Статические игры с неполной информацией

Статические игры с неполной информацией До сих пор при анализе игр мы делали важное ограничивающее предположение. Когда для того, чтобы спрогнозировать исход игры мы использовали последовательное отбрасывание строго или слабо доминируемых стратегий или концепцию равновесия по Нэшу, мы всегда предполагали, что каждый игрок полностью информирован о выигрышах всех других игроков. В противном случае игроки не могли бы произвести вычисления, необходимые для поиска оптимальной стратегии. Но во многих жизненных ситуациях информация о выигрыше оппонентов может быть неполной. Например, рассмотрим две фирмы, конкурирующие на одном рынке. Весьма вероятно, что одна из них или обе не в полной мере информированы о затратах конкурента. Как анализировать такую ситуацию? Идея состоит в том, чтобы добавить некий компонент, чтобы свести ситуацию к игре в стратегической форме. И тогда мы сможем воспользоваться любой из концепций решения, которые уже рассмотрели. Эта идея впервые появилась в работах американского экономиста венгерского происхождения Джона Харсани (Джон Чарльз Ха́рсаньи или Я́ нош Карой Харшаньи (1967-1968)).  Игры с неполной информацией - игры, в которых игроки могут не знать точно предпочтения других игроков.  Предпочтения игроков в этих играх зависят от случайных событий, при этом игроки в разной степени владеют информацией о том, какое именно событие произошло.  Вводится понятие типа игрока: каждый из игроков может быть нескольких типов. При этом считается, что каждый из игроков знает только свой собственный тип. Можно считать, что первый ход делает природа, выбирая типы всех игроков. Такого рода игры называют играми с неполной информацией (байесовскими играми). Каждый игрок имеет несколько типов, ti  Ti , где Ti — множество типов i-го игрока (не обязательно конечное или счетное). Предполагается, что появление того или иного типа — случайное событие. Таким образом, в описании байесовской игры должно быть задано распределение вероятностей на множестве T  T1  ...  Tm Утверждение о том, что i – й игрок знает свою платежную функцию эквивалентно тому, что ему известен тип ti . Утверждение о том, что i – й игрок не знает платежную функцию других игроков, эквивалентно тому, что ему в точности не известны типы других игроков, обозначенные t i   t1 ,, ti 1 , ti 1 , , tn  . Представление об этих типах носит вероятностный характер. Используем T i для обозначения множества всех возможных величин t i . Обозначим через pi  t i ti  функцию условной плотности вероятностей, отражающую степень уверенности i – ого игрока о типах остальных игроков t i при известном собственном типе ti . Структура статической игры с неполной информацией:  множество игроков. I  {1,...., n} ;  пространства возможных действий игроков A1 , A2 ,  , An ;  пространства возможных типов T1 , T2 ,  , Tn ;  распределение вероятностей на множествах типов p1 , p 2 ,  , p n ;  платежные функции u1 , u 2 ,  , u n ., где u i a1 ,  , a n ; t i  Статическую Байесовскую последовательность: игру можно представить как следующую (1) Природа строит вектор возможных типов t  t1 ,  , t n  , где t i  Ti ; (2) Природа "открывает" t i только i – ому игроку . Уверенность i – ого игрока в типах других   игроков задается функцией pi t i t i , отражающей степень неопределенности для каждого игрока о типах t i остальных n-1 игроков (3) Игроки одновременно осуществляют действия ai  Ai ; (4) Определяются платежи u i a1 ,  , a n ; t i  . Будем обозначать такую игру G  A1 , A2 , , An ; T1 , T2 , , Tn ; p1 , p 2 , , p n ; u1 , u 2 ,  , u n  . Байесовское равновесие Байесовское равновесие – это обобщение равновесия Нэша для игр с неполной информацией (Байесовских игр). В статической Байесовской игре G  A1 , A2 , , AN ; T1 , T2 , , TN ; p1 , p 2 , , p N ; u1 , u 2 ,  , u N  исход a * t   a1* t1 ,, a *N t N  называется Байесовским Нэш – равновесием, если для каждого игрока i и для каждого типа t i из Ti стратегия ai* t i  решает задачу   max   pi t i t i u a1* t1 , , ai*1 t i 1 , ai , ai*1 t i 1 , , a *N t N ; t1 , , t N  i  aiAi   ti Ti Таким образом, ни одному из игроков не выгодно изменять свою стратегию, даже если это изменение касается одного действия ai для одного типа t i . В конечной Байесовской игре (то есть в игре N игроков, в которой множества Ai и Ti – конечные множества) всегда существует Байесовское Нэш – равновесие, возможно, в смешанных стратегиях. 1 Cournot duopoly with Incomplete Information • Demand: P (Q) = a − Q where Q = q1 + q2. • The marginal cost of Firm 1 = c; common knowledge. • Firm 2’s marginal cost: cH with probaility θ, cL with probaility 1 − θ; its private information. • Each firm maximizes its expected profit. 2 Разбор примера Модель Курно при асимметричной информации Рассмотрим модель дуополии Курно с обратной функцией спроса P Q   a  Q , где Q  q1  q 2 – суммарный рыночный спрос на товар. Издержки первой фирмы равны C 1 q1   cq1 . Издержки второй фирмы равны C 2 q 2   c H q 2 с вероятностью  и C 2 q 2   c L q 2 с вероятностью 1   , где c L  c H ( c L , c H – низкие (Low) и высокие (High) предельные издержки). Информация в модели асимметрична: Фирма 2 знает как свои собственные издержки, так и издержки фирмы 1. Фирма 1 знает свои собственные издержки, однако, не знает точно издержки фирмы 2. Ей известно лишь, что издержки фирмы 2 составят c H с вероятностью  и c L с вероятностью 1   . (Фирма 2 может быть новичком на рынке или может внедрить новую технологию). При этом фирма 1 знает, что фирма 2 обладает избытком информации, и фирма 2 знает, что фирма 1 знает об этом и так далее. Пусть q1* – оптимальный выбор первой фирмы, q*2 c H , q*2 c L  – оптимальный выбор второй фирмы (как функции от издержек). При высоких предельных издержках c H  фирма 2 решает задачу максимизации прибыли:    max a  q1*  q 2  c H q 2 . q2 Аналогично, при низких предельных издержках фирма 2 решает задачу    max a  q1*  q2  c L q2 . q2 Фирма 1 знает, что издержки фирмы 2 составят c H с вероятностью  и, следовательно, ее выпуск равен q*2 c H . Аналогично, с вероятностью 1   выпуск фирмы 2 равен q*2 c L . Таким образом, фирма 1 решает задачу максимизации своей ожидаемой средней прибыли:    max  a  q1  q*2 c H   c q1  q1    .  1    a  q1  q*2 c L   c q1 Условия первого порядка для данной системы дают: a  q1*  c H * , q 2 c H   2 a  q1*  c L * , q 2 c L   2 * *     1  a  q c  c    a  q 2 H 2 c L   c . q1*  2 Решением полученной системы уравнений являются: a  2c H  c 1   c H  c L , q*2 c H    3 6 a  2c L  c  *   q2 c L   c H  c L , 3 6 a  2c  c H   1   c L . q1*  3     Сравним q*2 c H , q*2 c L  и q1* с аналогичными величинами, полученными для модели Курно с полной информацией: a  2c i  c j * qi  , i , j  1 , 2, i  j . 3 a  2c H  c , Оказывается, что q*2 c H  превышает 3 a  2c L  c * а q 2 c L  меньше, чем . Это объясняется 3 тем, что фирма 2 связывает свой выбор q*2 не только со своими издержками, но также реагирует на тот факт, что фирма 1 не может это сделать. Например, если издержки фирмы 2 высоки, то, с одной стороны, она производит меньше, поскольку издержки высоки, но, с другой стороны, производит больше, поскольку знает, что фирма 1 будет производить количество товара, максимизирующее ее прибыль, и таким образом, меньше, чем фирма 1 производила бы при условии ее информированности о высоких издержках фирмы 2. Аукцион В следующей игре рассмотрим двух покупателей  i  1, 2  некоторого товара, выставляемого на аукционе. Для покупателя i ценность товара определяется величиной vi . Таким образом, если покупатель i приобретает товар по цене p, то его функция выигрыша равна vi  p . Ценности vi покупателей – независимые случайные величины, равномерно распределенные на отрезке  0;1 . Покупатели одновременно назначают свою цену. Покупатель, назначивший большую цену, получает товар и платит сумму, им заказанную. Второй покупатель ничего не получает и ничего не платит. В случае равенства предлагаемых цен покупателя определяет жребий. vi  bi , при bi  b j  v  bi u i b1 , b2 ;v1 , v 2    i , при bi  b j  2 0, при b  b i j  Игра "Семейный спор" (разделяющее равновесие). Платежная матрица игры имеет вид: Маша Футбол Балет Саша Футбол (2+tc;1) (0;0) Балет (0;0) (1;2+tp) Предположим теперь, что хотя Саша и Маша знают друг друга достаточно давно, они не вполне точно знают платежные функции. Пусть платежная функция Саши в случае их обоюдного выбора стратегии "Футбол" равна 2  t c , где t c известно Саше, но не известно Маше. Аналогично, платежная функция Маши в случае их обоюдного выбора стратегии "Балет" равна 2  t p , где t p известно Маше, но не известно Саше. Будем считать, что величины t c и t p являются независимыми равномерно распределенными на отрезке 0; x  случайными величинами. Построим Байесовское Нэш равновесие в чистых стратегиях в этой игре с неполной информацией. Найдем такое число с, что если t c превышает его, Саша выбирает "Футбол". В противном случае он выбирает "Балет". Схематически эту ситуацию можно изобразить следующим образом: Саша c/x Балет (x-c)/x c Футбол x Рисунок 1 Аналогично, для Маши найдем такую критическую величину p, что если t p превышает ее, то Маша выбирает "Балет". В противном случае она выбирает "Футбол". При таком равновесии Саша выбирает "Футбол" с вероятностью "Балет" с вероятностью вероятностью xc и x c p . Маша выбирает "Футбол" с вероятностью и "Балет" с x x x p : x Маша p/x Футбол (x-p)/x p Балет Рисунок 2 x При соблюдении вышеуказанных условий выбора стратегий по заданной величине x определим величины c и p, так что эти стратегии будут составлять Байесовское равновесие по Нэшу. При выборе Сашей "Футбола" его средний ожидаемый p 2  t c   1  p   0  p 2  t c  , а при выборе Сашей "Балета" его x x x  p p p   0  1    1  1  . Таким образом, средний ожидаемый выигрыш равен x x x  выигрыш равен "Футбол" будет предпочтительней для Саши в том и только том случае, когда p 2  t c   1  p  t c  x  3 . Следовательно, c  x  3 . x x p p Аналогичные рассуждения в отношении средних ожидаемых выигрышей Маши приведут к соотношению p  x  3 . Совместное решение системы этих уравнений c (с учетом неотрицательности решения) дает p  c   3  9  4x . Вероятность 2 выбора Сашей "Футбола" и вероятность выбора Машей "Балета" равны 2  3  9  4x x p xc   1 . При x  0 эта функция стремится к . Таким x x 2x 3 образом, по мере того как неполнота информации исчезает, поведение игроков приближается к равновесию по Нэшу в игре с полной информацией. Игра "Семейный спор" (ассиметричная информация). Саша не совсем уверен, предпочитает ли Маша его компанию или склонна избегать встречи с ним. С точки зрения Саши: А) с вероятностью 2/3 игра имеет вид: Саша Футбол Балет Маша Футбол Балет 2; 1 0; 0 0; 0 1; 2 Футбол Балет Маша Футбол Балет 2; 0 0; 3 0; 1 1; 0 Б) с вероятностью 1/3 имеет вид: Саша Маша в отличие от Саши, точно знает, в какую игру она играет.