Способы описания движения жидкости

Лекция № 2 Тема лекции: Способы описания движения жидкости Учебные вопросы: 1. Гипотеза сплошной среды 2. Метод Лагранжа. 3. Метод Эйлера. Кинематикой жидкости называется раздел аэрогидромеханики, изучающий геометрические характеристики движения, отвлекаясь от сил, вызывающих эти движения. В кинематике жидкости обычно предполагается, что в результате либо непосредственных измерений, либо решения уравнений динамики жидкости получено представление о поле скорости в потоке и требуется определить такие характеристики движения, как траектории частиц жидкости, деформация частиц, угловая скорость их движения. Но основной задачей последующего изложения явится выяснение физического смысла и важнейших свойств таких широко употребляемых в теоретической метеорологии понятий, как производные параметров жидкости по времени, дивергенция и ротор скорости, потенциал скорости, функции тока. Вопрос 1. Гипотеза сплошной среды Гипотеза сплошной среды При решении задач аэрогидромеханики уместно отвлечься от дискретного строения реальных тел, заменив их упрощенной моделью сплошной среды. Сплошной средой, или континуумом, называют некоторую фиктивную среду, представляющую собой систему материальных точек, заполняющих пространство непрерывно, без образования пустот. При этом аэрогидромеханика изучает только те движения сплошной среды, которые обусловлены внешними силами (например, силой тяжести Земли, разностью давлений и т.д.). Допущение о непрерывности среды сразу же упрощает исследование, оно дает возможность рассматривать все механические характеристики как непрерывные функции координат точки и времени. Это значит, что при изучении аэрогидромеханических процессов в полной мере можно использовать аппарат дифференциального и интегрального исчислений, составлять и решать соответствующие дифференциальные уравнения. 2 Гипотеза сплошности среды, как и любая другая, имеет свои пределы применимости. Критерием здесь служит, так называемое число Кнудсена 1, которое определяется как отношение длины свободного пробега молекул в рассматриваемом веществе l , к пространственному масштабу исследуемого явления L Kn  l . L Это число характеризует относительную разреженность изучаемого вещества. При Kn  0.1 использование гипотезы сплошности считается допустимым, так как размеры области, занятой изучаемой средой, велики по сравнению с расстоянием между молекулами вещества. Таким образом аэрогидромеханика изучает механические характеристики среды (скорость, плотность и т.п.), осредненные для физически бесконечно малого или элементарного объема. При этом понимают объем, ничтожно малый по сравнению с размерами русла; размерами тела, обтекаемого жидкостью; масштабом неоднородности поля изучаемой величины, и в то же время, содержащий большое число молекул жидкости или газа. Проиллюстрируем это на примере понятия плотности. Средней плотностью среды в объеме  называется отношение m , где  m – масса, заключенная в объеме  . Плотностью  в данной точке называ- ется предел m .  0    lim Размерность  []  ML3 . Если рассматривать величину m , то при   0 , начиная с некоторого  малого значения объема  0 , становится заметным ее скачкообразное изменение. Поэтому, полагая формально m dm m0   ,   0  d  0   lim где m0 – масса, заключенная в объеме  0 , то этим мы допустим плавное изменение величины m , что соответствует переходу от рассмотрения вещества  как дискретной системы материальных точек к представлению о сплошной среде. 1 Кнудсен (Knudsen) Мартин Ханс Кристиан (1871-1949) – датский физик и океанограф. 3 Из этого следует, что объем  0 , среднюю плотность в котором можно отождествить с плотностью в данной точке, должен быть мал по сравнению с масштабом неоднородности в распределении массы и в то же время должен быть достаточно велик по сравнению с расстояниями между молекулами и содержать достаточно большое количество молекул. Например, при нормальных условиях длина свободного пробега молекул воздуха на уровне земли равна l=6·10-6 см, а в 1 см3 содержится 2.7·1013 молекул. Поэтому объем, равный 1 см3, для большинства задач является достаточным по сравнению с характерным масштабом рассматриваемого явления. Однако на высоте 120 км l=30 см и объем 1 см3 не подходит для осреднения. Отметим, что объем, равный 1 см3, для большинства задач аэрогидромеханики является достаточным, чтобы обеспечить надежные средние значения и статистическое постоянство количества молекул во времени. Совершенно аналогичные рассуждения можно провести при введении понятия гидродинамического давления p , которое представляет собой предел отношения совокупности импульсов ударов отдельных молекул F в единицу времени на рассматриваемую площадку S , т.е. F , S 0 S p  lim [ p]  FL2  ML1T 2 . Возможность в большинстве задач замены реальных сред представлением о сплошной жидкой среде оправдывается тем, что полученные из теоретических расчетов осредненные механические характеристики жидкости правильно отражают истинные процессы в реальных средах, что подтверждается измерениями. По своему смыслу температура Т суть понятие статистическое и представляет собой осредненную кинетическую энергию молекул W. Так, для случая двухатомного газа W=3/2 kT, где k — постоянная Больцмана. Согласно эмпирическому закону Фурье, поток тепла q через единичную поверхность в единицу времени равен взятому с обратным знаком произведению градиента температуры на коэффициент теплопроводности, т. е. Коэффициент теплопроводности представляет собой поток тепла, возникающий при единичном градиенте. 4 Плотность жидкостей и газов меняется при изменении температуры и давления, хотя и в разной степени для различных сред. Так при возрастании температуры от 4 до 16 С плотность воды убывает на 0,1%, а плотность газов на 4%. При изменении давления от 10 5 до 10 7 Па плотность воды возрастает на 0,5%, а плотность газа увеличивается в 100 раз. Изменчивость плотности  в зависимости от давления можно характеризовать производной ной с ней величиной скорости звука: a   или связанp 1 . Чем больше сжимаемость, т.е.  p  , тем, очевидно, меньше a . Так, для воды a  1450 м/с, тогда как для воздуха p при 15 С a  340 м/с, а в газе фреоне при 0 С a  150 м/с. Вязкость. любое малое воздействие, приложенное к жидкости вызывает смещение частиц жидкости друг относительно друга. Опыты показывают, что сдвигающие усилия, стремящиеся вызвать скольжение одного слоя частиц по другому, сопровождаются возникновением специальных сил, препятствующих этому. Эти силы прилагаются к каждому слою и направлены противоположно направлению относительного смещения этого слоя. Например, рассмотрим движение жидкости в трубе. По мере удаления от стенки скорость потока возрастает. Это приводит к тому, что вышележащий слой жидкости опережает нижележащий, и со стороны последнего на вышележащий слой действует сила, препятствующая этому опережению, т.е. направлена противоположно исходного направления движения жидкости. Напротив, нижележащий слой отстает от вышележащего, что вызывает возникновение силы, приложенной к нижележащему слою и препятствующему этому отставанию; т.е. направлена в сторону движения. Свойство жидкостей и газов оказывать сопротивление сдвигающим усилиям называется внутренним трением или вязкостью, а соответствующая сила – силой вязкости. Благодаря вязкости переходит передача движения от одного слоя к другому, т.е. вязкость действует как фактор, формирующий непрерывность скоростного поля между слоями. С другой стороны, молекулярный механизм передачи этого движения поглощает часть механической энергии потока, переводя его в теплоту. Жидкость, в которой плотность при движении остается постоянной, называется несжимаемой жидкостью. Это имеет место в том случае, когда  сохраняет одно и то же значение во всех точках пространства в данный момент времени и в каждой зафиксированной точке во времени не меняется. 5 Возможность замены данной реальной среды моделью несжимаемой жидкости зависит не от того, мала или велика сжимаемость этой среды, а от того, сколь большую роль играет сжимаемость в рассматриваемом явлении. Так, в большинстве задач аэрогидромеханики капельные жидкости, и прежде всего, воду можно рассматривать как несжимаемые. Однако в ряде задач, как, например, при расчете подводного взрыва или гидравлического удара, сжимаемость играет основную роль, и модель несжимаемой жидкости является неприменимой. На распределение давления на поверхности тела, обтекаемого воздушным потоком, изменение плотности при малых скоростях потока (меньше 70 м/с) оказывает незначительное влияние, поэтому воздух в задачах об обтекании с малыми скоростями можно рассматривать как жидкость несжимаемую. При больших скоростях обтекающего потока и, особенно при скоростях, приближающихся к скорости звука, сжимаемость воздуха существенно меняет картину распределения давления по поверхности тела по сравнению с тем, что имело бы место в несжимаемой жидкости. Поэтому в задачах аэродинамики больших скоростей замена воздуха моделью несжимаемой жидкости является недопустимой. В частности, в пограничном слое, скорость жидкости резко меняется от нуля до конечного значения, и влиянием вязкости пренебречь нельзя. На больших расстояниях от поверхности градиенты скорости малы, и вязкостью можно пренебречь. Понятие о методах Лагранжа и Эйлера. Существует два метода изучения движения и свойств жидкости – Лагранжа2 и Эйлера3. Вопрос. 2. Метод Лагранжа. В этом методе можно зафиксировать ту или иную частицу жидкости (индивидуальность частицы может быть задана ее координатами x0i в начальный момент времени t 0 ) и, двигаясь вместе с ней, наблюдать за изменением некоторого свойства f этой частицы (это может быть скорость, плотность, давление и другие величины) при прохождении ее через различные точки пространства, так что f  f ( x0i , t ) 4. Имея результаты подобных наблюдений, можно составить себе полное представление о движении жидкости. Такой подход к изучению движения называется субстанциальным, он был 2 Лагранж (Lagrange) Жозеф Луи (1736-1813) Эйлер (Euler) Леонард (1707-1783), математик, физик и астроном. Родился и учился в Швейцарии, работал в Германии и России, где и умер. 4 В декартовой системе координат мы там, где это удобно, будем использовать тензорные обозначения для координат, скоростей и ускорений, так что x  x1 , y  x 2 , z  x3 , v x  v1 , v y  v 2 , v z  v 3 и т.д. Таким об3 разом, f  f ( x0 i , t ) эквивалентно записи f  f ( x0 , y 0 , z 0 , t ) 6 развит Лагранжем. Задать движение по методу Лагранжа – значит представить координаты частицы жидкости в виде функции времени и каких-либо величин, меняющихся при переходе от одной частицы к другой (например, радиусавектора или координат частицы в некоторый момент времени, одинаковый для всех частиц) и служащих опознавательным признаком («номером») частицы. Координаты и скорости частицы в этом случае записываются в виде: xi  xi ( x0i , t ), xi  vi ( x 0i , t ). t (2.1) Легко понять, что изучение свойств воздушного потока с помощью свободных аэростатов или уравновешенных шаров-пилотов, снабженных приборами, которые, перемещаясь вместе с окружающей массой воздуха, фиксируют изменение свойств этой массы, соответствует субстанциональному методу. Для получения полной картины движения воздуха необходимо иметь результаты наблюдений с помощью возможно большего количества аэростатов или шаров-пилотов. Вопрос 3. Метод Эйлера. В методе Эйлера фиксируется та или иная точка пространства, занятого жидкостью, и наблюдаются характеристики движения в этой точке по мере прохождения через нее различных частиц жидкости. Таким образом f  f ( x i , t ) . Имея результаты наблюдений в разных точках потока, можно составить себе полное представление о движении жидкости. Этот подход к изучению движения носит еще наименование локального. Задать движение по методу Эйлера – значит представить скорость движения как функцию времени и координат точки, в которой скорость наблюдается. Иными словами, задать движение – это значит задать векторное поле – поле скорости5. Поле скорости может быть представлено в аналитической форме, т.е. в виде векторной функции:   v  v ( x, y, z, t ) или в виде трех скалярных функций v x  v x ( x, y, z , t ) , v y  v y ( x, y, z , t ) , v z  v z ( x, y, z , t ) . Наблюдение же свойств воздуха с помощью приборов (флюгеры, анемометры, барометры, термометры и т.п.), закрепленных в неподвижной точке на метеорологической станции, соответствует локальному методу. Для получе5 Если каждой точке пространства поставлена в соответствие какая-либо векторная или скалярная величина, то мы будем говорить, что определено векторное или скалярное поле этой характеристики. Конкретно, если в каждой точке задан вектор скорости, то будем иметь поле скоростей. 7 ния достаточно полного представления о движении и свойствах воздуха необходимо иметь данные с возможно большего числа станций. Очевидно, что анализ погодных условий с помощью синоптических карт, на которых показаны эти данные, с точки зрения аэрогидромеханики представляет собой изучение свойств и движения воздуха по методу Эйлера.