Статически неопределенные системы при растяжении и сжатии
Выбери формат для чтения
Загружаем конспект в формате ppt
Это займет всего пару минут! А пока ты можешь прочитать работу в формате Word 👇
Лекция №4
Тема: Статически
неопределенные системы при
растяжении и сжатии
Порядок решения статически
неопределенных задач
Статическая сторона задачи;
Геометрическая сторона задачи;
Физическая сторона задачи;
Математическая сторона задачи (синтез);
Статически неопределимые системы – это упругие
стержневые
системы (конструкции), в которых количество
неизвестных внутренних усилий и реакций опор больше числа
уравнений статики, возможных для этой системы.
Степень статической неопределимости системы – это
разность между числом неизвестных и числом независимых
уравнений равновесия, которые можно составить для данной
системы.
Примеры решения статических
неопределенных задач
Пример №1 :
Дано:
Стальные стержни BC и AD
поддерживают абсолютно жесткую
(недеформирующуюся) балку AB, на
которую действует сила F. Площади
поперечных сечений
и
длины
стержней известны: ABC=A, AAD=2·A,
lOB=2·lOA, lBC=lAD.
Определить: Внутренние усилия
NAD и NBC, возникающие в
стержнях.
Рисунок 1
Решение:
1. Статическая сторона задачи
Выясним степень статической
неопределимости .
Балка находится в равновесии под
действием пяти сил:
F – известна; ROx – неизвестна;
ROy – неизвестна;
NAD – неизвестна;
Рисунок 2
NBC – неизвестна;
Статика для плоской системы сил дает три уравнения равновесия:
4 (неизвестных)–3 (уравнения статики)=1 (степень статич. неопр. системы)
Так как определять реакции шарнира по условию задачи не
требуется, то из
трех используем только одно уравнение
равновесия:
2. Геометрическая сторона задачи
Для составления дополнительного
уравнения (уравнения совместности
деформаций) рассмотрим систему в
деформированном виде (рисунок 3).
Из подобия треугольников OAA1 и
OBB1 имеем:
Рисунок 3
Удлинение стержня AD равно перемещению AA1: ∆1AD = AA1
Так как A1D >AD , то, очевидно, что стержень AD растягивается, и
его удлинение будем считать положительным .
Построим треугольник BB1B2, опустив перпендикуляр из точки B
на отрезок B1C (получим точку B2).
Удлинение стержня BC найдем из рассмотрения треугольника
BB1B2, учитывая, что ∆lBC = B1B2.
Так как B1C > B2C, то, очевидно, что стержень BC растягивается, и
его удлинение будем считать положительным.
Учитывая, что BB1 =2 AA1 запишем уравнение совместности
деформаций стержней AD и BC:
3. Физическая сторона задачи
Здесь необходимо установить связь между перемещениями и
внутренними усилиями. Такая связь устанавливается при помощи
закона Гука с учетом знаков ∆l и N (в данной задаче они–
положительны):
4. Математическая сторона задачи (синтез)
Подставим выражения закона Гука
совместности деформаций:
в формулы уравнения
Напряжения в стержнях при растяжении:
-- условие прочности
При этом необходимо проверить оба условия, а площадь A
принять равно большему из двух полученных значений.
Начальные (монтажные) и температурные
напряжения
Пример №2 :
Дано:
Стержневая система, состоящая из
стержней одинаковой длины l и
одинаковой площади сечения A,
загружена силой F. При этом при
сборке системы за счет зазора ∆ в
стержнях были созданы начальные
(монтажные)
напряжения
и
температурные напряжения за счет
нагрева стержня AB на температуру t.
Определить: Внутренние усилия,
возникающие в стержнях.
Рисунок 4
Решение:
1. Статическая сторона задачи
Применяя метод мысленных сечений, вырежем каждый из
шарниров A и B и запишем для них уравнения равновесия.
Рисунок 5
2. Геометрическая сторона задачи
Рассмотрим систему в деформированном
состоянии и запишем уравнения, связывающие
перемещения
элементов
системы
с
деформациями стержней.
Рассматривая треугольники AA1A2 и BB1B2, найдем:
- уравнение
Рисунок 6
совместности деформаций
3. Физическая сторона задачи
Запишем закон Гука, здесь же необходимо учесть и температурные
деформации αt·t·lAB (αt – коэффициент линейного расширения
материала стержня):
4. Математическая сторона задачи (синтез)
Подставим выражения закона Гука в уравнение совместности
деформаций:
Решая данное уравнение совместно с уравнениями равновесия,
найдем неизвестные внутренние усилия в стержнях.