Статистические ряды динамики

1. 2. 3. 4. (слайд) Тема 7. Статистические ряды динамики (слайд) Понятие статистических рядов динамики. Элементы статистического ряда динамики. Расчет среднего уровня статистического ряда динамики. Показатели анализа статистического ряда динамики. Выявление основной тенденции развития явления. (слайд) 1. Понятие статистических рядов динамики. Элементы статистического ряда динамики. (слайд) Результатом группировки и сводки статистических материалов выступают ряды цифр или статистические ряды данных. Они могут характеризовать распределение единиц совокупности по значениям признака в статике – статистические ряды распределения, либо изменение размеров массового общественного явления во времени – статистические ряды динамики. (слайд) Таким образом, статистический ряд динамики – это ряд последовательно расположенных в хронологическом порядке показателей, характеризующих развитие явления во времени. (слайд) Элементами статистического ряда динамики выступают:  уровень ряда (yi) – показатель, характеризующий размер явления,  время (ti). (слайд) Классификация статистических рядов динамики осуществляется по величинам, описывающих значения уровня ряда и времени:  (слайд) величинам, описывающих значения уровня ряда – ряды абсолютных и относительных величин,  (слайд) времени – интервальные статистические ряды динамики – ряды, отражающие процесс формирования явления за определенный период (интервал) времени, моментные статистические ряды динамики – ряды, демонстрирующие размер явления на конкретный момент времени. (слайд) Отражение явления по времени зависит от экономической сущности явления. Например, имеет экономический смысл наблюдать численность населения на конкретные даты (таблица 1) , однако выпуск продукции можно охарактеризовать только как процесс, результат которого формируется за период времени (таблица 2). Таблица 1 Численность населения России, на конец года; млн. человек Всего 2004 143,5 2005 142,8 2006 142,2 2007 142,0 Таблица 2 Валовой внутренний продукт России, млрд. рублей Всего 2004 17048 2005 21625 2006 26904 2008 141,9 2007 33111 2008 41668 Далее необходимо отметить, что и интервальные и моментные статистические ряды динамики могут быть с равноотстоящими по времени уровнями и неравноотстоящими. (слайд) Таким образом, виды статистических рядов динамики по времени:  интервальные 2  моментные - с равными периодами наблюдения, - с неравными периодами наблюдения, - с равными промежутками времени между наблюдениями, - с неравными промежутками времени между наблюдениями. (слайд) 2. Расчет среднего уровня статистического ряда динамики. Средний уровень ряда рассчитывается по-разному, в зависимости от вида ряда динамики по времени:  (слайд) в интервальном статистическом ряду динамики с равными периодами наблюдения – по формуле средней арифметической простой величины (когда общий размер явления за все время наблюдения формируется как сумма размеров явления за каждый период наблюдения): y= ∑y n [1] где n – число периодов наблюдения;  (слайд) в интервальном статистическом ряду динамики с неравными периодами наблюдения – по формуле средней арифметической взвешенной величины (когда общий размер явления за все время наблюдения формируется как сумма произведений размеров явления за каждый период наблюдения на число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется): y= ∑y⋅t ∑t [2] где t – число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется;  (слайд) в моментном статистическом ряду динамики с равными промежутками времени между наблюдениями – по формуле средней хронологической величины (как сумма половины первого и последнего уровней ряда и полных промежуточных уровней ряда, деленная на число моментов наблюдения, уменьшенных на единицу): 1 1 y 1 + y 2 + ... + y n −1 + y n 2 y= 2 n −1 [3] где y1 – первый уровень ряда, y2 - второй уровень ряда, yn-1 - предпоследний уровень ряда, yn - последний уровень ряда;  (слайд) в моментном статистическом ряду динамики с неравными промежутками времени между наблюдениями – по формуле средней арифметической взвешенной величины (как сумма произведений среднего уровня ряда между двумя ближайшими моментами наблюдения на число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется): n y= ∑y i ⋅ ti i =1 [4] n ∑t i i =1 (слайд) где ti- число периодов времени, в течение которых y i не изменяется, y i - средний уровень между двумя ближайшими моментами наблюдения (i-тым и (i+1)-ым), рассчитанный по формуле средней арифметической простой величины 3 yi = y i + y i +1 2 [5] yi -уровень ряда на i–ый момент наблюдения, yi+1 - уровень ряда на (i+1)–ый момент наблюдения. Рассмотрим методику расчета изученных показателей на примерах. (слайд) Пример 1. Имеются следующие данные по торговой организации за отчетный год (данные условные) (таблица 3) Таблица 3 Товарооборот, млн. рублей I квартал II квартал III квартал IV квартал 810,4 770,6 780,3 820,2 Определить товарооборот торговой организации в среднем за каждый квартал отчетного года. (слайд) Решение. 1. Нам предложено к рассмотрению изменение товарооборота торговой организации по кварталам, т.е. статистический ряд динамики. 2. Элементами статистического ряда динамики выступают показатель, характеризующий размер явления – уровень ряда (y) и время (t). В нашем примере уровень ряда (y) – товарооборот, время (t) – квартал. 3. Так как товарооборот – это явление, формирующееся за определенный период (интервал) времени, то нам предложен интервальный статистический ряд динамики, а так как время – кварталы, т.е. равные периоды, то интервальный статистический ряд динамики с равными периодами наблюдения. 4. В интервальном статистическом ряду динамики с равными периодами наблюдения средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней арифметической простой величины (когда общий размер явления за все время наблюдения формируется как сумма размеров явления за каждый период наблюдения): y= ∑ y = 810,4 + 770,6 + 780,3 + 820,2 = 3181,5 = 795,375 n 4 4 [6] Таким образом, в среднем за каждый квартал отчетного года товарооборот торговой организации составлял 795,4 млн.. рублей. (слайд) Пример 2. Имеются следующие данные о среднемесячной заработной плате работника за отчетный год (данные условные) (таблица 4) Таблица 4 I квартал II квартал II полугодие Среднемесячная заработная плата работника, рублей 9150,1 9230,6 9340,8 Определить заработную плату работника в среднем за каждый месяц в отчетном году. (слайд) Решение. 1. Нам предложено к рассмотрению изменение среднемесячной заработной платы работника в течение года, т.е. статистический ряд динамики. 2. Элементами статистического ряда динамики выступают показатель, характеризующий размер явления – уровень ряда (y) и время (t). В нашем примере уровень ряда (y) – среднемесячная заработная плата работника, время, (t) – два квартала и полугодие. 4 3. Так как заработная плата работника – это явление, формирующееся за определенный период (интервал) времени, то нам предложен интервальный статистический ряд динамики, а так как время – кварталы и полугодие, т.е. неравные периоды, то интервальный статистический ряд динамики с неравными периодами наблюдения. 4. В интервальном статистическом ряду динамики с неравными периодами наблюдения средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной величины (когда общий размер явления за все время наблюдения формируется как сумма произведений размеров явления за каждый период наблюдения на число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется): y= ∑y⋅t ∑t = 9150,1 ⋅ 3 + 9230,6 ⋅ 3 + 9340,8 ⋅ 6 111186,9 = = 9265,575 3+3+6 12 [7] Таким образом, в среднем за каждый месяц отчетного года заработная плата работника составляла 9265,6 рубля. (слайд) Пример 3. Имеются следующие данные о численности населения города (данные условные) (таблица 5) Таблица 5 01.01.2009 01.04.2009 01.07.2009 01.10.2009 01.01.2010 Численность населения, тыс. человек 894,2 893,9 894,0 893,8 894,4 Определить среднегодовую численность населения города. Решение. (слайд) 1. Нам предложено к рассмотрению изменение численности населения города в течение года, т.е. статистический ряд динамики. 2. Элементами статистического ряда динамики выступают показатель, характеризующий размер явления – уровень ряда (y) и время (t). В нашем примере уровень ряда (y) – численность населения, время, (t) – первый день каждого квартала. 3. Так как численность населения дана на определенные даты, т.е. моменты времени, то нам предложен моментный статистический ряд динамики, при этом промежуток времени между датами – квартал, т.е. равные промежутки времени, следовательно, моментный статистический ряд динамики с равными промежутками времени между наблюдениями. 4. В моментном статистическом ряду динамики с равными промежутками времени между наблюдениями средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней хронологической величины (как сумма половины первого и последнего уровней ряда и полных промежуточных уровней ряда, деленная на число моментов наблюдения, уменьшенных на единицу): 1 1 1 1 y 1 + y 2 + ... + y n −1 + y n 894,2 + 893,9 + 894,0 + 893,8 + 894,4 2 2 y= 2 = 2 = 894,125 n −1 5 −1 [8] Таким образом, среднегодовая численность населения города составляла 894,1 тыс. человек. (слайд) Пример 4. Имеются следующие данные о численности населения города (данные условные) (таблица 6) 5 Таблица 6 01.01.2009 01.03.2009 01.07.2009 01.08.2009 01.01.2010 Численность населения, тыс. человек 894,2 893,9 894,0 893,8 894,4 Определить среднегодовую численность населения города. Решение. 1. Нам предложено к рассмотрению изменение численности населения города в течение года, т.е. статистический ряд динамики. 2. Элементами статистического ряда динамики выступают показатель, характеризующий размер явления – уровень ряда (y) и время (t). В нашем примере уровень ряда (y) – численность населения, время, (t) – первый день некоторых месяцев. 3. Так как численность населения дана на определенные даты, т.е. моменты времени, то нам предложен моментный статистический ряд динамики, при этом промежуток времени между датами – несколько месяцев, т.е. неравные промежутки времени, следовательно, моментный статистический ряд динамики с неравными промежутками времени между наблюдениями.  4. В моментном статистическом ряду динамики с неравными промежутками времени между наблюдениями средний уровень ряда рассчитывается по формуле средней арифметической взвешенной величины (как сумма произведений среднего уровня ряда между двумя ближайшими моментами наблюдения на число периодов времени, в течение которых уровень не изменяется): n y= ∑y i ⋅ ti i =1 [4] n ∑t i i =1 где ti- число периодов времени, в течение которых y i не изменяется, y i - средний уровень между двумя ближайшими моментами наблюдения (i-тым и (i+1)-ым), рассчитанный по формуле средней арифметической простой величины yi = y i + y i +1 2 [5] yi -уровень ряда на i–ый момент наблюдения, yi+1 - уровень ряда на (i+1)–ый момент наблюдения Следовательно, n y= ∑y i ⋅ ti i =1 n ∑t i 894,2 + 893,9 893,9 + 894,0 894,0 + 893,8 893,8 + 894,4 ⋅2+ ⋅4+ ⋅1+ ⋅5 2 2 2 2 = = 2 + 4 + 1+ 5 i =1 = 894,05 ⋅ 2 + 893,95 ⋅ 4 + 893,9 ⋅ 1 + 894,1 ⋅ 5 10728,3 = = 894,025 12 12 (слайд) Таким образом, среднегодовая составляла 894,0 тыс. человек. численность населения [9] города (слайд) 3. Показатели анализа статистического ряда динамики. (слайд) Показатели анализа статистического ряда динамики классифицируются двумя способами: по способу расчета и по базе сравнения. 6 (слайд) Для количественной оценки динамики изучаемых явлений в зависимости от способа расчета применяются абсолютные и относительные показатели анализа статистических рядов динамики. Напоминаем, что абсолютными величинами в статистике являются величины, имеющие единицу измерения, т.е. именованные величины, а относительными – величины, полученные отношением абсолютных. Абсолютными показателями анализа статистических рядов динамики являются:  абсолютный прирост,  абсолютное значение одного процента прироста. Относительными показателями анализа статистических рядов динамики выступают:  коэффициент (темп) роста,  коэффициент (темп) прироста. (слайд) В зависимости от выбора базы сравнения указанные показатели делятся на цепные и базисные:  цепные (ц) - при сравнении каждого уровня ряда (yi) с предыдущим (yi-1),  базисные (б) - при сравнении каждого уровня ряда (yi) с одним и тем же уровнем, принятым за базу (как правило, с начальным (y1)). (слайд) Таким образом, общий вид показателей анализа статистического ряда динамики следующий: абсолютные показатели:  абсолютный прирост: цепной, базисный,  абсолютное значение одного процента прироста: цепной, базисный, относительные показатели:  коэффициент (темп) роста: цепной, базисный,  коэффициент (темп) прироста: цепной, базисный. Рассмотрим методику расчета показателей. (слайд) Абсолютный прирост (Δy) - выражает абсолютную скорость роста (снижения) уровней ряда динамики. Рассчитывается как разность двух уровней:  цепной: [6] ∆yц = yi – yi-1  базисный: ∆yб = yi – y1 [7] Выражается в единицах измерения уровней ряда и показывает, на сколько единиц измерения ряда сравниваемый уровень ряда больше (меньше) уровня ряда, принятого за базу сравнения. (слайд) Коэффициент роста (Кр) – выражает интенсивность изменения уровней ряда динамики. Рассчитывается как отношение уровней ряда:  цепной: Кр ц =  базисный: yi y i−1 [8] 7 Кр б = yi y1 [9] Выражается в коэффициентах и показывает, во сколько раз сравниваемый уровень ряда больше уровня ряда, принятого за базу сравнения. (слайд) Темп роста (Тр) – это коэффициент роста, выраженный в процентах: Тр = Кр · 100% [10] Показывает, сколько процентов сравниваемый уровень ряда составляет от уровня ряда, принятого за базу сравнения. (слайд) Коэффициент прироста (Кпр) – дает оценку абсолютного прироста в относительных величинах. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню:  цепной: Кпр ц =  yi y i−1 ∆y ц y i − y i−1 = = − = Кр ц − 1 y i−1 y i−1 y i−1 y i−1 [11] ∆y б y i − y 1 y i y 1 = = − = Кр б − 1 y1 y1 y1 y1 [12] базисный: Кпр б = (слайд) При анализе экономический смысл имеет только в процентах, т.е. темпах прироста (Тпр): Тпр = Кпр · 100% = (Кр – 1) · 100% = Кр · 100% - 100% = Тр – 100% [13] Показывает, на сколько процентов сравниваемый уровень ряда больше (меньше) уровня ряда, принятого за базу сравнения. (слайд) Абсолютное значение 1% прироста (A1%) – результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:  цепной: A1% ц =  y i−1 Δy ц Δy ц = = Δy ц 100% Тпр ц ⋅ 100% y i-1 базисный: A1% б = [14] y1 Δy б Δy б = = Δy б 100% Тпр б ⋅ 100% y1 [15] Выражается в единицах измерения уровней ряда. Показывает, сколько единиц измерения ряда составляет изменение явления на 1%. Обычно рассчитывается как цепные показатели, т.к. значения базисных показателей для всех времен явления будут одинаковы. Рассмотрим применение изученных показателей на примере. (слайд) Пример 5. Численность родившихся в России характеризуется следующими данными (таблица 7): Таблица 7 Численность родившихся, 2004 1502,5 2005 1457,4 2006 1479,6 2007 1610,1 2008 1717,5 8 тыс. человек Рассчитать показатели анализа статистического ряда динамики. (слайд) Решение. 1. Абсолютный прирост (Δy) - рассчитывается как разность двух уровней:  цепной: ∆yц = yi – yi-1 т.е, ∆yц2005 = y2005 – y2004 = 1457,4 – 1502,5 = -45,1 ∆yц2006 = y2006 – y2005 = 1479,6 – 1457,4 = 22,2 ∆yц2007 = y2007 – y2006 = 1610,1 - 1479,6 = 130,5 ∆yц2008 = y2008 – y2007 = 1717,5 - 1610,1 = 107,4  [6] (слайд) базисный: ∆yб = yi – y1 т.е, ∆yб2004 = y2004 – y2004 = 1502,5 – 1502,5 = 0,0 ∆yб2005 = y2005 – y2004 = 1457,4 – 1502,5 = -45,1 ∆yб2006 = y2006 – y2004 = 1479,6 – 1502,5 = -22,9 ∆yб2007 = y2007 – y2004 = 1610,1 – 1502,5 = 107,6 ∆yб2008 = y2008 – y2004 = 1717,5 – 1502,5 = 215,0 [7] (слайд) Обобщим полученные результаты в таблицу (таблица 8) 2004 2005 2006 2007 Таблица 8 2008 Численность родившихся, тыс. человек 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 Абсолютный прирост, тыс. человек 130,5 - цепной -45,1 22,2 107,4 -22,9 - базисный 0,0 -45,1 107,6 215,0 Таким образом, численность родившихся в России в 2007 году на 130,5 тыс. человек больше численности родившихся в России в 2006 году и численность родившихся в России в 2006 году на 22,9 тыс. человек меньше численности родившихся в России в 2004 году. (слайд) 2. Коэффициент роста (Кр) – рассчитывается как отношение уровней ряда:  цепной: Кр ц = y 2005 1457,4 = = 0,970 y 2004 1502,5 y 2006 1479,6 = = = 1,015 y 2005 1457,4 y 2007 1610,1 = = = 1,088 y 2006 1479,6 y 2008 1717,5 = = = 1,067 y 2007 1610,1 т.е. Кр ц 2005 = Кр ц 2006 Кр ц 2007 Кр ц 2008  (слайд) базисный: yi y i−1 [8] 9 Кр б = yi y1 [9] y 2004 1502,5 = = 1,000 y 2004 1502,5 y 2005 1457,4 = = 0,970 y 2004 1502,5 y 2006 1479,6 = = 0,985 y 2004 1502,5 y 2007 1610,1 = = 1,072 y 2004 1502,5 y 2008 1717,5 = = 1,143 y 2004 1502,5 т.е. Кр б 2004 = Кр б 2005 = Кр б2006 = Кр б 2007 = Кр б 2008 = (слайд) Дополним полученными результатами таблицу 8 (таблица 9) Таблица 9 2008 2004 2005 2006 2007 Численность родившихся, тыс. человек 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 Абсолютный прирост, тыс. человек 130,5 - цепной -45,1 22,2 107,4 -22,9 - базисный 0,0 -45,1 107,6 215,0 Коэффициент роста, раз 1,088 - цепной 0,970 1,015 1,067 0,985 - базисный 1,000 0,970 1,072 1,143 Таким образом, численность родившихся в России в 2007 году в 1,1 раза больше численности родившихся в России в 2006 году и численность родившихся в России в 2006 году в 1,0 раза больше численности родившихся в России в 2004 году. (слайд) 3. Темп роста (Тр) – это коэффициент роста, выраженный в процентах: Тр = Кр · 100% [10]  цепной: т.е. Трц2005 = Крц2005 · 100% = 0,970 · 100% = 97,0% Трц2006 = Крц2006 · 100% = 1,015 · 100% = 101,5% Трц2007 = Крц2007 · 100% = 1,088 · 100% = 108,8% Трц2008 = Крц2008 · 100% = 1,067 · 100% = 106,7%  базисный: т.е. Трб2004 = Крб2004 · 100% = 1,000 · 100% = 100,0% Трб2005 = Крб2005 · 100% = 0,970 · 100% = 97,0% Трб2006 = Крб2006 · 100% = 0,985 · 100% = 98,5% Трб2007 = Крб2007 · 100% = 1,072 · 100% = 107,2% Трб2008 = Крб2008 · 100% = 1,143 · 100% = 114,3% Дополним полученными результатами таблицу 9 (таблица 10) Таблица 10 2004 2005 2006 2007 2008 Численность родившихся, тыс. человек 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 130,5 Абсолютный прирост, -45,1 22,2 107,4 10 тыс. человек - цепной - базисный Коэффициент роста, раз - цепной - базисный Темп роста, % - цепной - базисный 0,0 -45,1 -22,9 107,6 215,0 1,000 0,970 0,970 1,015 0,985 1,088 1,072 1,067 1,143 100,0 97,0 97,0 101,5 98,5 108,8 107,2 106,7 114,3 Таким образом, численность родившихся в России в 2007 году составляла 108,8 процента от численности родившихся в России в 2006 году и численность родившихся в России в 2006 году составляла 98,5 процента от численности родившихся в России в 2004 году. 4. Коэффициент прироста (Кпр) – дает оценку абсолютного прироста в относительных величинах. Рассчитывается как отношение абсолютного прироста к предыдущему или базисному уровню. Так как при анализе экономический смысл имеет только в процентах, т.е. темпах прироста (Тпр), то сразу рассчитаем указанный показатель: Тпр = Тр – 100% [13]  цепной: т.е. Тпрц2005 = Трц2005 – 100% = 97,0% - 100% = -3,0% Тпрц2006 = Трц2006 – 100% = 101,5% - 100% = 1,5% Тпрц2007 = Трц2007 – 100% = 108,8% - 100% = 8,8% Тпрц2008 = Трц2008 – 100% = 106,7% - 100% = 6,7%  базисный: т.е. Тпрб2004 = Трб2004 – 100% = 100,0% - 100% = 0,0% Тпрб2005 = Трб2005 – 100% = 97,0% - 100% = -3,0% Тпрб2006 = Трб2006 – 100% = 98,5% - 100% = -1,5% Тпрб2007 = Трб2007 – 100% = 107,2% - 100% = 7,2% Тпрб2008 = Трб2008 – 100% = 114,3% - 100% = 14,3% Дополним полученными результатами таблицу 10 (таблица 11) Численность родившихся, тыс. человек Абсолютный прирост, тыс. человек - цепной - базисный Коэффициент роста, раз - цепной - базисный Темп роста, % - цепной - базисный Темп прироста, % - цепной - базисный 2004 2005 2006 2007 Таблица 11 2008 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 0,0 -45,1 -45,1 22,2 -22,9 130,5 107,6 107,4 215,0 1,000 0,970 0,970 1,015 0,985 1,088 1,072 1,067 1,143 100,0 97,0 97,0 101,5 98,5 108,8 107,2 106,7 114,3 0,0 -3,0 -3,0 1,5 -1,5 8,8 7,2 6,7 14,3 11 Таким образом, численность родившихся в России в 2007 году на 8,8 процента больше численности родившихся в России в 2006 году и численность родившихся в России в 2006 году на 1,5 процента меньше численности родившихся в России в 2004 году. 5. Абсолютное значение 1% прироста (A1%) – результат деления абсолютного прироста на соответствующий темп прироста:  цепной: A1% ц = y i−1 Δy ц Δy ц = = Δy ц 100% Тпр ц ⋅ 100% y i-1 [14] y 2004 1502,5 = = 1,5 100% 100% y 2005 1457,4 = = = 1,5 100% 100% y 2006 1479,6 = = = 1,5 100% 100% y 2007 1610,1 = = = 1,6 100% 100% т. е. A1% ц2005 = A1% ц2006 A1% ц2007 A1% ц2008  базисный: y1 Δy б Δy б = = Δy б 100% Тпр б ⋅ 100% y1 y 2004 1502,5 = = = 1,5 100% 100% A1% б = т. е. A1% б 2004 - 2008 [15] Дополним полученными результатами таблицу 11 (таблица 12) Численность родившихся, тыс. человек Абсолютный прирост, тыс. человек - цепной - базисный Коэффициент роста, раз - цепной - базисный Темп роста, % - цепной - базисный Темп прироста, % - цепной - базисный Абсолютное значение одного процента прироста, тыс. человек - цепной 2004 2005 2006 2007 Таблица 12 2008 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 0,0 -45,1 -45,1 22,2 -22,9 130,5 107,6 107,4 215,0 1,000 0,970 0,970 1,015 0,985 1,088 1,072 1,067 1,143 100,0 97,0 97,0 101,5 98,5 108,8 107,2 106,7 114,3 0,0 -3,0 -3,0 1,5 -1,5 8,8 7,2 6,7 14,3 - 1,5 1,5 1,5 1,6 12 - базисный 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 Таким образом, при изменении численности родившихся в России в 2007 году на 1 процент по сравнению с численностью родившихся в России в 2006 году в абсолютном выражении это составляло 1,5 тыс. человек и при изменении численности родившихся в России в 2006 году на 1 процент по сравнению с численностью родившихся в России в 2004 году в абсолютном выражении это составляло 1,5 тыс. человек. (слайд) 4. Выявление основной тенденции развития явления. При анализе статистического ряда динамики возникает задача выявить основную тенденцию развития явления для прогнозирования данного явления на будущее. (слайд) Этого можно достичь следующими способами: I. Рассчитав средние показатели анализа статистического ряда динамики: II. Произведя аналитическое выравнивание статистического ряда динамики. (слайд) I. Расчет средних показателей анализа статистического ряда динамики. средний абсолютный прирост, средний коэффициент (темп) роста, средний темп прироста. (слайд) Средний абсолютный прирост – как средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов:    Δy = ∑ Δy ц m [16] где m – число цепных абсолютных приростов. (слайд) При этом, так как сумма абсолютных приростов цепных равна абсолютному приросту базисному для последнего периода наблюдения, т. е.: ΣΔyц = Δyц2 + Δyц3 + Δyц4 + + Δyцn = = (y2 – y1) + (y3 – y2) + (y4 – y3) + … + (yn – yn-1) = = y2 – y1 + y3 – y2 + y4 – y3 + … + yn – yn-1 = = - y1 + y2 – y2 + y3 – y3 + y4 – - yn-1 + yn = = -y1 + yn = yn – y1 = Δyбn [17] а число цепных абсолютных приростов на 1 меньше, чем периодов наблюдения, т. е. m=n–1 [18] то ∆y = ∑ ∆y ц m = ∆y бn n -1 [19] (слайд) Средний коэффициент роста - по формуле средней геометрической цепных коэффициентов роста: Кр = m ∏ Кр ц [20] где m – число цепных коэффициентов роста, Π – знак произведения. (слайд) При этом, так как произведение коэффициентов роста цепных равно коэффициенту роста базисному для последнего периода наблюдения, т. е.: ∏ Кр ц = Кр ц 2 ⋅ Кр ц 3 ⋅ ... ⋅ Кр цn = yn yn y2 y3 ⋅ ⋅ ... ⋅ = = Кр бn y n −1 y 1 y1 y 2 [21] а число цепных коэффициентов роста на 1 меньше, чем периодов наблюдения, т. е. m=n–1 [22] то 13 Кр = m ∏ Кр ц = n −1 Кр бn [23] (слайд) Средний темп роста – как средний коэффициент роста, выраженный в процентах: Тр = Кр ⋅ 100% [24] (слайд) Средний темп прироста определяется исходя из взаимосвязи между темпом роста и темпом прироста [12]: Тпр = Тр − 100% [25] Рассмотрим применение изученных показателей на основе показателей, рассчитанных в предшествующем примере 5. (слайд) Пример 5. Численность родившихся в России характеризуется следующими данными (таблица 7): Таблица 7 2004 2005 2006 2007 2008 Численность родившихся, тыс. человек 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 Рассчитать средние показатели анализа статистического ряда динамики. (слайд) Решение. Так как средний абсолютный прирост – это средняя арифметическая простая цепных абсолютных приростов: Δy = ∑ Δy ц m [16] (слайд) то обратимся к результатам расчетов абсолютных приростов (таблица 8) Таблица 8 2004 2005 2006 2007 2008 Численность родившихся, тыс. человек 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 Абсолютный прирост, тыс. человек - цепной -45,1 22,2 130,5 107,4 - базисный 0,0 -45,1 -22,9 107,6 215,0 Δy = ∑ Δy ц m = − 45,1 + 22,2 + 130,5 + 107,4 215,0 = = 53,75 4 4 [26] Упрощенный способ расчета [19] дает, естественно, аналогичный результат: ∆y = ∑ ∆y m ц = ∆y бn 215,0 215,0 = = = 53,75 n -1 5 −1 4 [27] Таким образом, численность родившихся в России в среднем ежегодно в период с 2004 года по 2008 год увеличивалась на 53,8 тыс. человек. (слайд) Так как средний коэффициент роста рассчитывается по формуле средней геометрической цепных коэффициентов роста: Кр = m ∏ Кр ц [20] (слайд) то обратимся к результатам расчетов коэффициентов роста (таблица 9) Таблица 9 14 Численность родившихся, тыс. человек Коэффициент роста, раз - цепной - базисный 2004 2005 2006 2007 2008 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 1,000 0,970 0,970 1,015 0,985 1,088 1,072 1,067 1,143 Кр = m ∏ Кр ц = 4 0,970 ⋅ 1,015 ⋅ 1,088 ⋅ 1,067 = 4 1,143 = 1,034 [28] Применив упрощенный способ расчета [23], получим: Кр = m ∏ Кр ц = n −1 Кр бn = 5 −1 1,143 = 4 1,143 = 1,034 [29] Таким образом, численность родившихся в России в среднем ежегодно в период с 2004 года по 2008 год увеличивалась в 1,0 раза. (слайд) Средний темп роста – как средний коэффициент роста, выраженный в процентах [24]: Тр = Кр ⋅ 100% = 1,034 ⋅ 100% = 103,4% [30] Таким образом, численность родившихся в России в среднем ежегодно в период с 2004 года по 2008 год составляла 103,4 процента от уровня предшествующего года. (слайд) Средний темп прироста определяется исходя из взаимосвязи между темпом роста и темпом прироста [25]: Тпр = Тр − 100% = 103,4% − 100% = 3,4% [31] Таким образом, численность родившихся в России в среднем ежегодно в период с 2004 года по 2008 год увеличивалась на 3,4 процента. (слайд) II. Аналитическое выравнивание статистического ряда динамики по математической кривой позволяет найти плавную линию развития (тренд) данного явления. Сущность метода аналитического выравнивания заключается в том, чтобы представить тренд как временнУю функцию: ~ [32] y t = f (t) где ~ y - уровни тренда, t t – время. (слайд) По форме линии тренды могут быть прямолинейные и криволинейные (тема 6 пункт 3). (слайд) Аналитическое выравнивание по прямой линии производят, если явление во времени развивается равномерно, т.е. стабильны абсолютные приросты, коэффициенты (темпы) роста, темпы прироста. (слайд) При переменном развитии явления (ускорение, потом замедление или наоборот) выравнивание производится по формулам кривых линий (логарифмическая зависимость, гиперболическая зависимость). В целом выбор временнОй функции определяется темпами развития явления во времени. (слайд) Простейшим способом аналитического выравнивания выступает выравнивание по функции прямой линии: ~ [33] y t = a 0 + a1t где a0, a1 - параметры уравнения: (слайд) a0 – свободный член уравнения, характеризующий обобщающее влияние на результат всех факторов, кроме рассматриваемого (времени), 15 a1 – коэффициент регрессии, измеряющий среднее отклонение результативного признака (уровня ряда, y) от его средней величины при отклонении факторного признака (времени, t) на одну единицу его измерения – вариация y, приходящаяся на единицу вариации t. Также указывает направление развития явления: при a1 > 0 - равномерное увеличение уровней ряда в среднем на эту величину, при a1 < 0 - равномерное снижение уровней ряда в среднем на эту величину. (слайд) Нахождение параметров уравнения осуществляется методом наименьших квадратов через систему нормальных уравнений: na 0 + a 1 ∑ t = ∑ y a 0 t + a 1 t 2 = yt ∑ ∑  ∑ [34] (слайд) Для упрощения техники расчета в рядах динамики используют метод отсчета времени от условного начала. Для этого показатели времени (t) переобозначают. Существует 2 способа переобозначения: - сумма показателей времени равна нулю (т.е. Σt = 0) - присвоить показателям времени значения от 1 до n (слайд) 1. Показателям времени придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю, т.е. Σt = 0. В рядах динамики с нечетным числом уровней порядковый номер уровня, находящегося в середине ряда, обозначается как ноль (условное начало отсчёта времени, «0»), показатели времени всех предыдущих уровней обозначаются с интервалом (-1), а всех последующих – с интервалом (+1) (например, при n=7 t будут: -3,-2,-1,0,+1,+2,+3). При чётном числе уровней (например, n=6) условный шаг будет равен двум, т.е. порядковые номера левой половины ряда (от середины ранние периоды) обозначатся числами (от меньшего к большему): -5, -3, -1, а правой половины (от середины поздние периоды): +1,+3,+5. (слайд) Тогда уравнения примут следующий вид: откуда na 0 = ∑ y a 1 t 2 = yt ∑  ∑ [35]  ∑y a 0 = n  yt a 1 = ∑ 2  ∑t [36] (слайд) 2. Показателям времени присваивают значения от 1 до n, тогда y ∑ t 2 − ∑ yt ∑ t  ∑ a 0 = n∑ t 2 − ∑ t ∑ t   a 1 = n∑ yt − ∑ y ∑ t  n∑ t 2 − ∑ t ∑ t [37] Определив параметры а0 и а1, можно вычислить теоретические уровни, т.е. ординаты точек искомой прямой. Рассмотрим применение последней методики на примере 5. (слайд) Пример 5. Численность родившихся в России следующими данными (таблица 7): характеризуется Таблица 7 16 2004 2005 2006 2007 2008 Численность родившихся, тыс. человек 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 Для определения общей тенденции развития явления произвести аналитическое выравнивание эмпирических уровней статистического ряда динамики по прямой. (слайд) Решение. 1. Переобозначим значения времени, присвоив значения от 1 до 5 (таблица 13) Таблица 13 2004 2005 2006 2007 2008 t 1 2 3 4 5 Численность родившихся, тыс. человек, y 1502,5 1457,4 1479,6 1610,1 1717,5 (слайд) 2. Для применения системы нормальных уравнений: na 0 + a 1 ∑ t = ∑ y a 0 t + a 1 t 2 = yt ∑ ∑  ∑ [34] рассчитаем суммы показателей (∑t, ∑y, ∑t2, ∑yt) (таблица 14) t y t2 yt 2004 1 1502,5 1 1502,5 2005 2 1457,4 4 2914,8 2006 3 1479,6 9 4438,8 2007 4 1610,1 16 6440,4 2008 5 1717,5 25 8587,5 Таблица 14 Сумма 15 7767,1 55 23884,0 (слайд) 3 - 4. Подставим результаты расчетов в систему нормальных уравнений и решим ее: 5a 0 + 15a 1 = 7767,1 15a 0 + 55a 1 = 23884,0  15a 0 + 45a 1 = 23301,3 15a 0 + 55a 1 = 23884,0  5a 0 + 15a 1 = 7767,1 10a 1 = 582,7  5a 0 + 15a 1 = 7767,1 a 1 = 58,27  5a 0 + 15 ⋅ 58,27 = 7767,1 a 1 = 58,27  a 0 = 1378,61 a 1 = 58,27  [35] [36] [37] [38] [39] [40] (слайд) 5. Уравнение прямой линии имеет следующий вид: ~ y t = 1378,6 + 58,3t [41] Таким образом, численность родившихся в России ежегодно в период с 2004 года по 2008 год увеличивалась на 58,3 тыс. человек. (слайд) 6. Рассчитаем теоретические уровни статистического ряда динамики, подставив в уравнение прямой линии [41] значения времени (таблица 16): Таблица 16 17 t y ~ yt 2004 2005 2006 2007 2008 1 1502,5 2 1457,4 3 1479,6 4 1610,1 5 1717,5 1436,9 1495,2 1553,5 1611,8 1670,1 (слайд) 7. Изобразим эмпирические (полученные в результате непосредственного наблюдения) и теоретические (полученные в результате аналитического выравнивания) данные графически (рис. 1). численность родившихся, тыс. человек 1800 1700 эмпирические уровни 1600 теоретические уровни 1500 1400 1 2 3 4 5 Рис. 1. Динамика численности родившихся в России в 2004 – 2008 г.г. Таким образом, фактически численность родившихся в России в 2004 – 2008 г.г. как сокращалась, так и возрастала. Теоретические уровни статистического ряда динамики за исследуемый период времени демонстрируют тенденцию к увеличению численности родившихся.