Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты Эйнштейна

Лекция № 5 § 7. Спонтанное и индуцированное излучение. Коэффициенты Эйнштейна Вероятность испускания фотона (21) при переходе атомной системы из состояния «m» в состояние «n» пропорциональна числу фотонов N в единице объёма в электромагнитной волне, взаимодействующей с этой системой. Поэтому выражение, полученное в предыдущем параграфе + dPnm = Nω3 |𝐮𝐝nm |2 dΩ 2πc 3 ℏ (7.1) называют вероятностью вынужденного (индуцированного) излучения света в единицу времени. Повторяя предыдущие рассуждения для оператора w ∗ e−iωt можно определить вероятность поглощения в одну секунду фотона при переходе атомной системы из состояния «n» в состояние «m». Если свет поляризации 𝐮 поглощается из телесного угла dΩ, то соответствующая вероятность поглощения в единицу времени равна − dPmn Nω3 |𝐮𝐝mn |2 dΩ . = 3 2πc ℏ (7.2) Если в начальном состоянии электромагнитное излучение находится в равновесии с чёрным телом при температуре T, то число фотонов N в формулах (7.1) и (7.2) должно быть заменено на среднее значение числа фотонов при данной температуре ℏω ̅ = (e kτ − 1) 𝐍 −1 . (7.3) В этом случае направление излучения и поляризации произвольны, поэтому в формулах (7.1) и (7.2) надо провести соответствующие суммирования, чтобы перейти к вероятностям, отнесённым к единице времени полного вынужденного (индуцированного) испускания и полного поглощения фотона частоты ω + ̅ Pnm =𝐍 − ̅ Pmn =𝐍 4ω3 |𝐝 |2 3ℏc 3 nm 4ω3 |𝐝 |2 . 3ℏc 3 mn (7.4) (7.5) Эйнштейн показал, что статистическое равновесие между излучением и веществом возможно только в случае, когда наряду с вынужденным испусканием, пропорциональным плотности излучения, имеется спонтанное излучение, происходящее и в отсутствие внешнего излучения. Спонтанное излучение обусловлено взаимодействием атомной системы с нулевыми колебаниями электромагнитного поля. Согласно теории вторичного квантования для электромагнитного поля, вероятность спонтанного излучения можно получить из (7.1) при значении N = 1. Таким образом, имеем + (dPnm )сп ω3 |𝐮𝐝nm |2 dΩ . = 2πc 3 ℏ (7.6) Следовательно, общая вероятность испускания фотона в одну секунду при переходе m → n определяется формулой dP (1 + N, n ← N, m) = (1 + N) ω3 |𝐮𝐝nm |2 dΩ . 3 2πc ℏ (7.7) Полная вероятность испускания в одну секунду кванта частоты ω любой поляризации в произвольном направлении будет соответственно равна P (1 + N, n ← N, m) = (1 + N) 4ω3 |𝐝 |2 . 3c 3 ℏ nm (7.8) Элементарная теория излучения на основе квантовых представлений (на феноменологическом уровне) была создана Эйнштейном. Согласно этой теории вероятность спонтанного перехода из m → n в 1 секунду с излучением кванта частоты ω = (Em −En )/ℏ внутри телесного угла dΩ с поляризацией α, равна n dWr′ = 𝑎mα dΩ . (7.9) Если имеется излучение, окружающее атом, то оно оказывает на атом двоякое воздействие. Во – первых, это излучение может поглощаться, причем атом будет переходить из низшего состояния «n» в высшее «m». Вероятность такого перехода в 1 секунду обозначим через dWα . Во – вторых, если атом находится в возбуждённом состоянии «m», то внешнее излучение может способствовать переходу атома в низшее состояние «n» так, что вероятность излучения увеличится на величину dWr′′ . Эта добавочная вероятность, как известно, называется вероятностью индуцированного перехода. Согласно сказанному полная вероятность излучения равна dWr = dWr′ + dWr′′ . (7.10) Вероятность поглощения dWα и вероятность вынужденного излучения dWr′′ по предположению Эйнштейна, пропорциональны числу квантов света как раз того сорта, о поглощении и излучении которых идет речь. Определим это число. Излучение может быть, вообще говоря, не монохроматическим, иметь различное направление распространения и разную поляризацию. Для определения характера излучения мы введём величину ρα (ω, Ω) dωdΩ , дающую плотность энергии излучения, имеющего направление распространения в пределах телесного угла dΩ, поляризацию α и частоту, лежащую в пределах ω, ω + dω. Т. к. энергия кванта равна ℏω, то число квантов света, частота которых лежит в пределах ω, ω + dω, которые распространяются в телесном углу dΩ и имеют поляризацию α, равно (на 1 м3) ρα (ω, Ω) dωdΩ . ℏω На основании замечания о пропорциональности между числом квантов и вероятностью поглощения и вынужденного излучения мы можем положить dWα = bm nα ρα (ω, Ω)dΩ (7.11) dWr′′ = bnmα ρα (ω, Ω)dΩ . (7.12) n n Величины 𝑎mα , bm nα , bmα называется дифференциальными коэффициентами Эйнштейна. Эти коэффициенты зависят только от рода систем, излучающих и поглощающих свет. Рассмотрим условия, при которых осуществляется равновесие между излучением и поглощением. Пусть число атомов, находящихся в возбуждённом состоянии «m», есть «nm », а число атомов, находящихся в низшем состоянии пусть равно «nn ». Тогда число квантов света, излучаемых в 1 секунду при переходе m → n, будет равно nm (dWr′ + dWr′′ ) , а число поглощаемых в 1 секунду квантов при переходах n → m, будет равно: nn dWα . Откуда условие равновесия запишется в виде nn dWα = nm (dWr′ + dWr′′ ) (7.13) или n n nn b m nα ρα (ω, Ω) = nm [bmα ρα (ω, Ω) + 𝑎mα ]. (7.14) Допустим, что мы имеем дело с тепловым равновесием. Тогда число атомов находящихся в различных состояниях будут функциями температуры Т. Согласно каноническому распределению, справедливому как для классических, так и для квантовых систем, число атомов nn , находящихся в одном из состояний, принадлежащих энергии En , равно En nn = const ∙ e− kT . (7.15) Тогда En Em − n n e− kT bm nα ρα (ω, Ω, T) = e kT [bmα ρα (ω, Ω, T) + 𝑎mα ]. (7.16) При T → ∞ плотность излучения ρ должна неограниченно возрастать, т.е. ρα → ∞. Откуда при T → ∞ получаем n bm nα = bmα . (7.17) Замечая также, что Em − En = ℏω, получим n 𝑎mα ρα (ω, Ω, T) = n ∙ bmα 1 ℏω e kT −1 . (7.18) При T → ∞, т. е. при kT ≫ ℏω эта формула должна переходить в классическую формулу Рэлея – Джинса ρα (ω, Ω, T) = ω2 kT . 8π3 c 3 (7.19) ℏω Откуда, разлагая e kT в ряд и проделав соответствующие выкладки, получим n 𝑎mα ℏω3 = 3 3 . n bmα 8π c (7.20) Таким образом, плотность равновесного излучения ℏω3 ρα (ω, Ω, T) = 3 3 ∙ 8π c 1 ℏω e kT . (7.21) −1 Согласно теории Эйнштейна вероятность поглощения света ℏω = Em − En , имеющего поляризацию α и распространяющего в телесном угле dΩ в 1 секунду, равна dWα = bm nα ρα (ω, Ω)dΩ . (7.22) Мы же до этого получили вероятность Pmn в предложении, что волна плоская, распространяющаяся в некотором определённом направлении. Поэтому у нас в формуле для вероятности входит лишь спектральное распределение, а не распределение по углам. Общая связь между ρα (ω) и ρα (ω, Ω) есть ρα (ω) = ∫ ρα (ω, Ω)dΩ . (7.23) Т. к. ρα (ω) конечно, ρα (ω, Ω) отлично в нашем случае от нуля лишь для одного вполне определённого направления, то плотность ρα (ω, Ω) должны в отношении угла Ω носить характер 𝛿 −функции ρα (ω, Ω) = ρα (ω) 𝛿(Ω). (7.24) Интегрируя по dΩ и пользуясь выражением для dWα , находим вероятность, поглощения в единицу времени для волны, распространяющейся в определённом направлении излучения Wα = bm nα ρα (ω) . (7.25) На основании закона сохранения энергии вероятность поглощения кванта света ℏωmn , должна быть равна вероятности перехода атома из состояния En в Em , т. е. Wα = Pmn . Откуда коэффициент Эйнштейна bm nα для поглощения света равна bm nα = 4π2 |𝐝 |2 cos 2 θ′ , ℏ2 mn (7.26) где θ′ −угол между вектором поляризации и направлений дипольного момента 𝐝mn . n Зная отношение коэффициента спонтанного излучения 𝑎mα к коэффициенту n m индуцированного излучения bmα = bnα мы можем записать вероятность dWr′ , спонтанного излучения кванта света ℏω = Em − En поляризации 𝛼 в телесный угол dΩ в виде n dWr′ = 𝑎mα dΩ = ℏω3 n ℏω3 m b dΩ = b dΩ , 8π3 c 3 mα 8π3 c 3 nα (7.27) Если вести угол 𝜃, который есть угол между направлением распространения излучения света и вектора 𝐝mn , то dWr′ = ω3mn |𝐝 |2 sin2 θdΩ . 2πc 3 ℏ nm (7.28) Чтобы получит полную вероятность спонтанного излучения при переходе из состояния Em в состояние En нужно проинтегрировать dWr′ по всем направлениям распространения. Производя эту интеграцию получим Wr′ = 4ω3mn |𝐝 |2 . 3ℏc 3 nm (7.29) Если уровни Em и En вырождены, то одна и та же частота ωnm может излучаться путём различных переходов из Em в En . Суммируя по всем этим переходам, мы получим полную вероятность излучения частоты ωmn в 1 секунду. Мы её обозначим Anm 4ω3mn = ∑|𝐝nm |2 . 2ℏc 3 (7.30) Величину Anm называют также коэффициентом Эйнштейна для спонтанного излучения. Наряду с Anm вводят соответствующий коэффициент для поглощения изотропного, неполяризованного излучения частоты ωnm Bnm = 1 ∑ ∫ bm nα dΩ , 8πfn (7.31) 4π где сумма взята по всем поляризациям (точнее по обеим (𝛼 = 1,2)) и по всем переходам из уровня Em . Величина fn означает степень вырождения уровня En . Подобным же образом можно ввести коэффициент n Bm = 1 ∑ ∫ bnmα dΩ , 8πfm 4π где fm −степень вырождения уровня Em . (7.32) § 8. Время жизни возбуждённого атома Возможность спонтанного перехода квантовой системы из определённого возбуждённого состояния в более низкие энергетические состояния приводит к тому, что возбуждённые состояния квантовых систем нельзя рассматривать как строго стационарные состояния. Если суммарная вероятность переходов на все более низкие состояния мала, то данное возбуждённое состояние называют почти стационарным или квазистационарным. Квазистационарное состояние характеризуется законом распада L(t), т. е. функцией, определяющей вероятность того, что через время t система всё ещё будет находиться в данном возбуждённом состоянии. При достаточно больших временах (по сравнению с периодом, характерным для данного состояния) закон распада возбуждённого состояния является экспоненциальным L(t) = e−t/τ . (8.1) Величина 𝜏 имеет размерность времени и носит название времени жизни возбуждённого состояния. Можно показать, что величина Anm определяет время жизни атома в возбуждённом состоянии. Существует по крайней мере два способа нахождения связи между Anm и 𝜏. Мы рассмотрим более простой вывод закона распада. Пусть в момент времени t мы имеем Nm атомов находящихся в возбуждённом состоянии Еm . Тогда среднее число атомов dNm , спонтанно переходящих в нижнее состояние Еn за время dt, будет равно dNm = −Nm Anm dt . (8.2) Откуда разделяя переменные и интегрируя, получим n 0 −Am t 0 −t/τ Nm = Nm e = Nm e , (8.3) где Nm − первоначальное число атомов (при t=0), находящихся в возбуждённом состоянии Еm , а τ = 1/Anm − есть средняя продолжительность жизни атома в возбуждённом уровне Еm . Из этих формул получим, что 𝜏= 3𝑐 3 ℏ . 4ω3mn ∑|𝐝mn |2 (8.4) Оценим эту величину для видимого света: ωmn ~4 ∙ 1015 c , 𝐝mn по порядку величины равно – e𝑎, где 𝑎 − размеры атомов, так что |𝐝mn |~2 ∙ 10−18 . Отсюда находим 𝜏~10−8 с , 2𝜋 т. е. 𝜏 ≫ Т = ω mn ~10−15 с . (8.5) Вернемся к теории квантовых переходов. Вероятность испускания фотона в единицу времени в телесном угле dΩ с поляризацией 𝐮 и частотой ω = |ωmn | определяется выражением + dPnm =N ω3 |𝐝mn |2 2 sin θdΩ . 2πc 3 ℏ (8.6) Умножив эту вероятность на ℏω, мы получим интенсивность испускаемого излучения в секунду в элемент телесного угла dΩ , + dJmn = ℏωdPmn =N ω4 |𝐝mn |2 2 sin θdΩ . 2πc 3 (8.7) При N=1 мы получим интенсивность спонтанного излучения или среднюю энергию, излучаемого в 1 секунду в элемент телесного угла dΩ при переходе m → n или dE ω4 |𝐝mn |2 2 d( ) = sin θdΩ , dt 2πc 3 (8.8) а полное излучение за 1 секунду получим, интегрируя по всем углам Ω. Тогда dE 4ω4 |𝐝 |2 . = dt 3c 3 mn (8.9) Можно отметить, что как распределение излучаемой энергии по углам, так и энергия, излучаемая в 1 секунду совпадают с соответствующими формулами для классического осциллятора, обладающего собственной частотой ω0 = ωmn и средним электрическим моментом ̅̅̅̅̅̅̅̅ |𝐝кл |2 = 2|𝐝mn |2 . (8.9) § 9. Принцип соответствия Рассмотрим излучение заряжённой частицы (заряда – е), движущейся согласно законам классической механики. Для простоты ограничимся случаем одного измерения. 2π Период движения пусть будет τ0 = ω . Обозначая координату частицы через x(t), мы разложим её в ряд Фурье ∞ 𝑥(𝑡) = ∑ xk eiωk t , (9.1) k=−∞ ωk = ω0 k, k = ±1, ±2, … 𝜔0 будет основной частотой, а ωk − частотами обертонов. Полагая xk = |xk |eiφk , получим ∞ x(t) = ∑ 2|xk |cos( ωk t + φk ) . (9.2) k=1 Электрический момент частоты D равен e ∙ x(t), т. е. ∞ ∞ D(t) = ∑ Dk e iωk t k=−∞ = ∑ 2|Dк | cos(ωk t + φk ) , (9.3) k=1 где Dк = exk . Интенсивность излучения частоты ωk , его распределение в пространстве и его поляризация определяются членом Dкл = 2|Dк | cos(ωk t + φk ) . Тогда средняя энергия, излучаемая таким диполем в телесный угол dΩ, равна dE 1 ω4k ̅̅̅̅̅̅̅̅̅2 2 d( ) = (D ) sin θdΩ , dt 4π c 3 кл (9.4) А полное излучение равно dE 2ω4k ̅̅̅̅̅̅̅̅̅2 = 3 (Dкл ) , dt 3c (9.5) [cos(ωk t + φk )]2 = 2|Dк |2 . где ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ (Dкл )2 = Y|Dк |2 ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ Таким образом, dE ω4k |D |2 sin2 θdΩ d( ) = dt 2πc 3 кл dE 4ω4k = 3 |Dкл |2 . dt 3c (9.6) (9.7) Из сопоставления этих формулы с аналогичными формулами, полученных для квантовых систем, следует, что матричный элемент электрического момента 𝐝mn является полным аналогом классических компонент Фурье. Эту аналогию мы можем продолжить, если рассматривать изменение по времени электрических моментов 𝐝mn , взяв их в гейзенберговском представлении. Мы считали 𝐝mn не зависящим от времени, а зависимость от времени переносили на волновые функции. В гейзенберговском представлении можно считать, волновые функции, не зависящими от времени, а зависимость от времени перенести на операторы (матрицы). Тогда 𝐝mn (t) = 𝐝mn (0)eiωmn t = 𝐝mn eiωmnt . Соответствующее представление в классической теории означает, что временные множители eiωmn t включаем в Dк . Таким образом, классически движущаяся частица в отношении излучаемого ею поля может быть характеризована однорядной последовательностью гармонически колеблющихся диполей, D1 eiω1 t , D2 eiω2 t , … , Dn eiωn t (9.8) с частотами ω1 = ω0 , ω2 = 2ω0 , … , ωn = nω0 , … представляющими основной тон и обертоны системы. Квантовая же система характеризуется в отношении излучения, также совокупностью колеблющихся диполей, которую можно представить матрицей электрического момента 𝐝11 𝐝12 eiω12 t … 𝐝1n eiω1nt iω21 t 𝐝22 … 𝐝2n eiω2n t | 𝐝(t) = |𝐝21 e ………………………………………… 𝐝m1 eiωm1 t 𝐝m2 eiωm2 t … 𝐝mn eiωmn t с частотами ωmn = Em −En ℏ (9.9) , также образующими матрицу ω 𝜔 = | 21 … ωm1 ω12 … ωm2 … … … … ω1n … ω2n … | … ωmn (9.10) Диагональные элементы 𝐝mn (t) матрицы 𝐝(t) не зависят от времени (ωmn = 0) и представляют собой средний электрический момент атома в n – состоянии. Недиагональные элементы определяют излучение атома и колеблются с боровскими частотами. Это есть комбинационный принцип Ритца (частоты атомов выражаются, как разности термов Em /ℏ). В своё время за долго до создания квантовой механики H. Бор высказал предположение, согласно которому амплитуды классических осцилляторов Dn могут служить для определения интенсивностей и поляризации излучения квантовых систем. Это предположение носило название принцип соответствия. Однако до создания квантовой механики применение этого принципа было весьма неоднозначно. В настоящее время с трактовкой этого принципа все определились. Так, мы исходя из теории квантовых переходов, пришли к заключению, что квантовая система поглощает и изучает, как совокупность классических гармонических осцилляторов с компонентами Фурье электрического момента, равными 𝐝mn eiωmn t . Следовательно, для вычисления поглощения или излучения света, квантовой системой нужно вычислить поглощение и излучение классических осцилляторов с моментами 𝐝mn eiωmnt . Вычислив энергию, поглощаемую и излучаемую в 1 секунду и разделив её на величину поглощаемого или излучаемого света ℏω = Em − En , мы получили вероятность соответствующего квантового перехода в 1 секунду. Это утверждение есть современная форма принципа соответствия между квантовой и классической теорией излучения.