) n ∞ 1 =  n+3 n+3. n =1 n =1 Напомним признака Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) u n ≥ u n+1 ; 2) lim u n = 0 , то ряд сходится. ∞ n →∞ 1) 1 1 1 1 1 > > >K> > > K выполнено. 4 5 6 n+3 n+4 2) u n = lim = = 0 выполнено. lim ∞ n →∞ n→∞ n + 3 1 1 Значит ряд сходится и можно включить точку x = −3 . 2. При x = 3 , получаем знакочередующийся ряд вида ∞ ∞ 3n 1  3n (n + 3) =  n + 3 . n =1 n =1 Для исследования этого ряда, воспользуемся достаточными признаками, а именно первым признаком сравнения: ∞ 1 признак сравнения. Пусть даны два знакоположительных ряда  un , n =1 un ≥ 0 и ∞  vn , vn ≥ 0 . n =1 1) Если начиная с некоторого n 0 ∈ N выполняется условие u n ≤ vn , то из ∞ сходимости ряда с большими членами  vn n =1 ∞ членами  un ; n =1 4 вытекает сходимость ряда с меньшими 2) Если начиная с некоторого n 0 ∈ N выполняется условие u n ≥ vn , то из ∞ сходимости ряда с меньшими членами  vn вытекает расходимость ряда с большими n =1 ∞ членами  un . n =1 Алгоритм решения: 1 > 0. n+3 2. Составить ряд vn ≥ 0 . Для этого необходимо отбросить в знаменателе все, кроме 1 наибольшей степени. vn = n 1. Посмотреть, чтобы u n = ∞ 3. Выяснить, как ведет себя ряд  v n . Для этого воспользуемся так называемыми n =1 рядами-эталонами, сходимость или расходимость которых известна заранее: vn = 1 - это n гармонический ряд, он расходится. 1 1 4. Сравнить ряды u n и vn : < n+3 n Чтобы знак неравенства по 2) случаю из теоремы был u n ≥ vn . Допишем в знаменателя 1 ряда любую константу, на сходимость ряда это не повлияет, т.е. vn = . 10n 1 1 Тогда сравниваем ряды u n = и vn = : n+3 10n 1 1 > . n + 3 10n 5. сделать вывод: а это значит по второму случаю из теоремы 2, из сходимости ∞ ряда с меньшими членами  vn вытекает расходимость ряда с большими членами n =1 ∞ ∞ n =1 n =1 1  u n . Значит ряд  n + 3 расходится. Итак, область сходимости ряда – это интервал − 3 ≤ x < 3 или [−3;3) . 3n (n + 1)( х + 7) n Пример 4. Определить область сходимости степенного ряда  . ( n + 5 )( n + 6 ) n =1 n 3 (n + 1) Решение. Имеем un = . Воспользуемся формулой (6) (n + 5)(n + 6) ∞ 5 R = lim n →∞ un = lim un +1 n → ∞ 3n ( n + 1) (n + 5)(n + 6) 3n (n + 1) (n + 5)(n + 6) = = lim n n +1 3 ⋅ 3 ⋅ ( n + 2 ) 3 ( n + 1 + 1) n →∞ (n + 6)(n + 7) ( n + 1 + 5)(n + 1 + 6) 3n (n + 1) ( n + 6)(n + 7) (n + 1)(n + 6)(n + 7)  ∞  = lim ⋅ n = lim = = ( n + 5 )( n + 6 ) 3 ( n + 2 )( n + 5 )( n + 6 ) 3 ⋅ 3 ⋅ ( n + 2 ) ∞  n →∞ n →∞  1  6  7 n1 + n1 + n1 +  n   n   n  ∞  1 = lim  = = .  2   5   6   ∞  3 n →∞ 3n1 + n1 + n1 +   n  n  n Тогда, интервал сходимости ряда: x+7 < 1 1 1 1 1 22 20 > K выполнено. 42 72 2) lim un = lim n 2 + 11n + 30 =  ∞  = lim (n 2 + 11n + 30)' = lim 2n + 11 = ∞ = 0 выполнено. n +1 n→∞ n→∞ ∞  (n + 1)' n→∞ При x = − n 1 n→∞ Значит ряд сходится и можно включить точку x = − 2. 1 22 . 3 20 , получаем знакочередующийся ряд вида 3 n  20  1 1n n n 3 ( n + 1 ) − + 7 3 ( n + 1 )     3 ( n + 1) n ∞ ∞ ∞ (n + 1) n +1  3  = ∞ 3 = ∞  (n + 5)(n + 6)  (n + 5)(n + 6)  (n + 5)(n +36) =  (n + 5)(n + 6) =  2 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 n + 11n + 30 . Для исследования этого ряда, воспользуемся достаточными признаками, а именно вторым признаком сравнения: n 6 2 признак сравнения или признак сравнения в предельной форме: Если для ∞ знакоположительных рядов  un , n =1 un ≥ 0 и ∞  vn , n =1 v n ≥ 0 существует конечный и un lim v = C , C ≠ 0 и C ≠ ∞ , тогда ряды n →∞ n себя одинаково, т.е. одновременно сходятся или расходятся. Алгоритм решения: отличный от нуля предел 1. Посмотреть, чтобы un = ∞  un и n =1 ∞  vn ведут n =1 n +1 > 0. n 2 + 11n + 30 2. Составить ряд v n ≥ 0 . Для этого необходимо отбросить в числителе и n 1 знаменателе все, кроме наибольшей степени: vn = 2 = . n n ∞ 3. Выяснить, как ведет себя ряд  v n . Для этого воспользуемся так называемыми n =1 рядами-эталонами, сходимость или расходимость которых известна заранее: vn = 1 n гармонический ряд, он расходится. 4. Вычислить предел: n +1 un n +1 n n2 + n ∞  n + n + 11 30 = lim 2 ⋅ = lim 2 =  = lim lim 1 ∞  n → ∞ vn n→∞ n → ∞ n + 11n + 30 1 n → ∞ n + 11n + 30 n 2 (n 2 + n)' 2n + 1  ∞  (2n + 1)' 1 = lim 2 = lim =   = lim = = 1 ≠ 0 ≠ ∞ . Ряды ведут себя  ∞  n → ∞ (2n + 11)' 1 n → ∞ ( n + 11n + 30)' n → ∞ 2n + 11 одинаково, значит расходятся. 22 20 ≤x<− или 3 3 Разложение функций в степенные ряды Итак, область сходимости ряда – это интервал −  22 20  − 3 ;− 3  . Как было установлено ранее, сумма степенного ряда S (x ) является непрерывной и бесконечное число раз дифференцируемой функцией в интервале сходимости ряда. Рассмотрим возможность представления заданной функции f (x) в виде суммы степенного ряда, будем называть такое представление разложением функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена Если функция f (x) непрерывна в некотором интервале, содержащем точку x = a , и в этом интервале имеет непрерывные производные от первой до n-го порядка включительно, то она может быть представлена в виде суммы многочлена n-й степени по формуле Тейлора: ∞ f ' (a) f ' ' (a) f ( n ) (a) f ( n ) (a ) 2 n f ( x) = f ( a ) + ( x − a) + ( x − a) + K + ( x − a) + K =  ( x − a) n 1! 2! n! n! n =1 В частном случае, при a = 0 получаем ряд: 7 ∞ f ' (0) f ' ' (0) 2 f ( n ) (0) n f ( n) (0) n f ( x) = f (0) + x+ x +K+ x +K =  x n! n! 1! 2! n =1 Такой ряд называется рядом Маклорена. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена ∞ x x 2 x3 xn xn + + +K+ +K =  . 1! 2! 3! n! n = 0 n! ∞ x3 x5 x 7 (−1) n −1 x 2n −1 (−1) n −1 x 2 n −1 +K =  . 2. sin x = x − + − + K + 3! 5! 7! (2n − 1)! ( 2 n − 1 )! n =1 2 4 6 n 2n ∞ x x x (−1) x (−1) n x 2 n +K =  3. cos x = 1 − + − + K + 2! 4! 6! (2n)! n = 0 ( 2n)! ∞ x 2 x3 (−1) n +1 x n (−1) n +1 x n +K =  4. ln(1 + x) = x − + − K + 2 3 n n n =1 m m ⋅ (m − 1) 2 m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) 3 5. (1 + x) m = 1 + x + x + x +K+ 1! 2! 3! ∞ m ⋅ ( m − 1) ⋅ ( m − 2) ⋅ K ⋅ ( m − n + 1) m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) ⋅ K ⋅ (m − n + 1) n + x +K =  xn n! n! n=0 2 2 n 1 1⋅ x 1⋅ 3 ⋅ x 1⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ x (−1) ⋅1 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ K ⋅ (2n − 1) n 6. = 1− + 2 − +K+ x +K 3 2 ⋅1! 2 ⋅ 2! 2 ⋅ 3! 2 n ⋅ n! 1+ x 1 7. = 1 − x + x 2 − x 3 + K + (−1) n x n + K 1+ x 1 8. = 1 + x + x 2 + x3 + K + x n + K 1− x ∞ x3 x5 (−1) n −1 x 2 n −1 (−1) n −1 x 2 n −1 +K =  9. arctgx = x − + − K + 3 5 2n − 1 2n − 1 n =1 1. e x = 1 + ∞ 10. arcsin x = x + 1 x 3 + 21 ⋅ 3 x 5 + K + 1 ⋅ 3 ⋅n5 ⋅ K ⋅ (2n − 1) x 2n +1 + K =  1 ⋅ 3 ⋅n5 ⋅ K ⋅ (2n − 1) x 2n +1 2⋅3 2 ⋅ 2!⋅5 2 ⋅ n!⋅(2n + 1) n=0 2 ⋅ n!⋅(2n + 1) Приложение рядов к приближенным вычислениям 1. Вычисление значений функций Пример 5. Вычислить с точностью до 0,001 число e . x x 2 x3 xn x Решение. Для любого x имеет место разложение e = 1 + + + + K + + K . 1! 2! 3! n! 2 3 1 1 1 1 При x = 1 получим e = e1 = 1 + + + + K + + K 1! 2! 3! n! Каждое слагаемое выпишем с одним запасным знаком, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления слагаемых: 1 1 1 1 1 1 e = 1 + 1 + + + + + + K = 1 + 1 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 + 0,0009 + K 2! 3! 4! 5! 6! 7! Последнее слагаемое 0,0009 < 0,001, значит его отбрасываем и считаем 1 1 1 1 1 e = 1 + 1 + + + + + = 1 + 1 + 0,5 + 0,1667 + 0,0417 + 0,0083 + 0,0014 = 2,7181. 2! 3! 4! 5! 6! 8 Пример 6. Вычислить 4 630 с точностью до 0,0001. Решение. Для любого x имеет место разложение m m ⋅ (m − 1) 2 m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) 3 (1 + x) m = 1 + x + x + x +K+ 1! 2! 3! ∞ m ⋅ ( m − 1) ⋅ ( m − 2) ⋅ K ⋅ ( m − n + 1) m ⋅ (m − 1) ⋅ (m − 2) ⋅ K ⋅ (m − n + 1) n + x +K =  xn . n! n! n=0 4  630 = 4 625 + 5 = 4 6251 +  При x = 1/ 4  1   5 ⋅ 1 +   125    5  1  1 1 / 4 1 + 1 + 4 = 5 ⋅ = 5 ⋅   625  125  125    1 1 , m = получим 125 4 1 1  1  1  1    1 ⋅  − 1    − 1 − 2  2 3 1 4 4  1  4  4  4  1   4  = 5⋅ 1+ ⋅ +   +   + K  1! 125  2! 3!  125   125      Каждое слагаемое выпишем с одним запасным знаком, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления слагаемых: 1  3 1  3  7    ⋅−     −  −   1  1 1 1 4 4 4 4 4         = 5⋅ 1+ 5 ⋅ 1 + + + ⋅ + K = 2 3    500 2 ! 3 ! 125 125  125      1 3 1 21 1 1 3 21     = 5 ⋅ 1 + − ⋅ + ⋅ − K  = 5 ⋅ 1 + − + − K = 2 3 64 ⋅ 6 125  500 16 ⋅ 2 125   500 500000 750000000  1 3 21 =5+ − + − K = 5 + 0,01 − 0,00003 + 0,00000014 − K 100 100000 150000000 1/ 4 Последнее слагаемое 0,00000014 < 0,0001, значит его отбрасываем и считаем 1/ 4  1   5 ⋅ 1 +   125  = 5 + 0,01 − 0,00003 = 5,00997 . Пример 7. Вычислить sin 18 0 с точностью до 0,0001. Решение. Для любого x имеет место разложение ∞ x3 x5 x7 (−1) n −1 x 2n −1 (−1) n −1 x 2n −1 sin x = x − + − + K + +K =  . 3! 5! 7! (2n − 1)! n =1 (2n − 1)! π π Переведем 180 в радианы, получим 180 = 180 ⋅ = . 10 180 3 5 7 π  π  π        π π π При x = , получим sin 18 = sin = −  10  +  10  −  10  + K 10 10 10 3! 5! 7! Каждое слагаемое выпишем с одним запасным знаком, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления слагаемых (возьмем значение π с 5 знаками после запятой, т.е. π = 3,14159 ): π  π  π        π π  10   10   10  π π3 π5 π7 sin 18 = sin = − + − +K = − + − +K = 10 10 3! 5! 7! 10 6 ⋅1000 120 ⋅10 5 5040 ⋅10 7 3 5 7 = 0,31416 − 0,00517 + 0,00003 − K 9 Последнее слагаемое 0,00003 < 0,0001 , значит его отбрасываем и считаем sin 18 0 = 0,31416 − 0,00517 = 0,30899 . 2. Приближенное вычисление интегралов Приближенное вычисление интегралов основано на разложении подынтегральной функции в степенной ряд. sin x Пример 8. Вычислить  dx с точностью до 0,001. x 1/ 2 Решение. Использовать для вычисления этого интеграла формулу Ньютона– Лейбница мы не можем, так как интеграл является «неберущимся». Для любого x имеет место разложение ∞ x3 x5 x7 (−1) n −1 x 2 n −1 (−1) n −1 x 2 n −1 sin x = x − + − + K + +K =  . 3! 5! 7! (2n − 1)! n =1 ( 2n − 1)! x3 x5 x7 + − + 1/ 2 1/ 2 x − 1/ 2  x2 x4 x6  sin x 3 ! 5 ! 7 !  dx = = = − + − + dx dx 1 K  x    3! 5! 7! x 0   1/ 2 4 1/ 2 6 1/ 2 x2 x x 1 1/ 2 1 1/ 2 4 1 1/ 2 6 =  dx −  − dx +  dx −  dx + K =  dx −  x 2 dx + x dx   x dx + K = 3 ! 5 ! 7 ! 6 120 720 1 1 1 3 1/ 2 5 1/ 2 7 1/ 2 1 x 1 x 1 x 1 1/ 2 = x0 − ⋅ + ⋅ − ⋅ + K = − 8 + 32 − 128 + K 6 3 0 120 5 0 720 7 0 2 18 600 5040 1/ 2 1/ 2 1 1 1 1 − + − +K 2 144 19200 645120 Каждое слагаемое выпишем с одним запасным знаком, чтобы к нашей ошибке не добавлялись ошибки от округления слагаемых: 1/ 2 sin x 1 1 1 1  x dx = 2 − 144 + 19200 − 645120 + K = 0,5 − 0,0069 + 0,00005 − K Последнее слагаемое 0,00005 < 0,001 , значит его отбрасываем и считаем 1/ 2 sin x  x dx = 0,5 − 0,0069 = 0,4931 . = 10